I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO

GESTIÓN ACADÉMICA

GUÍA DIDÁCTICA

¡HACIA LA EXCELENCIA… COMPROMISO DE TODOS…!

CÓDIGO: PA-01-01

VERSIÓN: 2.0

FECHA: 19-06-2013

PÁGINA: 1 de 11

Nombres y Apellidos del Estudiante: Grado: OCTAVO

Periodo: TERCERO - GUÍA 3

Docente: Duración:

5 horas

Área: Matemáticas

Asignatura: Matemáticas

ESTÁNDAR:

Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada

Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas

Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y proponer a prueba conjeturas

INDICADORES DE DESEMPEÑO: Factoriza Expresiones algebraicas

EJE(S) TEMÁTICO(S): FACTORIZACION DE TRINOMIOS

MOMENTO DE REFLEXIÓN / CRECIMIENTO PERSONAL/ SEGÚN EL TEMA

―Las matemáticas son una gimnasia del espíritu y una preparación para la filosofía.‖ Isócrates

ORIENTACIONES

Lee atentamente la guía.

Sigue las instrucciones dadas por el docente.

Resuelve en el cuaderno las actividades propuestas en esta guía.

EXPLORACIÓN

El uso de figuras geométricas como herramienta de comprensión de situaciones

abstractas, fue una estrategia utilizada por los griegos (300 a.C.) para dar

solución a diferentes ecuaciones y demostrar algunas propiedades de la adición

y la multiplicación.

De igual manera, en el segundo libro de los elementos de Euclides se plantea la

demostración de varias proposiciones algebraicas a partir de medios

geométricos.

Algunas de estas ideas corresponden a los métodos actuales de factorización.

Por ejemplo, la expresión a(b + c + d) = ab + ac + ad, se podía obtener al

considerar que el rectángulo determinado por o y por la suma de los segmentos

b, c y d es igual a la suma de los rectángulos determinados por a y por cada uno

de los segmentos b, c y d tomados por separado, y viceversa.

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CONCEPTUALIZACIÓN

1.TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Un trinomio ordenado respecto a una de sus variables es cuadrado perfecto cuando:

El primer y el tercer términos son cuadrados perfectos, es decir, tienen raíz cuadrada exacta.

El segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas del primer y el tercer términos.

Factorizar un trinomio cuadrado perfecto es el proceso inverso a encontrar el desarrollo del cuadrado de la suma o la

diferencia de dos términos (producto notable unidad 4).

(a + b)2 = a

2 + 2ab + b

2

(a - b)2 = a

2 - 2ab + b

2

Así,

EJERCICIO RESUELTO

Un hacendado tiene una parcela cuya área está dada por la expresión 9m2 + 4n

2 + 12mn. Uno de los requisitos para

acceder a una licitación del Ministerio de Agricultura, es que dicha parcela debe ser de forma cuadrada.

a. ¿Podrá el hacendado acceder a la licitación?

b. De ser así, ¿cuál será la expresión que represente la medida del lado de la parcela?

SOLUCIÓN

a. Para saber si es posible que el hacendado pueda acceder a la licitación, se debe determinar si la expresión que

define el área de la parcela es un trinomio cuadrado perfecto. Para ello, primero se ordena el polinomio con

respecto a la variable m. Esto es, 9m2 + \2mn + 4n

2.

*Se extrae la raíz cuadrada a su primer y tercer términos.

*Raíz cuadrada del primer término √

*Raíz cuadrada del tercer termino √

*Se verifica que el doble producto de las raíces cuadradas de como resultado el segundo término del trinomio. Asi,

2(3m)(2n) = 12mn

Por lo tanto, 9m2 + 12mn + 4n

2 es un trinomio cuadrado perfecto. Así, se puede afirmar que la parcela es de forma

cuadrada y el hacendado puede acceder a la licitación.

Un trinomio cuadrado perfecto se factoriza como el cuadrado de la suma o de la resta de las raíces

cuadradas de su primer y tercer términos. Así,

a2 + 2ab + b

2 = (a + b)

2

a2 - 2ab + b

2 = (a - b)

2

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b. Para hallar la expresión que determina la medida del lado de la parcela, es necesario factorizar la expresión que

representa su área. Así.

