GULYS JNOS RCZ MIHLY TOMCSNYI PTER VARGA ANTAL

J

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / .

-F,

-F2

Panem-Akkord

F I Z I K AEnnyit kell(ene) tudnod

Gulys-Rcz-Tomcsnyi-Varga

Gulys Jnos-Rcz Mihly-Tomcsnyi Pter-Varga Antal

FIZ IK AEnnyit kell(ene) tudnod

AKKORD PANEM

Harmadik kiads

Lektorlta: dr. Honyek Gyula, dr. Fejs Csaba A bortt tervezte: Vaisz Gyrgy

Felels szerkeszt: Koloszr Olga Mszaki szerkeszt: rdi Jlia

Gulys Jnos, Rcz Mihly, Tomcsnyi Pter, Varga Antal, 1994

Ez a knyv az Akkord Kiad Kft. s a Panem Kft. kz^ kiadsban kszlt

A kiadsrt felel a Panem Kft. gyvezetje Budapest, 1995

A PANEM-knyvek megrendelhetk a 06-30/488-488 hvszm W ESTEL 900 GSM mobiltelefonon,

illetve az 1385 Budapest, Pf. 809 levlcmen is.

Postacm: Panem Kft.1385 Budapest, Pf. 809

ISBN 963 545 046 X

TARTALOM

Bevezets................................................................. .......111. Mechanika.............................................................. .......131.1. A tmegpont kinematikja .......131.1.1. A mozgsok lersa .......131.1.2. Az egyenes vonal egyenletes mozgs .......151.1.3. Az egyenes vonal egyenletesen vltoz mozgs . 181.1.4. A szabadess .......201.1.5. N em nulla kezdsebessg, egyenes vonal

egyenletesen vltoz mozgs .......221.2. A tmegpont dinamikja....................................... .......241.2.1. Ermr ksztse .......251.2.2. Newton I. trvnye .......261.2.3. Newton II. trvnye .......271.2.4. Newton III. trvnye .......291.2.5. Nevezetes erliatsok. .......301.2.6. Srldsi jelensgek .......321.2.7. Az impulzus .......331.3. sszetett mozgsok .......341.3.1. Az egyenes vonal egyenletes mozgsok

sszettele .......341.4. Munka s az energia .......431.4.1. A munka fogalma .......431.4.2. Specilis munkavgzsek .......461.4.3. A teljestmny .......491.4.4. Az energia .......501.4.5. A hatsfok .......531.5. A pontrendszerek mozgsnak lersa .......531.5.1. A pontrendszer........................................................ .......53

TARTALOM

1.5.2. A pontrendszer impulzusa,az impulzusmegmarads t te le ............................. 55

1.5.3. A pontrendszer tmegkzppontja....................... 581.5.4. tkzsek................................................................ 601.5.5. Munkattel a pontrendszerre................................. 631.6. A tmegvonzs........................................................ 641.6.1. Kepler trvnyei..................................................... 641.6.2. A bolygmozgs dinamikai lersa....................... 661.6.3. Az ltalnos tmegvonzs trvnye...................... 681.6.4. A tehetetlen s slyos tm eg................................. 701.6.5. A gravitcis ertrben mozg test....................... 711.7. Merev testek egyenslya........................................ 711.7.1. A merev test fogalma............................................ 711.7.2. A forgatnyomatk................................................ 721.7.3. Merev testre hat erk sszegzse......................... 731.7.4. Merev test egyenslynak felttele....................... 771.7.5. Egyszer gpek...................................................... 791.7.6. Egyenslyi helyzetek............................................... 841.8. A forgmozgs........................................................ 861.8.1. Rgztett tengely krl forg merev te s t.............. 861.8.2. A forgmozgs alaptrvnye................................. 891.8.3. A forgsi energia..................................................... 911.8.4. A perdlet................................................................ 921.8.5. A halad s a forgmozgs analgija................... 931.9. Deformlhat testek mechanikja......................... 931.9.1. Rugalmas nyjts s sszenyoms......................... 941.9.2. Hajlts, nyrs, csavars........................................ 961.10. Folyadkok s gzok mechanikja....................... 991.10.1. A nyoms egyenletes terjedse folyadkokban ... 991.10.2. A hidrosztatikai nyoms........................................ 1011.10.3. A felhajter s Arkhimdsz trvnye................ 1021.10.4. Folyadkok s gzok ram lsa.............................. 1051.10.5. A kzegellenlls................................................... 1091.11. A rezgmozgs........................................................ 1111.11.1. A rezgmozgs kitrs-id fggvnye,

kapcsolat a krmozgssal....................................... 1111.11.2. Egyirny rezgsek sszettele.............................. 1141.11.3. Egymsra merleges rezgsek sszettele............ 117

TARTALOM

1.11.4. A rezgmozgs dinamikai lersa .....1191.11.5. A csillaptott rezgs .....1241.11.6. A knyszerrezgs s a rezonancia........... .....1251.11.7. Csatolt rezgsek .....1281.12. Hullmok................................................................. .....1281.12.1. Mechanikai hullmok .....1281.12.2. llhuUmok .....1421.12.3. A hang .....144

2. Htan .....1472.1. A hmrsklet fogalma s mrse .....1472.1.1. Hmrk, hmrskleti sklk, htguls .....1482.2. Gztrvnyek...............................................................1492.2.1. Gay-Lussac els trvnye .....1502.2.2. Gay-Lussac msodik trvnye .....1512.2.3. Boyle-Mariotte trvny .....1522.3. ltalnos gztrvny, idelis gzok

llapotegyenlete.. .... 1532.4. Idelis gzok llapotvltozsai .... 1562.5. A kinetikus gzelmlet .... 1582.6. A hmrsklet molekulris rtelmezse,

a gzok bels energija .......................................... .... 1612.7. A termodinamika els fttele .... 1632.8. A h mrtke, a hmennyisg, a hkapacits .... 1652.9. Halmazllapot-vltozsok, fzistalakuls .... 1682.10. A hfolyamatok irnya, a termodinamika

msodik s harmadik fttele..................................... 169

3. Elefctromgnessgtan .....1733.1. Az elektromos m ez 1733.1.1. Alapjelensgek 1733.1.2. Az elektromos tr s a trerssg.............................1783.1.3. Kapacits, kondenztorok .... 1843.1.4. Az elektromos ram fogalma, az ramerssg 1903.1.5. A vezetk ellenllsa, Ohm trvnye 1923.1.6. Feszltsgforrs, rvidzrsi ram 1963.1.7. Az elektromos munka s a teljestmny 1983.2. A mgneses mez.............: ......................................... 200

TARTALOM

3.2.1. Amgnessg........................................................... ....2003.2.2. Mgneses trvnyek s sszefggsek.......................2073.2.3. A vltakoz ram ................................................... ....2093.2.4. A feszltsgrezonancia.......................................... ....2213.2.5. Az ramrezonancia................................................ ....2233.2.6. A rezgkrk vizsglata........................................ ....2243.3. A vltoz elektromos mez........................................2263.4. Elektromgneses hullmok........................................2283.4.1. Geometriai op tika .....................................................2303.4.2. Hullmoptika......................................................... ....246

4. Atom- s magfizika................................................. ....2524.1. Atomfizika.............................................................. ....2524.1.1. Az atomos felptsre utal megfigyelsek...............2524.1.2. Az elektron felfedezse.......................................... ....2544.1.3. Az energiakvantum megjelense.......................... ....2604.1.4. Az elektromgneses hullm adagossga....................2624.1.5. Az elektron mint hullm...........................................2654.1.6. A rszecske-hullm kettssg............................... ....2654.1.7. Atommodellek........................................................ ....2674.1.8. Kmiai ktsek........................................................ ....2704.2. Magfizika.................................................................. ....2724.2.1. Az atommag ltezse............................................. ....2724.2.2. Az atommag felptse................................................2734.3. Energiaviszonyok a magban................................... ....2774.3.1. A tmegdefektus..................................................... ....2774.3.2. A hjmodell (1934)................................................ ....2794.3.3. A cseppmodell (1936)............................................. ....2804.3.4. A fajlagos ktsi energia........................................ ....2814.4. A radioaktivits...................................................... ....2824.4.1. A radioaktv sugrzs............................................. ....2824.4.2. A radioaktv sugrzsok jellemzi......................... ... 2834.4.3. A termszetes radioaktivits.................................. ... 2844.4.4. Az induklt radioaktivits..................................... ... 2864.5. A magenergia felhasznlsa................................... ... 2874.5.1. A hasadsos reak to r.................................................. 2874.5.2. A fzis energia...................................................... ... 288

TARTALOM

5. Rszecskefizika...........................................................2905.1. Az elemi rszecskk termszete............................ .....2905.1.1. Hullm s rszecske................................................ .....2905.1.2. Vizsglati eljrsok................................................ .....2915.2. A nagy energik...................................................... .....2925.3. Az els rszecskk felfedezse...................................2945.3.1. Az elektron s a fo to n .................................................2945.3.2. A p ro to n ................................................................. .....2945.3.3. A neutron................................................ .............. .....2955.3.4. A kozmikus sugrzs............... -...................................2955.3.5. Antirszecskk........................................................ .....2965.3.6. M ezonok................................................................. .....2975.4. Rszecskegyorstk................................................ .....2985.5. A felfedezsek sokasga........................................ .....3005.6. A rendszerezs lehetsge..................................... .....303

6. Relativitselmlet................................................... .....3056.1. A klasszikus relativits........................................... .....3066.2. A fnysebessg llandsgnak e lv e .................... .....3076.3. Az egyidejsg relativitsnak e lv e ...........................3086.4. A specilis relativits elmlete............................... .....3116.5. A specilis relativits nhny kvetelmnye.............3136.6. Az energia s a tmeg ekvivalencija........................3146.7. Az ltalnos relativitselmlet alapja........................315

7. Csillagszat.............................................................. .....3197.1. A csillagszat rvid trtnete......................................3197.2. A Naprendszer........................................................ .....3247.3. A Nap, a legkzelebbi csillag......................................3307.4. A csillagok keletkezse s fejldse...................... .....3357.5. Galaxisunk s szomszdai....................................... .....3387.6. A vilgegyetem kialakulsnak elmlete.............. .....340

BEVEZETS

Ebben a knyvben a kzpiskolban oktatott fizikai ismeret- anyag tmr sszefoglalst kvnjuk kzreadni. A szigoran vett trzsanyag mellett kitrnk olyan kiegsztsekre, elmleti megfontolsokra is, amelyek a felsfok intzmnyekbe jelentkez, illetve az tlagosnl jobban rdekld dikok ignyeit is kielgtik.

Fontosnak tartjuk a kzpiskolai tananyagbl val kitekintst is, ppen az ignyesebb olvask rdekben. Az ismeret- anyagot ugyanakkor a ksrleti fizika szemszgbl dolgozzuk fel, gy olvasmnyosabb, szemlletesebb, kzrthetbb a trgyals. Az elmleti levezetsek fleg magyarzatknt, hipotzisknt szerepelnek.

A knyv segtsget kvn nyjtani mind a nappali, mind az esti, illetve a levelez kzpiskolai tanulknak az aktulis rai anyag megtanulshoz, a korbban tanult ismeretek felfrisstshez, valamint az rettsgi s felvteli vizsgra val felkszlshez, st az elsves fiskolai s egyetemi hallgatk i hasznt vehetik.

A ktet jellege megkvetelte, hogy a ksrleti s gyakorlati elzmnyeket, a hozzkapcsold defincikat, trvnyeket tmren fogalmazzuk meg.

A ksrleteket E, a defincikat [5], a trvnyeket [t ] , a pldkat B, a levezetseket B jellssel lttuk el. A defincik, a ttelek s a levezetsek mellett fggleges vonal tallhat.

1. MECHANIKA 13

1. MECHANIKA

A mechanika a mozgsok jelensgeivel foglalkozik. Kt f rsze a KINEMATIKA s a DINAMIKA.

A kinematika a mozgsok lersval, a dinamika pedig a mozgsok megvalsulsnak feltteleivel foglalkozik. A statika, amely az egyensly feltteleit trgyalja, a dinamika specilis eseteknt foghat fel.

Elszr a pontszer, majd a kiterjedt testek mozgst vizsgljuk.

I Egy testet pontszernek tekintnk, ha a mozgs lersakor lnyeges tvolsgokhoz kpest a test mrete elhanyagolhat.[E A Fld pontszernek tekinthet, ha a Nap krli kering

st vizsgljuk, sajt forgsa szempontjbl viszont kiterjedt testknt kell kezelnnk.

A pontszer testet szoks tmegpontnak vagy anyagi pontnak is nevezni.

1.1. A TMEGPONT KINEMATIKJA1.1.1. A MOZGSOK LERSA

A mozgsok lershoz vonatkoztatsi rendszert hasznlunk, amelyben megadjuk a test helyt az idben.

[H Mozgsrl akkor beszlnk, ha a test helye vltozik az idben. Egy test mozgst akkor ismerjk, ha brmely pillanatban meg tudjuk adni a helyt.

14 1. MECHANIKA

Mozgsa sorn a test a vonatkoztatsi rendszer klnbz pontjaiban tallhat. Ezek a pontok alkotjk a test mozgsnak plyjt.

I [d ] a mozgs plyja az a grbe, amelyen a test mozgsa sorn halad.Legyen a mozgs sorn a test egy adott pillanatban a plya

A pontjban, mg A id mlva a plya B pontjban.

II

[U Az A pontbl a B pontba mutat vektort a test As elmozdulsnak nevezzk.

1 ] A megtett t a plyagrbe egy adott darabjnak hosszsga (1.1. bra).

A mozgsokat a plya alakjtl, illetve idbeli lefolysuktl fggen klnbz csoportokba soroljuk, pl.: egyenes vonal, periodikus, egyenletes, harmonikus stb. mozgsok.

