GUIAS

Vicerrectora Acadmica Direccin de Servicios Acadmicos

Subdireccin de Servicios a Escuelas

1

GUA N2 DE CLCULO I

Composicin y Lmites de funciones

Composicin de Funciones:

Dadas dos funciones f y g , la funcin compuesta gf est definida por (())

En otros palabras: Sean dos funciones y , donde depende de y

depende de la variable

Al componer con , es decir , se obtiene que depende de la variable .

1. Determine gf de las siguientes funciones:

a) xexg

ggf

)(

4)( b)

1538)(

)(

35

13

xxxg

ggf c)

52)(

)log()(

xxg

ggf

2. El costo unitario en dlares de la fabricacin de motos para Cross country, se

describe con la funcin 112014320)( 031,0 nenC , donde 120,96n

Adems se sabe que hasta inicios del 2012, la cantidad de motos fabricadas ha

dependido de ao de funcionamiento de la empresa. Esta variacin se puede

analizar mediante el siguiente modelo matemtico 962)( ttn , donde t son los

aos trascurridos a partir del 2000.

a) Cuntas motos se fabricaron a inicios del 2001? y cul fue el costo unitario?

b) Determine (()) = ()

c) Interprete la funcin )(tC indicando unidades de medida

d) Escriba dominio contextualizado )(tC

e) Cul fue el costo unitario de fabricacin a inicios del 2007?

Depende Depende

Depende

()

()

()



2

3. Un fundo en el Sur de Santiago produce frutos para exportar y establece un

modelo que indica que la cantidad de kilgramos embalados por da depende de la

cantidad de personas que trabajan, segn:

nnnk 530 3 , donde 343,1n

Adems se sabe que el ingreso total en pesos que se percibe por la exportacin

de la fruta embalada est dado por:

kkI 570)( , donde 1925,35k

a) Cuntos kilos de fruta son embalados por 100 trabajadores? Cul sera el

ingreso?

b) Determine (()) = ()

c) Interprete la funcin () (siempre indicar unidad de medida)

d) Cul es el ingreso si trabajan 150 personas?

4. El nmero de viviendas construidas N depende de la tasa de inters hipotecaria

de acuerdo con la funcin:

2100

50)(

rrN

Donde N est en millones de viviendas.

La tasa de inters actualmente est en 12% y se predice que disminuir a 8% en

los siguientes 2 aos de acuerdo con la funcin:

24

812)(

t

ttr Donde t es el tiempo medido en meses.

a) Exprese el nmero de viviendas en funcin del tiempo.

b) Cul es el nmero de viviendas en este instante?

c) Cul es el nmero de viviendas transcurrido 1 ao y 6 meses? y cul ser la

tasa de inters?



3

5. La velocidad de reaccin de un qumico (grados Celsius por segundo) depende de

la temperatura (en grados Celsius) de acuerdo con la funcin 100

32 TTR

.

Si vara con el tiempo de acuerdo a )1(5,0 tT , donde representa el tiempo

en segundos.

a) Exprese la velocidad de reaccin en funcin del tiempo.

b) Cul es la velocidad de reaccin a los 5 segundos?

6. Un estudio ambiental de cierta comunidad suburbana sugiere que el nivel diario

promedio de monxido de carbono en el aire ser 14,0)( ppC partes por

milln (ppm) cuando la poblacin sea p miles. Se estima que en t aos la

poblacin de la comunidad ser 22,08)( ttp miles.

a) Exprese el nivel de monxido de carbono en el aire en funcin del tiempo.

b) Cul ser el nivel de monxido de carbono en 2 aos, a partir de hoy?

c) Cunto tiempo debe pasar para que el nivel de monxido de carbono alcance

las 6,2 partes por milln?

7. La cantidad de unidades y , que vender un fabricante depender del precio

unitario p del artculo (en dlares) y se modela con la siguiente funcin:

ppy2

3300)( , donde 200,10p

Adems se sabe que el ingreso semanal en dlares est dado por la funcin:

2

100

1)( yyI , donde 285,0y

a) Determine (()) = ()

b) Interprete la funcin ()

c) Si el precio unitario es de US10 y US 200 Cul ser el ingreso semanal

respectivo?



4

Lmites de Funciones:

Para tener una visin intuitiva del concepto de lmite de una funcin revisemos los

siguientes ejemplos.

Un avin para aterrizar sobrevuela un pista (variable longitud que recorre de la pista)

mientras que su altura va disminuyendo (variable ()). A medida que la variable aumenta

() disminuye hasta hacerse cero. En este caso el lmite de la altura (), cuando la

distancia crece es cero, en otras palabra tenemos

Un segundo ejemplo. Una persona se contagia de una enfermedad y entra en contacto con

varias personas que a su vez se contagian y estas contagian a aquellas con las que se cruzaron

Cunta gente se contagiar de la enfermedad?

Un inicio apropiado para responder esta pregunta es recopilar los datos y graficarlos obteniendo

lo siguiente.

Vemos que aunque el nmero de contagios () puede continuar creciendo a medida que

aumenta el tiempo (variable ) nunca sobrepasa el nmero 700. En este caso el lmite de la

cantidad de contagiados (), cuando el tiempo crece es 700, en otras palabra tenemos

() =

Distancia X

Altura f(x)

() =



5

Lmite mediante a aproximaciones

8. Es costo en dlares de produccin de x cantidad de artculos se modela mediante la

siguiente funcin 20400

)( x

xC

a) Cul es el costo de produccin al fabricar 2, 20 y 200 artculos?

b) Qu ocurre con el costo de produccin a medida que la fabricacin de artculos

crece indefinidamente? Para responder puede completar la siguiente tabla.

x 1.000 10.000 1.000.000 10.000.000

)(xC

9. El porcentaje de inters por cuentas por cobrar asociados al uso de tarjetas de

crditos de un banco despus de t meses de la obtencin de la tarjeta est dado

por la funcin P(t) = 0,9(1 30,08t)

a) Qu % de inters se espera al finalizar el primer ao?

b) Determine )(lim tPt

, para ello puede utilizar la siguiente tabla de valores

t 10 100 1.000 1.000.000

)(tp

c) Interprete el valor del lmite, obtenido en la pregunta anterior



6

Lmites al Infinito Elementales.

i) , Si > 0 y es un nmero real

ii) , Si es un nmero real

10. Es costo en dlares de produccin de x cantidad de artculos se modela mediante la

siguiente funcin 20400

)( x

xC

a) Determine )(lim xCx

utilizando tabla e lmites al infinito elementales

b) Interprete el valor del )(lim xfx

11. Se modela la preparacin de un deportista que correr 100 metros planos con la

funcin 152,010

3)(

2

2

x

xxf , donde )(xf son los segundos que se demora en

llegar a la meta despus de x das de entrenamiento.

a) Si su entrenamiento dura 6 das En cunto tiempo se estima que llegue a la

meta?

b) Determine )(lim xfx

(utilice lmites al infinito elementales)

c) Interprete el valor del )(lim xfx

12. Una empresa consultora ha determinado que el nmero de mini-markets

existentes en una ciudad se puede representar por la funcin

32

3

2251

1204512)(

xx

xxxM

donde x son los aos transcurridos.

a) Cuntos de estos negocios habr, transcurridos 11 aos?

b) Cuntos de estos negocios habr a largo plazo?

lim

= 0

lim

=



7

13. El dimetro de la pupila (en milmetros) puede obtenerse a partir de la funcin

f(x) =160+90x0,4

4+15x0,4, donde x es la intensidad luminosa.

Qu ocurre con el dimetro de la pupila si la intensidad luminosa aumenta en

forma indefinida?

14. En un colegio, el porcentaje de estudiantes que sufre mononucleosis1, x das

despus del primer caso reportado, est dado por la funcin P(x) =100x

2x2+32.

a) Determine )(lim xPx

b) Interprete el valor del )(lim xPx

15. La Federacin de caza de cierto estado introduce 50 ciervos en una determinada

regin. Se cree que el nmero de ciervos crecer siguiendo el modelo

f(x) =50+30x

1+0,04x , donde x es el tiempo transcurrido en aos

a) Calcule la cantidad de animales que habr dentro de 10 aos

b) A cuntos animales se podr llegar a medida que transcurre el tiempo

indefinidamente?

1 La mononucleosis tambin conocida como enfermedad del beso es causada por un virus perteneciente a la

misma familia del virus del herpes. Aparece ms frecuentemente en adolescentes y adultos jvenes, y los sntomas que la caracterizan son fiebre, faringitis o dolor de garganta, inflamacin de los linfonodos y fatiga



8

SIGUE PRACTICANDO:

16. Un fabricante determina que el nmero total de unidades de produccin por da, es

una funcin que depende del nmero de trabajadores, que viene dada por

58 mP . Adems el ingreso total (en dlares) al vender las unidades

producidas, est dada por la funcin PI 60 , determine:

a) Determine el ingreso total en funcin del nmero de trabajadores

b) Cul es el ingreso si trabajan en la produccin 35 personas?

