Click here to load reader
Upload
swq1rs
View
567
Download
221
Embed Size (px)
Citation preview
AECHIMEDIS
OPERA OMNIACUM COMMENTARIIS EUTOCII.
E CODICE FLORENTINO RECENSUIT, LATINE UERTIT
NOTISQUE ILLUSTRAUIT
J. L. HEIBERGDB. PHIL.
UOLUMEN L
LIPSIAE
IN AEDIBUS B. G. TEUBNERL
MDCCCLXXX.
Iln
IiIPSIA.E : TTPIS B, G. TEUBNBRI,
I. K MADUIGIOUIRO DOCTISSIMO, CLARISSIMO, HUMANISSIMO
EDITOR DISCIPULUS.
PRAEFATIO.
Opus magnum et difficile, sed necessarium et
ab omnibus, qui hanc partem litterarum adtigerunt,
iam diu desideratum, ad quod dissertatione mea,
quae inscribitur Quaestiones Arcbimedeae (Hauniae
MDCCCLXXIX), uiam, quantum potui, muniui, ut opera
Arcbimedis tandem aliquando e legibus artis criticae
ederentur et ita, ut philologis quoque non res modo,
sed etiam uerba ipsa et quasi manum Archimedis
requirentibus satisfieret, id iam ipse efficere conabor.
nam quod primum omnium faciendum erat, ut codex
Florentinus praestantissimus denuo diligenter conferre-
tur, id mihi Florentiae facere licuit mense Octobri anni
MDCCCLXXIX, quo profectus eram pecunia Insti-
tuti Carlsbergici adiutus. quam ob liberalitatem
iis uiris, qui huic instituto praesunt; gratias hoc loco
ago quam maximas, in primis I. N. Maduigio, uiro
doctissimo et clarissimo, praeceptori meo, qui ceteris
suis beneficiis hoc quoque adiunxit.
eodem itinere etiam codicem Uenetum inspexi et
in Arenario totum contuli.
collato codice Florentino mihi persuasi, quaestionem
de necessitudine et coniunctione codicum Archime-
deorum, de qua egi Quaest. Arch. cap. VI, retractan-
dam esse; quare de hac re ad finem huius editionis
VI PRAEFATIO.
uberius disputabo. boc loco pauca tantum dicenda
sunt de ea ratione, quam in bac editione comparanda
secutus sum.
in uniuersum editionem Pappi, quam parauit
Fr. Hultscli, uir doctissimus, tamquam exemplar om-
nium consensu comprobatum mihi imitandam proposui.
itaque non modo notas criticas Graecis uerbis subiunxi,
sed etiam interpretationem Latinam addidi, ad quam
notae res matbematicas plerumque explicantes adcedunt.
Primum igitur quod ad adparatum, quem uocant,
criticum adtinet, eum ita comparaui, ut id maxime
adpareret, quid quoque loco praeberet codex Floren-
tinus, et sicubi emendanda erat scriptura eius, quis
emendationis auctor esset. quare ubicunque a codice
Florentino discessi, in notis eius scripturam primo loco
posui, deinde adiunxi emendatae scripturae auctorem,
ita ut, ubi nihil ultra additum est, omnes auctores
tempore medios, ubi nonnullorum scriptura discrepans
enotata est, ceteros certe cum codice Florentino con-
sentire intellegendum sit. qua in re hoc tamen tenen-
dum est, errores apertos codicum Parisiensium prorsus
omissos esse. ubi sola scriptura codicis Florentini in-
dicatur, errores eius iam in ceteris codicibus correcti
sunt, si collationibus Torellianis fides habenda est;
sed non dubito, quin in multis eius modi locis scrip-
tura codicum Parisinorum parum diligenter enotata sit
(Quaest. Arch. p. 111 sq.). in locis grauioribus*) codices
Parisinos inspexit Henricus Lebegue mea causa ro-
gatus a Carolo Graux, uiro doctissimo mihique ami-
*) Scripturis codd. Parisin. , de quibus me certiorem fecit
H. Lebegue, stellulam adfixi.
PRAEFATIO. VII
cissimo; sed in minutiis iis molestus esse nolui; sic quo-
que quae mea causa fecerunt, permagna sunt et sumnla
gratia digna, quam me iis habere hoc loco testor. —scripturam discrepantem editionum Basileensis et To-
rellii totam recipere opus esse non putaui, sed quid-
quid ad uerba Archimedis emendanda inde sumi posse
uidebatur, excerpsi. ceterum saepissime codicem Floren-
tinum secutus a Torellio tacite discessi, et in eiusmodi
locis silentium pro testimonio scripturae codicis Floren-
tini esto, sicut etiam ubi scripturam eius aliter, ac Bandi-
nius in collatione sua ad editionem Basileensem facta,
quae apud Torellium exstat; indicaui, mihi credi uelim.
in commentario critico his compendiis usus sum:
F = codex Florentinus Laurentianus plut. XXVIII, 4.
V = codex Uenetus St. Marci CCCV.A = codex Parisiensis Nr. 2359.
B = codex Parisiensis Nr. 2360.
C = codex Parisiensis Nr. 2361.
D = codex Parisiensis Nr. 2362.
ed. Basil. = editio Basileensis 1544 fol.
Cr. = interpretatio lacobi Cremonensis ei addita.
uulgo = significat consensum omnium auctorum prae-
ter eos, qui diserte nominati sunt.
corr. = correxit.
comp. = compendium.
Qui recentiore tempore de Archimede scripserunt
uiri docti, haud ita multi sunt, neque ad scripta eius
emendanda multa contulerunt. quibus uti potui sub-
sidiis, haec sunt:
Riualtus — Archimedis opera. Parisiis 1615 fol.
Torellius — Archimedis opera. Oxonii 1792 fol.
^jjlPEAEFATIO. I
Commandinus - A. opera nonnulla latine. Uenetiis
1558 fol. . ... r>^^«;;
Wallis - A. arenarius et dimensio circuh. Oxonu
.g78 8. - Opera III p. 509 sq.
Sturm - Des unvergleicUichen^^^^^^'%f''^;':
bucher, ubersetzt und ermutert. Nurnberg 1670 fol.
Barrowius - Opera Archimedis methodo novo xUu-
strata et demonstrata. Londmi 1675. 4.
Hauber - A. uber Kugel und Cylinder und uber Kreis-
messung, ttbersetzt mit Anmerkungen. Tubmgen
Guteia!ker - A.'s Kreismessung griechisch und deutsch.
Wurzburg 1828. 8., . . j „r
Nizze - A.'s vorhandene Werke, ubersetzt und er-
kVart. Stralsund 1824. 4.
Censor lenensis (Jen.) - Uir doctus ignotus, qm de edi.
tione Torellii censuram proposmtJenaer Litteratur-
zeitung 1795 Nr. 172-73 p. 610-23.
Wurm - Fr. Wmmii censura edxtioms Gutenacken
Jahns Jahrbucher XIV p. 175-85
emendationes nomiullas ipse proposui Q^.^est^ Arch.
can VII et in editione Arenarii ei hbro admncta, qua-
rum partem nunc improbaui, plerasque «cepi^ m
Eutocio quaedam emendare conatus sum Neue Jahr-
b^her fl Philologie und Padagogik, Supplement-
'in?nt'errreUtione Latina, quam totam de meo
conscripsi, id maxime secutus sum, ut ubique sensus
TaL dSucide adpareret, et Archimedea oratxon. fo™^
et demonstrandi ratio quam maxime seruaretur, ita
tamen ut, ubi fieri posset, ea, quae Archxmedes uerbxs
PRAEFATIO. IX
«xposuerat, signis, quibus nostri mathematici utuntur,
exprimerem. quod ut fieret^ interdum ab usu linguae
Latinae longius discedere coactus sum, niaxime in
collocatione uerborum, et parum Latine loqui, ne aut
obscura esset interpretatio aut a Graecis uerbis nimis
discreparet. in multorum uerborum interpretatione
Hultschium secutus sum, uelut, eo praeeunte pro
GrsiecoYum dc7tlcc6Log ceit sequente genetiuo dixi: duplo
maior quam, cett. (Hultsch: Pappus I p. 59 not. 1);
sed ubi haec orationis forma minus apta erat, uelut
pro Graeco dinXa^Cova Xoyov exsLV^ scripsi: duplicem
rationem habere quam, et similia (cfr. Liuius XXXIV,
19, 4; Columella I, 8, 8; Plinius h. nat. XIX, 9;
Quintil. II, 3, 3).^
In notis interpretationi adiunctis maxime id
studui, ut supplerem, quae ab Archimede in demon-
stratione omissa erant, et locos obscuriores illustrarem.
in libris de sphaera et cylindro et libello de dimen-
sione circuli in notis indicaui, quaecunque de genuina
scriptura Archimedis suspicari licet. hi enim libri
non modo dialecto Dorica spoliati sunt, sed etiam
plurimis locis reficti, cum transscriptor et adderet,
quae ei necessaria uiderentur, et omitteret, quae abesse
posse putaret, et omnino suae aetatis sermonem et
rerum mathematicarum nomina, quae tum in usu erant,
inferret. itaque cum intellegerem, in his libris ma-
num Archimedis restitui non posse, satius duxi recen-
sionem posteriorem sequi et tantum modo apertissimos
scribendi errores corrigere. sed praeter quam quod.
*) Hos locos indicauit mihi 0. Siesbyeus, uir: doctissimus.
X PRAEFATIO.
ut dixi, in notis indicaui genuinam Archimedis scrip-
turam, ubicunque aut constabat aut probabili coniectura
restitui poterat, etiam additamenta plurima in Graecis
uerbis uncis [ ] inclusi, in interpretatione omisi; in
interpretatione contra uncis [ ] inclusa sunt, quae ipse
addidi ad Archimedia uerba et demonstrationis rationem
illustranda. de additamentis illis cfr. quae scripsi
Quaest. Arch. p. 69— 78 et Neue Jabrbticher Suppl. XI
p. 384—398. in iis locis, quos postea subditiuos esse
intellexi, semper causam in notis breuiter indicaui; de
ceteris satis esto semel hic illas duas disputationes
citasse. unum locum tamen, in quo longiore dis-
putatione opus est, hic uberius tractare libet.
de sphaera et cylindro I, 41 (apud Torellium I, 47)
p. 172, 8: Kal cag aQCC ro itoXvyovov JCQog t6 Ttokv-
ycovov, 6 M avxXoQ JtQog xov N xvkXov'\ sint spatia
rectangula lateribus polygonorum (P, p) et lineis
angulos iungentibus comprehensa S, 5; quae aequalia
sunt radiis (R^ r) quadratis circulorum My N. et circulis
Nj iVfaequales sunt superficies figurariim circumscriptae
et inscriptae (0, 6). iam Archimedes inde, quod est
S:s = EK^:^A%concludi uult : o — EK^ : AA^. si genuina essent
uerba illa, hoc sic efficeret: S : s == EK^ : AA^^, sed
S:s = R^:r^ = M:N, ei EK^ : AA'^ = P : p] q\iSire
P:p = M:N',sedM:N=0:oet P:p= EK^ : AA^-,
quare : o = EK^ : AA^. quod quam prauum sit,
nemo non uidet; nam polygonorum prorsus peruerse
mentio iniecta est, cum deberet sic concludi:
S:s = R^:r^ = M:N=0:0',sed /S : s == EK^ : AA^] quare 0:0 = EK^ : AA\
PRAEFATIO. XI
augent malum uerba sequentia lin. 13 : rov de avtov, ov
xal t6 TtoXvycovov (debebat esse ra TColvycova)^quae
praecedere debebant uerba: diTtXaOLova loyov tJjcsq r] EKTtQog AA^ cum hoc ex illo concludatur. adparet igitur,
hos duos locos subditiuos esse. sed repugnare uidetur
Eutocius, qui haec habet: STtel dsdsixtac, ort s6tlv wg
to TtoXvycovov TtQog ro TtoXvycovov, ovtcog 6 M xvxXog
TtQog tbv N. sed puto, eum minus proprie loqui et
ad ipsam rationem ab Archimede in priore parte pro-
positionis demonstratam : o = EK^ : AA^ respicere.
nam cum : o == M: N (ex hypothesi) et
EK"" ^AA^^^P^p (Eucl. VI, 20),
hinc ratio F :p = M : N tam facile sequitur, ut Euto-
cius recte dicere possit, hanc rationem simul cum illa
demonstratam esse. eodem modo Archimedes dicit:
sdsC%%"Yi d\ oog i^ ^^ ^Qog AA^ ovrcog rj sk rov
OCSVtQOV tOV M TCVKIoV TtQOg tijV SK tOV TCSVtQOV tov
N Kvxlov (p. 174, 13), cum tamen hoc tantum demon-
strauerit: : o = EK^ : AA^^ unde facile concluditur
B : r = EK : AA. subditiua esse uerba illa, hinc
quoque adparet, quod Archimedes prop. 42 p. 176, 25
hanc ipsam rationem : o = P :p proponit his uer-
bis additis: sxc^tSQog yccQ tcjv koycov dcTtXd^iog s6ti
tov, 6v sisi 7] tov TtsQiysyQa^^svov itksvQa itQog
tijv rot» syysyQa^fisvov itlsvQav (h. e. EK : AA).
haec uerba sine dubio in prop. 41 addidisset, si ibi
quoque hac ratione uti uoluisset*, et praeterea Eutocius
ad prop. 42 uerba sxcctsQog yccQ KtL illustrat, cumtamen satis esset uerba ipsius Archimedis ex prop. 41
adferre. quare puto, uerba illa a transscriptore ad
similitudinem propositionis 42 interposita esse. hoc
XII PRAEFATIO.
ideo quoque pluribus uerbis exposui, ut uno saltem
exemplo additamentum manifeste argueretur, qualia
in bis libris plurima occurrunt.
in his igitur libris dialectum Doricam restituendam
non esse putaui, in ceteris uero in uniuersum eam
tenui rationem, quam proposui Quaest. Arch. p. 78 sq.,
sed eam aspere exigendam esse non censui, ut potius
cautior essem, quam ut in contrarium uitium inciderem.
Quibus subsidiis in epigrammate et iis libris, qui
Latine tantum exstant, usus sim, suis locis dieetur.
nunc finem faciam, cum ante gratias egero Nicolao
Anziani, uiro doctissimo, praefecto bibliotbecae Lau-
rentianae, cuius humanitatem egregiam Florentiae
cognoui.
haec habui, quae dicerem de consilio meo in hac
editione paranda. utinam ne uires meae tanto oneri
nimis impares sint!
Scripsi Hauniae Id. Decemb. MDCCCLXXIX.
I
DE SPHAERA ET.CYLINDRO
LIBRI II.
Archimedea , ed. Heiberg. I.
IIqoxsqov iikv d7ts0rdXxcc^sv 6oi xd sis tots xs-
d^scoQrj^sva yQdipavrsg ^srd rcov dTtodst^sav avrmvort Tidv r^rj^a ro JtsQisxo^svov VTto rs svd^stag xal
5 OQd^oyovLOv x(6vov ro^^g sTtcrQirov sOn rQiycovov tov
rriv avrriv ^d^iv s%ovrog ra r^t^^an xal vipog l'6ov*
[isrd ds ravra sTtins^ovrcov d^scoQrj^drayv nvSv dv-
sXsyxrovy TtsTtQay^arsv^sd^a rdg ditodsi^sig avrcov. sGnv
ds rdds' jtQcorov ^svy ort Jtderjg 6cpaiQag r^ smcpdvsia
10 rsrQaitXa^Ca s6rl rot» ^syi^rov xvxXov sitsira ds, onTcavrog r^7]^arog 6cpaiQag rij sTticpavsia l'6og s6rl xv-
xlog^ ov rj sx rov xsvrQov l'6rj s6rl rfj svd^Sia rfj ditb
rrjg xoQvcprjg rov r^i]^arog dyo^svrj sTtl rrjv icsQi-
cpsQSiav rov tivkXov, og s6n pdcdg ro£» r^i^^arog' TtQog
1. jjatipstv] svTtQatTSiv B.. 2. dTtsGtdXHCifisv] VAD; dnsG-TaX-nd F; ccTcsGzaXyia ceteris uerbis: ffot — — avtav lin. 3
omissis B; „misi" Cr. slg tots] 8vg rcots F. tsQ-saiQrnisva\
d^scoQrinsvu F. 3. tcov] om. F. avtav'] om. F lacunarelicta. 4. ts svd^siag »tat] B; om. F; „a recta et" Cr.
5. Inter sm- et tQitov lacunam habetF. tQLycovov tov] om. F;TQLymvov tov s%ovtog B. 6. triv avtrjv §d6iv] §daiv trjv av-rrjv B; tavtr^v trjv j^dciv F. s^ovtog] om. B. 7. yi^std 8s
tavta] lacunam B. sTansaovtcov] dnonsGov rcov F; nscov-
t(ov B. „nunc autem quorundam occurrentium" Cr. tLvavdvsXsyntcov] avtiXsyov F, lacunam B; „quae effectu probatavidentur" Cr. 8. nsnQayinatsviisQ^a] Riualtus; nsnQay^iatsvov8r] (istd F; nsnQayfia relicta lacuna B. avtav] avtd F;avtd — ndarig lin. 9 om. B lacuna relicta; „demonstrationesconscripsimus" Cr. 9. tdds] ti tdSs F; „huiusmodi" Cr.;
I.
Archimedes Dositheo s.
Antea ad te misi, quae ad id tempus perspexeram,
demonstrationibus adiunctis conscripta: quoduis seg-
mentum linea recta et parabola comprehensum tertia
parte maius esse triangulo eandem basim babenti,
quam segmentum, et altitudinem aequalem.^) postea
autem cum incidissem in theoremata quaedam nondum
demonstrata, demonstrationes eorum confeci. sunt
autem haec: primum cuiusuis sphaerae superficiem
quadruplo maiorem esse circulo maximo^); deinde
cuiusuis segmenti sphaerae superficiei aequalem esse
circulum, cuius radius aequalis sit lineae a uertice
segmenti ad ambitum ductae circuli, qui basis sit
segmenti.^) et praeterea quemuis cylindrum basim
Huius epistulae restitutionem dedi Quaest. Arch. p. 131,quam hic secutus sum. tota exstat in FB solis (Quaest. Arch.
p. 118—22). In VAD prima uerba: 'Aqxf^l^V^VS — ^'O^ hn. 2
exstant; 'reliqua pars paginae primae uacat (Quaest. Arch.
p. 117; cod. Uenetum postea ipse inspexi); deinde in summapagina 2 sequuntur xaAcog cett. p. 6, 6. Haec sola uerba ex-
trema habent C, ed. Basil.; interpretatio I. Cremonensis prio-
rem partem solam praebet (Quaest. Arcb. p. 122).
1) h. e. tstQccy. naqa^. 17; 24.
2) h. e. tcsqI 6cp. xat v.vX. I, 30.
3) ibid. I, 39—40.
fort. toLCids. ndariq] tr^g F; „omnis" Cr. 10. xvhAov]yiv-nXov tav iv avtri B. ^nsita'] post lacunam slta B. 11.
VLviiXog] B; Kcovct) F; „circulus ille" Cr. 14. ^aaig B; ^dcris F.
1*
4 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
ds tovtOLg, otL Jtccg TcvlLvdQog trjv pd6LV sxav l6riv
tc5 ^EyiOtcy xvxIg) tcjv iv tfj 6(paLQ(x, vtl^og ds lOov
tfj dLa^itQG) trjg 6(paLQCcg avtog ts rj^LolLog ictLV
trjg 6(paLQag, xal rj i7CL(p(x.veLa avtov trjg iTtL^paveCag
5 tr]g 6(paLQag. tavta de ta (Sv(iJtt(6}iata avtfj tfj (pv-
(5£L TCQOVTtrJQxsv TtsQL tcc SLQri^sva ^jriiiata^ rjyvostto
ds vjto tav TtQO rj^cov JtSQl yscoiistQLav dvs6tQa^-
lisvav. vsvorjiccjg ds^ otL tovtcov rcov GjiriiKktcav
iatlv OLKsta, ovz oxvrjdaL^c dv dvtLTtaQa^aXstv avtd
10 TtQog ts td tots tsd^scoQrj^sva xal TtQog td do^avta
djtodsLx^^vaL d<5(paXs6tata tcjv vjto Evdo^ov JtsQL td
(jtsQsd d^SGyQrjd^svtcsv' otL Jtd6a jtvQa^lg tQLtov i6tl
liSQog JiQL6^atog tov ^d^Lv sxovtog trjv avtrjv tfj Jtv-
Qa^L^L xal vijjog i'60Vy xal ott jtdg xcavog tQLtov ^sQog
15 i6tl toZ xvXlvSqov tov pd6Lv sxovtog trjv avtrjv ta
xcovc) %al vipog l6ov, xal yaQ tovtov JtQovjtaQxovtov
(pv6LXcog JtsQL tavta td ^x^yj^atay Jtokkov jtQO Evdo^ov
ysysvrj^svcov d^Ccov koyov ysco^stQcov 6vvs^aLvsv vjto
1. 7cag\ ndarjg ecpuiQocq F, ndarjg ccpaiQug 6 B; „cumsquesphaerae" Cr.; fortasse retinenda erat scriptura cod. B et r?5s
6(pccLQ(xg lin. 4 delenda. xriv Bdeiv] F; 6 ^daiv fiev B.
exojv] B; sxovtog F. lerjv'] F; trjv ccvti^v B; om. Cr. 2. Tffov]
B; loaov F. 3. r^] B; om. F. avtog ts rifiLolLog] B;tots rjfiLolLOv F. satLv] F; iatL B. 5. Ss td . . . ccvtij]
om. B; „]iaec autem accidentia" Cr. r^] om. F. * tccvtoc
fi£v ty cpvasL Barrowius. 6. ^yvosfctro] '^yvosLato F; yvosi
B; ov (isvtoL ysyovsv Riualtus;„uerum non fuerant superio-
ribus cognita" Cr. 7. ds vno tav] om. B, lacuna relicta;
vno twv om. F lacuna relicta; suppleuit Riualtus; „qui antenos" Cr., qui sequentia oinisit. dvsatQccfinsvoav] avs lacunarelicta FB; dvsa-iiS(i(i£V03v Riualtus. dvsatisfifisvojv tsd-so)Qr}'\
(isva Barrowius. 8. vsvorjy.ag ds] svorj-notog F; vsvorjy.otog Bi\Tial voriasLsv Barrowius. ort] orav Riualtus; og dv Barro-]
wius. 9. satLv] om. B. olrcsLa ovyC] scripsi; om. lacunairelicta F, B; tatg dnoSsC^saLv Riualtus. oTivT^aaLfiL dv] om.iB; dv om. F. dvtmaQa^aXsL B. 10. nQog ts td] om. FB
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 5
habentem circulo maximo sphaerae aequalem, altitu-
dinem autem diametro sphaerae aequalem, et ipsum
dimidia parte maiorem esse sphaera, et superficiem
eius superficie sphaerae dimidia parte maiorem.^) hae
autem proprietates ipsa natura figuris, quas cdmme-
moraui, inde ab initio erant, ignorabantur autem ab
iis, qui ante me geometriae studebant. sed cum in-
tellexerim, eas harum figurarum proprias esse, non
dubitauerim, eas eodem loco ponere, quo et ea, quae
antea perspexi, et ea, quae putantur firmissimis docu-
mentis demonstrata esse eorum theorematum, quae
Eudoxus de figuris solidis proposuit: quamuis pyra-
midem tertiam esse partem prismatis eandem basim
habentis, quam pyramis, et altitudinem aequalem,
et quemuis conum tertiam partem esse cylindri basim
eandem habentis, quam conus, et altitudinem aequa-
lem. nam cum hae quoque proprietates ipsa natura
his figuris essent inde ab initio, accidit, ut ab omni-
Tota epistula usque ad -iiaXcog p. 6, 6 in F manu poste-
riore, saeculi, ut uidetur, XV, scripta est. Riualtus cod. Bsecutus est, cum lacunas eius partim coniecturis partim inter-
pretatione I. Cremonensis Graece uersa suppleret. Torellius
Riualti scripturam praebet receptis coniecturis Barrowii (Ar-
chimedis opera. Londini 1675. 4 p. 1—2); sed in initio cctc-
satdXyiafiiv gol e cod. Ueneto recepit.
1) h. e. I, 31 TtoQia^icc.
lacuna relicta. xots] xo F; xs B. d-sa^Qrjfisvcc B. -iicci
nQog] naiTCSQ Riualtus; oaansQ Barrowius. 11. dnodsLx^rivat,
dacpaXsataral noXXa lacuna relicta F; noX lacuna relicta B.Tcov vno Erdolov] om. F lacuna relicta; \ov post lacunam
B; tcav vno tov Evdo^ov Riualtus. 12. d^scoQYitsvtatv F;Q^scoQsd^svtoov B; corr, Riualtus. 13. iisQog satt B. nvQu-yiCdsi F. 15. ^daiv [isv Torellius. 16. tovtoov'] B; novtcov F; om. Torellius. 17. Inter nQo et Ev$6^ov lacunamhabet B, sed mg. iv toig saxdtoLg xfOQLoigtovtotg ovSsv Xsinst.
18. vno] rd Riualtus; dno Barrowius.
6 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
TCccvtav ayvoslG^KL firjd^ v(p' ivog xaravorjd^rjvai. f|-
£6tai ds 7C€Qi tovtav i7Ci(3Ketpa6^aL totg dvv7j6o^evoLg,
w(pBLXe fi£i/ ovv Kovovog etL t^oovtog ixdidoCd^aL tavta.
trjvov yaQ vTtoXa^^dvo^ev tcov ^dXiOta dv dvvaiSd-ai
5 xatavorjaai tavta Tcal tijv ccQ^o^ovOav vjcsq avtSv
dnofpaCiv TCOirj^aOd^ai' doxiiid^ovteg 8s Tcalmg s%eiv
fietadidovai totg otxeiOig tcjv ^a^rj^dtcov, aTCoeteX-
Xoiiev 60i tdg dnodei^eig dvayQd^avteg^ vtcIq (ov
i^eatai totg TCeQi td ^ad^rj^ata dva6tQe(po^evoig iiCi-
10 axeifja^d^ai. eQQoGo.
FQdcpovtai TCQcotov td re d^i(6^ata xal td la^i^a-
vo^eva elg rdg dicodei^eig avtcov.
ASlSiMATA.
a. Ei6i tiveg iv iTCiTCedc) xa^TCvXai yQa^^al iceTCe-
15 Qa6^evai, a*C tcov td iteQata iTCi^evyvvoveSv avtc5v
sv&ei^v rjtoi okai ijcl td avrd ei6iv rj ovdev eiov6iv
ijcl td steQa.
p> . 'EtcI td avtd drj xoilrjv xalcj trjv toiavtrjv
yQa^^i^v, iv rj dv dvo 6rj^eiG)v ka^PavofievcDV onoiov-
20 ovv at ^eta^v rcov 6rj^eiG}v svd^staL rjroi 7cd6ai ijcl
rd avrd 7Ci7Cr6v6iv rrjg yQa^^rjg, rj nvsg ^sv inl td
avtd, tivsg ds xat avtrjg., ijcl td stSQa ds ^irjds^Ca.
1. d.yvoBta%'uC\ F, Barrowius; blgQ-cci post lacunam B.
/Lir;^'] jLM7 8' F. Inter i^satat et ds in B lacuna est; sed hucquoque referenda est adnotatio illa (ad p. 4 lin. 17). 4. dv]
om. FB. 6. dnocpuvaiv B. «aZwg] hinc rursus incipiunt Fmanus 1, ACDV, ed. Basil. 7. fiabrjficc lacuna relicta B.
dnoatslloiisv'] om. VAD; XXo(jlsv post lacunam B. 8. uno-SsL^rjg F. 9. nsQi] rs F. 10. sQQcoao] SQQcofisvoo F, SQQcafis-
vcag VABCD; corr. ed. Basil. 11. y^aqpovrat] hic rursus in-
cipit Cr. td] to F ; corr. B C. * d^icoficctoc] cc^La>iicc F ; corr.
BC* 12. ccnodsLtrjg F. 13. Titulum hic et p. 8 lin.^21
om. F; hunc et numerorum seriem addidit Torellius. 19. dv]sccv F; corr. Riualtus.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 7
bus geometris, qui tamen plurimi et praestantissimi
ante Eudoxum fuerant, ignorarentur nec a quoquam
intellegerentur. licebit autem omnibus, qui quidem
poterunt, haec inuenta mea examinare. certe Conone
uiuo haec edenda fuerunt; illum enim existimo praeter
ceteros haec intellegere potuisse et aptum de iis iudi-
cium proferre. sed operae pretium me esse facturum
ratus, si haec cum mathematices studiosis communi-
cassem, ad te demonstrationes, quas conscripsi, misi,
quas mathematices peritis licebit examinare. uale.
Primum proponuntur et postulata, et quae ad de-
monstrationes inuentorum meorum adsumpsi.
DEFINITIONES.
1. Sunt quaedam in plano curuae lineae termina-
tae, quae aut totae in eadem parte sunt rectarum
linearum terminos earum iungentium, aut nihil in altera
parte positum habent.
2. In eandem partem cauam lineam eiusmodi uoco,
in qua sumptis duobus punctis quibuslibet lineae rectae
puncta iungentes aut omnes in eandem partem lineae
cadant, aut aliae in eandem partem, aliae in ipsam
lineam, nulla autem in alteram partem.
Scripturam Riualti plerumque neglexi, quippe qui paucatantum ueri similia proposuerit. Ubi nihil aliud diserte dictumest, emendationem ipse proposui Quaest. Arch. p. 131. hoc tan-tum adiicio, lacobum Moor teste Simsono Eucl. elem. p. 404hanc epistulam ex codicibus emendasse, quae emendationes utrumpublici iuris factae sint necne, nescio. sed ueri simile est, eumipso codice Parisino B usum esse, cum constet, eundem uirumalios quoque codices Parisinos mathematicorum Graecorum con-tulisse (Hultsch: Pappos I p. XX).
8 HEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A
.
y , ^O^0LG>s ^vj ^al iitLCpdvSLaC tLveg el0lv 7t67tsQa6^
^BvaLy avtal ^sv ovx iv s7CL7ti8(p^ xa df TteQara sxov-
6LV iv i7tL7tid(p^ xal rov i7tL7tidov, iv co ta TtiQata
siovClv^ rjtOL oXaL i^tl ta avta sOovtaL, ?j ovdsv
5 SXOV61V i7tL ta stsQa.
d\ 'ETtl ta avta drj xoCkag xaXa tag tOLavtag iTCL-
(pavsCag^ iv alg av dvo ^tj^sCcov la^^avo^ivcov at ^s-
ta^v tcov 6rj^sCG)v svd^staL rjtoi 7ta6aL i7tl ta avta
7tC7ttov6LV trjg i^tLcpavsCag^ r] tLvsg ^ev i7tl ra avtcc,
10 tLVsg ds xat avtcjv, i7tl ta stsga ds ^rjds^Ca.
s\ To^ia ds 6tSQS0v xaXw, i^tstdav ^cpalqav Ti^vog
teiivfj, xoQvcprjV e^cov ^tQog ta xivtQG) trjg ^cpaCQag^
tb i^7teQLSx6^svov 6x^^a\ V7t6 ts trjg i^tLCpavsCag tot5
Ticovov xal trjg i^ttcpavsCag trjg 6(paCQag ivtog tov
15 X(6vov.
15'. *P6^^ov ds KaX(J5 6tSQs6v, i^tstdav dvo xavoi
trjv avrrjv ^d6LV s%ovtsg tag X0QV(pag s%Gi6LV i^p' sxd-
tSQa tov i7tL7tsdov trjg ^d^scag^ 07tG)g ol a^ovsg avrcjv
i7t sv^sCag (061 xsC^svol, tb f| d^cpotv totv xcovolv
20 6vyxsC^svov 6tSQsbv 6x^^a,
AAMBANOMENA.
Aa^pdvG) ds tavta
a, Tcov td avtd TtiQata i%ov6^v yQa^^cSv ika-
%C6triv slvat trjv sv^stav.
25 /3'. Tcoi/ ds aklcov yQa^(i(Bv, idv iv iTtL^iidc) ov6ai
2. sxovaat Barrowius. 10. xar' avrijg len.,
probatNizze. 11. GTSQsov om. F lacuna relicta; —a ds yiaXm atra-
mento euanidiore scriptum esse uidetur. 12. Ttgog] F percompendium, inl Torellius. ta -KsvtQto] scripsi; ro (ioqlov
F, t6 'nivtqov uulgo. 19. novoiv F. 23. tcov] tco tcav F.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 9
3. Similiter etiam superficies quaedam sunt ter-
minatae^ ipsae quidem non in plano positae, terminos
autem in plano positos habentes, quae aut totae in
eadem parte sunt illius plani, in quo terminos positos
habent, aut certe nihil in altera parte positum habent.
4. In eandem igitur partem cauas eiusmodi uoco
superficies, in quibus sumptis duobus punctis rectae
lineae puncta iungentes aut omnes in eandem partem
superficiei cadant, aut aliae in eandem partem, aliae
in ipsas^), nulla autem in alteram partem.
5. Sectorem autem solidum uoco, cum conus sphae-
ram secet uerticem habens ad centrum sphaerae, figu-
ram, quae a coni superficie eaque parte superficiei
sphaerae continetur, quae intra conum cadit.
6. Rhombum autem solidum uoco, cum duo coni
eandem basim habentes uertices habeant in utraque
parte plani, in quo est basis, positos, ita ut axes eorum
in directo siti sint, figuram solidam ex utroque cono
compositam.
POSTULATA.
Postulo autem haec:
1. Omnium linearum eosdem terminos habentium
minimam esse rectam.^)
2. Ex ceteris uero lineis, si in plano positae eos-
1) Archimedes ipse sine dubio scripserat tmv snLq^ccvEicav
lin. 9 propter tag sni(pccv£Lccg lin. 6.
2) Cfr. Eucl. elem. I def. 4: sv&sta yQccfifirj satLV, ^tig i^tcov toig scp' sccvtrjgai^fisiOLg yisttcci et Proclus in Eucl. p. 110,10 Friedleinj 6 S* av 'Aqxiiiridrig ti}v svd^stav wQiaato yQafifirjv
sXaxiatrjv tmv tk avtcc nsqata sxovaav. dioti yag, ag b Ev-TiXsLdLog Xoyog (prjaLv, «| faov 'nSLtaL toig scp* savtrjg aT^^SLOLg^
Slu tovto sXaxLatrj satlv tav to: avtcc nsQata sxovamv.
10 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
ta ccvtcc 7C£Qccta £%ov6lv^ dvL6ovs eivcci tccg toiccvtagy
ijteidccv d)(5iv d^tpotEQCci iitl td avtd xotXai, xal ^toi
oXrj 7t£Qila^^dvrjtai rj iti^a ccvtcov vtco trjg itiQag
xal trjg ^vd^^Cag trjg td avtd TtiQata ixovarjg avtfi^ rj
5 tiva fiev 7t£QiXa^^dvr}tai, tiva dl TCOivd £%yIj xal iXd6-
eova £lvai trjv 7t£QiXafi^avo^ivr]v.
y. 'O^ioicog de xal tSv i7ti(pav£i(av tmv td avtd
7tiQata i%ov6^Vj idv iv iTtiTtida td 7tiQata ixoOiv,
ikd66ova £ivai tr]v i7ti7t£dov,
10 d\ Tc5v ds dllcDv i7ti(pav£i(DV xal td avtd 7ti-
Qata ixov6(DV, idv iv i7ti7cid(p td 7tiQata ^), dvCoovg
elvai tdg toiavtag^ i7t£iddv cjOiv d^(p6t£Qai i7tl td
avtd oiOikaij xal rjtoi oXrj 7C£Qika^^dvr]tai V7tb trjg
itiQag rj iti^a i7ticpdv£ia aal trjg i7ti7tidov trjg td avtd
15 TtiQata i%ov6rig avtfj^ rj tiva ^£v 7t£QiXa^pdvr}taC,
tiva Se xoivd ixrj, xal iXd66ova elvai trjv 7t£Qila^-
fiavofiivrjv.
e. "Eti d£ tcov dvi^cov yQa^^(Dv xal t(ov dvC^av
i7li(paV£i^V Xal tCOV dvC6C0V 6t£Q£CJV tO fl£i^OV tov
20 ikd66ovog v7t£Qi%£iv toiOvtcD, o ^vptid^i^^vov avto
iavta dvvatov i6tiv v7t£Qi%£iv Ttavtog tov ^tQot^d^iv-
tog tmv 7tQog dkXrjla k^yo^ivcov.
Tovtcav d£ v7tox£i}iiva)v , idv £ig xvxXov TtoXvyco-
vov iyyQacpfjj cpav^QOv^ oti t] 7t£QC^£tQog tov iyyQa-
25 cpivtog Ttolvycivov iXd66G)v i6ti trjg tov xvxXov 7t£Qi-
<p£Q£Cag' £xd6trj ydQ tcov tov 7toXvycivov 7tX£VQ(ov
iXd66cov i6ti trjg tov xvxXov 7t£Qicp£Q£Cag trjg v7to
trjg avtr^g aTtote^vo^ivrjg.
3. Post it£Qccg F habet sTticpocvsLag, petitum ex lin. 14; del.
Barrowius; nsQiq^EQELag Riualtus. 10. naC] toav? 11. dvi-
covg F per compendium, dvCaag uulgo. 14. 17 sTSQa'] rj ad-
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 11
dem terminos habeant^ inaequales esse eiusmodi lineas,
si utraque in eandem partem caua sit, et aut tota
altera ab altera et recta linea eosdem terminos ha-
benti comprehendatur, aut pars eius comprehendatur,
pars communis sit, et minorem esse eam, quae com-
prehendatur.
3. Similiter etiam inter superficies eosdem termi-
nos habentes, si in plano terminos habeant, minorem
esse planam superficiem.
4. Inter ceteras autem superficies eosdem terminos
habentes, si in plano sint termini, inaequales esse
eiusmodi superficies, si in eandem partem utraque
caua sit, et aut tota altera ab altera et superficie plana
eosdem terminos habenti comprehendatur, aut pars
eius comprehendatur, pars communis sit, et minorem
esse eam, quae comprehendatur.
5. Porro autem inter lineas inaequales et inaequales
superficies et inaequalia solida maius excedere minus
eiusmodi magnitudine, quae ipsa sibi addita quamuis
magnitudinem datam earum, quae cum ea comparari
possint, excedere possit.^)
His autem positis, si circulo polygonum inscribatur,
adparet, perimetrum polygoni inscripti minorem esse
ambitu circuli. unumquodque enim latus polygoni
minus est quam ea pars circuli, quae ab ea abscinditur.
1) Eucl. V def. 4: Xoyov sxsiv Ttgog aXXriXa. (isysd'7} Xiystcci,
a dvvutui TtoXXanXaaia^o^Bva dXX7]X(ov vitSQBXBLv. De hocaxiomate etiam alibi ab Archimede sumpto u. Quaest. Archim.p. 44 sq. Cfr. Eucl. X, 1.
didi. 20. avto scripsi, savto F, uulgo. De propositionumnumeratione u. Quaest. A. p. 154. 25. noXvyovov F. 27.
vTto T^s avtrjg^ vn avtfig^i
12 IIEPI 2<E>AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.
a .
^Ehv tcsqI tcvkIov nokvycovov TtSQiyQafpfj ^ rj roi
7t£QiyQa(p8VTog TCoXvydvov TtsQc^stQog ^et^av £6x1 tijs
7t£QLfl£tQ0V tOV XVxAoV. — 7t£Ql yCCQ XVXKoV JtoXvyG)-
5 VOV 7t£QLy€yQd(pd^(0 tb V7tOX£L^£VOV' KiyCJ, OtL rj 7t£QL-
ll£tQOg toij TtoXvytOVOV ^£L^(a)V ietl trjg 7t£QL^£tQ0V tov
xvoiXov.
£7t£l yaQ 6vva^(p6t£Qog rj BAA ii£l^g)v £6tl trjg
BA 7t£QL(p£Q£Lag dLa tb ta avta 7t£Qata £%ov6av 7t£QL-
10 Xa^^dv£LV trjv 7t£QL(p£Q£Lav, o^OLcog dh Kal 6vvafi(p6t£Qog
fi£v r} AF^ FB trjg z/5, 6vva^(p6t£Qog dh rj AK, K@trjg A®, 6vvaiiL(p6t£Qog d£ rj ZH® trjg Z@,
^ £tL ds 6vva^(p6t£Qog rj ^E, EZ trjg z/Z,
okri ccQa rj 7t£QL^£tQog rov 7to^vycivov ft£t-
^ov i6tl trjg 7t£QL(p£Q£Lag rov xvxAov,15
^
20
z a25
Avo ^£y£%Giv dvL6G)v dod^ivtav dvvat6v
i6tLV £VQ£LV 8vo ^vd^^Lag dvL6ovg, w6t£ trjv
^^L^ova ^vd^^tav 7tQbg trjv iXd66ova X6yov
£%£LV iXd66ova t] tb ^£l^ov ^iy^d^og 7tQbg tb
£Xa66ov,
£6t(0 dvo ^^yid^rj dvL6a td AB^ ^, koI
£6tG) }i£t^ov tb AB* kiyu), otL dvvatbv i6tL
6vo £v%^£Lag dvL6ovg £VQ£tv tb ^lQrniivov
i7tLtay^a 7t0L0v6ag,
8. BA, AA Torellius. 9. nsQdanpav cmn comp. tjv uel
IV F. 10. 8i addidi. 12. ZH, H9 Torellius. 22. fWo)]
loars F; corr. man. 2. 23. to'] ra F. 24. dvicovg F comp.,
dvCGuq uulgo.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 13
I.
Si circum circulum polygonum circumscribitur, pe-
rimetrus polygoni circumscripti maior est ambitu cir-
culi. circumscribatur enim circum circulum polygonum,
quod infra positum est.^) dico, perimetrum polygoni
maiorem esse ambitu circuli.^)
nam quoniam BA -\- AA maiores sunt quam am-
bitus pars, quae est BA,propterea quod eosdem ter-
minos habentes illam am-
bitus partem comprehen-
dunt (Xa^^ccvo^. 2), et si-
militer etiam
^r + rB> z/5
ambitus et
AK+ K0> A®ambitus, porro autem
^E+ EZ> ^Zambitus, tota igitur perimetrus polygoni maior est
ambitu circuli.
11.
Datis duabus magnitudinibus inaequalibus fieri pot-
est, ut inueniantur duae lineae inaequales eiusmodi,
ut maior linea ad minorem rationem habeat minorem
quam maior magnitudo ad minorem.
sint duae magnitudines inaequales ABj /ly et maior
sit AB. dico fieri posse, ut inueniantur duae lineae
inaequales id, quod iussum est, praestantes.
1) Respicitur ad figuram ab Archimede ipso additam; cfr.
prop. 3.
2) Citat Pappus I p. 312, 7 ed. Hultscli.
14 nEPI £*AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.
xeCod^G) Slcc tb /3' rov TtQwtov tcjv EvxXeidov tc3
^ LfSov t6 jBjT, Kai xetad^G) tig evd-eta yQa^^r} rj ZH't6 drj FA eam(p eTnavvtLd^e^evov vTCeQe^et tov ^.
7tenoXXanXa6Ld(5%^c3 ovv xal eCtco to A®' xal ooa-
5 nXd^Lov e0tL to A0 tov AF^ to0avta7cXd6LOs e6t(D rj
ZH trjg HE. e6tLv aQa (og tb 0A Tcgbg AF, ovtcag
rj ZH TCQbg HE' xal dvdicalCv iatLv cog rj EH TC^bg
HZ, ovtcog tb AF TCQog A®. xal eTCel ^et^ov eGti
tb A® tov z/, tovte6tL tov FB, tb aQa FA TCQbg tb
10 A® Koyov eXd66ova e%eL^ 7]7CeQ tb FA TCQbg FB' xal
Cvvd^evtL rj EZ ccQa TCQbg ZH eXd66ova Xbyov exeL,
7]7CeQ tb AB jCQbg BF [dta Xrj^^ay l'6ov df t6 BFTc5 z/' rj EZ ccQa JCQbg ZH eXa66ova Koyov eiei^ TjTteQ
tb AB TtQbg t6 z/. EvQrj^evac elGlv ccQa dvo evd^etat
15 avLOOL 7COLOv0aL tb eTcCtay^a \tovte0tt trjv ^eC^ova
TCQbg trjv iXdaaova Xoyov e^eLV iXd^Cova ri tb ^et^ov
^eyed^og JCQbg t6 eXa60ov},
20 Avo ^eyed^Sv dvCacav dod^evtcov xal kvkXov dvva-
Tov i0ttv elg tbv xvxXov TtoXvycovov iyyQdtpaL Tial
dXXo TceQLyQd^aLy oTCcog rj tov TCeQLyQacpo^evov tcoXv-
ycovov TcXevQa TCQbg trjv tov iyyQacpo^evov TCoXvyojvov
TcXevQccv iXd66ova Xoyov e%ri 7] tb ^et^ov ^eyed^og
25 TtQbg t6 eXattov.
e6tco td doxtevta 8vo ^eye^ri td A., B, 6 de do-
d^elg TcvxXog 6 vTtoxeC^evog' Xeyco ovv^ ott dvvatov
i6tL TtoLetv tb inCtay^a,
1. KsCad-a) did xr/l. u. Quaest. A. p. 167. 2. ZH] EHHauber. 6. HE] ZE F; corr. C. 7. ij Zif] to Zif F;corr. Torellius. HE] ZE F; corr. AC. 15. ro snitayiia]
DE SPHAERA ET CYLINDllO I. 15
ponatur per secundam propositionem primi libri
Euclidis^) [Eucl. elem. I, 2] 5Jr= z/, et ponatur linea
recta ZH. Itaque FA magnitudo ipsa sibi addita z/
magnitudinem excedet [A«ft/3. 5]. multiplicetur igitur
et sit A& [> z/]; et quoties AF in A® continetur,
toties contineatur HE in ZH. est igitur @A : AF= ZH: HE [cfr. Eucl. V, 15]. et e contrario [EucL
V, 7 7i6QL(3iia\ EH:HZ = Ar:A0. et quoniam
A&> ^o:A0> FB, erit FA : A® < TA : FB.^) et
componendo igitur EZ :ZH<iAB:Br [u. Eutocius].^)
sed Br= ^. itaque EZ : ZH < AB : J. Itaque in-
uentae sunt duae lineae rectae inaequales, quae prae-
stant id, quod iussum est [id est, maiorem ad mino-
rem rationem habere minorem quam maior magnitudo
ad minorem].
III.
Datis duabus magnitudinibus inaequalibus et cir-
culo fieri potest, ut circulo polygonum inscribatur et
aliud circumscribatur, ita ut latus polygoni circum-
scripti ad latus polygoni inscripti minorem habeat
rationem quam maior magnitudo ad minorem.
sint datae magnitudines A^B^), datus circulus autem
is, qui infra positus est. dico igitur, fieri posse, ut
praestetur id, quod est iussum.
1) Proclus in Eucl. p. 68, 12: «al yccg 6 'AQxifiijSrjg ini-
^aXcov ra 7cq(ot(o {TlToXsficiLa}) iivrjfiovsvst rov EvnXsLdov.
2) (^uia EH : ZH < FJ : FB.3) Idem demonstrat Pappus II p. 686, 5 sq. cfr. Eucl. V, 18.
4) Desideratur: et maior sit A; cfr. prop. 4.
scripsi; to loov STtitayficc F, ro slqtjiisvov snLtayiicc Torellius.
In linea A@ litteras A %i B permutat F.
16 HEPI S<^AIPA2 KAI KTAINAROT A
.
10
15
svQrj^d^oijav yKQ dvo ev^eiaL aC @, KA, (ov fiSL^ov
€6tG) rj 0, S6t£ tr]v @ TtQog trjv KA iXd66ova loyov
sX^cv 7j t6 ^st^ov (leysd-og
TtQog tb eXattov^ xal
rjxd-cj dito tov A rrj AKJCQog OQd^dg rj AM, xal
dno tov K.tfi L6ri
^atrix^co rj KM [dvva-
tov yaQ rovTo]* aal
rix^co6av tov kvkXov
dvo dLa^stQOL itQog oq-
d^dg dkXrilaLg at FE,z/Z. ts^vovtsg ovv trjv
vTto rmv ^HF ycovLav
di^x^ ^*^^ '^V'^ '^ii^^SLav
avtrjg d^xa Tcal aisl
rovro TtoLovvrsg XsLipo-
^sv rLva ycovLav skd6-
6ova ri dL7tXa6Lav rrjg vTto AKM. XsXsLCpd^co xal s6ro rj
20 vTtb NHF, Kal stcs^svx^g) rj NF' rj aQaNF nokvycovov
s6rl TtXsvQa l6o7cIsvqov [sJtSLTCSQ rj vTtb NHF ycavCa
fisrQst rr^v vicb ^HF dQd^r^v ov6av, xal ri NF ccQa
7CSQL(psQSLa ^srQSL rrjv T^^ rsraQrov ov6av xvkXov.
G}6rs xal rbv xvxlov ^srQst' TCoXvycivov ccQa s6rl
25 JcXsvQa l6o7cXsvqov' cpavsQbv ydQ s6rL rovro]* xa\ rs-
r^ri^d^ci) rj V7cb FHN ycovia d^xa rrj HS svd^sia^ Tcal
d7cb roi; S scpa7Crs6%-a) rov kvkXov r] OSH, xal sx-
^s^Xri^Q^co^av av HNHy HFO. o6rs xal r] HO 7CoXv-
ycovov s6rl 7cXsvQd rov 7CSQLyQag)o^svov tcsqI rbv xv-
2. aatB Tr}v @ om. F; suppleuit ed. Basil. 12. FE] FBF (in fig. B pro E). 16. atsL F, dsl uulgo. 25. IgouXsvqov]
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 17
sint enim inuentae duae lineae 0, KA, quarum
maior sit 0^ ita ut @ Sid KA minorem rationem ha-
beat, quam maior magnitudo ad minorem [prop. 2|.
et ducatur ab A puncto linea AM ad AK perpen-
dicularis [Eucl. I, 11], et a K puncto ducatur KMlineae & aequalis [u. Eutocius]. et ducantur duae dia-
metri circuli inter se perpendiculares, FB et z/Z.
si igitur i ^HF in duas partes aequales secuerimus
et rursus dimidium angulum in duas partes aequales,
et hoc deinceps fecerimus, relinquemus angulum quen-
dam minorem quam duplicem angulum AKM. relin-
quatur et sit NHF-^ et ducatur NF. linea NF igitur
latus est polygoni aequilateri ^) [u. Eutocius]. et sece-
tur i NHF in duas partes aequales per lineam HS,et in puncto S tangat circulum linea OSH, et pro-
ducantur lineae*lfiVTJ, HFO. itaque etiam UO linea
latus est polygoni circa circulum circumscripti et
aequilateri^) [u. Eutocius].
sed quoniam i NHF < 2AKM, sed i NHF= 2THr, erit igitur
i THr<AKM.et anguli ad A^ T puncta positi recti sunt; itaque
MK:AK>rH: HT^)
1) Archimedes scripserat lin. 21—22: Tcolvyavov sorl iGo-
nX^VQov xal aqxionXEVQOv nXivqu; u. Eutocius.
2) Archimedes scripserat lin. 28: (oatB v.aL rj OII TCoXvya-VOV BGxlv LGOTtXsVQOV TCXSVQCC; U. EutociuS.
3) U. Eutocius; cfr. quae scripsi Zeitschr, f. Math. u. Physik,hist.-litt. Abth. XXIV p. 179 nr. 8.
LGOTtX. 7} FN uulgo. 26. FHN F, uulgo; NHF Torellius.
HIS!] NS F.
Archimedes, ed. Heiberg. I. 2
18 nEPI SO-AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
xAov ««l l0o%XivQOV {<f,aviQ6v, on «al 6ftotW Tp
.Vyo«a,o^sVa, o^ itX,vQa ^ iVr]. ^««l S\ iXaoeov
i,riv ¥, ScMa ^ i^6 NHF r^, M AKM S^-
nXaala S\ r^s vitb THF, iXa60a>v aQa n ^'«o ^H^
5 tni ixo AKM- ocal itOiv 6Q»al at %qos wis A,l
{, &Qa MK JCQOS AK HElt,ova X6yov h^h n^iQ n rH
nQhs HT. (n *^ ^ ^^ ^S ^S- .3^« ^ HS ^^os
HT sAaeeow Aoyov %«, toi>«'<5w ij 710 ;tpos Nl,
^'«so ^ Mif *90S -K^. "Si^' *« ^ *f^ '^9^« -^^
10 £'A«.5«ot;« Aoyov h^H ^%bq xh A tcqos ro B- xai isn
i) (ilv nO nksvQa rov jciQiyQaqioiievov «oAvyravov,
ij Ss FN Tov sVrpa?'»?»*'''»^- °''^*9 w^oExaiTO «v(>ffv.
d'.
J7«;iw Svo tieye»mv aviecav ovtq^^gcal toiieas Sv-
15 t/OTW i«Ti ««pl Tov TOftsa «oA^roi/o»' «£9W«,^«6 x«i
&Uo inQ^^"'' «>^^^ '^^" ^^"^ ntQiyeyQaix.\x,ivov JiUv-
Qkv %q6s tnv Toi) iyyeyQai^iiivov %UvQav i%aO<5ova
X6yov h^w n r6 f^etiov (liye^os ^q6s t6 ilaseov.^
iat€0 yaQ %aUv 8vo iieyi»n «viaa t« E, Z, mv
20 i^etiov i0tm th E, Mos Si t.s 6 ABF ^f^^Q^jJ^^l
tb J- xal 71q6s tc5 J to^ehs 6we6tata o AJB. dei
Sn «eQiyQdi>ai. xal iyyQAi>av noXvycavov neQi Tor ABA
T0ft6« re«S hov tae TclevQas Z^o^iS tmv BJA, o«a>s
yivn^tti t6 inhayfia.
25 ehQnO»a,0av yaQ Svo eimav al H, &K &vi6ov, xal
ae(ia,v ^ H, m6te t^v H ^QOS ti,v 0K iXdocova Xo-
yov h^vv, n t6 ivetiov (viye^os 7Cq6s t6 ikaosov [Sv-
2. wr] HNr F. 23. BJ, JA Torellius.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 19
sed FH— HS] erit igitur
HS : HT<MK : KA:^: UO : Nr<MK : KJ.')
Porro autem MK : KA<A: 5^); [itaque UO : NF< A : B\ et 770 linea latus est polygoni circum-
scripti, TN autem inscripti, id quod iussum erat in-
ueniri.
IV.
Rursus datis duabus magnitudinibus inaequalibus
et sectore fieri potest, ut circum sectorem polygonum
circumscribatur et aliud inscribatur, ita ut latus poly-
goni circumscripti ad latus inscripti minorem ratio-
nem habeat, quam maior magnitudo ad minorem.
rursus enim
sint E^ Z duae
magnitudines in-
aequales, quarum
maior sit E^ et
sit ABF circulus
centrum habens z/
punctum. et ad
ff- A punctum con-
struatur sector
AAB. oportetigi-
tur polygonum
circumscribi et in-
scribi sectori
Jf7
1) Nam U^'. HT=nO:Nr, quia HIe: t HT= 0$! : FT(ibid.^ p. 178 nr. 4) =20^ :2rT = HO : FN (Eucl. I, 26).Archimedes sine dubio uerba: tovTsaTiv rj TLO nqoq NF lin. 7ante sXcicaovcc Xoyov lin. 6 posuerat.
2) Nam ex hypothesi est : KA < A :.B et = MK.2*
20 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
varov yccQ tovro]. xccl a;r6 Toi) o^oicjg a%%^eC0rig JtQog
OQd^ag rfj K@ TtQoC^E^Xri^d^G} rfj H lOt] rj KA [di>-
varov yaQ, eTtsl ^eClov iorl 7] H rrjg &K]. re^voni-
vrjg drj rrjg vTtb rc5v A/IB ycavCag dC^a jcat rr^g rj^L-
5 GsCag dC^a xal dsl rovrov ytvo^svov Xstcpd-i^ijsraC rig
ycavCa ild66av ov6a rj dtTtXacCa rr^g vito AK&.
XsXelcp^o ovv rj vito A/1M' rjAM ovv yCverat Ttolv-
ycovov TtkevQa iyyQacpo^evov etg rov xvjclov. xal idv
reiLoiiev rrjv vito A^M ycovCav bC^a rfj AN xal djto
10 rov N dydyo^ev icpanro^evrjv rov kvkXov rrjv NSO,avrrj TtlevQa ecrat rov Ttokvyovov roi; jteQiyQacpo^evov
TteQt rbv avrbv tivtcXov o^oCov ra eiQrmevG). xal o^oCog
rotg jtQoeLQrj^evocg rj SO TtQbg rrjv AM ikd<50ova Xo-
yov e%eL^ TjjteQ rb E ^eyed-og TtQbg rb Z.
15«'•
KvkIov dod^evrog xal dvo ^eyed^dav dvC^ov iteQi-
yQaipat jteQi rbv kvkXov TtoXvycavov xal dkko iyyQaxl^aL,
co0re rb TteQLyQacpev TtQbg rb iyyQacpev ild(56ova koyov
e%eLV, ri rb ^et^ov ^eyed^og TtQbg rb eXa66ov.
20 iTCKeCod^a KvxXog 6 A Kal dvo fieyed^rj dvL0a rd
E, Z Kal ^et^ov rb E. det ovv TtoXvycovov iyyQd^at
BLg rbv kvkXov Kal dXko TteQtyQdipaL , Xva yevrjraL rb
iTtLraxd^ev.
1. Tov 0] sic F; K Torellius (cum ed. Bas.), qui etiamin sequentibus, sicut in ipsa figura has litteras permutauit.
2. rij K©] zf) @K trjg KA Torellius; rfi @K rrjg @A ed. Ba-sil. 3. yccQ, knsL F, uulgo; yoLQ tovto, iit&iTtBQ Torellius.
iiEL^ov F. 6. AK@ F; A@K Torellius. 7. ytVfrai] ydgcomp. F, uulgo; ccqcc Torellius. 8. v.vvXov'] to^boc Torellius.^
10. v.vy.lov] Toiiicog Torellius. 12. kvtiIov] rofifa Torellius.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 21
AB^ aequalia habens latera praeter 5z/, ^A, ita
ut fiat id, quod iussum est. inueniantur enim duae
lineae rectae H, &K inaequales, quarum maior sit i/,
ita ut H: 0K <E: Z [prop. 2]. et a puncto uti
supra [prop. 3] ducatur linea [®A] ad K& perpendi-
cularis, et iungatur KA lineae H aequalis [prop. 3
p. 16, 7]. si igitur L A^B in duas partes aequales
secuerimus et dimidium in duas partes aequales et
hoc deinceps fecerimus, relinquetur angulus minor
quam duplex angulus AK®.relinquatur igitur L ^^M<2AK&. itaque linea
AM latus erit polygoni circulo inscripti [p. 16, 20].
et si L ^^M in duas partes aequales secuerimus per
lineam z/iV et ab iV puncto lineam NSO circulum
tangentem duxerimus, ea latus erit polygoni circum
circulum circumscripti similis^) polygono, quod nomi-
nauimus [h. e. inscripto]. et eodem modo, quo supra
[prop. 3], erit
SO:AM<E:Z.^)
V.
Circulo et duabus magnitudinibus inaequalibus da-
tis polygonum circum circulum circumscribere et aliud
inscribere, ita ut polygonum circumscriptum ad inscrip-
tum minorem rationem habeat, quam maior magni-
tudo ad minorem.
ponantur circulus A et duae magnitudines inaequa-
1) U. p. 18, 1 et Eutocius ad prop. 3 extr.
2) L A^M= 2MJn<2AK@', itaque L^^n<AKG;quare AK : K@ ^ Mzl : JH 3: JN : JU < AK : K@; sedJN:Jn=ON:Mn= SO:AM<AK:K@<E:Z :>:^0'.AM<E : Z. n litteram in figura ipse addidi. •
isr
22 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A
.
Xa^^u.vci yaQ dvo ev^eiag avl&ovg rag T, J,^v
^dl^v ^arco V r, ^ars r^v T ^q6, r^v ^ fla06ova
Xoyov e%etv r} ttjv E itQog
triv Z. xal rcov F, J^e^rig avdloyov kricpd-ei-
arjgrrjgH^eitcDvaQcoccclri
r rrjg H. TceQvyeyQacp^Gi
drj TteQi xvkXov Ttolv-
ycovov xal aXXo eyyeyQdtp-
^cj, 036re rrjv rov 7te-
QiyQafpevrog jtokvycovov
TtkevQav TtQog rr\v rov
eyyQafpevrog ekd66ova Ao-
yov h^iv n n^ r «96S r^v H [xa9ms i(vd9ot^svl S^i
15 toiko Si, «al 6 Si7cld0LO? Uyos iroi Sinlaeiov ilae-
6mv ictC. xal Tov (iBV tris «A«v(.5s ^r^os ti,v ,cXsvQav
8,,tld0ws ieri 6 rov Mlvydvov Xqos tbv ^olvycovov
[oaoia ydQ] , tijs Si F ^t^os ti,v H 6 tijs F «pos r,,^ J.
x«l ro TtsQcygacpy uQa ^oXvymvov «905 ro eyyQa<pev
20 iXisaova kdyov h^i, i',nBQ i, F 7Cq6s rijy J. noUm
,&QU ro :ceQiVQCc9y ^Qosth iyyQa<piv iXa6Sova loyov
txch ^'«S9 tb E JCQbs ro Z.
S'.
'O^otes Si, SsCioiiev, oti S^o tisys»mv &vC0a,v «o-
25 »ivtmv x«l toy^ims dw«rdr i0tiv tcsqX tbv ro^s'« «0-
Xvymvov TCSQvyQdfaL x«l «Uo iyyQdi^ac ofioioi. avta,,
%va tb nsQcyQaq>iv «pos rb iyyQacpsv iXd00ova Xoyov
hV n rb iisttov tiiys»os ^QOS tb sXa00ov.
rZe^ve comp. F. 3. to E «m.roZ ed Baail., To-
rell. 20 «oXX» l»« »«l « B, ed. Basil, Torellms.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 23
les E, Z, quarum maior sit E. oportet igitur poly-
gonum circulo inscribi et aliud circumscribi, ita ut
fiat id, quod iussum est.
nam sumo duas lineas rectas F, z/, quarum maior
sit Ff ita ut F ad z/ minorem rationem habeat quam
E sid Z [prop. 2]. et sumpta linea H media inter
lineas F, z/ proportionali [Eucl. VI, 13], erit igitur
etiam F > if. ^) circumscribatur igitur polygonum
circum circulum et aliud inscribatur, ita ut latus po-
lygoni circumscripti ad latus inscripti minorem ra-
tionem habeat, quam F ad H [prop. 3]. quare
etiam ratio duplicata [laterum] minor est ratione
duplicata [linearum F, H]-^ et laterum ratio duplicata
aequalis est rationi polygonorum [Eucl. VI, 20] [similia
enim sunt, u. p. 21 not. 1]; ratio autem linearum J", Hduplicata aequalis est rationi linearum JT, z/ [Eucl. Vdef. 10]. habet igitur etiam polygonum circumscrip-
tum ad inscriptum minorem rationem quam F ad ^,
et multo etiam magis minorem rationem quam E Sid Z[nam F : ^ <i E : Z ex hypothesi].
VI.
Eodem modo demonstrabimus, datis duabus magni-
tudinibus inaequalibus et sectore fieri posse, ut cir-
cum sectorem polygonum circumscribatur et aliud ei
simile inscribatur, ita ut ^rcumscriptum ad inscriptum
minorem rationem habeat, quam maior magnitudo ad
minorem [cf. prop. 4].
1) Quia H^ = rj <: r\
24 nEPi s^AiPAi: kai ktainapot a'.
(pavBQOv de xal touto, otl, iccv dod^rj KvxXog 7] ro-
^svg xal %g)qCov rt, dvvatov i6tLV iyyqd^povta eig toi/
xvxXov ^ Toi' to^ia TtoXvycjva iGonXavQa xal stc del
tig ta HEQLkeiTto^ava t^i^^ata ksiJtaLv tLva t^ri^ata
5 Toi; xvxXov i] to^ecog^ ccTteQ e6taL ikdcGova Tot5 jCQoxeL-
lievov %g)qCov. tavta ydg iv tfi GtOL^eLCjOet TCaQade-
dotac.
deLXteov de^ otL xal xvxXov doQ^evtog rj to^eog xal
%coqCov dvvatov i6tL TCeQLyQa^aL noXvycovov neQl rov
10 xvxXov 7] xov TOftea, m6te td iieQLleLTCOfieva trjg JteQL-
yQacprjg t^ri^ata ikd66ova elvai tov dod^evtog xcdqCov
eOtaL yaQ ejcl xvxlov deC^avta ^etayayetv tbv o^olov
koyov xal iTtl tov to^eog.
dedoCd^cj ;cv;cAog 6 A xal xoqCov tL ro B. dvvatov
15 dr] TteQLydjpaL TteQl roi/ xvxXov Jtokvyovov , m6te xd
aTtokrjq^d^evta T^rj^ata fieta^v T0i5 xvxkov xal roi) Jto-
kvycivov ikd66ova eivaL rov J5 %g)qCov. xal yaQ ovtcjv
dvo ^eyed^ov dvC6cjv, ^eC^ovog ^ev 6vva^(poteQov rov
te xcoqCov xal tov xvxXov, ikd66ovog de roi) xvxXov
20 TceQLyeyQdcpd^G) JceQL rox/ xvxXov Tcokvycnvov xal dkXo
iyyteyQdg^d^G) , S6te to TCeQLyQacpev TCQog tb iyyQacpev
iXd66ova koyov e^eLv 7] tb eCQrj^evov ^et^ov ^eyed^og
JCQbg t6 eka66ov. tovto drj ro neQLyQacpo^evov noXv-
ycjvov i6tLV, ov td TceQLkeC^^ata e6taL ikd66ova rou
25 7CQote%^evtog %g)qCov tov B.
el yaQ ro neQLyQacpev TCQbg tb iyyQacpev ikd66ova
koyov e%eL ^ ro 6vva^cp6te^v o te xvxkog xal tb B
6. TtaQaSsdcatcii F. 9. nsQi] ns F. 12. sctai] recepi
ex A, s6t(o F. 14. Tt ita scribitur in F, ut a compendiouerbi rov dignosci non possit. 16. oinoXrjcpd^svta'] scripsi;
dnoXsicpd^svta F, uulgo. 18. ^SL^avog F. 24. nsQiXifiiiata F.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 25
Hoc quoque adparet, dato circulo uel sectore et
spatio fieri posse, ut circulo uel sectori polygona
aequilatera inscribentes et deinceps segmentis relictis
aliquando segmenta circuli uel sectoris relinquamus
eiusmodi, quae minora sint dato spatio. haec enim in
elementis tradita suni^)
Demonstrandum uero, dato circulo uel sectore et
spatio fieri posse, ut circum circulum uel sectorem
polygonum circumscribatur, ita ut segmenta relicta
figurae circumscriptae minora sint dato spatio. licebit
enim, cum in circulo demonstrauerimus, eandem ratio-
cinationem ad sectorem transferre.^)
sit datus circulus A et spatium aliquod B. itaque
fieri potest, ut circumscribatur circum circulum poly-
gonum, ita ut segmenta inter circuli et polygoni am-
bitus comprehensa minora sint spatio B, nam datis
duabus magnitudinibus inaequalibus, quarum maior est
spatium simul cum circulo, minor autem ipse circulus,
circumscribatur circum circulum polygonum et aliud
inscribatur, ita ut circumscriptum ad inscriptum mi-
norem rationem habeat, quam maior magnitudo ad
minorem [prop. 5]. Tum polygonum circumscriptum
eiusmodi erit, cuius segmenta relicta minora sint spa-
tio dato, quod est B.
nam si quidem polygonum circumscriptum ad in-
scriptum minorem rationem habet quam A -^- B i A,
1) EucL elem. XII, 2 (II p. 200 ed. August): rsfivovtsg ^97
tag VTtoXsLTto^svag nsQicpSQsiag 8Cxa y.al sni^svyvvvtsg svQ^siagHttl tovto dsl noiovvtsg y,ataXsLipO(isv tiva t(n](iatd nots tovxvx^ov, d satai iXaGGova tfig vnsgoxijg, 17 vnsQSx^i' o EZH@'Kvy.Xog Tov 2 x<^qCov] cfr. X, 1.
2) Demonstratio eadem est, nisi quod.pro prop. 5 ea usur-panda sunt, quae initio prop. 6 dicta sunt..
26 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
j(^G)Qtov TtQog avtbv rov xvxXov, tov 8e iyyqaipo^ivov
^eo^cov 6 xvxXog^ Ttokka ^akXov ro TCEQiyQatpev TtQog
xov xvxkov ikd^Cova koyov 6%£t,
7] xo 6vva^(p6tsQOv o ts xvxXog
xal tb B %coQLOv TtQog avtbv
tbv xvxkov. xal dieXovti aQa
rc!: aTtoXsL^^ata tov TtSQLysyQa^-
^ivov TtoXvycovov TtQbg tbv xv-
xkov ikd06ova koyov sxst, ^TtSQ
tb B xoqCov TtQbg tbv xvxkov.
ikd66ova ccQa td dTtoXsC^^ata
tov TtsQuysyQa^iiivov TtoXvycovov
tov B %oqCov. 7] ovtcjg' ijtsl
tb TtsQuyQacpsv itQbg tbv xvxXov
15 iXa66ova koyov sxsi^ ri tb Cvva^cpotsQOV o ts xvxkog
xal tb B xoqCov TtQog tbv xvxkov, did tovto drj ska6-
6ov s6tai tb TtSQiyQacpsv 6vva^cpotiQov. a6ts xal oka
td TtsQiksCfi^ata ikd66ova s6tai tov xcoqCov tov B.
oyboCcog d\ xal ijtl tov to^icyg.
10
20 S.
'Eav iv i6o6xsksi xcovci TtvQa^lg iyyQacpfj l^oitksv-
Qov sxov6a ^d6iv, 7} imcpdvsia avt^g x^Q^^S ''^VS ^d-
6scog i6ri i6tl tQiycovc) ^d6iv ^sv sxovti i6rjv tij JtSQi-
^iitQG) trjg pd6scog, vtf^og ds triv ditb tijg xoQvcpijg iitl
25 ^Cav TtksvQav trjg pd^scog xdd^stov dyo^ivrjv.
s6tco xcovog i6o6xskrig^ ov ^d6ig 6 ABF xvxkog,
xal sig avtbv iyysyQdcp^co TtvQa^lg i^oitksvQOv sxov6a
2. jLtsi^ov F. 7. d7Coh(i(icita F. 13. ovtcag per com-pendium F. 18. 7t£QiXLfi{iata F; corr. AD. 19. inL ego
addidi. 26. Kovog F.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I.'
27
circulus A autem maior est poljgono inscripto [p. 10,
23]^ multo igitur magis polygonum circumscriptum ad
A circulum minorem rationem habet quam A-^- B:B.
itaque subtrahendo [per conuersionem propositionis ab
Eutocio ad prop. 2 demonstratae, u. p. 15 not. 3; cfr.
Eucl. V, 17] segmenta polygoni circumscripti ad cir-
culum minorem habent rationem, quam J5 spatium ad
circulum. minora igitur [Eucl. V, 10] segmenta relicta
polygoni circumscripti erunt spatio B. uel hoc modo:
quoniam polygonum circumscriptum ad circulum mi-
norem rationem habet, quam circulus simul cum Bspatio ad circulum, polygonum circumscriptum minus
erit quam A -\- 5^); quare segmenta relicta omnia
minora erunt spatio B [Eucl. I kolv. bvv. 5]. Simi-
liter etiam in sectore dicendum.
VII.
Si cono aequicrurio inscribitur pyramis aequilate-
ram basim habens, superficies eius praeter basim
aequalis est triangulo basim habenti perimetro basis
aequalem, altitudinem autem iineam a uertice ad latus
aliquod basis perpendicularem ductam.
sit conus aequicrurius, cuius basis sit circulus
ABFj et ei inscribatur pyramis basim aequilateram
1) Ex Eutocio adparet, Archimedem lin. 16—17 scripsisae:
8ia 8 7] tovxo sXaaaov iaxv x6 nsQLyQCi(p6(isvov xov avvaficp.
Ceterum Archimedes uix duas demonstrationes dederat; genui-nam hanc fere fuisse puto (Quaest. Arch. p. 74): x6 ovv tzsql-
ysYQafifiivov nQ6g x6 syysyQafifisvov ildaaova loyov sxsi r/ x6
avvaii(p6xsQov o xs Hvyilog xat x6 B xaiQiov nQ6g avx6v x6v v.v-
vlov. Sva Si] xovxo sXaaaov saxi x6 nsQiyQatpo^svov xov avvafi-
tpoxsQov coaxs v.a\ xa nsQiXstfifiata iXdaaova saxai xov BXtOQlOV.
28 HEPI 2:$AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.
10
^aGiV ro ABF. Xsyco, otl rj iTCicpcivsLCC avf^g xoQlg
trjg ^d^scog lOy} s6xl ra stQrj^evc) tQLycovG).
STCsl yaQ L6o6xsXrig 6 xcovog, xal iGoTtksvQog i] ^dcLg
trjg TtvQa^iLdog, td v^tpri
5 7\ -^ rc5v TtSQiSXOVtCOV tQLycovov
triv TCVQa^ida L6a sOtlv
dXXriXoLg. Ttal ^dOLV ^sv
s%SL td tQiycava tdg AB^BF, FA, vil^og de ro siQrj-
^svov. w0ts td tQiycova
L0a S6tL tQLyCOVG) ^dCiv
^sv s%ovti trjv l'6r}v tatg
AB, Br, FA, vi^og ds
trjv SLQrj^svrjv svd^stav
15 \tovts0tiv r} STiifpdvsia tr]g jtvQa^idog xcoQig roi; ABFtQiycovov].
[6a(ps6tsQ0v dXXcog rj dst^Lg]
[s6tG) xcovog L(3o6KsXi^gy ov ^d^Lg ^sv 6 ABF xv-
Tikog, KOQVfpr] ds tb ^ ^rj^stov, xal syysyQdcpd^o sig
20 tov xcovov TtVQa^lg pdCLV [^sv] sxovCa lOotcXsvqov
tQLyovov to ABF, xal sitsi.svx^^^^'^ ^^ AA, ^J^j -^-S.
Xsyo, oti td A^B, AAF, BAT tQiyova l'6a iatl
tQiycovo, ov rj ^sv ^d(5ig L6rj i6tl trj nsQi^stQO tov
ABF tQiycovov, rj ds aTto trjg xoQvq^rjg inl trjv pd6iv
1. To] rco F; corr. A. ^dciv iilv sxovacc lgotiX. rQiycovov
TO uel ^doiv t6 rQLyoavov x6 Nizze. 3. ¥.ovog F. 5. tQiym-
vcav errore om. Torellius; sine codicum auctoritate suppleuit
Nizze; habet F. 17. Haec demonstratio altera postea inter-
posita numero ij significatur in F, sed numerum om. iam ed.
Basil. 18. k'atco] oaats F; corr. B manu 2? (Quaest. Arch.
p. 129). 20. fisv deleo ; cum librarius alibi toties §(xaiv fiiv
scripsisset, particula hic quoque irrepsit.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 29
habens, quae sit ABF. dico, eius superficiem praeter
basim aequalem esse triangulo, quem commemorauimus.
nam quoniam conus aequicrurius et basis pyrami-
dis aequilatera est, altitudines triangulorum pyramidem
€omprebendentium aequales sunt.^) et basim habent
trianguli ABy BF, jTz/ lineas, altitudinem uero eam,
quam diximus. quare trianguli [h. e. superficies py-
ramidis praeter basim] aequales sunt triangulo basim
liabenti lineam aequalem lineis AB, BF, T/i [h. e.
perimetro basis], altitudinem autem lineam, quam dixi-
mus [Eucl. VI, 1].2)
[Demonstratio aliter et magis perspicue exposita]^).
[Sit conus aequicrurius, cuius basis sit circulus ABT,uertex uero z/ punctum; et cono inscribatur pyramis
basim habens triangulum aequilaterum ABT, et du-
cantur lineae AAy AT, AB. dico triangulos AAB,AATjBzlT aequales esse triangulo cuius basis aequalis
sit perimetro trianguli ABT, perpendicularis autem a
uertice ad basim ducta aequalis lineae a z/ puncto ad
BT perpendiculari.
ducantur enim perpendiculares z/jRT, ^dA, ^M \i-
neae; sunt igitur aequales [cfr. not. 1]. et ponatur
triangulus EZH basim EZ aequalem habens perimetro
1) Nam trianguli, quorum latera sunt axis coni, altitudines,
lineae a, b, c (quas in figura addidi), unum latus (axem) com-mune, alteram (a, b, c) aequalem habent et sunt rectanguli;itaque etiam bases aequales habent (Eucl. I, 4),
2) Uerba sequentia subditiua sunt, ut ex collocatione ad-paret; pertinent enim ad xa xqiyoivu lin. 8, ut in interpreta-tione expressi. si ad xQiyc6v(p lin, 11 pertinerent, quod per se
minus accurate diceretur, debebat esse t^ snicpavELa ex con-stanti usu Archimedis.
3) Quae sequitur demonstratio ut subditiua in adnotationesreiicienda erat, sed ne typothetis molestia existeret, retinui.
30 nEPI 2:$AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.
xdd^stog L6rj tPj itad^BtG) tfj ccTth xov /1 i%\ Trjv BFayo^Evt].
Yiid^G)0av yaQ xad-STOL at ^K^ /i A^ AM. avTai
a^a iGai aXXiqlaig ai0iv. Tcal 7C6i6d^(o TQiycovov xo EZH5 SXOV TrjV ^8V EZ ^d(5iV T^ JtSQi^ETQC) TOi) ABT TQi-
jifcovoi; i6rjv, TTjv ds H& xdx^eTov Ttj ziA i'6riv. eTtsl
ovv To V7c6 Toov BF, /AA di7tXd6i6v iOTiv roi; ^BFTQiycovov, e6Tiv de xal t6 ^ev vito tcdv AB^ ^K dt-
7tkd6iov Tov ABzf TQiycovoVj t6 de vTto AF, z/M10 diitXd^iov Tov AAT TQiyojvoVj t6 ccQa vito Trjg Ttegi-
/Li£T^ov Tov ABT TQiycovov, TOVTBCTi Trjg EZ, zal trjg
AA^ T0VTe6Ti Trjg i/©, diJtXd^iov i6Ti t^v AAB^BATy AAT TQiymvcov. e6Ti de xal t6 V7t6 EZ, H®6i7tkd6iOV Toi) EZH TQiycovov. l6ov aQa t6 EZH
15 TQiycovov Totg AAB^ BAT, AAT TQiyc6voig\
r
^Edv 7teQl Kcovov i6o6xekrj 7tvQa^lg TteQiyQacp^, rj
i7ti(pdvsia Trjg 7tvQa^iidog %coQLg Trjg . ^d6ecog i6ri i6Tl
TQiycovco pd6iv ^ev e%ovTi Trjv i6rjv Tij 7teQi^eTQG) Trjg
20 ^d6ecog^ vtpog de Trjv TtXevQav Toi) zcovov.
e6Tco xcovog, ov ^d6ig 6 ABT xi^x^log, xal ^tvQa^lg
TteQiyeyQdcpd^co^ S6Te Trjv ^d6iv avTrjg^ T0VTe6Ti to ^EZ7tokvycovov^ 7teQiyeyQa^^evov 7teQl t6v ABT xvkXov
elvai. Xeyco^ oTt ri i^ticpdveia Trjg 7tvQa^idog xcoQig Trjg
25 pd6ecog t6ri i6tl Ta eiQrj^evG) TQiycovc).
i7tel yaQ [6 d^cov Toi) xcovov oQd^og i6Ti 7tQ6g Trjv
2. ayo^EVTj scripsi; ccyo^svriv F, uulgo. 10. ABF^yi^rF; corr. Torellius. 16. ^' F; u. ad p. 28, 17. In figura et
deinde in uerbis Archimedis litteras A et K permutauit Torel-
lius. 26. Tov] civtov F; corr. ed. Basil.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 31
trianguli ABFj altitudi-
nem autem H& aequa-
lem lineae z/ A. iam quo-
niam
Brx^A = 2JBr[Eucl. I, 41],
et
ABx/iK = 2AB/Jy
et
Arx^M=2Azjr,
erit igitur rectangulum,
J^ quod a perimetro trian-
guli ABFj h. e. linea
EZ^ et z/^, li. e. linea
H@, continetur = 2x (^z/5 +5z/r+ ^z/r); sed
EZxH&^ 2EZH [Eucl. I, 41]; quare
EZH= AAB + B^r+ A^ri
VIII.
Si circum conum aequicrurium pyramis circum-
scribitur, superficies pyramidis praeter basim aequalis
est triangulo basim habenti lineam perimetro basis
aequalem, altitudinem autem latus coni.
sit conus, cuius basis sit circulus ABFj et circum-
scribatur pyramis, ita ut basis eius, h. e. polygonum
AEZj circum circulum ABT sit circumscripta. dico
superficiem pyramidis praeter basim aequalem esse
triangulo, quem commemorauimus.-
cum enim axis coni ad basim p'erpendicularis sit.
32 nEPI S<I»AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.
^a(5iv^ rovxi^ti TtQog tov ABF kvkIov, xal] cci Kito
tov KevtQOV tov kvkXov ijcl tccg acpag eTtt^svyvv^svai
6vd-8tai Ka%-£tOi €i6iv £7cl tccg icpaTtto^ivag ^ e6ovtai
ccQa Kal aC cctco tijg KOQvq^rjg Toi' kojvov ijtl tccg acpccg
iTti^svyvv^svai Kccd^stoi iitl tag
JE, ZE, Z/1. alHA, HB, HFccQa aC siQTj^ivai Kccd^stoi i<5ai
Si6iv dXkriXaig' TtXsvQal yccQ
Si6iV Toi) K(6vov. KSi6d^G) drj to
10 / tQiycovov to ®KA i6rjv s%ov
tr\V \CsV 0K tfj TtSQi^StQC) tov
AEZ tQiychvov.) tr\v df AMkcc-
d^stov i0rjv trj HA. insl ovv to
fisv vTtb AEy AH 8i7tXd6i6v
i6ti tov E^H tQiy(Dvov, t6 ds
vTtb z/Z, HB diTtXd^iov i6ti
tov AZH tQiycovov, tb ds vTtb
EZ^ FH di7tld6i6v i6ti tov
EHZ tQiycDvoVy s6tiv ccQa t6
20 / // \ ^ \ v7tbtrjg&KKaltr}gAHytovts6ti
2, trjg MA, di7tkd6iov tcov EAH,ZAH^ EHZ tQiycovcDV. s6tiv
ds KOi tb V7tb t(DV @K, AM di7tkd6i0v tov AK® tQi-
ycovov. did tovto drj i6rj i6tlv r\ iTticpdvsia tijg Ttv-
25 Qa^idog %OQlg trjg pd6sog tQiyojv(p ^d6iv ^sv s%ovtL
i6r]v tfj 7tSQi^itQG) Tov AEZ^ v^^og ds trjv TtlsvQccv
tOV KCJVOV.
15
4. xal cit] at om. F. 14. AH] AN F. 15. Ez/H]EJN F. 19. EHZ] ENZ F. 25. tQiycovco] xQiyai F.
26. Tov JEZ TQiycovov Nizze.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 33
h. e. ad circulum ABF, et lineae a centro circuli ad
puncta contactus ductae perpendiculares sint ad con-
tingentes [Eucl. III, 18], erunt^) igitur etiam lineae
a uertice coni ad puncta contactus ductae perpendicu-
lares ad ziE, ZE^ Z/1 [u. Eutocius]. itaque perpen-
diculares, quas commemorauimus, HAy i/5, i/JT, aequa-
les sunt; sunt enim coni latera. ponatur igitur trian-
gulus ®KA aequalem habens 0K latus perimetro
trianguli ^EZ, perpendicularem autem AM aequalem
lineae HA. quoniam igitur
ziExAH=2EAH [Eucl. I, 41],
et AZxHB = 2AZH,
et EZxrH=2EHZ,est igitur 0K X AH, uel, quod idem est,
®K X MA = 2 {EAH+ ZAH+ EHZ).
est autem etiam
f)KxAM=2AKS [Eucl. I, 41].
[quare 2AK® = 2{EJH-{- ZAH+ EHZ) d:
AK0 == EAH+ ZAH + EHZ].
est igitur superficies pyramidis praeter basim aequa-
lis triangulo basim habenti perimetro trianguli AEZaequalem, altitudinem autem latus coni.
1) Lin. 3— 6 ArcMmedes scripserat: cd aQcc ccno ttJ? ho-Qvcpijg STcl To: A, B, F STti^svyvvfiEvai ^ocQ^stoc sloiv sit' uvxccgh. e. xccs scpanxoiisvag lin. 3); u. Eutocius.
Archimedes, ed. Heiberg. I.
34 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
'Eccv xcovov TLVog i6o6xsXovg dg rov kvxXov^ og
£0X1 ^daig rou xcovov., sv^sta yQa^^rj s^Jtsari^ d-Jto ds
rcov TtSQdtGiv avf^g sv^siat yQa^^al dy%^Gi6iv sitl trjv
5 K0Qvq)riv rov xcjvov, to TtsQikricpd-sv tQiycovov vito ts
trig s^7tsaov6rjg xal rcov s7tLt,sv%^SL6^v sitl trjv xoQvcprjv
sXa00ov s6taL trjg sitLCpavsiag rov xcovov trjg ^sta^v
twv STtl trjv xoQvq)r}V s'JtLt,svx%'SL6mv.
s0tci) Ticovov taoaxsXovg ^da^g o ABF xvxXog, xo-
10 Qvcprj ds ro ^, xal dLrjx^cj tLg sig avtov svd^sta rj
AF' xal dico trjg xoQvcprjg s%l td A^ F s7tst,sv%^co6av
UL AJ^ ^r. Xsyo^ oti ro
AAT tQLyovov sXa^Gov s6tL
trig sTtLcpavsCag rot) xcjvov trjg
15 A ^stai,v tov AAT.tst\ir\6^cxi r^ ABT TtSQLcps-
QSLa dC%a xatd ro 5, xal sjt-
s^sv%d^G)0av aL AB, TB^ AB.s6taL drj taABA^ BTA tQL-
yova ^SL^ova rov A^T tQL-
y ycovov. (p dr] v7tsQS%SL td
SLQrj^sva tQLyova rot» AATtQiycovov, s0to to &. to drj
S rjtoi rc5v AB, BT t^rj^d-
25 ^^^^^r '^T^ ^W'^ sXa606v s6tLV, 7} ov. s6to
Jirj sla660V TtQOtSQOV. S7tSL
ovv dvo slGlv s7tLcpdvsLaL ri ts xovLxr} rj ^sta^v rc5v
A^B ^std rov AEB tiiriiiatog xal r^ rot5 AAB tQL-
1. L F. 5. 7tsqiXri(p&6v] scripsi; nsQLXsLCpd-sv F, uulgo.
6. s^nscovarjg] s-^mscoverig F; postea corr. B.
20
DE SPHAERA ET CYLINDRO L 35
IX.
Si in cono aequicrurio ^) linea recta in circulum^
qui est basis coni, incidit, et a terminis eius lineae
rectae ducuntur ad uerticem coni, triangulus^ qui con-
tinetur a linea incidenti et lineis ad uerticem ductis,
minor erit superficie coni, quae est inter lineas ad
uerticem ductas.
sit ABF circulus basis coni aequicrurii, uertex
autem ^ punctum, et in circulum incidat linea AT,et a uertice ad A, F puncta ducantur lineae Azl, zfF,
dico triangulum AAF minorem esse superficie coni,
quae inter A^^ z/jT lineas sit.^)
secetur ABF ambitus in duas partes aequales in
B puncto, et ducantur AB, FB, AB. erunt igitur
trianguli ABA, BFA maiores triangulo A^F^) [u.
Eutocius]. sit igitur @ spatium aequale ei spatio, quo
excedunt trianguli ABA, BFA triangulum AzIF. ita-
que @ spatium aut minus est segmentis AB, BF, aut
non minus. — prius sit ne minus. quoniam igitur
datae sunt duae superficies, conica superficies, quae est
inter lineas AA, AB, una cum segmento AEB et
triangulus AAB, eundem terminum habentes perime-
trum trianguli AAB, maior erit superficies compre-
bendens comprebensa [Aaft/3. 4]. itaque superficies co-
1) Graece genetiuus legitur, qui ad uerbum v.vv,Iqv uel po-tius ad totam sententiam referendus esse uidetur, de qua di-
cendi licentia infra dicetur.
2) Hoc nimis ambiguum est; Archimedes sine dubio bocsaltem loco addiderat: xat r^g ABT nsqiq^sqBiag^ ut prop. 10p. 38, 25; Quaest. Arch. p. 72.
3) Lin. 19—20 Archimedes scripserat: ,}isi^ovcc aqa sgtI zdAB/l^ Bzir zQiycava xov A d F TQiyavov (u. Eutocius).
3*
36 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
ycivov to avro jtSQag 6j(^ov6ai rrjv TtsQi^srQOV roi)
tQiycovov rov A/IB^ ^si^cov sorat rj TtsQila^^avovGa
rrjg TtSQilafi^avo^Evrjg. ^Si^av aQa i6rlv 7] xc3Vixr}
STtitpdvsia rj ^sralE^v rc5v A/JB ^sra roi) AEB r^?J-
6 ^arog roi) ABzt rQiycovov. o^oiog ds 'nal rj ^sra^v
rcDV B/ir ^sra rov FZB r^i^^arog ^si^cov s6rlv rov
BAF rQiy(6vov. olrj ccQa r] xovixrj siticpdvsia ^sra
tov @ ;tCL>()toi; ^si^cov s6ri rcov SiQrj^svcov rQiyojvcjv.
rd ds siQrj^sva rQiyova i6a sOrl ra rs A/dT rQi-
10 yoav(p xal rw & XOQico. xoivov dcprjQri^d-co ro ® %g)-
QiOV XoiTtr] ccQa rj ^ciyviKrj STticpdvsia rj ^sra^v rov
AAT ^si^cjv s0ri rov A^F rQtydvov.
S0rc3 drj rb ® sla66ov rcov AB, BF r^rj^drov.
rsybvovrsg drj rdg AB], BF TtSQicpSQsCag di%a otal rdg
15 r]^i6Siag avrcov di%a Xsitl^o^sv r^ri^ara sXd66ova ovra
rov ® %oQiov. XsXsicpd^o r« sTtl ra5v AE^ EB, BZ,
Zr sv&siov, Tcal STts^svxd^o^av at /lE^ AZ. ndliv
roivvv Tcard rd avrd rj ^sv sjticpdvsia roi) xoovov rj
^sra^v rcov AAE ^srd rov STtl rrjg AE r^rj^arog
20 ^si^ov s6ri rov AAE rQiyovov rj ds ^sra^v rcoi/
EAB iLsrd xov sitl rrjg EB rfiT^^arog ^si^ov s6rl rov
EAB tQiyovov. rj aQa STticpdvsta rj ^sta^v rcov AABfisrd rc52/ AE, EB r^rj^drov ^si^ov 66ri rc5v AAE,EBA rQiycQvov. sitsl ds td AEA^ AEB rQiyova
25 iLSilovd s6ri rov ABA rQtycovov, Kad^og dsdsixrai,
Ttokko aQa rj sjticpdvsia rov xcovov rj ^sra^v r(»i/ AABybsrd rcov sTtl rcov AE^ EB r^rj^drov ^si^ov i6rl rov
5. ^f'] scripsi; cfr. Quaest. Arch. p. 145; 8ri F, uulgo.
6. tmv B/dr] tov ^BF xQiycovov F, uulgo; tmv BJ, JF To-
rellius. 12. AJF] scripsi; AJB F, uulgo; AJ, JT Torel-
lius. 15. rjfiiasiag] r,(ii^iccg F, uulgo. 16. XeXKpd-co F.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 37
nica, quae est inter lineas A/dTy ^B, una cum segmento
AEB, maior est triangulo AB/i. et eodem modo
conica superficies, quae est inter lineas 5z/, z/F, una
cum segmento FZBj maior est triangulo B/IF. tota
igitur superficies conica [quae est inter lineas Azl, ATet ambitum AEBZF] una cum spatio ® maior est
triangulis, quos commemorauimus [ABA^ B^F].^)
sed trianguli AB/J, BAF aequales sunt triangulo AJFuna cum spatio ® [ex hypothesi]. subtrahatur @ spa-
tium, quod commune est. itaque, quae reliqua est
conica superficies, quae est inter lineas A^, JTz/, maior
est triangulo AAF.iam sit S spatium minus segmentis AB, BF. si
igitur ambitus AB, BF in duas partes aequales se-
cuerimus et dimidios ambitus in duas aequales, relin-
quemus aliquando segmenta minora quam ® spatium
[prop. 6 p. 24, 1]. relinquantur segmenta, quae sunt
in lineis AE, EB, BZ, ZF, et ducantur ^E, z/Z.
rursus igitur eodem modo [quo supra p. 34, 2^] su-
perficies coni, quae est inter lineas ^z/, ZlE, cum
segmento in linea AE posito maior est triangulo AAE,et coni superficies, quae est inter lineas EA, zfB, cum
segmento in EB linea posito maior est triangulo E^B.quare superficies, quae est inter A^, zlB, cum seg-
mentis AE, EB maior est triangulis A/IE, EBA. sed
quoniam trianguli AE^ , ^EB maiores sunt ABzltriangulo [u. Eutocius, p. 34, 19], multo igitur magis
superficies conica, quae est inter lineas A^, AB, cum
segmentis in AE, EB positis maior est triangulo AAB.
1) Nam ex hypothesi est \ ^ E B -^ FZ B segmentis.
38 IIEPI S^AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.
A/JB TQiycovov. dtcc tic avta de Tcal rj i%i(pccvELa rj
^sta^v rc5v B^F ^sta tcov sitl tcjv BZ, ZF ^sl^ov
s0tlv tov Bz^r tQLycjvov. okrj ccQa rj STtitpdvsLa ri
^sta^v tciv A^r ^sta tc3V slqtj^svcjv t^rj^dtov ^sl-
5 Jcjv i^tl t(ov AB^, ^BF tQLycjvcov tavta ds s6tLV
t6a ttp A^r tQLycovco xal tS S j^^oqlcj' (hv td SLQri-
^sva t^ri^ata iXd06ova TOt) x^Q^^^- ^OLJtrj ccQa rj
iitLCpdvsLa rj ^sta^v t<DV AAF ^sl^gjv iotlv tov A/^TtQLytavov.
10 L.
^Edv s7tLipavov6aL dj^^d^cicSLv tov nvKkov, og iotL
pd^ig tov x(6vov, iv ta avtS ijtLTtsdcD ov0aL rc5 tiv-
%k(p xal 0v^7tL7ttov0aL dkkrilaLg^ dito ds tav d^pcav Tcai
trjg 0v^7ttc36sog i7tl trjv %OQV(pr]v tov xcSvov svd^staL
15 dxd^do^Lv, td 7tSQLS%6^sva tQLycova vTtb toov S7tL^avov-
6cov Tcal tcov i7tl trjv xoQvtpriv roi) ncavov i7tL^svj(^d-SL-
6c5v svd^stov ^SL^ovd i6ti trjg tov xcivov iTtL^pavsCag
trjg d^tola^^avo^svrjg V7t avtojv.
s6tcj Kmvog, ov ^d(3ig ^sv 6 ABF Tcvxlog^ xoQVCpr]
20 ds to E ari^SLOv, %al tov ABF xvxXov i(pa7tt6^svaL
r]x^G)(3av iv t(p avt(p iTtL7tsd(p ov6aL aC A^, r^, xal
d7t6 rov E Orj^SLOv, 6 iotLV KOQVcpr] rov tccjvov, iTtl
td A, A, r i7tsisviQ^G)0av al EA, Ezl, EF' Isya),
ort td AAEf zJEF tQLyova ^SL^ovd i(jti trjg kcdvl-
25 Tc^g i^tLcpavsCag trjg ^sta^if tcjv AE, FE sv^slov Kal
trjg ABF 7tsQi(pSQsCag.
1. Se] scripsi; drj F, uulgo. 2. BJT] scripsi; ABF F,
uulgo; BJ, z/r Torellius. BZ, ZF rftT^jttaTcov Nizze. 6. to
@ F; corr. Torellius. av] «g Nizze. 8. AJF] AzJE F; corr.
ed. Basil. 10. la' F. 19, Kovog F. 25. STCKpccviag F.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 39
eodem autem modo adparet superficiem, quae inter
B^, /ir lineas sit, cum segmentis in BZ, ZF positis
maiorem esse triangulo B/iF. tota igitur superficies,
quae est inter Azt , ^F lineas, una cum segmentis, quae
commemorauimus \^AE, EB, BZ, ZF], maior est trian-
gulis ABJ, ^BF, qui sunt triangulo AAT et spa-
tio & aequales [ex hypothesi]. ex illis [h. e. superficie
conica, quae inter lineas AA , AF et AEBZF am-
bitum est, et segmentis AE, EB, BZ, ZF] autem
segmenta, quae commemorauimus, minora sunt spatio ®[ex constructione]. quare quae reliqua est superficies
mter AA, AF lineas posita^ maior est triangulo AAF})
X.
Si ducuntur lineae tangentes circulum^ qui basis
est coni [aequicrurii] ^), in plano circuli positae et con-
currentes, a punctis autem contactus et concursus ad
coni uerticem lineae ducuntur, trianguli, qui a con-
tingentibus et lineis ad uerticem coni ductis continen-
tur, maiores sunt superficie coni, quae ab his lineis
abscinditur.
sit conus, cuius basis circulus ABF, uertex autem
punctum E, et ducantur lineae circulum ABF contin-
gentes in plano eodem positae, AA, FA, et ab Epuncto, quod est uertex coni^ ad A, A, T puncta du-
cantur lineae EA, EA, ET. dico^ triangulos AAE,ztET maiores esse quam coni superficiem^ quae inter
lineas AE, TE et ambitum ABT est.
1) Nam etiamsi aequalia essent segmenta spatio 0, idemfieret (Eucl. I yioiv. ivv. 5); eo magis cum segmenta etiam mi-nora sint.
2) Hoc uerbum Archimedes uix omiserat; Quaest. Arch. p. 73.
40 nEPI S<E>AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
tJx^co yccQ rj HBZ icpaTtto^evr} rov xvxXov xal
jcaQaXXriXog ov(5a rfj AF dCxcc r^rjd^SL^rjg trjg ABF7C£QLcp£Q£Lag xata ro B' Tcal ccTto tcav i/, Z inl to Ei7i£t,£v%%^ci0av «r HE^ ZE. xal in^l ^£L^ovg £Lalv aC
5 H^, z/Z trjg HZ^ xoLval TtQo^x^Lad^coOav at HA^ ZJT*
okaL aQa aC A/i^ AT ^£L^ovg £l61v to5i/ AH^ HZ^ ZF.
xal iTtel ai AE^ EB^ EF TtX^vQaC £l<5lv roi) kcovov^
L6aL £i6Lv Slcc to L6o6K£Xrj £LvaL roi' xSvov. b^OLcog
d£ xal xad^^tOL £l6lv [cog id^Lxd^rj iv tco Xij^fiatLy r«
10 d£ vTto tcov xad^itcov xal tcov pd6£cov tcov AEzf, ^FEtQLyoovcov ii£Lt,ovd i6tL toov AHE^ HEZ, ZEF tQL-
y(6voov. £l6lv yccQ aC ^lv Afl^ HZ, ZP ild66ovg
tcov FA, /1A^ td d£ viprj avtdov L6a [(pav^Qov ydQ,
otL r] dno trjg xoQvcp^g tov OQd^ov xcovov iitl trjv
15 iTtacprjv trjg ^d6£oog iitL^^vyvv^ivrj xdd^^tog i6tLV iTtl
trjv icpanto^£vriv\ cp dl ^£L^ovd i6tLV td AEJ^ AFEtQLyoova tcov AEH, HEZ, ZEF tQLyoovcov^ £6tco to
& XcoQLOV ro drj %coqlov rjtoL 'iXattov i6tLv tSv
7t£QLX£L^^dtcov toov AHBK^ BZFA tj ovx ^Xattov.
20 £6tC0 7tQ6t£Q0V ^rj iXattOV. i7t£L OVV £L6LV i7tL(pdv£LaL
^vvd^^tOL, 7] t£ trjg 7tvQa^Ldog trjg i^tl ^d6£oog rot»
HAFZ tQa7t£^L0v xoQvcprjv £%ov6a ro E xal rj xcovLxrj
i7tLcpdv£La rj ^£ta^v rc5i/ AEF ^£td tov ABF t^ij-
^atog, xal 7tiQag £xov6l trjv avtrjv 7t£QL^£tQ0v rov
1. 71 om. F. 9. Xrjfiatt F. 10. tav AE^, dTE tgi-
y(ov(av (iSL^ovu iati om. F; suppleuit Torellius. 16. ds]
scripsi; Srj F, uulgo. 17. ro xaqCov' to drj @ %GiQCov
om. F lacuna relicta; suppleuit ed. Basil. et Cr.; iam D: to
X(oqCov' ro St) x^qCov. to Ss & x^qCov, sed manu 2. 18. tmvnsQLlsLfipi^cctcov usque ad snsl ovv lin. 20 (incl.) om. F lacunarelicta; auppleuit ed. Basil. (et Cr.), sed habet 7tsQiX7](ificcto}v
{nsQiXsfifi. Torellius) lin. 19, AHB, BZFlin. 19, nQmtov et ov^k
(pro nQotsQOv (ii^) lin. 20, quos errores correxi. 21. §dos(og]
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 41
ducatur enim HBZ linea circulum contingens et
lineae AF parallela, ambitu ABF in B puncto in
duas partes aequales diuiso [u. Eutocius]. et ab if, Zpunctis ad E punctum ducantur lineae HEj ZE. et
quoniam ifz/ -\- zJZ^ HZ [Eucl. I, 20], communes
addantur HA, ZF lineae. itaque totae
jj + ^r>AH+ HZ + znet quoniam AE, EB, EF latera sunt coni, aequales
sunt, quia conus aequicrurius est. sed eaedem etiam per-
pendiculares sunt [u. Eutocius ad prop. 8]. sed trian-
guli AE^, /irE maiores sunt triangulis AHE, HEZ,ZEF^)', nam AH+ HE + ZF bases minores sunt
Fz/+^^basibus, et altitudines aequales^) [tumcfr.Eucl.
VI, 1]. quo autem spatio maiores sunt trianguli AE/i,
AFE triangulis AEH, HEZ, ZEF, sit ® spatium.
itaque @ spatium aut minus est spatiis relictis AHBKyBZFA^) aut non minus. sit prius ne minus. iam
cum habeamus superficies coniunctas, superficiem py-
ramidis, cuius basis est trapezium HAFZj uerticem
1) Archimedes sine dubio scripserat hunc fere in modum:ra ccQU AEJ, JFE tQLycova fisilovcc cett.
,quod etiam usus
non Archimedeus uerbi yicibstog lin. 10 (Quaest. Arch. p. 71) signi-
ficat ; falsarius causam uoluit significare, sed tum postea scriben-
dum erat: tav vno tmv y.ad'stcov y,ccl tcov ^dascov tcov AHE %tX.
2) Uerba, quae sequuntur, subditiua et insuper transposita
(Quaest. Arch. p. 74) iam Nizze damnauit.
3) Cum infra p. 42, 7 et 10 in codd. legatur AHBK, BZFAquod in ed. Basil. et apud Torellium in AHB, BZF muta-tum est, non dubitaui hoc quoque loco eandem scripturam perse meliorem reponere, praesertim cum ex erroribus supra p. 40not. correctis adparet, lacunam codicum in ed. Basil. coniecturasuppletam esse.
§c((og F. 22. tQKTts^iov] i in rasura manu 1 F. t6 £]tov E F; corr. ed. Basil. tiovl-ht} F.