Az elmozduls s az t hosszsg dimenzij fizikai mennyisgek. Mrtkegysgk nemzetkzi megegyezsek alapjn a mter (m). A hosszsg mrsre - a nagysgtl fggen - klnbz mreszkzeink vannak. A legkzismertebb a mterrd, a mrszalag, a tolmr s a csavarmikromter.

Az id a termszetben szablyosan ismtld jelensgek alapjn mrhet. Ilyenek pldul a Fld forgsa vagy az inga lengse. Az id alapegysge a msodperc (s), de hasznljuk a percet, az rt, a napot s az vet is.

1. MECHANIKA 15

1.1.2. AZ EGYENES VONAL EGYENLETES MOZGS

[k] a Mikola-cs vzzel tlttt, megdnttt zrt vegcs (1.2. bra), amelyben egy lgbubork mozog. Ha megmrjk a bubork ltal megtett utat s a megttelhez szksges idt, azt tapasztaljuk, hogy hnyadosuk lland,, teht egyenesen arnyosak. A Mikola-csben a lgbubork egyenes vonal egyenletes mozgst vgez.

'T 777777^ y77777777777777/ 1.2. bra

dl Egyenes vonal egyenletes mozgst vgez egy test, ha mozgsplyja egyenes, s az ltala megtett t egyenesen arnyos az t megttelhez szksges idvel.

A megtett t s a megttelhez szksges id hnyadosa lland, amely a bubork mozgsra jellemz adat.

I A megtett t (s) s a megttelhez szksges id (t) hnyadosa a sebessg, jele v.s

Mrtkegysgt a hosszsg s id alapmennyisgeibl szrmaztatjuk, ezrt dimenzija hosszsg/id. A gyakorlatban hasznlt nhny sebessgmrtkegysg:

1 m /l 8 = 1 m/s 1 km /l h = 1 km/h 1 km /l s = 1 km/s

A sebessg mrszma megmutatja az egysgnyi id alatt megtett t hosszt. Egyik mrtkegysgbl a msikba a kvetkez plda szerint vlthatunk t:

72 km/h = 72-1 km/h = 72(1000 m/3600 s) == 72(1/3.6) m/s = 20 m/s

16 1. MECHANIKA

A mozgsok matematikai lersakor elengedhetetlenl fontos, hogy ismerjk a test (testek) mozgsllapott (helyt, sebessgt) az idmrs kezdetn, a = 0 idpontban.

I A kezdeti felttelek megadsa azt jelenti, hogy megadjuk a test mozgsllapott a = 0 idpontban.Ha a kezdeti felttelek szerint a v sebessg egyenes vonal

egyenletes mozgst vgz test a = 0 idpontban az s = q helyen van, akkor mozgst z

S - So + v t

sszefggs ija le. Ennek specilis esete, ha az idmrs kezdetekor a test az origban van, vagyis sq = 0- Ekkor az elbbi sz- szefggs az

s vt

alakra egyszersdik.A fizikban ppgy, mint a matematikban, a fggvnykap

csolatban lv mennyisgek kztti viszony grafikus brzolssal tehet szemlletess. Egyenes vonal egyenletes mozgs esetn az t-id grafikont az 1.3.a bra mutatja, mg a sebessgid diagram az 1.3.b brn lthat. Az t-id diagram egyenesnek meredeksge a test sebessgnek felel meg. A sebessg-id diagramon lthat, hogy a grbe s az idtengely ltal hatrolt terlet a test ltal megtett t nagysgt adja meg. rdemes megjegyeznnk, hogy ez a megllapts brmely mozgs sebessg-id .diagramja esetn rvnyes.

1.3. a bra 1.3.b bra

1. MECHANIKA 17

Az tlag- s a pillanatnyi sebessgA krnyezetnkben ltrejv mozgsok gyakran nem egyen

letesek, a sebessgk vltoz. A nem egyenletes, vltoz mozgsok indokoljk az tlag- s a pillanatnyi sebessg bevezetst.

I m A mozgst vgz test t id alatti tlagsebessge a t id alatt megtett teljes t s a t id hnyadosa:^;

tAz tlagsebessg az a sebessg, amellyel a testnek mozognia

kellene ahhoz, hogy egy adott utat adott id alatt, egyenletesen mozogva fusson be.

Igen fontos kiemelni, hogy az tlagsebessget ltalban nem a sebessgek tlaga adja.

Mozgs kzben a test sebessge vltozhat, ezrt a fizikban hasznlatos a pillanatnyi sebessg, mint a mozgs egyik jellemz mennyisge (ezt mutatja pl. az aut sebessgmr mszere).

A pillanatnyi sebessg ltalnossgban a kvetkez mdon adhat meg, nem csak egyenes vonal mozgsokra szortkozva.

A vltoz mozgst vgz test a t idpillanatban plyjnak A pontjban tallhat, mg A idvel ksbb a B pontban.

1.4. bra Ezen id dlatt elmozdulsa As (1.4. bra).

m Az A pontbeli pillanatnyi sebessget aAs

V = -7-A thnyados adja, ha a A tart 0-hoz.

A defincibl kvetkezik, hogy a pillanatnyi sebessg vektormennyisg, amely a plya rintjvel prhuzamos.

18 1. MECHANIKA

1.1.3. AZ EGYENES VONAL EGYENLETESEN VLTOZ MOZGS

[k] Vizsgljuk egy lejtn legrdl goly mozgst! Ha nyugalmi helyzetbl indtva, a klnbz hosszsg utakat s a megttelkhz szksges idket mrjk, azt tapasztaljuk, hogy a megtett t s a megttelhez szksges id ngyzetnek hnyadosa lland, teht egyenesen arnyosak.

^ =,ll, 111. s ~

Azt is megfigyelhetjk, hogy a goly egyre gyorsabban mozog. A lejt hajlsszgt vltoztatva azt tapasztaljuk, hogy nagyobb hajlsszgnl gyorsabban vltozik a sebessg, s az s/f' hnyados rtke is nagyobb.

Vltoz mozgsrl lvn sz, vizsgljuk meg a pillanatnyi sebessget az id fggvnyben!

E Jellje A az s / f hnyados rtkt! gy a t s a t+At id kztti elmozduls nagysga;

As = 2 si = A(t At)^ At^

EbblAs = A(2 A + A^)

A A/A nagysga:As V = = A{2t + At)

Mivel A tart nullhoz.

v ^ 2 A t

Lthatjuk, hogy a pillanatnyi sebessg nagysga arnyos az eltelt idvel. Ennek alapjn knnyen meggyzdhetnk arrl, hogy a Av sebessgvltozs s a kzben eltelt id is egyenesen arnyosak:

1. MECHANIKA 19

Av ~ A t

m Egyenes vonal egyenletesen vltoz mozgsrl beszlnk, ha a mozgs plyja egyenes s a sebessgvltozs nagysga egyenesen arnyos a kzben eltelt idvel.

Lttuk, hogy az egyenes vonal egyenletesen vltoz mozgst vgz test pillanatnyi sebessge vltozik az idben. A sebessgvltozs gyorsasgnak mrtkl vezetjk be a gyorsulst.

[H AzAvA

hnyados a gyorsuls.

A defincibl kvetkezik, hogy a gyorsuls vektormennyisg. Mrtkegysge a sebessg s az id mrtkegysgbl szrmaztathat: m/s^.

Alkalmazva a defincit, a pillanatnyi sebessgre kapott 2A lland

Av 2A(t + At) - 2 A t ,a = = ^ -------- = 2AAt Ata test gyorsulsval egyenl.

A kapott eredmnyeket flhasznlva a megtett tra, a sebessgre s a gyorsulsra, a kvetkez sszefggsekhez jutunk:

CL ns = - t ] V = at] a = konstans

Megjegyzend, hogy ezek az sszefggsek csak akkor igazak, ha a kezdeti felttelek a 0 idpontban: = 0 s v = 0 . A nem nulla kezdsebessg esettel ksbb foglalkozunk. Az t-id, sebessg-id s gyorsuls-id grafikonok az 1.5. brn lthatk.

20 1. MECHANIKA

1.5. bra

A gyorsuls-id grafikon grbje s a t tengely ltal bezrt terlet a t id alatt elrt sebessg, mg a sebessg-id grafikon grbje s a t tengely ltal bezrt terlet a t id alatt megtett t szmrtkt adja (1.6. bra).-A sebessg-id grafikon egyenesnek meredeksge a gyorsuls rtkvel egyezik meg.

1.6. bra

1.1.4. A SZABADESSI Hl A nyugalmi llapotban elengedett testek tmegvonzs

okozta mozgsa a szabadess.

A szabadess az egyenes vonal egyenletesen vltoz mozgs specilis esete.

1. MECHANIKA 21

IH] Ha nem lenne lgellenlls, a klnbz testek a Fld egy adott pontjn azonos gyorsulssal esnnek a Fld fel.Ma mr tudjuk, hogy ez nemcsak a Fldn, hanem minden

gitesten igaz. A Fldn szabadon es test gyorsulst nehzsgi gyorsulsnak nevezzk, jele: g. rtke fgg a fldrajzi helytl s a tengerszint feletti magassgtl. Pldul Budapesten g = 9.808 m/s^. Feladatok megoldsa sorn gyakran 10 m/s^-re kerektjk, br helyesebb lenne ag = 9.8 m/s^.

Galilei foglalkozott elszr helyesen a szabadon es testek mozgsval, s megllaptotta, hogy a szabadon es testek ltal az egymst kvet azonos idtartamok alatt befutott utak gy arnylanak egymshoz, mint az egymst kvet pratlan szmok. Ez ksrletileg knnyen igazolhat egy ejtzsnr segtsgvel.

1 ] Az ejtzsinr egy kb. 2 m hossz vkony zsineg, amelyre egymstl egyszeres, hromszoros, tszrs stb. tvolsgokra apr, nehz trgyakat ktttnk (1.7. bra). Ha az ejtzsinrt gy emeljk fl, hogy az als vge rintkezzk a talajjal, majd elengedjk, azt tapasztaljuk, hogy a lees trgyak egyenletes ritmusban kopognak, amikor a talajra esnek. Galilei ezen lltsa igaz az sszes nulla kezdsebessg egyenes vonal egyenletesen vltoz mozgst vgz testre. A sebessg-id grafikonnal kapcsolatban emltettek alapjn Galilei megllaptsa egyszeren ellenrizhet (1.8. bra).

V77777777777. 1.7. bra

v=ot

y \K/ //

1.8. bra

22 1. MECHANIKA

A nehzsgi gyorsuls mrsre klnbz nidszereket dolgoztak ki, amelyek kzl az egyik nagyon szellemes mdszert rviden ismertetjk. Mivel szabadessnl nagyon rvid idtartamokat kell mrnnk, ezrt minden esetben az idmrs okoz problmt. Ebben a ksrletben egy leng lcet, mint ingt hasznlunk raknt.

Megmrjk az inga lengsidejt, majd az 1.9. brnak megfelelen sszelltjuk az eszkzt. A leng rszre kt paprt ragasztunk, kzttk indigval. A fonalat elgetve a goly leesik, a leng rsz pedig nekicsapdik, gy a goly nyomot hagy az indigs papron. A goly ltal hagyott nyombl tudjuk meghatrozni az ltala megtett utat, mgaz inga lengsidejnek negyede ad- _________________ja meg az essi idt, amelyekbl g VZ77777777777777777Z^V/ rtke szmthat. 1-9- bra

1.1.5. NEM NULLA KEZDSEBESSG, EGYENES VONAL EGYENLETESEN VLTOZ

MOZGSAz egyenes vonal egyenletesen gyorsul mozgs vizsglat

ra szolgl ksrletben vegyk fel az t-id diagramot ltalnos kezdeti felttelek mellett gy, hogy az rt akkor indtjuk, amikor a test mr sq utat megtett s mr vq sebessggel mozog. Az t-id s sebessg-id diagram felvtele szempontjbl ez azt jelenti, hogy a koordintarendszer origjt illesztjk mshov (1.10. bra).

A mozgs fizikai lnyegt tekintve ugyanaz, mint a nulla kezdsebessg, egyenes vonal egyenletesen gyorsul mozgs, csak a megfigyels kezdetnek eltoldsa miatt a vonatkoztatsi rendszerben a grbk is eltoldnak.

1. MECHANIKA 23

1.10. bra

Ennek megfelel helyzettel a mindennapi gyakorlatban akkor tallkozhatunk, ha a megfigyels kezdete nem az induls pillanata, pldul, ha a gpkocsi elzsbe kezd vagy sportversenyen n. replrajttal indulnak.

Ilyen esetekben a v -t diagram nem egyenes arnyt, hanem lineris fggvnykapcsolatot mutat az 1.10. bra szerint, ahol az egyenes meredeksgnek szmrtke most is a gyorsuls rtkvel egyezik meg. Az brrl leolvashat a sebessg idfggse.

A megtett utat a sebessggrafikon egyenese s a tengely ltal bezrt terlet adja (1.11. bra):

A megtett utat s a sebessget megad sszefggsek teht a kvetkezk:

24 1. MECHANIKA

a 9s = Vo + - r ; v = Vo + a

A sebessg s a gyorsuls vektormennyisg. Az egyenes vonal mozgsoknl irnyukat a megfelel eljelek alkalmazsval vesszk figyelembe az ellbi egyenletekben.

