He Phuong Trinh Co Cau Truc Dac Biet

8/17/2019 He Phuong Trinh Co Cau Truc Dac Biet

1/14

Bài số 3. HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆTTrong những năm gần đây , đề thi đại học về Hệ phương trình đại số thường hay radạng hệ có cấu trúc khá đặc biệt . Vì vậy cho nên ta phải ngiên cứu cách giải chúng .Thông thường ta có một số phương pháp sau

I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNGLà phương pháp chủ yếu dùng kỹ năng biến đổi hai phương trình của hệ đưa về các phương trình đơn giản có thể rút x theo y hoặc ngược lại để thế vào phương trình

khác của hệ . Ta xét một số ví dụ sau1. Loại 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất theo ẩn x hoặc theo ẩn y. Khi đóta rút x theo y hoặc y theo x thay vào phương trình còn lại .

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình :

2 2

2

1 1 3 4 1 1

1 2

x y x y x x

xy y x

GiảiTa thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình (2) cho nên từ phương trình (2)ta có : 21 1 1 1 y x x y x y x thay vào phương trình (1) ta có :

2 2 3 23 4 1 1 2 2 1 1 3 1 x x x x x x x x x x x x 3 2 21 2 2 4 0 1 2 0 0; 1; 2 x x x x x x x x x x x


2 5

3 4

x y xy x y xy

x y xy x y xy

GiảiTa có x=y=0 là một nghiệm của hệ . Các cặp số (x;y) với 0, 0; 0, 0 x y x y khônglà nghiệm của hệ .

Xét 0 xy chia hai vế phương trình cho 0 xy ta được :

1 12 5

1 13 4

x y

x y x y

x y

Suy ra : 5 2 4 3 2 1(*) x y y x x y thay vào phương trình thứ hai ta có :2y-1+y+y(2y-1)(5y-3)=4(2y-1)y

2 2 3 2 23 1 10 11 3 8 4 10 19 10 1 0 1 10 9 1 0 y y y y y y y y y y y y

9 41 9 411; ;

20 20 y y y

Đáp số : (x;y)= 9 41 41 1 9 41 41 1

1;1 , ; ; ;

20 10 20 10

2. Loại 2. Một phương trình của hệ đưa về dạng tích của hai phương trình bậcnhất hai ẩn . Khi đó ta dưa về giải hai hệ tương đương .


2 22 1

2 1 2 2 2

xy x y x y

x y y x x y

Giải


2/14

Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT

ST -Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ ĐT: 0240.3833608Trang 2

Điều kiện : 0, 1 x y

Phương trình (1) 2 1 02 1

x y x y x y

x y

Ta thay làn lượt từng trường hợp một vào phương trình (2) .Giải ra kết quả

Ví dụ 2. ( ĐH-KA-2011) . Giải hệ phương trình sau :

5 2 3

22 2

5 4 3 2 0 1

2 2

x y xy y x y

xy y x y

Hướng dẫnTừ (2) ta có : 2 2 2 21 2 0 1 2 xy x y xy x y

xy=1; từ (1) suy ra : 4 22 1 0 1 y y y . Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;1),(-1;-1).

Với : 2 2 2 2 2 22 1 3 4 2 2 0 x y y x y xy x y x y

2 26 4 2 2 0 y xy x y x y

1 2 0 1 2 xy y x xy x y

Xét : xy=1 . Đã giải ở trên

Với : x=2y , thay vào 2 22 10 10 2 10 10

2 ; ; , ;5 5 5 5

x y x y

Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(1;1),(-1;-1), 2 10 10 2 10 10; , ;5 5 5 5

Ví dụ 3. Giải hệ sau :

2 21 1

1 2

x y x y x y

x y

GiảiĐiều kiện : 0; 0 x y .

(1) 1 1 0 x y x y . Suy ra hệ trở thành :

1; 010

11 ; 1;0 ; 0;1

11

10

x y x y x

x y y x y

x y x

x y y


33 1

3 2

y x y x

x

x y x x

GiảiĐiều kiện : x>0; 3 y .

