HAREKET EDEN BR BASINÇ ALANININ OLUTURDUU DALGALARIN ... · Gelimi dispersiyon karakteristikli Boussinesq denklemleri Bu çalmada Beji ve Nadaoka (1996) tarafndan türetilen Boussinesq

HAREKET EDEN B�R BASINÇ ALANININ OLU�TURDU�U DALGALARIN SAYISAL OLARAK MODELLENMES�

Dr. Deniz BAYRAKTAR*, Prof. Dr. Serdar BEJ�**

�stanbul Teknik Üniversitesi, Gemi �n�aatD ve Deniz Bilimleri Fakültesi, Gemi ve Deniz Teknolojisi Mühendisli�i Bölümü

*Tel: +90 212 285 6418, E-posta: [email protected], Faks: +90 212 285 6454 **Tel: +90 212 285 6442, E-posta: [email protected], Faks: +90 212 285 6454

Özet Su dalgalar�n�n teorik ve fiziksel modellenmesi, üzerinde onalt�nc� yüzy�ldan bu yana çal��lan bir konudur. Genel olarak rüzgâr etkisi ile olu�an aç�k deniz ve k�y� bölgesi dalgalar�n�n yan� s�ra su içindeki bir cismin (gemi v.b.) hareketinden ötürü olu�an dalgalar�n incelenmesi de önem ta��maktad�r. Gemi hareketlerinden kaynaklanan dalgalar�n modellenmesi özellikle son y�llar�n güncel konular�ndand�r. Bu çal��mada, seyir halindeki tekneyi temsil edecek olan bas�nç alan� belirlenmi� ve bu bas�nç alan� ilerledi�inde olu�acak olan dalgalar bir bilgisayar program�nda say�sal olarak modellenmi�tir. Lineer olmayan özellikteki bu dalgalar� say�sal olarak modelleyebilmek için “Boussinesq Denklemleri” kullan�lm��t�r. Boussinesq denklemleri, derinlik integre edilmi� denklemler olup, dispersiyon terimleri k�smi olarak dikey yöndeki ak��kan ivmesinin etkisini temsil eder. Boussinesq Denklemleri bu özellikleri ile uzun dalga denklemlerinden ayr�l�rlar. Bu sayede, çok s�� olmayan bölgelerde de, de�i�ik h�zlardaki teknelerin yaratt�� dalgalar�n gerçekçi bir �ekilde simülasyonu yap�lm��t�r. Üç boyutlu bu simülasyonlardan önce, bir boyutlu Boussinesq modeline Gauss tipi bir bas�nç gradyan� yerle�tirilmi� ve program�n güvenilirli�ini test etmek için say�sal ve analitik sonuçlar gerek lineerize edilmi� s�� su dalgar�yla gerekse bir boyutlu Boussinesq modeliyle kar��la�t�r�lm��t�r. Daha sonra, hareket edecek olan bas�nç alan�n� temsilen bir yar�mküre seçilerek, farkl� Froude say�lar� için, de�i�ik zaman aral�klar�nda üç boyutlu simülasyonlar yap�lm��t�r. Son olarak, katamaran benzeri bir tekneyi temsil etmek için, iki narin gövdeli cisim seçilerek, bunlar�n olu�turdu�u dalgalar Boussinesq modeli kullan�larak say�sal olarak hesaplanm��t�r. Anahtar Kelimeler: Boussinesq denklemleri, dalga �ekilleri, giri� aç�s�, hareket eden bas�nç alan� Numerical simulations of waves generated by moving pressure fields The theoretical and numerical modelling of water waves has been extensively studied since the 16th century. In general, it is important to model water waves generated by wind as well as the waves generated by ships. In this study, the ship hull is represented by a pressure field and as the this pressure field propagates the waves generated is numerically modelled using a computer programme. For modelling those nonlinear waves “Boussinesq Equations” are employed. Boussinesq equations are depth integrated equations and the dispersion terms represent the acceleration of the flow in vertical direction. In this manner, Boussinesq equations differ from Long Wave Equations. Thus, in zones where the water depth is not so shallow, the waves generated by hulls are simulated at different speeds. Before 3D simulations, for a Gaussian shaped moving pressure field, the analytical solution obtained from the linearized 1-D long wave equations is used for comparisons with the numerical solutions obtained from three