17. Se sabe que el precio de un artculo en miles de pesos a medida que transcurre el

tiempo t (en meses) est dado por la funcin P(t) =5t+10

13+t

a) Cul es el precio del artculo transcurrido 10 meses?

b) Determine )(lim tPt

c) Interprete el valor del )(lim tPt

18. En una academia de mecanogrfica, el nmero promedio de palabras por minutos

luego de t semanas prcticas, est dado por N(t) =157

1+5e0,12t

a) Determine el nmero promedio de palabras por minuto que pueden escribir una

persona luego de haber recibido lecciones durante 10 semanas

b) Determine el nmero promedio de palabras por minuto que pueden escribirse

cuando el estudiante practica indefinidamente



1

GUA N3 DE CLCULO I

Derivada de funciones

I Concepto de la derivada como lmite intuitivo

1. Un grupo de estudiantes participa de una cicletada que inicia en el centro de

Santiago hacia el sur del pas. La funcin 502,0)( 2 xxf entrega la posicin de

un ciclista (en kilmetros) despus de minutos de su partida.

a) Cul es su posicin a los 30 minutos de su partida?

b) cul es la velocidad promedio entre los 30 y 60 minutos?

c) Determine mediante aproximaciones la Velocidad Instantnea a los 30 minutos

de su partida. Utilizar la siguiente tabla de valores, redacte respuesta.

Intervalos de

Tiempo

Expresin Velocidad

Promedio

Velocidad Promedio

3128 x 2831

)28()31(

ff

5,3029 x 295,30

)29()5,30(

ff

1,309,29 x 9,291,30

)9,29()1,30(

ff

01,3099,29 x 99,2901,30

)99,29()01,30(

ff



2

2. Se espera que dentro de t aos, la poblacin de cierta comunidad viene dada por

la funcin 12005,0)( 75,0 tetp (miles de habitantes)

a) Dentro de 10 aos Cuntos habitantes tendr la comunidad?

b) cul es la Tasa de Crecimiento promedio entre el 6to y dcimo ao?

c) Determine mediante aproximaciones la Tasa de Crecimiento Instantnea de la

comunidad dentro de 10 aos, para ello utilizar la siguiente tabla de valores.

Redacte respuesta.

Intervalos de

Tiempo

Expresin Tasa de

Crecimiento Promedio

Tasa de Crecimiento

Promedio

5,105,9 t 5,95,10

)5,9()5,10(

pp

1,109,9 t 9,91,10

)9,9()1,10(

pp

01,1099,9 t 99,901,10

)99,9()01,10(

pp

001,10999,9 t 999,9001,10

)999,9()001,10(

pp



3

II Derivadas de Funciones Elementales.

Definicin de Derivadas:

La derivada de la funcin )(xf con respecto a x es la funcin )(xf dada por:

h

xfhxfxf

h

)()(lim)(

0

Notacin:

Sea )(xfy , entonces la derivada de la funcin se puede denotar por:

dx

dyyxf )(

Tipo de

Funcin

Expresin Algebraicas Derivada

Constante cdondecxf )( 0)( xf

Potencia ndondexxf n)( 1)( nxnxf

Lineal xxf )( 1)( xf

Exponencial

0)( adondeaxf x )ln()( aaxfx

xexf )( xexf )(

Logartmica

)(log)( xxf a )ln(

1)(

axxf

)ln()( xxf x

xf1

)(

Recordar: 11 x

x nyn y xx /



4

3. Complete el siguiente cuadro

Funcin Tipo de Funcin Derivada

a) 3)( xxf

dx

df

b) 5)( xf dx

df

c) xxf 5)( )(xf

d) )(log)( 5 xxg )(xg

e) xey y

f) )log()( xxf f

g)

x

xg

3

5)(

dx

dg

h) 5)( xxg )(xg

i) x

xh1

)( )(xh

j) x

xh1

)( )(xh

k) 4)( xf

dx

df

l) 2

1)( xf

dx

df

m) 3)( ttf )(tf



5

n) 43

)( txf )(xf

o) xxf 2)(

dx

df

p) )(log)( xxh e )(xh

q) 5 2)( xxf

dx

df

r) 21

)( xxf )(xf

s) 2

5)( xf )(xf

4. A continuacin identifique el tipo de funcin y luego calcule su derivada.

a) 12)( xxf b) 11)( xxf c) 3

5)( xxf

d) xxf )( e) xxm )( f) xxh 9)(

g) )(log)( 3 xxg h) 5

4)( xg i) )ln()( xxg



6

III lgebra de derivadas.

Operacin de Funciones Elementales Derivada

Multiplicacin por

una constante )(xfcxh fcxh

suma o resta )()( xgxfxh gfxh

multiplicacin de

dos funciones )()( xgxfxh gfgfxh

divisin de dos

funciones 0)(

)(

)( xg

xg

xfxh

2ggfgf

xh

5. Complete el siguiente cuadro:

Funcin Operacin Derivada

a) 65)( xxf

dx

df

b) 2)( xxxf dx

df

c) xexxf 5)( )(xf

d) xexxf )( )(xf

e) xxy 22 y

f) xe

xy

4

y

g) x

xxf

1)(

2

dx

df



7

6. Derive las siguientes funciones:

a) )log(7)( xxh b) xxg 2)( c) 728140)(2 xxxf

d) )ln()( 2 xxxf e) xexxg )5()( 2 f) 19ln5)( pepQ p

g) x

xxf

)ln()( h)

)ln()(

x

exf

x

i) t

ttth10

9,09)( 2

7. Determina la derivada de las siguientes funciones

a) 500.3160532)( 23 xxxxg b) xe

xxxf

3)(

2

c) )log()( xexf x d) 2

)(log)(

x

xxf s

e) 2

23 20124

3

3

2)(

tttttd f) 32)log()( xxxf

IV Regla de la Cadena para Derivar una Funcin Compuesta

Si xf es una funcin compuesta, es decir )()( xghxf entonces su derivada ser

)()()()( xgxghxghxf

Generalmente se trabaja con las siguientes funciones compuestas:

)(xge su derivada ser ge xg )(

ng su derivada ser ggn n )1(

)(log ga su derivada ser )(log gga

gag )ln(

1

8. Obtenga f de las siguientes funciones Compuestas

a) xexf 4 b) 1335 1538 xxxf c) 52log xxf



8

9. Aplique la regla de la cadena y propiedades de las derivadas para calcular la

derivada de las siguientes funciones.

a) 524 )23()( xxxf b) )23ln(

2 xxy c) )3log()(2 xxxf

d) )2ln(3)62(8)(7 xxxf e)

22 )3( xxy f) 52 2 xey

10. Calcule dx

dy en las siguientes funciones.

a) 2xey b)

xey 3 c) )ln( 3xy

d) )1log( 2 xy e) 3275 xxy f) xy 57

SIGUE PRACTICANDO:

11. Determina la derivada de las siguientes funciones

a) 5007010 2 xxxI b) 563810)( 2 tttd c) 1

2

x

xxf

d) wwwf 622)( e)

2

2 57)(

x

xxf

f) xxxf 3)ln()(

g) t

etV8,0

125)( h) 000.28)(75,0

t

etp i) 4,0

4,0

41

2440

x

xR

j)

2

601000.100)(

ttV k)

40

1000.500x

V l) tetp

5,0101

1)(

m) 5

5 16)(x

xxg x n) xxxf 232)( 3 o) x

xxf

5

)log()(

p) 21)( xxf q) te

tN895.019991

000.2)(

r)

ktetP 500.1)(



1

GUA N 4 DE CLCULO I

La Derivada como razn de cambio

1. Hasta el ao 2000, la estimacin de la deuda de EEUU, expresada en millones de

dlares est dada por la funcin f(t) = 0,11t4 + 3,59t3 28,91t2 + 271,85t + 930,2,

donde t son los aos trascurridos a partir de inicios de 1980.

a) Complete la siguiente tabla

Variables () ()

Significado

Unidad de

Medida

b) Escriba el dominio contextualizado de la funcin

c) Cul es la deuda de EEUU al iniciar el ao 1990?

d) Interprete y calcule dt

df transcurridos 10 aos.

2. Se espera que desde hoy hasta los prximos 12 aos (t), la poblacin de cierta

comunidad est dada por la funcin p(t) = e0,75t + 280 (miles de habitantes).


Variables () ()

Significado

Unidad de

Medida


c) Cuntos habitantes se estima para 5 aos ms?

d) Interprete y calcule dt

dpdentro de 9 aos.



2

3. En un estudio realizado determin que el impuesto predial1 en un determinado

pas estaba dado por la funcin: xexxI 50)( 2 en miles de pesos, donde son los aos trascurridos desde inicios del 2005.


Variables () ()

Significado

Unidad de

Medida

b) Cul es la razn de cambio del impuesto predial, con respecto al tiempo, a

inicios del ao 2011?

4. Una empresa determin que meses despus de aumentar los valores de sus

productos las ventas de la compaa se pueden calcular con la funcin

tetV 8,05,12)( en miles de pesos. A qu razn cambiarn las ventas, con

respecto al tiempo, trascurridos 5 meses?