1.2. A TMEGPONT DINAMIKJAA fizika ltal vizsglt klcsnhatsokban rendszeresen ta

pasztaljuk, hogy a testeket valamilyen erTiats ri. Kt elektromosan tlttt test vonzza vagy tasztja egymst, a mgnesek esetben ugyancsak megfigyelhetnk vonz- vagy tasztert. Egy sszenyomott rug mozgsba hozhat egy trgyat vagy egy mozg trgy sszenyomhat egy rugt. Szmtalan pldt sorolhatnnk a fizikai jelensgek kzl, amikor testek kztt valamilyen erTiats lp fl. Valahnyszor egy testet erTiats r, megfigyelhet, hogy a test alakja, mozgsllapota, esetleg mindkett megvltozik. Az erTiats tulajdonkppen a klcsnhatsok ksrje, amelynek mrtke az er.

in Azt a fizikai hatst, amely a klcsnhatsban lv test mozgsllapott vagy alakjt megvltoztatja, erhatsnak ne- vezzk.'Az er az erhats mrtke.Az er jele; F

A tovbbiakban nem klnbztetjk meg az ert s az erhatst, hanem csak errl beszlnk.

Ahhoz hogy az erknek s a mozgsoknak a kapcsolatt lerhassuk, valamilyen mdon mrnnk kell az ert. Erre ktfle lehetsg knlkozik:

a) Az er hatsra bekvetkez mozgsllapot-vltozsbl definilhatjuk az er mrtkt.

b) A z er hatsra bekvetkez alakvltozst flhasznlva adhatunk mrsi eljrst.

Mi a msodik mdszer szerint jrunk el.Az er vektormennyisg, mindkt hatsa alapjn erre kvet

keztetnk.

1. MECHANIKA 25

1.2.1. ERMR KSZTSEErmr ksztshez valamilyen rugalmas anyagot haszn

lunk, mely az erhats megsznte utn visszanyeri eredeti alakjt. Tapasztalatbl tudjuk, hogy nagyobb erhatssal nagyobb alakvltozs idzhet el. Ez a kt tulajdonsga teszi alkalmass a rugalmas anyagokat az er mrsre. Knyvnkben a rugs ermr elvt ismertetjk, amelynek sklja lineris. Termszetesen kszthet nem lineris sklj ermr is.

[k] Felfggesztnk egy spirlrugt s az aljra azonos mret azonos anyagbl kszlt testeket akasztunk. A rug mell egy sklt helyeznk, hogy mrni tudjuk a megnylst (1.12. bra).

Azt tapasztaljuk, hogy brmelyik testet akasztjuk fl, a rug minden esetben ugyanannyit nylik meg.

Az egy test ltal kifejtett ert nknyesen eregysgnek vlaszthatjuk. Ha kt, hrom vagy tbb testet akasztunk fl, a rug meg

nylsa mindig annyiszorosa az egy test ltal elidzett megnylsnak, ahny testet a rugra akasztottunk. Azt mondhatjuk, hogy kt test ktszer, hrom test hromszor, n db test n- szer akkora ervel hzza a rugt. Itt az erhatsok fggetlensgnek elvt hasznljuk ki, amellyel ksl^b foglalkozunk rszletesen.

m Ha kt klnbz er a rugt azonos mrtkben nyjtja meg, a kt er nagysga megegyezik.I

I [d] Ha egy er a rugt n-szer akkor mrtkben nyjtja meg, mint az egysgnyi er, akkor az er nagysga az egysg n-szerese.Az elzek ismeretben mr tudunk ert mrni. Az er m

rsnek defincijbl kvetkezik, hogy a rugt megnyjt er s a rug megnylsa egyenesen arnyos, azaz hnyadosuk lland. Ezen lland jellsre mind a k, mind a D bet haszn

26 1. MECHANIKA

latos, s rugllandnak vagy direkcis ernek nevezik. A ruglland megmutatja, hogy egy adott rug mennjdre kemny, milyen nehz megnyjtani vagy sszenyomni.

E AzF = kx vagy F = D \

sszefggs a rug ertrvnye, ahol x a rug megnylsa az F er hatsra.

1.2.2. NEWTON I. TRVNYE[k] Vgezzk el a kvetkez gondolatksrletet!Egy, a jgkorongozsban hasznlt korongot lkjnk meg

adott sebessggel, elszr egy park statjn, majd sima aszfalt- ton, vgl a Balaton tkrsima jegn. Mindenki rzi, hogy a korong leghamarabb a staton fog megllni, mg a Balaton jegn jut a legmesszebb. Folj^atva ezt a gondolatmenetet: ha ltre tudnnk hozni olyan felletet, amelyen nem lenne srlds s lgellenllssal sem kellene szmolnunk, akkor a korong nem llna meg, hanem egyenes vonal egyenletes mozgst vgezne. Ebbl az kvetkezik, hogy az er nem a mozgsllapot fenntartshoz, hanem a megvltoztatshoz szksges.

I [HA testeknek az a tulajdonsga, hogy mozgsllapotuk csak er hatsra vltozik meg, a testek tehetetlensge.E Newton I. trvnye, a tehetetlensg trvnye:Minden test megmarad a nyugalom vagy az egyenes vonal egyenletes mozgs llapotban mindaddig, amg valamilyen erhats ennek elhagysra nem knyszerti.

Mivel a bennnket krlvev vilgban nincs olyan test, amelyre semmilyen er nem hat, ezrt ezt a trvnyt ksrletileg nem lehet igazolni. Ehelyett olyan krlmnyeket teremthetnk, hogy a testre hat erlc eredje nagy pontossggal nulla legyen. Tapasztalataink szerint ekkor szintn nem vltozik a tmegpont mozgsllapota.

1. MECHANIKA 27

I [d] Az olyan vonatkoztatsi rendszereket, amelyekben teljesl a tehetetlensg trvnye, inerciarendszereknek nevezzk.Nem minden vonatkoztatsi rendszer inerciarendszer. Pldul

a hirtelen indul vagy a fkez jrmvekben az az utas, aki nem kapaszkodik, magra van hagyva, nagyon knnyen eleshet, azaz a buszhoz mint vonatkoztatsi rendszerhez kpes vltozik a mozgsllapota. Az ilyen rendszereket gyorsul vonatkoztatsi rendszereknek nevezzk.

Az inerciarendszerek jelentsge az, hogy megadjk a New- ton-trvnyek rvnyessgi krt. A Newton-trvnyek csak inerciarendszerekben rvnyesek. Knnyen belthat, ha egy vonatkoztatsi rendszer inerciarendszer, akkor minden ms, hozz kpest egyenes vonal egyenletes mozgst vgz vonatkoztatsi rendszer is inerciarendszer.

1.2.3. NEWTON II. TRVNYE[k] A z 1.13. bra szerinti ksrleti sszelltsban mrjk a kis

kocsira hat ert s a kiskocsi gyorsulst!

1.13. bra

A mrsi eredmnyek azt mutatjk, hogy lland er lland gyorsulst hoz ltre. Vltoztatva az er nagysgt, a gyorsuls is vltozik, mgpedig az er nagysgval egyenesen arnyosan.

H] Newton II. trvnye: a dinamika alaptrvnye:A tmegpontot a fellp er a sajt irnyba gyorstja, a ltrejv gyorsuls egyenesen arnyos az ervel.

F ~ a

28 1. MECHANIKA

A testre hat er s a gyorsuls hnyadost a test tehetetlen tmegnek nevezk, jele: m. A tmeg alapmennyisg, nknyesen vlasztott mrtkegysge az 1 kg, amely a Prizs melletti Sevre-ben tallhat platina-irdium tvzetbl kszlt mintahenger tmege.

A mindennapi letben megfigyelt mozgsok esetn a testek tehetetlen tmege lland, de a fnysebessghez kzeli sebessgnek esetn a tmeg megnvekszik.

Newton II. trvnybl kapjuk az er fizikban hasznlatos mrtkegysgt:

Az szorzata

^z er mrtkegysge a tmeg s a gyorsuls egysgnek rzata, 1 kg 1 m/s = 1 N (newton)

I m 1 N az az er, amely az 1 kg tmeg testet 1 m/s^ gyorsulssal mozgatja.

A dinamika alapegyenleteAz ermr ksztsnl lttuk, hogy az er deforml hat

snl az egyes erk egymstl fggetlenl hatnak.

Hl Elvgezhet a kvetkez ksrlet: gyorstsunk egy testet klnbz erlckel klnbz irnyokba (1.14. bra)!

1.14. bra

1. MECHANIKA 29

Elszr az egyes erk kln-kln, majd egyszerre hassanak a testre. Megmrve az egyes erk ltal ltrehozott gyorsulsokat, majd azokat vektorilisan sszegezve azt a gyorsulst kapjuk, amit akkor mrnk, amikor az erk egyszerre hatnak a testre. A ksrlet alapjn mondhatjuk ki a kvetkez trvnyeket.

I [T] A testre hat erk egymstl fggetlenl fejtik ki hatsukat.[t]A tmegpontra hat erk eredje egyenl a test tmegnek s gyorsulsnak szorzatval. A gyorsuls az ered er irnyba mutat.

SF = ma

Ez a ttel a dinamika alapegyenlete.(A grg szigma: S jel, amit szummnak ejtnk, az sszegzst jelenti.)

1.2.4. NEWTON III. TRVNYEE Tegynk mindkt vgn altmasztott hajlkony lemezre

egy vzzel tlttt lggmbt! A lemez lehajlik, a lggmb belapul (1.15. bra).

1.15. bra

Nagyon sok hasonl ksrletet mutathatunk be annak szemlltetsre, hogy a klcsnhatsban rszt vev mindkt test ervel hat a msikra.

30 1. MECHANIKA

H] Newton III. trvnye, a hats-ellenhats trvnye Ha az egyik test ert fejt ki a msikra, a msik is ert fejt ki az elzre, teht az erk mindig prosval lpnek fel. Ezek az erk egyenl nagysgak s ellenttes irnyak. Az er s az ellener mindig ms-ms testre hat.

A trvnybl kvetkezik, hogy erhats ltrejtthez mindig kt test s a kzttk ltrejv klcsnhats szksges. Nem mindig nyilvnval azonban a msik test jelenlte, amint ezt kvetkez pldnk is mutatja.

[p] Adjuk meg a talajon nyugv ldra hat erket s azok el- lenerejeit!

Az 1.16. brn N jelli a nehzsgi ert, mg F a talaj ltal a ldra kifejtett nyomert. Az F ellenereje az az er, amivel a lda nyomja a talajt. Mi az ellenereje a nehzsgi ernek? Az N er a Fld vonzsbl szrmazik, teht ellenereje a Fldre hat, ugyanis a test is vonzza a Fldet. Az er-ellener prokat, teht mindig a klcsnhats termszete alapjn tallhatjuk meg.

1.16. bra

1.2.5. NEVEZETES ERHATSOK

A nehzsgi erA szabadon es test gyorsulst a testre hat nehzsgi er

hozza ltre, amely a test s a Fld kztt fllp gravitcis er kvetkezmnye. Newton II. trvnye szerint a nehzsgi er

Fe/t = mgA test tmege lland, g rtke a fldrajzi helytl fggen

vltozhat. Budapesten az 1 kg tmeg testre hat nehzsgi er kzeltleg 9,81 N.

1. MECHANIKA 31

A sly s a slytalansgHa egy testet felfggesztnk vagy egy vzszintes felletre he

lyeznk, akkor az egy fgglegesen hat ert fejt ki a felfggesztsre, ill. az altmasztsra.

dl A test slya az az er, amellyel a test a hozz kpest nyugalomban lv felfggesztst hzza vagy a vzszintes altmasztst nyomja.Jele: G

Egy test slya nem lland. Pldul a liftben ll ember a lift flfel indulsakor nehezebb, mg lefel indulsakor knnyebb. Ha az 1.17. brnak megfelelen berajzoljuk a r hat erket s alkalmazzuk a dinamika alapegyenlett, a sly nagysgra a kvetkez eredmnyt kapjuk:

G = m(g H- a)

ha flfel indul,G = m(g - a)

ha lefel indul.1.17. bra

Lthat, hogy ha a test szabadon esik, akkor a slya nulla. Ez az llapot a slytalansg.

A knyszererA knyszererk ltalnos defincija nagyon bonyolult, meg

haladja ennek a knyvnek a kereteit, gy csak nhny pldt vizsglunk.

A felfggesztett testre a felfggeszts, az altmasztott testre az altmaszts fejt ki ert. Ezek az erk mindig olyan nagysgak s irnyak, hogy megakadlyozzk a testnek a felfggesz

32 1. MECHANIKA

tshez, ill. az altmasztshoz kpesti elmozdulst. Minden ilyen tpus ert knyszerernek neveznk. Knyszerer pldul a ktler, ami mindig ktlirny, az altmaszts ltal kifejtett nyomer vagy a tapadsi srldsi er. A knyszer- er"knek van egy maximuma, pl. amit egy ktl szakads nlkl kibr, s a legtbb esetben nem lehet akrmilyen az irnyuk sem, mert pl. az altmaszts nem tudja hzni a testet.

1.2.6. SRLDSI JELENSGEK

A csszsi srldsi erA csszsi srldsi er kt egymssal rintkez, egymshoz

kpest mozg fellet kztt lp fl.Irnya ellenttes a relatv sebessgek irnyval, nagysga a

felletek simasgtl s az ket sszenyom er nagysgtl fgg. Nem fgg az rintkez felletek s a relatv sebessgek nagysgtl. Jele: Fg. Nagysgt az

ny

sszefggs adja meg, ahol fj. a csszsi srldsi egytthat, a felletek minsgre jellemz lland. Az sszefggsbl lthat, hogy a |U dimenzi nlkli mennyisg.

A tapadsi srldsi erA tapadsi srldsi er kt egymssal rintkez, egjmshoz

kpest nyugv fellet kztt lp fl abban az esetben, ha valamilyen er a felleteket el akaija mozdtani. Irnya prhuzamos a felletekkel s ellenttes a felleteket elmozdtani akar er irnyval, nagysga pedig azzal egyenl. A tapadsi srldsi er knyszerer. A tapadsi srldsi er maximuma a felletek simasgtl s a felleteket sszenyom er nagysgtl fgg. Jele F jo , az

Fso ~sszefggs alapjn szmthat.