8. KIYI MÜHEND�SL�� SEMPOZYUMU

765

different modes of the scheme. Finally, a hemispherical moving object has been used for simulating the waves generated. For the verification, the wedge angles are compared with theoretical results. Furthermore, two slender-body shaped pressure fields are specified in sample simulations to investigate the combined wave patterns in catamaran-like surface vessels. Keywords: Boussinesq equations, wave patterns, wedge angle, moving pressure field Giri� Su yüzeyinde hareket eden bir cismin (gemi v.b.) farklD hDzlarda olu�turdu�u lineer olmayan dalgalarDn, dispersiyon karakteristikleri yönünden geli�mi� Boussinesq denklemleri ile simülasyonu bu çalD�manDn temel konusudur. En önemli avantajD derinlik integre edilmi� bir dalga modeli olmasD olan Boussinesq denklemleri, üç boyutlu bir problemi iki boyutlu bir probleme indirgemektedir. Boyuttaki bu azalma ve bilgisayar teknolojisinin ilerlemesine paralel olarak, Boussinesq denklemleri farklD tipte dip batimetrileri ve kDyD �ekilleri ile geni� yüzeyleri kaplayan bölgeler için yaygDn olarak kullanDlabilmektedir. Sabit su derinlikleri için geçerli olan ilk Boussinesq modeli, adDnD aldD�D Boussinesq (1871) tarafDndan elde edilmi�tir. Daha sonra, Mei and LeMeháute (1966) ve Peregrine (1967) de, Boussinesq denklemlerini sabit olmayan su derinlikleri için elde etmi�lerdir. Mei and LeMeháute, tabandaki hDzD de�i�ken olarak tanDmlarken, Peregrine derinli�e göre ortalamasD alDnmD� hDzD de�i�ken olarak kullanmD�tDr. Peregrine tarafDndan türetilen denklemlerin yaygDn kullanDmDndan ötürü, bu denklemler standart Boussinesq denklemleri olarak bilinmektedir. Daha iyi dispersiyon karakteristi�ine sahip denklemler elde etmek için Madsen ve di�erleri (1991) ve Madsen ve Sørensen (1992) ayarlanabilir katsayDlD yüksek mertebeden terimleri sDrasDyla, sabit ve de�i�ken su derinlikli Boussinesq denklemlerine eklemi�lerdir. Beji ve Nadaoka (1996), Madsen ve di�erlerinin (1991) geli�mi� Boussinesq denklemlerini, farklD bir �ekilde türetmi�lerdir. Liu ve Wu (2004) ise, sDnDr integrali yöntemini kullanarak bir dikdörtgen ve trapez kanal içinde hareketli bir basDnç da�DlDmD tarafDndan üretilen dalgalarD, gemiye özel uygulamalar içeren bir model olarak sunmu�tur. Torsvik (2009), Lynett ve di�erleri (2002) ve Liu ve Wu (2004)’nun COULWAVE uzun dalga modelini kullanarak, de�i�ken kesitli bir kanalda sabit bir hDzda hareket eden bir basDnç da�DlDmDnDn yarattD�D dalgalarD sayDsal olarak incelemi�tir. Bu ve bunun benzeri yapDlmD� olan çalD�malarda ortak nokta, hareket eden cisim olarak kosinüs tipinde bir fonksiyon seçilmesidir. Hareketli bir basDnç alanDnDn teorik formülasyonunu incelemek, yüzen bir cismi istenilen formda elde edebilmek açDsDndan oldukça önemlidir. Fakat Boussinesq denklemleri, boyut azaltmasD açDsDndan her ne kadar çok büyük avantaj sa�lasa da yüzer cisimler söz konusu oldu�unda do�rudan bir kullanDm söz konusu olamamaktadDr. Bu durumda, yapDlabilecek iki farklD yakla�Dm vardDr. Bunlardan birincisi, yüzer cismin dD�Dnda ve altDnda kalan bölgelerin ayrD ayrD de�erlendirilmesi ve buna ba�lD çözümlerin elde edilmesidir. Di�eri ise, uygulama açDsDndan daha kolay olan, Bounessinesq denklemlerine, yüzer cismin etkisini yansDtacak olan bir yüzey basDnç teriminin eklenmesidir. Burada en önemli problem, yüzer cisme en uygun yüzey basDncDnDn tanDmlanmasDdDr. Bu çalD�mada, farklD formda yüzey basDnç alanlarD ile istenilen cismin/cisimlerin etkilerinin yaratDlDp tanDmlanmasD ve buna ba�lD olarak yapDlmasD planlanan simülasyonlar ile farklD durumlar incelenip birbiriyle kar�Dla�tDrDlmD�tDr. Bu simülasyonlar, hareket halindeki bir gemi formunun yarattD�D dalgalar ile bunlarDn etkilerini anlayabilmek açDsDndan oldukça önemlidir. Bunu gerçekle�tirebilmek için, yüzey basDnç terimlerinin, bir ve iki boyutlu (gerçekte iki ve üç boyutlu) olan Boussinesq sayDsal modellerinin bir parçasD haline getirilip uygulanmasD gerekmektedir.