1 Es el impuesto cuya recaudacin, administracin y fiscalizacin corresponde a la municipalidad donde se ubica el predio

Nota N1

La rapidez instantnea corresponde a la razn de cambio instantnea de la posicin con

respecto al tiempo

La aceleracin instantnea corresponde a la razn de cambio instantnea de la rapidez

con respecto al tiempo



3

5. Un grupo de estudiantes participa de una cicletada que inicia en el centro de

Santiago hacia el sur del pas. La funcin 502,0)( 2 tts entrega la posicin de

un ciclista (en kilmetros) despus de minutos de su partida.

a) Complete la siguiente tabla (ver nota 1, pgina 2)

Variables () () ()

Significado

Unidad de

Medida

b) Determine e interprete los siguientes valores (30) , (30) y (30)

6. Un automvil se mueve a lo largo de una carretera en lnea recta durante 5

horas, de modo que la posicin en kilmetros est dada por la funcin

53)( xexxd trascurridas x horas. Determine la rapidez instantnea que lleva

a las 3 horas y su aceleracin instantnea a las 4 horas.

7. Un carro se mueve durante 3 minutos a lo largo de un riel horizontal, de tal

manera, que su posicin en el instante desde el punto de partida, est

especificado por la funcin 4518)(23 ttttf . La distancia se mide en cm y

el tiempo en minutos.


Variables () () ()

Significado

Unidad de

Medida


c) El carro en qu posicin inicia su recorrido?

d) Determine e Interprete f y f a los 2 minutos



4

8. Si un tanque cilndrico contiene 100.000 galones2 de agua que se pueden drenar

por el fondo del depsito en 1 hora, la ley de Torricelli da el volumen V del agua

que queda despus de t minutos como 60060

1000.100)(

2

t

ttV


Variables () ()

Significado

Unidad de

Medida

b) Determine la funcin ()

c) Determine e interprete ()

9. La concentracin de un medicamento t horas despus de haber sido inyectado

en el brazo de un paciente est dado por la funcin 81,0

15,0)(

2 t

ttc (en ml) .

Calcule e interprete dt

dc cuando 2t

10. Se estima que la poblacin de una colonia de bacterias est dada por la siguiente

funcin 1

10242

t

ttP (en miles) despus de t horas. Calcule e interprete

dt

dP

cuando 5,1t

2 El galn es una unidad de medida equivalente a 4,5461 litros aproximadamente

Nota N2

El Ingreso Marginal es la razn de cambio de la funcin ingreso respecto a la cantidad

de unidades. Corresponde al cambio en el ingreso total cuando la cantidad vendida

aumenta en una unidad.

El Costo Marginal es la razn de cambio de la funcin costo respecto a la cantidad de

productos. Corresponde a la variacin que sufre el costo debido a la fabricacin de una

unidad ms.



5

11. Una empresa calcula que al vender x kilos de fertilizante, su ingreso en pesos

est dado por la funcin 2218000)( xxxI donde 100,1x . Suponiendo

que el costo total en pesos de fabricacin de x kilos es 21000)( xxxc .

a) Complete la siguiente tablas (ver nota 2, pgina 4)

Variables Significado Unidad de Medida

()

()

()

()

b) Determine la funcin ingreso marginal

c) Calcule e interprete )30(I y )30(I

d) Determine la funcin costo marginal

e) Calcule e interprete )30(C y )30(C

12. Si una empresa produce desde 10 hasta 1000 productos diarios, el ingreso y

costo en dlares de la produccin de x unidades estara dado por las funciones

220050)( xxI y xxC 01,0300)( respectivamente



()

() =

()

() =

b) Calcule e interprete (700) y (700)



6

13. Un fabricante de pinturas para autos advierte que los ingresos y costos (en

euros) por vender y producir x litros de pintura estn dado por la funciones

I(x) = 100x 0,01x2 y C(x) = 2.000 + 40x respectivamente

a) Determine la funcin ingreso marginal y costo marginal

b) Calcule e interprete )24(CM y )59(IM

14. En ciertas circunstancias, un rumor se esparce segn la ecuacin

tetp

5,0101

1)(

donde 100)( tp es el porcentaje de la poblacin que lo conoce

en el tiempo t (horas). Determine e interprete )(tp a las 5 horas.

15. Suponiendo que el porcentaje de alcohol3 presente en la sangre t horas despus

de consumido est dado por 22,0)(t

ettC

. Calcule e interprete dt

dC despus de

1, 2 y 3 horas.

16. En un colegio, el porcentaje de estudiantes que sufre mononucleosis4 despus de

t das del primer caso reportado, est dado por la funcin 16

502

t

ttp . Calcule e

interprete dt

dp despus de 3 y 7 das.

17. Si la cantidad de carga que pasa por un punto de un alambre hasta un tiempo t

se expresa con 262)(23 ttttQ ( t en segundos y Q en coulombs).

Determine la corriente (ver Nota 3) a los 0,5 segundos.

3 El tiempo que demora el alcohol en llegar al torrente sanguneo depende de varios factores, entre ellos la

cantidad de comida ingerida previamente 4 La mononucleosis tambin conocida como enfermedad del beso es causada por un virus perteneciente a la

misma familia del virus del herpes. Aparece ms frecuentemente en adolescentes y adultos jvenes, y los sntomas que la caracterizan son fiebre, faringitis o dolor de garganta, inflamacin de los linfonodos y fatiga

Nota N3

La corriente es la razn de cambio de la cantidad de carga con respecto al tiempo, en otros

palabras es la rapidez con que la carga fluye por una superficie, se mide en unidades de

carga por unidades de tiempo, a menudo en coulombs por segundo (amperes).



7

SIGUE PRACTICANDO:

18. Un banco implementa un nuevo sistema de cajero automtico en el cual se

determin que el nmero de personas que utiliza este nuevo sistema, viene dado

por la funcin () = 62 + 5 + 800, donde x representa las semanas

transcurridas despus de la implementacin. Interprete y calcule dx

dP

transcurridas 10 semanas de su implementacin.

19. En un criadero de conejos despus de x das la cantidad de conejos crece a cierta

razn. Se sabe que la funcin de poblacin de conejos del criadero est dada por

la funcin () = 102 + 12500,04 + 400. A qu razn cambiar la poblacin de

conejos, con respecto al tiempo, dentro de 15 das?

20. Si una empresa produce desde 5 hasta 100 productos diarios el costo total de

produccin en dlares de x unidades es 2200050)( xxc y el precio de ventas

es de xxi 1001800)( dlares

a) Determine la funcin ingreso marginal y costo marginal

b) Calcule e interprete )50(c y )60(i

21. Un carrito experimental conectado a un PC, se mueve a lo largo de un riel de tal

manera que su posicin en el instante t del punto de partida est dada por la

funcin () = 33 + 182 + 55 la distancia se mide en cm y el tiempo en

minutos. Interprete y calcule de )2(d y )5,1(d .



1

GUA DE N5 DE CLCULO I

Aplicacin de la derivada: Valores Mximos y Mnimos.

1. La funcin f(x) muestra el % de las utilidades de una empresa los primeros 11

aos de funcionamiento, f(x) =1

500x5

23

400x4 + 0,58x3 2,36x2 + 3,2x, donde x son

los aos trascurridos desde su creacin

a) Transcurridos el primer, cuarto, octavo y dcimo ao de funcionamiento se

observaron los valores (utilidades) crticos, determnelos e indique las

coordenadas en la grfica, al igual que los % de utilidades al inicio y final del

estudio.

b) Determine la funcin f(x) y calcular en los aos donde se observan los valores

crticos. Qu puedes concluir?

c) Escriba los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las utilidades,

indicando el comportamiento (signo) de la derivada en esos tramos. Par ello

puedes completar el siguiente cuadro

Valor

= _____ = 1 = _____ = 4 = _____ = 8 = _____ = 10 = _____

Valor

f(x)

Signo

d) Durante todos los aos de anlisis dnde se observa el mayor y menor % de

utilidad? (indique el valor).



2

Los valores mximos o mnimos de una funcin son los valores ms grandes o ms pequeos

que toma una funcin en un punto situado ya sea dentro de un intervalo o en el dominio de la

funcin. Determinar estos valores responde a buscar respuesta a problemas de optimizacin.

Para encontrar los valores mnimos y mximos es necesario determinar los puntos crtico,

que se definen a continuacin:

Punto Crtico:

Dado un valor c que pertenece al dominio de la funcin f donde 0)( cf o no est

definido se dir que es un valor crtico, y cfc, ser un punto crtico.

2. Andrea tiene un depsito a plazo desde inicios del ao 2002 hasta inicios del ao

2009. El % de inters que gener est dado por f(x) =1

4x4

1

3x3 3x2 + 6 donde

x son los aos transcurridos desde el 2005. Considerando el grafico de la funcin

f(x) y que f(0) corresponde al % de inters al inicio del ao 2005, responder las

siguientes preguntas.

a) Determinar Dominio contextualizado

b) Encontrar los valores crticos utilizando la derivada de la funcin.

c) Marcar en la grfica los puntos crticos y coordenadas final e inicial

d) Determine los intervalos donde la derivada es positiva y los intervalos donde es

negativa.

e) Seale punto mximo y mnimo. Interprete valores



3

3. Dada la funcin f(x) = 50x4 225x2 + 100 x [2 , 2.5 ] y su grfica, se pide:

a) Encontrar los valores crticos utilizando la derivada de la funcin.

b) Marcar en la grfica los puntos crticos y valores extremos del intervalo.

c) Determinar coordenada del punto mximo y mnimo de la funcin

Mximo y Mnimo relativo:

Criterio de la Primera derivada: Para encontrar los valores mximos y mnimos relativos de

una funcin continua f , se debe:

1. Encontrar los puntos crticos de la funcin f

2. Si f cambia de positiva a negativa alrededor del valor crtico, entonces f tiene un

mximo relativo.