Ta có : 3 3

13

y y

x x y

. Suy ra :

Với y=3 ; ta có : 2 3 0 3 x x ( loại )


3/14



Với 3 y ta có :3

3 3 83

x y x x x x x y x x y

x y x x

. Vậy

hệ có nghiệm : (x;y)=(1;8 )* Chú ý : Trong một số bài toán đôi khi ta phải cộng hoặc trừ hai phương trình của hệsau đó mới xuất hiện phương trình dạng tích .

Ví dụ 5. Giải hệ phương trình sau :

4 4 2 2

2 2

6 41

10

x y x y

xy x y

Hướng dẫn :Ta sử dụng hằng đẳng thức :

4 4 4 2 2 2 24 6 x y x y xy x y x y

Hệ đã cho

4 4 2 2

2 2

6 41

4 40

x y x y

xy x y

. Ta cộng vế với vế hai phương trình ta được :

44 4 2 2 2 24 6 81 81 3 x y xy x y x y x y x

Hệ đã cho

2 2

2 2

3 3

10 9 2 10

3 3

9 2 1010

x y x y

xy x y xy xy

x y x y

xy xy xy x y

. Học sinh giải tiếp .

Ví dụ 6. ( ĐH-KD-2008 ) .Giải hệ phương trình sau :2 22

2 1 2 2

xy x y x y

x y y x x y

Hướng dẫn

Hệ viết lại : 0 2 1 0

2 1 2 2 2 1 2 2

y x y x y x y x y x y y x

x y y x x y x y y x x y

.

Học sinh giải tiếp . Đáp số : (x;y)=(5;2)

Loại 3: Một phương trình của hệ là phương trình bậc hai theo một ẩn chẳng hạn x làẩn . Khi đó ta coi y là tham số .

Ví dụ 1. Giải hệ sau ;

2

2 2

5 4 4 1

5 4 16 8 16 0 2

y x x

x y xy x y

Hướng dẫn :Coi phương trình (2) là phương trình theo ẩn y ta có : 2 24 2 5 16 16 0 y x y x x

Giải theo y ta có :5 4

4

y x

y x

. Thay lần lượt hai trường hợp vào phương trình (1) ta sẽ

tìm được nghiệm của hệ .

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau :2

2

2 2 5

5 7

x xy y

y xy x

.

Hướng dẫn :Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta có : 2 22 5 2 0 x y xy y x


4/14



2 21

2 5 2 0 22

y x

x y x y y x y

. Thay từng trường hợp một vào phương

trình (1) ta tìm được nghiệm của hệ .

II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ .

* Quan trọng là học sinh phải nhanh trí phát hiện ra ẩn phụ : u=f(x;y) và v=g(x;y)trong hai phương trình của hệ , hoặc sau khi biến đổi để phát hiện ra u và v.Thông thường phép biến đổi xoay quanh việc cộng , trừ hai phương trình hoặc chiacác vế phương trình cho một số hạng khác không có sẵn trong các phương trình củahệ để tìm ra những phần chung mà sau đó ta đặt ẩn phụ .Việc phát hiện ẩn phụ nhanh hay chậm phụ thuộc vào kỹ năng biến đổi cũng như kỹnăng nhìn của từng học sinh một .


2

2

1 4 1

1 2 2

x y x y y

x y x y

Hướng dẫn :Ta thấy : y=0 không là nghiệm của hệ . Chia hai vế phương trình (1) và (2) cho y ta

có hệ :

2

2

14

12 1

x x y

y

x x y

y

. Đặt :2 21

; 2. 1

u v xu v x y

u v y

Giải hệ trên suy ra u,v sau đó tìm được x,y .

Ví dụ 2. ( SPIHN-KA-2000). Giải hệ phương trình

2 2

2 2 2

6 1

1 5 2

y xy x

x y x

Hướng dẫn Nhận xét : x=0 không là nghiệm của hệ ( vì phương trình (2) vô nghiệm )Chia hai vế của hai phương trình của hệ cho 2 0 x . Khi đó hệ đã cho trở thành :

2 22 2

1 16 6

1 15 5

y y y y y

x x x x x

y y x x

.

