H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal

8/10/2019 H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal

1/709

I N T R O D U C C I ~ N

AL ALGEBRA

LINEAL


2/709

VE RS IN AUTORIZADA EN ESPAOL DE LA

OBRA

PUBLICADA E N INGLS CON EL TTULO:

ELEMENTARY

LINEARALGEBRA

O

JOHN ILEY

&

SONS,

NC.

COLABORADORN

LA T R A D U C C I ~ N :

HUGO

V I L L A G ~ M E Z

ELZQUEZ

LAPRESENTACI~N DISPOSICI~N

EN

CONJUNTO

DE

INTRODUCCINAL ALGEBRA LINEAL

SON PROPIEDAD DEL EDITOR.

NINGUNAARTE

DE ESTA OBRA

PUEDE SER REPRODUCIDAo TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGUN

SISTEMA O MTODO, ELECTR6NICOOMECNlCO (INCLUYENDO

EL FOTOCOPIADO, LA GRABACIN O CUALQUIERSISTEMA DE

R E C U P E R A C I ~ N ALMACENAMIENTO

D E IN F OR M AC I~ N ) , IN

CONSENTIMIENTOPOR ESCRITO DEL EDITOR.

DERECHOSESERVADOS:

O 2001, EDITORIAL LIMUSA, S.A.DE

C.V.

GRUPO NORIEGA EDITORES

BALDERAS5, M x l c o , D.F.

C.P. 06040

'-S$. ( 5 )521 -21 -05

O1 (800) 7-06-91-00

(5) 51 2-29-0 3

[email protected]

+

www.noriega.com.mx

CANIEM N M . 121

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r 1

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i.- ;

QUINTA

E I M P R E S I ~ N

DE LA

SEGUNDA

EDICIN

.T t4 ;S1

y ; ?

r -

HECHO

N

M x l c o

ISBN

968-1 8-5192-7


3/709

y Lauren


4/709

I PROLOG0

As

comoen aedicin anterior. enestanuevaedicinse proporciona un tra-

tamiento bsico del lgebra lineal, idneo para estudiantes que estn cu rsando el

primer o segundo

aos

de facultad. Mi objetivo es presentar los fundam ento s del

lgebra lineal de la forma ms clara posible.

por lo

que el aspecto pedaggico es

esencial.

No

se requiere haber estudiado clculo, aunque se presentan ejerci-

cios

y

ejemplos para estudiantes que tienen los conocimientos necesarios; estos

ejercicios

y

ejemplos estn claramente indicados

y

se pueden om itir sin pr-

did a de continuidad.

LOS

CAMBIOS EN ESTA EDICIN

Aunque esta edic in tiene mucho en co mn con la edicin anterior, se trata de una

revisin sustancial. g e intentado ma ntener la claridad

y

el estilo de la edicin

previa,

y

a la vez reflejar las necesidades cam biantes de una nueva generacin de

estudiantes. Con esta intencin hepuesto en prctica varias recomendaciones

hechas por el Linear Algebra Curriculum

Study

Group. Tam bin he hecho algu-

nos cam bios de organizacin q ue deben facilitar a los instructores cubrir

los

fun-

dam ento s de odos los tem as esenciales, inclusive con severas restricciones de

tiempo. Posteriorme nte, en este prlogo se presen ta una descripcin de

los

cam-

bios captulo a captulo, aunque a continuacin se presenta unresumende los

cam bios ms importantes:

Ma yor nfasis en las relaciones que hay entr e

los

conceptos: Uno de los

objetivos importantes de un curso de lgeb ra lineal

es

establecer la tram a

7


5/709

intrincada de las relaciones que hay entre sistemas de ecuaciones, matrices,

determinantes, veclores. transformaciones lineales

y

eigenva lores. En esta

edicin. la trama de relaciones se desarrolla a travs del siguiente

crescendo de teoremas que vinculan cada nueva idea con ideas precedentes:

1.5.3,

1.6.4.

2.3.6,

4.3.4,

63.9. 6.2.7,

6.4.5

y 7.1.5.

Estos teoremas no slo

hacen ms coherente el panorama algebraico, sino tambin sirven como

fuente constante de repaso.

Transicin m b uavehacia aabstraccin:La transicin de

R"

a es-

pacios vecloriales generales es traumtica para casi todos los estudiantes.

de modo que he intentado suavizarla analizando R n en detalle, recalcando

los conceptos geomtricos subyacentes antes de proceder con el estudio de

espacios vectoriales generales.

Exposicin tem prana de transform acion es lineales

y

eigenvalores:

A fin

de asegu rar que el m aterial sobre transformaciones lineales

y

eigenvalores

no se pierda al

final

del curso,

algunos

de los conceptos bsicos que se re-

lacionan con tales temas se desarrollan ms pronto en el texto y luego se

repasan cuand o el tcma se desarrolla con mayor profundidad en la parte

final del texto. Por ejemplo, las ecuaciones caractersticas se analizan

brevemente en la seccin sobre determinantes. Las transformacioncs linea-

les de H a R'" se abordan inmediatamente despus que se introduce K .

y

se analizan ms tarde enel contexto de las transformac iones linealcs

gencrales. Estos repasos ayudan a asegurar que los estudiantes se ramiliari-

cencon

los

fundanlen tos de todos os temas ms impo rtantes, inclusive

cuando el tiempo apremia.

M ayo r nfasis en la concep tualizacin: Para mantener el inters actual

cn la conceptualizacin y en las aplicaciones crecientes del lgebra lineal a

las grficas, he puesto mayor nfasis en los aspectos geomtricos de las

rotaciones. proyecciones y reflexiones en y en R 3 .

Nuevo material sobre mnimos cuad rados y descomposicin

QR:

Seha

aadido nuevo m aterial sobre mnimos cuadrados

y

descomposicin QH, n

respuesta al inters creciente en estos temas.

Msdem ostraciones: Se han aadidovarias demostraciones que antes

haban sido om itidas. Todas las demostraciones en lexto han sido

escritas en un estilo adecuado para principiantes. y se ha puesto especial

cuidado a fin de asegurar que el carcter accesible y amable del texto no

haya sido afectado de m anera adversa por

las

demostraciones adicionales.

Quienes deseenun curso matemticamente ms forrnal encontrarn que

esta nueva edicin

es

ms idnea para tal efecto. y quienes deseen un curso

ms conceptual tendrhn mayor eleccin en las dem ostraciones.

DETALLES

DE

LOS CAMBIOS DE

ESTA

EDICIN

La amplia aceptacin de la edicin anterior ha sido muy gratificante.

y

apre-

cio las sugerencias constructivas recibidas de parte de los usuarios y revisores. Se

han

revisado algunas secciones del testo para presentarlas con

ms

claridad,

y

se han


6/709

erectuando cambios sustanciales ente1 contenido

y

su OrgallhCin, e n rcspuesta a

las sugerencias tan to de

los

usua rios como d e los revisores. as como de las cCO-

mendaciones he chas por el Linear Algebra

('urriculum S t u d y

( ; r o u p .

Hay muchas forma s en las que es posible ordenar el material en un curso de

algebra lineal:el ordenam iento que he elegido para 10s captulos refleja m i in-

clinacin por el axioma de que

es

necesario proceder de 10 conocido 21 10 des-

conocido y de lo concreto a lo abstracto.

A

continuacin se presenta un resumen captulo a captulo de

10s

cambios

ms im portantes en esta nueva edicin.

Captulo 1. Se presenta una nueva seccin sobre matrices de forma espc-

cial: diagonal, triangular y simtrica. Al modificar ligeramente el material.

no se increment

el

nmero de secciones de este captulo.

Captulo

2.

A

este captulo determinante se ha aadido nuevomaterial

introductorio sobreeigenvalores,eigenvectores y ccuaciones caractersti-

cas. Este material se repasa

y

posteriormente se analiza con ms detalle en

el captulo 7. Se ha aadido la demostracin de la igualdad det(AR) =

det(A)det(B).

Captulo

3. Se

presenta nueva informacin sobre ecuaciones vectorialcs

de rectas y planos,

y

la interpretacin geomktrica de

los

determinantes 2 x

2 ~ 3 x 3 .

Captulo 4. Este es unnuevo captulo dedicado exclusivam ente a

R".

Se

desarrollan conceptos fndamentales y se presenta una introduccin

a

las

transformaciones lineales de Rn

a

R"'. recalcando el aspecto geomtrico dc

las proyecciones,otaciones y reflexiones.

A

diferencia de la edicin

anterior, este material se presenta ahora

antes

del desarrollo de los espacios

vectoriales generales. El material de este captulo s e analiza ms tarde, en

el conte sto de espacios \,ectoriales generales.

Captulo

S.

Este captulo corresponde al captulo

4

d e

l a

edicin anterior.

Se han a adido muchas de las demostraciones que se haban om itido.

Tam-

bin se presenta nuevo material sobre el wronskiano, para quienes han cs-

tudiado Clculo,

y

se incluye nuevo material sobre los cuatro espacios fun-

damentales de unamatriz.

Captulo

6. Este

captulo corresponde al captulo 5 de la edicin anterior.

Se presenta nuevo material sobre complementos ortogonalcs. descomposi-

cin QR y mnimos cuadrados.

Captulo

7. Este captulo corresponde

a l

captulo

6

de

la

edicin anterior.

Se ha repasado el material desarrollado antes sobre eigenvalores y elgen-

vectores. Se incluye nuevo material sobre las multiplicidades geomtrica

y

algebraica. as como una ex plicacin me jorada sobre los requisitos para la

diagonalizacin.

Captulo

8.

Este captu lo correspondeal captulo 7 d e

l a

edicin an-

terior. El material se ha vuelto a escribir sustancialmente. a fin de reflejar

el hecho de que las transformaciones lineales de

R n

a

Hm

se introduje-

ron en el captu lo 4.

Captulo

9.

Este captulo corresponde

al

captulo 8

y

a las secciones 9. I y

9.2 de la edicin anterior. Se ha vuelto

a

escribir

la

seccin obre la


7/709

10 Prlogo

geometra de los operadores lineales so bre R 2 para poder fundamentar los

conceptos desarrollados en l a seccin 4.2.

Captulo

10.

Este captulo c orresponde al captulo

7

de la edicin anterior.

Los

cambios son m enores.