1. MECHANIKA 33

Ha az elmozdt er nagysga meghaladja a tapadsi er maximumt, a felletek csszni kezdenek, s ekkor mr a csszsi srldsi er lp fel. Kt feltilet kztt egys7erre nem lphet fel tapadsi s csszsi srldsi er.

1.2.7. AZ IMPULZUSB Egy test sebessgt a re hat erl t id alatt vltoztassk vi-rl V2-re. A gyorsuls defincija s a dinamika alapegyenlete miatt igazak a kvetkezk:

Av V2 -V 1 . ^a = = T---- es * = maA t A tRendezs utn az

FA = my^rnyi

egyelethez jutunk. Az egyenlet bal oldaln a testre hat erk eredjnek s az erhats idejnek a szorzata ll, ami fggetlen a testtl s a pillanatnyi sebessgtl, lvn ms testektl szrmaz erhats, mg a jobb oldalon az mv szorzat a testhez tartoz mennyisg, amelyre ms testek ervel hatottak.

[1 Az F A szorzatot erlksnek, az mv szorzatot impulzusnak (lendlet) nevezzk.Az impulzus jele I vagy p. Mrtkegysge kgm/s. Elz egyenletnket az impulzussal flrva az

^ AIF = A t

egyenlethez jutunk.

E A tmegpontra hat erlc eredje s az erhats idejnek szorzata egyenl a tmegpont impulzusnak megvltozsval. Az impulzusvltozs irnya megegyezik az ered er irnyval. Rvidebben: a test impulzusvltozsa egyenl az t r erlkssel. Ez az impulzusttel, ami Newton II. trvnynek egy msik megfogalmazsa. Az impulzus fogalmt

34 1. MECHANIKA

vezette be, s trvnyt is annak segtsgvel fogalmazta meg:...Az impulzus megvltozsa arnyos a mozgatervel s amaz egyenes irnyban megy vgbe, amelynek mentn ez az er hat...

1.3. SSZETETT MOZGSOK

1.18. bra

1.3.1. AZ EGYENES VONAL EGYENLETES MOZGSOK SSZETTELE

El Egy csnak halad a folyban a vzhez kpest vi sebessggel. A folynak a parthoz kpesti sebessge V2. Hogyan riiozog a csnak a parthoz kpest?

Az 1.18. bra mutatja a A id alatt bekvetkez elmozdulsokat, Si a csnaknak a vzhez kpesti, S2 a vznek a parthoz kpesti elmozdulsa, mg a kt elmozduls s sszege a csnak parthoz kpesti elmozdulst adja:

S = Si + S2S Si S2

Az egyenletet A-vel osztva a sebessgeket kapjuk.Eredmnynket a kvetkez ttelben foglalhatjuk ssze:

E Ha ismerjk az A test B testhez kpesti sebessgt s ismert B sebessge a C testhez kpest, akkor A sebessgt C- hez kpest kt sebessg vektori sszege adja.

Az egyenletet trendezve:

Vi = V - V2

1. MECHANIKA 35

azt kapjuk, hogy ha ismerjk kt test sebessgt ugyanahhoz a testhez kpest, akkor az egymshoz viszonjatott sebessgk a kt sebessgvektor klnbsgeknt addik.

A fggleges hajtsA fggleges hajts a nem nulla kezdsebessg egyenes vo

nal egyenletesen vltoz mozgsok egy specilis esete. gy a mozgst ler sszefggsek ugyanazok, mint az 1.1.5. fejezetben bemutatottak. Mutasson vonatkoztatsi rendszernk y tengelye a hajts egyenesben flfel, ha a hajts flfel trtnik. A mozgst ler sszefggsek;

9 2y = yo + v o t - - t ^ ; v = v o - g - t

ahol yo az elhajts magassga, vo a kezdsebessg.A fggleges flfel hajts esetn szoks megadni az emel

keds idejt s magassgt, ami:

h

Ha a hajts lefel trtnik, az y tengely mutasson lefel. Ekkor az sszefggsek:

g n?/ = 2/o + i^ o + 2n ; U =

Sebessg s gyorsuls grbe vonal plyn

Tartzkodjon a test a t pillanatban a plya A pontjban, majd At idvel ksbb a B pontban (1.19.a bra). Az A pontba mutat helyvektort jellje ri, a B pontba mutatt t 2 . A test A pontbeli sebessgt gy kapjuk meg, ha a At idvel tartunk nullhoz. Ekkor azonban a Ar vektor s ezltal a Ar/At sebessgvektor tart az A pontbeli rinthz (1.19.b bra). Azt mondhatjuk, hogy:

36 1. MECHANIKA

IH] Grbe vonal plyn mozg test sebessge a plya rintjnek irnyba mutat.Jellje a grbe vonal plyn mozg test sebessgt az A

pontban vi, s A t idvel ksbb a B pontban V2 (1.20.a bra). Mivel a kt sebessgvektor nem egyenl, a Av = V2-V1 nem nulla (1.20.b bra), teht a test gyorsul.

1.20. a bra

A grbe vonal plyn mozg test gyorsulst kt komponensre bontva adjuk meg (1.21. bra).

V21.20.b bra

1.21. bra

[H A plyra merleges komponens a normlis, mg a plya rintjnek irnyba mutat komponens a tangencilis gyorsuls.

A normlis gyorsuls a sebessg irnynak, a tangencilis komponens pedig a'sebessg nagysgnak megvltozst okozza.

1. MECHANIKA 37

A vzszintes hajtsA vzszintesen elhajtott test mozgst egy vzszintes, lland

sebessg mozgs s egy szabadess sszegeknt quk le. Ezt azrt tehetjk meg, mert a fggleges nehzsgi gyorsuls a vzszintes kezdsebessg nagysgt nem vltoztatja meg, a lees golynak pedig nincs kezdsebessge. lltsunk a kvetkez ksrlet elvgzsvel bizonythat.

IS Az 1.22. brn lthat eszkz egyszerre indt egy golyt szabadesssel, egy msikat pedig valamilyen Vq kezdsebessggel vzszintes irnyba.

Gumiszl

Leng kar, amit meglknk

Lyuk

i1.22. bra

A ksrletet elvgezve azt tapasztaljuk, hogy a kt goly egyszerre koppan a talajon. Ha a vzszintesen ellktt golyt klnbz sebessgekkel indtjuk, ugyangy, egyszerre koppan- nak, csak a goly ms-ms tvolsgokra repl.

A lershoz koordinta-rendszernket gy vesszk fel, hogy az orig az elhajts helye, mg az y tengely fgglegesen lefel, az X tengely pedig a hajts irnyba mutasson (1.23. bra).

Ekkor a test helyt az

38 1. MECHANIKA

fggvnyek adjk meg. A sebessg vzszintes s fggleges komponense:

V x = V0 ; Vy = gt

A hely-id fggvnyekbl az idt kikszblve, a hajts plyjt kapjuk:

A plyt megad msodfok fggvny egy parabola egyenlete, teht a vzszintesen elhajtott test plyja parabola.

A ferde hajtsA ferde hajtsnl ugyangy jrunk el, mint a vzszintes

hajts lersnl. A mozgst egy vzszintes, lland sebessg mozgsra s egy fggleges hajtsra bontjuk. Kooidinta-rend- szernk kezdpontja legyen az elhajts helye, y tengelye mutasson flfel, X tengelye pedig az elhajts irnyba. A test kezdsebessgt bontsuk fel vzszintes s fggleges komponensekre (1.24. bra).

Lefel hajtsnl ugyangy jrunk el, csak az sszefggsek flrsnl Vyo eljele negatv. A test helyt megad fggvnyek: ^24. bra

g X = V{)COsa ' t ; y = t;oSna t - tZiA vzszintes s fggleges sebessgek:

Vx = Vocosa Vy uosina gt^

A helyet megad fggvnyekbl az idt kikszblve a plya egyenlett kapjuk:

1. MECHANIKA 39

Eredmnyl ismt parabolaplyt ad msodfok fggvnyt kaptunk.

Megjegyzs: a valsgban a lgellenlls miatt a plya n. ballisztikus grbe, aminek lersa meghaladja e knyv kereteit.

A ferdn elhajtott test pillanatnjd sebessgnek nagysgt a Pitagorasz-ttel segtsgvel szmthatjuk:

irnyt pedig a komponensek alkotta derkszg hromszg szgei adjk meg (1.25. bra).

A krmozgsHl Krmozgst vgez egy tmegpont akkor, ha a plyja kr. Krmozgs esetn a megtett t a krplyn befutott v.

i

A grbe vonal plykkal kapcsolatban mr lttuk, hogy a sebessgvektor minden pillanatban a plya rintjbe esik. Ez a krplyn is teljesl. Krmozgs esetn ezt kerleti sebessgnek nevezzk. A krmozgs jl jellemezhet a mozg ponthoz hzott sugr elfordulsnak szgvel, amelyet radinban mrnk (1.26. bra).

40 1. MECHANIKA

Ekkor a befutott v Aj hosszsga s az Aa szgelforduls kztt a kvetkez egyszer sszefggs rvnyes:

Ai = rA a

Az A idre vonatkoz tlagos kerleti sebessg a At id alatt befutott Ai vhossz s a megttelhez szksges id hnyadosa:

Ai^ " ^ A t

Ha At elegenden kicsiny, akkor v a pillanatnyi kerleti sebessg.

Helyettestsk a Ai vhosszat a sugrral s a hozztartoz kis szgelfordulssal;

r Aa Aa= rA t A t[H A Ao/At hnyados a szgsebessg. Jele: co, dimenzija: l/id, mrtkegysge: l/s.Kplettel kifejezve;

Aa A

amivel a kerleti sebessg nagysga s a szgsebessg kapcsolatra a

V = r w

sszefggs addik.

Mivel a krplyn mozg test sebessge vltozik, ezrt biztos, hogy van gyorsulsa.

[U A krplyn mozg test gyorsulsnak normlis komponense a centripetlis (kzppontba mutat), tangencilis gyorsulsa a kerleti gyorsuls.

1. MECHANIKA 41

A kerleti gyorsuls a krmozgst vgz test sebessgnek nagysgt vltoztatja, gy a pillanatnyi sebessg s a kerleti gyorsuls kapcsolatt a

v = voafc-

sszefggs adja. A negatv eljelet akkor hasznljuk, ha a sebessg s az rint irny gyorsuls ellenttes irny.

[l] a centripetlis gyorsuls meghatrozshoz tekintsk a kerleti sebessg nagysgt llandnak.Az 1.27.a bra alapjn a vi vektorra merleges sugr s a \ 2 vektorra merleges sugr szge Aa, ezrt a vi s V2 vektorok szge is Aa. A kt vektort kzs kezdpontbl flrajzolva, (1.27.b bra) a V1V2AV hromszg s az rir2As hromszgek hasonlk. Ezrt a megfelel oldalak arnyra igaz a

Av V As r

egyenlet. Rendezve;A ^ AAu = - As r

Majd mindkt oldalt A-vel osztva, aAv V As As r A t

sszefggst kapjuk.Mivel Af tart nullhoz a As/A a pillanatnyi sebessg, a Av/A pedig a gyorsuls nagysgt adja meg. gy a centripetlis gyorsuls nagysga:

V2acp = r

Irnya a kr kzppontja fel mutat.

42 1. MECHANIKA

Az egyenletes krmozgsHl Egyenletes krmozgsrl beszlnk, ha a plya kr, s a mozg test ltal befutott v arnyos a befutshoz szksges idvel.

A defincibl kvetkezik, hogy a kerleti sebessg, a szgsebessg s a centripetlis gyorsuls lland, a kerleti gyorsuls pedig nulla. gy a mozgst ler sszefggsek a kvetkezk:

i vt a = wt

Az egyenletes krmozgs lershoz mg kt mennyisget definilunk;

I A krplya egyszeri teljes befutshoz szksges idt keringsi idnek nevezzk s T-vel jelljk.szm, jele: n.

I [d] Az egysgnyi id alatt befutott krk szma a fordulat-

A kt defincibl kvetkezik, hogy e kt mennyisg egyms reciproka:

T = -n

A szgsebessget a keringsi idvel s a fordulatszmmal kifejezve:

1. MECHANIKA 43

27T w = = ZTrn TMivel az egyenletes krmozgs sorn a test gyorsulsa meg

egyezik a centripetlis gyorsulssal, ezrt a dinamika alapegyenlete szerint az egyenletes krmozgst vgz testre hat erk eredje a kr kzppontjba mutat, nagysga:

SF = m r

Ez az egyenletes krmozgs dinamikai felttele,

I [d] Azt az ered ert, amely a tmegpontot krplyra knyszerti, centripetlis ernek nevezzk.1.4. A MUNKA S AZ ENERGIA

1.4.1. A MUNKA FOGALMAHtkznapi rtelemben munka, ha egsz nap egy szmtgp

eltt ilve dolgozunk, ha egy nehz szatyrot hazacipelnk a kzrtbl, vagy amikor ptkezs sorn mr negyedszer rakjuk arrbb a tglkat.

I A fizikban egy er munkja az er s az er irnyban trtn elmozduls szorzata.E definci szerint munkt vgznk, amikor flemelnk egy

testet, ha megnyjtunk egy rugt vagy amikor felgyorstunk egy testet, de nem vgznk munkt, ha egy testet a keznkben tartunk.

Munkavgzsnk nagysga attl fgg, hogy mekkora ervel s milyen hossz ton mozgatunk egy testet. Abban az esetben, ha az er s a test elmozdulsa egyirny, a munkn az F er s az s elmozduls szorzatt rtjk.