Đặt :

32 26 61

; ;5 6 05

uy u y spu s u y p uy

x s su y

Học sinh giải tiếp : Đáp số (x;y)=(1;2),(1/2;1)


2 2

2

34 4 7

12 3

xy x y x y

x x y

Hướng dẫn :Điều kiện : 0 x y


5/14



Khi đó hệ trở thảnh :

2 2

2

33 7

13

x y x y x y

x y x y x y

. Đặt : 1 ;u x y v x y x y

Hệ khi đó :2 23 13

3

u v

u v

. Học sinh giải tiếp tìm u,v sau đó tìm x,y .


2

4 2 2 2 2 2

1 6 2 1

2 1 12 1 2

x y y

x y x y y x y

Giải :Điều kiện : 0; 1 y y

Khi đó : 2 2 2 24 4 9 1

1 1 6 2 2 ; 31 1

y y x y y y y x x

y y

.

Thay vào (2) , ta có : 4 2 2 2 2 2 2 2 26 2 12 1 2 3 1 0 x y x y y y y y x x y y

2

22 2

1 214 1 9 11 14 9 1 1 01

3

y x y y y y y y y y y x y

Ví dụ 5.( AN-98). Giải hệ phương trình sau :

2 2 2 2

11 18

11 208

x y xy

x y x y

Giải :

Hệ đã cho viết lại : 2 22 2

1 118

1 1208

x y x y

x y x y

Đặt :2 2

14

4 114

1418 181 1;

56212 14 114

41

4

x x

u y

v yu v u vu x v y

uv x y u v u x

xv

y y

2

2

2

2

2 34 1 0

14 1 0 7 4 3; 2 3;7 4 3 ; 2 3;7 4 3 ....

14 1 0 2 3

4 1 0 7 4 3

x x x

y y y x y

x x y

y y x


6/14




2 2

2 22 2

15

85

x y x y

y x

x y x y

y x

Giải :

Điều kiện : 0, 0 x y . Đặt : ; 2 x y

u v x y u y x .

Khi đó ta có : 2 2 2 2 2

22 2 2 22 2

2; 2 2 ;2

x y x y vu x y x y xy v xy u xy

y x xy u

Hệ 2

15

152 85

2

uv

vu

u

. Học sinh giải tiếp tìm được u,v sau đó suy ra x,y .


11 5

1 4

x y xy

xy xy

Hướng dẫn :

Điều kiện : 0 xy . Đặt :

2

351 1;

6 3

2

u

vu vu x v y

uv x y u

v


Ví dụ 8. Giải hệ :

2

2

2 4

1 13

x y y x xy

x

x xy y

Hướng dẫn :Điều kiện : 0, 0 x y . Chia hai vế phương trình (1) cho xy , thêm 1 vào hai vế của

phương trình (2) và nhóm chuyển về dạng tích

1 1 14

1 1 14

x x x y

x x x y

Đặt :41 1 1

; 44

u vu x v u v

uv x x y


Ví dụ 9 . Giải hệ phương trình sau : 2

2 3 1 14

3 9

x x y x

x x y

Hướng dẫn


7/14



Hệ viết lại :

2

2

2 2

1 32 2; 1

2 3 14 2 3 7 1 29 1 29;

2 3 9 7 2 22 3 2 1 29 1 29

;2 2

x y x x x y

x x x y x y x y

x x x y x x

x y x y


2 2 23 3 9 10 3 0

13 6

3

x y x y x y

x y x y

Hướng dẫnĐiều kiện : 3 0 3 x y y x . Chia hai vế phương trình (1) cho 3 0 x y . Khi đóPhương trình (1) của hệ trở thành :

23 3 3 3

3 10 0 5 2

3 3 3 3

x y x y x y x y

x y x y x y x y

. Khi đó

* Trường hợp 1:

35 3 2 1; 2

31 1 231 ;