766

Klasik Boussinesq denklemlerinin uygulama alanlarDndan farklD olarak bu ara�tDrma konusu, kDyD ve liman bölgelerindeki dalga hareketlerinin incelenmesinin dD�Dnda, yüzer bir cisim veya cisimler etkisi altDnda olu�acak dalga hareketlerini de inceleyebilmeyi mümkün kDlmaktadDr. ProgramD, a�ama a�ama test etmek için öncelikle bir boyutlu çalD�DlmD�tDr. Gauss tipi bir basDnç alanD hareket denklemine eklenerek, hem lineerize edilmi� sD� su dalga denklemlerinin analitik ve sayDsal çözümü yapDlmD�, hem de bir boyutlu Boussinesq modelinin sayDsal sonuçlarDyla, analitik çözüm kar�Dla�tDrDlmD�tDr. Daha sonra, iki boyutlu denklemlerle yarDm küre �eklindeki bir cismin yarattD�D dalgalar modellenmi�tir. Bu simülasyonlar, teorik sonuçlarla kar�Dla�tDrDlmD�tDr. Buna ek olarak, bir katamaranD temsil eden, iki basDnç fonksiyonu kullanDlarak, olu�an dalgalar simüle edilmi�tir. Geli�mi� dispersiyon karakteristikli Boussinesq denklemleri Bu çalD�mada Beji ve Nadaoka (1996) tarafDndan türetilen Boussinesq denklemleri kullanDlmD� olup, momentum denklemlerine, hareket edecek cismi temsil eden basDnç gradyanD eklenmi�tir:

��

��

�� Burada � bir sabit olup, lineer teori dispersiyon ba�DntDsDnDn, ikinci mertebeden Padé açDlDmDna göre �=1/5 alDnmD�tDr. � = 0 ise Peregrine’nin orijinal denklemine kar�DlDk gelmektedir. � = 1/5 oldu�unda, model nispeten kDsa dalgalarD (h/� = 1) modelleyebilir. Burada, � dalga boyu, h ise su derinli�ini temsil etmektedir. Say�sal algoritma: Denklemlerin ayr�kla�t�r�lmas� Denklem 1 ve Denklem 2, atlatDlmD� Arakawa C-grid sistemine göre }ekil 1’de gösterildi�i gibi ayrDkla�tDrDlmD�tDr.

�ekil 1. De�erlerin atlat�lm�� Arakawa C- grid sistemindeki konumlar�

AyrDkla�tDrma, O’Brien ve Hurlburt (1972) tarafDndan iki tabakalD sD� su denklemlerinin çözümünde kullanDlan yönteme uygun olarak, süreklilik denklemi, momentum denkleminin içine yerle�tirilerek gerçekle�tirilmi�tir. Böylesi bir düzenleme, sayDsal programDn sDrasDyla, hem uzun dalga modunda, hem Boussinesq modunda, hem de geli�mi� Boussinesq modunda çalD�abilmesine olanak verir. Buna göre süreklilik denklemi,


767

� !"#$% � � !"#&� � �� '(�)�*+#$% � (�)�*+#,

-%�!"

� �.///0�1) -%�!"

#$%� � �23 !"-%�#$%� � ��* �)�#$%� � ��4 �3�#$%� � �

�3 !"-%�#$%��4

56667��8��

elde edilmi�tir. Burada, i ve j sDrasDyla x ve y yönündeki uzaysal zaman adDmlarDnD gösterirken k, zaman adDmDnD gösterir. Her iki taraf �t ile çarpDlDp x’e göre türevi alDndD�Dndaysa a�a�Ddaki denklem elde edilir:

(��*+ !"#$% � (��*+ !"

# � �� 9:��)�*�;#$% :��)�*�;

#< -%�!"

=� � ��1 (�)�*+ -%�!"#$%� =� � �2 (�3�*+ !"-%�

#$%� =

� ��1 (�3�4+ !"-%�#$%� =� � � : ��3�*�4;

!"-%�

#$%� �� *� �)� -%�!"

#$%� =� ��

�*�4 �3� !"-%�#$%� =��>�

Buna benzer olarak Denklem 3, �t ile çarpDlDp, y’ye göre türevi alDnDrsa,

(��4+ !"#$% � (��4+ !"

# � �� 9:��3�4�;#$% � :��3�4�;

#< -%�!"

=� � ��2 (�3�4+ -%�!"#$%� =� � �1 (�)�4+ !"-%�

#$%� =��

� �2 (�)�*+ !"-%�#$%� =� � � : ��)�*�4;

!"-%�

#$%� =�� *�4 �)� -%�!"

#$%� =� ��

�4� �3� !"-%�#$%� =��?�

denklemi elde edilir. Denklem 4 ve 5, sDrasDyla x ve y momentum denklemlerinin ayrDkla�tDrDlmasD için kullanDlacaklardDr. Momentum denkleminin x bile�eni �u �ekilde ayrDkla�tDrDlDr: ) !"#$% � ) !"#

=� � �� '(��*+#$% � (��*+#, $%�!"

