Upload
roden
View
49
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Határozott integrál. Összegek, területek, térfogatok. Területszámítás. Görbe vonal által határolt terület kiszámítása. A terület felosztása: minden résznek csak az egyik határoló vonala görbe vonalú. Görbe vonalú trapéz. Görbe vonalú trapéz. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Határozott integrál
Összegek, területek, térfogatok
1
Területszámítás
• Görbe vonal által határolt terület kiszámítása.
• A terület felosztása: minden résznek csak az egyik határoló vonala görbe vonalú.
• Görbe vonalú trapéz.
2
Görbe vonalú trapéz
• A görbe vonalat az y=f(x) függvény grafikonjának tekinthetjük.
• Keressük az y=f(x) grafikonja és az x-tengely közötti rész területét.
3
A görbe vonalú trapéz területe
• Téglalapokkal közelítjük a keresett területet.
• Az [a,b] szakaszt felosztjuk az a=x0, x1,..., xn=b pontok segítségével.
• Az így kapott téglalapok magasságai az xk pontokban vett függvényértékek: f(xk).
ΔTk
)()( 1 kkkk xfxxT
kkk xxfT )(
A görbe vonalú trapéz területe
Az osztópontok n számának növelésével pontosabb eredményt kapunk.
43210 TTTTTT
4433221100 )()()()()( xxfxxfxxfxxfxxfT
1
0
)(n
kkk xxfT
1
0
)(n
kkk xxfT
1
0
)(limn
kkk
nxxfT
1
0
)(limn
kkk
nxxfT
Példa
• Az y=x2 függvény alatti terület a [0,1] intervallumon.
• Osztópontok:
1,4
3,
2
1,
4
1,0
xk Δxk f(xk) f(xk)·Δxk
0 0,25 0 0
0,25 0,25 0,0625 0,015625
0,5 0,25 0,25 0,0625
0,75 0,25 0,5625 0,140625
1 - 1
0,21875T
1
0
)(n
kkk xxfT
1
0
)(n
kkk xxfT
A határozott integrál
Az f függvény [a,b] intervallumon értelmezett határozott integrálja az
összeg, ahol az xk osztópontokat az intervallum pontjai közül választottuk úgy, hogy a köztük levő távolság n növelésével zérushoz közelít.
n
kkk
n
b
a
xxfxxf0
)(limd)(
A határozott integrál jele
b
a
xxf d)(b
a
xxf d)(
Felső határ
Alsó határ
Integráljel
Integrandus
Integrálási változó
Az integrálási változó
• A függvény egy adott intervallumon vett határozott integráljának értéke a függvénytől függ, nem attól, hogy milyen betűvel jelöljük a független változóját.
• Ha a t vagy u betűt jobban kedveljük, mint az x-et, nyugodtan írhatjuk
b
a
xxf d)( b
a
ttf d)( b
a
uuf d)(helyett vagy
Geometriai értelmezés
• Az y=f(x) pozitív függvény [a,b] intervallumon vett határozott integrálja egyenlő az adott intervallumon vett görbe vonalú trapéz területével.
b
a
xxf d)(
Példa• Ábrázoljuk az integrálandó függvényt, és
számítsuk ki az integrál értékét területszámítással:
3
1
d)22( xx
42
42
2
hat
4d)22(3
1
xx
Példa• Ábrázoljuk az integrálandó függvényt, és számítsuk
ki az integrál értékét területszámítással:
4
1
d)3( xx
hba
t2
2
45d)3(
4
1
xx
5,222
455
2
27
A határozott integrál tulajdonságai
• Az állandó szorzótényező kiemelhető az integrál elé:
b
a
b
a
xxfcxxfc d)(d)(
A határozott integrál tulajdonságai
• Az összeg, különbség tagonként integrálható:
b
a
b
a
b
a
xxgxxfxxgxf d)(d)(d)()(
+
Példa
5d)(1
1
xxf 7d)(1
1
xxg
1
1
d)(3)(2 xxgxf
1
1
1
1
d)(3d)(2 xxgxxf 317352
A határozott integrál tulajdonságai
• Az integrálás határait feloszthatjuk:
c
a
c
b
b
a
xxfxxfxxf d)(d)(d)(
Példa
5d)(1
1
xxf 2d)(4
1
xxf
4
1
d)( xxf
4
1
1
1
d)(d)( xxfxxf 3)2(5
A határozott integrál tulajdonságai
• Ha a-tól a-ig integrálunk, az eredmény 0:
0d)( a
a
xxf
A határozott integrál tulajdonságai
• Az integrálás határait felcserélve, az integrál előjelet vált.
