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14/01/2011
1
Misure Meccaniche
Definisce le regole per valutare ed esprimere l’incertezza nelle misure
GUM
Guida ideata e sviluppata da sette organizzazioni: BIPM: Bureau International des Poids et Mesures
IEC: International Electrotechnical Commission
IFCC: International Federation of Clinical Chemistry
ISO: International Organization for Standardization
IUPAC: International Union of Pure and Applied Chemistry
IUPAP: International Union of Pure and Applied Physics
Misure Meccaniche
IUPAP: International Union of Pure and Applied Physics
OIML: International Organization of Legal Metrology
2
14/01/2011
2
Informazione costituita da:
numero
incertezza
Misura
incertezza
unità di misura
X = (x ± u) g
Dove:
X : generica grandezza di misura
x : risultato della misura
u : incertezza di misura
Misure Meccaniche
g : unità di misura
Il risultato di una misurazione è la stima del valore del misurando e si considera completo solo quando viene accompagnato dalla valutazione dell’incertezza di tale stima (GUM 3.1.2)
Il misurando deve essere definito con sufficiente completezza in funzione dell’accuratezza richiesta (GUM 3.1.3)
3
Concetto di errore diverso dal concetto di incertezza
Errore rappresenta la differenza tra il valore misurato ed il valore “ ”
Errore
“vero”
Errori possono essere casuali o sistematici
Errori casuali (GUM 3.2.2):
Derivano da variazioni non conosciute e stocastiche delle grandezze di influenza
Gli effetti casuali determinano variazioni nella misura del misurando in presenza di misure ripetute
V id i d il di i i i
Misure Meccaniche
Vengono ridotti aumentando il numero di misurazioni
Il valore atteso (valore medio) è zero
Errori sistematici (GUM 3.2.3):
Errori aventi media non nulla
Se l’effetto di una determinata grandezza di influenza è noto la misurazione può essere corretta incertezza nel fattore di correzione
4
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3
Parametro associato al risultato di una misurazione che caratterizza la dispersione dei valori ragionevolmente attribuibili al misurando (VIM 1993)
Incertezza
(VIM, 1993)
L’incertezza del risultato di una misurazione riflette la mancanza di conoscenza del valore del misurando (GUM 3.3.1)
Eliminando gli errori sistematici rimangono gli errori casuali e l’incertezza relativa alla correzione utilizzata
Fonti di incertezza (GUM 3.3.2):
Incompleta definizione del misurando
Misure Meccaniche
Imperfetta definizione del misurando
Inadeguata conoscenza degli effetti delle condizioni ambientali sulla misura
Errore di lettura negli strumenti analogici
Risoluzione degli strumenti non infinita
……..
5
Componenti dell’incertezza vengono suddivise in due categorie basate sul metodo di valutazione: tipo “A” e “B” (GUM 3.3.3)
L l ifi i i di d di diff i l
Incertezza
La classificazione indica due metodi differenti per valutare l’incertezza non indicando alcuna differenza tra la natura delle componenti di incertezza
In entrambi i casi l’incertezza è valutata tramite una distribuzione di probabilità e la deviazione standard
Nessun legame con gli errori di tipo sistematico e casuale
Misure Meccaniche6
TIPO AOttenuta da una
funzione di probabilità calcolata da dati
misurati
TIPO BOttenuta da una
funzione di probabilità assunta essere quella
reale
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4
Determinazione di un modello matematico per descrivere il misurando
Valutazione dell’incertezza
1 2 3( , , ,..., )NY f X X X XMisurando Grandezze che i fl il i d
Grandezze in ingresso:
1. Quantità i cui valori ed incertezze sono determinate direttamente durante la misura
2. Quantità i cui valori ed incertezze hanno origine esterna alla misurazione come nel caso di coefficienti ottenibili nei manuali o nei certificati di taraturadegli strumenti utilizzati