ACERCA

DE LOS

EJERCICIOS

En todos los ejercicios de cad a seccin se em pieza con problem as de rutina, se

avanza hacia problemas

ms

sustanciales y se concluye con problem as ericos.

AI

final de casi todos los captulos se presenta un conjunto de ejercicios com pleme n-

tarios que pueden presentar ms dificultad y forzar al estudiante a extraer ideas de

todo un captulo, en vez de hacerlo solame nte de una eccin especfica.


8/709

GUA

PARA

EL INSTRUCTOR

PARA UN CURSO NORMAL

He revisado una gran cantid ad de posibilidades para cu rsos de lgebra lineal. La

variacin entre las instituciones es amplia, aunque los cursos tienden a caer en dos

categoras: una que consta de entre 20 y 30 lecciones (excluyendo los exmenes y

los repasos)

y

otra que consta de entre

35

y 40 lecciones (excluyendo los exmenes

y los repasos). Con base en m i anlis is de estas posibilidades. he proporcionado

dos patrones para elaborar un curso propio.

Los

patrones se deben ajustar a fin de

reflejar los intereses y requisitos propios, aunque deben ser tiles como punto

de partida. En el patrn largo se supone que se cubren todas las secciones del

captulo, y en el patrn corto se supone que el instructor selecciona material para

ajustarse al tiempo disponible.

Dos cambios en la organizacin del texto facilitan la construccin de cursos

ms cortos: la breve introduccin a los eigenvalores y eigenvectores que se pre-

senta en las secciones 2.3 y 4.3 y la colocacinprevia de las transformacion es

lineales de R" a

Rm

en el captulo 4 . Estos cambios aseguran que el estudiante se

familiarice unpococon estos conceptos fundam entales, inclusive si

el

tiempo

disponible para abordar los captulos

7

y S es limitado. Observ tambin que los

estudiantes que ya conocen el material pueden o mitir el captulo 3 sin prdida de

continuidad.


9/709

12 Gua para

el

instructor

Captulo

1

Captulo

2

Captulo

4

Captulo S

Captulo 6

Captulo 7

Captulo 8

Total

Patrn largo Patrn

corto

7

lecciones

4

lecciones

3

lecciones

X lecciones

6

lecciones

4 lecciones

6 lecciones

38

lecciones

6 lecciones

3

lecciones

3

lecciones

7 lecciones

3 lecciones

3

lecciones

2

lecciones

27 lecciones

VARIANTES DEL CURSO NORMAL

Son posibles muc has variantes del cu rso normal. Por ejemplo. es posible crcar un

patrn largo opcional siguiendo la asignacin de tiempo del patrn corto y

dedicando las 11 lecciones restantes a algun os dc

los

temas de los cdphlO S

9

y 1 0 .

CURSO ORIENTADO A APLICACIONES

El

captulo 9 contiene aplicaciones selectas de lgebra lineal que son esencial-

mente de naturaleza matem tica. Los instructores interesados en una variedad ms

am plia de aplicaciones pueden cons iderar la otra versin de este texto, Elementary

Linear Algebra, Aplications Version. de Howard Anton y Ch ris Rorres. En esc

texto se proporciona n num erosas aplicaciones a los negocios. biologa, ingeniera.

economa. ciencias sociales y ciencias fsicas.


10/709

I

t AGRADECIMIENTOS

1

la til orientacin proporcionad a por las siguientes personas:

Y COLABORADORES DE EDICIONES ANTERIORES EN INGLS

University

of

Michigan-Flint

.

S.

Ballantine,

Oregon State University

University

of

Idaho

A.

Brown, University

of

Maine

Western Michigan University

as Cairns, University of Tulsa

University of Akron

University of British Columbia

Iowa State University

University of Michigan

Dalhousie University

University

of

Florida

University of Massachusetts

S. Engelsohn, Kingshorough C omm . College

University ofH ous ton

San Jose State University

University of South A labama

E. Flesner, Gettysburg College

Vanderbilt University

Rose-Hulman Institute

William W. Hager, University

of

Florida

Collin

J.

Hightower,

University

of

Colorado

Joseph F. Johnson, Rutgers University

Robert L. Kelley, University of Miami

Arlene Kleinstein

Myren Krom, Calforn ia State University

Lawrence D. Kugler, University

of

Michigan

Charles Livingston, Indiana University

Nicholas Macri, Temple University

Roger H. M arty, Cleveland State University

Patricia T. McAuley, SUNY-Binghamton

Robert M. McConnel,

University

of

Tennessee

Douglas McLeod, Drexel University

Michael R. Meck, Southern Connecticut State Univ.

Craig Miller, University of Pennsylvania

Donald P. M inassian, Butler University

Hal G. Moore, Brigham Young University

Thomas E. Moore, Bridgewater State College

Robert W . Negus, Rio Hondo Junior College

Bart S. Ng, Purdue University

13


11/709

I- I Agradec.citrrientos

James Osterburg,

University of Cincinnati

William.rench,

Trinity University

MichaelA.Penna, Indiana-Purdue University Joseph L. Ullman, University of M ichigan

Gerald J.Porter, University of Pennsylvania W. VanceUnderhill, East Texas State University

F. P. J . Rimrott, University qf Toronto James R. Wall, Auburn University

C. Rayosentrater, Westmont College Arthur G. Wasserrnan, University of Michigan

KennethSchilling, University of Michigan-Flint Evelyn J. Weinstock, Glassboro State Co llege

William Scott, University of Utah Rugange, Stanford University

Donald R. Sherbert, University of Illinois Frankorzitto, University of Waterloo

Bruce Solomon,

Indiana University

Daniel Zwick,

University of V ermont

Mary T. Treanor, Valparaiso University

REVISORESY COLABORADORESDE

L A

SPTIMA EDICIN EN INGLS,

SEGUNDA

EN

ESPAOL

Mark B. Beintema,

Southern Illinois University

Paul Wayne Britt, Louisiana State University

David C. Buchthal, University of Akron

Keith Chavey, University of Wisconsin-River Falls

Stephen L. Davis, Davidson College

Blake DeSesa, Drexel University

Dan Flath,

Uniwrsity of South Alabama

Peter Fowler,

California State University

Marc F rantz, Indiatza-Purdue University

Sue Friedman, Bernard M. Baruch Co llege, CUNY

William Golightly,

College

qf

Charleston

Hugh Haynsworth, College q f Charleston

Tom

Hem, Bow ling Green State University

J . Hershenov, Queens College. CUNY

Steve Hum phries, Brigham Young Universitt3

Steven Kahan, Queens College, CUNY

Andrew

S.

Kim,

Westfield State College

John C. Lawlor, University

of

Vermont

M. Malek, California State University at Huyward

J. J. Malone,

Worcester Polytechnic Institute

William McWorter, Ohio State University

Valerie A. M iller, Georgia State University

Hal G. Moore, Brigham Young University

S. Obaid, San Jose State University

Ira J. Papick, University of Missouri-Columbia

Donald Passman, University

of

Wisconsin

Robby Robson, Oregon State University

David Ryeburn,

Simon

Fraser University

Ramesh Sharma, University of New Haven

David A . Sibley, Pennsylvania State University

Donald Story, Universio,of A k r o n

Michael Tarabek, Southern Illinois University

SOLUCIONES

A

LOS PROBLEMAS, LECTURA DE PRUEBASE INDICE

Michael Dagg,

Numerical Solutions, Inc.

Susan

L.

Friedman,

Bernard M. Baruch C olleg e, CUN Y

M ar ee n Kelley, Northern

Essex

Comm unih. College

Randy Schwartz, Schoolcraft College

Daniel T raster

(Stud ent), Yale Universio.

COMPLEMENTOS

Benny Evans, Oklahoma State University

Charles A. Grobe, Jr.,

Bowdoin

College


12/709

Agradecimientos / 15

Elizabeth M. Grobe

IntelliPro, Inc.

Jerry Johnson, Oklahoma State University

Randy Schw artz, Schoolcraft College

COLABORADORES

Un agradecimiento especial a

los

siguientes profesores, quienes leyeron

profundamente el material del texto e hicieron contribuciones significativas a la

calidad del nivel matemtico

y

de exposicin:

Stephen Davis, Davidson C ollege

Blaise DeSesa, Drexel University

Dan Flath,

University

of

South A labama

Marc Frantz, Indiana-Purdue University

William McW orter, Ohio State University

Donald Passman, University of Wisconsin

David Ryeburn, Simon Fraser University

Lois Craig Stagg, University of Wisconsin-Milwaukee

Tambin deseo expresar mi agradecimiento a:

Barbara Holland, mi editora, quien me ayud a moldear al concepto de esta

nueva edicin y cuyo entusiasmo incluso convirti en divertido el arduo tra-

bajo (alguna vez).

Ann Berlin, Lucille Buonocore

y

Nancy Prinz del Departamenro de Produc-

cin de Wiley, por preocuparse tanto por la calidad de este trabajo

y

propor-

cionarme un apoyo extraordinario.

Lilian Brady, cuyoojo para los detalles y sentido esttico infalible mejor

grandemente la exactitud del texto

y

la belleza de la tipografa.

Joan Carafiello

y

Sharon Prendergagst por su soberbio trabajo en la coordina-

cin de la mirada de detalles que mgicamente produjeron las respuestas y

los complementos a tiempo.

El grupo en Hudson River Studio

por

tratar con tanto tacto a un autor rigu-

roso.

Mildred Jaggard, mi asistente, quien co ordin todos os detalles del exto

desde la lectura de pruebas hasta el ndice con pericia consumada, y quien pa-

cientemente toler mi idiosincrasia.

HOWARDNTON


13/709


14/709

1

LO 2

LO 3

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES 21

l . l . Introduccin a los sistemas de ecuaciones lineales 2 1

1.2.Eliminacingaussiana 29

1.3. Matrices y operaciones con m atrices 47

1.4. Inversas: Reglas de la aritmtica de ma trices 61

1.5. M atrices elementales

y

un mtodo para determ inarn"

75

1.6. Otro s resultados sobre sistemas de ecuaciones e inve rtibilidad 85

1.7. Ma trices diagonales, triangulares

y

simtricas 94

DETERMINANTES 107

2.1.