3. Si f cambia de negativo a positivo alrededor del valor crtico, entonces f tiene un

mnimo relativo.

4. Si f no cambia de signo (es decir, f es positiva en ambos lados o es negativa en

ambos lados), entonces f no tiene mximo ni mnimo relativo.

En resumen: Si c es un valor crtico, a y b dos valores cercanos a c con ca y cb , si

se analizan los signos de la derivada se tiene:

af cf bf Conclusin 0 El valor c es un mximo relativo

0 El valor c es un mnimo relativo

0 El valor c no es mnimo ni mximo relativo

0 El valor c no es mnimo ni mximo relativo



4

Mximo y Mnimo absoluto:

Para encontrar los valores mximos y mnimos absolutos de una funcin continua f sobre un

intervalo cerrado gc, , se debe:

1. Encontrar los puntos crticos de la funcin f en el intervalo ),( gc

2. Encontrar los valores de f en los valores crticos

3. Encontrar los valores de f en los valores extremos de la funcin, es decir, determinar

)(cf y )(gf .

4. El ms grande de los valores de los pasos 2 y 3 es el valor mximo absoluto; el ms

pequeo, el valor mnimo absoluto.

Ayuda:

Te recomendamos seguir los siguientes pasos para determinar un mximo y mnimo absoluto:

1. Determinar Dominio Contextualizado

2. Encontrar Punto Crticos

3. Determinar si los Puntos Crticos son mximos o mnimos relativos

4. Determinar Mximo y Mnimo Absoluto

5. Para identificar intervalos de crecimiento o decrecimiento, se recomienda esbozar el

grfico de la funcin considerando mximos y mnimos relativos, y coordenada final e

inicial.



5

4. El rendimiento de un ciclista est dado por la rapidez que alcanza. Si entrena

siete horas en forma continua su rendimiento ser de R(t) = t3 12t2 + 36t (km/h),

donde t son las horas transcurridas desde que inicia la prctica.

a) Despus de cuantas horas de entrenamiento se observa el mximo

rendimiento del ciclista?

b) Durante que tramos de tiempo en rendimiento del ciclista disminuye?

5. Se desea colocar una casa en lnea recta a km de una planta industrial. Si la

vivienda es construida a una distancia que flucta desde los 6 y 21 km las

emisiones de partculas contaminantes que le afectan se pueden determinar con

la funcin () = 23 692 + 720 1500, ppm (partculas por milln).

a) Si coloca la casa a 18 km, Ser la mejor ubicacin? Si no determnela.

b) Determine e intrprete intervalos de crecimiento y decrecimiento de la

funcin

6. El costo total C(x) = 2x +299.538

x (en miles de pesos) de pedido y almacenaje

depender de la cantidad x que se requiera, considerando como mnimo 50

artculos:

a) Qu tamao de pedido minimiza el costo total?

b) Indique e interprete intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcin.

7. La virulencia1 de cierta bacteria se comenz a estudiar a comienzos del ao 1997

obteniendo el siguiente modelo () =1

404

8

303 + 0,352 + 15 (en porcentaje)

donde son los aos transcurridos desde inicios del ao 2000.

a) Seale el dominio contextualizado de la funcin

b) Determine los periodos en que la virulencia aumenta y disminuye

c) Dnde se observa la mnima virulencia? Indique su valor

1 Es el grado de la capacidad de producir una enfermedad



6

8. En enero de 1985 se funda un club deportivo. La funcin () estima el total de

personas inscritas trascurridos aos desde su fundacin

4048412

23

xxx

xP (Miles de socios)

a) Durante qu periodo disminuye la cantidad de socios?

b) A partir de qu ao se estima que la cantidad de socios siempre

aumentar?

9. Un fondo de inversin genera una rentabilidad2 que depende de la cantidad de

dinero invertida y la situacin econmica del pas.

225,01,001,0)( 23 xxxxR , donde x son miles de euros.

a) Si la rentabilidad disminuye entre que valores flucta la inversin?

b) A partir de qu monto de inversin se estima que la rentabilidad siempre

aumenta?

c) Cundo se observa la mnima rentabilidad?

10. Un estudio arroj que el rendimiento de un alumno antes de realizar un examen

se comporta de acuerdo a la funcin () = 0,2454 11

33 + 14,52 + 20 (en %),

donde es la cantidad de horas que estudia con un mximo de 8 horas diarias.

a) Cuntas horas conviene estudiar para obtener el mayor rendimiento?

b) Si el alumno no estudia Cul ser su rendimiento?

2 La rentabilidad es la ganancia que una persona recibe por poner sus ahorros en una institucin financiera y

se expresa a travs de los intereses, que corresponden a un porcentaje del monto de dinero ahorrado.



1

GUA N 6 DE CLCULO I

Mximos y Mnimos. Problema de Optimizacin

Un problema de optimizacin consiste en buscar la mejor solucin mediante la minimizacin o

maximizacin de uno de sus aspectos. En otras palabras se trata de calcular o determinar el valor mnimo

o mximo de una funcin de una variable.

Se debe tener presente que:

- Generalmente la funcin que se desea minimizar o maximizar debe ser expresada en funcin de

las variables relacionadas en el problema.

- En ocasiones las restricciones del problema generan ecuaciones donde se involucran las variables

del problema. Estas ecuaciones permiten obtener la funcin de una variable que se quiere

minimizar o maximizar.

Te recomendamos seguir los siguientes pasos para resolver un problema de

optimizacin:

1. Identificar los datos del problema

2. Determinar la Funcin a Optimizar. Expresarla en funcin de una variable

3. Determinar puntos crticos (derivando Funcin a Optimizar)

4. Verificar si los puntos crticos son un mximos o mnimos

5. Responder la pregunta

1. Un granjero tiene 2400 metros de cerca y desea rodear un campo rectangular

que limita con un ro recto. No necesita cercar a lo largo del ro Cules son las

dimensiones del campo que tiene el rea ms grande?

Ten en cuenta:

Contorno xyP 2

rea yxA



2

2. Se requiere fabricar una lata cilndrica para que contenga 1 litro de aceite (1000

cm3). Encuentre las dimensiones que minimizarn el costo del metal para fabricar

la lata.

3. Un granjero que dispone de 750 metros de cerca desea cercar un rea

rectangular y luego dividirla en cuatro corrales iguales con un cercado paralelo a

un lado del rectngulo Cul es el rea ms grande posible para cada uno de los

cuatro corrales?

4. Si se cuenta con 1200 cm2 de material para hacer una caja de base cuadrada y la

parte superior abierta, encuentre el volumen mximo posible de la caja.

Ten en cuenta:

Para minimizar el costo del metal, minimizaremos el rea de la

superficie del cilindro (tapa, fondo y lados), por lo que se debe

considerar:

rea = 6,282 + 6,28

Volumen = 3,14 2 .

Donde correspondel al radio del cilindro y a la altura

Nota: Las frmulas originales son A = 2r2 + 2rh y V = r2h , se reduce

considerando = 3,14

Ten en cuenta:

Permetro del rea rectangular yxP 85

rea de 1 corral yxA

Ten en cuenta:

rea 24 xxhA

Volumen hxV 2 .



3

5. Una ventana normada tiene forma de rectngulo rematado por un semicrculo. Si

el permetro es de 30 pies, encuentre las dimensiones de la ventana de modo

que se admita la cantidad ms grande posible de luz.

6. En un cartel rectangular los mrgenes superior e inferior miden 6 cm cada uno y

los laterales, 4 cm. Si el rea del cartel impresa se fija en 384 cm2 cules son

las dimensiones del cartel de rea mnima?

7. Un cartel rectangular debe medir 180

pulgadas cuadradas con mrgenes de 1

pulgada abajo y a los lados y 2 pulgadas

arriba Qu dimensiones resultarn el rea

impresa mxima?

Ten en cuenta:

rea = + 0,39252

Permetro = 2 + 2,57

Nota:

Las frmulas originales son = xy +1

82 y = 2x + y +

1

2 ,

se reduce considerando = 3,14

Ten en cuenta:

rea parte impresa

rea cartel

Ten en cuenta:

rea parte impresa

rea cartel



4

8. Una ventana presenta forma de un rectngulo coronado por un semicrculo.

Encuentre las dimensiones de la ventana con rea mxima, s su permetro es de

10 m.

SIGUE PRACTICANDO:

9. Se va a construir una caja con la parte superior abierta a partir de un trozo

cuadrado de cartn que tiene 3 pie de ancho, al recortar un cuadrado de cada

una de las cuatro esquinas y doblar los lados hacia arriba. Encuentre el volumen

ms grande que puede tener una caja semejante.

Ten en cuenta:

rea = + 0,39252

Permetro = 2 + 2,57

Nota:

Las frmulas originales son = xy +1

82 y = 2x + y +

1

2 ,

se reduce considerando = 3,14

Ten en cuenta:

Para maximizar el volumen de la caja se

debe considerar =



5

10. Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de

32.000 cm3. Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de

material usado.

