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J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 1
Métodos Matemáticos Aplicados a
Processos Químicos e Bioquímicos
Capítulo III : Equações Diferenciais
Ordinárias
DISCIPLINA
José Luiz de Medeiros e Ofélia Q.F. Araújo
Engenharia Química – UFRJ
[email protected], [email protected]. 21-2562-7535
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 2
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
1. Definições
EDOnaçãodiferenciadeordemMaior:Ordem
...y,y,y,xcom.EqOrdinárialDiferenciaEquação:EDO
procuradamatemáticalaçãoRe:)x(y
,...2,1k,dx
yd:y
dependenteVariável:y
teindependenVariável:x
)2()1(
k
k)k(
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 3
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
1. Definições
Linearidade - EDO de O(n) é Linear quando tem a forma :
)x(Ry)x(Py)x(P 0)k(
n
1k
k
A EDO Linear abaixo, tem a seguinte Propriedade :
)x(R)y,...,y,y,x(g )n()1(
)y,...,y,y,x(g)y,...,y,y,x(g
)yy,...,yy,yy,x(g
)n(B
)1(BB
)n(A
)1(AA
)n(B
)n(A
)1(B
)1(ABA
Coeficientes da EDO Linear
dependem apenas da Variável
Independente
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
1. Definições
Linearidade - EDO de O(n) é Linear quando tem a forma :
)x(Ry)x(Py)x(P 0)k(
n
1k
k
A EDO Linear abaixo, tem a seguinte Propriedade :
)x(R)y,...,y,y,x(g )n()1(
)y,...,y,y,x(g)y,...,y,y,x(g
)yy,...,yy,yy,x(g
)n(B
)1(BB
)n(A
)1(AA
)n(B
)n(A
)1(B
)1(ABA
Coeficientes da EDO Linear
dependem apenas da Variável
Independente
2x2x
7xxexpxyxy2y
2
32)1()2(
É Não Linear
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 5
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
1. Definições
SOLUÇÕES
Solução Geral (SG) : Solução da EDO com constantes
arbitrárias
Solução Particular (SP) : Solução obtida da SG fixando-se
valor para constantes arbitrárias
Solução Singular (SS) : Solução que não pode ser obtida
da SG por atribuição às constantes
arbitrárias
Solução Completa (SC) : SG que produz qualquer solução
da EDO pela atribuição adequada
de valor às constantes arbitrárias
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 6
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
2. EDO Linear de Ordem 1
)x(Ry)x(Py)x(P 0)1(
1
Dividindo-se por P1(x) (0) e redefinindo-se termos :
)x(qy)x(py )1(
)x(P/)x(R)x(q
)x(P/)x(P)x(p
1
10
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 7
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
2. EDO Linear de Ordem 1
Resolução)x(qy)x(py )1(
Multiplica-se a EDO por um fator a especificar F(x) :
)x(q)x(Fy)x(F)x(py)x(F )1(
Escolhe-se F(x) tal que
dx)x(pexp)x(F
dx)x(p))x(Fln(dx)x(p)x(F
)x(dF)x(F)x(p
dx
)x(dF
Assim a Eq. (1), escreve-se
1
)x(q)x(F)x(yFdx
d)x(q)x(F
dx
)x(dFyy)x(F )1(
)x(F)x(pdx
)x(dF
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 8
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
2. EDO Linear de Ordem 1
Resolução)x(qy)x(py )1(
dx)x(q)x(FCte)x(yF)x(q)x(F)x(yFdx
d
dx)x(q)x(F)x(F
1)x(F/Ctey
dx)x(pexp)x(F
F(x) é o Fator de Integração da EDO
1b
1c
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 9
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
2. EDO Linear de Ordem 1
Exemplo 3.1
)x(qy)x(py )1(
x)1( eyy
dxeeCey
dx)x(Q)x(F)x(F
1)x(F/Cy
x2xx
xx edxexp)x(Fe)x(q,1)x(p
2
eCey
xx
Resolver a EDO abaixo :
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 10
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
procuradamatemáticalaçãoRe:)x(y
dx
yd:y
sdependenteiáveisvarde1xnVetor:
y
y
y
teindependenVariável:x
)1(
n
1
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 11
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
)x(qy)x(py )1( EDO Linear de Ordem 1
)x(qy)x(py)1(
Sistema EDOs Lineares de Ordem 1
1xn:)x(q,nxn:)x(p,1xn:
y
y
y
n
1
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 12
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
)x(qy)x(py )1( EDO Linear de Ordem 1
)x(qy)x(py)1(
Sistema EDOs Lineares de Ordem 1
1xn:)x(q,nxn:)x(p,1xn:
y
y
y
n
1
Para resolução é necessário generalizar a função exponencial
ordinária ex para o contexto matricial. Definimos, portanto, a
Operação Matricial conhecida como Exponencial Matricial.
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 13
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
...A!4
1A
!3
1A
!2
1AI)Aexp(
432
Define-se a Exponencial Matricial para qualquer matriz
quadrada A (seja esta singular ou não), tamanho n x n, pela série
infinita de potencias inteiras da matriz A abaixo :
nxnMatrizes:)Aexp(,A
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 14
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
Propriedades da Exponencial Matricial
A)Aexp(A...A!4
1A
!3
1A
!2
1AI
...A!4
1A
!3
1A
!2
1AA
...A!4
1A
!3
1A
!2
1AIA)Aexp(A
432
5432
432
Teorema 3.1 comutam)Aexp(eA:1P
A)Aexp()Aexp(A
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 15
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
Propriedades da Exponencial Matricial
11432
321
43211
A)Aexp(A...A!4
1A
!3
1A
!2
1AI
...A!4
1A
!3
1A
!2
1IA
...A!4
1A
!3
1A
!2
1AIA)Aexp(A
Teorema 3.1b comutam)Aexp(eA:b1P1
11A)Aexp()Aexp(A
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 16
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
Propriedades da Exponencial Matricial
kk432
4k3k2k1kk
432kk
A)Aexp(A...A!4
1A
!3
1A
!2
1AI
...A!4
1A
!3
1A
!2
1AA
...A!4
1A
!3
1A
!2
1AIA)Aexp(A
Teorema 3.1c comutam)Aexp(e)Ik(A:c1Pk
kkA)Aexp()Aexp(A
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 17
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
...A!4
1A
!3
1A
!2
1AI)Aexp(é
...A!4
1A
!3
1A
!2
1AI)Aexp(deInversa:2P
432
432
Propriedades da Exponencial Matricial
Teorema 3.2
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 18
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
I
...A!5
1
...A!4
1A
!4
1
...A!3!2
1A
!3
1A
!3
1
...A!3!2
1A
!2!2
1A
!2
1A
!2
1
...A!4
1A
!3
1A
!2
1AA
...A!5
1A
!4
1A
!3
1A
!2
1AI
...A!4
1A
!3
1A
!2
1AI..A
!4
1A
!3
1A
!2
1AI)Aexp()Aexp(
5
54
543
5432
5432
5432
432432
)Aexp()Aexp(1
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 19
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