La

funcindeterminante 107

2.2. Evaluacin de determinan tes por reduccin de renglones 115

2.3. Propieda des de la func in determinan te 121

2.4. Desarrollo

por

cofactores; Regla de Cram er 13 1

VECTORES EN LOS ESPACIOS BlDlMENSlONALY

TRIDIMENSIONAL.

149

3. l . Introduccin a los vectores (geom trica) 147

3.2. Norma de un vector; Aritm tica vectorial 159

3.3 .

Producto punto: Proyecciones165

17


15/709

3.4 . Producto cruz 175

3 .5 .

Rectas

y

planos en el espacio tridimensiona l 189

CAPITULO 4 ESPACIOSECTORIALES EUCLIDIANOS 203

4. l . Espacio euclidiano n dimensional 203

4.2. T ransformaciones lineales de R" a R m 218

5.3 . Propiedades de las transformaciones lineales de

R"

a

R m

239

CAPTULO

5

ESPACIOS VECTORIALESGENERALES 257

5.

1.

Espaciosvectoriales eales257

5.2. Subespacios65

5.3 .

Independenciaineal 77

5.4. Base y dimensin 287

5.5 . Espacio rengln. espacio columna y espacio nulo 306

5 .6 .

Rango y nulidad322

CAPTULO 6 ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR 339

6.1. Productos interiores 339

6.2 . ngulo

y

ortogonalidad en espacios con producto interior 353

6 .3 . Bases ortonormales: Proceso de Gram-Schm idt; Descomposicin QR

6.4 . Mejoraproximacin: Mnim os cuadrad os 384

6.5 . Matricesortogonales:Cambio de base395

3

67

CAPTULO 7 EIGENVALORES,IGENVECTORES1 5

7. l . Eigenvalores

y

eigenvectores 4 15

7.2. Diagon alizacin 426

7.3 . Diagonalizacin ortogonal 37

CAPTULO 8 TRANSFORMACIONES LINEALES 447

8 .

I ,

Transformaciones lineales generales 447

8.2 . Ncleo y recorrido461

8. 3, Transformaciones lineales inversas 468

8.4. Matrices de transformaciones ineales generales 478

8.5. Semejanza 595


16/709

Contenido / 19

9 TEMASOMPLEMENTARIOS 513

9. l . Aplicacion es a las ecuaciones diferenciales

S

13

9.2. Geom etra de

los

operadores lineales sobre

R 2

521

9.3. Ajuste de datos por m nimos cuadrados 535

9.4. Problem as de aproxim acin: Series de Fourier 543

9.5.Formas cuadrticas 55

1

9.6. Diago nalizacin de forma s cuadrticas; Secciones cnicas 561

9.7 . Superficies cudricas 574

9.8. Com paracin de procedim ientos para resolver sistemas lineales S79

9.9 . Descomposiciones LU 589

VECTORIALESCOMPLEJOS 601

10.1. Nmeros omplejos 601

10.2. Mdulo;Conjugadocomplejo;Divisin 610

10.3. Forma

polar; Teorem a de De Moivre 617

10.4. Espacios vectoriales complejos 628

10.5. E spacios complejosconproducto interior 637

10.6. Matrices unitarias, norm ales y hermitianas 647

A LOS EJERCICIOS 661


17/709


18/709

CAPTULO I

~ SISTEMAS DE

ECUACIONES

LINEALES

Y

MATHCES

I

INTRODUCCIQN

A

LOS SISTEMAS

DE

ECUACIONES

LINEALES

El estudio de los sistemas de ecuaciones lineales

y sus

soluciones es

uno

de los

tem as m s importantes del lgebra lineal. En estasecci n se introducir ter-

minologa bsicay se analizar un metodo para resolver esos sistemas.

Una recta en el plano xy puede representarse algeb raicamen te porunaecuacinde

la forma

u I x+ a,y =

b

Una ecuac in de este tipo se denom ina ecuacin lineal en las variables

x

y y . De

manera ms general, una

ecuacidn ineal

en las

n

variables x,, x2,. . . ,

xn

se

define como una ecuacin quese puede expresar en la form a

U , X ,

+

a 2 x 2

+

. . .

+

U , X ,

=

h

donde a l , a 2 , .

.

. , a,, y b son constantes reaies. Las variables en una ecuacin

lineal algunas veces se denom inan incgnitas.

Ejemplo

1

Las ecuaciones siguientes son lineales:

x + 3 y = 7x ,

-

2x,

-

3 x , + x = 7

y = + x + 3 z +

1

x , + x * + . . . + x x , = l

21


19/709


20/709

1.I

Introduccin a

los

sistemas de ecuaciones lineales

I 23

Un conjunto finito d e ecuaciones lineales en las variables x, , x,, . . ., x,, se de-

nomina sis tema de ecuaciones l ineales o sistema lineal. Una sucesin de n-

meros S, ,

S,,.

. . , S, se denomina solucin del sis tem a si

x1

= sl, x,

= S,,

. . . ,

S,, =

xn

es una solucin de todas

y

cada una de las ecuaciones del sistema. Por ejemplo,

el sistema

4x, - x * + 3x, = - 1

31, +

x2

+

9x, =

- 4

tiene la solucin x,

=

1, x2

=

2,

x3

= -1, ya que estos valores satisfacen am bas

ecuaciones. Sin embargo, x1 = 1, x, =

8,

x3 = 1 no es una solucin, ya que estos

valores satisfacen slo la prim era de las dos ecuaciones del sistema .

No todos los sistem as de ecua cione s lineales tienen so lucin. Por ejemplo, si

la segunda ecuacin el siguiente sistema

x +

y = 4

2 x + 2 y = 6

se multiplica por

i ,

esulta evidente que no existen soluciones, ya que el sistema

equivalente obtenido

x

+ y

= 4

x + y

=

3

est comp uesto por ecuaciones contradictorias.

Se dice que un sistemade ecuaciones que no tiene soluciones es inconsisten-

t e ;

si existe por l o menos una solucin del sistema, ste se denomina

consistente.

Para ilustrar las posibilidades que pueden ocurrir al resolver siste mas de ecua-

ciones lineales, se considerar un sistema generalde dos ecuacion es lineales en las

incgnitas x y y:

u , x + b , y = c ,

( a , , b ,

n o s o n c e r o a l a v e z )

a 2 x +

b,y

= c2

( a z ,6,

no son cero a la ve z)

Las grfkas de estas ecuaciones sonrectas; por ejemplo I , y I,. Como un punto (x,

y)

pertenece a una recta

s

y slo si los nmeros

x

y

y

satisfacen la ecuacin de la

recta, las soluciones del sistemade ecuaciones correspondena lospuntosde

interseccin de 1 y I,. Existen tres posibilidades (figura 1):

Las rectas

I ,

y

1

pueden ser paralelas, en cuyocasonose cortan

y,

en

consecue ncia, no existe solucin del sistema.

Las rectas I , y I, pueden cortarse slo en un punto, en cuyo caso el sistem a

tiene exactamente unasolucin.

Las rectas

I ,

y 1 pueden coincidir, en cuyocasohayuna infinidad de

puntos de interseccin y, por tanto, existen infinidad de solucionesdel

sistema.


21/709

24

Sistem as de ecuaciones lineales y matrices

Aun que aqui slo se han considerado dos ecuaciones en dos incgnitas, ms tarde

se demostrar que las mism as tres posibilidades se cu mplen para sistemas lineales

arbitrarios:

Todo sistema de ecua ciones ineales no tienesoluciones, iene exactamente

una solucin o tiene una injinidad de soluciones.

a)

Figura 1 No existe solucin

I M d a d

de soluciones

I

Un sistema arbitrario de m ecuaciones lineales en n incgnitas se puede escribir

como

umlxl

+ am2x2+ . . . + a m n x ,=

b,

donde xl, x2,. . . , x, son las incgnitas y las letras a y

b

con subindices denotan

constantes. Por ejemplo, un sistema general de tres ecuaciones lineales con cuatro

incgn itas se puede escribir como

Los sub indic es dobles en los coeficientes de las inc gnitas constituyen un

mecanismo til que se utiliza para especificar la ubicacin del coeficiente en el

sistema.

El

primer subndice en l coeficiente

ay

indica la ecuacin en que parece

el coeficiente, y el segun do subndice indica a qu incgnita multiplica. A s, aI2

est en la primera ecuacin multiplica a la incgnita x2.


22/709

l . Introduccin a los sistemas de ecuaciones lineales I 25

Si mentalmente se ubica a

los

signos +, las letras x

y

los Signos =, entonces

un

sistema de m ecuaciones lineales con

n

incgnitas puede abreviarse al escribir

slo

el arreglo rectangular de nmeros:

a12

a22

am2

. . .

. . .

. . .

a

In

a

2"

amn

Este arreglo se denomina mutriz

aumentada

del sistema. (El trmino matriz se usa

en matem ticas para denotar un arreglo rectangular de nmeros. Las matrices

surgen en muchos contextos que sern con sidera dos con m s detalle en secciones

ulteriores.) Por ejemplo. la matriz aumentada el sistema de ecuaciones

x1

+

x2

+

2x3

=

9

2x,+

4x2

- 3x3 = I

3x1 + 6x2 - 5x3 = O

es

O B S E R V A C I ~ N .

AI

elaborar una matrizaum entad a, las incgnitas deben escri-

birse en el mismo orden en cada cuacin.

El

mtodo bsico para resoiver un sistem a de ec uacion es lineales es sustituir

el sistem a d ado por un nuevo sistem a q ue te nga el mismo co njunto solucin, pero

que sea m s fcil de resolver. E ste nuevo sistem a suele obtene rse en una serie de

pasos me diante la aplicacin de los tres tipos de opera cione s siguientes para eli-

minar incgnitas de manera sistemtica.

1. Multiplicar una ecu acin por una co nstante diferente de cero.

2. Intercambiar dos ecuaciones.

3. Sumar un mltiplode una ecuacin a otra ecuacin.

Dado que

los

renglones (lneas horizontales) de una

matriz

aumentada corres-

ponden a las ecuaciones en el sistema asociado, las tres operaciones mencionadas

corre spond en a las siguientes operac iones efectuadas en

los

renglones de la m atriz

aumentada.

1.

M ultiplicar un re ngln por una cons tante diferente de cero.

2.

Intercambiar dos renglones.