11. Se desea construir un recipiente cilndrico de conservas con tapa, que tenga una

superficie total de 80 cm2. Determine sus dimensiones de modo que tenga el

mayor volumen posible

Ten en cuenta:

rea 24 xxhA

Volumen hxV 2 .

Ten en cuenta:

Para minimizar el costo del metal, minimizaremos el rea de la

superficie del cilindro (tapa, fondo y lados), por lo que se debe

considerar:

rea = 6,282 + 6,28

Volumen = 3,14 2 .

Donde correspondel al radio del cilindro y a la altura

Nota: Las frmulas originales son A = 2r2 + 2rh y V = r2h , se

reduce considerando = 3,14



1

GUA DE N7 DE CLCULO I

Integral Indefinida: Antiderivada

Antiderivada

Antiderivada: La funcin f es la antiderivada de f para todo x , por ejemplo:

La funcin 3)( xxf es la antiderivada de 23xxf

La funcin 5)( 3 xxg es la antiderivada de 23xxg

Para encontrar la funcin f teniendo f es necesario efectuar el proceso inverso al de la

derivacin. A este proceso se lo denomina integracin y se denota:

dxxfxf )()(

La antiderivada o Integral es utilizada para resolver diversos problemas, por ejemplo:

Determinar la distancia recorrida de un objeto cuando se sabe la rapidez que lleva.

Determinar la cantidad de habitantes, al tener como dato la tasa de crecimiento de la

poblacin.

Cuando se tiene la aceleracin de un objeto se puede determinar la rapidez

Si se tiene la corriente que pasa por un artefacto, se puede calcular la cantidad de

carga en un tiempo determinado

Si se tiene la densidad lineal se puede determinar la masa del objeto

3)( xxf 23)( xxf

INTEGRAR

DERIVAR

Derivada Antiderivada



2

I Integrales de Funciones Elementales.

Tipo de

Funcin Expresin Algebraicas

Integral

( c es un valor constante)

Constante cdondeAxf )( cAxdxA

Potencia

ndondexxf n)( y )1(n

cn

xdxx

nn

1

1

01

)( 1 xx

xxf cxdxx)ln(

1

Exponencial

0)( adondeaxf x caa

dxax

x

)ln(

xexf )( cedxexx

xaexf )( ce

adxe xaxa

1

1. Complete el siguiente cuadro

Funcin Tipo de Funcin Integral

a) 3)( xxf

b) 5)( xf

c) xxf 5)(

d) xexf )(

e) 1)( xf

f) x

xf1

)(



3

g) 3)( ttf

h) xexf 5)(

i)

x

xg

3

5)(

j) 5)( xxg

k) 1)( xxh

l) x

xh1

)(

m) xexf 3)(

n) 2

1)( xf

o) 43

)( txf

p) xxf 2)(

2. A continuacin identifique el tipo de funcin y luego integre.

a) 5

4)( xg b)

17)( xxf c) 3 5)( xxf

d) xxf )( e) xexf 4)( f)

xxh 9)(



4

II lgebra de Integrales.

Operacin de Funciones Elementales Integral

Multiplicacin por

una constante )(xfAxh dxxfAdxxh )(

suma o resta )()( xgxfxh dxxgdxxfdxxh )()(

3. Complete el siguiente cuadro:

Funcin Operacin Integral

a) 65)( xxh

b) xx exh 5)(

c) xexxh 64)(

4. Determine:

a) dxxx 23 b) dxxx

1

73

c) dxxx 85 d) dxex x23

5. Determinar antiderivada () bajo la condicin dada:

a) 52)( xxf ; 2)0( f b) 20)( xf ; 15)1( f

c) xxexf x 63)( 2 ; 3)0( f d) x

xdx

dy 26 ; 4)1( f

e) x

dx

dy2 ; 443,7)0( f a) 126)( xxA ; 1040)20( A



5

SIGUE PRACTICANDO:

6. Integra las siguientes funciones bajo la condicin dada:

b) 85,27182,5744,0)( 3 tttf ; 75,667)5( f

c) xxC 002,01)( ; 8)8( C

d) tetT 35,07)( ; 15)0( T

e) t

etV8,0

125)( ; 25,341)0( V



GUA N 8 DE CLCULO I

Aplicacin de las Integrales Indefinidas

1. La tasa de crecimiento1 de la deuda nacional de EEUU est dada por la funcin

85,27182,5777,1044,0 23 tttdt

df(millones de dlares por ao), donde t

son los aos trascurridos desde 1980 hasta el 2000.

a. Complete la siguiente tabla

Variables

() = () ()

Significado

Unidad de

Medida

b. Cul es la tasa de crecimiento en el ao 1990?

c. Si la deuda trascurridos 5 aos fue de 1946,7 millones de dlares Cul es la

funcin que estima la deuda nacional de EEUU?

2. La tasa de crecimiento de cierta poblacin est dada por la funcin

te

dt

dp 75,075,0 (miles de habitantes por ao), donde t son los aos

transcurridos.


Variables () ()

Significado

Unidad de

Medida

b. Cul es la tasa de crecimiento transcurridos 9 aos?

c. Si transcurrido un ao la cantidad de habitantes fue de 28.002.117 personas

Cul es la funcin que estima la cantidad de habitantes?

1 Recuerde que la tasa de crecimiento es la razn de cambio de una variable (en este caso la deuda) con

respecto al tiempo.



3. La funcin 7,292,1312,126,49,0)( 234 xxxxxA entrega la aceleracin

instantnea2 (en km/h2) de un ciclista despus de horas de su partida.


Variables () () = () () = ()

Significado

Unidad de

Medida

b. Cul es la aceleracin instantnea que lleva a los 30 minutos de su partida?

c. Si la rapidez instantnea3 del ciclista a las 2 horas de su partida es de 4,01

km/h. Determine la funcin que entrega la rapidez instantnea () del ciclista

trascurridas horas de su partida.

d. Trascurrida 1 hora de la partida, el ciclista se encuentra en el kilmetro 1,41.

Determine la funcin que entrega la posicin () trascurridas horas de la

partida.

4. La funcin xexxA 126)( entrega la aceleracin (en km/h2) de un automvil

que se mueve a lo largo de una carretera en lnea recta, trascurridas x horas.

a. Cul es la aceleracin instantnea que lleva a las 2 horas de su partida?

b. Si pasada 1 hora, el automvil tiene una rapidez instantnea de 5,72 km/h,

determine la funcin que entrega la rapidez instantnea () del automvil

trascurridas x horas de su partida (aproxime la constante c al entero ms

cercano).

c. Despus de 3 horas de la partida, el automvil se encuentra en el kilmetro

28,09. Determine la funcin que entrega la posicin () trascurridas x

horas. (aproxime la constante c al entero ms cercano)

2 La aceleracin instantnea corresponde a la razn de cambio de la rapidez con respecto al tiempo

3 La rapidez instantnea corresponde a la razn de cambio de la rapidez con respecto al tiempo



5. En la produccin de kilgramos de fertilizandte el Costo Marginal ( )

est dado por la funcin xxCM 002,01)( .

a. Determine la funcin costo sabiendo que al producir 50 kilgramos el costo

es $10.052

b. Determine el costo de produccin de 100 kilgramos de fertilizante.

6. Si el ingreso y costo marginal en dlares de la produccin de x unidades diarias

de un producto est dado por las funciones 50)( xIM

y 01,0)( xCM

,

determine:

a. La funcin Costo (), sabiendo que si se producen 700 artculos es costo

ser de US293

b. La funcin Ingreso (), tendiendo como referencia que al vender 1.000

unidades el ingreso ser de 52.200 dlares

c. El costo de produccin de 1.000 unidades y el ingreso de 5.000 productos

7. Un trozo de carne se saca del refrigerador y se deja en el mostrador para que

se descongele. Cuando se sac del congelador, la temperatura de la carne

congelada era de -4C y t horas ms tarde se incrementaba a una tasa de:

tCetT t /7)( 35,0


Variables () ()

Significado

Unidad de

Medida

b. Determine )(tT

c. Interprete la funcin )(tT

d. Cul es la temperatura despus de 2 horas?



8. Un nuevo procedimiento mdico se aplica a un tumor canceroso que tiene un

volumen de 30 cm3, y t das despus se determina que el volumen cambia a la tasa:

da

cmtetV3

006,009,015,0)(


Variables () ()

Significado

Unidad de

Medida

b. Determine )(tV

c. Interprete la funcin )(tV

d. Cul es el volumen luego de 60 das?

9. Una fabricante de pinturas para autos estima que el costo marginal por semana

al producir x litros est dado por la funcin 400)( xCM pesos y el ingreso

marginal por la venta es de xxIM 02,0100)( pesos. Determine e interprete

dxxCM )( y dxxIM )( , sabiendo que el costo e ingreso de vender 100 litros de

pinturas es de $42.000 y $210.000 respectivamente.