]20.2.Teorvia[LIsAutovetorentemAqdo)Aexp(Fatoração:3P
1kk13121312112
11n21n1n21
n21
PPAPPPPPPAPPPPPPA
PPPPP),...,(DiagPPPA
AdeosNormalizadsAutovetorePPPP
1432
14131211
432
P...!4
1
!3
1
!2
1IP)Aexp(
...P!4
1PP
!3
1PP
!2
1PPPPP
...A!4
1A
!3
1A
!2
1AI)Aexp(
1P)exp(P)Aexp(
Teorema 3.3
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 20
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
]24.2.Teor[SimétricaAqdo)Aexp(Fatoração:4P
TkkT3T2T3T2TT2
TTn21n1n21
T1n21
PPAPPPPPPAPPPPPPA
PPPPP),...,(DiagPPPA
PPentãoSimétricaAdeosNormalizadsAutovetorePPPP
T432
T4T3T2TT
432
P...!4
1
!3
1
!2
1IP)Aexp(
...P!4
1PP
!3
1PP
!2
1PPPPP
...A!4
1A
!3
1A
!2
1AI)Aexp(
TP)exp(P)Aexp(
Teorema 3.4
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 21
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
A)Aexp()Aexp(A)Aexp(dx
dcomutam)x(A
dx
d)x(Ae)x(ASe:5P
Teorema 3.5
...AAAAAAA!3
1AAAA
!2
1A))x(Aexp(
dx
d
...)x(A!4
1)x(A
!3
1)x(A
!2
1)x(AI))x(Aexp(
22
432
:comutam)x(Ae)x(AQuando
A...A!3
1A
!2
1AI...A
!3
1A
!2
1AIA))x(Aexp(
dx
d
...AA!3
1AA
!2
1AAA))x(Aexp(
dx
d
3232
32
A))x(Aexp())x(Aexp(A))x(Aexp(dx
d
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 22
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
N
1m
nm
N
1n
mnN
1n
mn
N
1m
mn
N
1m
mm
N
1n
nn
N
1n
nn
N
1n
nn
2
1n221nn
2
)x(g)x(gKAA)x(g)x(gKAA
)x(gK)x(gKAA)x(gKA)x(gK)x(A
)x(g)x(gKAAAA)x(gKA)x(gK)x(A
nxKAAAAnxKAxK)x(A
xKAAAAKAxK)x(A
:comutam)x(Ae)x(AondeMatriciaisCasosdeExemplos
A))x(Aexp())x(Aexp(A))x(Aexp(dx
dvalecasosestesPara
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 23
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
Comando Matlab para calcular Exponencial Matricial de
matriz A :
)A(mexp
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 24
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
)x(qy)x(py)1(
1xn)x(q,nxn)x(p,
y
y
y
n
1
De posse do conceito de Exponencial Matricial, voltamos a
considerar a Solução do Sistema de EDOs Lineares de O(1) :
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 25
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
)x(qy)x(py)1(
Pré-multiplica-se o sistema pela matriz n x n a especificar F(x) :
)x(q)x(Fy)x(p)x(Fy)x(F)1(
Escolhe-se F(x) tal que
dx)x(pe)x(pentredadecomutabiliSob
)x(F)x(p)x(p)x(F)x(Fdx
d
dx)x(pexp)x(F)x(p)x(F)x(Fdx
dAssim, com Teor. 3.5 :
Voltando na EDO :
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 26
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
)x(q)x(Fy)x(p)x(Fy)x(F)1(
Ou ainda :
)x(q)x(Fy)x(Fdx
d)x(q)x(Fy)x(F
dx
dy)x(F
)1(
dx)x(q)x(FFCFydx)x(q)x(FCy)x(F11
dx)x(q)x(FFCFy11 dx)x(pexp)x(F
dx)x(q.dx)x(pexpdx)x(pexpC.dx)x(pexpy
3
2
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 27
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
tetanconsU)x(q,tetanconsA)x(p
Caso Particular CP1 para Sistema de EDOs Lineares :
UyAy)1(
)x(qy)x(py)1(
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 28
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
Aplicando Eq. (3) com U)x(q,A)x(p
dx)x(q.dx)x(pexpdx)x(pexpC.dx)x(pexpy
UyAy)1(
dxU.xAexpxAexpC.xAexpy
xAexpdx)x(pexpxAdx)x(p
U.dxxAexpxAexpC.xAexpy
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 29
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
UyAy)1(
U.dxxAexpxAexpC.xAexpy
Fazendo a integral nesta expressão com a série da Exponencial :
)xAexp(IA...A!5
xA
!4
xA
!3
xA
!2
xxIdx)xAexp(
dx...A!4
xA
!3
xA
!2
xxAIdx)xAexp(
145
34
232
44
33
22
)xAexp(IAA)xAexp(Idx)xAexp(11
U.AIxAexpC.xAexpy1
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 30
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
UyAy)1(
U.AIxAexpC.xAexp)x(y1
4
Solução do Caso Particular CP1 de Sistema de EDOs Lineares
tetanconsU)x(q,tetanconsA)x(p )x(qy)x(py)1(
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 31
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
U.AIxAexpC.xAexp)x(y1
4
Solução do Caso Particular CP1 de Sistema de EDOs Lineares
tetanconsU)x(q,tetanconsA)x(p )x(qy)x(py)1(
Sob Condição Inicial
U.AIxAexpy.xAexp)x(y1
0
4b
0y)0x(y
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 32
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
n1 PPP.)normaliz(LIsAutovetorentemA
tetanconsU)x(q,tetanconsA)x(p
Caso Particular CP1b para Sistema de EDOs Lineares :
UyAy)1(
)x(qy)x(py)1(
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 33
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
Solução do Caso Particular CP1b diretamente com Eq. (4)
adicionando-se a Fatoração seguinte e o Teor. 3.3 :
11
PxPxAPPA 1P)xexp(P)xAexp(
DiagonalemsAutovalore:
Colunasem.NormalizAuvetores:PPP
n
1
n1
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 34
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
UyAy)1(
U.AIxAexpC.xAexpy1
Solução do Caso Particular CP1b :
)x(qy)x(py)1(
11
P)xexp(P)xAexp(,PPA
tetanconsU)x(q,tetanconsA)x(p
U.PPPIxexpPC.PxexpPy1111
U.PIxexpPC.PxexpPy111
4
5
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 35
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
Solução do Caso Particular CP1b :
)x(qy)x(py)1(
11
P)xexp(P)xAexp(,PPA
tetanconsU)x(q,tetanconsA)x(p
U.PIxexpPC.PxexpPy111
5
Sob Condição Inicial 0
y)0x(y
U.PIxexpPy.PxexpPy11
0
1 5b
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 36
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
T1n1 PPPPPsAutovetorenSimétricaA
tetanconsU)x(q,tetanconsA)x(p
Caso Particular CP1c para Sistema de EDOs Lineares :
UyAy)1(
)x(qy)x(py)1(
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 37
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
Solução do Caso Particular CP1c diretamente com Eq. (4)
adicionando-se a Fatoração de matrizes simétricas e o Teor. 3.4 :
TTT
PxPxAPPAAA TP)xexp(P)xAexp(
DiagonalemsAutovalore:
PP
Colunasem.NormalizAuvetores:PPP
n
1
1T
n1
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 38
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
UyAy)1(
U.AIxAexpC.xAexpy1
Solução do Caso Particular CP1c :
)x(qy)x(py)1(
TT
P)xexp(P)xAexp(,PPA
tetanconsU)x(q,simétricaA)x(p
4
U.PIxexpPC.PxexpPyT1T
6
Vantagem sobre CP1 e CP1b : Não é Necessário Inverter Matriz !