3. Sumar un mltiplo de un rengln a otro rengln.


23/709

26

/

Sistemas de ecua cion es 1ineales.y matrices

OPERACIONES Las tres ope raciones anteriores se denominan operacioneselementales en los ren-

ELEMENTALES glones. En el siguiente ejemplo se ilustra

cmo

se pueden usar estas operaciones

EN LOS para resolver sistemas

de

ecuaciones lineales. Comona siguiente seccin se

RENGLONES obtendr

un

procedimiento sistemtico paradeterm inar soluciones, no es necesario

preocuparse sobre cmo se eligieron los pasos en este ejemplo. El esfuerzo prin-

cipal en este caso debe dedicarse a co mpren der los clculos

y

el anlisis.

Ejemplo 3 En la columna izquierda quese mues tra a continuacin se resuelve un

sistema de ecuaciones lineales operand o sobre las ecuaciones del sistema,

y

en la

column a de la d erecha el mismo sistema se resuelve operando sobre los renglones

de la matriz aumentada.

x + y + 2 z = 9

2X + 4y - 32 = 1

3~

+

6-v

-

5~

= O

Sumar - 2 veces la primeraecuacin a la

segunda pa ra obtener

x +

y + 2 z = 9

2 y - 7 ~ ~

1 7

3~ + 61' - 2 = O

Sumar

-3

veces la primera cuacin la

tercera p ara obtener

x +

y + z = 9

2 ~ - Z = 1 7

3 ~ -I z =

- 2 7

Multiplicar

la

segunda ecuacin por

1/2

para

obtener

x + y'+

2 z =

9

v -

S z =

7

3~ - 1

I Z =

- 2 7

Sumar -3 veces

la

segundaecuacina la

tercera para obtener

x + , y +

2 2 =

9

y - $ z = "

1 7

-

1" 3

2' - 2

Multiplicar a erceraecuacinpor

-2

para

obtener

x + y +

2z

=

9

v ?

2 Z

7 2

z =

3

[:

4 - 3 '1

2

3 6 - 5 O

Sumar -2 veces l rimerengln al se-

gundo para obtener

Sumar -3 veces el primer rengln al tercero

para obtener

2

o

2

- 7

"1

a

1

- 1 1

- 2 7

Multiplicar el segundo englnpor

1/2

para

obtener

Sumar - 3 veces el segundo rengln al tercero

para obtener

Sumar el tercer rengln por 2 para obtener

1 2 9

[; -;

-;1


24/709


25/709

28 Sistemas de ecuaciones lineales

.y

marices

b) Demostrar que

x = t , y =

if- tambin

es

la solucin general de la ecuacin del

inciso a).

7.

La curva

y = ax2 + bx +

c de la figura

2

pasa por los puntos (x1,

,) ,

(x2,

y , ) y ( x 3 ,yJ.

Demostrar que los coeficientes

a, b y

c son una solucin del sistema de ecuaciones

lineales cuya matriz aumentada es

8. Para qu valorirs) de la constante k el siguiente sistema de ecuaciones lineales no

tiene soluciones? exactamente una solucin'? infinidad de soluciones?

x - y = 3

2~

-

2y

=

k

9. Considerar el sistema de ecuaciones

ax

+ b-v = k

cx

+ dy = I

ex +

fy = n:

Analizar las posiciones relativas de las rec tas

ax + by = k , cx

+

4v

=

1

y

ex + f i =

m

cuando el sistema

a ) no tiene soluciones.

b) tiene exactamente una solucin.

c) tiene infinidad de soluciones.

10.

Demostrar que si el sistema de ecu aciones del ejercicio

9

es consistente, entonces del

sistemaesposibleeliminar

por l o

menosunaecdacinsinmodificarelconjunto

solucin.

11.

Sean

k =

I

= m = O

en el ejercicio

9;

demostrar que el sistema debe ser co nsistente.

iQuC se puede decir del punto de nterseccin de as res rectas si

el

sistema iene

exactamente una solucin?

12.

Considerar

el

sistema de ecuaciones

x + v + 2 z = a

x

+

z = b

2 x + y + 3 z = c

Demostrar que para que este sistema

ea

consistente,

a, b y

c deben satisfacerc

= a +

b

13.

Demo strar lo siguiente: Si las ecuaciones lineales

x,

+

kx, = c y

x,

+

Ix, = d

tienen el

mismo conjunto solucin, entonces las ecuaciones son idnticas.


26/709

1.2

Eliminacin gaussiana

/

29

1.2 ELIMINACINGAUSSIANA

En esta seccin se dar

un

procedim iento sistemtico para resolver sistemas de

ecuaciones lineales; el mtodo se basa en la idea de red ucir la matriz a umen tada

a una form a sujicientemente simple para que el sistema de ecuaciones se pueda

resolver po r inspeccin.

FORMA En el jemplo 3 de la seccin recedente, l sistem a lineal se resolvi al reducir la

ESCALONADA

matrizumentada

REDUCIDA

a partir de lo cual la solucin del sistema era evidente. Este es un ejemplo de una

matriz que est en

for ma escalonada reducida.

Para que una matriz sea de esta

form a. debe tener las siguientes propiedades.

1. Si

un

rengln no consta completamente de ceros, entonces el primer nme ro

diferente de cero en el renglnes un

1.

(Que se denomina1principal.)

2. Si ha y renglones que constan completamente de ceros, se agrupan en la

parte inferior de la ma triz.

3.

En

dos renglones consecutivos cualesquiera que

no

consten completamente

de ceros, el

I

principal del rengln inferior aparece

ms

a la derecha qu e el

1

principal en el rengln superior.

4. Cada columna que contenga un I principal tiene ceros en todas las dems

posiciones.

Se dice que una matriz con as propiedades

1, 2 y

3 (pero no necesariamentecon la

propiedad

4)

est en

for m a escalonada.

Ejemplo

1

Las siguientes matrices estn en forma escalonadareducida.

[ I O O 4 1

[ I

O O]

[:

A

-:

y

I]

o

1

o

7 ,

0 1 0 ,

o

o 1 - 1

0 0 0 0 0

[:

:]

O o l o o o o o

Las siguientes matrices estn en forma escalonada


27/709

30 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

El lector debe verificar que cada una de las m atrices anteriores satisface todos los

requisitos necesarios.

O R S E R V A C I ~ N .

Segnelejemplo precedente, unamatrizen ormaescalonada

tiene ceros abajo de cada

1

principal, mientras que una matriz en forma escalo-

nada reduc ida tiene ceros tanto arriba como abajo de cada 1 principal.

Si, por m d o de una serie de operaciones elementales enos renglones,

se

llega a

la forma escalonada reducida a partir de la matriz aumentada de un sistema de

ecua-

ciones lineales, entonces el conjunto solucin del sistema

er

evidente por inspeccin

o

al cabo de unos cuantos pasos simples. Este

echo

se ilustra conel siguiente ejemplo.

Ejemplo 2

Suponer que la m atriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales

se ha reducido por operaciones en

los

renglones a la form a escalonada reducida

dada. R esolver

el

sistema.

1 0 0

b) [O 1 0 2

O 0 1 3 2

1 6 o o

4 - 2

c )

O 0 0 1 5 2

o 0 0 0 0 0

Solucin a).

El

sistema de ecuaciones correspondiente es

X I

= 5

x3 = 4

x2

-

- 2

Por inspeccin se obtiene que

x1

=

5 ,

x2 = -2, x3 =

4

So/ucin

6).

El sistem a de ecuaciones corre spond iente es

X I + 4x,

=

- 1

x3 +

3X, =

2

.x2

+

2x,

=

6

Ya que xl,

x2

y x j corresponden a unos principales en la matriz aumentada, se

denominan

v a r i a b l e s p r i n c i p a l e s .

Las variables no principales (en este caso

x4)

se denominan

v a r i a b l e s l ib r e s . A l

expresar las variables principales en tr-

mino s de las variables libres se obtiene

XI = - 1 - 4x,

X)

=

2

-

3s,

x2

=

6

-

2 ~ ,


28/709

2 2 1 5 2 6

1.2


/ 31

A partir de esta forma de las ecuaciones se observa que a la variable libre

x4

se le

puede asignar algn valor, por ejemplo t , que luego determ ina el valor de las va-

riables principales xl, x2y

x3.

Por tanto, existe una infinidad de soluciones y la so-

lucin generalest definida por

las

frmulas

Solucin

c).

El sistema de ecuaciones corresp ondiente es

x,

+

6 x , + 4 x , = - 2

x3 + 3x5=

1

x,

+ SX,

=

2

Aqu las variables principales son x,,x3 y

x4,

y las variables libres son x2,y x5. Al

expre sar las variables principales en trm inos de as variables libres se obtiene

X, =

- 2

-

6x2

- 4x5

x3

=

1 - 3x5

x , = 2

-

5x5

Puesto que

x5

puede asumir un valor cualesquiera

t y

x2

puede asignarse un valor

S,

entonces existe una infinidad de soluciones. La solucin general est definida

por las frmulas

Solucin

d.

La ltima ecu acin en el sistema de ecuaciones cor res pon lent e es

ox,

+

ox,

+

ox, =

1

Como

no es posible que esta ecuacin se cumpla, entonces el sistema no tiene

solucin.

A

Se ha

visto cun

fciles esolver

un

sistemadeecuaciones ineales

una

vezque

su

matrizaumentada

se

escribe en

forma

escalonada educida. A continuacin

se

propor-

cionar

un

procedimiento paso a paso que puede

sarse

para expresar cualquier

matriz

en

forma

escalonada reducida.A me dda que

se

escriba

cada

paso del pr oo xh ien to,

se

ilustm

la idea

al

expresar la siguiente matrizn

forma

escalonada reducida.

0 0 - 2

o

2

4

-10

6 12

2 4 - 5

6 - 5 - 1

Paso 1. Localizar a columna de la izquierda que no conste completam ente

de ceros.


29/709

317 I/ Sistem as de ecuaciones lineales-vmatrices

0 0 - 2

o 7

2 4

-

10

6 12 If]

2

4

-5

6

- 5

- 1

Columna de la orilla izquierda diferente de cero

Paso

2.

Interca mbia r el rengln superior con otro rengln, en caso de ser ne-

cesario, para que en la parte superior de la columna determinada en

el paso 1 haya un elem ento diferente de cero.