10. Una empresa despus de aumentar los valores de sus productos determin que

la variacin de las ventas con respecto al tiempo (razn de cambio) est dada

por la funcin t

etV8,0

100)( , en miles de pesos despus de t meses. Determine

e interprete )(tV sabiendo que 125)0( V

11. Se ha determinado que la poblacin )(tP de una colonia de bacterias t horas

despus de iniciar la observacin, tiene una razn de cambio de:

tt eedt

dP 03,01,0 1520

Si la poblacin era de 200.000 bacterias cuando se inici la observacin.

a. Encuentre )(tP

b. Interprete la funcin )(tP

c. Cul ser la poblacin 12 horas despus?



SIGUE PRACTICANDO:

12. Un fabricante determina que el costo marginal corresponde la funcin

400603)( 2 qqqCM en dlares cuando se producen q unidades. Si el costo

total de produccin de las primeras 2 unidades es 900 dlares. Cul es el costo

total de produccin de las primeras 5 unidades?

13. Un fabricante estima que el costo marginal por producir q unidades de cierto

bien es 48243)( 2 qqqCM dlares por unidad. Si el costo de produccin de

10 unidades es de 5.000 dlares. Cul es el costo de produccin de 30

unidades?

14. Un objeto que parte del reposo, se mueve de manera que su rapidez despus de

t minutos es 2623)( tttV metros por minuto. Cul es la distancia

recorrida durante el segundo minuto?

15. Se ha determinado que dentro de t aos la poblacin de una cierta ciudad

cambiar a razn de 3

2

54 tdt

dP personas por ao. Si la poblacin actual es de

10.000. Cul ser la poblacin dentro de ocho aos?

16. Suponga que se determina que el ingreso marginal asociado con la produccin de

x unidades de un cierto artculo es xxIM 4240)( dlares por unidad.

Determine e interprete dxxIM )( sabiendo (0) = 0.

17. Un fabricante estima que la funcin ingreso marginal es 301412)( 2 xxxIM

euros por unidad cuando se venden x saca jugos.

a. Si el ingreso al vender 12 saca jugos es de 6.500 euros determine la

funcin Ingreso ()

b. cul es el ingreso al vender 14 saca jugos?

Subdireccin Vicerrectora Acadmica Direccin de Servicios Acadmicos

de Servicios a Escuelas

GUA N 9 DE CLCULO I

Ejercicios de Aplicacin: Integrales Definidas

Concepto de integral definida.

Dada una funcin () y un intervalo [, ], la Integral definida corresponde al rea limitada

entre la grfica de (), el , y las rectas verticales de = y = tal como lo muestra el

siguiente dibujo.

La integral definida se representa por b

adxxf )(

: Signo de integracin (): funcin a integrar

a: Lmite inferior de integracin : lmite superior de integracin

: Diferencial de , e indica cul es la variable de la funcin que

se integra

1. Calcule las siguientes integrales definidas.

a) 2

1

4 dxx b) 5

12 dxx c)

0

1

2 )32( dxxx



I Ejercicios de Aplicacin: Valor Promedio

Sea )(xf una funcin continua en el intervalo ba, , entonces el Valor promedio de una funcin entre los valores a y b es:

b

adxxf

abxfVP )(

1))((

2. Se estima que para este ao, el precio del litro de bencina (Gasolina 97) se

comportar de acuerdo a la funcin 79614 mP , donde P es el precio en

pesos en el mes nmero m del ao.

a. Determine dominio Contextuliado

b. Cul es el precio de la bencina en enero y diciembre?

c. Cul ser el precio promedio de la bencina entre marzo y diciembre de

este ao?

3. Durante varias semanas, la autopista central registr la rapidez del trfico que

fluye por la salida a avenida Kennedy. Los datos indican que entre la 1:00 y las

6:00 pm. de un da laboral, la rapidez del trfico en la salida es

aproximadamente 2305,10)( 23 ttttS kilmetros por hora, donde t son las

horas transcurridas despus del medioda. Calcular la rapidez promedio del

trfico entre la 1:00 y las 6:00 pm.

4. Los registros indican que en el mes x del ao, el precio del pollo en los

supermercados de estadounidenses era 192,009,0)( 2 xxxP dlares por

kilgramo. Cul fue el precio promedio de del pollo durante los primeros tres

meses del ao?|

5. Suponga que la temperatura en grados Celsius del filamento de una ampolleta de

bajo consumo depende de los minutos trascurridos (t) desde su encendido,

segn la funcin () = 15 + + 0,062 . Calcular la temperatura promedio entre

los 5 y los 8 minutos de encendido.



II Excedente de consumidores y productores

Excedente de los consumidores: Es la diferencia entre lo que el consumidor est dispuesto a

pagar por la compra del producto y lo que realmente paga. Si se compran 0x unidades de un

artculo a un precio unitario 0y y )(xD es la funcin de demanda el Excedente de los

consumidores se calcula:

= () 0 00

0, donde 0 = (0)

()

: Corresponde a la cantidad total que los consumidores estn dispuesto a pagar por comprar 0 productos

: Corresponde a la cantidad total que los consumidores efectivamente pagan al comprar 0 productos

Excedente de los productores: Es el beneficio adicional que los productores obtienen por la

venta de sus productos, ya que son capaces de venderlos a un precio mayor del que estn

dispuestos a cobrar. Si se venden 0x unidades de un artculo a un precio unitario 0y y )(xO

es la funcin de oferta el Excedente de los productores se calcula:

= 0 0 ()0

0, donde 0 = (0)

()

: Corresponde a la cantidad mnima que los productores estn dispuesto a obtener

por vender 0 productos

: Corresponde a la cantidad total que los productores efectivamente reciben por vender 0 productos

Observacin:

El punto de equilibrio

),( 000 yxP es donde

se iguala la curva de

Demanda y la curva de

Oferta.

Y: Precio Unitario

X: Cantidad de

Unidades



6. La funcin demanda para un artculo est dada por () = 0,012 + 0,4 + 252

miles de pesos por artculo.

a. Cunto est dispuesto a pagar el consumidor por la compra de 100

unidades? Y Cunto efectivamente paga?

b. Determine el excedente de los consumidores cuando el nivel de venta es 100

unidades.

7. La funcin oferta para x ternos est dado por () = 0,32 euros por unidad.

a. Cunto es lo mnimo que est dispuesto a obtener el productor al vender

15 unidades? Y Cunto efectivamente obtiene al venderlos?

b. Determine el excedente del productor cuando el nivel de venta es 15

artculos.

8. La funcin demanda para x televisores LED es () = 4.500 0,8 0,062 dlares

por unidad.

a. Determine el valor unitario al comprar 210 televisores LED

b. Hallar el excedente de los consumidores cuando el nivel de venta es de 210

unidades.

9. La funcin de oferta para cuadernos universitarios es () = 0,212 + 1,4 + 780

pesos por unidad

a. Determine el valor unitario al vender 20 cuadernos

b. Hallar el excedente de los productores cuando el nivel de venta es de 20

unidades.

10. Un fabricante de neumticos estima que los mayoristas demandarn x miles de

neumticos radiales cuando el precio sea 900010)( 2 xxD pesos por

neumtico, y el mismo nmero de neumticos se ofertarn cuando el precio sea

500010020)( 2 xxxO pesos por neumtico. Determine el punto de equilibrio

y calcule el excedente de los consumidores y del productor en dicho punto.



11. Suponga que la demanda y la oferta de un producto en dlares est dada por las

funciones xxD 20000.1)( y xxxO 10)( 2 , respectivamente, donde

corresponde a la cantidad de artculos. Determine el excedente del consumidor y

del productor en el punto de equilibrio.

SIGUE PRACTICANDO:

12. Registros indican que a partir del ao 2010 el precio en pesos del kilogramo de

carne molida en los supermercados TUTOS fue de () = 0,122 0,06 + 1.450

transcurridos meses Cul fue el precio promedio de la carne molida durante

los 3 primeros meses del ao?

13. La cantidad de bacterias presentes en cierto cultivo despus de t minutos de un

experimento era tetQ 05,0000.2)( . Cul fue la cantidad media (promedio) de

bacterias presentes durante los 5 primeros minutos del experimento?

14. La temperatura en el aeropuerto local de una ciudad, indica que t horas despus

de medianoche, fue de () = 0,62 + 5 + 0,2 grados Celsius. Cul fue la

temperatura promedio en el aeropuerto entre las 3:00 a.m. y las 8:00 a.m.?

15. La funcin demanda de los consumidores de cierto artculo es () = 200 32

dlares por unidad. Hallar el excedente de los consumidores si se venden 3

artculos.

16. La funcin de oferta de las agendas 2014, est dada por () = 32 + 1,2 + 12.000

pesos por unidad. Hallar el excedente de los productores cuando el nivel de venta

es de 10 unidades.

17. Registros indican que en el mes del ao 2013, el precio de la carne molida est

dado por () = 1,52 0,02 + 3500 pesos por kilgramo. Cul fue el precio

promedio de la carne molida durante los 4 primeros meses del ao?

18. La funcin de demanda para clavos de media pulgada, est dada por

() = 6000 0,2 0,012 pesos por unidad. Hallar el excedente de los

consumidores cuando el nivel de venta es de 100 unidades.