U.PPPIxexpPC.PxexpPyT1TT
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 39
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
Solução do Caso Particular CP1c :
)x(qy)x(py)1(
TT
P)xexp(P)xAexp(,PPA
tetanconsU)x(q,simétricaA)x(p
U.PIxexpPC.PxexpPyT1T
6
Sob Condição Inicial 0
y)0x(y
U.PIxexpPy.PxexpPyT1
0
T 6b
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 40
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
1.0b,1.0a,b
b
y
y
a1
1a
dx
dydx
dy
2
1
2
1
Exemplo 3.2
Gerar o Plano de Fase do Sistema de 2 EDOs abaixo :
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 41
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
1.0b,1.0a,b
b
y
y
a1
1a
dx
dydx
dy
2
1
2
1
Exemplo
Identificando A e U : Caso Particular CP1b
UyA
dx
dydx
dy
2
1
0b,0a,b
bU,
a1
1aA
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 42
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
UyA
dx
dydx
dy
2
1
Processando a Solução Estacionária :
UAy
yU
y
yA
0
0 1
EE2
EE1
EE2
EE1
0891.0
1089.0
y
yEE2
EE1
a1
1a
1a
1A1.0b,1.0a,
b
bU,
a1
1aA
2
1
1a
1a
1a
b
b
b
a1
1a
1a
1
y
y22EE
2
EE1
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 43
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
UyA
dx
dydx
dy
b
b
y
y
a1
1a
dx
dydx
dy
2
1
2
1
2
1
O Plano de Fase é obtido traçando-se diversas trajetórias
(y1(x),y2(x)) a partir de vários estados iniciais (y10 ,y20). Temos as
Fases : (i) Obter a Solução Geral; (ii) Aplicar condição inicial; e
(iii) Traçar as várias órbitas variando-se as condições iniciais.
Fase 1 : Obtendo Solução Geral Caso Particular CP1b
0b,0a,b
bU,
a1
1aA
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 44
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
Fase 1 : Re-escrevendo Solução Geral Caso Particular CP1b
U.PIxexpPC.PxexpPy111
U.APIxexpPC.PxexpPy
U.PPPIxexpPC.PxexpPy
111
1111
U.AIPxexpPC.PxexpPy111
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 45
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
Fase 2 : Aplicando Condição Inicial Caso Particular CP1b
U.AIPxexpPC.PxexpPy111
0y)0x(y
U.AIPxexpPy.PxexpPy11
0
1
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 46
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
1
1bU,
a1
1aA
Fase 2 : Processando Solução com Condição Inicial
ia
ia01aa20
a1
1a
:sAutovalore
2
122
a1
1a
1a
1A:Inversa
2
1
U.AIPxexpPy.PxexpPy11
0
1
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 47
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
22
222
2
11
111
1
2
1
P1
i
1
aX0X
a1
1a
P1
i
1
aX0X
a1
1a
ia
iasAutovetore
Fase 2 : Processando Solução com Condição Inicial
2/12/i
2/12/i
i1
i1
i2
1P
11
iiP
1 Não Nec. Normalizar
Por quê ?
U.AIPxexpPy.PxexpPy11
0
1
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 48
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
ia0
0ia
i0
0i)x(sen)axexp(
10
01)xcos()axexp()xexp(
2/12/i
2/12/iP,
11
iiP
1
ia0
0ia
1a
12
1
)x(isen)xcos(0
0)x(isen)xcos()axexp(
)ixexp(0
0)ixexp()axexp()xexp(
)ixexp()axexp(0
0)ixexp()axexp()xexp(
1a
ia0
01a
ia
ia
10
0ia
1
2
21
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 49
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
ia0
0ia
i0
0i)x(sen)axexp(
10
01)xcos()axexp()xexp(
2/12/i
2/12/iP,
11
iiP
1
ia0
0ia
1a
12
1
2/i2/1
2/i2/1)x(sen)axexp(
2/12/i
2/12/i)xcos()axexp(P)xexp(
1
)xcos()x(sen
)x(sen)xcos()axexp(P)xexp(P
01
10)x(sen)axexp(I)xcos()axexp(P)xexp(P
1
1
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 50
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
ia0
0ia
2/12/i
2/12/iP,
11
iiP
1
ia0
0ia
1a
12
1
)xcos()x(sen
)x(sen)xcos()axexp(P)xexp(P
1
1
1
a1
1aI
)xcos()x(sen
)x(sen)xcos()axexp(
1a
b
y)xcos()x(sen
)x(sen)xcos()axexp(y
2
0
U.AIPxexpPy.PxexpPy11
0
1
a1
1a
1a
1A
2
1
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 51
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
1
1
a1
1aI
)xcos()x(sen
)x(sen)xcos()axexp(
1a
b
y)xcos()x(sen
)x(sen)xcos()axexp(y
2
0
Fase 2 : Solução com Condição Inicial - Trigonométrica
Fase 2 : Solução com Condição Inicial - Complexa
U.AIPxexpPy.PxexpPy11
0
1
ia0
0ia
2/12/i
2/12/iP,
11
iiP
1
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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1
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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
4. EDO Linear de Ordem 2
EDO-2 Linear Geral Não Homogênea :
7)x(ry)x(qy)x(py )1()2(
Cuja Forma Homogênea é :
0y)x(qy)x(py )1()2( 8
Teorema 3.6
Seja intervalo (a,b) onde p(x), q(x), r(x) são contínuas. Seja
x0(a,b). Sejam y0 , y0(1) números. Então sobre (a,b) a EDO (7)
tem uma e somente uma solução y(x) tal que :
)1(00
)1(00 y)x(y,y)x(y
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 56
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
4. EDO Linear de Ordem 2
Se y1(x) e y2(x) são soluções da EDO-2 Homogênea, Eq. (8), então
y3(x) = C1 y1(x)+C2 y2(x) também é solução. Teorema 3.7
Logo y3(x) = C1 y1(x)+C2 y2(x) é solução da EDO-2 homogênea.