W = Fs

44 1. MECHANIKA

ahol W a munka jele. Fontos megjegyezni, hogy ez a meghatrozs - tulajdonkppen megllapods - nknyes, de indokolt, mert clszer. Termszetesnek rezzk, hogy tbb munkt vgznk, ha nehezebb trgyat emelnk fel ugyanolyan magasra, illetve, ha ugyanazt a testet magasabbra visszk.

mg

B Ha vzszintes ton hazavisznk egy teli bevsrlszatyrot, htkznapi rtelemben munkt vgeztnk, azonban a sz fizikai rtelmben nem trtnt . munkavgzs. Ez a mvelet ugyanolyan erkifejtst ^ ignyel, mintha a terhet egy helyben tartannk (1.28. bra).

Mivel a test fgglegesen nem mozog, ezrt az

F = mg

er irnyban nincs elmozduls, teht a fggleges F er nem vgez munkt, ha a test csak vzszintesen mozog. Mgis gy rezzk, hogy dolgoztunk, izmaink munkt vgeztek. A biolgiai munkavgzs magyarzata az, hogy mikzben a terhet tartjuk, izomktegeink egymst vltva sszehzdnak s elemyed- nek. Az er s az elmozduls egyirny, teht van munkavgzs. Ezrt fradunk el akkor is, ha az ltalunk kifejtett F ernek fizikai rtelemben nincs munkavgzse.

ltalnostva kimondhatjuk, hogy az elmozdulsra merleges er nem vgez munkt.

A munka mrtkegysge a definci alapjn az er s elmozduls essgnek szorzata, 1 N 1 m = 1 kg m/s^ 1 m = 1 kg m^s^ = 1 joule (ejtsd; zsul), jele: J.

A munka defincijnak ltalnostsaAbban az esetben, ha az er s az elmozduls nem egyirny,

az ert felbontjuk elmozduls irny s arra merleges sszetevkre (1.29. bra).

A merleges komponens munkja nulla, mg az elmozduls irny |Fi| = |F| cosa komponens munkja

W = |F|cosa|s|

1. MECHANIKA 45

ahol a az er- s az elmozdulsvektorok ltal bezrt szg.Mivel az er s az elmozduls is vektor, kifejezsnk nem

ms, mint a kt vektor skalris szorzata.

M^=|F||s|

Ha a munkavgzs sorn az er nem lland, akkor a test mozgst olyan elemi s elmozdulsokra bontjuk, hogy azon az ert mr llandnak tekinthessk, s ezen elemi elmozdulsokon vgzett munkk sszegeknt szmtjuk a munkt.

Eddig egy er munkjval foglalkoztunk, a ksbbiekben ltni fogjuk, hogy tbb er esetn klnsen fontos az ered er munkjnak kiszmtsa.

B H a egy tmegpontra tbb er hat, akkor az ered er munkja egyenl az egyes erk munkinak algebrai sszegvel.

UgyanisFe = Fi+F2 + . . . +F

As elmozduls esetn a munka

W = FeAs = FiAs + FaAs + .. . + FnAsHa ismerjk az er-elmozduls fggvnyt (termszetesen itt

az ern az elmozduls irny erlcomponenst rtjk), akkor a fggvnygrbe s az elmozdulstengely ltal hatrolt terlet a munka mrszmt adj a (1.30 bra).

Ebben az esetben az elmozdulstengelyen csak az elemi elmozdulsok nagysga szerepelhet, algebrai sszegk a megtett utat adja.

46 1. MECHANIKA

1.4.2. SPECILIS MUNKAVGZSEK

Az emelsi munkaSzmtsuk ki, mennyi munkval lehet

egy m tmeg testet lassan, egyenletesen h magassgba vinni (1.31. bra)! Az egyenletes emels azt jelenti, hogy a test gyorsulsa nulla. Ebbl viszont kvetkezik, hogy a testre hat erk eredje is nulla, azaz: F - mg.

mgl

' / / / / / / /7 / / / / / / /7 Z1.31. bragy az F er munkja mr kiszmthat:

Wp = Fh mgh

rdemes megvizsglni a nehzsgi er munkjt is. Az mg er irnya ellenttes az elmozdulssal, gy a = 180, azaz cosa = -1 . Teht:

W^g = - mghHa a testet lefel engedjk, ez eljelek felcserlstl elte

kintve ugyanerre az eredmnyre jutunk:

Wp = mgh ;

Wmg = mgh

1. MECHANIKA 47

A srldsi munkaVzszintes talajon gyakran mozognak a testek lland er ha

tsra lland sebessggel. Ilyenkor a hzer a srldsi er ellenben vgez munkt (1.32. bra).

TTT^T^.TTTTTTTTTTTTTTTTTTZ^^/T/.mg"

y / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /S

1.32. bra

lland sebessg esetn a testre hat erk eredje nulla:

mg = Fy s F Fs fimg

gy az F hzer munkja a kvetkez alakban rhat:

Wp Fs = fmgs

A srldsi er munkja:

Wf, lmgsHa a plya nem egyenes, a munka szmtshoz a megtett

utat kell hasznlni, mivel a srldsi er ellenttes a pillanatnyi sebessggel, azaz az er irnjm elmozduls megegyezik a megtett ttal.

A gyorstsi munkaA testek gyorstshoz a dinamika alaptrvnye szerint null

tl klnbz ered er szksges. lland F er hatsra a test egyenletes gyorsulssal mozog. Szmtsuk ki, mennyi a testre hat erlc eredjnek munkja, amikor vzszintes talajon, egyenes ton, ll helyzetbl v sebessgre gyorsul a test (1.33. bra).

A dinamika alaptrvnye szerint: F = ma, tovbbi kinetikai sszefggsekbl a gyorstsi munka:

48 1. MECHANIKA

h - M/779'

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / A^ 5 f//

133. bra

Wf, = FeS ^ m a ^ t l = = ^m vl

A kapott eredmny rdekessge, hogy a munkavgzs kizrlag a test adataitl - tmegtl, sebessgtl - fgg, sem a hzer sem az t nem szerepel a vgs sszefggsben. Az kifejezs a test mozgsi energija (lsd bvebben a kvetkez fejezetben).

rdemes mg arra is figyelni, hogy a talaj ltal a testre kifejtett nyomer munkja nulla. Ezt a nyomert knyszerernek nevezzk. ltalnosan rvnyes, hogy az elmozdulsra merleges knyszererk nem vgeznek a testen munkt.

A rug megnyjtsa sorn vgzett munkaA munka kiszmtshoz a rug ertrvnyt s az er-el

mozduls fggvny grafikonjrl a fejezet els pontjban emltetteket hasznljuk. Nyjtatlan helyzetbl kiindulva, nveljk meg egy D rugllandj rug hosszt x-szel! brzoljuk a megnyjtert a megnyls fggvnyben (1.34. bra)!

1. MECHANIKA 49

Az bra jellseit felhasznlva a vgzett munka:Dxx 1 ^ 9

1.4.3. ATEUESfTMNYA munkavgzs szempontjbl fontos, hogy az mennyi id

alatt megy vgbe. A munkavgzs gyorsasgt a teljestmny mri. Jele: P

[d ] Valamely er munkjnak tlagos teljestmnye az er munkjnak s a munkavgzs idejnek hnyadosa.

Mrtkegysge a munka s az id mrtkegysgnek hnyadosa, 1 J/l s = 1 watt, jele: W.

Mivel a munkavgzs gyorsasga nem felttlenl lland, ezrt definilnunk kell a pillanatnyi teljestmnyt is.

[U A pillanatnyi teljestmny az adott idpont krnyezetben nagyon rvid A idre szmtott tlagteljestmny:

A WA

|t] Szmtsuk ki a pillanatnyi teljestmnyt vltoz sebessg mozgs sorn! A test A id alatti elmozdulsa a gyorsts sorn As. Az t gyorst F er munkja ez alatt

W" = FAs

gy a teljestmny,AsP = F A

50 1. MECHANIKA

A pillanatnjd sebessg defincijbl ^ % gy aP = | F | M

sszefggshez jutunk. Azt mondhatjuk, hogy egy er pillanatnyi teljestmnye az er s a pillanatnyi sebessg skalris szorzata.

1.4.4. AZ ENERGIAA megnyjtott vagy sszenyomott rug munkt vgezhet,

gyorstva egy testet. A mozg test viszont sszenyomhat egy rugt. A testek, ha megfelel llapotba hozzuk lcet, munkavgzsre kpesek, azt mondjuk, hogy energival rendelkeznek. Szmtalan energiaformt ismernk; az energia az egyik legltalnosabb fizikai fogalom.

Hl Az energia mint munkavgz kpessg definilhat, az energia eltrolt munka, amely megfelel krlmnyek mellett ismt szabadd vlik.

A munka s az energia nagyon szoros kapcsolatban lv fogalmak, mgis lnyegesen klnbznek egymstl. Az energia a test egy adott llapott jellemzi, mg a munka kt llapot kzti folyamatot r le.

A mozgsi energiaAz lland F er gyorstsa az m tmeg testet s ton! Az egy

szersg kedvrt az er legyen mindig elmozduls irny! Ezalatt a test sebessge vi-rl V2-re vltozik. Vizsgljuk az ered er munkjt s ton. Az F = ma egyenletet s az ismert kinematikai sszefggseket flhasznlva

TiA n v \ - v \ 1 ^ l 2W = r s = ms = m ----- - = -mv% -m u2s 2 ^ 2 ^

A vgeredmny csak a test mozgsllapottl fgg mennyisgeket tartalmaz, teht munkavgzsnk a test mozgsllapotra jellemz mennyisg megvltozsval egyenl.

1. MECHANIKA 61

mennyisg a test mozgsi energija.Mrtkegysge: J.

A mozgsi energia a sebessget ngyzetesen tartalmazza, ezrt a sebessg irnytl, eljeltl fggetlen, rtke nem lehet negatv. Megjegyezzk, hogy egymshoz kpest mozg vonatkoztatsi rendszerekben a sebessg nagysga, gy teht a mozgsi energia is klnbz lehet.

A mozgsi energia fogalmnak ismeretben elz eredmnynk a kvetkezkppen foglalhat ssze;

H] A testre hat erk eredjnek munkja egyenl a test mozgsi energijnak megvltozsval.Ez a tmegpontra vonatkoz munkattel, amely rviden gy is rhat:

= A E m

Megjegyzs: br felhasznltuk, hogy a mozgs egyenletesen vltoz, belthat, hogy a munkattel ms mozgsoknl is rvnyes.

A helyzeti energiaA srldsi er munkja fgg attl, hogy milyen ton mozog

a test. A nehzsgi er munkja viszont fggetlen az tvonaltl, csak a test fggleges elmozdulsnak nagysgtl fgg.

I [d] A z olyan erket, amelyek munkja fggetlen az tvonaltl, konzervatv erknek nevezzk.Ilyenek pl. a gravitcis er, az elektrosztatikus er vagy a ruger.

Ha konzervatv ertrben egy tmegpontot az A-h\ a B pontba visznk, munkavgzsnk csak a pontok elhelyezkedstl fgg. Ez lehetv teszi szmunkra, hogy a test egy adott

52 1. MECHANIKA

llapott jellemezzk azzal a munkval, amit akkor vgznk, ha a testet egy nknyesen megvlasztott pontbl (referenciapont) a tr egy tetszleges pontjba visszk.

[U A konzervatv ertr egy pontjban a test potencilis (helyzeti) energija egyenl azzal a munkval, amivel a testet a referenciapontbl az adott pontba juttattuk.

Az m tmeg testet a talajrl emeljk fl h magassgba (1.35. bra)!

Ha referenciapontnak a talajszintet vlasztjuk, munkavgzsnk W = mgh, ami a test helyzeti energijval egyenl.

Vzszintes elmozduls esetn a munkavgzs nulla, hiszen az F er s az elmozduls egymsra merlegesek.

'Rug esetn a rug megnyjtatlan llapota a referenciapont, gy a rug energija x 777^7^77777777?.megnyls esetn 1-35. bra

E r = ^Dx^

amit rugalmas energinak neveznk.A konzervatv ertrben mozg testnek teht van potencilis

s mozgsi energija. Ha csak konzervatv erk hatnak r, akkor mozgsa sorn, ha cskken a potencihs energija, nvekszik a mozgsi energia, vagyis a potencilis s a mozgsi energik megvltozsainak sszege nulla:

AEmozg + AEpot = 0Ez a mechanikai energia megmaradsnak ttele.

U] Ha egy testre csak konzervatv erk hatnak, a test helyzeti s mozgsi energijnak sszege lland.

1. MECHANIKA 53

1.4.5. A HATSFOKA valsgos jelensgeknl a vgzett munka ill a teljestmny

egy rsze vesztesgknt jelentkezik, pl. a srlds s a kzegellenlls miatt. Egy ilyen folyamat - pl. egy test flgyorstsa adott sebessgre - hatkonysga a munkavgzs hatsfokval jellemezhet.

[H A munkavgzs hatsfoka a hasznos s az sszes befektetett munka hnyadosa

W h

o

A hatsfok jele: r|. A defincibl lthat, hogy dimenzi nl- kU mennyisg; nulla s egy kz es szm, amelynek 100-szo- rosa szzalkban adja meg a hatsfok rtkt.

1.5. A PONTRENDSZEREK MOZGSNAK LERSA

1.5.1. A PONTRENDSZERA fizikn bell gyakran tallkozunk olyan problmkkal,

ahol egymssal valamilyen klcsnhatsban lv tmegpontok mozgst kell lernunk. Ilyen pl. kt tkz goly, a Fld s a krltte kering Hold vagy az egsz Naprendszer mozgsnak lersa.

I [d] Az egymssal klcsnhatsban lv tmegpontokbl ll rendszer a pontrendszer.A pontrendszer mozgsnak,lershoz vizsgljuk meg a k

vetkez egyszer elrendezst.

E Vzszintes asztalon kt jtkaut ll, amelyeket hozzjuk kpest elhanyagolhat tmeg s nyjthatatlan fonl kt ssze.

54 1. MECHANIKA

1 2^ I-------------- 1 I--------y / / / y / ^ / / / / / / / / / / / ^ / / ^ / / / / / / / / / / A

1.36. bra

Az 1.36. brnak megfelelen az els autt a vzszintes F ervel hzzuk. Mekkora az autk gyorsulsa?