9m2 + 12mn + 4n

2 = (3m + 2n)

2

Luego, la expresión que determina la medida del lado de la parcela es 3m + 2n (figura 1 )

Factorizar las siguientes expresiones.

a) x2 + 12x + 36 b)16x

2 – 40xy + 25y

2

a) x2 + 12x + 36

x 6

2(x) (6) = 12x

b) 16x2 – 40xy + 25y

2

4x 5y

2(4x) (5y)= 40xy

2. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACION

Existen algunos trinomios para los cuales se verifica que su primer y tercer término son cuadrados perfectos, pero su

segundo término no es el doble producto de las raíces cuadradas de estos. Tal es el caso del trinomio x4 + 2x

2 + 9.

Para lograr que un trinomio de esta forma se convierta en un trinomio cuadrado perfecto, basta con sumar y restar un

mismo término (semejante al segundo) de tal forma que el segundo término sea el doble producto de las raíces

cuadradas del primer y el tercer términos. A este proceso se le denomina completar cuadrados.

Figura 1

Raíces cuadradas del primer y el tercer términos.

Doble producto de las raíces cuadradas.

Raíces cuadradas del primer y el tercer términos.

Doble producto de las raíces cuadradas.

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EJERCICIO RESUELTO

Indicar el término que se debe sumar y restar a cada trinomio, para que se convierta en trinomio cuadrado perfecto.

a. b.

a. Para que m4 + 6m

2 + 25 sea un trinomio cuadrado perfecto, se necesita que el segundo término sea 10m

2. Por

tal razón, el término que se debe sumar y restar al trinomio es 4m2, pues 6m

2 + 4m

2 = 10m

2.

b. Para que 4a4 + 3a

2b

2 + 9b

4 sea un trinomio cuadrado perfecto, se necesita que el segundo término sea 12a

2b

2.

Por tal razón, el término que se debe sumar y restar al trinomio es 9a2b

2, pues 3a

2b

2 + 9a

2b

2 = 12a

2b

2

Factoriza x4 + 3x

2 + 4.

SOLUCION

El área de un rectángulo está dada por la expresión 4m4 - 29m

2rc

2 + 25n

4. Determinar la longitud de sus lados

SOLUCION

El rectángulo del problema se ilustra en la siguiente figura

Para poder solucionar el problema es necesario factorizar la expresión del área. Para que

sea un trinomio cuadrado perfecto, se necesita que el segundo término sea 20m2n

2. Por tal razón, el término que se

debe sumar y restar al trinomio es 49m2n

2.

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción, se

completan cuadrados y se factoriza dicha expresión, primero, como un trinomio

cuadrado perfecto y luego, como una diferencia de cuadrados.

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Pues -29m2n

2 + 49m

2n

2 = 20m

2n

2. Así, 4m

4 - 29m

2n

2 + 25n

4

= 4m4 - 29m

2n

2 + 25n

4 + 49m

2n

2 - 49m

2n

2

= 4m4 + 20m

2n

2 + 25n

4 - 49m

2n

2

= (2m2 + 5n

2)

2 — 49m

2n

2

= [(2m2 + 5n

2) - 7mn][(2m

2 + 5n

2) + 7mn]

= (2m2 - 7mn + 5n

2)(2m

2 + 7mn + 5n

2)

= Luego, 4m4 - 29m

2n

2 + 25n

4 = (2m

2 - 7mn + 5n

2)(2m

2 + 7mn + 5n

2).

= Asi, las dimensiones del rectángulo son:

(2m2 - 7mn + 5n

2) y (2m

2 + 7mn + 5n

2).

3. TRINOMIO DE LA FORMA x2n

+ bxn+ c

Expresiones como x2 + 5x + 6, a

4 + 3a

2 - 10, m

6 - 5m

3 - 36 son trinomios de la forma x

2n + bx

n + c .

Los trinomios de esta forma presentan las siguientes características:

1. El coeficiente del primer término es 1.

2. El segundo término presenta la misma letra que el primero con su exponente a la mitad.

3. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo términos del trinomio.

EJERCICIOS RESUELTOS

a. x2 + 5x + 6 b. a

4 - 7a

2 – 30

c. m2 + abcm - 56a

2b

2c

2

SOLUCION

a) x2 + 5x + 6 = (x )(x )

Se buscan dos números cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6. Estos números son 2 y 3.