1

REPASO UNIDAD I

Contenidos Unidad I

Funciones

Dominio contextualizado

Mximos y mnimos

Intervalos de crecimiento

Intervalos de crecimiento

Determinar imagen y pre imagen

Funcin lineal

Graficar funcin lineal

Determinar pendiente

Interpretar pendiente

Funcin cuadrtica

Graficar funcin cuadrtica

Determinar vrtice

Interpretar vrtice

Composicin de funciones

Determinar funcin compuesta

Interpretar funcin compuesta

Lmite de funciones

Calcular lmites al infinito

Interpretar lmites al infinito

1. Un estudio medioambiental indica que el nivel promedio de monxido de carbono en el aire

de una ciudad con un mximo de 6000 habitantes est dada por el modelo matemtico

M(p) =7

10.000p + 2 partculas por milln (ppm), donde p es el nmero de habitantes de la

ciudad.

a) Esboce la grfica de la funcin indicando nombre a los ejes coordenados


c) En la grfica anterior, marque la porcin de recta que modela el problema

d) Determine e interprete la coordenada inicial y final

e) Interprete Pendiente de la funcin



2

2. Las utilidades de una empresa, en millones de dlares, se pueden representar por la funcin:

U(t) =15 18t + 560t3

3 + 6t2 + 7t3 donde t son los aos de antigedad de la empresa.

Cul ser la utilidad de la empresa en el largo plazo?

3. El rendimiento (medido en %) de un alumno que realiza un examen de matemtica, cuya

duracin es de 1 hora 30 minutos viene dado por la funcin

() = 192 962, donde es el tiempo en horas.

a) Esboce la grfica de la funcin considerando los siguientes puntos: Interseccin con los

ejes, vrtice, nombre de los ejes.


c) En la grfica anterior, marque la porcin de la curva que modela el problema

d) Determine e interprtela coordenada inicial y final

e) En qu momento se maximiza el rendimiento del alumno? Indique rendimiento.

f) Escriba e interprete los intervalos de crecimiento y decrecimiento del rendimiento.



3

4. La cantidad de unidades que vender un fabricante depender del precio unitario p en

dlares del artculo y se modela con la funcin ppy3

4400)( , donde 300,21p

Adems se sabe que el ingreso semanal en miles de dlares est dado por la funcin

yyyI 2

1000

1)( , donde 372,0y

a) Determine (()) = I(p)

b) interprete I(p) (recuerde indicar unidades de medida)

5. El % de las utilidades de una empresa hasta el final del dcimo ao de funcionamiento est

dado por la funcin:

() = 0,0065 0,17254 +87

503

177

252 +

48

5,

donde son los aos transcurridos desde su funcionamiento.

a) Escriba el Dominio Contextualizado de la funcin

b) Marque (destaque) en el grfico, la porcin de la curva que modela el problema.

c) Determine e interprete la coordenada final

d) Escriba e interprete los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las utilidades.

e) Dnde se observa el mayor y menor % de utilidad? (indique el valor).



4

6. Supongamos que un jugador de ftbol patea un tiro libre de modo tal que la

trayectoria de la pelota, desde el instante en que se patea, es la parbola

correspondiente a la funcin () = 5

1002 + 0,7 , donde es la altura en metros

cuando esta se encuentra a metros de distancia horizontal del punto en que fue

lanzada.

a) Esboce la grfica de la funcin considerando los siguientes puntos: Interseccin con los

ejes, vrtice, nombre de los ejes.


c) En la grfica, marque la porcin de la curva que modela el problema

d) Determine e Interprete intervalo de crecimiento

e) Interprete Vrtice de la parbola

7. Para estudiar la tasa de aprendizaje de los animales, se realiz un experimento en el

que se enviaba una rata repetidamente a travs de un laberinto. Suponga que el

tiempo en minutos requerido para que la rata atraviese el laberinto se modela con la

funcin T(n) =5n+17

n despus de n intentos.

a) Despus de 3 intentos En cunto tiempo se estima que atraviese el laberinto?

b) Determine )(lim nTn

c) Interprete el valor del )(lim nTn



5

8. Se analizaron las ventas anuales de una empresa y se determin que la funcin () =

160 + 30 es el mejor modelo matemtico que estima los ingresos en miles de euros por las

ventas de la empresa, donde t representa el tiempo medido en aos a partir del ao 1995.

a) Esboce la grfica de la funcin indicando nombre a los ejes coordenados


c) Determine e interprete la coordenada inicial

d) Interprete Pendiente de la funcin

9. En una estancia los fardos de alfalfa cosechados estn dados por la funcin () =221.250+5.000

5.000 donde es el nmero de trabajadores. El ingreso total () en pesos que se

recibe por la venta de fardos de alfalfa est dado por () = 950

a) Determine (()) = I(t)

b) interprete I(t)

c) Determine e interprete I(2.500)

10. El rendimiento (en kilogramos) de un deportista de Halterofilia (levantamiento

olmpico de pesas) que entrena 6 horas en forma continua se puede modelar por la

funcin () = 23 242 + 72 + 30, donde son las horas de entrenamiento.

a) Escriba el dominio contextualizado de la funcin.

b) Escriba e interprete los intervalos de crecimiento y decrecimiento

c) En qu momento se obtiene el mximo rendimiento? y el mnimo? Escriba

rendimientos.



6

11. Se estima que dentro de t aos, la poblacin de un tipo de insectos ser de

P(t) =40

1+20e0,6t en millones

a) Cul es la poblacin actual?

b) Qu le suceder a la poblacin a largo plazo?

12. El precio por kilgramo, en pesos, de la palta Chilena depende de la cantidad

producida durante la temporada, esto segn la funcin P(C) = 1300 4C donde la

cantidad est en miles de unidades.

La temperatura promedio T, en grados Celsius, durante la temporada, influye en la

cantidad de paltas producidas de acuerdo a la funcin C(T) = T2

3+ 10T + 5 (miles

de unidades).

a) Determine (()) = ()

b) Interprete ()

c) Cul sera el precio del kilgramo de palta, si la temperatura promedio durante la

temporada fue de 10C?



7

13. El porcentaje de inters de un Depsito a plazo que estuvo vigente por 6 aos sufre

diversas modificaciones por los giros y abonos realizados. El % de inters est dado

por I(x) = 0,002x5 3

400x4 0,05x3 + 0,095x2 + 0,3x + 0,2 donde x son los aos

transcurridos desde su apertura.

a) Escriba el dominio contextualizado de la funcin

b) Determine coordenada final e inicial. Interprete los resultados

c) En qu ao se obtiene el mayor inters? y el mnimo? Indique ambos

porcentajes de inters.

14. Para calcular la calificacin de un alumno en una prueba, cuyo puntaje mximo es de

30 puntos, se utiliza la funcin N(p) = 0,2p + 1.

Donde: N(p): Nota o calificacin p : Puntaje

a) Esboce la grfica de la funcin indicando el nombre de los ejes coordenados

b) Escriba dominio Contextualizado de la funcin

c) Determine pendiente de la funcin

d) Interprete pendiente



1

REPASO UNIDAD II

Contenidos Unidad II

Derivada como razn de cambio

Tasas de Crecimiento

Rapidez Instantnea

Aceleracin Instantnea

Ingreso y Costo Marginal

Mximo y mnimos

Puntos crticos

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Valores mximos y mnimos

Problemas de Optimizacin

Ejercicio N1

Se desea construir un recipiente cilndrico de conservas con tapa, que tenga una

superficie total de 471 cm2. Determine sus dimensiones de modo que tenga el mayor

volumen posible

Ejercicio N2

De acuerdo a estimaciones que ha realizado la Organizacin de las Naciones Unidas

(ONU) se puede estimar la poblacin humana mundial en millones de habitantes con la

funcin () = 836,870,0098 , donde son los aos transcurridos a partir de 1.800.


Variables () ()

Significado

Unidad de

Medida

rea = 6,28 2 + 6,28

Volumen = 3,14 2

Donde correspondel al radio del cilindro y a la

altura



2

b. Cul es la poblacin estimada para inicios del ao 2014?

c. Determine la funcin ()

d. Determine e Interprete () a inicios del ao 2015

Ejercicio N3

En una pgina web se publica la oferta de un nuevo producto. La cantidad de personas

que ingresa a la pgina a ver esta oferta, vara segn la funcin

() = 3 182 + 81 + 50 donde es el nmero de personas conectadas despus de

horas que el aviso es publicado. Si la promocin se mantiene en lnea por slo 10

horas, responda:

a. Escriba dominio contextualizado de la funcin

b. Determine intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcin, considerando

dominio contextualizado.

c. Despus de cuntas horas, la cantidad de personas conectadas a la pgina es

mxima? Y la mnima? (indique cantidad de personas)

Ejercicio N4

Un tren se mueve siguiendo a lo largo de un riel en lnea recta, de tal manera, que su

posicin en kilmetros despus de t horas desde el punto de partida, est dada por la

funcin D(t) = 38 3t2 + 15t3 .


Variables () () ()

Significado

Unidad de

Medida

b. Determine e interprete D(1,5)

c. Determine e interprete D(0,6)



3

Ejercicio N5

Una empresa importadora de telas estima que sus costos () e ingresos () ambos

en miles de euros, por producir y comercializar toneladas de tela a travs de la zona

franca de Iquique, se puede estimar con las siguientes funciones:

() = 0,0013 + 2 y () = 100 0,092

a. Complete la siguiente tablas


()

()

()

()

b. Determine las funciones IM(x) y CM(x)

c. Determine e Interprete IM(200) y CM(200)

Ejercicio N6

Determina la derivada de las siguientes funciones

a) () = 2+7 + 133 b) xe

xxxf

3)(

2

c) )log()( xexfx d) tetP 15500.1)(



4

Ejercicio N7

Un estudio determin que la cantidad de habitantes (en millones) de una isla se puede

calcular con la funcin () =4+288

+24, donde son los aos transcurridos a partir del

ao 2000.


