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Departamento de Ingeniería Mecánica
Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Bilbao
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PRÁCTICAS
MECÁNICA
APLICADA
2º CURSO
Nombre: Raul Fernandez Antolin
Grupo: 1
Departamento de Ingeniería Mecánica
Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Bilbao
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PRACTICA Nº 1
EQUILIBRADO DE ROTORES
Representación esquemática de diferentes tipos de desequilibrio
OBJETIVO:
Plantear las ecuaciones del rotor y verificar las condiciones de equilibrio dinámico y estático.
Comprobar los efectos del desequilibrio (fuerzas de reacción en los apoyos) en el movimiento del
rotor.
DESARROLLO DE LA PRÁCTICA:
a) INTRODUCCIÓN TEÓRICA:
Se plantean las siguientes configuraciones de masas en el rotor:
Configuración 1 Configuración 2
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Para cada de estas configuraciones se debe calcular si el rotor está o no equilibrado.
Recordar que para estudiar el equilibrio de un rotor se debe estudiar tanto el equilibrio estático como
el equilibrio dinámico.
Condición de equilibrio estático:
El centro de gravedad del sistema debe encontrarse en el eje de rotación, 0,0 GG YX .
M
yMY
M
xMX
ii
G
ii
G
;
Condición de equilibrio dinámico:
El eje de giro debe ser eje principal de inercia, X YC 0, C 0 .
iiiYiiiX zxMCzyMC ;
b) CALCULO TEÓRICO
A la hora de realizar los cálculos teóricos, cada uno de los bloques colocados sobre el rotor se
considerarán como una masa M colocada a una distancia L en perpendicular al eje para cada una de
las diferentes configuraciones como se muestra a continuación.
Configuración 3
Configuración 1 Configuración 3 Configuración 2
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L
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CONCLUSIONES:
Desequilibrio estático:
Cubierta protectora
Interruptor de
seguridad
Interruptor marcha Apoyos
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Cuando un eje esta desequilibrado estáticamente el eje principal de inercia se desplaza en paralelo al
eje de giro.
Esta condición se obtiene anulando el valor de las fuerzas de inercia en el sistema de ecuaciones
obtenido de la aplicación del teorema de la cantidad de movimiento al rotor.
Por lo tanto el equilibrio estático anula el efecto de las fuerzas de inercia en los apoyos del rotor.
Desequilibrio dinámico:
Las condiciones que se deben cumplir para el equilibrio dinámico se obtienen anulando los
momentos de las fuerzas de inercia en el sistema de ecuaciones obtenido de la aplicación del teorema
del momento cinético al rotor.
Por lo tanto, el equilibrio dinámico anula el efecto de los momentos de las fuerzas de inercia en los
apoyos del rotor.
Ambos tipos de equilibrios/desequilibrios son independientes entre si, la existencia de uno de ellos
no implica obligatoriamente la existencia del otro.
COMENTARIOS:
El equilibrado de ejes y rotores es una práctica habitual y necesaria por los claros efectos nocivos
que tiene el desequilibrio de estos elementos sobre los apoyos como se ha podido comprobar en el
desarrollo de la práctica.
Según la responsabilidad o importancia de la pieza en cuestión es necesario un grado de equilibrado
determinado. El grado de desequilibrio máximo admisible se mide en Nm utilizando unidades del SI.
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La tabla anterior indica el grado de calidad de desequilibrio exigible para diferentes tipos de piezas, y
está extraída de la norma internacional ISO 1940/1 que regula el equilibrado de rotores.
Como norma general, a medida que se aumenta la velocidad de giro el equilibrado se debe realizar
con mayor precisión.
Todas las consideraciones anteriores son válidas para ejes o rotores rígidos, donde, por convenio, se
considera que un eje es rígido cuando su velocidad de giro está por debajo de la primera frecuencia
natural. Alternativamente, se denominan ejes flexibles a aquellos ejes en los que el desequilibrio está
influido por la velocidad de rotación.
Hay diferentes razones para que sea necesario el equilibrado de un eje o rotor, entre ellas:
Vida útil: Cuando un eje está desequilibrado, los rodamientos, los apoyos, la carcasa y la cimentación
de la máquina reciben una carga variable y sufren mayor desgaste. Los productos mal equilibrados
suelen tener una vida bastante más corta.
