1. Tìm vi phân cấp 1 của hàm 2 4yz x= +

A. 2 4ydz xdx dy= +

B. 2 4 ln 4ydz xdx dy= +

C. 12 4ydz xdx y dy−= +

D. 2 4 ln 4ydz xdx y dy= +

[<br>]

2. Tìm vi phân cấp 1 của hàm ( )lnz x y= −

A. dx dy

dzx y−

=−

B. dy dx

dzx y−

=−

C. ( )2

dx dydz

x y

−=

−

D. ( )2

dy dxdz

x y

−=

−

[<br>]

3. Tìm vi phân cấp 1 của hàm ( )arctanz y x= −

A. ( )21

dx dydz

x y

+=

+ −

B. ( )21

dx dydz

x y

−=

+ −

C. ( )21

dy dxdz

x y

−=

+ −

D. ( )21

dx dydz

x y

− −=

+ −

[<br>]

4. Tìm vi phân cấp 1 của hàm ( )2 2 sinz x xy xy= − +

A. ( )( )2 2 cosdz x y y xy dx= − +

B. ( )( )2 cosdz x x xy dy= − +

C. ( )( ) ( )( )2 2 cos 2 cosdz x y y xy dx xy x xy dy= − + + − +

D. ( )( ) ( )( )2 2 cos 2 cosdz x y xy dx x xy dy= − + + − +

[<br>]

5. Tính vi phân cấp 2 của hàm 22sin yz x e= + (Gợi ý: sử dụng công thức

2 2 22xx xy yy

d z z dx z dxdy z dy′′ ′′ ′′= + + )

A. 22 2 22 sin 2 yd z xdx ye dy= +

B. ( )22 2 2 22 cos2 4 2yd z xdx e y dy= + +

C. 22 2 22 cos2 2 yd z xdx ye dy= − +

D. 22 2 2cos2 yd z xdx e dy= +

[<br>]

6. Tính đạo hàm riêng cấp 2 "xxz của hàm hai biến 2 sinyz xe y y x= + +

A. " sinxxz y x= −

B. " sinxxz y x=

C. " cosyxxz e y x= +

D. " sinyxxz e y x= −

[<br>]

7. Cho hàm hai biến 2x yz e += . Kết quả nào sau đây là đúng?

A. " 2x yxxz e +=

B. " 24 x yyyz e +=

C. " 22 x yxyz e +=

D. Các kết quả trên đều đúng

[<br>]

8. Cho hàm hai biến ( ), cosz f x y xy= = . Kết quả nào sau đây là đúng?

A. ( ) cos2

n

n n

yz y xy n

π⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

B. ( ) cos2

n

n n

yz x xy n

π⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

C. ( ) ( )2cos

2n n

nn

x yz xy xy n

π⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

D. ( )2cos

2n n

n n

x yz y xy n

π⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

[<br>]

9. Cho hàm hai biến ( ), x yz f x y e += = . Kết quả nào sau đây là đúng?

A. ( ) ( ) ( )n m n m

n m n m

y x y xz z z

+ = +

B. ( ) ( ) ( )n m n m

n m n m

y x y xz z z

+ = =

C. ( ) ( ) ( )n m n m

n m n m

y x y xz z z

+ = −

D. ( ) ( ) ( ).n m m n

n m m n

y x y xz z z

+ = −

[<br>]

10. Cho hàm hai biến ( ) ( ), sinz f x y x y= = + . Kết quả nào sau đây là đúng?

A. ( ) ( )3 3

6sin

x yz x y= +

B. ( ) ( )3 3

6cos

x yz x y= +

C. ( ) ( )3 3

6sin

x yz x y= − +

D. ( ) ( )3 3

6cos

x yz x y= − +

[<br>]

11. Cho hàm hai biến ( ) 20 20 10 11,z f x y x y x y= = + + . Kết quả nào sau đây là

đúng?

A. ( ) ( )3 19 3 19

22 221

x y y xz z= =

B. ( ) ( )7 15 6 16

22 220

x y y xz z= =

C. ( ) ( )13 9 6 16

22 222

x y y xz z= =

D. ( ) ( )11 11 11 11

22 223

x y y xz z= =

[<br>]

12. Cho hàm hai biến ( ), cos sinz f x y xy y x x y= = + + . Kết quả nào sau đây là

đúng?