42 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
10
AEF TQLycDvov^ dijXov, cog rj BTtKpavEia trig nvQa^tdog
XcoqIs t^ov AEF TQiycDVOV ^eit,(ov iatlv rijg Kcovixrjg
ijti(pccv6iag ^stcc rov t^ri^cctog
tov ABF. KOivbv a^prjQ^^ad-G)
to ABF t^rj^a. loiTta a^a ta
tQiycava ra AHE, HEZ^ ZEF^sta tc3v AHBK^ BZFA itSQi-
^.si^^dtov ^si^ovd i6tiv trjg
oicjviKrjg iiticpavsCag tr]g ^sta^v
<^ tSv AE, Er. tc3V ds AHBK,\p BZFA TtSQiksiii^dtcav ovk ska6-
\/' ^ov i6ti ro %G)QiOV. TtokkGi
ccQa td AHE, HEZ, ZETtQiycova ^std tov ® ^si^ova
s6tai trjg xayvixrjg iiticpavsCag tr]g
^sta^v t(DV AE, EF. dlld td
AHE, HEZ, FEZ tQCycova ^std tov S iativ td
AEzt, AEF tQCycova. td aQa AEA, AET tQC-
ycjva iisC^ova s6tai trjg siQr}y.svr}g xcoviTtrjg iiticpavsCag.
20 £0xco drj t6 ska66ov tmv TtsQiksi^^dtcov. dsl drj
TtsQiyQdcpovtsg Jtokvycova TtsQi td t^rj^ata o^oCcog 8C%a
ts^vo^svcov tcov TtsQiXsiTto^ivcov 7tSQicpsQ6i(ov %a\ ayo-
ILSVcov icpaTtto^svcDV IsCTpo^sv tiva ditolsC^iiata., d 66tai
ild66ova roi) S %g)qCov. kslsCcpd^o xal satco td AMK,25 KNB, BSA, AOr ikdaaova ovta tov S %coqCov, %a\
igts^sv^d^o) ijti tb E. itdliv drj cpav^Qov, oti td AHE,
16
1. AEr] ABF F. 7. nsQiUifiiidtcov] scripsi; 7iEQdr}(i}i.
F, nuigo. 11. nsQiUt(iiiccTaiv] scripsi; neQLXifiatav F; nsQi-
Irjiificitmv uulgo. 17. FEZ] scripsi; om. F, uulgo ob prae-
cedens HEZ; ZEF ed. BasiL, Torellius. 21. nsQiXsinfidtcov]
scripsi; nsQilriiifiatav F (altero fi suprascripto manu 1), uulgo.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 43
habentem E punctum, et superficiem conicam, quae
est inter lineas AE, EFy una cum segmento JlBF, et
terminum habeant eandem perimetrum trianguli AEF,
adparet, superficiem pyramidis praeter triangulum ^ jSr
maiorem esse conica superficie una cum segmento
ABF [la^p. 4]. subtrahatur segmentum ABF com-
mune. itaque qui reliqui sunt trianguli AHEy HEZ,ZEF una cum spatiis relictis AHBK, B7.rA, ma-
iores sunt superficie conica, quae est inter lineas AE,
EF [Eucl. I icoiv. ivv. 5]. spatium autem non mi-
nus est spatiis relictis AHBK, BZTA. itaque trian-
guli AHE, HEZ, ZEF una cum spatio ® multo ma-
iores erunt superficie conica, quae inter lineas AE,
EF est. sed [ex hypothesi] sunt:
AHE + HEZ + FEZ + = AEA + AEF.itaque trianguli AEA, AEF maiores erunt conica
superficie, quam commemorauimus.
sit igitur & spatium minus quam spatia relicta.
si igitur deinceps polygona circum segmenta^) circum-
scripserimus eodem modo [ut supra p. 40, 2] ambitus
relictos in duas partes aequales diuidentes et lineas
contingentes ducentes, relinquemus quaedam spatia
minora spatio ®^). relinquantur et sint AMK, KNB,BSA, AOr minora spatio @, et lineae ad E punctum
1) Debebat esse t6 tfiijiicc, et ex Eutocio adparet, Archi-medem lin. 21 scripsisse: 7tSQiyQciq)OVT8g dij noXvycova nsql xo
t(iriiia.
2) Ex prop. 6 p. 24, 8. ceterum ex Eutocio comperimus,Archimedem lin. 24 scripsisse: anox^ri^ccta. sldaGova tov @XCDQLOV.
24. dnolscp^ata'] scripsi; anolLfifiata F altero ft suprascripto
manu 1 ; dnoX^a^ata ed. Basil. ; dnot^ri^ata Torellius.
44 nEPI 2<E>AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
HEZ, ZET rQLycDva rdav AEM, MEN, NES, ISIEO,
OEF tQtyojvcjv setac ^ei^ova' ai te yaQ ^d^aig tcov
^d^scov al6L ^SL^ovg xal ro vtl^og i0ov. sti ds ndXiv
o^OLog ^SL^ova s%Ei STiLCpdvsLav r] TtvQaidg rj pdOLV
5 iisv s%ov(5a to AMN^Or TtoXvycovov, xoQVCprjv ds
to E xcoQlg tov AEF tQLycovov trjg xcovLKrjg STtnpa-
vsCag trjg fistai,v tov AEF iistd rot; ABF t^i]^atog.
xoLVov dcpriQriiSd^co ro ABT t^rjfia. XoL%d ccQa td
AEM, MEN, NEISI, ISIEO, OET tQLycova fistd tov
10 AMK, KNB, B^A, AOT TtsQLXsL^fidtcov ^SL^ova
sOtat tr]g zovLOirjg sitLcpavsLag tr]g ^sta^v tmv AET.dXXd tCOV ^SV SLQrjflSVCOV TtSQLXSL^^dtCOV ^St^OV S6tLV
tb ® xcoQLOv, tcov ds AEM, MEN, NE^, SEO,OET tQLycovcov fLSL^ova sdsCxd^ri td AEH, HEZ, ZET
15 tQLycova. JtoXXa aQa td AEH^ HEZ, ZET tQtycova
fistd Tov & ^^co^fcoi;, tovts6tL td AAE^ ^ET tQLycova,
fiSL^ovcc s6tLV trjg xcovLxrjg STtLq^avsCag trjg ^sta^v tcov
AET SVd^SLCOV.
ta.
20 ^Edv sv ijtLCpavsCa oQd^ov xvXCvSqov dvo sv^slaL
CO0LV, r] smcpdvsLa rot; tcvXCvSqov rj ^sta^i) tSv sv-
d^SLcov ^sC^cov s6tLv TOiJ TtaQaXXrjXoyQd^^ov tov jtsQL-
sxofisvov vJto ts tcov sv tfi sTtLcpavsCa rov kvXCvSqov
svd^SLcov Tial tcov s7tL^svyvvov6cov td TtSQata avtcov.
25 s0tco KvXLvdQog OQd^og, ov pd^tg ^sv 6 AB xvxXog^
djtsvavtCov ds 6 fz/, xal sitst^svx^ci^ocv aC AT, Bzt.
3. ticcl To vipog ora. F, uulgo; t6 dl vipog ed. Basil., Torellius.
10. nsQiXrjfificcTcov F, uulgo. 12. nsQLXsLfifidtoiv^ scripsi;
nsQdifiarcav F; nsQLXr](i(idta)v uulgo. 14. AEH'^ JEH F',
corr. Torellius. 16. JEF] JEC F. 19. i^' F.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 45
ducantur^). rursus igitur adparet^ triangulos AHEyHEZ, ZEF maiores futuros esse triangulis AEMjMENj NESy SEO, OEF] nam bases maiores sunt
basibus [Xa^p. 2], et altitudines aequales [u. p. 41, 8].
porro autem rursus, uti supra [p. 42, 1], pyramis
basim habens polygonum AMNSOFy uerticem autem
E punctum praeter triangulum AEF superficiem ma-
iorem habet coni superficie, quae est inter lineas AE,EF, cum segmento ^5F[Aaft/3. 4]. subtrahatur, quod
commune est segmentum ABF. itaque qui relinquun-
tur trianguli AEM, MEN, NEg, 3EO, OEF cum
spatiis relictis AMK, KNB, BgA, AOF, maiores
erunt conica superficie, quae est inter lineas AE, EF[Eucl. I xoLv. ivv. 5]. sed spatiis relictis, quae com-
memorauimus, maius est spatium & [ex hypothesi], et
demonstratum est, triangulis AEM, MEN, NES, SEO,
OEF maiores esse triangulos AEH, HEZ, ZEF.itaque trianguli AEH, HEZ, ZEF cum @ spatio,
h. e. trianguli AAE, ^EF, multo maiores sunt super-
ficie conica, quae est inter lineas AE, EF.
XI.
Si in superficie cylindri recti duae lineae sunt,
superficies cylindri, quae inter eas est, maior est par-
allelogrammo, quod a lineis in superficie cylindri
ductis et lineis terminos earum iungentibus continetur.
sit cylindrus rectus, cuius basis sit circulus AB, ei
autem oppositus Fz/ circulus, et ducantur lineae AF,
1) Archimedes scripserat : ins^svxd-aaavip. 4:2,26; de omissouerbo svd^sccci, cfr. quae collegi Neue Jahrb! Suppl. XI p. 372.
46 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
kiyca^ OTL rj d7tot£(ivo^8VYj KvXivdQLxrj eTCKpdvELa vtco
Tcov AF^ B/^ £vd-ELcov ^£L^cov £6tlv roi5 AFB^ TtaQ-
aX?,rjkoyQcc^fiov.
TEt^rjad-G) yccQ £xat£Qa tcjv AB^ J^z/ dCxa ocata
b ta E, Z 0rj^£ta, xal £%£t,£vji^(0(5av aC AE, EB^ FZ,ZA. xal £7i£L ai AE^ EB t^g AB [dLa^£XQOv] (1£l-
^ovg £L0LV^ xaC £6tLV lcovjpri '^^ JtaQaX^rjXoyQa^^a ta
£% avtcov, ^£C^ova ovv iotLv ra TtaQalXriloyQa^iia^
cov [ai] ^d<5£Lg ^£v aC AE, EB, vipog dl to avto T<p
10 KvXCvdQcp^ rov ABAF TtaQaXXrjXoyQd^^ov. tCvl ccQa
^EC^ovd £6TLv; £6tc3 tS H xcoqCc). to dr] H %g)qCov
7]T0L £la06ov Twv AE^ EB, rZ^ ZA ijtLTtddcDv f(Jrt
T^rj^aTCOV 7] OVK £Xa660V. £6TG)
%q6t£qov ^rj £Xa66ov. ocal i7t£L
15 ^f / \ ^%^ rj aTtoTE^vo^ivr] KvXLvdQLxrj ijtL-
€pdv£La VTtO tSv AF, BA Evd^ELCOV
Tcal Tcc AEB^ FZ^ t^rniata
TtiQag £i£L to tov AFB^ itaQ-
aXXrjKoyQa^^ov iTtCTtEdov, aAAa
xal rj 6vyx£L^ivrj i7tiCpdv£La ix
tcov TtaQaXkrjXoyQd^^aVj cov ^d-
6£Lg ^£v aC AE, EB^ vtpog dl
ro avto rc5 kvXCvSqg)^ Tcal tcov
AEB^ rZzl TQLycovcov Tti^ag £%£l
25 ^"^^
—
--^ ro roi5 ABAF jtaQakkrjXoyQd^-
^ov iTtCjt^dov^ nal rj £TiQa Trjv £TiQav 7t£QLka^pdv£L^ xal
d^cpoTEQaL ijtl r« avTa KotXaC £16lv, ^eC^ov ovv i6Tiv rj
2. AFziB Torellius. 4. Fzi'] n^QicpsQEicav add. ed. Ba-sil., Torellius. 6. dicciihQov, per se falsum, sed ad figuramcodicum adcommodatum , om. ed. Basil., Torellius. 9. at]
deleo. §cc6Eig] ^ccg cum compendio syllabae tg uel rjg F.
15. 97] addidi. 17. Tu-/;UKr«] rQtycovcc F; corr. Torellius.
20
DE SPHAERA ET CYLINDEO 1. 47
B^. dico, superficiem cylindricam lineis AF, 5z/
abscisam maiorem esse parallelogrammo ArBzl.
secetur enim uterque [ambitus]^) AB, FzJ in duas
partes aequales punctis E, Z, et ducantur lineae AE,
EB, rZ, ZA. et quoniam AE + EB> AB [Eucl.
I, 20], et parallelogramma in iis posita eandem ha-
bent altitudinem [quia rectus est cylindrus], parallelo-
gramma igitur, quorum bases sunt lineae AE, EB,
altitudo uero eadem, quae cylindri est, maiora sunt
ABAF parallelogrammo [Eucl. VI; 1]. quo autem
spatio maiora sunt, sit H spatium.^) Itaque spatium
H aut minus est segmentis planis AE, EB, FZ, ZA,
aut non minus. prius sit ne minus. et quoniam
superficies cylindrica lineis AT, BA abscisa cum
segmentis AEB, TZA terminum habet planum
parallelogrammi ATBA, superficies autem ex paral-
lelogrammis, quorum bases sunt AE, EB lineae, alti-
tudo autem eadem, quae cylindri est, et ex triangulis
AEB, TZ/i composita et ipsa terminum habet pla-
num parallelogrammi ABAT, et altera alteram com-
prehendit, et utraque in eandem partem caua est,
1) Hoc uerbum Arcbimedes ipse uix omiserat, praesertim
cum eo uon addito A B , FzJ necessario de lineis rectis acci-
perentur.
2) Formam horum uerborum (lin. 10— 11) putidam genuinamnon esse, nemo non sentit. puto Archimedem, ut prop. 10
p. 40, 16, scripsisse: ra ds (iSL^ovd satLv , sgtco x6 H x(oqlov.
Etiam in sequentibus liic illic quaedam a falsario addita esse
suspicor.
18. JBzJr Torellius. 21. §d6SLg] §aGLs F; corr. ToreUius(BD? cfr. Torellius p. 432 ad 84, 19)." 23. rav] scripsi; tcc F,
uulgo. 24. TQLycovcav] scripsi; snLTCsScc F; xqiy(ova BD, ed.
Basil., TorelHus. 26. 17] addidi. 27. ^oila F; corr. B.
48 nEPI S<I>AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.
aTCoxB^vo^ivri xvXtvdQLKrj iTCicpdvEia vito tcjv AI\ BAevd^SLCJV xal xa AEB^ TZA eitCiteda t^^^^iata trjg
CvyKSL^evrjg STCLCpavsLag sk tdav TCaQalXrjXoyQa^^cov,
(6v [aL] pdesLg ^sv al AE, EB, vtl^og ds to avtb rc5
5 KvlCvdQfp^ xal t^v AEB, TXA tQLycjvcov. xotvd
dcprjQrj^d^co td AEB^ FZA tQLycova. loLTCrj ovv rj
djcors^vo^svri TcvXLvdQLTcrj siCLcpdvsLa vico t(DV AF, B^Bvd^sLcav Tcal td AE, EBy FZ, Zz/ sTCcTCsda t^rj^ata
^SL^ovd s6ti trjg 6vyxsL^svrjg STCLcpavsCag sk t^v TCaQ-
10 akkrikoyQd^ncav^ (bv ^d(3SLg ^sv at AE, EB, vxf;og ds
to avto ta KvXCv8Q(p. td 8s TCaQaXXrjkoyQa^^a^ (6v
^dcsLg ^sv at AE., EB, vipog ds ro avtb ta xvXCv-
8qc{), L0a s6tLv rc5 AFB^ TCaQaXkrjXoyQd^^^p xal t(p
H %(OQL(p. kOLTCri CCQa 7] aTCOtS^VO^SVri KVkLvdQLKr] S7CL-
15 cpdvsLa vTcb tcov AF, 5z/ svd^SLcov ^sC^cov s0tl tov
AFBZI TCaQaXXriloyQdii^ov.
dXkd drj s6tco ska6(5ov ro H %cdqCov tcov AE, EB^
rZ, Zz/ siCLTCsdcav t^rj^dtov Kal tst^i^Cd^o SKdatri
t^v AE, EB, rZ, Zz/ TCSQLCpsQSL^v dC%a Katd td
20 ©, jfir, A^ M erj^sta, Kal s7Cst,sv%d^G)6av aC A®, @E,
EK, KB, FA, AZ, ZMyMA [rwi/ ds AE, EB, TZ,
ZA ccQa s7CL7Csd(ov t^rj^dtcov dcpaLQsltaL ovk sXaCdov
7] ro 7]^L6v td A&E, EKB, TAZ, ZMA tQCycova].
tovtov ovv s^rjg ycvo^svov KataXsL(pd"i^0staC tLva t^i]-
25 ^ata, a s6taL sXd60ova tov H %c3qCov. KataksksCcpQ-o
zal s6t(o td A@, 0E, EK, KB, TA, AZ, ZM, MA.
4. at] deleo. ^daELg] §aa cum compendio lq uel tjs F.
z6] toa F. ccvro] avt(o F, sed corr. man. 1. 6. ciq^aiQTjad-co
F; corr. Torellius. AEB] EB F. 8. sv&SLav] svd-£i,a F.
10. ^dasig ut lin. 4 F. 11. tm] om. F; corr, AB.12. ^dasig] §aaig F; corr. B D. avto ta] scripsi ex B; to3
om. F, uulgo. 13. aFJB Torellius. IQ. AFJB Torellius.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 49
maior igitur est superficies cylindrica lineis AF, Bzl
abscisa cum segmentis planis AEB, JTZz/, quam
superficies ex parallelogrammis,quorum bases sunt
AEj EB lineae^ altitudo autem eadem, quae cylindri
est, et triangulis AEBy TZA composita [Aaf4/3. 4].
subtrahantur trianguli AEBj FZ^ communes. itaque
quae relinquitur superficies cylindrica lineis AF, BAabscisa cum segmentis planis AE, EB, FZ, Zz/,
maior est superficie ex parallelogrammis composita,
quorum bases sunt lineae AE, EB, altitudo autem
eadem, quae cylindri est. haec autem parallelogramma
aequalia sunt parallelogrammo AFBA una cum spa-
tio H [ex hypotbesi]. itaque quae relinquitur super-
ficies cylindrica lineis AF, Bzl abscisa, maior est
parallelogrammo AFBA})sed rursus sit spatium H minus segmentis planis
AE, EB, rZ, ZA. et secentur ambitus AE, EB, TZ^ZA omnes in duas partes aequales punctis ®, K, A, M,et ducantur lineae A®, &E, EK, KB, TA, AZ, ZM,MA?) quod si deinceps fecerimus, relinquentur seg-
menta quaedam, quae minora erunt spatio H. relin-
quantur et sint A®, @E, EK, KB, TA, AZ, ZM, Mztsegmenta. similiter igitur^) demonstrabimus paralle-
1) Quia ex hypothesi Jf^^E + EB-frZ-fZz/ seg-
mentis.
2) Uerba, quae sequuntur: tcov ds lin. 21 — tQLycovcc lin.
23 sulDditiua sunt. Archimedes tacite usus erat prop. 6 p. 24,
6, ubi de ea ipsa re, de qua in uerbis subditiuis agitur,
Euclides citatur, demonstratione propria non addita; nec apudArchimedem quidquam inuenitur, unde colligatur
A@E + EKB -f- r^Z-|-ZM//^|(^E-l-EE-f rZ + Z/:/).
praeterea ofFendunt particulae Ss et ccQa coniunctae.
3) Sc. ac supra p. 46, 8 ex Eucl. I, 20; VI, 1.
Archimedes, ed. Heiberg. I. 4
50 nEPI L^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
o^Oicog drj dsi^o^ev^ ort za JtaQaXXriloyQtt^^cc, tov pddsig
fiev aC A®j &E^ EK^ KB, vi^og ds to avtb t(p ocv-
XivdQcp^ ^si^ova s6tai tSv TtaQakXrjXoyQcc^^ov^ cov
pdosig ^sv aC AE^ EB^ vtjjog ds tb avtb rco xvXCv-
5 dQcp. aal stcsI rj aTtots^vo^svrj oivXivdQLxrj sTticpdvsia
vjtb tcav AT^ BA svd-si^v xal td AEB^ FZ^ siti-
jtsda t^i^^ata itsQag s%si tb rov AFBjd TtaQaXXrjXo-
yQd^^ov iTtiTtsdov^ dkXd xal rj ^vyxsi^svrj sjticpdvsia
SK tcjv TtaQaXXrjXoyQa^^cov ^ cov ^dosig ^sv ai A0^10 &Ej EK^ KB, vjfjog ds tb avtb tip oivXCvdQCp^ otal
twv A&EKB^ FAZMA svd^vyQdfi^ov^ xoivd dcp-
YiQri6^Gi td A0EKB, FAZMA svd^vyQa^^a' Xoiitrj
dga rj aTtots^vo^svrj xvXivdQiKrj sjticpdvsia vitb twv
AT, BA svd^siCDV xal td A@, &E, EK, KB, FA,16 AZ, ZM, M^ sTtCjtsda t^tj^ata ^sC^ovd s6tiv trjg
0vyKSL^svrjg siticpavsCag sx tcav TtaQaXXrjXoyQd^i^cov,
cov pdesig ^sv ai A@, @E, EK, KB, vxl^og ds tb
avtb to tcvXCvSqg}. r« ds TtaQaXXrjXoyQa^^a, cov ^d-
csig ^sv aC A@, @E, EK, KB, vil^og ds tb avtb ta
20 kvXCvSqg)^ ^sC^ovd s6tiv tcov TtaQaXXrjXoyQd^^cov , cov
pd6sig ^sv au AE^ EB^ 'vx{jog ds tb avtb rc5 xvXCv-
dQCJ' xal rj djtots^vo^svrj ccQa KvXivdQixrj STtiCpdvsia
VTtb tcov AF, BA svd^snBv xal td A®, ®E, EK^KB, FA^ AZ^ ZM, M^ sTcCjtsda t^rj^ata ^sC^ovd
25 s0tiv tcov TtaQaXXrjXoyQd^^cov^ cov pdesig ^sv ai AE^
1. Tojy naqaXXrikoyQciiibiibiv F; corr. ed. Basil. ^uaig F;corr. BD. 3. xa 7tuQaXXr}XoyQa{i^a F; corr. Cr., ed. Basil. 4.
§a6Lg F. ta om. F. 7. AFJB Torellius. 9. ^daeLg]
§a6Lg F; corr. BD. dov §d6£Lg (isv in rasura F. 11. tiovu
F; corr. manus 2. 17. §a6 cum compendio tg uel rjg F; corr.
BD. 18. rc5 om. F. ^a6ig F; corr. BD. 21. §d6sig
ut lin. 17 F; corr. BD. ul om. F. 25. §d6SLg ut lin. 17
F; corr. BD.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 51
logramma, quoriim bases sint A®y ®E, EK, KBy alti-
tudo autem eadem, quae cylindri est, maiora futura
esse parallelogrammis, quorum bases sint lineae AE,
EBj altitudo autem eadem, quae cyliudri est. et quo-
niam superficies cylindrica lineis AF, B/1 abscisa cum
segmentis planis AEB, rZ/J terminum habet planum
parallelogrammi AFB^y superficies autem ex paral-
lelogrammis, quorum' bases sunt lineae AS, ®E, EK,KBy altitudo autem eadem, quae cylindri est, et figu-
ris rectilineis A&EKB, FAZMJ composita [et ipsa
terminum habet planum parallelogrammi AFB^,maior igitur est superficies cylindrica lineis AF, B^abscisa cum segmentis planis AEB, TZA superficie
ex parallelogrammis, quorum bases sunt lineae AS^®E, EKy KB, altitudo autem eadem, quae cylindri
est, et figuris rectilineis A&EKB, FAZMzf compo-
sita (Xa(ip. 4)].^) subtrahantur figurae A0EKB,FAZM^ communes. itaque quae relinquitur super-
ficies cylindrica lineis AF, Bzi abscisa cum segmen-
tis planis A®, ®E, EK, KB, FA, AZ, ZM, MJ,maior est superficie cylindrica ex parallelogrammis
composita, quorum bases sunt lineae AS, SE, EK,KB, altitudo autem eadem, quae cylindri est. haec
autem parallelogramma maiora sunt parallelogrammis,
quorum bases sunt lineae AE, EB, altitudo autem
1) Post Bv^vyQa[ni(ov lin. 11 aut a transscriptore aut a libra-
riis haec fere omissa esse puto: nsQug i%si ro xov AFBJn(XQaXXr]loYQ(£(iiiov inLTtsdov, fisi^cov ovv iativ 7) dnotBfivofisvrjlivXLvdQmr] inLtpccvsLa vno tav AF^ Bzt sv&SLav xat ta AEB,TTj^ snLnsScc tfn^ficctcc tijg cvyyiSLfisvrjg inL(pcivsLag in tatv
naQccXXr}XoyQcc(i(i(ov, av ^dasLg (isv at A©, @E, EK, KB, vipog
6s to avto Tc5 kvXiv8qg), tiai t£av ASEKB, FAZMJ svd^v-
yQd(i(i(ov (cfr. p. 46—48).
4*
52 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
EB, vil^os ^e to avro rc5 xvXCv8qc). ra Ss icaQaX-
XrjXoyQa^lia, cov Pa0Sig ^sv ai AE^ EB, vtlfog dh
t6 avro ra KvXivdQCp^ l'6a ierlv rc5 A^FB naQaXkriko-
yQa^^G) xal ra H x^Q^^' ^^^^ V ccTCorsiivo^Evi] aQa
5 KvlivdQiTcri e7ti(pdv8ia vjto rcov AF, J5z/ svd^sicov ;cal
ta A®, @E, EK, KB, FA, AZ, ZM, M2J sTtCneda
tiiriiLara ^sC^ovcc sGnv rov AFB/I TtaQaXlrjkoyQCc^^ov
xal rov H ^fo^toi;. dcpaiQs^^svrov ds rd A@, ®E,
EK, KB, FA, AZ, ZM, MA r^rj^ara rov H xoqCov
10 sXd00ova. XoiTtrj aQa ri aTtors^vo^svrj xvXivdQixrj sjticpd-
vsia vjto roav AF, B^ svd^siojv ^sC^av sOrlv rov
AFB^ TtaQaXXrjloyQd^^ov,
'Edv sv S7ti(pavsCa xvXCvSqov nvog oQd^ov dvo sv-
15 d^slai (06iv, dito ds vmv TtsQdrcov tcov sv^siciv dxd^a-
6Cv nvsg S7tiipavov0ai tcov xvxXav, 0% sl^iv ^dcstg
rov tcvXCvSqov, sv ttp STtiTtsdco avrmv ov6ai xal 6v^-
7ts6o6iv, rd TtaQaXXrjXoyQa^^a rd TtSQiSxo^sva vito rs
rcov sjtiijjavov^cov nal r^v TtXsvQCJv rov xvXCvdQOv
20 ^sC^ova s6rai rrjg S7ti(pavsCag rov TivXCvdQov rrjg ^s-
ta^v tcov svd^sicov toov sv trj STticpavsCa tov xvXCvdQOv.
s6tco KvXCvdQov tivog oqQ^ov ^d^tg 6 ABF xvxXog,
KOi s6tco6av sv tfj s7ti(pavsCa avtov dvo sv^^stat, cov
TtSQata td A, F' djto ds t(Bv A, F rjx^co6av S7tiil^av-
25 ov6ai tov KvxXov sv rc5 avrc5 S7ti7tsdco ovCat xal
6v^7ti7ttstco6av xatd tb H. vosCcd^coCav ds xa\ sv tfj
2. ^ccoLs F. 3. AJTK} FB*; AJBF C*; AFJB uulgo.
nccQccXlriloyQafifiDC FC. 8. dtpaiQE&ivToav] scripsi; acpcciQS&svrcc
F, uulgo. 10. Xoirtov F; corr. B. 12. AF/^JB Torellius.
13. ty' F. 16. ^uGsis] §cc6 cum compendio t? uel rjg F ; corr. D.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 53
eadem, quae cylindri est. itaque etiam superficies
cylindrica lineis ^r, B/J abscisa et segmenta plana
A&, ®E, EK, KB, rj, AZj ZM, Mz/ maiora sunt
parallelogrammis, quorum bases sunt AE, EB lineae,
altitudo autem eadem, quae cylindri est. haec autem
parallelogramma aequalia sunt parallelogrammo AFB^et spatio H [ex hypothesi]. itaque etiam superficies
cylindrica lineis AFj B^ abscisa cum segmentis pla-
nis A®, ®E, EK, KB, FA, AZ, ZM, MA maior est
parallelogrammo AFB^ cum H spatio. subtrahantur
autem segmenta A&, &E, EK, KB, FA, AZ, ZM,MJ minora spatio H [p. 48, 25]. itaque quae relin-
quitur superficies cylindrica lineis AF, BA abscisa,
maior est parallelogrammo ATB/1.
XII.
Si in superficie cylindri recti duae lineae datae sunt,
et a terminis linearum ducuntur lineae circulos con-
tingentes, qui bases sunt cylindri, in plano circulorum
positae, et concurrunt ^), parallelogramma, quae lineis
contingentibus et lateribus cylindri continentur, maiora
erunt superficie cyliodri, quae inter lineas est in su-
perficie cylindri ductas.
sit circulus ABT basis cylindri recti, et in super-
ficie eius duae lineae datae sint, quarum termini sint
A, T puncta. ab A, T autem punctis ducantur lineae
circulum contingentes in eodem plano positae, et con-
currant in puncto H fingantur autem etiam in altera
1) Prop. 10 p. 38, 13 erat: xat Gv^nmtovaaL.
54 HEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
exBQa pd66L tov nvXCvdQOv ccTto tdiv TteQdtav tcov iv
tfj ETCKpavsCa avd^Elai rjy^svaL ijaipavov^ai tov tcvxXov.
dsLXteov, otL td jcaQaXXriXoyQa^^a td 7CSQLS%6^sva vtco
tSv i7CLipavov6c3v xal tmv tcXsvqcjv tov KvkCvdQov
5 ^sC^ovd iatL trjg xatd triv ABF icsQLCpSQSLav iiCLtpa-
vsCag tov xvXCvSqov.
7}%^^ ydQ r] EZ i7CLipavov0a, kol aTCo tmv E, Z0rjiisCc3V rjxd^co^dv tcvsg svd^staL icaQd tov d^ova tov
KvXCvdQOV scog trjg iiCLCpavsCag trjg stsQag ^d^sog. td
10 drj TcaQaXlriXoyQa^pLa td 7CSQLS%6^sva V7c6 tcov AH^HF Tcal tcov 7cXsvQ(av tov xvXCvdQov ^sC^ovd i6tL tdav
TCaQaXXrjXoyQd^^ov tov 7CSQLS%o^svcciv V7c6 ts tov AE,EZ, Zr Tcal trjg tcXsv-
Qag tov xvXCvSqov [i7Csl
yaQ at EH, HZ trjg
EZ ^sC^ovg sl6Cv, xol-
val ^CQO^TCsCod^GXSav at
AE, Zr. oXac aQa al
HA, Hr ^sC^ovg sl6lv
^ tcov AE, EZ, ZF]. odii ^sC^ovd iatLVj s6to
tb K %oqCov. tov drj
K %oqCov ro 7]^l6v ijtOL
^SL^^v i6tL rcov 6%^]-
lldtOV tOV 7CSQLS%0y.S-
vov V7c6 tov AE, EZ,
Zr svd^siov xal tov AA, AB, B0, &r TCSQccpsQSLov
15
20
25
1. nsQoiTaiv Tc5v] rav om. F; corr. Torellius. 2. Post ini-
cpccvsCa fortasse addendum est svd^siav, cogitatione saltem.
13. Tcov nXsvQmv Cr., ed. Basil., Torellius. 16. sIgCv] sivai F;
corr. B. novat F; corr. manus 2 (?).
DE SPHAERA ET CXLINDRO I. 55
basi cylindri a terminis linearum. in superficie ducta-
rum lineae circulum contingentes ductae. demonstran-
dum, parallelogramma, quae lineis contingentibus et
lateribus cylindri contineantur, maiora esse superficie
cylindrica in ambitu ABF posita.
ducatur emm EZ linea contingens^), et a punctis
Ej Z ducantur liueae axi cylindri parallelae usque ad''^)
superficiem^) alterius basis. itaque parallelogramma,
quae lineis AH, HF et lateribus cylindri continentur,
maiora sunt parallelogrammis, quae lineis AE, EZy
Zr et latere cylindri continentur.^) quo igitur ma-
iora sunt spatio, sit K spatium. itaque dimidium
spatii K aut maius est figuris, quae lineis AE, EZ,
Zr et arcubus A^y ^B, B@, @r continentur, aut
non maius. sit prius maius. superficiei autem, quae
composita est ex parallelogrammis in lineis AEy EZ^
1) Post ETtLiifocvovaa lin. 7 Nizze addi uult: Slxcc Tfirid^st-
arjg r^g ABF nsQLcpsQstag y.uxu to J5, et fortasse sic scripserat
Archimedes.
2) Archimedes ipse particula sag hoc modo non utitur;
quare puto eam a transscriptore pro sars nQog uel fisxQi' sup-positam esse (Quaest. Arch. p. 70).
3) Puto Archimedem aut xrjg snLcpavsLag omisisse aut tovsnLnsdov scripsisse; neque enim apte commemoratur rj snL-
cpdvsLa trjg ^dasoog, quasi i} pdaLg solida sit.
4) Nam EH -{•HZ > EZ (Eucl. I, 20)
AE 4- zr= AE + zr^
AH-i- Hr^AE -{- Ez + zr.
itaque cum altitudo eadem sit, parallelogramma, quorum basessunt AH, Hr, maiora sunt parallelogrammis
,quorum bases
sunt AE^ EZ, ZF (Eucl. VI, 1). sed quae in Graecis additasunt uerba lin, 14—20, ualde mihi suspecta sunt, quia Archi-medes causam, qua nititur aliquid, praemittere solet, non posteaaddere. etiam in sequentibus fortasse quaedam addita, quae-dam mutata sunt.
56 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
rj ov. €6tG) TCQorsQOV ^st^ov. f^g ds STCKpavsCag trjg
6vyKSi^svr}g stc tcjv itaQaXlrjXoyQd^^ov tcov Kata tag
AE^ EZ^ Zr xal tov AEZF tQajts^tov Kal tov
xatsvavttov avtov sv tfi stsqa ^dosi rov KvkCvdQov
5 TtsQag s6tlv rj JtSQC^stQog tov TtaQaXXrjloyQa^^ov rov
xata tr^v AV. s0tiv ds xal tr]g STtiQpavsCag t^g 6vy-
xsi^svrjg S7C trjg STticpavsCag tov kvICvSqov r^g Katd
trjv ABF TtsQicpsQSiav xal tSv t^rj^dtcov tov ts ABFxal tov aTtsvavtCov avtov TtsQag rj avtrj TtSQC^stQog.
10 aC ovi^ SiQrj^svai sitiipdvsiai to avto TtSQag siov6ai
tvy%dvov6iv^ OTtsQ s6tlv sv STtiTtsdco^ xaC Si6iv d^<p6tsQai
ijti td avtd xoikai, xaC tiva ^sv TCSQiXa^^dvsi rj stsQa
avt(DV, tivd ds xoivd s%ov6iv* iXd66cov ccQa s6tlv rj
TtsQiKa^Pavo^svrj' dcpaiQSxtsvtcov ovv xoivcov tov ts
16 ABF t^ri^atog xal tov ditsvavtCov avtov sXd66ci)v
s6tlv rj sTticpdvsia rov xvXCvSqov rj xatd trjv ABF TtSQi-
cpsQSiav trjg ^vyxsi^isvrjg siticpavsCag sx ts tcov TtaQaXkrjXo-
yQd^^cov td5v xatd tdg AE^ EZ^ ZF xal tdov ^xrj^dtav
tov AEB, BZr xal tcov ditsvavtCov avtmv. aC ds twv
20 siQrj^svcov TtaQaXXrjXoyQd^^cDV sTticpdvsiai ^std tcov
slQrj^svcov 6%ri^dtcov sKdttovg Si6lv trjg imcpavsCag
trjg 6vyxsi^svrig ix tcov TtaQaXXrikoyQd^^cov tcov xatd
tdg AH, HF [^std yaQ ro^! K ^sC^ovog ovtog tdov
6x^^dtcov i6ai ri6av avtotg]. SrjXov ovv, oti td TtaQ-
25 aXXrjXoyQa^^a td 7tSQis%6^sva vno tcov AH^ FH xal
tcov TtXsvQcov tov xvXCvSqov ^sC^ovd i6ti trjg imcpavsCag
rot) xvXCvSqov trjg xatd trjv ABT TtSQicpsQSiav. sl 8s
^ri i6ti ^st^ov tb r]^i6v roi) K %coqCov tcov slQrj^svcov
3. TQccTts^Siov F. 4. KatsvciVTLOv^ dnsvavxlov'} sv r^ om.F; corr. A. 13. sXdaccQv'] sXccaaca F. 17. nsQicpSQSiccg F per
compendium; corr. A. 19. AEB, BZT] AE, EB, JBZ, ZFF;
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 57
Zr positis et trapezio AEZF et trapezio ei opposito,
quod in altera basi est cylindri, terminus est perime-
trus parallelogrammi in linea ^Ppositi. eadem autem
perimetrus terminus est superficiei compositae ex super-
ficie cylindri in ambitu ABF posita et segmento
ABF ei segmento ei opposito. itaque superficies, quas
commemorauimus, eundem terminum babent in plano
positum, et utraque in eandem partem caua est, et
altera earum quaedam comprehendit, quaedam cum
altera communia babet. minor igitur ea est, quae
comprebenditur [Aaft^. 4]. si igitur segmentum ABFet segmentum ei oppositum utrique communia sub-
trahimus, minor est superficies cylindri in ambitu ABFposita superficie composita ex parallelogrammis in
lineis AE, EZ, ZT positis et figuris AEB, BZT et
figuris iis oppositis. sed superficies parallelogrammo-
rum, quae commemorauimus, cum figuris AEBj BZFet figuris iis oppositis minores sunt superficie com-
posita ex parallelogrammis in lineis AHy HF positis.^)
quare adparet, parallelogramma, quae lineis AH^ FHet lateribus cylindri contineantur, maiora esse super-
ficie cylindri in ambitu ABF posita. — sin non maius
est dimidium spatii K figuris, quas commemorauimus,
1) Nam parallelogr.
AH ^ Hr= parallelogr. ^E-fEZ + Zr+^(ex hypothesi),
et i-S^> AEBJ -j- BZr©; itaque K^ AEBJ -{- BZT® cumfiguris iis oppositis. sed uerba sequentia lin. 23—24 suspectasunt; cfr. p. 55 not. 4; praeterea offendit avxotg (h. e. roig
TtccQoiXXriXoyQccfifiois roig Ticcta tccs AH^ HT) pro uvtri (h. e.
superficiei ex iis compositae; lin. 24).
corr. ed. Basil. „et ex portionibus plani contentis ab arcubuset lineis rectis ae, eb, bf, fc" Cr.
58 nEPi SA^iPAi: kai ktainapot a'.
dx^^cctcov^ dx^fj(30vtaL evd^stai i7CL^avov6av tov r^i^-
^aros, S0ts ysvs6d^aL ta TtsQiXsiTto^sva ^xriiiata ikda-
oova tov rj^iOovg tov K, xal td dkXa zatd td avtd
totg s^itQO^d^sv dsi%%"ri0stai.
6 tovtav ds dsdsiy^svav cpavsQOv i6tiv [ix tcav
7tQOSiQr}^svc3v], oTt, idv Sig xcjvov i6o6KsXri JtvQa^lg
iyyQacpfi^ rj i7ti(pdvsia trjg jtVQa^idog XG)Qlg trjg /3a-
6scog iXd66cov i6tl tijg xoviKrjg ijticpavsiag'
[sxa6tov ydQ tcov 7tSQiS%6vtcov triv TtvQa^Cda tQi-
10 ycovcov sXa666v i6ti trjg Ttcovixrjg iTticpavstag trjg fi£-
ta^v tcov tov tQiycovov 7tXsvQ^v' S6ts xal oXrj rj
iTticpdvsia trjg 7tvQa^idog %03()tff trjg ^d6scog iXd66cov
i6ti trjg i^ticpavsCag tov xcovov xcoQlg trjg ^d6scog.]
xal ort, idv 7tsQl xcovov i6o6xsXrj TtvQa^lg 7tsQi-
15 yQacpfj^ rj ijticpdvsia trjg 7tvQa^Cdog x^Q''? '^^? ^d6scog
^sC^cov i6tl trjg iTCicpavsCag tov xcovov x^Q^^S "^VS ^d-
6scog \xatd ro 6vvsxsg ixsCvco].
cpavsQOv ds ix tcov d^todsdsiy^svcov , oti ts, idv
sig xvXivdQOv OQd^ov 7tQt6^a iyyQacpfj, rj i^ticpdvsta
20 Tov 7tQC6^atog rj ix tcov ^taQaXXrjXoyQd^^cov 6vyxsi-
^svrj iXd66cov i6tl trjg i^ticpavsCag tov xvXCvSqov %(»^tg
trjg pd6scog'
[sXa66ov ydQ sxa6tov 7taQaXX7}X6yQa^^ov tov 7tQC6-
^at6g i6ti trjg xad'^ avtb tov xvXCvSqov iTticpa-
25 vsCag.]
1. tfirjfiaTOs] Nizze; cxrjiiccrog F, uulgo; xvxXov ax^^ficcros
ed. Basil., Torellius. 3. narcc] addidi; om. F, uulgo. 5. Ss]
scripsi; dri F, uulgo. sgtlv fx] scripsi; sni (isv F, uulgo.
10. sXaaaayv F; corr. C. H. ^] addidi; om. F, uulgo. 16.
ftftjco F.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 59
ducentur lineae segmentum contingentes, ita ut figurae
relictae minores sint dimidio spatii K [prop. 6 p. 23,
6]. et cetera eodem modo, quo supra [prop. 11 p. 49],
demonstrabuntur.
His autem demonstratis adparet^), si cono aequi-
crurio inscribatur pyramis, superficiem pyramidis prae-
ter basim minorem esse superficie conica.
[nam unusquisque triangulorum pyramidem com-
prehendentium minor est superficie conica, quae est
inter latera trianguli [prop. 9]*, quare etiam tota su-
perficies pyramidis praeter basim minor est coni super-
ficie praeter basim].
et, si circum conum aequicrurium pyramis circum-
scribatur, superficiem pyramidis praeter basim maiorem
esse coni superficie praeter basim [prop. 10].^)
adparet autem ex iis, quae demonstrauimus, et, si
cylindro recto prisma inscribatur, superficiem prismatis
ex parallelogrammis compositam minorem esse super-
ficie cylindri praeter bases.^)
[nam unumquodque parallelogrammum minus est
cylindri superficie ad id pertinenti] [prop. 11].*)
1) SK rSv TtQosiQrjfisvav subditiua esse puto, quia idemiam dictum est uerbis praecedentibus : rovtcav 8s8siy(isv(ov.
2) nara ro avvs%sg shsivo) (h. e. propter sequentem pro-
positionem) Archimedea esse non puto, maxime ob sY,sLvcp (h. -e.
illi proportioni, qua nitebatur lemma praecedens) obscure et
neglegenter dictum.
3) Archimedes hic et pag. 60 linn. 4, 7, 17 scripserat rmv§cc6scov (Qu. Arch. p. 73).
4) Hanc demonstrationem et similem supra lin. 9—13 sub-ditiuas esse suspicor; turbant enim sententiarum nexum {rs — xatlin. 18— 60, 1), nec intellegitur, aut cur additae sint, cum supradictum sit: cpccvsQOv s% rmv dsSsiyiisvcav (p. 58, 5 et 18), autcur Archimedes, si eas addere uoluerit, non c^teris duobus lem-matis etiam (p. 58, 14; p. 60, 1) demonstrationes adiunxerit.
60 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
XCcl Ott, iav TtSQi KvXivdQOV OQd-bv JtQi6^a TtSQi-
yQcccp^y rj iiticpdvaia rov 7tQi0^arog rj ix rmv JtaQaX-
XYjloyQd^^cjv OvyxsifiivYj ^et^cjv icrl rrjg iTticpavsiag
rov xvXivdQOv x^Q^^S ^^S ^diSaog,
5
.
iy.
Tlavrog xvXivdQOv oQd^ov rj ijticpdvsia ^o^tg rrjg
pd0£G)g l'6r} i6rl xvTcXa), ov r] ix rot} xsvrQOV ^£6ov
Xoyov s%Si rrig nXsvQccg tov KvkCvdQov xal rrjg dta-
^srQOv rrjg ^d^scog Toi5 xvXivdQOv.
10 s6rG) xvXivdQOV nvbg oQd^ov pd6ig 6 A xvxXog^
xal 's0ro rfi ^sv dia^srQC) ro{5 A xvxXov l'6rj rj JTz/,
ry ds TtXsvQa roi) xvXCvdQOv rj EZ' iyircxi 8\ \is(5ov
Xoyov rcov ^.T, -EZ r\ H^ xal xsCad^cj xvxkog^ ov rj
ix rov xsvrQOv 'i6rj i^rl rrj H 6 B. dsixrsov^ ort 6
15 B xvxXog i(5og iorl rfj imcpavsicc rov xvXCvdQov %OQ\g
rrjg ^d^scjg.
sl yccQ iiri i^nv i6og, TJrot ^sC^csv i6rl tj iXd66ov.
s6ro TtQorsQOVy sl dvvarov^ iXd66ov. dvo drj ^sysd^ov
ovrov dvC6ov rrjg rs ijtKpavsCag rov xvXCvSqov xal
20 Tov B xvxXov dvvarov i6riv slg rov B xvxXov 160-
nXsvQov TtoXvyovov iyyQdtf^ai xal aXXo TtsQiyQdipai,
o6rs rb TiSQiyQacpsv TtQbg rb iyyQacpsv ikd66ova
Xoyov s%Siv roi;, 6V s%Si rj iiticpdvsia rov xvXCvSqov
TtQbg rbv B xvxXov. vosC6d^o drj TtSQtysyQa^^svov xal
25 iyysyQa^^svov^ xal TtSQl rbv A xvxXov JtSQiysyQdcpd^o
sv&vyQa^^ov o^oiov rw TtSQt rbv B TtsQiysyQa^^svo,
xal dvaysyQdcpd^o djtb rov svd-vyQd^^ov 7tQi6^a' s6rai
1. naC om. F; corr. B*. 5. id' F. 12. sxsto F; corr.
BC*. 19. ccviGGoav F. 21. iyygccrpaL^l alterum y in F supra
Bcriptum est manu 1.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 61
et, si circum cylindrum rectum prisma circum-
scribatur, superficiem prismatis ex parallelogrammis
composita maiorem esse cylindri superficie praeter
bases^) [prop. 12].
XIII.
Cuiusuis cylindri recti superficies praeter bases^)
aequalis est circulo, cuius radius media est proportio-
nalis ^) inter latus cylindri et diametrum basis cylindri.^)
sit A circulus basis cylindri recti, et sit linea T/1
aequalis diametro circuli A^ et linea EZ aequalis la-
teri cylindri. linea autem H media sit proportionalis ^)
inter z/F, EZ lineas. et ponatur B circulus, cuius
radius aequalis sit lineae H, demonstrandum, circu-
lum B aequalem esse superficiei cylindri praeter bases.^)
nam nisi aequalis est, aut maior est aut minor.
sit prius, si fieri potest, minor. datis igitur duabus
magnitudinibus inaequalibus, superficie cylindri et cir-
culo 5j fieri potest, ut circulo JB inscribatur polygo-
num aequilaterum, et aliud circumscribatur, ita ut poly-
gonum circumscriptum ad inscriptum rationem minorem
habeat, quam superficies cylindri ad circulum B [prop. 5].
fingatur igitur circumscriptum et inscriptum circulo B^
et circum A circulum circumscriptum polygonum si-
mile figurae circum B circulum circumscriptae^), et
1) Archimedes hic et liun. 4, 7, 17 scripserat rwv ^uasmv(Qu. Arch. p. 73).
2) Archimedes hic et liu. 12—13 scripsit (isGrj a.vaXoy6v£6X1 (Quaest. Arch. p. 70).
3) Hanc propositionem ut tertiam decimam citat Pappus I
p. 394, 11.
4) Lin. 24 sq. Archimedes scripserat: vosLod^co dij sls tbv BKVTiXov nsQiysyQCiii^svov Kui syysyQoc^fjisvov, Kai nsqi tov A
62 nEPi 2:<[>AiPAi: kai ktainapot a'.
drj TtSQi tov KvXivdQOv JtSQiyeyQa^^ivov. s6rco ds x«l
rij TtsQLiisTQC) rov svd-vyQcc^^ov rov nsQi tov A kv-
kXov i6rj rj K/J^ xal tfi K^ i6r] rj AZ' trjg ds jTz/
rj^L6sia s6to r> FT. s6tai drj ro K^T tQiycovov
5 i6ov Tc5 TtSQiysyQa^^sva svd^vyQcc^^a tcsqI rov A xv-
kXov [iTtsidrj pcc6iv ^sv s%Si tfi TtSQiiistQG) i6rjv^ vtl^og
ds i6ov tfi sx rot> KsvtQov roij' A TcvnXov^ tb ds EATtaQakXriloyQa^^ov tfj STticpavsia rov TtQi^^iatog roi)
TtSQi tov KvXivdQOv ^SQiysyQa^^svov [sTtsidrj TtSQisxstai
10 vitb trjg JtXsvQccg tov nvXCvdQOv xal trjg i6rjg rfj TtSQi-
^stQG) trjg Pcc6scog tov 7tQi6fiatog~\. xsi^d-G) drj tfj EZl'6rj rj EP. i6ov aQa s6tlv tb ZPA tQiyovov rc5 EA7taQaXXrjXoyQ()cii^G) ^ S6ts xal tfj siticpavsict rov 7CQi6'
^atog. xal sjtsl o^oicc s6ti ra svd^vyQaiiyba ta TtSQi
15 rovg A^ B xvxXovg jtsQiysyQa^^sva., tbv avrbv s%si
koyov \ta sv^vyQa^^ia^^ ovTtSQ ai sk tSv xsvtQcov
dvvci^si. s%si ccQa tb KT^d tQiyovov TtQbg tb TtsQl
tbv B xvxXov svd^vyQa^^ov Xoyov, ov rj TA TtQbg
trjv H dvvd^si [ai yccQ Tz/, H i6ai sl6iv tatg sx rot)
20 xsvtQOv\ dXl' ov s%si Xoyov rj TA TtQbg H dvvd-
[isi^ tovtov s%Si tbv koyov rj Tz/ TtQbg PZ ^rjxsi [rj
yccQ H tcov TA^ PZ ^s6rj s6ti dvdloyov dtcc rb xal
tG)v TA^ EZ' itG^g df rovro; STtsX yaQ i6rj s6t\v rj
\Csv AT tfj TF^ rj ds PE tfj EZ^ di7tXa6ia ccQa s6t\v
25 rj TA trjg TA^ xa\ rj PZ trjg PE. s6tiv ccQa^ cog rj
TA TtQbg AT^ ovtG)g rj PZ TtQbg ZE. ro aQa vTtb
1. 8s] scripsi; drj F, uulgo. 5. tco] to F. 19. triv H]To H F. £x Tov nsvTQov] per compendium FC, quod in loco
interpolato ferendum est; fx tmv 'nsvrQOiv uulgo; „ex centris"
Cr. 20. TtQos H] TCQog ttiv H ed. Basil., Torellius. 25. (hq
rj rj\ F; ag ri JF uulgo.
' DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 63
in eo construatur prisma; erit igitur circum cylindrum
circumscriptum. praeterea autem aequalis sit linea K^perimetro figurae rectilineae circum A circulum cir-
cumscriptae, et lineae K^ aequalis AZ linea; lineae
autem F^ dimidium sit
^ J^^Tlinea. itaque triangulus
K^T aequalis erit figurae
circum A circulum circum-
scriptae ^),parallelogram-
mum autem EA superficiei
prismatis circum cylindrum
circumscripti.^) ponatur
igitur lineae EZ aequalis
^Plinea. itaque triangulus0ZPA aequalis est paralle-
logrammo EA [Eucl. 1, 41]
;
quare etiam superficiei
prismatis. et quoniam si-
miles sunt figurae rectilineae circum A, B circulos cir-
cumscriptae, eandem rationem habebunt^), quam radii
quadrati [u. Eutocius]. habebit igitur triangulus K T/1
ad figuram rectilineam circum B circulum circumscrip-
tam eandem rationem, quam TA^ : H^ [quia TA, Hradiis aequales sunt ex hypothesi].
yivY.Xov nsQiysyQUfifiivov ofioiov rc3 nsQt zov B nsQLysyQafifisvo);
u. Eutocius.
1) Quia basis Kd aequalis est perimetro polygoni, altitudo
autein z/ T aequalis radio circuli A siue radio minori polygoni
;
cfr. Zeitschr. f. Math. u. Physik, hist.-litt. Abth. XXIV p. 180nr. 12.
2) Quia basis EZ aequalis est perimetro polygoni, quodprismatis basis est, altitudo autem AZ aequalis lateri cylindri.
3) ta sv&vyQaii(iLa lin. 16 deleri uoluit Torellius, probante
64 nEPI S«^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
t(DV JTz/, EZ l'6ov eOtl rw vjtb t(DV Tz/, PZ. ta de
vTto tcov r^, EZ l'6ov £<jtl to ccTCo H. xal rc5 vTto
tSv Tz/, PZ ccQa l'0ov iotl tb ccTtb trjg H. £0tLV
ccQa^ wg rj Tz/ JtQog H, ovrog rj H TtQog PZ. e6tiv
5 ocQa^ (og rj Tz/ TtQog PZ, to <x7t6 tijg Tz/ TtQog to
ccTtb trjg H iav yccQ tQstg evd^etai dvciloyov oaGiv^
^6tiv, (og rj TtQcotri TCQog trjv tQitrjv, tb djtb trjg 7tQ(6-
trjg eldog TtQbg tb ditb trjg devtSQag sidog tb Ofioiov
Tcal o^Oicog dvayayQa^^evov}. ov de koyov e^ei rj
10 Tz/ TtQbg PZ ^rJTcei, tovtov e^ei tb KT^ tQiycovov
TtQbg tb PAZ [iiteidriTteQ i(5ai ei^lv av K^, AZ]. tbv
avtbv ccQa koyov e^ei tb KT^ tQiycyvov JtQog tb
evd^vyQa^^ov tb TteQi tbv B xvxlov TteQiyeyQa^^evov,
ovTteQ tb TK/1 tQiycovpv TtQog tb PZA tQiyovov.
15 i^ov ocQa i(Stiv tb ZAPtQiycovov ta iteQl tbv B xvkXov
TteQiyeyQa^^evc) evd^vyQa^^^p. StSte xal r^ eTticpdveia
tov 7tQi6^atog tov iteQl tbv A Kv?.ivdQOv TteQiyeyQa^-
inevov t(p evd^vyQK^^c} ta JteQl tbv B ocvxXov l'6rj iati.
Tcal ijtel iXd(S6ova Xoyov e%ei tb ev^vyQa^fiov tb JteQi
20 tbv B kvkXov JtQbg tb iyyeyQa^^evov iv t(p kvkXg)
tov, ov e%ei rj iTticpdveicc tov A KvkCvdQOv itQbg tbv
B kvkIov, ild06ova koyov e%ei Kal rj iTticpdveia tov
7tQi0^atog Tot) TteQl tbv xvkivdQov iteQiyeyQa^^evov
TtQog tb evd^vyQa^^ov tb iv ta kvkXcj rc5 B iyyeyQa^i-
25 ^evov, r]7teQ rj iiticpdveia tov KvXivdQOv TtQbg tbv BkvkXov Kal ivalXd^' oiteQ ddvvatov \ri filv yccQ
iTticpdveia tov 7tQi0^atog tov TteQiyeyQafi^evov iteQl
tbv KvXivdQOv ^ei^cjv ov(5a dedeiKtai trjg iTticpaveCag
2. dno H^ FBC; ccno f^g H uulgo. 5. ag rj] tag om.F; corr. AC. t6 dno] ovtcog xo dno A, ed. Basil., Torellius.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 65
sed
et
Tz/ : PZ == KTzl : PAZ})
quare triaugulus KTJ ad figuram rectilineam circum
B circulum circumscriptam eandem rationem habet,
quam triangulus TK^ ad triangulum PZA [u. Euto-
cius]. aequalis igitur est triangulus ZAP figurae
rectilineae circum B circulum circumscriptae [Eucl.
Y, 9]. quare etiam superficies prismatis circum Acylindrum circumscripti aequalis est figurae rectilineae
circum B circulum circumscriptae. et quoniam figura
rectilinea circum B circulum circumscripta ad figuram
circulo inscriptam minorem ratiouem habet, quam su-
perficies A cylindri ad jB circulum [ex hypotbesi],
habebit igitur etiam superficies prismatis circum cylin-
drum circumscripti ad figuram circulo B inscriptam
minorem rationem, quam superficies cylindri ad B cir-
Nizzio. et ex Eutocio adparet Archimedem scripsisse: xov av-tov s^SL Xoyov, ovnsQ.
1) Nam ex hypothesi est H^ = Jr x EZ et zl r == 2 Tz/,
£Z = ^PZ; quare Hf = Tz/ X PZ, h. e. TJ: H==^ H: PZ;tum u. Eucl. VI, 20 Ttog. 2. demonstrationem subditiuam p. 62,
lin. 21 — p. 64, lin. 9 nimis uerbosam esse iam Nizze p. 57 not.
^ intellexit; idem p. 270 uerba ndts Ss xovto deleri uult sedu. Quaest. Arch. p. 74.
2) Ex Eucl. VI, 1, quia ex hypothesi AZ = KJ.
7. t6 dno] FA; ovTcog xo dno uulgo. 14. TKJ] KTzl To-rellius. 24. iyysyQa(i(isvov] scripsi; ysyqaiiiisvov F, uulgo.
Archimedes, ed. Heiberg. I.
QQ nEPI 2^AIPA2 KAI KTAJNAPOT A'.
rov KvXCvdQov^ to ds iyysyQcc^^avov avd^vyQa^^oif iv
rc5 B KvxXc) eXa666v i0tt tov B kvkXov\ ovk aQa
i6tlv 6 B xvxlog iXd66a)v tijg iTCiq^avsLas tov kvXlv-
dQOv. — €6t(o ds , al dvvatov, ^sl^cjv. Ttdkiv de
5 voei6^cy etg rov B xvkXov evd^vyQa^^ov iyyeyQa^^a-
vov Kal akko TCeQiyeyQa^^evov , Sdte ro JteQiyeyQa^-
^evov TtQog to iyyeyQa^fievov ikd^^ova Xoyov 'e%eiv
7] tov B tcvkXov TCQog triv ijticpdveiav rot> xvXivdQOv,
%al iyyeyQd(p%^co eig tov A kvkXov itoXvycovov o^oiov
10 rc5 etg tbv B kvkXov iyyeyQa^^evc), Kal TtQt^^a dva-
yeyQdq^d^G) aito tov iv rc5 kvkXco iyyeyQa^^ievov Jtokv-
ycjvov. Kal Ttdliv ij K^ l'6ri e^ta trj TteQi^atQC) rov
avd^vyQd^^ov roi> iv rc5 A kvkXcj iyyeyQa^^evoVy Kal
7] ZA i(Sri avtfi e^to. e6tai drj to ^ev KTA tQi-
15 yovov ^et^ov tov evd^vy^d^^ov rov iv ta A kvkXc)
iyyeyQa\L\ievov \8i6ti ^d^iv ^ev e^et trjv TteQt^etQov
avtovj vtpog de ^et^ov trjg djto tov KevtQOv iitl ^Cav
TtXevQav roi5 TtoXvycavov dyo^evrjg Kad^etov], tb de EA7taQaXlriX6yQa^^ov l(5ov tfj iiti^paveCcc tov 7tQC6^atog
20 tfj ix t(Bv jtaQaXXrjXoyQd^^ov ^vyKei^evrj [di6ti jteQi-
eietai vitb trjg itXevQag tov kvXCvSqov Kal trjg ferjg
tfi 7teQi^etQ(p tov evd^vyQd^^ov, o i6ti ^detg rot)
7tQC6^atog\ Scte Kal ro PAZ tQCyovov t6ov iotl
tfj i7ti(paveC(x tov 7tQC6^atog' Kal i^tel o^otd i6ti td
25 evd^vyQa^^a td iv totg A, B KVKkotg eyyeyQa^^eva,
tbv avtbv e%ei X6yov 7tQbg aXXrjXa^ ov aC eK rcSi/
KevtQOV avtdov dvvd^ei. e^ei de Kal td KTA, ZPA
1. iyysyQUiifiEvovl scripsi; y£yQCi(ifisvovF^ uulgo. 7. sjjfiv]
SX^L F; corr. B* 10. £yysyQa(ifi£vov F; corr. B* 12. Iutco]
£<STL F; corr. A. 17. (iSL^av F, ut uidetur. yisvTQOv] -iisvTQOv
TiXEvQccg F; corr. Torellius. 22. 6'] 6? F; corr. ed. Basil.
DE SPHAERA ET CYLIISIDRO I. 67
culum. permutando igitur [prisma ad cylindrum mi-
norem rationem habet, quam figura circulo B inscripta
ad B circulum]^), quod absurdum est [u. Eutocius]^).
itaque fieri non potest, ut B circulus minor sit super-
ficie cylindri.
sit autem, si fieri potest, maior. rursus autem
fingatur figura rectilinea circulo B inscripta et alia
circumscripta, ita ut figura circumscripta ad inscrip-
tam minorem rationem habeat, quam B circulus ad
superficiem cylindri [prop. 5], et inscribatur circulo Apolygonum simile polygono circulo B inscripto, et
prisma in polygono circulo [A] inscripto construatur.
et rursus linea K^ aequalis sit perimetro figurae recti-
lineae circulo A inscriptae, et linea Z^ ei aequalis
sit. erit igitur triangulus K T/J maior figura rectilinea
circulo A inscripta^)^ parallelogrammum autem EAaequale superficiei prismatis ex parallelogrammis com-
positae.*) quare etiam triangulus PAZ aequalis est
superficiei prismatis [quia aequalis est parallelogrammo
EA'^ p. 62, 12]. et quoniam figurae rectilineae cir-
culis Ay Z inscriptae similes sunt, eandem inter se
rationem habent, quam radii circulorum quadrati [Eucl.
1) Archimedes pro %al ivaXXd^' otieq advvaxov p. 64, 26scripserat: svaXXa^ aga sldoaova Xoyov sxsl to ngiafia nQog tovytvXivdQOv, 7]nsQ to syysyQafifiivov stg roi' B kvtiXov noXvycovovnQog tov B kvkXov' onsQ atonov, ut ex Eutocio adparet.
2) Sequentia uerba p. 64, 26— 66, 2 subditiua esse adparetex Eutocio.
3) Basis enim KJ aequalis est perimetro polygoni, altitudo
autem J T, quae aequalis est radio circuli J, maior quam ra-
dius minor polygoni. Uerba lin. 16—18 Archimedis non sunt;
u. p. 62, 6.
4) U. p. 63 not. 2. Quae sequuntur lin. 20—23 subditiua
sunt; cfr. p. 62, 9.
5*
68 IIEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
tQiyava TtQog allrjXa Xoyov, ov aC h}i XKtv ksvtqcov
xmv xvxlcov dvvd^iEi. tov avrbv aQa Xoyov exBi to
£v%^vyQa^^ov ro hv rtp A ^vxkco eyysyQa^^avov TCQog
t6 svd^vyQa^^ov t6 kv ra B kyysyQa^^svov , Tcal t6
5 KT^ rQCyavov TtQog ro AZP rQiycovov. ska66ov ds
s6ri ro sv^vyQa^^ov t6 sv Ta5 A TcvKkco syysyQa^^s-
vov rov KT/1 rQiycovov. ska66ov aQa oial xo svd^v-
yQa^^ov t6 sv tc5 B tcvtcXco syysyQa^^svov rov ZPArQiycjvov coOrs Kal rrjg STCicpavsiag Tot; 7tQi6^arog rov
10 iv tg5 TivlivdQco syysyQa^^svov otcsq ddvvarov \s7tsi
yaQ skd(5(jova koyov s%Si t6 TtSQiysyQa^^svov svd-v-
yQa^^ov tcsqI rbv B tcvxXov TtQbg rb syysyQa^^svov,
7] 6 B 7cvx?.og TtQbg rrjv STticpdvsiav TOt) nvXCvdQOv^
xal svakld^^ ^st^ov ds s6ri rb JtsQiysyQa^^svov TtsQi
15 Tov B TcvxXov Toi5 B KVTcXov, ^si^ov KQa s6rlv t6
syysyQa^^isvov sv tcj B oivxlco rijg siticpavsCag tov
xvXCvdQOv. C30rs Tcal rrjg sjticpavsCag rov 7tQC6^arog].
0V7C ccQa ^sC^cav s(5r\ 6 B xvxXog rrjg siticpavsCag rov
TivXCvdQov. sdsCx^yj t^c, on ovds sXd66c3v. i6og ccQa
20 s0rCv.
id'.
Uavrbg kcovov i6o6xslovg ^w^tg rrjg pd^scog rj siti-
cpdvsia i6rj s6ri kvxXg)^ ov r} sn to€ xsvrQOv ^s6ov
Xoyov s%si rrjg TtXsvQccg rov licovov xal rijg sx Toi)
25 asvrQov to£' xvxlovj og s6ri ^d^ig tov xojvov.
s6rco x^vog i6o0Ksli]g, ov ^d^ig 6 A KVTckog, rj ds
Sk rov KsvrQov s^rco r] F. rfj ds TtksvQa rov kcovov
16. lihilmv F. 21. ib F. 22. 17 sTticpdvsLCi x^^qU J^V?^dascog Pseudopappus. 23. iatCv idem. 24. Xoyov] dvdXo-
yov idem. 25. ianv idem.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 69
XII, 1]. sed etiam trianguli KTzJ, ZPA eandem in-
ter se rationem habent, quam radii circulorum qua-
drati.^) itaque figura rectilinea circulo A inscripta ad
figuram circulo B inscriptam eandem rationem habet,
quam triangulus KTJ ad triangulum AZP. minor
autem est figura rectilinea circulo A inscripta trian-
gulo KT^. itaque etiam figura rectilinea circulo Binscripta minor est triangulo ZPA'^ quare etiam super-
ficie prismatis cylindro inscripti. quod fieri nequit.^)
itaque fieri non potest, ut circulus B maior sit super-
ficie cylindri. demonstratum autem est, ne minorem
quidem eum esse. itaque aequalis est.
XIV.
Superficies cuiusuis coni aequicrurii praeter basim
aequalis est circulo, cuius radius media proportio-
nalis est^) inter latus coni et radium circuli, qui basis
coni est.'*)
sit conus aequicrurius , cuius basis sit circulus A^
radius autem eius sit JT linea. et lateri coni aequalis
1) Nam KT^ : ZPA= TJ:ZP=TJ^:H^', p. 65 not. 1;
sed Tz/ linea aeqnalis est radio circuli A, H radio circuli B.
2) Nam quoniam figura circum B circumscripta ad figuraminscriptam minorem rationem habet, quam circulus B ad super-
ficiem cylindri, et B circulus <[ figura circumscripta, erit etiamfigura inscripta maior superficie cylindri, et multo magis su-
perficie prismatis (prop. 12 p. 58, 18). Sequentia uerba lin. 10
—
17 deleo; cfr. p. 67 not. 2.
3) Archimedem scripsisse puto lin. 23: fisar} iatlv dvdXoyov;cfr. p. 61 not. 2.
4) Hanc propositionem ut XIV ™*"^ citat Pappus I p. 390,
16. sed uerba ipsa Archimedis interpolator addidit, ut recte
suspicatus est Hultschius ; neque enim Pappi temporibus scripta
Archimedis in linguam communem conuersa circumferebantur
;
hoc enim post Eutocium demum factum.est (Quaest. Arch.
p. 77—78).
70 nEPI L<3>AIPAL KAI KTAINAPOT A'.
£(3tG) i'6rj 7] z/, XGiv 8e F, z/ ^80rj avdloyov 7} E.
6 da B icvKlos sxBtG) trjv sk toi5 xivtQov tfj E i6r]v.
XiyG)^ otL 6 B nvKlog i6tlv l'(jog tfj iTtKpavsta tov
xoivov xoQig trjg pd<j£og. — £i yccQ ^rj ietiv i(5og^
5 ritOV ^^L^COV i(Stlv 7] iXcc66G}V. £6tG) 7tQ6t£QOV iX(X66G)V.
£0ti dr} dvo ^^yid^rj avi6a 7] t£ i7ti(p(x,v£ia roi) kcovov
xal 6 B ytvxkog^ xal ^£i^G)v rj i7ti(pccv£ia tov zcovov.
dvvatov ccQa £ig tov B %vkXov Ttolvycovov i^oitl^vQOv
iyyQaijjai xal aklo 7t£QiyQdipai o^oiov t(p iyy^yQa^-
10 ftaVw, S6t£ to 7t£Qiy£yQa^^ivov TtQog to iyy^yQa^^i-
vov iXd66ova koyov £%£iv tov^ ov £%£i tj i7ti(pdv£ia
tOV XCOVOV TtQOg tbv B KVkIoV. V0£i6d-G) dfj Kal 7t£Q\
tov A xvxlov 7toXvyG)vov 7t£Qiy£yQa^^ivov o^oiov tm
7t£Qi tbv B kvkXov 7t£Qiy£yQa^^iv(p. %a\ d^tb tov 7t£Q\
15 tbv A xvxXov 7t£Qiy£yQa^^£vov Ttokvycovov 7tvQa^\g
dv£(5tdtG) dvay£yQa^^ivri trjv avtr]v TiOQVcprjv £%ov6a
tG) 7CG)VG}. i7t£\ OVV O^lOid iOti tCC 7toXvyG)Va td 7t£Q\
tovg A, B KVKXovg 7t£Qiy£yQa^^iva^ tbv avtbv £%£i
Xoyov TtQbg dX^rjXa, ov at iK tov xivtQOV dvvd^£i
20 TtQbg dXXriXag^ tovti^tiv ov £%£i rj F 7tQbg E dvvafi£i,
tovti(Sti rj r TtQbg z/ ^7]K£i. ov dh loyov £%£i r] FTtQbg A ^r\K£i^ tovtov £%£i tb 7t£Qiy£yQapi^ivov 7tolv-
ycovov 7t£Qi tbv A kvkIov TtQbg trjv i7ti(pdv£iav trjg
7tvQa^idog trjg 7t£Qiy£yQa^^ivrig 7t£Q\ tbv kcjvov [rj ^£V
25 yccQ r l'6r] i(St\ trj d^tb tov KivtQOV Kad^itc) i7t\ ^Cav
7tk£VQdv tov 7toXvyc3vov, rj d£ ^ tfj 7tk£VQa roiJ koo-
vov ' KOivbv d£ vipog r] 7t£Qi^£tQog tov 7tolvy(6vov 7tQbg
rd r]^i0r] tcov i7ti(pav£ic5v]' tbv avtbv ccQa koyov £%£i
I
11. i%uv\ s%Bi F; corr. BC* 15. xov A\ scripsi; xo A F,
uulgo. 19. ov] fov F; corr. BC* xmv 'nevtQcav ed. Basil., To-
rellius; sed cfr. p. 62, 19. 28, i^fttV??] diTcXccGia Hauber, Nizze.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 71
sit linea z/, et inter JT, z/ lineas media proportionalis
E linea. circulus autem B radium lineae E aequalem
habeat. dico, circulum B aequalem esse superficiei
coni praeter basim.
nam si aequalis non est, aut maior est aut minor.
prius minor sit. sunt igitur duae magnitudines in-
aequales; superficies coni et B circulus, quarum maior
est superficies coni. itaque fieri potest, ut circulo Bpolygonum aequilaterum inscribatur et aliud circum-
scribatur simile inscripto, ita ut polygonum circum-
scriptum ad inscriptum minorem rationem habeat,
quam superficies coni ad B circulum [prop. 5]. finga-0tur igitur polygonum circum Acirculum circumscriptum simile
polygono circum B circumscripto.
et in polygono circum A circulum
circumscripto pyramis construatur
eundem habens uerticem, quemhabet conus. iam quoniam similia
^ ^ ^ sunt polygona circum A, Bcirculos circumscripta^ eandem habent rationem inter
se, quam radii circulorum quadrati [p. 66, 24], id est,
quam habet T^ : E\ id est T : z/ [Eucl. YI, 20 tcoq. 2].
sed quam rationem habetF ad z/, eam habet polygonum
circumscriptum circum A circulum ad superficiem pyra-
midis circum conum circumscriptae.^) eandem igitur
1) Natn polygonum circumscriptum aequale est triangulo,
cuius basis est perimetro polygoni aequalis, altitudo autemlineae F (p. 63 not. 1), et superficies pyramidis triangulo ean-
dem basim habenti, altitudinem autem lineam z/ (prop. 8) ; tumu. Eucl. VI, 1; Zeitschr. f. Math. u. Physik XXIV p. 179 nr. 7.
obscuritas uerborum proxime sequentiuna lin. 24—28 interpo-
latori, non Archimedi imputanda est.
72 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
ro svd^vyQa^^ov tb jieQL tbv A xvxXov TtQbg to si^^vyQa^-
liov tb TteQi tbv B xvxXov ocal avto tb evd^vy^a^^ov
TCQbg trjv iTtifpdvsiav tijs TtvQa^idog trjg TteQiyeyQa^-
^evrjg TtSQi tbv zmvov. S<Sts i6ri s6tlv rj S7ti(pdvsia
5 r% TtvQa^idog tip svd^vyQd^^c) rc5 TtsQi tbv B xvxXov
TtSQiysyQa^^svc). ijtsl ovv sXd(56ova Xoyov s^si tb
svd^vyQa^^ov tb TtsQi tbv B xvxXov stsQiysyQa^^svov
TtQbg ro syysyQa^^svov, 7]7tSQ rj iiticpdvsia roi) xtovov
TtQbg tbv B xvxXoVy skdc^ova Xoyov s^si rj sTticpdvsia
10 trjg JtvQapiidog trjg TtSQi tbv xSvov TtsQiysyQa^^svrjg
TtQbg tb svd"vyQa^^ov tb sv ta~ B Kvxkci syysyQa^-
^svov, 7]7tsQ rj sTticpdvsia tov x(6vov TtQbg tbv B xv-
xXoV OTtSQ ddvvatov [ri ^sv yccQ sjticpdvsia trjg TtVQa-
^idog ^Si^(OV ov6a dsdsixtai trjg STticpavsCag tov kcsvov,
15 ro ds syysyQa^^svov svd^vyQa^i^ov sv t(p B KvxXa sla0-
Cov s6ti rov B xvxXov\ ovx ccQa 6 B xvxlog sXdcccav
s6tai trjg siticpavsiag tov ncovovo — Xsy(o di], oti ovde
piSit,(ov. si yccQ dvvatov sOtiv^ s(3tco fisi^cov. itdhv
drj vosi^d^co slg tbv B xvkXov TtoXvycovov syysyQapi-
20 lisvov xal akXo TtSQiysyQa^^svov, S0ts tb itsQiysyQa^-
[Lsvov TtQog tb syysyQa^^svov skd06ova Xoyov s%siv
rov, ov s^Si 6 B xvxXog TtQbg trjv sTticpdvsiav rov
xcivov, xal sig thv A xvxXov vosi^d^co iyysyQa^^svov
TtoXvycovov o^Oiov ta stg tbv B xvxXov iyysyQa^^sva'
25 xal dvaysyQdcpd^co aTC avtov TtvQa^lg trjv avtrjv xoQV(pr]v
s%ov0a rra xcovG). iitsl ovv o^oid i(Sti td iv tolg A^ Bxvxkoig iyysyQapipisva^ tbv avtbv s%si koyov JtQbg a?,Xr]Xa^
ov aC ix tcov xsvtQov dvvd^si TtQbg dkkriXag. tbv av-
tbv aQa koyov s%si ro TCokvycovov itQbg tb jtokvyovovy
2. ccvTo To] t6 avrd? cfr. tamen p. 74, 11; „eadem" Cr.
6. nsQLysyQayLiLSv01 F. BXacGo F; corr. BC*; fortasse iXccGGco
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 73
rationem liabet figura rectilinea circum A circulum cir- \v
cumscripta ad figuram circum B circumscriptam, quam
haec ipsa figura^) ad superficiem pyramidis circum conum
circumscriptae. quare superficies pyramidis aequalis est
figurae rectilineae circum B circulum circumscriptae
[Eucl. V, 9]. iam quoniam minorem rationem liabet
figura rectilinea circum 5 circulum circumscripta ad
figuram inscriptam, quam superficies coni ad B cir-
culum, minorem rationem habebit superficies pyrami-
dis circum conum circumscriptae ad figuram rectilineam
circulo 5 inscriptam, quam superficies coni ad B cir-
culum. quod fieri non potest.^) itaque fieri non pot-
est, ut jB circulus minor sit superficie coni. — dico
igitur, eum ne maiorem quidem esse. sit enim, si
fieri potest, maior. rursus igitur fingatur circulo Bpolygonum inscriptum et aliud circumscriptum, ita ut
polygonum eircumscriptum ad inscriptum minorem
rationem habeat; quam JS circulus ad superficiem coni
[prop. 5], et circulo A fingatur polygonum inscriptum
simile polygono circulo 5 inscripto. et in eo pyramis
construatur eundem uerticem habens, quem habet co-
nus. iam quoniam polygona circulis A^ E inscripta -
similia sijnt, eandem habebunt rationem inter se, quamradii quadrati [Eucl. XII, 1]. polygona igitur inter
1) H. e. figura rectilinea circum J circulum circumscripta.
2) Nam superficies pyramidis maior est superficie coni
(prop. 12 p. 58, 14), sed polygonum inscriptum minus circulo B.
cum A. 11. svyEyQafiiiEvov F. 16. iozL] sataL per compen-dium F; corr. Torellius. 17. sgtcci'] per comp. F. 18. dr}']
scripsi; Ss F, uulgo, 21. sx^i^v'] sxsl F; corr. B. 23. t6v]
to F. 26. yiovco F. 28. rcov] t suprascripto (o F.
74 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
xal 7] r TtQos trjv z/ ^rjxsi, 7} de F TtQog rrjv z/ ^el-
^ova Xoyov B%eij 7] tb jtoXvycovov ro iv tip A xvkIg)
syysyQa^^svov TCQog trjv iTCKpdvsiav trjg TtvQa^Cdog
trig syysyQa^^svTjg slg tov xdovov [rj yccQ ix rov xsv-
5 tQOv tov A kvkXov TtQog tr]v itXsvQav tov xcjvov ^si-
t,ova koyov s^si^ TJitsQ rj ccTto tov ocsvtQov dyo^svrj
Tcdd^stog inl ^Cav TtXsvQccv tov TCokvyccivov TtQog trjv
iTtl rrjv TtlsvQav rov itoXvyc^vov Tcdd^stov dyo^svrjv
dno trjg 7C0QV(prjg tov xosvov]' ^si^ova ccQa koyov s%si
10 to TtoXvycovov to iv tw A tcvkXg) iyysyQa^^svov TtQog
to TtoXvyovov to iv rc5 B iyysyQa^^svov, tJ avto ro
TtoXvyovov JtQog trjv iiticpdvsiav trjg TtvQafitdog. ^sc-
^C3v aQa iotlv rj iTticpdvsia trjg TtvQa^idog tov iv tcj
B TtoXvycjvov iyysyQa^^svov. iXd(36ova d^s Xoyov s%si
15 ro TtoXvyovov ro itsQl tov B xvkXov TtsQiysyQafi^evov
TtQog to iyysyQa^^svov, rj 6 B KVKXog TtQog trjv iiti-
(pdvsiav tov Kovov. itoXXo ocQa to TtoXvyovov ro
TtsQi tbv B kvkXov TtSQiysyQa^^svov TtQbg trjv iTticpd-
vsiav trjg TtVQa^idog trjg iv to Kmvtp iyysyQa^^svrjg
20 iXd06ova Xoyov s%si^ rj b B KvxXog JtQbg trjv iiticpd-
vsiav tov Kcavov oitsQ ddvvatov [ro ^sv yccQ TtsQi-
ysyQa^^svov TtoXvycjvov ^st^ov i6tiv tov B ocvkXov^
rj de iTtiCpdvsia trjg TtvQa^idog trjg iv to kcovc) iXdc-
60V i6ti rrjg iiticpavsCag roi) kcjvov]. ovk ccQa ovds
25 ^si^ov iijrlv KVKXog rrjg iiticpavsiag roi; kcovov.
i^siyprj ds^ on ovds iXdG(5ov. l'6og ccQa.
7. TCQog trjv inl triv nXsvqav xov noXvycovov'] om. F; corr.
ed. Basil.* 11. ccvto t6] t6 avtol cfr. p. 72, 2. 19. Horoo
F. 25. 6 xvxXos] 6 xvxXos jB Torellius.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 75
se eandem habent rationem, quam F : z/ [Eucl. YI, 20
TtoQ. 2]. sed r : ^ maiorem rationem habet, quam
polygonum circulo A inscriptum ad superficiem pyra-
midis cono inscriptae [u. Eutocius]. maiorem igitur
rationem habet polygonum circulo ^4 inscriptum ad
polygonum circulo B inscriptum, quam hoc ipsum
polygonum^) ad superficiem pyramidis. maior igitur
est superficies pyramidis polygono circulo B inscripto.
minorem autem rationem habet polygonum circum Bcirculum circumscriptum ad polygonum inscriptum,
quam B circulus ad superficiem coni. multo igitur
minorem rationem habet polygonum circum B circu-
lum circumscriptum ad siiperficiem pyramidis cono in-
scriptae, quam B circulus ad superficiem coni. quod
fieri non potest.^) itaque ne hoc quidem fieri potest^
ut maior sit circulus [B] superficie coni. demonstra-
tum autem est^ eum ne minorem quidem esse. aequalis
igitur est.
1) H. e. circulo A inscriptum.
2) Nam polygonum circumscriptum maius est circulo B,
sed superficies pyramidis inscriptae minor superficie coni (prop.
12 p. 58, 5). sed quibus hoc ipsum continetur uerbis Hn. 21—24 in suspicionem uocantur uerbis p. 64, 26 sq. damnatis(p. 67 not. 2); cfr. 69 not. 2.
76 nEPi s^AiPAi: kai ktainapot a'.
LS .
Ilavrog xcovov LaoOxslovg ij i^i^^pccvsLa TtQog xriv
pdCLv xov avxov £%si Xoyov^ ov rj JtXsvQa xov ocoovov
jtQog xrjv sx xov ksvxqov xrjg ^aGscog xov xcovov.
5 i0X(o Kcovog L0o0KsXi^gy - ov ^dOLg 6 A xvxXog. soxco
8s xfi lisv SK xov KsvxQOv xov A l'0rj rj B^ xfj ds
TtXsvqa xov K(6vov rj F. dsLKXsov, oxl xov avxov s^sl
Xoyov ri sitLipdvsLa xov kcovov TtQog xov A kvkXov^
Kal rj r TtQog, xrjv B.
10 SLlrjipd^G} yccQ xdiv B, F ^s0ri dvdkoyov rj E^ Kal
SKKSL^d-co KVKXog 6 z/ farjv sycov xr\v sk xov ksvxqov
xfj E. 6 z/ ccQa KVKXog L0og s0xl xfj S7tL(pavsLa xov
Kcjvov [rotJro yccQ sdsLxd^rj sv xa jtQo rotJroi;]* s6sL%%^ri
ds 6 ^ KVKkog TtQog xov A kvkXov Xoyov sxoov xbv
15 avxbv xcj xrjg F TtQbg B ^rjKSL [sKdxsQog yccQ 6 avxog
S0XI rw xrjg E TtQbg B dvvd^SL Slcc xb xovg KVKXovg
TtQbg dXkrikovg slvaL^ G)g xd ditb x(5v dta^sxQcov xs-
XQdycova JtQbg dXlrjla^ 0^10Lcag ds Kal xd dnb xcjv sk
xcjv KSVXQGJV X(DV kvkIcov* sl yaQ aL dLd^sxQOL, Kal
20 xd rj^L6rj, XOVXS0XLV aC sk xcov ksvxqcov. xatg ds sk
X(DV KSvxQov L6aL slgIv al 5, E\ drjXov ovv^ oxl rj
STtLcpdvsLa xov K(6vov TtQbg xbv A kvkXov xbv avxbv
SXSL Xoyov^ ov rj F itQbg B firjKSL.
L<5 .
25 'Edv Kcjvog L6o6Kskrig sTtLTtsda) x^rjd'^ TtaQaXXrjX^p
xfj pd^SLy xfj ^sxa^v xcov TtaQaXXtjXcov sitLitsdcov sjtL-
(pavsL(x xov Kcovov L6og ioxl KVKXog, oy rj iK xov ksvxqov
1. ig' F. 24. t5' F. 26. eni(pavsLoc] xri BnKpavBia F;
corr. ed. Basil.; xri om. Pseudopappus. 27. ^axlv idem.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 77
XV.
Superficies cuiusuis coni aequicrurii ad basim ean-
dem rationem habet, quam latus coni ad radium ba-
sis coni.
sit conus aequicrurius, cuius basis circulus A. sit
autcm B linea aequalis radio circuli A^ V autem
aequalis lateri coni. demonstrandum, superficiem coni
ad A circulum eandem rationem
•y habere, quam T linea ad J5 lineam.
sumatur enim media proportio-
nalis inter jB, T lineas linea E, et
ponatur circulus z/ radium lineae
E aequalem habens. itaque cir-
BEr culus A aequalis est superficiei
coni [prop. 14]. demonstratum
autem est, z/ circulum ad A cir-
culum eam rationem habere, quam
T linea ad B lineam [prop. 14
p. 59, 20 sq.].^) adparet igitur, superficiem coni ad
A circulum eandem rationem habere, quam T linea
ad lineam .8.
XVI.
Si conus aequicrurius secatur plano basi parallelo,
superficiei coni inter plana parallela positae aequalis
est circulus, cuius radius media proportionalis^) est
1) Nam z/ : ^ = E^ : B^ (Eucl. XII, 2) et B : F = B^ : E^(Eucl. VI, 20 noq. 2).
2) Archimedes p. 78, 1 scripserat: iisGri.dvciXoyov iati.; cfr.
p. 61 not. 2.
78 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
^8(jOV Xoyov E%ei ri]g ra TcXevQag tov y,cavov t% ^b-
xaiv tav TtaQaUT^Xov iTCLTtedcov xal r% laTjg a^cpo-
tBQaig tatg bk tav xevtQCOv tav kvkKcov t^v iv tolg
TtaQaXXriXoig iTtcTtidoLg.
5 £(>ra3 xavog^ ov to dta roi5 alovog tQLyovov lOov
tcj ABr^ xal tet^Yiad^co TtaQaXkriXc) iitLitidc} trj ^dasL^
xal TtOLSLtca toiirjv triv J E' a^cov de tov %covov satco
rj BH. KVTcXog ds tLg ixKSL^d^cj, ov ri ix tov xsvtQOV
^iarj dvdXoyov iatL tijg ts A/1 %al awa^cpotsQov tijg
10 ^Z, HA. s6tco ds KVKkog 6 0. Xsyco, ort 6 @ xv-
xXog L0og iatl trj iTttcpavsLa tov tccovov trj ^sta^v tov
AE, AT.
ixKSL6^co6av yccQ %vxXol ot A^ K, %al tov ^sv KkvkXov r} iTi rov KSVtQOV dvvdad^cj tb vitb tov BAZ^
rov ds A ri ix rov xsvtQOv dv-
vd0d^c3 tb vTtb BAH. 6 iisv aQa
A KvycXog L6og iatl trj iTtLcpavsCa
tov ABF XC3V0V, 6 ds K TcvxXog
faog iatl tfi iitLcpavsLcc toij AEB.
%al iTtsl tb vTtb tov BA, AHL60V iatl to ts vTtb t(ov B z/,
AZ Tcal rc5 v^b trjg AA xal 6vv-
a^cpotsQOv trjg z/Z, AH dta to
TtaQallrilov slvaL trjv AZtrjAHdXVa ro \isv vnb AB, AH 8v-
vataL rj ix tov TCSVtQOV tov A^^
ytvTcXov, ro ds vitb BA, JZdvvataL rj i% tov KSvtQOV tov K xvkXov, tb ds vitb
trjg AA Kal 6vva^(potSQOv trjg AZ^ AH dvvataL r]
?
1. T£ om. idem. 7. tov] twv, ut uidetur, F. 8. 17] (prius)
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 79
inter latus coni, quod inter plana parallela positum
est, et lineam aequalem utrique simul radio circulo-
rum in planis parallelis positorum.^)
sit conus eiusmodi, ut triangulus per axem eius
positus aequalis sit triangulo ABF, et secetur plano
basi parallelo, et efficiat [planum secans] sectionem
^E. axis autem coni sit BH linea. ponatur autem
circulus, cuius radius media sit proportionalis inter
lineas Azl et AZ -\- HA, et sit circulus @. dicO; cir-
culum aequalem esse superficiei coni inter lineas
zJE, AF positae.
ponantur enim circuli A, K, et radius circuli Kquadratus aequalis sit BAxAZ, radius autem cir-
culi A quadratus aequalis BAX AH. itaque circulus
A aequalis est superficiei coni ABF, K autem cir-
culus aequalis superficiei coni AEB [prop. 14]. et
quoniam
BA X AH= BAXAZ + AAX {AZ + AH)
[u. Eutocius], quia AZ linea parallela est lineae AH,sed radius circuli A quadratus = BAX AH, radius
autem circuli K quadratus = BA X AZ, radius autem
circuli quadratus = AA X (AZ -\- AH) [ex hypo-
1) Citat Pappus I p. 366, 21 sq.; sed totum hunc locuminterpolatori trilauo; cfr. p. 69 not. 4. etiam uerba apud Pap-pum I p. 370, 12: Sicc tb uvxo 'AQxi^^^ovg i^ &E(6Qr)^cc tumdelenda sunt, etiam propter uitiosum numerum (cfr. Quaest.Arch. p. 154 not.).
addidi; om. F, uulgo. 13. a-n^nsLad-coG cum comp. lv uel rjv F.
14. tav B^Z\ scripsi; to B^ZY, uulgo*; |?^J ed. Basil., Ez/,
z/Z Torellius. 16. BA, AH Torellius.
80 nEPI S^AIPAL KAI KTAINAPOT A'.
ix tov XBvtQOV rot) 0, to ccQa ccTto triq ix tov xiv-
tQOv tov A Tivxkov 1'<jov i6tl totg ktco t(ov ix tSv
TcevtQOv tSv K, S Kvnlov. a6ts xal 6 A KvxXog
L6og iotl totg K, ® nvxloig. aXk' 6 ^ev A l'6og i(5tl
5 ttJ iTticpavsLa tov BAF tkovov^ 6 ds K tfj iTCitpavsCa
TOi) ^BE Kcovov. koiTti] aQa rj ijiicpdveia tov tccovov
ri ^sta^v tcov itaQaXXriXcov ijtiTtsdav tdov ^dE^ AFi'6r] i6ti ta xvTcXci).
10 [AHMMA.]
["E6tG) TtuQaXXrjXoyQa^^ov t6 BAH^ xal dicc^stQog
avtov s6to rj BH. tst^ri^d^co rj BA TtXsvQa^ (og
stv%sv^ Tcata to z/, Tial dicc tov z/ tJ^^co TtaQalXrjXog trj
AH rj A@, dia ds roi) Z trj BA rj KA. ksyco, ott
15 To v7to BAH i6ov i6ti Tc5 ts VTtb BAZ Tcal tq vTto
^A xal 6vva^(potSQOv tijg AZ^ AH iitsl yccQ to
^sv vito BAH olov i6ti to BH^ to ds vjto B^ZTo BZ^ tb ds vTtb /iA xal ^vya^cpotSQOv trig z/Z,
AH 6 MNS yvco^cov (tb ^sv yccQ vitb /lAH l'6ov
20 i6ti tco KH dicc tb l'6ov sivai tb K& TtaQaTtXrjQo^a
ta ^A TtaQaTtXrjQco^ati^ t6 ds vjtb z^A^ z/Z tc5 ^^A),
oAoi' ccQa tb BH, oitsQ i6tlv tb vitb BAH^ l'6ov i6ti
Tc5 ts vTtb BzlZ TiOi Tc5 MNS yvco^ovi^ og i6tiv
i6og Tcj VTtb AA xal 6vva^(potsQOV trjg AH^ z/Z.]
25 AHMMATA.a\ Oi Kcovoi ot i6ov vil^og i%ovtsg tbv avtbv siov6i
koyov tatg ^d6s6iv* %al ov i6ag s%ovtsg ^d6sig tbv
avtbv sxov6i koyov totg vil^s6iv.
10. AHMMA om. F; add. Torellius. 15. BA, AH idem.
BJ, dZ idem. 16. AH] AA F; corr. man. 2, ed. Baail.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 81
thesi], erit radius circuli A quadratus aequalis radiis
circulorum K, & quadratis. quare etiam
A=-K + e})
sed circulus A aequalis est superficiei coni BAF,K autem circulus aequalis superficiei coni zJBE. ita-
que quae relinquitur [Eucl. I xotv. ivv. 3] superficies
coni inter plana parallela ^E, AF posita, aequalis
est circulo 6>.^)
B K
LEMMATA.
1. Coni eandem altitudinem habentes eandem ra-
tionem habent^ quam bases.^) et coni aequales bases
habentes eandem rationem habent, quam altitudines.*)
1) Nam circuli inter se eam. habent rationem, quam radii
quadrati (Eucl. XII, 2); tum cfr. Quaest. Archim. p. 48.
2) Quod hic sequitur lemma subditiuum a Torellio ante
prop. 16 transpositum est (Quaest. Arch. p. 72); hoc loco ha-bet F.
3) Eucl. XII, 11: ot vno t6 avto vipog ovTsg v.(hvoi '/.ccl
yivXLvdQOL TCQog dXlT^Xovg sIgIv ag at ^doBig.
4) Eucl. XII, 14: 01 BTcl iacov ^dcscov ovTsg v.iavoL xal y,v-
XivSgoi ngog dlXi^Xovg bIglv (ag xd viprj.
17. BJ,AH Torellius. jBz/, z^Z idem. 19. ^A, AH idem.20. to K@] tco KG F. 22. BA, AH Torellius.
^23. BzJ,
JZ idem. yv(o(i(ovL F; corr, Torellius. 25. Xrjfifiatcc om.F; hoc et numeros add. Torellius. 26. ot igov] ol om. F.
ArcMmedee, ed. Heiberg. I. 6
82 nEPI 2^AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.
/3'. ^Eav TcvXivdQog iTtiTcedG) t^rjd^fj naQcc trjv pd^tv,
sCtiv^ G)g 6 zvkivdQog JtQog roi' xvltvdQOv , 6 al^cov
TtQog tbv a^ova.
y . Tots ds KvXcvdQOLg iv ta avta Xoya eiclv ot
5 xcjvoi OL sxovtsg tag avtag pd^eig totg xvkCvdQOig.
d'. Kal tSv 1'0<a)v x<6vcov dvtLTCSTCovd-a^cv ai ^desig
totg vtfjs6iv' xal cov dvtiJtSTtovd^aCiv ai ^desig totg
v^sOiv^ l'6oi sIgCv.
s. Kal OL Kcjvoi, C3V aC dLd^stQOi tcav pd^scov
10 tbv avtbv koyov sxov6l totg d^o6Lv \tovts6tL totg
v-^s^l']^ TtQbg dXXrjXovg iv tQLTtXacCovL Xoya sCelv tdav
iv tatg pd6s6L dLafistgcJV.
tavta ds Ttdvta vitb tcav TtQotSQOv ditsdsCxd^rj.
4'-
15 'Edv C30LV dvo xSvoL C6o6xsXstgy rj ds tov stsQov
xoavov iTtLCpdvsLa farj ri tfj tov stSQOv pd6sL, r] 6s ditb
roi) KSVtQOv trjg ^dcsag STtl trjv TtXsvQav rot> xcovov
xdd^stog dyo^isvrj ta vipst l'6rjfj, t60L sCovtat oC
xdivoL.
5. %ovoL F. 10. a^ov6iv F. 11. dXXi^Xovg per comp.F. 14. LTi' F
.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 83
2. Si cylindrus plano basi parallelo secatur, erit,
ut cylindrus ad cylindrum, ita axis ad axem.')
3. Eandem autem rationem, quam cylindri, habent
coni easdem bases habentes, quas cylindri habent [et
altitudinem aequalem].^)
4. Et bases conorum aequalium in contraria pro-
portione altitudinum sunt. et quorum bases iu con-
traria proportione altitudinum sunt, aequales sunt coni.^)
5. Et coni, quorum basium diametri eandem ra-
tionem habent, quam axes^), in tripla ratione dia-
metrorum basium sunt.^)
Haec autem omnia a prioribus demonstrata sunt.
XVII.
Si dati suni duo coni aequicrurii, alterius autem
coni superficies aequalis est basi alterius, linea autem
a centro basis [prioris coni]^) ad latus coni perpen-
dicularis ducta aequalis est altitudini [alterius coni],
coni aequales erunt.
1) Eucl. XII, 13: iccv 'nvXivdQog inLniday T^rj^ij naqccXXriXcp
ovtt, TOtg dnsvccvTLOv inLnsdoig, iaxai^ ag 6 KvXivdQog nQog xov"KvXivdQOV, ovtoig 6 a^tov nQog tov oLh,ova.
2) Post tolg %vXivSQOLg Archimedes uix omiserat: xat vipog
160V, quao uerba addi uolunt Peyrardus, Hauberus, Nizzius.
propositio ipsa apud Euclidem non legitur; sequitur autem exXII, 10.
3) Eucl. XII, 15: tav tocov kcovoov xal y.vXLvdQoov avtms-novd^aoLV at ^dasLg toig vipsaL' xal tov yicovov ^al nvXivdQcavavtLnBnovd^aCLv at ^dasLg toig vtpsaLV, lool staiv i-nsLVOL.
4) Uerba tovtiatL toig vt^ffft transscriptori tribuenda esse
uidentur.
5) Eucl. XII, 12: ot ofioioL (h. e. quorum axes et diametribasium proportionales sunt; XI def. 24) kcovol nal kvXivSqol
nQog dXXriXovg iv tQLnXaaiovL Xoycp siai tcov iv taig ^dasaL dia-
^itQCOV.
6) Ueri simile est, Archimedem hos duos conos diligentius
6*
84 nEPI S$AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.
e6t(o6av dvo xcjvol laoOKsXstg oC ABT^ ^EZ'xal rov ABF 7] ^ev pd^cg torj £6t(o tfj ijticpavsLa
tov ^EZ, to de vipog to AH l'6ov e6tcj tfi ano tov
xsvtQov tijg pd^sag tov & stcI ^Lav tcXsvqccv rov xco-
5 vov, olov snl t7]v /iE^ xad^stG) rjy^svr] tfj K®. Xsya,
OtL L60L SL6lv 06 KOJVOL.
STtsl yccQ 167} s6tlv 7] ^0,6Lg tov ABF tfj sHLCpavsLCf
tov ^EZ \ta df L6a TtQog to avto tov avtov s%sl
Xoyov^ (og a^a rj tov BAF ^cc^ig TtQog trjv tov ^EZ10 ^oc6lv^ ovtcog rj STtLcpavsLa tov /lEZ JtQog trjv ^cc6lv
tov /1EZ. dlX' G)g 7] STtLcpdvsLa JtQog trjv tdCav /3a-
6lv, ovtag rj Zl& TtQog trjv ®K [sdsLx^rj yccQ rovro,
ori Ttavtbg tkovov L6o6xslovg rj sTtLtpdvsia TtQog trjv
pd6LV tov avtbv loyov s^sl, ov rj TtXsvQa tov kcovov
15 TtQbg trjv sk tov nsvtQOV trjg pd6sc3g, tovts6tL rj AETtQog E@. cog ds rj E/l itQbg ©z/, ovtcog tj E@ TtQbg
&K. L6oy(6vLa ydQ s6tL ta tQLycova. l67] ds s6tLV rj
@K tfj AH]. (og ccQa rj pd6Lg tov BAF TtQbg trjv
^d6LV tov /lEZ^ ovtcDg tb vijjog tov ^EZ itQbg tb
20 vil^og tov ABr. t^v ABF, ^EZ ccQa dvtLTtSTtov-
d^a^LV al ^d6SLg tolg vips^iv. L6og ccQa s6tlv o BAFtCO /lEZ KOOVG).
Lr\
.
Havtl Qo^^ip s^ l6o6ksI(ov x(6vG)v 6vyxsL^svG) l6og
25 's6tl Kcjvog 6 ^d6LV ^sv sycov l6r\v tfj STtLCpavsCcc rov
itsQOv Kcovov t(6v 7tsQLs%6vtGiv tbv Qo^^ov, vtl^og 6s
5. Kad-STov F; corr. ed. BasiL* 10. ovrcog per comp. F; itemlin. 12. 12. J@] E9 F- corr. man. 2, B. @K] E supra scrip-
tum man. 2 F. 15. tj z/E tovtsotL F; corr. ed. Basil.* 16. E@]z/0 F; E supra scriptum man. 2; corr. Torellius. @zJ] @EF man. 2, Torellius. ovtcog] per comp. F, ut lin. 19. £0]J@F man. 2, B, ed. Basil., Torellius. 23. t^' F. 24. yiovav F.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 85
sint duo cojii aequicrurii ABF, /lEZ-^ 6t basis
coni ABF aequalis sit superficiei coni ^EZ, altitudo
autem AH aequalis lineae K0 si centro basis ad
latus coni; uelut ^E, perpendiculari ductae. dico, co-
nos esse aequales.
nam quoniam basis coni ABF aequalis est super-
ficiei coni ^EZ, erit, ut basis
coni BAF ad basim coni ^EZ,ita superficies coni AEZ ad ba-
sim coni ^ EZ [Eucl. V, 7]. sed
ut superficies ad basim eiusdem
coni, ita A& ad &K^) itaque
ut basis coni JS^r' ad basim coni
^EZ, ita altitudo coni ^EZ ad
A altitudinem coni ABF.^) sunt igi-
tur bases conorum ABF, AEZin contraria proportione altitu-
dinum. aequalis igitur est conus
BAT cono /iEZ (lri^\i. 4 p. 82).
XVIII.
Cuiuis rhombo^) ex conis aequicruriis composito
aequalis est conus basim habens superficiei alterius
coni eorum, qui rhombum comprehendunt, aequalem,
distinxisse; ea saltem uerba, quae in interpretatione addidi,
uix omiserat; tov etbqov tkovov p. 82, lin. 18 addidit prop. 18.
cfr. prop. 20; Quaest. Arch. p. 73.
1) Namsuperficies coni zJEZ : basis coiji JEZ = JE : EG (prop. 15);
sed JE: E© = @J : @K (Eucl. YI, 4), quia ZlE® OJ @Kzl,
2) Nam &K = HA ex hypothesi.
3) Sc. solido (defin. 6 p. 8).
86 nEPI S^AIPAS KAI KTAmAPOT A',
i'6ov tij (XTto rrjg TcoQVcprjg tov iteQOv X(6vov xad^etcj
dyo^evT] iTcl ^Cav TtksvQccv tov etsQov xcovov.
^OtG) Qo^^og e^ i6o6KeXcjv acovcov ^vyneC^evog 6
ABF^ , ov ^ccOig 6 jteQL did^etQov trjv BF xvxXog,
5 vjpog de tb AA. eTCKeLOd-a de tig eteQog 6 HSK trjv
^ev ^d0LV excov tfj eTticpaveic^ tov ABF kcovov toriv^
to de vipog loov tij aTtb tov A Orj^eiov xad^etc} ijtl
trjv AB ri trjv in ev^eiag avtrj rjy^evrj. eiSto de rj
AZ, tb de vTpog tov 0HK kcovov eOtco tb ®A' i(5ov
10 dri e6tiv tb SA tfj AZ. Xeyco, oti i6og iotlv 6 tcco-
V09 rc5 q6^^c3.
iKKeiCd^co yccQ eteQog Kcjvog 6 MNS trjv f*fi^ ^d-
6iv e%G}v lijrjv tfi pd6ei tov ABT Kcivov, ro de i^Vog
tOov tfj AA. Kal eOtco tb vipog avtov tb NO. iitel
15 ovv rj NO tfj AA l'(jrj eOtiv, eativ aQa, (og rj NOTtQbg AE, ovtcog rj AA TCQog /i E. dkl' chg ^ev rj
AA TtQbg AE, ovtcjg ABFA Qo^^og itQbg tbv BFAKc5vov' cog de rj NO TtQog trjv A E, ovtcjg 6 MNSKcovog TtQbg tbv BFA kcovov [did tb tdg ^doeig av-
20 tmv eivai i0ag\ mg ccQa 6 MNS K(ovog TtQbg tbv
BFA Kc5voVy ovtcsg 6 ABFA Qo^^og TtQbg tbv BFAKcovov. l'6og ccQa i(5tlv 6 MNS t:<p ABFA Qo^^^p.
