Upload
ajrul-denie-areward
View
55
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
PROJEK E-LEARNING
Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Desain Webyang Dibina oleh Bapak Mohamad Yasin, S.Kom, M.Kom,
disusun oleh:
Muhammad Ajrul Mahbub130312615407
UNIVERSITAS NEGERI MALANGFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMJURUSAN MATEMATIKAFebruari 2015Halaman Utama
E-Learning
Tampilan Menu
Menu utama
MatakuliahSemester 1
Semester 2
Semester 3
Menu semester 1
MatakuliahSemester 1
| Landasan matematika
| Matematika dasar 1
| Matematika dasar 2
Semester 2
Semester 3
Menu semester 2
MatakuliahSemester 1
Semester 2
| Teori bilangan
| Metode statistika
Semester 3
Menu semester 3
MatakuliahSemester 1
Semester 2
Semester 3
| Analisis real 1
| Struktur aljabar 1
Header
UNIVERSITAS NEGERI MALANG
E-Learning Jurusan Matematika
Frame ID
copyright M. Ajrul Mahbub
Jurusan Matematika FMIPA
Uiversitas Negeri Malang
Jl. Semarang no 5 Malang
Materi 1. Landasan matematika
LANDASAN MATEMATIKA Himpunan
Logika Matematika
Fungsi
Latihan soal
HimpunanDalam matematika, himpunan adalah segala koleksi
benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun
hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan
merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika
modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan
dan teori himpunan, sangatlah berguna.
Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19,
sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika
yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori
ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori
himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua
aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua
matematika diturunkan.
Notasi Himpunan
Himpunan kosong
Notasi HimpunanBiasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf
besar, misalnya S, A, atau B, sementara anggota
himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara
penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi
bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel
di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum
dipakai.
Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan
kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang
khusus.
Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:
Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:
Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:
Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.
Himpunan kosongHimpunan {apel, jeruk, mangga, pisang}, memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong.Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:
Logika MatematikaLogika matematika adalah cabang logika dan
matematika yang mengandung kajian matematis logika dan aplikasi
kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika
matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika
filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah
kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari
sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam
cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi,
teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Bidang-bidang ini
memiliki hasil dasar logika yang serupa.
Hukum logika
Hukum asosiatif
Hukum distributif
Hukum identitas
Hukum ikatan
Hukum negasi
Hukum negasi ganda
Hukum idempoten
Hukum De Morgan
Hukum penyerapan
Negasi B dan s
FungsiFungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap
anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota
himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini
berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai
sehari-hari, seperti alatnya berfungsi dengan baik. Konsep fungsi
adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu
kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi",
dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.
Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang,
atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran
matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan
domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang
menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang
dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis
f(5)=10.
NotasiUntuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi
berikut.
Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang
memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya
mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua
himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut
tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan
notasi lain.
atau
Sifat-sifat fungsiFungsi injektif
Fungsi f: A B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif
jika dan hanya jika untuk sebarang a1 dan a2 A
dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak sama
dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka
f(a1) sama dengan f(a2).
Fungsi surjektif
Fungsi f: A B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif
jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain
B terdapat paling tidak satu a dalam domain A
sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain
fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).
Fungsi bijektif
Fungsi f: A B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika
untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu
a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak
ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan
kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan
surjektif
Soal 1. Landasan matematika
Daftar isi: Soal Himpunan | Soal logika matematika | Soal fungsi
SOAL HIMPUNAN
1.
Anggota dari A' adalah
a. {1,2,3,4,5}
b. {1,2,4,5}
c. {7,8,10,11}
d. {7,8,9,10,11,12}
2.Jika semua anggota himpunan A menjadi anggota himpunan B, maka dikatakan bahwa
a. A B
b. A B
c. A B
d. A B
3.Diketahui A = {2,3,5,7} dan B = {1,2,3,4,5} Anggota dari A - B adalah
a. {7}
b. {1,4}
c. {1,2,3,4,5}
d. {2,3,5,7}
4.Sekelompok siswa terdiri dari 50 orang, setelah di data ternyata 20 orang suka bermain basket, 33 orang suka bermain futsal, dan 5 orang tidak suka bermain kedua-duanya. Banyaknya siswa yang suka bermain basket dan futsal sekaligus adalah
a. 45 orang
b. 25 orang
c. 15 orang
d. 8 orang
5.Diketahui A={1,2,3}, B={2,3,4,5}, C={0,1,2,3,4}, dan D = { }. Diantara pernyataan berikut yang benar adalah
a. D A
b. A B
c. B C
d. C D
6.Manakah diantara himpunan berikut yang merupakan himpunan berhingga?