Variables () ()

Significado

Unidad de

Medida

b. Determine e interprete H(2)

c. Determine e interprete H(2)

Ejercicio N8

Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de

500.000 cm3. Encuentre las dimensiones de la

caja que minimicen la cantidad de material

usado.

Ejercicio N9

Un estudio arroj que el rendimiento de un alumno (en %) antes de realizar un

examen que estudia desde una hora hasta 8 horas como mximo se comporta de

acuerdo a la funcin 35143

11

4

1)( 234 xxxxr , donde x es la cantidad de horas

que estudia durante 7 das antes de la evaluacin. Cuntas horas le conviene

estudiar por da para obtener el mayor rendimiento? y el menor rendimiento?

rea = 4 + 2

Volumen = 2 .



5

Ejercicio N10

El ingreso y costo en miles de dlares de la produccin de x unidades diarias de un

producto est dado por las funciones xxyI 2

1000

1)( y () = 2 +

1

1002 + 250.

a. Determine las funciones Ingreso Marginal y Costo Marginal I(x) y C(x)

b. Calcular e interpretar (150) y (150)

Ejercicio N11

Un grupo de estudiantes participa de una cicletada que inicia en el centro de Santiago

hacia el sur del pas. La funcin 12100

1)( 2 ttS entrega la posicin de un ciclista (en

kilmetros) despus de minutos de su partida. Determine e Interprete

(30) (30)

Ejercicio N12

Un granjero que dispone de 480 metros de alambre para cercar un rea rectangular y

luego dividirla en tres corrales iguales con un cercado paralelo a un lado del rectngulo

Cul es el rea ms grande posible para cada uno de los tres corrales?

Ejercicio N13

Supongamos que el rendimiento (medido en %) de un alumno que realiza un examen

de matemtica, cuya duracin es de 1 hora 30 minutos viene dado por la funcin

() = 192 962, donde es el tiempo en horas.

a. Determine e interprete intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcin

b. En qu momento se obtiene el mximo rendimiento del alumno? (indique valor)

Ten en cuenta:

Permetro del rea rectangular = 4 + 6

rea de 1 corral =



6

Ejercicio N14

El ingreso total de una empresa en pesos al vender x pendrives est dado por la

funcin I(x) = 850x + 0,04x2 .


Variables () ()

Significado

Unidad de

Medida

b. Determine la funcin I()

c. Determine e interprete I`(2.000)

Ejercicio N15

Un proyectil es disparado directamente hacia arriba desde el suelo. Despus de

trascurridos segundos, su distancia en metros por encima del suelo est dada por la

funcin D() = 216 182.


Variables () () ()

Significado

Unidad de

Medida

b. Determine e interprete D(4)

c. Determine e interprete D`(4)

d. Determine e interprete D``(4)

Ejercicio N16

Se determin que la funcin () = 160 + 30 es el mejor modelo matemtico que

estima los ingresos en millones de euros por las ventas de la empresa, donde t

representa el tiempo medido en aos a partir del ao 1995. Determine la razn de

cambio de los ingresos con respecto al tiempo a inicios del ao 2005.



1

REPASO UNIDAD III

Contenidos Unidad III

Aplicacin Integral Indefinida

Tasas de Crecimiento

Rapidez y Aceleracin Instantnea

Ingreso y Costo Marginal

Aplicacin Integral Definida

Valor Promedio

Excedente del Consumidor

Excedente del Productor

Ejercicio N1

La tasa de crecimiento de cierta poblacin trascurrido aos est dada por la funcin

dH

dt=

500

3t

2

3 + 500 (personas/ao)


Variables

= () ()

Significado

Unidad de

Medida

b) Determina la funcin H(t) considerando que actualmente la poblacin es de 2.500

personas.

c) Interprete la funcin ()

d) Cul ser la poblacin dentro de 5 aos?



2

Ejercicio N2:

Un tren a pilas se mueve por un riel horizontal de manera que su rapidez instantnea

a los minutos est dada por R(t) = 3 + 0,2t + 0,5t2 /


Variables () () = ()

Significado

Unidad de

Medida

b) Si el tren comienza su recorrido a 2 metros del punto de partida, determine la

funcin Posicin (o distancia) P(t)

c) Transcurridos 3 minutos, a qu distancia se encontrar del punto de partida?

Ejercicio N3:

La funcin oferta para cantidad de calculadores vendidas est dada por la funcin

O(x) =1

6000x2 + 6.200 pesos/calculadora.

Determine el excedente del productor considerando un nivel de venta de 100

calculadoras.

Ejercicio N4:

Se analiza la temperatura en una noche de invierno en Santiago, a partir de la

medianoche y hasta las 7 de la madrugada. La temperatura en grados Celsius, est

dada por la funcin T(h) = 0,41h2 3,24h + 6, donde h son las horas transcurridas

desde la medianoche.

a) Cul fue la temperatura a las 4 de la madrugada?

b) Determine la temperatura promedio durante todo el anlisis



3

Ejercicio N5:

Una empresa importadora estima que su ingreso marginal al vender artculos se

obtiene a partir de la funcin IM(x) = e0,2x + 0,02x + 1 dolares por unidad


Variables () () = ()

Significado

Unidad de

Medida

b) Encuentra la funcin ingreso I(x), teniendo en cuenta que el ingreso al vender 40

productos, corresponde 61 dlares.

c) Interprete la ingreso I(x)

Ejercicio N6:

Un automovilista sale de su casa y se mueve a lo largo de una carretera en lnea recta,

de modo que la rapidez en metros por segundo, est dada por la funcin

3820)( ttv . Si al ingresar a la carretera, donde se realiza la primera medicin, el

automovilista se encuentra a 100 metros de su casa. A qu distancia de su casa se

encuentra a los 10 segundos de haber entrado a la carretera?

Ejercicio N7:

Se ha determinado que dentro de t aos, la poblacin de cierta comunidad cambiara a

razn de: t

edt

dP 75,0135 . Si la poblacin actual es de 25.180 habitantes.

a) Determine ()

b) Interprete la funcin () y

c) Obtenga la poblacin dentro dentro de 3 aos



4

Ejercicio N8:

Una empresa determin que t meses despus de aumentar los valores de sus

productos, las ventas de la compaa variaran a razn de: t

edt

dV 8,0960 miles de

pesos por mes. Si al momento de modificar los precios las ventas de la empresa eran

de $1.500.000.

a) Determine ()

b) Interprete la funcin ()

c) A cunto ascienden las ventas a los 4 meses de la modificacin de los valores?

Ejercicio N9:

La funcin de oferta de q bolsos playeros est dada por () = 1,2 2 + 130 pesos por

unidad. Hallar el excedente de los productores cuando el nivel de ventas es de 50

bolsos.

Ejercicio N10:

Suponga que la temperatura en grados Celsius de una ampolleta de bajo consumo

depende del tiempo t desde su encendido, medido en minutos, segn la funcin

() = 12 + + 0,032.Calcular la temperatura promedio entre los 4 y los 8 minutos de

encendido.

Ejercicio N11:

Una empresa importadora estima que su costo marginal CM(x) en miles de euros, por

producir x toneladas de tela se puede estimar con la funcin CM(x) = 100

0,18x. Determine la funcin costo C(x) teniendo en cuenta que el costo de producir 20

toneladas corresponde a 2.264.000 euros

Ejercicio N12:

La funcin demanda para x televisores LCD est dada por D(x) = 3.000 0,4x 0,06x2

dlares por unidad. Hallar el excedente de los consumidores cuando el nivel de venta

es de 80 unidades.



5

Ejercicio N13:

Se ha medido que un auto de carrera acelera de tal modo que al salir de una curva su

rapidez, en metros por segundo, queda representada por la funcin:ttv 48120)( .

Qu distancia ha recorrido a los dos segundos de haber salido de la curva?

Ejercicio N14

Durante varios meses una distribuidora de artculos de lnea blanca registr la rapidez

con que sus productos se venden. Los datos indicaron que entre el primer mes y el

sexto mes de este ao la cantidad de unidades por mes que se venden es

aproximadamente ttttV 4812)( 23 donde t es el nmero de meses a partir de

enero. Calcular la rapidez promedio con que los productos se venden entre el primer y

sexto mes del ao.

Ejercicio N15

Una fbrica de parabrisas para automviles ha calculado que el ingreso marginal,

expresado en pesos, al fabricar x unidades est dado por la funcin () =

0,32 6 + 15.000. Si el ingreso por vender 20 parabrisas es de 500.000 pesos, cul

es el ingreso por vender 50 unidades?

Ejercicio N16

Las funciones de oferta y demanda en pesos por unidad para x pendrives marca Lady-

Giga estn representadas por () = 4 + 2.000 y () = 8.000 2. Hallar el excedente

de los consumidores en el equilibrio de mercado (Oferta = Demanda).

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