8. rjyfisvrjv, ut uidetur, F; corr. Torellius. 13. sxov F.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 87
altitudinem autem aequalem lineaC; quae a uertice alte-
rius coni ad latus prioris coni^) perpendicularis du-
citur.
sit rhombus ex conis aequicruriis compositus ABF^jcuius basis sit circulus circum BV diametrum de-
scriptuS; altitudo autem A^. ponatur autem alius
conus HSK basim habens superficiei coni ^^Faequa-
lem, altitudinem autem aequalem lineae a z/ puncto
ad ^B lineam uel eandem productam perpendiculari.
sit autem z/Z linea, altitudo autem coni SHK sit SAlinea. itaque yi = z/Z. dico, conum [H®K^ aequa-
lem esse rhombo.
ponatur enim alius conus MNS basim habens basi
coni ABF aequalem, altitudinem autem aequalem A/1
lineae. et sit altitudo eius NO linea. iam quoniam
NO^ AA, erit [Eucl. V, 7]
NO: ^E=- AA: AE.sed
et
AA : AE = ABTA : BT/1%
NO'.AE= MNS : BFJ [Iri^n. 1 p. 80].^)
itaque
MNS : BFA = ABFA : BF^,quare
MNS-=ABrA [Eucl. V, 9].
1) Cfr. p. 83 not. 6.
2) Nam ABF : BTzi = AE : EJ {Irjfifi. 1 p. 80); quarecomponendo (Eucl. V, 18): ABF -\- BTJ : BFJ = AJ : EJ.
3) Sequentia uerba lin. 19—20 transscriptori tribuo; nequeenim intellegitur, cur Archimedes, si ad lemma 1 lectorem re-
uocare uoluit, lin. 18, ubi magis opus erat, praetermiserit.
ABF] r om, F; add. eadem manus(?). 16. ovtcos F, ut lin.
17 et 18. 22. ABTJ] A om. F; add. man. 2.
88 nEPi z^AiPAi: kai ktainapot a'
xal inel rj iTtnpdvsia tov ABF lCyi e<5rl rrj ^d^si tov
H©K, (og OrQa rj ijtLcpdvsca tov ABF tcqos triv idCav
^dOiv^ ovrcag ri ^ddg xov H0K JtQOS triv ^doiv rot)
MNS ['^ yaQ pd^ig rot) ABF tori i6tl tfj ^dosi tov
6 MNS\ (og ds rj i7Ci(pdvsia Toi) ABF TCQog trjv idCav
^dCiv^ ovtog rj AB TtQog trjv BE, tovts0ti r\ AATtQog AZ, \o\x,Oia yccQ td tQCycava]. wg ccQa rj ^dcig
tov H&K JtQog trjv ^d^iv tov NMS^ ovtcog r] A/t
TtQog z/Z. iOri ds rj ^sv AA tfj NO [vjtsxsito yccQ],
10 ri ds z/Z tfj ®A. (6g aQa rj ^dOig Tot5 H&K JtQog
trjv pd^iv Tov MNS^ ovtGig tb NO vipog TtQog t6 @A.tc3v H0K^ MNS ccQa koovcov dvti7ts7t6vd-a0iv al /3«-
CSig totg v^s6iv. tooi ccQa siolv ot Tcdavoi. idsC%^ri
ds 6 MNS i^og Tc5 ABTA ^o>/3«. xal 6 H@K15 aQa ^fcovog faog idtl ta ABFA qo^Pg).
i^\
'Edv Koovog i6o0xskrjg iTtiTtsdc) t^rjd^'^ naQakXrikco
tri pd0si, aTtb ds tov ysvo^svov xvxAov Kcovog dva-
yQacpfi xoQvcprjV syjGOv t6 xivtQOv trjg ^dcscog, 6 ds
20 ysvo^svog Qo^^og dcpaiQsd^fj dnb Tot5 okov xoovov, tc5
TtSQiXsC^^ati i6og s0tai xco.vog 6 ^d6iv ^sv sxg>v l'0riv
tfi iTticpavsCa tov xcovov tfj fista^v t^v TtaQaXXriXcov
iTtiTtidoov, vipog ds loov tfj aTtb tov xsvtQOv trjg /3a-
(}Scog iTtl ^Cav TtksvQav tov xoovov xad^itco riy^ivri.
25 si5t(o xcovog i6o6xsXrig 6 ABT^ xal tst^rjOd-co iiti-
7tid(p 7taQaXXr}X<p tfj ^d^si^ xal 7toisCtco to^irjv trjv AE.
xivtQov ds trig ^doscog sCtco tb Z* xal d^tb tov TtsQu
did^stQOv trjv AE xvxlov xdovog dvaysyQd(pd-co xoqv-
8. NM^ sicFBC*; MNS ed. Basil, TorelHus. 10. ©A]
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 89
et quoniam superficies coni ABF aequalis est basi
coni H®K, erit, ut superficies coni v^EF ad basim
eiusdem coni, ita basis coni H®K ad basim coni
MNS}) sed ut superficies coni ^iST ad basim eiusdem
coni, ita AB ad BE [prop. 15], h. e. A^ ad AZ})
itaque ut basis coni H®K ad basim coni NMS, itnAzJ
ad ^Z, sed A^ == NO [ex liypotbesi], et z/Z = &A[ex hypotbesi]. itaque ut basis coni H0K ad basim
coniMiVg, ita erit NO altitudo ad ®A. conorum igitur
HSK, MNS bases in contraria sunt proportione alti-
tudinum. quare coni aequales sunt [Ai^fift. 4 p. 82].
sed demonstratum est, conum MNS aequalem esse
rhombo ABF^, itaque etiam H&K conus aequalis
est rhombo ABFA.
XIX.
Si conus aequicrurius plano basi parallelo secatur,
et in circulo inde orto conus construitur uerticem
habens centrum basis, et rhombus inde ortus a toto
cono subtrahitur, frusto relicto aequalis erit conus
basim habens aequalem superficiei coni inter plana
parallela positae, altitudinem autem aequalem lineae
a centro basis a latus coni perpendieulari.
sit conus aequicrurius ABF, et secetur plano basi
parallelo, quod efficiat sectionem /lE. centrum autem
basis sit Z. et in circulo circum diametrum ^E de-
1) Nam basis coni MNISl aequahs est basi coni ABF (ex
hypothesi). uerba lin. 4—5 Archimedis uix sunt.
2} Nam ABE CV) AJZ; tum u. Eucl. VI, 4.
A0 Torellius. (ogj (oots F; corr. B. .12. Ttoy] zov F.
16. h' F. 21. TtSQlXrifKXTL F.
90 nEPI 2:$AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.
fprjv excov ro Z. e6taL drj ^o^pog 6 BzfZE i^ lOo-
6x£Xcov TccDvcov CvyKEL^svog. ixxsLijd-co d'^ rtg iccDvog
o KQA^ ov fj ^Ev ^a0ig eata laTj tfj iTCicpaveCc^ ttj
^eta^v tcjv zfE, AF^ tb de vtog, dx^eiarjg aTto rov
Z 6rj^eL0v Ka^etov iTil
trjv AB r% ZH, e6tco
l'6ov tfj ZH. Xeyco^ otc,
iav dno tov ABF xcjvov
vori^fi dcpriQriiiivog 6
B^ZE Qo^^og, ta jteQc-
keC^iyiatL L0og e<3taL 6
QKA yioivog.
ixKeL^d^oGav yccQ dvo
zSvOL OL MNS, OHP,S^te trjv ^ev roi5 MNSpd6LV L6r}v elvaL rov
ABrxcovov tfj iTtLcpaveCcf,
to de vtl^og l6ov tfj ZH[dLcc drj tovto l'6og i6tlv
MNS xcovog t^ ABTxcjvcD. idv yaQ co6l dvo xSvol Lao6xeXeLg, rj de tov
eteQOv xcsvov iitLcpdveLa l'6ri fj tfj tov eteQOv ^deeL, etc
de rj djco rot; xevtQov trjg pd^ecog ijil trjv TtXevQav tov
7C0JVOV dyo^evrj Tcdd^etog rw vil^eL l'6rj, 1'0ol i6ovtaL ot
25 xSvol], trjv de tov OHP xcovov ^dCLV L6rjv elvaL tfj
ijtLcpaveCa tov JBE xcovov, vil^og de tfj ZH [dta drj
tovto L6og i6tlv 6 OUP x^vog rc5 B/iZE qo^^c)'
tovto yaQ TtQoanedeCx^rj]. ijtel 6e rj tov ABF xcovov
ijtLcpdveLa 6vyKeLtaL en te trjg tov BAE iitLcpaveCag
6. T^s] XT] FBC*. 10. nsQiXrjfi^uri F.
27. Tovto] TOvroLg F; corr. B*.12. Kovog F.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 91
scripto construatur conus uerticem habens Z punctum.
erit igitnr B^ZE rhombus ex conis aequicruriis com-
positus. ponatur igitur conus K@A, cuius basis aequa-
lis sit superficiei inter zJE^ ^jTpositae, altitudo autem
lineae ZH a Z puncto ad AB lineam perpendiculari
ductae. dico, si rhombus BJZE a couo ABF ab-
latus fingatur, conum &KA aequalem futurum esse
frusto relicto.
ponantur enim duo coni MNS, OIIP, ita ut basis
coni MNS aequalis sit superficiei coni ABFj altitudo
autem lineae ZH^), basis autem coni OHP aequalis
superficiei coni ABE, altitudo autem lineae ZH})
sed quoniam superficies coni ABF composita est
ex superficie coni BAE et superficie inter AE, AFposita, superficies autem coni ABF aequalis est basi
1) Quaest. Arch. p. 75 dixi lin. 21—25 subditiuas mihiuideri esse, quijDpe quae nihil contineant nisi inutilem et abArchimedis consuetudine abhorrentem repetitionem prop. i7;
sed etiam lin. 19—21, quibus interpositis praue interrumpiturconstructio , et membra ab (ogte lin. 15 pendentia et per {isv
lin. 15
—
8e lin. 25 coniuncta uiolenter disiunguntur, inter-
polatori tribuo.
2) Ex iis, quae not. 1 de uerbis similibus Hn. 19—25 dixi,
ueri simile fit, etiam uerba, quae hoc loco sequuntur hn. 26dici drj — 28 nQociTtsdsLx^Vi interpolatori deberi.
92 nEPi 2*AiPAi; kai ktainapot a'.
xal xrjg fiera^v tcov ^E, AF, cclk' rj ^lv xov ABFx(6vov i7tL(pdv£La l'0rj ierl rfj pdasL rot; MN^ tkovov^
fj ds rov ^BE iitL^pdveta iGrj iorlv rfj pdoet Toi)
OUP, rj dh ^sra^v rcDV ^E, AF lar} iarl rfj ^daai
5 rov @KAy r] aQa TOt; MN^Sl ^dOLg l'6r} iarl ratg /3a-
asaLV rcov @KA, OUP. xaC etaLV oC 7C(dvol vtco to
ofVTO vipog. taog aQa iarlv xal 6 MNS ^ojvog rotg
@KA, OnP xcovoLg. dXl! 6 ^lIv MN^ xavog laog
iarl Tc5 ABF xcovc), 6 de TIOP rS BzlEZ qo^^c).
10 koLTtog ccQa 6 @KA Kcovog tc5 TteQLkeC^iiarL taog iarCv.
r
X .
'Edv Qo^pov f'! LaoaxeXcov xcovcov avyxeL^evov 6
ereQog xcovog inLTtedco r^rjd^fj 7caQaXkriX(p rfj ^daeL,
dito $£ Toi5 yevo^ivov xvxXov xcovog dvayQacpfi xoqv-
15 cpriv excov rrjv avrrjv tw eriQG) xcovco, dito dh Toi5 oAou
QO^fiov 6 yivo^evog Qo^^og d^paLQed^fj, ra iteQLXeC^-
lnarL taog earaL 6 xcovog 6 ^daLV fi£v £%cov 1'arjv rfj
i7tL(paveCcc tov xoovov rfj ^iera^v rcov TtaQaXXrikcov iitL-
nidcov, vijjog 6} taov rfj ditb rrjg xoQV(prjg tov eriQov
20 xcovov iitl rrjv TtXevQav TOt» eriQOv xcovov xad^ira
iqy^evrj.
earco Qo^^og i^ CaoaxeXcov xcovcov avyxeC^evog 6
ABFA, xal r^rjd-Tjrco 6 ereQog x(X)vog i7tL7ted(p jtaQ-
aXXrjXc) rfj ^daeL, xal TtoLeCrco ro^rjv rrjv EZ, dito
25 de Toi5 TteQl did^erQOV rrjv EZ xvxkov x^vog dvaye-
yQd(p^co rrjv xoQvcprjv e^cov t6 A arj^etov. earaL drj
yeyovoog Qoy^Pog 6 EBAZ, xal voeCad^co dcprjQrj^ivog
7. Y,ovoq F. 9. 6] To FBC*. 10. nsQLXsifiiiaTi F. 11.
-KCi F. 12. LOisXcov F. 14. xvm^ov 'nmvos] "Koavov y.vyilog
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 93
coni MNSj et superficies coni ^BE aequalis basi
coni OnPy et -superficies inter z/J5J, ^jTposita aequalis
basi coni &KJ [ex hypothesi], basis igitur coni MNtSl
aequalis est basibus conorum SKA^ OIIP, et omnes
coni illi eandem habent altitudinem; quare
MNS == &KA + OnP})sed MNS = ABT [prop. 17], et nOP=B^EZ[prop. 18]. [itaque ABT= @KA + B^EZ, et ab-
lato rhombo BAEZ] erit igitur conus @KA aequa-
lis frusto relicto [Eucl. I xolv. ivv, 3].
XX.
Si in rhombo ex conis aequicruriis composito alter
conus plano basi parallelo secatur, et in circulo inde
orto conus construitur uerticem habens eundem, quem
alter conus [rhombi], et rhombus inde ortus a toto
rhombo aufertur, frusto relicto aequalis erit conus
basim habens aequalem superficiei coni inter plana
parallela positae, altitudinem autem lineae a uertice
prioris^) coni ad latus alterius coni perpendiculari
ductae.
sit rhombus ex conis aequicruriis compositus ABT^^et secetur alter conus plano basi parallelo, quod effi-
ciat sectionem J5Z; et in circulo circum diametrum
EZ descripto construatur cDnus uerticem habens z/
punctum. efficietur igitur rhombus EBAZj et finga-
tur ablatus ab toto rhombo. ponatur autem conus
1) Ex lemm. 1; cfr. Quaest. Arch. p. 48.
2) H. e. eius, qui plano parallelo secatur; cfr. p, 83 not. 6.
F; corr. ed. Basil. 16. aqpat^a'^'^] cccprjvsQBd^r} F expunctislitteris vg. 27. EBZz/ Torellius.
'
94 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
djtb T0i5 oAov Qo^pov. iKX£L(j^G) de rtg Kcavog b ®KAtrjv ^lv ^dCiv l'6r}v sxov rfj eTtLCpaveta rrj ^sra^v rcav
AF^ EZ, rb de vi^og iCov rrj ditb Tot' z/ Gri^stov
Tiad^sro) dyo^svrj sitl tr^v BA ri rrjv sit sv^sCag avrfi.
5 Xsyto., ori b &KA xwvog l'(jog s6rl ra siQri^svGi TtsQt-
XsL^^ari.
SKKsCCx^Giijav yaQ dvo xcSvol ol MNS^ OIIP' xal
Yi ^sv pd6Lg roi) MNS kcovov i'0r} sGro) rrj sTtLfpavsCa
rov ABF^ rb ds v^og l'6ov rrj JH [dm dri rd %qo-
10 dsLx^svra faog s6rlv 6 MNS ^oovog rw ABFJ ^o^/Jcj],
Toi} 8e OTIP KC3V0V rj ^sv ^daLg l'0rj s6rG) rrj s7tL(pavsCa
rov EBZ xcDvov, rb ds vjpog l'0ov rfj ^H [b^oCcjg
dri l'6og s6rlv b OUP zcoi^og tw EBZJ q6^^(p\. sitsl
d\ b^oCog ri sntfpdvsLa rov ABF k(6vov 0vyxsLraL sk
*15 ts rrjg rov EBZ xal rrjg ^srai^v rSv EZ^ AF, alXa
rj ^sv rov ABF xcovov sTttq^dvsLa L6ri sarl rrj ^dasL
tov MNS-) n ds rov EBZ x(6vov s%L(pdvsLa farj sCrl
5. nE^iXriiLCLxi supra scripto ft F. 12. Oftoro) F. In
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 95
@KA basim habens superficiei inter AFy EZ positae
aequalem, altitudinem autem lineae ab z/ puncto ad
BA uel eandem productam perpendiculari ductae. dico,
conum ®KA aequalem esse frusto relictO; quod com-
memorauimus.
ponantur enim duo coni MNS, OTIP. et basis
coni MNS aequalis sit superficiei coni ABF, altitudo
autem lineae AH^)\ coni autem OIIP basis aequalis
sit superficiei coni EBZ, altitudo autem lineae AH.^)
quoniam autem, ut supra [prop. 19 p. 90, 28]^ super-
ficies coni ABF composita est ex superficie coni EBZet superficie inter EZ, AF posita, et superficies coni
ABF aequalis est basi coni MNS, et superficies coni
EBZ aequalis basi coni OPHj et superficies inter
1) Uerba sequentia lin. 9— 10 subditiua esse puto; cfr.
p. 91 not. 2.
2) Etiam uerba lin. 12— 13, quae per uocabulum o^OLcog
uerba subditiua lin. 9— 10 significant, necessario subditiua sunt,
si illa iure damnauimus.
figura litteras A, H permutat F; pro habet C; praeterea ut
prop. 19 om, altitudines conoram.
96 nEPi s^AiPAi; kai ktainapot a'.
tfj pcc0£i rov OPTI xcovov, rj ds ^srci^v rcjv EZ, AF1'67] 86x1 trj pdeat tov 0KA, rj kqk pcc^ig tov MNISl'6r} i6tl tatg Pcc6£6iv tcjv OUP, ®KA. xat £i6iv oC
%avoi vTCo to avtb vipog. xal 6 MNS aga K^vog
5 i!6og i6ti totg ®KA, OUP xcovoig. aAA' 6 ^£v MNSxdivog i6og i6tl ta ABFzf ^d^/3c5, 6 d£ OIIP xavog
rco EBAZ qo^Pcd. Xoiitog aga 6 xc^vog 6 ®KA L'6og
i6tl tS 7t£QiX£i^^ati ta koina.
oia.
10 ^Eccv £ig ocvkXov JcoXvycovov iyyQacpf] ccQtiOTtX^VQov
t£ nal i667tX£VQOV, Kal diax^co6iv ^vd^^tat iTti%£vyvv-
ov6ai tccg TtX^vQccg tov itoXvycavov, S6t£ avtccg jtaQ-
aXXrjXovg £lvai ^ta OTtOiaovv tav vno dvo 7tX£VQag
rov TtoXvycovov V7tot£ivov6cov, at i7ti^£vyvvov6ai 7ta6ai
15 7tQbg trjv tov xvxXov dicc^£tQOv rovror £%ov6i tbv
XoyoVy ov £%£i r] v7tot£ivov6a tag ^ia iXd66ovag tmv
ri^i6£G)v 7tQbg trjv 7tX£VQdv rov TtoXvyoovov.
£6tG) xvxXog 6 ABFzl^ Kal iv avt^ 7toXvy(ovov
iyy£yQd(p^co tb AEZBH®rMNAAK, xal i7t£l£vx-
20 Q^o^av aC EK, ZA, BA, HN, ®M. drjXov di], oti
7taQdXXr}Xoi £i6iv tij vTtb 8vo TtX^VQag tov 7toXvycovov
VTCot£ivov6ri. Xiyco ovv^ oti aC £iQrj^£vai 7td6ui 7tQbg
tr]v roi) xvxXov did^£tQOv trjv AF tbv avtbv Xoyov
£%ov6i t(p trjg FE 7tQbg EA.j
25 i7t£^£vx^c'^^f^'^ y^9 <^^ 2^^9 ^-B, HA, @N. 7taQ-
dXXrjXog ccQa rj ^£v ZK tfj EA^ rj d£ BA tfj ZK^xal £ti rj ^£v AH tfj BA^ rj d£ &N tfj z/2f, xal rj
7. EBZd Torellius. 8. n8QLXifi(iaTi F. 19. Post KF habet Aj sed expunctum. 27. JH (alt.) in rasura F.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 97
EZj AF posita aequalis basi coni SKA, basis igitur
coni MNS aequalis est basibus conorum OUP, &KJ,et coni eandem altitudinem babent. itaque etiam conus
MNS = &KA + OnP [p. 93 not. 1].
sed MNS = ABrA [prop. 18], et OnP= EB^Z[prop. 18] [itaque ABTA = @KA + EBAZ. au-
feratur, qui communis est rhombus EBAZ]. erit
igitur, qui relinquitur, conus @KA aequalis frusto re-
licto [Eucl. I KOiv. ivv. 3].
XXI.
Si circulo polygonum inscribitur aequilaterum, cuius
latera paria sunt numero, et ducuntur lineae angulos^)
polygoni coniungentes, ita ut parallelae sint cuiuis
linearum sub duo latera subtendentium polygoni, omnes
simul lineae coniungentes ad diametrum circuli eam
habent rationem, quam habet linea subtendens sub
latera polygoni uno pauciora, quam dimidius numerus
eorum est, ad latus polygoni.
sit circulus ABFA, et ei inscribatur polygonum
AEZBH®rMNAAK, et ducantur lineae EK, ZA,
BA, HN, ©M. adparet igitur, eas parallelas esse
lineae sub duo latera polygoni subtendenti.^) iam dico,
omnes simul lineas, quas commemorauimus, ad dia-
metrum circuli rationem habere, quam FE ad EA.ducantur enim lineae ZK, AB, HA, @N. parallela
igitur linea ZK est lineae EA,^) BA lineae ZK, et
1) Arcliiraedes pro nXsvQocg lin. 12 fortasse scripserat yco-
VLocg; Quaest. Arch. p. 76.
2) Nam quia arcus KA, EZ aequales sunt, erit
i EKZ = KZA (Eucl. III, 27);itaque EK^ AZ (Eucl. I, 28), et eodem modo in ceteris.
3) Quia arcus KA = EZ, erit i AEK'= EKZ (Eucl. III,
Archimedes, ed. Heiberg. I. 7
98 nEPI S^AIPA^ KAI KTAINAPOT A'.
15
FM tfj 0N. [Tcal iTCel dvo TtaQakXriXoC d6iv ai EAjKZj xal dvo dcrjy^ivai SLelv aC EK^ AO] £6tLV aQa^
6g ri E3 TCQog SA, 6 K^ TtQog SO' atg 6" rj K3TtQog 30^ 7] Zn TtQog nOy cog ds rj Z77 TtQog IIO,
o rj AII TtQog IIP, wg de rj AII TtQog IIP, ovtcog 17
BU TtQog UP^ xal m, cag rj ^sv BU JtQog 2JP, rj
/IZ TtQog UT, cog ds rj AZ JtQog UT, rj HT TtQog
TT, xal €ti, mg rj ^ev HT jtQog TT, rj NT TtQog TO, G)g
dl n NT TtQog T0, rj 0X TtQog XQ, xal ht, cog ^lv
10 rj 0X TtQog X0, rj MX TtQog XF [xal itdvta ccQa
^Qog Ttdvta EOtCv,
mg slg tcav Xoyciv
TtQog £va\ G)g aQa rj
E3 ^Qog 3A, ovtcjg
aCEK,ZA,BA,HN,@M TCQog trjv AFdid^etQOV. cog ds rj
E3 ^Qog 3A, ovrwj
rjrETtQog EA. £6tat
aQa Tcai cog rj 1 ETtQog EA, ovtG) 7td-
6ai at EK, ZA^BA, HNy ®M TCQog trjv AF did^stQOv.
xp\
25 'Edv sCg t^rj^a kv%Iov Ttokvycovov syyQacpfj tdg]
TtXsvQag s%ov %ciQ\g trjg pdoscog tCag xal aQtCovg,
dypGi6iv 8\ sv^slai JtaQa trjv ^dciv tov t^Tj^atog tdg
TtXsvQag S7tit,svyvvov0ai tov 7toXvy(6vov, ai dxd-st6ai
7td6ai Tcal rj rj^Ccsia trjg pdcscog JtQog to vrfjog tov
2. AO] A@F] corr. B man. 2*. 3. ^'J FBC*; di uulgo.
20
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 99
porro JH liiieae BJ,@N lineae zIH, FM lineae SN,
est igitur [Zeitschr. f. Math. u. Phys. XXIV p. 178
nr. 1]:
sed
KS:SO = Zn: UO [Eucl. VT, 4]
= jn:np [id.] =bi::i:p [id.].
porro
B2J:I:P= ^U : 2JT [id.] = HT : TT [id.].
porro
HT : TT=NT: T0 = @X:X0 = MX : XT [id.].
itaque
ES:SJ-= EK+ ZA + B^ + HN+ &M:Ar[Eucl. V, 12]. sed ES : SA = rE: EA [Eucl. VI, 4].
itaque etiam
rE:EA = EK+ ZA + BA + HN+ ®M:Ar.
XXII.
Si segmento circuli polygonum inscribitur latera
praeter basim aequalia et paria numero habens, et
ducuntur lineae basi segmenti parallelae angulos^)
coniungentes, omnes simul lineae ductae cum dimidia
basi ad altitudinem segmenti eandem rationem habent,
27); quare ZK ^ EA (Eucl. I, 28); eodem modo sequentia de-moustrabuntur.
1) U. p. 97 not. 1.
8. TT"] T h. 1. et postea saepius in rasura F (lin. 8, 9 septies).
10, Xr] X in rasura F. 12. ilq\ om. FCB (man. 2 ex coff
fecit stg)*. 19, 71 FE] 17 om. F. iGxai per comp. F. 24.
xy' F; H^' Eutocius ad prop. 35., 26. sxaiv F; corr. Riualtus.
27. xaq] ai xag F; corr. ed. Basil. 29. ri addidi; om. F, uulgo.
100 HEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
r^T^^atog tbv avtov Xoyov £%ov6lv, ov r] aTto trjg
dia^BtQOV tov kvkXov BTti triv TfXevQccv Toi5 noXvyavov
iTtiievyvv^svrj JtQog trjv tov TtoXvycovov TtUvQav.
Big yccQ TcvxXov tov ABT dirn^o tig sv^eta rj JF,
5 xal iitl tijg AF Ttolvycovov eyysyQatpd-G) £ts tb ABFt^rj^a ccQtLOTtXevQOV te xal l0ag exov tag TcXevQag %coQlg
trjg ^ccaecog trjg AT' Tcal e7telev%^co6av ai ZH^ E&, al
el6iv TtaQdnriXoi trj ^d6ei tov t^ri^atog. leya), oti e6t\v
cog al Zi/, E®, Ag TtQog BS, ovtcog n AZ itQbg ZB.
10 TtdXiv yccQ o^oicog e7te^ev%^co6av ac HE, A®' TtaQ-
dXkriloi ccQa elalv tij BZ- did dr^ tavtd £^rtv, 6g r]
KZ TtQog KB, ri te HK TtQbg KA, xal n EM TtQbg
MA, Kal rj M® TtQbg MN,Tcal rj SA TtQbg SN [Tcal
cog ccQa Ttdvxa TtQog Jtdvta,
elg tcjv Xoycov itQbg fW]. cog
ccQa ai ZH, E®, AS ^tQOg
BSy ovtcog ri ZK itQbg KB.
r cog de rj ZK TtQbg KB,
ovro^ rj AZ JtQbg ZB. cog
ixQa rj AZ TtQbg ZB, ovtcog
ai ZH, E®, AS TtQbg BS^
%y
"E6to ev acpaiQa ^eyi6tog Kvxlog 6 ABVA, Kal
25 eyyeyQdcp^co elg avtbv TtoXvycjvov l^oTtkevQov , ro 8\
Ttlrix^og tcov TtlevQcov avtov ^etQei^d^cj vTtb tetQddog-
al deAT, AB did^etQOi e6tco6av. edv drj iievov6rjg
trjg AF dia^etQOv 7teQieve%d-rj 6 ABFA KVKlog e%ov
(icx0roij£Sr\,27. J^ B^ ed. Basil., Torellius.
JP 1 1951/
S
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 101
quam linea a diametro circuli ad latus polygoni ducta
ad latus polygoni.
ducatur enim in circulo ABF linea recta JF, et
super lineam JF polygonum latera praeter basim ^Faequalia et paria numero habens segmento ABF in-
scribatur. et ducantur ZH, E®, quae parallelae sunt
basi segmenti [p. 97 not. 2]. dico esse
ZH-\- E& + JS:BS= ^Z :ZB.
rursus enim, ut supra [p. 96, 25], ducantur lineae HE,A&'^ parallelae igitur sunt lineae BZ [p. 97 not. 3].
eadem de causa, qua supra [p. 99, 2 sq.], erit
KZ:KB=HK:KA=EM:MA=M@:MN=SA:SN})itaque
ZH + E& + AS : BS = ZK : KB [Eucl. V, 12].
sed
ZK:KB = AZ: ZB [Eucl. VI, 4].
quare erit
z/Z : ZB = ZH+ Eet + AS'- BS.
XXIII.
Sit in sphaera ABFA circulus maximus, et ei in-
scribatur polygonum aequilaterum, cuius laterum nu-
merus per quattuor diuidi possit. lineae autem Ar^AB diametri sint [inter se perpendiculares].^) si igitur
manente diametro AF circulus ABFA cum polygono
circumuoluitur, adparet, ambitum eius per superficiem
1) Uerba sequentia lin. 14—16 Archimedis non sunt; efr.
p. 98, 10; Neue Jahrb. Suppl. XI p. 388.
2) Hic Archimedes uix omiserat; nQog oq^ocs dXXr^XccLg
lin. 27, quae uerba Nizzius addi uoluit.
102 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
ro Tto^.vycovov , dijkov, on tj ^ev TtSQKpsQSLa avtov
xara rrjg iTtLtpavsiag rijg (5(paCQag svs%d^^6sraL^ at ds
rov 7CoXvy(6vov ycovCai %(OQlg rcov JtQog rotg A^ F(Srj^sCoLg Tiara kvkIcjv 7tSQL(pSQSi^v ivs%d"^6ovraL iv
5 rfj iitLCpavsCa rrjg 6(paCQag ysyQa^iisvcov 6q%^^v TtQog
rov ABFzf TcvxXov. dLcciisrQOL ds avrSv s6ovraL al
i7tLt,svyvvov0aL rag yovCag rov 7toXvy(6vov 7taQa rrjv
jBz/ ov6aL. aC ds roi) TtoXvycjvov ^tlsvQal xarcc rLvav
KGjvov ivsid^Yi^ovraL^ at ^sv AZ^ AN yiar i7tL(pavsCag
10 %(6vov^ ov ^d(5Lg ^sv 6 TcvxXog 6 7tSQl dLci^srQOv rrjv
ZNy KOQvcprj ds rb A 6rj^sL0v' at ds Zif, MN Kar(x
rLvog TccovLicrjg i7tL(pavsCag OL6xl"ri^ovraL^ % ^ciOLg ^sv
6 KvxXog 6 7tsQL dLcc^srQOv rrjv HM, >coQV(prj ds ro
Orj^stov^ Kad-^ o (jv^PccIXov^jlv ix^alloiisvaL at ZH,15 MN ccXXrjXaLg rs ^al rfj AF' at ds BH, MA 7tlsv-
Qal xarcc TccovLTcrjg iTtLCpavsCag OL6^i]6ovraL, rjg ^ci^Lg
liiv i0rLv 6 oiVTikog 6 7tsQl dtcc^srQov rrjv BA oQd-og
7tQ6g rov ABFzi tcvtcXov, xoQV(prj ds ro (Srj^stov, xad^'
o 6v^PcilXov0LV iK^aXXo^svaL at BH, AM dXXi^laLg
20 rs Kal rfj FA. b^oCcog ds nal at iv ra srsQC) r^iL-
KVKXC(p 7tksvQal Kard kg)vlkcov iTtLcpavsL^v OL6d")]0ovraL
7tdlLV b^oCcjv ravraLg. s0raL drj rt 0%r]^a iyysyQa^-
^svov iv rfj 0cpaCQ(z vTtb kcovlkcjv i^tLcpavsL^v 7tSQL-
s%6fLsvov rcov 7tQ0SLQrj^svG)v, ov rj i^ticpdvsta iXd06cov
25 sorai r^^g i^tLCpavsCag rrjg OcpaCQag.
dLaLQsd^sCorjg yaQ rrjg OcpaCQag V7tb rov i^tLTtsdov
rot) Kard rrjv BA o^^ov 7tQbg rbv ABFA kvkIov rj
5. tijg] zrj F. oq&ov F; corr. ed. Bas. 9. AZ] ASF. 10. ov] 6 FC* rriv] xr] F; corr. B. 13. HM^ MHed. Basil., Torellius. 14. ovfi^cclovGLv F. SH^aXXofievccC]
altero l supra scripto F. 20. cct] addidi; om. F, uulgo.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 103
spliaerae circumuolutum iri, angulos autem polygoni
praeter angulos ad A^ T puncta positos per ambitus
circilorum in superficie sphaerae descriptorum et ad
ABTid circulum perpendicularium. et diametri eorum
erunt lineae angulos poljgoni coniungentes lineae B/1
parallelae. latera autem polygoni per conos quosdam
circumuoluentur, AZ^ AN latera per superficiem coni,
cuius basis est circulus circum diametrum ZN de-
scriptus, uertex autem A punctum, latera uero ZHyMN per superficiem conicam circumuoluentur, cuius
basis est circulus circum diametrum HM descriptus,
uertex autem punctum, in quo ZH^ MN lineae pro-
ductae et sibi in uicem et lineae AF concurrunt; la-
tera autem BH^ MA per superficiem conicam cir-
cumuoluentur, cuius basis est circulus circum JBz/
diametrum descriptus ad ABFA circulum perpendi-
cularis, uertex autem punc-
tum, in quo BH^ AM \\-
neae productae et sibi in
uicem et lineae FA concur-
runt. eodem modo etiam
^ latera in altero semicirculo
posita rursus per super-
ficies conicas circumuol-
uentur his similes. itaque
in sphaera figura inscripta
erit comprehensa per su-
perficies conicas, quas commemorauimus, cuius super-
ficies minor erit superficie spbaerae.
secta enim spbaera plano in linea BA posito ad
circulum ABFA perpendiculari superficies alterius
104 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'
iTtLcpciveiU roi) iteQOv rj^iGcpaiQcov xal r} iTCicpccvsia
rov CiriiLaxog roi} iv avr^ iyysyQa^^ivov za avxa
TtiQaxa e%ov6iv iv ivl iTtiTcidcj' d^cpoxiQcov yccQ xc3v
i7ticpav£icov Tti^ag ioxlv xov xvkXov t} 7t£Qi(piQ£ia xov
5 jt£Qi dicc^£XQov xrjv Bzf OQd^ov TtQog xov ABF^ xvxlov^
xac £i<5iv d^cp6x£Qai inl xa avxd xotXai^ xal 7t£QiXa^-
pdv£xai avxcov rj £X£Qa vtco xrjg ixi^ag i7ticpav£iag Kal
xrjg iTtiTtidov xrjg xd avxd JtiQaxa iiovcSrig avxfj. o^Oiog
dh xal xov iv xco £X£qco ri^icScpaiQiC} Oiri^axog rj im-
10 (pdv£ia iXd66G)v icSxl xrjg xov rniiCScpaiQiov i7ticpccv£iag,
xal o^rj ovv rj i7ticpdv£ia xov ajrniaxog xov iv xfj
CcpaiQcc iXdccSav ioxlv xrjg i7ticpav£iag xrjg 6cpaiQag.
^H xov iyyQacpoiiivov Cirniaxog £ig rrjv CcpalQav
15 ijticpdv£ia i6rj icxl xvtcXg), ov rj ix xov xivxQOv dv-
vaxai xo 7t£Qi£x6^£vov V7t6 X£ xrig 7tl£VQdg xov 6%r\-
\iaxog xal rrjg l'6rjg ^tdoatg ralg iTti^^vyvvovOaig rdg
7tl£VQdg rov 7toXvyc6vov v7to r£rQddog ^£rQOv^£vag xal
TtaQaXXrikoig ovCatg rfj v7to 8vo 7tX£VQdg rov 7toXvy(6vov
20 v7tor£iVOv6r] ^vd^^ta.
£6rco iv 6cpaiQa ^iiyiGrog xvxXog 6 ABF^, nal iv
avra TtoXvyovov iyy^yQdcpd^co i(j67tX£VQOv, ov aC 7tX£v-
Qal vTto r£rQddog ^£rQOvvrai' xal d^to roi; TtoXvycj-
vov rot; iyy^yQa^^ivov vo^i^d^co n £ig rrjv CcpatQav
25 iyyQacp£v a^^^a^ %al i^t^^^v^d^coaav at EZ^ H®, Fz/,
KA^ MN TtaQdkkriXoi ovCai rfj vjtb dvo 7tX£VQdg vTto-
9. Tov iv Tc5] scripsi; tov FC*; xov iv B*, ed. Basil., Torellius.
18. VTCO xstQadog iiBXQOviiivag] scripsi; tstQccyaivovs F, uulgo; del.
Hauber, Nizze; {tstQaTcXsvQfj) ed. Basil.; xstQaHaXov censor
lenensis; dtg tetQaTiXsvQag yCvso^ai Torellius. 19. naQalXr^-
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 105
hemisphaerii et superficies figurae hemisphaerio in-
scriptae eosdem terminos habent in uno plano (utraque
enim superficies terminum habet ambitum circuli circum
diametrum BJ descripti ad circulum ABFzJ perpen-
dicularis), et utraque in eandem partem caua est, et
altera ab altera comprehenditur superficie et superficie
plana eosdem, quos illa, terminos habenti.^) eodem modo
etiam figurae alteri hemisphaerio inscriptae superficies
minor est superficie hemisphaerii. itaque etiam tota
superficies figurae sphaerae inscriptae minor est super-
ficie sphaerae.
XXIV.
Superficies figurae sphaerae inscriptae aequalis est
circulo, cuius radius quadratus aequalis est rectangulo,
quod continetur latere figurae et linea aequali omni-
bus simul lineis iungentibus angulos^) polygoni, quo-
rum numerus per quattuor diuidi possit, et parallelis
Hneae sub duo latera polygoni subtendenti.
sit in sphaera circulus maximus ABF^, et ei in-
scribatur polygonum aequilaterum, cuius laterum nu-
merus^) per quattuor diuidi possit. et in polygono
inscripto fingatur figura inscripta sphaerae, et iun-
gantur lineae EZ, HS^ Fz/, KA, MN parallelae
1) Quare superficies figurae inscriptae minor est superficie
sphaerae {Xcc(i§. 4 p. 10). nec Archimedes hoc praetermiserat
;
cfr. Quaest. Arch. p. 73.
2) Cfr. p. 97 not. 1.
3) Archimedem puto scripsisse hn. 22—23: ov ro TcXrj&og
tav nXsvQmv ^etqslg&co vno zstQccdog; Quaest. Arch. p. 76.
Xoig ovGaig'] Nizzius; naQaXXrjXovg ov6ag F, uulgo. 21. AFBJTorellius.
106 nEPI S<I>AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.
reivov6ri avd^sicc. 'hvkIo^ di ZLg iKKSi6%^co 6 S, ov rj
SK Tov yJvTQOv dvva^d^a to tieqieio^isvov vTto te trjg
AE xal trig i'6rjg tatg EZ, H@, Tz/, KA, MN. Kiyci),
otL oivzlog ovtog l'0og iotl tfj iTticpaveCa tov eig
5 tr]v CcpaiQav iyyQacpoyiivov Oiri^tog.
ixKeiad^cjOav yccQ kvxXol ol O, 7T, P, U, T, T,
Kal TOt) ^ev O rj ix tov xivtQOv 8vva(5%-o t6 neQL-
e%6iievov VTCo te trjg EA Ttal trjg rj^L^eLag trjg EZ,
7} de iz tov xivtQov tov TL dvva6d^Gi to neQLexoiievov
10 vjto te trig EA %al trjg ri^L^eCag t^v EZ, HS, r] de
i% tov xivtQOv tov P dvvcc^d^G) to TteQLe^o^evov vjto
trjg EA xal. trjg rj^L^eLag tcov H@, FAj rj de ix tov
TcivtQOv tov. 2J dvvc^^d^cj tb TteQLexo^evov vTto te trjg
EA xal trjg rj^LOeLag tciv JTz/, KA, rj de ix tov xiv-
15 tQov tov T dvvdad^cj to TteQLe^o^evov vtio te trjg AEKal trjg r}^L6eLag tcjv KA, MN, rj de ix tov xivtQOv
rov T dvvdod^c} to 7teQLe%6^evov V7t6 te trjg AE Kal
trjg rj^L6eLag trjg MN. dLcc drj tavta 6 ^ev O KVKkog
l'6og i0tl trj i7tL(paveLa tov AEZ kcovov, 6 d\ H tfj
20 iTtLcpaveia tov kcovov tfj ^eta^v tcjv EZ, H@, o de
P trj ^eta^v tcov H®, rA, 6 de 2J f^ ^eta^v tSv
1. ds] scripsi; drj F, uulgo. 6. T] in rasnra F.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 107
lineae sub latera subtendenti. ponatur autem circulus S,
cuius radius quadratus aequalis sit rectangulo, quod
linea AE et linea omnibus simul lineis EZ, H&, FJ,
KAj MN aequali continetur. dico, hunc circulum
aequalem esse superficiei figurae spbaerae inscriptae.
ponantur enim circuli O, 77, P, 27, T, T, et radius
circuli O quadratus aequalis sit rectangulo, quod con-
tinetur linea EA et dimidia linea EZy radius autem
circuli 77 quadratus aequalis sit rectangulo, quod con-
tinetur linea EB et dimidia parte linearum EZ, H&,radius autem circuli P quadratus aequalis sit rectan-
gulo, quod linea EA et dimidia parte linearum H®jFA continetur, radius autem circuli E quadratus
aequalis sit rectangulo, quod linea EA et dimidia
parte linearum TA, KA continetur, radius autem cir-
culi T quadratus aequalis sit rectangulo, quod linea
AE ei dimidia parte linearum KA, MN continetur,
radius autem circuli T quadratus aequalis sit rectan-
gulo, quod linea AE et dimidia linea MN continetur.
itaque circulus O aequalis est superficiei coni AEZ[prop. 14], 77 circulus aequalis superficiei conicae inter
EZ, H& lineas positae, P circulus superficiei inter
770, Fz/ positae, Z! superficiei inter z/T^, KA positae,
T superficiei inter KA, MN positae^), T circulus
1) Haec omnia sequuntur ex prop. 16, quia aequalia suntlatera polygoni.
108 HEPI S<I»AIPAS KAI KTAINAPOT A
.
^r, KA' xal Exi 6 ft£i/ T l'6og i6xl rfj BTCLtpavsCa xov
Tccovov ty ^sra^v n^v KA, MN' 6 ds T f^ tov
MBN xcovov eTCicpaveCa l'6og icrCv. oi Jtavreg aqa
xvxXot lGol slgIv rfi roi) syysyQa^^svov airniarog sjti-
5 (pavsCa. xal cpavsQOv, ot^ ai sx rcov xsvrQov rcav O,
77, P, 2^, T, T xvxXcov dvvavrai ro TCsQisxo^s^ov vno rs
rrig AE xal dlg rcjv rj^CascJV rrjg EZ^ H@, Fz/, KA,MN, aC oXai sCalv aC EZ, H®, Tz/, KA, MN at
aQa SK Tcov xsvrQOiv rSv O, 77, P, 27, T, T xvxkcov
10 dvvavrai rb 7CSQiS%6^svov vtco rs rr^g AE xal icacmv
rmv EZ, H©, Tz/, KA, MN. aUa xal rj ix toi^
xsvrQov Toi) S xvxXov dvvarai ro vtco rrjg AE xal
rrjg ^vyxsi^svrjg ix TCaGoav tc5i/ EZ, H&, r^i, KA^MN rj ccQa sx tov xsvrQOv rov S kvxIov dvvarac
15 Ta aTCo rcov ix rcjv xsvrQcctv rojv O, 77, P, 2J, T, TxvxXcav. xal 6 xvxkog ccQa 6 S t6og icrl rotg O, 77,
P, 2;, T, T xvxXoig. ol ds O, 77, P, Z, T, T xt;;cAot
aTCsdsCx^rjijav i'0Oi rfj SiQrj^svrj to£ Gxri^arog imcpa-
vsCcc. xal 6 S ccQa xvxXog loog icrac rfi iiCicpavsCcc
20 rov a^ri^arog.
TIB,
Tov iyysyQa^^svov ^irniarog sCg rrjv CcpatQav r}
iTCicpdvsia rj 7CSQis%oiisvrj vtco rciv xovixcSv iTCicpavsicov
ikd06aiv iarlv tj rsrQaTcXa^Ca Toi) ^syCcrov xvxlov
25 r^v iv rfj (ScpaCQa.
sdrco iv 6(paCQa ^syiOrog xvxkog 6 ABF^, xal iv
6. dvvcctccL F; corr. BC*. 8. oXai] scripsi cum B*;oXoL F, uulgo. Fz/] om. F; corr. Torellius. 12 Svvavtai^
V expuncto, FC*. 15. ta dno tcov] scripsi; tag F, uulgo.
19. aqa] om. F.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 109
superficiei coni MBN}) quare omnes simul circuli
aequales sunt superficiei figurae inscriptae. et ad-
paret, radios circulorum O, 77, P, U, T, T quadratos
aequales esse rectangulo, quod continetur linea AEet dimidiis lineis EZ, if@, Fz/, KJ, MN bis sumptis,
quae aequales sunt ipsis lineis jEZ, H@, JTz/, KJyMN. itaque radii circulorum O, 77, P, 27, T, T qua-
drati
= JEX (EZ + H0 + rzi + KA + MN).
sed etiam radius circuli S quadratus
= JEX (EZ + H0 + TA + KA + MN)[ex hypotliesi]. radius igitur circuli S quadratus aequa-
lis est radiis circulorum O, 77, P, H, T, T quadratis.
quare etiam^)
g = o + 77+p+2;+r+r.sed demonstratum est, circulos O, 77, P, 2J, T, Taequales esse figurae superficiei, quam commemoraui-
mus. itaque etiam conus S aequalis erit superficiei
figurae.
XXV.
Superficies figurae sphaerae inscriptae, quae per
superficies conicas continetur^), minor est quam qua-
druplo maior circulo maximo sphaerae.
sit sphaerae circulus maximus ABFJj et ei iu-
1) Sequitur ex prop. 14, quia EA = MB.2) Eucl. XII, 2; cfr. Quaest. Arch. p. 48.
3) Archimedes uix h. 1. et p. 110, lin. 3 dixerat, superficiem
figurae per superficies conicas comprehendi, cum hoc de ipsa
figura dicendum esset. scripsit fortasse lin. 23: rov tcsqlsxo-
^svov et lin. 3; vobigQ^co oxfiiLK vno . . . TCBQiBxoyi^svov.
110 IIEPI 2:*AIPAS KAI KTAINAPOT A
avt6 iyyeyQdcpd^o TtoXvycovov [dQtLoycovov] laoTtkev-
Qov^ ov ai TtXevQal vno rst^ccdog ^etQOvvtat. xal d%avtov vosiOd-co ejticpdvsLa rj vjto tcjv xcoviKav sTtt-
cpavsiSv TtsQisxo^svf}. Isya^ oti rj STticpdvsia tov sy-
5 yQacpsvtog sXd66G)v s6tlv tj tstQaTtXa^Ca rou ^syC^tov
xvkXov t(Dv sv tfj 6<paCQa.
S7tst,sv%^Gi<5av yaQ aC vito dvo TtksvQag vTtotsCvov-
(5ai ro'L' Ttokvycjvov aC EI, @M, xal tavtaig TtaQdX-
IriXoi aC ZK, ^B, HA.sxxsCGd^co ds tig Kvx^og
O P, OV rj S7C tOV XSVtQOV
dvvatai tb vno trjg EAxal tr]g i'0rjg Ttdcaig tatg
rEI, ZK, BA, HJ, @M.did drj tb TtQodsi^^sv
lAf- iOog s(jtlv 6 xvxkog tfj
roi; siQri^svov e^i^^atog
imcpavsia. xal sitsl idsC%-
d^ri, otL i6tlvj cog rj i'0rj
Ttdoaig tatg EI, ZK,5z/, HA, ®M TtQbg tr^v
did^stQOv tov xvxkov
tr}v AF, ovtcjg rj FETtQbg EAj ro aQa vnb
25 trjg i'6rjg itdoaig tatg SiQrmsvaig xal trjg EA-, row-
s0tiv ro djtb trjg ix tov xsvtQOv tov P xvxXov,
L(5ov i6tlv rc5 vTtb rcav AF. FE. dXld xal tb
V7tb AT, FE sla666v i6tL tov aTtb f^g AF. sXaa-
60V ccQa ictl ro dnb trjg ix rov xsvtQOv tov P tov
27, faov] hic primum2. dn'] scripsi; sn' F, uulgo.
occurrit compendium huius uerbi in F. 28. sXaGaoiv F.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. IH
scribatur polygonum^) aequilaterum, cuius laterum
numerus^) per quattuor diuidi possit. et fingatur su-
perficies inde orta, quae per superficies conicas com-
prehenditur.^) dico, superficiem polygoni inscripti mi-
norem esse quam quadruplo maiorem circulo maximo
sphaerae.
ducantur enim lineae sub duo latera polygoni subten-
dentes, EIj &M^ et iis parallelae lineae ZKj zIB, HA.ponatur autem circulus P, cuius radius quadratus aequa-
lis sit rectangulo, quod linea EA et linea aequali
lineis omnibus EI, ZK, B^, HA, QM continetur.
itaque propter ea, quae antea demonstrauimus [prop.
24], circulus aequalis est superficiei figurae, quamcommemorauimus. et quoniam demonstratum est, li-
neam omnibus lineis EI, ZK, BA, HA, &M aequa-
lem ad diametrum circuli AF eam habere rationem,
quam TE ad EA [prop. 21], erit
EA X {EI + ZK+ BA + HA + SM),
h. e. radius circuli P quadratus [ex hypothesi],
^ArxFE [Eucl. VI, 16].
sed
ArxrE<Ar^ [Euci. iii, 15].
itaque radius circuli P quadratus <. AF^ [et radius
circuli P < AF. quare etiam diameter circuli P minor
1) (XQTLoyavov lin. 1 delendum est, quia hn. 1—2 repugnat,et quia desideratur %at ante iGonXsvqov
',looymvLov xs hcil Nizze.
2) Cfr. p. 105 not. 3.
3) P. 109 not. 3.
112 riEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
ccTib f^s AF [il<x06(ov ccqk a6rlv 17 ix rov TcivTQOv
tov P rijg AF. S6rs rj dicc^aerQog rov P xvxXov ilaa-
6g)v i6rlv 7] diTtkacCa rrjg dia^irQov rov ABFzJ tcv-
xkov^ nal dvo aQa rov ABF^ xvxXov dLcc^erQOL
5 (isL^ovg £L6l rrjg dLa^airQOv rov P tcvkXov, xal ro rs-
rQccKLg ccTto rrjg dLa^irQov rov ABF^ tcvxXov, rovr-
i0rL rrjg AF^ ^et^ov £(7rt rov ccjto rijg rov P xvxXov
dLa^irQOv. (x>g de ro rerQccxLg ccTto rrjg AT TtQog ro
ccTtb rrjg rov P xvxlov dLa^irQOv, ovrcjg ri(S6aQ£g
10 xvxXoL ot ABFzl TtQog rbv P xvxkov. ri66aQ£g aQa
xvxloL OL ABFzJ ^EL^ovg slcIv rov P xvxlov]. 6 ccQa
xvxlog 6 P iXcc66c3v iorlv r^ r£rQa7tXcc6Log rov ^£-
yL6rov xvxXov. 6 d£ P xvxlog l'6og id^Lx^d^rj rrj £iQr]-
^ivrj i7tL(pav£Lcc rov ^xrj^arog. rj ccQa i7tL(pdv£La rov
15 Ciri^arog ikcc66av i0rl rj r£rQa7tXa6La rot» ^^yC^rov
xvxXov rc5v iv trj dcpatQa.
Ta iyyQacpo^ivc) iv rfi 6(paLQCc (5%ri^arL rc5 7t£QL~
£Xo^ivG) v7tb rcDV i7tL(pav£L^v rcav xcovlxcov L6og i6rlv
20 x^vog pdoLv ^sv £xcov rbv xvxXov rbv i6ov rrj iTti-
(pav£La roi) O^V^^^^^S t^ov iyyQacpivrog iv rfj ^cpaLQcx,
v^l^og d£ l'6ov rf] (XTtb rov xivrQOv rijg 6(paLQag i^tl
^Cav 7tX£VQav rov 7toXvyoovov xa^ir(p '^y^ivy.
£6ro rj 6(paLQa xal 6 iv avrrj ^iyL6rog xvxlog 6
25 ABF^j xal rcc aXka rcc avrcc rco TtQor^QOv. £6ra) df
xcovog oQd-bg 6 P ^()c6lv [ilv £%g)v rrjv i7tL(pdv£Lav roi)
6%ri^arog roi) iyy^yQa^^ivov iv rfj 6(paCQcc^ vipog de
i'6ov trj aTtb tov xivtQOv trjg 6(paCQag iTtl ^Cav 7tX£v-
Qccv tov 7toXvy(6vov xa^ir(p iqy^ivr]. d^Lxriov^ ort 6
9. tiaGccQsg] altero g supra scripto F. 19. l'6og] per
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 113
est quarn duplo maior diametro circuli ABr^^)^ et
4 ^F^ > quadratum diametri circuli P. sed ut 4 AF^ad quadratum diametri circuli P, ita quattuor circuli
ABF^ ad circulum P [Eucl. XII, 2]. itaque quat-
tuor circuli ABFJ maiores sunt circulo P]. circulus
P igitur minor est quam quadruplo maior circulo
maximo. sed demonstratum est, circulum P aequalem
esse superficiei figurae, quam commemorauimus. quare
superficies figurae minor est quam quadruplo maior
circulo maximo sphaerae.
XXVI.
Figurae sphaerae inscriptae per superficies conicas
comprehensae aequalis est conus basim habens circu-
lum superficiei figurae sphaerae inscriptae aequalem,
altitudinem autem aequalem lineae a centro sphaerae
ad latus polygoni perpendiculari ductae.
sit sphaera, et in ea circulus maximus ABF^^ et
cetera eodem modo, quo supra [prop. 25]. sit autem
conus rectus P basim habens superficiem figurae sphae-
rae inscriptae, altitudinem autem aequalem lineae a
centro sphaerae ad latus polygoni perpendiculari duc-
1) Uerba sequentia lin. 4—5 damnaui Quaest, Arcli. p. 74,
sed adparet, Archimedis manum nondum restitutam esse; de-
monstratio enim sic quoque longis ambagibus laborat. puta-uerim, totum locum lin. 1; sXccggcov uqoc — lin, 11: tov P xv-^Xov subditiuum esse.
<50mp. F, ut lin, 22. 26. triv iniq^ccvsLCivl i'0T^v tij BnicpocvsCoc.
B, ed. Basil,, Torellius. 28. i6ov'\ per comp. F, ut p. 114 lin.
13; 22; 25.
Archimedea, ed. Heiberg. I. 8
114 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOr A'.
15
xcivos 6 P l'6og iotlv t^ syysyQa^^evG) iv tfj 6(paiQa
(j%YilLati.
ccTtb yccQ tc3V KvxXcov, (6v bl6l did^etQOL aC ZN^HM, @ji, IK^ Kojvoi dvayeyQdfpd^a^av KOQV(priv e%ov-
5 xe<s to trjg 6(paiQa^ KevtQOv. sotai drj Qo^^og 6tsQeog
^K t€ tov Kcavovj ov ^dCig ^sv i6ti 6 xvxkog 6 JtsQi
trjv ZNj KOQV(prj ds ro ^erjfisiov, xal tov xcovov, ov
pd6ig 6 avtog xvxXog^ xo-
10 / \ X QV(pr} ds tb X 0rj^stov. xal
L6og i6tL ta xcjvcj rc5 ^d^iv
^sv s%ovtL tr\v i7tL(pdvsLav
roi) NAZ^ vxjjog ds i6ov tfj
aTcb rov X xa^st(p rjy^evrj.
TtdXiv ds xal ro jtsQiXsXsi^-
^SVOV rOl) QO^POV tb TtSQi-
s^o^svov vTto ts tr]g im^pa-
vsCag roiJ x(6vov trjg ^sta^v
twv TtaQaXXrjkcov ijtLTtsdcjv
20 ^'^''^:^!—^:^^ tSv xatd tdg ZN, HM xal
tcDV i7ti(pavsimv twv xcjvcov
tov ts ZNX xal tov HMX i0ov iatl ta x(6v(p rc5 /3a-
0iv ^sv s%ovti i^rjv tri iitLcpccvsLa rov xcjvov tfj ^sta^v
twv 7taQaXki]XG)v iTtiTtsdcov tcov xatd tdg MHj ZN^
26 {;i/;og ds l6ov tfj ditb tov X iitl trjv ZH xa^stci
rjy^svrj' dsdsixtai yaQ tavta. stL ds xal ro TtsQL^SL-
Tto^svov tov xcovov tb 7tsQiS%6^svov vTto ts tijg iTti-
(pavslag rov x(6vov trjg ^sta^v tcov TtaQaXXriXcov iiti-
Ttedcov tcov xatd tdg HM, B^ xal trjg iTticpaveCag
4, avuvayByqa^pQ^oicav F. 6. tov\ addidi; om. F, uulgo,
tOTi\ Earcd per comp. F; corr. Torellius. 10. xa^ om. F;
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 115
tae. demonstrandum est, conum P aequalem esse figu-
rae sphaerae inscriptae.
construantur enim in circulis, quorum diametri
sunt ZNj HMy ©J, IK, coni uerticem habentes cen-
trum sphaerae. erit igitur rhombus solidus ex cono,
cuius basis est circulus circum ZN diametrum de-
scriptus, uertex autem punctum A^ et cono, cuius basis
est idem circulus, uertex autem X punctum, composi-
tus.^) et erit aequalis cono basim habenti superficiem
coni NAZ^ altitudinem autem aequalem lineae a Xpuncto [ad lineam ^Z] perpendiculari ductae [prop.
18]. rursus autem frustum rhombi^) relictum, quod
superficie coni inter plana parallela in lineis ZNy HMposita et superficie conorum ZNX^ HMX continetur,
aequale est cono basim habenti aequalem superfi^ciei
coni inter plana parallela in lineis MH^ ZN posita,
altitudinem autem aequalem lineae a X puncto ad Z/f
lineam perpendiculari ductae [prop. 20]. praeterea
frustum relictum coni^), quod superficie coni inter
plana parallela in lineis HM, B z/ posita et superficie
coni MHX et circulo circum diametrum B z/ descripto
1) Desideratur: GvyKSLiisvog; nam satai lin. 5 idem fere est,
quod ysvriGsxai.
2) Hic rhombus oritur productis lineis MN^ ZH, donecconcurrunt, et continetur lineis MN, ZH productis et lineis
MX, XH.3) Qui oritur lineis Mz3, HB productis, donec concurrunt.
corr. Torellius. 14. Post tov X add. Torellius: snl xriv AZ,
15. TtSQasUynLSvov F. 20. xug ZiV, HM~\ xtjv ZNHM F;
corr. Torellius. 24. MH, ZN] scripsi; MNZH F, uulgo;ZiV", HM Torellius. In figura A et I permutat F, et pro Xhabet K. 27. x6 nsQtsxofisvov] scripsi; xov TtsQLSxofisvov F,uulgo. 28. xrjg] xrj F.
8*
116 nEPI Sc^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
rov MHX Mcjvov xal tov avyikov tov 7t£Qi did^stQov
tTjv B^ l'6ov rc5 xcova t<p ^d^iv fi£v £%ovti tr^v l6riv
rfj STtifpavBCtt tov Ttmvov trj ^eta^v tcov STtiTtsdcov tdov
Ttatd tdg HM, jBz^, vipog de l'6ov tfj aTto tov X sTtl
5 trjv BH xad-ettp rjy^svrj. o^oicog ds xal iv ta itSQO)
7j^i6q)aiQiG) o ts Qo^^og 6 XKFI xal td TtsQilsi^^ata
rcjv xayvcDV i6a s6tai toOovtoig Ttal rrjkixovtoig xmvoig,
o6oi xal TtQOtsQOV iQQrjd^rj^av. drjXov ovv, oti xal oXov
t6 Oxrj^a ro iyysyQa^^svov iv rfj GcpaiQcc i'6ov i^rlv
10 TtdCiv rotg siQrj^svoig occjvoig. ot ds occavoi i0Oi sl^lv
ra P 7103VG), iTtSidrj 6 P xcavog vil^og ^isv s^si sxd6rip
i'<30v rmv siQrj^Evcov xoivcJVy ^d^iv ds l'6rjv 7td0aig ratg
pd0s6iv avrmv. drjlov ovv^ on ro iv rfj 6cpaiQa iy-
ysyQa^^svov l'6ov i6rlv np ixxsi^svc) xcSvg).
15 x^.
To iyysyQa^^ivov ^xrj^a iv rfj 6cpaiQa ro TtSQi-
sxo^svov v7to rav iiticpavsimv ro5v Tccavixcov ska^^ov
i6tiv 7j tstQaTtXd^iov tov xg)vov tov ^d6iv ^sv sxov-
rog i6rjv np ^syCcrG) xvxXg) rmv iv rfj Cq^aCQa^ vtpog
20 ds i6ov rfj ix rov xsvrQOV rrjg 6cpaCQag.
s6rG) yaQ [6] yivo^svog xcovog i'0og rS ^xt^^an
r« iyysyQa^^svcD iv tfj <3(paCQa trjv ^d6iv ^sv sxcov
l'0riv tfj ijticpavsCa irov iyysyQa^^svov (j^^ijfcarog, ro
ds vtjjog i'0ov rfj ditb rox; xsvrQOV rov xvxXov xad^src)
25 dyo^svTj ijtl ^iCav JtlsvQav rov iyyQacpsvrog itokvyca-
vov 6 P. 6 ds xmvog 6 S s6tG) ^dfjiv sxov fdrjv rc5
2. laov] per comp. F, ut lin. 4, 9, 10, 12. rc5 Koavco] Batai
KcovG) ed. Basil., Torellius. ^aai F. 3. roav iTCmsScav] tcov
re STnnsScov F; corr. Torellius. 6. XKFA F. nsQLlifi-
fiara F. 10. yiovoig F. 19. rmv] tov F. 21. 6] deleo.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 117
continetur, aequale est cono basim habenti aequalem
superficiei coni inter plana in lineis HMj B^ posita,
altitudinem autem aequalem lineae a X puncto ad
lineam BH perpendiculari ductae [prop. 19]. eodem
modo etiam in altero hemisphaerio rhombus XKFIet frusta relicta conorum^) aequalia erunt totidem et
talibus conis, quot et quales supra indicauimus. ad-
paret igitur, etiam totam figuram sphaerae inscriptam
aequalem esse omnibus conis, quos commemorauimus.
coni autem aequales sunt P cono, quoniam conus Paltitudinem habet altitudini^) cuiusuis conorum, quos
commemorauimus aequalem, basim autem aequalem
omnibus simul basibus eorum^) [A^/w-ft. 1 p. 80; cfr.
Quaest. Arch. p. 48]. adparet igitur, figuram sphaerae
inscriptam aequalem esse cono, quem posuimus.
XXVII.
Figura sphaerae inscripta, quam superficies conicae
comprehendunt, minor est quam quadruplo maior cono
basim habenti aequalem circulo maximo sphaerae,
altitudinem autem radio sphaerae.
ponatur enim conus P aequalis figurae sphaerae
inscriptae basim habens superficiei figurae inscriptae
aequalem, altitudinem autem aequalem lineae a centro
circuli ad latus aliquod polygoni inscripti perpendi-
culari ductae [prop. 26]. conus autem S basim ha-
1) Debebat esse: rhombi (qui oritur productis lineis AK^10, donec concurrunt) et coni (qui oritjir eodem modo pro-ductis lineis ^A, B©).
2) FHaCTco sc. xcovco, pro syiccGtov (sc. vi/>ft).
3) Ex hypothesi.
118 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
ABFJ tivtcIg), viljog ds triv ix rov xevtQov rov ABFJxvxkov.
ETtel ovv 6 P Kcovog ^a^tv exei t6riv tfj sitLcpaveioc
tov eyyeyQK^^evov 6%riiiccto(s ev tfj ^(paiQcc, vz^og de
5 rfj aitb tov X Tcad^etc) ayo^evT} eTtl rrjv AZ, edeix^ri
de ri eiticpdveia tov eyyey^a^i^evov axri^atog ekd66ov
7j tetQaTtXaaia roi) ev tfj 6(paiQa ^eyC^tov tcvkIov,
eatai ccQa rj tov P tccovov ^d^ig eldaaov i] tetQa-
nkadia tijg ^d^eog tov S tkovov eativ de aal ro
10 vtog tov P ela60ov rov vtljovg tov S tccovov. eTtei
ovv 6 P xSvog trjv ^ev ^d^iv exei iXdd6ova 7} te-
tQaitlaaCav trjg tov S ^daewg., tb de vrl^og ela66ov
tov vi}jovg, drjXov, cog Kal avtbg 6 P Tcowog eld66cov
idtlv 7] tetQa7tld0iog tov 3 ytovov. dlld jcal 6 P15 xc5vog i6og i6t\ rc5 iyyeyQa^^evc) ^x^t^^ccti. tb aQa
iyyeyQa^^evov 6xrjiia eka666v i6tiv ij tetQa7tla6iov
tov S noovov.
4. Si] ds laov BC*, ed. Basil., Torellius. 8. £<rrat] per
comp. F, BC*. 13. ©s] ort Nizze.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 119
beat aequalem circulo ^BF/lj altitudinem autem ra-
dium circuli ABV^.quoniam igitur conus P basim habet aequalem
superficiei figurae sphaerae inscriptae^ altitudinem
autem aequalem lineae a X puncto ad ^Z perpen-
diculari ductae, et demonstratum est, superficiem figu-
rae inscriptae minorem esse quam quadruplo maiorem
circulo maximo sphaerae [prop. 25]^ erit igitur basis
coni P minor quam quadruplo maior basi coni S, sed
etiam altitudo coni P minor est altitudine coni ^.
quoniam igitur conus P basim habet minorem quamquadruplo maiorem basi coni Sj altitudinem autem
altitudine minorem, adparet, etiam ipsum conum Pminorem esse quam quadruplo maiorem cono S^). sed
conus P idem aequalis est figurae inscriptae. quare
figura inscripta minor est quam quadruplo maior cono S
1) Cfr. Xriiiii. 1 p. 80.
120 nEPi 2:<r>AiPA2 kai ktainapot a'.
xrj .
"E6t(o iv CcpaCqa ^syt6rog xvzXog 6 ABF^y TteQi
ds xov ABF^ KvxXov TtsQLyeyQcc^pd^cj TtoXvycovov 160-
jiXevQov te xal L0oyc6vtov, t6 de TcXrjd^og tcav nkevQav
5 avtov iLetQeiGd^G) vTto tetQadog. tb de TteQi tov xv-
kXov JteQiyeyQa^^evov itoXvycovov KvxXog TteQtyeyQa^i-
^evog 7teQtXa(iPavetco TteQt to avtb xevtQov ytvo^evog
Tc5 ABFJ. ^evov6rjg drj trjg EH TteQtevexd^ritco to
EZH® eTttTtedov , ev c5 rd te TtoXvycovov xal 6 xv-
10 xAog. dijAoi/ ovv^ ort rj inev iteQtcpeQeta tov ABF^xvxXov Tcata f^g entcpavetag tr]g 6cpatQag otGd^rj^etat^
rj de TteQtcpeQeta tov EZH® xat akkrig eittcpaveCag
CcpaCQag to avtb xevtQOv ixovOrjg tfj eXd66ovt olGd^ri-
estat' at de acpaC^ xa%^ ag e7ttt(;avov6tv ai nXevQaC^
15 yQacpovCtv xvxlovg bQ%^ovg TtQbg tbv ABFA xvxXov
ev tfj eXcc00ovt GcpaCQcc'
at de yavCat tov no-
XvycQVOv xcxiQtg tdov
TtQbg totg E, H ^rj-
fieCotg xata xvxXcov
TteQtcpeQetcov otc^ri-
aovtat ev tfj entcpa-
veCci tJig \ieC%ovog GcpaC-
Qag yeyQa^^evcov 6q-
%C3V TtQbg tbv EZH®xvxXov ' at de TtXevQal
rot; jtoXvycovov xata
xc3VtX(DV e7tt(pavet(ov ot6%ri6ovtat^ xa%cc7teQ enl rcoi/ JtQO
tovtov. e6tat ovv tb 6%riyia tb neQte%6^evov vno twv
20
25
1. xV om. F. 8. nB^tivsx^rixo F. In fignra plnres lit-
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 121
XXVIII.
Sit ABF/i circulus maximus sphaerae; et circum
ABFJ circulum circumscribatur polygonum aequila-
terum et aequiangulum, et numerus laterum eius per
quattuor diuidi possit. polygonum autem circum cir-
culum circumscriptum comprehendat circulus circum-
scriptus, eodem centro, quo ABF/i, descriptus. ma-
nente igitur EH linea planum EZH® circumuoluatur;
in quo et polygonum et circulus est. adparet igitur,
ambitum circuli ABFA per superficiem sphaerae cir-
cumuolutum iri, ambitum autem circuli EZH® per
aliam superficiem sphaerae idem centrum habentis,
quod habet minor sphaera, circumuolutum iri. puncta
autem contactus, in quibus latera contingunt [circulum
minorem], circulos ad circulum ABF^ perpendiculares
in sphaera minore describunt. anguli autem polygoni
praeter angulos ad E^ H puncta positos per ambitus
circulorum circumuoluentur in superficie sphaerae ma-
ioris descriptorum ad circulum EZH® perpendicula-
rium. latera autem polygoni per superficies conicas
circumuoluentur, quemadmodum in propositionibus
praecedentibus [23—27]. figura igitur per superficies
conicas comprehensa circum sphaeram minorem cir-
cumscripta, maiori uero sphaerae inscripta erit. super-
teras addit, nonnullas perrautat F, sed Z, T, z/ ut in nostrafigura ponuntur; quare mutaui ordinem ed. Basil. et Torellii.
28. iTtl tav TCQO rovrov] uel inl rcov TtQorsQOv Nizze; inl xovnqo xovzov Torellius; sni xov nQtotov F, uulgo. 29. ovv]supra scriptum manu 1 F.
122 nEPI S^^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
iiCKpavBL^v rojv xcovixcov tcsqI ^sv rrjv ika66ova, ^(paiQCCv
jteQiysyQa^^svov^ iv de rfj iieC^ovi syyeyQa^^svov. onds 7] BTtitpdveia rov TCeQiyeyQa^^svov ^^i^^arog ^Si^ov
s6rl rrjg siti^pavsCag r% (jg^aiQag, ovrcog dsi^^ri^srai,
5 s6rG) yaQ 7} K/1 dicc^srQog xvxXov nvog rcoiv sv rfj
sXd66ovi 6(paiQcc r<DV K^ A 6rjiisiOV ovrcov, xad"' a
ccTtrovrai rov ABF/I xvxXov at itXsvQal rov itSQi-
ysyQa^^svov TtoXvycivov. dirjQYj^svrjg drj rrjg 6(paiQag
vTto rov STtiTtsdov rov xara rrjv K/i oqQ^ov TtQog
10 rov ABT^ xvxXov xal rj sTticpdvsia rov TtSQiysyQa^-
^svov 6x^^cctog TtsQi rrjv 6cpaiQav diaiQs^ri6srai vTto
rov STtiTtsdov. xal (pavsQOv, on ra avrd TtsQara sxov-
6iv ev eTtiTtsdco' d^cporsQOv yaQ rcov sTtiitsdcov itSQag
e6rlv rj rov tcvkXov TtSQicpSQSia rov TtSQi didfisrQOv
15 rrjv KA oQxtov TtQog rbv ABF^ kvkXov KaC Si6iv
d^cporsQai sjtl rd avrd KOiXai^ Kal jtsQiXa^^dvsrai tj
ereQa avrcov vjtb rrjg ereQag eTti^paveCag Ka\ rrjg eiti-
Ttedov rrjg rd avrd TteQara exov6rjg. eXd66ov ovv
e6riv rj TteQiXa^Pavo^evrj rov r^iq^arog rrjg 6cpaCQag
20 eTticpdveta rrjg eTticpaveCag rov ^irniarog rov jteQiye-
yQa^^evov TteQi avn^v. o^oCog de xal rj rov koiitov
r^rj^arog rrjg 6cpaCQag eiticpdveia eXd66cDv e6rlv rrjg
eiticpaveCag rov 6%riiiiarog rov TteQiyeyQa^fievov JteQi
avrijv. drjXov ovv, on-Kal oXrj rj eTticpdveia rrjg 6cpaC-
25 Qag eXd66ov e6rl r^g eTticpaveCag rov 6xrj^ccrog tov
TteQiyeyQa^^evov JteQi avrrjv.
K^.
Tfj emcpaveCa rov TteQiyeyQa^^evov ^xrj^citog jteQi
rrjv 6(paiQav l'6og e6rl KVKXog^ ov rj Sk rov xevrQov
5. rfl 01 F. 7. at tcXbvqocC] scripsi; cfr. p. 120, lin. 14;
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 123
ficiem autem figurae circumscriptae maiorem esse su-
perficie sphaerae, sic demonstrabitur. sit enim linea
K/1 diametrus circuli alicuius in sphaera minore de-
scripti, contingentibus lateribus polygoni circumscripti
circulum^jBFz/ in punctis K, z/. diuisa igitur sphaera
plano in linea Ijlz/ ad circulum ABF^ perpendiculari
posito, etiam superficies figurae circum sphaeram cir-
cumscriptae eodem plano diuidetur. et adparet, [super-
ficies sphaerae et figurae] eosdem terminos in plano
habere (utraque enim superficies^) terminum habet
ambitum circuli circum diametrum Xr' ad circulum
^^Fz^perpendicularis descripti), et utraque in eandem
partem caua est, et aUera superficies ab altera et
plano eosdem terminos habenti comprehenditur. minor
igitur est superficies comprehensa segmenti sphaerae
superficie figurae circum id circumscriptae [Aafi|3. 4
p. 10]. eodem modo etiam superficies reliqui sphae-
rae segmenti minor est superficie figurae circum id
circumscriptae. adparet igitur, etiam totam super-
ficiem sphaerae minorem esse superficie figurae cir-
cum eam circumscriptae.
XXIX.
Superficiei figurae circum sphaeram circumscriptae
aequalis est circulus, cuius radius quadratus aequalis
1) Debebat esse BmcpavBiav pro inLnsScav lin. 13. sedtota haec demonstratio tam neglegenter scripta est, ut Archi-medi abiudicanda esse uideatur. fortasse hoc tantum addidis-
set lin. 2: itat 7} imcpoivsLa tov nsQLysyQafifisvov cxyjfiatos
(iSL^(ov satL ti]s imtpavsLag tijg ecpaCQag.,
at 8vo nXsvqaC ed. Basil., Torellius; „duo latera'* Cr. ; om. F,
uulgo. 27. v.ri F.
124 nEPI S^ArPAS KAI KTAINAPOT A.
Ltfov dvvatac ta TiSQLSxo^evG) vjto t£ ^idg TcXsvQccg
tov TtoKvycovov xal tijg l'0r}g 7Ca6aLg tatg imt,£vyvv-
ov^aig tag ycovCag rot5 noXvycovov ovGatg JcaQoi tLva
tdoV V7l6 dvo TtXsVQCCg tOV JtoXvyCOVOV V7tOtSLVOV0COV,
5 to yccQ TteQLysyQa^iievov TtSQL trjv iXa00ova 6(pat-
Qav iyyiyQantat elg trjv ^SL^ova 6q)atQav' tov de
iyysyQa^^ivov iv tfj 6(paLQa itsQLSxofiivov vno tav
i7tL(pav6L(Dv tmv xovLxdov dideLKtat^ otL tri imfpavaLa
l6og iotlv 6 xvxXog, ov r] ix 1:015 xivtQOV dvvatat to
10 7t£QL£x6^£vov V7t6 t€ ^Lccg TtX^vQccg tov TtoAvycovov xal
trjg LGrjg Ttd^aLg tatg iitLt^^vyvvov^aLg tccg yavCag tov
Ttokvycavov ov6aLg TtaQo. ttva tcov vitb dvo 7tl£VQccg
V7tOt£LVOV6C0V. drjXoV OVV i6tL tO 7tQ0£LQrj^£V0V.
X.
15 Tov 6xrj^atog tov 7t£QLy£yQa^^ivov 7t£QL trjv 6(pat-
Qav rj i7tLtpdv£La ^^C^cav i6tLv 7] t£tQa7tXa6Ca roi) ^£-
yC6tov xvxXov tcov iv tfj ^cpaCQcc.
£6to yccQ 7] t£ 6(patQa xal 6 xvxXog xal td dXXa
td avtd totg 7tQ6t£QOv 7tQOX£L^ivoLg' xal 6 A xvxXog
20 l'60g tfj i7tL(paV£CcC £6t(0 tOV 7tQ0X£L^£V0V 7t£QLy£yQa\l-
^ivov 7t£QL tr^v iXd66ova 6(patQav.
i7t£l ovv iv tS EZHS xvxXip ^toXvycovov l66-
7tX£VQ0v iyyiyQa7ttai xal aQtLoycovLov ^ at i7tL^£vyvv-
ov6aL tdg tov TtoXvycovov 7tX£VQdg TtaQaXXrjXoL ov6ai
2h tfj Z@ TtQog trjv Z® tov avtov X6yov £xov6lv^ ov rj
®K TtQog KZ. l'6ov aQa i6tlv tb 7t£QL£x6^£vov <?%^/iia
2. In syllaba yyv- v supra scriptum est in F, manu 1.
8. rijs fmcpavELag F; corr. ed. Basil. 11. ^sv supra scriptum
manu 1 F. 14. x-d-' F. 23. uQTioycavLov expuncto l F(?).
24. nXsvQccg] ycavCag Torellius. 25. Z0] scripsi; ZE FBC*;
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 125
est rectangulo, quod continetur uno latere polygoni
et linea aequali omnibus lineis angulos polygoni iun-
gentibus parallelis lineae sub duo latera polygoni sub-
tendenti.
figura enim circum sphaeram minorem circum-
scripta sphaerae maiori inscripta est [prop. 28]. et
demonstratum est, superficiei figurae sphaerae in-
scriptae per superficies conicas comprehensae aequa-
lem esse conum, cuius radius quadratus aequalis sit
rectangulo, quod contineatur uno latere polygoni et
linea aequali omnibus lineis angulos polygoni iungen-
tibus parallelis lineae sub duo latera subtendenti [prop.
24]. constat igitur, quod supra dictum est.
XXX.
Superficies figurae circum sphaeram circumscriptae
maior est quam quadruplo maior circulo maximosphaerae.
sit enim et sphaera et circulus et cetera eadem,
quae antea posuimus; et circulus A aequalis sit super-
ficiei figurae datae circum sphaeram minorem circum-
scriptae.
quoniam igitur circulo EZH® polygonum inscrip-
tum est aequilaterum, cuius anguli pares sunt numero^
lineae angulos^) polygoni coniungentes lineae Z0parallelae ad lineam Z0 eandem rationem habent,
quam @K ad KZ [prop. 21]. itaque rectangulum,
1) U. p. 97 not. 1.
ez ed. Basil., Torellius. Z@] ZE F; corr. ed. Basil.* 26.
@K] K@ B man. 2, ed. Basil., Torellius.
126 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A .
VTto t£ ^iccg TcXsvQag rov Tiokvycovov xal rrjg l6rig
TtaOcctg tatg iint^svyvvovCaLg tag yavCag rov TCoXvyfXi-
VOV t(p 7C£QtS%0^ivG) V7tO tCJV Z&K. SotS 7] SK TOV
KsvtQov Toi} A kvkXov l6ov dvvatai ta vno Z&K.5 ^st^cov aQa s6tlv rj sk tov xsvtgov rov A Tivxkov
trjg @K' rj ds 0K iGrj £6tl tfj dLa^£tQ(p Toi) ABF/JxvxXov [dtTtXaCta yaQ £6tiv trjg X2J ov6rig £k tov
x£vtQov tov ABF^ xvkXov]. drjXov ovv^ ott ^^t^cov
£6tlv rj t£tQaitkd^tog 6 A xvxXog^ TOwe^^Tti/ r] iitt-
10 (pdv£ia Toi5 7t£Qty£yQa^^£vov ^irniatog %£qI trjv ikd^-
6ova 6(patQav tov ^£yt6tov xvxlov tcov iv tfj 6(patQa.
Xa.
Ta TtSQtysyQannsvcp ^x^^iatt TtsQl trjv iXd66ova
6(patQav t6og i6tt xcSvog 6 ^d6tv ^sv iiiov tov kvxXov
15 Tov t6ov tfj i7tt(pavsta tov 6xrj^atog, vil^og ds l6ov tfj
ix tov xsvtQov tr]g 6(paLQag.
TO yccQ TtSQLysyQa^^svov ^x^fjiicc 7tSQl trjv iXd66ova
6(patQav iyyiyQaTttat iv tfj ^st^ovt 6(patQcc. tw ds
iyysyQa^^svG) 6%r}^ati TtsQtsxo^ivc) vtco tcov xavtxcov
1. l'6r}g] om. F; corr. B, Torellius. 3. Z@K] Z@, @KTorellius. 4. Z@K] Z0, @K Torellius. 12. Xa om. F.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 127
quod continetur uno latere polygoni et linea aequali
omnibus lineis angulos polygoni iungentibus
^Z®X@K [Eucl. VI, 16].
quare radius circuli A quadratus aequalis estZ@X@K
[prop. 29]. itaque radius circuli A > ©K.^) sed linea
0K aequalis est diametro circuli ABFzl [u. Eutocius].
adparet igitur, circulum Aj h. e. superficiem figurae
circum sphaeram minorem circumscriptae; maiorem esse
quam quadruplo maiorem circulo maximo sphaerae.^)
XXXI.
Figurae circum sphaeram minorem circumscriptae
aequalis est conus basim habens circulum superficiei
figurae aequalem, altitudinem autem aequalem radio
sphaerae.
nam figura circum sphaeram minorem circumscripta
sphaerae maiori inscripta est. sed demonstratum est,
1) Qiiia Z0 > 0X [Eucl. III, 15].
2) Eucl. XII, 2; cfr. prop. 25 p. 112.
128 nEPI S<I»AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.
i7tL(pavsi(ov dsdeixtca l'6os xmvog 6 ^adv fiev exov roi/
hvkXov xov l'6ov trj imcpavsLa tov (?;^7Jfiarog, vil^os ds
l'6ov tri ccTto ror xsvtQOv trjg OtpatQag inl ^iav itlsv-
Qav tov Ttokvycavov xad^stcD rjy^svrj. avtrj ds i6tiv
5 t(Sr] trj ix tov xsvtQOv trjg iXd60ovog 6cpaiQag. drjlov
OVV i6tL tO TtQOtSxtSV.
nOPISMA.
^Ek tovtov 8s cpavsQoVy otL tb (^xrj^a ro TtSQiyQa-
(po^svov TtSQl trjv ikd66ova GcpalQav [Lstt^ov iOtLv rj
10 tStQa7tXcc6L0V 7CC0VOV tOV pCC6LV ^SV SXOVtOg tbv [iS-
yLOtov xvxkov tmv iv trj 6cpaLQa, v^pog ds trjv ix tov
xsvtQOv trig CcpaCQag. iTtSLdrj yccQ L0og ictl rco ^xtj-
liatL xcovog 6 ^ccOlv ^sv sxcov f^rjv tfj iitLcpavsCcc avtov,
vifjog ds l6ov [tfj ccTcb tov xsvtQOV trjg OcpaCQag iitl
15 ^Cav TtksvQccv tov Ttolvycovov xa\tst(p riy^svri^ tovt-
s6tLv] tfj ix roi) xsvtQOv tr^g ik(x,66ovog a(paCQag, s6tL
ds rj iitLcpdvsLa tov JtsQiysyQa^^svov (?;|j^fiarog jtsQL
trjv 6(patQav ^sC^cov rj tsxQaTtkaoCa rot) ^syC6tov xv-
xXov tcov iv tfj 6(paCQ(x, ^st^ov ccQa tj tstQa7tXd6L0v
20 s6taL tb 6xrj^a tb TtSQiysyQa^^svov JtSQL trjv 6(patQav
tov xcDvov tov pd6Lv ^sv sxovtog tbv [isyL^tov xv-
xXov, vipog ds trjv ix tov xsvtQov trjg 6(paLQag, iitSLdr]
xal 6 x()jvog 6 l'6og avt^ fisC^av 7] tstQa:tXd6Log yC-
vstaL tov sCQrj^svov xoivov [pd6LV ts yccQ ^sC^ova rj
25 tstQa7tla6Cav sxsl xal vipog t6ov\
7. noqiGyiu] mg. n F; Xy Torellius. 10. x6v\ addidi;
om. F, uulgo. 16. ilaoGOivoq F. 19. [isi^cov F; corr. BC.21. rov pccciv] tov addidi; om. F, uulgo.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 129
figurae inscriptae per superficies conicas comprehensae
aequalem esse conum basim habentem circulum aequa-
lem superficiei figurae, altitudinem autem aequalem
lineae a centro sphaerae ad latus polygoni perpen-
diculari ductae [prop. 26]. haec autem aequalis est
radio sphaerae minoris. itaque constat propositum.
COROLLARIUM.
Hinc autem adparet, figuram circum sphaeram mi-
norem circumscriptam maiorem esse quam quadruplo
maiorem cono basim habenti circulum maximum sphae-
rae, altitudinem autem radium sphaerae. nam quo-
niam figurae aequalis est conus basim habens super-
ficiei eius aequalem, altitudinem autem aequalem [lineae
a centro sphaerae ad latus aliquod polygoni perpen-
diculari ductae, h. e.] radio minoris sphaerae [prop. 31],
superficies autem figurae circum sphaeram circumscrip-
tae maior quam quadruplo maior circulo maximo
sphaerae [prop. 30], erit igitur figura circum sphae-
ram circumscripta maior quam quadruplo maior cono
basim habenti circulum maximum, altitudinem autem
radium sphaerae, quoniam etiam conus ei aequalis
maior est quam quadruplo maior cono, quem comme-
morauimus [basim enim maiorem habet quam qua-
druplo maiorem et altitudinem aequalem] [Irj^ii. 1
p. 80].')
1) Hic quoque quaedam. subditiua esse uidentur; maximeuerba lin. 14: xij ano rov — 16: tovTsdtiv et finis ex sTtsidri
lin. 22 suspecta sunt. u. Neue Jahrb. SuJ)pl. XI p. 389. for-
tasse omnia uerba ex lin. 12: insLd^ usque ad finem delendasunt.
Archimedes, ed. Heiberg. I. 9
130 nEPI 2<E>AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.
Eavfj
sv (3(paiQa ^XV^^ iyyeyQa^^ivov xal alXo
TtSQtysyQa^i^svov vtco o^olov TtoXvydvov tov avroi'
tQOJtov totg TtQOtSQOV xats0xsva6^sva , tj S7ti(pdvsia
5 Tot5 TtSQiysyQa^^svov ^x^^atog TtQog trjv tov syys-
yQa^lLSvov STticpdvsiav diTtkaOiOva Xoyov sxsi, jJTtSQ
r TtksvQa tov TtsQiysyQa^fisvov TtoXvycovov TtSQi tov
^syi6tov xvkXov TtQog triv JtXsvQav tov iyysyQa^i^svov
jtolvyo3vov iv tc5 avta xvkXg). avto ds t6 ^xV^^ '^^
10 TtSQiysyQa^^svov JtQog t6 ^xVi^^ '^^ iyysyQa^^ivov
tQi7tka6i0va Xoyov sxsi tov avtov Xoyov.
s6tG) iv 6q)aiQa xvxXog 6 ABF^^ xal iyysyQd(p^co
slg avtov Ttokvycavov looTtXsvQov , tb ds TtXijd-og tcov
TtksvQcsv avtov ^stQSi^d^co vTto tstQddog* xal alXo
15 7tSQiysyQd(p%^G) TtSQi tbv nvnXov o^oiov tco iyysyQa^-
^ivo), at ds tov jtsQtysyQa^^ivov itoXvycovov TtksvQal
i7titl;avitco6av tov xvxXov xatd ^i6a tcjv 7tsQi(psQSi(ov
t(Bv dTtots^vofiivav vitb t^v tov iyysyQa^i^ivov Tto-
Xvycjvov 7tXsvQ()3v. at 6\ EH^ ZS did^stQOi TtQbg
20 OQd^dg s0tG)6av dXlrjXaig TOi xvxXov tov 7tSQiXa^-
pdvovtog tb 7tsQiysyQa^^ivov ^toXvycovov xal o^Oicog
xsi^svai tatg AF^ B/t dia^iitQOig, xal vosiOd-o^av
iTti^svyvv^svai i7tl tdg aTtsvavtCov ycovCag tov 7toXv-
ycovov, aT yCyvovtai dkXriXaig ts xal tfj ZBzJ& 7taQ-
25 dkXriXoi. ^svov6r}g drj trjg EH dia^itQOv xal 7tsQi-
SVSX^St^CaV t^V 7tSQi^itQG)V taV 7toXvyCOVG)V TtSQi trjv
Tov xvxXov TtSQLCpiQSiav t6 ^sv iyysyQa^^ivov OxV^^
1. X§'] X' F. 4. yiaTSGyisvaaiisvcc] censor lenensis; kccts-
cyiBvccGiisvoig F, uulgo. 10. xo syysyQafiiisvov] om. F, uulgo*;
habent Cr,, ed. Basil., Torellius. 16. at] sm F; corr. Torellius.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 131
XXXIL
Si sphaerae alia figura inscripta, alia circumscripta
est polygonis similibus eodem modo^ quo supra, effectae,
superficies figurae circumscriptae ad superficiem in-
scriptae duplicem rationem habet, quam latus polygoni
circum circulum maximum circumscripti ad latus po-
lygoni eidem circulo inscripti. figura autem ipsa cir-
cumscripta ad figuram inscriptam habet rationem tri-
plicem, quam eadem ratio est.
sit in sphaera circulus [maximus]^) ABF^, et ei
inscribatur polygonum aequilaterum, cuius laterum
numerus per quattuor diuidi possit. et aliud circum
circulum circumscribatur inscripto simile. et latera
polygoni circumscripti circulum contingant in punctis
mediis arcuum a lateribus polygoni inscripti abscis-
orum. lineae autem EHy Z@ diametri inter se per-
pendiculares circuli polygonum circumscriptum com-
prebendentis sint et similiter positae AF^ Bzl dia-
metris. et fingantur lineae ad angulos inter se opposi-
tos polygoni ductae, quae et inter se et lineae ZB^®parallelae erunt. manente igitur diametro EH et
perimetris polygonorum circum ambitum circuli cir-
cumuolutis^) altera figura sphaerae inscripta, altera
1) Archimedes uix omiserat [isyLatos ante xvxAog lin. 12;
cfr. Quaest. Arch. p. 76. hoc ipsum uerbum addi uoluit Nizze.
2) Debebat esse lin. 26—27: (ista rmv tmv yivnlatv tcsql-
q)SQSLoav ; sed non dubito illud neglegenter dictum transscriptori
tribuere.
20. dXXTqXdLg] scripsi; aXXrjXoLg F, uulgo. 24. ZBJ®] Nizze;
EZ, @J F, uulgo. 27. nsQLipsQSLav] dLcc^stQOv Nizze. sy-
ysyQcc^lisvov] Nizze; nsQLysyQcc^\LSVov F, uulgo.
9*
132 nEPI S<^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
€6tai, iv rfi (S^paLQa^ tb ds TtSQcyeyQa^^Bvov. detxtsov
01)1/5 OtL 7] ^£V £7tLCpKV£La tov TtSQtysyQa^^svov ^XV'
^atog TtQOS tijv BTtLcpdveLav tov iyysyQa^^svov dLTtla-
0Lova loyov ixsL^ iJTtsQ 7) EA JtQog AK^ to 8s ^xti^a
5 ro TtsQLysyQa^^svov tQLJtlacCova koyov s%sl rov avtov
loyov.
s6tco yccQ 6 ^sv M ocvxXog L6og trj iTtLfpavsla tov
TtsQiysyQa^^svov JtsQl trjv 6(patQav, 6 ds N l'6og tfi
iitLCpavsLa rov iyysyQa^^svov. dvvatat aQa tov ^sv
10 M 7} ix rov KsvtQov t6 TtsQLSxo^svov vTto tijg EAxal tijg L6rjg 7ta6aLg tatg i7tL^svyvvov6aLg tag yovCag
tov 7tolvy(6vov tov JtsQLysyQa^^svov, rj ds ix tov icsv-
tQov tov N tb vTtb trjg AK xal trjg L6rjg 7td6aLg tatg
i7tLt,svyvvov6aLg tdg ycovCag, xal i^tsl o^otd i6tL td
15 7toXvy(ova ^ o^OLa dv sl'rj Tcal td TtSQLSxo^sva ^to^ta
vTtb t(ov SLQrj^svcov yQa^^cov \tovts6tL tciv iTtl tdg
ymvCag %al tcSv 7tlsvQcov tcjv ^toXvycovcov ^ S6ts tbv
avtbv Xoyov sxeiv 7tQbg dXXrjXa, ov sxovGlv al tcjv
TtoXvycovcav 7tXsvQal dvvd^SL. dXXd nal ov sxsl Xoyov
20 td 7tSQLSx6^sva vTtb tcav SLQrj^svcjv yQa^^csv, tovtov
SXOV0LV at ix tc3v xsvtQcov tcjv M, N ocvxXov TtQbg
dXXriXag dvvd^SL. ca6ts xal at toiv M, N did^stQOL
tbv avtbv SXOV6L Xoyov tatg t(DV TtoXvycavcov 7tXsvQatg.
ot 8s tcvkXol 7tQbg dXXrjXovg dL7tXa6Cova Xoyov sxov6lv
25 tmv dLa^stQcsVj OLtLVsg l6ol si6lv tatg i7tL(pavsCaLg tov
TtSQtysyQa^^svov Kal tov iyysyQa^^svov]. drjXov ovv,
otL rj iTtLcpdvsLa tov 7tSQLysyQa^^svov 6xi^^atog TtsQl
trjv 6(patQav 7tQbg trjv i7tL(pdvsLav tov iyysyQa^fisvov
1. nsQLysyQccfifiEvov] Nizze; syysyQccfifisvov F, uulgo. 13.
t6] tov per comp. F; corr. ed. Basil. 14. rdg y<oviag] tdgycovLocg tov noXvymvov tov syysyQa(i[iivov ed. Basil., Torel-
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 133
circumscripta erit. itaque demonstrandum est, super-
ficiem iigurae circumscriptae ad superficiem inscriptae
eam habere rationem quam EA^ : AK^j figuram autem
circumscriptam [ad inscriptam] ^) eam, quam
EA^ : AK\sit enim circulus M aequalis superficiei figurae
circum sphaeram circumscriptae , circulus autem Naequalis superficiei figurae inscriptae. itaque radius
circuli M quadratus aequalis est rectangulo, quod con-
tinetur linea EA et linea aequali omnibus lineis an-
gulos polygoni circumscripti iungentibus |[prop. 29],
radius autem circuli N quadratus aequalis rectangulo,
quod continetur linea AK ei linea aequali omnibus
lineis angulos [polygoni inscripti]^) iungentibus [prop.
24). et quoniam similia sunt polygona, etiam rectan-
gula comprehensa lineis, quas commemorauimus, simi-
lia erunt.^) adparet igitur, superficiem figurae circum
sphaeram circumscriptae ad superficiem figurae sphae-
rae inscriptae duplicem rationem habere, quam EA
1) Fortasse addendum erat lin. 5: nQog to syysyQaiifisvov^Archimedes certe haec uerba non omiserat.
2) Archimedes uix omiserat: tov nolvycovov rov iyysyQa(i-
(jLSvov lin. 14.
3) Nam triangula, in quae diuiduntur polygona similia, etipsa similia erunt (Eucl. VI, 20). quare lineae angulos iun-gentes, quae sibi respondent, eam babebunt rationem, quamEA ad AK (Eucl. VI, 4); itaque etiam omnes lineae illae po-lygoni circumscripti ad omnes polygoni inscripti eandem ratio-
nem habebunt (Eucl. V, 12); quare similia sunt rectangula illa
(Eucl. VI def. 1), et eam rationem habebunt, quam EA^-.AK^(Eucl. VI, 20).
lius; ,4nscriptae" Cr. 17. xat] rj F; corr. Torellius. rmvnXsvQcov] Tdg nXsvQag per comp. F; corr. Torellius. 18. aX-Xi^Xag F ; corr. ed. Basil.
134 nEPI 2^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
C%riiLarog etg rrjv OcpaiQav dLTtla^Cova koyov sx^i, t^tcsq
rj EA TCQog AK. — ailri^p^^ci^av drj dvo aavoL oi O,
S, xal e0rG) 6 ^sv S TcSvog pd6Lv sxcov rov S xvkXov
Z M
10OV ra M, 6 ds O ^dcLV sx(ov rbv O kvkIov l6ov
5 np N, vil^og ds 6 ^lv S ^covog rrjv stc rov xsvr^ov
rrjg Og^aLQag, 6 ds O rijv dito rov Ksvrgov STtl rrjv
AK xdd^srov i^y^svrjv. L6og aga 6 ^sv S xcovog rc5
Gxri^arL rip TtSQLysyQa^^svc) tcsqI rrjv GcpatQav^ 6 ds
O ra syysyQaii^svG). dsSsLxraL yaQ ravra. xal sjtsi
10 o^OLd s6rL rd Ttolvyova^ rbv avrbv sxsl Xoyov rj EATtQbg AK^ ov rj sk roi) xsvrQOv r^g 6cpaLQag TtQbg rrjv
djtb rov TtsvrQOv r^g (ScpaLQag sTtl rrjv AK xddsrov
dyo^svrjv. rbv avrbv aQa koyov sxsi rb vtl^og rov S%(6vov TtQbg ro vipog rov O aojvov, ov rj EA TtQbg AK.
15 sxsL ds xal rj dLd^srQog rov M xvkIov JtQbg rrjv did-
^srQOv roi; N tcvxXov Koyov^ ov s^sl rj EA JtQbg AK.r^v aQa S^ O kcovov. at dLd^srQOL rSv ^doscov rotg
vips^L rbv avrbv sxovOl Xoyov [oiiolol aQa sl^Cv^ xal
dLa rovro rQLTtlaoCova Xoyov s%sl 6 S ^tc^vog TtQbg rbv
3. S kMov] ^ om. Torellius. 4. O] B F. O xvxlov]
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 135
Sid j4K [h. e. quam latus polygoiii circumscripti ad
latus inscripti].^)
sumantur porro duo coni O, S, et conus S basim
habeat S circulum circulo M aequalem, O autem conus
circulum O circulo N aequalem; altitudinem autem
conus S habeat radium sphaerae, conus autem O li-
neam a centro ad lineam AK perpendicularem ductam.
quarre conus S aequalis est figurae circum sphaeram
circumscriptae [prop. 31], O autem conus figurae in-
scriptae [prop. 26]. haec enim demonstrata sunt. et
quoniam polygona similia sunt [ex hypothesi], eandem
habet rationem EA ad AK, quam radius sphaerae ad
lineam a centro sphaerae ad AK perpendicularem
ductam.^) eandem igitur rationem habet altitudo coni Sad altitudinem coni O, quam EA ad AK. sed etiam dia-
metrus circuliM ad diametrum circuli iVeam habet ratio-
nem, quam EA dA AK [u. Eutocius]. itaque bases co-
norum S, O eandem rationem habent, quam altitudines.
[similes igitur sunt] [A-^ftft. 5 p. ^^]. quare conus Sad conum O triplicem rationem habet, quam diametrus
circuli M ad diametrum circuli N [Eucl. XII, 12].
1) Nam circuli M, N eam habent rationem, quam diametrisiue radii quadrati (Eucl. XII , 2) ,
quae est EA'^ : AK^, quiaradii quadrati aequales sunt rectangulis illis, de quibus u, p. 133,
not. 3; sed ex hypothesi circulus M aequalis est superficiei
figurae circumscriptae, circulus N superficiei figurae inscriptae.
2) Quia triangula ad centra polygonorum similium posita
et ipsa similia sunt; tum u. Eucl. YI, 4.
O om. Torellius. 9. ya^] ovv F; corr. •Torellius. 14. O]om. FC*. 19. rovro] scripsi; ro ccvro F, uulgo; avro To-rellius.
136 HEPI 2^AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.
O K^vov, i]7CeQ rj dtd^stQog rov M xvxXov TCQog trjv
did^stQOv Tou N xvxXov. dijXov ovv, oti xal t6 (Sxij^a
t6 nsQiysyQa^^evov tiqos tb iyysyQa^^evov T^tjrAa-
0LOva Koyov s%sl^ 7]7tsQ rj EA TtQog AK.
5 W'nderis 0(patQag r] S7ii(pdvsia tstQanXacCa s0tl tou
ILsyCctov kvkXov tcov sv avtfj,
s6t(o yaQ afpalQd tig^ xal s6tG) tstQankdOiog tov
^syi0tov xvxlov 6 A. Isyco, oVt 6 A l'0og s0tl tfj sm-
10 cpavsCa trjg 0(paCQag.
si yaQ ^rj, ijtoc ^sCtcov s0tiv ^ sKd00(OV, s0tG}
TtQOtSQOv ^sCiG)v r] s7Ci(pdvsia trjg 0(paCQag Toi) nvxXov.
s0tt Sr] dvo ^sysd^rj avi0a r] ts sTticpdvsta trjg 0(paCQag
xal 6 A xvxXog. dvvatbv ccQa s0tl Ka^slv dvo sv^sCag
15 dvC0ovg^ S0ts tr]v ^sC^ova itQbg tr]v sXd00ova koyov
s%siv sXd00ova tov, ov s^si r] S7ii(pdvsia trjg 0(paCQag
TtQbg tbv kvkXov. slXr](p^Gi0av ai B, T, xal twv 5,
5. la F; W Torellius. 8. fWo)] cog F; corr. B. 12.
nqoxBf^ov ik,iCl<ov] TCQOxsqov fiSitov F.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 137
adparet igitur, etiam figuram circumscriptam ad figu-
ram inscriptam triplicem rationem habituram esse,
quam EA ad AK})
XXXIII.
Cuiusuis sphaerae superficies quadruplo maior est
circulo in ea maximo.^)]
sit enim sphaera, et sit A circulus quadruplo maior
circulo maximo. dico, circulum A aequalem esse su-
perficiei sphaerae.
si enim aequalis non est, aut maior aut minor est.
prius superficies sphaerae maior sit circulo. duae igi-
tur magnitudines inaequales sunt, superficies sphaerae
et circulus A, fieri igitur potest, ut sumantur duae
lineae inaequales, ita ut maior linea ad minorem ra-
tionem habeat minorem, quam superficies sphaerae
ad circulum [prop. 2]. sumantur lineae B^ F, et inter
1) Quia ex hypothesi coni ^, O figuris aequales sunt.
2) Cfr. Simplicius ad Aristot. IV p. 508, b; Pappus I p. 360.