La stima della misura risulta essere (GUM 4.1.4) : n misure per ogni grandezza in ingresso
influenzano il misurando
Misure Meccaniche
La deviazione standard associata ad Y, detta incertezza combinata standard uc(y), è ottenuta conoscendo la deviazione standard associata ad ogni grandezza in ingresso u(xi) (GUM 4.1.5)
7
grandezza in ingresso
1, 2, 3, ,1 1
1 1( , , ,..., )
n n
k k k k N kk k
Y Y f X X X Xn n
TIPO A TIPO B
Valutazione dell’incertezzaTIPO A
Comprende quelle incertezze di misura la cui valutazione puòessere basata su metodi statistici (oggettivi) essere basata su metodi statistici (oggettivi)
TIPO BComprende quelle incertezze la cui stima è basata su “altri
metodi”, implicando valutazioni di tipo soggettivo
Se durante la misura tutte le grandezze d’influenza da cui essa dipende variano in modo casuale si può utilizzare un approccio statistico (TIPO A)
Misure Meccaniche8
statistico (TIPO A)
Operazione lunga e costosa e non sempre fattibile
L’incertezza finale sulla misurazione è ottenuta tenendo conto sia di una incertezza di tipo A che di incertezze di tipo B
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5
Tutti le grandezze in ingresso variano in modo casuale
Valutazione dell’incertezzaINCERTEZZA TIPO A
Stima della i‐ma grandezza:
Deviazione standard di ogni singola misura per l’i‐ma grandezza:
,1
1 n
i i jj
X Xn
2
,1( )
n
i j ij
X X
s X
Misure Meccaniche
Deviazione standard della media dell’i‐ma grandezza:
9
( )1is X
n
( )( ) i
i
s Xs X
n
Stima dell’incertezza di ogni singola grandezza in ingresso:
Valutazione dell’incertezzaINCERTEZZA TIPO A
Stima dell’incertezza combinata standard:
Incertezza estesa:
( ) ( )i iu x s X
2
1
( ) ( )N
C ii
u x u x
( ) ( )U x k u x k f tt di t
Misure Meccaniche
k è il fattore di copertura:
k=1 equivale una confidenza pari al 68.3%
k=2 equivale una confidenza pari al 95.5%
k=3 equivale una confidenza pari al 99.7%
10
( ) ( )CU x k u x k fattore di copertura
Ipotizzando la distribuzione degli
errori di tipo gaussiano
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6
Misura della temperatura utilizzando una Pt100:
Valutazione dell’incertezzaINCERTEZZA TIPO A Esempio
1. Si effettuano 30 ripetizioni e i dati ottenuti (°C) sono:
2. Si calcola la media, la deviazione standard e la deviazione standard della media:
24 83°CT
25,32 25,39 24,68 23,23 25,66 24,9925,06 26,28 25,09 25,10 23,93 25,6523,99 24,59 23,83 22,96 23,99 25,5524,74 24,32 24,98 24,14 25,38 23,4725,25 25,84 24,10 25,59 25,83 26,17
Misure Meccaniche11
24,83°C
( ) 0,87°C
0,87( ) °C 0,16°C
30
T
s T
s T
3. Si calcola l’incertezza combinata standard:
Valutazione dell’incertezzaINCERTEZZA TIPO A Esempio
3
4. Si calcola l’incertezza estesa associata alla misurazione con confidenza pari al 95,5% :
5. Non sono note le incertezze legate a:
( ) ( ) 0,16°CCu T s T
( ) ( ) 2 ( ) 0,32°CC CU T k u T u T
Misure Meccaniche
Strumento di misura Pt100;
Strumento terminale per la misura della resistenza del termometro;
Tensione di alimentazione;
…….
6. Bisogna poter inserire le incertezze elencate utilizzando un differente metodo di valutazione (metodo B)
12
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7
L’incertezza stimata da informazioni riguardanti la possibile variabilità d l i d
Valutazione dell’incertezzaINCERTEZZA TIPO B
del misurando stesso.
Le informazioni possono derivare da:
1. Dati di misure precedenti
2. Conoscenza del comportamento dei materiali
3. Conoscenza del comportamento degli strumenti
4. Specifiche del costruttore
5. Dati di taratura o di altri certificati
Misure Meccaniche
6. Incertezza assegnata a dati di riferimento presenti nei manuali
7. Previsioni circa le variazioni di grandezze d’influenza
8. ……..