Seguridad: Las vibraciones pueden aflojar los tornillos y las tuercas, hasta soltar las fijaciones. Los
interruptores y las conexiones eléctricas pueden resultar dañados por las vibraciones. Por tanto, el
desequilibrio puede influir negativamente en el funcionamiento correcto y seguro, incrementando el
peligro para personas y máquinas.
Calidad: Trabajando con una máquina manual con altas vibraciones el resultado no tendrá mucha
precisión y el esfuerzo será mayor. También en máquinas-herramienta, las vibraciones influyen
negativamente en el resultado. Una rectificadora o máquina-herramienta de altas revoluciones mal
equilibrada produce superficies con una mala calidad que tendrán que ser corregidas posteriormente,
generando así pérdidas económicas.
Competitividad: Un funcionamiento suave sin ruidos siempre será también una señal de calidad. De
esta manera, un desequilibrio en una máquina bajará considerablemente su competitividad. Un
electrodoméstico vibrando en exceso o un coche ruidoso no tendrán éxito en el mercado.
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PRÁCTICA Nº 2
PEQUEÑAS OSCILACIONES
Secuencia de movimientos de un péndulo doble plano sometido a pequeñas
oscilaciones
OBJETIVO:
1. Calcular teóricamente las frecuencias naturales de oscilación alrededor de la posición de
equilibrio de un péndulo doble plano.
2. Comprobar en la práctica los modos de oscilación correspondientes a las frecuencias
naturales calculadas anteriormente.
DESARROLLO DE LA PRÁCTICA:
a) INTRODUCCION TEÓRICA:
Para calcular las frecuencias naturales del sistema se deben despejar los valores de del siguiente
determinante: 02 MK
Para ello se deben calcular las matrices de rigidez y de masas del sistema a partir de las expresiones
de la energía cinética y energía potencial reducidas.
M, L
M, L
Representación esquemática
del sistema de la práctica
M = 38 gr.
L = 290 mm
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1. Comprobar el primer modo de oscilación del sistema a esta frecuencia natural.
2. Repetir el experimento introduciendo el valor de la segunda frecuencia natural calculada y
comprobar el segundo modo de oscilación del sistema.
CONCLUSIONES:
Cuando la frecuencia de la onda sinusoidal con la que se mueve el motor acoplado al sistema esta
alejada de las frecuencias naturales, se puede observar la siguiente representación de los ángulos
(rojo) y (azul) en función del tiempo:
Cuando se selecciona la primera frecuencia natural el movimiento del mecanismo se representa de la
siguiente forma:
Escala de Hz
Función sin
Selección valor Hz
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Cuando se selecciona la segunda frecuencia natural el movimiento del mecanismo se representa de la
siguiente forma:
La solución del determinante para despejar los valores de corresponde a la solución algebraica del
problema de valores y vectores propios para la matriz dinámica [B].
BKM 1
Puesto de las matrices de rigidez y de masas son matrices de dimensión 2x2 existirán dos vectores
propios (modos de oscilación) que corresponderán a otros dos valores propios (frecuencias
naturales).
COMENTARIOS:
Existirán tantas frecuencias naturales y modos de oscilación como grados de libertad (coordenadas
generalizadas) en el sistema
En la práctica se observa que las amplitudes de las oscilaciones del sistema aumentan
progresivamente cuando se trabaja en las frecuencias naturales debido al fenómeno de resonancia
(autoalimentación de la oscilación) que se produce.
Es conveniente diferenciar el fenómeno de oscilación alrededor de una posición de equilibrio del
fenómeno de vibración ya que en el primero solamente hay una conversión de energía cinética en
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energía potencial mientras que en el segundo caso se producen deformaciones en los sólidos del
sistema.
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PRACTICA Nº 3
GIRÓSCOPOS
OBJETIVO:
1. Comprobar experimentalmente el efecto giroscópico y el efecto de precesión inducida.
2. Modelizar los experimentos para plantear las ecuaciones que describen los fenómenos físicos
observados.
3. Para realizar la práctica se utilizarán dos elementos, una rueda de bicicleta y una maqueta de
giróscopo didáctico.
DESARROLLO DE LA PRÁCTICA:
A) INTRODUCCIÓN TEÓRICA:
La rueda de bicicleta, o cualquier otro cuerpo rígido rotando en torno a un eje, es un giróscopo. Los
giróscopos tienen dos importantes características:
- Inercia giroscópica: una propiedad del giróscopo es la de resistirse a cambiar la dirección del eje de
rotación. Esta propiedad del giróscopo se deriva la ley de conservación del momento cinético que,
aplicada a una rueda, viene a decir que si está girando tiende a seguir girando indefinidamente con la
misma velocidad angular y en torno al mismo eje.