3 6 3 5 53

x y x y x y

x y

x y x y x y

x y

Trường hợp 2:

3 3 113 3 112 3 2 ;3 12 41

21 3 3 113 113 6 3 ;32 4

x y x y x y x y

x y x y x y x y

Ví dụ 11. (ĐH-KD-2009 ). Giải hệ :

2

2

1 35

1 0

x x y

x y x

Hướng dẫn :Điều kiện : 0 x . Chia hai vế phương trình (1) cho 0 x , thì (1) trở thành :

3 31 0 1 x y x y

x x . Thế vào phương trình (2) của hệ thì (2) trở thành :

2

2 2

11; 11

13 5 4 6 31 1 0 2 0 ; 1;1 , 2;3

1 1 2 22;22

x y x x x y x x x x x x y

x

Ví dụ 12. ( ĐH-KB-2009 ). Giải hệ sau :2 2 2

1 7

1 13

xy x y

x y xy y

Hướng dẫn Nhận xét : y=0 không là nghiệm vì (1) vô lý , cho nên ta chia hai vế phương trình (1)và (2) của hệ cho 20; 0 y y . Khi đó hệ trở thành :


8/14



2

22

2

11 17 37 51 1

20 01 1113 413 4

x x x x x y y y y y

x x x y y x x x x y y y y y

2

2

121

12 5 1 0 1; 1; 1; , 3;1333 3; 1

3 4 1 0

x y

y y x y x y x y x y

y y

Ví dụ 13. ( ĐH-KA-2008 ). Giải hệ :

2 3 2

4 2

5

45

1 24

x y x y x y xy

x y xy x

Hướng dẫn :

Hệ viết lại :

2 2

222 2

5 5

4 4 ;5 5

4 4

x y xy x y xy u v uv

u x y v xy x y xy u v

Học sinh giải tiếp ta được :

2

3 32

0 0

5 54 4 3 25 3

..... ; ; , 1;1 1 4 16 22 23 32 2

u x y

v xy

x yu x y

v xy

Ví dụ 14. ( ĐH-KB-2008 ). Giải hệ :4 3 2 2

2

2 2 9

2 6 6

x x y x y x

x xy x

Hướng dẫn :

Hệ viết lại :

2222

22

2 9(3)2 9

6 62 6 6 (4)2

x xy x x x y x

x x x xy x xy

. Thay (4) vào (3) rút gọn ta có :

4 3 2

33 2

00 012 48 64 0

412 48 64 0 4 0

x x x x x x x

x x x x x

Học sinh giải tiếp . Đáp số nghiệm hệ : (x;y)= 174;4

Ví dụ 15. ( ĐH-KA-2003 ). Giải hệ :3

1 1

2 1

x y x y

y x

Hướng dẫnĐiều kiện : , 0 x y


9/14



Từ (1) của hệ : 01 1 1

0 1 01

x y x y x y

xy x y xy

Nếu : x=y , thay vào (2) của hệ : 2 2 1 0 1 ; 1;1 x x x x y

Nếu xy=-1 , thay vào (2) của hệ :2 2

4 2 1 1 32 0 02 2 2

x x x x

.

Phương trình này vô nghiệm . Do đó hệ vô nghiệm .

III. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Loại 1. Một phương trình của hệ có dạng : f(x)=f(y). Một phương trình cho ta biếttập giá trị của x hoặc y . Từ đó suy ra hàm số f(x) đơn điệu suy ra x=y .


3 3

8 8

5 5 1

1 2

x x y y

x y

Hướng dẫn :Từ (2) suy ra : , 1 x y .

Từ (1) ta xét hàm số : f(t)= 3 25 '( ) 3 5 0 1;1t t f t t t

Do vậy f(t) là một hàm số nghịch biến . Vậy để có (1) chỉ xảy ra khi x=y .