:)8(.Eqdaesquerdoladono)x(yC)x(yC)x(ydoSubstituin 22113
Demonstração
0
)0(C)0(C
)y)x(qy)x(py(C)y)x(qy)x(py(C
y)x(qCy)x(qCy)x(pCy)x(pCyCyC
y)x(qy)x(py
21
2)1(
2)2(
221)1(
1)2(
11
2211)1(
22)1(
11)2(
22)2(
11
3)1(
3)2(
3
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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
4. EDO Linear de Ordem 2
Se y1(x) e y2(x) são soluções da EDO-2 Linear Homogênea, Eq. (8),
para as quais W(y1,y2) 0, então qualquer outra solução y3(x)
pode ser escrita como y3(x) = C1 y1(x)+C2 y2(x). Teorema 3.8
Sejam a EDO-2 Linear Homogênea abaixo e duas soluções y1(x),
y2(x), com W(y1(x), y2(x)) 0. Seja y3(x),uma terceira solução da
EDO-2 homogênea. Podemos escrever:
)x(y)x(y
)x(y)x(y))x(y),x(y(Wé)x(ye)x(ydewronskianoO )1(
2)1(
1
212121
Demonstração
).x(y),x(y),x(ypara0y)x(qy)x(py 321)1()2(
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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
4. EDO Linear de Ordem 2
Teorema 3.8
0y)x(qy)x(py
0y)x(qy)x(py
0y)x(qy)x(py
3)1(
3)2(
3
2)1(
2)2(
2
1)1(
1)2(
1
Trata-se de um SQH com Solução Não Trivial
0
0
0
)x(q
)x(p
1
yyy
yyy
yyy
3)1(
3)2(
3
2)1(
2)2(
2
1)1(
1)2(
1
0
)x(q
)x(p
1
como,0
)x(q
)x(p
1
D 0
yyy
yyy
yyy
D
3)1(
3)2(
3
2)1(
2)2(
2
1)1(
1)2(
1
2)D(Posto3)D(Posto20)x(y)x(y
)x(y)x(ymas )1(
2)1(
1
21
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 59
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
4. EDO Linear de Ordem 2
Teorema 3.8
0
yyy
yyy
yyy
D
3)1(
3)2(
3
2)1(
2)2(
2
1)1(
1)2(
1
:Logo
LIsão2e1linhas.e.i0)x(y)x(y
)x(y)x(ypois3serpodesóLDlinhaA )1(
2)1(
1
21
LDlinha1temD
LIlinhas2temD2)D(Posto
2)1(
2)2(
221)1(
1)2(
113)1(
3)2(
3 yyyCyyyCyyy
)x(yC)x(yC)x(y 22113
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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
4. EDO Linear de Ordem 2
Se y1(x) e y2(x) são soluções da EDO-2 Linear Homogênea, Eq. (8),
para as quais W(y1,y2) 0, então qualquer outra solução y3(x)
pode ser escrita como y3(x) = C1 y1(x)+C2 y2(x). Teorema 3.8
Para o Teor. 3.8 valer, são necessárias 2 soluções y1(x) e y2(x) LI,
i.e., com W(y1,y2) 0. O Teor. não cita como obtê-las, mas é claro
ao dizer que o número máximo de soluções LI é 2.
Observações
O Teor. 3.8 expressa que a Solução Completa (SC) da EDO-2
Linear Homogênea, Eq. (8), é obtida como Combinação Linear de
2 soluções y1(x) e y2(x) LI, i.e., com W(y1,y2) 0. A solução SC é :
)x(yC)x(yC)x(y 2211H Sol. Completa da EDO-2 Lin. Hom.
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 61
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
4. EDO Linear de Ordem 2
Seja y1(x) solução da EDO-2 Linear Homogênea, Eq. (8). Então
uma segunda solução y2(x), LI de y1(x), i.e. com W(y1,y2) 0, pode
ser obtida com y2(x) = (x)y1(x). Teorema 3.9
Seja a segunda solução, escrita como y2(x) = (x)y1(x). Assim :
Demonstração
dx.)x(y
dx).x(pexp)x(onde
21
)x(y)x()x(y)x(2)x(y)x()x(y
)x(y)x()x(y)x()x(y
)x(y)x()x(y
)2(1
)1(1
)1(1
)2()2(2
)1(11
)1()1(2
12
Forçando y2(x) e derivadas a satisfazer EDO-2 Lin. Homogênea :
0y)x(qy)x(py 2)1(
2)2(
2
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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
4. EDO Linear de Ordem 2
Teorema 3.9
0)x(y)x()x(qyy)x(pyy2y 1)1(
11)1()2(
1)1(
1)1(
1)2(
0yy)x(py2y)x(qy)x(py)x( 1)2(
1)1(
1)1(
1)1(
1)2(
1
0y)x(qy)x(py:EDOàatende)x(yComo 1)1(
1)2(
11
0)x(py
y2
1
)1(1)1()2(
0)x(p
y
y2
dx
d
1
)1(1)1(
)1(
dx).x(p)yln(2expdx)x(p
y
y2ln 1
)1(
1
)1(1)1(
21
)1(
y
dx).x(pexp
dx.
y
dx).x(pexp
21
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 63
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
4. EDO Linear de Ordem 2
Teorema 3.9
dx.
y
dx).x(pexp)x(),x(y).x()x(y
21
12
A segunda solução, será escrita, portanto, como :
É possível provar que y2(x) é LI de y1(x), isto é W(y2(x), y1(x))0.
Basta aplicar substituição direta em W(y2(x), y1(x)) com Eq. (9) ao
escrever y2(x) (Ver Lista de Exercícios 3).
9
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 64
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
4. EDO Linear de Ordem 2
Seja yP(x) solução particular da EDO-2 Linear Não-Homogênea,
Eq. (7). Sejam y2(x) e y1(x) soluções da EDO-2 Linear
Homogênea, Eq. (8), com W(y1,y2) 0.
Então a Solução Completa da EDO-2 Linear Não-Homogênea, Eq.
(7), escreve-se C1 y1(x)+C2 y2(x) + yP(x). Teorema 3.10
Demonstração
)x(ry)x(qy)x(py:.Hom.N.L2EDOda.solé)x(y
0y)x(qy)x(py:.H.L2EDOdaSC)x(yC)x(yC)x(y
P)1(
P)2(
PP
H)1(
H)2(
H2211H
Subtraindo-se as duas últimas EDOs não Homogêneas, Tem-se :
)x(ry)x(qy)x(py:.Hom.N.L2EDOda.Solé)x(y)1()2(
0)yy)(x(q)yy)(x(p)yy( P)1(
P)2(
P
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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
4. EDO Linear de Ordem 2
Teorema 3.10
Portanto y-yP é solução da EDO2 Linear Homogênea. Como a
Solução Completa da EDO2 L.H. é dada por yH , tem-se
0)yy)(x(q)yy)(x(p)yy( P)1(
P)2(
P
)x(yC)x(yC)x(yyy 2211HP
)x(yC)x(yCyy 2211P
Ou seja, qualquer solução da EDO2 Linear Não-Homogênea,
escreve-se nos termos da Eq. (10), a qual expressa, portanto, a
Solução Completa da EDO-2 Linear Não-Homogênea.