138 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
r ^sdrj avdkoyov a(Stco 7] A. vosiOd^co ds %al r] (ScpaiQa
iTCLTtedc) tatiiri^ivT] dia rov TcevtQOv xata rov EZH0Kvxlov voeL0xto de xal sig tov nvxkov iyyeyQaii^ivov
%al TtSQtyeyQa^^ivov Ttolvycovov, ca6te o^olov eivai
5 To TCeQiyeyQa^^ivov ta iyyeyQa^^ivc) Ttokvycjvc) Kal
trjv tov TteQiyeyQa^^ivov nXevQav iXaGGova koyov
ey^eiv rot;, ov eyei rj B TtQog trjv z/ [xal 6 diitXaOiog
aQa koyog tov di7tXa6iov Xoyov iotlv ikcc66c3v. xal
tov ^ev trjg B TtQog /i di7tkcc6i6g iotiv 6 trjg B TtQog
10 trjv r, tov de trjg itkevQag tov TteQiyeyQa^iiivov tco-
kvycovov TtQog trjv TtkevQav Toi5 iyyeyQa^^ivov diTtlcc-
6iog 6 trjg ijticpaveiag tov TteQtyeyQay^^ivov 6teQeov
TtQog trjv ijticpccveiav tov iyyeyQa^^ivov^ rj iiticpdveia
ccQa tov TteQiyeyQa^^ivov 6x7]^atog TteQl trjv CcpalQav
15 TtQog trjv iiticpdveiav tov iyyeyQa^^ivov a^tl^atog
iXd60ova koyov eyei, rjTtSQ rj imcpdveia trjg CcpatQag
TtQog rov A kvkXoV OTteQ dtoitov, rj fisv yccQ im-
cpdvsia tov JtSQiysyQa^^ivov trjg iiticpavsCag trjg 6cpai-
Qag ^Si^cov i6tiv, rj ds iiiicpdvsia tov iyysyQa^^ivov
20 6x7]^atog tov A kvkXov iXdo^av i6ti [didsixtat yccQ
7j iiticpdvsia tov iyysyQa^^ivov iXd66a)v rov ^syi6tov
kvkXov tciv iv trj ocpaiQcc ij tstQaTtXaCia^ tov 6s fis-
yCctov tcvkIov tstQajtkd^iog ictiv 6 A xvKXog]. ovk
ccQa 7] iiticpdvsia tr]g 6cpaiQag ^si^ov i6ti tov A25 kvkXov. — kiyo dr]^ oti ov8s ild66ov. Si yccQ dv-
vatov, s6tco. Kal b^oCog svQ^^d^co^av al B^ V svd^stai,
S6ts trjv B TtQog F iXd66ova koyov sysiv tov, 6v sysi
6 A KVKlog TtQog trjv iiticpdvsiav trjg 6cpaCQag^ Kal
tcjv -B, r ^i^rj dvdkoyov rj A' kcA iyysyQdcp^a Kal
4. slvocC] per comp. in rasura F. 10. tov de trjg] scripsi;
Tijs ds F, uulgo.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 139
eas media proportionalis sit z/ linea. fingatur autem
etiam sphaera per centrum secta per circulum EZH®.fi.ngatur autem etiam polygonum circulo inscriptum
et aliud circumscriptum^ ita ut polygonum circumscrip-
tum inscripto simile sit, et latus polygoni circumscripti
[ad latus inscripti]^) minorem rationem habeat, quam
5 ad ^ [pi^op. 3]. quare^) superficies figurae circum
sphaeram circumscriptae ad superficiem figurae in-
scriptae minorem rationem habet, quam superficies
sphaerae ad circulum ^. quod fieri non potest. namsuperficies figurae circumscriptae maior est superficie
sphaerae [prop. 28 p. 122], sed superficies figurae in-
scriptae minor est circulo A [prop. 25].^) itaque su-
perficies sphaerae circulo A maior non est.
dico iam, ne minorem quidem eam esse. si enim
fieri potest, minor sit. et ut supra inueniantur lineae
B^ r, ita ut 5 ad F minorem rationem habeat,
quam circulus A ad superficiem sphaerae [prop. 2], et
linea z/ media inter B, F proportionalis. et inscri-
1) Arcliimedes non omiserat: ngog rrjv rov iyysyQccfifiEvov
lin. 6; sed cum haec omissio toties occurrat, satius duxi, hancneglegentiam transscriptori tribuere, quam cum Mzzio haecuerba omnibus locis addere.
2) Nam latera polygonorum quadrata et eam habent ra-
tionem, quam B^ : z/^, h. e. quam B : F (Eucl. VI, 20 noQ. 2),
et eam, quam superficies figurarum (prop. 32). sed quibus hoccontinetur, uerba lin. 7— 13 fortasse subditiua. sunt.
3) Repetitionem inutilem prop. 25 deleo (lin. 20—23).
140 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
TtSQtysyQd^pd^co ndhv^ Sgts rrjv rot) TiSQLysyQa^iisvov
ild00ova koyov s%slv tov r% B TCQog z/ [xccl xd
di7t^,d0La aQa]. r^ s7tL(pdvsLa d^a roi; TCSQLysyQa^^isvov
TtQog rrjv sJtKpdvsLav rov syysyQa^^svov sXdocova
5 Xoyov sxsL, 7]7tsQ 6 A xvxXog Ttgog rriv STtKpdvstav
trig 6(paLQag' oitsQ dxoTtov, rj ^sv yaQ xov nsQLys-
yQa^^svov snL(pdvsia ^sl^cov s6xl xov A xvxXov, rj ds
xov syysyQa^iisvov sldooav xr]g STtLtpavsCag xrjg acpaLQag.
ovK aQa ovds sld<30(ov rj STtLCpdvsLa xr^g 6(paLQag
10 rov A kvkXov. sdsLx^fj ^s, oxc ovds ^sl^cov. rj ccQa
STtLCpdvsLa xrjg 6(paLQag LOrj s6xl r« A xvxXa, xovxsOxl
rc5 xsxQajtXa^LG) xov lisyCcxov kvxXov.
ndca ^fpalQa xsxQaTtXaGCa s6xl xdvov xov ^diSLV
15 ^sv s^ovxog lOrjv ra5 ^syCoxa kvkXc) rcov sv xrj 6(paCQcCj
v^og ds xr^v sk xov ksvxqov xrjg 6(paCQag.
s6x(D yaQ 6(paLQd XLg^ xal sv avxfj ^syL6xog KVKlog
6 ABFjd. SL ovv ^ri s6xlv rj 6(paLQa xsxQajtXa6Ca
xov SLQrj^svov K(6vov, s6XG)^ SL dvvaxov, ^sC^cav ^ xs-
20 xQa7tXa6Ca. s6xco ds 6 S KtDvog pd6Lv ^sv sxcav xsxqu-
7tXa6Cav xov ABFz/ kvkXov, vipog ds l6ov xfj sk xov
KSVXQOV xrjg 6(paCQag. ^sC^cjv ovv s6xlv rj 6cpaLQa xov
S' K(6vov. s6xaL drj dvo ^sysd^rj dvL6a 7] xs 6cpaLQa
Kal 6 Kcovog. dvvaxov ovv dvo sv%sCag Xa^stv dvC6ovg
25 C36XS sxsLV xriv ^sC^ova TtQog xr]v skd66ova ikd66ova Ad-
1. naXiv] ndXiv noXvycovov Torellius. t?Jv] tT]v nXsvQccv
Torellius. 2. rov] ro F; corr. Torellius. ^ 13. X§' F; X?'
Torellius. 19. (ist^ov F. 25. iXd66ovcc Xoyov] scripsi; ^o-
yov F, uulgo; Xoyov iXd^cova B, ed. Basil., Torellius.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 141
batur et circumscribatur rursus polygonum, ita ut la-
tus circumscripti [ad latus inscripti]^) minorem ratio-
nem habeat, quam B did ^ [pi^op. 3]. itaque^) super-
ficies figurae circumscriptae ad superficiem inscriptae
minorem rationem habet, quam circulus A ad super-
ficiem sphaerae. quod fieri non potest. nam super-
ficies figurae circumscriptae maior est circulo A [prop.
30]. sed superficies inscriptae minor est superficie
sphaerae [prop. 23 p. 102].
itaque ne minor quidem est superficies sphaerae
circulo A. demonstratum autem est, ne maiorem qui-
dem eam esse. itaque superficies sphaerae aequalis est
circulo Af h. e. quadruplo maior circulo maximo.
XXXIV.
Quaeuis sphaera quadruplo maior est cono basim
habenti circulo maximo sphaerae aequalem, altitudi-
nem autem radium sphaerae.^)
sit enim sphaera et in ea circulus maximus ABF^.si igitur sphaera quadruplo maior cono, quem com-
memorauimus, non est, sit, si fieri potest, maior quamquadruplo maior. conus autem tS basim habeat qua-
druplo maiorem circulo ABFziy altitudinem autem
radio sphaerae aequalem. itaque sphaera maior est
cono S. erunt igitur duae magnitudines inaequales,
sphaera et conus. potest igitur fieri, ut sumantur duae
1) Cfr. not. 1, p. 139.
2) Sequitur ex Eucl. VI, 20 noQ. 2 et prop. 32, ut not. 2,
p. 139 ; sed uerba praecedentia lin. 2—3 l^iic quoque subditiuasunt; nihil enim continent nisi neglegentem et imperfectamsignificationem uerborum, quae not. 2, p. 139 damnaui.
3) Cfr. Pappus I p. 360.
142 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
jrejs:
yov rov, ov sxsv 7] 0(paiQa TCQog xov S oicSvov. e6tco6av
ovv aC K^ Hj at ds 7, @ ElXYni^ivai w6te ta L6a aXXy\-
Kav vTteQexsLV trjv K rijg I xal tr^v I trjg & Kal r^v
& trig H. voeiG^co de xal eig tov ABFzt kvkXov
5 eyyeyQa^^evov TCoXvyavov ^ ov ro TcXrjd^og tSv nXev-
QCJV ^etQei^d^o vTtb tetQddog^ xal aXXo JteQtyeyQa^-
^evov o^ocov rc5 eyyeyQa^^evcp^ xad^ccTteQ eitl tcav jtQO-
teQOV ri de rot» TteQcyeyQa^^evov noXvycivov TtXevQcc
TtQog trjv roi) eyyeyQa^-
10 AT r^^B "^^^^^A fievov iXdooova Xoyov
e%itG} rov, ov exec rj KTtQog I. xal e6tc3(Sav
at AF^ BA did^etQOL
TtQog OQd^dg dXXi^XaLg.
15I
^^^\ ^^-^-^^ sl ovv ^svov0rjg trjg
AT dLa^etQOV JteQL-
eveid^eCri to ejtLTtedov, iv a td TtoXvycjva, e^tac
0%ri^ata to ^ev iyyeyQa^^ivov iv tfj 0q)aLQa, ro
de TteQLyeyQa^^ivov , xal e^eL tb TteQLyeyQa^^ivov
20 TtQog ro iyyeyQa^^ivov tQLTtXa^Cova Xoyov, 7]7teQ rj
jtXevQd tov TteQLyeyQa^^evov TtQog tr]v tov iyyeyQa^-
liivov elg rov ABFzJ xvxXov. rj de TtXevQa TtQog
trjv TtXevQdv iXd06ova Xoyov sxsl, rJTtSQ r K TtQog
trjv I' S0ts tb Oxrjiia tb JtSQLysyQa^^ivov iXdooova
25 Xoyov sxsL 7] tQLTiXacCova tov K TtQog I. sxsl ds xal
ri K TtQbg H ^sC^ova Xoyov r] tQLTtXd^LOv tov, ov sxst,
rj K TtQbg I [rovro yaQ cpavsQbv dta Xrj^^dtcov].
TtoXXa aQa tb TtsQLyQacpsv TtQbg tb iyyQacpsv iXdccova
3. 0] H F. 13. AB, rj F. Litteras in circulo positas
et polygona om. F. 18. cxiqiiata] scripsi; ro Gxrificc F, uulgo.
27. dLdlXrjfi^atoav F.
DE SPHAERA ET.CYLINDRO I. 143
lineae inaequales, ita ut maior linea ad minorem ra-
tionem habeat minorem, quam sphaera ad conum S[prop. 2]. sint igitur lineae K, if, et lineae /, ® ita
sumantur, ut aequali spatio excedat K linea lineam /,
/ lineam @, & lineam H. fingatur autem etiam cir-
culo ABT/I polygonum inscriptum, cuius laterum
numerus per quattuor diuidi possit, et aliud circum-
scriptum inscripto simile, sicut antea. et latus poly-
goni circumscripti ad latus inscripti minorem rationem
habeat, quam K : I [prop. 3]. et sint diametri AFyB/1 inter se perpendiculares. si igitur manente dia-
metro AF circumuoluitur^)
planum, in quo sunt po-
lygona, orientur figurae, altera sphaerae inscripta, altera
circumscripta , et habebit figura circumscripta ad in-
scriptam triplicem rationem, quam latus polygoni cir-
cumscripti ad latus inscripti circulo ABFJ [prop. 32],
sed latera minorem habent rationem quam K : I [ex
hypothesi]. quare figura circumscripta [ad inscriptam] ^)
minorem rationem habet quam K^ : I^. sed etiam
K.H^K^iI^ [u. Eutocius]. itaque figura circum-
scripta ad inscriptam multo minorem rationem habet,
1) Optatiuus nsQvsvsx^strj posterioris temporis scriptoribus
aptior fortasse transscriptori debetur, cum Archimedes scripsis-
set: sl' %a— nsqisvsx^fi.
2) U. p. 139 not. 1.
144 nEPI S<I>AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
Xoyov £%£fc tov^ ov e%Bi rj K TCQog H. rj ds K TtQog
H ikd66ova koyov sx^i, tJtcsq tj 6(patQa TtQog tov Sxdjvov xal ivaXka^' otisq ddvvatov. to yaQ <5x7}ia
to TtSQiysyQa^^ivov (ist^ov i^ti trjg OcpaLQag., to ds iy-
5 ysyQa^^svov ska60ov tov S ^(xtvov [diotL 6 ^sv 3 ^covog
tstQaitldCiog icti rot» zcoi/ot» tov ^d6iv ^sv s^ovtog l'6rjv
Tc5 ABF/i xvxkG), v-iljog. ds i'6ov tij ix rov xsvtQOv
trjg 6(paiQag^ to ds iyysyQa^^svov ^^^fta sXa66ov tov
siQrj^ivov xcovov ^ tstQa7tXd6i0v]. ovx aQa ^Si^cav 7]
10 tstQa7tka6ia rj 6(patQa tov siQrj^svov. — s6tc) drj^ sl
dvvatov, iXd66av r] tstQa7tXa6ia' S6ts ikd66(X)v i6tlv
rj 6(patQa toi 3 xoavov. siXrj^pd^co^av drj aC K^ Hsvd^stai, S6ts trjv K ^si^ova sivat trjg H xal iXd6-
6ova loyov s^siv TtQog avtrjv tov^ ov s%si 6 S xcovog
15 TtQog trjv 6(patQav. xal at 0, I ixKSi6d^o6av^ xad^cog
TtQotsQov, xal sig tov ABF/i xvxkov vosi^d^o itokv-
ycovov iyysyQa^^ivov xal dlXo TtSQiysyQa^^svov, oa6ts
tr]v TtXsvQav tov JtSQiysyQa^^svov JtQog trjv JtlsvQDcv
tov iyysyQa^^svov iXd66ova koyov s^siv^ rjjtSQ rj K20 TtQog I' xal td akka xats^xsvd^d^o tbv avtov tQOJtov
totg TtQotSQOv. si,si ccQa xal to itsQiysyQa^^svov 6ts-
Qsov 6xrj^a TtQog ro iyysyQa^^svov tQi7tka6iova koyov,
rjTtSQ rj TtksvQcc tov TtsQiysyQa^^svov itSQl tov ABFAxvxkov JtQog trfv tov syysyQa^^svov. rj ds JtXsvQa
25 TtQog trjv TtksvQav ikd66ova koyov sxsi, 7]7tSQ rj KTtQog I. s%si ovv tb 6xrj^a to TtsQiysyQan^svov TtQog
ro iyysyQa^^svov ikd66ova koyov 7] tQi7tkd6i0v tov,
ov sxsi 7] K TtQog trjv I. rj ds K ^tQog trjv H ^si-
10. BtQrjfisvov] slQTjfiivov Koavov? S^ st] scripsi; rj F;sl uulgo. 20. ^aTecHSvccGd^co] scripsi; KCiTSGnsv F, manus 2
stellulam adposuit et mg. scripsit ccGfisvcc', KaTSCHSvaefisvoc
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 145
quam K : if; sed K &d H minorem rationem habet,
quam sphaera ad conum S [ex hypothesi] [quare figura
circumscripta ad inscriptam minorem rationem habet,
quam sphaera ad conum S]- et uicissim [figura cir-
cumscripta ad sphaeram minorem rationem habet, quam
figura inscripta ad conum]. quod fieri non potest.
nam figura circumscripta maior est sphaera [prop. 28
p. 122], sed inscripta minor cono S [prop. 27]. itaque
sphaera maior non est quam quadruplo maior [cono],
quem commemorauimus.
iam, si fieri potest, minor sit quam quadruplo
maior. sphaera igitur minor est cono S. sumantur
igitur lineae K^ H, ita ut K linea maior sit linea Het minorem ad eam rationem habeat, quam conus Sad sphaeram [prop. 2]. et ponantur lineae 0, J, ut
supra [p. 142, 2]. et fingatur polygonum oixQvlo ABF^inscriptum et aliud circumscriptum, ita ut latus poly-
goni circumscripti ad latus inscripti minorem rationem
habeat, quam K : I. et cetera eodem modo, quo antea,
comparentur. habebit igitur etiam^) figura solida cir-
cumscripta ad inscriptam rationem triplicem, quamlatus figurae circum ABF^ circumscriptae ad latus
inscriptae [prop. 32]. sed latera minorem rationem
habent, quam K : I [ex hypothesi]. habebit igitur
figura circumscripta ad inscriptam minorem rationem,
quam K^ : I^. sed jfiC : if> if^ : I^ [u. Eutocius]. quare
figura circumscripta ad inscriptam minorem rationem
1) xat lin, 21 uidetur significare: nunc quoque, ut antea.
uulgo. 28. TtQOs rriv I' rj ds K'] om. F; corr. ed. Basil. et
B man. 2.
ArcMmedes, ed. Heiberg. I. 10
146 HEPI 2$AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
^ova^ Xoyov £%eL ri XQiTckd^LOv rov, ov £%£l ri K 7Cq6$
f^v I' Sote iXd66ova Xoyov E%ai t6 6xV^^ ''^^ tcsqc-
yeyQa^^svov TtQog to iyyeyQa^^ivov^ tj rj K TCQog triv
H. rj de K TCQog triv H iXd66ova loyov exec, 7] 6 S6 xcovos TCQog tr}v 6(patQav' OTCeQ ddvvatov. to fiev yccQ
iyyeyQa^^evov eXa666v i6xi xi\g 6g)acQag, tb de TCeQc-
yeyQa^^ivov (let^ov tov S ncovov. ovk aQa ovde iXd6-
6C0V i6tlv 7] texQa7tka6Ca rj 6(patQa rov tcoovov rov
pd6iv ^ev e%ovxog t6riv rc5 ABF^ xvkXg), vtl^og de
10 xr^v l'6rjv xfj ix. xov xivxQov xrjg 6(paLQag' ideCxd^ri
diy oxL ovde ^eC^cov xexQajcXa6Ca aQa.
nOPISMA.
nQodedeLy^ivov de xovtov (paveQov^ otL jcdg tcv-
XcvdQog pd6LV ^ev excov tbv ^eyL6tov xvxXov toov iv
15 xri 6q)aCQCc^ vtl^og de l'6ov xij dLa^ixQ(p xrig 6(paCQag
rjiiLoXLog i6XL xrjg 6cpaCQag^ xal rj iiCLcpdveLa avxov
^iexd xoov pd6ecov rj^LoXCa xrjg iiCL^paveCag xrjg 6(paLQag.
6 jiev yccQ xvlLvdQog 6 TCQoeLQrj^ivog e^aicXd^Log
i6XL xov Koovov xov pd6Lv ^ev exovxog xrjv avxrjvy
20 vxlfog de l'6ov xrj ix xov xivxQov, rj de 6(patQa 8i-
deLKxac xov avxov 'xoovov xexQanXa^Ca ov6a' drjXov
ovVy oXL 6 xvXLvdQog rj^LoXLog i6XL xrjg 6cpaCQag. TcdXcv
iicel rj iTCLCpdveLa xov xvXCvdQOv %coQlg xcov ^d6ecov
l'6ri dideLXxaL xvxXcp^ ov r\ ix xov xivxQOV ^i6rj dvd-
25 Xoyov i6tL trg tov xvXCvSqov TCXevQag xal tijg dca-
liitQOV trjg ^d^ecog, rov de etQfj^ivov xvXCvSqov rov
3. Jl] HK F. 5. xoroff F. 12. noqLO^a om. F; hJ'
Torellius.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 147
habet, quam K : H. sed iC ad if minorem rationem
habet, quam conus 3 ad sphaeram [ex hypothesi]
[itaque figura circumscripta ad inscriptam minorem
rationem habet, quam conus S ad sphaeram]. quod
fieri non potest. nam figura inscripta minor est sphaera
[prop. 23 p. 102], sed figura circumscripta maior cono
3 [prop. 31 TioQiGiia p. 128]. itaque sphaera ne minor
quidem est quam quadruplo maior cono basim habenti
aequalem circulo ABFjdy altitudinem autem aequalem
radio sphaerae. demonstratum autem est, ne maiorem
quidem eam esse. itaque quadrupla est.
C0R0LLARIUM.1)
His autem ante demonstratis adparet, quemuis
cylindrum basim habentem circulum maximum sphae-
rae, altitudinem autem diametro sphaerae aequalem
sesquialterum esse sphaerae, et superficiem eius ses-
quialteram superficiei sphaerae.
nam cylindrus, quem commemorauimus, sexcuplus
est coni eandem basim habentis, altitudinem autem
aequalem radio^); sed demonstratum est, sphaeram
quadruplo maiorem esse eodem cono [prop. 34]. ad-
paret igitur, cylindrum sphaerae sesquialterum esse.
rursus quoniam demonstratum est, superficiem cylindri
praeter bases aequalem esse circulo, cuius radius media
sit proportionalis inter latus cylindri et diametrum
1) Citatur ab Herone stereom. I, 1 (cfr. I, 8, 2), Proclo adEucl. p. 71, 18, SimplLcio ad Arist. IV p. 608, b. alio mododemonstrat Pappus I p. 408.
2) Cylindrus enim triplo maior est cono, cuius basis est
circulus maximus, altitudo autem diametrus sphaerae (Eucl. XII,
10); sed hic conus duplo maior est cono, cuius basis eademest, altitudo autem radius (A^ftft. 1 p. 80).
10*
148 nEPI S<^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
TtsQl ttjv 6(palQav rj tcXsvqcc l'6r} i6tl tfj diccfietQC) r^g
^d^scag [drilov^ oti rj ^e6ri ccvzdav dvccXoyov l'6rj yC-
vetai trj dia^etQG) trjg ^d^ecog], 6 de xvTckog 6 tr^v ix
tov TcevtQOv eycav l'6rjv tfj dia^etQC) trjg pd^ecog te-
5 tQaTtXd^Log e6tL trjg ^d^ecog, tovte^ti tov ^eyC^tov
kvkXov tcov ev tfj ^cpaCQcc^ e^tai ccQa xal rj eTtLtpdveia
tov xvXCvdQOv x^Q^^S ''^c^v ^d^ecov tetQaTcXadCa tov
lieyC6tov xvxXov. oXrj ccQa ^eta tcov ^d^ecov rj eitL-
cpdveLa tov xvXCvSqov e^aitXadCa E6taL tov fieyCctov
10 xvkXov. e6tLV de xal rj trjg OcpaCQag iTtLCpdveLa tetQa-
TcXa^Ca tov ^eyC^tov kvkXov. oXrj ccQa rj iitLtpdveLa tov
KvXCvdQOV ri^LoXCa i6tl trjg iitLCpaveCag trjg dcpaCQag.
Xe.
^H i7tL(pdveLa tov iyyeyQa^^evov ^iri^atog elg t^rj^a
15 6q)aCQag l'6rj i6tl kvkXc), ov r} iK tov xevtQOv l'6ov
dvvataL tco JteQLexo^evco vjto te ^idg itXevQdg tov
iyyeyQa^^evov jtoXvycovov iv ta t^irj^atL rov ^eyC6tov
kvkXov Kal trjg l'6rig 7td6aLg tatg TtaQaXXi^Xotg tfj ^d^et
tov t^T^^atog 6vv tfj r}^L6eCa trjg tov t^i^^atog pd6ecog.
20 e6tco 6(paLQa^ xal iv avtfj t^rj^a, ov §d6Lg 6
TteQL tr^vAH KVKXog. iyyeyQdcpd^co 6%r]iia eCg avto, olov
el'Qr}taL, 7tsQLe%6^evov vTto kcovlkcov iitLcpaveicov' Kal
^syL6tog KVKXog 6 AH&, Kal aQtLOTtXevQov TtoXvycovov
ro AFE&ZAH %coQLg trjg AH itXevQccg' kol eCXrjcp^co
25 KVKXog 6 A) ov rj iK tov KevtQOv l'6ov dvvatac ta
2. ycvstaL'] yccQ per comp. F; corr. B. 5. xovteati] trjs
F; corr. Torellius. 13. Xy F; Kf]' Torellius. 14. tfirjficc
6q)aLQug'] scripsi; to tfirjfia trjg GcpuLQccg F, uulgo. 16. rc5]
To F. 25. tm] to F.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 149
basis [prop. 13], cylindri autem, quem commemoraui-
mus, sphaeram comprehendentis latus aequale est dia-
metro basis [adparet^), lineam inter ea mediam pro-
portionalem aequalem esse diametro basis (Eucl.VI, 16)],
circulus autem radium habens diametro basis aequalem
quadruplo maior est basi [Eucl. XII, 2], h. e. circulo
maximo sphaerae, erit igitur etiam superficies cylindri
praeter bases quadruplo maior circulo maximo. tota
igitur superficies cylindri una cum basibus sexcuplo
maior erit circulo maximo. sed est etiam superficies
sphaerae quadruplo maior circulo maximo [prop. 33].
itaque tota superficies cylindri sesquialtera est super-
ficiei sphaerae.
XXXY.
Superficies figurae segmento sphaerae inscriptae
aequalis est circulo, cuius radius quadratus aequalis
est rectangulo, quod continetur uno latere polygoni
segmento circuli maximi inscripti et linea aequali
omnibus lineis basi segmenti parallelis una cum di-
midia basi segmenti.
sit sphaera, et in ea segmentum, cuius basis cir-
culus circum AH descriptus. inscribatur ei polygo-
num, quale diximus, per superficies conicas compre-
hensum. et circulus maximus siiAH®, etAFE^Z^Hpolygonum [aequilaterum]^), cuius latera paria sint
1) Praue dicitur, inde quod superficies cylindri aequalissit circulo illi {sTtSL p. 146, 23) colligi posse, mediam propor-tionalem diametro aequalem esse. itaque uierba drjXov lin. 2
—
§(xas(og lin. 3 transscriptori tribui.
2) Hoc ab Arcbimede non praetermissum fuit (Quaest. Arch.p. 76); Nizzius coniecit: iGonXsvgov xs xal aQtionX,
150 nEPI S^AIPAi; KAI KTAINAPOT A'.
TtsQiSxo^Bvc) vjto ts tijg AF itXsvQccg xal vTto 7tcc6div
xmv EZj r/J }cal sxi xijg r]^L6sLccg xijg ^oc^scag^ xovx-
66XL xrjg AK. Sslkxsov, oxl 6 xvxlog tcog s6xl xrj
tOV GXYlllLCCtOg STtLtpCCVSLCC,
5 silYiqj^Gi yccQ xvxXog 6 M^ ov rj sx tov xsvxqov
dvvaxccL xo 7tSQLS%6^svov vTto xs xYig E® TtlsvQccg xal
xrjg r}iiL6SLag xrjg EZ. yCvstaL drj 6 M xvxlog l'6og
tri STtLCpavsLCC tov xoovov, ov ^diSLg [isv 6 TtSQL trjv
EZ xvxlog, xoQVfpri ds tb 6rj^stov. SLXij^pd^co ds
A
10 xocL aXXog 6 N, ov rj ix tov xsvtQov l'6ov dvvataL
ta TtSQLSxofisvG) VTto ts tijg ET xal tijg rj^LesLag 6vv-
a^cpotsQov tijg EZ, fz/. s6taL ovv ovtog l'6og tfi
STtLcpavsCa tov xmvov tij ^sta^v rc5v TtaQakXi^lcov sTtL-
Ttsdcav tmv xata tccg EZ, Fzf. xal aXXog ofioCog 6
.
15 S stXi^ipd^a) xvxlog^ ov rj sx tov xsvtQov dvvatai to
TtSQLSXo^svov vTto ts tijg AF xal tijg r}^L6sCag 0vv-
a^fpotSQcov tmv -Tz/, AH. xal avtog ovv l'6og s0tl
tfi xovLxfi iTtLcpavsCa tij ^sta^v tc3v TtaQalXt^lcov im-
Ttsdcov t(DV xatcc tccg AH, Pz/. Ttdvtsg ovv ol xvxXol
20 l6ol ^6ovtaL tfi olrj tov ^xYll^^octog iTtLCpavsCa, xal at
ix tcov xsvtQcov avtSv l6ov dvvri^ovtaL ta TtsQLSxo-
3, dsiKTeov ovv ed. Basil., Torelliua. 6 A xux^os Cr.,
I DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 151
numero praeter latus AH, et sumatur circulus A^
cuius radius quadratus aequalis sit rectangulo
Arx{EZ + rA + AK).
demonstrandum est, circulum aequalem esse super-
ficiei figurae.
sumatur enim circulus M, cuius radius quadratus
aequalis sit rectangulo E®X^EZ. itaque M cir-
culus aequalis est superficiei coni, cuius basis est cir-
culus circum EZ descriptus, uertex autem punctum S[prop. 14]. sumatur autem etiam alius circulus Nj
cuius radius quadratus aequalis sit rectangulo
Erxi(EZ + r^).
hic igitur aequalis erit superficiei coni, quae est inter
plana parallela in lineis EZ, FA posita [prop. 16].
et eodem modo sumatur alius circulus tS, cuius radius
quadratus aequalis sit rectangulo
Arxi(rzi + AH).
itaque et ipse aequalis est superficiei conicae, quae
est inter plana parallela in lineis AH^ F^ posita
[prop. 16]. omnes igitur circuli aequales erunt toti
superficiei figurae, et radii eorum quadrati aequales
erunt rectangulo AF X (EZ + FA + AK).^) sed
1) Quia aequalia sunt latera polygoni E0, EP, AF.
ed. Basil., Torellius. 7. yCvsTai] per comp. F. 12. ovvjaddidi; om. F, uulgo. 20. cct] om. F; corr. ed. Basil.*
152 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
liEVG) v7to ^LCCs JtXsvQCis tijg AF nal tijs l'6rjg ratg
EZy Pz/ xal tfj rj^L6sLa ti]g pd^scog tfi AK. idvvato
ds xal rj ix tov xsvtQov roi5 A xvkXov ioov rc5 avta
XOQLC3. 6 ccQa A oiVKXog 160$ s6taL totg M, N, ^5 xvKloLg^ S6ts xal tfi iTCLcpavsCcc tov iyysyQa^iisvov
exriiiatog.
Af'.
Tstiiri6%^(0 ecpatQa firj dLcc ror xsvtQov iitLTtsdci'
xal iv avtfj fisyLGtog xvxXog 6 AEZ ts^vov TtQog
10 oQd^ag to ijCLTtsdov to ts^vov xal iyysyQacpQ-o sCg tb
ABF t^rj^a TtoXvyovov CaoTtksvQov ts xal ccQtLoyo-
vov XOQLg trjg ^d^sog trjg AB. o^oCog drj totg tiqo-
tSQOv, idv ^%vov0rig trjg FZ JtSQLSvsx^fj ro 6xrj^a, aC
^sv ^, E, A, B yovCaL xatd xvxXov oC6d"i]6ovtaL,
15 C3V dLd^stQOL aC AE, AB, ai ds TtXsvQal rov <?;^7}^a-
rog xatd xovLxrjg iitLcpavsCag. xal s6taL tb ysvrjd^sv
6xrj^a 6tSQsbv vitb xovlxov iitLcpavsLov TtSQLSxo^svov
pd6Lv ^sv sxov xvxXov j ov dLd^stQog rj AB^ xoqv-
cpriv ds tb r. o^oCog dr^ totg TtQOtsQOv tr]v iTtLcpd-
20 vscav iXd66ova s%sl trjg tov t^rj^atog STtLcpavsCag tov
jtSQiXa^pdvovtog [tb yaQ avtb JtsQag avtov i6tLv iv
iTtLTtsdo tov te t^i^^atog xal tov ^xrjiicctog r} TtsQt-
cpsQSLa tov xvxXov, ov dLd^stQog r^ AB, xal ijtl td
avtd xotXaL dpLcpotSQaC sC6lv aC ijtLcpdvsLaL^ xal TtSQL-
25 kapi^dvstaL rj stsQa vitb t^g stSQag^.
2. rjdvvato Torellins. 7. X6' F; p' Torellius. 11. dq-rioTcXsvQov Riualtus, Torellius. 15. ffj^^ftaroff] Barrowius; T/u-r^-
fiatog F, uulgo. 18. sxtov F. KOQvcpr] F; corr. Barrowius.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 153
etiam radius circuli A quadratus eidem spatio aequalis
erat [ex hypothesi]. itaque circulus A aequalis erit
circulis M^ iV, S^); quare etiam superficiei figurae
inscriptae aequalis erit.
XXXVI.
Secetur sphaera plano non per centrum posito, et
in ea sit circulus maximus AEZ planum secans per-
pendiculariter secans. et inscribatur segmento ABF ^o-
lygonum aequilaterum, cuius latera paria sint numero
praeter basim AB. si igitur, ut antea, manente lineaPZ
figura circumuoluitur, anguli ^^
Ej Aj B per circulos ferentur,
quorum diametri erunt ^E, AB,latera autem figurae per super-
ficies conicas. et figura solida
hoc modo orta, per superficies
conicas comprehensa, basim ha-
bebit circulum, cuius diametrus
est AB^ uerticem autem punctum F. itaque eodem
modo, quo antea, superficiem habebit minorem super-
ficie segmenti comprehendentis [la^^. 4 p. 10].^)
1) Ex Eucl. XII, 2; cfr. Quaest. Arch. p. 48.
2) In hac propositione praeter finem subditiuum alia quo-que deprehenduntur uestigia manus transscriptoris, uelut omis-sum uerbum satco lin. 9; aQtioyoavov lin. 11, quod alibi recte
dicitur pro ciQtLOTtXsvQov (Quaest. Arch. p. 76), sed hoc loco
ferri non potest propter sequentia uerba ^copls t% ^dascas;
TKoviyiijg ini(pavsLug lin. 16 pro xojytxcov snixpavBiaiv;
ysvrj&iv
lin. 16 (Quaest. Arch, p. 70). praeterea diserte dicendum erat,
segmentum ABF minus hemisphaerio esse debere (Quaest. Arch.
p. 73).
154 HEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
^H iTtKpdvsia tov syyeyQa^^svov ^xrj^arog iv ta
tiirinati trjg 6(paiQag iXaO^av i6tl tov kvkXov, ov 7]
ix tov xivtQov L'6rj i(5tl tfj aico trjg xo^vcpijg tov
5 t^^^^atog iicl trjv nsQicpSQBiav rjy^svrj tov xvxlov, og
i6ti ^aCig tov t^ri^atog.
s0tG> 0(paiQa, xal iv avtfj ^syi6tog xvxXog 6 ABEZ'xal s0tG) t^rj^a iv tfj 6(paLQ(Xy ov ^ccOig 6 tCsqI dici-
^stQOv trjv AB^ xal iyysyQcccpd-co stg avto to SiQtj-
10 ^svov 6xrj}ia, xal iv ta t^ri^ati tov xvkIov Ttokvyca-
vov xal ta XoiJta ta avtd^ dia^stQOv ^sv trjg 6(paiQag
ov6rig trjg ®A, iTts^svy^svcjv ds tc3V AE, @A. xal
s6t(o xvxlog 6 My ov rj ix tov xsvtQOv l'6rj s6tG) tfj
A®. dsixtsov, oti 6 M xvxXog fisl^cjv i6ti trjg tov
15 6xri^atog iTtiCpavsiag.
rj yccQ imcpdvsia rov ^x^f^^atog dsdsixtai i6rj ov6a
xvxXcp^ ov rj ix tov xsvtQOV i'6ov dvvatai ta TtSQi-
sxo^svc) vTto ts trjg E® xal
rcoi/ EZ, r^, KA. to ds
20 /_ y \/ ^ ^\ y^o trjg E& xal tcSv EZ^
FA, KA dsdsixtai l'6ov rc5
vjco tcov EA, K® TCSQisxo-
^svcj' tb ds vTto tSv EA,
K0 sXa666v i6ti tov diti
25 \ ^"--J_---^ y T^ff AS [xal yccQ tov vtco
t(jov A&, K&\. (pavsQOV ovv,
oti rj ix tov xsvtQov 7015
xvxXov, og i6tiv l'6og tfj iiticpavsicc tov 6xw^tog^
1. Xb F; yJ Torellius. 7. ABZE Torellius. 13. IWa]coflrr« F; corr. B*. 25. vno om. F; corr. ed. Basil. 26. tmv
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 155
XXXVII.
Superficies figurae segmento sphaerae inscriptae
minor est circulo, cuius radius aequalis est lineae a
uertice segmenti ad ambitum ductae circuli, qui basis
est segmenti.
sit sphaera, et in ea circulus maximus ABEZ, et
in sphaera segmentum sit, cuius basis sit circulus cir-
cum diametrum AB descriptus, et ei inscribatur figura,
quam commemorauimus [prop. 36], et segmento cir-
culi polygonum. et cetera eodem modo comparentur*),
ut linea ®A diametrus sphaerae sit, et ducantur lineae
AEy ®A. et sit circulus M, cuius radius aequalis sit
lineae AS. demonstrandum est, circulum M maiorem
esse superficie sphaerae.
nam demonstratum est, superficiem figurae aequa-
lem esse circulo, cuius radius quadratus aequalis sit
rectangulo E® X {EZ + T^ + KA) [prop. 35]. et
demonstratum est
E® X {EZ + r^ + KA) = EAXK0 [prop. 22;
Eucl. VI, 16].'0
sed EAXK®< A&^ [u. Eutocius].
adparet igitur, radium circuli, qui aequalis est super-
1) toL avxd lin. 11 sc. Batco.
2) U. Eutocius, ex cuius adnotatione comperimus , Archi-medem lin. 19—20 scripsisse: dXXa tb vno E@, et lin. 22 uer-bum TtSQiexofisvcp omisisse.
addidi; om. F, uulgo. X6)J ©K ed. Basil., Torellius. Posthoc uerbum: l'aov ovtog rco cctio @A addunt ed. Basil., TorelHus;om. F, uulgo.
156 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
iXd66G)v 80x1 trjg sk toi5 xevtQOv rov M. drjXov ccQa,
otL 6 M KVKXog liSL^cov i(5tl trjg iTiKpavsCag Tot) (?%^-
^natog,
Xrf,
5 To iyysyQa^^avov ^XV^^ ^'^ "^9^ t^rj^atc vjcb xco-
VLXOOV iltKpaVELmV 7tBQLE%6lieVOV 0VV Tc5 K(^V(p TCJ /3«-
6lv iLBv tr^v avtrjv k%ovtL ta G^ri^atL^ xoQV(p7^v ds t6 I;
xivtQOv trjg (ScpaCQag l'0ov i(Stl t« x(6v(p tc5 ^oc^lv
a%ovtL l'0r}v tfj iTtLcpavsCcc tov 6%ri^atog^ vTpog ds tfj
10 dno tov xivtQOv tr^g 6(paCQag ijil ^Cav JcXsvQav tc5i/\
tov 7toXvy(6vov xad^stcy '^y^svrj.
s6tG) yccQ 6(paLQa^ xal iv avtfj ^syL6tog xvxXog,
xal tfirj^a sXa66ov ri^LXVxXCov to ABF^ xal xsvtQov
t6 E' xal iyysyQdcpd^G) stg tb ABF t^rj^a TtoXvyo-
15 vov aQtLOTtXsvQOv ^ca^fcg trjg AF o^oCcag totg TtQots-
Qov, xal ^svovcrjg trjg BE 7tsQLSvsx^SL6a ij 6cpaLQa
TtOLsCtCO 6xrj^d tL VTtO XG)VLX(DV iltLCpaVSL^V 7tSQLS%6-
^EVOV, xal dTtb tov xvxkov tov tcsql dLafistQov trjv
AF xcovog dvaysyQdcpd^G) xoQVcprjv sxcDv tb xsvtQov. xal I
20 slXricp^G) x(5vog 6 K pd6LV ^sv sxov L6riv tfj i7tLcpavsC(x
Tov ^xT^iiatog, vTpog ds tfj d^tb tov E xsvtQOv ijtl [iCav
TtXsvQccv tov 7Cokvyo3vov xad^stc) riy^svrj. dsLxtsov^ oti
K xcovog l'6og i6tl tc5 7tSQLSxo^svG) ^xrj^atL 6vv toj
xcovG) ta AEF.
2. M] AMF. 4. Zs' F; (la Torellius. 9. t^] Nizze;
T7JV F, uulgo. 21, T^] Nizze; tijv F, uulgo. 23. nsQiexo-
(iBvco] nQOSLQr)(isv(p Nizze. cxT^ficiti] T(irj(icctL F; cori. ed. Ba-sil.; „figurae dictae" Cr.
DE SPHAERA ET CYLINDRO 1. 157
ficiei figurae, minorem esse radio circuli M. itaque
constat, circulum M maiorem esse superficie figurae
[Eucl. XII, 2].^
XXXVIII.
Figura segmento^) inscripta per superficies conicas
comprehensa una cum cono basim eandem habenti,
quam figura, uerticem autem centrum sphaerae aequa-
lis est cono basim habenti superficiei figurae aequa-
lem, altitudinem autem lineae a centro sphaerae ad
latus aliquod polygoni perpendiculari ductae aequalem.
sit enim sphaera, et in ea circulus maximus, et
segmentum ABF minus dimidia parte circuli, et cen-
trum E. et segmento ABF inscribatur polygonum
[aequilaterum] ^), cuius latera paria sint numero prae-
ter lineam AFj eodem modo, quo supra, et manente
linea BE circumuoluatur sphaera*) et efficiat figuram
per superficies conicas comprehensam, et in circulo
circum diametrum AF descripto conus construatur
uerticem habens centrum. et sumatur conus K basim
habens superficiei figurae aequalem, altitudinem autem
lineae a centro E ad latus aliquod polygoni perpen-
diculari ductae. demonstrandum est, conum K aequa-
lem esse figurae comprehensae ^) una cum cono AEF.
1) In liac quoque propositione desideratur significatio, seg-mentum minus esse hemisphaerio ; u. p. 153 not. 2.
2) Sc. iXdaGovt rj^ia^pcciQiov (u. lin. 13), quae uerba addiuoluit Nizzius; sed u. p. 153 not. 2.
3) Desideratur ante ccQrionXsvQov lin. 15: taoTclsvQov ts xat,
quod coniectura addit Nizzius; sed u. p. 14$ not. 2.
4) Debebat esse: nsQLSvsxQ^slg 6 nvyiXog siue nsQisvsx^svTo inLnsdoVf iv cp o xs xvxXoj xat xo noXvymvov (lin. 16).
5) jrg^igjjo/xsVci) lin. 23 sc. vno rmv kcovlkoov inicpavsioaVj
158 nEPI S<^AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.
avayeyQd(p^co6av dr} xal ocwvol aito rcoi/ Kvoikcov
tdiv ^e^l dia^ezQOvg tag ®H, ZA xoQV(priv exovteg
tb E 6rj^etov. ovxow 6 ^iev HB®E Qo^^og ate^ebg
_ffl'6og e0tl K(6v(py pv 7] ^ev
Pcc0ig l'6rj e6tl trj eTCKpaveCci
tov HB0 x(6vov, tb vtl^og
\jr de tfi anb roi5 E e%l trjv
I HB dyo^evrj xad^etco. tb de
TCeQiXet^^a t(> TCeQLexo^evov
10 \^ / vTcb trjg eTCL^paveiag trjg ^e-
ta^v t^v 7CaQalXrik(X)v ejcc-
Tcedcov tcov Tcatd tdg H®, ZA xal t(DV xovltccov
Tcov ZEA^ HE& i'6ov e6tl xcovGiy ov rj ^6Lg ^ev
e6tLV L6ri tfi e7CL(paveL(^ tfj ^eta^v tcov TCaQakXriXcov eiCL-
15 TCedcov t£v xatd tdg H&^ ZA^ vi^og 8\ trj dnb tov EeTcl tr]v ZH xad^etco i^y^evr]. Tcdhv to TceQcket^^a tb
TCeQLeio^evov vtco te trjg eTCL^paveCag trjg ^eta^v tcov
%aQaXkrilcov ejCLTCedcov tcov xatd tdg ZA^AF xal rcoi/
xcovLxcov toov AEr, ZEA l'6ov e6tl kcovg), ov rj fiev
20 ^d6Lg l'6rj e6tL ty e7CL(paveCcc tfj ^ieta^v tdov icaQaXXri-
Kcov eTCLTCedcov zcov xatd tdg ZA, AF, vtpog de tfj
dicb Tov E ijcl trjv ZA xa%et(p rjy^evr}. ol ovv eLQrj-
^evoL xoovoL l6ol e6ovtaL t(p 6%ri^atL ^etd Toi) AETxcovov xal vrpog fiev l'6ov e%ov6LV tfj dicb tov E ejcl
25 ^Cav jcXevQdv tov jcoXvyoovov xad^etco rjyiievrj, tdg de
1. dri] scripsi; 3s F, uulgo. 2. tdg] rris FC*. @H,ZA]scripsi; 0Z, KI FC*; H&, ZA B* ed. Basil., Torellius. 3.
OKOvv F. 9. nsQiXsi(jL[ia] scripsi; nsQiXTififia F, uulgo. 13.
ZEz/ F, corr. Torellius. lori FBC*. 15. tij] trjv F. 16.
nsQiXstfi(ia] scripsi; nsQiXrjfipLu F, uulgo. 19. ZEJ F, J in
rasura. 23. fistci] scripsi; yica [ista F, uulgo.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 159
construantur igitur etiam in circulis circum dia-
metros @Hy ZA descriptis coni uerticem habentes
punctum E. itaque rhombus solidus HB®E aequalis
est cono, cuius basis aequalis est superficiei coni HB&,altitudo autem lineae ab E ad HB perpendiculari
ductae [prop. 18]. spatium autem relictum^) com-
prehensum per superficiem inter parallela plana in lineis
H&^ ZA posita et per superficies conicas ZEAj HE®aequale est cono, cuius basis aequalis est superficiei
inter plana parallela in lineis H0j ZA posita, altitudo
autem lineae ab E ^>d ZH perpendiculari ductae [prop.
20]. rursus spatium relictum^) comprehensum per
superficiem inter plana parallela in lineis ZA^ AFposita et per superficies conicas AEF^ ZEA aequale
est cono, cuius basis aequalis est superficiei inter plana
parallela in lineis ZA, AF posita, altitudo autem
lineae oh E Q.d ZA perpendiculari ductae [prop. 20].
coni igitur, quos commemorauimus, aequales erunt
figurae una cum cono AEF et altitudinem habent
aequalem lineae ab E ad latus aliquod polygoni per-
pendiculari ductae, bases autem superficiei figurae
quod transscriptoris neglegentia omissum est, ut inLtpavEiavpost HoyvLyiav p. 158 Hn. 12, 19.
1) Productis lineis ZH, @A, donec concurrunt, et subtracto
rhombo his hneis productis et lineis HE, ©E comprehenso.
2) Productis Hneis ZA, AF, donec concurrunt, et subtracto
rhombo his lineis productis et lineis ZE, EA comprehenso.
160 nEPi n^AiPAi: kai ktainapot a'.
pdasLg laag tfj ijtcipavsLcc tov AZHB®Ar 6xriyLarog.
sxei 8e xal 6 K xcoi/off t6 avxo vtj^og Tial ^aGiv l'6rjv
tfj BTtKpaveCa xov Cxri^axog. l'6og aQa ioxlv 6 Kcovog
xotg eiQrj^evoLg TccovoLg. ot de etqri^evoL acivoL ideCx-
5 d^rj^av l6ol xa 0%riiiLaxL xal xa AEF X(6vc3. xal 6
KccQa xojvog i'6og i6xl xa xe OxrniaxL xal tc5 EArxcovc).
nOPISMA.
^Ex drj xovxov cpaveQOV^ oxl 6 xcjvog 6 ^d^LV ^ev
e%Giv xov Kvxlov, ov ri ix xov xevxQov tOr] i6xl xfj
10 aTtb xrjg xoQvg)rjg xov x^i^^axog ijcl xrjv TCeQLcpeQeLav
rjy^evrj xov xvxlov, og ioxL pd6Lg xov x^ri^axog, v^og
de l'6ov xrj ix xov xevxQov xijg GtpaCQag^ fieC^av icxl
xov iyyeyQa^^evov G^^^^axog 6vv xa xojv(p. 6 yccQ
TCQoeLQTj^evog xcovog ^eC^cov i6xl xov xcovov xov i'6ov
15 Tto 6%riiLaxL 6vv tc5 X(6vc) X(p ^d6Lv [lev e%ovXL xrjv
pd6LV xov x^T^^axog, xrjv de xoQvcprjv JtQog xa xevxQC),
xovxe6XL xov xrjv pd6Lv ^ev e^ovxog t^rjv xfj iitL^pa-
veCa xov 6%riiiaxog^ vipog de xfj dno xov xevxQov iitl
^Cav TtXevQccv xov JtoXvycovov xad^exc) rjy^evrj' 7] xe
20 yccQ pd6Lg xijg ^d6eog ^eC^ov i6xC [dedeLXxaL yccQ
xovxo^, xal x6 vtl^og xov vifjovg.
"E6XO 6(paLQa, xal iv avxfj ^eyL6xog xvxXog 6 ABF,xal x^rj^a eXa66ov rj^LXVxXCov, o djtoxe^vSL rj AB,
25 xal xevxQOv xo z/* xal dito xov xivxQOv xov ^ ijtl
xd Ay B i7tei,ev%%-o6av aC A/i^ ^B, xal TteQl xov
1. tWs] per comp. F. om. F; corr. Torellius. 4. xo-
voig F. 7. noQiG^ia] F mg. fol. 15. rc5 ^daiv^ tov ^aaiv
F; corr. B mg.*, ed. Basil. ^xovxi] sxovtog F; corr. B mg.*, ed.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 161
AZHBSAF aequales. sed etiam K conus eandem
altitudinem et basim superficiei figurae aequalem habet.
itaque aequalis est conis, quos commemorauimus; bos
autem figurae cum cono AEF aequales esse, demon-
stratum est. itaque etiam conus K figurae et cono
EAF aequalis est.
COROLLARIUM.
Hinc iam adparet, conum basim habentem circu-
lum, cuius radius aequalis sit lineae a uertice seg-
menti ad ambitum ductae circuli, qui basis sit seg-
menti, altitudo autem radio sphaerae aequalis, maiorem
esse figura inscripta cum cono. ille enim conus maior
est cono aequali figurae una cum cono basim habenti
basim segmenti, uerticem autem ad centrum positum,
h, e. cono basim habenti superficiei figurae aequalem,
altitudinem autem aequalem lineae a centro ad latus
aliquod polygoni perpendiculari ductae [prop. 38].
basis enim basi maior est^) [prop. 37], et altitudo
altitudine.
XXXIX.
Sit sphaera, et in ea circulus maximus ABF, et
segmentum minus semicirculo linea AB abscisum, et
centrum A. et a centro ^ ad ^, J5 puncta ducantur
AA, ABj et circum sectorem inde ortum circumscri-
1) didEL-AXdL yaq tovto lin. 21, quae uerba inter se con-iuncta disiungunt, delenda censeo.
Basil. 17. Toi; fqv] scripsi; trjv F, uulgo. 22. X^' F, /ti^'
Torellius. 24. t(i7Jnu] scripsi; tstfii^a&a) F, uulgo; „et sece-tur in eo portio" Cr.
Archimedes, ed. Heiberg. I, 11
162 IIEPI 2$AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
yevYid^ivta roftea TtSQiysyQcc^pd^co TCokvyovov xal Tts^l
avto KvxXog. £%sc drj t6 avto xsvtQOv rc5 ABF zv-
xXg). sav drj ^svov6i]s trjg EK tcsqlsvsx^sv tb jcoXv-
ycavov sig tb avtb Tcdkiv aTCozataOtad'^^ 6 JCSQcysyQafi- m5 fisvog TiVTiXog xata STCLCpavsCag Oi6d"rJ0stat ^cpatQag, xal I
ai ycovtai tov jcoXvycovov xvxXovg yQdipov^iv ^ (6v aC*
did^stQOi s7Ci^svyvvov0iv tag yovCag rov icoXvycctvov
ov0ai JcaQdlXrjloi trj AB' td ds Orj^sta, xad'^ a aic-
tovtai roi) iXd60ovog kvxXov ai tov TCokvyoavov tcXsv-
10 QaC^ xvxXovg yQdtpovdv sv tfj iXd66ovi 6(paCQa, cov
did^stQOi s6ovtai at i7Ci^svyvvov6ai tdg dcpdg TCa^dX- '
XrjXoi ov6ai tfj AB' ai ds JcXsvQal xatd xcovixdsv ijCi-
cpavsicov oi6d"^6ovtaiy xal s6tai tc TCSQiyQacpsv ^x^^^a
VTcb xcovixcjv iTCiCpavsidov 7CSQiS%6^svov ^ ov pd6ig 6
15 jtSQi trjv ZH xvxkog' rj drj roi» stQrj^ivov 6%riiiiatog
iTCicpdvsia ^sC^cjv i6tl trjg rot) iXd66ovog t^iq^atog
ijCicpavsCag, ov ^d6ig 6 tcsqI trjv AB xvxXog.
r[i%^Gi6av yaQ icpaTCto^svac at AM, BN. xatd xo-
Vixrjg ccQa ijCicpavsCag Oi6%"ri6ovtai ^ xal tb 6xrj^a tb
20 ysvrjd^sv vTcb rov TCoXvydvov rov AM@EANB ^sC-
^ova s^si trjv iTCicpdvsiav tov t^r^iatog tr]g 6cpaiQag^
ov pd6ig 6 tcsqI didfistQOv trjv AB xvxXog [TciQag
yaQ iv svl iTCiTcida) ro avro s%ov6iv tbv tcsqI did-
^stQov trjv AB xvxXoVj xal JcsQiXa^pdvstai tb t^^^^a m
25 vTcb tov 6xrifiatog]. dXX' rj ysysvrj^ivrj vTcb tov ZM^ AHN iiCicpdvsia xcavov ^sC^cdv i6tl trjg ysysvrj^ivrjg ™
1. ysvvT^&svTcc F; corr. Torellius. 11. sniyvvovaaL F. 13.
Tt] scripsi; to F, uulgo 14. tiovlkcov F. 15. dry] scripsi;
3e F, uulgo. 20. A om. F, corr. Torellius. 21. ?|ft (18l-
^ova ed. Basil., Torellius. 22. ^vyiXog iazL ed. Basil., Torel-
lius. 23. t6 avTo'] scripsi; tco avTco F, uulgo. 25. ysysvri-
fifVT?] primum s suprascriptum manu 1 F.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 163
batur polygonum [aequilaterum, cuius latera paria sint
numero]^), et circum id circulus. is igitur idem cen-
trum habebit, quod circulus ABF [u. Eutocius]. iam
si manente linea EK polygonum circumuolutum in
eundem locum restituitur, circulus circumscriptus per
superficiem spbaerae feretur, et anguli polygoni circu-
los describent, quorum diametri angulos polygoni iun-
gunt parallelae lineae AB. sed puncta, in quibus la-
tera polygoni circulum minorem contingunt, circulos
describunt in sphaera minore, quorum diametri erunt
lineae puncta contactus iungentes parallelae lineae AB.latera autem per superficies conicas ferentur, et orietur
figura circumscripta per superficies conicas compre-
hensa, cuius basis erit circulus circum ZH descriptus.
est igitur superficies buius figurae maior superficie
segmenti minoris, cuius basis est circulus circum ABlineam descriptus. -
ducantur enim contingentes lineae AM, BN. ita-
que per superficiem conicam ferentur, et figura ex po-
lygono AM@EANB orta babebit superficiem ma-
iorem segmento sphaerae, cuius basis est circulus
circum AB lineam descriptus [Aa^/3. 4 p. 10].
sed superficies conica ex lineis ZMj HN orta
1) Archimedes uix omiserat: laonlBVQov zs yial uqxvonXiv-Qov \m. 1.
11
164 nEPi r^AiPAs kai ktainapot a'.
v7to tmv MA, NB' rj ^ev yccQ ZM trjs MA fiei^cov
i6tL [v7c6 yccQ OQd^rjv vTtotetvsL], rj de NH trjg NB.otav ds tovto
fiy^Si^ov ylvetcci tj iTtKpdvsia tijg ija-
(pavsLag \tavta yccQ dsdsLKtai iv totg Xi^^^a^c]. dijXov
5 ovv, oti Kal tov TCSQLysy^a^^ivov ^xriiiiatog rj im(pd-
vsia ^sCt^Giv s0tl trjg tov t^i^fiatog iTtKpavsCag trjg
ild06ovog 0(paCQag.
nOPIEMA.
Kal (pavsQOv, ott r} iitKpdvsia rov TtsQLysyQafi^i-
10 vov ^xriiiatog tov nsQl tbv to^ia lerj i6tl xvxXc), ov
rj ix tov xivtQOv dvvatai to TtSQLSxofisvov v%6 ts
^idg TtKsvQag tov noXvyoovov xal tmv im^svyvvovdoiv
naoSv tdg ycovCag tov itoXvycovov xal stv trjg rj^tOsCag
trjg ^diSsog tov SiQrj^ivov JtoXvycavov. tb yaQ vTtb
15 tov TtoKvyoavov TtsQcysyQa^^ivov ^xri^a iyysyQainiivov
i6zlv Sig tb t^rj^a trjg ^sC^ovog 6(paCQag [tots de
drjlov did tb TtQoysyQa^^ivov].
r
Tov TtsQiysyQa^^ivov ^xt^iicctog ta to^st rj iia-
20 cpdvsia ^sC^cov i6tl tcvk^ov, ov rj ix rov xivtQov l'6rj
ictl tfj aTtb trjg xoQvcprjg tov t^rj^atog rjy^ivri inl
trjv TtsQicpsQSiav tov nvnXov, og iiSti ^dCig rox) t^rj-
^atog.
2. ydo] yivBxai per comp. F. 3. yivBtoci 17] B;yivBtoci
per comp. F; bgxi tj ed. Basil., Torellius. 4. Irjfiocat supra
scripto (i F. 8. noQiGficc om. F. 13. sti f^g] scripsi: Bmtrjg F, uulgo; tijg Bti ed. Basil., Torellius. 14. to yocQ vno tovTtoXvyatvov TtBQiysyQafifiBvov] scripsi {TtBQiyByQocfifiBvov pro syyB-
yQoc(i^BVOv iam Barrowius); ByyByQa^ifiBvov F, uulgo; to yocQ
nBQLyByQa(i[iBvov Gxijfioc tw tofiBt iyyByQocfifiBvov «yjjijfta iatLV
(lin. 15) Torellius. 16. rdrs] scripsi; tovto F, uulgo. Sb]
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 165
maior est superficie coni ex lineis Mj4, NB orta. nara
ZM> MAet
NH> NB[Eucl.III, 18;I, 19].
quod cum ita sit, su-
perficies superficie
maior erit [u. Euto-
cius]. adparet igitur,
etiam superficiem
figurae circumscrip-
tae maiorem esse
superficie segmenti
sphaerae minoris.
COROLLARIUM.
Et adparet, superficiem figurae circum sectorem
circumscriptae aequalem esse circulo, cuius radius qua-
dratus aequalis sit rectangulo, quod continetur uno
latere polygoni et omnibus lineis angulos polygoni
iungentibus et praeterea dimidia basi polygoni, quod
commemorauimus. nam figura circumscripta ex poly-
gono orta segmento sphaerae maioris inscripta est
[tum u. prop. 35].
XL.
Superficies figurae circum sectorem circumscriptae
maior est circulo, cuius radius aequalis est lineae a
uertice segmenti ad ambitum ductae circuli, qui seg-
menti basis est.
8ri Nizze. 18. Xr}' F, fiS' Torellius,
syllabae ig F.22. §acig cum comp.
166 nEPI 2<^AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.
15
£6t(X) yocQ atpcctQa, xal ^syiatog zvxXos iv avtfj 6ABr^, xal JcsvtQov to E' xal tcsqI tbv tofisa nsQi-ysyQdipQ-Gi tb AKZ TtoXvyavov, xal Hsqi avtb xvTckog
^SQiysyQdfpd-G)y xal ysysvi^ad^co axrjna, xad^djcsQ JtQo-
5 tSQOV xal s6tG) KVKlog N, ov ri sx tov xsvtQOVlaov dvvatai tS TtSQLsxo^svG) vito ts fitdg itUvQagtov Ttolvycavov xat jtaaSv tcov STtL^svyvvovacov 6vvtfj rj^tasta tijg KA. dUd tb stQrj^svov xgjQ^ov lOoviatl rc5 vitb tijg M0 xal ZH, o drj sattv vifjog tov
10 t^ri^atog trjg ^SL^ovog 6q)aLQag. tovto yaQ itQods-
dsLxtat. tov aQa N nvxlov rj sk tov xsvtQov laovdvvatai ta V7tb M@, HZ itsQLSxo^svG). dU" ij ^sv
Z ^ HZ * ^SL^ov iatl tijg
^a[o sGtLv vil^og tov
sXdaaovog t^ij^atog].
idv yaQ STtL^sv^G^^sv
\trjv KZ, sOtaL TtaQdX-
Irilog tfi /lA. s6tLV ds
xal rj AB tfj KA TtaQ-
dklriXog, xal xoLvrj rj
ZE. o^OLOv ccQa tb
ZKH tQLycovov tcj
^AS tQLycovG). xaC
i6tLV ^SL^CDV ?} ZKtrjg A/1, ^SL^cov aQa
xal rj ZH trjg AtSj. l'6r]
ds rj M& trj dLa^stQG)
ty r^. sdv yaQ iitLlsvx^fi rj EO, sitsl l'6rj s6tlv
rj ^sv MO tfj OZ, r ds 0E tfj EZ, TtaQdUrjlog
1. iv ccvty] scripsi; in avtrjg F, uulgo. 2. AdSr To-rellius. tofiscc] AJBE rofisa Nizze. 3. AZK Torellius.
20
25
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 167
sit enim sphaera, et in ea circulus maximus ABFZly
€t centrum E. et circum sectorem circumscribatur
polygonum AKZ, et circum id circulus circumscriba-
tur, et efficiatur figura, sicut antea. et sit circulus iV,
cuius radius quadratus aequalis sit rectangulo, quod
continetur uno latere polygoni et omnibus lineis [an-
gulos]^) iungentibus cum dimidio lineae KA, hoc
autem spatium aequale est rectangulo, quod contine-
tur lineis M0, ZH, quae altitudo est segmenti sphae-
rae maioris. hoc enim antea demonstratum est [prop.
22; Eucl. VI, 16]. itaque radius circuli N quadratus
aequalis est M@xHZ. sed HZ> AS^)'^ (nam si
ducimus lineam KZ, parallela erit lineae A A. sed
etiam linea AB parallela est lineae KA, et communis
est linea ZE. quare triangulus ZKH similis est
triangulo AAS [Eucl. I, 29].
[erit igitur ZKiA^^ZHiAS (Eucl. YI, 4)].
sed ZK > AA', quare etiam ZH> Ag) et MS = FJ(nam si ducitur linea^O, erit EO linea parallela lineae
1) De omisso uerbo ycoviccg u. index.
2) Sequentia uerba lin. 14— 15 iam Mzzius deleuit, nec du-bitari potest, quin transscriptori debeantur. addita sunt exlin. 9 ad demonstrandum HZ > J^, sed et re et uerbis praua(debebat esse: rov x[n^iiatog zijg sXdoGovog acpccLQccg). etiam alia
in hac propositione subditiua uideri possint, sed cum ex Eu-tocio totam demonstrationem ut subobscuram repetenti, adpa-reat, eam aliquatenus turbatam fuisse, nihil mutaui.
7. iTti^svyvvovGoov] 87tL^svyvvovacav xccg yoovLccg ed. Basil., To-rellius, Cr. (non BC*). 9. o] rj Torellius. 12. HZ] NZ F.
14. o] ^ Torellius. 16. STa^sv^ay^isv] scripsi; sns^sv^ojfisv F,
uulgo- 28. EO] EH F; corr. Torelliiis.
168 HEPI S<I>AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
ccQa B6tlv 71 EO tfi MS. dmXaCia ccQa i6tlv ri
M0 trjg EO. aXka xal ri F^ 8i7tla6ia i6tlv tijg
EO. l'0r} ccQa r} M® trj jTz/. t6 da vtio tmv Fz/,
^S ^^ov ta aTtb trjg A^, r\ aqa tov 6%riiiLatog tov
h KZA i7ii(pdv6La ^sl^cov i6tl rov xvx^ov, ov rj ix tov
TcivtQOv l'6ri i6tl tfj djto trjg xoQvcprjg tov t^i^^atog
ijtl trjv 3t£Qi(p£Q£iav rjy^ivrj xov kvk^ov, og i6tL ^d6Lg
tov t^riiiatog^ rov 7t£Qi dLd^£tQov tr^v AB. 6 yccQ NKvxXog l'6og i6tl tfj iTtLfpav^Ca rov Tt^QLy^yQa^^ivov
10 7t£Ql tov to^ia 6xriiLatog,
nOPISMA a.
rCv^tai d£ xal to 7t£QLy£yQa^^£vov 6xrj^a 7t£Ql tbv
to^ia 6vv r« koovg), ov pd6Lg 6 7t£QL did^^tQOv trjv
KA KVKlog^ KOQVcpr] df ro xivtQOv^ l'6ov xcovg), ov rj
15 ^£v pd6Lg l'6rj i6tl tfj i7tL(pav£La tov 6%ri^atog^ vii^og
df tfi d7to tov xivtQOv i7tl tr^v 7tl£VQdv xad-itc) rjy^ivy
[t] drj L6ri i6tl r^ ix rov xivtQOv trjg 6(paiQag]. tb
yaQ 7t£QLy£yQa^^ivov 6%ri^a rc5 to^£L iyy^yQa^fiivov
i6tlv £Lg to t^rj^a trjg ^^L^ovog 6(paLQag^ rjg xivtQOv
20 i6tL tb avto \pr{kov ovv tb X£yb\i£vbv i6tLV ix tov
7tQoy£yQa^^£vov].
nOPISMA ^.
^Ex tovtov &£ (pav£Qbv^ btt ro 7t£QLy£yQa^ii£vov
6%rj^a 6vv ta xcova ^£L^bv i6tL xcovov rot» fid6Lv iilv
25 £%ovtog tbv xvxXov, ov ri ix tov xivtQOv l'6ri i6tL tfj
aTtb trig xoQV(prjg rov t^rjfiatog trjg iXd66ovog 6(paCQag
3. ttqa\ scripsi; S6ttv F; uqa sgxCv B, ed. Basil., Torellius.
11. noQiGfice a'] Xd'' infra scripto ^ F; ^s' Torellius. 12. 8s]
scripsi; diy F, uulgo. 14. i'6ov] i6 supra scripto o F. 22.
7e6Qi6(ia §' om. F, mg. fo|; f''s' Torellius.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 169
Me [Eucl. VI, 2], quia MO ^ OZ [Eucl. III, 3] et
0E == EZ. erit igitur M® = 2EO^) sed etiam
r^= 2E0. itaqueM0=rz/). sedrJx^S=AzJ\^)superficies igitur figurae KZA maior est circulo, cuius
radius aequalis est lineae a uertice segmenti ad amb-
itum ductae circuli, qui basis est segmenti, h. e. cir-
culi circum diametrum AB descripti. nam circulus
N aequalis est superficiei figurae circum sectorem
circumscriptae [prop. 39 TtoQt^^a p. 164].^)
COROLLARIUM L
Erit autem etiam figura circum sectorem circum-
scripta una cum cono, cuius basis est circulus circum
KA descriptus, uertex autem centrum, aequalis cono,
cuius basis aequalis est superficiei figurae, altitudo
autem lineae a centro ad latus perpendiculari ductae.*)
nam figura circum sectorem circumscripta inscripta est
segmento sphaerae maioris, cuius centrum idem est
[tum u. prop. 38].
COROLLARIUM IL
Hinc autem adparet, figuram circumscriptam una
cum cono maiorem esse cono basim habenti circulum,
cuius radius aequalis sit lineae a uertice segmenti
sphaerae minoris ad ambitum ductae circuli, qui
basis est segmenti, altitudo autem radio [sphaerae
1) Cfr. Zeitschr. f. Math. u. Phys., hist.-litt. Abth. XXIVp. 178.
2) Ducta enim linea AF angulus JAT rectus erit (Eucl.
ni, 31); tum u. Eucl. VI, 8 noQiG^a.
3) Tum cfr. Eucl. XII, 2.
4) Sequentia uerba, qnae prorsus abundant (lin. 17), Ar-chimedis ipsius non sunt.
170 nEPI 2$AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.
sjtl f^v 7iSQL(p£Q£Lav rjy^ievr] rov kvxXov, og i6tt ^d6cg
rot) r^rj^arogy v^og dh ry ix rov otivrQOv. 6 yccQ
l'6og xojvog rc5 (5%ri^ari Ovv ra xcovc) rrjv ^sv ^doiv
^SL^ova s%sc rov SLQrj^svov xvtcXov, rb 8s vil^og t6ov
6 rri ix rov xivrQov rrjg iXdcoovog 6(paCQag,
fia,
"Ecro TidXiv 6(patQa, %a\ iv avrfj ^iyierog xihcXog,
xal r^rj^a ska0(5ov rj^LXvxXLOV ro ABF^ xal xivrQov
ro z/' xal stg roi/ ABF ro^ia iyysyQd^pd^o nokvyovov
10 aQrLoycovov, xal rovro o^olov TtSQLysyQdcpd^co, xal TtaQ-
dlXrjXoi s0ra)0av ai TtlsvQal ratg TtlsvQatg' xal xvxkog
TtsQLysyQdcpd^G) TtSQl rb TtsQLysyQa^^ivov TtoXvycavov. xal
b^OLCjg rotg TtQorsQOv ^svov6rjg rrjg HB TtSQLSvsyp^iv-
rsg 01 xvxXoL TtoLsCroGav 6%ri^ara vjtb xcavLxmv sitL-
15 (pavsLcov TtSQLSxo^sva. dsLxriov^ or^ r] roi) itsQLysyQa^-
^ivov 6xi]^arog i7tL(pdvsLa TtQbg rrjv rov iyysyQa^^iivov
^xrj^ccrog i7tL(pdvsLav dLTtXa^Cova Xoyov s^sl, ri rj TtXsvQa
rj rov TtSQLysyQa^^ivov TtoXvycovov itQbg rrjv TtXsvQccv
roi) iyysyQa^^ivov TtoXvyoivov^ rb ds 6%rj^a 6vv ro
20 XC3VC) rQL7tXa6Cova Xoyov sxsl rov avrov.
s6tG) yccQ xvxXog 6 M, ov tj ix rov xivrQOv l'6ov
dvvaraL rc5 V7t6 rs ^Lccg TtXsvQccg rov 7tsQLysyQa^^ivov
TtoXvycovov xal 7ta6(ov rov i7iL^svyvvov6(ov rdg yo-
vCag xal srL rrjg r]^L6sCag rrjg EZ. 's6raL drj 6 M25 xvxXog l'6og rfj i7tL(pavsC(^ rot» 7tsQLysyQa^^ivov 6%ri-
2. di] ds l'6ov Torellius. 6. iicc om. F; fi^' Torellius.
10. ccQTLoydviov Nizze. tovrai] scripsi; tovtov F, uulgo.
16. syysyQafifisvov F, ut uidetur, sed in rasura. 17. t| iJ]
scripsi; ?? F; rj uulgo. 21. xvxlos o M] scripsi; 6 M nvnXos
F, uulgo.
. DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 171
minoris]. nam conus aequalis figurae una cum cono
basim maiorem habebit circulo, quem commemoraui-
mus [prop. 40], altitudinem autem aequalem radio
sphaerae minoris [prop. 40 coroll. 1] [tum u. Irj^^. 1
p. 80].
XLI.
Sit rursus sphaera, et in ea circulus maximus, et
segmentum semicirculo minus ABF^ et centrum z/.
et sectori^^Finscribatur polygonum [aequilaterum] ^),
cuius latera paria sunt numero, et ei simile polygo-
num circumscribatur, et latera eorum parallela sint,
et circum polygonum circumscriptum circulus circum-
scribatur. et eodem modo, quo antea, manente linea
HB circumuoluantur circuli [cum polygonis]^), et ef-
ficiant figuras per superficies conicas comprehensas.
demonstrandum est, superficiem figurae circumscriptae
ad superficiem inscriptae duplicem rationem habere,
quam latus polygoni circumscripti ad latus inscripti,
figuram uero [circumscriptam] una cum cono [ad figu-
ram inscriptam una cum cono]^) triplicem rationem.
sit enim circulus M, cuius radius quadratus aequa-
lis sit rectangulo, quod continetur uno latere polygoni
circumscripti et omnibus lineis angulos iungentibus et
praeterea dimidio lineae EZJ^) erit igitur circulus M1) Archimedes scripserat lin. 10: laonXsvQov rs xal ccqtio-
nlsvQov pro dQTioycovov. cfr. p. 149 not. 2.
2) Tale aliquid Archimedes addiderat.
3) Lin. 19 putanerim Archimedem scripsisse: to Se tcbqi-
ysyQa(iiisvov Gx^fjfia cvv rw yicova} TCQog xo syysyQa(i[isvov avvta timvcp.
4) Debebat esse Hn. 23: yiccl rijg l'ar}g ndaaig xatg sni^svy-vvovaaig xag ycovCag %al sri tij r}(ii,csLoc trjg EZ.
172 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
^atog. eiXrjq)d^(o de xal 6 N KVKkogy ov rj sx roi; kev-
tQOv l'6ov dvvatav rc5 TteQLCxo^evG) vtco te ^iag nlsv-
Qcig tov iyysyQa^^evov TtoXvycovov xal 7Ca6mv rc5v
i7tL^evyvvov0oov tag ycoviag 6vv tij rj^ieeoa tijg AV,5 e6taL drj xal ovtog l'6og trj im(paveia rov iyyeyQa^-
^evov 6%riiiatog. «AAa ta eiQrj^eva %coQia i6tl TtQog
akXriXa^ cjg ro ccTto trjg EK itXevQag TtQog tb aito trjg
AA TtXevQccg [nal mg aQa to TtoXvycovov TtQog to 7to-
Xvycavov, 6 M xvxXog TtQog tov N xvxXov]. cpaveQov
10 ovv^ oti xal rj iTticpaveia tov neQtyeyQafi^vov 6%^-
^atog TtQog trjv iTticpdveiav tov iyyeyQafi^evov 6xri-
^atog di7tXa6iova Xoyov e%ei, 7]7teQ rj EK ^tQog AA[tbv de avtov^ ov xal ro 7toXvycovov\
1. 8e] scripsi; 8ri F, milgo. JV] M F; corr. Torellius.
12. triv AA ed. Basil., Torellius (non BC*).
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 173
aequalis superficiei figurae circumscriptae [prop. 39
coroll.]. sumatur autem etiam circulus iV, cuius ra-
dius quadratus aequalis sit rectangulo, quod contine-
tur uno latere polygoni inscripti et omnibus lineis
angulos iungentibus ^) cum dimidio lineae AF. erit
igitur etiam aequalis superficiei figurae inscriptae [prop.
35]. sed spatia [rectangula], quae commemorauimus,
eam habent rationem, quam EK^ : AA^ [u. Eutocius].
adparet igitur^), etiam superficiem figurae circumscrip-
tae ad superficiem inscriptae eam habere rationem,
quam EK^ : AA^
1) Debebat esse lin. 3: xal z^g 1'arjg noccaig tatg sni^svy-vvovaatg tag ymvCag avv KtX. cfr. p. 171, not. 4.
2) Nam radii circulorum sint JB, r, et rectangula iis qua-dratis aequalia S, s; erit S : s = EK^ : AA'' = M^ :r^ = M: N
174 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
£0t(a jtdXiv xSvog 6 ^ pdoiv ^ev f^ov tc5 M l'6rjv,
vxpog 6s TYiv ix tov xevtQov tijg ikd^Oovog 6q)cciQag.
l'6og dij ovtog i^tcv 6 xSvog ro5 TCSQtyeyQa^^ivG) 6yri-
\iati 6vv ta X(6v(pj ov ^d6ig 6 tieqI tr^v EZ xvxlog^
5 X0QV<prj ds ro z/. xal £0t(o dXXog xcovog 6 O, ^deiv
li£V l'0rjv £%c!)v ta N, vipog ds trjv dito tov z/ ijcl
trjv AA xd^£tov riy^iivrjv. £6taL drj xal ovtog L'6og
t(p iyy£yQa^^iva) ^xrj^ati 6vv ta X(6v(p^ ov fid^tg 6
7C£qI did^£tQov trjv AF xvxXog, xoQV(prj d£ t6 z/ xiv-
10 tQOV. tavta yaQ Ttdvta TtQoyiyQaTCtai. xal [i7C£i]
i6tiVj cog rj EK TCQog trjv ix tov xivtQov trjg iXd6-
6ovog 6(paiQag^ ovtcag rj AA TCQog trjv dico rov xiv-
tQOV \tov z/] iTCi trjv AA xdd^^tov rjy^ivrjv^ id£ix^rj
d£ cog rj EK TCQog trjv AA, ovtcog rj ix tov xivtQOv
15 tov M xvxXov TCQog trjv ix tov xivtQOv tov N xv-
xXov [xal rj did^£tQog TCQog trjv did^£tQOv], £6tai aQa^
cog rj did^£tQog tov xvxXov^ og i6ti pd6ig tov tS, TCQog
trjv did^£tQOV tov xvxXov, og i6ti pd6ig tov O, ovtcog
t6 vipog tov S xcovov jc^og t6 vipog tov O xoavov
20 [o^OiOi aQa £i6lv ot X(DVOi]. 6 S aQa xcovog TCQog tbv
O xoavov tQi7cXa6i0va Xoyov f^ft, yj7C£q rj did^£tQog
XQog trjv did^£tQOv. (pav£QOV ovv^ ot^ xal tb 6%rjiLa
tb 7C£Qiy£yQa^^ivov 6vv t(p xcovcp 7CQbg tb iyy^yQa^-
[iivov 6vv Tc5 X(Xivci tQi7cXa6iOva Xoyov i%£iy rj7C£Q rj
25 EK TCQbg AA.
4. Mvx7. cum comp. ov F. 6. tc5] xo F. 8. rco] (prius)
TO F. 12. ovxiog] ov F. 14. ovtcds] per comp. F, ut lin. 18.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 175
sit ^) rursus conus S basim habens circulo M aequa-
lem, altitudinem autem radium sphaerae minoris. hic
igitur conus aequalis est figurae circumscriptae una
cum cono, cuius basis est circulus circum EZ descrip-
tus^ uertex autem z/ [prop. 40 coroU. 1]. et sit alius
conus O basim habens aequalem circulo N, altitudinem
autem lineam a z/ puncto ad ^^ perpendicularem
ductam. erit igitur etiam hic aequalis figurae in-
scriptae una cum cono, cuius basis est circulus circum
j4r descriptus, uertex autem ^ centrum [prop. 38].
haec enim omnia antea scripta sunt. et [quoniam]^)
est, ut EK ad radium sphaerae minoris, ita AA ad
lineam a centro [z/] ad ^^ perpendicularem ductam
[u. Eutocius], demonstratum autem est, lineam EKSid AA eandem rationem habere quam radium circuli Mad radium circuli N [u. Eutocius] ^), erit igitur, ut dia-
metrus circuli, qui basis est coni S, ad diametrum cir-
culi, qui basis est coni O, ita altitudo coni S ad alti-
tudinem coni O. itaque ^ conus ad conum O triplicem
rationem habet, quam diametrus ad diametrum [^rj^ii. 5
p. 82 5 Eucl. XII, 12]. adparet igitur, etiam figuram
circumscriptam una cum cono ad inscriptam una cumcono eam habere rationem, quam EK^ -. AA^,
(Eucl. XII, 2); sed circulis M, N aequales sunt superficies
figurarum. uerba antecedentia delenda sunt; u. praef.
1) De uerbis antecedentibus u. praef.
2) Ex Eutocio adparet, Archimedem ipsum omisisse snstlin. 10 et xov d lin. 13.
3) Uerba sequentia lin. 16 ad idsLxd-r} lin. 13 parum apta(neque enim hoc usquam demonstratum est, nec omnino dediametris quidquam dictum) Archimedis non sunt, qui ex Eucl.
V, 15 tacite concluserat, diametros eandem rationem habere,quam radios.
176 nEPI S*AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.
navTog r^7]^aros ^cpccigag sXa60ovog r]^t6(paLQL0v
7] BitLfpavsia 167] iorl xvxXc), ov rj ix rov xsvrQov t6ri
icrl rfj aTto rrjg xoQvcprjg rov r^rj^arog eTtl rrjv tcsql-
5 (psQSiav riy^svri rov kvkXov^ og s6rc Pa6ig rov r^r]-
^arog rr]g 6(paCQag,
s6ra) 6(paiQa^ xal ^syi6rog iv avrrj xvxlog 6 ABF,'Aal r^rj^a iv avrfj sXa66ov rj^L6(pacQiov, ov ^d6Lg 6
TtSQL rrjv Ar xvxlog TtQog OQ^ag cHv rc5 ABF xvxl(p'
10 xal siXri^pd^ci} xvxlog 6 Z, oi rj ix rov xsvrQOv l'6r]
i6rl rfj AB' dst dst^aL, orL rj iitL^pcivsLa rov ABFr^riiiarog l'6ri i^rl ra Z xvxX<p.
SL yccQ ftrj, s6rco ^sl^ov rj iitL^pccvsLa rov Z xvxXov
xal slXricpx^G) rb /i xsvrQOv^ xal aTtb rov A iitl ra
15 A, r i7tL^svx^£t6aL ix^s^kri^d^Gi^av. xal dvo ^sysd^cov
dvL6ciiv ovrcav^ rrjg rs iitL^pavsCag rov r^ij^arog xal
rov Z xvxXov, iyysyQdcpd^cj slg rov ABF rofisa ito-
XvycDvov L^oTtXsvQov xal aQrLoycovLov, xal aXko rovro)
o^OLOv TtsQLysyQacpd^cj, S6rs rb JtsQLysyQa^fisvov TtQog
20 ro iyysyQa^^svov ild66ova koyov 'i%SLv^ rjjtSQ ri iitt-
(pdvsLa rov r^ij^arog rrjg 6(paCQag JtQog rbv Z xvxXov.
itsQLSvsi^^svrog df rov xvxXov, cjg xal TtQorsQOv, s6raL
dvo 6%rj^ara vTtb xcovlxcov iitLCpavsL^v TtSQLSxo^sva,
d)v rb ^sv TtsQLysyQa^^svov , rb ds iyysyQa^^svov
25 xal rj rov JtSQLysyQa^^svov 6xrj^arog iTttcpdvsLa JtQbg
rrjv rov iyysyQa^^svov s6raLy cog rb itSQLysyQa^^svov
TtoXvycovov TtQbg rb iyysyQa^^svov sxdrsQog yaQ rSv
Xoyov dLTtXd^Log i6rL rov, ov s^sl rj rov itsQLysyQa^-
1. ^' F; iiri Torellius. 9. rc5] xo FC*. 14. ta\ xo
FBC*. 18. Tovrw] xovxo F. 28.' ri om. F; corr. Torellius.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 177
XLII.
Cuiusuis sphaerae segmenti minoris hemispliaerio
superficies aequalis est circulo, cuius radius aequalis
est lineae a uertice segmenti ad ainbitum ductae cir-
culi, qui basis est segmenti sphaerae.
sit sphaera, et in ea circulus maximus ABF, et
segmentum in ea hemisphaerio minus, cuius basis sit
circulus circum AF descriptus ad circulum ABF per-
pendicularis. et sumatur circulus Z, cuius radius
aequalis sit lineae AB. demonstrari oportet^ super-
ficiem segmenti ABF aequalem esse circulo Z.
si enim aequalis non est, sit superficies circulo Zmaior. et sumatur centrum z/, et a z/ puncto ad Aj
r lineae ductae producantur. datis igitur duabus
magnitudinibus inaequalibus, superficie segmenti et
circulo Z, inscribatur sectori ABF polygonum aequi-
laterum, cuius latera^) paria sunt numero, et aliud
huic simile circumscribatur, ita ut polygonum cir-
cumscriptum ad inscriptum minorem rationem habeat,
quam superficies segmenti sphaerae ad Z circulum
[prop. 6 p. 22]. circumuoluto autem, sicut antea^ cir-
culo orientur duae figurae per superficies conicas com-
prehensae, quarum altera circumscripta erit, altera
inscripta. et superficies figurae circumscriptae ad su-
perficiem inscriptae eam habebit rationem, quam po-
lygonum circumscriptum ad inscriptum. utraque enim
ratio duplex est quam ea, quam habet latus polygoni
circumscripti ad latus inscripti [u. Eutocius]. sed
1) Archimedes scripserat uQrioTtXsvQOv lin. 18; cfr. p. 163not. 2.
Archimedes, ed. Heiberg. I. 12
178 nEPI S^AEPAS KAI KTAINAPOT A'.
^£VOV TtoAvycovov TtXsvQcc TtQog rrjv tov iyysyQa^^svov
TtXevQKV. aXXa ro JtSQtysyQa^^svov TtoXvycovov TtQog
to iyysyQa^fievov sXdaaova
Xoyov £%si, 7]7tsQ rj tov
slQfjfisvov t^T^^atog S7ti(pd'
vsia TtQog tov Z kvkIov.
^Si^cov ds s0tiv ri tov TtsQi-
ysyQa^^svov ^^rniatog sm-
(pdvsia trjg STtitpavsiag tov
10 \ / t^i^^atog. xal rj tov iy-
ysyQa^^svov ^iri^Latog im-
(pdvsia aQa ^isi^cov i6ti rov
Z xvkXoV OTtsQ ddvvatov. dsdsixtai yccQ rj siQrj^svrj
tov ^iriiiatog i7ti(pdvsia sXd66(ov ov6a tov trjXixovtov
15 xvxXov. — s6t(o TtdXiv 6 xvxXog ^sCt^ov trjg iiti^pa-
vsiag' xal o^Oicog TtsQiysyQd^pd^o xal iyysyQacpd^co
ofioia TtoXvycova' xal to TtSQiysyQa^^svov TtQog tb
iyysyQa^^svov iXd66ova Xoyov i%st(o tov, ov s%si 6
xvxXog TtQog trjv ijti^pdvsiav tov t^^^^atog. ovx aQa
20 iXd66cov r] imcpdvsia tov Z xvxXov. iSsix^rj 8s, cog
ovds ^sit^cov i6rj ccQa.
liy.
Kal idv ^Sit,ov riyii6(paiQi0v rj tb t^rj^a, b^oCcog
avtov r] iTtitpdvsia i6rj i6tl xvxXco^ ov rj ix tov xiv-
25 tQOv i6rj i6ti tfj djtb trjg xoQvcprjg iitl trjv TtSQicpsQSiav
rjy^ivrj rov xvxXov^ og i6ti ^d6ig tov t^rj^atog.
3. syyeyQccfiBvov F. 19. tfi-iqfiatog] Nizze; 6xi]^citog F,
uulgo. 20. sXdaGcov] Nizze; (ist^cov F, uulgo. 21. juft^cov]
Nizze; sXacccov F, uulgo. 22. (la F; fi&^' Torellius. 23.
ro] addidi; om. F, uulgo. 25. satL] satecL per comp. F; corr.
Torellius.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 179
polygonum circumscriptum ad inscriptum minorem
rationem habet^ quam superficies segmenti, quod com-
memorauimus, ad circulum
Z [ex hypothesi]. super-
ficies autem figurae circum-
scriptae maior est super-
ficie segmenti [prop. 39].
itaque etiam superficies figu-
rae inscriptae maior est cir-
culo Z. quod fieri non pot-
est. nam demonstratum est,
superficiem figurae ,quam
commemorauimus, minorem esse eius modi circulo
[prop. 37].
sit rursus circulus maior superficie. et eodem
modo, quo supra, polygona similia circumscribantur
et inscribantur. et circumscriptum ad inscriptum mi-
norem rationem habeat, quam circulus ad superficiem
segmenti [prop. 6 p. 22]. itaque^) superficies minor
non est circulo Z. demonstratum autem, ne maiorem
quidem eam esse. aequalis igitur.
XLIIL
Etiamsi segmentum hemisphaerio maius est, eodem
modo superficies eius aequalis est circulo, cuius radius
aequalis est lineae a uertice ad ambitum ductae cir-
culi, qui basis est segmenti.
1) Uix crediderim hanc demonstrationem totam ab Archi-mede omissam esse. conficitnr hoc modo. sit S superficies
segmenti, et o superficies polygonorum, P et p polygona.itaque ex hypothesi : P : p < Z : S ; sed P : p = : o (u. Eu-
12o*
180 nEPI S<E>AIPAS KAI KT AINAPOT A'.
10
60tG) yccQ 6(patQa, xal iv avrfi [ieyL6ros ycvxXos^
ocal voeiOd^G) rsr^rj^svi] BTtojtedG) OQd^a ra xara rrjv A^'xal ro ABd ekac^ov
sGrcy ri^iCfpaiQCov' xal
^ did^srQog ri BT TtQog
OQd-ag rfi Ad' xal ajto
rc3V jB, r STtl ro A STte-
t,Bv%^c)6av au BA, AF.
Y.ai f(?ra) o ^sv E xv-
xlog^ ov rj ix rov xiv-
tQOv l'6rj i6vl rfi AB, l
de Z KVTclog, ov rj ix.
rov xivrQOv l'6ri i6rl rfj
AF, 6 de H xvKkogj ov rj ix rov TcivtQOv l'6r] i6rl rfi FB.
15 Tcal 6 H KVTcXog aQa l'6og i6rl rotg dv6i xvxXoig rotg
E, Z. 6 ds H TcvTcXog i6og i6r\v oXrj rfj iiti^pavsia
rrjg 6(paiQag [iTtsidrjTtsQ sxariQa rsrQa7tXa6ia i6rl rov
jtsQi did^srQov rrjv BF ocvkXov], 6 ds E xvxXog i'6og
i6rl rfi iitKpavsCa rov ABzl r^rj^arog [didsixrai yccQ
20 rovto ijti rov iXd66ovog rj^i^cpaiQCov]' Xoiitog ccQa 6
Z xvxlog l'6og i6rl rf rov AF/I r^rj^arog iiticpavsCaj
o drj i6ri ^st^ov riiii6cpaiQCov.
Havrl ro(ist 6cpaCQag i6og i6rl xcjvog 6 ^d6iv ^sv
25 sxmv i6riv rrj iiticpavsCcx, rov r^ri^arog rrjg 6cpaCQag
roi; xard rov ro^ia, vijjog ds i'6ov rf ix rov xivrQOv
rrjg 6cpaCQag.
s6rG) 6cpatQa, xal iv avrfj fiiyi6rog xvxkog 6 ABA,
7. rav B, F] tcov F F; corr. ed. Basil.*; tov F B. .14.
FB] AB F, supra scripto F manu 2. 20. elccGaoavog F. 22.
I
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 181
sit enim sphaera, et in ea circulus maximus, et
fingatur secta plano perpendiculari in linea A^ po-
sito. et ABA segmentum minus sit hemisphaerio. et
diameter BT perpendicularis sit ad lineam A^. et
a punctis 5, F ad ^ ducantur lineae BA, AT. et sit
E circulus, cuius radius aequalis sit lineae AB, Zautem circulus, cuius radius aequalis sit lineae AT,H autem circulus, cuius radius aequalis sit lineae TB.
itaque circulus H aequalis est duobus circulis Ej Z.^)
sed circulus H aequalis est toti superficiei sphaerae
[Eucl. XII, 2; prop. 33], et E circulus aequalis est
superficiei segmenti ABA [prop. 42]. itaque qui re-
linquitur circulus Z, aequalis est superficiei segmenti
ATzly quod hemisphaerio maius est.
XLIV.
Cuiuis sectori sphaerae aequalis est conus basim
habens superficiei segmenti sphaerae aequalem, quod
in sectore est, altitudinem autem radio sphaerae ae-
qualem.
sit sphaera, et in ea circulus maximus ABjd^ et
tocius); itaque 0:o<Z:Sd:0:Z<<o:S, quod fieri nonpotest; nam o < S (prop. 36), sed > Z (prop. 40).
1) Nam J2" : Z : E = JBF^ : AV : AB^ (Eucl. XII, 2), et
cum angulus BAF rectus sit (Eucl. III, 31), erit
Br^ = Ar^ + JE2 (Eucl. I, 47);
tum u. Quaest. Arch. p. 48.
(iSL^ov] scripsi; fisL^av F, uulgo. 23.'ii8' F; v Torellins.24. §acL F.
182 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOr A'.
xal xsvtQov to r, xal xcovog ^doiv fihv excav tbv hv-
xlov tov l'6ov trj xatcc trjv AB/J TCeQicpiQBiav hci-
(pavsva, vil^os de l'6ov tfj BF. decKtaov, otv 6 tofisvg
6 ABFd l'6og i6tl rc5 svQrj^ivcy TtavG).
5 sv yccQ ^T], s6tG) lisv^mv 6 to^svg tov kcovov xal
%sv6%^G) 6 @ xcivog, olog stQrjtav. dvo drj ^sysd^av
dvv6c3V ovtov, tov ro^iog xal tov xcavov^ svQrj-
Od^coOav dvo yQa^iial av A, E, ^sv^ov ds rj A trjg E,
xal iXa66ova koyov i^ito rj A TtQog E, rJTCSQ 6 to-
10 jy ^svg TtQog tov xovov.
xal svlri(p^o6av 6vo
yQa^^al av Z, H,
OTtog rcj l'6o v7tSQi%ri
rj A trjg Z, xav rj Zf^g H, xal r] H trjg
E. xav TtSQv tbv iitv-
Ttsdov to^ia xov xv-
xXov jtsQvysyQcicpd^o
jtolvyovov v^OTtksv-
20 ^ZffE Qov xal aQtvoyo3Vvov,
xal tovto o^ovov
iyysyQccipd^o , oitog
ij rov TtsQtysyQa^-
^ivov jiksvQa ika6-
25 /L X 6ova loyov s%ri itQog
trjv tov iyysyQap^iivov tov^ ov s%sv r] A TtQog Z. xav
o^ovog tovg TtQotsQOV TtsQvsvs^d^imog tov xvxXov ys-
ysvi^^d^o dvo 6%ri^ata vTto xcai^r^ccUv iTtvcpavsvov itsQv-
s%6^sva. ro aQa jtSQvysyQafi^ivov 6vv rw xojvo to
15
1. Koovog] scripsi; Hcovog o F, uulgo. 8. A bis scripsi, ut
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 183
centrum Fy et conus basim habens circulum aequalem
superficiei in ambitu ABzi positae, altitudinem autem
lineae BF aequalem. demonstrandum est, sectorem
ABFzt aequalem esse cono, quem commemorauimus.
si enim aequalis non est, maior sit sector cono.
et ponatur conus ® talis, qualem commemorauimus.
datis igitur duabus magnitudinibus inaequalibus , sec-
tore et cono S^ inueniantur duae lineae A, E, maior
autem A linea E, et minorem rationem habeat A ad
E, quam sector ad conum [prop. 2]. et sumantur
duae lineae Z, H, ita ut ^) aequali spatio excedat linea
A lineam Z, Z lineam Hy H lineam E. et circum
sectorem planum^) circuli circumscribatur polygonum
aequilaterum, cuius latera^) paria sunt numero, et ei
simile inscribatur polygonum, ita ut^) latus circum-
scripti ad latus inscripti minorem rationem habeat,
quam A : Z [prop. 4]. et eodem modo, quo antea,
circumuoluto circulo oriantur duae figurae per super-
ficies conicas comprehensae. figura igitur circum-
1) onoag pro mats (ut Hn. 22 et supra p. 8, 18; prop. 3
p. 14, 22; 4 p. 18, 23; cfr. ad II, 4) transscriptori debetur; u.
Quaest. Arch. p. 70. cfr. ivcc prop. 5 p. 20, 22; p. 22, 27.
2) sitCnsdov fortasse delendum ; redundat adiuncto rovv,vyXov.
3) aqxtonXsvfiOv , non aqtioymviov Archimedes scripserat;
u. p. 153 not. 2.
lin. 9, 14, 26 (et in figura) cum Cr.; J ubique F, uulgo.
21. tovto F. 25. I';t2?] ^C*; bxbi F, uulgo.
184 nEPI 2$AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.
KOQV(priv aiovxL rb F 6rj^stov JtQog to iyyeyQa^^ivov
6vv xa X(6vcy tQi7tXa6L0va koyov sxsl rov, oV s^sl
rj nlsvQa rov TCSQLysyQa^^svov JtoXvymvov TCQog trjv
JtksvQav tov syysyQa^^svov. aXXa rj tov TtSQLysyQa^-
5 ^svov sld66ova Xoyov 's%sl^ TjTtsQ rj A TtQog Z. iXd6-
6ova koyov aQa s^sl ^ tQL7tXd6L0v tb SLQrj^svov 6ts-
Qsbv 6xrjfia rov t^g A TtQbg Z. rj ds A TtQog E ^SL^ova
koyov s%SL tj tQLitld^LOv Tot) tr]g A itQbg Z. tb aQa
TtSQLysyQa^^ivov 6xrj^a 6tsQsbv ta toybst TtQbg tb iyys-
10 yQa^^svov 6xrj^a iXd66ova koyov s^sl tov, ov s%sl rj
A TtQbg E. r] ds A itQbg E ikd66ova koyov sx£l, t] 6
6tSQsbg to^svg TtQbg tbv xoavov. ^SL^ova aQa Xoyov
s^SL 6 6tsQsbg to^svg JtQbg tbv ® ocavov, ^ ro
TtsQLysyQa^^svov t<p to^st 6xrj^a TtQbg tb iyysyQa^-
15 ^ivov xal ivakkd^. ^st^ov di i6tL ro TtsQtysyQa^iii-
vov 6tSQsbv 6%rj^a tov t^rjiiatog. aal ro iyysyQa^-
^ivov aQa ^xrj^a iv rc5 to^st ^st^ov i6tL rov & kojvov
OTtSQ ddvvatov. didsLxtaL yaQ iv totg dvo ska66ov
bv tov tr^kLKOvtov xoivov \tovti6tL rov sxovtog ^d6Lv
20 ^sv KVTckov^ ov r] ix tov xivtQOv L6r] i6tL tt] dnb t^g
xoQV(pr]g ro{> t^7]^atog ijtl tr]v TtsQLCpSQSLav iitL^svyvv-
lnivY] svd^SLcc rot)' TtvKkov, og i6tL pd6Lg tov tfii^fiatog,
vxfjog ds tr]v iK tov KivtQOV trjg 6(paLQag. ovtog di
i6tLV 6 slQr]^ivog Koivog 6 ®' pd6LV ts yccQ sx£l kv-
25 Kkov l'6ov tij i7tL(pavsLa tov t^rj^atog, tovti6tL ta
4. Post TCSQLYeygafiiisvov addit Torellius: JtQog triv tov iy-
ysyQCiiifisvov. 5. A] scripsi cum Cr., ut lin. 7 bis, 8, 10, 11
;
J ubique F, uulgo; cfr. p. 182, 8. 12. ^si^ova ccqu Xoyov
^XSi GtSQSoq to^svg TtQog tov "Aaivov] addidi; om. F, uulgo.
13. 7] to] t6 aQa ed. Basil., Torellius, 14. Post to syysyQafifis-
vov addunt ed, Basil., Torellius: sXacaova Xoyov sxsi, r] 6 ots-
Qsog tofisvg TtQog toi' @ noovov] sic etiam Cr. 16. t^rjiiatogl
to^scog Nizze.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 185
scripta cum cono uerticem habenti punctum F ad figu-
ram inscriptam cum cono triplicem rationem habet,
quam latus polygoni circumscripti ad latus inscripti
[prop. 41]. sed latus polygoni circumscripti [ad latus
inscripti] ^) minorem rationem habet, quam A : Z. ita-
que figura solida [circumscripta cum cono ad figuram
inscriptam cum cono]^) minorem rationem habebit,
quam A^ : Z^. sed AiE^A^iZ^.^) itaque figura
solida circum sectorem circumscripta*) ad figuram in-
scriptam minorem rationem habet, quam A : E. sed
A 2id E minorem rationem habet, quam sector soli-
dus ad conum [ex hypothesi]. maiorem igitur rationem
habet sector solidus ad conum 0, quam figura circum
sectorem circumscripta ^) ad inscriptam.^) et uicissim.
maior autem est figura solida circumscripta sectore
[prop. 39].') itaque etiam figara sectori inscripta maior
est cono 0. quod fieri non potest. nam supra de-
monstratum est, minorem eam esse eius modi cono
1) Haec uerba transscriptor potius quam aut Arcliimedesaut librarius omisit.
2) Ne liaec quidem ab Archimede omissa esse puto.
3) U. Eutocius ad prop. 34; Quaest. Arch. p. 51.
4) Sc. avv To5 Koavo}, quod in sequentibus etiam saepeomittitur,
5) Sc. 6VV ro5 xcovci).
6) Ex Eutocio comperimus, Archimedem scripsisse: t6 aganEQLysyQocfiftsvov atsqsov ngog to syysygafifisvov sXcc6aova X6-
yov ^xsi ^ 6 GtSQSog tofisvg nQog tov @ xoovov, et ita locumcorrexit ed. Basil.; sed tum non intellegitur
,quo modo uerba
illa in codicibus exciderint. quare satius duxi aliud supple-
mentum recipere, et discrepantiam transscriptori tribuere.
7) Hic quoque omittitur, ut etiam lin. 17: avv tm hcovco]
praeterea falsum nerbum t(jLi]fiatog transscriptoris est.
186 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT A'.
siQrj^Bvc) kvkXg} xal vtlfog tcov tfj ix rov xdvtQOV trjg
ag)ttLQag]. ovx aQa 6 OtSQeog to^evg ^ei^cov iotl tov
& XCOVOV. — £0tG} dij TtdkiV 6 ® XOJVOS tOV 0tSQ£OVj
to^icag ^£i^G)v. ndkiv drj o^otcog rj A itQog trjv E5 fi£t^c3v avtrjg ov0a ikd66ova koyov ixitca rot), ov sxsi
6 xmvog TtQog roi/ to^ia. xal b^oiog siXrjipd^coCav ai
Z, H, Sots sivat tdg dtatpOQag tdg avtdg' xal tov
TtsQiysyQa^nivov TtSQi tov ijtiTtsdov to^ia Ttolvycovov 1
aQtioycaviOv 7] TtXsvQa JtQog trjv tov iyysyQa^^ivov^^
10 ikdcGova koyov i%itci tov, ov sxsi rj A itQog trjv Z* |
xal ysysvrjOd^co td TtsQi tbv GtsQsbv to^iia OtSQsd a^V'
^ata. o^Oicog ovv dsi^o^sv, oti tb TtSQtysyQa^fiivov
TtsQl tbv to^iia (jtSQsbv dxrj^a JtQbg tb iyysyQcc^^ivov
iXdo^ova koyov sxsi rov, ov rj A TtQbg E, xal rov,
15 ov s%si ® xdovog ^Qbg tbv to^ia [Sots xal 6 to^svg
TtQog tbv xSvov iXd00ova Xoyov ix^t^ r]7t£Q tb iyy£-
yQa^^ivov 0t£Q£bv iv ta t^rj^ati TtQog tb 7t£Qiy£yQa^-
^ivov]. ^£i^cov di ictiv b to^i^vg tov iyy£yQa^^ivov
Sig avtbv (?;^7jf(-arog* ^^i^cov ccQa 6 @ xcovog roi) 7t£Qi-
20 y£yQa^^ivov ^xrj^atog' 07t£Q ddvvatov [did^ixtat yaQ
tovto, oti 6 trjXixovtog xcovog iXdoocov i6tl tov 7t£Qi-
y£yQa[L^ivov Oxriii^ci-tog it^Qi tbv to^ia]. toog ccQa 6
toii£vg rw ® xoovco.