A megoldst az egyes autkra hat erk berajzolsval kezdjk, majd kln-kln alkalmazzuk ezekre a dinamika alaptrvnyt. Csak a vzszintes irny erkkel foglalkozunk, mert nem lvn fggleges irny gyorsuls, az egyes testekre hat fggleges erk sszege nulla (1.37. bra).

F\ rn2 I------------ *--- 1 "i I------- *TT^^^^TTTTTTTTPTTZt^ T^TTTTTTTTTT/Fs2 '^ Sl

1.37. bra

A kvetkez mozgsegyenletek rhatk fel:

F K Fsi = mi a i ;K - F s2 m2a2

ahol 3i az mi tmeg test, mg 82 az m2 tmeg test gyorsulsa. Megjegyezzk, hogy az 1.37. bra jellsben mr felhasznltuk azt a tnyt, hogy szabad, elhanyagolhat tmeg fonalakban a feszter lland, gy mindkt testre ugyanakkora K ktler hat.

Mivel a fonalakat nyjthatatlannak tekintjk, ezrt az autk egytt mozognak, azaz gyorsulsaik egyenlk:

dl = Ci2 CL

Teht a kvetkez egyenletrendszerhez jutottunk:

F - K - Fsi m i a i ;

K - Fs2= m2a2 ; ai = tt2 = a

1. MECHANIKA 55

Ez a kt test mozgsegyenlet-rendszere. Az els az mi, a msodik az ni2 , tmeg test mozgsegyenlete, mg a harmadik egyenlet a knyszerfelttel matematikai megfogalmazsa. Az egyenletrendszert megoldva az

a = ----------------m i -I- m2

eredmnyt kapjuk a gyorsulsra.

1.5.2. A PONTRENDSZER IMPULZUSA, AZ IMPULZUSMEGMARADS TTELE

A pontrendszer tagjaira hat erket kt csoportba osztjuk. Vannak olyan erk, mint pl. az F hzer (1.37. bra), amelyek a pontrendszerhez nem tartoz testekkel ltrejtt klcsnhatsokbl szrmaznak, mg az sszekt ktelek ltal a testekre kifejtett erTcet a rendszerhez tartoz testek klcsnhatsa eredmnyezi.

I n Azok az erk, amelyeket a pontrendszerhez nem tartoz testek fejtenek ki a rendszer tagjaira, a kls erk.I [H A pontrendszer tagjai kztt fellp erk a bels erk.

A bels erk hatsnak vizsglatra tekintsk a kvetkez pldt!

B Kt korcsolyz egymssal szemben ll a jgen (a srlds elhanyagolhat), s egy ktl vgt fogjk (1.38. bra). Egyikk hirtelen - A ideig - megrntja a ktelet F ervel. Hogyan vltoztatja meg a korcsolyzk mozgsllapott ez a rvid ideig tart erhats?

A hats-ellenhats trvnye alapjn mindkt korcsonyzra ugyanakkora er hat, csak ellenttes irnyban. Ennek alapjn a mozgsegyenletk:

56 1. MECHANIKA

F = m\2\ m2S2

Szorozzuk meg az egyenletek mindkt oldalt az erhats idtartamval!

FA = miaiA FA = m2^2^t

A bal oldalon kapott FA mennyisggel az erlkst, a jobb oldalon az aA = Av sszefggs n^iatt a korcsonyzk lendletnek megvltozst kapjuk. A kt egyenletet sszeadva, a kvetkez eredmnj^ kapjuk:

0 = miAvi + m2Av2

Ez az egyenlsg azt jelenti, hogy a kt korcsolyzbl s a kztk klcsnhatst ltest ktlbl ll rendszer sszes lendlete (impulzusa) nem vltozott meg az egymsra gyakorolt bels erk hatsra.

Eredmnynket egy ltalnos rvny ttelben foglalhatjuk ssze:

I li] A pontrendszer sszimpulziist a bels erit nem vltoztatjk meg.I [D] Az olyan pontrendszert, amelyben csak bels erk hatnak, zrt pontrendszernek nevezzk.

1. MECHANIKA 57

Ezzel elz ttelnk gy is megfogalmazhat, hogy:

H] Zrt pontrendszer sszlendlete lland. Ez a ttel lend- letmegmarads vagy impulzusmegmarads ttel nven ismert.

Vizsgljuk most meg a kls erlc hatst a lendletvltozsokra, az elz pontban vizsglt problma esetn! Hasznljuk a kt test mozgsegyenlett:

F K Fsi mil K Fs2 = Tn20,2

Szorozzuk meg mindkt egyenletet At-vel, majd adjuk ssze lcet! Ekkor az

{ F - F s i - F s 2 ) A t = m i A v i + m 2 ^ V 2

egyenletet kapjuk. Lthat, hogy a bels erk nem szerepelnek az egyenletben. A bal oldalon a kls erlc erlkseinek sszege (ami megegyezik a kls erk eredjnek erlksvel), a jobb oldalon pedig a pontrendszer sszlendletnek megvltozsa ll. Rviden gy rhatjuk egyenletnket:

SFkA = SAIEz a pontrendszerre vonatkoz lendletttel, ami a kvetke

zkppen fogalmazhat meg:

B A pontrendszer sszlendletnek megvltozsa egyenl a rendszer tagjaira hat kls erk erlkseinek sszegvel. Ha ez az sszeg nulla, akkor a pontrendszer sszlendlete lland.

A lendletttelben azrt nem szerepelnek a bels erk, mert 'Newton III. trvnye szerint egy bels er ellenerpija annak (-l)-szerese, gy a lendletvltozs szmtsakor az ersszegzsben ezek rendre kiejtik egymst.

58 1. MECHANIKA

1.5.3. A PONTRENDSZER TMEGKZPPONTJA

lE Kt korcsolyz ll egjmssal szemben srldsmentes jgen, tmegk mi s m2- Az egyik rvid ideig tart F ervel meglki a msikat. rjuk le a korcsolyzk mozgst (1.39. bra)!

x=0

-^ 1,0 2^,01.39. bra

Az ellks utn a korcsolyzkra hat erk eredje nulla, ezrt egyenes vonal egyenletes mozgst vgeznek. Legyen a mozgs egyenese az x tengely, a korcsolyzk helye az ellks eltt x\Q, illetve X2o- Hatrozzuk meg a helyket az ellks utn t idvel! Az ellks eltt a korcsolyzk lltak, ezrt sszimpul- zusuk nulla volt. Mivel csak bels erlc hatottak (a rendszer zrtnak tekinthet, mert a kls fggleges irny erk eredje mindvgig nulla), ezrt az ellks utn az impulzusmegmarads trvnye miatt;

miVi -t- m2V2 = 0 ;

ahol Vi az mi, V2 az tmeg korcsolyz sebessge. Szorozzuk meg ezt az egyenletet -vel s hasznljuk fel, hogy vi = Xi-jci,o az mi tmeg, V2 = X2 ~X2 fl az ni2 tmeg korcsolyz elmozdulsa az ellks utn -vel (1.40. bra).

A mveleteket elvgezve egyenletnk j alakja:

mi(xi - xifi) + ni2{x2 - X2,o) = 0

amit gy rendezhetnk t:

1. m e c h a n ik a 59

O o o o

1^,0 2^,01.40. bra

m\Xi + m2X2 = miXifi + 7712X2,0

Arra az eredmnyre jutottunk, hogy zrt rendszer esetn a tmegek s a helykoordintk szorzata lland mennyisg. rdemes az egyenlet mindkt oldalt a teljes tmeggel (mi + m-^ elosztani, mert gy matematikailag a helykoordintk tmegekkel slyozott tlaghoz jutimk, amit tmegkzppontknt szoks definilni.

I [d ] Az (miXi + m 2X2 )l(mi + ni2 ) mennyisg ltal meghatrozott pont tmegkzppont.Eredmnytink azt mutatja, hogy a tmegkzppont mozgsllapota az eUks utn sem vltozott meg. Megllaptsunkat egy ltalnos rvny ttelben foglaljuk ssze:

IH] Bels erk egy pontrendszer tmegkzppontjnak mozgsllapott nem vltoztatjk meg.Ez a ttel az impulzusmegmarads trvnynek kvetkezmnye.

Megjegyzs: Kt tmegpont tmegkzppontja a pontokat sszekt szakaszt a tmegekkel fordtott arnyban osztja, azaz

m ih = 7712/2Ezt az sszefggst gy lthatjuk be egyszeren, ha a koordi

nta-rendszernk origjt a tmegkzppontba helyezzk, vagyis az n. tmegkzpponti koordinta-rendszert hasznljuk.

Ha tbb trbeli eloszls tmegpont adott, a tmegkzppont helye a kvetkez

60 1. MECHANIKA

Hruirir = ----Hrriisszefggs alapjn szmthat, ahol F| az i-edik tmegponthoz a vonatkoztatsi rendszer origjbl hzott helyvektor. Mivel egy vektoregyenlet a koordintk szerint skalregyenletre bonthat, gy azonnal lthat, hogy az elz definci az utbbi ltalnos tmegkzppont-meghatrozsnak specilis esete.

1.5.4. TKZSEKAz tkzsek sorn kt test kztt ltalban nagyon rvid

ideig tart, nagy deformcival, gy nagy erTiatssal jr klcsnhats lp fel. Ennek kvetkeztben az tkz testek zrt rendszerknt kezelhetk. Knyvnkben csak olyan esetekkel foglalkozunk, amelyek sorn az tkz testek sebessgei az tkzs eltt s utn ugyanabba az egyenesbe esnek, vagyis kizrlag egyenes tkzseket trgyalunk.

A tkletesen rugalmatlan tkzs

I [d] Tkletesen rugalmatlan kt test tkzse akkor, ha az tkzs utn kzs sebessggel haladnak tovbb.Az mi tmeg vi sebessg test tkletesen rugalmatlanul t

kzik az m 2 tmeg V2 sebessg testtel. Az tkzs utni sebessgket jellje c! Mivel az tkzs sorn a kt test zrt pont- rendszernek tekinthet, ezrt alkalmazhatjuk az impulzus megmaradsnak ttelt. Az tkzs eltti s az tkzs utni lendletek sszege egyenl.

mivi + m2V2 = (mi + 1 7 1 2 )0

Ebbl az egyenletbl az tkzs utni sebessg:mivi + ni2V2

c = ----------------------mi +1712

1. MECHANIKA 61

szrevehetjk, hogy a kzs sebessg formulja nagyon hasonh't a tmegkzppontot definil egyenletre. Ez nem vletlen, hiszen a

AaJi , A x2vi = es V2 = egyenletek

felhasznlsval formlisan is belthatjuk, hogy c ppen a tmegkzppont sebessge, ami az tkzs utn nyilvnval, mert a testek egytt mozognak. Ennek alapjn kimondhatjuk a kvetkez ttelt:

I d] A bels erk a tmegkzppont sebessgt nem vltoztatjk meg.Tkletesen rugalmatlan tkzsnl a rendszer sszes mozg

si energija cskken.

B Pldul kt egyenl tmeg, ellenttes irny sebessggel mozg kiskocsi az tkzs utn llni fog. A kezdeti sszes mozgsi energia nem nulla, mg a vgn nulla. Teht a mozgsi energia nem maradt meg. A hinyz energia ms energia formjban tallhat meg (deformci, h stb.^,

A tkletesen rugalmas tkzs[U Az olyan tkzs, amikor az tkzsben rszt vev testek egyttes mozgsi energija az tkzs eltt s utn megegyezik, a tkletesen rugalmas tkzs.Ellenttben a rugalmatlan tkzssel, kiterjedt testek esetn

a valsgban ilyen nem fordul'el, de az tkzsek nhny esetben j kzeltssel tkletesen rugalmasnak tekinthetk. Atomi mretekben azonban gyakran tkletesen rugalmas tkzsek jtszdnak le.

Kt tmegpont rugalmas tkzsekor is csak bels erTc lpnek fel, ezrt a lendletmegmarads trvnye most is hasznlhat:

m i v i 4- m 2V2 = m iU i + m 2U 2

62 1. MECHANIKA

ahol vi s V2 az tkzs eltti, ui s U2 pedig az tkzs utni sebessgek, tovbb mi s rri2 a kt test tmege.

Ebben az esetben a sebessg vektoijellegt csak eljele hordozza, amit az adatok behelyettestsnl vesznk figyelembe.

A mozgsi energik sszegnek megmaradsra vonatkoz egyenlet;

^mivf +^7712^2 +^rri2ul

Az egyenletrendszert megoldva, az

2m2V2 + (mi - m2)vi 2miVi + {rri2 - rrii)v2ui = ---------------------------; U2 = ---------------------------mi +7712 mi + rri2eredmnyt kapjuk az tkzs utni sebessgekre.

Az tkzs lefolysaA legtbb mechanikai tkzs sem nem tkletesen rugal

mas, sem nem tkletesen rugalmatlan, vagyis rszben rugalmas, illetve rugalmatlan. Ilyenkor a kvetkez mdszer alkalmazhat.

Az tkzst kt szakaszra bontjuk: az els szakaszban a testek egszen addig hatnak egymsra, mg azonos sebessggel nem mozognak, majd a msodik szakaszban a testek sztlkik egymst. Ez a szakasz ltalban a testek rintkezsnek megsznsig tart, de pl. ha az tkzst egymst taszt mgnesek kzvettik, lehetsges, hogy a testek mechanikailag nem is rintkeznek.