10
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 66
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
4. EDO Linear de Ordem 2
Seja yP(x) solução particular da EDO-2 Linear Não-Homogênea,
Eq. (7). Sejam y2(x) e y1(x) soluções da EDO-2 Linear
Homogênea, Eq. (8), com W(y1,y2) 0.
Então a Solução Completa da EDO-2 Linear Não-Homogênea, Eq.
(7), escreve-se C1 y1(x)+C2 y2(x) + yP(x). Teorema 3.10
Observação
O Teor. 3.10, formaliza que se obtém a Sol. Completa de EDO-2
Linear Não-Homogênea, com as etapas seguintes :
(1) Obter Sol. Completa da EDO-2 Linear Homogênea (yH(x))
(2) Obter Sol. Particular da EDO-2 Linear Não-Hom., (yP(x))
(3) Compor a Sol. Completa da EDO-2 Linear Não-Homogênea
y(x) = yP(x) + yH(x) ou y(x) = yP(x) + C1 y1(x)+C2 y2(x)
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 67
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
5. EDO Linear de Ordem 2 com Coeficientes Constantes
EDO-2 Linear Coef. Ctes. Não Homogênea :
11.)constc,b()x(rcybyy )1()2(
Cuja Forma Homogênea é :
0cybyy )1()2( 12
Pelo Teor. 3.8 deverá haver duas soluções LI para compor a
Solução Completa da forma homogênea, Eq. (12).
A Eq. (12) sugere que sejam tentadas soluções do tipo :
)xexp(y
Cabe a pergunta : Para que valores de a função y(x) = ex é
solução. Para responder, substituir y(x) = ex na Eq. (12).
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 68
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
5. EDO Linear de Ordem 2 com Coeficientes Constantes
13
)0e(0cb0ceebe x2xxx2
0cb2
A Eq. (12) é a Equação Característica da EDO-2 C.C.Hom. para
os valores de permitidos na solução ex. Por ser de grau 2,
admitirá sempre duas raízes pelo Teor.Fund. da Álgebra. Com
estas raízes 1 e 2 , a Eq. (13) escreve-se:
0))(( 21
x2
x1
21 e)x(y,e)x(y
Levando às Soluções Candidatas da EDO-2 Homogênea, Eq. (12):
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 69
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
5. EDO Linear de Ordem 2 com Coeficientes Constantes
0cb2 x
2x
121 e)x(y,e)x(y
Aplicando o teste do Wronskiano para verificar se são LI :
)se(0ee)(ee
ee))x(y),x(y(W
)x(y)x(y
)x(y)x(y))x(y),x(y(W
12xx
12x2
x1
xx
21
)1(2
)1(1
2121
21
21
21
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 70
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
5. EDO Linear de Ordem 2 com Coeficientes Constantes
x2
x1
21 e)x(y,e)x(y
Casos para S.C. da EDO-2 C.C.H.
x2
x1H
x2
x1
2121
21
21
eCeC)x(y
LIsãoe)x(y,e)x(y
,,
1
x2
x1H
21 eCeC)x(y
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 71
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
5. EDO Linear de Ordem 2 com Coeficientes Constantes
x2
x1
21 e)x(y,e)x(y
Casos para S.C. da EDO-2 C.C.H.
.real)x(ypois.Conj.ComplxiBAC,iBAC
eCeCeeCeC)x(y
LIsãoee)x(y,ee)x(y
.conj.complxiba,iba,,
H21
ibx2
ibx1
axx2
x1H
x)iba(x2
x)iba(x1
2121
21
21
2
))bx(isen)bx)(cos(iBA())bx(isen)bx)(cos(iBA(e)x(y axH
)bx(Bsen2)bxcos(A2e)x(y axH
)bx(senBe)bxcos(Ae)x(y axaxH
Após Redefinir-se as Constantes Arbitrárias Reais A e B :
)bx(sene)x(y
)bxcos(e)x(y
ax2
ax1
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 72
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
5. EDO Linear de Ordem 2 com Coeficientes Constantes
).x(ypara9.3.TeorUsar.e)x(y.solaapenasTemos
)repetidarealraiz(
2x.
1
21
3
x2
x1
21 e)x(y,e)x(y
Casos para S.C. da EDO-2 C.C.H.
dx.
y
dx).x(pexp)x(),x(y).x()x(y
21
12
0yy2y:EDO020)( 2)1()2(222
Devido à raiz dupla a Eq. característica tem a forma :
2)x(p0y)x(qy)x(py)1()2(
xdxdx.
)x2exp(
dx2exp)x(
)x.exp(x)x(y2
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 73
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
5. EDO Linear de Ordem 2 com Coeficientes Constantes
)repetidarealraiz(21 3
x2
x1
21 e)x(y,e)x(y
Casos para S.C. da EDO-2 C.C.H.
)x.exp(xC)x.exp(C)x(y
)x.exp(x)x(y),x.exp()x(y
21H
21
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 74
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
5. EDO Linear de Ordem 2 com Coeficientes Constantes
Os 3 Casos definem as possibilidades para a Solução Completa
(SC) da EDO-2 com Coeficientes Constantes Homogênea :
)x(yC)x(yC)x(y 2211H
Resta ainda a obtenção da Solução Particular (SP) da EDO-2
com Coeficientes Constantes Não-Homogênea :
.)constc,b()x(rcybyy )1()2( 11
Para obter SP da EDO-2 C.C.N.H. existe um punhado de
métodos particulares (ex. Método de Coeficientes a Determinar)
e apenas um método geral. Este último é conhecido como Método
de Variação de Parâmetros (MVP). A próxima seção é dedicada
ao MVP, pois este é aplicável à EDO Linear Geral.