4. to(ieoag] scripsi; tofisvg FA; tofisog uulgo. A] scripsi
cum Cr., ut lin. 10, 14; d ubique F, uulgo. 7. SiatpoQug]
scripsi; Svo nXsvQocg F, uulgo; vnsQOxdg Hauber; Nizze. 11.
tov] tcov per comp. F.
DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 187
[prop. 38 coroll.].^) itaque sector solidus maior non
est cono &.
sit igitur rursus conus ® maior sectore solido.
rursus igitur eodem modo A linea maior linea E ad
eam minorem rationem habeat, quam conus ad sec-
torem [prop. 2]. et eodem modo sumantur lineae Z,
Hy ita ut dijBPerentiae eaedem sint. et latus polygoni
[aequilateri], cuius latera paria sunt numero^), circum
sectorem planum circumscripti ad latus inscripti mi-
norem rationem habeat, quam A : Z [prop. 4]. et
oriantur figurae solidae circum solidum sectorem de-
scriptae.^) eodem igitur modo demonstrabimus, figuram
solidam circum sectorem circumscriptam*) ad inscriptam
minorem rationem babere, quam A : E^ et quam conus
& ad sectorem.^) maior autem est sector figura ei
inscripta [prop. 36].*) itaque & conus maior est figura
circumscripta.*) quod fieri non potest [prop. 40 co-
roll. 2; cfr. prop. 42—43; u. not. 1].^) itaque sector
aequalis est cono 0.^).
1) Ex prop. 42—43 sequitur, basim eius aequalem esse cir-
culo prop. 38 coroll. commemorato.2) Archimedes scripserat lin. 9: lconXsvQov xal aqtionXiv-
Qov, u. p. 163 not. 1.
3) Debebat esse: noXvymva ro (isv negiYsyQaiJLiiBvov, ro dh
iYysyQUfifievov; fortasse delenda sunt uerba: y,al ysyev^ad-o) lin.
11 — axri(iaTOi lin. 12.
4) Sc. 6VV tm 'ncovcpj quod idem omittitur lin 19; 20; u.
p. 185 not. 7. '
'
5) Sint F, f figurae solidae, L, 1 latera polygonorum. erit:
F : f = L' : P (prop. 41) <, A^ : Z^ (ex hypothesi) <: A : E(p. 185 not. 3) << 6> : sectorem (ex hypotkesi). sequentia uerbalin. 15—18 subditiua sunt; Archimedes scripsisset: xal ivaX-Xa|. pro prauo Tfirjfiati lin. 17 Nizzius coni. tofiet.
6) Sequentia transscriptori tribuerim, maxime ob tovtolin. 21; cfr. Neue Jahrb. Suppl. XI p. 388.
7) In fine: AQxift^riSovs nsQi acpaiQag xat yivXivdQOV d F.
IlQoreQov ^ev sTtB^rsLXccg ^oc yQccipai rcov TtQopXrj-
^drov rccg dTtodsi^scg, mv avrog r«s TtQordesLg dn-
s6rsika Kovcavi. 6v^^aivsi ds avrmv rd TtXstera yQd-
5 (ps6d^ai did rSv d^sc^Qrj^drcDV^ wv TtQorsQOv d%s6rsild
0Oi rdg djtodsi^sig, ort rs Ttd^rjg dcpaiQag tj siticpdvsia
rsrQanXa^Ca s6ri rov ^syi6rov kvkXov rmv iv rrj
^cpaiQa^ Tcal diort Jtavrog r^ij^arog 0(paiQag rfj im-
Kpavsia i6og iarl TivxXog^ ov rj ix rov xsvrQOv l'0rj
10 i6rl r^ svd^sia r^ dito rrjg xoQVCprjg rov r^rj^arog iTtl
rrjv TtSQicpSQSiav rrjg ^dosog dyo^svr]^ xal dion Ttdorig
(3(paiQag 6 TcvXivdQog 6 ^d^LV ^sv sxcov rov ^syi6rov
KvxXov rc3v iv ry 6(paiQcc^ v-^og ds l'6ov ry dia^srQG}
rrjg 6(paiQag avrog rs rj^iohog i^ri rc5 fisysd^si rrjg
15 6(paiQag^ xal ri iTticpdvsta avrov rj^iokia rrjg i7ti(pa-
vsCag rrjg 6cpaiQag^ xal dion Ttdg ro^svg OrsQSog i6og
i6rl zcov(p np ^d6iv ^sv sxovn rbv xvxXov rov i6ov
r^ imcpavsicc rov r^ij^arog rrjg 6(paiQag rov iv ra
roftft, vtljog ds i6ov rfj ix rov xivrQOv rijg 6cpaiQag,
20 o6a ^sv ovv rc5v d^scoQrnidrcjv xal TtQO^Xrj^drov yQa-
(psrai did rovrov rov d^scoQrj^drav^ iv rads re5 ^i-
1. JmGLd^sat F, corr. Torellius. 3. ttnoSsL^rjg F. 4. Kco-
vcavi F, uulgo. 5. Q^Boqri^a.toiv F. 8. 8i6ti\ scripsi; 8ri oti
F, uulgo. tiLTniatog] om. F; corr. Cr., ed. Basil. 16. dioti]
Srj oti Barrowius. 21. 8ia tovtcov tav^ cum B; Siavtovtcjv
tav F.
II.
Archimedes Dositheo s.
Antea me admonuisti, ut demonstrationes eorum
problematum perscriberem, quorum propositionesjpse
Cononi miseram.^) accidit autem, ut pleraque eorum
conficiantur per ea theoremata, quorum demonstrationes
antea tibi misi^): cuiusuis spbaerae superficiem qua-
druplo maiorem esse circulo maximo sphaerae [I, 33],
et superficiei cuiusuis segmenti sphaerae aequalem esse
circulum, cuius radius aequalis sit lineae a uertice
segmenti ad ambitum basis ductae [I, 42— 43], et cy-
lindrum basim habentem circulum maximum sphaerae,
altitudinem autem diametro sphaerae aequalem et
ipsum dimidia parte maiorem esse sphaera et super-
ficiem eius superficie sphaerae dimidia parte maiorem
[I, 34 7c6Qi6^a]j et quemuis sectorem solidum aequa-
lem esse cono basim habenti circulum aequalem super-
ficiei segmenti sphaerae in sectore positi, altitudinem
autem radio sphaerae aequalem [I, 44]. quaecunque
igitur theoremata et problemata^) per haec theoremata
1) Erant praeter problemata huius libri propositiones quae-dam de helicibus (cfr. infra) et de conoidibus rectangulis (Quaest.
Arch. p. 11).
2) In libro I de sphaera et cyHndro.
3) Septem problemata, tria theoremata, quorum primum(II, 2) Cononi missum non erat (Neue Jahrb. Suppl. XI p. 392not.)
; pro ceteris duobus experiendi causa falsa miserat Archi-medes. u. praef. ad librum nsQt sXUcov.
190 nEPI 2*AIPA2 KAI KTAINAPOT B'.
^kcG) yQa^ag aTti^xaknd 60i' o0a de dt' aXXrjg bvqC-
6K0vtai d^scoQcag, xd rs tzsqI sXlxcdv xal xd TtEqil xcov
KcovostdcoVy JCELQa^o^aL did xdxovg d7to6xEtXai.
To 6e TtQCDXov rjv XC3V TtQopXfj^dxov xoSe'
5 6(paLQag dod^Et^rjg ijtiTtEdov xoqlov evqelv l6ov xfj
ETtLfpavELa xrig 6cpaLQag.
E6XLV ds XOVXO (paVEQOV SEdELy^EVOV ix XWV TtQO-
ELQrj^ivcov d^EcoQrj^dxcov. xo yaQ xEXQaitXd^LOv xov
fiEyL6xov xvxXov X(DV iv xfi 6(paLQcc iitiitE^ov xe X'^'
10 QLOv i6xl xal l6ov xij im^pavELa xijg 6(paLQag.\
r
a .
To dEVXEQOv iiv' Kcivov dod^ivxog rj JtvXivdQOV
6(paLQav EVQELv rc5 xcavc) rj rc5 KvkCvdQ^p i6r}v.
E6XG) 6 dLdo^Evog Ko5vog i] KvXLvdQog 6 A^ xal xa
15 A L6r] fj B 6(paLQa' xal xsC^d^co xov A neavov rj kv-
XCv6qov rj^LoXLog TtvXLvdQog 6 FZ/J^ xrjg ds B 6(paC-
Qag rj^LokLog KvXLvdQog, ov ^d6Lg 6 TtEQL dLd^EXQOv
xrjv H& KvxXog, d^av ds 6 KA L6og x^ dia^ixQ(p
xrjg B 6(paCQag. L6og aQa i6XLV 6 E KvkLvdQOg tc5 K20 KvKCvdQGi [xciv ds l^cdv KvXCvdQcov dvXLTtEJtOVd^a^LV
ai pd6£Lg xotg vi(^£6lv]. cog aQa 6 E xvnXog TtQog xov
K xvxXov, xovxi6XLv cog xo djtb xrjg JTz/ TtQog xo djto
xrjg i/0, ovxcog rj KA JtQog EZ. L6rj dl rj KA xq
HS [6 yaQ rj^LoXiog xvXLvdQog xrjg 6(paCQag l6ov bxev
25 xov d^ova xfj dLa^ixQG) xrjg 6(paCQag^ xal 6 K xvxXog
^iyL6x6g i6xL xcov iv xfi 6(paCQC!i]. cog ccQa x6 diio FATtQog xb ditb H®^ ovxcog rj H® TtQbg xrjv EZ. i'6XG>
4. a Torellius; cfr, Quaest. Arch. p, 156. 5. fv^gtv]
£VQ cum comp, rjv uel iv F. 11, |5' Torellius. 13. srrQStv
ut lin. 5 F. 14. dsSofiivog? 16. ofiLoXiog F. 19. E] B F;corr. ed. Basil, 27. ovtcog] per compend. F, ut p. 192 lin, 2 et 4.
DE SPHAERA ET CYLINDRO II. 191
conficiuntur, hoc libro perscripta tibi misi. sed quae-
cunque alia disputationis ratione reperiuntur, de helici-
bus et de conoidibus, mox mittere conabor.
Primum autem problema hoc erat:
data sphaera planum spatium inuenire superficiei
sphaerae aequale.
hoc autem manifestum est ex theorematis antea
propositis demonstratum. nam quadruplum circuli
maximi sphaerae spatium et planum et superficiei
sphaerae aequale est [I, 33].
I.
Alterum erat: dato cono uel cylindro sphaeram
inuenire cono uel cylindro aequalem.^)
sit conus uel cylindrus datus A, et figurae Aaequalis sphaera 5. et ponatur cono uel cylindro Adimidia parte maior cylindrus FZzl^) [u. Eutocius],
et sphaera B cylindrus dimidia parte maior, cuius
basis est circulus circum diametrum H& descriptus,
axis autem KA diametro sphaerae B aequaiis [I, 34
7c6Qc6^a\. aequalis igitur cylindrus E cylindro K,
itaque E : K^ hoc est
rz/2 : H@2 [Eucl. XII, 2] ==KA: EZ.^)
aed KA^ H®.^) itaque FA^ : H@^ ^ H@ : EZ. sit
1) Lin. 13: Larjv r<p xcofo) r) tm v.vXlv8q(p habet Archime-des in praef. Tcsql iXCv.(ov.
2) Archimedes scripserat: slXricpQ^oi tov dod^svtog tioavov rj
tivXLvdQov rjfiLoXiog yivXLvSQog (Eutocius).
3) Eucl. XII, 15; cfr. I lemm. 3—4 p. 82.
4) Quia ex I, 34 noQLG^a basis cylindri circulo maximoaequalis est, diametrus igitur sphaerae diametro aequalis.
192 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT B
rc5 ccTto H@ l'6ov to V7t.6 Fz/, MN. cog ccqk rj J^z/
TtQog MN, ovrcog tb cctco F^d itQog to dTto H&, tovt-
£0tL 7] H® TtQog EZ. Tcal ivaXld^^ G)g rj Fzi itQog
tfjv H@, ovtcag rj H0 itQog trjv MN^ xal r] MN5 TtQog EZ. KaC iativ dodstCa BTcateQa tcov J^z/, EZ.
dvo ccQa dod^SL^cSv evd^stcjv tcov i^z/, EZ dvo ^icav
dvdXoyov ei6lv ai
H®, MN. dod^staa
ccQa exdtSQa tmv
10 \ / \ / He, MN.dvvtsd^ri^sraL ds
to TtQo^lrjfia ovrojg.
66tG) dri 6 dod^slg
jcfDVog 7] KvlcvdQog
6 A. dst drj ta A7C(6vc} 7] KvXivdQp
iOrjv 0(patQav svQStv.
s6ta) tov A KCJ-
vov 7] KvXivdQOv rj^i-
20 ^ff' r ^\ -^' I oliog TCvlivdQog, ov
pdCig 6 TtsQi did^s-
tQOv trjv FA xvxlog,
d^cov ds 6 EZ. xal slXricpQ^co tcov Fz/, EZ dvo fteWt
dvdXoyov at H&, MN, SiSts slvai cog trjv F^ TtQog trjv
25 H@, rrjv H@ TtQog f^v MN, nal trjv MN JtQog tr]v
EZ. xal vosi^d^co TcvXivdQog^ ov ^d^ig 6 TtSQl did^s-
tQOv trjv H& Tcvxlog, d^cov ds 6 KA i6og tfj H@dia^stQC). Isyco dij, ort l'6og s6t\v 6 E xvXivdQog roj
K xvXivdQC). xal sjtsi s(5tiv^ (hg rj FA TtQog H&^ rj
15
9. rwv] xcav xriq F; corr. ed. Basil. 11. 8b\ scripsi; dr]
DE SPHAERA ET CYLINDRO 11. 193
H®^ = r^ X MN, itaque Tz/ : MN= Tz/^ : if V)hoc est = H& : EZ. et uicissim [Eucl. V, 16]
r^ : H0 = He : MN= MN : EZ})
et utraque linea Fz/, ^Z data est. itaque duarum
linearum datarum FJ, EZ duae mediae proportiona-
les sunt H®, MN. itaque utraque linea H®, MNdata est.
componetur autem problema hoc modo. sit conus
uel cylindrus datus A, oportet igitur sphaeram cono
uel cylindro A aequalem inuenire.
sit cono uel cylindro A dimidia parte maior cy-
lindrus, cuius basis est circulus circum diametrum Fz/
descriptus, axis autem EZ linea. et sumantur^) inter
lineas Pz/, EZ duae mediae proportionales HS, MN[u. Eutocius], ita ut sit
FA :H® = H&: MN= MN : EZ,
et fingatur cylindrus, cuius basis sit circulus circum
diametrum H® descriptus, axis autem KA diametro
H& aequalis. dico, cylindrum E aequalem esse cy-
lindro K, nam quoniam FA : H@ = MN : EB et
1) Quia rj : H0 = H@ : MN-, tum u. Eucl. V def. 10.
2) Debebat sic concludi:
FJ : MN = H0 : EZ d: FzI : H0 = MN : EZ (Eucl.Y, 16);sed ex hypothesi est FJ : H0 = H® : MN. fortasse uerbumIraUa^ lin. 3 delendum est.
3) Archimedes posuerat svQ^od^cooav^ lin. 23, ut habet Eu-tocius.
F, uulgo. 12. ovrcog per comp. F. 15. toj] to F. 29.
xal insQ snsl yaQ?
/chimedes, ed. Heiberg. I. 13
194 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT B'.
MN TtQog EZ^ xal ivakld^^ xal l'6rj rj H& rrj KA[c3g cLQa rj JTz/ TCQog MN, xovxaCXLV cog ro aTtb xijg
Tzl TCQog xo aito H&, ovxag 6 E xvx^og TtQog xov
K xvxXov]' cog a^a 6 E xi^xAog TtQog xov K xvxXov^
5 ovxcjg rj KA TtQog xrjv EZ [xav ccQa E, K xvkCvdQov
civxiTtSTtovd^aOLV aC ^a^Big xotg v'^e6Lv\ tcog ccQa 6 ExvhvdQog xa K xvlivdQcy. 6 ds K xvhvdQog xrjg
6q)aiQag, rjg did^exQog rj H@, rj^ioXiog icxiv. xal rj
CcpaiQa ccQa^ rjg rj did^sxQog l'0r} i(5xi x\] if0, xovx-
10 i^xiv rj jB, l'6r} i6tl to5 A xcjvc) t] xvkCvdQC).
/3'.
Havxl x^rniaxi xrjg 6(paCQag i6og icxl xcjvog 6 ^doiv
^sv SXC3V xrjv avxrjv xa x^i^^axi, vipog ds svd^stav,
rjxig TtQog xo vil^og xov x^rj^axog xbv avxbv Xoyov
15 s%si^ ov Ovva^cpoxsQog r] xs ix xov xivxQov xrjg (5cpaC-
Qag xal xb vtjjog xov XoiTtov x^rj^axog TtQbg xb vipog
xov koiTtov x^riiiaxog.
S6XCD ^cpatQa^ ivfj
^iyi^xog xvxXogj ov did^sxQog
rj AF' xal xsx^ri(5^ui iitiTtid^p rj (ScpatQa xg) did xrjg
20 5 Z TtQbg oQd^dg xfj AV' xal sOxco xivxQov xb ®. xal
TtSTtOirjCd^cj, cog 6vva^(p6xsQ0g r] ©A^ AE TtQbg xrjv AE^ovxcjg rj ^E TtQbg FE. xal TtdXiV TtsTtOiri^d-o ^ cog
0vva^(p6xsQog rj SF^ FE TtQbg FE, ovxcag rj KETtQbg EA. xal dvaysyQdcpd^oo^av xojvoi djtb xov xv-
25 xkov xov jtSQi did^sxQov xr]v BZ xoQvcpdg s%ovxsg xd
K^ A 6r]^sia. Xiyo^ oxi t(5og i&xlv 6 ^sv B^Z xcovog
6. ^cca cum comp. rjg F. 10. B] HB F. 11. y To-rellius. 19. ral] tmv per comp. F; corr. B*. rijg] Nizze; ^
rmv F, uulgo. 25. sxovta F; corr. B*.
DE SPHAERA ET CYLINDRO II. 195
uicissim [Fz/ : MN = H® : EZ, Eucl. V, 16]; et
H& == KA, erit igitur^) E:K = KA : EZ?) itaque
cylindrus E aequalis est cylindro K [Eucl. XII, 15;
cfr. 191 not. 3]. sed cylindrus K dimidia parte maior
est sphaera, cuius diametrus est H&. itaque etiam
usphaera, cuius diametrus aequalis est lineae H®^ hoc
est 5, aequalis est cono uel cylindro AF)
II.
Cuiuis segmento sphaerae aequalis est conus ba-
sim habens eandem, quam segmentum, altitudinem
autem lineam, quae ad altitudinem segmenti eam ra-
tionem habet, quam radius sphaerae una cum altitu-
dine reliqui segmenti ad altitudinem reliqui segmenti.
sit sphaera, et in ea circulus maximus^ cuius dia-
metrus sit AT. et sphaera secetur plano per BZ lineam
posito ad AT lineam perpendiculari. et centrum sit 0.
et fiat*) ®A-\- AE:AE= AE: TE. et rursus fiat^)
@r + TE : TE = KE : EA, et construantur in cir-
culo circum diametrum BZ descripto coni uertices
habentes puncta K^ z/. 'dico, conum BAZ aequalem
1) TJerba cog aqa lin. 2 — K %v'aIov lin. 4 deleo. nequeenim inde, quod FJ : H@ = MN : EZ et H@ = KA, con-cluditur rz/ : MN = E : K; hoc enim ex Eucl. V def. 10 et
XII, 2 sequitur (u. not. 2).
2) Namr^: MN= H0 : EZ = KA : EZ; sed F^: MN= Td^ : H@^(Eucl. V def. 10) = E: K (Eucl. XII, 2) d:.E : K == KA: EZ.uerba sequentia deleo; cfr. p. 190, 20.
3) K = %-B; sed E = %A (ex hypothesi). quare cumK= E, erit %B = %A d: B = A.
4) Archimedes scripserat ygyovfTco lin. 21 ;Quaest. Arch. p. 70.
5) H. e. ysyovsTO) lin. 22; u. not. 4.
13*
196 nEPI S^AIPA2 ICAI KTAINAPOT B'.
ra %ata ro F r^ri^ari rrig 0(paiQag, 6 de BKZ rc5
Tcara t6 A drj^stov,
STte^svx^coOav yccQ ai B0, @Z, %al vosiG^a Tcavog
^d^LV }isv syGiv rbv tcsqI did^srQOv rrjv BZ xvxkov,
5 KOQViprjv ds ro 6Yj^SiOVc Kal s6rco xcovog 6 M ^doiv
s%c3v %v7iXov iCov rfj siticpavsCa rov BFZ r^rj^arog
rrjg 6(paiQag, rofreWtv ov rj sk roi> xsvrQOV i'6rj sorl
rfj BF^ vipog ds i6ov rrj stc roi) KsvrQOv rrjg 6(paiQag.
s0rai drj 6 M Tccjvog i6og rc5 BFSZ 6rsQsa ro^st.
10 rovro yccQ dsdsiTcrai sv r<p TtQoarco ^i^XCip. sitsl ds
s6riv, (Dg rj ztE TtQog EFj ovrcog 6vva^cp6rsQog rj SA^
AE TtQog AE, disXovn s6rai, mg rj JTz/ TtQog FE^
ovrog rj @A TtQog AE^ rovrs6riv rj F® TtQog AE'%al svaXXd^, cog rj AF TtQog F® s6riVy ovrcog rj FE
15 jtQog EA. xal ^vvd-svn, (Dg r} 0A TtQog &r, r] FATtQog AE, rovrs6n rb djtb FB TtQog rb ditb BE. coj
aQa rj A@ TtQbg FS, ro ditb FB TtQbg ro djtb BE.
l'6ri ds s6riv rj FB rfj s% rot) TcsvrQOv rov M xvxlov,
rj ds BE SK xov xsvrQov s6rl rov tisqI did^srQOv rrjv
20 BZ xvxXov. (hg ccQa rj A& TtQog 01^, 6 M xvxlog
5. ^ccaiv (isv ed. Basil., Torellius. 9, EGtui per comp. F.
11. ovtag] Nizze; ovtm F, uiilgo. 20. nQog per comp. F.
DE SPHAERA ET CYLINDRO II. 197
esse segmento sphaerae ad JT punctum posito, conum
autem BKZ segmento ad Jt punctum posito.
ducantur enim lineae B®^ ®Zj et fingatur conus
basim habens circulum circum5Z diametrum descrip-
tum, uerticem autem punctum ®. et sit conus M, ba-
sim habens circulum superficiei segmenti sphaerae
BFZ aequalem, h. e. circulum, cuius radius aequalis
est^r*^), altitudinem autem radio sphaerae aequalem.
erit igitur conus M aequalis sectori solido BF&Z,hoc enim in primo libro demonstratum est [I, 44].
sed quoniam ^E : EF = SA + AE : AE [ex hypo-
thesi], dirimendo erit [Eucl. V, 17]
r^ : TE = 0A : AE =^ r& : AE,
et uicissim [Eucl. V, 16] ^r:r& = TE: EA, et
componendo [Eucl. Y, 18]
®A :@r=rA:AE = FB^ : BE^ [u. Eutocius].
itaque A® : r@ = TB^ : BE\ sed FB aequalis est
radio circuli M [1, 42], et BE aequalis radio circuli
circum diametrum BZ descripti. itaque ut ^® ad 0r,ita circulus M ad circulum circum diametrum BZ de-
1) Ex I, 42. sed fortasse uerba: tovTsativ, ov r] iyi tov^svtQov iGTj iatl tii Br delenda sunt (lin. 7—8.)
198 nEPI 2^AIPAS KAI KTAINAPOT B'.
TCQog rbv 7C6qI did^EXQOv rrjv BZ TivxXov. KaC b6xiv
l'0rj rj @r t^ a^ovL rot} M tccovov. xal (6g aQa rj
z/0 JtQos tov a^ova rov M xcovov, ovtcog 6 M KvxXog
TCQog tov TtBQi did^BTQOv T^v BZ xvxXov. l'6og aQa 6
5 xmvog 6 pd^iv ^bv b%cx)v tbv M xvxXov, v-il^og ds tijv
BX tov xBvtQOv trjg 6cpaiQag, ta BzlZ® 6tsQB^ qo^Pg)
[rovro yaQ iv totg Irj^^a^c roi} TtQcotov /3t/3Atov 8b-
dBiXtai. rj ovtcog' bicbC B0tiv, cog r] zi0 TCQog tb vipog
rot» M xcovov^ ovtog 6 M 'nvTilog TtQbg tbv icbqI
10 did^stQOv trjv B Z Tcvxkov^ l'6og ccQa sGtlv 6 M xcovog
rw %c6vG) , ov pd6ig ^sv 6 TtSQi dcd^stQov trjv B Z'KVTiXog^ vipog ds rj ^d®. dvtiTtSTtovd^aGi yccQ avtcov
al pd^Sig totg vipB6iv. d}X 6 xSvog 6 ^ddiv ^sv
Bxcov tbv TtSQi did^stQOv tr]v BZ kvkXov^ vifjog ds tr^v
15 z/(9, t6og ieti ta B^Z0 etsQsa ^0fi/3c3]. dXX' 6 M7cc3vog i'6og i^tl ro5 BTZ® atsQsa to^st. Kal 6 BFZS^tSQsbg to^svg ccQa l'6og i(5tl ta BzlZ® 6tSQBa Qo^^cp.
KOivov dcpaiQsd^Bvtog tov xcjvov^ ov ^d^ig (liv i6tiv
6 TtsQi did^stQOV trjv BZ TcvycXog, vil^og ds rj E@,20 loiTtbg ccQa 6 B^Z Kcjvog i6og i(5tl ta BZF tiiri^ati
trjg 6cpaiQag. o^oicog ds dsixd^Yi^stai Ka\ 6 BKZ xcj-
vog i<3og t(p BAZ t^rj^ati f^g GcpaiQag: iTtsl ydQ
i^tiv, cog 6vva[i(p6tsQog rj ©r^ FE TtQbg FE^ ovtog
r] KE TtQbg EA, disXovti ccQa, cog rj KA TCQbg AE,26 ovtcog rj ®r TtQbg FE' L6r] ds rj ©F tfj @A. xal
ivalXd^ aQa icstiv^ cog rj KA JtQbg A&, ovtcog rj AETtQbg EF. &(5tB nal ^vvd^ivti^ cog rj K® TtQbg @A,r] AF TtQbg FE^ tovticti tb ditb BA itQbg tb djtb
BE. Tcsi^d^o drj itdXiv xvxlog 6 N i'6r]v ^%ov trjv
10. sGtiv per comp. F. 12. KvyiXov F; corr. C. 17.
DE SPHAERA ET CYLINDRO 11. 199
scriptum [Eucl. XII, 2]. et @r linea aequalis est axi
coni M. quare ut z/@ ad axem coni M, ita circulus
M ad circulum circum diametrum BZ descriptum.
conus igitur basim habens circulum M, altitudinem
autem radium sphaerae aequalis est rhombo solido
BzlZ®}) sed conus M aequalis est sectori solido
BFZ®. itaque etiam sector solidus BFZS aequalis
est rhombo solido BzfZ&. subtracto, qui communis
est^ cono, cuius basis est circulus circum diametrum
RZ descriptus, altitudo autem E& linea, qui relinqui-
tur conus -Bz/Z aequalis est segmento sphaerae jBZP.
similiter autem demonstrabitur, etiam conum BKZaequalem esse segmento sphaerae BAZ. nam quo-
niam est @r+ T^; : T^: = KE : EA, erit igitur di-
rimendo [Eucl. V, 17] KA : AE == ®r : FE. sed
&r^ @A. itaque etiam uicissim [Eucl. V, 16]
KA:A0 = AE: ERquare etiam componendo [Euch V, 18]
K&:@A = Ar:rE==' BA^ : BE^ [u. Eutocius].
ponatur igitur rursus circulus N radium aequalem
1) Nam conus M aequalis est cono, cuius basis est circu-
lus circum BZ descriptus, altitudo autem d@ (L lemm. 4 p. 82),et hic conus (Jc) rhombo illi solido aequaUs est. nam sint coni,
ex quibus constat rhombus, k^ et lc^ ; erit
kihi ik^ = J@ '. Ed : E@ (I lemm. 1 p. 80);
sed d@ = EJ -j- E0; tum u. Quaest. Arch. p. 48.
etsQsog] 6ZSQ80 F. 18. a<pai,QS&STOs F. 23. cog] o F; cof
6 B; corr. ed. Basil.
200 nEPI S4>AIPA2 KAI KTAINAPOT B'.
£X tov xevtQOv rfi AB. 6 aQa N xvxXog l'aog sGtat
tfi iTtLcpavaCa rov BAZ t^i^^atog. xalvoeLad-o 6 xco-
vog o N l'6ov sxcov to vipog trj sk tov xevtQov t%6(pacQag. laog aQa i(5tl ta B®ZA (StSQsa to^at. tovto
5 yccQ av rc5 JtQCDtc) dadsLXtaL. xal aital adaLxd^rj, cctg 7]
K® TtQog 0A, ovtog to djto AB JtQog tb dno BE^tovta(3tL to dito trig ax tov xavtQov tov N xvxkov^Qog to dito trjg ax tov xavtQOv tov TtaQL dLa^atQov
trjv BZ xvxXov, tovtaatLv 6 N xvxkog TtQog tov TtaQi
10 dtd^atQOv trjv BZ xvxXov, L6rj da rj A® rc5 vi^aL tovN xc6vov, (og aQa rj K® TtQog ro vxl^og tov N xcovov,
ovtcog 6 N xvxXog TtQog tbv TtaQL dLa^atQov trjv BZxvxkov. laog aQa iatlv 6 N xcjvog, tovta(5tLv 6 B0ZAto^avg rc5 B®ZK (Sxrj^atL. xoLvbg 7tQo6xaL6^a) 6 xco-
15 vog, ov pd6Lg ^av 6 TtaQL trjv BZ xvxXog, v^jog da rj
E®. olov ccQa ro ABZ t^ij^a trjg 6(paLQag i&ov iotlv
rc5 BZK rosvG)' oTtaQ adat dat^aL.
nOPISMA.
Kal cpavaQov, otL yCyvatat xaO^olov t^rj^a acpaCQag
20 TtQog x(DVOV tbv pd0Lv ^av sxovta trjv avtrjv tc3 t^rj-
^atL xal vipog t6ov, cog avvafKpotSQog rj ta ix ror xav-
tQOV trjg (jKpaCQag xal rj xdd^atog rot; XoLTtov t^rj^atog
TtQog trjv xd^atov rot; XoLTtov t^i]^atog. (og yaQ rj
JE TtQbg EF, ovtcjg 6 ^ZB xcjvog, tovts6tL tb BFZ25 t^rj^a TtQbg tbv BFZ xdovov.
1. AB. 6 aqa N xvjt^os i'6og ^atai r^] om. F; suppleuited. Basil. 13. B&ZJ F; corr. ed. Basil. 15. BZ FBC*.18. TtoQiaiJicc] mg. H F. 20. nQog ^avov bis F. 21. mg] co F.
DE SPHAERA ET CYLINDRO II. 201
habens lineae AB. itaque circulus N aequalis erit
superficiei segmenti BAZ. et fingatur conus N alti-
tudinem habens aequalem radio sphaerae. itaque aequa-
lis est sectori solido B&ZJ. hoc enim in libro primo
demonstratum est [u. Eutocius]. et quoniam demon-
stratum est: K@ . ®A = AB^ : BE'^, hoc est radius
circuli N quadratus ad radium quadratum circuli cir-
cum BZ diametrum descripti, hoc est circulus N ad
circulum circum diametrum B Z descriptum [Eucl. XII,
2], aequalis autem A® linea altitudini coni N, erit
igitur, Mt K® linea ad altitudinem coni N, ita circulus
iV" ad circulum circum diametrum BZ descriptum.
conus igitur iV, hoc est sector BSZA, aequalis est
figurae B&ZK [u. Eutocius]. addatur communis co-
nus, cuius basis est circulus circum BZ descriptus,
altitudo autem ES. itaque totum segmentum sphae-
rae ABZ aequale est cono BZK, quod erat demon-
strandum.
COROLLARIUM.
Et adparet, omnino segmentum sphaerae ad co-
num basim eandem habentem, quam segmentum, et
altitudinem aequalem eam habere rationem, quam ra-
dius sphaerae una cum altitudine^) reliqui segmenti
ad altitudinem ^) reliqui segmenti. nam u.t zlE ad
EF, ita conus AZB, hoc est segmentum BFZ [prop. 2\ad conum BFZ [I lemm. 1 p. 80].^)
1) Archimedes scripserat: x6 vipog lin.' 22; Quaest. Archi-med. p. 71.
2) TO vipog genuinum est lin. 23; cfr. not. 1. Eutocius adprop. 8, ubi citat x6 noQLGfia rov Ssvtsqov d^stoQrjp^arog, utroqueloco vtpog habet.
3) Et JE : Er= 0A -{- AE : AE\ u. p. 194, 21.
202 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT B'.
tcov avrcov VTCoxsL^svav ^ oxl Tcal 6 KBZ xmvog
L'6og i6tl tcj BAZ tiiYi^atL trjg 6q)aiQag. sCtG) yccQ
xSvog N ^d6iv ^ev e%G)v [triv^ l'6rjv tfj iTtitpavEca
f^g 0(paiQag, vijjog ds tr}v i% tov xsvtQOv trjg 0(paiQag.
5 i<jog aQa i6tlv 6 Kavog tfj GcpaiQcc [r] yccQ CcpalQa
dsdsintai tstQaitXa^Ca tov xcovov rov ^d6iv ^sv s^ov-
tog tbv iisyi6tov xvkXov %al v^og trjv ix, tov xsvtQOv.
dXXa ^rjv nal 6 N xcovog tov avtov i6ti tstQanXd-
6iog, iitsl %al rj ^d^ig trjg ^d^scog %al r] iiticpdvsia
10 trig 6cpaiQag tov ^syi6tov kvkXov tmv iv avtff\. %al
iitsi i6tiv, (og 6vva^cp6tsQog r] SA^ AE TtQog AE, rj
^E TCQog ET, disXovti Tcal ivaXXd^^ cog rj ®r TtQog
JTz/, rj AE TtQog EF. itdkiv iitsi i6tiv, cog rj KETtQog EA^ 6vva^(p6rsQog rj ©FE TtQog FE, disX6vti
15 Kal ivaXXd^^ (hg rj KA TtQog r&, tovts6ti TtQog 0A,ovtcog rj AE JtQog EF, tovts6tiv rj &r TtQog T/J.
oial ^vvd^svti' i'6ri ds rj A® tfj ©F. cog aQa rj K@
jsr
TtQog ®r, rj 0z/ TtQog z/F' xal oXr} rj KJ JtQog ^®i6tiv, (og rj A& TtQog zJF^ tovts6tiv 6g rj K0 itQog
1. oti] Ssi^opLSv, oti B, ed. Basil., Torellius; „ostendemus"
DE SPHAERA ET CYLINDRO 11. 203
lisdem positis demonstrabimus ^) , etiam conum
KBZ aequalem esse segmento sphaerae BAZ. sit
enim conus iV basim habens superficiei sphaerae aequa-
lem, altitudinem autem radium sphaerae. conus igitur
sphaerae aequalis est.^) et quoniam est
0A + AE:AE-= JE : EF,
erit dirimendo et uicissim [Eucl. V, 17 et 16]
Qr.r^ = AE: Er [quia &A = ©F].
rursus quoniam KE : EA = ©F+ FE : FEj erit diri-
mendo et uicissim KA : r&, hoc est
KA : @A ^ AE : Er= ®r : FA.
et componendo [Eucl. V^ 18], aequalis autem A& lineae
©r^); itaque K®:Sr=®J: AT, [et uicissim (Eucl.
V, 16) K® : @z/ = &r: AF, et componendo (Eucl.
V, 18)] KA : AS = ^®: Ar=- K®:®A [u. Euto-
1) Archimedes sine dubio alio modo hanc alteram demon-strationem partis posterioris (p. 198, 21; cfr. Eutocius) adiun-
xerat (Quaest. Arch. p. 73). de oxl cfr. Neue Jahrb., Suppl. XIp. 396.
2) Sphaera enim quadruplo maior est cono basim habenticirculum maximum, altitudinem autem radium (I, 34), sed
etiam N eodem cono quadruplo maior est (I, 33; I lemm. 1
p. 80).
3) Fortasse delenda sunt: l'ari ds rj A@ tij ©Flin. 17; cfr.
lin. 15.
Cr. 3. triv deleo. 7. •Ksvtgov] nivtQOv tijg ccpcciQCcg ed.
Basil., Torellius. 14. ©FE] ©T, TE Torellius.
204 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT B'.
®A. i6ov ccQa to vTto z/iC, 0A ra vtco rSv ^0K,TtdXiv iiieC iarcv, (6g rj K& TiQog ©JT, rj ®zi JtQog JTz/,
ivaXXd^. a)g ds 7] ©F TC^og Fz/, idsix^V V ^E TtQog
EF. 6g ccQa rj K0 TtQog &^, rj AE TtQog EF. xal
5 wg aQa ro djto K^ ^Qog rb vTtb KSzJ^ ro aTtb AFTtgbg ro vTtb rdav AEF. ro da vjto rmv K@A l'6ov
idsCid^ri ra vnb Kzi, A&. (og aqa rb ditb KA itQbg
rb vTtb rcov Kzl, A&, rovriortv rj Kzi TtQbg A®, rb
djtb AF TtQbg rb vTtb AEF^ rovri6ri itQbg rb ditb
10 EB. xaC icriv iCri rj AF rrj ix rov xivrQOv rov NkvkXov. (hg aQa ro ditb rrjg i% roi5 xivrQOv rot» NkvkXov TtQog rb ditb BE, rovri^nv 6 N xvxkog TtQbg
rbv TtsQl did^erQOv rrjv BZ kvxXov, ovrcog rj K^TtQbg A®j rovrianv rj K^ TtQbg rb vipog rov N xd-
15 vov. i6og ccQa i^rlv 6 N xSvog, rovrfcJrtv rj ^(paiQa^
rci BAZK 6rsQ£(p qo^^g) [^ ovrcag' s^nv ccQa, cog 6
N xvxXog TtQbg rbv TtsQi did^srQOv rrjv BZ xvxXoVy
ovrcjg rj zlK itQbg rb vil^og rov N kcovov. l'6og ccQa
icrlv 6 N xcovog rc5 xcovg), ov ^d6ig ^iv ionv 6 JtsQl
20 did^srQOv rrjv BZ xvxXog^ vjpog ds rj ^K. dvnits-
7c6v^a0iv yaQ avrc5v aC ^dcsig rotg v^s6iv. dXX
ovrog 6 Tccovog i6og iarl rc5 BKZ^ (jtsQsa qo^^g).
xal N ccQa x^vog^ rovri^nv rj 6(paiQa, forj ierl rco
BZK^ 6rsQsa qo^Pc)]' cov 6 nAZ n^vog l'6og idsCxd-rj
25 ra5 BFZ r^rj^an rrjg 6cpaCQag. XoiTtbg ccQa 6 BKZxcovog i6og i(3rl ra BAZ r^ij^an rrjg CcpaCQag.
1. JK, @A] ^0, @K Torellius; ^-S-x, Q^a ed. Basil.
J@K] JK, @A Torellius; ^h ed. Basil. ^ 3. post haXl^addunt ed. Basil., Torellius (non Cr.): cag rj K0 nqog &Jj 7]
&r TtQog rj. AE] JE F. 4. AE] &E F. 5. K@,@J Torellius, ut lin. 6. 6. ^E, ET Torellius, ut lin. 9.
21. ^aa cum comp. rig F. 24. BKZJ Torellius. post
DE SPHAERA ET CYLINDRO II. 205
cius]. itaque JK X ®A = z/@ X ®K. rursjis quo-
niam K% : 0r= 0z/ : TJ^ etiam uicissim
sed demonstratum est @T: TJ = AE: ET itaque
K@ :®zJ = AE: ET. quare etiam
Az/2 : K@X&J = AT^ : AEX ET [u. EutociusJ.^)
sed demonstratum est K® X ®J = KA X A®. ita-
que KJ^ : KJ X A&, hoc est
KA : A® = AT^ : AEX ET,
hoc est = AT^ : EB^.^) et AT aequalis est radio
circuli N.^) quare ut radius circuli N quadratus ad
BE^^j hoc est ut circulus N ad circulum circum dia-
metrum BZ descriptum [Eucl. XII^ 2], ita K^ ad A&,
hoc est KA 2id altitudinem coni N. conus igitur N,
hoc est sphaera, aequalis est rhombo solido 5z/Ziir.*)
quorum^) conus BzlZ aequalis est segmento sphaerae
BTZ [u. p. 198, 20 sqq.]. itaque qui relinquitur, co-
nus BKZ aequalis est segmento sphaerae BAZ.
1) Ex eius adnotatione comperimus , Arcliimedem scrip-
sisse: ovx(oq rj JE lin. 4; vno tmv K@J, ovtcog liu. 5.
2) Nam AE : EB = EB : Er (Zeitschr. f. Math., hist.
litt. Abth. p. 181 nr. 16); tum u. Eucl. VI, 17.
3) Sit enim diametrus circuli N d. erit ex Eucl. Xtl, 2:
N : JBFZ = c?2 : ^r^; sed N = 4:ABrZ (I, 33); itaqued] == 4.Ar\ d = 2Ar.
4) Nam sint coni, ex quibus constat rhombus, Jc^, h^. ex
proportione supra p. 204, 11 sq. demonstrata adparet, conum Naequalem esse cono (/i;), cuius basis sit circulus circum BZ de-
scriptus, altitudo autem K/i (I lemma 4 p. 82); iamk:^^: \ = K^ : KE : EJ (I lemm. 1 p. 80),
et KJ = KE -\- E/i', tum u. Quaest. Arch. p. 48; cfr. p. 199not. 1.
5) (ov lin. 24 h. e. conorum, ex quibus constat rhombus.
QO(i§m addit Torellius : tm iyt, totv ncovoiv avyyisiii£v<p totv JB zi Z,
BKZ\ „ex conis bdf et bkf composito" Cr.
206 nEPi i:<i>AiPA2 kai ktainapot b'.
r
'
Tqltov riv TtQO^kriiia ro(^£' rriv dod^st^av OcpaiQav
iitiTtedcp re^etv, OTtcog ai rc5v r^rj^drov S7ti(pdv£iaL
TtQog dXlrilag loyov exca^iv rov avrov ra dod^evn.
5 ysyovsrcj, ocal e6rc3 rrjg 6(paiQag ^ayi^rog avKXog
6 AZIBE^ did^srQog ds avrov rj AB. xal SK^s^lri^^co
^Qog rrjv AB sTtijtsdov ogd^ov, xal TtoiSiro rb sitC-
Ttsdov sv tg5 AABE tivkIc} ro^rjv rrjv AE, nal sjt-
s^svx^cD^av al AZl^ BA. '
10 STtsl ovv Xoyog sdrl rr^g siticpavsCag rot' AAEr^TJ^arog TtQog rr^v STticpdvsiav rov ABE r^rj^a-
rog dod^sCg, dXXd ry siticpavsCcx. roi) AAE r^ri^arog
l'6og s6ri xvTilog., ov rj s% rov xsijrQOv i6rj s^rl rfj
AA, rfj ds STticpavsCa rov ABE r^rj^arog i6og s6rl
15 KVKlog, ov 7] SK rov nsvrQov i6rj s&rl rfj z/5, cog 8s
ofc siQrj^svoi KvnXoi TtQog dXlriXovg^ ovrcog ro djto
AA TtQog rb d^tb z/jB, rovrs^nv rj AF TtQbg FB^koyog aQa rrjg AF TtQbg FB dod^sCg. S6rs dod^sv s0ri
rb r 6rj^stov. %aC s6ri rfj AB itQbg oQQ^dg 7] A E.
20 ^s0si aQa nal rb did r^g AE STtCTtsdov.
6vvrsd^7]6srai ds ovrcog* s6rco 6(paiQa, rjg ^syi6rog
KVKXog 6 ABAE, Kal did^srQog rj AB. 6 ds dodslg MXoyog 6 rrjg Z TtQbg H. Kal rsr^rj6d^c3 rj AB Kard ro
1. 6' Torellius. 3. rsfistvl Ttfi- cum comp. iv uel rjv F.
5. cpccLQaq F. 12. 8od-sig om. F; corr. Torellius. 14. A z/,
tij ds snicpavsCu tov dEE tiirjfiaTog l'aog sarl mvh^os, ov
7} £% tov KsvtQov LOT} sotl ty Hn. 15 om. F; suppleuit ed.
Basil. 19. arjfiSLOv] syllab. fisiov in rasura F. 22. AJBETorellius.
DE SPHAERA ET CYLINDRO II. 207
III.
Tertmm problema hoc erat: datam sphaeram plano
secare, ita ut superficies segmentorum inter se ratio-
nem datam habeant.^)
fiat, et ^ii A^BE circulus maximus sphaerae, et
diametrus eius AB. et ponatur planum Sid AB lineam
perpendiculare^), et faciat planum illud in circulo
AABE sectionem ZlE lineam, et ducantur AA^ BAlineae.
iam quoniam data est ratio, quam habet super-
ficies segmenti AAEo^d superficiem segmenti ABEjet superficiei segmenti zlAE aequalis est circulus,
cuius radius aequalis est lineae AA [I, 43] ^ superficiei
autem segmenti ABE aequalis est circulus, cuius ra-
dius aequalis est lineae AB [I, 42], et quam rationem
circuli, quos commemorauimus, inter se habent, eam
habet AA"^ ad AB'' [Eucl. XII, 2], hoc est AT ad
TB [u. Eutocius], data igitur est ratio AT : FB.^)
quare datum est F punctum [u. Eutocius]. ei AE a,d
AB perpendicularis est. itaque etiam planum per AEpositum positione datum est.
componetur autem hoc modo. sit sphaera, cuius
circulus maximus sit ABAE, et diametrus AB. et data
ratio sit Z : H. et secetur AB in F puncto ita, ut
1) Genuina forma exstat tcsqI sXl-hcov praef. : tav dod^stoavccpaiQccv sninsda) tsfistv^ (06xs ra t(iafiata rag snicpavslag tovta%Jd-svta Xoyov s%siv not' alXaXa. de onoos lin. 3 cfr. Quaest.Arch. p. 70.
2) Solitum uerborum ordinem, quem restitui uoluit Nizze:snCnsSov oq&ov nQog ttJv AB (lin. 7) recipere non audeo prop-ter similem locum II, 5.
3) Lin. 18 scripserat Archimedes: dod-slg Srj Xoyog trjg AFnQog FB. hoc enim praebet Eutocius, nisi quod pro 8t] legi-
208 nEPI 2$AIPAS KAI KTAINAPOT B'.
r, co6ts slvaL, G)g rrjv AF itQog BF, ovtcog ttjv ZTfQog H. xal dccc tov T STtLTtidcp tst^i^Gd^co rj 6cpatQa
TCQog OQd^ag trj AB svd^Sia, xal s6to xolvt} to^rj rj
^E, %al S7islsv%^G)6av aX Azt, ^B. xal sxxsc^d-coGav
5 dvo KvxXoi OL 0, K, 6 ^sv ® i'0riv s%ov trjv sk toi5
ocsvtQOv tfi AzJ , 6 ds K trjv sx Toi5 xsvtQov i'6riv
s^ov trj zJB. s6tiv aga 6 ^sv @ xvxkog i'6og tfj STCi-
cpavsia roi' AAE t^rjfiatog, 6 ds K roi; ABE rfirj-
[latog. tovto yccQ TtQodsdsixtai sv rc5 TtQcoto ^i^XCo.
10 %al sTtsl OQd^ri s6tiv r vTto AAB^ xal xdd^stog rj Fz/,
s6tiv, cog -j^ AF TtQog FB, tovts6tiv rj Z TtQog H, ro
ccTto AA itQog ro ano AB, tovrs6ti to ccTto trjg sx
tov KsvtQOV rov @ xvxXov TtQog to ccTto trjg sx tov
xsvtQov tov K xvnlov, tovts6tiv 6 ® xvxkog itQog
15 rov K xvxXov, tovts6tiV rj STticpdvsia ro-u AAE rfiTJ-
fiatog TtQog trjv STticpdvsiav rov /JBE t^rj^atog trjg
6cpaiQag.
10. oqQ-ri] Hauber; doQ^Biacx. F, uulgo.
DE SPHAERA ET CYLINDRO II. 209
siiAr:Br=Z:H [Eucl. VI, 10]. et per F punctum
sphaera secetur plano 3id AB lineam perpendiculari;
et communis^) sectio sit z/£, et ducantur ^z/, ^B.et ponantur duo circuli @, iC, ita ut & radium lineae
yi^ aequalem habeat, K autem lineae zi B. itaque &circulus aequalis est superficiei segmenti ^AE [I, 43],
K autem superficiei segmenti zJBE [l, 42]. hoc enim
in primo libro demonstratum est. et quoniam angu-
lus AzlB rectus est [Eucl. III, 31], et F^ perpen-
dicularis, erit AF^rB, hoc est Z : H= AA^ : JB^[u. p. 206, 17], hoc est radius circuli @ quadratus ad
radium circuli K quadratum, hoc est S : K [Eucl.
XII, 2], hoc est superficies segmenti zfAEsid super-
ficiem segmenti sphaerae ^BE.
tur 8Si sed sine dubio errore librarii. fieri tamen potest, utdemonstrationis forma a transscriptore mutata sit.
1) Communis sectio sc. plani ad ^ B perpendicularis et cir-
culi maximi AJBE.
Archimedes, ed. Heiberg. I. 14
210 nEPI li^ArPAS KAI KTAINAPOT B'.
d\
T?rjv do%^Bt6av 6cpaiQav te^stv, Sots ra t^rj^ata
trjg 0g)aLQag TtQog alkriXa koyov e%Eiv tov avtov tc5
doQ^ivti.
5 £6tGi 7] dod-st^a 6cpatQa yj ABFzl. det drj avtrjv
te^stv STtLJtsdc), G)6ts ta t^rj^ata trjg ^cpaiQag TiQog
aXXrjXa Xoyov s%siv tov dod^svta.
tst^T^Od^G) dia trjg AF snntsdG). koyog a^a toi)
A^T t^rj^atog trjg ^cpaCQag TtQog tb ABF t^rj^a tr]g
10 6cpaCQag dod^sCg. tst^T^Od^co ds rj ^cpatqa dicc rot) %sv-
rot>, y,al s0t(X) rj to^r] ^syi^tog KvxXog 6 ABFzl^ xsv-
tQOV ds ro K, Kal did^stQog rj AB. Kal TtSTtoirjCSd^o,
Sg fisv Ovva^cpotSQog rj KzlX itQog z/X, ot^rog r] PXTtQog XB^ (Dg ds 6vva^cp6tsQog rj KBX JtQog BX,
15 ovtcog ri AX itQog XA^ %al sTtst^svi^^coCav ai AA, AF,APj Pr. i6og aQa s6tlv 6 ^sv AAF Kcavog rc5 AAFt^riiiati trjg ^cpaCQag^ 6 ds APF t(p ABF. koyog ccQa
xal tov AAF kcovov TtQog tbv APF kovov do^sCg.
A
(og ds Kovog TtQbg tbv xavov, ovtcog rj AX TtQbg
20 XP [sTtsCTtSQ trjv avtrjv ^cc^iv s^ov^iv tbv TtSQi dicc-
^stQOv trjv AF kvkXov]. koyog ccQa xal trjg AX TtQbg
XP dod^sCg. Kal dicc ro: avta totg JtQotSQOV dicc trjg
1. s' Torellius. 2. rs^ cum comp. lv uel riv F. 13.
DE SPHAERA ET CYLINDRO IL 211
IV/)
Datam sphaeram ita secare, ut segmenta sphaerae
inter se datam rationem habeant.^)
data sphaera sit ABF/I. oportet igitur eam plano
ita secare, ut segmenta sphaerae inter se datam ratio-
nem habeant.
secetur plano per AF posito. ratio igitur segmenti
A/dT ad segmentum sphaerae ABF data est. secetur
autem sphaera per centrum [plano ad planum per APpositum perpendiculari] ^), et sectio sit circulus maxi-
mus ABFAy centrum autem K^ et diametrus AB, et
fiat*) KA -i- ^X:AX=PX: XB et
KB + BX:BX==AX:Xzl,et ducantur lineae AA, AFj AP, PF. itaque conus
AAF aequalis est segmento sphaerae AAT, et APTconus segmento ABT [prop. 2]. quare data est ratio
AAT : APT sed AAT : APT= AX : XP.^) quare
etiam ratio AX:XP data est. et eodem modo, quo
supra [u. Eutocius], per constructionem erit
1) Transscriptor nescio qua de causa propositiones III et
IV permutauit; u. Neue Jahrb. Suppl. XI p. 392; cfr. Eutociusad prop. IV et tceqI 8Xi%. praef.
2) Genuinam liuius propositionis formam habemus tisqI
sXl-h. praef, : rccv doQ-SLGav acpatQav s7tL7tsd(a ts[islv, maxs raT^d[iaTa avTag nox' alXaXa tov Tax^svTa Xoyov s%slv.
3) Haec uerba Arcliimedes ipse uix omiserat.
4) Archimedeum est ygyovsTco; Quae^t. Arch. p. 70.
5) Sequitur ex I lemm. 1 p. 80, cum Jbasis eadem sit.
Xz/, z/X Torellius. 14. KB, BX idem. 22. XP^ hic uerbasnsinsQ lin. 20 — UQog XP lin. 21 repetuntur in F. tuavTu Totff] TavTOLg F; tuvtu Toig C* ed. Basil.; corr. B*.
14^
212 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT B'.
xataaKSvijg^ cog r} Azf TtQog K^, yj KB TCQog BP,
%al r} ziX TtQog XB, xal BTtEi b^tlv^ G)g rj PB TtQog
BK, 7} K/1 TtQog A/l^ awd-evtL, (og rj PK TtQog KB^tovte6tL TtQog iiCz/, ovtcjg rj KA JtQog AA. xal oXrj
5 KQa rj PA JtQog oXrjv tr\v KA iotiv^ (og rj KA JtQog
AA. l'<30v aga tb vTto tcDV PA^ tc5 aTto AK. cog
aQa ri PA itQog ^z/, to djto KA JtQog tb ditb A/1.
%al iTteC s6tLv, ag rj A^ TtQbg /J K^ ovtog rj ^X itQbg
XB, £6taL dvaTtahv %al Ovvd^svtL^ wg KA TtQbg AA^10 ovtag r\ B/1 TtQbg AX [x«l cog aQa tb ditb KA TtQbg
tb ditb AA^ ovtog tb drtb -Bz/ TtQbg tb d^tb A X]
[TtdlLV BTtSL s6tLV^ cog rj AX TtQbg z/X, ^vva^tpotSQog
rj KB, BX TtQbg BX, disXovtL^ eog rj A/1 TtQbg z/X,
ovtcjg rj KB TtQbg BX]. Tcal TiSLOd-co tfi KB i6r] rj BZ.
15 otL yaQ sKtbg tov P 7ts6sLtaL, drjlov [xal s6taL (og rj
A/1 itQbg z/X, ovt(xig rj ZB TtQbg BX. S6ts xal cog rj /lA
itQbg AX^ rj BZ TtQbg ZXJ. sjtsl ds Xoyog s6tl trjg A
A
TtQog AX dod^SLg, xal trjg PA ccQa TtQbg AX koyog
s<5tl dod^SLg. sTtsl ovv 6 trig PA JtQbg AX Xoyog (5vv-
20 rintaL sx ts roi;, 6V sxsi r} PA TtQbg A/J, %al rj /1
A
TtQbg AX, dX)J cjg ^sv rj PA TtQbg ^z/, ro djtb ABTtQbg ro dTtb AX^ G)g ds r} /1A itQbg AX, ovtcjg rj
BZ TtQbg ZX, 6 ccQa tijg PA TtQbg AX Xoyog 0vv-
rJTttaL sx ts rov, ov s%si ro ditb B/1 itQbg tb ditb
6. PA, AA Torellius. i6ov ccqcc — dno AK delet Hau-ber. 8. zfX] BX F. 17. AA'] PX Hauber. 18. aQaom. Torellius. Post AX idem addit: nal rrjg PA ccQa TtQOs AJ.23. ZX] BX FBC*.
DE SPHAERA ET CYLINDRO II. 213
AA : KA = KB: BP= AX : XB.
et quoniam est PB : BK — KA : AA [dvccTCaXtv Eucl.
V, 7 TtoQiO^cc]^ erit componendo [EucL V, 18] PK:KB,hoc est PK : Kzl = KA : AA. quare etiam
PA:KA==: KA : AJ [Eucl. V, 12; Eutocius].
itaque PAxAJ-= KA^ [Eucl. VI, 17]. ^) erit etiam
PA : Az/ = KA^ : AA^ [u. Eutocius]. et quoniam
AA : AK = AX:XB, erit e contrario [Eucl. Y, 7
'jtoq.] et componendo [Eucl. V, 18]
KA:AA = B/i:AX})et ponatur BZ = KB., nam extra P punctum eam
egressuram esse, adparet [u. Eutocius]. sed quoniam
ratio AA:AX data est [u. Eutocius], erit igitur etiam
ratio PA : AX data.^) iam quoniam ratio PA : AXcomposita est ex rationibus PA : A/i et AA: AX,
sed PA: Azi = AB^ : AX^ [u. Eutocius]*), et
AA:AX=BZ:ZX [u. not. 2],
itaque ratio PA : AX composita est ex rationibus
1) Hoc addit propter syntliesin (p. 216, 15). nec hinc pen-
det sequens ccqcc lin. 7, sed refertur ad proportionemPA : KA == KA : AzJ,
nt ex Eutocio quoque adparet.
2) Sequentia uerba nai ag lin. 10 — ccTto -dX lin. 11 sub-
ditiua sunt, ut cognoscimus ex Eutocii adnotatione: mg Se to
«jro KA TtQog t6 dno AzJ, ovtcog xo anb jBz/ nQog to ano zJX'
sdBix^ri yccQ, wg rj KA nQog AzJ, r} BJ nQog /iX. sed etiamproxima uerba ndXiv lin. 12 — nQog BX lin. 14 et xo;l satac
lin. 15 — nQog ZX lin. 17 delenda sunt. nam ut adpareat,
rationem ^A:AX datam esse, Eutocius prius demonstratBZ : ZX = AJ : AX, quod non fecisset,' si iam apud Archi-
medem ipsum demonstrationem inuenisset.
3) Genuinam huius loci formam praebet Eutocius: BnBl Ss
Xoyog satl tijg AA nQog AX Sod^Sig, nal trig PA nQog AX, yial
trig PA ocQa nQog AA Xoyog sati Sod^sig.
4) Archimedes scripserat lin. 21: dXX' ag (isv rj PA nQogAJ, sdsLx^rj to dno Bz/. praeterea p. 214 lin. 1: ysyovstco.
214 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT B'.
z/X, xccl rj BZ TtQog ZX. TtSTtoirjOd^c} de (og 7] PATtQog AX, rj BZ TtQog Z®. loyog ds f^g PA TtQog
AX dod^stg. loyog aga xal tijg ZB TtQog Z® do-
^sig. dod^siGa ds rj BZ' t6ri ydg s6ti rfi ix tov
5 KSvtQOV Sod^st^a ccQa xal rj Z&. Tcal 6 tr]g BZaQa koyog TtQog Z® OvviJTttaL sx ts tov, ov sxst tb
djto BA TtQog tb ditb z/X, %al r] BZ itQog ZX. dXX'
6 BZ TtQbg Z@ koyog Ovv^Tttac s% ts tov trjg BZTtQog ZX Tcal tov f^g ZX TtQbg Z® [xoovbg dg^rjQrjod^G)
10 6 trjg BZ TtQbg ZX]. XoLitbv ccQa s0tlv Gtg tb dnb
BA^ tovts6tL dod^sv TtQbg tb djtb z/X, ovtcog r} XZTtQbg Z&y tovtsGtL JtQbg dod^sv. xat s6tLV dod^stoa rj
Z/1 sv^sta. svd^stav aQa dod^st^av trjv AZ ts\kstv
6st ocatd tb X xal itOLstv, cog trjv XZ TtQbg Sod^st^av
15 [trjv Z0], ovtcog tb dod^sv [tb ditb B/l] TtQbg tb djtb
/IX. tovto ovtcog ditX^g \isv Xsyb^svov s^sl SloqlO-
fAOv, TtQo^ttd^s^svcJV ds tmv TtQOplrj^dtcov tmv svd^dds
VTtaQxovtov [tovts0tL tov ts dLTtXa^Lav slvaL trjv ^Btrjg BZ %al tov ^SL^ova t^g Z& trjv ZB, (X)g xatd
20 trjv dvdXv6Lv] ovk s%sl Sloql^^ov. xal s0taL tb itQO-
pkrj^a tOLOvtov dvo dod^SL^cov svd^SLcav tmv 5z/, 5Z,
xal dL7tXa0Lag ovdrjg trjg Bzl trjg BZ, xal drj^SLOV
STtl trjg BZ tov 0, ts^stv trjv z/5 aatd tb X xal
TtoLstv, cog tb djtb -Bz/ ^Qbg tb ditb z/X, trjv XZ25 TtQbg Z@. sxdtsQa ds tavta sitl tsXsL dvalvd^ijOstaL
ts xal 6vvtsd^i]6staL.
Ovvtsd^i^astaL ds tb JtQopirj^a ovtcog' stStco 6 do-
^slg loyog 6 trjg II itQbg 2J, ^SL^ovog TtQbg sXd60ova.
2. ds] dri Torellius. 8. GvvrintccL] cvvT^nts F; fortasae
GvvrJTCtca tiai. 13. sv&siav ccqo] scripsi; nccQa per comp. F,
uulgo; xal drj uel ccQa Torellius. 19. rrjg] (alt.) scripsi; tr^v
F, uulgo. f^v] trjg F per comp., uulgo; tijv JBZ trjg Z&
DE SPHAERA ET CYLINDRO II. 215
5z/2 : /IX^ et BZ : ZX fiat^) autem
PA:AX=BZ:[email protected] autem PA : AX data est; itaque etiam ratio
ZB : Z® data. sed etiam BZ data est; radio enim
aequalis est. quare etiam Z& data. itaque etiam
ratio BZ: Z@ composita est ex rationibus 5z/^:z/X^
et BZ : ZX. sed eadem ratio etiam ex rationibus
BZ : ZX et ZX: Z® composita est.^) itaque quod
relinquitur J3^^, boc est spatium datum, ad ^X^ eamrationem habet, quam XZ ad Z@, hoc est ad datam
lineam [u. Eutocius]. et data est linea Zz/. datam
igitur lineam z/Z secare oportet in puncto X^ ita ut
sit, sicut XZ ad lineam datam, ita datum spatium
ad zfX^. hoc si ita indefinite proponitur, determinatio-
nem habet, sed adiunctis condicionibus, quae hoc loco
exstant, determinationem non habet. et erit problema
huhismodi: datis duabus lineis B^ et BZ^ quarum
J5z/ duplo maior est linea BZ^ et puncto ® in linea
BZ lineam z/J5 in puncto X ita secare, ut fiat
BZI^: JX^ =- XZ:Z®.quorum utrumque in fine et resoluetur et componetur.^)
componetur autem problema hoc modo: data ratio
sit lineae 77 ad Hj maioris ad minorem, et sphaera
1) Cfr. p. 213 not. 4.
2) Ex Eutocio concludi posse uidetur, uerba Hotvog lin. 9— nQoq ZX lin. 10 subditiua esse.
3) Qnod hic pollicetur supplementum, iam Dioclis et Dio-nysodori temporibus interciderat, sed Eutocius putat, se ipsamArchimedis resolutionem repperisse, neque iniuria (Quaest. Arch.
p. ^l). aliam totius problematis resolutionem dedit Hugenius:opera mechanica cet. (Lugd. Batau. 1751. 4) II p. 388—91.
Torellius. 23. z/BJ AB F. 27. ds] scripsi; dri F, uulgo.28. ftfit^ovos] scripsi; (isl^ov F, uulgo.
216 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT B'.
xal dedo^jd^co xl^ CcpaiQa^ %al rsr^rjCd^G) i7ti7tid(p dia
tov KEvtQov. Kal E0t(o to^fj 6 ABF^ KvxXog, %al
didfistQog e6t(o 17 5 z/, xevtQOv de tb K. xal tfj KB167] Tcsi^d^co 7} BZ, xal tst^rj^d^co 7] BZ xata tb 0^
5 m^ts slvac (og trjv @Z TtQbg ®B, trjv IJ TtQog U. %al
sti tst^T^oO^co r] B/J Kata tb X, S6ts slvai G)g trjv
XZ Ttgbg @Z, tb ajtb 5z/ Tt^bg tb ditb z/X, xal did
tov X sTtiTCcdov sK^sjilriGd-cj oQd^bv Tt^bg fi^v 5z/.
Xsycj^ oti tb sTtiTtsdov rovro ts^st trjv 0(paiQav, Sots
10 sivai^ (hg tb ^si^ov t^rj^a Tt^bg tb sXa66ov^ trjv UTt^bg 2J. TtSTtoii^Od^cj yaQ cog ^sv 6vvaji(p6tSQog rj KBXJtQbg BX^ ovtog rj AX TtQbg AX^ G)g ds 6vva^(p6-
tSQog rj KAX TtQbg XA, rj PX TtQbg XB, ocal S7t-
s^svxxlrcoaav al AA^ AF, AP, PF. s6tai drj did trjv
15 Kata6KSvr}v ^ cog sdsC^a^sv sv tfi dvaXv6si, l'6ov tb
vTtb PAzl t(p ditb AK' xal cog rj KA TtQbg A/i^
rj BA TtQbg AX. S6ts ocal (og tb ditb KA 7tQbg'tb
djtb AA^ tb ditb BA TtQbg tb djtb AX. Kal STtsl tb
vTtb tcov PAzf ta ditb AK s6tiv i6ov \s6tiv^ (hg r]
20 PA TtQbg AA, tb ditb AK TtQbg tb ditb AA], s6tai
ccQa Kal cog rj PA TtQbg AA^ tb ditb BAitQbg tb ditb z/X,
tovts6tiv rj XZ TtQbg Z©. Kal sitsC s6tiv, (og 6vva^-
cpbtSQog rj KBX JtQbg BX, ovtcog rj AX TtQbg Xz/, i6ri
ds s6tiv rj KB tfj BZ, s6tai ccQa Kal (og ri ZX TtQbg XB^25 ovtcog rj AX TtQbg XA. dva6tQSipavti, cog rj XZ TtQbg
ZB, ovtcog rj XA itQbg AA. S6ts Kal cog rj A^ TtQbg
8. Trjv] scripsi; to F, uulgo. 11. KB, BX Torellius, ut
lin. 23. 13. KJ, JX idem. 15. to] tco F. 16. PA,AJ Torellius, ut lin. 19. 17. Post KA repetit F: TtQog AJrj Bd TCQog z/X coGts %ai cog to ano KA TCQog A^ r] B d nQogi/X 036ts Y,cci (og to ccno KA; similia BC*. 22. w?] 6 suprascriptum manu 1 F. 25. AX] JX F; corr. Torellius.
DE SPHAERA ET CYLINDRO II. 217
data sit, et secetur plano per centrum posito, et sectio
sit circulus ABFJ^ cuius diametrus sit B^, centrum
autem K. et ponatur BZ lineae KB aequalis, et
secetur BZ m puncto S ita, ut sit 0Z :SB = TI : E.
porro secetur linea jBz/ in puncto X ita, ut sit
XZ:®Z== BJ^: ^X^,
et per X ducatur planum ad Bzf perpendiculare. dico,
hoc planum sphaeram ita secaturum esse^ ut maius
segmentum ad minus eam rationem habeat, quam 77:27.
fiat^) enim KB + BX : BX= AX : ziX et
KA + AX:XA = PX: XB,et ducantur lineae AA, AF^ AP, PF. erit igitur
propter constructionem, ut in analysi demonstrauimus
. [p. 212, 6], PAxAA = AK\ et
KA:A^ = BA: AX [p. 212, 9—10].quare etiam KA^ : AA^ == BA^ : AX^] et quoniam
PAXAA = AK^,erit igitur etiam [PA X AA : AA^, hoc est]
PA:AA = BA^:AX^ = XZ:&Z [ex hypothesi].
et quoniam est KB + BX:BX=AX:X^, et KB= BZ,erit igitur etiam ZX: XB = AX:XzJ. et conuer-
tendo [Eucl. V, 19 716^10^0] ZX:ZB = AX : AA.
1) Archimedes pro Ttsnoti^o&ai scripsorat ysyovsra) lin. 11,et hoc habet Eutocius.
218 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT B'.
AX, ovtog 7] BZ jtQog ZX. xal iitaC ietLv, (og rj PATtQog AzJ, ovtwg 7] XZ TiQog Z@, mg ds rj /1A TtQog
AX, ovtcjg 7] BZ TtQog ZX, 0{al dc' tfSov iv trj ts-
taQay^ivTj avaXoyia.^ tog r\ PA TtQog AX, ovtayg rj BZ5 TtQog Z@. xal wg aQa 7] AX TtQog XP, ovtcsg rj Z0
TtQog ®B. (hg de 7] Z@ itQog ®B, ovtcog rj TI TtQog 27.
xal ojg aQa rj AX TtQog XP, tovts6ttv 6 AFA Timvog
TtQog tov APr Kcovov, tovtiati t6 A/iT t^rj^a trjg
6(pacQag TtQog tb ABF t^rj^a trjg 6(paLQag, ovtcyg rj
10 n TtQog U.
r
s .
T(Hi dod-svti t^ri^ati (5(paiQag ofxoLOV Tcal akXci rc5
do^ivti t6ov to avtb (DvCf^da^Sd^ai.
s6tc3 ta dvo dod^ivta t^i^^ata 6(paiQag ta ABF,15 EZH. xal s6to tov ^sv ABF tiirniatog ^dOig 6 TtSQt
did^stQov trjv AB TcvxXog, TCOQVCprj ds tb F 6rj^Si0v,
tov ds EZH pcc6ig 6 TtSQi dicc^stQOv trjv EZ^ xoQV^prj
ds tb H Orjiisiov. dst drj svQstv t^rj^a 6(paiQag, o
s6tai ta ^sv ABF t^rjfiati l'6ov, t(p ds EZH20 O^OiOV.
svQi^ed^co^ %al s6tG) tb ®KA, xal s0tco avtov ^cc-
0ig ^sv 6 JtSQi didiistQov trjv &K KVKXog, KOQV^prj ds
tb A 0r}^stov. s6tc36av d^ xal xvTcXoi iv tatg 6(pai-
Qaig oi ANBF, ®SKA^ EOZH^ did^stQOi ds avtc5v
25 TtQbg OQd^dg tatg ^d6s(5iv tcov t^rj^dtcjv (^i VN^ AlSl,
HO. xal sOtcD xsvtQa td H, P, 2. xal TtsTtoiri^d-cj,
8. Hmvov'] HOivov Ttgog (comp.) F. AJF] AAFF; corr. To-rellius. 11. g' Torellius. 12. dXXco] uXXo F; corr. AB. 26.
HO] H@ F; corr. Torellius.
DE SPHAERA ET CYLINDRO II. 219
quare etiain A^ : AX— BZ : ZX [Eucl. V, 7 tcoq.].
et quoniam est
PA:AA-=XZ: Z@, et Azl :AX=BZ: ZX,
erit ex aequali in perturbata ratione [Eucl. V, 21; Eu-
tocius] PA:AX=BZ:Z&, et AX:XP=Z®:®B.')sed Z®:@B — n:E [ex hypothesi]. quare etiam
AX: XPj hoc est conus AFA ad conum APF [p. 211
not. 5], hoc est segmentum sphaerae AAT ad seg-
mentum sphaerae ABT [prop. 2] =77:27.
y.
Segmentum sphaerae construere dato segmento
sphaerae simile et alii dato idem aequale.^)
duo segmenta sphaerae data sint ABT^ EZH. et
segmenti ABT basis sit circulus circum diametrum
AB descriptus, uertex autem T punctum, segmenti
autem EZH basis circulus circum diametrum EZdescriptuS; uertex autem punctum H. oportet igitur
segmentum sphaerae reperiri segmento ABT aequale
et idem segmento EZH simile.
reperiatur, et sit @KA, et basis eius sit circulus
circum diametrum SK descriptus, uertex autem punc-
tum A. praeterea sint circuli [maximi]^) sphaerarum
ANBTj &SKA, EOZHj et diametri eorum ad bases
segmentorum perpendiculares TN, AS, HOy et centra
1) Nam conuertendo PA : XP = BZ': B0, et uicissimPA : BZ = XP : B@ =^ AX : Z0; unde uicissim
AX:XP=Z@:[email protected]) Hoc problema antea latius proposuerat; to dod-sv Tfta/*a
acpuiQag ro5 dod^svti T(icc(HXtL GcpcciQag ofiOLcoGca; praef. TteQt
slLyimv.
3) Archimedes sine dubio scripserat (isyiatot v,v%Xoi lin. 23,
220 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT B'.
cjg (i£v 6vva^(p6r6Qog jj 77iV, NT JtQog trjv NT^ ov-
rcDg rj XT TtQog TF, cog 68 6vva^g)6r£Qog 17 PS.^ ST
TtQog IHIT, ovrcog 6 "^FT TtQog TA, cog dh 6vva^(p6-
r£Qog 7] EO^ O0 TtQog O0, ovrcjg rj S10 TtQog OH.5 xal vo^Lgd^ca^av KcovoLy cov ^a(3£ig ^iv £i6lv oC Jt£Ql
dia^irQOvg rag AB^ &K, EZ %vkXol^ xoQvcpal d£ ra
Xy ^, Sl 6rj^£La. £6raL drj L(5og 6 ^lv ABX xcjvog
r^ ABF riiriiiarL rr^g CcpaLQag^ 6 df W&K ra ®KA^6 d£ E^Z np EHZ. rovro yccQ d^d^LxraL. xal £7t£l
10 l6ov iijrl ro ABF r^rj^a rr]g 6(paLQag ra &KA r^itj-
^arL^ L6og ccQa xal 6 AXB Ticovog r^ W&K xcdvcj
[rcov d£ 1'6g)v xdvcov dvrL7t£7t6vd^a6LV av ^d6£Lg rotg
vifj£6LV^. £0rLV aQa, cog 6 7Cvx^,og 6 7t£Ql dLcc^^rQOv rrjv
AB TtQog rbv %v%Xov rov 7t£QL dLcc^^rQOv rrjv @K^
3. TA] T in rasura F. 4. ^$] 0$ F; corr. manus 2.
DE SPHAERA ET CYLINDRO 11. 221
n, P, U. et fiat^)
nN+ NT:NT=^ XT: TFet
PS + ST : ST ^ ^FT : TAet
ZO + 00 : 00 = 520 : QH.
et fingantur coni^ quorum bases sint circuli circum
AB, ®K, EZ descripti, uertices autem puncta X, Wy 5i.
erit igitur conus ^EXsegmento sphaerae ABF aequa-
lis, conus W&K segmento SKA, conus E^Z seg-
mento EHZ. hoc enim demonstratum est [prop. 2].
et quoniam segmentum spbaerae ^^Fsegmento 0KAaequale est, etiam conus AXB cono W@K aequalis
est. itaque circulus circum diametrum AB descriptus
ad circulum circum diametrum 0K descriptum eam
sed omissionem transscriptori imputare malim, quam cum Niz-zio iiiyiGtoL addere; Quaest, Arch. p. 76.
1) nBnoLTiGd-ai p, 218 lin. 26 pro genuino yEyovst(o.
5, ^aGLq F; corr. B. 6. dicc^stQOv F; corr. B, tdg'] trjv
F; corr. B*. 7. satocL] per comp. F. d'^] scripsi; ds F,
uulgo. 12. §cc6 cum comp. rjg F,
222 nEPi s^AiPAi: kai ktainapot b'.
ovTcog rj WT JtQog XT. tog ds 6 xvx^og TtQog tov
xvxkov, ro djto AB Tt^bg to dito &K. (hg aQa t6
dito AB TtQog t6 dno ®K^ ovrcjg tj WT itQog XT.ocal ijtsl o^oiov e6xi xb EZH r^rj^a ra ®KA r^Yj-
5 ^an^ Ofioiog aQa eCrl xal 6 EZSl Tccovog rw W®KxojvG) [rovro yccQ dsixd^riOsrai]. s6riv dga, cog rj SIOTt^bg rriv EZ^ ovrcog r\ WT itqbg 0K. Xoyog 8s rrig
ii^ Ttgbg rrjv EZ dod^Sig. Xoyog ccQa xal rrjg WTJtQbg rrjv ®K dod^Sig. 6 avrbg s6rc3 6 rr^g XT TtQog /i.
10 %ai s6ri dod^siOa rj XT' do&st^a d^a xal rj /i. xal
insi sGnVj d>g rj Vf^T Ttgbg XT, TowfWt t6 djtb ABTtQbg rb ditb ®K^ ovrcog rj 0K Ttgbg z/, 7isi6^Gi r<p
ditb 0K i6ov rb vTto AB, <S. s6rai dqa %ai^ dig rb
ditb AB TtQbg rb ditb SKj ovrcog r\ AB Tt^bg rrjv ?.
15 sdsixd^Yj ds xai^ cog rb ditb AB Ttqbg rb ditb @K., ov-
rcog rj ®K Tt^bg A. %aX svaXXd% dig r\ AB Ttgbg &K,ovrcjg rj <S JtQbg /1. cog ds rj AB TtQbg ®K^ ovrcog
rj ®K TtQbg ? [did rb i6ov slvai rb ditb ®K ra vTtb
rc5v AB, ?]. cctg aQa r\ AB JtQbg 0K^ ovrcog rj 0K20 TtQbg s^, y,ai r\ <S TtQbg z/. dvo aQa dod^si^cov rojv AB^
z/ dvo ^s6ai Tcard xb 6vvs%sg dvdloyov si6iv at ®Kj <5.
6vvrsd")]6srai ds rb TtQo^Xrj^a ovrcog' s^rco, a> ^sv
dsi i6ov riiriiia ^v^r^^^a^d^ai, rb ABF^ o? ds oftotoi/,
t6 EZH. oial s6rG)6av ^syi6roi nvTcXoi rcov 6(paiQcav
25 o/: ABTN, EHZO, did^srQOi ds avrmv ai TN, HO,%al xsvrQa rd 77, Z!. xal TtSTtoirj^d^G) ^ cog ^sv 6vv-
ayiiporsQog rj HN, NT TtQbg NT, ovrcog rj XT TtQbg
2. ro uTio] ovTcog to cctio Torellius. 4. Toi] ta F. 5.
o^OLog] 0^101(05 F; corr. ABC. 9. 0K] &k'(o F; corr. ed,
Basil. 13. £6taL] per comp. F. 19. AB] z/B F. 22.
ds] scripsi; $7} F, uulgo. 25. EHZO] scripsi; EHZSl F:
HEOZ uulgo. HO] H© F; corr. BCD.
DE SPHAERA ET CYLINDRO II. 223
rationem habet, quam WTiXT [I lemm. 4 p. 82].
sed ut circulus ad circulum, ita AB^ : &K^ [Eucl.
XII, 2]. itaque AB^ : @K^ = WT : XT. et quoniam
segmentum EZH segmento @KA simile est, etiam
conus EZ^ cono W@K similis erit [u. Eutocius].
itaque 9^^:EZ^WT:&Ki\x. Eutocius; cfr. I lemm.
5
p. ^2\ sed ratio 5i^ : EZ data est [u. Eutocius]. ita-
que etiam ratio WT :SK data est. eadem sit ratio
XT:A. et data est linea XT [u. Eutocius]. quare
etiam A linea data est. et quoniam est WT:XTyhoc est AB^ : ®K^ = @K : ^% ponatur
^j5 X g = @K\
erit igitur etiam AB"^ : &K^ = AB :g.''^) sed demon-
stratum est AB^^ : ®K^ = ®K : z/. uicissim igitur
[Eucl. V, 16] AB:®K = g:A [u. Eutocius].^) sed
AB :®K = ®K:^ [Eucl. YI, 17]. itaque
AB:®K = ®K:<; = <5: ^.
itaque inter datas lineas AB, ^ duae mediae propor-
tionales in proportione continua sunt SK, S'. [quare
eae quoque datae sunt; prop. 1 p. 192, 23].
componetur autem problema hoc modo. sit ABFsegmentum, cui aequale segmentum construendum est,
EZH autem, cui simile construendum. et circuli
maximi sphaerarum sint ABFN, EHZO, et diametri
eorum FN, HO, et centra, H, U. et fiat^)
nN+ NT:NT= XT:Tr
1) Est enim WT : (9X == XT : z/; tum u. Eucl. V, 16; u.
Eutocius.
2) Nam AB^ : ©K^ = AB^ : AB X ^ = AB : g.
3) Ex adnotatione eius adparet, Archimedem ovrcog lin. 17
omisisse.
4) nsTtoLiqa&co d: ysyovstco (lin. 26).
224 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT B'.
Tr, (X)g ds 0vva^(p6r£Qog 7} 2JO0 Ttgog O0, ij S10TCQog 0H. L0og ccQa s6tlv 6 ^sv XAB xcovog xa
ABr T^ri^axi tijg CcpaiQag, 6 ds Z^E tc5 EHZ.TCejtOLi^^d^cOy (og 7j ^O TtQog EZ^ oiJTajg rj XT TtQog z/.
5 Tcal dvo dod^SLOcjv svxtsLcov tSv ABj A 8vo ^s6aL
avdXoyov slXrifp^Gi^av^ aC &K, ^, S0ts sivaL cog trjv
AB TCQog @K, ovtcog trjv K® TtQog cr, Kal trjv ^ TtQog
^. xal sTtl tijg 0K xvkIov t^ij^a S(ps6td6%'o to ®KAo^OLOv ta EZH kvkIov t^rj^atL^ xal dvaTtSTtXrjQCjOd^cj
10 %vxXog^ xal s6tc3 avtov dLa^stQog rj AS. %al vo-
SLG^ca 6(patQa, rjg ^syLOtog TivTiXog s(5tlv 6 A&SK,j
nsvxQov ds to P. Tcal dLcc trjg @K sjtLTtsdov OQd^ov '
sTi^s^Xried^ci TtQog trjv AS. sdtac drj to t^rjfia trjg
0cpaLQag t6 STtl td avtd tcg» A o^olov tc5 EZH TfiiJ-
15 ^atL trjg 6(paLQag., STtSLdrj %al tdov xvkXcjv td t^rj^ata
rjv o^OLa. Xsya ds, oxl oial l6ov s6tl tco ABF t^rj-
^atL vrjg 6(paLQag. TtSTtOL^^^d^co , cog 6vva^(p6tsQog rj
PS, ST TtQog ST, ovtcogrj WT TtQog TA. l'6og aQa
6 W&K %(DVog ta SKA t^Tj^atL trjg 6(paLQag. %al
20 STtSLdrj 0[i0L6g s6tLV 6 WSK xcovog tg5 Z£IE kcovg),
s6tLv aQa.^ (ng 7j S10 TtQog EZ, tovts6tLv rj XT JtQog
z/, ovtcog rj ^T TtQog &K. kvI svalXd^ xal dvdita-
Xlv. (hg ccQa rj WT TtQog XT, rj &K TtQog A. xal
STtSLdrj dvdloy6v sl6lv ai AB^ KS^ ^, z/, s6tLV^ G)g
25 t6 dito AB TtQog to djtb SK^ rj SK TtQog /1. Gog ^\
rj 0K TtQog z/, rj ^FT TtQog XT. kol (hg aQa t6 dTto
AB JtQog to djto KS^ tovts6tLv 6 TtsQi dLa^stQOv
1. TT] TV {= TTl) F; sed fortasse V est y. 20^]Sq, O^ Torellius. Sl^] 0$ F; corr. BCD. 8. icps-
CTccad-co] scripsi; STtsGtaod^co F, uulgo. 13. soxaL] per comp.F. 14. EZH@ F. 17. (og] yap ag Nizze. 18. WT] Tin ras. F. 24. AB] A0 F; corr. Torellius.
DE SPHAERA ET CYLINDRO IL 225
et
20 + O0:OO = Sl<^:OH.
conus igitur XAB segmento sphaerae ABFy conus
ZSIE segmento EHZ aequalis est [prop. 2]. fiat^)
^0 : EZ = XT : z/. et datis duabus lineis AB, z/^
duae mediae proportionales sumantur ®Ky ^ [prop. 1
p. 192, 23], ut sit AB:®K = 0K:<5 = <5: A, et in
(s>K linea construatur segmentum circuli ®KA segmento
EZH simile [cfr. Eucl. III, 33 et III def. 11], et ex-
pleatur circulus [Eucl. III, 25], et diametrus eius sit
AS' et fingatur sphaera, cuius circulus maximus sit
A&SKy centrum autem P. et per ®K lineam duca-
tur planum ad ^S perpendiculare.^) erit igitur seg-
mentum sphaerae in eadem parte positum, in qua
A punctum, segmento sphaerae EZH simile, cumetiam circulorum segmenta similia sint. dico autem^),
id aequale esse etiam segmento sphaerae ABF, fiat^)
PS + ST: ST = WT : TA. itaque conus ^@Kaequalis est segmento sphaerae ®KA [prop. 2]. et
quoniam conus W&K similis est cono ZSIE^ erit
P.0 : EZ, hoc est XT: /i [ex hypothesi], = WT:@K[p. 222, 9]. et uicissim [Eucl. V, 16]
[XT: WT= A : @K]et e contrario [Eucl. Y, 7 ;to>.] WT:XT=®K: ^.
et quoniam proportionales sunt lineae AB^ K@, <Sj z/,
erit AB^ : 0K^ = ®K:^ [u. Eutocius]. sed
®K:^ = WT:XT.quare etiam AB^ : K®^j hoc est circulus circum dia-
1) nBnoLTjcd^co lin. 4 et 17 d: ysyovsta).
2) De uerborum ordine lin. 12—13 cfr. p. 207 not. 2.
3) Fortasse scribendum : Xsyo) 8ri lin. 16.
Archimedes , ed. Heiberg. I. 15
226 nEPI 2f>AIPA2 KAI KTAINAPOT B'.
trjv AB Kvxlog TtQog xov TteQi dLcc^stQOV trjv &Kxvxkov, ovtag rj WT TtQog trjv XT. i'6og ccQa iotlv
6 XAB xcovog ta W®K Kcova. S^te xal to ABFtfirjiia trjg 6(paCQag i'6ov s6tl rc5 ®KA t^rj^ati trjg
5 6(paLQag. ta do^ivti ccQa t^r^^ati ta ABF lcov xal
aXXcu rc5 dod^evtc oiiolov rco EZH to avto 6vvs6tatac
t6 @KA.
?\
^vo do^ivtav 6cpaCQag t^rj^dtcov, ei'te trjg avtrjg
10 SLts ft?J, svQstv t^rj^a 6(paCQag, o i6tai svl ^sv t^v
dod^ivtcDv o^OLOv, trjv ds ivCLCpdvsLav s^sl i'6rjv tfi tov
stiQOV t^ri^atog iitLcpavsCcc.
s6to td dod^ivta t^7](iata 6(paLQLycd xatd tdg ABF,ziEZ JtSQLCpSQsCag. xal s6to^ (h ^sv dst o^olov svqslv^
15 t6 %atd TT/t/ ABF TtsQLCpiQSLav, ov ds trjv i7tL(pdvsLav
i6riv s^SLV tfi iitLcpavsLcc t6 xatd trjv ^EZ. xal ys-
ysvr\6%(xi^ xal s6to to KAM t^rjfia trjg 6(paCQag tm
ft-fi/ ABF tiiYiiiatL o^OLOV^ trjv ds iitLcpdvsLav L'6r\v
s%itco tfj To£» AEZ t^rj^atog i7tL(pavsCcc. xal vosC^d-co
20 T« xivtQa t(ov 6(paLQoov, xal dt' avtcov irtCTtsda ix-
^spXrj^d^co OQd-d TtQog tdg tcjv t^rj^dtcov pd6SLg^ xal
iv ^ev tatg 6cpaCQaLg to^al e6tco6av oC KAMN,BAFS^ EZHA ^iyL6toL xvxXol, iv de tatg ^d6e6L
tcov t^rjndtov ai KM, AF^ AZ evd^staL. dLd^sxQOL
25 ds Tcoii' 6(paLQov TtQog oQd-dg ov6aL tatg KM^ AF,
1. zTjv AB xvxXoff TtQog xov Ttsql didfistQOv'] om. F; corr.
Torellius (et Cr.). 2. ytvnXog F; corr. Torellius. 6. aXXo
F; corr. ed. Basil.* 8. ^' Torellius. 10. svq cum comp. lv
uel r}v F. svC] sv F; corr. B*. 17. rftTjitta] om. F; corr.
Torellius. sed fortasse potius delenda sunt triq GcpaCQuq. 21.
OQ^-d TtQog] syllab. — -&•« nQog in rasura F; uidetur fuisse 0Q%^ttL.
DE SPHAERA ET CYLIXDfiO U. 227
metrum AB descriptus ad cii*culum circum SK de-
scriptum [Eucl. XII, 2] = WT : XT. quare aequales
sunt coni XAB, W&K [I lemm. 4 p. S2]. itaque
etiam segmentum sphaerae ABF aequale est segmento
&KA. itaque inuentum est segmentum GKA dato
segmento ABF aequale et idem alii segmento dato
EZH simile.
VL
Datis duobus segmentis spbaerae, siue eiusdem siue
non eiusdem, segmentum spbaerae inuenire, quod al-
teri datorum simile sit, et superficiem superficiei al-
terius segmenti aequalem babeat. M — segmenta spbae-
rarum^) data in arcubus ABFy AEZ posita siut. et
segmentum in areu ABF positum id sit, eui simile
segmentum inueniendum est, segmentum autem in arcu
A EZ positum id. cuius superticiei superticiem aequa-
lem segmentum quaesitum babere oportet. tiat, et
segmentum spbaerae KAM segmento ABF simile sit,
superiiciem autem superliciei segmenti AEZ aequalem
babeat. et liugantur centra spbaerarum, et per ea du-
cantur plana ad bases segmentorum perpendicularia,
et in spbaeris sectiones sint circuU maximi KiyiXyBAFG, EZHA, in basibus autem segmentorum KMfAFy AZ lineae. diametri autem spbaerarum ad lineas
KM, AT, AZ perpendicuhires sint AN, BS, EH et
1) Jvo dod^EVTcoi- TLiaucctcov GcpciiQccs fiTf xug ctvrag shfctXXccg 8VQSIV zi Tuci^io: aqpa/^cvtj, o iGGSizcci ccvto ufv o^oiovTw sxsgco TfDv T^ccuccTcor, Tccv c?t inicfccysiciv icav s^st riv ini-
cpccvsicc Tov 8TSO0V T^ufvuaTo^. tcsqI sXtx. praef.
2) GcpaiQina lin. 13 Archimedeiiin non est.
15*
228 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT B'. i
/IZ satcoGav ai AN, B@, EH. xal E7CBt,evx%^cy6av ai '
AM, BF, EZ. xal iitsl lOri iotlv rj tov KAM t^^-
^atog trjg (5(paLQag iTtKpaveia tfj tov ^EZ T/A7j|Ltarog
iitLfpavsia^ l'6og aqa i^tlv xal 6 xvxXog, ov rj ix tovj
5 xsvtQOv 1071 ^^^^^"^Xl ^^? T^^ xvxXci^ ov rj ix tov
\
xivtQov i(5ri i6tl tfj EZ [at yaQ iTiLcpccvBiai tcov EiQfj-
^ivG)v t^rj^cctcov t6aL idaCid-ri^av xvxkoLg, (6v al ix
tdav xivtQov L6aL bloIv tatg aito tcjv xoQV(pc3V tcov .
t^rj^cctcDv iitl tag ^d(5ELg i7tL^£vyvvov0aLg]. S0ts xal
10 rj MA tfj EZ L6rj iatCv. iitsl ds oiiOLOv iotL rb KAM ^
rc5 ABF t^rj^atL, s6tLV (og rj AP JtQog PN, rj BU \
"JtQog n@. xal dvccTtalLv xal ^vvd^ivtL^ (og rj NA JtQog\
AP, ovtcjg rj ®B TtQog BIT. dXXa xal (X)g rj PA Ttgbg
AM, ovtog rj BIl TtQog FB [o^OLa yccQ td tQLyova]'\
15 (og aQa rj NA TtQog AM, tovtiotL TtQog EZ, ovtcog
rj @B JtQog BF. xal ivallcc^. Xoyog ds tfjg EZ TtQog
Br dod^SLg' dod^SL^a yaQ ixatsQa. loyog ccQa xal r^g
AN TtQog @B dod^SLg. xaC ictL dod^stea rj B®. do-
%^SL6a aQa xal rj AN. S^ts xal rj 6(paLQa dod-st^d
20 iativ.j
6vvtsd^7]6£taL ds ovtcog' s6tco td dod^ivta dvo t^rj- \
^ata 6(paCQag td ABF, AEZ^ to \Csv ABT^ (p dst
o^OLOV, to ds AEZ^ ov trjv iitL^pdvsLav l'6rjv sxslv tfj
11. eazLvl S6TIV ccQoi Torellius, et hoc habet Eutocius; eedfieri potest, ut ccqcc a transscriptore omissum sit. 13. BII]@n F. 17. So&Eis] om. F; corr. ed. Basil., Cr. 18. do-
&sig] om. F; corr. ed. Basil., Cr. 21. ds] scripsi; 8rj F, uulgo.
23. txBLv] sx^'' ^j corr. Torellius. auditur dei ex lin. 22; cfr.
p. 226, 16.
DE SPHAERA ET CYLINDRO IL 229
ducantur lineae AMy BFj EZ. et quoniam super-
ficies KAM segmenti sphaerae aequalis est superficiei
segmenti AEZy etiam circulus^ cuius radius aequalis
est lineae AMy aequalis est circulo, cuius radius
aequalis est lineae EZ [I, 42— 43].' quare etiam
MA = EZ [Eucl. XII, 2]. porro quoniam [segmen-
tum] KAM segmento ABF simile est, erit
AP:PN=Bn: n@ [u. Eutocius].
et conuertendo [Eucl. V, 7 jtoV] [PN: AP= ne^BU]B
et componendo [Eucl. V, 18] NA: AP= B&:Bn,sed etiam PA:AM=Bn: FB}) quare NA : AM,hoc est NA:EZ = &B:Br [do' l'0ov Eucl. V, 22].
et uicissim [Eucl. V, 16] [NA :@B = EZ: BFl ratio
autem EZ : BF data est; utraque enim linea data est
[u. Eutocius]. quare etiam ratio AN:®B data. et
B® data est; itaque etiam AN. itaque etiam sphaera
data est [Eucl. dat. def. 5].
componetur autem hoc modo: sint data duo seg-
menta sphaerae ABF^ ^dEZ^ quorum ^^jT id sit,
cui simile segmentum inuenire oportet, AEZ autem
1) Nam Brn (/> AMP (u. Eutocius); tum u. Eucl. VI, 4.
230 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT B'.
eiii(pavaCa. xal ra avta xatE^xsvd^d^o totg STtl r^g
dvalv6£(og, xal 7t£7iOLT]6d-C3 , G)g ^ev rj BF TtQog EZ,ovtcog 1] BS TtQog AN. xal jtsQL did^stQOv trjv ANTcvxlog ysyQdcpd^o). Tcal vo£l6^G) 0(patQa^ rjg iiiyi,(5tog
5 satcn TiVTilog AKNMj xal t^t^T^^d^cj rj NA xatcc
tb P, S0t£ £ivai c)g trjv &IJ TtQog 775, tr]v NP TtQog
PA. xal did tov P iitiitid^p t£t^rj6d^co rj £7ti(pdv£ia
OQd^cD TtQog trjv ANy xal i7t£^£vx^^ V ^M. o^oia
ccQa £6tlv td £7ti tav KM, AF ^vd-^icov tdsv xvxkcov
10 t^irj^ata. S6t£ xal td t^rj^ata tSv 6(paiQSv £6tiv
o^oia. xal £7t£i £6tiv, (X)g rj ®B 7tQog BII^ ovtog rj
NA TtQog AP' xal yaQ xatd diaiQ£6iv' dXXd xal (og
rj IIB TtQog BF, ovtcog rj PA TtQog AM, xal (og ccQa
r} &B TtQog NA, rj BF TtQog AM. rjv dh xal Sg rj
15 &B TtQog AN, ri BF TtQog EZ. i6rj aQa £6tlv rj EZrrj AM. S6t£ xal 6 xvxkog^ ov rj ix tov xivtQOv
i6tlv rj EZy i6og i6ti rc5 xvxXc), oi) rj ix tov xiv-
tQov i6rj i6tl tfj AM. xal 6 ^£v trjv ix tov xivtQov
£%G)v trjv EZ xvxkog l'6og i6tl tfj i7ti(pav£i(x tov
20 /iEZ t^Tj^atog. 6 d£ xvxlog, ov rj ix tov xivtQov
t6rj i6ti tfj AM, i6og i6tl tfj i7ticpav£i(z tov KAMtiirj^iatog. tovto ydQ iv ta 7tQcSta) did^ixtat. i6rj aQa
xal rj i7ti(pdv£ia tov KAM t^rj^atog tfj i7ti(pav£icc
tov AEZ t\irj\jiatog trjg 6cpaiQag^ xaC i6tiv o\iOiOv tb
25 KAM tS ABF.
8. AN^ AN F. AM'] AMY. 12. v.axd'] scripsi Quaest.
Arch. p. 157; xa %ccxcc F, uulgo; xovxo ticixd Torellius. 17.
rra] scripsi; om. F, uulgo. xvxXco, ov ij i-K xov ksvxqov i'ffri
86xl] om. F; corr. ed. Basil., Cr. 23. rfj inicpccvsCcc xov z/EZtfirificcxos] om. F; corr. ed. Basil. {AE^E^ pro z/E Z,'quod corr.
Torellius), sed post r% GtpcciQccg-^ ipse transposui. „superficies
igitur hlm portionis sphaerae similis est ahc et aequalis super-
ficiei de/" Cr.
tet segmentum quaesitum. et construantur eadem,
quae in analysi, et fiat^) BF: EZ = B&: AN. et
circum diametrum AN circulus describatur. et fin-
gatur sphaera, cuius circulus maximus sit AKNMyet secetur NA in puncto P, ita ut sit
@n:nB = NP: PA [Eucl. VI, 10].
et superficies secetur plano per P ducto di,di AN lineam
perpendiculari, et ducatur AM. similia igitur sunt
segmenta circulorum in lineis KM, AF posita [u. Eu-
tocius].^) quare etiam segmenta sphaerarum similia
sunt. et quoniam SB : BU == NA : AP (nam etiam
per diremptionem [est @n : BII = NP : AP-^ tum u.
Eucl. V, 18]), et etiam nB:Br=PA: AM [p. 229
not. 1], itaque etiam &B : NA = BT : AM.^) erat
autem @B:AN=Br:EZ [ex hypothesi]. itaque
EZ = AM [Eucl. V, 9]. quare etiam circulus, cuius
radius est EZ, aequalis est circulo, cuius radius aequa-
lis est AM lineae. et circulus radium habens EZaequalis est superficiei segmenti JEZ, circulus autem,
cuius radius aequalis est lineae AMy aequalis est su-
perficiei segmenti KAM. hoc enim in primo libro
demonstratum est [I, 42— 43]. itaque etiam super-
ficies segmenti KAM aequalis est superficiei ^EZsegmenti sphaerae, et simile est segmentum KAMsegmento ABF.
1) H. e. ysyovitco Hn. 2.
2) Ex eo comperimus, horum uerborum formam genuinamhanc esse: ta inl tav KJyF, AF t(ir](icita ytvTiXcov lin. 9.
3) Nam Si' l'aov (Eucl. V, 22): @B : B F = NA : AM;tum hccXXd^ (Eucl. V, 16).
232 HEPI S^AIPAZ KAI KTAINAPOT B'.
Ano trjg dod^sierjg acpaLQag t^ij^a ts^etv iTtLTcidc}
(o6ts To t^rj^a TtQog tov xcjvov tbv ^deiv E%ovta trjv
avtrjv t(p t^ri^atL xal vipog l'6ov tbv dod^evta Xoyov
5 exsLV.
e0tG> rj dod^et^a atpatga, rjg ^eyL0tog xvxXog 6
ABFzl^ dLa^etQog de avtrig rj B^. det drj trjv 6(pat-
Qav eTCLTteSip te^etv t« dta trjg AF^ oitog to ABPtfirj^a trjg a^paLQag TtQbg tbv ABF tcovov koyov ex^
10 tbv avtbv tco Sod^evtL.
yeyovetco^ xal e^tco xevtQOV trjg OcpaLQag to E'
xal wg 0vva^q)6teQog rj Ez/Z TtQbg z/Z, ovtcog rj HZTtQbg ZB. i'6og ccQa i6tlv 6 AFH xcovog ta ABPt^riiiatL. koyog ccQa xal tov AHT xcovov JtQbg tbv
^^ ABF xcovov dod^eLg. ?,6yog ccQa trjg HZ JtQbg ZBdod^eLg. (og de rj HZ TtQbg ZB, 6vva[i(p6teQog rj E/iZTtQbg z/Z. Ao;^og ccQa 6vva^(poteQOv trjg EAZ TCQbg
z/Z do^^eCg [coVt£ Kal trjg Ezf n^bg /IZ. dod-et6a
ccQa xal rj z/Z]. Sote20 ^ ^. xal r} AF. xal enel
0vva^(p6teQog r] E/IZTtQbg AZ ^eL^ova X6yov
'e%eL^ rjjteQ 6vva^(p6teQog
rj E/JB TtQog z/5, KaC
i6tLV 0vva^(p6teQog ^ev
rj E/JB tQLg rj EzJ, rj
de BA dlg rj EJ, Gvv^
aii(p6teQog ccQa rj E/fZ TtQbg /iZ ^eC^ova l6yov e^eL
Tot», oV e^eL tQLa TtQbg dvo. xaC i6tLv 6 6vva^(po-
25
1. 71 Torellius; om. ed. Basil. 3. xov puGLv'^ scripsi;
DE SPHAERA ET CYLINDRO II. 233
VII.
A sphaera data plano segmentum abscindere, ita
ut segmentum ad conum eandem basim habentem,
quam segmentum, et altitudinem aequalem datam ra-
tionem habeat.^)
data sphaera ea sit, cuius circulus maximus est
ABFJ, diametrus autem eius BJ. oportet igitur
sphaeram plano per AF ducto ita secare, ut^) seg-
mentum sphaerae ^^r* ad conum ABF datam ratio-
nem habeat.
fiat, et centrum sphaerae sit E, et sit
EJ + zJZ: AZ = HZ: ZB.
itaque conus AFH aequalis est segmento ^^F^prop.^].
quare ratio conorum AHF : ABF data. quare etiam
HZ : ZB [I lemm. 1 p. 80]. sed
HZ :ZB = EA + ^Z: JZ,quare etiam ratio EA + AZ^AZ data est.^) itaque
etiam linea AT data [u. Eutocius]. et quoniam
EJ + AZ : AZ> EA + AB: AB,et EA + AB^ SEA, et BA == 2EA, erit igitur
1) 'Ano Tccg do&siaccg acpccLQccg t^ccfia ccnotsiistv snmsdqi^mcts to tficcfia notl tov 'nmvov tov ^daiv s^ovta tdv avtdvta tfidfiatL yial vipog laov tov tax^svta Xgyov sxsiv (iSL^ova
tov, ov ^%SL td tQLa notl td dvo. nsQL sXCv.. praef.
2) Pro onayg lin. 8 Archimedes usus erat mats (Quaest.
Arch. p. 70).
