Upload
pnkrack
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Centrul de excelenŃă - Timişoara Clasa a XI-a
2005 prof. Marius Lobază
Polinom caracteristic
DefiniŃie: Fie A = ( )ija o matrice pătratică de ordinul n cu coeficienŃi complecşi. Atunci matricea
( )nxIA − se numeşte matricea caracteristică a matricii A.
−
−
−
=−
xa...aaa
...............
a...axaa
a...aaxa
xIA
nn3n2n1n
n2232221
n1131211
n
PropoziŃie: Polinomul ( )nxIAdet − este de gradul n.
Produsul elementelor de pe diagonala principală conŃine termenul ( ) nnx1− , oricare alt produs va
conŃine cel mult n-2 elemente de pe diagonala principală, deci va conŃine puterea 2nx − . Coeficientul lui 1nx − este ( ) ( )nn332211
1na...aaa1 ++++− −
, iar termenul liber al polinomului coincide cu det(A).
DefiniŃie: Polinomul ( ) ( ) ( )n
n
A xIAdet1xp −−= se numeşte polinomul caracteristic al matricii A, iar
rădăcinile sale se numesc valori proprii ale acestei matrici.
DefiniŃie: Matricile A şi B se numesc matrici asemenea dacă există matricea inversabilă Q, astfel încât
AQQB 1−= .
Teoremă: Două matrici asemenea au acelaşi polinom caracteristic şi aceleaşi valori proprii.
Teoremă: Matricile AB şi BA au acelaşi polinom caracteristic.
Teorema lui Hamilton-Cayley: Orice matrice pătratică îşi satisface propria ecuaŃie caracteristică.
( ) ( )�nnA A,OAp M∈∀=
Pentru o matrice pătratică de ordinul doi avem:
( ) ( ) ( )AdetxAtrxxpaa
aaA 2
A
2221
1211 +⋅−=⇒
= , unde ( ) 2211 aaAtr +=
Metoda Fadeev de determinare a coeficienŃilor polinomului caracteristic:
( ) n1n
2n
2
1n
1
n
A cxc...xcxcxxp +++++= −−−
unde coficienŃii ci se determină cu ajutorul următorului tabel:
( )
( )
( )
( )
( ) nnnnnnn1nn
nkkkkk1kk
n3333323
n2222212
n111111
0IcABAtrn
1cABA.
............................................................
IcABAtrk
1cABA.
............................................................
IcABAtr3
1cABA
IcABAtr2
1cABA
IcABAtrcAA
=+=−==
+=−==
+=−==
+=−==
+=−==
−
−
ultima relaŃie fiind una de control.
ObservaŃie: Dacă A este nesingulară, atunci 1n
n
1
nnn1n Bc
1A0IcAB −
−−
−=⇒=+ .
ObservaŃie: Teorema lui Hamilton-Cayley ne oferă o altă modalitate de a determina 1A − .
( ) nnn1n
2n
2
1n
1
n
A 0IcAc...AcAcAAp =+++++= −−−
de unde ( )n1n
3n
2
2n
1
1n
n
1 Ic...AcAcAc
1A −
−−−− ++++−= .
Centrul de excelenŃă - Timişoara Clasa a XI-a
2005 prof. Marius Lobază
Probleme:
1) DeterminaŃi polinomul caracteristic al matricii
−=
110
111
051
A .
( ) 33323
2212
111
0B393
1c
300
030
003
ABA
411
111
552
B122
1c
311
121
553
ABA
210
121
052
B3c
110
111
051
A
==−⋅−=
−
−
−
==
−−
−
−−
=−=⋅−=
−−
−
−−
==
−
−−
−
=−=
−=
Polinomul caracteristic este ( ) 3xx3xxp 23
A +−−=