A. ( )2

40

xyxz =

B. ( )2

4cos

xyxz x=

C. ( )2

4sin

xyxz x=

D. ( )2

41

xyxz =

[<br>]

13. Cho hàm hai biến ( ), yz f x y xe= = . Kết quả nào sau đây là đúng?

A. ( )4

40

y xz =

B. ( )4

41

y xz =

C. ( )4

4

y xz x=

D. ( )4

4 y

y xz e=

[<br>]

14. Cho hàm hai biến ( ), lnyz f x y e x= = . Kết quả nào sau đây là đúng?

A. ( )2

4 y

yxyz e=

B. ( )2

4y

yxy

ez

x=

C. ( )2

4y

yxy

ez

x= −

D. ( )4

4 1y xz

x=

[<br>]

15. Cho hàm hai biến ( ), xyz f x y e= = . Kết quả nào sau đây là đúng?

A. ( )5

5 5 xy

xz y e=

B. ( )5

5 5 xy

xz x e=

C. ( )5

5 xy

xz e=

D. ( )5

50

xz =

[<br>]

16. Tìm vi phân cấp 2 2d z của hàm hai biến lnz y x=

A. 2 2

2

1 xd z dxdy dy

y y= +

B. 2 2

2

2 yd z dxdy dx

x x= −

C. 2 2

2

2 xd z dxdy dy

y y= +

D. 2 2

2

1 yd z dxdy dy

x x= −

[<br>]

17. Tìm vi phân cấp 2 2d z của hàm hai biến 2 2sinz x x y= +

A. ( ) ( )2 22 cos 2 2 sin 2d z y dxdy x y dy= −

B. ( ) ( )2 2 22 2 sin 2 2 sin 2d z dx y dxdy x y dy= + +

C. ( ) ( )2 2 2 2 22 2 sin 2 cos 2d z dx y dx x y dy= − −

D. ( ) ( )2 2 22 2 sin 2 2 cos 2d z dx y dxdy x y dy= + +

[<br>]

18. Tìm vi phân cấp 2 2d z của hàm hai biến 2 2cosz x x y= +

A. ( ) ( )2 22 cos 2 2 sin 2d z x dxdy x y dy= −

B. ( ) ( )2 22 2 sin 2 2 sin 2d z dx y dxdy x y dy= + +

C. ( ) ( )2 22 2 sin 2 2 cos 2d z dx y dxdy x y dy= − −

D. ( ) ( )2 22 2 sin 2 2 cos 2d z dx y dxdy x y dy= − +

[<br>]

19. Tìm vi phân cấp 2 2d z của hàm hai biến 2 3z x y=

A. 2 3 2 2 2 22 12 6d z y dx xy dxdy x ydy= + +

B. 2 3 2 2 2 22 12 6d z y dx xy dxdy x ydy= − +

C. 2 3 2 2 26d z y dx x ydy= +

D. ( )22 3 2 22 3d z xy dx x y dy= +

[<br>]

20. Cho hàm ( ),f x y có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp 2 tại điểm dừng

( )0 0,M x y . Đặt

( ) ( ) ( )" " " 20 0 0 0 0 0, , , , , ,

xx xy yyA f x y B f x y C f x y B AC= = = Δ = − . Khẳng

định nào sau đây là đúng? A. Nếu 0Δ < và 0A> thì f đạt cực đại tại M

B. Nếu 0Δ < và 0A< thì f đạt cực đại tại M

C. Nếu 0Δ> và 0A> thì f đạt cực tiểu tại M

D. Nếu 0Δ> và 0A< thì f đạt cực tiểu tại M

[<br>]

21. Cho hàm 2 22z x x y= − + . Hãy chọn khẳng định đúng

A. z đạt cực đại tại ( )1,0M

B. z đạt cực tiểu tại ( )1,0M

C. z có một cực đại và một cực tiểu

D. z không có cực trị

[<br>]