Para factorizar un trinomio de la forma x2n

+ bxn + c, se buscan dos números r y s , tales

que,

𝑥 𝑛 𝑏𝑥𝑛 𝑐 𝑥𝑛 𝑟 𝑥𝑛 𝑠 Donde r + s = b y r ∙s = c

Raíz cuadrada del primer término del trinomio

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Luego, x2+5x + 6= (x + 2) (x + 3)

b) a4 - 7a

2 – 30 = (a

2 ) ( a

2 )

Se buscan dos números cuya suma sea – 7 y cuyo producto sea –30. Estos números

son – 10 y 3.

Luego,

c) m2 + abcm - 56a

2b

2c

2 = (m + )(m )

En este caso, las expresiones que se deben tener en cuenta son 1abc – 56a 2b

2c

2 =

(m + 8abc) (m – 7abc)

FACTORIZAR LA EXPRESION m2 + 11m + 24 y elaborar una representación grafica de ella.

SOLUCION

Para factorizar la expresión m2 + 11m + 24, se buscan dos números cuya suma sea 11 y cuyo producto sea

24. Estos números son 8 y 3.

Así; m2 + 5m + 24 = (m + 8) (m + 3)

La representación grafica de la expresión m2 + 11m + 24 como el área de un rectángulo de lados m + 8 y

m + 3, respectivamente, se muestra en la figura 2.

4. TRINOMIO DE LA FORMA ax2n

+ bxn+ c

Expresiones como 2x2+ 3x – 2, 6a

2+ 7a

2 + 2, 7m

6 – 33m

3 – 10, son trinomios de la forma ax

2n+ bx

n+ c

Los trinomios de esta forma presentan las características:

a) El coeficiente del primer término es diferente de 1.

Raíz cuadrada del primer término del trinomio

Raíz cuadrada del primer término del trinomio

Figura 2

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b) El segundo término presenta la misma letra que el primero con su exponente a la mitad.

c) El tercer término es independiente de la letra que aparece el primer y segundo término del trinomio.

Para factorizar un trinomio de la forma ax2n

+ bxn+ c existen varios métodos. A continuación se describe uno de

ellos.

Se toma como valor de referencia el producto de a y c.

Se descompone a y c en dos factores, s y t, de tal forma que sxn + tx

n= bx

n

Se escribe el trinomio ax2n

+ bxn+ c como el polinomio equivalente a ax

2n + sn

n + tx

n + c

Se factoriza el polinomio obtenido como

factor común por agrupación de términos.

EJERCICIOS RESUELTOS

FACTORIZAR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES

a) 4x2+ 15x + 9 b)15x

4 – 23x

2 + 4

SOLUCION

a) 4x2+ 15x + 9

Se toma como referencia el producto

entre 4 y 9. Esto es 4 * 9 = 36.

Se descompone 36 en dos factores s y t,

tales que sx + tx = 15. En este caso s =12 y t = 3, pues 12x y 3x = 15x.

Se escribe 4x2 + 15x + 9 como 4x2 +

12x + 3x + 9

Se factoriza dicha expresión como factor común por agrupación, así.

4x2 + 15x + 9= 4x

2 +12x +3x + 9

= (4x2

+12x) + (3x + 9)

= 4x (x + 3) + 3 (x + 3)

= (x + 3) (4x + 3)

Luego, 4x2 + 15x + 9 es = (x + 3) (4x + 3)

EJERCICIO RESUELTO

Cierto componente electrónico de forma rectangular, esta descrito en su totalidad por la expresión 20x2 + 56x + 15.

Determinar las dimensiones y el plano de dicho componente.

SOLUCION

Para determinar las dimensiones del componente, se deben factorizar la expresión que representa su área. Así,

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20x2 + 56x + 15 = (2x + 5) (10x + 3)

Luego, las dimensiones del componente electrónico están dadas por las expresiones 2x + 5 y 10x + 3 respectivamente.

El plano de dicho componente se muestra en la figura 3. Al descomponer cada parte del componente se tiene que las

expresiones que lo describen son 20x2, 50x, 6x y 15.