2

4 -10

o

0 - 2

o 7 1 2

renglonesrimero

y

segundo

Paso

3.

Si el elemento que est ahora en la parte superior de la columna de-

termin ada en el paso

l

es

a ,

multiplicar el primer rengln por

l la

a

fin de introducir un 1 principal.

1 2 - 5 3

6

o 0 - 2

o 7

matrizrecedente

se

2

4

- 5 6

- 5

- 1

El

primer rengln de la

multiplic por 1/2.

Paso4. Sumar m dtip los adecuados del rengln superior a

los

renglones inferio-

res para queodos los elementos abajo de principal se vuelvan ceros.

1 2 - 5

3

o 0 - 2 o

7 precedenteeum

-2

veces

0 o

5

o -

El primer rengln de

la

matriz

Paso 5. A

continu acin, cubrir el reng ln superior de a ma triz

y

comenzar

de nuevo con el paso 1 aplicad o a la subm atriz restante. C ontinua r de

esta manera hasta que toda la ma triz est en forma escalonada.

1 2 - 5

3

o

0 - 2 0 7

O O

5

O

-1729

Columna de

l a

orilla izquierda

diferente de

cero

en l a submatriz


30/709

l . Eliminacin gauss iana / 33

1 2 - 5 3

0 0 1 0 "

O

O

5 O - 1 7 -29

1 2 - 5 3 6

o

o

1

o -;

0 0 0 0 ~ 1

1 2 - 5 3 6

o o 1 o -; ?I

0 0 0 0 ~ 1

A

El primer rengln de la

submatriz se m ultiplic

por

-

1/2 para introducir

un

1

principal.

submatriz se sum

-

veces '

al segundo rengln de la

submatriz para introducir un

cero abajo del 1 principal.

El

rengln superior de

la

submatriz se cubri, y se

volvi nuevamente al paso l .

Columna

de la orilla izquierda diferente

de cero en a nueva submatriz

1 2 - 5

3 El

primer

( y

nico)engln

o

o

1

0 0 0 0 1 2 introducirn 1 principal.

en la nueva submatrlz se

Ahora toda la matriz est en forma escalonada. Para determinar la forma escalo-

nada reducida es ecesario efectuar el siguiente paso adicional.

Paso 6. Empezando conel ltimo rengln diferente de cero y trabajando

hacia arriba, s umar mltiplo s adecuad os de cada rengln a los ren-

glones de arriba con objeto de introducir ceros arriba de os unos

principales.

1 2 - 5 3

6

0 0 1 0 0

precedente se sum 712 veces

0 0 0 0 1

1 2 - 5

3 o

0 0 1 0 0 sum -6 veces

al

0 0 0 0 1

1 2 0 3 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 1

El segundo rengln se

sum

5

veces al primer

rengln.

La ltima matriz st en forma escalonada reducida

El procedim iento anterior para expresar una m atriz en forma e scalonadae-

ducida se denomina eliminacin de Gauss-Jordan (vase la pg ina

34).

Si slo se

efectan los cincoprimeros pasos,el procedim iento se denom ina eliminacin

gaussiana

y

produce una formaescalonada.

*


31/709

34

1

istemas de ecua cione s lineales

y

matrices


Sepuede demostrarque todamatrizieneuna form a esca-

lonada reducida nica ; es decir, se obtiene la misma fo rma escalonada reducida

de una matriz dada sin importar cmose hagan variar las operaciones en os

renglones. (U na dem ostracin de este hecho puede consultarse en el artculo "The

Reduc ed Row Echelon Form of a Matrix

is

Unique:

A

Simple Pro oy,

de Thomas

Yuster, Mathematics Ma gazine, Vol.

57,

No. 2,

1984,

pgs. 93

-94.)

En contraste,

una for m a escalonada de una matriz dada no es nica: diferentes secuencias de

operacion es en os renglones pueden producir formas escalonadas iferentes.

Ejemplo 3 Resolver por eliminacin de Gauss-Jordan

X ] + 3x, - 2x, + 2x,

= o

5x,

+

lox,

+

15x,

=

5

2x, + 6x2- 5x3 - 2x4 + 4x5 - 3x6 = -

2x, + 6x2 + 8x, + 4x,

+

18x, = 6

*Kar lFr iedr ich

Gauss

(1777-1855)

fue

u n

matemtico ientf ico lemn.Algunas eces

nombradoprncipe e

los

matemticos",Gauss es consideradounto con Isaac Newton y

Arquimedes como uno de los tres ms grandes matemticos que han existido. En toda la historia de

las matemticas quiz nunca ha habido un nio tan precoz como Gauss: segn cuenta

I

mismo, ya

dominaba las bases de las matemticas an antes de poder hablar. U n dia, cuando an

n o

tenia tres

aos de edad, su genio se manifest a sus padres de manera bastante elocuente.

Su

padre estaba

preparando la nmina semanal de los obreros a

su

cargo mientras el nio lo observaba en silencio

desde

u n

rincn de la habitacin.

AI

final de

los

clculos largos y tediosos, Gauss dijo a

su

padre

que haba

u n

error en el resultado y le dijo la respuesta, a la que haba llegado mentalmente. Para

sorpresa de sus padres, jal comprobar los clculos se dieron cuenta de que Gauss tena razn

En su disertacin doctoral, Gauss proporcion a primera demostracin completa del eorema

fundamental del lgebra, que establece que oda ecuacin polinmica iene cuando mucho.t antas

soluciones como su grado. A los 19 aos de edad resolvi un problema que desconcer t a Euclides:

inscribir

u n

polgono regular de 17 lados en una circunferencia usando slo regla

y

transportador; y

en 1801,a os24aos de edad,publicsuprimeraobramaestra,

Disqursrfrones Anfhrnetrc ae,

consrderada por muchos como uno de los logros ms brillantes en matemticas. En este documento,

Gausssistematiz el estudiode a eora de nmeros(propiedades de

los

enteros) y formul los

conceptos bsicos que constituyen os cimientos de ese tema.

Entre la multitud de

logros

alcanzados, Gauss descubri

la

curva "acampanada" o gaussiana que

es fundamental en probabilidad, proporcion a primera nterpretacin geomtrica de los nmeros

complejos y estableci el papel fundamental de stos en las matemticas, desarroll mtodos para

caracterizar superficies intrnsecamente or medio de las curvas contenidas n aqullas, desarroll la

teora del mapeo conforme (que preserva ngulos) y descubri la geometra n o euclidiana 30 aos

antes de que estas ideas fueran publ icadas por otros. En fisica realiz contribuciones esenciales a la

teora de las lentes y a la accin capilar, y junto con Wilhelm Weber realiz trabajo fundamentaln

electromagnetismo, Gauss invent el heliotropo, el magnetmetro bifilar

y

el electrotelegrafo.

Gausseraprofundamente eligiosoy ecomportabacomoaristcrata.Dominaba cilmente

otros diomas, eiabastanteydisfrutaba amineralogiay abotnicacomopasatiempos. N o le

agradaba dar clases y sola ser fro y poco alentador con otros matemticos, quiz porque ya haba

anticipado el trabajo e stos. Se hafirmado ue si Gauss ubiera ublicadoodos sus

descubrimientos, el estado actual de

las

matemticas habra avanzado 50 aos. Sin duda alguna es el

matemtico ms grande de la epoca moderna.

Wilhe lm Jordun (1842-1899) fue un matemtico alemn que se especializ en geodesia. Su

contribucina a esolucin de sistemas inealesapareci en su ibroconocido, H a n d b u c h der

I'errnessungskunde,

en 1888.


32/709

1.2


/ 35

La m atriz aumen tada del sistema es

AI

sumar

-2

veces el primer rengln a os renglones segundo

y

cuarto se obtiene

1 3 - 2

o

2

o o

o o - 1 - 2 o - 3 - 1

(I

O

5 1 0

0 1 5 5

L

O O 4 8 O 1 8 6

Al

multiplicar el segundo rengln por

-1 y

luego sumar

-5

veces el nuevo segundo

rengln

al

tercer rengln

y -4

veces el nuevo segundo rengln al

cuarto

rengln se

obtiene

O 0

O 0 0 6 2

Al

sumar

-3

veces

el

tercer rengln al segundo rengln

y

luego sumar

2

veces el

segundo rengln de la m atriz resultante

al

primer rengln

se

obtiene la forma

escalonada reducida

I

3 0 4 2 0 0

0 0 1 2 0 0 0

0 0 0 0 0 1 g

0 0 0 0 0 0 0

El sistema de ecuaciones corre spond ente es

x, + 3x, 4 4x,

+

2x, = o

x3

+

2x4

= o

X6

= Q


33/709

(Se

ha eliminado la ltima ecuacin.

Oxl

+ Ox,

+

Oxj +

Ox4 -t Ox, + Ox6 = O,

ya

que la s demris ccuaciones harn

que se

cumpla de manera automtica.) AI despejar

la,;

variables principalcs. se obtiene

Si

a

las variables libres x

x4. x5 se

asignan los valores arbitrarios

r . S

y

t.

respectivame nte. entonces la solucion genera l

est

dada por las frmulas

X , = -

3r

-- 4s - 2t , X?

=

Y , .x3 = - ~ , .x4 =

S, =

t.

X

=

f

A

RETRO- Ejemplo

4

Algunas Yeces es preferible resolver un sistema de ecuaciones lineales

S U S T I T U C I ~ N

por medio de la eliminacin gaussiana

a

fin

de expresar la matriz aumentada

en

forma escalonada sin continuar hasta obtener la forma escalonada reducida.

Cuando

se

hace lo anterior.

el

sistema de ecuaciones correspondiente

se

puede

resolver mediante una tcnica denominada

retrosustitucidn.

Para ilustrar

este

mtodo se usarh el sistema de ecuacione s del ejemplo 3.

Con base en

los

clculos

en

el

ejemplo

3.

una forma escalonada dc la matriz

aumentada

es

I

3 - 2

o 2 0 0

0 0 1 2 O 3 1

0 0 0 0 0 l g

o 0 0 0 0 0 0

Para resolver

el

sistema de ccuaciones correspondiente

se

procede como sigue:

Paso

1.

Despejar las variables principales en las ecuacione s.