3) Archimedes scripserat: Xoyog ccqu SsSofisvog avva^cpo-tSQOv trjg Ez/Z nQog AZ lin. 17— 18 (Eutocius).
ti\v §aaLV F, uulgo. 9. sxj]] scripsi; 'Sxsl FC*V; sxslv B*ed. Basil., Torellius. 12. EJ, JZ Torellius. 16. EJ, JZidem. 17. EJ, ZJ idem. 21. Ez/, z/Z idem. 24. Ez/, JBidem, ut lin. 26. 27. 6Lg] 8vo F; corr. V; „bis" Cr. 28.
EJ, JZ Torellius, ut p. 234 lin. 1.
234 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT B'.
X8Q0V trjg EzJZ JtQog Zz/ loyog 6 avrbg rca dod^evTL.
det ccQa tbv dido^ievov koyov aig trjv (SvvdsCiv ^sC-
^ova eivat tov, ov e%ei tQia Ttqbg ^vo.
6vvtsd")]0£taL ds ro TtQO^Xrj^a ovtcog' ^Ota rj do-
5 ^stCa GcpaiQa, rjg ^syiCtog ^cvxAog 6 ABr/J^ did^s-
tQog ds rj 5z/, xsvtQOv ds tb E, b ds dod^slg ?.6yog
trjg @K TtQbg KA^ iisCt,ov tov, ov s%si tQCa itQbg
dvo. s6tL ds ag tQCa TtQbg dvo, 6vva^(p6tsQ0g rj E^BTtQbg ^B. xal rj @K aQa itQbg KA ^sC^ova Xoyov
10 s%SL roi>5 ov s%SL 6vva^(p6tSQog rj EzlB TtQbg AB.dLsXbvtL aQa rj @A TtQbg AK ^sC^ova X6yov s^sl, rJTtsQ
rj jEz/ JtQbg AB. xal TtSTtOLt^ijd^co, cog rj @A itQbg AK,ovtcog ri E/1 TtQbg z/Z,
y,al dLcc tov Z trj B^ TtQbg
15 ^ "^ OQd^ag r]x^(o r} AZF^ xal
Slcc trjg FA riid-co sitCitsdov
OQxtbv TtQbg trjv BA. Xsyco^
otL tb ccTtb ABF t^rj^a
trjg 6cpaCQag JtQbg tbv
20 "^ ^' ABr>c(Dvov l6yov s^SLtbv
avtbv t(p @K TtQbg KA.TtsTtOLtiCd^co yccQ (hg ^vva^i-
cpbtSQog rj EAZ TtQbg z/Z, ovtog rj HZ itQbg ZB.
L6og ccQa sOtlv 6 FAH xcovog t(p ABF t^rj^att t^g
25 0cpaCQag. ycal sitsC sCtLV^ cog rj @K TtQog KA^ ovtcog
6vva^cp6tsQog rj EAZ TtQog z/Z, tovtsOtLv r] HZTtQbg ZBy tovts6tLv 6 AHF Tccovog TtQbg tbv ABFxcovov, t6og ds 6 AHF xcDvog ta ABF t^rj^atL trjg
6(paCQagj (og ccQa tb ABF t^rj^a TtQbg tbv ABF K(0'
30 vov, ovtcog rj 0K JtQbg KA.
4. ds] scripsi; dr} F, uulgo. 8. EJ, JB Torellius, ut
DE SPHAERA ET CYLINDRO 11. 235
Ez/ + z/Z : z/Z > 3 : 2. et ratio E^ -\- AZ'. /IZ
aequalis est rationi datae. oportet igitur, rationem
ad synthesim datam maiorem esse, quam 3 : 2.
componetur autem problemahoc modo: data sphaera
ea sit^ cuius circulus maximus est ABT/l^ diametrus
autem eius Bz/, centrum autem E^ et ratio data, maior
quam 3:2, &K: KA. est autem
EJ -{- AB:AB = ^:2.
quare
@K: KA> EA + AB: AB.
dirimendo igitur @A : KA > EA : z/5.^) et fiat^)
@A : AK = EA : AZ, et per Z ad lineam BJ per-
pendicularis ducatur AZF, et per FA ducatur planum
3id BA lineam perpendiculare. dico, segmentum sphae-
rae in ABT positum ad conum ABF eandem ratio-
nem habere, quam SK: KA. fiat^) enim
EA + AZ:AZ = HZ : ZB.
itaque conus FAH aequalis est segmento sphaerae
ABF [prop. 2]. et quoniam
@K:KA= EA + AZ: z/Z*) = HZ : ZB = conus
^ifr : conum ABT [I lemm. 1 p. 80], et conus AHFaequalis est segmento sphaerae ABF, erit igitur, ut
segmentum y^JSr' ad conum ABF, ita @K : KA.
1) Ex Pappi libr. VII, 45 conuersa (II p. 684).
2) nsTtoii^Gd^co lin. 12 3: ysyovitco.
3) Debebat esse ysyovhat lin. 22.
4) Nam @A: AK = EJ : z/Z; tvimevv&ivti, (EucL V, 18).
lin. 10. 15. AZr] Torellius; AFZ F, uulgo; fortasse scri-
bendum AF. 18. ccno om. ed. Basil., Torellius, Cr. 23.
EJ, dZ Torellius, ut lin. 26. 27. AHF] AHV F. 28.
Tffll ABF] om. F; corr. B; „aequatur portioni sphaerae" Cr.
236 nEPI i:$AIPA2 KAI KTAINAPOT B'.
^Eav CfpaiQK iitiTtidG) t^rjd^rj ^rj dicc tov KivxQOv^
xo ^st^ov r^rj^a TCQog rb aXa66ov Bld66ova ^av loyov
exei 7] di7tXd6iov rov^ ov B%ei tj rot» ^ei^ovog r^i^^a-
5 rog S7tiq}dv£ia TtQog rrjv rov sXd66ovog sTticpdvsiav^
liSit^ova 8s rj rj^ioXiov.
s6r(o 6(paiQa^ nal sv avrfj ^syi^rog xvxXog oABF^^aal did^srgog rj J5z/, Tcal rsr^i]6d^co sJtiTtsdo) 8id rrjg
AF 6()^G9 TtQog rof ABTzl xvkIoVj xal s6r(o ^st^ov
10 riirj^a rrjg 6(paiQag ro ABV. Isyca^ ort ro ABFr^ij^a TtQog ro AAT sXd66ova \isv rj di7tla6iova Ao-
yov s%si^ r]7tSQ rj S7ti(pdvsia rov ^sit,ovog r^ri^arog
TtQog rr]v STticpdvstav rot; sXd66ovog r^rj^arog^ ^si^ova
OS 7] rj^iOAiOV.
15 s7tst,sv'i%^(o6av yaQ al BA/i^ xal s6r(X) TcsvrQOv ro
E. xal 7ts7toiri6%^G)^ dyg ^sv 6vva^(p6rsQog rj E^Z TtQog
z/Z, rj &Z 7tQ6g ZB^ (hg d\ 6vva^^6rsQog rj EBZTtQog BZ, oi^rog rj HZ 7t^6g Z^. xal vosi6%^o6av
K(DVOi ^d6iv s%ovrsg r6v rtSQl did^srQOv rrjv AT xv-
.A
20 K^ov^ xoQVCpdg ds rd 0, H 6riiisia. s6rai drj t6og 6
insv A&T x(DVog ra ABT rfiri^an rrjg 6(paLQag^ 6 ds
1. -9"' Torellius. 3. eXaaaov'] om. F; corr. B, Cr. 5.
Tov] Tcov per coinp. F, ut uidetur. 11. to] tov per comp.
DE SPHAERA ET CYLINDRO II. 237
VIII.
Si sphaera plano non per centrum ducto secatur,
maius segmentum ad minus minorem rationem habet
quam duplicem^ quam habet superficies segmenti ma-
ioris ad superficiem minoris, maiorem autem quam
sesquialteram.^)
sit sphaera, et in ea circulus maximus ABF/ly et
diametrus BJ, et secetur plano per AF lineam ad cir-
culum ABFA perpendiculari, et maius sphaerae seg-
mentum sit ABT. dico, segmentum ABF ad AAFminorem quam duplicem rationem habere, quam super-
ficiem segmenti maioris ad superficiem minoris, maio-
rem autem quam sesquialteram.
ducantur enim lineae BA, AA, et centrum sit E.
et fiat^)
EA -^ AZ: AZ = &Z: ZBet
EB + BZ:BZ=^HZ: ZzJ,
et fingantur coni basim habentes circulum circum AFdiametrum descriptum, uertices autem &, H puncta.
erit igitur conus A&F aequalis segmento sphaerae
1) Ei xa ccpcciQa srCLnsdq) riicc^'^ sig ccviacc nox* oqQ^ccq dicc-
fiEtQOi rtvl tmv iv ra gwccCqdc , , ., t6 (ist^ov riiccficc rag ccpcci-
Qccq noxl ro sXccaaov iXaaaovcc [isv 7] dinXdaiov Xoyov s%si rov,ov s%si cc (iSL^CDV snicpcivsicc noxl xccv iXdaoovcc, fiSL^ovcc Ss r)
TifiioXiov. nsQL sXCv,. praef.; u. Neue Jahrbiicher, Suppl. XI396 sq.
2) nsnoiiqaQ^co lin, 16 d: ysyovsto}.
F; corr. ed. Basil.* 15. BA, AJ Torellius. 16, E^, dZTorellius. 17. EB, BZ idern. 19. ^a.aiv y^sv Torellius.
238 nEPi s^AiPAi: kai ktainapot b'.
AFH Tfp A^r. KaC i(3riv^ (og t6 djto BA TtQog to
ccTCo A/l^ ovxcag r\ iniipa.vua xov ABF t^ri^aTog JtQog
triv iiticpdvsiav tov AAT t^i^^atog. rovro yccQ TtQO-
yiyQaTttat [deLxtiov^ oti t6 ^at^ov tfiij^a tijg CcpaiQag
5 Ttqbg to £Xa60ov iXd<36ova koyov ixsi ^ diitkd^LOV^
\ 7]7t£Q 7] iiticpdvsia tov ^ei^ovog t^i]^atog TtQog tr}v
', i7tiq)dvsiav tov iXd0(5ovog tiiri^atog^ kiycs, oti xal l
,' A®r xSvog TtQog tov AHF^ tovtictiv rj Z0 TtQog ZH^
liXd66ova Xoyov s^si ^ diTtXd^iov rot;, ov Exst tb dnb
j10 BA TtQog tb djtb AA, tovtiativ rj BZ TtQbg ZA. na\
iTtsi iotiv, (og [^sv] 0vva^(p6tsQog rj EAZ JtQbg AZ^
ovtcog rj ®Z TtQbg ZB [cog ds 0vva^cp6tsQog rj EBZTtQbg BZ^ ovtcog rj ZH ^Qbg Zz/], sotat xal cog rj
BZ TtQbg ZA, rj ®B TtQbg BE. l'0rj yccQ rj BE tfi
16 AE [tovto yccQ iv totg ijtdvco 6vva7todsdsiKtai]. Ttd-
Xiv iitsi i^tiv^ cog 0vva^cp6tsQog rj EBZ itQbg BZ^ rj
HZ JtQbg Zz/, s0tco tfj BE i0ri rj BK. drjXov ydQ,
oti ^Si^Giv i0Tiv rj @B trjg BE^ i%si Kal rj BZ trjg
ZA. xal s0tai^ (og rj KZ TtQbg ZB^ rj HZ TtQbg ZA,
20 cog ds ri ZB TtQbg ZA, idsi%f^ri rj 0B TtQbg BE, 107}
ds rj BE ty KB' (og ccQa rj &B TtQbg BK, ovtcog rj
KZ TtQog ZH. Tial iTtsl rj SZ TtQbg ZK iXd00ova
l6yov s%si, 7]7tsQ 7] ®B TtQbg BK, (og ds rj ®B JtQbg
BK, idsix^rj rj KZ TtQbg ZH, rj ®Z aQa itQbg ZK25 iXd00ova X6yov s%si, jjjtsQ rj KZ TtQbg ZH. sXa00ov
ccQa t6 vTtb t^v ®ZH to{> aTtb ZK. to aQa v7tb
tcov ®ZH 7tQbg tb d^tb ZH \tovti0tiv rj Z® 7tQbg
ZH] ild00ova X6yov s%si\ tov, ov s%si t6 ditb tijg
KZ TtQog tb d7tb ZH [tb ds d^tb KZ 7tQbg tb d^tb
2. ccTCo AJ] dno om. F; corr. ed. Basil. 9. dinXdGiov]
a^nXaciOva Eutocius. 11. EJ, JZ Torellius. 12. EB, BZ
DE SPHAERA ET CYLINDRO II. 239
ABF, et conus JirH segmento Az/F [prop. 2]. et
superficies segmenti JIBF ad superficiem segmenti
A/ir eam rationem habet, quam BA"^ : AZl^. hoC
enim antea demonstratum est.^) dico, etiam^) co-
num A&r ad AHr^ hoc est ®Z:ZH [I lemm. 1
p. 80] minorem quam duplicem rationem habere, quam
BA^ : A^^y hoc est BZ :Z/1 [u. Eutocius]. et quo-
niam EA + ^Z : JZ = 0Z : ZJ5, erit etiam
BZ:ZA ==&B:BE',nam BE==^E.^) rursus quoniam
EB + BZ:BZ = HZ:ZA,sitBK= BE. adparet enim eB > BE, quia 5Z> Zz/.
et erit KZ:ZB = HZ: ZA.^) sed
ZB:Z^ = @B:BE,ut demonstratum est, et BE =^ KB-^ quare
0B:BK = KZ: ZH^)et quoniam ®Z : ZK <&B : BK [u. Eutocius], sed
demonstratum est &B : BK = KZ : ZH, itaque
®Z:ZK<KZ:ZH.quare 0Z X Zif < ZiT^ [u. Eutocius]. itaque
eZxZH: ZH^ < KZ^ : ZW [u. Eutocius].^)
1) Demonstratum est (I, 42—43), superficies segmentorumaequales esse circulis, cuius radii sint BA, AA\ sed circuli illi
inter.se rationem habent, quam BA'^ : AJ^ (Eucl. XII, 2).
2) Hoc est: sicut segmenta ABFf AJF; p. 236 lin. 10 sq.
8) Nam diEXovtL (Eucl. V, 17)
Ezl : JZ ^ @B : ZB = BE : z/Z;tum ivaUd^ (Eucl. V, 16).
4) Quia EB -{- BZ = BK-]- BZ = KZ.5) Nam gVaUal est (Eucl. Y, U) KZ : ZH = ZB : ZJ.6) Ex eius adnotatione adparet, Archimedem scripsisse lin.
28: sxsL ijnsQ xo a.no aZ nqog %zl.
idem. 16. sgxlv] sgti, F. EB, BZ Torellius. 26. 0Z,ZH idem, ut lin. 27.
240 nEPi i;<i>AiPA2 kai ktainapot b'.
ZH diTikaGiova Xoyov 8%^^^ tJtcsq rj KZ TtQog ZH]. J
rj ccQa ®Z TtQog ZH ila66ova koyov ^xsc rj dntka-
6i0va rov, ov exei rj KZ TCQog ZH [rj KZ JtQog ZHsld66ova koyov £%8l r] diitXaoCova rov, oV 8%ei rj BZ
6 TtQog Zz/]. TovTo ds i^rjrov^sv. xal sTtsl l'6r] s6r\v
rj BE rfj £Jz/, sXaCGov aQa t6 V7tb rcjv BZzi rov|
V7C0 rSv BEzf. rj ZB a^a JtQog BE skd66ova Xoyov \
sxsi^ 7]7tsQ rj Ejd TtQog z/Z, rovrs6riv rj ®B TtQog BZ.
sXa66ov aQa ro aTto ZB rov v7to rcov ®BE^ rovrs6ri
10 rov v7to roiv ®BK. s6ra) i6ov ro d^tb BN rS vTtb
&BK. s6riv aQa^ (hg rj @B 7tQbg BK., rb d^tb ®N '
7tQbg rb d^tb NK. rb ds d^tb ®Z 7tQbg ro d^tb ZK^Si^ova Xoyov f%£t, rj rb d^tb @N 7tQbg rb d^tb NK[xal ro d7tb @Z aQa 7tQbg ro d^tb ZK ^si^ova Xoyov
15 £%ffc, rj7tsQ rj ®B 7tQbg BK^ rovrs6riv rj ®B 7tQbg BE^rovrs6riv rj KZ 7tQbg ZH]. rj aQa ®Z 7tQbg ZH^Si^ova Xoyov sxsi tj rjiiioXiOv rov r^^g KZ 7tQbg ZH[rovro yaQ S7tl rsXsi\ aaC s6riv, d>g ^sv rj 0Z 7tQbg
ZH, 6 A®r xcovog 7tQbg rbv AHT xcjvov, rovrs6ri
20 ro ABF r^rj^a 7tQbg ro A^F riirj^a. dyg ds rj KZ7tQbg ZH, rj BZ 7tQbg Zz/, rovrs6ri rb d^tb BA 7tQbg
rh dTtb A/i^ rovrs6riv rj STticpdvsia rov ABF r^rj-
[larog 7tQbg rrjv S7ti(pdv£iav rov AAT rfjiij^arog. ca6rs
rb ^si^ov r^rj^a 7tQbg ro sXa66ov sXd66ova iikv rj
25 8i7tXa6Cova Xoyov sxsi roi), ov s^si rj S7ti(pdvsia roi)
^sC^ovog r^tj^atog 7tQbg rrjv S7ti(pdvsiav rot; sXd66ovog
r^rjliarogj ^sC^ova ds r/ rj^ioXiov.
S.ZH] ZH. (hg Ss Torellius. ZH] ZK, rj BZ TiQog
ZJ. rj @Z uQa TCQog ZH idem. uerba uncis inclusa om. Cr.,
in parenthesi habet ed. Basil. 6. BZ, Zz/ Torellius. 7.
BE, EJ idem. 9. 9B, BE idem. 10. @B, BK idem.
11. 9BK] ed. Basil.; B@KF; @B, BK Torellius. 13. dno
DE SPHAERA ET CYLINDRO II. 241
quare ®Z : ZH minorem quam duplicem rationem ha-
bet, quam KZ : ZH. hoc autem quaerebamus.^) et
quoniam BE = E/i, erit BZx Z^ <BEx EA[u. Eutocius]. itaque ZB : BE < EJ : AZ [u. Euto-
cius] h. e. <&B:BZ?) quare ZB'^ <SBxBE%hoc est <SBX BK [nam BE = BK]. sit
BN^ = @JB X BK.
erit igitur ®B:BK= ®N^ : NK^ [u. Eutocius]. sed
0Z2 : ZK^ > ®N^ : NK^ [u. Eutocius].
itaque 0Z: Ziif ratio maior quam sesquialtera est quamratio KZ : ZH [u. Eutocius]. et ut @Z : ZH, ita co-
nus A®r ad conum AHF [p. 238^ 8], hoc est seg-
mentum ABF ad segmentum A/IT [p. 236, 21]. est
autemiirZ:Zif=5Z:Zz/[p.239not.5] =BA^:A^^[p. 238, 10], hoc est superficies segmenti ABF ad su-
perficiem segmenti AJF [p. 239 not. 1]. itaque seg-
mentum maius ad minus minorem quam duplicem
rationem habet, quam superficies segmenti maioris
ad superficiem minoris, maiorem autem quam sesqui-
alteram.
1) Quaerebatur proprie
Z© xZH<BZ^ '.ZJ^
(p. 238, 7—10); sed est (p. 239 not. 5)
KZxZH = BZ: Zd d: XZ^ : ZH^ = BZ^ : Zd'^
3: 0Z : ZH <EZ2 : Zz/l
2) Nam Ezl : zJZ = @B : BZ (p. 239 not. 3).
3) Cfr. Quaest. Arcli. p. 45; Eutocius ad p. 238, 25.
NK] ano om. F; corr. Torellius. 23. wcyre] Hauber; «X-Xots F, uulgo; maxs aqa Nizze.
Archimedes, ed. Heiberg. I. 16
242 nEPI 2«^AIPAS KAI KTAINAPOT B'.
AAASiS.
*'E6to 6(patQa^ evfj
^syL^tog xvxXog 6 ABFzJydid^atQog de rj AF^ xsvtqov de tb E, xal tst^riad^co
iTtiTtsdco oQd^a did trjg B^ ^Qog trjv AT. ^eyco, ort
5 To ^ei^ov t^rj^a t6 ^AB JCQog tb ela66ov t6 BF/IiXd66ova 7] 8i7ikd6LOV Xoyov e%ei tov^ ov eiei rj eitL-
(pdvsLa tov ABzJ t^rj^atog TtQog trjv eitLtpdveLav tov
BFzi t^rj^atog, ^eCt^ova de rj rj^Lohov. eTte^evxd^co^av
yccQ aC AB, BF. 6 de trjg eTtLcpaveCag TtQog trjv eitL-
10 (pdveLav Xoyog 6 tov xvxXov e6tCv, ov rj e% tov ocev-
tQov rj AB, TtQog t^i^ xvxXov, ov rj ex tov TievtQOv
rj BF, tovte6tLv 6 trjg A® TtQog trjv GF. neC^d^a tfi
sx Tov nsvtQOv tov %vkXov L6rj sxatsQa tc5v AZ, TH.6 dri tov BAA t^rj^atog JtQog to BT^ ^oyog 6vv-
15 r]ittai STC Tov, ov e%eL t6 BAzl t^rj^a TtQog tov tcod-
vov, ov rj pd6Lg [isv s6tLV 6 TtSQL d^d^stQOV trjv 5z/
xvxXog.) 7C0QV(pr} ds tb A 6r]^eL0v, xal 6 avtbg xcjvog
TtQbg tbv TcSvov tbv pd6LV ^ev e%ovta trjv avtrjvy
7coQV(priv de tb F 6r]^eL0v, ocal 6 eiQrj^evog 7C(DVog TtQbg
20 t6 BFA t^rj^a. aAA' 6 ^ev tov BAzl t^i^^atog
koyog TtQbg tbv BAzl navov^ 6 tr]g HS e6tL TtQbg ©JT*
6 de tov 7CC3VOV TtQbg tov kojvov 6 trjg A@ TtQbg ©F'
de tov BFA tccjvov TtQbg tb t^rj^a tb BVA b trg
A® e6tL TtQbg ®Z. 6 de 6vvr]^fievog ex tov trjg H®25 TtQbg Sr xal trjg A& TtQbg &r 6 toi) vitb t^v H&A
12. ri BT] ngoq (comp.) IfjBrF; corr. ed. Basil.*; fort.
fcrlv^i^ jBF. ©r] y/r FBC*. 14. 8ri'\ scripsi; ds F, uulgo.
16. ov 7]] rj delendum censeo. §ao cum comp. -qg F. 18.
yi.mvov tov'] scripsi; rov om. F, uulgo. 24. 6vvrj[i(iEvos] alte-
rum fi supra scriptum manu 1 F. 25. H©A] scripsi; HA&F; A0H ed. Basil., A@, @H Torellius.
DE SPHAERA ET CYLINDRO 11. 243
ALITER.^)
Sit sphaera, in qua circulus maximus ABF^j dia-
metrus autem AF, centrum autem E, et secetur plano
per 5z/ ad ^F perpendiculari. dico, segmentum maius
/JAB ad minus BFA minorem quam duplicem ratio-
nem habere, quam habet superficies segmenti ABAad superficiem segmenti BFA^ maiorem autem, quam
sesquialteram. ducantur enim AB, BF lineae. iam
ratio superficiei ad superficiem ea est, quam habet
circulus, cuius radius est AB, ad circulum, cuius ra-
dius est Br [1,42—43], hoc est A& : ®r}) ponatur
radio circuli aequalis utraque linea AZ, FH. itaque
ratio segmenti BAA ad segmentum BFzJ^) compo-
sita est ex ratione, quam habet segmentum BAAsidconum, cuius basis est circulus circum diametrum JBz/
descriptus, uertex autem punctum A, et ratione, quamhabet idem conus ad conum basim habentem eandem,
uerticem aiitem punctum F, et ratione, quam hic co-
nus, quem [ultimo loco] commemorauimus, ad segmen-
tum BFA habet [u. Eutocius]. sed segmentum BAAad conum BAA eam habet rationem, quam HS : &r[prop. 2 TtoQ,], conus uero ad conum eam, quam A®:®r[I kri^ii. 1 p. 80], conus autem BFzt ad segmentum
BFA eam, quam A© : @Z [prop. 2 jtoQ. et Eucl. V, 7
1) Haec demonstratio, quam etiam Eutocius habuit, prioreneque clarior neque breuior est. sed cum uerba ipsa pessimedeprauata esse constet, ueri simile est, tenorem quoque demon-strationis a transscriptore dilatatum et amplificatum esse (NeueJahrb. Suppl. XI p. 395—96; Quaest. Arch. p. 75—76).
2) Nam circuli inter se rationem habent, quam AB^ : BF^(Eucl. XII, 2); tum u. p. 238, 10.
3) Ex Eutocio multis locis aliam scripturam et sine dubiogenuinam cognoscimus: lin. 14: BFd t^tj^cc, Gvynsitat, syits
16*
244 TIEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT B'.
i6tL TCQog ro aTto SF' 6 da xov vtco H®, ®A TtQog xo dno
&r liExcc xov xrjg A® TCQog SZ b xov vitb xoov H&y @Ai0XLV ijtl xr^v @A Ttgbg xb djtb ©F STtl xrjv ®Z. b ds
xov vTtb xSv H0A iitl xr^v 0A b xov ccTtb xrjg SAK
—JT
5 i0xi ijtl xrjv @H. oxi ccQa xb ditb ®A iitl xrjv ®HTtQbg xb ditb F® iitl xrjv 0Z iXd66ova Xoyov sist
xov xrjg A® iCQbg SF diTtkaaCov [i(jxiv 6 xov ditb A®TtQbg xb djtb ®r]. xb ccQa ditb A® iTtl xrjv ®H TtQbg
xb djtb ®r iitl xrjv ®Z ild06ova koyov s%si^ rjjtSQ xb
10 dTtb A® ijtl xrjv ®H TtQbg xb djtb F® iitl xrjv ®H.OXL ccQa ^stt,6v i6XL xb ditb P® ijtl xr]v Z® xov ditb
r® iTtl xrjv ®H OXL ccQa ^sl^cov icxlv rj ®Z xrjg ®Hg)ri^l dri^ oxu oial xb ^st^ov x^rj^a TtQbg xb sXa6-
0OV ^SL^ova Xoyov s%sl rj rj^LO^LOv xov xrjg ijtLcpavsLag
1. t6 dno] (prius) xr}v F; corr. BD. 2. @.r] K@, ©FF; corr.
ed. Basil., Cr. 3. snC] (prius) tcqos per comp. F; corr. ed. Basil.
H6), ®A Torellius. 4. snC] TtQog per comp. F; corr. ed. Basil.*
Post prius @A in ed. Basil. et Cr. legitur: ngog xo dno @rinl xrjv @H, sed haec uerba om. F; Torellius ea recepit, @Hin 0Z mutato, et praeterea addidit: 6 avxog iaxL xCa dnb A@inl xrjv @H nqog xo dno &r inl xtjv @Z. 6 ds xov vno xcov
H@, @A inl XTjv @A nqog x6 dno @T inl x^v @H. aliamhuius loci difficillimi emendandi uiam iugressus sum NeueJahrb. Suppl. XI p. 396, nondum cognita scriptura codicis F.
5. inC] (priore loco) scripsi; nqog F, uulgo. xriv @H] xo
DE SPHAERA ET CYLINDRO 11. 245
jtoQ.-, u. Eutocius]. sed ratio ex H@ : @r et A® :®rcomposita haec est: H@ X @A : @r^ [u. Eutocius].
sed H@ X &A : &r^ una cum A@ :@Z est
{H® X @A) X @A : ®r^ X 0Z [u. lemma Eutocii].^)
sed
(H®X®A)x@A\:®r^X@Z]=@A'^X®H\:.®r^X@Z\[ibid.] itaque [demonstrandum est]
@A'^ X @H : @r^ X@Z< A@^ : @r%hoc est <A@'^X@H:@r^X@H [u. Eutocius].
quare [demonstrandum] r@^^ X Z@ > r@^ X @H [u.
Eutocius]. [demonstrandum] igitur Z@ > @H [quod
constat; u. Eutocius].
dico igitur^ maius segmentum ad minus maiorem
quam sesquialteram rationem habere, quam superficies
Tov; lin. 16: ov §cc6ls; lin. 18: tcqos v.(ovov tov; lin. 21; Xoyosom. ; lin. 22: BA/:i xcorov et BT/J Kmvov; A& sotl; lin. 23:
x6 BFzJ Tjttij/^a; lin. 24: ffvyxfi/xevog; ibid. £h ts tov; lin. 25:
&r iisza xov T^?; secl discrepantias praeter unam (u. comm.crit. ad lin. 18) aut duo (ibid. ad lin. 16) transscriptori tribuo.
1) In hac quoque pagina Eutocius scripturas permultasdiscrepantes praebet: lin, 1: H@A; lin. 2: P6>, vno H&AioTLv; lin. 4: rav om.; ibid. : A& 6 uvtog iati tco ano A&ini; lin. 6 : iXdoGova 7] dmXaGCova Xoyov ix£i tov trjg A &nQOg &r; lin. 9: TjTtSQ to avto t6; lin. 11: OTt to dno T&inl tY\v 7j& (isi^ov iatt tov; lin. 13: xcct om.; lin. 14: inicpa-
veiag nQog trjv ini(pdveiav ^oyov; p. 246 lin. 3: intcpavsLas
nQog tijv inLcpdvSLav Xoyov; lin. 4: dno tijg BT; lin. 5: q^rjfil
ovv; lin. 8: dno t-^g &B. ante oTt lin. 5 Nizzius addi uoluit
cpri(iL di; similia in hoc oTt semper addit Eutocius.
dno &T Cr., ed. Basil., Torellius. 6. &Z] AZ F; Z& ed.
Basil.; Torellius. 7. dmXaGLcov FBC, dLnXdoiov AD, ed. Ba-sil.; corr. Torellius, qui tum addidit og., 9. iXdooova Xoyovk'xsL r\nsQ to dno A& inl f^v &H nQog to dno T& inl triv
&H] om. F, uulgo; supplementum Torellii dubitans recepi.
13. ^rf, OTfc] B, Torellius; dioxL F, uulgo. 14. Post inLcpavsCag
in B, ed. Basil., Cr., Torellio additur: nQog inicpdvsLav ; idemp. 246 lin. 3 suppleuit Torellius solus.
246 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT B'.
koyov. akk' 6 ^ev rcjv t^Yj^citcDv idsix^i^ o avtog
ra?, oV £X6i to ccTto A® STtl trjv @H TCQog tb cctco
@r eTtl tfjv &Z. rov de trjg STCiq^avEiag koyov 7]^l6-
kiog B0tiv 6 tov ccTto AB kv^ov TtQog tov ccTtb BF5 Kv^ov. cprj^l St], oti tb ccjtb A@ iTtl trjv &H Tt^bg
tb ccTtb T® ijtl trjv @Z ^si^ova koyov sxsi^ 7]7t£Q [6
ccTtb trjg AB xv^og Tt^bg tbv ccTtb tr]g BF xv^ov,
tovt£0tiv] 6 ccTtb tr]g A@ xv^og TtQog tbv ccTtb ®BTcvPov^ tovt£6tLV 6 rot) ccTtb A® Ttgbg tb ccTtb B@
10 xal 6 trjg A® Tt^bg @B. 6 df tov ccTtb A@ Tt^bg tb
ccTtb ®B 7tQO0Xa^G)v tbv trjg A& Tt^bg @B 6 tov ditb
A@ i(3tiv Tt^bg tb vnb tcov r@B. 6 d£ tov djtb
A@ Tt^bg ro vTtb tcov B@r 6 tov dnb A@ ietiv
iitl tr]v @H TtQbg ro vitb toov B@r iitl tr]v @H.15 g)r]^l dr]^ oti ccQa ro djtb A@ inl tr]v @H Ttgbg tb
djtb r@ iitl trjv @Z ^£it,ova Xoyov £%£iy 7]7t£Q [ro djtb
A@ TtQbg tb vTtb B@r^ tovt£6ti] tb ditb A@ iitl tr]v
@H TtQbg tb vTtb B@r iitl tr]v @H. duKtiov ovv^
Zti tb djtb @r iitl tr]v @Z £ka<566v i0ti rov vitb
20 r^v B@r iTtl tr]v H@. o tavtbv i6ti tS d^t^ai, oti
ro aTtb r@ TtQbg tb VTtb B@r iXd66ova k6yov £%£i,
7]7t£Q r] H@ TtQbg @Z [d£i ccQa d^t^ai, oti 7] H@ TtQog
@Z ^£i^ova X6yov £X£iy 7]7t£Q 7] r@ 7tQbg @B], 7]X^(^
aTtb tov E tr] EF 7tQbg OQxtdg rj EK, %al d^tb tov
4. Mv^ov] 'kvkXov F; corr. B. 5. xv^ov] kvy.Xov F; corr.
B. 6x1 To'] oti xov F; corr. Torellius. 6. rinEQ] rjnsQ 17 F;corr. Torellius. 8. dnb xrjg] xrjg F; corr. B, 9. dno A&] A®F; corr. B. 11. 6 xov] Nizze (Cr.); 8e xov F, uulgo. 12.
r&, @B Torellius. 13. B@r] scripsi; B@, ©F Toreliius;
0Br F, uulgo. 14. B@r] ut lin. 13. 17. vno] ccno F;
corr. Torellius.^B0, ©T idem, ut lin. 18, 20, 21. 24. E
xfj Er nQog OQ&ag rj EK, y.ocl uno xov] om. F; corr. Torellius
et ed. Basil., nisi quod pro v.dcC habet '^x^^\ ^m. Cr.
DE SPHAERA ET CYLINDRO II. 247
inter se. sed demonstratum est^ rationem, quam inter
se habent segmenta, esse
= A®^ X 0H: Sr^ X &Z.
ratio uero AB^ : BF^ sesquialtera est, quam ratio,
quam superficies inter se habent [u. Eutocius]. dico
igitur,
AS^X ®H : r®^X®Zrationem maiorem esse quam
A®^:®B^ [u. Eutocius];
hoc est
> A®^ : B®^ X A® : ®B [u. Eutocius].
sed
A®^ : ®B^ XA®:®B = A®^ : r®X®B[u. Eutocius]. sed
A®^ :r®X®B== A®^ X ®H : (B® X ®r) X ®H[u. Eutocius]. dico igitur
A®^X ®H: r®^X ®Z >A®^X®H:{B®X®r)x®H.demonstrandum igitur
r@2 ^@z<(B®X ®r)X ®H [u. Eutocius].
quod idem est, ac si demonstramus
:
r®^ :B®X®r< H® : ®Z [u. Eutocius].^)
ducatur ab E puncto ad EF lineam perpendicularis linea
EKj et a JB puncto ad eam perpendicularis linea BA,
1) Uerba sequentia 8st lin. 22 — @B lin. 23 ex Eutociohuc translata sunt, propter p. 248 lin. 1—3 superuacua. his
deletis uerba snCXoinov p. 248 lin. 1 — @B lin. 3, quae habetEutocius, retinenda sunt.
248 nEPI S^AIPA2 KAI KTAINAPOT B'.
B xdd^stog iic avtrjv 7] BA. iTCtXovTtov rj^tv deL^ac^
dioti rj H0 TCQog 0Z ^sc^ova Xoyov 'i%ec^ 'tJTCEQ rj FSTCQog @B. iOri ds s6tiv rj &Z <3vva^(potSQG3 tfi A&^KE. dsti^ai ccQa dst, oti ri H@ "JCQog CvvdiicpotSQOv
5 triv SA, KE ^si^ova koyov s^si^ r]7CSQ r} FQ jCQog ®B.xal acpaiQsd^SiCrig ccQa djco tijg ®H trjg JT©, aTcb ds
f^g KE trjg EA forjg tfj B@ dsrjcsi dsix^rjvai, otc
XoiTcri rj TH TCQog XoiTcijv (Svva^cpotsQOv trjv A®, KAm ^si^ova koyov s%si^ tjtcsq rj F® TCQog &B, tovts6tiv
10 '^ 0B TCQog &A, tovtsativ r] AE TCQog ®A. xal ivak-
Xcc^, oti rj KE TCQog EA ^si^ova Xoyov s%Si^ tJtcsq
6vva^(p6tSQog rj KA, @A TCQog @A. xal disXovti rj
KA TCQog AE ^si^ova koyov sxsi, t^tcsq rj KA TCQog
0A. oti ikdcacov i6tlv r] AE f^g ®A.
15 '9-'..
Tav tfi i6ri ijCicpavsia 7CSQiS%o^svc)v 6cpaiQiX(DV
tiLYiiidtcov ^st^ov i6ti ro r]^i6(paiQiov.
s6tcx) iv 6(paiQ(x ^syi6tog xvxXog 6 ABFA, 6id-
lnstQog ds avtov rj AF, xal aXXrj 6(patQa, '^g ^syi6tog
20 xi5;{Aog 6 EZHS^ Sid^stQog dh avtov r] EH' xal ts-
t^^^^d^co iTCiTCsda 'rj ^sv stsQa 6(patQa did tov xsvtQOVj
1. B^] Bz/ FV. rnitv^ fisivcci F; corr. ed. Basil.* 2.
dLOti] OTL Nizze. 4. dst, oxi] dioxi F; corr. B. 12. @A]@A F; corr. ed. Basil.* duXovxi, ort? 15. l8' F; l To-rellius.
DE SPHAERA ET CYLINDRO II. 249
restat, ut demonstremus : H0 : @Z > r& : 0B [u. Eu-
tocius]. sed @Z = J@ -\- KE [u. Eutocius].^) itaque
demonstrandum H& : &A + KE> F® : @B. quare
etiam subtracta a @H linea linea F® et a. KE linea
linea EA aequali lineae B&^) demonstrandum erit
rn : A® + KA > rS : @B [u. Eutocius],
hoc est > &B : &A'^), hoc est > AE : &A [nam
AE = @Bl et uicissim KE : EA > KA + &A : &A%et dirimendo KA : AE> KA : &A^), hoc est
AE<&A [Eucl. V, 10].«)
IX.
Omnium segmentorum sphaerarum, quae aequali
superficie continentur, maximum est hemisphaerium.^)
sit ABFA circulus sphaerae maximus, et diametrus
eius AF, et alia sphaera sit, cuius circulus maximus
sit EZH&y diametrus autem eius EH. et secetur plano
1) Ex Eutocio haec corrigi possunt: p. 246 lin. 12: gffTt;
ibid.: ratv om., item lin. 13, 14, 20; lin. 13—14: BQF loyog,
6 avtog iozL ta tov ano A© inl ttJv; lin. 15: UQCi om. ; lin. 18:
r@B; ibid.: ovv om.; lin. 21: r@B', p. 248, 4: dsi uqu dst^ai,
oti. omisi discrepantias minutissimas in litterarum ordine, quemfieri potest ut Eutocius ipse mutauerit. praeterea Eutocius
p. 248 lin. 13: habet: rinsQ avtrj 7] et ibid. 14 tovtsativ, oti
sXdaaoiv rj AE t^? @A iativ.
2) Horum uerborum formam singularem (lin. 6— 7) propterEutocium mutare non audeo.
3) Nam r@ : @B = @B : OA-, Zeitschr. f. Math., hist.
Abth. XXIV p. 181 Nr. 16.
4) Nam KE = FH; tum u. Pappus VII, 47 p. 686.
5) U. supra p. 235 not. 1.
6) Conclusionem hic et p. 244, 12 omissam Eutocius nechabuisse nec desiderasse uidetur. idem synthesim utriusque
partis de suo addit.
7) T6 rj^LacpaLQiov fisyiatov sati twv nsQisxofisvmv vnotcag inicpavsiag acpaiQag tfia[idtcov. nsQL sXCyi. praef.
250 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT B'.
7] ds erBQa ^rj Slcc tov xsvtqov. £6tg} ^s tcc ti^vovta
iTtiTtBda oQ^a itQog tag AF^ EH dia^etQOvg. xal
tBt^Yi(5%^a)(5av ycata tag ZlB, Z@ yQa^^dg.
B0tiv drj to ^BV xata trjv ZE® TtBQicpeQBiav t^rj^a
5 tijg 6(paiQag rj^iOcpaiQiOv, tcov de Tcata trjv BA^ itBQi-
(pBQBiav to^icjv Bv ^BV ta BtBQco (3%ri^ati^ TtQog o to
2] 0rj^BiOv, jiBi^ov ri^i6(paiQiov, iv ds ta itBQG) BXa6-
6ov rj^i6(paiQi0v. i6ai ds E6tco6av aC tcjv BiQrj^Bvov
t^rj^cctov iTticpdvBiai. Xiyco ovv, oti fiei^ov i6ti t6
10 Katd trjv ZE® TtBQicpBQBiav r]^i6(paiQiov rov Tiatd trjv
BA^ TtBQicpBQBiav t^rj^atog.
ijtBi yaQ i6ai Bi6\v ai iiticpdvBiat tcov BiQrj^ivov
t^rj^dtcjv , (pavBQOv^ oti i6r] i6tlv rj BA trj EZ bv-
^'Bicc [didBiXtai yaQ Bxd6tov t^r^iatog rj iTticpdvBia
15 i6rj ov6a TcvxXc)^ ov r] in roi) kbvtqov l'6r] i6tl tfj
dito trjg 7C0Qvq)rjg tov t^rj^atog bv^^bCcc dyo^ivr] ijtl
tr]v 7tBQi(piQBiav tov kvkXov^ og i6ti ^d6ig rov t^i^-
^atog]. [xal iitBl ^si^cov i6tlv r]^i6BG)g tcvkIov r] BA/1
TtBQiCpBQBia iv tCD BtBQG) 6%r]^ati^ TtQog tb 2J 6r]^Bi0v]
20 drjlov, oti r] BA ild66c3v i6tlv tj di7tXa6iov dvvd^Bi
tijg AK^ trjg ds ix tov TcivtQov ^Si^cov rj di7tka6iG)v
dvvd^si. B6tG) ds %al tfj ix tov xivtQOv roi> ABzfy,v%lov i6r] r] FS^ ^«^ oV E%Bi koyov rj FS TtQog tr]v
FK^ tovtov i%BtG) r] MA TtQog AK. dTto ds tov xv-
25 xAof tov TtBQi did^BtQov tr]v BA xcjvog £6to xoqv-
1. ra] scripsi; rcc (isv F, uulgo. 4. eotlv'] sotco Nizze;
sed respicitur ad p. 248, 21 sq. 6. tofiavl t^rjficitaiv Nizze,
8. cii tmv sIqtiiievcov tiirjficitcav STiicpdvsiai. Xsyw ovv~\ om. _F
;
corr. ed. Basil. nocuit similitudo compendiorum 'iottoaav et ovv;
lacunam sic suppleuit Cr. : „est autem superficies maioris por-
tionis unius sphaerae superficiei dimidiae sphaerae aequalis, quaeest ad circumferentiam feh. dico igitur." 17. og] 6 F; corr.
Torellius. 19. Z] F F; corr. ed. Basil.*; sed fortasse et hic
DE SPHAERA ET CYLINDRO IL 251
altera sphaera per centrum^ altera autem non per cen-
trum. et plana secantia ad diametros ^F, EH per-
^)endicularia sint et secent^) in lineis z/5, Z0.
Br itaque segmentum sphaerae in ambitu ZE0 posi-
tum hemisphaerium est, segmentum autem in ambitu
BA/I positum''') in altera figura, ad quam est Esignum, maius hemisphaerio, in altera uero minus.
aequales autem sint superficies segmentorum, quae
commemorauimus. dico igitur, hemisphaerium in ZE®ambitu positum maius esse segmento in BA^ ambitu
posito.
nam quoniam aequales sunt superficies segmento-
rum, adparet, esse BA= EZ [I, 42—43; Eucl. XII, 2].
[et quoniam ambitus BA^ in altera figura^ ad quam
Zl signum est, maior est semicirculo] adparet esse
BA^<2AK^sed maiorem duplici quadrato radii [u. Eutocius].^)
praeterea autem linea FlEl aequalis sit radio circuli
AB^, et sit r^ : FK = MA : AK et in circulo cir-
cuux BzJ diametrum descripto construatur conus uer-
1) Aut auditur ot tivkXoi, aut potius Archimedes scripserat:
rsTficiyrOvrcov. cfr. Quaest. Arch. p. 88.
2) Uerba corrupta lin. 5—6 sic fere restituenda sunt: rode Katci rriv BAzi nsqicpsQ^iav r(i7](ia.
3) Ex eo comperimus , ArcLimedem lin. 20—22 scripsisse
drjXov Se , ori rj BA ri^g (ihv AK iXdaGcav sarl ») dinXaoia dv-
vdfiEL, rrjg ds ix rov yiEvrQOV (isi^cdv rj SinXaoCa. lin. 22 8v-vd(i£L del. Torellius. Nizzius post hoc uerbum cum Sturmioaliisque addit: iv ds rS srsQco o%rniari rdvavrCa rovroig. y.SiO&a}
Tc5 rjiiiosi rov dno AB, rovrsori rov dno EZ, l'oov ro dno AP.^orai aQa rrj EA Lorj rj AP, nal rrjg AK r^ AP syyvrsQco rrjg
SixotOfiLag rijg iv rm O orjfiSLcp.
et lin. 7 scrib. <^. 20. iorCv] per comp. F. 25. rov] ad-didi; om. F, uulgo.
252 nEPI S^AIPAi: KAI KTAINAPOT B'.
(priv e%c3V rb M arj^stov. i0og ^rj iexLV ovtog ra
xara rrjv BAzl 7teQL(psQ£tav r^rnian rrjg a^paLQag. eCrco
:^al rfj EA l^rj rj EN, xal a%b roi; kvtiXov rov %sqI
did^srQOv rrjv &Z x(5vog sarc) KOQV(priv s%(ov ro N5 arj^stov. l'(3og drj xal ovrog san rc5 xara rrjv ®EZ
7tSQi(pSQSLaV ri^L0(paLQLG). TO df JlSQLSXO^SVOV VTtO T(OV
APT ^sit,6v s0rL rov nsQLSxo^svov vtco r^v AKF,
dion rriv slccaoova jtlsvQav rrjg sk(x00ovog rov srsQOv
^Sitova s%si. ro 8s dnb rrjg AP t0ov sOrl ra itsQL-
10 s%oiisv(p vTtb r6v AK, FS- ^Vt^v yaQ sart rov ditb
6. 8s\ scripsi cnm Eutocio; 8ri F, uulgo. 7. AP, PT To-
rellius. AK, KF idem. 10. AK, T^] Als; F; corr. ed. Ba-
sil.; cfr. Eutocius.
DE SPHAERA ET CYLINDRO II. 253
ticem habens punctum M. is igitur segmento sphae-
rae in ambitu BAzl posito aequalis erit.^) sit praeterea
EN = EA, et in circulo circum diametrum SZ de-
scripto construatur conus uerticem habens punctum N.
quare etiam is hemisphaerio in ambitu SEZ posito
aequalis est [u. Eutocius]. sed est
APxPr> AKX Kr,
quia minus latus minore latere alterius rectanguli ma-
ius habet [u. Eutocius]. est autem AP^ = AKxF^-^est enim = ^AB^.^) itaque etiam
1) Est enim gvv^bvzi (Eucl. V, 18): KS : rK=- MK: AK;tum u. prop. 2.
2) U. Eutocius. sed nusquam dictum est, esse AP^ — ^AB"^.
quare puto p. 250, 22 post dvvcc^ei excidisse: BOt(o dr} rj BArijg AP dvvdfisi dinlaaLu (forma ad lemma Eutocii adcommo-data, quod sine dubio genuina uerba Archimedis seruauit; u.
p. 251 not. 3). nam uerba praecedentia lin. 20 sq. eo spectant,
ut demonstretur, punctum P inter O et X cadere, et praetereasatoa 8s xat lin. 22 tum demum habebunt, quo referantur. ce-
terum si lemma Eutocii recte in codicibus traditum est, se-
quitur, ut uerba xal snsL lin. 18 — arnistov lin. 19 subditiua
sint (driXov 8s). hinc oritur suspicio, Archimedem omninonon ad alteram figuram respexisse, ita ut delenda sint sv (isv
tat p. 250, 6 — arj^siov lin. 7 et sv ds lin. 7 — rjfiiatpccLQtov
lin. 8, et praeterea ultima uerba adnotationis Eutocii ad p. 250,
254 nEPI S^AIPAS KAI KTAINAPOT B'.
trjg AB. ^stt^ov ovv ictu xal ro dvva^cpotsQov roi;
6vva^(pot8Qov [to ccQa TtsQLexo^svov vTto tav FAP^st^ov s6ti roi5 vitb tSv IHJKA]. rc5 ds vtco tmv
SKA L0OV sOtl ro vTCo tav MKF [(^6ts ^st^ov s6tL
5 ro vTio tcov FA, AP tov vtio tSv MKF]. Sats ^sC-
t,ova Xoyov s%si 7] FA tcqos trjv KF, tJtcsq t] MKTtQog trjv AP. ov ds Xoyov s%sl rj AF JtQog trjv FK,tovtov s%SL ro aTto trjg AB TtQog ro ccTto trjg BK.dr]Xov ovv, otL ^sCt^ova Xoyov s%sl tb rj^LiSv tov anb
10 trig AB, o s0tiv l'6ov ttp ccTtb AP, Tt^bg tb aitb tr^g
BK, rjTtSQ r] MK itQbg trjv dLitkacCav trjg AP, rj sCtLV
l'0r] trj AN. ^sC^ova aga Xoyov s%sl xal 6 nvxkog 6 jtsQi
did^stQov trjv Z® TtQbg tbv kvkXov tbv nsQl did^stQov
tr]v B^, rj ri MK TtQbg trjv NA. Sots ^sC^ov sOtlv 6
15 xwvog 6 pdoLV ^sv s%(ov tbv JtsQi dLd^stQov trjv Z&xvTcXov, xoQVCprjv ds ro! N (Sri^stov roi) x(dvov rov
pd^LV ^sv s%ovtog xvxlov tbv TtsQi dLd^stQOv triv BA,KOQV(priv ds to M Orj^stov. drjXov ovv, oti xal ro
ri^LiScpaCQLOv tb xatd trjv EZ® JtsQLCpsQSLav ^st^ov s6ti
20 tov t^iri^atog tov xatd trjv BA^ nsQiCpSQSLav.
1. fist^ov] scripsi cum Eutocio; (isl^cov F, uulgo. 2. FA,AP Torellius. 3. iisl^cov F. in figura litteram O ex Eutocioaddidit Nizze, litteram Z ed. Basil., sed praue; corr. Torellius.
3. SKA] B*, ed. Basil.; ISIAKF; ;b:K, KA Tovellms, ut etiamlin. 4. 4. MKF. aars iist^ov saxi to vno xmv] om. F; corr.
Cr., ed. Basil.^
b. TAP ed. Basil. MK, KF Torellius.
10. AP, TCQog x6 ccTCo] om. F; corr. Cr., ed. Basil. 12. AN]AHF; corr. A, Cr., ed. Basil. 14. rj] ijnsQ Torellius. MK]HMKF', corr. ed. Basil.* NA] MA F; corr. Torellius;
„ln" Cr. (isL^ov F. 15. didfisxQOv] dLa(isxQov (isv F, ut
etiam lin. 17; corr. utroque loco Torellius. in fine AQXL(ir]dovg
nsQL acpccLQag 'kccl nvXivdQOv B F, Cr.
DE SPHAERA ET CYLINDRO II. 255
APxpr+ AP^ > AKxKr + AKxrs[hoc est FA X AP> AK X Kg (u. Eutocius)]. sed
MK xKr= SKX KA [u. Eutocius].
quare FA : Kr> MK : AP [u. Eutocius].^) sed
AT : TK = AB^ : BK^ [u. Eutocius].
adparet igitur, esse ^AB^ : BK^ > MK:2AP, hoc est
AP^:BK^> MK : AN [u. Eutocius].
quare etiam circulus circum diametrum Z@ descriptus
ad circulum circum diametrum Bzi descriptum maio-
rem rationem habet, quam MK : NA.^) quare conus
basim habens circulum circum diametrum Z® descrip-
tum, uerticem autem punctum N, maior est cono
basim habenti circulum circum diametrum J5z/ de-
scriptum^), uerticem autem punctum M [u. Eutocius].
adparet igitur, etiam hemisphaerium in ambitu EZ®positum maius esse segmento m BAA ambitu posito
[p. 252, 1 sq.].
20 sq. (nal xavtu fisv — Xex^i](istccL), in quibus etiam mira bre-
uitas offendit. haec enim figura altera praeter unum locump. 250, 6 prorsus neglegitur. itaque transscriptor ab instituto
suo demonstrationem Archimedis corrigendi destitit.
1) Ex eo adparet, Archimedem t-^v ante KVeiAP lin. 6 et 7,
sicut etiam ante TK lin. 6 omisisse. lin. 14 pro ij habet '^tcsq.
2) Nam est ZA = AP (Eutocius); itaque
Z^2 . BK^> MK: AN;tum u. Eucl. XII, 2; nam
ZA = -^Z6), BK = 4^BJ.3) Archimedes scripserat solito uerborum ordine lin. 17:
tov nsQL dLOLiistQQv TTjv B z/ -iivyiXov (Eutocius).
DIMENSIO CmCULI.
Archimedes , ed. Heiberg. I. 17
a
.
IJag xvxXog l'6og eCtl TQiy(6v(p OQd-oyovCc)^ ov 7]
^ev ix roi; xbvxqov l'6r] ^ta xmv TtSQL xrjv OQd^riv, tj
6€ TtsQL^exQog xfi ^doei.
5 ixexco 6 ABF^ xvxXog XQiycovip xa E, (og vno-
Tieitai, Xeyco, oxl toog i<Stiv.
ei yccQ dvvatov, eCta ^ec^cov 6 zvxAog, xal iyye-
yQa(p\f(o to AT tetQccycovov, xal tet^Yi<j\^c}6av ai TteQL-
(peQeLai dL%a^ xal eOtca ta t^i]^ata rjdr] ika06ova f^g
10 vTceQOxrjg,, r} viteQexeL 6 xvxXog tov tQLycovov. to ev-
d^vyQa^^ov ccQa exL xov XQLycovov e6xl ^ett,ov. eLXrjcpd^o)
xevxQOv xb iV, xccl xad-exog r] NS. iXcc(j6c3V ccQa rj
1. «'] om. F. 4. pdGSi] XoLTcfi "Wallis. 5. XQLycavaj xm
E post iGog sGtlv lin. 6 ponit ed. Basil. ; gvv tq. tco E Nizze.
9. sGra] per comp. F.
L
Omnis circulus aequalis est triangulo rectangulo,
si radius aequalis est alteri laterum rectum angulum
continentium^ ambitus autem basi.^)
circulus ABF^ ad triangulum E^) ita se habeat^
ut propositum est. dico, eum ei aequalem esse.
nam si fieri potest, sit maior circulus, et inscri-
batur quadratum AF, et ambitus in duas partes aequa-
les diuidantur [et ducantur lineae BZ, ZA, AM, Mzicet.]^), et segmenta iam minora sint eo spatio, quo
E
circulus triangulum excedit.*) itaque figura rectilinea
adhuc maior est triangulo. sumatur centrum N, et
perpendicularis [ducatur] NS, itaque N^ minor est
1) Aliam et eam correctiorem huius propositionis formamsignificat Eutocius: ind^sfisvog yuQ tQiycovov oqQ^oycoviov q)rj-
GLV ixstca trjv iiiuv tcov nsQt trjv oQd^rjv lgtjv t^ i% tov tisv-
tQOv, trjv ds XoL7tr}v tfj nsQLcpsQSiu^ et infra: tQLycovov to 6q-d^oycovLov — L60V iotl t(p V,V^X(p.
2) Archimedes scripserat nQog tQLycovov to E, lin. 5.
3) Tale aliquid (uelut: ytal iyysyQccq^d^oi sv&vyQccfifiov loo-
nXsvQOv) Archimedes sine dubio addiderat lin. 9.
4) Hoc fieri potest per Eucl. XII, 2 (II p. 200 ed. August),
coUato X, 1. sed statim uti potuit Archimedes de sph. et cyl.
I, 6 p. 24.
17*
260 KTKAOT METPHSIS.
JV^ rijg tov tQiycovov TclsvQccg. e0XLV ds xal rj iteQi-
^stQog roi' svd^vyQcc^^iov trjg loLJtrjg ildttcjv, ijtel xal
tijg rot) TCvxXov TtsQi^stQOv.
skattov ccQa ro evd^vyQa^^ov rot» E tQiycovov. OTteQ
5 atOTtov.
e6tG) de 6 xvxlog, ei dvvatov, ikattcnv tov E tQt-
ycavov. xal TteQLyeyQcicpd^G) tb tetQccycjvov, xal ts-
t^T^dt^coaav a[ TteQLcpeQeLac dL%a^ xal rjx^cooav itpanto-
lievaL dLcc twv 67]^eLcov. oQd^r} ccQa ri vjto OAP. rj OP10 aQa trjg MP i6tLV ^eL^cov rj yccQ PM tjj PA lOr}
i6tL. xal to POn tQLycovov ccQa tov OZAM 6xi]^a-i
rog ^ett^ov i6tLV tJ ro rj^L0v. XeleL(pd^Gi(5av oC roj ,
nZA to^et o^OLOL iXa6(5ovg trjg vTteQoxrjg, fiv7teQe%ei \
tb E rov ABF^ xvkIov. etL ccQa tb JteQLyeyQa^^e-
15 vov evd^vyQa^^ov rov E i&tLV eka60ov. oJteQ atoTtov.
e6tLV yccQ ^et^ov, ort rj ^ev NA l'6rj iotl tfj xad^etci) i
rov tQLycovov, rj de TteQL^etQog ^eL^cay iotl trjg ^d^ecog
tov TQiycovov. L6og aQa 6 TCVKkog ta E tQLycovc).
6. iXdttcov] [isi^cov F; corr. ed. Basil.* 10. rfj'] trig F;corr. ,.B*. 13. tofiSLs ed. Basil., Torellius; „portiones" Cr.
14. E] E tQLycovov ed. Basil., Torellius, Cr.
4
DIMENSIO CIRCULL 261
latere [alteroj^) trianguli. sed etiam perimetrus figu-
rae rectilineae minor est altero latere, quia etiam am-
bitu circuli minor est [de sph. et cyL I p. lOJ.
itaque figura rectilinea minor est triangulo E[Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p. 180 nr. 12J;
quod fieri nequit.
sit autem circulus, si fieri potest, minor triangulo E.
et circumscribatur quadratum, et ambitus in duas par-
tes aequales secentur, et per puncta [sectionumj lineae
contingentes ducantur. itaque LOAP rectus est [Eucl.
III, 18J; quare 0P> MP, nam MP= PA [Zeitschr.
f. Math., hist. Abth. XXIV p. 181 nr. 15J. itaque
POn > \OZAM,^) relinquantur [igiturj segmenta
segmento^) TIZA similia minora eo spatio, quo Etriangulum circulum ABF^ excedit.*) itaque figura
rectilinea circumscripta adhuc minor est triangulo E-^
quod fieri nequit. est enim maior, quia NA aequalis
est altitudini^) trianguli, perimetrus autem maior basi
trianguli.^) circulus igitur aequalis est triangulo EJ)
1) trjs tov TQiymvov nXsvqccg lin. 1 obscurius quam promore Archimedis dictum est.
2) Nam OAP> APM (Eucl. VI, 1) et
OAP = ^POn, PAM = AUZ.3) to^st lin. 13 Archimedes non scripsit pro tfn^fiatL.
4) Cum POJ7> ^OZ^M, hoc fieri potest per EucL X, 1;cfr. de sph. et cyl. I, 6.
5) Archimedes scripserat tco vipBi lin. 16; Quaest. Arch.
p. 71.
G) Quia maior est ambitu circuli; de sph. et cyl. I, 1.
7) Hanc propositionem citant: Pappus I p. 258, 17; 312,
20; III p. 1158, 22; demonstrationem repetit V, 6 p. 312—16ex Zenodoro apud Theonem: comm. in ptolem. p. 12—13 ed.
Basil,; Proclus in Eucl. p. 423, 3; Anonymus Hultschii 42, 3
p. 266.
262 KTKAOT METPHSIS.
10
^O KvxXog TtQog to ccTtg rrjg dLa^stQOv tstQciyavov
koyov £%£i^ ov la itQog id\
£0t(D KVTclog, ov did^stQog r} AB^ %al TtSQiysyQdtp^a
5 tEtQayovov ro FH^ xal trjg F/l diTtlri 7] /JE^ £^do-
liov d£ 71 EZ tijg JTz/. £7t£i ovv ro AFE TtQog to
AT/1 "koyov £%£i^ ov %a TtQog J', TtQog 81 to AEZJT J
to ATA Xoyov £%£i, ov STtta
TtQog £v, ro AFZ itQog to
AFzl £0tiv, (X)g K^' ^Qog t,'.
dlla tov ATA t^tQaitXd^iov
£6ti tb TH t£tQdyc3vov' to
d£ ATAZ tQiycjvov t(p AB %vKk(p i6ov £6tiv [i7t£l rj
^£v AT xdd^^tog i^rj £6ti t^ £% tov KSvtQOV, rj dh
15 pd6ig f^g dia^£tQOv tQiitkaCiCJV nal tS t^" £yyi0ta
v7t£Q£%ov6a d£i%d"^6£tai]. 6 KvxXog ovv TtQog tb THt£tQdycovov X6yov £%£i, ov ia TtQog id\
Havtbg kvkXov rj 7t£Qi^£tQog trjg dia^itQOv tQi-
20 7tka6iG)V £6ti^ Kal £ti V7t£Q£%£i £ld(360Vi ^£V ^] Spdo^Ci)
^£Q£i trjg dia^£tQov^ ^£it,0VL d£ 7} dsKU £^do^riKoato-
^ovoig.
1. ^'] om. F. 3. l8' syyiata Wallis. numeros lineolis
transuersis supra ductis notat F. 5. dmXri] SinXccGioc Nizze.
9. ArZ ccga Wallis. 12. Post tEtQciycovov Wallis addit:
t6 aQa AFZ tQiymvov TtQog to FH tstQayoavov ?.6yov ^xbl, ov
>t|5' iiQoq mV, n ov la TtQog iS\ 13. APJZ] sic F, Cr.;
DIMENSIO CmCULI. 263
II.
Circulus ad diametrum quadratam eam rationem
habet, quam 11 : 14.
sit circuluS; cuius diametrus sit AB^ et circumscri-
batur quadratum FH, et sit zfE= 2rj, et EZ= ^F^,
iam quoniam est ^TE : jiFzi = 21 : 7 [Eucl. VI, 1],
sed ^rz/ : AEZ = 7:1 [Eucl. YI, 1], erit
jMrZiArzi = 22: 1}) ,.,
sed rH^AAF^ [Eucl. I, 34], et triangulum AFz^Zcirculo AB aequale est [quia altitudo AF radio aequa-
lis est, basis autem triplo et praeterea septima parte
maior diametro, hoc est ambitui proxime aequalis, ut
demonstrabitur prop. 3; tum u. prop. 1].^) quare cir-
culus ad quadratum FH eam rationem habet, quam
11 : 14.3)
III.
Cuiusuis sphaerae perimetrus diametro triplo maior
est, et praeterea excedit spatio minore, quam septima
pars diametri est, maiore autem quam ^^.
1) Nam ccvciTcaXLV (Eucl. V, 7 noQ.) AEZ : ATJ = 1 : 7
;
tum addendo sequitur proportio. sed poterat statim concludiex Eucl. VI, 1; nam FZ = (3 + -i) FJ = V rj.
2) Hic locus snEL lin. 13 — dsixQ^riastaL lin. 16 mire cor-
ruptus et confusus transscriptori tribuo, qui eum addidit, post-
quam prop. 2 et 3 permutauit; neque enim Archimedes hancpropositionem ante prop. 3, quo nititur, posuit.
3) Citatur haec propositio a Pseudoherone Geom. 103 p. 136.
ATZ ed. Basil., uulgo. 16. Post ^aoLg Wallis addit: rfi xov-KvyiXov TrsQLfistQO)^ 7]tLg. ta] scripsi; tov F, uulgo. 17. Ld'
hyyLGta Wallis.
264 KTKAOT METPHSIS.
€<3tc3 zvTclog, xal dtcc^etQOs 7} AF^ xal xcVr^^oi' to
E^ Kal Tj FAZ iq^aTtto^evrj, Kal rj vito ZEF tgCtov
OQd^Yig. fj EZ aQa TtQog ZT Xoyov b%u^ ov fS' JtQos
Qvy. rj ds EF TtQog tr\v FZ Xoyov £%£i^ ov 0^e
5 TtQog Qvy . tatiiriG^G) ovv rj vitb ZEF dC%a trj EH.e<3tiv aQa^ (hg ri ZE TtQoq EF, rj ZH TtQog HF [xal
ivaXXa^ xal 0vv%evtL\. ag aQa 6vvaii(p6teQog r} ZE,
Er TtQog Zr, rj EF JtQog FH. coW n FE itQog FH^eC^ova koyov e%ei., rJTteQ cpoa TtQog Qvy. rj EH aQa
10 TtQog HF dvvd^ei Xoyov e%ei^ ov M d^vv TtQog Myv^\
^T^xet aQa, ov cpqa ri' itQog Qvy . Ttdkiv dC^a rj VTto
A
HET tfj E@. did td avtd aQa r] ET itQog T® fieC-
^ova Xoyov e%ei^ rj ov aQ^^' r\' TtQog Qvy. rj @EccQa TtQog ®T ^eC^ova loyov e%ei^ ^ ov aQO^' r\' HQog
15 Qvy . eti dC%a r\ v%o @ET tfj EK. rj ET aQa TtQog
TK ^ieC^ova Xoyov e%eiy rj ov ptkS' d" TtQog Qvy
.
ri EK aQa TtQog TK ^eC^ova, rj ov fitX^' d" ^tQog
2. TQLtov] TQitov {-tov per comp.) F, corr. B*. 3. ju-ft-
^ora Xoyov Wallis. 6V] scripsi cum Eutocio; rj ov F, uulgo.
DIMENSIO CIRCULI. 265
sit circulus, et diametrus AF, et centrum E^ et FAZlinea circulum contingens, et /. ZEF tertia pars recti.
itaque EZ \ ZT= 306 : 153 [u. Eutocius], sed
Er\TZ==^ 265 : 153 [u. Eutocius].
iam secetur /. ZET in duas partes aequales linea EH.
est igitur
ZE:ET=ZH'.HT [Eucl. VI, 3].
quare
ZE+ ET:ZT= ET: TH [u. Eutocius].i)
quare
TE : TH>611 : 153 [u. Eutocius].^)
itaque
EH'' : HT^ = 349450 : 23409 [u. Eutocius].
itaque EH : HT= 591^ : 163. rursus secetur eodem
modo L HET linea E0. propter eadem igitur erit
ET:T@> 11621 : 153 [u. Eutocius].
quare ®E : ®T > 1112^ : 163 [u. Eutocius]. rursus
secetur i @ET linea EK. erit
ET:TK> 2334^ : 153 [u. Eutocius].
1) Sequentia uerba lin. 6— 7: xal svaXXa^ xat cvvd^svti atransscriptore ex Eutocio huc prauo ordine illata sunt.
2) Quae Arcliimedes breuissime, omissis computationibus,proponil, copiose et perspicue explicat Eutocius; quare satis
habui lectorem ad eum reuocare. quo modo Archimedes nu-meros 153 et 780 inuenerit, aut quibus adiumentis instructus
latera numerorum non quadratorum computauerit, nondum con-stat (Quaest. Arch. p. 60—66). haec propositio difficillima atransscriptore et fortasse etiam a librariis pessime habita est.
citatur ab Archimede ipso Arenar. I, 19; II, 3 et a Simplicioin Aristot. IV p. 508, b.
7. Gvv&svTi Kal ivaXld^ Wallis. 10. (isi^ova Xoyov Wallis.
ri ov Wallis. idem post aqa lin. 11 addit (isi^ova i]. 17.
fiSL^ova'] scripsi; (isi^ov F, uulgo; (isl^ova loyov sxsi Wallis.
266 KTKAOT METPHSIS.
Qvy . sxi 6L%a r] vjto KEF xfi AE. rj EF aQcc tcqos
AF ^eit,ova \^^YiK£i'\ koyov 's%£i^ ^itsQ ,6%oy \J' TtQog
Qvy. STtsl ovv 7] vTto ZEF XQixov ov6a o^O^^g xs-
x^fjxai xsxQaxig di^a, rj vjto AEF OQd^ijg i6xi yiri"
.
5 KSi^d-ca ovv avxfj i6r] TtQog xm E rj VTtb FEM. r} aga
vTto AEM oQd^rjg s6Xi ^d" . nal r] AM aga svd^sta
xov TtsQi xov xvkXov s0xl Ttolvycavov TtlsvQa nlsvQag
s%ovxog q^9. STtsl ovv rj EF TtQog xrjv TA sdsi^d^ri
fiSit,ova Xoyov s%ov6a, tJtcsq d%oy \J' TtQog Qvy\ akka
10 trig iisv EF diitlr] rj AF, xrjg ds FA diitlaaCaiV 17
AM^ Tcal rj AF ccQa JtQog xrjv xov c[cr' TtoXvycjvov
TtSQi^sxQOv ^si^ova koyov s%sij TJTtsQ ^d%oy vl' TtQOg
a
M d%7tri . %ai s6Xiv XQi7tXa6ia^ Tcal v7tSQS%ov6iv %^^ ij',
aitsQ XC3V d%oy C sXaxxova s0xiv 7] xo s^do^ov. S^xs
15 to Ttolvyovov xb JtSQi xbv kvxXov xrjg dia^sxQOv s6xl
XQi7tkd6iOV Xal sldxXOVi 7] Tc5 Spdo^C) ^SQSi ^Si^OV.
ri xov xvkIov aQa jtSQi^sxQog itoXv ]ialXov sXd^^ov
s0Xiv 7] XQi7tXa6icov %al s^do^cp ^sQSi ^Si^cov.
S6X0 KVTtXog^ Kal didfisxQog rj AF, rj ds vTtb BAF20 XQiXov OQd-^g, rj AB ccQa TtQbg BF sXd(56ova koyov
s%Si, rj ov axva TtQbg tJjTt' [^ ds AT TtQbg jT-B, ov
a(p^ TtQbg 7lJ7t].
2. liT^-KBi delet Wallis; om. Eutocius. ^^X^v' ^"] ,^^ov
FV. 5. LGT} 71 F; corr. Wallis. idem post FEM addit: xat
B-A^e^XriaQ-ai tj ZT ini z6 M. 6. post BvQ-Eia ed. Basil. ad-
dit nXsvQa ioTLv (sgtl Wallis), omisso sgtl lin. 7, quod habent F(per comp.), cett. codd. 7. ante TtoXvycovov ed. Basil. habetnsQLYQcccpoiisvov. TtXsvQoi] addidit Wurm; om. F, nulgo. 11.
post AM addit Wallisu»xat rj AF ccqci TtQog rrjv AM fiSL^ova
Xcyov ^X^f-j ^TtsQ Sxoy' L" nQog Qvy . 13. ante xat idem:uvdnaXiv ccQa rj nsQtfistQog tov noXvycovov nQog trjv $Ld(istQOv
a
sXaGGOva Xoyov sxsl., 7]nsQ M ^^X^V ^Qog dxoy' L". 14. ^]
DIMENSIO CIRCULI. 267
quare EK : FK > 2339^ : 153 [u. Eutocius]. rursus
secetur /. KEF linea AE. erit igitur
Er:Ar> 4673^ : 153 [u. Eutocius].
iam quoniam i ZEF, qui tertia pars est recti, quater
in partes aequales diuisus est, /. AEF erit pars duo-
dequinquagesima recti. ponatur^) igitur ei aequalis
i FEM ad punctum E. itaque i AEM pars uicesima
quarta est recti. quare linea AM latus est polygoni
96 latera habentis circum circulum circumscripti. et
quoniam demonstratum est EF : FA > 4673^ : 153, et
Ar= 2Er, AM=^ 2rA, Ar etiam ad perimetrum
polygoni 96 latera habentis maiorem habet rationem,
quam 4673^ : 14688 [u. Eutocius]. est igitur triplo
maior [perimetrus polygoni], et supersunt 667-|^, quod
minus est septima parte 4673^. itaque [perimetrus]
polygoni circumscripti minor est quam triplo et sep-
tima parte maior diametro. quare ambitus circuli multo
magis^) minor est quam triplo et septima parte maior
diametro.
sit circulus, et diametrus AF, et i BAF tertia pars
recti. itaque AB : J5r< 1351 : 780 [u. Eutocius].
1) Quamquam Eutocius: mslo&o} ovv, (prjOi, l'ar} ccvt^ 7]
vno rEM, tamen ex sequentibus adparet, eum suis ipsius uer-
bis uti. quare ne infra quidem (lin. 8: SedsL-nxcci,, lin. 9: Qvy',
Kcil ioti tijg) constat, eum genuinam formam praebere. sedlin. 19—20 puto eum recte praebere: yivyilog nsQi didfisTQOv tr}v
AV wal tQitov OQ&TJg rj vno BAF; lin. 10 om. dinlaoicov. delin. 10, 11, 15, 21 u. p. 269 not. 1.
2) Perimetrus enim polygoni maior est ambitu circuli; desph. et cyl. I, 1.
om. F; corr. Wallis. 16. sXccttovi] scripsi; sXccttov F, uulgo.
19. z/' addit F; corr. Wallis. 20. tQitov F; corr. B*. 21.
atva^ tva F; corr. B manu 2.*
268 KTKAOT METPH2:i2.
dCxa Yi vTto BArxfi AH. iTtel lcSrj eGTiv 7] vnh
BAH tfj V7t6 HFB, akXa Kai rrj vjto HAF, xal rj
vTto HFB tfi vTto HAF iGtiv1'6yi,
xal xoivrj 7] vjtb
AHF OQd^ri, xal tQLtrj aga rj vitb HZF tQitrj tfj
5 vTtb AFH l'6r}. lOoyoaviov aga tb AHF rc5 FHZ
tQiycovip. £(7rtv aga, (og rj AH Ttgbg HF, r] FH itQog
HZ^ xal r] AF TtQbg FZ. aAA' (og r} AF TtQog FZ^
xal 6vva^(p6t£Qog rj FAB TtQbg BF. xal (og 6vva^-
(fOteQog aQa rj BAF TtQbg BF, rj AH TtQbg HF. dia
10 tovto ovv 7} AH TtQog trjv HF ilaa^ova k6yov ax^h
r]7t£Q fi^ia TtQbg ip7t\ rj de AF JtQbg trjv FH ik(x6-
(jova, 7] ov yiy il' 8" TtQog if^7t\ 8Cya rj vTtb FAH ty
A&. rj A0 aQa dca ra avta TtQbg trjv ®r iX(x,6(5ova
X6yov £%£i^ rj ov e^xd' C 8" TtQbg i^n, 7] ov acaxy
15 TtQbg 6^\ £Kat£Qa yaQ ixatiQag d' ty\ co6t£ rj AFTtQbg trjv F0, rj 6v a(xiXr\ 0'' ta' itQbg 6\i . £ti dCxcc
rj vTtb &Ar tfj KA. xal rj AK TtQbg trjv KF iX(x6-
1. Ante 8CxcL ed. Basil. habet r£tii,r]6^(o. < 3. t^] aqa zri
ed. Basil. 4. aq(x] scripsi; fffrat F, uulgo; uQa l'6rj k^avai, ed.
Basil., Torellius. 5. L6ri] addidi; om. F, uulgo. 8. FA, ABTorellius. 9. BA, AF Nizze. AH'] JH F; corr. B mg.*
12. pro U" FBC* habent r'. 14. /^xd' L'J^ ezH* s' F; corr.
ed. Basil. {X pro %; corr. Wallis). 15. (?/»'] av F; corr. ed. Ba-
IDIMENSIO CIRCULI. 269
secetur^) iBAF in partes aequales linea AH. iam
quoniam LBAH= HTB [Eucl. III, 26], sed etiam
= HAT, erit HTB = HAT. et communis est L AHTrectus [Eucl. III, 31]. quare etiam HZT = ATH[Eucl. I, 32]. quare triangula AHF, FHZ angulos
aequales habent. est igitur [Eucl. VI, 4]
AH: Hr=rH: HZ = AT: FZ.
sed Ar:rZ = rA'{- AB: BT [Eucl. VI, 3; Euto-
cius]. quare FA + AB : BT = AH : HR itaque
AH:Hr <2911 : 780 [u. Eutocius],^) et
Ar:rH< 3013^ i : 780 [u. Eutocius].
secetur eodem modo L FAH linea A0. propter ea-
dem igitur erit A@ : ®r< 5924^ \ : 780 [u. Eutocius],
hoc est < 1823 : 240. altera^) enim alterius y\ [u.
Eutocius]. quare est Ar:r®< 1838i-\ : 240 [u. Eu-
tocius]. porro secetur L^AF linea KA. est igitur
1) Cum p. 266, 20—21; 268, 9—12; 13—16; 268, 17—270,
1
ab Eutocio non ipsis uerbis Archimedis citari uideantur, hascontra scripturas in lemmatis eius seruatas genuinas putauerimet in uerbis Archimedis a transscriptore mutatas: lin. 1: ra-xiiriGQ^tt dC%a', stcsl ovv; lin. 3: ccQa rij; lin. 4: XoiTti] et Xoin^pro TQitT} et TQitr]; lin. 5: sativ i6rj; aQa soti; AHF xqC-ycovov; lin. 8 xat (prius) om.; lin. 16: nQog ST sXaaaova Xoyovs%Si ^tcsq; lin. 15: satl d' ly"; lin. 17: &Ar ycovCa. simulaHa transscriptionis uestigia colligam: ut lin. 5 om. tQCycovov
prop. 1 p. 260, 14; 2 p. ^62, 6; diTtXfj p. 266, 10 {SiTtXaaCcov
Nizze; cfr. prop. 2 p. 262, 5); tov qg' TtoXvycovov p, 266, 11;
270, 9; t6 TtoXvycovov pro 17 7tSQC(istQog xov noXvycovov p. 266,
15 {rj nsQC^stQog tov noXvycovov tov — tQinXaaCcov — (isC^oav
Nizze). praeterea Eutocius uerba 97 ds AF— ipn p, 266, 21habuisse non uidetur; debebat insuper esse 97 yccQ AF.
2) Hic, ut sa^pissime in hac propositione , utitur propor-tione illa, quam exposui Quaest. Arch. p. 48.
3) Genus femininum refertur ad auditum uerbum nXsvQa.
sil.* STiatSQag] s-natsQcov Wallis, ly"] ty' a F; corr, ed.
Basil. 16. Post r@ additur sXdaaova Xoyov s%si in ed. Ba~sil. la"] om. F; corr. Wallis,
270 KTKAOT METPHSir.
6ova aQa Xoyov sxsl, 7] ov a^ TtQog |?'. eKareQa yccQ
sxatSQag ta ^ . rj AI aQa TiQog rrjv 1 K^ rj ov a^ sr
TiQog ^?\ sri 6i%a rj vTto KAF rfj AA. rj AA aQa
•JiQog rrjv AF ild<j6ova koyov s%si^ -^ ov ra fivg'g"
5 TtQog %z\ r\ ds AF TtQog FA sXd^aova^ r] rd fii^ d"
TtQog |s^'. dvdTtalLV ccQa rj TtsQt^srQog Toi) TtoXvyojvov
JtQog rrjv dtd^srQOv ^st^ova koyov s%si^ rjjtSQ j^rXz
TtQog fii^ d'\ ccTtsQ rcjv fiit^' d" ^si^ovd ionv ^ rQi-
7iXa6iova Kal dsna oa\ xal rj TtSQi^srQog ccQa roi)
10 qsr' TtoXvycovov rov sv ta5 oiVKlc) rrjg dia^srQOv rQi-
%Xa0iGiv s6rl Tcal ^si^cov 7] i ocl' , Sors ^al 6 TivxXog
sri lidXkov rQi7tXa6icov s6rl xal ^si^cjv rj i oa"
.
rj ccQa rov ocvkXov TtSQi^srQog rrjg dia^srQOv rQt-
7tXa6iCDV s6rl xal sXd66ovi ^sv r] s^do^G) ^SQSi, ^Si-
15 ^ovi ds 7] i oa' ^si^ov.
1. Post yj ov addit Wallis : yx^ct ^' la" nqbg (Fju,' r} ov.
|g'] c|s F; corr. ed. Basil. 2. £v.axEQag] ed. Basil. ex Euto-cio; s%ax£Qa. FBC*; fxaTf^cor Wallis. la /w-" ri AF^ oifiaL F;corr. Wallis. FK r} ov] scripsi cum Wurmio; xarayoi' F;^atdXoyov ed. Basil. ; FK sXdoaova Xoyov Wallis. ^«'9'' ?"]
scripsi; ^aog F, uulgo; '^%sl t/ a-^"' <5 Wallis. 4. AF] ^TF;corr. Wallis. 6. Post aQu rj Wallis addit: AF TtQog rrjv FA(iSL^ova Xoyov sxsl ijnsQ |s' TtQog ^l^' d' ' Y.al {r} addit Nizze).
7. ^grAs'] ^grag F; corr. Wallis. 8. ^^Lp'] (prius) ^ F;corr. Wallis. 9. oa"] o a ¥\ corr. Wallis. 11. l oa']
scripsi; ov o La F, uulgo; 8syi.a oa ed. Basil. Tor., Wall. 13.
L oa"] scripsi; %•' La F, uulgo; dsY.a oa ed. Basil. Tor., Wali.14. sXaGGOVL] scripsi; sXaGGGiv F, uulgo. ^isl^ovl ds r) l oa"^SL^oav] scripsi; (iSL^av ds F, uulgo; fiSL^oav Ss r} dsyia s^dofirj-
K06TO(i6voLg vnsQsxovaa Wallis.
DIMENSIO CIRCULI. 271
^iC: iCr< 1007 : 66 [ii. Eutocius]. altera enim al-
terius est ^^. itaque.
Ar.TKK 1009^ : m [u. Eutocius].
porro secetur /. K.AF'^) linea AA. erit igitur
AA : Ar<20\6i : Q6 [u. Eutocius],
et AT: FA < 2017^^ : 66 [u. Eutocius]. et e contrario
[FA -.Ar^^^: 2017^ (Pappus VII, 49 p. 688); sed
FA latus est polygoni 96 latera habentis. quare]^)
perimetrus polygoni ad diametrum maiorem rationem
habet guam 6336 : 2017^, quod maius est quam triplo
et \^ maius quam 2017^. itaque perimetrus polygoni
inscripti 96 latera habentis^) maior est quam triplo
et \^ maior diametro. quare etiam multo magis^)
circulus maior est quam triplo et \^ maior diametro.
itaque ambitus circuli triplo maior est diametro et
excedit spatio minore quam \, maiore autem quam ^f.^)
1) KAF ycavLa lin. 3 Eutocius. ceteras liuius paginaediscrepantias, quae apud eum inueniuntur, inde ortas esse puto,quod Archimedis demonstrationem non ad uerbum citauit, sedsuis uerbis reddidit.
2) Ueri simile est, Archimedem ipsum haec addidisse.
3) tov qg' TtoXvycovov transscriptori debetur, sicut etiamlin. 11: o Y.VTiXog pro 7] xov 'KvtiXov nsQLfisxQOs {nsQKpBQSLo).
4) Quippe quae maior est perimetro polygoni (de sph. et
cyl. I p^. 10).
5) AQxifirjdovs 'kvhXov (ji,stQrj6ig in fine F, Cr.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS.
Archimedes, ed. Heiberg. I. 18
^j47to0xell(o tOL yQccxpag iv tads ta ^L^XC(p tdov
ts XoLTt^v ^acoQYi^dtov tccg djtodeL^tag, cjv ovx elxsg
iv totg TtQoteQOv dTteOtaX^evoig^ xal dkXav v6teQ0V
5 Ttote^evQfj^evwv, d TtQoteQOv ^ev Tjdrj TtoXXdxig iyxei-
QriCag iTtt^xejtteOd^aL^ dv(5';coAoi' e^etv rt q)avet6ag [iot
tdg evQeCtog avtcov djtOQrjGa. dtoTteQ ovde Qvve^-
edod^ev totg dXXotg avtd td TtQo^e^Xri^eva. vGtSQOv 8e
im^eXe^teQOv itot avtotg yevo^ievog i^evQov td dito-
10 QYjd^evta. riv de td ^ev Xotnd t^v TtQoteQov d^eaQTj-
^dtcov TteQt tov oQd^oycovtov Tccovoetdeog TtQo^e^lrnieva'
td ds vvv ivtt Ttote^evQrj^eva jteQt te d^p?,vycovtov
Kcjvoetdeog xal TteQt acpatQoetdeov 6%ri^dtc3V .,cctv td
^ev TtaQa^dxea, td de iittTtXatea xaXeco.
15 TteQl ^ev ovv rot» OQd^oycovtov xovoetdeog vTtexetto
tdde' et xa OQxi^oyovtov xcavov to^d ^evov6ag tdg
dta^etQov TteQteve^d^etGa aTtoxata^tad^fj jtdXtv^ od^ev
wQ^a^ev, t6 TteQtXag^d^ev 6xV^^ ^^^ "^^S tov oQd^o-
yavtov XC3V0V to^dg oQd^oyojvtov xcovoetdeg xaXet^d^at^
20 xal d^ova ^ev avtov tdv [le^evaxov^av dtd^etQOv xa-
Xet^d^at^ xoQvcpdv de to 0a^etov, xad'^ o dntetat 6
1. JcoaLd^EO) F; corr. Riualtus. 3. unoSsL^Lccg] scripsi;
anoSsL^ cum comp. rjg F; ccnodst^SLg uulgo. 6. Svayiolov}
dvGTtot' oXov F; corr. Riualtus. 7. svQiaiog'] scripsi; svqs-
6iccg F, uulgo. 14. 7caQcc(i(xyiscc] Torellius; nciQccfirjyisa F,
uulgo. 15. yiovosLSsog F. 16. sl' xa] aha Torellius, ut
semper hoc libro. 19. ytaXsLcd^oo F; corr. Torellius.
Archimedes Dositheo s.
Hoc libro conscriptas tibi mitto demonstrationes
et reliquorum theorematum, quorum demonstrationes
in iis libris, quos antea tibi misi^), non habuisti, et
aliorum quorundam postea inuentorum^), quae cumantea saepe perscrutari conatus essem, haerebam, quia
inuentio eorum difficultatem quandam habere mihi
uidebatur. quare ne edebantur^) quidem ipsae pro-
positiones una cum ceteris. postea autem diligentius
ea adgressus inueni ea, in quibus haeseram. reliqua
theorematum priorum de conoide rectangulo proposita
erant. quae nunc noua inueni, de conoide obtusian-
gulo sunt et de figuris sphaeroidibus, quarum alteras
oblongas, alteras latas nomino.
de rectangulo igitur conoide haec proposita erant:
si sectio coni rectanguli manente diametro circum-
uoluta rursus in eum statum restituitur, unde moueri
coepta est, figuram sectione coni rectanguli compre-
hensam conoides rectangulum uocari, et axem uocari
eius diametrum manentem, uerticem autem punctum,
1) H. e. Hbros de sphaera et cyHndro, de heHcibus, deparabola.
2) De conoidibus obtusiangulis et de sphaeroidibus (lin.
12); de iis ne propositiones quidem Cononi miserat Archime-des (Hn. 8).
3) H. e. Cononi mittebantur sokiendae et cum aHis mathe-raaticis communicandae.
18*
276 nEPI KiiNOEIAESiN KAJ S<^AIPOEIAE^N.
cc^av tdg rov Mavoecdeog iTttcpaveCag. Kal bl y.a xov
oQ^oyaavCov XGJvosLdeog 6x^^cctog iitCnsdov inLtpavrjy
Jtaga de to i7tLi};avov iitCitedov akXo inCTtsdov ai^sv
aTtotsyiri tL t^a^a rov KcovosLdsog, ^a6LV ^sv xaXsC-
5 ^d^ai tov dnot^ad^svtog tfid^atog to iitCitsdov tb nsQc-
lag^d^sv vTtb tdg tov xavosLdsog to^dg iv ta dno-
tsfivovtL inLnsdc), KOQvq)av ds tb (ja^stov, xaO"' o
inctl^avsL tb stSQOv inCnsdov tov xcDvosidsog, d^ova ds
tdv ivanolaq^d^SL^av svd^stav iv ta t^d^atc dnb tdg
10 dx^sC^ag dta tdg KOQV(pdg tov t^dfiatog na^d tbv
d^ova tov xayvosLdsog.
nQOS^dlksto 6s tdds d-scsQT^OaL' dia rt, sl' xa tov
OQd^oycovCov KovosLdsog t^d^ata dnot^ad^fj inLnsdo)
OQd"^ notl tbv d^ova, tb dnot^ad-sv t^d^a rjfiLokLOv
15 i<j0sCtaL tov Tcoivov tov ^d^LV s^ovtog tdv avtdv ta
t^d^atL Kal d^ova tbv avtov xal dta tC^ st xa dnb
tov OQd^oycavCov xovosLdsog dvo t^d^iata dnot^ad^sosvtL
inLnsdoLg bncaOovv dy^svoLg, td dnot^ad^svta t^dfiata
dLnkd(3L0v koyov s^ovvtL not dkkaka tmv d^6vc3v.
20 nsQl ds tov dfipkvycovCov xovosLdsog vnotLd^Sfisd^a
tdds' SL xa iv inLnsdG) scsvtL dfi^kvycavCov xoavov
tofid xal d dLdfistQog avtdg xal al syyL6ta tdg tov
dfi^kvyovCov xcjvov tofidg, fLSvov6ag ds tdg dLa^istQov
nsQLSvex^sv tb inCnsdov, iv co ivtL aC SLQfjfisvaL yQa^i-
1. tov] to tov F; corr. Torellius. 2. o^-O-oyoortov] 0*0
supra scriptum manu 1 F. ytovosiSsog F. 3. Bniipocvcov F.
4. tfirifia F; corr. Torellius. 12. n^osfidllsto] B; TCQOS^al-
lEvto FCD; nQos^ttllovto A, ed. Basil., Torellius- 15. sast-
rat F; corr. Torellius. 17. dnotfiad-scovti] Torellius; ano-
tfiad^svtL F^ VLulgo; a7roT/*a'9'£VTa A, ed. Basil. 19. wot' aHaXa]Torellius; ttoti Ta alXu F, uulgo. 20. vnotid^sfisd^a] scripsi;
vnsti^sfisQ-a F, uulgo; vns^siisd^a Nizze. 22. at] addidit
Torellius; om. F, uulgo.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 277
in quo axis superficiem conoidis tangat. et si planum
conoides rectangulum contingat, et aliud planum con-
tingenti parallelum segmentum conoidis aliquod ab-
scindat, basim segmenti abscisi uocari planum sec-
tione conoidis in plano abscindenti comprebensum,
uerticem autem punctum, in quo alterum planum co-
noides contingat, axem autem eam partem lineae per
uerticem segmenti axi conoidis parallelae ductae, quae
intra segmentum comprehenditur.
consideranda autem baec proponebantur:
cur, si segmenta^) conoidis rectanguli plano ad
axem perpendiculari abscindantur, segmentum absci-
sum dimidia parte maius sit cono basim habenti ean-
dem, quam segmentum, et eundem axem [prop. 21];
et cur, si a conoide rectangulo planis quoquo modo
ductis duo segmenta abscindantur, segmenta abscisa
duplicem inter se rationem babeant, quam axes
[prop. 24].
de obtusiangulo autem conoide baec supponimus ^)
:
si in plano sunt sectio coni obtusianguli, diametrus
ieius, lineae sectioni coni obtusianguli proximae^), et
manente diametro planum, in quo sunt hae lineae
omnes, circumuolutum rursus in eum statum restitui-
1) LId. 13 pro TftaftaTtt Nizzius coniecit tiiaiici, fortaBse
recte, sed cuin idem infra legatur p. 280, 3 et fieri poBsit, ut
Archimedes prius uniuersalius locutus sit, deinde ad singularemet casum et numerum transierit, scripturam codicis mutare nolui.
2) Scribendum esse vnotid^siiBd-a lin. 20, adparet ex p. 275not. 2; iiaec nunc demum supponit Archimedes.
3) H. e. asymptotae quae uocantur. sed uocabula mathema-tica Archimedis ubique retinui. quare etiam scripsi: sectio coni
rectanguli, obtusianguli, acutianguli pro nominibus recentioribus
:
t^arabola, hyperbola, ellipsis. in uocabulis nouis obtusianguliet acutianguli fingendis secutus sum Commandinum aliosque.
278 nEPI K.<iNOEIAEiiN KAI S«^AIPOEIAESiN.
^ccL, d7tOKata(jtad'f] TtdXiv, od^sv SQ^a6sv, ai ^sv sy-
yL6ta sv^sCai tdg tov d^^kvyavCov tccovov to^dg dij-
kov (og xSvov i606xsXsa jtsQiXaipovvtai , ov xoQV(pd
s0OsitaL to Oa^stov^ xad-' o ai syytata Ov^TttTttovtt,
5 d^cDv ds d ^s^svaxov^a dcd^stQog. ro ds vno tdg
tov d^^kvycoviov xcovov to^idg 6j(^ij^a 7tsQika(p%-\v
d^pXvy(6viov xcovosidsg xaksiOd^ai , d^ova ds avtov
tdv ^s^svaxov6av did^stQov, xoQvcpdv ds to 6a^siov,
xa^^ 6 djttstai 6 d^av tdg sjti(pavsiag tov xcovosl-
10 dsog. tov ds xwvov tbv 7tsQiXa(p%svta vito tdv sy-
yi6ta tdg tov d^^lvyavCov x(6vov to^dg 7tsQis%ovta
ro X(Dvosi8sg xaXsi(5%^ai^ tdv ds ^sta^v svd^stav tdg
ts xoQVcpdg 701; xcavosidsog xal tdg xoQVtpdg tov xco-
vov tov 7tSQis%ovtog to xcovosidsg 7totsov6av ta d^ovi
15 xaksCcd^ai. xal st xa Tot) d^^XvycovCov xcovosidsog
s7tC7tsdov S7tii^avfj^ TtaQa ds to S7tiilfavov s7tC7tsdov dXXo
i7tC7tsdov d^d^sv d^tots^ri t^d^a tov xovosidsog, ^dciv
^sv xalsCod^ai tov djtot^ad-svtog t^d^atog to STtC^tsdov
to 7tSQiXa(p%sv v7to tdg tov xovosidsog to^dg iv ta d^to-
20 ts^vovti S7ti7tsd(p^ xoQVCpdv ds tb 6a^stov, xad" 6 d^tts-
tai tb S7tC7tsdov tb sTti^avov tov xcavosidsog^ d^ova de
tdv dTtoXacpd-staav iv tc5 tfid^ati d^tb tdg dx^sCcag did
tdg xoQvcpdg tov t^d^atog xal tdg X0QV(pdg tov xcavov
Tov 7tsQiS%ovtog tb xavosidsg, xal tdv ^sta^v tdv
25 siQTj^svav xoQvcpdv svxtstav 7totsov6av ta d^ovi xa-
"ksC^^ai. td \isv ovv OQ^oySvia xcovostdsa Jtdvta
b^otd svtiy t(6v ds dii^lvycavCcov xcovosidscov o^ota
xa?,sC(j%cj, 03V xa ot xcovot ot 7tsQiSx6vtsg td xcavosi-
3. laoayiEXscc] scripsi; laoayislTj F, uulgo. y,OQvcpr} F;
corr. V. 4. saaBLrai] STtSLtoci F; iastroci B*. 8. tocv] xa
F; corr. BC. 10. tav] twj F; corr. B*. 17. T|Lt9?fia F,
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 279
tur, unde moueri coeptum est, adparet, lineas sectioni
coni obtusianguli proximas conum aequicrurium com-
prehensuras esse, cuius uertex erit punctum, in quo lineae
sectioni proximae sibi in uicem incidunt^ axis autem dia-
metrus, quae mansit. figuram autem sectione coni obtu-
sianguli comprehensam conoides obtusiangulum uocari,
axem autem eius diametrum manentem, uerticem autem
punctum, in quo axis superficiem conoidis tangat.
conum autem lineis sectioni coni obtusianguli proxi-
mis comprehensum comprehendentem conoides uocari,
lineam autem inter uerticem conoidis et uerticem coni
conoides comprehendentis positam axi adiectam uocari.
et si planum conoides obtusiangulum contingat, et
aliud planum plano contingenti parallelum segmentum
conoidis abscindat, basim segmenti abscisi uocari pla-
num sectione conoidis in plano abscindenti compre-
hensum, uerticem autem punctum, in quo planum
contingens conoides tangat, axem autem eam partem
lineae per uerticem segmenti et uerticem coni conoides
comprehendentis ductae, quae intra segmentum com-
prehenditur, lineam autem inter hos uertices positam
axi adiectam uocari.
rectangula conoidea omnia similia sunt^), obtusi-
angulorum autem conoideon ea similia uocentur, in
quibus coni conoidea comprehendentes similes sini^)
1) Quia omnes parabolae aimiles sunt (Apollonius VI, 11).
2) Eucl. XI def. 24: o^oioi "ncavoi xct KvXLvdQOL slglVj (ov
OL TS a^ovsg kocl at dLocfistQOL rav ^«asav avuXoyov slgl.
uulgo; corr. Toreliius. 22. svanoXcccpd^SLaav? 28. xa]scripsi; xa^ F, uulgo.
280 nEPI KiiNOEIAESiN KAI S^AIPOEIAEiiN.
8ia oiioCoi ecavTL. XQoPaXXdtac 6s td6e ^scoQT^car
dia Tt, €1 Ka Toi; a^i^Xvyovlov xcovo£i6eog djtotfia^
T^d^ata eTCLTiedG) o^d^a notl ror «lovct, t6 «TroT/u-a-
d^ev t^diia Tiotl toz^ xcovov tov ^Glv e%ovta tdv
5 avTav Tw t^d^ati ycal d^ova t6i/ avtbv tovtov fj^f/
Tov Aoyov, oi' d GvvaynpoteQaiQ i6a t» t£ dh,ovi TOt»
tfid^atog xal ta tQinkaeCa tdg 7ioteov6ag tw dl^ovi
Ttoti tav i'0av d^<poteQaig ta te d^ovi rov tpid^atog
xal ta diTtXaeCa tdg TtoteovCag t^ d%ovi. xal did Tt,
10 ei' xa tov d(ipXvyG)vCov xcavoeideog tfidfia aTiotfiad-rj
eTiiTtedcp pfi OQd^a Ttotl tbv d^ova, tb dnot^d^ev
tfidfia Ttotl tb Cxijpa tb ^doiv e^ov tdv avtdv tto
tpdfiati xal d^ova tbv avtov^ o yiyvetat ditotfiafia
xeivov^ tovtov e%ei tbv Xoyov^ ov d 6vvaft(poteQaig
15 i6a t(p te di,ovi T0t5 tfidfiatog xal ta tpi7tXa6Ca tdg
7toteov6ag ta d^ovi Jtotl tdv i6av dficpoteQaig tc5 te
d%ovi TOi; tfidfiatog xal td di7tXa6Ca tdg 7toteov6€cg
ta atovi.
Ttegl 6e tSv 6<paiQoeidec3v ^xrjfidtcav v^totid^efied^a
20 tdde' el xa 6i,vy(ovCov xcovov tofid fievov6ag tdg
fieC^ovog dia^ietQOv 7teQievex%^ei6a d7toxata6tad'^ ndXiv^
o^^ev wQfia^ev^ tb Tte^iXacpd^ev ^x^jfia vTtb tdg tov
bi,vycovCov xcovov tofidg TtaQafidxeg 6(paiQoeideg xa-
XeC6%ai. el 6e xa tdg eXd66ovog SiafietQOv fievov6ag
25 7teQievex^Si6a d Toi5 6lE,vycovCov xcovov tofid d^toxata-
6ta^^ TtdXiv, od^ev SQfia6eVj to TteQiXaipd-ev ^x^rjfia
vTtb tdg Toi5 b^vycovCov xoovov tofidg e7ti7tXatv 6<pai-
1. nqo^aXXhai] alterum X supra scriptum manu 1 F. 6.
ov\ om. F; corr. ed. Basil.* cvva^fpox^QaLq] scripsi; cvvap,-
<poTSQa F, uulgo. Tc5 Tf] scripsi; rco F, uulgo. 11. ju.??] supra
scriptum manu 1, ut uidetur, F. 13. Tfirjiiatt. F ; corr. Torellius.
14, d cvvaficpoT^Qaig] scripsi; cvva^tpotfQog F; d cvva^tpoteQOs
!
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 281
consideranda autem haec proponuntur:
cur, si plano ad axem perpendiculari abscindantur
segmenta^) conoidis obtusianguli, segmentum abscisum
ad conum eandem basim habentem, quam segmentum,
et axem eundem eam habeat rationem, quam linea
axi segmenti et simul triplici lineae axi adiectae aequa-
lis ad lineam axi segmenti et simul duplici lineae axi
adiectae aequalem [prop. 25]. et cur, si plano ad
axem non perpendiculari segmentum conoidis obtusi-
anguli abscindatur, segmentum abscisum ad figuram
basim eandem habentem, quam segmentum, et axem
eundem (quae est segmentum coni)^) eam rationem
habeat, quam linea axi segmenti et simul triplici lineae
axi adiectae aequalis ad lineam axi segmenti et simul
duplici lineae axi adiectae aequalem [prop. 2Q].
de sphaeroidibus autem figuris haec supponimus ^)
:
si sectio coni acutianguli manente diametro maiore
circumuoluta rursus in eum statum restituitur, unde
moueri coepta est, figuram sectione coni acutianguli
comprehensam sphaeroides oblongum uocari; sin autem
sectio coni acutianguli manente minore diametro cir-
cumuoluta rursus in eum statum restituitur, unde mo-
ueri coepta est, figuram sectione coni acutianguli com-
1) Hic quoque (lin. 3) pro tfidiiaTa Nizzius tiiuficc scribi
iubet; sed u. p. 277 not. 1.
2) Haec uerba (lin. 13), si genuina sunt, lioc loco praeoc-cupando posteriora significant; nam p. 288, 7 sq. demum de-finitur dnotfiaficc A.oavov.
3) Sic recte F; u. p. 277 not. 2.
ed. Basil.jUulgo; « cvvafKpotSQa Torelliue. 15. T«]addidi; om. F,uulgo. 19. vnstL&stisd^a Torellius, vnsd^ifis^a Nizze. 20. TOju-as
F; corr. Torelliue. 21. anoyiatactr) FC*; corr. B man. 2*.
22. vno ts F; corr. Torellins. 24. xa] addidi; om. F, uulgo.
282 nEPI KiiNOEIAES^N KAI 2«^AIP0EIAE^N.