- Precesión giroscópica: Si se aplica una fuerza sobre el giroscopio que de lugar a un par de fuerzas,
su eje tiende a moverse en una dirección perpendicular a la fuerza aplicada.
Dibujo giróscopo de Foucault Diferentes tipos de giróscopos
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B) CÁLCULO TEÓRICO:
El objetivo es representar dibujando en cada uno de los elementos (rueda de bicicleta y maqueta) los
ejes, los ángulos y las velocidades tal y como se han visto en la teoría de forma que sean válidas las
ecuaciones que se presentan de forma general a continuación:
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cos
z
y
x
sen
Descripción del movimiento de un giróscopo simétrico de Euler-Poinsot:
.cos
.
.
cteI
H
cteI
H
cte
z
o
y
o
Descripción del movimiento de un giróscopo de Euler-Lagrange:
cos22
cos
2
1
coscos
cos
coscos
cos
2
2
2
2
2
2
2
lgmI
A
senI
ABIE
senI
AB
I
A
senI
AB
IsenIB
IA
zy
x
yz
y
zy
z
Z1
X1
Y1
= nutación
= rotación propia
= precesión
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C) DESARROLLO PRÁCTICO:
RUEDA DE BICICLETA:
1.- Inducir una rotación propia en la rueda, sujetarla por el eje central y comprobar el momento
giroscópico que aparece al intentar introducir nuevas rotaciones con el movimiento de la muñeca.
Sentado sobre una silla con ruedas, inducir una rotación propia en la rueda, sujetarla con ambas
manos por el eje central e intentar girarla según muestra la imagen, comprobar el movimiento de
precesión inducido que hace girar la silla.
2.- Introducir una cuerda por el orificio del eje y suspender la rueda en reposo. Comprobar el efecto
del momento del peso. A continuación, inducir una rotación propia en la rueda mediante otra cuerda
y el tambor del eje. Suspender de nuevo el sistema de la primera cuerda, y comprobar cómo el par
giroscópico compensa el momento del peso pero induce una precesión.
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MAQUETA GIRÓSCOPO
1.- Una vez equilibrado el mecanismo, aplicar una velocidad de rotación al disco y liberar el sistema
con cuidado de no introducir velocidad inicial en ninguno de los ejes y observar el movimiento.
Realizar el experimento liberando el mecanismo con diferentes ángulos respecto de la vertical.
En cada uno de los casos anteriores, pasado un tiempo, girar levemente la base del giróscopo y
observar el movimiento. Repetir el experimento haciendo girar el disco en los dos sentidos.
2.- Colocar la masa en diferentes posiciones para conseguir que el mecanismo este desequilibrado.
Aplicar una velocidad de rotación al disco y liberar el sistema con cuidado de no introducir velocidad
inicial en ninguno de los ejes y observar el movimiento.
Liberar el sistema desde una posición de 120º aproximadamente.
Repetir el experimento introduciendo un pequeño giro en el sistema en la dirección del movimiento
de precesión a la hora de liberar el sistema.
Repetir el experimento como en el caso anterior pero introduciendo esta vez un pequeño giro en el
sentido opuesto a la precesión.
Desplazar la pesa a lo largo
del eje para conseguir las
diferentes configuraciones del
giróscopo
Base
Disco
Eje
Inclinación respecto
de la vertical
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CONCLUSIONES:
Rueda bicicleta:
El efecto de precesión inducida en una rueda cuando se introduce un par de fuerzas es el causante de
la estabilidad en una bicicleta o motocicleta.
Como se puede observar en las imágenes, al intentar inclinar la bicicleta hacia la izquierda, se
produce una variación del momento cinético, que induce una precesión que lleva a la rueda de la
bicicleta a girar hacia la izquierda también.
Además el par giroscópico ayuda a equilibrar el momento producido debido al peso al inclinarse la
bicicleta.
Todas estas afirmaciones se constatan mejor en una motocicleta ya que la velocidad de giro de la
rueda es mayor y por lo tanto también son mayores los efectos explicados.
H = I. H = I.