� �� 8 9:��)�*�;

#$% � :��)�*�;#< �=� � �� 1 '(�)�*+#$% � (�)�*+#, �=� � �))1�#$%�

� @3)2A#$%� � �� 8 312� � �� 132� �� 231� � ��

8 111� ��111 � ��

8 122 � �� 122 � �� 212 �� B1��


768

Burada, ayrDkla�tDrDlmamD� olarak verilen terimler, Arakawa C-grid sistemine göre k + 1/2 zaman adDmDnda ayrDkla�tDrDlacaktDr. Denklem 4’teki �CD

C2� !"#$% ifadesini yukarDdaki denklemin içine yerle�tirdikten sonra, �t ile çarpDp düzenlenirse elde edilecek olan denklem,

� E�8 �� >=��F :��)�*�;#$% � �1 E�� =��F �

� � E�8 �� >=��F :��)�*�; � �1 E�� =��F (�)�*+ � ) !"# � (��*+#

� ��1 E�� =��F (�3�4+#$% �� 1 E�� =��F (�3�4+#

� ��2 E�� =��F (�3�*+#$% � ��2 E�� =��F (�3�*+#

�� E�8 �� >=��F : ��3�*�4;#$% � � E�8 �� >=��F : ��3�*�4;#

�� '�))1�#$%� � @3)2A#$%�,=�� =� E�8 @111 � 122A � �1 (11 � �� 22+ � ��212F �� =�� ' ��

�*� �)�#$%� � ��*�4 �3�#$%�, � �� B1=��G��

olur. AynD i�lemler y-momentum denklemi için de yapDldD�Dndan burada tekrar edilmemi�tir. SayDsal çözüm sDrasD �u �ekildedir. Öncelikle, eski zamandaki hDzlar kullanDlarak, geçici de�erleri, süreklilik denklemi 3’ten hesaplanDr. Buna ba�lD olarak, x ve y yönündeki momentum denklemleri, yeni zamandaki u ve ve v hDzlarD için, tridiyagonal bir matris sistemi olu�turur. Hareket denkleminin x- bile�eni çözülürken, yeni zaman adDmDndaki uk+1 de�erleri tek bilinmeyenler olup, Thomas algoritmasD kullanDlarak çözülür. Benzer �ekilde, hareket denkleminin y-bile�eni çözülürken, yalnDzca vk+1’ler bilinmeyen olarak de�erlendirilir. Son hesaplanan uk+1 ve vk+1 de�erleri kullanDlarak, düzeltilmi� de�erleri yeniden süreklilik denkleminden elde edilir. Güvenilir sonuçlar elde etmek için, her bir zaman adDmDnda, bu i�lemlerin yalnDzca üç kez tekrarlanmasDnDn yeterli oldu�u gözlemlenmi�tir. Daha iyi bir yakla�Dm için, de�i�kenlerin ardD�Dk de�erleri bir yakDnsama kriteri ile kar�Dla�tDrDlmD�tDr. Fakat sayDsal deneyler göstermi�tir ki, iterasyonun artmasDnDn sonuçlar üzerinde iyile�tirici bir etkisi kesinlikle ihmal edilebilir düzeyde kalmaktadDr. Lineer s�� su dalga denkleminin analitik çözümünün kar��la�t�r�lmas� Bir boyutlu lineerize edilmi� uzun dalga denklemlerine basDnç teriminin eklenmesiyle elde edilen sistem,

0=xt hu� (8)

xxt Pgu�

� 1= � (9)

�eklindedir. Burada, serbest su yüzeyi, u yatay hDz bile�eni, P yüzey basDncD, h sabit su derinli�i ve g yerçekimi ivmesidir. Hareket eden basDnç nedeniyle, zDt yönlerde hareket eden dalgalarD olu�turmaktadDr. Matematiksel problem, serbest su yüzeyi dalgalarD ve basDnç dalgasD olarak ikiye ayrDlabilir. ZDt yöndeki serbest dalga profillerinin ise sDrasDyla,


769

)(= 011 tcxFa �� ve )(= 022 tcxFa � oldu�u ve hareketli basDncDn )(= 0 VtxFPP � oldu�u

varsayDlsDn. Hareketli basDnçtan ötürü zorlanmD� dalganDn profil )(= 33 VtxFa �� ve

zorlayDcD dalga hDzD ise )(= 33 VtxFbu � olsun. Bu nedenle, sa� tarafa ilerleyen dalga

hareket hDzD hcu 10

1 =�

ve sol tarafa ilerleyen dalga hDzD ise hcu 20

2 =�

� ’dir. BasDnç

gradyentinden ötürü zorlanmD� dalga durumu göz önüne alDndD�Dnda ve 3� de�erinin süreklilik denklemi (8) içerisinde yerine yazDlDp zamana göre türevi alDnmasDyla

hVtxFVau )/(= 33 � �eklinde elde edilir. )(= 33 VtxFbu � �eklindeki ifade göz önüne alDnarak,