13
Bisogna individuare ogni causa di incertezza
Valutazione dell’incertezzaINCERTEZZA TIPO B
Si individua un intervallo di valori entro il quale si suppone debbano cadere i valori del misurando
Si deve stabilire una densità di probabilità per ogni fonte di incertezza:
1. Distribuzione normale
2. Distribuzione rettangolare
3. Distribuzione triangolare
4. Distribuzione a U
Misure Meccaniche
Si stima l’incertezza combinata standard
Si stima l’incertezza estesa
14
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8
La distribuzione normale si utilizza quando è maggiore la probabilità di l i i i l l di h l i d
Valutazione dell’incertezzaDistribuzione normale
trovare valori prossimi al valor medio che lontani da esso
Esempio: misura di temperatura con valore
medio a 100 °C
Misure Meccaniche15
2
2
2 2
1( )
2
( ) ( ) ( )
x
p x e
x x x p x dx
( ) ( )u x x
La distribuzione rettangolare si utilizza quando si conoscono i limiti di i i d l i d
Valutazione dell’incertezzaDistribuzione rettangolare
variazione del misurando
La probabilità di trovare valori all’interno dell’intervallo è la stessa
Viene in genere utilizzata nel caso in cui non si abbiano informazioni sulla distribuzione all’interno dell’intervallo
1( )
2p x a x a
a
Misure Meccaniche16
( ) 0 p x x a x a
2( ) ( )
12 3
a au x x
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La distribuzione triangolare si utilizza qualora vi sia maggiore b bili à di l i i i ll di i h l
Valutazione dell’incertezzaDistribuzione triangolare
probabilità di trovare valori prossimi alla media piuttosto che lontano da esso
Si ipotizza una variazione lineare tra la media ed i limiti
2
( )( )
2
( )( )
a ax ap x a x
aa aa x
p x x a
Misure Meccaniche17
2( )
2( ) 0 altrimenti
p x x aa
p x
( ) ( )16
au x x
La distribuzione ad “U” è utilizzata quando è maggiore la probabilità di i l i i i i i i li i i i h i l l
Valutazione dell’incertezzaDistribuzione ad “U”
trovare i valori misurati vicino ai limiti piuttosto che intorno al valore medio.
Esempio: effetti con andamento sinusoidale come vibrazioni, temperature giornaliere, ecc.
( )a
Misure Meccaniche18
( )2
u x
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Valutazione dell’incertezzaDistribuzioni di densità di probabilità
2( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12 16 2
a a au x x u x u x u x
Misure Meccaniche19
Il fattore moltiplicativo della distribuzione ad U è maggiore di quello della distribuzione rettangolare e triangolare
Valutazione della temperatura e dell’incertezza legata alla misurazione ili d P
Valutazione dell’incertezzaINCERTEZZA TIPO B Esempio
utilizzando una Pt100
Si effettua una sola misurazione avente come risultato:
Si elencano le incertezze associate alla misura dovute a:
1. Termometro
2. Alimentazione non costante
3. Strumento terminale
10,12°Cu T
24,85°CT
20, 03°Cu T
30, 02°Cu T
Misure Meccaniche
3
Si calcola l’incertezza combinata standard:
Si calcola l’incertezza estesa per k=2
20
3,
32
1
( ) ( ) 0,13°CC ii
u T u T
( ) 2 ( ) 0,26°CCU T u T
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In genere i contributi all’incertezza combinata standard sono ottenuti
Valutazione dell’incertezzaRIEPILOGO
gtramite i metodi A e B contemporaneamente. Di fatti si possono avere due situazioni limite:
1. Singola misurazione – non è possibile stimare le incertezze di tipo A, si considerano unicamente quelle di tipo B;
2. Numerose misurazioni – tutte le grandezze di influenza vengono fatte variare in modo casuale per stimare le cause di incertezza unicamente tramite metodo A;
Sti ti i t ib ti i l l l d ll’i t bi t
Misure Meccaniche
Stimati i contributi si passa al calcolo dell’incertezza combinata standard
Si stabilisce il fattore di copertura e si fornisce il valore dell’incertezza estesa
21
L’incertezza composta si usa in presenza di misure indirette ossia è l f i l l d i ( ) d il
Valutazione dell’incertezzaPropagazione delle incertezze
presente un legame funzionale tra le grandezze misurate (xi) ed il parametro di cui si vuole conoscere la misura (y)
L’incertezza composta è una stima della dispersione dei valori di y a causa delle incertezze associate a xi
Le incertezze associate possono essere di tipo “A” e di tipo “B”
1 2, ,..., Ny f x x x
Misure Meccaniche
p p p
Le grandezze misurate possono essere tra di loro indipendenti o correlate
22
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Grandezze misurate indipendenti