a. S = {0,1,2,3,...}
b. P = {1,2,3, ... ,110}
c. Q = { ...,-3,-2,-1,0}
d. R = {...,-3,-2,-1,0,1,...}
7.Dalam satu RT terdiri dari 60 warga, 20 warga berlangganan majalah, 35 warga berlangganan koran dan 5 warga berlangganan keduanya. Berapa orang warga yang tidak berlangganan kedua-duanya?
a. 15 warga
b. 30 warga
c. 55 warga
d. 10 warga
8.
Perhatikan diagram venn diatas, anggota dari adalah
a. {1,2,3,4,5,7,8,10}
b. {3,6}
c. {1,2,3,4,5,6,9,12}
d. {7,8,10,11}
9.ika A = {a,b,c} dan B = {a,b,c,d,e}, maka pernyataan yang salah adalah
a. A B = {a,b,c}
b. A B = {a,b,c,d,e}
c. n(A) = 4
d. B - A = {d,e}
|
SOAL LOGIKA MATEMATIKA
Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut
1.Hari ini Jakarta banjir.
2.Kambing bisa terbang
3.Didi anak bodoh
4.Siswa-siswi SMANSA memakai baju batik pada hari
5.Semua dokter memakai baju putih saat bekerja
6.Semua jenis burung bisa terbang
7.Semua anak mengikuti ujian fisika hari ini
8.
Ingkaran dari pernyataan "Beberapa bilangan prima adalah
bilangan genap" adalah
a. Semua bilangan prima adalah bilangan genap
b. Semua bilangan prima bukan bilangan genap
c. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap
d. Beberpa bilangan genap bukan bilangan prima
e. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima
9.
Diberikan data:
Pernyataan p bernilai salah
Pernyataan q bernilai benar
p q BenarSalah
p ~q Benar Salah
~p q Benar Salah
~p ~q Benar Salah
10.
Diberikan data:
Pernyataan p bernilai benar
Pernyataan q bernilai salah
p q Benar Salah
p ~q Benar Salah
~p q Benar Salah
~p ~q Benar Salah
11.
Negasi dari pernyataan " Matematika tidak mengasyikkan atau
membosankan" adalah
a. Matematika mengasyikkan atau membosankan
b. Matematika mengasyikkan atau tidak membosankan
c. Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan
d. Matematika tidak mengasyikkan dan tidak membosankan
e. Matematika tidak mengasyikkan dan membosankan
Tentukan negasi dari pernyataan
12.
Bogor hujan lebat dan Jakarta tidak banjir
13.
Hari ini tidak mendung dan Budi membawa payung
14.
Perhatikan pernyataan berikut
"Jika cuaca mendung maka Charli membawa payung"
Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan di
atas!
|
SOAL FUNGSI
Tentukan dari setiap fungsi berikut Daerah asal dan daerah definisi
1.
2.
Tentukan f(x) bila diketahui
3.
4.
5.
Tentukan fungsi invers dari setiap fungsi berikut
6.
7.
8. periksa apakah fungsi injektif, bijektif atau surjektif
Injektif
bijektif
surjektif
8.
diketahui
dan
tentukan
|
Materi 2. Matematika dasar 1
The Real-Number System
Real Numbers
Interval Notation
Properties of the Real Numbers
Absolute Value
Latihan Soal
Real NumbersIn applications of algebraic concepts, we use real
numbers to representquantities such as distance, time, speed, area,
profit, loss, and temperature.Some frequently used sets of real
numbers and the relationshipsamong them are shown below.
Numbers that can be expressed in the form a/b , where p and q are
integersand q 0 , are rational numbers. Decimal notation for
rationalnumbers either terminates (ends) or repeats. Each of the
following is arational number.
Interval Notation
Properties of the Real Numbers
Absolute Value
Soal 2. Matematika dasar 1
MATEMATIKA DASAR I
Write interval notation. Then graph the interval
1.
2.
3.
4.
Write interval notation for the graph
5.
6.
Name the property illustrated by the sentence
7.
8.
9.
10.
Find the distance between the given pair of points on the number
line
11.
12.
13.