� �20

3 =Vgh

hPa�

��

(10)

olarak bulunur. )(= 33 VtxFbu � ve )(= 0 VtxFPP � ifadeleri momentum denklemine

yerle�tirilip, sDrasDyla t ve x’e göre türev alDnmasDyla VVtxPFVtxFgVau �� )()(= 33 �� elde

edilir. Benzer �ekilde, )(= 33 VtxFbu � ifadesi göz önüne alDndD�Dnda,

� �20

3 =VghVPb�

��

(11)

olarak bulunur.

3a de�eri, )(= 33 VtxFa �� ba�DntDsDnda yerine yazDlarak, )()/(= 203 VghVtxFhP �� elde

edilir. 1u ve 2u ise 1� ve 2� ’nin süreklilik denklemi içine yerle�tirilmesiyle elde edilir; htcxFcau )/(= 0011 � ve htcxFcau )/(= 0022 � . Ba�langDçta, t=0 anDnda yüzeyde hiçbir

dalgalanma olmadD�D ko�uluna gore, 0=321 uuu (12)

0=321 �� (13) e�itlikleri sa�lanmak zorundadDr. u1, u2, u3 ve 1, 2, 3 yerlerine yazDlDp t=0 alDnarak,

� �20

001 2

)(=VghcVchPa�

� (14)

� �20

002 2

)(=VghcVchPa��

� (15)

�eklinde elde edilir. Böylece, ifadeleri a�a�Ddaki gibi elde edilmi�tir:

� � )(2

)(= 020

001 tcxF

VghcVchP

��

�� (16)

� � )(2

)(= 020

002 tcxF

VghcVchP

��

�� (17)

� � )(= 20

3 VtxFVgh

hP�

��

� (18)

Örnek bir sayDsal uygulama ile analitik ifadeleri kDyaslamak için hareketli basDnç alanD � �� 2250=)( II �ExpF ve Vtx�=I �eklinde varsayDlmD�tDr. Hesaplamalarda, mh 20= ,

4905=0 �P , 2/9.81= smg ve 3/1000= mkg� olarak alDnmD�tDr. SayDsal çözüm bölgesinin uzunlu�u m20000 , �x= m20 ve zaman adDmD �t= s1 ’dir. Lineer sD� su dalgalarDnDn 50=t


770

ve s100 ’de yüzeyde 10=V m/s ve sm/18 hDzlarDnda ilerleyen basDnç alanlarD için yüzey dalgalanmalarD }ekil 2’de gösterilmektedir. AynD uygulama ayrDca �=1/5 olarak bir boyutlu Boussinesq denklemleri için de yapDlmD�tDr. }ekil 2 ve }ekil 3’ten görülece�i üzere analitik ve sayDsal çözümler, her iki durumda da birbiriyle oldukça uyumludur. }ekil 4’te, hareket eden basDncDn sDrasDyla V=5, 10, 15, 20 ve 25 m/s hDzlarD için hesaplanan serbest su yüzeyi de�erlerinin analitik ve sayDsal sonuçlarDndan 500 nokta kullanDlarak elde edilen ortalama hata yüzdeleri gösterilmektedir. Bu hDzlara kar�DlDk gelen, derinli�e ba�lD Froude sayDlarD sDrasDyla 0.4, 0.7, 1.1, 1.4 ve 1.8’dir. Hata de�erleri, t=50 s ve �=1/5 için Boussinesq denklemleri kullanDlarak yapDlan simülasyonlar için hesaplanmD�tDr.

�ekil 4. Derinli�e ba�l� farkl� Froude say�lar� için elde edilen analitik ve say�sal serbest su

yüzeyi de�erlerinin ortalama hata yüzdeleri Sonuçlar göstermektedir ki, Froude sayDsDnDn 1 oldu�u civarda, ba�Dl hata yüzdesi maksimum de�erini alDyor ve Froude sayDsDnDn 1’den farklD de�erlerinde ba�Dl hata yüzdesi azalmaktadDr.