Az els szakaszban a kt test

A l l r n i { c - Vi); A I 2 = m 2(c - V2)

impulzusvltozst szenved, ahol c most is a tmegkzppont sebessgt jelenti. Mivel a kt test az tkzs sorn zrt rendszernek tekinthet, ezrt

All = -A I2A msodik szakaszban

1. MECHANIKA 63

All = ?Tii(ui - c); AI2 == m2(u2 - c)

ahol ui, U2 az tkzs utni sebessgek. Az impulzusmegmarads alapjn

AI'i - - A I ';

teht a lendletvltozsok abszolt rtke a sztlkds kzben is megegyezik. A tapasztalat szerint:

lAI'il < lAIilamibl:

lAIil IAI2I A k szm az tkzsi szm.

k = 0 esetn a tkletesen rugalmatlan tkzs eredmnyt kapjuk. Ez azrt van gy, mert a kzs sebessg elrse utn a testek egytt mozognak, teht hinyzik az tkzs msodik szakasza, mert az tkzs az els szakasszal befejezdtt.

Ai; r. AI^ = 0

A tkletesen rugalmas tkzs esetn k - \

AIi = Ai; s Al2 = AI^,

vagyis a kzs sebessg elrse s a sztlkds azonos mdon jtszdik le.

A valsgban lejtszd, nem tkletesen rugalmatlan tkzseknl 0 < A: < 1.

1.5.5. MUNKATTEL A PONTRENDSZERREAz elz rszekben trgyalt sszefggsek felhasznlsval

hatrozzuk meg a pontrendszer teljes mozgsi energijnak megvltozst, az egyes testekre hat erk munkja alapjn! A tmegpont dinamikai lersakor megllaptottuk, hogy a tmeg

64 1. MECHANIKA

pont mozgsi energijnak vltozst a kls erk munkja adja meg.

Tekintsink elszr egy olyan egyszer rendszert, amelyben csak bels erk hatnak! Ilyen pldval tallkoztunk, amikor a korcsolyzk sztlktk egymst. Nyilvnval, hogy a korcsolyzk gy energira tettek szert. Megllapthatjuk teht, hogy a mozgsi energia megvltozsa szempontjbl a kls s a bels erk szerepe nem klnl el gy, mint a pontrendszer lendletnek megvltozsakor. A pontrendszer teljes mozgsienergia vltozst a fellp kls s bels erk munkjnak sszege adja meg:

Wk + Wb = AEssz-mI H] Ez az sszefggs a pontrendszerre vonatkoz munkattel.

1.6. A TMEGVONZS1.6.1. KEPLER TRVNYEI

A bolygk Nap krli mozgsnak trvnyeit elszr Kepler fogalmazta meg. Ezek a trvnyek, valamint az egyre pontosabb mrsek tettk lehetv Newton szmra az ltalnos tmegvonzs felismerst s lerst.

E Kepler I. trvnyeA bolygk ellipszisplykon mozognak a Nap krl; az ellipszisek egyik gyjtpontja (fkusza) kzs trbeh pont, ebben tallhat a Nap (1.41. bra).

1. MECHANIKA 65

[T] Kepler n . trvnyeA Naptl a bolyghoz hzott vezrsugr egyenl idk alatt egyenl terleteket srol (1.42. bra).

H] Kepler l. trvnyeA bolygk keringsi idinek ngyzetei gy arnylanak egymshoz, mint a bolygplyk fl nagytengelyeinek kbei. Kt bolygra:

: T | = a? : a:

ahol Ti s T2 a kt keringsi id, a\ s 2 a kt fl nagytengely.

Vizsgljuk meg kzelebbrl a hrom trvny jelentst! Az ellipszissel kapcsolatos elnevezsek az 1.43. bra szerint:

- nagytengely (2a), felnek jele: a- kistengely i2b), felnek jele; b- excentricits (az ellipszis kzppontjnak s egjdk fkusz

pontjnak tvolsga), jele: c.

Az ellipszis lapultsga a c/a kifejezssel jellemezhet, ez numerikus excentricits, jele e, rtke nulla s egy kz esik. Ha s < < 1, akkor az ellipszis megkzelti a krt.

A legtbb bolygnl e

1. MECHANIKA

A III. trvny szemlletesen annyit jelent, hogy a Naptl tvolabbi bolygk keringsi ideje hosszabb.

Kepler I. trvnybl az is kvetkezik, hogy a bolygk mindegyike skmozgst vgez, ez a sk az egyes bolygk esetben ahg tr el egymstl, teht mindegyik kzeltleg egybeesik a Fld keringsi skjval, amit ekliptiknak neveznk. A bolygk mind ugyanolyan krljrs szerint keringenek a Nap krl. Ezek a tnyek a Naprendszer kialakulsnak alapjn magyarzhatk.

1.6.2. A BOLYGMOZGS DINAMIKAI LERSA

A bolygk mozgsnak dinamikai lerst elsknt Newton oldotta meg. Tekintsk t az ltala kvetett gondolatmenetet egyszerstett formban!

Newton felttelezte, hogy a Nap s a bolygk kztt vonzer mkdik, amely a bolygt s a Napot sszekt egyenesbe esik. Lttuk, hogy a legtbb bolyg plyja csak kevss tr el a krtl. Ebbl kiindulva a mozgsokat krmozgsoknak tekintjk. (Ellipszisplyra szmolva a vgeredmny ugyanaz lenne, csak sokkal bolyolultabb szmts utn.)

Krplya psetn a centripetlis gyorsuls

2 4r2n^acp = ru

Hasonltsuk ssze a kt bolyg s az centripetlis gyorsulst:

ai 4riII^ 4r2ll^2 n T |

Kepler III. trvnye szerint:rp2 . rp2 _ 3 . 3 -^ l ^2 - ^ 1 2^

Ezt felhasznlva, a gyorsulsok arnya kifejezhet a plyasugarakkal:

1. MECHANIKA 67

0.2 r \

Lthat, hogy a centripetlis gyorsulsok arnya a Nap-bolyg tvolsgok ngyzetvel fordtottan arnyos, teht ltalban:

cJ.2

Ebbl Newton II. trvnye alapjn az kvetkezik, hogy a bolygk gyorsulst ltrehoz er is a tvolsgok ngyzetvel fordtottan arnyos.

rjuk fel Newton II. trvnyt egy bolygra, amelynek tmege m:

r = m a = - r -J.2

Ezt az ert a Nap fejti ki a bolygra. A hats-ellenhats trvnye miatt a bolyg is ugyanilyen nagysg ert fejt ki a Napra. Ezt az ert azonban szimmetriaokok miatt a Nap tmegvel arnyosnak kell tekintennk. Ezrt a C arnyossgi tnyeznek tartalmaznia kell a Nap M tmegt, vagyis:

C - / M

ahol/sem a bolyg, sem a Nap tmegt mr nem tartalmaz lland. gy a vonzer a kvetkez alakban rhat:

Ez a Nap s a bolygk kztti erhats trvnye.

hatatlanul flmerl a krds, vajon ilyen termszet-e a Fld s a Hld, vagy a Fld s egy tetszleges test, ill. ltalban kt tetszleges test kztt fellp er, tovbb vajon az es testeket ugyanolyan jelleg er gyorstja-e a Fld fel, mint amilyen er a Holdat a plyjn tartja? Ha igen, akkor e kt gyorsuls kztt is az

68 1. MECHANIKA

J.2

kapcsolat ll fenn. Szmoljunk utna ennek!A test gyorsulsa a Fld kzppontjtl R fldsugrnyi tvol

sgban:a i= 9 ,8 1 /32

A Hold gyorsulsa meghatrozhat a Hold keringsi adataibl. A Hold T = 21 nap 7 ra 43 perc keringsi idvel a Fld kzppontjtl 60 R tvolsgra kering; gy a gyorsulsa;

02 = 0,272

(A Fld sugara R = 6370 km)A kt gyorsuls hnyadosa:

= 3606;0.2

mg a kt tvolsg ngyzetnek hnyadosa:1

60i?2 3600 ami igen j egyezst mutat az

2^ertrvnnyel.

Ezek ismeretben az ltalnos tmegvonzs megfogalmazsa csak egy lps.

1.6.3. AZ LTALNOS TMEGVONZS TRVNYE

Az elz rszben lttuk, hogy a Nap s a bolygk, a Fld s a Hold, valamint a Fld s a fldi testek kztt fellp vonzer az anyagi testek egysges fizikai tulajdonsgaknt ltszik megjelenni. Ezt a felismerst ltalnostva fogalmazta meg Newton az ltalnos tmegvonzs trvnyt.

1. MECHANIKA

H] Brmely kt test kztt klcsns vonzer lp fel, amely pontszer testek esetn a kt test tmegvel egyenesen, a kzttk lv tvolsg ngyzetvel fordtottan arnyos:

F = fmim2

J.2

Ez a tmegvonzs, ms nven gravitcis klcsnhats az anyagi testek egyik alapvet klcsnhatsi formja.

I [U Az/arnyossgi tnyez a gravitcis lland.

Hogyan hatrozhat meg/rtke?

[k] Cavendish ksrlete. Az 1.44. brn lthat, nagyon vkony, rugalmas szlon fgg slyzra a kt nagyobb goly ert fejt ki. Megmrve a torzis szl elcsavarodst, meghatrozhat az er nagysga, s igazolhat, hogy az er valban a tmegekkel egyenesen s a tvolsg ngyzetvel fordtottan arnyos.

A mrst elvgezve, a gravitcis lland rtkre

/ = 6,7-10 - 1 1 N ljg2

addik.

0

A lert mrst Cavendish vgezte el. A torzis szl nagyon kis er hatsra is elcsavarodik, rendkvl rzkeny eszkz, ezrt lehetett vele megmrni a nagyon kis rtk gravitcis llandt.

70 1. MECHANIKA

1.6.4. A TEHETETLEN S SLYOS TMEGA gravitcis klcsnhats vizsglatakor ugyanazon testek

tmeggel kapcsolatos ktfle tulajdonsgt vettk figyelembe. Az els tulajdonsg a tehetetlensg, amely azt jelenti, hogy a test mozgsllapotnak megvltoztatshoz erhats szksges. A msodik tulajdonsg a gravitcikpessg, amely azt jelenti, hogy kt test klcsnsen vonzza egymst. Felmerl a krds, hogy milyen sszefggs ll fenn e ktfle tulajdonsg kztt? tmenetileg klnbztessk meg ezt a kt tulajdonsgot, a tehetetlensg mrtkt jelljk mt-vel, a gravitcikpessg mrtkt pedig mg-vel. A kztk fennll sszefggs kidertse rdekben vizsgljuk meg a szabadesst!

Szabadess kzben a testre hat er j kzeltssel a gravitcis er. gy Newton II. trvnye a szabadon es testre:

ahol Mg a Fld gravitl tmege, R a sugara s g a test gyorsulsa. trendezve:

mt ^ ^ Mgmg gB?

A nehzsgi gyorsuls rtke a Fld adott helyn minden testre ugyanaz, a kifejezs jobb oldala ezrt lland.

Ez azt jelenti; hogy a tehetetlen tmeg arnyos a gravitl tmeggel. Ezt a fontos kvetkeztetst Etvs Lornd nagy pontossg ksrletekkel igazolta.

Az arnyossg kvetkezmnye, hogy ha azon test gravitl tmegt vlasztjuk egysgnyinek, amely test tehetetlen tmege is egysgnjd, akkor a kt mrtkszm brmely test esetn megegyezik.

Ez esetben viszont a mrtkegysg is ugyanannak vlaszthat, annak ellenre, hogy a test kt egszen ms tulajdonsgrl van sz. A kvetkezkben mindkt tmeg mrtkegysgl a kg-t vlasztjuk, s mindkt tmeget m-mel jelljk.

1. MECHANIKA 71

1.6.5. A GRAVITCIS ERTRBEN MOZG TEST

A gravitcis tr konzervatv ertr, ezrt bevezethet a potencilis energia, s igaz a mechanikai energia megmaradsnak ttele. A gravitcis trben, ha a referenciapontot (a nulla potencil helyet) vegtelen tvolra vlasztjuk, a potencilis energia az

Epot - - /

sszefggssel adhat meg, ahol M a teret kelt, m pedig a trben mozg test tmege. Az energia azrt negatv, mert ahhoz, hogy a testet vgtelen tvolra vigyk a teret kelt testtl, munkt kell vgeznnk.

Az sszenergia gy:_ 1 2

E'SSZ /2 r

Ha az sszenergia negatv, akkor a test kttt plyn (nevezetesen ellipszis-, esetleg krplyn) mozog, tovbb megmutathat, hogy nem kttt rendszereknl, ha az sszenergia pozitv, akkor a plya hiperbola, ill. hatresetben, ha az sszenergia nulla, akkor a plya parabola.

1.7. MEREV TESTEK EGYENSLYA1.7.1. A MEREV TEST FOGALMA

I [H Abban az esetben, ha a test mretei a klcsnhats sorn nem elhanyagolhatak, kiterjedt testrl beszlnk.A kiterjedt testeket kt n^ g^y csoportba osztjuk: merev testek

s deformlhat testek csoportjra.

72 1. MCHANIKA

[U Merev testrl beszlnk, ha a test a r hat erk hatsra elhanyagolhat mrtk alakvltozst szenved. Ellenkez esetben a testet deformlhat testnek nevezzk.

Defincink rtelmben minden test egyszerre merev s deformlhat test, hiszen a legkemnyebb aclrd is meghajlthat megfelel szerszmokkal, ugyanakkor egy szivacsgoly alakja nem vltozik meg jelentsen, amikor elgurtjuk, pedig nagyon knnjm sszenyomni. Ebben s a kvetkez fejezetben a merev testek mechanikjval foglalkoznk. A deformlhat testek mechanikja az ezutn kvetkez fejezetben tallhat.

A merev testre er hatsa nemcsak az irnytl s nagysgtl fgg, hanem attl is, hogy hol hat a testre. Ezrt vezetjk be a kvetkez kt fogalmat:

I [d] Az az egyenes, amely mentn az er hat, az er hatsvonala.Im Az a pont, ahol az erhats a testet ri, az er tmadspontja.I ID Az er tmadspontja a hatsvonala mentn eltolhat.