Valutazione dell’incertezzaPropagazione delle incertezze
1 2 3, ,y f x x x
1 1 1
2 2 2
3 3 3
x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 31 2 3
, ,
y y y
y y y
y f x x x y
f f fy x x x
x x x
Sviluppo in serie di Taylor
Misure Meccaniche23
2
2 2
1
N
C ii i
fu y u x
x
Incertezza di tipo A o B per ogni variabile
Esempi:
Valutazione dell’incertezzaPropagazione delle incertezze
2
y a b c
1 1 1f f f
a b c
2 2 2Cu y u a u b u c
2
2 2
1
N
C ii i
fu y u x
x
Misure Meccaniche24
y a b c
f f f
bc ac aba b c
2 2 2
2 2 2
Cu y u a u b u c
y a b c
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Grandezze misurate correlate
Valutazione dell’incertezzaPropagazione delle incertezze
2
12 2
1 1 1
2 ,N N N
C i i j i ji i j ii i j
f f fu y u x u x u x r x x
x x x
Coefficiente di correlazione
,i ju x xr x x r=0 non c’è correlazione
Misure Meccaniche25
,i j
i j
r x xu x u x
r=1 correlazione massima
1
1, covarianza tra e
n
i j i j i i j jk
u x x x x x x x xn
Esempio: consideriamo tre variabili a b c dove a=f(b)
Valutazione dell’incertezzaPropagazione delle incertezze
2 2 2
2 2 2 2
2 ,
2 2
C
f f fu y u a u b u c
a b c
f fu a u b r a b
a bf f f f
b b
Misure Meccaniche26
2 , 2 ,f f f f
u a u c r a c u b u c r b ca c b c
2 2 2
2 2 2 2 2 ,C
f f f f fu y u a u b u c u a u b r a b
a b c a b
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14
Misura di una resistenza nel partitore di tensione
Valutazione dell’incertezzaPropagazione delle incertezze Esempio
2 1GG
VR R R
V V
Misure Meccaniche27
1. VG=12V tensione di alimentazione con incertezza estesa U(VG)=10mV (k=2)2. RG=10Ωmisurata tramite 10 letture, la deviazione standard è 12,65 Ω3. R1=1kΩ e u(R1)=5Ω4. V=7,77V misurata tramite voltmetro a 3 cifre (presente unicamente un errore di
quantizzazione
Calcolare:
Valutazione dell’incertezzaPropagazione delle incertezze Esempio
1. Calcolare l’incertezza assoluta per tutti i parametri
2. Calcolare il valore di R2
3. Calcolare l’incertezza combinata standard di R2
4. Calcolare l’incertezza estesa di R2
Misure Meccaniche
Soluzione:
28
1
2 2 2
5 4 2,9mV 5mV
1929 12 24
G G
C
u R u R u V u V
R u R U R
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Cosa succede se non è noto il legame funzionale tra le grandezze misurate (xi) ed il parametro di cui si vuole
Valutazione dell’incertezza
conoscere la misura (y)?
Si utilizza il supplemento alla GUM (JCGM 101:2008) basato sulla propagazione delle distribuzioni
Il Supplemento raccomanda di implementare detta
1 2, ,..., Ny f x x x
Misure Meccaniche
Il Supplemento raccomanda di implementare detta propagazione delle distribuzioni mediante la Simulazione Monte Carlo
29
Valutazione dell’incertezzaPropagazione delle distribuzioni
La propagazione delle distribuzioni va utilizzata quando:
1. Il modello funzionale devia fortemente dalla linearità;
2. Le derivate parziali sono difficilmente calcolabili;
3. Le distribuzioni di probabilità associate alle grandezze da misurare non sono gaussiane;
4. La propagazione delle incertezze fornisce una sovrastima dell’incertezza associata alla misura finale (dello stesso ordine della variabile analizzata);
M d ll f i l
Misure Meccaniche
5. Modello funzionale non noto;
6. Modello funzionale complesso (logaritmo, ecc).
30
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16
Procedimento:
Valutazione dell’incertezzaPropagazione delle distribuzioni
1. Definire la variabile di uscita Y;
2. Determinare le variabili di ingresso Xi da cui Y dipende;
3. Sviluppare un modello matematico che leghi le Xi con Y;
4. Assegnare le distribuzioni di probabilità per ogni Xi;
5. Propagare le distribuzioni di ogni Xi utilizzando il modello ipotizzato per calcolare la funzione distribuzione di probabilità di Y;
6. Calcolare il valore atteso e la deviazione standard di Y;
l l l’ ll d f d ( ll d ) l b l
Misure Meccaniche
7. Calcolare l’intervallo di confidenza (intervallo di copertura) per la variabile Y.
31
Simulazione Monte Carlo
Simulazione Monte Carlo:
Valutazione dell’incertezzaPropagazione delle distribuzioni
61. Selezionare un numero M di simulazioni (di solito );
2. Generare M vettori di numeri per le variabili Xi tenendo in considerazione la funzione di distribuzione di probabilità associata ad ogni Xi;
3. Per ogni vettore calcolare ;
4. Ordinare gli M elementi di y in ordine non decrescente;
5. Costruire la Fy come conteggio progressivo normalizzato al numero totale dell’insieme y(k);
6 C l l l di l d i i t d d di
610
1 2( , , ..., ) 1...