Khi đó (2) trở thành : 88 8 8 8 8

1 1 1 1 1 1; ; ; ;

2 2 2 2 2 2 x x x y

Ví dụ 2.( Ngoại thương -2000) . Giải hệ phương trình :3 3

6 6

3 3

1

x x y y

x y

Hướng dẫn :Học hinh giải ví dụ 1 , từ đó suy ra cách giải ví dụ 2.

Loại 2. Hệ đối xứng mà sau khi biến đổi thường đưa về dạng f(x)=f(y) hoặc f(x)=o.Trong đó f là một hàm số đơn điệu .

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau :2 1

2 1

2 2 3 1

2 2 3 1

y

x

x x x

y y y

Hướng dẫn giải

Đặt u=x-1;v=y-1 khi đó hệ có dạng :2

2

1 3

1 3

v

u

u u

v v

Trừ hai phương trình vế với vế ta có phương trình : 2 21 3 1 3u vu u v v (*)

Xét hàm số : 22

( ) 1 3 '( ) 1 3 ln 3 01

u uu f u u u f uu

. Hàm số đồng biến .

Để có (*) thì chỉ xảy ra khi u=v.Thay vào (1)

2 2 21 3 ln 1 ln 3 ( ) ln 1 ln 3uu u u u u f u u u u


10/14



2

2 2

111'( ) ln 3 ln 3 0

1 1

u

u f u uu u u

. Chứng tỏ hàm số nghịch biến . Nhưng

ta lại có f(0)=0 vì vậy phương trình có nghiệm u=0 và v=0 .Do đó hệ có nghiệm duynhất : x=y=0.

Ví dụ 2. ( ĐH-KA-2010 ) .Giải hệ phương trình sau :

2

2 2

4 1 3 5 2 0

4 2 3 4 7

x x y y

x y x

Hướng dẫn

Điều kiện : 3 5,4 2

x y . Đặt : 21

5 2 52

t y y t , thay vào (1)của hệ ta có :

23 3 354 3 8 2

2

t x x t x x t t

.

Xét hàm số : 3 2( ) '( ) 3 1 0 ( ) f x x x f x x x f x đồng biến cho nên vế trái

chẳng qua là khi t=2x . Do đó :25 4

5 2 22

x y x y

. Thay vào phương trình (2)

của hệ ta được :22

2 5 4 3( ) 4 2 3 4 0 0;2 4 x g x x x x

Dễ thấy x=0 và x=3/4 không là nghiệm .

Ta xét : 2 25 4 4 3

'( ) 8 8 2 4 4 3 0 0;2 43 4 3 4

g x x x x x x x x x

,

với : 1 1( ) 0 ; 02 2

g x y là nghiệm của hệ


5 4 10 6

2

1

4 5 8 6 2

x xy y y

x y

Hướng dẫn

Điều kiện : 45

x . Chia cả hai vế của phương trình (1) cho 5 0 y

5

5 x x y y y y

. Hàm số : 5 4( ) ; '( ) 5 1 0 f t t t f t t t R .

Chứng tỏ f(t) đồng biến . Cho nên để có (*) thì chỉ xảy ra khi 2 x y x y y

Thay vào phương trình (2) ta được : 4 5 8 6 1 x x x Vậy hệ có nghiệm là : (x;y)=(1;-1)

IV. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

Với phương pháp này học sinh cần quan sát nắm chắc các biểu thức không âm tronghệ để có thể vận dụng các bất đẳng thức Cô si để đánh giá .


11/14




2

3 2

2

23

2

2 92

2 9

xy x x y

x x xy

y y x y y

Hướng dẫnCộng hai vế phương trình của hệ vế với vế ta có :

2 2

3 2 23

2 2

2 9 2 9

xy xy x y x x y y

. Ta có : x=y=0 là một nghiệm của hệ .

Ta có : 23 2 32 9 1 8 2 2 x x x VT xy xy xy . Khi đó : 2 2 2VP x y xy .

Cho nên dấu bằng chỉ xảy ra khi : x=y=1. Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(o;0);(1;1)

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau :3

3

3 4

2 6 2

y x x

x y y

Hướng dẫn

Hệ đã cho

2

2

2 1 2 1

2 2 1 2 2

y x x

x y y

Nếu y>2 từ (1)suy ra x


12/14



c.