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 75
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
5. EDO Linear de Ordem 2 com Coeficientes Constantes
Após a obtenção da Solução Particular, yP(x) , da EDO-2 de
Ceoficientes Constantes e Não-Homogênea, Eq. (11),
.)constc,b()x(rcybyy )1()2( 11
Tem-se a sua Solução Completa :
)x(y)x(yC)x(yC)x(y P2211
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 76
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear
O Método de Variação de Parâmetros (MVP) é um recurso útil
para obter Soluções Particulares de EDOs Lineares (qualquer
ordem) Não-Homogêneas. O MVP aplica-se a EDOs da forma:
N
1n
nnHN321 )x(yC)x(y)x(y),...,x(y),x(y),x(y
Os requisitos para aplicação do MVP são:
(1) A EDO é Linear e Não-Homogênea
(2) A Sol. Completa da EDO Homogênea foi obtida (yH(x)), i.e.
tem-se a Base de Soluções da EDO Lin. Homogênea (N é a ordem
da EDO):
)x(Ry)x(Py)x(P 0)k(
N
1k
k
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 77
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear
MVP para obter SP de EDO-2 Linear Não-Homogênea :
1: Disponível a Base de Soluções da EDO-2 Homogênea
)x(ry)x(qy)x(py )1()2( 7
)x(yC)x(yC)x(y)x(y),x(y 2211H21
2: Forma proposta pelo MVP para a SP (U1(x) e U2(x) a obter)
)x(y).x(U)x(y).x(U)x(y).x(U)x(y).x(U)x(y
)x(y).x(U)x(y).x(U)x(y
2)1(
21)1(
1)1(
22)1(
11)1(
P
2211P
3: Necessárias 2 Condições para obter U1(x) e U2(x). São elas
)y.Uy.Uy(0y.Uy.U)1(
22)1(
11)1(
P2)1(
21)1(
1
)2EDO()x(ry)x(qy)x(py P)1(
P)2(
P
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 78
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear
4: Derivadas da SP com 2 e 3
)1(2
)1(2
)1(1
)1(1
)2(22
)2(11
)2(P
)1(22
)1(11
)1(P2
)1(21
)1(1
y.Uy.Uy.Uy.Uy
y.Uy.Uy0y.Uy.U
)x(ryUyU
y)x(qy)x(pyUy)x(qy)x(pyU
)x(ry)x(qy)x(py
)1(2
)1(2
)1(1
)1(1
2)1(
2)2(
221)1(
1)2(
11
P)1(
P)2(
P
5: Aplicando 4 em 3b para montar a restrição 2 a resolver
)x(ry)x(qy)x(py P)1(
P)2(
P )x(ryUyU)1(
2)1(
2)1(
1)1(
1
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 79
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear
0y.Uy.U 2)1(
21)1(
1
6: Reunindo restrições finais a resolver com 3a e 5 :
)x(ryUyU)1(
2)1(
2)1(
1)1(
1
7: Restrições 6 sob forma matricial para funções incógnitas
)x(r
0
U
U
yy
yy
)1(2
)1(1
)1(2
)1(1
21
2
1
)1(2
)1(1
21
U
U
U,
yy
yy
)x(W
)x(r
0U)x(W
)1(
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 80
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear
8: Como Wronskiano W(y1 , y2) 0, a inversão abaixo é possível
dx.
)x(r
0
yy
yy
)x(U
)x(U
U
1
)1(2
)1(1
21
2
1
)x(r
0)x(WU
)x(r
0U)x(W
1)1()1(
dx.
)x(r
0)x(W)x(UdxU)x(U
1)1(
9: Com integração imprópria
10: Expressão Final do MVP
)x(y).x(U)x(y).x(U)x(y 2211P
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 81
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear
dx.
)x(r
0
yy
yy
)x(U
)x(U
U
1
)1(2
)1(1
21
2
1
11: Abrindo a inversa da expressão Final do MVP
1)1(
1
2)1(
2)1(
12)1(
21
1
)1(2
)1(1
21
yy
yy
yyyy
1
yy
yy
dx.)x(r
0
yy
yy
yyyy
1
U
U
1)1(
1
2)1(
2)1(
12)1(
212
1
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 82
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear
12: Afinal, o final do MVP para SP de EDO-2 Lin. Não-Homog.
)x(y).x(U)x(y).x(U)x(y 2211P
dxyyyy
y).x(rU
dxyyyy
y).x(rU
)1(12
)1(21
12
)1(12
)1(21
21
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 83
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear
Obter a Solução Completa da EDO-2 Linear e Não-Homogênea:
Exemplo 3.3xx)1()2( exeyy2y
2: Solução da EDO-2 Homogênea : Coeficientes Constantes
x2
x1H
x2
x1
212)1()2(
xe.Ce.C)x(yxe)x(y,e)x(y
)duplaraiz(10120yy2y
1: Identificando Termos da EDO-2
.)Hom.N.Const.Coefde2EDO(exe)x(r,1)x(q,2)x(p xx
3: Wronskiano para montar MVP
0eexee
xee
yy
yy
)x(W x2
xxx
xx
)1(2
)1(1
21
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 84
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear
4: Implementando MVP
dx)x(W
y).x(rdx
yyyy
y).x(rU
dx)x(W
y).x(rdx
yyyy
y).x(rU
1)1(
12)1(
21
12
2)1(
12)1(
21
21
xx exe)x(r
x2
x1 xe)x(y,e)x(y
x2e)x(W
x2
xdx)1x(dx
e
)exe(eU
3
x
2
xdx)xx(dx
e
)xee(xeU
2
x2
xxx
2
322
x2
xxx
1
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 85
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear
4: Implementando MVP
x2
x32
P2211P xe.x2
xe.
3
x
2
x)x(y)x(y).x(U)x(y).x(U)x(y
xx exe)x(r
x2
x1 xe)x(y,e)x(y
x2e)x(W
2
ex
6
ex)x(y
x2x3
P
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 86
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear
5: Solução Completa da EDO-2 C.C. Não-Homogênea
2
ex
6
exxeCeC)x(y
y)x(yC)x(yC)x(y
x2x3x
2x
1
P2211
Exemplo 3.3
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 87
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear
Obter a Solução Completa da EDO-2 Linear e Não-Homogênea:
Exemplo 3.4)x(tgyy )2(
2: Solução da EDO-2 Homogênea : Coeficientes Constantes
)x(sen.C)xcos(.C)x(y)x(sen)x(y),xcos()x(y
)1b,0a.conjcomplx(i,i010yy
21H21
212)2(
1: Identificando Termos da EDO-2
.)Hom.N.Const.Coefde2EDO()x(tg)x(r,1)x(q,0)x(p
3: Wronskiano para montar MVP
1)x(sen)x(cos)xcos()x(sen
)x(sen)xcos(
yy
yy
)x(W 22
)1(2
)1(1
21
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 88
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear
)x(tg)x(r
1)x(W
4: Implementando MVP
dx)x(W
y).x(rdx
yyyy
y).x(rU
dx)x(W
y).x(rdx
yyyy
y).x(rU
1)1(
12)1(
21
12
2)1(
12)1(
21
21
)x(sen)x(y
)xcos()x(y
2
1
)xcos(dx)x(sendx)xcos().x(tgU
dx).xcos(dx)xcos(
1dx
)xcos(
)x(sendx)x(sen).x(tgU
2
2
1
)xcos(U
)x(tg)xsec(ln)x(sendx)xsec()x(senU
2
1
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 89
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear
)x(tg)x(r
1)x(W
4: Implementando MVP
)x(sen)x(y
)xcos()x(y
2
1
)x(sen).xcos()xcos(.)x(tg)xsec(ln)x(sen)x(y
)x(y).x(U)x(y).x(U)x(y
P
2211P
)x(tg)xsec(ln).xcos()x(yP
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 90
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear
5: Solução Completa da EDO-2 C.C. Não-Homogênea
)x(tg)xsec(ln).xcos()x(sen.C)xcos(.C)x(y
y)x(yC)x(yC)x(y
21
P2211
Exemplo 3.4
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 91
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear
MVP para obter SP de EDO Linear Ordem N Não-Homogênea :
1: Disponível a Base de Soluções da EDO O(N) Homogênea
1N
0n
)n(n
)N(
0)1(
1)1N(
1N)N(
)x(ry)x(py
)x(ry)x(py)x(p...y)x(py 12
)x(yC...)x(yC)x(yC)x(y)x(y),...,x(y),x(y NN2211HN21
2: Forma proposta pelo MVP para a SP (U1(x)...UN(x) a obter)
N
1n
nnP )x(y)x(U)x(y
0y)x(py1N
0n
)n(n
)N(
13
14
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 92
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear
3: Necessárias N Condições para U1(x) , U2(x) ... UN(x). Última é a
EDO-N, Eq. (12), em yP(x). 1as N-1 simplificam yP(1),yP
(2)...yP(N-1) .