k k k Nky g X X X k M
Misure Meccaniche
6. Calcolare la media e la deviazione standard di y;
7. L’intervallo di copertura [y1, y2] correlato ad una probabilità di copertura p, è il più piccolo intervallo [y1, y2] per cui
32
2 1( ) ( )
YF y F y p
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17
Si consideri l’esempio del partitore di tensione;
Valutazione dell’incertezzaPropagazione delle distribuzioni
1
Esempio
Per ogni variabile nota la distribuzione di probabilità si calcola il vettore numerico corrispondente
62 1 10G
G
VR R R M
V V
12.04Tensione Vg (V)
7 785
7.79Tensione V (V)
7, 77V distribuzione rettangolare 0, 005VV a 12V distribuzione normale 5mVG
V
2
Misure Meccaniche330 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 105
11.97
11.98
11.99
12
12.01
12.02
12.03
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 105
7.75
7.755
7.76
7.765
7.77
7.775
7.78
7.785
Valutazione dell’incertezza1
1000 distribuzione normale 5R 50 distribuzione normale 4G
R
70
75Resistenza Rg ()
1020
1025Resistenza R1 ()
2000Resistenza output ()
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 105
30
35
40
45
50
55
60
65
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 105
975
980
985
990
995
1000
1005
1010
1015
Misure Meccaniche340 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 105
1860
1880
1900
1920
1940
1960
1980
3Per ogni valore ottenuto si calcola la resistenza R2
2 1GG
VR R R
V V
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Valutazione dell’incertezza4‐5
Dopo aver ordinato i valori di R2 in modo non decrescente si costruisce la FR avente in ascissa i valori di R2 ed in ordinata l’indice normalizzato
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Funzione distribuzione della resistenza R
Misure Meccaniche35
1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 20000
0.1
0.2
0.3
0.4
Valutazione dell’incertezza
2 21928,7 12,2R R 6 Si passa al calcolo della media e della deviazione standard di R2
2 2
7
0 8
0.9
1p=0.9
Stesso risultato ottenuto con la propagazione degli errori
Infine si calcola l’intervallo di copertura [R2min, R2max], correlato ad una probabilità di copertura p, come il più piccolo intervallo [R2min, R2max] per cui
2 max 2 min( ) ( )
RF R F R p
Misure Meccaniche36
1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 19700
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
2
2min
2max
1928,7
1908,8
1948,5
R
R
R
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19
Prendiamo i valori della probabilità p pari a 68,3% 95,5% e 99,7%:
Valutazione dell’incertezza
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1p=0.683
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1p=0.955
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1p=0.997
Misure Meccaniche
Si vede come per p=68,3% l’intervallo ottenuto con la simulazione Monte Carlo è simile a quello ottenibile considerando
37
1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 19800
1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 19800
1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 19800
Descrivere chiaramente il metodo usato per calcolare il risultato della misura e l’incertezza correlata (GUM 7.1.4 a)
Ri li l i d ll’i
Esprimere l’incertezza
Riportare una lista contenente tutte le componenti dell’incertezza e come esse sono state calcolate (GUM 7.1.4 b)
Nel caso di incertezza estesa bisogna (GUM 7.2.3):
1. Fornire una descrizione esaustiva di come il parametro x è definito;
2. Riportare il risultato della misurazione come fornendo l’unità di misura;
3. Fornire l’incertezza estesa relativa pari a
Ri il l di k
( ) ( )CU x k u x
X x U U
x
Misure Meccaniche
4. Riportare il valore di k
5. Fornire il livello di confidenza approssimato associato con l’intervallo e come è stato calcolato
Se si misurano due grandezze contemporaneamente, oltre alla misura e alle incertezze relative ad ogni parametro, bisogna fornire la covarianza ed il coefficiente di correlazione (GUM 7.2.5)
38
xx U