(a) t= 50 s, V=10 m/s

(b) t=100 s, V=10 m/s

(c) t=50 s, V=18 m/s

(d) t=100 s, V=18 m/s

�ekil 2. Hareketli bir bas�nc�n olu�turdu�u lineer s�� su dalgalar�n�n t=50 s ve t=100 s için

say�sal ve analitik çözümlerinin kar��la�t�r�lmas�. Analitik: siyah, Say�sal: k�rm�z�


771

(a) t= 50 s, V=10 m/s

(b) t=100 s, V=10 m/s

(c) t=50 s, V=18 m/s

(d) t=100 s, V=18 m/s

�ekil 3. Hareketli bir bas�nc�n olu�turdu�u lineer s�� su dalgalar�n�n analitik çözümünün

t=50 s ve t=100 s için bir boyutlu Boussinesq çözümüyle (�=1/5) kar��la�t�r�lmas�. Analitik: siyah, Say�sal: k�rm�z�

�ki boyutlu say�sal çözümler ÇalD�manDn ikinci a�amasDnda, hareket eden basDnç alanDna ba�lD olarak olu�an dalgalarDn iki boyutlu (gerçekte 3 boyutlu) simülasyonlarD yapDlmD�tDr. Bu amaçla, öncelikle üç boyutlu bir yarDm küre �eklindeki bir basDnç alanD olu�turulmu�tur. Daha sonra, söz konusu basDnç alanD kullanDlarak yapDlan sayDsal simülasyonlardan farklD derinlik Froude sayDlarD için elde edilen giri� açDlarD ölçülmü� ve her bir açD Havelock’a ait teorik fomülasyonlarDn verdi�i de�erlerle kar�Dla�tDrDlmD�tDr. Son olarak, iki narin gövde �eklinde basDnç alanD yanyana getirilerek katamaran benzeri bir teknenin olu�turaca�D dalgalarDn birbiriyle olan etkile�imi gösterilmi�tir. Yar�mküre �eklindeki bas�nç alan�n�n zorlay�c� etkisi Simülasyon için kullanDlan yarDmküre �eklindeki basDnç alanD �u �ekilde ifade edilmi�tir:

2220 R p=y)p(x, yx �� (19)

Burada, p0 de�eri basDnç da�DlDmDnDn en yüksek de�eri olup, R ise yarDçaptDr. }ekil 5, kullanDlan basDnç alanDnD göstermektedir.

�ekil 5. Yar�mküre �eklindeki bas�nç da��l�m�n�n üç boyutlu gösterimi

Simülasyonlarda, R=40 m, p0 = 300 Pa, su derinli�i h = 10 m alDnmD� olup buna ba�lD hDz c =gh = 10 m/s’dir. Simülasyon alanD, 2400 m × 1200 m olup Hx = Hy = 4 m’dir. Zaman


772

aralD�D ise �t = 0.2 s’dir. x-momentum denkleminde px = �xp0=(R2 �x2 �y2)1/2 ve y-momentum denkleminde py = �yp0/(R2 �x2 �y2)1/2 �eklindedir. }ekil 6, derinlik Froude sayDsD, Fr = v/c = v/gh =1.1 için sDrasDyla t =10 s, 44 s ve 90 s’de gözlenen dalgalarDn kontür grafiklerini göstermektedir. Bu Froude sayDsDna kar�DlDk gelen basDnç alanDnDn ilerleme hDzD ise v = 1.1gh = 1.1c = 11 m/s’dir. Tablo 1 ve }ekil 7’den görülen, t= 90 s için simülasyonu yapDlan dalga alanDnDn 65° olarak ölçülen ilerleme açDsD, Havelock’un (1908) teorik sonucuyla oldukça uyumludur.

(a) t= 10 s, Fr=1.1

(b) t= 44 s, Fr=1.1

(c)t= 90 s, Fr=1.1

�ekil 6. Fr = 1.1 için Boussinesq modeli (� = 1/5 ) kullan�larak ilerleyen bir yar�mkürenin

olu�turdu�u dalgalar�n farkl� zamanlardaki dalga konturlar� Havelock (1908) belli hDzlarda ilerleyen bir yüzey basDncD nedeniyle olu�an dalga �ekillerini, kritik altD ve kritik üstü Froude sayDlarD için incelemi�tir. Nokta �eklindeki bir impulsun sonlu derinlikteki bir suda ilerlerken olu�an giri� açDsDnD Havelock �u �ekilde ifade etmi�tir: Fr Ì 1 için � � � �nn �� 3/18arccos#

Fr > 1 için parcsin�#

Burada, p = gh/v2 = c2/v2 = 1/Fr2’dir.