I

.Yl = -3x, +

2x,

- 2x,

xi =

1

-

2.r,

-

3x,

x, = f


34/709

1.2


/

37

Paso 2. Empezandocon la ltimaecuacin

y

trabajandohacia atrs, sustituir

consecutivamente cada ecuacin enas ecuaciones anteriores.

Al sustituir x6 = 3 en la segu nda ecuacin se o btiene

x, = -3x, + 2x,

-

2x,

x j =

-

2x,

.X6

=

$

La sustitucin de x3

=

-2x, en la prim era ecuacin da

x,

=

-

3x,

-

4x,

- 2x5

x,

=

-2x,

x6 = $

Paso

3. Asignar valores arbitrarios a las variables libres, si hay algu na.

Si

a

xz.

x4

y

x5

se asignan valores cualesquiera r , S y t , respectivamente,

entonces

l a

solucin gene ral est definida por las frmula s

Lo anterior co ncuerda con la solucin obtenida enel ejemplo

3.

A


Los

valores que se asignan a las variables libres se llaman

parmetros. Aunque para designar a

los

parmetros en generalse usarn las letras

r , s.

t ,

. .

,

, s posible usar cualquier letra que no cause problema con los nombres

de las variables.

Ejemplo 5 Resolver

x + y + 2 2 = 9

2x

+

4y - 32 =

1

3x +

6 , ~ 5~ =

O

por medio de la elim inaci n ga ussian a la retrosustitucin.

Solucin. Este es el sistem a del ejemplo

3

en la seccin 1 . 1 . En ese ejemplo se

convirti la matriz aumentada


35/709

38 ,/ Sistemas de ecuaciones lineales

y

matrices

a la forma escalonada

1 2 9

[;

- f

-y]

El sistema corresponhente asta matriz es

x + y + 2 2 =

9

- 2, = -17

z = 3

2

Al desp ejar las variables principales se obtiene

La sustitucin de la ecua cin nferior en las ecuaciones anteriores da

x = 3 - y

y = 2

z = 3

y

la sustitucin de la segunda ecuacin en la ecuacinuperior se obtiene

x =

1

y = 2

z = 3

Estoconcuerda conel resultado que se encontrmediante la eliminacin de

Gauss-Jordan enel ejemplo

3

de la seccin

l .

. A

SISTEMAS Se dice que un sistema de ecuac iones lineales es homogneo si todos los trmino

LINEALES constantes

son

cero; es decir, el siste ma esde la orma

HOMOGNEOS

a I l x ,+

a i 2 x 2

+ . . .

+ a , , x , = O

u2,x ,

+ a 2 2 x 2+ . . .

+ u2,x, =

O

amlxl

+

am2x2

+ . . .

+

amnx,= O

Todo sistem a de cuaciones lineales homogneo es consistente, ya que

U M

soluci n de todos estos sistem as

es

x1

= O, xz = O,

.

. . , xn = O .

Es ta solucin se

denomina

solucin trivial;

en caso de que haya otras soluciones, se denominan

soluciones

no

triviales.


36/709

1.2


i

39

Debido a que un sistema lineal homogneo siempre tiene la solucin trivial,

entonces parasus soluciones slo hay dos posibilidades:

El sistem a slo tiene la solucin trivial.

El sistema tiene infinidad de soluciones adems de la solucin trivial

En el caso especial de un sistem a lineal hom ogneo de dos ecua ciones con dos

incgnitas, por ejemplo

a , x + h , y = O

( a , , b , nosonceroalavez)

a 2 x + h2y

=

O

( a z , no son cero a la vez)

las g rfk as de las ecuaciones son rectas que pasan por el origen, y la solucin

trivial correspon de al punto de interseccin en el orige n (figura 1).

S Y

Av

Figura 1 I S I ~a solucin trivial I

I Infinidad de soluciones I

Existe

un

caso en el

cual

se asegura que

un

sistema homogneo tiene soluciones

no triviales, a saber, siempre que el sistema tenga

ms

indg ni tas que ecuaciones. Para

ver por qu, considerar el iguente ejemplo decuatroecuaciones con cinco incgnitas.

Ejemplo

6

Resolver el siguiente s istem a de ecuacio nes lineales hom ogneo por

eliminacin de Gauss-Jordan.

2x1

+

2x2

-

x3 + x 5 = o

-x1 - x2 +

2x,

- 3x, + x5 =

o

x, + x2 - 2x,

-x,=o

x3 + xq + x5 =

o

Solucin. L a matriz aumen tada del sistema es

2 2 - 1 o 1 o

- 1 - 1 2 - 3 1 o

1 1 - 2 0 - 1 o

0 0 1 1 1 0


37/709

40 /' Sistemas

de

ecuac iones lineales y matrices

Al reducir esta matriz a la forma escalonadaeducida, se obtiene

[

1 1 0 0 1 0

0 0 1 0 1 0

o 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

El sistema de ecuaciones correspondiente s

XI

+ X ? + 5 = 0

x j +

X5

= o

.x4 = o

Al despejar las variables principales se obtiene

x ,

= - x 2

-- X.j

x2 = - x 5

-Y4

= o

Par tanto, la solucin general s

.x1 = - S -

,

.x2 = S, X j = - , XJ = 0, xj =

1

Observa r que a solucin trivial se obtiene cuando S

=

t = O. A

El ejemplo

6

ilustra dos cuestiones importantes respecto a la solucin de

sistemas homogneos e ecuacion es lineales. Primera, inguna de las tres

operaciones eleme ntales en los renglones mod ifica la column a final de ceros

en la matriz aumentada, de modo que el sistema de ecuaciones correspondiente a

la

forma

escalonada reducidade la matriz aum entada tambin de be ser un sistem a

hom ogneo , vase el sistema

(2)

. Segunda, dependiendode si la forma escalonada

reducida de la matriz aum entada contiene algn rengln de ceros, el nm ero de

ecuacion es en el sistema reducido es menor o igual qu e el nm ero de ecuaciones

del sistema original, comparar los sistemas

(1)

y (2). Por tanto, si elsistema

homogneo dado contiene

m

ecuacion es con

n

incgnitas donde

m < n,

y s i en

la

forma escalonada reducida de la matriz aumentada hay

r

renglones diferentes de

cero, entonces

se

tendr

r

< n . Se oncluye que el sistem ade ecuaciones

correspondiente a la forma escalonad a reducida de la matriz aum entada es de

la

forma


38/709

1.2 Eliminacin gaussiana 1 41

donde xk , ,xk2 ,

. . . , xkr

son las variables principales y

Z

(

)

denota Sumas

(posible me nte todas diferentes) que incluyen a las

n

-

Y

variables libres, comparar

el sistema (3) con el sistema

(2) . AI

despejar las variables principales se obtiene

x k , = -X( 1

X k 2 = - G (

1

Xk,

= - C ( )

As como e n el ejemplo 6, es posible asignar valores cualesquiera a las variables

libres del miembro derecho

y

obten er as una infinidad de soluc iones del sistema.

En resum en, se tiene el siguiente teorema im portante.

Teorema

1.2.1. Un sistema de ecuacionesineales omogneo con ms

incgnitas que ecuaciones tiene infinidad de soluciones.


Se debe notar que el teorema 1.2.1 es vlido slo para sistemas

homogneos. Un sistema no homogneoconms incgnitas que ecuaciones no

necesariamente es consistente (ejercicio 34); sin embargo, si el sistema es con-

sistente, entonces tiene infinidad de soluciones. Este hecho se demostrar des-

pus.

En las aplicaciones no es raro encontrargrandes istemas lineales que cs

nece sario resolver por com putad ora. Zas i todos los algoritm os de cmputo para

resolver los sistemas se basan e n la eliminacin g aussiana o en la eliminacin de

Gauss-Jordan, aunque los procedimientos bsicos son modificados a menudo para

poder abordar cuestiones como

reducir los errores por redondeo,

disminuir el

uso

del espacio de memoria de la computadora,

y resolver el sistem a a la velocidad m xim a.

Alg unas de estas cuestiones se consid erar n n el captulo

9.

En clculos

manuales, las fracciones son un inconveniente que a menudo es imposible evitar.

Sin em bargo, en algunos casos s se puede hacer al variar de manera conveniente

las operacioneselementalesen los renglones. Por tanto, una vez que el ector

domine

los

mtodosde eliminacingaussiana y eliminacin deGauss-Jordan

puede modificar los pasos en problemas especficos a fin de evitar las fracciones

(vas e el ejercicio

18).

D E

LA SECCIN 1.2

1. D e

las

siguientes matrices 3 x 3, cules estn en forma escalonada reducida?


39/709

42

/

Sistemas de ecuaciones lineales

y

matrices

a ) O l O

: ]

b) 1

"1

c) [: y ] d) [ A 0 f ]

O 0 0 O 0 0 O 0 0

f ) l O O

"

"1

g)[:

:]

h j

[:

'1

i )

[:

:]

0 0 0 O 0 00 0 O 0 0

2. De las s iguientes matnces

3 x 3 ,

cules estn en forma escalonada?

[

:] b ) [ iO 0 0

1

c) [i 2 0 d )

a ) O l O

1 3 4

0 0 1

-0 o

o

3.

En cada inciso, determinar

si

la matriz est en forma escalonada, en forma escalonada

reducida, en ambas formas en ninguna.

1 2 0 3 0

a ) O O O O IO o O] b ) [ i

p

c j [ 'o 1 2 4'1

0 0 0 0 0

1 3 0 2 0

d l [ ' 1 3 27 1

e )

[ '

o *

O] f )

[i

i]

0 0 0 1

0 0 0 0 0

4.

En cada inciso, suponer que la m atriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales

hasido educidamedianteoperacionesen los renglonesa a ormaescalonada

re-

ducida dada. Resolver

el

sistema.

1

o 0 - 3 I

o 0 - 7 8

,)[O

1 O 3 2

o

o 1 1 - 5

1 - 6

O

O

3 - 2

O 0 1 0 4 ;] d)

[i -: x

81

O 0 0 1 5

~ 0 0 0 0 0 0

5. En cada inciso, suponer

que

la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales

ha sido reducida mediante operaciones en los renglones a la forma escalonada dada.

Resolver

el

sistema.