Qosidsg KaXeL6%-ca. ixarsQOv ds tav (jcpaLQoeidsojv
a^ova fisv xaXsLOd^aL rav ^s^svaxovOav dLcc^sTQov,
xoQvcpav de xo ^a^etov^ xad-' o aTttstaL 6 a^av tag
iitLCpavsLag tov (ScpaLQOSLdsog^ xsvtQov ds xaXsL6d-aL tb
5 fis0ov tov a^ovogy xal dLa^istQOv tav dLa tov TcsvtQOV
Tiot OQd-ag ayo^svav ta a^ovL. xal sl' xa tc5v (5(paLQ0-
€Lds(DV ^x^rjiicitcov bitotsQOVovv STtLTtsda TtaQcikXrjla
STtLil^avcavtL ^rj ts^vovta, TtaQcc ds ta STtLTtsda ta il^av-
ovta aXlo sitLTtsdov dx^ij ts^vov tb GcpaLQOSLdsg, tcjv
10 ysvofisvcjv t^a^citcjv ^ccOlv fisv xaXsL0d-aL tb TtSQL-
Xacpd^sv VTtb tag tov 6cpaLQOSLdsog to^ag sv rc5 ts^vovtL
STtLTtsdco^ KOQvtpag d\ ta Oa^sla, Tcad^' a sitLipavovtL
tov (5(paLQOSLdsog ta TtaQcilXrjXa STtLTtsda, d^ovag ds
tdg sva7toXacpxl^SL6ag evd-eiag ev totg t^a^dte66Lv dnb
15 tdg ev^eLag tdg tdg 7C0QV(pdg avtmv eTtL^evyvvovOag.
otL de td STtLil^avovta eTtLTteda tov 6(paLQoeLdeog xad"^
?i/ ^ovov aTttovtat 6a^etov tdg eTtLCpaveCag avtov, xal
otL d tdg dcpdg e7tL^evyvvov6a evd-eta dLa tov xsv-
tQOV tov 6(paLQOSLdsog TtoQsvstaL, dsL^ov^sg. o^ota
20 ds TcaXsL^d^aL t(Dv 6(paLQ0SLdsGiv CxV^dtov , cov xa ot
di,ovsg Ttotl tdg dLa^stQovg tbv avtbv Xoyov s%(*ivtL.
t^d^ata ds 6cpaLQOSLdscov 6%riiidtc!)v xal xcjvoslSscjv
o^ota xaXsL6d^c3y el' xa dcp' o^olcov ^xriiidtojv dcpai-
QYi^sva scDvtL xal tdg te ^a^Cag b^oCag e%G)vtL^ xal ol
25 d^oveg avtav TJtoi oQd^ol iovteg Jtotl td inLTteda t(DV
^a6L(Ov 7] ycavLag L6ag TtOLOvvteg Ttotl tdg b^oXoyovg
dia^etQOvg tcjv ^a^Lcov tbv avtbv e%GivtL Xoyov Jtot^
dXXdXovg tatg b^oXoyoLg dLa^etQOLg tcjv ^a^Lcnv.
6. GcpaLQOEidscoa F. 8. ipavovroc^ snitpavovxcc'? 10. t(irj-
yLocxmv F; corr. Torellius. 12. u] ccg F; corr. B. 14. x(ia(iax£-
(jtv FB*. 15. Tas] (posterius) scripsi; xa FCD; om. B, uulgo.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 283
prehensam sphaeroides latum uocari. utriusque autem
sphaeroidis axem uocari diametrum manentem, uer-
-ticem autem punctum, in quo axis superiiciem sphae-
roidis tangat, centrum autem uocari medium axis
punctum, et diametrum lineam per centrum ad axem
Iperpendicularem ductam. et si plana parallela utram-
uis figurarum sphaeroideon contingant, ita ut non
'^ecent, et aliud planum planis tangentibus parallelum
iducatur sphaeroides secans, segmentorum inde orien-
tium basim uocari [planum] sectione sphaeroidis in
plano secanti comprehensum, uertices uero puncta, in
quibus plana parallela sphaeroides contingant, axes
autem eas partes lineae uertices segmentorum iun-
^entis, quae intra segmenta comprehendantur. plana
-autem sphaeroides contingentia in uno tantum puncto
superficiem eius tangere [prop. 16], et lineam puncta
contactus iungentem per centrum sphaeroidis ca-
dere [prop. 16], demonstrabimus. similes autem eas
figurarum sphaeroideon uocari, quarum axes ad dia-
' metros eandem rationem habeant. segmenta autem
figurarum sphaeroideon et conoideon similia uocentur,
si ab similibus figuris abscisa sunt et bases similes
habent, et axes eorum aut ad plana basium perpen-
diculares aut aequales angulos cum respondentibus
diametris basium facientes eandem inter se rationem
habent, quam respondentes diametri basium.
16.- ra] scripsi; ra rs F, uulgo. 20. xa] scripsi; xat F, uulgo.i^l. sxfovti] scripsi; g^^orrt F, uulgo. 22. r(icc^cctcc] Torellius;
tfiocfia F, uulgo. 23. HccXstc^cci Torellius. 24. ^ccacag]
scripsi; ^oca cum comp. rjg F; §dasLg uulgo. Bxcovtt] scripsi;
«XOt^Tt F, uulgo. 26. §aaL(ov] scripsi; ^ocascav F, uulgo; itemlin. 27 et 28. 27. sxojvti] scripsi; sxovti F, uulgo.
284 nEPI K5iN0EIAEiiN KAI 2;4>AIPOEIAE5iN.
TCQopaXXsrat, de neQl tmv 6<patQoeLdmv rccde ^eio--
i^rjeaL' dia n, e? xk tc rdov ^^aiQoeidecav 6xr]^drcovhcLTteSa riia^fi dia T0t5 yievrQov 6q^6 norl rbva^ova, rwv yevaiievcov r^a^drcjv exdreQOv dmkd-
6 6L0V eaeeCraL rov kcovov tov ^dGLv f;toi^To$ rdv avrdvrm rfidfiarL xal d^ova t6i/ avrov. el de xa 6q^^ fievitorl rov d^ova rm entnidcp rfia^fj, firj dLa roi) xev-tQov de, r6v yevafievcov rfiafidrcov ro fiev fiettov norlrov nmvov rov rdv avrdv ^d^Lv e^ovra r6 rfidfiarc
10 xal dlova roi^ avrov roi^Tov e^eL roi; Aoyor, ov d6vvafi<porepaLg l^a ra re rjfiL6eLa rdg ev^eiag, d iarivdicov rov 6<paLQoeLdeog, xal r^ dl^ovt ra rou ekde^o-vog rfidfiarog Tcorl rov d^ova rot) eXdeaovog rfidfiarog,to de ekaaaov rfidfia norl roi^ n^vov roi/ ^daLv exovru I
15 rdv avrdv r^ rfidfiarL xal d^ova roi/ avrov rovrove%eL roi^ Xoyov^ ov d evvafLfporegaLg L6a ra re r]fiL-
6eia rdg ev^eiag, d e6rLv dlE,cov rot) 6^aLQoeLdeog, xalrad^ovL r^ roi) fiei^ovog rfidfiarog norl rov d^ovatov fiei^ovog rfidfiarog. xal dm rt, el' xa r^v 6^aLQo-
20 etdecov rt enLnedco rfia^^ dta rot5 ;c£Vr()ot; firj ^pd^Snorl roi/ d^ova^ roov yevafievcov rfiafidrcov exdreQovdLnXd6Lov e66eiraL rot) ^xi^fiarog roi; pd6Lv exovrogrdv avrdv ra rfidfiarL xal d^ova rbv avrov. yLyveravde ro 6xYifi.a dnorfiafia xcovov. el de xa firjre (Jm rov
25 xevrQov firjre 6q^6 nort rbv d^ova rco emnedco rfia^^ro 6(paLQoeLdeg^ rcov yevafievcov rfiafidrcov ro fiev fiet-
tov norl rb 6x^fia ro pd6Lv e^ov rdv avrdv ra rfid-
fiatL xal d^ova rbv avrov rovrov e^eL rbv Xoyov, ov
3. r(iir}»ri F; corr. ToreUins. 7. tfjirj»ri F; corr. Torel-hus. firj] om. F; corr. Torellius. 10. tovtov] om. F; corr.Torellms. 13. rfirjfiaxog F; cDrr. Torellius. 18. a^oovi F.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 285
consideranda autem de sphaeroidibus haec pro-
Iponuntur: cur, si quaeuis figurarum sphaeroideon plano
per centrum ad axem perpendiculari secetur, utrumuis
segmentorum inde orientium duplo maius sit cono ba-
sim habenti eandem, quam segmentum, et axem eundem
[prop.27]. sin plano ad axem perpendiculari neque uero
ipercentrum secatur, maius segmentorum inde orientium
ad conum eandem basim habentem; quam segmentum,
et axem eundem hanc habebit rationem, quam linea
dimidio axi sphaeroidis et simul axi segmenti minoris
aequalis ad axem segmenti minoris, minus autem seg-
mentum ad conum basim eandem habentem, quam
segmentum; et axem eundem hanc habet rationem,
quam linea dimidio axi sphaeroidis et simul axi seg-
menti maioris aequalis ad axem segmenti maioris
[prop. 29]. et cur, si quoduis sphaeroides plano per
centrum ad axem non perpendiculari secetur, utrum-
uis segmentorum inde orientium duplo maius sit figura
eandem basim habenti, quam segmentum, et axem eun-
jdem (figura autem haec coni segmentum est) ^) [prop.28].
sin plano nec per centrum posito nec ad axem perpen-
diculari sphaeroides secatur, segmentorum inde orientium
maius ad figuram eandem basim habentem, quam seg-
mentum, et axem eundem eam habebit rationem, quamlinea dimidiae lineae uertices segmentorum iungenti^)
1) Cfr. quae de hia uerbis dixi p. 281 not. 2.
2) Fortasse delendum est avrctff p. 286 lin. 1; cfr. ibid.
lin. 7.
noTi] Torellius; TtQog per comp. F, uulgo. 20. riirj^r] F; corr.
Torellius. 23. T^d(iaTc] tfiaTi F.
286 HEPI KSiNOEIAEAN KAI r<^AIPOEIAE<iN.
a 6vvcc^(potSQaLg l'6a xa rs 7]^t6aa avtag tag stcl^sv-
yvvov6ag tag HOQvq^ag twv t^a^atav xal tco a^ovtr
tcj xov iXa66ovog t^d^atog Jtotl tbv a^ova ror roi)
sXd66ovog t^d^atog, xb ds sXa66ov t^d^a Ttotl tb
5 6xyj^ci To pd6iv syov tdv avtdv ta t^d^ati xal d^ova
xbv avtbv tovtov s%si tbv koyov ^ ov s%si d 6vva^-
tpotSQaig i6a ta ts rj^i^sa tdg s7tit,svyvvov6ag tdg
xoQvcpdg t(ov t^a^dtav Kal ta d^ovi tov ^si^ovog
t^d^atog Tiotl xbv d^ova xbv xov ^si^ovog x^i^^ctxog.
10 yivsxai ds Ttal sv xovxotg xb 6%riyia aTCox^a^a kcovov.
d7Codsi%xtsvxGiv ds xcov SiQrj^svcov d^scjQr^^dxov did
X0VXC3V svQi6%6vxai d^sco^i^^axd xs jioXkd xal TtQO^Xi]-
^axa^ olov ncd xods' oxi xd b^ola 6cpaiQ0Sidsa Kai
xd b^ota x^d^axa xojv xs 6cpaiQ0Si8scov 6%Yiiidxcov xal
15 xav Kcovosidscjv XQi7tXa6iova Xbyov syovxi itox' dX-
XaXa X(DV d^ovcjv Kal dioxi xcav i6cQv 6cpaiQ0Sidscov
6xYj^dxwv xd xsxQdycova xd aTtb x<ov dia^sxQCJV dvti-
7tS7t6v^a6i tolg d^6vs66iv ^ xal Si Ka tSv 6cpaiQ0-
Sidsov 6%ri^dtcov xd xsxQdyava xd d^tb xcov dia^isxQcov
20 dvti^tSTtbvd^cjvti totg d^6vs66iv , l'6a svtl td 6cpaiQ0-
Sidsa. 7tQ6^Xrj^a ds, olov xal t6ds' d^tb tov dod^svtog
6cpaiQosidiog 6irniatog 7] Kcovosidiog t^d^a d^tots^stv
S7ti7tidcp 7taQd dod^sv s7ti7tsdov dy^ivc), sl^sv ds tb
d^totiiad^sv t^d^a i6ov xcj do^ivxi kcdvco rj KvXCvdQcp
25 ri ^cpaiQcx xd do^Si6cc. TtQoyQajpdvxsg ovv xd xs d^sco-
QTj^ccxa Kal xd S7tixdy^axa xd %Qstav s%ovxa slg xdg
8. rou] Twi Tov? 15. ttot' dXXaXa] Torellius; Trort tcc.
tiXXci F, uulgo. 16. dioti] S)] on B, Torellius. 18. a^ove-
oiv F. 20. d.vxi7cen6vQ^iovxL] scripsi; avzminov^cici F, uulgo.
22. 6%riyjatoq\ Nizze; rfiaftaroff F, uulgo. 23. H^ev df] oaats
el^sv Torellius.
!
m CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 287
et simul axi segmenti minoris aequalis ad axem seg-
menti minoris [prop. 32]; segmentum autem minus ad
iiguram eandem basim habentem, quam segmentum,
et axem eundem eam rationem habebit, quam linea
dimidiae lineae uertices segmentorum iungenti et si-
mul axi maioris segmenti aequalis ad axem segmenti
maioris. (baec autem figura in his quoque segmentum
coni est).^) [prop. 30].
his autem theorematis demonstratis per ea multa
et theoremata et problemata inueniuntur, uelut hoc^):
similia sphaeroidea et similia segmenta et figurarum
sphaeroideon et conoideon inter se triplicem rationem
habere, quam axes. et in aequalibus figuris sphae-
roidibus^) quadrata diametrorum in contraria propor-
tione esse atque axes. et si in figuris sphaeroidibus qua-
drata diametrorum in contraria proportione sint, atque
axes, sphaeroidea aequalia esse. et problema, uelut hoc:
a data figura sphaeroide uel conoide plano dato plano
parallelo segmentum abscindere, ita ut^) segmentum
abscisum dato cono uel cylindro uel etiam datae sphae-
rae aequale sit. — praemissis igitur et theorematis
1) Cfr. p. 281 not. 2.
2) Fortasse scribendum : tdds lin..l3. uum Archimedes so-lutiones horum theorematum et problematis (lin. 21 sq.), quaseum nouisse necesse est, unquam ediderit, non constat. resol-
uerunt Riualtus p. 328 sq., Sturmius p. 377 sq. ; cfr. Nizzep. 203 sq.
3) Genetiuus lin. 16 pendet ex dt,a(isTQa>v lin. 17; cfr.
lin. 19.
4) Infinitiuus sifbsv lin. 23 sicut utcots^islv pendet cx«ignificatione iubendi, quae inest in nQopXrjfia.
288 nEPI K^NOEIAESiN KAI S^AIPOEIAESiN.
ajtodsi^Lag avtcav ^sta tavta yQaipov^ag tOL ra jCQOr
xei^sva, Bvtvxei.
El xa xmvog iiCLiced<p tfiad-ij (SvfiTtiTttovtt Jtd^aig
tatg tov xoovov nlevQatg, a tofia e66eLtaL ijtoi xvxkog
5 ri ol^vycovLOv xmvov to^d, ei ^iev ovv xvxkog d to^d,
dijXoVy otL to UTtolaq^d^ev dit avtov t^dfia iitl td
avtd td tov xmvov xoQVfpd xcavog e^^eCtaL. el de xa
d to^d yevritaL o^vycovLOV xoivov to^d, to djtolaq^d^ev
aTto tov XG3V0V (Sxri^a eitl td avtd ta tov xcavov xo-
10 Qvcpd djtot^ia^a xcovov xaXeLOd-a. tov de d7tot(idfia-
tog ^dOLg fiev xaleC^d^ca to eitCTtedov to JteQLlacpd-ev
vTto tdg tov o^vycovCov xcavov tofidg, X0QV(pd de tb
0afietov, xal tov xcivov xoQvcpd, d^oav de d dito
tdg xoQvcpdg tov xoavov eitl ro xevtQOV tdg tov o^v-
15 ycovCov xcovov to^dg eTtL^evx^st^a evd^eta, xal et xa
xvXtvdQog dvotg eTtLitedoLg TCaQaXlriXoLg t^ad"fj 6v^-
jtL7tt6vte00L Ttd^aLg tatg tov xvXCvSqov JtlevQatg, at
to^al e(30ovvtaL TJtol xvxXol tj o^vycovCcov xoxvav to-
^al L6aL xal 6{ioCaL dXkdkaLg. ei ^ev ovv xa aC tofial
20 xvxXoL yevcovtaL, drjXov, otL to dnot^iad^ev dico tov
xvXCvdQOv (^XV(^^ ^eta^v tmv TCaQaXXi^Xcov enLTCedov
xvXLvdQog e66eCtaL. eC di xa at to^al yev(6vtaL 6i,v-
ycavCov xo^vcav to^aC, to dnoXa^pd-ev dno tov xvXiv-
Sqov (Sxriiia ^etai^v tmv TtaQaXXrjXcov iTtLTcidcav tofiog
25 xvXCvSqov xaXeC^d^G). tov de t6}iov ^aGLg ^iev xaXeC^d^cs
1. anoSsi^6i.g F, uulgo. YQOcipovfjiSv aoi F, uulgo, 3.
TjLia-S"^] Torelliua; tfiri&r] F, uulgo. ovvnLnTOvti F. nocGai
FC*.' 7. novos F. 8. d] om. F. 9. Post yioQvcpa in F re-
petuntur: ycoavos soaEitcct si ds xa tofia ysvrjtai o^vyiovLov xoo-
vov tofia to anoXacpd^Ev ano tov ytavov cxT]tioc sni ra avra tr]
tov ynavov xoQvcpa; corr. C. ta] trj F; corr. Torellius. 15.
sni^svx&Bioas F; corr. B*. '''^(^<^^v] Torellius; tfirj&ri F,
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 289
et epitagmatis ^) ad demonstrationes eorum utilibus,
postea tibi scribam; quae proposita sunt. uale.
DEFINITIONES.
Si conus plano omnibus lateribus coni incidenti
secatur, sectio aut circulus erit aut sectio coni acuti-
anguli. si sectio circulus est, adparet, segmentum a
cono^) abscisum in eadem parte, in qua est uertex
coni, conum futurum esse; sin sectio est coni acuti-
anguli sectio, figura a cono in eadem parte abscisa,
in qua est uertex coni, segmentum coni uocetur. seg-
menti autem basis uocetur planum sectione coni acuti-
anguli comprehensum, uertex autem punctum, quod
idem coni uertex est, axis autem linea a uertice coni
ad centrum sectionis coni acutianguli ducta.^) et si cy-
lindrus duobus planis parallelis omnibus lateribus cylin-
dri incidentibus secatur, sectiones aut circuli erunt aut
sectiones conorum acutiangulorum sibi in uicem aequa-
les et similes.^) iam si sectiones circuli sunt, adparet,
figuram a cylindro inter plana parallela abscisam cylin-
drum futurum esse. sin sectiones acutianguli coni
sectiones sunt, figura a cylindro inter plana parallela
abscisa frustum cylindri uocetur. basis autem frusti
1) Hoc est: problemata, quibus aliquid facere iubemur;
propp. 7—9.
2) un avtov 3: ccno xov ticovov (lin. 6); cfr. lin. 9.
3) Cfr. de his propositionibus Apollonii con. I, 4 et I, 13.
4) U. Serenus de sect. cylindri propp. 6 et 18.
uulgo. 18. saaovvtcit] Torellius; saovtca F, uulgo. 19. xct]
scripsi; xat F, uulgo. 22. xa] scripsi; xcci F, uulgo.
Archiaiedes, ed. Heiberg. I. 19
290 HEPI KSiNOEIAEiiN KAI S^AIPOEIAESIN.
ra iTCiTisda tcc TtsQiXa^p^avza vno xav tSv o^vyavLcav
Kcovcov ro^av^ a^cov ds a i7tit,evyvvov0a evd^eta ra
xevtQa rdv rcjv o^vyovCav kc^vov rofidv. e66eCrai
de avra eTii rdg avrds evd^eCag rcj cc^ovl rov xvXCvdQOv.
5 Ei xa eovn ^eyed^ea ono^aovv ra iCa dXXccXcov
vjteQexovra,fj
de d v7teQ0%d iGa rco eXaiC^rcp^ xal
dkXa ^eyed^ea ra ^ev JtX^^d^ei i6a rovroig, rc5 de ^e-
yed^ei exacrov i<5ov ra ^eyCarcp^ jtdvra rd yieye^eay
cov e6riv exaOrov i6ov ra ^eyC6r<p^ Ttdvrcjv ^ev rSv
10 rc5 i6c) v7teQe%6vrciv ekd66ova e66ovvrai 7] di7tXd6ia^
rmv de koi7tc3v xoQig rotJ ^eyC6rov ^eC^ova r/ 8i7tXd'
6ia. d df djtodei^ig rovrov cpaveQd.
r
a .
Ei Ka ^eyed^ea o7to6aovv rtp 7tkri^ei dXXoig fieye-
15 d^e^iv l'60ig rc5 ^tXrjd^ei nard dvo rov avrov Xoyov
'e%Givri rd o^oCcog reray^eva, Xeyrirai 6e rd re 7tQcora
^eyed^sa TtorC nva dXXa ^eyed^ea 7] Ttdvra rj nva av-
rwv ev Xoyoig o7toiOi6ovv\, Tcal rd v6r€Q0v 7tor dkXa
^eyed^ea rd o^oXoya iv rotg avrotg Xoyoig^ 7tdvra rd
20 7tQ(Dra ^eyed^ea 7torl 7tdvra^ d leyovrat^ rov avrov
£|oi}i/rfc Xoyov^ ov e%ovri Ttdvra rd v6reQ0v fieyed^ea
:7rort Ttdvra^ d Xeyovrat.
e6rco nvd ^eyed^ea rd A, B^ JT, z/, E^ Z dXkoig
fieyed^e^iv i6oig r(p ^tXrjd^ei rotg H, ®, J, K^ J, M25 xard dvo rbv avrov e^ovra Xoyov^ Kal iyjirco ro \iiev
3. TO/x5v]ro/iaF;corr. B*. 5. a' Torellius; Cr. tc5] ro F, ed.!
Basil. l.Tily\%r\Y. 13. ^' Torellius, Cr. 16. f^KwvTt] scripsi; I
g;^ovT^F, uulgo. 17. sroTt xivu dXXa\ scripsi; noxi x' ccXXa
F, uulgo; fort. ttot' dXXa ut lin. 18. 18. jroTa ccXXa F. 22.
Xsycovxat F,
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 291
laocentur plana sectionibus conorum acutiangulorum
comprehensa, axis autem linea centra sectionum cono-
rum acutiangulorum iungens. haec autem in eadem
linea erit, in qua axis cylindri est.
Si magnitudines quotlibet datae sunt aequali spatio
inter se excedentes, et differentia minimae aequalis
est, et aliae quoque magnitudines datae sunt numero
prioribus aequales et magnitudine omnes maximae illa-
rum aequales, omnes hae magnitudines, quarum quae-
que maximae aequalis est, minores erunt quam duplo
maiores omnibus magnitudinibus aequali spatio inter
se excedentibus, maiores autem quam duplo maiores
reliquis praeter maximam. demonstratio autem huius
propositionis in medio posita est.^)
I.
Si magnitudines quotlibet numero et aliae magni-
tudines numero aequales, binae cum binis similiter po-
sitae, eandem rationem habent, et priores magnitudi-
nes aut omnes aut nonnullae ad alias magnitudines
in quauis proportione sunt, et posteriores magnitudines
rursus ad alias similiter positae in eadem propor-
tione sunt, omnes priores magnitudines ad omnes, quae
cum iis in proportione sunt, eandem habebunt ratio-
nem, quam habent omnes magnitudines posteriores ad
omnes, quae cum iis in proportione sunt.
magnitudines quaedam Ay Bj F^ z/, E, Z et aliae
magnitudines numero aequales If, 0, I, Kj Ay M bi-
nae cum binis eandem habeant ratiQnem, et sit
1) Nam demonstrata est ab Archimede ipso TCBql sXlh.
prop. 11; Quaest. Arch. p. 56.
19*
292 nEPI KSJNOEIAE.QN KAI S^AIPOEIAESiN.
A Ttoxl ro 5 Tov avxov koyov^ ov xo H Jtoxl xb @,
xo de B Ttoxl xo P, ov xo tcoxI x6 I, xal xa alka
oiioiag xovxotg. Xsysa^co de xa ^ev A^ B, jT, d, E, Z^syed^sa Jtoxt xtva akka ^sysdsa xa iV, S, O, 77, P, 2J
5 sv koyotg oTtototaovv, ta ds 77, 0, J, K, A, M Ttoxl
xtva aXXa xa T. T*, O, X, ^, Sl, xa o^oXoya sv xotg
avxotg loyotg, xal cv ^sv s%st loyov xb A noxl xb N,
xb H sxsxo Ttoxl xb T, ov ds Xoyov s%st xb B itoxl
xb S, xb ® s%sxG3 Ttoxl xb T, zat xa akka o^ottog
10 xovxotg. dstxxsov, ort Ttdvxa xa A, B, F, A, E, ZTtoxl Ttdvxa xd iV, S, O, 77, P, E xbv avxbv s^ovxt
Xoyov, ov Ttdvxa xdH, @, I, KjA, M itoxl Ttdvxa
xd T, r, 0, X, ^, ^.
STCsl yaQ xb fisv N Ttoxl xb A xbv avxbv s^st Ao-
15 yov, ov xb T noxl xb 77, ro ds A Ttoxl xb B, ov xo
T
JL.
I
A, B r A £ Z H I KAMH Ttoxl xb @, ro ds B Ttoxt xb S, ov xb ® itoxt xb T,
rov avxov sc,st Aoyov xo iV :rori ro ^, ov xo 1 itoxt
xb T. dtd xd avxd ds xat xb S %oxl xb O, ov xb TTtoxl xb 0, xat xovxoig xd dXKa ofiotoog. s%ovxt dr]
4. Tiva aX/la] scripsi; raXXa F; xd dXloc ed. Basil., uulgo;
fort. Ttor' dXXoc. 6. M] M, N FBC*. 6. tlvoc uXXa] scripsi;
r' aXXoc F, uulgo; fort. dXXa. 7. xat] addidi; om. F, uulgo.
9. ^ Z F.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 293
J :B = H:® et B : T= ® : I
et cetera eodem modo. et A, Bj F, z/, E, Z ad alias
magnitudines iV, S, O, 11, P, Z in quauis proportione
sint, et H, @, I, K, A, M ad alias T, T, ^, X, W, Sl
similiter positae in eadem proportione sint, et sit
A : N^ H: T, B : S= ® ' '^j et cetera eodem modo.
demonstrandum
^l-B + r + ^+E + Z^ H-\-@-\-I^K-irA-ir M,
iV+^-f + J7-1-P+2; T+T+$ + X+^+ilnam quoniam
N:A=T:H,A:B=^H:®, J5 : g = @ : T,
T
M A JI F "^ T T ^ X W Merit N : 13= T : T^) eodem modo concluditur etiam
g : O = T : 0, et cetera eodem modo.^) itaque
1) Cum N:A^T:H, A:B = H:@^ erit 8l' fcov (Eucl.
V, 22) N :B^T:&, sed B : S= €f : T; quare Si' i'6ov (Eucl.
V, 22) N: ISI =T: T. conspectum huius demonstrationis dedi
Quaest. Arch. p. 50—51.
2) Habebimus igitur N:S-=T:T, S:0=-T:^,0:n=^:X, n:P=X:W, P:Z=W:Sl.
iam cum sit A : B = H : ©, erit (Eucl. V, 18)
A -\- B : A= H -i- e : Ho: A -\- B : H -\- @ = A : H (Eucl. V, 16).
sed ex N:A = T: iTsequitur (Eucl.V, 16) ^: ir= iV: T == S : T(Eucl. V, 16) = O : $ (Eucl. V, 16) = T : J (Eucl. V, 16;
eet enim A : N = H : T, B : ISI =* @ : T, T : O = I : ^,^ : n = K : X, E : P = A : W, Z:Z= M: Sl,\m. 9). quare
A -\- B : H -\- @ = T : I; unde {hallah,, avv^svxi, ivuXXa^)
^ + B4_r:if+@ + J=r:I=0:$ = JT:X (Eucl. V, 16)
= J:K (Eucl. V, 16), et eodem modo semper progredi pos-
sumus.
^4 IIEPI KSiNOI^IAESiN KAI S^AIPOEIAESiN.
ra ^ev A, B, F, z^, E, Z Ttdvta jtotl to A tov av-
rov Xoyov^ ov £%ovti ta H, 0, J, K, A, M itdvta
Ttotl to H, to 8e A itotl to iV, ov to H notl tb T,
ro ds N Ttotl Ttdvta ta N, S, O, 77, P, 2 tov avtbv
5 Xoyovy ov tb T Jtotl Ttdvta td T, T, O, X, ^, Sl.
dijkov ovv, oti Ttdvta td A, 5, T*, ^, E^ Z TTort
Ttdvta td iV, ^, O, 77, P, 2^ rov avtbv sxovti koyov^
ov Ttdvta td 77, 0, 7, 7ir, ^i, M Ttotl itdvta td T, T,
0, X, ^, 5^.
10 cpavBQov ds, oti xaC^ sl' xa tcov ts A, B, F, ^,E, Z ^sysd^SGJv td ^sv A, B, F, z/, E Isycovtai itotl
td N, S, O, 77, P, ro ds Z ^rjds Jtod'' sv Isyritat,
Tcal rcov 77, @, 7, K, A, M rd ^sv 77, 0, 7, 7ir, ^Af^/tovrai ;rort rd T, T, ^, X, W, td o^ota sv totg
15 avtotg Xoyoig, tb ds M ^rjds itod'^ sv Xsyritai, ofiOLog
Ttdvta rd A, B, 77, zJ, E, Z Ttorl jtdvra rd iV, S^ O,
77, P rbv avrbv s^ovvti Xoyov, ov itdvra rd 77, @, 7,
K, A, M Ttotl Ttdvta td T, T, O, X, W.
20 El' xa yQafi^al i6ai dkXdkaig scovti oitooaiovv rc5
Ttli^d^si, xal Ttaqi' sxd^rav avtdv 7taQa7ts6T} ti ^(^coQiov
2. g^^covrt F, ut uidetur. 1] om. F. 7. sxcavTv FBC.11. Xsyoavtai] scripsi; Zgycort F, uulgO; X«y6)*'Tt Torelliua, 12.
P] PC F; corr. Torellius. (iriSe Ttod"' sr] scripsi; lu-rjdfTfoO-fv
F, uulgo. 13. M] M (isys^soov Torellius. 14. W] WcaY;corr. Torellius. 15. firjSsno&sv F, uulgo. 17. P] PC F;corr. Torellius. 18. W] Wm F; corr. Torellius. 19. y'
Torellius, Cr. 20. aXXriXuLg F; corr. Torellius. 21. nuQot-
nsGrf] scripsi; naQSfinsat} F, uulgo.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 295
A^B-}- r-\- J-{-E-\-Z:J = H-}-@-\-I-{-K+ A + M:H^)
sed A : N= H: T [dvccTCcchv Eucl. V, 7 TtoQ.]^ et
iV . iV: _|_ ^ _(_ O + n 4- P+ Z= T: T+ T+ ^+ X+ «P-+ i2.2)
adparet ergo esse
^-|.B-}_r+z/ + E + Z ^ H+0+ /+ JiC + ^ + M 3.
iV+^+0 + 7I+P+ 2;~" T+T+$ + X+?*-+iJ* ^
,et adparet, etiam si ex magnitudinibus A^ 5, F^
J, E^ Z magnitudines A, B, T, z/, E ad iV, S, O,
7J, P in proportione sint, Z autem in nulla propor-
tione, et ex H, 0, J, iiT, ^, iW magnitudinibus if, 0,
7, iT, ./^ ad T, T*, ^, X, W in proportione sint, simi-
liter positae in eadem proportione^ M autem in nulla
sit proportione, item esse:
^ + B_|_r+z/ + E + Z ii'+6> + / + X+ ^ + M4.iV+^+0 + 7I + P T+T+^ + X+y^ ')
II.
Si lineae quotlibet numero inter se aequales sunt,
et singulis spatium adplicatur figura quadrata exce-
1) Demonstrammus enim p. 293 not. 2 esse
^ + B + r+ z/ + E + Z : Jf+ ^ + J+ ^ 4- ^ + ^= ^ : ^
;
inde ivaXXa^ (Eucl. V, 16) sequitur proportio.
2) Nam -^ -^- ^ : T -\- T = ^ : T {gvvHvxi xal IvqlI-
Za|) = O : $ (Ivanal); unde hvakXa.i, 'nal avv^Evxi ytccl ivccXloc^:
rr, , ^ , ^ = ^> et cetera eodem modo, donec inueniturT -f- T -\- 9 9JV+^+0 + /7+P+Z N . , ,.,,
T+T+^ +X+^+ ^ = T '*^''' ''"'^^''^-
3) Nam dt' i'Gov est (Eucl. V, 22)A H
i\r+;S;+o + /T+p+2; r+T+$ +x+^ + ii' .
tum rursus ^t' leov sequitur proportio. .
4) Prorsus eodem modo concluditur, si ratione not. 2 pro-posita quater pro quinquies utimur. -.
296 IIEPI KiiNOEIAESiN KAI 2:<E>AIPOEIAE5iN.
vTteopctkkov afdsi, rexQaycovc)^ eovtt de ai TiXevQal rcov
vTteQ^Xfi^dtcov ta L(S(p aXkdkav vneQB%ov6ai^ x«l a
v%eQO%d l'0a xa ekaxCcxa^ ecovxL de xal dXka %(XiQCa
xa ^ev Tikrid^eL toa xovxoLg, tc5 6e ^eyed^eL exaexov
5 l'0ov xa ^eyCcxa, tcoxI ^ev ndvxa xd exeQa %c)QCa ekd6-
6ova koyov e^ovvxL xov, ov e%eL d L'6a 6vva^q)oxeQaLg
xatg xe xov ^eyCGxov vneQ^kri^axog jikevQatg xal [iLa
xdv lcdv eovGav tcoxI xdv l6av 6vvaiiq)0xeQaLg rc5 xe
xqCxc) ^eQei xdg xov ^eyC6xov vTteQ^krj^axog nkevQdg
10 xal xd r}^L6ea ^Lag xdv L6dv iov6dv^ Ttoxl de xd koLTtd
%G>QCa dvev xov ^eyC6xov ^eC^ova koyov i^ovvxL xov
avxov koyov.
e6X(o6av yaQ i6ai evd^eCat o7C06aLovv rc5 7tkri%^eL^ I
etp' dv xd A' xal jtaQaneTtxaxexG) TtaQ^ ixd6xav avxdv
16 %(x)qCov vTteQ^dkkov efdeL xexQccycjvc). e6xov de xcov
vTteQpkrj^dxcjv TtkevQal at jB, F, A^ E, Z, H rc5 i'6G)
dkkdkav v7teQe%ov6aL, xal d v7teQ0%d e6xa) l'6a xd
eka%C6x(x. xal ^eyC6xa ^ev e6XG) d JS, eka%C6xa de d H,
e6XG) de xal dkka ^coQCa^ e(p^ cbv exa6xov xcov 0, J,
20 K., A^ xtp ^ev 7tki]d-ei L6a xovxoig^ rc5 6e ^eye^ec
exa6xov i6ov e6XG) rc5 ^eyC6xc) rc5 TtaQd xdv AB TtaQa-
xei^evc). e6xo de d ^ev ®I yQa^^d i6a xd A, d de
KA i'6a xd B, xal xdv ^ev ®I yQamidv ixd6xa e6xo
8i7tka6Ca xdg J, xdv de KA ixd6xa xQi7tka6Ca xdg K,
25 deixxeoVy oxi xd %OQCa Ttdvxa^ iv olg xd 0, J, JT, A^
710x1 ^ev 7tdvxa xd exeQa %OQCa xd AB, AF, AA^AE^ AZ, AH ekd66ova koyov e%ei xov^ ov e%ei d
@IKA evd^eta Ttoxl xdv IK^ tcoxI de xd koiTtd dvev
7. Tf] om. F. tcc et TtXsvga Nizze. 10. riiiica F; corr.
B. 13. tCTioGav FB'CD; ictcoA, ed. Basil.; „e8to" Cr. 15.
icxmv'] iCToocav B. Tmv] addidi; om. F, uulgo. 19. t'etto]
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 297
dens, et latera spatiorum excedentium aequali diffe-
rentia inter se excedunt, et differentia minimae aequalis
est, et praeterea alia spatia data sunt numero his
aequalia, magnitudine autem omnes maximo aequalia,
haec spatia ad omnia spatia priora minorem rationem
habebunt, quam linea aequalis lateribus maximi spatii
excedentis et simul uni ex lineis inter se aequalibus
ad lineam aequalem tertiae parti lateris maximi spatii
excedentis et simul dimidiae parti unius ex lineis inter
se aequalibus, ad cetera autem spatia praeter maxi-
mum maiorem rationem, quam eaedem lineae.^)
nam datae sint lineae aequales quotlibet numero,
in quibus sint litterae A. et singulis adplicetur spatium
iigura quadrata excedens. latera autem spatiorum exce-
dentium 5, F, z/, E, Z, H aequali differentia inter se ex-
cedant, et differentia minimae aequalis sit. et maxima sit
Bj minima autem H. sed etiam alia spatia data sint, in
quibus singulis omnes litterae ©, J, iT, Aj numero his
aequalia, magnitudine autem omnia maximo spatio
lineae AB adplicato aequalia sint. sit autem
@+ l=^, X+ ^= 5, et0+ J=2J, X+^=3X.demonstrandum est, omnia spatia, in quibus sint lit-
terae @, J, K, A, ad omnia priora spatia AB, AF,AA, AE, AZj AH minorem rationem habere, quam
@ + J+JC + vi:J+iir, ad reliqua autem praeter
1) Demonstrationem breuius exposui Quaest. Arch. p. 57,
arithmeticam dedit Nizze p. 157.
Bcripei; rj F, uulgo. snacTu xav Torellius; auditur cxoiXBiov
(littera). 23. xav'] xa F; corr. ed. Basil.* y^afi^a F; corr.
ed. Basil.*
298 nEPI K^NOEIAESiN KAI S^AIPOEIAESiN.
Tov lisyCctov tov AB ^eCt^ova koyov exovtc tov ccvtov
koyov.
£6ti yccQ tiva xoQCa^ ev olg ta A^ rc5 t0(p akldlayv
VTtSQBxovta, xal a vitSQOxcc t6a ta ilaxC^tc) [^eTtsC ts
B rJ
EZ
ff
A A A A A,,j
A
5 ta Ttaqa^k^rwjLata 'nai ra TtXdtrj rc5 l'6Gi v7tsQExov0Lv], xal
akla %(OQCa^ sv ols td 0, J, rc5 ^sv TtKri^si l'6a tov-
toig, rc5 ds ^sys^si sxa^tov t6ov rc5 fisyC^ta. 6vfi'
Ttavta ovv td ^«(Jta, sv olg td @, /, Jtdvtcov ^sv
rc5i/, sv oig td A, sXd06ovd svtt ij di^XaoCova^ rc5v
10 8s XoLTtcjv x^Q''^ T^ov ^syCctov ^sC^ova ^ dcTtXaeCova.
avtd ovv td ^^o^ta, iv olg td /, Ttdvtcov ^sv tmv,
' sv olg td A, ikdooovd ivtc, tciv 8s XoLTtdiv dvsv tov
^syCotov ^sC^ova. Ttdluv ivtl yga^^aC tivsg at jB, r*,
^, E^ Z, H rc5 t6ci) dkkdkav v7tsQsxov6ai ^ «otl d
15 vitSQOxd t6a ta ilaxC^ta, xal dkXai yQa^^aC, icp^ dv
td K^ A^ rc5 iisv jtXi^d-Si toat tavtatg^ tip ds fisysd-Si
sxdcta t(5ai ta ^syC^ta. td ovv tstqdycava td ditb
4. snsl rmv nocQu^XrjiiccTav Nizze. in figura litteras 0, /,
K, A inuerso ordine habet F; litteras 0, I permutant ed. Ba-
sil., Torellius; corr. Nizze. 9. dntXdGia Nizze, ut lin. 10.
10. ^Bilov F; corr. Toreliius. 15. vnBQOxd taa] vnsQSxovacaCaccL F; corr, ed. Basil. 17. facci] laa?
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 299
maximum spatium AB maiorem rationem quam
® + I + K + A:I+K,sunt enim spatia quaedam, in quibus litterae Aj
aequali differentia inter se excedentia, et differentia
^ ^ & & ^7 /j r / f I I
K 1 K K K K K K
A A A A A A A
minimo aequalis est^), et alia spatia, in quibus litte-
rae 0, J, numero illis aequalia^ magnitudine autem
omnia maximo aequalia. omnia igitur simul spatia,
in quibus litterae 0, / sunt, minora sunt quam duplo
maiora omnibus spatiis, in quibus litterae A sunt^
maiora autem quam duplo maiora ceteris praeter maxi-
mum [p. 290, 5]. ipsa igitur spatia, in quibus sunt
litterae J, omnibus spatiis, in quibus sunt litterae A^
minora sunt, reliquis autem praeter maximum maiora.^)
rursus sunt lineae quaedam 5, F, A, Ey Z, H aequali
differentia inter se excedentes, et differentia minimae
aequalis est, et praeterea aliae lineae, in quibus sunt
litterae K^ Ay numero illis aequales, magnitudine autem
1) Quia ex hypothesi latera quadratorum excedentium in-
ter se aequali difFerentia excedunt, et differentia minimo aequa-lis est. spatia enim A inter se rationem habent, quam latera
illa (Eucl. VI, 1). sequentia uerba BTtsl lin. 4 — vitsQB%ov6Lv
lin. 5 subditiua esse putauerim. nam primum praue dicun-
tur spatia adplicata inter se aequali differentia excedere, deindedeest dlXcclcov lin. 5, et nXdtr} et vneQB%ovoiv parum Doricaeformae sunt; etiam particula rs insolito loco posita est. deni-
que insuauiter sermonis cursum interrumpunt. neque hae of-
fensiones coniectura facili et probabili tolli possunt.
2) Nam 6> = I. .
300 nEPI KiiNOEIAESiN KAI II^AlPOEIAESiN.
naOuv Tttv icav aXXccXaLg re xal xa ^ByCexa Jtavtov
^ev tcsv tetQaydvav tSv ajcb [TtaOav] tav tc5 l'6c3
aXXaXav v7i£Q8xov0dv ikdo^ovd ivti ^ tQLnkdOia^ tcov
de XoiTt^v xcoQig Tov d%o tdg ^eyiCtag tetQaycovov
5 ^eL^ova 7] tQLTtXdOLa. dedeLXtai yaQ tovto ev totg
TteQL tdv eXCxcyv exdedo^evoLg. td ovv x^Q^^^ ^^ otg
t6 K^ Ttdvtov ^ev twv ^^aj^^tcov, iv olg tcc JB, F, z/, E^
Zy H^ iXd66ovd i6tLv, avtav de tavy iv olg td F, z/,
E, Z, i/, ^eC^ova' caOte xal Ttdvta td ^^ojpta, iv olg
10 td J, K, Jtdvtcov iiev tcoi;, iv olg td AB^ AF^ A^^AE^ ^Z, AH.) iXd60ovd i6tL, tcov de^ iv olg td AT^^z/, AE^ AZ^ AH, ^eC^ova. drjXov ovv, otL Ttdvta
td x^Q^^f f'^ otg td @5 /, Kj A^ Ttotl ^ev td x^Q^f^^
iv olg td ABj AF, AA^ AE^ AZ^ AH^ iXd66ova
15 Xoyov exovtL tov^ ov e^eL d ®A Jtotl tdv IK^ Ttotl
de td XoLTtd x^Q''^ "^^^5 ^'^ ^ '^^ AB, ^eC^ova tov
avtov Xoyov.
7 '
El xa xcovov to^dg bnoLa^ovv evd^eCaL iitLipavcovtL
20 dnb Tor «vtov 6a^eCov dy^evaL^ ecovtL de xal dkkat
evd^eCaL iv td toi) xcovov to^d Tta^d tdg i7tLjl;avov6ag
dyiiivaL xal re^vov6aL dXXdXag, td TteQLexo^eva imb
twv t^a^dtcav tbv avtbv e^ovvtL Kbyov itot dXXaXa^
ov td tetqdycova td djtb tdv i7tL^pavov6dv' biiokoyov
2. Tittcdv xav] Torellius; navtoiv F, uulgo. fort. scrib.
tdv. 3. aXXaXoiv F; corr. Torellius. vmqBxovaai F; corr.
ed. Basil. 6. iXiv.oiv'] scripsi; fXtxav F, uulgo. 8. fcrty]
ivti B. 10. tu\ (alt.) addidi; om. F, uulgo. 11. kctC] svti B.
ta] addidi; om. F, uulgo. 16. rd] td Torellius, fortasse
recte. (ibi.^(ov F; corr. Torellius. y'] om. ed. Basil., Cr.,
Torellius. 23. not' dXXaXa'] Torellius; ttoti ta aXXa F, uulgo.
24. tcov fniipavovcoav F, uulgo.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 301
omnes maximae aequales. quare quadrata omnium
linearum inter se et maximae aequalium minora sunt
quam triplo maiora omiiibus quadratis linearum inter
se aequali differentia excedentium, maiora autem quam
triplo maiora reliquis praeter quadratum lineae maxi-
mae. hoc enim in eo libro, quem de helicibus edi-
dimus, demonstratum est [prop. 10]. itaque spatia,
in quibus est littera K, omnibus spatiis, in quibus
sunt litterae 5, JT, z/, E, Z, H, minora sunt^), ipsis
autem spatiis, in quibus sunt litterae JT, ^, E, Z, H,
maiora. quare etiam omnia spatia, in quibus sunt
litterae J, K, minora sunt omnibus spatiis, in quibus
sunt litterae AB, AF, A/i, AE, AZ, AH, maiora
autem iis, in quibus AF, A/1, AE, AZ, AH adparet
igitur, omnia spatia, in quibus sint litterae @, /, K, A,
ad spatia, in quibus AB, AT, AA, AE, AZ, AH, mi-
norem rationem habere, quam &A : IK^), ad reliqua
autem praeter id, in quo est AB, maiorem rationem.^)
III.
Si lineae sectionem coni qualemHbet contingunt
ab eodem puncto ductae, et aliae quoque lineae in sec-
tione coni contingentibus parallelae sunt et inter se
secant, spatia partibus earum comprehensa inter se
eandem rationem habebunt, quam quadrata linearum
contingentium. et spatium partibus alterius lineae
1) Nam K= ^A; itaque K-\-A==SK.2) Hoc est & -}- I -\- K+ A : I -\- K.
3) Nam summa spatiorum €>, 7, K, A ad summam spatio-
rum /, K eam habet ratiouem quam S-{-I-{-K-{-A'. I-\-K^cum basis eadem sit (Eucl. TI, 1); tum u. Eucl. V, 8. et est
S-^I + K + A^A + B, I+K = \A-^\B.
302 nEPI KSiNOEIAESi;N KAI S^AIPOEIAEiiN.
dh i06sitaL xb neQLSxo^svov vno tcov tag stsQas yQa{L-
^as t^a^dtav ttp tstQaymva ta dito tdg STatl^avovGag
tdg TiaQaXXrikov avtd. dTtodsdsLKtac ds rovro iv totg
xcjvtxotg 6tOL%sCoig.
5 El xa dno tdg avtdg OQ^oyavCov X(6vov to^dg
dvo t^d^ata djtot^ad^scjvtL oncoCovv L0ag s^ovta tdg
dLa^stQovg^ avtd ts td t^d^ata L6a s60ovvtaL^ xal
ta tQCyova td iyyQa(p6^sva sig avtd tdv avtdv ^d-
6lv s%ovta totg t^afidteCCL xal i;Vog t6 avto. did-
10 fistQov ds xakso Ttavtog t^d^atog tdv 6C%a ts(ivov0av
tdg svd^sCag itdoag tdg JtaQa tdv pdotv avtov dyo-
^svag.
s6tcy oQd^oycavCov koovov to^d d ABF^ xal aTto-
tst^T^ad^cj dit avtdg ^vo t^dfiata to ts A^E xal
15 t6 &Br. s6tc!) ds tov ^sv AZIE tfid^atog dtdfistQog
d AZ^ Trot) b\ ®BT d BH^ xal s6tcov l'0aL aC AZ^BH. dsLXtsoVy otL td t^d^ata tOa ivtl td AAE^ ©BF^xal td tQCycova td iyyQacpo^sva tbv SLQrj^svov tQOTtov
iv avtotg.
20 s6tG) drj TtQcotov d d7tots^vov0a tb stSQOV t^d^a
1. £<j(7£tTCft] snsLtcc F; corr. ed. Basil. 2. ra xstQccy{6va>^
scripsi; tstQayoavov F, uulgo; tstQayavcp Torellius. tc5] to
F; corr. Torellius. 3. tks] addidi; om. F, uulgo. nagaX-XrjXovg F; corr. Nizze. avtag F; corr. Torellius. 6. S' Cr.,
Torellius. 6. anotfiYjd-sovti F; corr. Torellius. oncoeovv']
D; onoGovv F, uulgo; onooaovv Torellius. 8. avtd^ avTavFBC*. 9. tfia(iatsGi F. 11. tdg] (alterum) Tav FBC*.14. avtag] avT cum comp. ag, insuper addita syllaba ag (cir-
cumflexu super g posito, ut solet) F. 16. IWcov] comp. uoca-
buli sGtto addito accentu acuto F; sGtcoGav uulgo*;« sGtco ed.
Basil. , Torellius, Cr. 18. syyQa(p6(isva\ (is supra scriptum
manu 1 F. 20. nQmtov «] scripsi; a om. F, uulgo.
r DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 303
comprehensum respondebit quadrato lineae contingen-
tis ei parallelae. hoc autem in conicis elementis^)
demonstratum est [Apollonius con. III, 17].
Si ab eadem sectione coni rectanguli duo segmenta
quoquo modo abscinduntur diametros aequales haben-
tia, et ipsa segmenta aequalia erunt et triangula iis
inscripta eandem basim habentia, quam segmenta, et
altitudinem aequalem. diametrum autem cuiusuis seg-
menti eam lineam uoco, quae omnes lineas basi eius
parallelas in duas partes aequales secat.
sit ABF sectio coni rectanguli, et ab ea abscin-
dantur duo segmenta A^E, &Br. et diametrus seg-
menti AzJE sit z^Z, segmenti autem @Br Imea. BH,et sit ^Z = BH. demonstrandum est, et segmenta
A^E^ ®Br aequalia esse et triangula iis ita inscripta,
ut diximus.
primum igitur linea alterum segmentum abscindens
1) H. e. elementis conicis ab Aristaeo compositis, ab Eu-clide emendatis et suppletis.
304 nEPI KSiNOEIAE^N KAI S^AIPOEIAE^N.
cc ®r TCor^ OQd^ccg ta dta^BXQfp tag tov OQd^oyGJVLOv
Koavov to^cig, leldcpd-G) de TtaQ* av dvvdvtai al dito
tdg to^dg, d diTtkaoCa tdg ^exQL tov d^ovog, Ttal €6t(a,
iq)^ a to M. dito de tov A Tid^etog dx^co eitl tdv
^ ^Z d AK, eTtel ovv dud^etQog evti d ATL rov t\id-
^atog, d te AE ^l%a te^vetac xatd to Z, y.al d
z/Z TtaQa tdv did^etQOV e0tL tdg tov OQ^oyoviov
xcavov to^dg' ovtcj yaQ dCxa te^vei itdeag tdg
TtaQd tdv AE dyo^evag. ov drj Xoyov e^ei to te-
10 tQdycjvov To djto tdg AZ Ttotl to tetQdyovov to
dTto tdg AK, tovtov exstcj d N notl tdv M. ai drj
dito tdg to^idg ejtl tdv z/Z dyo^evai TtaQa tdv AEdvvdvtai td TtaQa tdv L6av ta N itaQajtLTttovta nld-
tog exovta, dg avtal djtoXa^^dvovtL ditb tdg /iZ
15 ttotI t6 /i TteQag, dedeLXtat ydQ ev totg xcjvLXotg.
dvvdtaL ovv xal d AZ l6ov tc5 TteQLexo^evG) vno tdg
N xal tdg AZ, dvvdtaL de xal d ®H l6ov tc5 TteQi-
exo^eva vno te tdg M xal tdg BH^ eTtei ' xdd-etog
e6tLv d ®H eTtl tdv dtd^etQOv, e^OL ovv xa to te-
20 tQayavov tb dnb tdg AZ Jtotl tb tetQdyovov tb dnb
tdg ®H tbv avtbv Xoyov^ ov d N itotl tdv M, eitel
L0aL vTtexetvto al /IZ^ BH, e^eL de tb djtb tdg AZ
1. @r] Br F] corr. BC. 13. N] M F; corr. Torellius.
19. l';toi ovv xa] scripsi; sxoi hocl F, uulgo; s%at xat TorelLius.
20. xas] tov per comp. F.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 305
0r perpendicularis ad diametrum sectionis coni rect-
anguli sit. sumatur autem linea, cui parallelae lineae
a sectione ductae quadratae aequales sunt [spatiis ipsa
liac linea et ea parte diametri comprehensis,quam
linea a sectione ducta ad uerticem uersus abscindit] ^),
quae duplo maior est linea [a uertice sectionis] ad
axem coni ducta^), et sit ea, in qua est littera
M, et ab A linea, AK ad ^Z perpendicularis du-
catur. iam quoniam ^Z diametrus est segmenti, linea
AE m puncto Z in duas partes aequales secatur, et
^Z diametro sectionis coni rectanguli^) parallela eat.
ita enim omnes lineas lineae AE parallelas in duas
partes aequales secat. itaque, sit AZ^:AK^= N:M,quare lineae a sectione ad lineam z/Z ductae lineae
AE parallelae quadratae aequales sunt spatiis lineae
N aequali adplicatis latitudinem habentibus eas lineas,
quas ipsae a z/Z ad punctum jd uersus abscindunt.
hoc enim in conicis demonstratum est.*) itaque
AZ^ = NXAZ.sed etiam SH^ = Mx BHj quoniam ®H ad dia-
metrum perpendicularis est [et linea M parametrus;
tum u. Apollon. con. I^ 11]. itaque
AZ^:®H^ = N:Mjquia ex hypothesi /IZ = BH. sed etiam
AZ^^^AK^^N^M.
1) H. e. parametrus parabolae rB0.2) Quia antiquiores geometrae parabolam ita efficiebant,
ut conum rectum et rectangulum plano lateri coni parallelosecarent.
3) H. e. axi. cfr. Zeitschr. f. Math.^ Utt. Abth. XXVp, 44; p. 51 nr. 14.
4) H. e. N linea parametrus est, si diametrus est/iZ. cfr.
Zeitschr. f. Math., litt. Abth. XXV p. 52 nr. 15.
Archimedea, ed. Heiberg. I. 20
306 nEPI KS^NOEIAESiN KAI 2*AIP0EIAESiN.
tetQdycsvov xal notl ro cctco tag AK tbv avtov koyov^
ov a N %otl rai/ M. t<5ai aga ivtl ai ®H, AK,ivtl ds l'0aL xal ai BH, AZ,, Sots i'0ov i^tl ro tmo
tav 0H, BH n8Qi6XOH€vov rca vjcb tav AK^ AZ,5 lcov aQa i6tlv Ttal tb @HB tQLycovov t^ ^AZ tQi-
ycovG)' m6te xal tcc dvjikd^ia, ifSti ds rov ^ev A^EtQiycovov iTtCtQitov tb AAE tfid^a, tov de &Br tQi-
ycivov inltQitov tb ®Br t^dfia, SrjXov ovv^ oti td
tfidfiatd sGtiv l'0a xal td tQiycova td iyyQacpo^evu elg
10 avtd, £i ds (irjdstsQa tdv td t^dy^ata d7totefivov6dv
Jtot oQd^dg ivti td diafiitQC) tdg tov OQ^oycovtov
xoovov tofidg, djtoXacpd^Si^ag ditb tdg SiafietQov tdg
tov OQd^oycoviOV xcovov tofidg i6ag td diafiitQco td
rov ivbg tfidfiatog xal dnb tov JteQatog tdg dno-
15 Xafp%^ei6ag not OQ^dg dx^eC^ag td dtafietQco, ro ye-
vofievov tfidfia exoctSQCo tcov tfiafidtcov i'0ov ieoeitai,
drikov ovv i0ti tb ytQOted^ev,
ndv %coQiOv tb TtSQiexoftevov vjtb o^vycoviov xcovov
20 tofidg Jtotl tbv xvxKov tbv exovta didfietQOV t6av td
fiei^ovi diaiLstQco tdg tov o^vycoviov xcovov tofidg tbv
avtbv exsi koyov, ov d iXd66cov didfietQog avtdg notl
tdv fiei^co, tdv tov xvxXov didfietQOv.
e6tco yaQ o^vycoviov xoovov tofid, £9' dg td A, B^
25 Fj A, didfietQog de avtdg d fiev fiei^cov 'i6tco^ itp' dg
7. t(i7}(ici F; corr. Torellius; item lin. 8. 9. xiirjfiaTa F;corr. Torellius, ut etiam lin. 10. 11. dt,a(istQa)'} ftJ^s F; corr.
ed. Basil. 12. SLUfistQov] (ista F; corr. Torellius. latet in
hie compendium aliquod uocabuli Sid(istQog. 13. tk tov]
scripsi; tag tov F, uulgo. 18. s' Torellius. 21. Tdg] ta
F; corr. Torelliua. tofias] tofia F; corr. Torellius. 23.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEEOIDIBUS. 307
quare ®H = AK [Eucl. V, 9]. sed etiam ^Z= BH.quare erit
@HXBH= AKX^Z.itaque etiam SHB = JAZ^)j et etiam dupla [quare
r®B = JEA].^) sed segmentum AJE tertia parte
maius est triangulo A^E, et segmentum SBF trian-
gulo ®Br [tstQccy. TtccQap. propp. 17 et 24]. adparet
igitur, et segmenta et triangula iis inscripta aequa-
lia esse.
sin neutra linearum segmenta abscindentium ad
diametrum sectionis coni rectanguli perpendicularis
est, abscisa a diametro sectionis coni rectanguli linea
diametro alterius segmenti aequali, et a termino lineae
abscisae linea ab diametrum perpendiculari ducta seg-
mentum inde ortum utrique segmento aequale erit.
adparet igitur, quod propositum est [Eucl. I xolv. ivv. 1].
IV.
Quoduis spatium sectione coni acutianguli com-
prehensum ad circulum diametrum maiori diametro
sectionis coni acutianguli aequalem babentem eandem
rationem habet, quam minor diametrus ad maiorem,
quae est diametrus circuli.
sit enim sectio coni acutianguli, in qua sint lit-
terae Ay B, Fy ^, diametrus autem maior sit linea, in
1) Cfr. Zeitschr. f. Math., litt. Abth. XXIV p. 179 nr. 7.
2) Nam EZ = ZA^ et altitudo eadem est. quareJEA = 2^AZ.
T«v] scripsi; nozi xccv F, uulgo; tovt sari, notl tdv ed. Basil.,
Torellius; „quae est circuli diametros" Cr.
20*
308 HEPI KSiNOEIAEiiN KAI S^AIPOEIAE^N.
rcc A, r, a de eld60G)v, icp* ccg tcc B, ^' e6€o de
xvxXog TCeQl did^etQov xav AF. deiKteov^ ort xo neQL-
exonevov xaQiov vnb rdg tov o^vycovLOv xoovov to^ccg
Ttotl tbv kvkIov tbv avtbv exei koyov^ ov d B^ notl
5 tdv FA, tovte6ti tdv EZ. ov drj Xoyov exet d BdTtotl tdv EZ, tovtov exetGi 6 Kvxlog, ev 6 tb ^,jtotl tbv AEFZ xvkIov. keyci)^ oti t6og e0tlv 6 Wxvxlog td tov o^vyaviov x(6vov to^d.
el yaQ ^rj e<5tLV
10 ^^ .-^=::=^~==:=^-^ _ t6og 6 W xvxkog
ta TceQtexofievc}
X^Q^^ ^'^b tdg
tov o^vyoviov
xcovov to^dg, edto
15 ># LJ >1 ^ jy jtQotov, el dvva-
tov, ^eL^ov. dvva-
tbv dri eOttv etgtbv
Wxvxkov TtoXvyo-
vov iyyQaxl^at aQ-
tioyovov fiet^ov
tov ABF/i x^~Qtov. i^ofttfO"» drj
iyyeyQa^^evov.
iyyeyQacpd^o de
25 h \^— \ Ttal etg tbv AEFZxvxkov evd^vyQa^-
^ov b^otov to iv
to W xvxko iy-
yeyQa^^evo,
8. Toc] xrj F; corr. Torellius. 16, (ibl^ov F; corr. Torel
lius. 24. da] scripsi; dij F, uulgo.
20
xal
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 309
qua sunt j4j P, minor autem ea, in qua 5, z/. sit
autem circulus, circum diametrum AF descriptus. de-
monstrandum est, spatium sectione coni acutianguli
comprehensum ad circulum eandem habere rationem,
quam BJ : FAy hoc est Bzl : EZ. iam circulus, in quo
est littera ^, ad circulum AEFZ eam habeat ratio-
nem, quam BJ : EZ, dico, circulum W aequalem esse
sectioni coni acutianguli.
nam si circulus W spatio sectione coni acutian-
guli comprehenso aequalis non est, sit prius, si fieri
potest, maior. potest igitur fieri, ut circulo W in-
scribatur polygonum [aequilaterum], cuius anguli pa-
res sunt numero, maius spatio ABF^}) fingatur igi-
tur inscriptum. et etiam circulo AEFZ inscribatur
figura rectilinea, polygono circulo ^P" inscripto similis,
et ab angulis eius lineae ad ^T diametrum perpen-
1) Nam fieri potest, ut circulo W inscribatnr polygonum (p),ita ut spatia relicta minora sint eo spatio, quo W spatiumABFJ excedit; u. de sph. et cyl. I, 6 p. 24. erit igitur:
W — p<^W—ABrjD:pi>ABrj.
310 nEPI KSiNOEIAE^N KAI S^AIPOEIAESJN.
arcb rav ycovLccv ccvtov xad-eroL axd^o^av iitl rav AFdcdfisrQOv, STtl ds ra (Sa^eta^ xad-' a ri^vovn ai xad^irot
rav rov o^vycavLOv xcovov ro^dv, evd^SLaL STfs^svx^ci)-
0av. i66sLtaL di] rt iv ra rov o^vycovLOv xmvov ro^a
5 iyysyQafi^ivov svd"vyQa^^ov , xal s%eL avro itotl tb
svd"vyQa^^ov tb iv rc5 AEFZ xvxlc) iyysyga^^ivov
rbv avrbv loyov, ov a 5z/ Ttorl rdv EZ. iitsl ydg
ai ES, KA xad^iroL stg rbv avrbv koyov rsrfirjvraL
xard rd M, 5, dijXov^ ort rb AE rQajti^Lov itorl rb
10 &M rbv avrbv s^sl koyov^ ov d @E Ttorl rdv B0.
d^d ravrd ds xal rtav dkkcav rQanst^Cav sxaerov rcBv
iv r(p xvxXg) Ttod"^ sxa6rov rcSi/ rQaTts^Lcav roiv iv ra
rov o^vycavLOV xoyvov ro^a tovtov s^sl tbv Xoyov, ov
d E@ Ttotl tdv B®. s^ovtL ds xal td tQLyava td
15 Ttotl tOL^ A, r td iv ttp xvxXo) Ttotl td iv ta tov
o^vymvLOv xcjvov to^a tovtov tbv koyov. s^sl ovv
xal oXov tb svd-vyQafi^ov tb iv ta AEFZ xvxlip
iyysyQa^^ivov Ttotl okov tb iyysyQa^^ivov sv%"vyQa^-
^ov iv ta tov o^vyovLOv xcavov to^a tbv avtbv Ao-
20 yov, ov d EZ itotl tdv BA. ^^sl ds tb avtb sv^^v-
yQa^liov xal Ttotl tb iv rc5 W xvxXg) iyysyQa^fiivov
tovtov tbv loyovy dLotL xal ol xvxXol tovtov sixov
tbv Xoyov. l'6ov ccQa iotlv tb svd^vyQa^^ov to iv
rc5 5** xvxXc) iyysyQa^inivov rcj svd^vyQa^fKp rc5 iv
25 ta tov o^vycovLOv xcctvov to^a iyysyQa^^ivc)' otcsq
ddvvatov. ^st^ov ydQ i^v oXov tov itsQLSxo^ivov %g)-
QLOv vitb tdg tov o^vycavLOv xcavov to^dg.
2, tBfivovti] scripsi; tsfivovToci F, uulgo. 4. di]] scripai;
Ss F, uulgo. rt] Tt svd-vyQccfiiiov ed. Basil., Torellius. ego£vd"vyQcc(i(iov lin. 5. post iyysyQafifisvov addere malui (om. F,
uulgo). 5. avxo] scripsi; to avto F, uulgo. litteras H, S, 0,
P, 2 (E?), iVin figura cum F addidi; TTipse addidi. 9. ro SM]
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 311
diculares ducantur, et ad puncta, in quibus lin©ae
perpendiculares sectionem coni acutianguli secant, li-
neae ducantur. erit igitur figura quaedam rectilinea
sectioni coni acutianguli inscripta, et habebit ad figu-
ram rectilineam circulo AEFZ inscriptam eandem
rationem, quam B^:EZ. nam quoniam E®, KA^lineae perpendiculares eadem proportione in punctis
Mj B sectae sunt, adparet, trapezium AE ad 0M eam
habere rationem, quam ®E : B@}) eadem de causa
etiam cetera trapezia singula, quae in circulo sunt, ad
singula trapezia, quae in sectione coni acutianguli
sunt^ eam habent rationem, quam E® : B0. sed etiam
triangula ad puncta A, F in circulo posita ad triangula
in sectione coni acutianguli posita eandem rationem
habent.^) itaque etiam tota figura rectilinea circulo
AEFZ inscripta ad totam figuram sectioni coni acu-
tianguli inscriptam eam rationem habet, quam EZ:BA.^)sed eadem figura etiam ad figuram circulo ^ inscrip-
tam hanc rationem habet, quoniam etiam circuli hanc
rationem habebant [Eucl. V, 16].*) itaque figura cir-
culo W inscripta figurae sectioni coni acutianguli in-
scriptae aequalis est [Eucl. V, 9]. quod fieri non
potest. maior enim erat toto spatio sectione coni
acutianguli comprehenso.
1) U. Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p. 180 nr. 11.
2) Habent enim rationem, quam TIRiTlS^ quae aequaliseat E@:B9.
3) ivalla^ aocl avvd^svtL ytocl ivuXXd^; tum quia
4) U. Zeitschr. f. Math., hist. Abth. X^IV p. 181 nr. 13.
ra @MF; corr. Torellius. 13. sxoovtiF^ uulgo; corr. Torellius.
15. ra] Torellius; trj F, uulgo. 20. avto to F; corr. TorelHus.
312 nEPI KSiNOEIAE^N KAI S<t>AIP0EIAE5iN.
*ikAA' €6r(o, £i dvvarov, iXdeecov. TidlLV drj dvva-
rbv £is rdv rov o^vymvLOv xcovov rofidv iyyQdil^ai
TCoXvycovov aQrLOJcXevQOv ^et^ov roi; ^ xvxXov. iyye-
yQd(p^co ovvj xal dno rdv yavLav avrov xad^iroL
5 dx^BL6aL iitl rdv AF ix^s^Xri6%^G}6av Ttorl rdv tov
nvxlov 7C€QL(piQ£Lav. Ttdhv ovv i06£LraL rL iv ra
AEFZ xvkIg) ^vd^vyga^^ov iyy^yga^fiivov , o £l^£L
norl To iv Tcf Tor o^vycovLOv xcsvov ro^a iyy^yga^-
fiivov Tov avrov loyov^ ov d EZ norl rdv B^d. iy-
10 yQacpivros ^ri xal £ig rbv W xvxXov o^olov avr^
d^Lx^fi^iraL To iv rS ^ xvxkip iyy£yQa^iiivov l'0ov
ibv Tc5 iv ra tov ol^vyavLOv xcovov rofia iyy^y^a^-
(livc)' 07t£Q ddvvarov. ovx ierLv ovv ovd£ ild06av
6 W xvxXog tov xcDQLOV Toi5 7C£QL£xofjLivov VTcb rdg
15 Tov 6i,vyovLov xmvov ro^dg. drjXov ovv^ oTt to £l-
QYifiivov %coQLOv Ttorl rov AEFZ xvxXov rbv avrbv
i%£L Xoyov^ ov d B^ TCorl rdv EZ.
a .
ndv %(XiQC0V 7C£QL£x6^£V0V vTcb 6i,vycovLOv xoovov
20 ro^dg jcorl Ttdvra xvxXov rbv avrbv £X£l Xoyov^ ov
To 7t£QL£x6fi£vov vTtb rdv dLa^irQCOv rdg tov b^vyco-
VLOV xoovov ro^dg Ttorl to d^tb rdg tov xvxXov dLa-
fiirQOv r£rQdyovcov,
£6rC0 yaQ Tt X^Q^^'^ 7C£QL£x6fl£VOV V7cb O^VyCOVLOV
25 xoovov TOftag, iv dt t6 X dLa^iirQOL d£ £6rco6av rdg
Toi; b^vycovLOv xcovov rofidg aC AF, Bjd, fi£L^cov d£
3. noXvycoycavov F. 6. ti] tr} FBC*. 7. JEFZ] scripsi;
JE F, uulgo; AE TorelliuB. 8. to] Torellius; Ttxv F, uulgo.
iyYQUfpsvxos] scripsi; syysyQacpivtos F, uulgo. 18. s' To-relliuB.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 313
sed, si fieri potest, minor sit [circulus W]. rursus
igitur iieri potest, ut sectioni coni acutianguli inscri-
batur polygonum [aequilaterum], cuius latera paria
sunt numero^), maius circulo W.^) inscribatur igitur,
et lineae ab angulis eius ad ^F perpendiculares duc-
tae producantur ad ambitum circuli. rursus igitur circulo
AEFZ figura rectilinea inscripta erit, quae ad figuram
sectioni coni acutianguli inscriptam eam rationem
habebit, quam EZ : BJ [p. 310, 5 sq.]. si igitur
etiam circulo ^ inscribitur figura ei similis, figura
circulo ^ inscripta demonstrabitur aequalis esse figurae
sectioni coni acutianguli inscriptae [p. 310, 16 sq.].
quod fieri non potest.^) itaque circulus W ne minor
quidem est spatio sectione coni acutianguli comprehenso.
adparet igitur, hoc spatium ad circulum AEFZ eam
rationem habere, quam BJ : EZ.^)
V.
Quoduis spatium sectione coni acutianguli com-
prehensum ad quemuis circulum eam rationem habet,
quam rectangulum diametris sectionis coni acutianguli
comprehensum ad quadratum diametri circuli.
sit enim spatium aliquod sectione coni acutianguli
eomprehensum, in quo sit littera X. diametri autem
sectionis coni acutianguli sint AFy B^y maior autem
1) Debebat esse: cuius laterum numerus per quattuor di-
uidi poBsit; ita etiam p. 308, 19 dictum esse oportuit.
2) Hoc fieri posse, eodem modo intellegitur, quo in circulo
demonstrauimus p. 309 not. 1.
3) Nam circulus W, figura inscripta maior, minor est figura
ellipsi inscripta.
4) Proprie hoc adparet, figuram ellipsi comprehensamaequalem eese circulo W\ tum u. p. 308, 4 et Eucl. V, 7.
314 HEPI Ki^NOEIAEiiN KAI S^^AIPOEIAESiN.
10
15
a AF. xccl xvxkog £6tG), iv ca tb ?P*, dcdfjietQog ds
avtov cc EZ. dsixteov, ott tb X xciQiov Ttotl tbv WxvkXov tbv avtbv
6X6L Xoyov, ov tb
TCSQlSXOflSVOV VTlb
tav AF, B^ TCotl tb
aTtb tag EZ tetQoi-
ycavov.
JteQLyeyQccqid^G) dij
xvxlog TteQL dLcifie-
tQOv tav AF. tb drj
X x^Q^^'^ Ttotl tbv
xvxlov, ov dLci^etQos
a AF^ tbv avtbv
exsL loyov, ov tb
7t£QLex6fievov vitb
rai' AF^ B/i Ttotl tb
ccTtb tag AF tetQcc-
ycovov. dedeCxtaLyccQ
exov, ov a BA Jtotl
tav AF. exBi de xal 6 xvxkog^ ov dLcc^etQog a AF,Ttotl tbv xvxlov, ov dLcc^etQog a EZ^ tbv avtbv loyov,
ov tb ccTtb tag AF tetQccyovov Ttotl tb ccitb tag EZ,
dijlov ovv, otL tb X ;^(»^t02/ Ttotl tbv W xvxkov tbv
25 avtbv exeL Xoyov, ov tb vTtb tdv AF, BA neQLexo-
^evov Ttotl tb ccTtb tdg EZ tetQocyovov.
s'.
Ta TteQLexo^eva x^Q^^ '^^^ o^vyavCov xoivov to-
fidg tbv avtbv exovtL koyov Ttot aXXaka, ov ta tcsqi-
1. ToJ om. F; corr. B. 23. xdq] (alt.) rijs F. 27. ^' Torel-
20
r DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 315
sit AF. et sit circulus, in quo sit littera W, et dia-
metrus eius EZ. demonstrandum est, esse
X: ^=^ AFXBJ '.EZ\
circumscribatur igitur [circum spatium X] circulus,
circum diametrum AF descriptus. habebit igitur spa-
tium X ad circulum, cuius diametrus est AF^ eandem
rationem^ quam habet AFxB^ : AF^. nam demon-
stratum est^ spatium X ad circulum, cuius diametrus
sit AF, eam habere rationem, quam B^ : AF [prop. 4].
sed etiam circulus, cuius diametrus est Ar, ad circu-
lum^ cuius diametrus est EZ, eam rationem habet,
quam AF^ : EZ^ [Eucl. XII, 2]. adparet igitur, esse
X:W= ArxBJ'. EZ^ [Eucl. V, 22].
VI.
Spatia sectione coni acutianguli comprehensa eaminter se rationem habent, quam rectangula diametris
lius. 28. TOfiav Torellius. 29. not* aXXocXa] noxi xu aXXoc
F; corr. ed. Basil.
316 IIEPI K^NOEIAEi^N KAI S^AIPOEIAEiiN.
£XO^£va vTto tav dLa^etQG>v tav tcov ol^vyGtviov xca-
VG>v tofiav Ttot aXlaXa.
E6to TCeQUxofieva xcoQia vjto oi^vycovCov xc^vov to-
fiag, iv olg ra ^, B. e6tco de xal t6 ^lv F/l TtsQt-
5 f;(jojU£i/oi/ vTto tav dia^etQCOv tag tov oi.vycovLOv xca-
vov to^ag tag TtSQisxovCag tb A xg)Qlov, t6 ds EZTteQLSxofievov vjto tav dLafietQCDv tag eteQag tofiag,
dcLxteov^ OT^ t6 A x^Q^ov Ttotl t6 B tbv avtbv
eX^L Xoyov, ov tb Fjd Jtotl tb EZ.10 AeXdcpd^G) drj avxXog Ttg, ev g) t6 ^, dnb de tdg
dLafietQov avtov tetQayovov ectca tb KA. ex£t> drj
TO (lev A x^Q^ov Ttotl tbv W tcvxAov tbv avtbv X6-
yov, ov tb r^ Ttotl tb KA^ 6 de ^ xvxXog Ttotl tb
B x^Q^ov tbv avtbv Xoyov^ ov t6 KA notl t6 EZ,15 driXov ovVy otL tb A x^Q^ov notl tb B tbv avtbv
eX^i Xoyov^ ov tb TA itotX t6 EZ.
nOPI2MA.
'Ex tovtov de (paveQov, otL td JteQLexbfieva x^Q^^v%b bfiOLav o^vycovicov xcovcov tofidv tbv avtbv Ao-
20 yov exovti ttot' dXXaXa^ ov exovtt dvvdfiet not dX-
XdXag aC bfioXoyoL dLafietQOL tdv tofidv.
1. Tav Tcov o^vyoavioov xeoycoj'] scripsi cum inargiiie ed. Ba-sil.; zfittna roov o^vycovicov 'kcovoov F, imlgo; tccv xov oi^vyooviov
tioavov Torellius. 3. toficcv Torellius. 5. tag'] ta F; corr. B*.
11. KA] KJF. St]] scripsi; Ss F, uulgo. 17. R mg. F. 20.
sxoovti bis F; corr. BV.^
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 317
r /-^^ A ^\/ ^
V /
sectionum conorum acutiangulorum comprehensa inter
se habent.
sint spatia sectione coni acutianguli comprehensa,
in quibus sint litterae
Ay B. rectangulum au-
tem Fz/ diametris con-
tineatur sectionis coni
acutianguli,
quae Aspatium comprehendit,
rectangulum autem KZ^ contineatur diametris
alterius sectionis. de-
monstrandum est, esse
A:B = rzf: EZ.
sumatur igitur cir-
culus aliquis, in quo sit
littera ^P*, et in dia-
metro eius construatur
A quadratum KA. erit
igitur A : W = TA : KA [prop. 5], et etiam
W:B = KA:EZ [prop. 5; Eucl. V, 16].
adparet igitur, esse A : B == TJ : EZ [Eucl. V, 22].
COROLLARIUM.
Hinc autem adparet, spatia sectionibus conorum
acutiangulorum similibus comprehensa eandem inter
se habere rationem, quam quadrata diametrorum sec-
tfbnum, quae sibi respondeant.^)
1) Nam similes ellipses eae sunt, quariim qui sibi respon-deant axes proportionales sint.
318 nEPI KiiNOEIAEiiN KAI X*AIPOEIAEftN.
r.
'O^vyfovcov xcovov toficcg dod^eC^ag koX yQec^iidg dnotov xsvtQOv rag tov o^vyaviov xcovov tofiocg avsCta-
xov6ag OQd^ag jcotl to inCnedov^ iv c3 ictLv a tov
6 6i,vy(ovL0v X(6vov to^ia^ dvvatov iett xcovov evQstv
xoQvq)av sxovta tb nsQag tag dv£6taxov0ag svd^eiag^
ov iv ra iitLipaveia i60evtaL d dod^eloa tov o^vycovLOV
XC3V0V rofta.
dedoed^m tLg o^vyovLOv xcovov to^d, xal ditb tov
10 xevtQOv avtag evd-eta yQa^fid dve6taxov6a oQd^d Jtotl
tb ijCLTtedov^ iv co i6tLV d rot; o^vyovLov xcovov tofid,
SLa de tdg dve6taxov6ag ev^eCag xal tdg iXd66ovog
dca^itQov inLTtedov tL ix^e^Xi^^d^cOy xal e6tc3 iv avtS
d fiev iXd66c3v dLa^etQog d ABy tb de xevtQOv tdg
15 tov b^vycovLOv xcovov to^dg ro ^, d de djtb rov xiv-
tQOv dve6taxov6a oQd^d d JTz/, neQag de avtdg tb F.
d de tov o^vyovLOv xosvov rofta voftWeo TteQL dLa-
fietQOv tdv AB yeyQafi^iva iv i7tL7tid(p 6q%^^ Jtotl
tdv r^, 8et Srj xmvov evQetv xoQvg)dv e^ovta ro F20 6afietov^ ov iv td iTCLcpaveLcc i66eLtaL d tov b^vycovLov
xcovov to[id.
ditb drj roi5 F i%l td A^ B ev^eCat dx^£C6aL ix-
pepXi^^d^cav , xal ditb tov A dLax^cs d AZ, S6te ro
TteQLexofievov vnb tdv AE, EZ Ttotl tb tetQaycavov
25 To aTtb tdg EF roi;rov exsLv tbv Xoyov^ ov exst tb
tetQaycovov tb djtb tdg 7j^L6eCag tdg fieC^ovog dLa^i-
1. V Torellius. 6. svd^siag] repetit F. 9. ncovov] oA.
F; corr. B. 22. 8rj] Torellius; ds F, uulgo. svd-siai,
dxd-siaai s-n^s^lT^Gd-cov] scripsi; svd^sia ax&siaa fx^fjSXjjff-O-co F,
uulgo. 24. Tttv] zcav per comp. F; corr. Torellius. 25.
SX^I' F; corr. TorelliuB. 26. rjfiLasiag rdg] scripsi; rdg om. F,
uulgo.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 319
VII.
Data sectione coni acutianguli et linea a centro
sectionis coni acutianguli erecta perpendiculari ad pla-
num, in quo est sectio coni acutianguli, fieri potest,
ut inueniatur conus uerticem habens terminum lineae
erectae, in cuius superficie sit data sectio coni acu-
tianguli.
data sit sectio coni acutianguli et linea a centro
eius perpendicularis erecta ad planum, in quo est
sectio coni acuti-
anguli. et per li-
neam erectam dia-
metrumque mino-
rem ducatur pla-
num, et in eo sit
diametrus minor
AB^ et centrum
sectionis coni
acutianguli ^, et
linea a centro
perpendicularis
erecta Fz/, et terminus eius F. sectio autem coni acutian-
guli fingatur circum diametrum AB descripta in plano
ad r^ lineam perpendiculari. oportet igitur conum
inueniri uerticem habentem punctum F, in cuius super-
ficie data sectio coni acutianguli sit.
lineae igitur a F puncto ad puncta ^, B ductae
producantur, et ab A puncto ducatur linea AZj ita
ut ratio AEx EZ : EF'^ aequalis sit rationi, quamhabet quadratum dimidiae diametri maioris ad ^JT^.
hoc autem fieri potest, quoniam
320 nEPI KSiNOEIAES>N KAI 2$AIP0EIAESiN.
TQOv Ttoxi xo ajto ^r xaxQayovov. dvvazov de 86xlv,
inel ^ieL^av ioxlv 6 loyog xov, ov Exei xb vito xav
AA ^ z/5 TteQLexo^evov Ttoxl xo aito xag z/F xexQoc-
yovov. aito de xag AZ iTtCitedov dve6xaxexG) OQd-ov
5 Ttoxl xo ijtLTtedov. iv ca ivxL al AF. AZ. iv de rc5
iitL7ted(p xovxG) xvxlog yeyQag^d^a) jteQL dLa^exQov xav
AZy xal ccTto xov xvxXov xovxov xcavog e^xa xoQvcpav
^Xav xb r 6aiietov. iv dri xa iTtLCpaveCa xov xcovov
tovxov deLx^ri^ixaL iov6a d xov o^vycsvCov xmvov xo^d.
10 el yccQ ^v] iGxiv iv xa ijtLcpaveCa xov xcovov, dvay-
xatov^ eifiev xl 6a^etov iitl xdg xov o^vyovCov xcovov
xo^dg, o ^7] ioxLv iv xa iitLCpaveCa xov xcovov. voeC6d'Ci}
di] XL Ca^etov keXa^^evov inl tdg xov o^vycavCov xco-
vov xo^dg xb 0, o ovx i6xLv iv xd i7tL(paveCa tov
15 xcovovy xal ditb tov S xd^exog dx^G) d @K iitl xdv
AB. i06eCxaL drj avxd OQd^d Jtoxl xb ijtCjtedov xo, iv
cj ivxL al AF. FZ. dnb 8e xov F iitl tb K ev^eta
dx^etaa ix^e^^rjCd^ci), 6v[i7tL7ttetco de avxd td AZ xatd
tb Aj xal d7tb tov A dx^a) Ttot OQd^dg td ZA d AM20 iv tS xvxkfp tcj TteQL tdv AZ. xb de M voeCad^o
fiexeoQOV i^tl tdg TteQLtpeQeCag avtov. d^^o de xal
TtaQd tdv^ AB dta ^ev tov A d SO, dLa de tov E;
d IIP. i7tel ovv tb ^ev vTtb tdv EA^ EZ TteQLexofie-
vov 7toxL xb djtb xdg EF xetQdyovov tbv avxbv ix^v
25 Xoyov, ov tb d7tb tdg rp,L6eCag tdg fieC^ovog dLa^eXQOv
Ttoxl tb d7tb xdg AF^ xb de d^tb xdg EF Ttoxl to vTtb
tdv En, EP, ov tb d7tb tdg AF Ttotl tb vTtb tdv
1. ^fi] supra scriptum manu 1 F. 2. ju-st^co F. 3. z/B]
AB F; corr. B. 5. hrC] svtrj F. 8. dri] scripsi; Ss F,
uulgo. 9. ovaa F, uulgo. alvycovtov F, 10. yuQ] addidi;
om. F, uulgo; ,,nam si non" Cr. 13. ^?/] scripsi; Ss F, uulgo;
„itaque" Cr. 17. FAZ ed. Basil., Torellius. 18. de] scripsi;
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 321
AEXEZ: En >A^XzJB: ^FV)porro a linea j4Z planum erigatur perpendiculare ad
id planum, in quo sunt lineae AFy AZ. in hoc autem
plano circulus describatur circum diametrum AZ^ et
in hoc circulo conus construatur uerticem habens
punctum T. iam demonstrabimus, in huius coni super-
ficie esse sectionem [datam] coni acutianguli.
nam si in superficie coni non est, necesse est esse
punctum aliquod in sectione coni acutianguli, quod
non sit in coni superficie. fingatur igitur punctum ali-
quod sumptum in sectione coni acutianguli, quod
in superficie coni non sit, et a @ puncto ducatur linea
®K ad lineam AB perpendicularis. haec igitur ad
planum, in quo lineae AT^ TZ sunt, perpendicularis
erit [Eucl. XI def. 4]. a puncto T autem ad K linea
ducta producatur, et lineae ^Z in puncto A incidat,
et a puncto A ad lineam ZA perpendicularis ducatur
linea ^M in circulo circum diametrum AZ descripto.
M autem punctum fingatur sublime in ambitu eius.
ducatur autem praeterea lineae AB parallela per Apunctum linea SO^ per E autem linea 7IP. iam quo-
niam EA X EZ : ET^ eandem rationem habet, quamquadratum dimidiae diametri maioris ad AT^ [ex hy-
pothesi], et ET'^ lEHxEP^ ^T^ : AA X AB%
1) Quo modo Archimedes hanc condicionem inuenerit, ne-scimus; ueram eam esse, ostendit Nizze p. 162— 63.
2) Est enim Er:En=jr:A^ (Zeitschr. f. Math., hist.
Abth. XXIV p. 178 nr. 4) o: ET^ : EH^ =^ JT^ : AJ^; sedEn^=^EnxEP, et AJ^ = A.JxJB.
Srj F, uulgo. 19. ccx^co] avsorayiitco? 26. vno rav] scripsi;
om. F, uulgo*; vno ed. Basil., Torellius.
Archimede», ed. Heiberg. I. 21
322 nEPI K5>N0EIAES>N KAI S^AIPOEIAESiN.
A/d^ ^/5, zhv avtov sx^l Xoyov ro vno rav AE^ EZ.
Ttotl to VJto tav UE^ EP, ov to tstQdycovov ro djcb
tds rj^t0SLag tdg ^SL^ovog dLa^ietQOV TCotl to vno tdv
Ajd^ z/jB. s6tLV de, cog ^hv tb vnb tdv AE^ EZ5 Ttotl tb vTcb tdv EIl, EPy ovtco ro vTtb tdv AA^ AZ,
Jtotl tb VTtb tdv A^Si^ AO. (hg 6e tb d%b tdg rjfit-
CeCag tdg fieL^ovog dLa^etQOv Jtotl ro vnb tdv AA^AB, ovtcog tb aTcb tdg ®K tetgdyovov Ttotl tb vnb
tdv AK, KB. tbv avtbv aQa e^SL Xoyov tb vitb tdv
10 AA^ AZ Ttotl tb VTtb tdv ^A, AO^ ov tb ditb tdg
&K tetQaycjvov itotl tb VTtb tdv AK^ KB. e^eL de
Tcal ro VTtb tdv SA^ AO Ttotl tb ditb tdg FA tetgd-
yatvov tbv avtbv koyov^ ov tb vitb AK, KB Ttotl ro
dnb tdg KF tetQayovov. e%eL aQa xal tb VTtb tdv AA^ib AZ neQLe%6iievov itotl tb ditb tdg FA tetQayovov
tbv avtbv Xoyov, ov ro ditb tdg SK jcotl tb djtb tdg
KF. roj de vjtb tdv AA^ AZ jteQLexo^evo l6ov e6tl
tb aTtb tdg AM tetQayovov* ev thilxvkXlo yaQ rc5
neQL tdv AZ ndd^etog dxd^rj d AM. tbv avtbv aQa
20 'e%eL koyov ro ditb tdg AM tetQayovov Ttotl ro dnb
tdg Ar, ov ro dnb tdg 0K itotl ro djcb tdg KF.o6te in evd^eLag i6tlv td F^ ®, M Ga^eta. d ds
FM iv td iitLq^aveLa i^tl roi) xcovov. dfjXov ovv, otL
xal tb S 0a{ieLov iv td iTtLcpaveCa i66eLtaL tov xo-
25 vov. vTtexeLto de ^rj el^ev. ovk aQa iotl 6a^etov
ovdev inl tdg rov o^vyovCov xcjvov to^idg, o ovk
i6tLv iv td inLtpavsLcc ror JtQoeLQri^evov kovov. oka
1. JB\ AB F; corr. B, Cr. 3, taff iLsitovog] Torellius;
Tiyg iisilovoq F, uulgo. 4. EZ] EF F; corr. Torellius. 6.
A:sr\ AIS! F. 8. JB] AB F; corr. B, Cr. 10. jSiA] ZA F.
13. vwo] vno xcLv B, ed. Basil., Torellius. 19. a^a] om. F;
corr. Torellius. 25. ijteyisiTo Torellius.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 323
habet AEX EZ : IJE X EP eandem rationem, quam
quadratum dimidiae diametri maioris ad A/J X JB[Eucl. V, 22]. est autem
AEXEZ: EnxEP== AAxAZiASx AO})
sed ut quadratum dimidiae diametri maioris ad
AAX ABy
ita est &K^ : AK X KB [Apollon. I, 21]. itaque erit
AAxAZ:SyixAO = ©X^ : AK X KB.
sed etiam
SAXAO: rA^ = AKxKB : Kr\^)
quare
AAXAZ: rA' = ©iC^ : Xr^ [Eucl. V, 22].
sed AAX AZ = AM^'^ linea enim AM in semicir-
culo circum AZ descripto perpendicularis est [tum u.
Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p. 181 nr. 16].
erit igitur
AM^ : Ar^= &K^: KF^ [hoc est AM:Ar=@K: KF].
itaque in eadem linea posita sunt puncta F, &, M.^)
sed linea FM in superficie coni est [Apollon. I, 1].
adparet ergo, etiam punctum ® in superficie coni esse.
supposuimus autem, non esse. itaque nullum punctum
est in sectione coni acutianguli, quod in superficie
1) Nam cum IIE^^EJA, erit (p. 321 not. 2)
AE: En= AA:A:E:,et cum AO^EP, erit etiam (ibid.) EZ : EP= AZ: AO. tummultiplicando inuenitur proportio, quam quaerimus.
2) Nam FA: !S!A = TK: AK (Zeitschr. f. Math., hist. Abth.XXIV p. 178 nr. 4) et rA:AO=rK:KB. itaque multipli-
c^,ndo FA^ : ;s:Ax AO = FK^ : AKx KB\ tum JraUal (Eucl.
V, 16).
3) Nam FyliVf triangulum est, in quo transuersalis est K@,ut ex proportione illa AM:Ar=&K: FK sequitur (cfr. not. 2).
21*
324 IIEPI KS^NOEIAE.QN KAI L<^AIPOEIAESiN.
ovv a xov oi^vyGivCov xcovov ro^cc iv ra iTtLtpuveCa
icrlv rov avrov k(ovov.
n-
'O^vycovCov xcovov roiiag dod^sCoag xal yQa^^ag iirj
5 ogd^ag dvs0raKov(Sag dno roi' xavrQOV rag rov o^v-
ycDvCov Kcovov ro^dg iv i7tL7Cad(p^ o ifSriv OQd-bv dv-
s6raxbg dLcc rdg erigag dLa^irQOv norl ro iTtCTtedov,
iv (p iorLV d rov o^vyovCov xcovov ro|u^a, dvvarov
ierL xcovov evQstv xoQV(pdv e%ovra rb TtsQag rdg dv-
10 s6raK0V(5ag svd^sCag, ov iv ra iTtLcpavsCcc i66sCraL d do-
- ^SL6a rov o^vycovCov xoovov ro^d.
s6rco St} dLa^srQog ^isv rdg rov o^vycovCov xcovov
ro^dg d BA^ xivrQov ds ro z/, xal d z/F ditb roi)
xivrQOv dvs6raxov6a, cog siQT^raL. d ds roi) o^vycovCov
15 xcovov ro^d vosC6^co TtSQL dLa^srQOV rdv AB iv iitL-
7tsd(p oQd'^ Ttorl ro iTtCitsdov, iv (p ivrL at AB, Fz/.
dsL dri xoovov svqslv xoQvcpdv s%ovra rb F 6a^SL0v,
ov iv rd i7tL(pavsCcc i66eCraL d rov o^vyoovCov xcovov
rofia,
20 ov d)] ivrL L6aL at AF, FB, ijtsl d V^ ovx i6rLv
OQd^d Ttorl ro iitCTCsdov^ iv co i6rLV d rot» o^vycovCov
xoovov ro^d. s6rco ovv l'6a d ET rd FB' a ds Nsvd^sta i'6a s6rco rd rj^L6sCa rdg srsQag dLa^irQOv, a
i6rL 6v^vyr}g rd AB' xal dLa rov A dy^oo d ZH25 TtaQa rdv EB. ditb d\ rdg EB iTtCnsdov dvs6raxsrco
OQd^bv jcorl rb iitCTtsdov^ iv a ivrL at AF^ ^B, xal
iv ra iTtLTtida rovrc) ysyQacpd^co JtSQL dLa^srQOv rdv
3. -9'' Torellius. 7. itozC] rt supra scriptum manu 1 F.
8. d tov] avtov F; corr. ed. Basil. 9. EvaGtccnovaccs F. 12.
drj] Torellius; Ss F, uulgo. 24. ta] a F; corr. Torellius.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 325
coni, quem commemorauimus, non sit. ergo tota sectio
coni acutianguli in eiusdem coni superficie est.
VIII.
Data sectione coni acutianguli et linea a centro
sectionis coni acutianguli non perpendiculari erecta in
plano, quod per alteram diametrum erectum est ad
id planum perpendiculare, in quo est sectio coni acuti-
anguli, fieri potest, ut inueniatur conus uerticem ha-
bens terminum lineae erectae, in cuius superficie sit
sectio coni acutianguli data.
sit igitur B^ diametrus sectionis coni acutianguli,
centrum autem z/, et linea ^F sl centro erecta sit,
ita ut diximus. sectio autem coni acutianguli fingatur
circum diametrum AB descripta in plano, quod perpen-
diculare est ad planum, in quo sunt lineae AB, Fzl.
oportet igitur conum inueniri uerticem habentem punc-
tum Fy in cuius superficie sit sectio coni acutianguli data.
lineae igitur AFy FB aequales non sunt, quoniam
linea Fzl ad planum, in quo est sectio coni acutianguli,
perpendicularis non est.^) sit igitur EF= FB. et
linea N aequalis sit dimidiae alteri diametro, quae
cum diametro AB coniugata est. et per A ducatur ZHlineae EB parallela. ab EB autem planum erigatur
perpendiculare ad planum, in quo sunt lineae AFj FByet in hoc plano describatur^) circum diametrum EB^ si
1) Si JTz/ perpendicularis esset, ^ F et TB recti coni latera
essent.
2) Sequentia uerba subditiua esse {yivyiXo? t} iXXBLipLq\ u.
not. crit. ad p. 826 lin. 1) ostendi Zeitschr. f. Matb., bist. Abtb.XXV p. 43 sq.; Pbilologisk Samfunds Mindeskrift (Hauniae 1879)
326 nEPl KSiNOEIAE.QN KAI S^AIPOEIAEiiN.
10
15
EB^ Bi ftfv l6ov £0x1 xb xexQccycovov xo ajto xccg NXC3 7t£QiB%oiiivc) vjto xccv Zz/, ^H, xvxlog, ei 8e ^i]
i(5xiv l'6ov, o^v-
yovCov acovov
xo^cc xocavxa,
S6X£ xo XEXQCCyO-
vov xo ccTto xag
ixigag dia^ixQOv
Ttoxl xo ccTto xccg
EB xov avxov
£%£LV Xoyov , ov
£^£1 xo ccTtb xdg
N X£XQayG3V0v
Ttoxl xb VTtb xav
Zz/, z/if. xcljvog
de X^Xccg^d^G) xo-
Qvcpav '£%Giv xb T6a^£tov, ov iv xa
JP i7ticpav£Ccc i<36£C-
20 xai 6 xvKlog 7] a xov o^vycovCov xcavov xo^cc a 7t£Ql
did^£XQOv xccv EB' dvvaxov di i6xi xovxo^ ijt^l aitb
xov r iitl ^i^av xav EB d^d^^t^a OQd^d ivxi itoxl
xb ijtCTt^dov xb xaxd xdv EB. iv xavxa drj xa im-
(pav£Ca i6xl xal d xov b^fVyavCov xcovov xo^id d
25 7t£Q\ did^£XQOv xdv AB. £i ydQ ^i^ i6xiv, i66£Cxai
xi 6a^£tov ijtl xdg xov o^vycjvCov kcovov xo^dg, o
ovK i66£Cxai iv xa ijtiq^av^Ca xov xoivov. vo£C6d^o Xi
6a^£tov k£laiiii£vov xb 0, o ovk i6xiv iv xa imcpa-
v£Ca xov Kcovov, xal ditb xov ® xdd^^xog d%d-c3 d ®K1. EB] EB HVJtXos 7} sXXsLipig F, uulgo; ultima uerba de-
leui. 5. TOfia] TOfiay FBC*. 11. sxslv] exsl F; corr. Torellius.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 327
N^ = ZJ X ^Hy circulus^), sin minus, sectio coni
acutianguli eiusmodi, ut quadratum alterius diametri
ad EB^ eandem rationem habeat, quam
N^iZJxJH})et sumatur conus uerticem habens punctum F, in cuius
superficie sit circulus uel sectio coni acutianguli cir-
cum diametrum EB descripta. hoc autem fieri potest,
cum [linea]^) a puncto F ad mediam lineam EBducta perpendicularis sit ad planum in EB linea po-
situm.*) in hac igitur superficie erit sectio coni acuti-
anguli circum diametrum AB descripta. nam si non
est, erit punctum aliquod in sectione coni acutianguli,
quod in coni superficie non sit. fingatur punctum
aliquod ® sumptum^ quod in superficie coni non sit;
et a puncto ducatur &K ad AB perpendicularis.
p. 3. Nizzius minus bene pro iXXeiipiq restitui uoluit 6h,vyai-
VLOV yiCOVOV TOflCC.
1) Tum orietur conus, cuius basis est circulus ille, uertexautem r, in cuius superficie erit ellipsis data.
2) H. e. ellipsis similis ellipsi circum ZHdiametrum descrip-
tae, in qua linea N perpendicularis est in puncto z/. sit enimhuius ellipsis diametrus altera d, prioris autem d^. erit igitur
^d^:i^ZH^ = N^:ZJxJH (Apoll. I, 21) = d,^ : EB\diametri igitur proportionales sunt; tum u. p. 317 not. 1.
3) In Graecis uocabulum svd^sta omissum est, quod sae-
pissime fit; u. index s. u. svd-SLcc.
4) Nam planum per EB positum perpendiculare est adplanum per AF, FB positum, et £B eorum sectio communis;tum u. Eucl. XI def. 4 (perpendicularis autem ab F ad EBducta hanc in duas partes aequales secabit, quia rE = rB)\itaque uti possumus prop. 7.
15. v.avoq ds] scripsi; 8s om. F, uulgo. '20. xo^a cc] scripsi;
a om. F, uulgo. 23. zctvzri F; corr. Torellius. 24. zo^oc.
a] a addidi; om. F, uulgo. 25. saasixaL xl] sggslxl F; corr.
B. 27. sGGSLzai] soxaL per comp. F, uulgo.
328 nEPI KiiNOEIAESiN KAI S^AIPOEIAEiiN.
inl zccv AB' a da FK iTtt^svx^staa ixfiepXrie^c) xal
6v^m7ititG) ta EB xata ro vl. dia ds tov A ax^G)
Ttg iv t(p oQd^a iTCLTtidc) tc5 xata tav EB not oQ^ag
ta EB a AM. to 6s M vosCo^^o ^stioQOv iv tcc
5 inLfpavsLa tov k(6vov. ax^G) ds xal ^lcc tov A naQa
tav AB a TIP. s0tLV drj^ (og lisv ro anb tag N ts-
tQayavov TCotl to vno tav Z^, jdH^ ovTog ro ano
raj AM notl t6 vno tav EA^ AB^ (og ds to vno
Tttz/ Zz/, ^H notl t6 vnb tav AA^ ^B^ ovTcog to
10 vnb EA^ AB notX tb vnb tav HA, AP. i^GSLtat
ovv^ G)g tb anb tag N tstQccycovov notl t6 vnb A^^AB nsQLSxb^svov, ovtcog tb dnb tag AM tstQccycavov
notl t6 vnb tdv UA^ AP. sxsl 6i, (og tb dnb tdg
N tstQaycDvov notl tb vnb tdv A/i^ ^B, ovtog t6
15 dnb tdg ®K tstQayovov notl tb vnb tdv AK, KByinsl iv td avtd o^vyovLOV xoovov to^d xaxtitOL ivtl
dyiiivaL inl dLa^stQOv tdv AB. tbv. avtbv ccQa sxsc
koyov tb dnb tdg AM tstQayovov notl tb vnb tdv
HA, AP, ov tb dnb tdg @K notl tb vnb tdv AK,20 KB. sxGL Ss xal tb vnb tdv HA, AP notl tb dnb
tdg FA tstQayovov tbv avtbv Xoyov, ov tb vnb tdv
AKy KB notl tb dnb tdg KF. tbv avtbv ovv Ao-
yov sxsL tb dnb tdg AM tstQayovov notl tb dnb
tdg AF tstQayovov, ov tb dnb tdg ®K notl tb dnb
25 tdg KF. o6ts in' sv^slag ivtl td Fy 0, M ea^sta,
d ds FM iv td inLfpavsta tov x(ovov. drjXov ovvy
otL xal t6 ® 6a^SL0v iv td inLcpavsCcc i<Stl tov xcovov,
vnixsLto 6s ^r} sl^sv. cpavsQbv ovv iotLV, o s6sl dsC^aL.
2. t6 A] To J ¥] corr. B* 3. to5 •natd] scripsi; xaraF, uulgo. 4. tSc] (prius) raff F, corr. Torellius. 15. tav'^
tmv per comp. F; corr. Torellius. 21. t6 vno Tav AK] not
a F; corr. ed. Basil., Cr. 22. ovv] supra scriptum manu 1 F.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 329
et liiiea FK ducta producatur et lineae EB in puncto
A incidat. et per A ducatur linea ^M ad lineam
EB perpendicularis in plano perpendiculari in linea
EB posito. M autem punctum fingatur sublime in
superficie coni. ducatur autem etiam per A punctum
linea 11P lineae AB parallela. erit igitur
N^iZJx JH == AM'^ : EA X AB%et praeterea erit
ZJX^H.AJX^B = EAXAB .HAxAP^)erit igitur
N^ : AJxAB = AM^ iHAxAP [Eucl. V, 22].
est autem N^:AJxJB = ®K^ : AK X KB, quo-
niam in eadem sectione coni acutianguli perpendi-
culares ductae sunt ad diametrum AB [Apollon. I, 21].
ergo AM^ : HA X AP= ®K^ lAKx KB. est autem
etiam HA X AP : FA^ = AKxKB : KT^ [cfr.
p. 323 not. 2]. erit igitur etiam
AM"" : FA^ = @iiC2 : KF'' [Eucl. V, 22]
[et AM : FA = &K : KF]. itaque in eadem linea recta
sunt puncta T, 0, M [p. 323 not. 3]. linea uero FMin superficie coni est [Apollon. I, 1]. adparet igitur,
etiam punctum ® in superficie coni esse. supposuimus
autem, non esse. adparet igitur id, quod demonstran-
dum erat.
1) NamAM^:EAxAB = d\ : EB* (Apollon. I, 21) = N^:ZJxJH(u. p. 327 not. 2).
2) Nam cum ZA/Jr^ETLA, erit ZJ:A^==EA:UA, et
cum JHBf^ABP, erit etiam JH:JB = AB:AP (Eucl. VI, 4).
multiplicando igitur sequitur, quod quaeritur.
330 nEPI K^NOEIAE.<iN KAI S^AIPOEIAESiN.
^\
O^vycJVLOV xcjvov to^tt^ do^Si6ccg xal yQa^^ag ccjio
rov KBvxQov ras rov o^vyavCov xc^vov ro^ag ^tj OQd^ag
ccv£6raxov6ag iv eTCLTCsdc), o ionv ccTto rag irigag Sia-
6 liirQOv oQd-ov dv£6rax6g jcorl ro ijCLTt^dov, iv a i^tcv
a rot) o^vycovLOV xojvov ro^a^ dvvarov ivri xvXivdQOv
£VQ£tv rbv a^ova i^ovra iic ^vd^^Cag ra dv£0raKOv6cc
yQa^^a, ov iv ra i7CL(pav£Ca i66£CraL d dod^£t6a rov
o^vycovCov xcovov ro^d.