22. Cho hàm 4 2 28 5z x x y= − + + . Hãy chọn khẳng định đúng

A. z đạt cực đại tại ( )0,0I

B. z đạt cực tiểu tại ( )2,0J − và ( )2,0K

C. z chỉ có hai điểm dừng là ( )0,0I và ( )2,0K

D. z không có cực trị

[<br>]

23. Cho hàm 2 2 1z x xy= − + . Hãy chọn khẳng định đúng

A. z đạt cực đại tại ( )0,0M

B. z đạt cực tiểu tại ( )0,0M

C. z có một cực đại và một cực tiểu

D. z có một điểm dừng là ( )0,0M

[<br>]

24. Cho hàm 2 2z x xy y= + + . Hãy chọn khẳng định đúng

A. z đạt cực đại tại ( )0,0O

B. z đạt cực tiểu tại ( )0,0O

C. z không có cực trị

D. Các khẳng định trên đều sai

[<br>]

25. Cho hàm 2 2 2 1z x y xy y= − + − + . Hãy chọn khẳng định đúng

A. z đạt cực đại tại 1

1,2

M⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

B. z đạt cực tiểu tại 1

1,2

M⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

C. z không có cực trị

D. Các khẳng định trên đều sai

[<br>]

26. Cho hàm 3 2 27 2 1z x y x y= + + + + . Hãy chọn khẳng định đúng

A. z có hai điểm dừng

B. z có hai cực trị

C. z có một cực đại và một cực tiểu

D. z không có cực trị

[<br>]

27. Cho hàm 2 22 6 5 4z x xy y= − + + . Hãy chọn khẳng định đúng

A. z đạt cực đại tại ( )0,0M

B. z đạt cực tiểu tại ( )0,0M

C. z có một cực đại và một cực tiểu

D. z không có cực trị

[<br>]

28. Cho hàm 3 3 2 3z x y x y= + − − . Hãy chọn khẳng định đúng

A. z đạt cực đại tại ( )2,1M

B. z đạt cực tiểu tại ( )2,1N −

C. z có đúng 2 điểm dừng

D. z có đúng 4 điểm dừng

[<br>]

29. Cho hàm 2 3 23 12 2 3 12z x x y y y= − + + − . Hãy chọn khẳng định đúng

A. z có một cực đại và một cực tiểu

B. z chỉ có một điểm cực đại

C. z không có điểm dừng

D. z chỉ có một điểm cực tiểu

[<br>]

30. Cho hàm 3 2 3 6z x y x y= − − + . Hãy chọn khẳng định đúng

A. z đạt cực đại tại ( )1,3M

B. z đạt cực tiểu tại ( )1,3N −

C. z có 2 điểm dừng

D. Các khẳng định trên đều đúng

[<br>]

31. Cho hàm 6 5 2cos 32z x y x y= − − − . Hãy chọn khẳng định đúng

A. z đạt cực đại tại ( )0,2M

B. z đạt cực tiểu tại ( )0, 2N −

C. z không có điểm dừng

D. z có một cực đại và một cực tiểu

[<br>]

32. Cho hàm 2 24 4 8 3z x x y y= − + − + . Hãy chọn khẳng định đúng

A. z đạt cực đại tại ( )2,1M

B. z đạt cực tiểu tại ( )2,1M

C. z có 1 điểm dừng là ( )1,2N

D. z không có cực trị

[<br>]

33. Cho hàm 2 24 10 2 16z x xy y x y= − + − − + . Hãy chọn khẳng định đúng

A. z đạt cực đại tại ( )1,1M

B. z đạt cực tiểu tại ( )1,1M

C. z đạt cực đại tại ( )1, 1N − −

D. z đạt cực tiểu tại ( )1, 1N − −

[<br>]

34. Cho hàm 3 2 32 2 7 8z x x y x y= − + + − . Hãy chọn khẳng định đúng

A. z có 4 điểm dừng

B. z không có điểm dừng

C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị

D. z có hai cực đại và hai cực tiểu

[<br>]