14.
|
Materi 2. Matematika dasar 2
TrigonometriTrigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga
sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang
berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti
sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan
geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya;
bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari
geometri.
Daftar isi
Konsep trigonometri
Hubungan
Identitas trigonometri
Rumus jumlah dan selisih sudut
Rumus sudut rangkap dua
Rumus sudut rangkap tiga
Rumus setengah sudut
Latihan soal
Konsep trigonometriDasar dari Trigonometri adalah Konsep
kesebangunan segitiga siku-siku. Sisi-sisi yang bersesuaian pada
dua bangun datar yang sebangun memiliki perbandingan yang sama.
Pada geometri Euclid, jika masing-masing sudut pada dua segitiga
memiliki besar yang sama, maka kedua segitiga itu pasti
sebangun.Hal ini adalah dasar untuk perbandingan trigonometri sudut
lancip. Konsep ini lalu dikembangkan lagi untuk sudut-sudut non
lancip (lebih dari 90 derajat dan kurang dari nol derajat).
Tabel 1. Sudut istimewa
Gambar 1. Grafik y = sin x
Gambar 2. Grafik y = cos x
Gambar 2. Grafik y = tan x
Gambar 2. Grafik y = cot x
Gambar 2. Grafik y = sec x
Gambar 2. Grafik y = cosec x
Hubungan fungsi trigonometri
Fungsi dasar
Identitas trigonometri
Rumus jumlah dan selisih sudut
Rumus sudut rangkap dua
Rumus sudut rangkap tiga
Rumus setengah sudut
Soal 2. Matematika dasar 2
EXCERSICE
1. Diketahui segitiga ABC lancip dengan , dan . Jika , maka AC
=
untuk soal nomor 2 sampai 5, tentukan nilai fungsi trionometri
untuk sudut-sudut yang ditunjuk
2.
3.
4.
5.
Find the acute angle , to the nearest tenth of a degree, for the
given function value.
6.
7.
8.
9.
10.
|
Materi 3. Teori bilangan
TEORI BILANGAN
Teori bilangan (number theory) adalah teori yang mendasar dalam
memahami algoritma kriptografi. Bilangan yang dimaksudkan adalah
bilangan bulat (integer)
Bilangan bulat
Sifat Pembagian pada Bilangan Bulat
Pembagi Bersama Terbesar
Algoritma Euclidean
Relatif Prima
Aritmetika Modulo
Kongruen
Kekongruenan Lanjar
Bilangan Prima
Fungsi Euler
Latihan soal
Bilangan BulatBilangan bulat adalah bilangan yang tidak
mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan
dengan bilangan bulat adalah bilangan riil yang mempunyai titik
desimal, seperti 8.0, 34.25, 0.02.
Sifat Pembagian pada Bilangan BulatMisalkan a dan
b adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat a 0. Kita
menyatakan bahwa a habis membagi b (a divides
b) jika terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga
b = ac.
Notasi: a | b jika b = ac, c Z dan a 0.(Z =
himpunan bilangan bulat).
Kadang-kadang pernyataan "a habis membagi b" ditulis
juga "b kelipatan a".
Contoh 1: 4 | 12 karena 12/ 4 = 3 (bilangan bulat) atau 12 =
4 * 3. Tetapi 4 | 13 karena 13 /4 = 3.25 (bukan bilangan
bulat).
Teorema 1 (Teorema Euclidean). Misalkan m dan
n adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat n >
0. Jika m dibagi dengan n maka terdapat dua buah
bilangan bulat unik q (quotient) dan r (remainder),
sedemikian sehingga
dengan
Contoh 2
Pembagi Bersama Terbesar (PBB) Misalkan a dan b
adalah dua buah bilangan bulat tidak nol. Pembagi bersama terbesar
(PBB - greatest common divisor atau gcd) dari a dan
b adalah bilangan bulat terbesar d sedemikian
sehingga d | a dan d | b. Dalam hal ini
kita nyatakan bahwa PBB(a, b) = d.
Algoritma EuclideanAlgoritma Euclidean adalah algoritma untuk
mencari PBB dari dua buah bilangan bulat. Diberikan dua buah
bilangan bulat tak-negatif m dan n (m n). Algoritma
Euclidean berikut mencari pembagi bersama terbesar dari m
dan n.
Relatif PrimaDua buah bilangan bulat a dan b
dikatakan relatif prima jika PBB(a, b) = 1.