0 1 2 q- 3 4

0 0 1 s

2


40/709

1.2 Eliminacin gaussiana / 43

6 . Resolver cada

uno

de los siguientes sistemas aplicando eliminacin deauss-Jordan.

a)

x,

+

x2

+

2x3

= 8 b)

2x,

+

2x,

+

2x3

= O

-x1

-

2x2

+

3x3

=

1

-2x,

+

5x,

+

2x3

= 1

3x,

-

7x,

+

4x3

=

10 8x,

+

X

+

4x3

=

-

1

c)

x -+ 2 z -

w = - 1

d) -2b + 3 ~ =

1

2 x + y - 2 2 - 2 w= - 2

3 ~ + 6 b - 3 ~ = - 2

- x + 2 y - 4 2 += 1

6a

+

66

+

3c

=

5

3x

- 3w =

- 3

7. Resolver cada

uno

de los sistemas del jercicio

6

aplicando eliminacin gaussiana.

8.

Resolver cada

uno

de los siguientes sistemas aplicando eliminacin de Gauss-Jordan

a)

2x,

-

3x2

=

-2

b)

3x,

+

2 ~ ,

-

x3

= -

15

2x,

+

x

=

1 5x,

+

3x2+ 2x3

= o

3x,

+2x2

= 1

3x,

+

x

+

3x3

=

11

-6x,

-

4x,

+

2x3

=

30

C )

4x,

-

SX,

=

12

d)

1oy-4z+

w =

1

3x1

-

6 ~ ,

9

x + 4 y - z +

w =

2

-2x,

+4x,=

- 6x +y ++ 2 w = 5

- 2 ~ - 8 y + 2 ~ - 2 ~ =4

X - 6y+32

=

1

9.

Resolver cada

uno

de los sistemas del ejercicio

S

aplicando eliminacin gaussiana.

10.

Resolver cada uno d e los siguientes sistemas aplicando eliminacin de Gauss-Jordan.

a )

5x,

-

2x2

+

6x,

= O b)

xI

-

2x,

+

x

-

4x,

= 1 c)

w + 2 x - = 4

-2x,

+

x

+

3x3

=

1

XI

+

3x2

+

7x3

+

2x,

=

2 x -

y = 3

x1

- I~x,1IX,

16x4

= 5

~ + 3 ~ - 2 ~ = 7

2 u + 4 v + w + 7 x7

11. Resolver cada uno de los sistemas del ejercicio 10 aplicando eliminacin gaussiana

12. Sin usar lpiz

y

papel, determinar cules de los siguientes sistemas homogneos tienen

soluciones

no

triviales.

a)

2x1

-

3x, + 4x,

-

x

= O

b)

x,

+

3x2

- x3

=

0

2x,

+

8x2

+

x3

-

X

= O

4x3= o

7x,

+

x

-

8x3

+ 9x4 =

o x

- SX, = o

C )

a ,

x,

+

alzx2

+

uI3x3

=

O

d )

3x1

-

2x2

= 0

aZlXl

+

a2zx2

+

a23x3

= 0

6x,

-

4x2

= O

13.

Resolver os siguientes sistemas de ecuaciones ineales homogneos aplicando cual-

quier mtodo.

a)

2x,

+ X +

3x3=

O

b) 3x1+ x2

+

x3

+

x

=

O

c)

2x

+

2y

+

4z

=

o

x,

+

2x,

= O 5x, - x2+ x3

-

=

o

W

-

y - 3 . ? =0

x +

x

= o

2 w + 3 x +

y +

z = O

- 2w+ ~ + 3 ~ - 2 ~ = 0

14.

Resolver

los

siguientes sistemas de ecuaciones ineales homogneos aplicando cual-

quier mtodo.


41/709

44

1

Sistemas de ecuaciones linealesy matrices

a) 2.r

-- y

- 3z = 0

b) u t 3 w -2 x =o c ) x , + 3 x , + x , = o

x +

, y + 4 z = o

2 ~ + 3 ~ + 2 ~ -= O

-

2x2- 2x, - x = o

--x

+

2y-

32 = o 2 u +

u - 4 w + 3 x = o

x,

t 4x, +

2x,

= o

-414

-

3U

+

5W

-.

4x

=

0

2x,

.-

4x,

+

x, +

x

=

o

x,

- 2x, - xj

+ x4

= o

15.

KesoIver 10s siguientes sistemas aplicando cualquier mtodo.

a) 21,

- I,

+ 31,

+

41, = 9

b) z,

+ z,

+

z, = o

4 - 21, + 71, = I 1

- z ,

z,

+

22, - 32, + z, =

o

31, - 1 , + l3+

51,

= 8

z, +- z2

- 2 ,

-z,=o

21, + I2t 41, + 41, = 10

22, + 2z2- z,

+ z , = o

16. Resolver

los

siguientes sistemas, donde a,

b

y c son constantes.

a)

2x

+

.V

= a

b)

x,

+

.x2

+

x

= u

3x +- 6~ = h

2.r ,

+ 2x,

= h

3 Y2 + 3x, =

c

17.

Paraqu valores de a el iguiente istemano iene olucin?exactamente

una

solucin'? ,intinidad e soluciones?

.Y

i-

21' ~ 3z = 4

31

J

4-

5z

= 2

4x

+ v + (U -- 1 4 ) ~ 0 + 2

18.

Expresar

en

forma escalonada reducida sin introducir ninguna fraccin

1Y.

Encontrar dos formas escalonadas diferentes de

20. Reso lve r e1 s iguiente s is tema de ecuaciones no l ineales para los ngulos descono-

c i d o s a , y p , d o n d e O ( a ( 2 n , O I P I 2 n , y O s y < : .

2 s e n a -o s p + 3 t a n y = 3

4sencu+2cosp-2tany=2

6 s e n a - 3 c o s p + t a n y = 9

21. Resolvcr el siguiente sistema de ecuacioneso lineales para Y, y y

z .

X' + +

z2=

6

x"y '+22=2

2x2

f V 2

-

2 2

=

3


42/709

1 .2


\

45

Dem ostrar que el siguiente sistema no l ineal t iene 18 soluciones si O 5 a

5

2 z,

5

/ 3 5 2 z , y O I . y < 2 z .

s e n a + 2 c o s p + 3 t a n y = O

2 s e n a + 5 c o s p + 3 t a n y = O

- s e n a - 5 c o s p + 5 t a n y = O

$ara que valor(es)de

y

el iguiente istemadeecuaciones iene olucionesno

triviales?

(a

- 3lX

+

v = o

x + (a- 3)?, = o

Considera r el sistema de ecuaciones

a x

+

by

= O

cx

+

dy =

o

ex + fy =

O

Analizar las posiciones relativas de las rectas

a x +

by

= O,

cx

+ dy = O

y ex +fi

O

cuando

a) el sistema t iene

s3 0

la solucin trivial, b) el sis tema tiene soluciones no tnviales .

En a figura 2 se mue stra a grfica de una ecuacincbica y = + b? +

cx

+

d .

Encontrar

los

coeficientes

a, b ,

c

y

d.

ty

20

-

' I Figura

2

Recordar que en geometra plana tres puntos no colineales determinan una circunfe-

rencia de mane ra nica. En geometra anal t ica se demuestra que la ecuacin de una

circunferencia en el plano

y

es de la orma

ux2

+

uy2

+

bx

+

cy

+

d

=

O

Encontrar la ecuacin de la circunferencia que se muestra en laigura

3

CY


43/709

46 / Sistemas de ecuaciones linealesy matrices

27. Describir las posibles formas escalonadas rqiucidas de

28. Dem ostrar que si

ad

- bc f O , entonces la forma escalonada reducida de

29. Usar el ejercicio

28

para demostrar que si

ad

- bc =

O,

entonces el sistema

ux + b ~ , k

CY + d v = I

tiene exactamente una solucin

30. tlrsolvzrelsistema

para x,,

x 2

y x j SI

a) k =

1

b) d = 2

31.

Considerar el sistema de ecuaciones

ux +

bj. =

o

CY

+ 41) = o

a) Demostrar

que

si

x = xo, y = y,

es cualquier soluci n del sistema

y k

es cualquier

b) Demostrar que si

x = xo,y

=

y,

y x = x],

y = y ,

son dos soluciones cu alesquiera,

constante, entoncesx =

kr,,

y =

4,

ambin es una solucin.

entonces x

=

x + x, , y = y o + y ,ambin es una solucin.

32. Considerar el sistema de ecuaciones

( 1 ) u . ~

b,,

=

k

(11)

ax + by = O

CY

+

dl) = I cx + 4v = o

a) Demostrar que si x = x , ,

y

= y , y x = x*,

y = y,

son soluciones de I, entonces x = x1

b ) Demostrar que si x = x ] ,

y

=

y ,

es una solucin de I

y

x = x,,

y =y,

es una solucin

-

x2,y

= y I

-y,

es una solucin de

I I .

de I I , entonces x =

x,

+ x,, y = y , + y os una solucin de .

33. a ) En el sistema de ecuaciones numerado con ( 3 ) , explicar por qu sera ncorrecto

denotar a las variables principales por xl, x2, , . . , r en vez de por xk,, xk2, . . ,

xk,

como

se

hizo.


44/709

l .

Matrices y operaciones con matrices

/ 4

7

b) El sistema de ecuaciones numerado on

(2)

es

un

caso especfico de

(3).

Qu valor

tiene

y

en este caso? Cules

son

xk,,xk2,

. .

,x en este caso? Escribir las

sumas

denotadas por

I: )

en

( 3 ) .

k,

Encontrar

un

sistema l ineal inconsistente queenga

ms

incgnitas que ecuaciones

MATRICES

Y

OPERACIONES C ON MATRICES

Los arreglos ectangulares de nmeros eales surgen en m uchos ontextos

distintos a las matrices aum entadas de sistemas de ecuaciones lineales.

En

esta

seccinestosarreglos se considerarn como objetos en s y se desarrollarn

' algunas de s us propiedades par a aplicarlas ms tarde.

Definicin. Una matriz es un arreglo rectangular de nmeros. Los nmeros en

el arreglo se denominanefementosde la matriz.