� �khkhm tanh

� ve � �khkhn2sinh

2� iken, kritik altD

aralDktaki belirli bir Froude sayDsD veya p de�eri için öncelikle kh, m(3 � n) = 2/p ba�DntDsDndan iterasyonla bulunur. � de�erini bulmak içinse, n de�erinin sayDsal de�eri, hesaplanmD� olan kh de�eri kullanDlarak bulunur. Kritik üstü aralDkta, p tek fonksiyon


773

olup, ba�ka bir hesaplamaya gerek yoktur. Tablo 1’de bunlara ba�lD olarak hesaplanan kama açDlarD sayDsal ve teorik olarak verilmi�tir. Tablo 1. Say�sal olarak elde edilen giri� aç�lar�n�n Havelock’un analitik sonuçlar�yla farkl�

derinlik Froude say�lar� için kar��la�t�r�lmas� Giri� aç�s�

Fr Boussinesq (SayDsal)

Havelock (Analitik)

Ba�Dl hata yüzdesi (%)

0.3 18.00 19.69 8.58 0.0 20.00 20.26 1.29 0.5 21.00 21.10 0.47 0.6 25.00 25.36 1.43 0.0 25.00 28.50 12.28 0.6 40.00 37.78 5.86 0.7 40.00 40.69 1.69 0.8 39.00 44.66 12.68 0.9 48.00 51.01 5.90 1.1 82.00 81.93 0.08 1.5 72.00 72.25 0.34 1.0 65.00 65.38 0.58 1.0 54.00 56.44 4.33 1.0 47.00 50.28 6.53 1.0 43.00 45.58 5.67 1.0 42.00 41.81 0.45 1.0 36.00 36.03 0.09 1.0 33.00 33.75 2.22 2.0 30.00 30.00 0.00

Kritik altD bölgede Froude sayDsD sDfDra yakla�tDkça, ba�Dl derinli�in (kh) arttD�D gözlemlenmektedir. Öte yandan, tüm kritik üstü aralDkta, kh de�eri sDfDrDn limit de�er oldu�u durumu kabul eder ve giri� açDsD hesaplamalarDnda etkisiz hale gelmektedir. Bundan ötürü, bir anlamda, dü�ük Froude sayDlarD, görece derin sularD temsil ederken, yüksek Froude sayDlarD, sD� sulara kar�DlDk gelmektedir. }ekil 7’de görüldü�ü üzere, Fr = 0 durumunda, derin sular için, Kelvin’in çok iyi bilinen giri� açDsD � = 19o28 elde edilmi�tir. }ekil 7’de, Havelock’un analitik formülleriyle hesaplanan giri� açDlarDyla, Boussinesq modelini kullanarak elde edilen grafiklerden ölçülen giri� açDlarD verilmi�tir. Buradaki Froude sayDsD � �ghvFr /� derinli�e ba�lD oldu�undan Fr = 0 durumu derin suya kar�DlDk gelir, �öyle ki 0Jv

�artDyla, su derinli�i h teorik olarak

sonsuzdur. DolayDsDyla }ekil 7’de Fr<1 derin su bölgesini temsil ederken, Fr>1 sD� su bölgesini temsil etmektedir. Boussinesq denklemleri genel olarak orta derinlikte ve sD� sulara uygulanabilir oldu�undan, Tablo 1’de görüldü�ü üzere, bu çalD�mada simülasyonlar için, kritik altD aralDk, Fr=0.63 ve Fr=0.99 arasDnda seçilmi�tir.


774

�ekil 7. Say�sal olarak elde edilen giri� aç�lar�yla, Havelock’un teorik formülasyonunun kar��la�t�r�lmas�

Son olarak, hareket eden bir katamaran benzeri cismi temsil eden iki narin gövdenin olu�turdu�u basDnç alanDnDn yarattD�D dalgalarD ve birbiriyle olan etkile�imini gösteren bir simülasyon yapDlmD�tDr. Simülasyonlardan elde edilen perspektif görünü�ler }ekil 8’de, Fr=0.97 iken t=9 s ve t=18 s için verilmi�tir.

(a) t = 9 s, Fr = 0.97

(b) t = 18 s, Fr = 0.97

�ekil 8. Katamaran benzeri bir tekneyi temsil eden, iki narin cismin bas�nç alan�n�n

ilerlemesiyle olu�an dalgalar�n perspektif görünü�leri Sonuçlar Boussinesq denklemleri genel olarak yakDn kDyD bölgelerindeki ya da orta derinlikteki dalgalarD modellemek için kullanDlmaktadDr. Bu uygulamalarDn dD�Dnda, ilerleyen bir cismin olu�turdu�u dalgalarD modellemek için de Boussinesq denklemleri kullanDlabilir. Bu çalD�mada, sabit ve ilerleyen yüzey basDnçlarD kullanDlarak sayDsal dalga modellemeleri yapDlmD�tDr. Öncelikle, uzun dalga denklemleri için Gauss tipinde basDnç da�DlDmD için analitik çözümleri sabit ve hareketli durumlar için ele alDnmD�tDr. Daha sonra aynD Gauss tipi basDnç dagDlDmD, Boussinesq modelinin çözebilece�i tüm modlar (uzun dalga, klasik ve geli�mi� Boussinesq) için sayDsal çözümlemelerde kullanDlarak analitik sonuçlarla kar�Dla�tDrDlmD�tDr. Ba�Dl hata yüzdesi grafi�i net bir �ekilde göstermektedir ki, tüm bu modlarda çalD�tDrDlan sayDsal program, belirlenen yüzey basDncD için do�ru bir �ekilde