N
1n
)1N(nn
)1N(P
N
1n
)2N(n
)1(n
N
1n
)3(nn
)3(P
N
1n
)2(n
)1(n
N
1n
)2(nn
)2(P
N
1n
)1(n
)1(n
N
1n
)1(nn
)1(P
N
1n
n)1(
n
)x(y)x(Uy0)x(y)x(U
)x(y)x(Uy0)x(y)x(U
)x(y)x(Uy0)x(y)x(U
)x(y)x(Uy0)x(y)x(U
)x(ry)x(py1N
0n
)n(Pn
)N(P
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 93
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear
4: Aplicando N-1 1as Condições na última, EDO-N, Eq. (12) :
N
1n
n0n
N
1n
)1(n1n
N
1n
)1N(n1Nn
N
1n
)1N(n
)1(n
N
1n
)N(nn
)x(ry)x(pUy)x(pU...y)x(pU
yUyU
5: Como yn(x) (n=1...N) atendem EDO-N Homogênea, Eq. (13),
esta última condição torna-se:
)x(ry)x(py)x(p...y)x(pyUyU
ou
N
1n
n0)1(
n1)1N(
n1N)N(
nn
N
1n
)1N(n
)1(n
)x(ryUN
1n
)1N(n
)1(n
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 94
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear
6: As N Condições para U1(x) , U2(x) ... UN(x) são, portanto,
0yU
0yU
0yU
N
1n
)2N(n
)1(n
N
1n
)1(n
)1(n
N
1n
n)1(
n
)x(ryUN
1n
)1N(n
)1(n
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 95
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear
7: As N Condições para U1(x) , U2(x) ... UN(x) em modo matricial :
)x(r
0
0
0
U
U
U
U
yyyy
yyyy
yyyy
yyyy
)1(N
)1(3
)1(2
)1(1
)1N(N
)1N(3
)1N(2
)1N(1
)2(N
)2(3
)2(2
)2(1
)1(N
)1(3
)1(2
)1(1
N321
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 96
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear
8: Reconhecendo a matriz do Wronskiano e vetores U(x), U(x)(1)
N
3
2
1
)1(N
)1(3
)1(2
)1(1
)1(
)1N(N
)1N(3
)1N(2
)1N(1
)2(N
)2(3
)2(2
)2(1
)1(N
)1(3
)1(2
)1(1
N321
U
U
U
U
U,
U
U
U
U
U
yyyy
yyyy
yyyy
yyyy
)x(W
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 97
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear
9: Resolução das N Condições para U1(x) , U2(x) ... UN(x) :
)x(r
0
0
0
)x(WU
)x(r
0
0
0
U)x(W1)1()1(
dx.
)x(r
0
0
0
)x(WU1
Inversão
Integração
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 98
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear
10: Obtendo-se yP(x) pelo MVP para EDO Linear de Ordem N
dx.
)x(r
0
0
0
)x(WU1
)x(y)x(U)x(y TP
)x(y
)x(y
)x(y
)x(y
)x(y,
)x(U
)x(U
)x(U
)x(U
)x(U
N
3
2
1
N
3
2
1
N
1n
nnP )x(y)x(U)x(y
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 99
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes
Resolução da EDO Linear Ordem N Não-Homogênea Geral, Eq.
(12), Vem da devida generalização dos teoremas anteriores de
EDO-2 Linear.
1: Disponível a Base de Soluções da EDO O(N) Homogênea :
1N
0n
)n(n
)N(
0)1(
1)1N(
1N)N(
)x(ry)x(py
)x(ry)x(py)x(p...y)x(py
12
)x(yC...)x(yC)x(yC)x(y)x(y),...,x(y),x(y NN2211HN21
0y)x(py1N
0n
)n(n
)N(
13
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 100
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes
2: Soluções da EDO O(N) Hom. geram Sol. Completa somente se
o Teste do Wronskiano é atendido :
0
yyyy
yyyy
yyyy
yyyy
WW
)1N(N
)1N(3
)1N(2
)1N(1
)2(N
)2(3
)2(2
)2(1
)1(N
)1(3
)1(2
)1(1
N321
3: O Teste do Wronskiano viabiliza obter Solução Particular da
EDO-N Não-Hom. com MVP (utiliza matriz Wronskiana) :
N
1n
nnP )x(y)x(U)x(y
dx.
)x(r
0
0
)x(WU1
14
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 101
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes
4: A Solução Completa da EDO-N Linear Não Hom. é garantida
pela generalização do Teor. 3.10 a seguir:
N
1n
nn
N
1n
nn
PH
)x(y)x(U)x(yC)x(y
)x(y)x(y)x(y
Seja yP(x) solução particular da EDO-N Linear Não-Homogênea,
Eq. (12). Sejam y1(x), y2(x), ..., yN(x) Base de Soluções da EDO-N
Linear Homogênea, Eq. (13), com W(y1 ,y2 ,..., yN) 0. Então a
Solução Completa da EDO-N Linear Não-Homogênea, Eq. (12),
escreve-se C1 y1(x)+C2 y2(x) +...+ CN yN(x) + yP(x). Teorema 3.11
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 102
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes
Particularizamos a EDO-N Linear Não Homogênea ao caso de
Coeficientes Constantes, Eq. (15) :
1N
0n
)n(n
)N(
1N100)1(
1)1N(
1N)N(
)x(ryby
.constb,...,b,b,)x(rybyb...yby
Iniciamos pela resolução da EDO-N Coef. Const. Homogênea :
1N
0n
)n(n
)N(
0)1(
1)1N(
1N)N(
0yby
0ybyb...yby
15
16
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 103
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes
A resolução da EDO-N Coef. Const. Hom. vem com a proposta
)xexp()x(y
17
0)xexp(.bb...b 011N
1NN
Substituindo na EDO-N Coef. Const. Homogênea, Eq. (16),
Resulta a Equação Característica da EDO-N C.C. Hom., Eq. (17),
0bb...b 011N
1NN
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, o polinômio de grau N da
Eq. (17), sempre terá N raízes :
N321 ,...,,,
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 104
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes
)xexp()x(y nn
Os valores complexos de raízes ocorrerão em pares conjugados.