0d)( a
a
xxf
b
a
a
b
xxfxxf d)(d)(
0d)(d)( a
b
b
a
xxfxxf
Példa
2d)(4
1
xxf
1
4
d)( xxf 4
1
d)( xxf 2)2(
A határozott integrál tulajdonságai
• Ha az [a,b] intervallumban az f(x) függvény folytonos és integrálható, akkor van legalább egy olyan x0 az intervallumban, hogy:
abxfxxfb
a
)(d)( 0
A határozott integrál tulajdonságai
• Ha az [a,b] intervallumban az f(x) függvény maximuma M, és minimuma m, akkor:
Mabxxfmabb
a
d)()(
Példa
• Igazoljuk az egyenlőtlenséget: 2dcos11
0
xx
A [0,1] intervallumon
10coscos1cos x
211cos11cos1 x
201dcos11cos1)01(1
0
xx
2dcos11
0
xx
y=cosx
A Newton-Leibniz tétel
• Ha F(x) az f(x) függvény primitív függvénye az [a,b] intervallumon akkor:
)()(d)( aFbFxxfb
a
)()(d)( aFbFxxfb
a
Példa
1
0
2 d xx 1
0
3
3
x
3
0
3
1 33
3
1
3
6
dsin
xx 3
6
cos
x 63
coscos 2
3
2
1366,0
2
13
Feladatok
0
2
d)52( xx 6
4
3
d)2
5( xx
4
133
4
0
3d)
43( x
xx 8
2
2
3 d)32( xxx 12
1
0
2 d)( xxx 1
4
0
3 d xx5
412
32
15 6
d1
xx 2
12
1
22
d2
xx
1
Helyettesítés a határozott integrálnál
• Új változó bevezetésekor ügyelni kell arra, hogy az integrálás határai is megváltozhatnak!
2
1
4 d)32( xx
12
112
dd
dd2
32
tx
tx
tx
tx
tx
1
1
4
2
d tt
1
1
5
52
1 t5
1))1(1(
10
1 55
Parciális integrálás
b
a
b
a
ba uvvuvu dd
b
a
b
a
ba uvvuvu dd
1
0
d xxex
x
x
evxu
xevxu
dd
dd 1
0
1
0d xexe xx
1
0
01 01 xeee 1001 eeee
Területszámítás integrállal
• Számítsuk ki a függvény grafikonja, az x tengely, az x=1 és az x=4 egyenesek által határolt síkrész területét.
xy
xxt d4
1
4
1
3
3
2x
33 14
3
2t
3
24
3
14
Területszámítás integrállal
• Számítsuk ki a függvény grafikonja, az x tengely, az x=1 és az x=2 egyenesek által határolt síkrész területét.
22 xxy
xxx d22
1
2
6
11
6
11 t
6
11
6
7
Területszámítás integrállal
• Számítsuk ki a függvény grafikonja, az x tengely, az x=1 és az x=4 egyenesek által határolt síkrész területét.
22 xxy
xxxxxxt d2d24
2
22
1
2
6
59
6
59t
Területszámítás integrállal
• Számítsuk ki a két függvény grafikonja által határolt terület nagyságát:
1. A grafikonok metszéspontjainak meghatározása – integrálási határok.
2. A grafikonok felrajzolása, a keresett terület azonosítása.
3. Az integrálok kiszámítása.
2xy xy
Területszámítás integrállalA grafikonok metszéspontjainak meghatározása –
integrálási határok:
2xy xy
xx 2
xx 4 04 xx
0)1( 3 xx
01 x 12 xA grafikon felrajzolása
Területszámítás integrállal
Az integrálok kiszámítása:
1
0
21
0
dd xxxxT
1
0
2 d xxx
Felső határoló
görbe
Alsó határoló
görbe
3
1
33
21
0
33
xxT
A forgástestek térfogata
• Az y=f(x) folytonos függvény grafikonjának x=a és x=b közötti részének x tengely körüli forgatásával egy forgástestet kapunk.
A forgástestek térfogata
12
112
102
0 )(...)()( nn xxfxxfxxfV
12
112
102
0 )(...)()( nn xxfxxfxxfV
b
a
xxfV d)( 2 b
a
xxfV d)( 2
A gömb térfogata222 ryx 222 xry
r
r
xyV d2
r
r
xxr d)( 22
r
r
xxrV
3
32
3
3
4rV
A görbe ívhossza
• A görbét a P0, P1,...,Pn pontok segítségével részekre osztjuk.
• A görbe vonalat a pontokon át húzott húrokkal helyettesítjük
nn PPPPPPL 12110
110 nLLLL
A görbe ívhossza
• A k-adik húr hossza (Pitagorasz-tétel):222kkk yxL
2
222 1
k
kkk
x
yxL
2
1
k
kkk x
yxL
A görbe ívhossza110 nLLLL
2
1
11
2
1
11
2
0
00 111
n
nn x
yx
x
yx
x
yxL
)(lim0
xfx
y
x
2112
112
00 )(1)(1)(1 nn xfxxfxxfxL
xxfLb
a
d)(1 20 xxfL
b
a
d)(1 20
A kör kerülete• A félkörív hossza:
22)( xrxf 22
)(xr
xxf
22
22)(
xr
xxf
22
22 1)(1
xr
xxf
22
2
xr
r
r
r
r
r xr
xrxxfL
22
2 dd)(1 r rk 2
Vége!!!