775

çalD�makta ve sonuçlarD, analitik çözümlerle gayet iyi örtü�mektedir. Bunun yanD sDra, kritik Froude sayDsD civarDnda, ba�Dl hata yüzdesi artmakta fakat Froude sayDsD 1’i a�tDkça ba�Dl hata yüzdesi yine azalmaktadDr. Üç boyutlu simülasyonlar için ise Boussinesq denklemlerinde yarDmküre �eklindeki bir basDnç gradyanD kullanDlmD� ve ilerleyen bu basDnç alanDnDn olu�turdu�u dalga �ekillerinin farklD derinlik Froude sayDlarD için de�i�ik zaman aralDklarDnda simülasyonlarD yapDlmD�tDr. Havelock (1908)’un analitik sonuçlarD, hesaplanan giri� açDlarDyla kar�Dla�tDrDlmD�tDr. Bu kar�Dla�tDrmalar, özellikle ba�Dl derinli�in küçük oldu�u, kritik üstü Froude bölgesi için çok iyi sonuçlar vermektedir. Kritik altD Froude bölgesinde ortalama hata % 5.58 iken, kritik üstü Froude bölgesinde ortalama hata % 2.03’e dü�mektedir. Ortalama hata yüzdelerindeki bu fark, büyük ihtimalle Boussinesq denklemlerinin su derinli�ine ba�lD kDsDtlayDcDlD�Dndan ileri gelmektedir. Daha önce belirtildi�i üzere, kritik altD bölge, görece daha derin sularD temsil etmekte ve Froude sayDsDnDn sDfDra e�it oldu�u durum ise, tamamen derin suya kar�DlDk gelmektedir. SayDsal modelin, kritik altD bölgede görece daha kötü sonuç vermesi, olu�an dalgalarDn derin su özelliklerine ba�lanabilir. Son olarak, iki narin gövde tipi basDnç alanD, katamaran benzeri bir teknenin yarattD�D dalgalarD modellemek üzere kullanDlmD�tDr. Kaynaklar Beji, S. and Nadaoka, K. A. (1996). Formal derivation and numerical modelling of the

improved boussinesq equations for varying depth, Ocean Engineering, 23, 691-704. Boussinesq, J.V. (1872). Theory of waves and surges which propagate the length of a

horizontal rectangular canal, imparting to the fluid contained within the canal velocities that are sensibly the same from the top to the bottom, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 17, 55–108.

Engquist, B. and Majda, A. (1977). Absorbing boundary conditions for the numerical simulations of waves, Mathematics of Computation, 31, 139, 629-651.

Havelock, T., (1908). The propagation of groups of waves in dispersive media with application to waves on water produced by a travelling disturbance, Proceedings of the Royal Society of London, 81(549), 398–430.

Liu, P.L.F and Wu, T.R. (2004). Waves generated by moving pressure disturbances in rectangular and trapezoidal channels, Journal of Hydraulic Research, 42, 163-171.

Lynett, P., Wu, T.-R., and Liu, P. L.-F. (2002). Modeling wave runup with depth-integrated equations, Coastal Engineering, 46, 89-107.

Madsen, P. A., Murray, R. and Sørensen, O. R. (1991). A new form of the boussineq equations with improved linear dispersion characteristics, Coastal Engineering, 15, 371-388.

Madsen, P. A. and Sørensen, O. R. (1992). A new form of the boussineq equations with improved linear dispersion characteristics part 2, Coastal Engineering,18, 183-204.

Mei, C.C. and LeMehaute, B. (1966). Note on the equations of long waves over an uneven bottom, Journal of Geophysical Research, 71, 393-400.

Nwogu, O. (1993). Alternative form of boussinesq equations for nearshore wave propagation, Journal of Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering. 119, 618-638.

O’Brien, J.J. and Hurlburt, H.E. (1972). A numerical model of coastal up-welling, Journal of Physical Oceanography, 2, 14-26.

Peregrine, D. H. (1967). Long waves on a beach, Journal of Fluid Mechanics, 27, 815-827. Torsvik, T., Pedersen, G. and Dysthe, K. (2009). Waves generated by a pressure

disturbance moving in a channel with a variable cross- sectional topography, Journal of Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering, 135, 120-123.


776

Documents

HAREKET EDEN BR BASINÇ ALANININ OLUTURDUU DALGALARIN ... · Gelimi dispersiyon karakteristikli Boussinesq denklemleri Bu çalmada Beji ve Nadaoka (1996) tarafndan türetilen Boussinesq