Ejemplo 1 Alguno s ejemplos de m atrices son

El tamaiio

de

una matriz se describe en trminos del nmero de renglones

(lneas horizontales) y de colum nas (lneas verticales) que contiene. Por ejemplo,

la primera matriz del ejemplo

1

tiene tres renglones y dos columnas,de modo que

su tamao es

3

por 2 (que se escribe

3

X 2). En la descripcin del tamao, el

primernmero iempredenota el nmerode englonesy el segundo , el de

colum nas. Las dem s ma trices del ejemplo

1

son de tamao

1 X

4, 3

x

3, 2 X 1

y

1 X 1, respectivamente. Una matriz conuna sola columna se denomina

matriz

co-

lumna

(o

vector columna) ,

y

una matriz con un solo rengln se denomina matriz

rengln

(o

vector rengln) .

As,

en el ejemplo

1,

la matriz

2 X 1

es u na matriz

columna, la matriz 1 X 4 es una m atriz rengln

y

la matriz

1

X 1 es tanto una

matriz rengln como una matriz colum na. (El trmino vector tiene otro signi-

ficado que ser analizado en captulos ulteriores.

O B S E R V A C I ~ N . Se acostum bra omitir los corchetes en una matriz 1 X 1. As, se

podra escribir 4 en vez de 4 . Aunque lo anterior imposibilita saber si 4 denota el

nmero "cuatro1'o la matriz

1 X

1 cuyo elem ento es 'Icuatro", excepc ionalme nte

causa prob lemas, ya que casi siempre es posible inferir el significado a partir del

contexto en que aparecel smbolo.


45/709

48

.Sistemas de

ecuacion es lineales

y

matrices

Paradenotarmatrices se usarn maysculas y paradenotar cantidades,

min scu las; as. se podra escribir

Al estudiar matrices, es comn denominar

escdares

a las cantidades numricas.A

menos que se establezca otra cosa. los escalares sern

nitmeros eales;

los

escalares complejos sern considerados en l captulo 10.

El elem ento que aparece en el rengln

i

y la columna

j

de una matriz .4 se

denota por

a,,.

As, una matriz general 3 X

4

se puede escribir como

y una matriz general

m

x n, como

Cuando

se

desea que la notacin sea cond ensada, la m atriz prece dente se puede

expresar como

[ U , , I , , , X , I

0 [ % , I

la primera notacin se usa cuando en el anlisis es importante conocerel tamao

y

la segund a cuando no es necesario recalcar el tamao . Por lo general, la letra que

denota una matriz corresponde a la letra que denota sus elem entos; as, para una

matriz B en general se

usar b,,

para den otar el elem ento en el rengln i y la

columnaj, y para una matriz

C

se usar cy.

El elemen to en el rengln

i

y la columna j de una matriz

A

se denota por el

smbolo ( A ) q .As. para la matriz (1) anterior, se tiene

( A ) , ,

=

a,,

y para la matriz

se tiene (A)11 =

2, (A)12

=

-3,

(A)2l =

7 ,

y (A)22 O .

Las matrices renglny column a revisten especial importancia y se denotan con

min scu las negritas en vez de maysculas. En estas m atrices es innecesario usar

subindices dobles para os elementos. Entonces, una matriz rengln general

a

1

X

n y una matriz columna general b

m

X 1 se escribirn com o


46/709

1.3

Matrices

y

operaciones con matrices

/ 49

Figura 1

Una m atriz A con n renglones y n columnas se denomina m a t r i z c u a d r a d a

d e o r d e n

n, -y se h c e que

los

elementos

a l l , a 2 2 ,

. . ,

a n n

estn en la

d i a g o n a l

p r i n c i p a l de A (vanse los elemen tos en ipo negro en la figura 1).

Hasta el momento, las matrices se han usado para abreviar el trabajo al resolver

sistemas de ecuacion es lineales. Para otras aplicaciones, sin em bargo, es deseable

desarrollar u na "aritmtica de matrices" en la que sea posible sum ar, restar y mul-

tiplicar matrices de manera til. El resto de esta seccin se dedicar al desarrollo

de esa aritmtica.

Definicin. Dos matrices son i g u a l e s si tienen elmismo tamao y sus ele-

men tos correspond ientes son guales.

E n no tacin matricial, si

A

= [a,]y

[ B

= b ] son del mismo tamao, entoncesA

=

B si y slo si (A), = (B), o, equivalentemente,

a,

= bo para todo

i

y j .

Ejemplo 2 Con siderar las matrices

Si x = 5,entonces A =

B ,

pero para los dems valores de x las matrices A

y B

no son iguales. ya que no todos

sus

elemento s correspondientes son iguales.

No

hay ningn valor de

x

para el que A

=

C, ya que los tamaos de A y

C

son

diferentes. A

correspon dientes de A , y la d i f e r e n c i a A - B es la ma triz obtenida al restar los

elemen tos de B de los elementos correspondientesde A . No es posible sum ar o

restar matrices de tam aos diferentes.


47/709

7

' P "*I

6

.,*< r: , 'i

-

, ~ . .

50 Sistem as de ecuaciones ineales v matrices

En notacin matricial, si A

=

[ a u ] B = [ b J son del mismo tamao , en tonces

Ejemplo

3

Cons iderar las matrices

2 1 0

-4 3 5

- 1

O 2

'1

B = [

2 2 O

-:]

C = [ '

'1

4 - 2 7

o

3

2 - 4 5

2 2

Entonces

11

- 5

Las expresiones

A

+

c',

B

+

C,

A

-

C

y

B

-

C

no estn definidas.

A

Definicin. Si A es cualquier matriz y c es cualquier escalar, entonces el

producto cA es

la

matriz obtenidaal multiplicar cada elem ento de por

c.

En notacin matricial, si

A

= [ a 1 entonces

r/

c A ) i j= c (A ) , , = cui,

Ejemplo

4 Para las matrices

A = [ 1

3

I ] B = [

- 1

3

- 571 c =[: r

3 4 o 2

se tiene

Es comn denotar (- l)B por -B.

A

Si

A , ,

A , ,

.

.

.

, A,, son matrices delmismo tamao y

cl, c,, . . .

,

c,,

son

escalares. entonces una expresin dea

forma

se denomina

combinacin lineal

de

A , ,

A,, . . .

, A,,

con

coeficientes cl,

c2, . . ,

e,,.

Por

ejemplo, si A ,

B

y C son las matric es del ejemplo 4, entonces


48/709

2 2 4 5 2 6

1.3

Matrices y operaciones con matrices ' 51

=

[:

;l.+

[:

1:

-:I+[;

-:

:I

= [ 7

'1

4 3 11

es la com binacin lineal de

A , B

y C con co eficientes escalares 2 , - 1

y i.

Hasta elmomento se ha definido la multiplicacin de una m atn z por un

escalar, pero no la m ultiplicacin de dos matrices. Como la suma de m atrices se

ejecuta sumando los elementos correspon dientes y la resta de matrices se ejecuta

restando los elementos correspondientes, parecera natural definir el producto de

matrices como la multiplicacin de los elem entos correspondientes. Sin em bargo,

resulta que la definicin no es demucha utilidad en a mayor parte de os

problem as. La exp eriencia ha llevado a

los

matem ticos a la siguiente definicin,

menos natu ral pero m s til, de producto de matrices.

Definicin. Si A es una matriz m x

r

y B es una matriz

r x

n , entonces el

producto A B es la matriz m x n cuyos elementos se determinan como sigue.

Para encontrar el elemen to en el rengln i y en la colum naj de A B , considerar

slo el rengln

i

de la matriz

A

y la columnaj de lamatriz

B .

Multiplicar entre

s los elementos correspond ientes del rengln y de la columna mencionados y

luego sumarlos productos resultantes.

i

6

, ,

. ',

j

Ejemplo 5 Cons iderar las matrices I ' '

4 1 4 3 -

O

- 1

3 1

2 7 5 2 -

O

Como

A

es una matriz

2

x 3 y

B

es una matriz 3 x 4, el producto

A B

es una

matriz 2 X

4.

Para determinar, por ejemplo, el elemento en el rengln

2

y en la

columna

3

de

A B ,

slo

se consideran el rengln

2

de

A

y la columna

3

de

B .

Luego,comose ilustra a continuacin , los elementos correspond ientes (en tipo

negro) se m ultiplican entre

s

y se su man los productos obtenidos.


49/709

El elemento en el rengln

y

eyi In columna

4

de AB (en negro) se calcula como sigue.

l ( 1 . 3 ) + ( 2 . 1 ) + (4 .2 )

=

131

Los clculos para los dem s productos son

( 1

4 )

+

( 2 . 0 )

+

( 4 . 2 )

= 12

( 1 . 1 ) - ( 2 . 1 ) + ( 4 . 7 ) = 2 7

( 1 . 4 ) + ( 2 . 3 ) + ( 4 . 5 ) = 30 12

27

30

( 2 . 4 ) + ( 6 . 0 )

+-

( 0 . 2 )

= 8

8 -4 26 12

( 2 .

1)

-

6 . 1 )

+

( 0 . 7 )

=

- 4

( 2 . 3 )

+

(6.1) + ( 0 . 2 ) = 12

A

1 3 1

Paraformar elproductoAB, la definicin de multiplicacin de ma trices

requiere que el nmero de columnas del primer factor A sea el mismoque el

nmero de renglones del segundo factor

B .

Sino e cum ple esta condicin.

entonces el producto est indefinido. Una m anera conveniente para determinar si

el producto de dos matrices est definido es escribir el tamao del primer factor

y,

a la derecha, escribir el tamao delsegundo factor. Si, comose observaen la

figura 2, los nm eros interiores son iguales, entonce s el producto est definido.

Los nm cros exteriores proporcionan entonces el tamao del producto.

A H A B

-

m x r r x n

m x n

b A h S

Medios

Figura

2

Extremos

Ejemplo 6

Suponer que

A ,

B

y C

son matrices con los siguientes tamaos:

A R

C

3 x 4

4 x 7

7 x 3

Entonces

A B

est definido y se trata de una ma triz 3 x 7 ;

CA

est definido y se

trata d e una matriz 7 X 4; y

BC

est definido y se trata d e una m atriz

4

x

3 .

Los

productos AC,

C B y BA

estn indefinidos.

Si

A

=

[u,]

es una matriz generalm x r y B = [b,] es una matriz general Y X

n, entonces como se ilustra con tipo negro de

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H.anton a.lineal- Introduccion al Algebral Lineal