ACTIVIDADES DE APROPIACION

Marcar , si la expresión es un trinomio cuadrado

perfecto, o , si no lo es.

a) y2+ 14x + 49 e)m

2 – 10m + 16

b)25x2+ 60x + 36 f)169 – 13x +x

2

c)81z2 – 32zy + 4y

2 g)r

2 – 30r + 225

d)

h)

Relacionar cada trinomio con su factorización

respectiva; escribiendo sobre la línea la letra correcta

64x2 – 48xy

2+ 9y

4 _____ a.(3x

2y

2 – 4y

4)2

16x2 – 48xy

2 +36y

4 _____ b.(4x – 6y

2)2

81y4 – 36xy

3 + 4y

2x

2 _____ c.(8x – 3y

2)2

9x4y

4 – 24x

2y

6 + 16y

8 _____ d.(9y

2 – 2yx)

2

Marcar con un el termino que se debe sumar o

restar al trinomio dado para que sea trinomio

cuadrado perfecto.

a)z4

+ 4z2

+ 16 z2 2z

2 4z

2

b)x4 + 2x

2 + 9 2x

4 4x

2 4x

4

c)x4 – 3x

2z

2 + z

4 x

2z x

2z

2 x

4z

2

d)z4 + z

2 + 1 2z

2 z

2 z

e)x8

+ x4 + 1 x

4 x

2 2x

4

f)z8 + 15z

4 + 64 z

2 z

4 3z

4

g)x2 + 13x

4 +49 7x

4 2x

4 x

4

h)z8 + 9z

4 +25 z

4 5z

2 3z

4

Para construir un joyero, se utilizo una cartulina

cuadrada cuya área es 64x2 + 192x + 144, a esta se le

recortaron los cuadrados de las esquinas como

muestra la figura.

Escribir una expresión que permita calcular el área de la

base del joyero.¿el cuadrado levantado sobre BC, es un

trinomio cuadrado perfecto?

PARA PENSAR. Determinar la base y la altura de

cada cuadrilátero.

A=4x2 – 20x + 25

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Factorizar cada trinomio.

a)x4

+ 2x2y

2 + 9y

4 f)m

4 – 45m

2 + 100

b)x8

+ 6x4b

4+ 25b

8 g)r

8 + 3r

4+ 4

c)49z4+ 54y

2z

2+ 25y

4 i)c

8 – 14c

4 +25

d)64a 4+12 a

2b

2+ b

4 j)16p

4 – 25p

2q

6+9q

12

e)49z8 + 110z

4y

4+ 100y

8 k)49m

8 + 75m

4n

2+196n

4

Encontrar dos numeros que sumados den el primer

numero de cada fila y multiplicados den el segundo.

6 8 7 10 5 -36

-4 -21 -11 28 16 63

Completa la tabla.

Si el area de un rectangulo es x6 – 24x

3 + 143, hallar

sus dimensiones y perimetros.

¿Qué polinomio factorizado da (x – 12) (x + 8),

representar graficamente la situacion.

Factorizar

a)x2 + 16x + 15 f)m

2 – 9m +18

b)y2

+5y – 14 g)a2 11 a + 28

c)t4- 8t

2 + 12 h)p

10 +

10p

5 - 600

d)b4 + 7b

2 – 260 i)y

8 + 39y

4 + 108

e)m6 – 37m

3 + 210 j)a4t+ 4 23 a 2t +2 + 123

Encontrar las dimensiones de cada cuadrilatero.

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Factorizar los siguientes trinomios.

Completar la siguiente tabla.

Relacionar cada trinomio con el coeficieinte que

completa el trinomio para que se pueda factorizar.

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¿Qué factorizacion se puede obtener de las siguientes

graficas?

a)

b)

c)

Hallar las dimensiones de la base y la altura de cada

poligono. Se aplican todas las factorizaciones vistas.

a)

b)

c) d)

SOCIALIZACIÓN

Resolver en el aula los ejercicios con la finalidad de aclarar las dudas presentadas y posteriormente presentar la

evaluación del tema en las fechas establecipdas.

COMPROMISO

Resolver Todos los ejercicios de la guía en el cuaderno y entregarlo una vez se termine la guía según las fechas

determinadas por el docente

ELABORÓ REVISÓ APROBÓ

NOMBRES

Yaira Lizett Rincón R Alexandra Uribe Rozo

CARGO Docentes de Área Jefe de Área Coordinador Académico

19 06 2014 19 06 2014