35. Cho hàm 2 22 12 8 5z x y x y= − − + + + . Hãy chọn khẳng định đúng

A. z đạt cực đại tại ( )6,2M

B. z đạt cực tiểu tại ( )3,2M

C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị

D. z không có điểm dừng

[<br>]

36. Cho hàm 23 2 2 3yz x e y= − + − + . Hãy chọn khẳng định đúng

A. z đạt cực đại tại ( )0,0M

B. z đạt cực tiểu tại ( )0,0M

C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị

D. z không có điểm dừng

[<br>]

37. Cho hàm 2 ln 2z x y y= − − − . Hãy chọn khẳng định đúng

A. z đạt cực đại tại ( )0, 1M −

B. z đạt cực tiểu tại ( )0, 1M −

C. z luôn có các đạo hàm riêng trên 2

D. z có điểm dừng nhưng không có cực trị

[<br>]

38. Cho hàm 3 2 23 2 2 4 2z x y x x y= + − + + + . Hãy chọn khẳng định đúng

A. z đạt cực đại tại ( )1, 2M − −

B. z đạt cực tiểu tại ( )1, 2M − −

C. z có 4 điểm dừng

D. z không có điểm dừng

[<br>]

39. Cho hàm 2 22 8 4 8 3z x x y y= − + + − + . Hãy chọn khẳng định đúng

A. z đạt cực đại tại ( )2,1M

B. z đạt cực tiểu tại ( )2,1M

C. z có 1 điểm dừng là ( )1,2N

D. z không có cực trị

[<br>]

40. Cho hàm 2 24 10 2 16z x xy y x y= + + + + . Hãy chọn khẳng định đúng

A. z đạt cực đại tại ( )1,1M −

B. z đạt cực tiểu tại ( )1,1M −

C. z đạt cực đại tại ( )1, 1N −

D. z đạt cực tiểu tại ( )1, 1N −

[<br>]

41. Cho hàm 3 2 32 2 8z x x y x y= − + + − . Hãy chọn khẳng định đúng

A. z có 4 điểm dừng

B. z không có điểm dừng

C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị

D. z có hai cực đại và hai cực tiểu

[<br>]

42. Cho hàm 3 22 4yz xe x y y= + + − . Hãy chọn khẳng định đúng

A. z đạt cực đại tại ( )0,1M

B. z đạt cực tiểu tại ( )0,1M

C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị

D. z không có điểm dừng

[<br>]

43. Cho hàm 22 4 sin2y

z x x y= − + − với , x yπ π∈ − < < . Hãy chọn

khẳng định đúng

A. z đạt cực đại tại 1,3

Mπ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

B. z đạt cực tiểu tại 1,3

Mπ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

C. z đạt cực tiểu tại 1,3

Mπ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

D. z có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu

[<br>]

44. Cho hàm 2

ln ln2y

z x x y= − + − . Hãy chọn khẳng định đúng

A. z không có cực trị

B. z có hai điểm cực đại

C. z có hai điểm cực tiểu

D. z có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu

[<br>]

45. Tìm cực trị của hàm số ( ),z z x y= thỏa 2 2 2 4 2 14 10 0x y z x y z+ + + + − − =

A. Z đạt cực tiểu tại ( )2, 1M − −

B. Z đạt cực đại tại ( )2, 1M − −

C. Tại ( )2, 1M − − vừa là điểm cực đại vừa là điểm cực tiểu

D. Z không có điểm dừng

[<br>]

46. Tìm cực trị của hàm số ( ),z z x y= thỏa 2 2 2 8 2 2 2 0x y z x y z+ + − + − + =

A. Z đạt cực tiểu tại ( )4, 1M −

B. Z đạt cực đại tại ( )4, 1M −

C. Tại ( )4, 1M − vừa là điểm cực đại vừa là điểm cực tiểu

D. Z không có điểm dừng

[<br>]

47. Tìm cực trị của hàm số ( )2ln 2z x y= − với điều kiện 2 0x y− − = . Hãy

chọn khẳng định đúng

A. Z đạt cực tiểu tại ( )1, 1M −

B. Z đạt cực đại tại ( )1, 1M −

C. z không có cực trị

D. Các khẳng định trên đều sai

[<br>]