Jika a dan b relatif prima, maka terdapat bilangan
bulat m dan n sedemikian sehingga
Aritmetika Modulo Misalkan a adalah bilangan bulat dan
m adalah bilangan bulat > 0. Operasi a mod
m (dibaca "a modulo m") memberikan sisa jika
a dibagi dengan m.
Notasi: a mod m = r sedemikian sehingga a =
mq + r, dengan 0 r < m
Bilangan m disebut modulus atau modulo, dan hasil aritmetika
modulo m terletak di dalam himpunan {0, 1, 2,
...,m-1}
Kongruenmisalkan a dan b adalah bilangan bulat dan
m adalah bilangan > 0, maka a b(mod m) jika
m habis membagi a-b.
jika a tidak kongruen b modulo m maka a /
b(mod m)
kekonruenan a b (mod m) dapat ditulis dalam a = b +
km untuk suatu bilangan bulat k
Teorema 2. Misalkan m adalah bilangan bulat
positif.
Kekongruenan LanjarKekongruenan lanjar adalah kongruen yang
berbentuk ax b (mod m), dengan m adalah bilangan
bulat positif, a dan b sembarang bilangan bulat, dan
x adalah peubah bilangan bulat.
Nilai-nilai x dicari sebagai berikut:
yang dapat disusun menjadi
dengan k adalah sembarang bilangan bulat. Cobakan untuk
k = 0, 1, 2, ... dan k = -1, -2,... yang menghasilkan
x sebagai bilangan bulat.
Teorema 3. (Chinese Remainder Theorem) Misalkan
m1,m2,...,mn adalah bilangan bulat positif sedemikian
sehingga PBB(mi, mj) = 1 untuk i j. Maka sistem
kongruen lanjar
x ax (mod mk)
mempunyai sebuah solusi unik modulo m = m1, m2, ...,
mn
Bilangan PrimaBilangan bulat positif p (p > 1)
disebut bilangan prima jika pembaginya hanya 1 dan p.
Bilangan selain prima disebut bilangan komposit
(composite). Misalnya 20 adalah bilangan komposit karena 20
dapat dibagi oleh 2, 4, 5, dan 10, selain 1 dan 20 sendiri.
Teorema 4. (The Fundamental Theorem of Arithmetic).
Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar atau sama dengan 2
dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan
prima.
Teorema 5. (Teorema Fermat). Jika p adalah bilangan
prima dan a adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi
dengan p, yaitu PBB(a, p) = 1, maka
ap-1 1 (mod p)
Fungsi Euler Fungsi Euler medefinisikan (n) untuk n 1
yang menyatakan jumlah bilangan bulat positif < n yang relatif
prima dengan n.
Teorema 5. Jika n = pq adalah bilangan komposit
dengan p dan q prima, maka (n) = (p)
(q) = (p - 1)(q - 1).
Teorema 6. Jika p bilangan prima dan k > 0,
maka (pk) = pk - pk-1 = pk-1(p - 1).
Teorema 7. (Euler's generalization of Fermat
theorem)
Jika PBB(a, n) = 1, maka a(n) mod n = 1 (atau
a(n) 1 (mod n) )
Soal 3. Teori bilangan
Soal Teori Bilangan ={e, a, a2,..., an-1} and i = aj if and only
if n divides i j.
Corollary 1 |a| 5 |< a>|
For any group element a, |a| =|< a>|.
Corollary 2 ak = e Implies That |a| Divides k
Let G be a group and let a be an element of order n in G. If ak =
e,then n divides k.
Theorem 4.2
Let a be an element of order n in a group and let k be a
positiveinteger. Then and .
Corollary 1 Orders of Elements in Finite Cyclic Groups
In a finite cyclic group, the order of an element divides the
orderof the group.
Corollary 2 Criterion for dan
Let img . Then if and only if and if and only if .
Corollary 3 Generators of Finite Cyclic Groups
Let |a| = n. Then < a> = < aj> if and only if gcd(n, j)
= 1 and|a| = |< aj>| if and only if gcd(n, j) = 1.
Classification of Subgroupsof Cyclic GroupsTheorem 4.3
Fundamental Theorem of Cyclic Groups
Every subgroup of a cyclic group is cyclic. Moreover, if |<
a>| = n,then the order of any subgroup of < a> is a
divisor of n; and, for eachpositive divisor k of n, the group <
a> has exactly one subgroup oforder k-namely, <
an/k>.