22 2

2 2

192001

7

x xy y x y HH

x xy y x y

d. 2

2

32

20013

2

x y x

TL y x

y

Bài 2. Giải các hệ phương trình sau :

a.

2 3 2

4 2

5

4 20085

1 24

x y x y xy xy

KA x y xy x

b. 2 2 21 7 081 13 xy x y KB x y xy y


a.4 3 2 2

3 2

1

1

x x y x y

x y x xy

b.

4 3 2 2

2

2 2 908

2 6 6

x x y x y xCD KB

x xy x

c.2 2

12 2 x y x x y y x

x y

d.

2

2

1

22 2

32 2

2

2 2 4 1 0

x y x xy

x y x x y x


a.3 3 3

2 2

1 19

6

x y x

y xy x

b.

3 2

2 2

2 12 0

8 12

x xy y

y x

c.

2 2 2 2

11 5

11 49

x y xy

x y x y

d.2 2

2 2

2 5 2 1 0

4 12 12 10 0

x xy y x y

x y xy x y


a.

2 2

12 20 0ln 1 ln 1 x xy y

x y x y

b.

3 2 3

2

3 3 2

2 1log log 3

1 2 y x

x x y y

x y x

y x

c.

2 3 4 6

2

2 2

2 1 1

x y y x x

x y x

d.

2 6 2

2 3 2

x y x y

y

x x y x y

Bài 6. Giải các hệ phương trình sau

a.2 2

2

21

xy x y

x y

x y x y

b.2 2

2 2

48

24

y x y

x y x y

c.2 2

2 3 4 6

4 4 12 3

xy x y

x y x y

d.

2

22

2 2 0

y x y

x

xy y x

Bài 7. Giải các hệ phương trình sau

a.2 2

2

2 2 1 2

2 2 1 6

x y x y

y x y xy

b.

2 2 4 2

2

1 3

2

x y y y

xy x y


13/14



c.

2

2 2 22

2

13

x y y

x x y x

d.3

3

3

y x y x

x

x y x x


a.

2 21

1

x y y x y

x y

b.

2 22

34 4 7

12 3

xy x y x y

x x y

c.

2

2

2 4

1 13

x y y x xy

x

x xy y

d.

2

3 2

2

23

2

2 92

2 9

xy x x y

x x xy

y y x y y


a.

2 5

3 4

x y xy x y xy

x y xy x y xy

b.

4 4 2 2

2 2

6 41

10

x y x y

xy x y

c.

2 2

2 2

1 4

2 1 7

x y xy y

y x y x y

d.

3 3

2 2

4 16

1 5 1

x y y x

y x


a.2 2 2 2

2 2

1 2

1

x y x y xy

x x y xy y xy

b.

2 2

2

2 2 8 6 0

4 1 0

x y x y

x xy y x

c.2 2

3 3

3

2 2

x xy y

x y y x

d.

2 2

3 3 2 2 2

2 3

2 6 5 3

x y x

x y x x y


a.

2 2

5 5

3 3

3

31

7

x y xy

x y

x y

b.

22 3

2

4 1 4 8 1

40 14 1

y x x x

x x y x

c.

2 2

2 2

1 4

2 1 7

x y xy y

y x y x y

d.

2 3 4 6

22 1 1

x y y x x

x y x


a.2 2

sinx

siny 0;4

3 8 3 1 6 2 2 1 8

x ye x

x y y y

b.2 2

4 4 2 2

5

6 20 81

x y

x y x y xy

c.

13 1 2

17 1 4 2

x x y

y x y

d. 2

2 2

4 3 5 2 0

4 2 3 4 7

x x x y y

x y x

Trong bài viết này có sử dụng một số tư liệu của các thày : Nguyễn Trung Kiên ,thày: Phạm văn Hùng . Tôi xin chân thành cảm ơn các thày .


14/14



Documents

He Phuong Trinh Co Cau Truc Dac Biet