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Maqueta Giróscopo:
1.- Si el giroscopio está equilibrado (Giroscopio de Euler-Poinsot), es decir, si su centro de gravedad
coincide con el punto fijo, el momento de la fuerza de gravedad respecto al punto fijo es nulo. En
estas condiciones, si el disco del giroscopio se pone en rotación, la dirección del momento angular
coincidirá con la de su eje.
El giróscopo deberá permanecer en movimiento estacionario (velocidad de precesión y rotación
constante y nutación cero) independientemente del ángulo del eje respecto de la vertical.
Cuando se gira la base del giróscopo se introduce un par de fuerzas en el sistema por lo que aparece
inducido un movimiento de precesión como respuesta a la variación del momento cinético producida.
El sentido del movimiento de precesión dependerá del sentido de giro del disco (rotación propia).
2.- Si el giróscopo está desequilibrado (Giroscopio de Euler-Lagrange), es decir, si su centro de
gravedad no coincide con el punto fijo, el momento de la fuerza de gravedad respecto al punto fijo
no es nulo por lo que aparece un movimiento de nutación inducido además de un movimiento de
precesión.
Si representáramos la intersección del extremo del eje de giro con una superficie esférica cuyo centro
fuera el punto fijo del giróscopo obtendríamos las siguientes curvas para cada uno de los diferentes
movimientos de nutación que se han realizado en la práctica.
Los paralelos que aparecen dibujados en cada caso se corresponden con los valores máximos y
mínimos del ángulo de nutación, 1 y 2, respectivamente
En el primer caso se observa como la precesión se anula para el valor 1, en el segundo caso el
movimiento de precesión mantiene constante el sentido en todo momento, mientras que en el tercer
caso, el movimiento de precesión cambia de sentido en un ángulo , comprendido entre 1 y 2.
La amplitud de la nutación será menor cuanto mayor sea la velocidad de rotación propia.
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2
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COMENTARIOS:
Debido a las propiedades que se han constatado en esta práctica de los giróscopos, este tipo de
elementos tiene muchas aplicaciones en diferentes áreas:
a) Dispositivos inalámbricos para informática y realidad virtual.
b) Estabilizadores en barcos y motocicletas.
c) Girocompases y sistemas inerciales para navegación marina y aérea (piloto automatico) y
guiado en balística.
d) Juguetes
Los giróscopos mecánicos han evolucionado a giróscopos eléctricos donde la velocidad de rotación
necesaria en el giróscopo se consigue a través de un motor eléctrico.
Giroscopio montado en el
interiore del casco de un
barco en 1910
Ratón inalámbrico
Mando Wii
Horizonte artificial de un avión
“Powerball”
Giroscopio en un misil Exocet (5)
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Éstos a su vez han evolucionado para dar lugar a giróscopos electrónicos o piezoeléctricos que se
utilizan ya en la mayoría de las aplicaciones, las ventajas de estos últimos son obvias por el volumen
que ocupan, por el bajo peso, por no tener partes móviles, por la velocidad de respuesta que tienen y
sobre todo por su bajo precio.
Los giróscopos electrónicos son dispositivos de estado sólido basados en la aceleración de Coriolis.
En ellos, un material piezoeléctrico se hace oscilar a la frecuencia de resonancia, de modo que al
girar, la fuerza de Coriolis, que es proporcional a la velocidad angular, provoca la aparición de una
diferencia de potencial debida a la desviación del prisma, permitiendo la medida de la velocidad de
rotación
Estos dispositivos se utilizan para controlar servomotores y están muy extendidos por ejemplo en el
mundo del aeromodelismo.
Últimamente se han desarrollado además giróscopos ópticos, en base a aplicaciones láser y de fibras
ópticas:
Giroscopio de fibra óptica: están formados por una bobina de fibra óptica por donde se hace
circular dos haces láser en sentidos opuestos para generar un patrón de interferencia, siendo
el desfase proporcional al desplazamiento angular o giro de la bobina.
Giróscopo láser: en este caso el haz láser se mueve en el interior de una cavidad circular
formada por tres o cuatro espejos.
Ambos tipos de giróscopos se basan en el “efecto Sagnac” que consiste en que una onda
electromagnética que se mueve en un camino cerrado, que está rodeada por un área finita, es
influenciada por la velocidad angular del sistema en el cual está incluida esa área. Son los giróscopos
que tienen mayor precisión.
Todos estos elementos se utilizan como sensores de velocidad angular.
Giroscopio eléctrico Giroscopio eléctronico