48. Tìm cực trị của hàm số 2ln 1z x y= + với điều kiện 3 0x y− − = . Hãy chọn

khẳng định đúng

A. Z có hai điểm dừng là ( )0, 3A − và ( )3,0B

B. Z đạt cực đại tại ( )0, 3A − và ( )2, 1B −

C. z không có cực trị

D. z đạt cực tiểu tại ( )0, 3A − và đạt cực đại tại ( )2, 1B −

[<br>]

49. Tìm cực trị của hàm số ( )2 1 3 2z x y x= − − + với điều kiện 1 0x y− + = .

Hãy chọn khẳng định đúng

A. Z đạt cực tiểu tại ( )1,0A − và ( )1,2B

B. Z đạt cực đại tại ( )1,0A − và ( )1,2B

C. z đạt cực đại tại ( )1,0A − và đạt cực tiểu tại ( )1,2B

D. z đạt cực đại tại ( )1,2B và đạt cực tiểu tại ( )1,0A −

[<br>]

50. Tìm cực trị của hàm số 2 22 2 2z x y y= + − − với điều kiện 1 0x y− + + = . Hãy chọn khẳng định đúng

A. Z đạt cực tiểu tại 2 1,

3 3A⎛ ⎞⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

B. Z đạt cực đại tại 2 1,

3 3A⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

C. z đạt cực đại tại ( )1,0M và 1 2,

3 3N

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

D. z đạt cực tiểu tại ( )1,0M và 1 2,

3 3N

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

[<br>]

51. Tìm cực trị của hàm số ( )2 1 3 2z x y x= + − + với điều kiện 1 0x y+ + = .

Hãy chọn khẳng định đúng

A. Z đạt cực tiểu tại ( )1,0A − và ( )1, 2B −

B. Z đạt cực đại tại ( )1,0A − và ( )1, 2B −

C. z đạt cực tiểu tại ( )1,0A − và đạt cực đại tại ( )1, 2B −

D. z không có cực trị

[<br>]

52. Tìm cực trị của hàm số 3

33x

z x y= − + với điều kiện 2 1x y− + = . Hãy chọn

khẳng định đúng

A. Z đạt cực tiểu tại ( )3,10M − và ( )1,2N

B. Z đạt cực đại tại ( )3,10M − và ( )1,2N

C. z đạt cực đại tại ( )3,10M − và đạt cực tiểu tại ( )1,2N

D. Các khẳng định trên đều sai

[<br>]

53. Tìm cực trị của hàm số ( )2 1z xy x y= − − với điều kiện , 0x y > . Hãy chọn

khẳng định đúng

A. Z đạt cực tiểu tại 1 1,

4 2M

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

B. Z đạt cực đại tại 1 1,

4 2M

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

C. z có điểm dừng tại 1 1,

4 2M

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

D. Các khẳng định trên đều sai

[<br>]

54. Tìm cực trị của hàm số 3 4z x y= + với điều kiện 2 2 1x y+ = . Hãy chọn khẳng định đúng

A. Z đạt cực tiểu tại 3 4,

5 5M

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

B. Z đạt cực đại tại 3 4,

5 5M

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

C. z đạt cực đại tại 3 4,

5 5M

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ và đạt cực tiểu tại

3 4,

5 5N

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

D. z đạt cực tiểu 3 4,

5 5M

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ và đạt cực đại tại

3 4,

5 5N

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

[<br>]

55. Tìm cực trị của hàm số z xy= với điều kiện 2 2

18 2x y

+ = . Hãy chọn khẳng

định đúng

A. Z đạt cực tiểu tại ( )12,1M và ( )2

2, 1M − −

B. Z đạt cực đại tại ( )12, 1N − và ( )2

2,1N −

C. z đạt cực đại tại ( )12,1M và ( )2

2, 1M − − ; đạt cực tiểu tại ( )12, 1N − và

( )22,1N −

D. z đạt cực tiểu tại ( )12, 1M − và ( )2

2, 1M − − ; đạt cực đại tại ( )12,1N và ( )2

2,1N −