Theorem 4.4 Number of Elements of Each Order in a Cyclic
Group
If d is a positive divisor of n, the number of elements of order d
ina cyclic group of order n is (d).
Sub materi 5. Permutation Groups
Wigner's discovery about the electron permutation group was just
thebeginning. He and others found many similar applications and
nowadaysgroup theoretical methods-especially those involving
characters andrepresentations-pervade all branches of quantum
mechanics.
GEORGE MACKEY, Proceedings of theAmerican Philosophical
Society
Permutation GroupsDefinition and NotationDefinition
Permutation of A, Permutation Group of A
A permutation of a set A is a function from A to A that is both
oneto-one and onto. A permutation group of a set A is a set of
permutationsof A that forms a group under function
composition.
Properties of PermutationsTheorem 5.1 Products of
Disjoint Cycles
Every permutation of a finite set can be written as a cycle or as
aproduct of disjoint cycles.
Theorem 5.2 Disjoint Cycles Commute
If the pair of cycles = (1, 2, . . . , 1) and = (1,2, . . . ,
n)have no entries in common, then = .
Theorem 5.3 Order of a Permutation (Ruffini-1799)
The order of a permutation of a finite set written in disjoint
cycleform is the least common multiple of the lengths of the
cycles.
Theorem 5.4 Product of 2-Cycles
Every permutation in Sn, n > 1, is a product of 2-cycles.
Lemma
If = 1, 2,...,r where the 's are 2-cycles, then r is even.
Theorem 5.5 Always Even or Always Odd
If a permutation a can be expressed as a product of an even
(odd)number of 2-cycles, then every decomposition of a into a
product of2-cycles must have an even (odd) number of 2-cycles. In
symbols, if
= 1, 2,...,r and = 1, 2,...,s
where the 's and the 's are 2-cycles, then r and s are both even
orboth odd.
Theorem 5.6 Even and Odd Permutations
A permutation that can be expressed as a product of an even
numberof 2-cycles is called an even permutation. A permutation that
canbe expressed as a product of an odd number of 2-cycles is called
anodd permutation.
Definition Alternating Group of Degree n
The group of even permutations of n symbols is denoted by An and
iscalled the alternating group of degree n.
Theorem 5.7
For n > 1, An has order n!/2.
Soal 5. Struktur Aljabar I
LATIHAN SOAL
STRUKTUR ALJABAR 1
GRUP
1.
Berikan dua alasan mengapa himpunan bilangan ganjil dibawah
penjumlahan bukan grup
2.
Tujukan bahwa {1,2,3} dibawah perkalian modulo 4 bukan grup
tetapi {1,2,3,4} dibawah perkalian modulo 5 adalah grup
3. tentukan invers dari
dalam GL(2,Z11)
4.
Berikan contoh elemen grup a dan b yang memenuhi sifat
a-1ba b
5.
Buktikan bahwa himpunan semua matix dengan entri bilangan real
dan dengan bentuk
adalah grup dengan operasi kali matriks
Finite groups; Subgroups
6.
tentukan siklik subgrup dari U(40) dengan orde 4
7.
tentukan nosiklik subgrup dari U(40) dengan orde 4
|
Materi 6. Analisis Real
THE REAL NUMBERS
Algebraic Properties of Real number On the set R of real
numbers there are two binaryoperations, denoted by + and . and
called addition and multiplication, respectively. Theseoperations
satisfy the following properties:
(A1) a + b = b + a for all a, b in R (commutative
property of addition);
(A2) (a + b) + c = b + (a + c) for all a, b, c in R
(associative property of addition);
(A3) there exists an element 0 in R such that 0 + a =
a and a + 0 = a for all a in R (existence of a zero
element);
(A4) for each a in R there exists an element -a in R
such that a + (-a) = 0 and (-a) + (a) = 0 (existence of
negative elements);
(M1) a . b = b . a for all a, b in R (commutative
property of multiplication);
(M2) (a . b) . c = a . (b . c) for all a, b, c
in R (associative property of multiplication);
(M3) there exists an element 1 in R distinct from 0 such
that 1 . a = a and a . 1 = a for all a in R
(existence of a unit element);
(M4) for each a 0 in R there exists an element 1 =
a in R such that a . (1/a) = 1 and (1/a) . a = 1 (existence of
reciprocals);
(D) a . (b + c) = (a . b) + (a . c) and (b + c) .
a = (b . a) + ( c . a) for all a, b, c di R
(distributive property of multiplication over addition)