Os casos de raízes repetidas, reais ou complexas (estas sempre em
pares conjugados), deverão acarretar sucessivas multiplicações
por x (x na primeira repetição, x2 na segunda repetição, etc) das
funções exp(x) para garantir a natureza LI dos membros da Base
de Soluções da EDO-N C.C. Homogênea.
Como no caso de Ordem 2, valores distintos de raízes corresponderão automaticamente a soluções LI conforme:
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 105
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes
)xexp(x)x(y),xexp()x(y
)bx(sen)axexp(x)x(y),bxcos()axexp(x)x(y
)bx(sen)axexp()x(y),bxcos()axexp()x(y
)xexp(x)x(y),xexp(x)x(y),xexp()x(y
)xexp()x(y
D10D9
87
65
B2
4B3B2
A1
Exemplo : N=10 e as seguintes raízes da Eq. Carac., Eq. (17) :
iba,iba
,,,,,,,,,,,
212121
CC
DBADDCCCCBBBA
Base Sols. da EDO-N C.C.Hom.
Sol. Completa EDO-N C.C. Hom.
x10
x9
ax8
ax7
ax6
ax5
x24
x3
x2
x1H
DD
BBBA
xeCeC)bx(senxeC)bxcos(xeC)bx(seneC
)bxcos(eCexCxeCeCeC)x(y
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 106
Obter a Solução Completa da EDO C.C. Não-Homogênea:
Exemplo 3.5)x2(seny16y8y )2()4(
2: Raízes da Eq. Característica
)x2(xsenC)x2cos(xC)x2(senC)x2cos(C)x(y
)x2(xsen)x(y),x2cos(x)x(y
)x2(sen)x(y),x2cos()x(y
4321H
43
21
1: Resolvendo EDO C.C. Homogênea
3: Base de Soluções e S.C. da EDO C.C. Homogênea :
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes
0y16y8y )2()4(
)dupla(i20)4(0168 2224
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 107
4: Montando S.P. via MVP
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes
)x2cos(x8)x2(sen12)x2(xsen8)x2cos(12)x2cos(8)x2(sen8
)x2(xsen4)x2cos(4)x2cos(x4)x2(sen4)x2(sen4)x2cos(4
)x2cos(x2)x2(sen)x2(xsen2)x2cos()x2cos(2)x2(sen2
)x2(xsen)x2cos(x)x2(sen)x2cos(
W
dx.
)x2(sen
0
0
0
Wdx.
)x(r
0
0
0
W
U
U
U
U
11
4
3
2
1
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 108
5: Inversa de W via Matriz de Cofatores Transposta
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes
4
1
4321
T
T
4
T
3
T
2
T
1
1
W
)x(r
)x(r
0
0
0
W
W
1
W
1W
Necessário calcular apenas os cofatores da linha 4 de W
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 109
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes
)x2(sen8
)x2cos(x4)x2(sen4)x2(sen4)x2cos(4
)x2(xsen2)x2cos()x2cos(2)x2(sen2
)x2cos(x)x2(sen)x2cos(
)x2cos(8
)x2(xsen4)x2cos(4)x2(sen4)x2cos(4
)x2cos(x2)x2(sen)x2cos(2)x2(sen2
)x2(xsen)x2(sen)x2cos(
)x2(xsen8)x2cos(4
)x2(xsen4)x2cos(4)x2cos(x4)x2(sen4)x2cos(4
)x2cos(x2)x2(sen)x2(xsen2)x2cos()x2(sen2
)x2(xsen)x2cos(x)x2cos(
)x2cos(x8)x2(sen4
)x2(xsen4)x2cos(4)x2cos(x4)x2(sen4)x2(sen4
)x2cos(x2)x2(sen)x2(xsen2)x2cos()x2cos(2
)x2(xsen)x2cos(x)x2(sen
44
43
42
41
44
434241
4444434342424141
))x2cos(x8)x2(sen12(
))x2(xsen8)x2cos(12()x2cos(8)x2(sen8W
WWWWW
64W
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 110
6: Operando MVP
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes
)x2(sen8
)x2cos(8
)x2(xsen8)x2cos(4
)x2cos(x8)x2(sen4
64
)x2(sen
W
)x(r
)x(r
0
0
0
W4
1
)x2(sen8,)x2cos(8
)x2(xsen8)x2cos(4),x2cos(x8)x2(sen4
4443
4241
16
)x4cos(116
)x4(sen16
))x4cos(1(x
32
)x4(sen16
)x4(xsen
32
)x4cos(1
8
)x2(sen
8
)x2cos()x2(sen16
)x2(xsen2)x2cos()x2(sen
16
)x2cos()x2(xsen2)x2(sen
)x(r
0
0
0
W
2
2
2
1
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 111
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes
64
)x4(sen
16
x64
)x4cos(64
)x4(xsen
256
)x4cos(3
32
x
64
)x4cos(x
256
)x4(sen3
32
x
64
)x4(sen
16
x64
)x4cos(64
)x4(xsen
256
)x4cos(
32
x
128
)x4cos(
256
)x4(sen
64
)x4cos(x
128
)x4(sen
32
x
U
dx16
)x4cos(1
dx16
)x4(sen
dx16
))x4cos(1(xdx
32
)x4(sen
dx16
)x4(xsendx
32
)x4cos(1
dx
)x(r
0
0
0
WU
22
1
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 112
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes
)x2(xsen64
)x4(sen
16
x)x2cos(x
64
)x4cos(
)x2(sen64
)x4(xsen
256
)x4cos(3
32
x)x2cos(
64
)x4cos(x
256
)x4(sen3
32
xy
64
)x4(sen
16
x64
)x4cos(64
)x4(xsen
256
)x4cos(3
32
x
64
)x4cos(x
256
)x4(sen3
32
x
U
2
P
2
)x2(sen256
3)x2(sen
32
x)x2cos(
32
xy
2
P )x2(sen32
xy
2
P
Por quê ?
J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 113
Solução Completa da EDO C.C. Não-Homogênea:
Exemplo 3.5)x2(seny16y8y )2()4(
)x2(xsenC)x2cos(xC
)x2(senC)x2cos(C)x(y
43
21
Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes
)x2(sen32
x2