1.7.2. A FORGATNYOMATKAdott egy merev test, amely akadlytalanul elfordulhat egy

rgztett tengely krl (1.45. bra).Tapasztalatbl tudjuk, hogy amennyiben a testre egy olyan F

er hat, amelynek hatsvonala nem megy t a tengelyen, a test gyorsulva forogni kezd. Ahhoz, hogy a test forgst megakadlyozzuk, egy olyan F ert kell kifejtennk, amely ellenttes irnyba forgatn a testet. Igaz az erre, hogy nagysgt megszorozva hatsvonalnak a tengelytl mrt tvolsgval, ugyanazt az eredmnyt kapjuk, mintha az F er nagysgt szoroznnk a hatsvonalnak a tengelytl mrt tvolsgval (1.46. bra). A merev testre hat er forgat hatsnak mrtkl vezessk be a kvetkez kt mennyisget.

1. MECHANIKA 73

I n Az er hatsvonalnak a tengelytl mrt tvolsga az erkar.I [H Az er adott tengelyre vonatkoz forgatnyomatka az er nagysgnak s az erkarnak a szorzata.

A forgatnyomatk jele: M, dimenzija: er szorozva tvolsggal, mrtkegysge: lN lm = lN m.

Megjegyzs: A forgatnyomatk vektormennyisg, de ebben a knyvben csak olyan problmkat vizsglunk, ahol az erk s az erlcarok egy kzs skban fekszenek, teht ekkor a forgat- nyomatk-vektor merleges a skra, ezrt szmunkra elegend, ha a forgatnyomatkot mint eljeles mennyisget hasznljuk s sszegezzk. A skra nzve az ramutat jrsval ellenttesen forgatni szndkoz forgatnyomatkot tekintjk pozitvnak, az ramutatval megegyez irnyba forgatt negatvnak.

1.7.3. MEREV TESTRE HAT ERK SSZEGZSE

E knyvben csak olyan eseteket trgyalunk, amelyekben a merev testre hat erk egy skban hatnak.

74 1. MECHANIKA

Szget bezr erk sszegeAz 1.47.a. brnak megfelelen a testre az Fi s a vele nem

prhuzamos F2 er hat. Tmadspontjukat eltolhatjuk hatsvonalaik metszspontjba (1.47.b bra), gy n^r sszegezhetjk ket. Az erk eredjt szintn eltolhatjuk a hatsvonala mentn. Ez akkor fontos, amikor a hatsvonalak metszspontja a testen kvl van.

Prhuzamos, azonos irny erk sszegzseAz 1.48. brnak megfelelen a testre az Fi s F2 erl hat

nak. Mivel az erlc hatsvonalaik mentn eltolhatok, az brkat mr eleve gy vettk fel, hogy a tmadspontokat sszekt szakasz merleges legyen a hatsvonalakra. Mivel hatsvonalaik nem metszik egymst, ezrt az elz mdszer nem alkalmazhat.

1. MECHANIKA 75

Az 1.49. bra szerint vegyk fel az F s - F prhuzamos segderket, gy a test egyenslyt nem befolysoljk. Az Fi + F s F2 + (-F ) erk sszegt mr meghatrozhatjuk. Az brn azonos mdon vonalkzott hromszgek egybevgsga miatt az Fi + F2 er nagysga a kt er nagysgnak sszege s az bra jellseit felhasznlva hatsvonalnak helye is meghatrozhat a hasonl hromszgek oldalaira felrt arnyokbl.

Az ered er hatsvonala prhuzamos az Fi s F2 hatsvonalval, s az

Fi/ui = ^2^2sszefggs szerint metszik a kt er tmadspontja ltal meghatrozott szakaszt. Eredmnynket megvizsglva lthatjuk, hogy az ered er hatsvonalnak brmely pontjra az Fi s F2 er forgatnyomatknak sszege nulla.

Prhuzamos, ellenttes irny erk eredjeA prhuzamos, ellenttes irny erk sszegt hasonl m

don hatrozhatjuk meg.Az ered er nagysga az Fi s F2 er nagysgnak klnbs

ge. Hatsvonalra, az 1.50. bra jellseit hasznlva, azFiki = F2k2

76 1. MECHANIKA

sszefggs teljesl. Ebben az esetben is igaz, hogy az ered er hatsvonalnak brmely pontjra az Fi s F2 forgatnyoma- tknak sszege nulla. Mind az azonos irny, mind az ellenttes irny prhuzamos erk esetben, ha ismerjk az ered er nagysgt s helyt, egyenslyban tudjuk tartani a testet az ered ervel kzs hatsvonal, azonos nagysg s ellenttes irny ervel.

Abban az esetben, ha kt egyenl nagysg, ellenttes irny ert sszegznk, az ered er nagysga nulla, de a test nem lesz egyenslyban, mert gyorsul forgst vgez. Ebben az esetben teht nem tudjuk egyetlen ervel egyenslyban tartani a testet.

I A prhuzamos hatsvonal, ellenttes irny, egyenl nagysg er neve erpr.Vizsgljuk meg az erpr forgatnyomatkt egy tetszlege

sen vlasztott tengelyre (1.51.a,b bra)!

Az F er forgatnyomatka Mi = Ffci a - F er M2^-F/c2- sszegk:

1. MECHANIKA 77

Ml - Ffci - Fk2 = Fd

m Erpr forgatnyomatka a forgstengely helytl fggetlenl M = Frf, ahol F az erk nagysga, d pedig a hatsvonalaik tvolsga.

Megllapthatjuk, hogy egy erpr a legegyszerbb mdon egy msik erprral egyenslyozhat ki.

1.7.4. MEREV TEST EGYENSLYNAK FELTTELE

A merev test vgezhet halad s forg mozgst. Ahhoz, hogy halad mozgsnak sebessge ne vltozzk, az szksges, hogy a r hat erTc eredje nulla legyen. Az egyenslyhoz azonban ez a felttel mg nem elegend, mert ha az erlc forgatnyomatka nem nulla - pl. erpr esetn - a test gyorsulva foroghat. Az egyenslyhoz az is szksges, hogy a testre hat erlc brmely pontra vonatkoztatott forgatnyomatkainak sszege nulla legyen. Az egyensly felttele a kvetkez ttelben fogalmazhat meg:

E Merev test egyenslynak a felttele, hogy a r hat erk eredje s az e r ^ valamely pontra vonatkoz forgatnyomatkainak algebrai sszege nulla legyen.Egyenlettel kifejezve:

SF = 0 s EM = 0

Ha az ered er nem nulla, a test gyorsul. Ha a forgatnyo- matk-sszeg nem nulla, a test gyorsul forgst vgez.

Merev test tmegkzppontja s slypontjaA merev test minden egyes pontjra mint tmegpontra hat a

nehzsgi er. Ezeknek a fggleges erknek az sszege a testet r nehzsgi er. Ha valamely pontjban felfggesztnk egy merev testet s az nyugalomban van, a r hat nehzsgi

78 1. MECHANIKA

er s a felfggeszts ltal kifejtett'er hatsvonala egybeesik, azok egyenl nagysgak s ellenttes irnyak, mert a test csak gy lehet nyugalomban. Ugyanezt mondhatjuk el akkor is, ha a testet egy msik pontjban fggesztjk fel (1.52. bra).

Ksrletekkel s szmtsokkal egyarnt igazolhat, hogy a klnbz esetekben add hatsvonalak egy pontban metszik egymst. Ez a pont teht rendelkezik azzal a tulajdonsggal, hogy a nehzsgi er hatsvonala a test brmely helyzetben tmegy rajta.

[U Az a pont, amelyen a merev testre hat nehzsgi er hatsvonala a test brmely helyzetben tmegy, a test slypontja.

A slypont nem minden esetben esik a test belsejbe (pl. egy gyr esetn).

Ha a testet a slypontjban altmasztjuk vagy felfggesztjk, akkor az brmely helyzetben egyenslyban van.

A merev test tmegkzppontjt gy hatrozhatjuk meg, hogy gondolatban olyan parnyi rszekre bontjuk a testet, amelyek mr pontszernek tekinthetk, s az gy kapott pontrendszer tmegkzppontjt hatrozzuk meg.

1. MECHANIKA 79

1.7.5. EGYSZER GPEKAz egyszer gpek a gyakorlati alkalmazsok sorn lehetv

teszik, hogy erkifejtsnket megsokszorozzuk, s ezltal pl. olyan testeket tudunk felemelni, megmozdtani, amit izomernkkel kptelenek lennnk. Egyszer gp az emel, a hengerkerk, a csiga, a lejt, az A: s a csavar.

Az emelAz emel olyan merev test, amely egy tengely kril foroghat.

Kt fajtja az egykar s ktkar emel (1.53.a,b bra).

VZ777777777777777777777777777777777. 1.53.a bra

1.53.b bra

Mindkt tpusra teljesl, hogy az erk tengelyre vonatkoz forgatnyomatknak sszege nulla. Egyenlettel kifejezve:

Fifci = F2/U2 ;

80 1. MECHANIKA

ahol Fi az emel er s ki az er kaija, F2 a teher ltal az emelre kifejtett er s k2 az erkar. Az emel elvn mkdik az oll, a harapfog, a fesztvas, a taliga s az emberi kar is.

A hengerkerkA hengerkerk a ktkar emel

specilis esete. Az emelTckel csak kis magassg emelsek vgezhe- tlc, mg a hengerkerk folyamatos munkavgzst tesz lehetv.Alkalmazsa esetn az Fi emeler az ri sugar kerk rintjnek, mg a teher ltal kifejtett F2 er a kerkkel kzs tengelyen lv T2 sugar henger rintjnek irnyba mutat (1.54. bra).

Az egyenletes emelshez az szksges, hogy az F2 s az mg nehzsgi er nagysga egyenl legyen, s az Fi, F2 er forgatnyomatkai megegyezzenek: 1-54. bra

F m = F2T2

Hengerkerk a darl karja, a kerkpr pedlja, a kerekes kt stb.

Csigk s csigasorokAz llcsiga (1.55. bra) arra val, hogy az er irnyt meg

vltoztassuk.Az Fi s F2 er forgatnyomatknak a csiga tengelyre

egyenlnek kell lennie. Mivel a kt er erTcaija egyenl, a kt er nagysga megegyezik.

A mozgcsiga (1.56. bra) olyan egykar emelnek tekinthet, amelynek forgstengelye a csiga s a ktl O rintkezsi pontja. Egyenletes emelsnl az O pontra a forgatnyomatkok sszege nulla. Ebbl

1. MECHANIKA 81

-F ,

o

. rn^

1.55. bra 1.56. bra

Fi =Fz

Eredmnynket gy is magyarzhatjuk, hogy a testet kt ktl tartja, ezrt egy-egy ktlben a teher ltal kifejtett ernek a fele jelenik meg, az alkalmazott llcsiga viszont csak az er irnyt vltoztatja meg.

A kznsges s arkhimdszi csigasor lehetsges megvalstsai az 1.57. a,b brn lthatk.

Egyenletes emelsnl, ha a teher emelkedse h, a ktl vge 4/-val mozdul el. Mivel a kt munka sszegnek ismt nullnak kell lennie, ezrt az Fi er negyede a teher ltal kifejtett F2 ernek. ltalnos esetben az arkhimdszi csigasor n db mozg csiga alkalmazsa esetn:

F = G2"Kznsges csigasornl, ha 2n az ll- s mozg csigk sz

ma:

F = 2n

82 1. MECHANIKA

Lejt tpus egyszer gpekA lejt alkalmazsa esetn a testet ltalban vagy a lejtvel

vagy a lejt alapjval prhuzamos ervel mozgatjuk (1.58. bra).

Egyenletes mozgats esetn a lejtvel prhuzamosan mozgat F er s a testre hat mg nehzsgi er kztt az

F = mgsina

a lejt alapjval prhuzamos F mozgater esetn pedig azF = mgtga

sszefggs ll fenn. Ha a srldst is figyelembe vesszk, az sszefggsek mdosulnak, ugyangy, mint az eddig vizsglt sz- szes egyszer gp esetn. Trgyalsunkban idelis (teht srldsmentes) egyszer gpeket runk le.

1. MECHANIKA 83

A z k a lejt specilis alkalmazsa. Az 1.59. brn lv szimmetrikus k esetn az egyensly felttele - az bra jellseit hasznlva - a kvetkez:

84 1. MECHANIKA

A csavar szintn a lejtre vezethet vissza (1.60. bra). Maga a csavar tulajdonkppen egy henger oldalba vgott lejt, amin a mozgats a lejt alapjval prhuzamos ervel trtnik. gy az erk kztti sszefggs:

Fi = F2tgO! = F 22rn

1.7.6. EGYENSLYI HELYZETEKHa egy merev testet egyenslj helyzetbl kimozdtunk, az

j helyzetben az ered er s a forgatnyomatk ltalban nem nulla. Ha ebben a helyzetben a testet magra hagyjuk, hrom dolog lehetsges:

- a test visszatr egyenslyi helyzetbe;- j egyenslyi helyzet elrsre trekszik;- abban a helyzetben marad, amelybe elmozdtottuk.

Hl Azt az egyenslyi helyzetet, amelybe a test kismrtk kimozdtsa utn visszatr, stabil (biztos) egyensljd helyzetnek nevezzk.

A stabil egyenslyi helyzetbl kimozdtott testet a fellp erit kimozdtsa utn a test eredeti helyzete fel mozdtjk vagy forgatjk (1.61. bra).

1. MECHANIKA 85

mg

1.61. bra

[U Azt az egyenslyi helyzetet, amelybl a testet brmilyen kis mrtkben kimozdtva, a test tovbb mozog, j egyenslyi helyzet elrsre trekedve, labilis (bizonytalan) egyenslyi helyz