10 f(?ra> rdg dod^^Cdag rov o^vycjvCov xcovov ro^dg d
iriQa dLa^srQog d BA^ xivrQov d£ ro ^, d d£ FzJ
yQa^fid £(5ro dv£6raxov6a djco rov xivrQOv, cog £lq7]'
raL. d d£ rov o^vyovCov xcovov ro^d vo^Cox^o 7C£qI
dcd^^rQOv rdv AB iv ijCLTCidc) oQd^a TCorl ro iTcCic^dov
15 ro, iv 09 ivrc aC AB^ F/l. d£t dr xvXlvSqov £VQ£tv
rbv d^ova £%ovra iic ^vd^^Cag ra .Tz/, ov iv ra ijCL-
(pav£Ccf i60£CraL d dod^^tca rov o^vycjvCov xcovov ro^d.
djcb drj r(^v A^ B 6a^£Ccov dx^cov iCaQa rdv Pz/
at AZ, BH. d drj iriQa SLa^^tQog rdg rov o^vyco-
^O vCov xojvov ro^dg TJroL L6a ivrl ra dLa6rriiiarL rdv
ATL., BH 7] ^£C^cov 7] iXd66cov. £6rco drj jCQor^Qov
l'6a ra ZH, d d£ ZH £6tcj TCor oQ^^dg ra FJ. dicb
df rdg ZH dv£6raxitG) ijcCjc^dov OQd^bv icotl tdv Fz/,
1. t Torellius. 3. raq\ r cum comp. aq addita insuper
littera a F. fi?i o^j-O-ag] om. F, uulgo; corr. Torellius; omitti
neq.uit propter lin. 12: (05 stQritca. 10. a srsQa] scripsi;
srsQa F, uulgo. 18. dx^cov] scripsi; ax^oa F, uulgo. 20.
rav] rcav F; corr. Torellius.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 331
IX.
Data sectione coni acutianguli et linea a centro
sectionis coni acutianguli erecta non perpendiculari in
plano, quod ab altera diametro erectum est perpen-
diculare ad planum, in quo est sectio coni acutianguli,
fieri potest, ut cylindrus inueniatur, axem habens in
producta linea erecta, cuius in superficie sit sectio
coni acutianguli data.
sit altera diametrus datae sectionis coni acutianguli
BAj centrum autem z/, linea autem JTz/ a centro erecta
sit, ita ut diximus. et sectio coni acutianguli fingatur
circum diametrum AB descripta in plano, ad id planum
perpendiculari, in quo sunt lineae AB, F^. oportet igi-
tur inueniri cylindrum axem habentem in producta linea
Fz/, in cuius superficie sit data sectio coni acutianguli.
itaque a punctis A, B ducantur lineae AZ, BHlineae F^ parallelae. altera igitur diametrus sectionis
coni acutianguli aut aequalis est distantiae linearum
AZj BH aut maior aut minor. prius igitur aequalis
sit lineae ZH,Qi ZH perpendicularis sit ad lineam Fz/.
et a linea ZH erigatur planum ad lineam Fz/ perpen-
332 nEPI KSiNOEIAE^N KAI S^AIPOEIAESiN.
xal iv ra i7tL7tdd(p tovtg) xvKXog sCtco tisqI didnetQOu i
tccv ZH, xal djco tov kvkXov tovtov xvkcvdQog iotcj
a^ova S1C0V tav Fjd, iv drj ta iTtLtpavsCci roi) kvXlv-
Sqov tovtov ictlv d Toi; 6i,vycovLOv xcovov to^d. sl i
5 yccQ ^17] ictLV, i66SLtaL tl ea^stov inl tdg tov o^vycj-j
VLOv Kcovov toiidg, o ovx ictLV iv td iTticpavsCcc rov
KvXCvdQov. vosCad^G) drj tL ea^stov XsXa^^svov inl
tdg roi) o^vycovCov xojvov to^dg ro 0, o ovx iotLv
iv ta iTCLCpavsCcc rov xvXCvdQov., xal aTtb roi} & d @K10 xdd-stog dxd^G) iitl tdv AB, icosCtaL drj avtd oQd^d
Ttotl tb inCnsdov^ iv cp ivtL aC AB^ FA. ditb ds rov
K d%%^Gi TtaQd tdv FA d KA, xal aTto roi; A dvs6ta-
xstG) d AM not oQd^dg td ZH iv ta xvxkcp ta TtsQl
tdv ZH. ro ds M vosCod^o ^stscjQov iv td TtsQL-
15 cpsQsCcc tov rj^LXvxXCov rov nsQL dLd^stQOv tdv ZH.tov ai;r6i/ 8r] s%sl loyov ro tstQayGivov ro dno tdg
@K xad^itov Ttotl to vjto tdv AK, KB TtsQLSxo^svov,
xal tb aTtb ZT Ttotl tb vnb tdv AA^ AB itsQLSib-
" ^svov, iTtsl l'0a i6tLV d ZH td stsQa dLay^stQcp. s%si,
20 ds xal ro vnb tdv ZA., AH TtsQLSxo^svov Ttotl tb
VTtb AK, KB TtsQLSxo^svov^ ov tb ditb tdg ZT ts-
tQayGivov Ttotl tb djtb AA. l'6ov ovv ivtt tb vitb
tdv ZAj AH TtSQLSxo^svov rc5 dnb tdg ®K tstQa-
ycDVcp. sCtLv ds l'6ov xal ta aTtb AM. L6aL aQa ivtl
25 aC ®Ky MA xad^stOL' naQaXkriloL ovv ivtL aC AK^M®' w0ts xal aC AT, M® 7CaQalXi]XoL i66ovvtaL.
xal iv td ijtLcpavsCcx aQa i6tl tov xvXCv^qov d ®M,
10. 8ri] scripsi; Sb F, uulgo. 13. ra] rag F; corr. B.
17. xDiv'] rcov per comp. F; corr. Torellius. 18. AJ, J B]
scripsi; AJB ¥, uulgo. 21. ov] Xoyov, ov ed. Basil., Torel-
lius; „eam, quam" Cr. 22. AJ] AJ Tijg sXXsiipscos ¥, uulgo
{rocg Torellius); corr. Nizze; cfr. p. 325 not. 2. 23. xav] rag
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 333
diculare, et in hoc plano circulus sit circum diametrum
ZH descriptus, et in hoc circulo cylindrus construatur
axem habens J^z/. in huius igitur cylindri superficie
est sectio coni acutianguli [data]. nam si non est,
erit punctum aliquod in sectione coni acutianguli, quod
in superficie cylindri non sit. fingatur igitur punctum
aliquod ® sumptum in sectione coni acutianguli, quod
non sit in superficie cylindri, et a puncto ® ducatur
©iC ad lineam AB perpendicularis. haec igitur perpen-
dicularis erit ad planum, in quo sunt lineae AB^ i^z/
[Eucl. XI def. 4]. et a jK" puncto ducatur KA lineae
r^ parallela, et in puncto A erigatur AM Sid lineam
ZH perpendicularis in circulo circum ZH descripto.
M autem punctum fingatur sublime in ambitu semi-
circuli circum diametrum ZH descripti. itaque erit
@K' : AK XKB = ZT- : AA X AB, quoniam ZHaequalis est alteri diametro.^) sed etiam est
ZA X AH :AKxKB = Zr-. AA\^)quare ZA X AH= ®K^'^^) sed etiam
ZAxAH= AM^^)quare lineae perpendiculares ©iC, MA aequales sunt.
itaque AK j: M® [Eucl. I, 33]. quare etiam AT:^ M@[Eucl. XI, 9]. itaque ®M in superficie cylindri est,
1) Itaque ZF dimidiae alteri diametro ellipsis aequalis est;
et AJ = JB; tum u. Apollon. I, 21.
2) Nam ZA:AK=Zr:AJ, quia z/F+^Z, et
AH:KB = rA:JK (quia AK^JF) =Zr:AJ(quia AK^JF); u. Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p. 178m-. 2.
3) Quia AJ = JB, et igitur AJxJ:b = AJ^.4) U. Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p. 181 nr. 16.
per comp. F; corr. Torellius. za] xo F. ,26. eggovvxuC\savti F; corr. Torellius; fort. ivti.
334 nEPI KSiNOEIAESlN KAI S^AIPOEIAESiN.
insl djco rov M iv xa iTtKpaveia iovtog axtai naQCc
TOf a^ova. drjXov ovv^ ott xal ro @ iv ta innpaveCa
i6tlv avtov. vTtixsLto 66 ^ri el^sv. (pavsQov ovv
iotLv, o sdsi dsi^at.
5 dijXov 6i]y otL xal 6 xvXtvdQog 6 TtsQLlaii^dvov
o^^^g i06SLtaLy s'C xa 71 d stsQa dLa^stQog l6a tc5
dLa6tri^atL tdv dito tmv nsQdtcov tdg stsQag dLa-
liStQov dyiisvav JtaQa tdv dvs6taxov6av sv^siav.
s6t(o itdkLv d stsQa dLa^stQog ^sC^cov tdg ZHj
10 xal L6a s6tc3 d IIZ ta stSQa dLa^stQC). dito ds tdg
UZ iitCTtsdov dvs6taxsto 6q%ov notl t6 STtCitsdov to,
iv (0 ivtL ai JlB. F/J. xal iv tco iTtLJtsdca tovto
xvxXog s6tG) TtsQL did^stQov tdv nZ^ d%6 ds tov
xvxXov tovrov xvXLvdQog s6tG) d^ova syov tdv ziP,
15 iv drj ta ijtLq^avsCa Toi) xvXCvdQOv tovtov dLa tov
avtov dsLxd^rj^staL iov6a d tov 6^vycovCov xovov to^d,
aAA' s6tc3 iXd66cov d stSQa dLdpstQog tdg ZH,0} 8ri nsttfiv dvvdtaL d ZT tdg r\\i,L6sCag tdg stSQag
dLa^stQov s6tco to dito tdg F^ tstQaycovov. xal dito
20 Tot5 S dvs6taxstco yQa^^d L6a td rjiiL6sCa tdg stSQag
5. dijXovl 8riX F. nsQiXapb^dvmv] scripsi; 7tSQtXcc(i§uv(ov
xav sXXsiipiv F, uulgo; nsQiX. rdv tov o^vy^ovCov yimvov tofidv
Nizze; u. p. 325 not. 2. 6. ^ a] scripsi; rj F, uulgo. 7.
zav] scripsi; xccv F, uulgo. 9. t' F; corr. ed. Basil., Cr.
;
cfr. Quaest. Arcli. p. 123—24. cc] addidi; om. F, uulgo. 12.
ai AB^ rj] d BFJ F; corr. Torellius. in figura litteras par-
tim permutauit, partim om. F. 16. ov6a F, uulgo. 17. lk
F; corr. ed. Basil., Cr. 18. iiSL^cav F; corr. Torellius.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 335
quoniam a puncto M, quod in superficie est, axi par-
allela ducta est. adparet igitur, etiam punctum ®in superficie eius esse. supposuimus autem, non esse.
constat igitur id, quod demonstrandum erat.
lam hoc quoque adparet, cylindrum comprehenden-
tem [ellipsim] rectum esse, si altera diametrus [ellipsis]
aequalis sit distantiae linearum a terminis alterius
diametri lineae erectae parallelarum ductarum.^)
rursus altera diametrus maior sit linea Z if, et
nz aequalis sit alteri diametro. et ab 7IZ planum
erigatur ad id planum perpendiculare, in quo sunt
lineae AB, ^-^? ^t in hoc plano sit circulus circum
diametrum UZ descriptus, et in hoc circulo cylindrus
construatur axem habens ^P. in huius igitur cylindri
superficie eodem modo demonstrabitur esse sectio coni
acutianguli.^)
sed minor sit altera diametrus linea ZH. spatium
igitur, quo maius est quadratum lineae ZT quadrato
dimidiae alterius diametri, sit TS^. et ab S puncto
erigatur linea ^N dimidiae alteri diametro aequalis
1) Nam iAZH et ZHB recti snnt.
2) Et utriusque cylindri superficies eadem est.
336 nEPI KSiNOETAEiiN KAI S^AIPOElAEiiN.]
I
dtaiisrgov oQd-cc Ttorl ro enCTCBdov^ iv a ivri at AB,j
jTz/, a ^N^ xb $e N voh^^co ^erecaQOv. a ovv FN\
l'6a ivrl ra FZ. iv drj ra ijtLTtedc), iv co ivri at i
ZH, FN^ KvxXog yeyQacpd^co TteQt did^erQOv rav ZH' ,
5 7]^eL 6e ovrog dia 701; N" xal ccTto roi5 xvxkov xv- \
XivdQog e6ro a^ova excov rav F^. iv drj ra iTticpaveicc 1
rov xvXCv6qov rovrov ierlv a rov o^vycovCov xcovov
ro^d. el yccQ ^rj i^nv, i66eCrai n 6a^stov iit avrd^^
ovx i6riv iv ra ijticpaveCa rov xvICvSqov. XsXdcpd^co
10 di] n 6a^etov ijt avrdg rb @, xal d &K xdd^erog|
dxd^co iitl rdv AB^ xal ditb rov K itaQa rdv T/1 e6rco '
d KA, xal aTtb rov A d^^co Ttor^ OQd^dg ra ZH iv rco
Ti^ixvxlCcp ra TteQi did^erQOv rdv ZH d AM. voeC6d^co
de rb M inl rdg jteQicpeQeCag rdg roi; rjiiixvxXCov rov jteQl
15 rdv ZH, xal ditb rov M xdd^erog dixtto inl rdv KAix^Xrjxtet^av d MO. i66eCrai d\ avrd oQd-d Ttorl ro
3. ivrl ra] svrcc F; corr. B. 4. toiv] xa F; corr. Torel-
lius. 5. v.vXiv8Qoq] xov v.vXlv8^ov F; corr, B*, Cr. 6. rav]
scripsi; tcov per comp. FAD; xov BC, ed. Basil. , Torellius.
figuram minus bene delineauit F. 12. tu] xccg F; corr. To-rellius. 13. rccv ZH] tav ZMH F; corr.' B, Cr. 14. nsgi-
(fSQSiag tag] addidi; om. F, uulgo; „in arcu semicirculi" Cr.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 337
et perpendicularis ad planum, in quo sunt lineae AB,
Fz/, et N punctum fingatur sublime. itaque erit
jriV=rZ.^) in eo igitur plano, in quo sunt lineae
J XZH, FN, circulus describatur circum diametrum ZH,
is igitur per N ueniet [quia ZF = FN = FH]; et
in hoc circulo construatur cylindrus axem habens F^.in huius igitur cylindri superficie est sectio coni acuti-
anguli. nam si non est, erit in ea punctum aliquod,
quod in superficie cylindri non sit. sumatur igitur
aliquod punctum [eius modi] in ea, 0, et linea @Kducatur perpendicularis ad lineam A B, et ab K ducatur
KA lineae F^ parallela, et ab A ducatur AM Sid
lineam ZH perpendicularis in semicirculo circum dia-
metrum ZH, M autem fingatur in ambitu semicirculi
circum ZH descripti positum; et ab M ad productam
lineam KA perpendicularis ducatur .MO. ea igitur
1) Nam FN^^riEi^-i-NS'' (Eucl. I, 47), et ex hypothesiest rz"^ = rS'^ -\- NS^, quia N^ dimidiae diametro aequa-lis est.
Archimedes, ed, Heiberg. I. 22
338 HEPI KiiNOEIAESiN KAI S^AIPOEIAEiiN.
inCnedov^ iv ca ivtt ui AB^ r^, ijcsl tiot o^d^ccg ivti
a KA ta ZH. €6tiv drj^ cog fisv t6 cctco tag MOTtotl t6 ccTto tag MA, ovtcog to dno tccg SN notl to
ano tag NF, (og ds to ano tag MA notl to vtco
5 Ttti/ AK^ KB, ovtcjg to dno FN Ttotl to dno tdg
A/4^ insl t6 ^£v djco tdg MA l'6ov i6tl ta vtco tdv
AZj AH 7C£Qis%o^ivci ^ t6 de dno tdg FN t<p dno
tdg rZ. e6tiv aQa, d)g to dnb tdg MO tatQdycovov
TCOtl t6 vtco tdv AK^ KB, ovtcog to djco tdg SN10 Tcotl t6 djco tdg A ^. evti ds xal t6 dno tdg K® tetgd-
ycavov notl t6 vtco tdv AK, KB, cog tb dnb tdg SNnoti tb dnb tdg AA^ ijcsl i6a i6tiv d SN td rj^i^ia
tdg itSQag dia^itQOv. drjXov ovv^ oti l'6ai ivtl aC
MO, ®K xad^itoi, S6t£ naQaXXrikoi at KO, @M.15 insi ds d M® TCaQa tbv d^ovd ivti tov xvXivdQOv,
xal tb M 6a^£i0v iv ta i%icpav£ia avtov, dvayxatov,
xal tdv M® iv td imcpav^ia £i^£v TOt> xvXivdQov,
cpavsQbv ovv y oti xal tb @ iv td imcpavsicc ivtl
avtov. ovx riv ds. drjXov ovv^ oti avayxatov i6ti
20 tdv Toi5 o^vycoviov xoovov to^idv iv td imcpavsia sl^sv
tov xvXivdQOv.
1. ttot'] noTL F. 7. to] tg) F; corr. Torellius. 9. t6
vwd] vno F; corr. Torellius. 13. tW] ica F; corr. Torel-
lius. 14. nciQaXXriXoi] scripsi; igul F, uulgo. KO^ K&F; corr. Torellius. 15. fVTt] sv Trj F; corr. B.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 339
perpendicularis erit ad planum, in quo sunt AB, Fz/,
quia KA JL ZH^) erit igitur
MO^ : MA^ = SN^ : NF^, ^)
et MA^ : AKxKB = FN^ : A^^, quoniam
MA'' = AZxAH et TiV^ = rz\^)
erit igitur [Eucl. V, 22]
MO^ : AKxKB = SiV^ : A^^;
est autem etiam K®^ : AK X KB = S N^ : Azi\quoniam SN aequalis est dimidiae alteri diametro
[Apollon. I, 21]. itaque adparet esse MO = &K;quare etiam KO ^ ®M [Eucl. I, 33].*) quoniam autem
linea M& axi cylindri parallela est^), et punctum Min superficie eius positum^ necesse est, etiam lineam
M& in superficie cylindri esse. adparet igitur, etiam
punctum @ in superficie eius esse. sed [ex hypothesi]
non erat. adparet igitur necesse esse, sectionem coni
acutianguli in superficie cylindri esse.
1) Quia KA + TJ et FJ JLZH. quoniam igitur KA±.ZHet AMJ_ZH, erit ZHA.&MOK (Eucl. XI, 4); itaque
ABHZ±.@MOK (Eucl. XI, 18);
iam quomam MOJ.KA, erit (Eucl. XI def. 4) MO _L ABHZ.2) Nam ISIN ^ MO (Bucl. XI, 6) et NF ^ MA; itaque
LN= M (EucLXI, 10) et /. ^= O == 90"^. itaque Nr^r^MA O,et erit (Eucl. VI, 4) MO:MA = SN:Nr.
3) Nam AZx AH : AKx KB = TZ^ : Ad^ (p. 333 not. 2)et MA^ = AZxAH (Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p.181 nr. 16) et riV=rZ (p. 337 not. 1).
4) Nam MO ^ @K, quia utraque ad ABHZ perpendicu-laris est (tum u. Eucl. XI, 6); nam de MO u. not. 1; de @Ksequitur inde, quod ellipsis ad ABHZ perpendicularis est et
&KJ_AB (Eucl. XI def. 4). lin. 14 pro iWt requiritur, quodrestitui, nuQaXXr^XoL; cfr. p. 332, 25. permutata sunt com-pendia horum uerborum.
5) Nam KO^^jr-, tum u. Eucl. XI, 9.
22*
340 nEPI K^NOEIAESJN KAI S<^AIPOEIAESJN.
OtL ^ev Ttccg Kcovog Ttotl xcdvov tbv 6vyxeL^EVov
£X£L Xoyov £x t£ tov t(ov ^aGCoav Xoyov xal ix tov
t^V V^ioV^ CCTtodELXVVtCCL VTCO t(DV TtQOtEQOV. CC CCVtK
5 df a7to5£L^Lg ivtt xaL, dLOtL Ttav aTtot^a^a xgjvov Ttotl
ccTtot^a^a xcovov tov 0vyK£L^£vov Xoyov £X£L £X t£
rov tcov ^a^LCJV Xoyov xal ix tov tcov vipiov.
xal otL Ttdg to^og xvXCvdQov tQLTtlaoCov i6tl tov
ccTtotyid^atog tov xcovov tov ^ccClv E^ovtog tav avtccv
10 rw ro/iACi) xal vipog l(?ov, a avtcc aTtodEL^Lg, ccitEQ xal
otL xvXLvdgog tQLjtlccOLog i0tL tov xcivov rou ^ocOlv
E^ovtog tccv avtccv tcj xvlCvdQG) xal vipog i'6ov.
ta .
El xa ro OQ^oyiaviov xc3V0£Ld£g iitLitidfp t^ad^fj
15 Slcc tov a^ovog 7] itaQcc tbv a^ova, a rofta i06£CtaL
OQd^oycJvCov ;ca9V0U to^cc a avta ta 7t£QLXa^^avov6a
tb 6%Yi^a. dLcc^£tQog df avtdg i06£CtaL a xotva to^d
tcov ijtLTtidov tov ti^vovtog tb (?%^fta xal roi) dta
rou a^ovog d^^ivtog oqO^ov jtotl ro iTtCit^dov ro ti^vov.
20 £L di xa t^ccd^fj t(p iTtiTtidcp oq^'^ itotl tbv d^ova,
d to^d xvxXog i06£CtaL tb vivtQOv e^cov ijtl tov
d^ovog.
£L xa tb dii^kvycovLOv xcovo£Ld£g ijtLJtidip r^iiaO" rj
dLa roi) d^ovog r/ TtaQa tbv d^ova i] dLa tdg xoQvcpdg
25 rot» xcovov tov 7t£QLi%ovtog tb xcovo£Ldig, d to^d i66£C'
1. i^' F; la Torollius. 3. xov] (alt.) tcov per comp. F;corr. BD. 5. diozi] ort Nizze. 13. ly F; t^' Torellius.
15. a^covog F. TtaQa] per comp. F, 16. xojvou] xcovost^fog F;
corr. Torellius. or] addidi; om. F, uulgo. 20. riirid-r} F;
corr. Torellius. 24. rj dicx] r/ om. F; corr. Torellius.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 341
X.
Quemuis conum ad [alium] conum rationem ex
ratione basium et ratione altitudinum compositam habere,
a prioribus demonstratum est.^) eodem autem modo
demonstratur, etiam quoduis segmentum coni ad [aliud]
segmentum coni rationem ex ratione basium et ratione
altitudinum compositam habere.
et quoduis frustum cylindri triplo maius esse
segmento coni basim habenti eandem, quam frustum,
et altitudinem aequalem, eodem modo demonstrabitur,
quo demonstratur, cylindrum triplo maiorem esse cono
basim eandem habenti, quam cylindrus, et altitudinem
aequalem. ^)
XI.
a) Si conoides rectangulum plano secatur per axem
posito uel axi parallelo, sectio erit sectio coni rectan-
guli eadem, quae figuram comprehendit; diametrus
autem eius sectio communis erit plani figuram se-
cantis et plani per axem ducti ad planum secans per-
pendicularis.
sin plano ad axem perpendiculari secatur, sectio
erit circulus centrum in axe positum habens.
b) Si conoides obtusiangulum secatur plano uel per
axem posito uel axi parallelo uel per uerticem coni
conoides comprehendentis posito, sectio erit coni obtu-
1) Sequitur ex Eucl. XII, 11 et 14 coniunctis; cfr. de spb.et cyl. I lemm. 1 p. 80.
2) Hoc demonstrauerat Eudoxus; u. de sph. et cyl. I p. 4;cfr. Eucl. XII, 10.
342 nEPI KSiNOEIAE^N KAI 2:*AIPOEIAE5JN.
rac cc^^XvycovLOv xcovov rofia, sl ^ev xa dicc rov a^oro^,
a avra ra TCSQiXa^pavovCa ro Oj^^rj^a, el de xa Ttaga
roi' a^ova, o^oia avra^ el de xa dicc rag TcoQvcpag rou
Kcjvov rov 7teQie%ovrog ro xcovoeideg, ovx o^oia. did-
5 [lerQog de rag ro^dg e06eirai a xoiva ro^a rc5v eiti-
TtedcDV rotJ re^ivovrog rb ^xrj^a xal rov dx^evrog did
roi; d^ovog oQd-ov Ttorl ro rg^i/oi' eTtiTtedov,
et xa r^ad^rj OQd^cj ra e7tL7tid(p Jtorl rov d^ova,
d ro^d y.vnXog eOCeCrai ro TcevrQOv eiav enl rov
10 d^ovog.
Si xa rcjv 6q)aiQoeidec3v <5%YiadrGiv OTtoreQOvovv
eTtiJtedc) r^ad^rj did rov d^ovog ij Ttagd rov d^ova, d
roiid e06eirai o^vyaviov xcovov rofia, ei ^ev xa did
rov d^ovog, avrd d 7teQiXa^^dvov(ja ro c%Yi^a, et de
15 xa 7taQd roi' d^ova, o^Oia avta. didfierQog de rdg
ro^dg e^OeCrai d noivd ro^d rcjv eTti^tedcov rov re^-
vovrog ro ^x^^oc nal rov d%^evr6g did rov d^ovog
OQd^ov Ttorl ro re^ivov eTtC^tedov.
el de xa r^ad^fj rc5 e7ti7tedc) OQd^a 7tor\ rov a|o-
20 va, d ro^d xvxXog e66eCrai rb xevtQOv e^cjv enl rov
d^ovog.
et xa rcov eiQrj^evcov ij%ri^drG)v oTtoiOvovv eTti-
Tteda r^ad^f] did rov d^ovog, at d^tb rcov 6a^sCcov
rcov ev ra eTticpaveCa rov (5%ri^arog ^rj e7ti rdg ro^dg
25 eovrcov xaxteroi dyo^evai e7tl ro re^vov eitC^tedov evrog
7te6ovvtai rdg rov ^^ri^atog ro^dg.
rot'rci3t' de 7tdvrc3v cpaveQaC evn at a7todei^Ceg.
1. Ku] addidi; om. F, uulgo. 2. d] addidi; om. F, uulgo.
7tDCQ(xXocfi§DCvovGu {TtuQK pei comp.) F; corr. Torellius. xof]
scripsi; v.cci F, uulgo. 3. xa] scripsi; kcci F, uulgo. 4. xo-
vosidsg F. 8. r(ir}d-ri F; corr. Torellius. 12. snBnsSco F.
riiri^ri F; corr. Torellius. 13. v.ot] scripsi; xat F, uulgo. 15.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 343
sianguli sectio, si per axem, eadem, quae figuram
comprehendit, sin axi parallelo, ei similis , sin autem
per uerticem coni conoides comprehendentis, non similis.
diametrus autem sectionis erit communis sectio plani
figiiram secantis et plani per axem ducti ad plauum
secans perpendicularis.
si plano ad axem perpendiculari secatur, sectio
erit circulus centrum in axe positum habens.
c) Si utralibet figurarum sphaeroideon plano secatur
per axem posito uel axi parallelo, sectio erit coni
acutianguli sectio, si per axem, ipsa sectio figuram
comprehendens, si plano axi parallelo, ei similis. dia-
metrus autem sectionis erit sectio communis plani
figuram secantis et plani per axem ducti ad planum
secans perpendicularis.
sin plano ad axem perpendiculari secatur, sectio
circulus erit centrum in axe positum habens.
d) Si quaelibet figurarum, quas commemorauimus,
plano per axem posito secatur, lineae a punctis in
superficie figurae positis, sed quae in sectione non
sint, ad planum secans perpendiculares ductae intra
sectionem figurae cadent.
harum autem omnium rerum demonstrationes mani-
festae sunt.^)
1) Nonnullas harum propositionum demonstrauerunt Com-mandinus annotat. fol. 37, Riualtus p. 271, Torellius p. 314 sq.,
Nizzius p. 168 sq.
xa] scripsi; xat F, uulgo. 16. rofiu] om. F; corr. Torellius.
19. na] scripsi; xai F, uulgo. r(ir]d'rj F; corr. Torellius. 23.
tfirid^r} F; corr. Torellius. 25. Bcovrcov F; corr. Torellius.
27. q)av£Q(XL] scripsi; q^ccvsQOv F, uulgo.
344 nEPI K^NOEIAEiiN KAI X*AIPOElAEJiN.
El' xa ro OQd^oyaviOv xcovoeLdsg iTttJtsdc} r^ad^rj
firiTS dia tov a^ovog ^t^ts TtaQo. tov a^ova ^rits jcot'
OQd^ag ta a|oi/t, a to^a i60eitai o^vyciviov xcirov
5 To/titt, Sid^etQog de avtag a ^ei^cav e06eitai a evotno-
Xafpd^et^a ev ta xovosidet tag yevo^evag to^iag tcov
eTCiTtedcjv tov te^vovtog to ^xij^cc xal tov dx^evtog
8id tov di,ovog oqQ^ov itotl to te^vov eTtiTtedov d 6s
iXdoccjv didfietQog l'6a i60eitai ta diaOtrniati tdv
10 dji^-ei^dv TtaQa tbv d%ova djto tav TteQdtcov tdg fieC-
^ovog dia^etQov.
tet^dGd^co yaQ to OQd^oycoviov xovoeideg emTtidcp^
cog elQfjtai. t^iad-ivtog de avtov ijtiTtidcj dXXcD did
Toi; d^ovog OQd^a TCotl tb tifivov iitijtedov e6tc!) tov
15 ^ev xcDvoeidiog to^d d ABF^ rov de iTtixcidov tov
ti^vovtog tb ^xij^a d FA evd^eta. d^ov de e6tco rov
xcovoeidiog xal did^etQog tdg to^dg d B ^. Seixtiov^
oti d to^d tov xovoeidiog d ditb tov imjtidov tov
xatd tdv AF o^vycoviov i6tl xcovov tofid, xal did-
20 iietQOg avtdg d ^ei^cov i6tlv d A F, d de ikd66cov
did^etQog i'6a ivtl ta A A tdg ^ev F A naQa tdv
B^ iov6ag, tdg SeAA xad^itov inl tdv FA.voei^d^co ti 6a^etov inl tdg to^dg XeXa^^ivov tb
K, xal djtb tov K xdd^etog dx^co iTtl tdv FA d K0.25 i66eitai ovv d K® xdd-etog inl tb iitiTtedov rd, iv
(o i6tiv d ATB OQ^^oycoviov xcovov rofta, dioti xal
1. lS' F; ty' Torellius. 2. t^ri&rj F; corr. Torellius. 6.
ras] F; ccno ras uulgo. 9. St.(X(isrQOs] cc SLCcfistQog F; corr.
ed. Basil. 12, t£t(ii^6&(o F, qui omnino in sequentibus
usque ad finem huius libri semper tfii^^ici, tiiri&r)^ tfiT^&svtog,
tst(irjcd-o) cet. praebet; quod plerumque corr. Torellius. ita-
que hinc iam hanc discrepantiam notare supersedeo. 13. dXXo)]
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 345
XII.
Si conoides rectangulum plano neque per axem
posito neque axi parallelo neque ad axem perpendi-
culari secatur, sectio erit sectio coni acutianguli, maior
autem diametrus eius erit pars intra conoides com-
prehensa eius [lineae], quae [communis] sectio est
plani figuram secantis et plani per axem ducti ad
secans planum perpendicularis ; minor autem diametrus
aequalis erit distantiae linearum, quae a terminis dia-
metri maioris axi parallelae ducuntur.
secetur enim conoides rectangulum plano ita, ut dic-
tum est, posito. eodem autem alio plano ad planum secans
perpendiculari per axem secto sectio conoidis sit ABFyplani autem figuram secantis linea TA, axis autem
conoidis et diametrus sectionis [prop. 11, a] sit JB^.
demonstrandum, sectionem conoidis plano in^Flineaposito effectam^) sectionem esse coni acutianguli, et
lineam AF maiorem esse eius diametrum, minorem
autem aequalem esse lineae AA, ducta linea FAlineae B A parallela, linea autem A A Sid lineam FAperpendiculari.
fingatur punctum aliquod in sectione sumptum Ky
et si K puncto ducatur X® ad FA perpendicularis.
erit igitur linea JK"© ad id planum perpendicularis, in
quo est sectio coni rectanguli AFBj quia planum
1) a ano rov lin. 18 corruptum uidetur; fortasse cc vnc xovscribendum est.
OQ%ai aXXco F; corr. Torellius. 15. BF F; corr. ed. Basil.*16. Fz/ F; corr. BC. 18. tov kcctcc] scripsi; rov om. F, uulgo.19. rccv] nccv a F; corr. Torellius. 21. roc] oc F; corr. B mg.24. rjx^oi F; corr. Torellius.
346 nEPI KSiNOEIAESiN KAI S^AIPOEIAESiN.
15
tb rffti/ov eTCiTtEdov oq^ov iGtu Tcotl ro avto iTfcTtsdov,
dLcc ds Toi; @ ax^co cc EZ OQd^ccs itoiovGa yaviag
Ttotl tccv B^, xal dta tccv EZ, K® svd^eictv iitCnsdov
iK^s^Xri^^-G}' i06sitai ds tovto oq^^ov Jtotl tav Bzf.
5 tst^rjOstaL drj to xcovosidsg 6%Yi^a iTtiTtsdfp OQ^a itotl
tbv a^ova, S6ts a to^cc xvxkog i06sCtai, xsvtQOv ds
avtov to z/. a aga K® l'0ov dvva6sCtai tco vjto
Z®, @E [rj^ixvxkiov yccQ i6tv to iitl trig EZ, Kal
a K® xdd^stog ov6a ^s6i] yCvstai dvdkoyov tc5 VTto
10 ,^ tdv E®, &Z TtSQisxO'
^svcj]. dx^(o ds iitiipav^
ov6a tdg tov xcovov to-
^dg d ^sv MN itaQa
tdv AF' innl^avsto ds
xatd to N' d ds BTJ^ TtaQd tdv EZ. to drj
7tSQiS%6^SVOV VTtO tdv
A&, &r TtOtl tb TtSQiSXO-
^svov vTto tdv E&, ®Z20 \ \ Toi' avtbv f%£t Xoyov, ov
tb tstQdyavov tb ditb tdg
NT Ttotl tb tstQayovov
tb ditb tdg BT. dsdsCxtai ydQ tovto. td ds NT l'6a
ivtl d TM, dioti xal d BP td BM. sxsi ovv xal tb
25 TtsQisxo^svov vTtb tdv A@, SF Jtotl tb d%b tdg K@tbv avtbv Xoyov, ov tb ditb tdg TM Ttoti to aito
rdg TB. S6ts xal tb ditb tdg ®K xad-stov tstQayG)-
vov Jtotl tb vTtb tdv A0, ©F TtsQiSxo^svov tbv avtbv
sxsi Xoyovy ov tb aTtb tdg BT tstQayovov itotl tb
3. svd^siag F, C manu 1*. 4. St] Nizzius; Ss F, uulgo.
8. tccg Torellius. 9. [isgcc idem. Post dvdXoYOv supplet Com-
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 347
secans et ipsum ad idem planum perpendiculare [Eucl. XI
def. 4]. et per ® ducatur linea EZ rectos angulos ad
JBz/ efficiens^ et per lineas EZy K& planum ducatur.
lioc autem ad J3 z/ perpendiculare erit. ^) itaque conoides
plano ad axem perpendiculari sectum erit. sectio igitur
circulus erit, et centrum eius punctum z/ [prop. 11, a].
erit igitur K@^ = Z®XSE}) ducantur autem sec-
tionem coni contingentes linea MiVlineae AF parallela,
quae contingat in puncto iV, et linea BT lineae EZparallela. erit igitur
A&X&r. E®X0Z = NT^: BT\lioc enim demonstratum est [prop. 3]. sed NT= TMjquia BP= BM.^) erit igitur
A®X®r: K@- = TM'- : TB\
<juare etiam
SK^ :A®X@r=BT^: TM^ [Eucl. V, 7 ;roVt(?^a].
1) Nam cum K@ LABF^ planum per KS , EZ positumad ^BF perpendiculare erit (Eucl. XI, 18); tum u. Eucl. XIdef. 4.
2) Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p. 181 nr. 16. uerbasequentia lin. 8—11 Nizzius recte ob formam prauam (ftsaT^
uvaXoyov tm vno tav E6>, 0Z) damnauit. augent suspicionemformae uulgares t?js, ovoa, (isGrj.
3) Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXV p. 53 nr. 16. tumu. Eucl. VI, 2; nam PN lineae BT parallela ducta est.
mandinus: wat dvvectai 1'gov. yivstai} yaQ sati F per com-pendia; corr. B. 21. Tas] tav F; corr. Torellius. 24. BM]TM F; corr. man. 2.
348 nEPI K<^NOEIAESiN KAI S^AIPOEIAES^N.
ccTCo rag TM. ind ovv o^otd Ivtl ra FAA, TMBrQiyavay ro dito rdg &K xad^arov rsrQaycovov norl
ro vno r«t; A®^ @r 7t£Qu%6iisv,ov rbv avrov £%ai
Xoyov^ ov ro ditb rdg AA rsrqdyavov jcorl ro aTCo
5 rdg AF rerQaycovov. o^oicog dsixd-riGovrai xal rd
aTCo rdv dXkav xad^srcov rarQdyava rdv dyoiLavav
djco rdg ro^dg anl rdv AT jcorl rd icaQiaxo^ava vtco
xcov rdg AT r^a^drayv rov avrov a^ovra Xoyov^ ov
t6 d%o rdg AA rarQdyavov Ttorl ro djco rdg AT.10 SriXov ovVy ort d ro^d a6rLv o^vycjviov xcjvov ro/Licc,
dia^arQOi da avrdg avn d ^av nat^cov d AT^ d da
eXaGijCiv i6a rd AA,
iy,
Et xa ro d^^Xvycovtov xcovoaidag aTcmada r^a&fj
15 6v^7Ci7Crovri Tcdcatg ratg roi) xcovov nXavQatg rov jca-
Qia%ovrog ro xcovoaidag ^rj jcor^ OQd^dg rc5 d^ovi, d
ro^d aOCaCrai o^vyaviov xcovov ro^d. did^arQog ds
avrdg d fiai^cav a^GaCrai d avaTCoXaq^d^ataa iv ro5 xo-
voaidat dno rdg yavo^avag ro^dg rdov amTCadcov rov
20 ra ra^vovrog rb ^xrj^a xal roi; d^d^avrog did rov
d^ovog oQd^ov Tcorl ro ra^vov ajcijcadov.
ra^va6^o yaQ rb d^pXvycoviOv xcovoaidag amTcadcOy
cog aiQrirai^ xal dXXco ajCinadc) r^ad^avrog avrov did rov
di,ovog OQ^co TCorl rb ra^vov aniTcadov rot) ^av xco~
25 voaidaog ro^id a^rco d ABT d^^Xvyaviov xcovov rofi«,
rov da ra^vovrog ro o^ri^a amnadov d AT avd^ata^
d^cov da rov xoovoaidaog xal did^arQog rdg ro^dg a
1. TAB F; coiT. ed. Basil.* 2. to dno rag @K usque
ad xo ccno tcig AF lin. 5 om. F; corr. Commandinus. 5. tB-
x^dyoivov'] addidi; ora. F, uulgo. o/iiotwg] syllab. cos per comp.
DE CONOIDIBUS ET SPHA.EROIDIBUS. 349
iam quoniam FAAro TMB^), erit
[B
T
: TM= AA: AT (Eucl. VI, 4)-,
itaque erit] 0K'^ :A@X@r= AA^ : ATK eodem
modo demonstrabimus, etiam quadrata ceterarum line-
arum a sectione ad ^JT lineam perpendicularium duc-
tarum ad rectangula partibus lineae AF comprehensa
eandem habere rationem, quam AA^ : AF^. adparet
igitur, sectionem esse coni acutianguli sectionem, dia-
metros autem eius maiorem AF lineam, minorem
uero lineae AA aequalem [Apollon. I, 21].
XIII.
Si conoides obtusiangulum plano secatur, quod
omnibus lateribus coni conoides comprehendentis in-
cidit ad axem non perpendiculare, sectio erit coni
acutianguli sectio, maior autem diametrus eius erit
pars intra conoides comprehensa eius lineae, quae
[communis] sectio est plani figuram secantis et plani
per axem ad secans planum perpendicularis.
secetur enim conoides obtusiangulum plano ita, ut
dictum est. et eodem alio plano per axem ad secans
planum perpendiculari secto sectio conoidis sit ABFconi obtusianguli sectio [prop. 11, b], plani autem
figuram secantis linea AF. axis autem conoidis et
diametrus sectionis sit BA. fingatur igitur punctum
1) Nam /. B = /. ^ = 90*^ et /. ^ = /. T, quiaAT^ MN et ET^ AA.
F. SsLx^^GstocL Nizzius cum D. 8. b%ovti F; corr. AB.10. TOftaJ (alt.) rofiaff FC*. 11. dia^stQog F; corr. B.ivti] scripsi; sioiv F, uulgo. 13. ls' F, lS' Torellius. 14.
inLTtsdo}] om. F; corr. B. 16. KOvosiSsg F. 27. novostdsog F.
350 HEPI KSiNOEIAEiiN KAI 2^AIP0EIAEiiN.
B^. vosLOd^co di] TL ijtl rag ro^dg Xsla^^svov 6afistotr
t6 K, xal ano rov K Kadsrog a%%^ci sjtl rav AF a
KS. s06SLrai di} avra OQd^a Ttorl t6 sTCLTtsdov ro, iv
(p ivrL a ABF kqovov ro^d. dia ds rov @ ax^co a
5 EZ Ttor' OQd^ag ra B^, xal dLa rav EZ, K@ svd^siav
iTtLTtsdov ax^co rsfivov ro xovosLdsg. rsr^riOsraL 6rf
iTtLTtsdcp OQd^a Ttorl rbv a^ova, C36ts a rofia Kvxkog
iCGsCraL^ xsvrQOv ds avrov ro /i. a aQa yid^srog d
K& LfSov 8vva6sLraL tc5 7tsQLS%o^sv(p vno rdv ®Ey10 @Z. ax^^Gi ds TtdkLV cc ^sv MN itaQa rdv AF im-
ipavov6a rdg rov xcovov tofidg xard t6 jY, d ds BTTtagd rdv EZ. t6 87] TtSQLS^o^svov vjtb E®, &ZTtorl rb 7tsQLSx6(isvov vitb rdv A®., ®T tbv avrbv
s%SL Xoyov^ ov rb rsrQayavov rb ditb rdg BT itorl
15 t6 aTtb tdg TN. S6rs rb djtb rdg K& xad-srov rs-
rQdyovov Jtorl rb jcsqlsxo^svov vitb tdv A®, @r tbv
avtbv s%SL Xoyov^ ov tb d%b tdg BT Ttotl t6 dTcb
tdg TN o^OLcog ovv dsLxd^rjeovvtL xal rd dnb rdv
dXXav xad^srcav rdv dnb rdg rofidg dyo^svav iitl rdv
^O AF notl td TtsQLSxofisva vjtb tcov t^afidtcov tdg AF^
cov ai xad^stOL TtoLOvvtL^ tbv avtbv sxovta Xbyov^ ov
tb ditb tdg B T tstQdycovov Jtotl tb ditb tdg TN,
TcaL iotLV iXdcacov d BT tdg TN^ dtort xai d MTikd(56cov ierlv rdg TN xal ydQ d MB ikdaacov
25 rdg BP' rovro ydQ i6rLv iv tatg tov d^^lvycovLOv
3. 87tinEd(o F; corr. BC* 8. sGSitai. F. 9. @E, @Z]scripsi; 0E, EZ FBC*, E@, @Z uulgo. 10. Si] Nizzius;
6rj F, uulgo. 13. tdv] tcov per comp. F; corr. Torellius.
14. TTort] TtQog per comp. F; corr. Torellius. 18. dsLx&^GStccL
Nizzius. 19. tdg] supra m. 1 F. ayonsvav F; corr. To-
rellius. 21. cov] d Tprellius.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 351
aliquod K in sectione sumptum, et a iC puncto du-
catur K® SidJir perpendicularis. erit igitur ad id
planum perpendicularis, in quo est coni sectio ABF
[Eucl. XI def. 4]. et per @ ducatur EZ ad 5z/ per-
pendicularis, et per lineas EZ^ K® planum ducatur
conoides secans. itaque sectum erit plano ad axem
perpendiculari [p. 347 not. 1]; quare sectio circulus
erit, et centrum eius ^ punctum [prop. 11, b]. ita-
que erit K®^ = ®Ex0Z [p. 347 not. 2]. ducatur
autem rursus linea MN lineae AF parallela sectionem
coni in N puncto contingens, et linea jB T lineae EZparallela. erit igitur
E®X@Z:J0x&r=BT^ : TN^ [prop. 3].
quare erit K@^ : A0 X &r = BT^ : TN\ eodem
modo igitur demonstrabimus, etiam quadrata ceterarum
linearum a sectione ad ^r* lineam perpendicularium
ductarum ad rectangula partibus lineae AF sl perpen-
dicularibus effectis comprehensa eandem habere ra-
tionem, quam B T^: TNK est autem BT< TN, quia
MT< TN [et MT> BT]. nam etiam MB < BP:,
352 nEPI K5iN0EIAE<iN KAI S^AIPOEIAESiN.
xoivov rofiatg 0v^7irco^a. dijXov ovv, ori a rofia o^v-
yavLOV 7C00VOV ro^a, xal didi^srQog avrag a ^aL^cjv
a AF [oiioCag xad^hov ov6r}g rag NP iv ra rov
dii^XvycovLOv xoovov ro^a, dLa^srQog ravrag iisc^ov
6 iarlv d FA].
Ei xa rb TtaQa^axsg ^cpaiQOSidsg iTtmsdGi r^ad^rj
firj Ttor OQ^^dg ra d^ovt, d ro^d icosCraL ol^vycovCov
xcovov ro^d. dtd^srQog ds avrdg d ^sC^cov i60sCrai,
10 d iva7ioXa(p%^sl0a iv ra 6(paiQ0si8si dno rdg ysvo^i-
vag ro^dg rcov ijiLTisdcov rot' rs^vovrog t6 Oxrnia xal
Toi; d^d-svrog dLa tov d^ovog oQd^ov jcorl t6 rs^vov
iTcCTtsdov.
SL ^sv ovv xa r^ad-fj d^d rov d^ovog t} TtaQa rbv
15 d^ova, dfjXov. rsr^d^d^co ds dlXci iitLTtsdcp. r^ad^svrog
ds avrov dta Tov d^ovog oQd^co Ttotl rb ri^vov tov
^sv 6<paLQOSLdsog ro^d sOrco d ABF^ b^vycovCov
xcovov ro^d, tov ds rs^vovrog avrb ijtLTtsdov d FAsvd^sta. d^cov ds sorco rov 6(paLQOSLdsog xal dLa^srQog
20 rdg rov o^vycovCov Ktovov ro^dg a B^d ^ KsvrQOV 8s
t6 X, Tcal ild66oov dLa^srQog s6rco d IIP. d^^co ds
1. ovv] om. F; corr. Torellius. 6i,vya)viov] iartv o|. To-rellius. 2. d fisitoav] scripsi; cc om. F, uulgo. Nizzius uerba
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 353
hoc enim sectionibus coni obtusianguli proprium est.^)
adparet igitur, sectionem esse coni acutianguli sec-
tionem, et maiorem eius diametrum lineam AF.^)
XIV.
Si sphaeroides oblongum plano ad axem non perpen-
diculari secatur, sectio erit coni acutianguli sectio,
maior autem diametrus eius erit pars intra sphaeroides
comprehensa eius lineae, quae [communis] sectio est
plani figuram secantis et plani per axem ad secans
planum perpendicularis.
hoc, si per axem uel plano axi parallelo secatur,
statim adparet [prop. 11, c]. secetur autem alio plario.
eodem autem plano per axem ad secans planum per-
pendiculari secto, sphaeroidis sectio sit ABFzJ coni
acutianguli sectio [prop. 11, c], plani autem sphae-
roides secantis linea FA. axis autem sphaeroidis et
diametrus sectionis coni acutianguli sit -Bz/, centrum
autem X, et minor diametrus sit JIP. ducatur autem
1) Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXV p. 56 nr. 27. namMB : BP= MT : TN (Eucl. VI, 2).
2) Ellipsis, cuius altera diametrus est linea A P, est propterApollon. I, 21, quia quadrata linearum ordinate ductarum adrectangula partibus lineae ^F ab ipsis effectis comprehensasemper eandem rationem habent. itaque etiam quadratum li-
neae ad medium punctum lineae ^ Fordinate ductae {jt) ad ^AF*eam rationem habet, quam BT : TN. iam cum BT <Ci TN,erit etiam p^ <^ ^AF^. quare AF raaior erit diametrus. se-
quentia uerba nunc delere malui, quam cum Nizzio transponere.
Kad^itov ov67}g tocg NP iv tu . . . tofia lin. 3'—4 post EP p. 350,lin. 25 transposuit additis: inl tav BJ et deletis diaiistQog . ..
a FA lin. 5 et ofioicog lin. 3 (quod retineri poterat; Qu. Arcq.p. 164). 5. FA Torellius. 6. ts' Torellius. 7. xa] naxai F; corr. Nizzius. 10. ccpaiQosidsg F; corr. BD.
Archimedes, ed. Heiberg. I. 23
354 nEPI KilNOEIAEiiN KAI LO^AIPOEIAEiiN.
a ^lv BT Ttor OQd^ag xa 5z/, a df HN TCaqa rav
AF iTiLipavovGa tag tov 6i,vycovCov xmvov TOftag xata
tb N' ay%Gi 8\ aal a MA 8ia rot' X TtaQa rai' AF,o^OLOs drj totg TCQOtsQOv dsLX^rj^ovvtL ra tetQccycova
6 ta cljto tav xad^hav tav ccTto tag to^ag i%l tav AFay^ivav Ttotl ta 7CiQLS%6iLava vTto tSv tag AT t^ia-
ficttcov tov avtov exovta X6yov, ov t6 aTto tag BTretQctyovov Jtotl ro aTto tag TN otL ^ev ovv a to^d
i6tiv o^vycovLOV xcovov to^cc, xal SLCcfietQOg avtag a
10 FA, drjkov' otL ds ^eCt^cov^ dsLXtiov. to yccQ vTtb tav
nX, XP 7tSQL£x6^evov Ttotl ro vTtb MX, XA tbv
avtbv exei X6yov, ov tb djtb tdg B T jtotl ro dnb
tdg NT, inel TtaQa tdg iTtitpavovdag ivtl al TIP^ MA.eka66ov di i6tL tb vitb tdv IJX, XP TteQtexbfievov
15 roi; vTtb tdv MX, XA, iitel xal d XII tdg XA.eka06ov aQa i6tlv xal tb dnb tdg B T tetQayovov
rov djtb tdg TN o6te ocal td dnb tdv xad-itcov
tetQayova tdv aTtb tdg to^dg ijtl tdv AF dyo^ivav
ikd66ovd ivtL tov vitb icov t^aiidtov tdg AF TteQc-
20 exo^ivov. d^Xov ovv, ott fieC^ov ivtl dLauetQog
d FA.et yca tb iitLTtXatv 6cpaLQoeLdeg i7tL7ti$o t^ad^^^
td ^ev dkka td avtd i66eCtaL^ tdv Se dia^itQOv d
ikd66ov i66eCtaL d iva%okacp^eL6a iv rc5 6cpaLQoeLdei.
25 i^ avtov de cpaveQbv iv 7tdvte66L toig 6xri^dte66LV^
1. xa] xa Sb F. 3. ^f] scripsi; 8ri F, uulgo. 4. 6ju.ot(io?]
syllab. (og per comp. F. Ssix^riGfxcii Nizziiis. 6. xav]
(prim.) rcor F; corr. Torellius. 6. ayiihav] scripsi; ayjnfrftg
F, uulgo; ayoiiivag A*, ed. Basil. ; dyopievav Torellius. 13.
MA] Mn FBC*. 15. «] 17 F; corr. Torellius. 18. xav dno]
Torellius; xoav ano F, uulgo. xag] xav FC*. 19. BXacaav
F; corr. Torellius. vno xCov] Torellius; vno xav F, uulgo.
nsQKxofifva F; corr. Torellius. 23. a ikdcocov] scripsi; «
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 355
J5 r ad 5z/ perpendicularis, et HN lineae AF parallela
sectionem coni acutianguli in N puncto contingens.
ducatur autem etiam MA per X punctum lineae AFparallela. itaque eodem modo, quo antea^), demon-
strabitur, quadrata linearum a sectione [circum AFdescripta] ad ^JT perpendicularium ductarum ad rect-
angula partibus lineae AF [ab ipsis effectis] com-
prehensa eandem rationem habere, quam B T^ ad TN^.
hinc igitur adparet, sectionem esse coni acutianguli sec-
tionem, cuius [altera] diametrus sit FA [Apollon. 1, 21].
sed maiorem diametrum eam esse, demonstrandum est.
est enim nXX XP : MXxXA = BT^ :NT\ quo-
niam J7P, MA lineis contingentibus parallelae sunt
[prop. 3]. sed nxX XP < MXX XA, quia
xn<XA^)quare etiam BT^ <i TN^. itaque etiam quadrata line-
arum a sectione ad AF lineam perpendicularium duc-
tarum minora sunt rectangulis partibus lineae AFcomprehensis. adparet igitur, FA maiorem esse dia-
metrum.^)
Si sphaeroides latum plano secatur, cetera eadem
erunt, sed linea intra sphaeroides comprehensa minor
diametrus erit.
Inde adparet, in omnibus figuris*), si planis paral-
1) P. 346, 16 sq.; p. 350, 12 sq.
2) Nam XTI= XP, XM= XA, et diametrus minor omniumlinearum per centrum ductarum minima est.
3) Nam etiam quadratum dimidii alterius axis minus est
quarta parte quadrati lineae AF^ cfr. p. 35§ not. 2.
4) H. e. et conoidibns et sphaeroidibus.
om. F, uulgo. 25. naGi F, uulgo. rorg] xoi F. cxrjficc-
TSCIV F.
23*
356 nEPI KSiNOEIAESiN KAI 2<l»AIP0EIAESiN.
ort, sl' xa 7taQaX?.riloLg iTanedocg t^ad^fj, ai avt^v
to^al o^Oiac iooovvtai. ta yocQ tstQaycova ta djto
tav xad^hov Ttotl ta TtSQiSxo^sva vno tcov t^ia^dtov
tovg avtovg Xoyovg s^ovvti.
5/^'-
'Ev Tc5 OQd^oycoviip 7(C}vosidst dito Ttavtog otovovv
0a^siov t(Dv sv ta sTtiq^avsCa tov xcovosidsog tdv
dyo^svav svd^sidv Ttagd tbv d^ova aC ^sv STtl td
avtd dyo^svaiy scp^ d ivti td zvQtd avtov^ iKtog
^Q TtsCovvtai tov xcovosidsog, at ds inl d^dtSQa ivtog.
d%^svtog ydQ ijtiJtsdov did ts rov d^ovog xal tov
aa^siov, d(p^ ov d TtaQaXXrjlog dystat rc5 d^ovi^ d
to^d s66sitai oQd^oyoviOV xcavov to^id' did^stQog ds
avtdg 6 d^cov tov xovosidsog. iv ds ta tov oQd^o-
j^ yoviov 7C03VOV to^d ditb Ttavtog 6a^siov tov iitl xdg
to^dg dyo^svav TtaQd tdv did^stQOv svd^Sidv aC ^sv
ijcl td avtd dyo^svai, icp' d ivti td xvQtd avtdg,
ixtog TtiTttovti, aC ds snl ^dtSQa ivtog. SrjXov ovv
tb TtQOtS^SV.
2Q ^Ev to dii^Xvyovio KCDvosidst dnb jtavtbg Oa^siov
tov iv ta iTticpavsCa avtov tdv dyo^svav svd^Sidv
TtaQd tiva yQa^^dv, d iattv iv to xovosidst dy^sva
did tdg %OQV(pdg tov xcovov tov 7tSQis%ovtog tb zo-
vosidsg^ aC ^sv iitl td avtd dyo^svai, icp* d ivti tcc
2« TcvQtd avtov^ ixtbg 7ts6ovvtai tov XG>vosidsog, aC ds
inl d-dtsQa ivtog.
2. rd dno] tocv ano F; corr. Torellius. 3. rav] Torel-
lius; t(ov F, uulgo. 5. ts"' Torellius. 10. v.ovoEi8Eoq F.
12, naqdXXaloq ed. Basil., Torellius (non BC*). d TO|u-a]
scripsi; rofia F, uulgo. 16. xav dyoasvav Torellius. 17.
avtas] avtrj F; corr. Torellius. , 18. nintcovti F. 22.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 357
lelis secentur, sectiones earmn similes futuras esse.
nam quadrata perpendicularium ad rectangula partibus
[diametri] comprehensa easdem rationes habebunt.^)
XV.
a) In conoide rectangulo earum linearum, quae a quo-
nis puncto in superficie conoidis posito axi parallelae
ducuntur, eae, cpae in eandem partem ducuntur, in
qua est conuexa eius pars, extra conoides cadent, quae
uero in alteram partem ducuntur, intra.
si enim planum ducitur simul per axem et per id
punctum, unde ducitur linea axi parallela, sectio erit
coni rectanguli sectio [prop. 11, a], diametrus autem
eius axis conoidis. sed in sectione coni rectanguli
earum linearum, quae a quouis puncto sectionis dia-
metro parallelae ducuntur, eae, quae in eandem partem
ducuntur, in qua est pars eius conuexa, extra [sectionem]
cadunt, quae uero in alteram partem ducuntur, intra.
constat igitur propositum.
b) In conoide obtusiangulo earum linearum, quae a
quouis puncto in superficie eius posito ducuntur par-
allelae lineae, quae in conoide per uerticem coni co-
noides comprehendentis ducta est, eae, quae in eandem
partem ducuntur, in qua est pars eius conuexa, extra
conoides cadent, quae uero in aiteram partem du-
cnntur, intra.
1) Eam emm habebunt rationem, quam,B T^ ; TiV^ (prop.
12, 13, 14); tum u. p. 327 not. 2.
«yjLifVa] Bcripsi; ayo^svccgFj uulgo; ayojLifVa Torellius. 23. to]Tco F; corr. BC.
358 nEPI KS^NOEIAESiN KAI S^AIPOElAESiN.
dx^svtog yccQ STCiTtsdov did ts tag sv^sCccg rag sv
ta xcovosidst ayo^svag dtcc tag KOQVcpag rov xojvov
tov TtSQLSxovtog ro Tiovosid^g xal Slcc rot) 6aasCov^
acp ov ayitai a sg avto, a rofia s<36sCtai a^^Xvyco-
5 vCov x(6vov rofia, did^stQog ds avtag a ccTto tag xo-
Qvcpag tov xcavov sv rc5 xavosidst dyo^sva. sv ds
ta tov d^^XvycovCov xcavov rofta dTto Ttavtog 6a^sCov
xov iitl tdg to^dg tdv dyo^ivav svd^sidv itaQa tdv
ovtog dy^ivav yQa^^dv ai ^sv sitl td avtd dyo^ivai,
10 scp^ d i6tLv avtdg td xvQtd, ixtbg JtCTttovti, at ds
iitl d-dtsQa ivtog.
El xa tcov xovosLdicov 6xr}^dtcov iitCitsdov icp-
aTttrjtaL ^rj ti^vov tb xcovosLdig, xad'^ sv ^ovov dipitaL
6a^stov., xal ro d^d tdg dcpdg xal roi5 d^ovog ijtCjts-
15 dov d^d^sv OQd-bv iccsCtaL Ttotl to iTtLxfjavov inCTtsdov.
iq)a7tti(jd^cj yccQ, sl dvvatov, xatd JtXsCova 6a^sta.
Xacp^^ivtov drj dvo 6a^sCov, xad'^ d dittitat to iitL-
tpavov iTtCitsdov tov xovosLdiog, xal dcp sxatiQov
TtaQa tov d^ova svx^SLdv dx^sL6dv dnb tdv dx^SL(jdv
20 TtaQa tbv d^ova iitCTtsdov ix^Xrjd^sv i]tOL d^d tov d^ovog
7] TtaQa tbv d^ova io^sCtat dy^ivov. S6ts tdv to^dv
TtOLYjOSL xGjvov to^dv, xal td 6a^sta iccovvtai iv td
tov xoovov rofta, i^tsl sv ts td iitLcpavsCcc ivtl xal iv
rco iTCLTtidcp. d ovv ^istai^v tmv 0a^sCcov sv^sta ivtbg
25 i06sCtaL tdg tov xcovov to^dg' w6ts xal tdg rov xco-
vosidiog iitLcpavsCag ivtbg i66sCtaL. s6tLv 8\ d svd^sta
3, 'KOvoELSBg F. 4. ig ccvto] scripsi; saavra F, uulgo;
TtuQ' Divxuv Nizzius; ,,aequidistans illi" Cr. 7. rofi-a] xov F;
corr. Torellius. 12. sq^ccnxsxccL F; corr. Torellius. 17. Si^]
scripsi; Ss F, uulgo; „igitur" Cr, 19. ccno] scripsi; ccno Ss
F, uulgo. 20. TtaQd] xccv nccQal 22. gcchslcc] oa- supra
m. 1 F. 23. STtSL] Nizzius; snsL ovv F, uulgo.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 359
nam si planum ducitur simul per lineam, quae in
conoide per uerticem coni conoides comprehendentis
ducitur, et per punctum, unde ducitur linea conoidi ad-
plicata, sectio erit coni obtusianguli sectio, et diametrus
eius linea in conoide a uertice coni ducta [prop. 11, b].
sed in sectione coni obtusianguli earum linearum, quae
a quouis puncto sectionis lineae ita ductae parallelae
ducuntur, eae, quae in eandem partem ducuntur, in qua
pars eius conuexa est, extra [sectionem] cadunt, quae
uero in alteram, intra.
c) Si planum figuras conoideon contingit conoides
non secans, in uno solo puncto tanget, et planum
per punctum contactus et axem ductum ad planum
contingens perpendiculare erit.
contingat enim, si fieri potest, in pluribus punctis.
sumptis igitur duobus punctis, in quibus planum
contingens conoides tangat, et ab utroque lineis axi
parallelis ductis, planum per lineas axi parallelas^)
ductum aut per axem aut axi parallelum ductum erit.^)
quare sectio coni erit sectio [prop. 11], et puncta in-
coni sectione erunt, quoniam et in superficie [conoidis]
sunt et in plano. itaque linea puncta iungens intra coni
sectionem erit. ^) quare etiam intra superficiem conoidis
erit. sed ea ipsa linea in plano contingenti est, quia
etiam puncta in eo sunt. itaque quaedam pars plani
1) Adparet, iungendum esse lin. 19. 20: rav dxd^eiaciv nuQcixov cc^ova D: xdv naQa xov a^ova ax%^BiGav'^ sed fortasse scri-
bendum: xav nagd.
2) Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p. 181 nr. 17.
3) Apollon. con. I, 10.
360 nEPI K5iN0EIAE^N KAI S^AIPOEIAESiN.
Kvra iv tc5 iTttjpavovtc ijiLTCedc}, dioTi xal xa ea^sta
rov aQa iTiL^^avovtog inntidov icosttaL tl ivtog tot3
xcovosLdiog' otisq ddvvatov. vTCsxsLto yag ^rj tsfivsLv.
xad"^ ^v ttQa ^ovoi/ dtl^staL (Sa^slov. otL $s xal to
6 dLa tag d(pdg Ttal tov d^ovog iitCnsdov d%%^sv oq^ov
i66SLtaL TCotl ro iTCLXpavov, sl xatd tdv xoQvcpdv tov
xmvosLdsog icpajttstaL^ drjXov. dx^svtcov ydg d^d tov
d^ovog dvo iTtLJtsdav tov xavosLdsog at to^al iooovv-
taL xcovav to^al dLa^istQOv i^ovOaL tov d^ova, tov
10 ds iTttipavovtog ijtLJtsdov [at] svdsCaL ijtLipavovOaL tdv
t(DV x(6vcov to^dv xatd t6 TtsQag tdg dLa^stQov. at
ds svxtsCat al iitLtpavov^aL tdv tdov xcovcov to^dv xatd
t6 TtSQag tdg dia^stQov oQd^dg jtoLOvvtL ycovCag Ttotl
tdv dLafistQOv. ic^ovvtaL ovv iv tco inLipavovtL ijtt-
15 7ts8<p dvo svd^sCaL Ttot^ OQd^dg tc5 d^ovL. OQd^ov ovv
iocsCtaL Ttotl xov d^ova t6 ijtCjtsdov^ Sdts xal Jtotl
t6 dtd Tov d^ovog. dXkd s0tco ^rj xatd tdv xoQV(pdv
T0t5 xcovosLdsog ijti-
ipavov To ijtCTtsdov.
dx^co dt} inCitsSov dta
tdg d(pdg xal tov
d^ovog. xal tov ^sv
xcovosLdsog to^d sctco
d ABF xcovov to^d^
d^cov 8s s6tco xal ^La-
^stQog tdg to^dg d
J5z/, Toi> ds iTtitpavov-
\ togi7tL7tsdovto^ds6tco
d E@Z svd^sta TajTOv
30 xoovov to^dg dntoiisva xatd to @. dnb $s tov &
6. sC] om. F; corr. Torellius. 7. ftpdnzjixaL Torellius.
20
25
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 361
contiagentis intra conoides erit, quod fieri non potest.
nam suppositum est, planum non secare. in uno
igitur solo puncto continget. planum autem per punc-
tum contactus et axem ductum perpendiculare ad pla-
num contingens fore, statim adparet, si in uertice
conoidis contingit. ductis enim per axem duobus planis
sectiones conoidis erunt conorum sectiones diametrum
habentes axem [prop. 11], sectiones uero plani con-
tingentis lineae sectiones conorum in termino diametri
contingentes. lineae autem sectiones conorum in ter-
mino diametri contingentes cum diametro rectos an-
gulos faciunt. ^) itaque in plano contingenti duae
lineae ad axem perpendiculares erunt. quare planum
ipsum ad axem perpendiculare erit [Eucl. XI, 4]; quare
etiam ad planum per axem positum [Eucl, XI, 18].
sed planum ne in uertice conoidis contingat. ducatur
igitur planum per punctum contactus et axem. et
sectio conoidis sit ABF coni sectio [prop. 11, a— b],
axis autem et diametrus sectionis sit jBz/. plani uero
contingentis sectio sit linea E®Z sectionem coni in
® puncto tangens. et a © puncto ducatur linea ®K
1) Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXV p. 47 nr. 4.
8. Tov Y.(ovoBidsoq\ tov II sv xcDv.? saovvrai F. 9. yiovoav
F. 10. at] deleo. 11. at Ss sv&siccl usque ad rag Sluiistqovlin. 13 ego suppleui; om. F, uulgo. 14. saovvtai. F. 16.
jroTt] (alt.) TtQog per comp. F; corr. Torellius. 24. ABr}Torellius; JBT F, uulgo.
362 HEPI KiiNOEIAE^iN KAI i:<I»AIP0EIAE5iN.
xdd-£tog ax^(o S7tl rav Bzl cc &K, xccl ETtiTtsdov av-
eOxaKBXG) oQd^ov Ttotl tov a^ova. TtoiriOEi dri tovto
rav toiiav xvxXov, ov xevtQov t6 K, a dh to^a
tovtov tov BTtntidov xal tov iTtiipavovtog - i^fSaCtat
5 ijtLipavovOa tov xvxXov. oQd-ag a^a TCoiriCEL yovCag
Ttotl tav ®K. Sat' oQd^a i66eCtaL jtotl to ijtCnedov
xo^ iv (p ivti at K&, B^. drjXov ovv, otv tb im-
ipavov iTtCnedov OQd-ov i0tL itotl tb avtb iTtCitsdov,
inEi xal av iv avtco Evd^ECav,
10 L^.
El Xa t(DV 6cpaLQ0EL8i(OV (J^^T^ftarcOl^ OTtOtEQOVOVV
iTtCjtEdov ccTttritaL ^r} ti^vov tb (5%ri^a.) xad"' ev ^ovov
a^l^itaL 6a^EL0v, xal tb dia tdg acpdg xal tov d^ovog
ijtCTtsdov dx^Ev OQx^bv i^OECtaL itotl tb ijtLil^avov ircC-
15 TtEdov.
aTttied^co yccQ xatd TtXsCova 6a^Eta. Xacpd^ivtav
drj t(Bv Ca^ECcoVy xad"^ d aTttitaL tb ijtCjtEdov tov
6(paLQoeLdeog, xal dcp' exatiQOv avttav JtaQa tbv d^ova
Ev^ELav d%%^EL6dv xal dLa tdv d%%^eL6dv ijtLTcidov ix-
20 pXrjd^evtog d to^d i66eCtaL o^vycsvCov xcovov to^d,
xal td 6a^eLa i66ovvtaL iv td roi) xcovov to^d. d
ovv ^eta^v tcov ^a^eCav evd^eta ivtbg i66eCtaL tdg
tov X03V0V to^dg. S6te xal tdg tov 6(paLQoeLdiog
iitLcpaveCag ivtbg i66eCtaL. e6tLv de d ev^ela iv ta
25 ijtLtl^avovtL iTtLTtido), dLotL xal td 6a^ELa. roi} ovv
ijtLjpavovtog ijtLJtidov i66ECtaL tL ivtbg tov 6cpaLQo-
2. noxi] scripsi; tm F, uulgo; u. Philol. Samfd. Minde-skrift. Haun. 1879 p. 19. ^dfl scripsi; ds F, uulgo. 7. rd,
iv] Tco, «V F; corr. C. oxl\ oti v,aC A (non BC*), ed, Ba-eil., Torellius. 10, t.^' Torellius. 11. onoxsQOvovv] scripsi;
OTtoxs^ovovv F, uulgo. 17. dri\ scripsi; ds F, uulgo. xmv\
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 363
ad BzJ perpendicularis, et [in ea] planum erigatur
ad axem perpendiculare. hoc igitur sectionem cir-
culum faciet, cuius centrum sit K [prop. 11, a—b].
sectio autem huius plani et plani contingentis cir-
culum continget. itaque cum @K rectos angulos faciet
[Eucl. III, 18]. quare ad planum, in quo sunt lineae
K@y B^, perpendicularis erit [Eucl. XI def. 4]. ad-
paret igitur, planum contingens ad idem planum perpen-
diculare esse, quoniam etiam lineae in eo positae [ad
idem planum perpendiculares sunt. Eucl. XI, 18].
XVI.
a) Si planum utramuis figurarum sphaeroideon tangit
non secans figuram, in uno solo puncto tanget, et
planum per punctum contactus et axem ductum ad
planum contingens perpendiculare erit.-^)
tangat enim in pluribus punctis. sumptis igitur
punctis, in quibus planum sphaeroides tangit, et ab
utroque eorum lineis axi parallelis ductis et per ductas
lineas plano posito sectio erit coni acutianguli sectio
[prop. 11, c], et puncta in coni sectione erunt. ita-
que linea puncta iungens intra coni sectionem erit
[Apollon. 1, 10]. quare etiam intra superficiem conoidis
erit. ea autem linea in plano contingenti est, quia
etiam puncta [in eo sunt]. itaque pars quaedam plani
contingentis intra sphaeroides erit. at non est; nam
1) Praef. p. 282, 16: ort 8e xa ETtLxpavovta BnCnsSa tov0(paiQOSi8sog yiad'' 'sv (lovov aTttovtai cafisiov tag STCLcpavstag
ccvtov.
Svo Nizzius, fort. recte. 19. svd^sLat ax^coatv F; corr. To-rellius. toav a%Q-sta(ov F; corr. Torellius.
364 nEPI KSiNOEIAESiN KAI 2$AIP0EIAEiiN.
e^dfog. ovx i6tLv de. vnixeLxo yag ^r^ tinvsiv. drj-
Xov ovvy OTL yca%'^ ev Oa^etov /lidi^oi/ a^itai. oti $b
to dca Tag a(pds ^al roi; a^ovog iTtiJtsdov ax^lv d^^O^oi/
i66sitat Ttotl to iTtiTtadov tb imtpavov^ o^oiog totg
6 31£qI rcov Kovoaidicov Cxrj^dtcjv dsii^ov^eS'
Ei xa tav xcovosidicov 7} tcov Og^aiQOSidicov 6xV~
lidtcov oTtoiOvovv iTtiTtidc) t^ad^ij dtd tov d^ovog, xal
rdg ysvo^ivag to^dg iTtitpavov^d ttg d%%fi svd^sta^ xal
6id tdg imipavov6ag iniTtsdov dvaCta^fi oqx^ov notl
10 ro ti^voVf iTtiJpavsi rov 6%ri^atog natd rd avto 6a-
^siov, xad"^ o xal d svd^sta ijtixpavsi tdg roi; xcovov
to^dg.
ov yaQ dxfjitai Ttat dkko 6a^Si0v tdg iTticpavsCa^
avtov. sl ds ^ri, d dno toi eaiisiov xdd^stog dyo-
15 ii,iva ijti rd ti^vov iitiTtsdov Ttsdsitat ixtog tdg rot5
X(6vov to^dg. ijtl ydQ tdv s7ti^avov6av 7ts6sitai^ insl
OQd^d Ttot^ dkXakd ivti td iTtiTtsdci. oitsQ ddvvatov.
idsix^rj yaQ^ oti ivtog TtsOsitat»
Et xa tmv ecpaiQOSidicov tivog Oxrj^dtcjv dvo ijti-
20 Ttsda TtaQakXrjXa sTtiipavovti^ d tdg dcpdg im^svyvvov^a
svd^sta did tov xivtQOv xov ^cpatQOSidiog jtoQSvaitai.
Si ^sv ovv xa Ttot OQd^dg ta d^ovi td iTtiTtsdcc
sovti^ drjkov, aAA' s6tG) ^rj ;ror' oQd^dg. to drj iiti-
Ttsdov tb dx^sv did tov d^ovog xal tdg dcpdg tdg
25 itSQag oQd^bv iGCsitai itotl tb iTtiipavov ijtijtsSov.
S6ts xal Jtotl rd TtaQakkriXov avta. dvayxatov aQa
1. z£(ivov B. 5. SsL^ovfisg~\ om. F; suppleuit Torellius;
„et in laoc demonstrabimus" Cr. 6. tav yiavosLdicav ij] om.F; suppleuit Barrowius. 10. snLipavGsi Torellius. 11. «]71 F; corr. Torellius, ut etiam lin. 14. 13. aUo] ctXXo gv FC*;fort. dXXo XL. 15. «Jtrdg] svxog F; corr. Commandinus. 17.
tvxL Ttt] scripsi; emvxL F, uulgo. 18. lti' Torellius. 20.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 365
suppositum est, id non secare. adparet igitur, in uno
solo puncto [planum] tacturum esse. planum autem
per punctum contactus et axem positum ad planum
contingens perpendiculare futurum esse, eodem modo,
quo in figuris conoidibus, demonstrabimus [p. 360, 4 sq.].
b) Si quaeuis figurarum conoideon uel sphaeroideon
plano per axem posito secatur, et sectionem inde ortam
contingens linea ducitur, et in linea contingenti pla-
num erigitur ad secans planum perpendiculare, figuram
in eodem puncto contingit, in quo linea illa coni sec-
tionem contingit.
neque enim in alio puncto superficiei eius tanget.
si minus, linea a puncto illo ad planum secans perpen-
dicularis ducta extra coni sectionem cadet. nam in
lineam contingentem cadet, quoniam plana inter se
perpendicularia sunt, ^) quod fieri non potest. namdemonstratum est, intra [coni sectionem] eam casuram
esse [prop. 11, d].
c) Si duo plana parallela quamuis figurarum sphae-
roideon contingunt, linea puncta contactus iungens
per centrum sphaeroidis ibit [cfr. p. 282, 18]. —si primum plana ad axem perpendicularia sunt, ad-
paret.^) sint uero ne perpendicularia. itaque planum
1) Nam linea a puncto illo contactus ad lineam contingen-tem perpendicularis ad planum secans perpendicularis erit (Eucl.
XI def. 4), nec ab eodem puncto duae lineae ad idem planumperpendiculares ducuntur.
2) Tum enim in terminis diametri contingunt (cfr. p. 36011 sq.).
initpuviovri,] scripsi; STntpavovti, F, uulgo. 22. sl] Nizzius;OTt per comp. F, uulgo. na nor'] scripsi; xar* F, uulgo.25. nori] V; nqog F (per comp.) A, BC*; ini D.
366 nEPI KSiNOEIAESiN KAI Z^AIPOEIAEiiN.
t6 avto Si^ev STtLTCsdov to Sui tou a^ovog xal ixa-
tsQav tav atpdv ay^ivov. el 8e iii], lOGovvtai 8vo
inCTteSa %otl tb avtb ijtLJtadov OQd^a dia tdg avtdg
yQafi^dg dy^eva ovx iovOag oQd^dg Jtotl tb ijttTtedov.
5 vTtSKSLto yuQ 6 d^cav iirj el^ev OQd^bg Jtotl td TtaQak-
krika inLTteda. iv rc5 avta aQa i60ovvtaL iitLTtedci
o t£ a^cov xal al dtpaC^ xal tet^iaxbg i66eCtaL tb 6(paL-
QoeLdeg SLa tov d^ovog. d ovv toiid i66eCtaL oivya-
vCov xwvov to^d, at de tcov iTtL^avovtav inLTtedcav
10 tO(jLaL %aQaXki^koL i66ovvtaL xal ijtLil;avov6aL tdg tou
o^vyovCov x(6vov to^dg xatd tdg dcpdg tcav iTtLTtedov.
£L de xa dvo ev^eCaL o^vyovCov xcavov to^dg iitL-
il^avavtL TtaQaXkrikoL iov6aL^ to te xevtQov tdg tov
o^vyovCov xovov to^dg xal av dg)al iit evd^eCag
15 i66ovvtaL.
El xa tov 6(paLQoeL6ecav 6xY}^dtov oTtotegovovv
dvo TtaQakkrjka inCTteda ax^fi ijtLil^avovta, dxd^fj de
tL ijtCitedov dtd tov xevtQOV tou 6(paLQoeLdeog TtaQa
20 td ijtL^avovta, al dLa tdg yevofievag to^dg dyofievaL
ev^eCaL TtaQa tdv tdg d(pdg i7tL^evyvvov6av ixtbg
7te6ovvtaL tov 6(paLQoeLdeog.
3. oQ^av FC* 7. TStpLrj-Kog F; corr. Torellius. 9. ini-.
'tf>av6vT(ov'\ scripsi; smipavov6(ov F, milgo. 10. eGovvtca F;
corr. Torellius, xat'] Bcripsi; ai F, uulgo. 15. iGcovvTaC]
scripsi; smvtL F; sovtl uulgo. 16. i^' Torellius.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 367
per axem et alterum punctum contactus ductum ad
planum contingens perpendiculare erit [p. 362]. quare
etiam ad planum ei parallelum [perpendiculare erit].^)
necesse est igitur, planum per axem et utrumque
punctum contactus ductum idem esse. nam si minus^
duo plana ad idem planum perpendicularia erunt per
eandem lineam ducta, quae ad planum perpendicularis
non est.^) suppositum enim est, axem ad plana par-
allela perpendicularem non esse. itaque et axis et
puncta contactus in eodem plano erunt, quod sphae-
roides per axem secabit.^) itaque sectio coni acuti-
anguli erit [prop. 11, c], sectiones autem planorum
contingentium parallelae erunt [Eucl. XI, 16] et sec-
tionem coni acutianguli in punctis contactus planorum
contingent. sin autem duae lineae parallelae sectionem
coni acutianguli contingunt, et centrum sectionis coni
acutianguli et puncta contactus in eadem linea recta
erunt.*)
XVII.
Si ducuntur duo plana parallela utramuis figurarum
sphaeroideon contingentia, et per centrum sphaeroidis
planum contingentibus parallelum ducitur, lineae per^)
sectionem inde ortam ductae parallelae lineae puncta
contactus iungenti extra sphaeroides cadent.
1) Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p, 181 nr. 18.
2) Quod fieri non potest; u. Zeitschr. f. Math., hist. Abth,XXIV p. 182 nr. 20.
3) Ad TfTjttaxoff iGGtitui^ quod actiuum est, subiectum estx6 iTtinsdov (in quo et axis et puncta contactus sunt).
4) Zeitschr. l Math., hist. Abth. XXV p. 49, nr. 8.
B) Sid, non «jro, quod exspectaueris,posuit Archimedes,
quia lineae illae in utramque partem sectionis producendae sunt.
368 IIEPI KSiNOEIAE<^N KAI S^AIPOEIAES^N.
vTtoxeiGd^co ra elQrj^eva, xal Xeld^pd^o xv 6a^etov
eTtl rag yevo^evag rofiag, Slcc de tov yevo^evov 6a-
[leCov xal xag evd^eLag xag xag a<pag e7CL^evyvvov6ag
eTtLTtedov a%^(xi. xe^et drj xovxo xo xe Oq^aLQoeLdeg
5 xal xa TtaQaXXaXa eTCLTteda. e6XG) ovv a ^ev xov
6(paLQoeLdeog xoaa a ABFzi [^6lE,vyovL0v^ xmvov xo^d,
at de xcav eTtLTtedcov xcov tpavovxcov xo^al at EZ, H®
^
Z ^^ Aevd^eiaL^ xb de Xatp^ev 6a^etov xo A^ a de xdg d(pdg
eJtL^evyvvoviSa e^xco d B^' Tte^eCxaL de avxd dta xov
10 xevxQOV d de roi TtaQdXlT^Xov eitLTtedov ,xotg eTtLifjav-
6vxe66LV ejtLTteSoLg xo^d d FA' e66eLxaL de avxd dta
rov xevxQOv dy^eva, eTtel xal xo eTtLTtedov. eTtel ovv
e6XLv d ABFA i^xol xvxXog t] o^vycovLOv xmvov xo^id,
xal eTCLTpavovxL avxdg 8vo evd^eCaL at EZ, H@^ dta
15 de xov xevxQOv dxxaL TtaQaXXrjXog avxatg d AF^ d^-
Aoi/, (og at djto xcov A, F dyo^evat 6a^eLOv Jta^d xdv
B jA eTtLjpavovxL xdg xo^dg xal exxog Tte^ovrnaL xov
6(paLQoeLdeog. — el 6e xa xb TtaQdXlrjXov eTtLTtedov
xotg e7tL\pav6vxe66LV eTtLJtedoLg fi^ dta rov xevxQov
20 dyiievov rjj cog xb KA, SrjXoVy cog xdv djtb xdg xo^dg
2. ysvofiivov] delet Nizzius. 4. Sq] Nizzius ; ds F, uulgo.
7. STtLipcivovrcov? 8. 8i] Nizzius; Srj F, uulgo. 9. ne6st-
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 369
supposita sint ea, quae diximus, et sumatur punctum
aliquod in sectione orta, et per punctum ita sumptum
et lineam puncta contactus iungentem planum du-
catur. hoc igitur et spharoides et plana parallela se-
cabit. itaque sphaeroidis sectio sit ABF^ coni [acu-
tianguli]^) sectio [prop. 11, c], sectiones uero planorum
contingentium lineae EZ^ H@, et punctum sumptum
Af et linea puncta contactus iungens sit J5z/; cadet
autem per centrum [prop. 16, c]. plani autem planis
contingentibus paralleli sectio sit FA linea; ea autem
per centrum ducta erit, quoniam etiam planum [per
centrum ductum est]. quare quoniam ABFzl aut
circulus^) aut sectio coni acutianguli est [prop. 11, c],
et eam contingunt duae lineae EZy H0y et per cen-
trum iis parallela ducta est linea AF^ adparet, lineas
a punctis A, F ductas lineae Bz/ parallelas sectionem
contingere^) et extra sphaeroides casuras esse.
sin planum contingentibus planis parallelum non
per centrum ductum est, uelut KA, adparet, linearum
1) Putauerim, o^vycoviov lin. 6 delendum esse, cum se-
quatur lin. 13: ^rot xvxXog rj o^vytovLov Ktovov zoficc.
2) Hoc fit, ubi plana parallela in terminis diametri sphae-roidis contingunt, et punctum ita sumitur, ut linea ab eo adid planum perpendicularis, quod per puncta contactus positumest, in ipsam lineam puncta contactus iungentem cadat.
3) Apollon. I, 17; Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXV p. 49nr. 9.
Tttt] noQSvoEzav Nizzius. Si] scripsi; drj F, uulgo. 10. sni-tpavovtsGGL F. 11. dsl drj Nizzius. 14. snLifjccvmvti F; corr.
Torellius. ccvtccg] Torellius cumV; ccvtai F, uulgo. ^vo]scripsi; ai dvo F, uulgo. 17. iuL^avovtt] scripei; snLipavcavtt
F, uulgo; fort. inLtffavaovvti. nai] om. F; corr. Torellius.
18. xa] scripsi; xat F, uulgo. 19. smtpavovtsGaL aafiSLOLg fii]
F; corr. Torellius.
Archimedes, ed. Heiberg. I. 24
370 nEPI KSiNOEIAEiiN KAI 2:*AIP0EIAESiN.
dyofievav svd^eidv aC ^ev inl ta avta ysvofievat rcS
ikdeeovL t^dfiarc ixtos m^ovvtat, rov ^fpaLQoeidiog^
ai $£ inl ^dtsga ivtog.
LtJ ,
5 ndv (Sx^j^a CtpaiQOSLdeg iTCmidc) t^ad^sv did roi;
xivtQOv 6Cxa ts^vitac vno tov istLTtiSov xal avto xal
d inL(pdvHa avtov.
tetiided-a yaQ ro 0(paLQOH$Eg iTCtnidci did Toi;
xivtQOV 7}tOL dri xal d^d tov d^ovog i^CeLtat tetfia-
10 fiivov 7} jcot' OQd^dg 7} ^rj itot^ OQd^dg ta d^ovL, el
Hev ovv $Ld tov d^ovog te^vitaL rj jcot' OQd^dg tcj
d^ovL, d^Aov, dog dL%a te^vitac ts avtb xal d inc-
fpdvsLa avtov. (paveQOv yaQ, otc i^paQ^o^ec ro eteQOv
fiiQog avtov iicl to etSQOv^ xal d imtpdveLa tov itiQOv
15 ^iQovg iTcl tdv tov etiQov. — dXX\ e6tG) firj Scd rov
d^ovog tet^a(iivov (ifjde icot OQ^dg rc5 d%ovL. t^a-
d^ivtog drj tov 6(paLQoeL$iog iTCLTcidoi OQd^a Tcotl to
tifivov iiCLTCedov dcd tov d^ovog avtov ^ev rov 6%^-
fiatog toiid eCta d ABF^ o^vycovLOv x(ovov rofia,
20 dLa^etQog de avtdg e6tG) xal dl^cav rov 6(paLQoeLdiog
d BJ^ xal xivtQOv to 0, rou de ijCLJcidov tov tst^a-
1. dyofiivccv] scripsi; vav yBVOfisvav F, uulgo; rccg ysvo-
fiEvag Nizzius. tc5] scripsi; ro) r« F, uulgo. 2. t(id(iatL'\
sic F. 4. h' Torellius. 10. rj (iri tcot' oqd-dg] om. F; corr.
Torellius; „aut erecto aut non erecto" Cr. 12. rs] scripsi;
TO F, uulgo; de uerborum ordine cfr. Xenoph. Hellen. III, 4,
3, aL 15. tov itsQOv] scripsi; tov om. F, uulgo. 16. (irjSs]
scripsi; (iri F; fiiits uulgo.*
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 371
a sectione ductarum eas, quae in eadem parte sint, in
qua sit minus segmentum, extra sphaeroides casuras
esse, quae in altera parte sint, intra.
XVIII.
Quaeuis figura sphaeroides plano per centrum secta
in duas partes aequales plano secatur et ipsa et su-
perficies eius.
'
secetur enim sphaeroides plano per centrum ducto.
erit igitur aut per axem quoque sectum aut plano ad axem
perpendiculari aut non perpendiculari. iam si per axem
uel plano ad axem perpendiculari secatur, adparet, et
ipsum et superficiem eius in duas partes aequales secari.
nam manifestum est, alteram partem eius alteri con-
gruere, et superficiem alterius partis superficiei alterius.
sit autem ne per axem neu plano ad axem per-
pendiculari sectum. itaque secto sphaeroide per axem
plano ad secans planum perpendiculari ipsius figurae
sectio sit ABF^ coni acutianguli sectio, diametrus
J Ifautem eius et axis sphaeroidis sit J5z/, et centrum sit
@, plani autem per centrum sphaeroides secantis sectio
24* ,
372 nEPI KS^NOEIAESiN KAI S^AIPOEIAEaN.
ocotog dicc tov xevtQov to ^(paiQOSidsg sCtcj to^a a
AF svd^eta. ksldcpd-c} dt] ti xal aklo CfpaiQosidsg
l'6ov xal o^oiov tovtcjj xal t^ad^svtog avtov dia tov
a^ovog STtiTtsda to^a satco a E Z H N o^vyaviov
5 X(6vov to^d, did^stQog ds avtdg xal d^av rov Ccpat-
Qosidsog d EH, xal xsvtQOv to K. Kal did tov Kdxd^co d ZN yovCav TtotovCa tdv K i6av ta 0, djto
6s tdg Z N sTtiJtsdov s6tco dvs6tax6g OQd^bv Ttotl tb
STtCitsdoVy iv cj} s6tiv d EZHN tofid. ivtl drj dvo
10 o^vycovCcov xcovov to^al ai ABr/t y EZHN tcai Tcal
o^oCai dlkdXatg. icpaQ^o^ovti ovv iii dXXdlag, ts-
d^Si^ag tdg EH inl tdv B A Tcal tdg Z N iitl tdv
AF. i(paQ^6t,si ds xal tb iitCitsdov tb xata tdv NZrw iTtiTtidco r« xatd tdv AF, iitsl dnb tdg avtdg
15 yQa^^dg itotl tb avtb iitCitsdov d^cpotsQa oQ^^d ivti.
icpaQiLot^si ovv %al tb t^d^a tb vitb tov iitiTtsdov
dnots^vb^svov tov xatd tdv NZ d7t6 tov 6cpaiQ0Si-
dsog ro i^Jtl td avtd rc5 E rw stsQG) tfidfiati ta dno-
tsiivoiisvcp d7t6 tov stSQOv 6(paiQOSidsog vn6 tov ijti-
20 Ttsdov tov Tcatd tdv AF iitl td avtd rc5 5, xal ro
},Oi7t6v t^d^a inl ro loiTtov^ xal at imcpavsCai tcov
t^ia^dtcav ijtl tdg iiticpavsCag. itdXiv 8s xal tsd^sC^ag
tdg EH iitl tdv B A ovtcog^ Sats ro ^sv E xatd to
A KsCad^at^ t6 d\ H xatd t6 B, tdv ds [ista^v tcov
25 N, Z Oa^sCov yQa^^dv ijtl tdv ^sta^v t(ov A, F6a^sCc!)v, drjXov, cog aC ts t^v 6%vycovCcov Tcoivov to^al
icpaQ^o^ovvti iii dXldXag, xal t6 ^sv Z iitl to F7ts6sCtai, ro ds N iitl ro A. o^oCog xal to iitCTtsdov
1. xo ocpaiQOSiSsg] scripsi; rov GcpociQOSLSsg FC*; rov ffqpat-
QosiSsog uulgo. 7. ZiVJ Zif F. 9. Sj] Svo] scripsi; Sicc
tcov F, uulgo; Sri toav Torellius. 11. aUalat?] Torellius;
BE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 373
sit linea AF. sumatur igitur etiam aliud sphaeroides
huic aequale et simile, et secto eo plano per axem
posito sectio sit EZHN coni acutianguli sectio, dia-
metrus autem eius et axis sphaeroidis EH [prop. 11, c]
et centrum K. et per K ducatur ZN angulum Kaequalem faciens angulo 0, et in ZiVplanum erigatur
ad id planum perpendiculare, in quo est sectio EZHN.itaque duae sectiones conorum acutiangulorum sunt
inter se aequales et similes ABF^, EZHN. quare
inter se congruunt. linea EH in Bz/ linea posita et
linea ZiV in ^jT. et etiam planum in NZ linea po-
situm plano in linea ^F posito congruit, quoniam
utrumque ab eadem linea ad idem planum perpendi-
culare est [p. 367 not. 2]. quare etiam segmentum
plano in linea NZ posito a sphaeroide abscisum in
eadem parte positum, in quo est E punctum, alteri
segmento congruit ab altero sphaeroide plano in linea
^r posito absciso in eadem parte, in qua est Bpunctum, et reliquum segmentum reliquo, et super-
ficies segmentorum inter se. rursus autem etiam linea
EH in linea iJz/ ita posita, ut E punctum in z/ po-
natur, H autem in 5, linea autem iV, Z puncta iungens
in linea puncta ^, F iungenti, adparet fore, ut et
sectiones conorum acutiangulorum inter se congruant,
et Z punctum in F cadat, et N punctum in ^. eodem
aXXrjXais F, uulgo. scpccQfio^mva F; corr. Torellius. ccXXccg
F; corr. Torellius. 12. tcig ZiV] a ZN F; corr. Torellius.
13. reo 'natci F. 15, notQ ogd^a noii Nizzius. op^d"»]
scripsi; om. F, uulgo. 18. xo inl ta avta tc5 E] scripsi;
To sm tag F, uulgo; ra avta tc5 E, t6 inl tws Torellius; ta«vTo: Tc5 E Nizzius. anoxsfivcofisvoi F. 21. at snicpavsiaL]
Torellius; a snicpavsia F, uulgo. 27. icpaQino^ovvti] scripsi;
iffa^lio^ovvtL F, uulgo.
374 nEPI KSiNOEIAESiN KAI 2<JAIP0EIAESiN.
t6 xata tav NZ iq)aQ^6^€L tc5 iTtLTtedc!) tip xata tav
AF^ xal rc5i/ t^afidtwv tciv aTiots^vofievcov v7to rov
iTiLJtidov tov Tcata tav NZ to ^lv iitl ta avta taH itpaQ^o^BL rc5 t^d^atL rc5 aTtots^vo^ivcj vno Toi)
5 iitLTtidov tov xatd tdv AF inl td avtd rc5 B. tb de
iitX td avtd tco E rc5 inl td avtd rc5 ^. iTtsl ds
to avtb t^dfia icp ixdtSQOv rc5i/ t^a^dtov itpaQ^o^et,
dijXov, otL L6a ivtl td tfid^ata' did tavtd ds xal at
iTtLtpavsLat.
10 Ld'\
T^d^atog dod^ivtog ojtotSQOVOvv tcov xcavosLdicav
ditotstfiaiisvov ijtLTtidG) OQd-ci Ttotl tbv d^ova '?/ rc5v
GcpaLQOSLdicav bnotsQOVOvv ^i] fiSL^ovog f]^L0ovg tov
6xpaLQOSLdiog b^OLCjg djtots^vo^ivov dvvatov i6tL 6xrj^a
15 6tSQsbv iyyQatl^aL xal dXXo 7tsQLyQdi{jaL ix xvlLvdQcav
l6ov vil^og iyjovtcav 6vyxsL^svov, S6ts tb TtSQtyQatpo-
fisvov 6xij^a tov iyyQacpivtog ild66ovL vnsQixsLV
Ttavtbg tov TtQOtsd^ivtog 6tSQSov fisysd^sog.
dsdo^d^cj t^d^a, olov i6tL tb ABF. t^ad-ivtog ds
20 avtov iTtLTtidcp did tov d^ovog tov ^sv t^d^atog to^d
s6tG) d ABFxcDvov rofta, rov ds iTtLTtidov tov dnotst^a-
xotog tb tfid^a d AF sv^sla, d^ov ds s6tG) rov t^d^a-
tog xal dLdfistQog tdg to^dg d B A. insl ovv vitoxsCtaL
tb KTtots^vov iTtLTtsdov OQd^bv slybsv Ttotl tbv d^ova,
25 d to^d xvxlog £(?rt, dLd^stQog ds avtov d FA. ditb
8s tov xvxkov tovtov xvkLvdQog s6to d^ova sxcov tbv
1. xo xara F. 6. xo E F. xo J F. 7. Bcp' sy.oixsqov\
scripsi; gxaTS^ov F, uulgo; SKaxiQco Torellius. 8. xd ccvxu B.
cct] d F. 10. xa' Torellius. ' 13. 7}[itasog7 14. iaxi]
scripsi; sgxul F, uulgo. axrjfia] Barrowius; x(iafia F, uulgo.
16. ix6vx(ov cvynsi^svov] sxovxav xcov (comp.) avynsLfisvov F;
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 375
modo etiam planum in linea NZ positum plano in
AF posito congruit, et ex segmentis plano in NZposito abscisis id, quod in eadem parte est, in qua
punctum Hj congruit segmento plano in ^F posito
absciso in eadem parte, in qua B, praeterea quod
in eadem parte est, in qua est punctum Ey ei, quod
in eadem parte est, in qua z/. et quoniam idem seg-
mentum utrique segmento congruit, adparet, segmenta
aequalia esse, et eadem de causa etiam superficies.
XIX.
Dato segmento utriusuis conoideon absciso plano
ad axem perpendiculari, uel segmento utriusuis spbae-
roideon non maiore, quam dimidia pars sphaeroidis est,
eodem modo absciso fieri potest, ut figura solida in-
scribatur, et alia circumscribatur ex cylindris altitu-
dinem aequalem habentibus composita, ita ut figura
circumscripta inscriptam excedat spatio minore, quamquaeuis data magnitudo solida est.
datum sit segmentum, quale est ABF, et secto
eo plano per axem posito segmenti sectio sit ABFconi sectio [prop. 11], plani uero segmentum abscin-
dentis linea AF. axis autem segmenti et diametrus
sectionis sit B ^, iam quoniam suppositum est, pla-
num abscindens ad axem perpendiculare esse, sectio
circulus est, et diametrus eius FA [prop. 11]. in hoc
autem circulo cylindrus construatur axem habens JBz/.
corr. Barrowius. 20. tov /xaV] scripsi; om. F, uulgo. tofia]
TOjLtaff F; corr. ed, Basil.* 21. ci7coT8r(ir}%cotog F, dnotst(if}-
xoTO? ceteri codd. , dnotsfivovtos ed. Basil., Torellius. 24,
«OTt'] scripsi; sni F, uulgo; u. not. crit. p. 362, 2. 26. tov]tav Nizzius.
376 nEPI KiiNOEIAEiiN KAI 2:4»AIPOEIAEiiN.
B z/. TteGeirai de a inKpdvELa avtov ixzog Tot5 t^d-
fiatog^ 87160 i0tLv rjtoi xcjvoetdeg 7] Gq^aiQosLdeg fir^
fiet^ov rov rj^toeog rov 6(paLQoeLdeog. tov ^rj kvXlv-
Sqov tovtov del ^iyia te^vo^evov iTCLitedcj oQd-ci notl
5 Tov a^ova, iaaeCtaL Ttote to xataXeLTto^evov eXa66ov
Tor TtQOted^evtog 6teQeov ^eyed^eog. e^tco drj t6 xata-\
XeleLfi^evov dit avtov xvkLvdQog 6 exav ^d6LV tbv 1
xvxXov tov TteQi dtd^etQOv tdv AF^ d^ova de tbv
E^ iXdeaov tov TtQoted-evtog 6teQeov ^eyed^eog. dLaL-
10 QYia^G) dri d B J ig tdg tcag ta E zt xatd td P, O,|
77, S, xal djtb tdv dLaiQe6Lov dx^cov evd-eCaL JtaQa
tdv AF e6te Jtotl tdv tov xmvov tofidv, ditb de tdv i
aid^eL^dv iitLTteda dve6taxeto OQd^d itotl tdv B^.i66ovvtaL drj al to^al xvxkot td xevtQa i^ovteg inl
15 tdg 5z/. dq)' exd6tov drj tSv xvxXov dvo xvkLvdQoi
dvayeyQd^pd^cov, exdteQog e%ov d^ova l6ov toEzl, 6 ^ev
inl td avtd tov xvxkov^ i(p' d i6tL t6 ^, 6 de inl
xd avtd, iq)' d i6tL tb B. i66eLtaL dTJ tL iv tc5 t^d-
fiatL 6%rnia 6teQebv iyyeyQa^fievov ix tcov xvXlvSqov
20 6vyxeL^evov tcov inl td avtd dvayQag^evtov ^ i(p' d
i6tL t6 z/, xal dXXo TteQLyeyQa^^evov ix tov xvkCv-
6qov 6vyxeC^evov tcov iitl td avtd dvayQa(pevtov,
i(p' d tb B i6tLV. loLTtbv de i6tL deC^aL, btc tb
TteQLyeyQa^^evov tov iyyeyQa^fievov vJteQexeL iXd66ovL
2. iGTiv] sGtiv (comp.) Ss F; corr. Torellius. 3. rjiiLGBcas
F; corr. Torellius. 6. S'^] scripsi; Ss F, uulgo. ^cctuXs-
li(ifisvov F. 7. 6] om. AB, ed. Basil. , Torelliua. 9. sXaa-
60V F; corr. Torellius, StaiQSLa&(o F. 10. ra] Tug F; corr.
Torellius. 11. SiaLQSffsaiv F, uulgo. 12. sars'] icraL (per
comp.) F, uulgo; corr. Torellius. 14. saovvTai F. 16. ava-ysYQacpd^co puncto addito F; corr. Torellius. 17. y.vy.Xov]
scripsi, collata p. 384, 17; kvXlvSqdv F, uulgo. 19. gtsqsov^
CTSQSOv s-K Toov (comp.) F. 21. fx] cvynsLfjLSvov fXT« F, uulgo;
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 377
'superficies autem eius extra segmentum cadet, quo-
niam est aut conoides aut sphaeroides [segmentum] ^)
non maius dimidia parte [totius] sphaeroidis [prop.
15, a— b; prop. 17]. hoc igitur cylindro semper dein-
ceps in duas partes aequales diuiso planis ad axem
perpendicularibus, aliquando quod relinquitur, minus
|erit data magnitudine solida. itaque quod ex eo re-
linquitur, sit cylindrus basim habens circulum circum
diametrum AF descriptum, axem autem E^j [qui]
minor [sit]^) data magnitudine solida. diuidatur igitur
linea B ^ in lineas lineae EJ aequales in punctis
P, O, H^ tSl^), et a punctis diuisionis lineae ducantur
lineae j4 F parallelae usque ad sectionem coni, et in
ductis lineis plana erigantur ad lineam jBz/ perpen*
dicularia. sectiones igitur circuli erunt centra habentes
in linea B A. in singulis igitur circulis bini cylindri
construantur uterque axem lineae E /i aequalem ha-
bentes, alter in eadem parte circuli, in qua est Apunctum, alter in eadem, in qua JB. ergo in segmento
figura quaedam solida inscripta erit ex cylindris com-
posita in eandem partem constructis, in qua est punctum
^, et alia circumscripta ex cylindris composita in
1) Ad xcoi^oetdE? et GtpccLQOBidss lin. 2 auditur: tficc^ce.
2) Fortasse retineri potest iXaaaov lin. 9 ad ro -KataXs-
I Xtififiivov lin. 7 relatum.
3) Figura ita comparata esse debebat, ut numerus partiumlineae BJ per quattuor diuidi posset, quia cylindrus „semperdeinceps in duas partes aequales diuisa" esse fingitur (Hn. 3 sq.).
evyKSLfiEvov om. B, rf deleui. 22. cvyHSi^svov'} recepi ex F;om. C, ed. Basil., Torellius. 23. Post Iqp' a in F repetunturhaec: to J xat (per compendium simillimum compendio lgov)
aXXo nsQLyByQUfifisvov Gvyasifisvov «x rs rcov hvXlvSqoov ravf snL Ttt avrcc avctyQCicpsvrtov scp' a; corr. C. sorLv] comp. F.icrL] comp. F; om. AB, ed. Basil., Torellius.
378 IIEPI KiiNOEIAESiN KAI S^AIPOEIAE^N.
rov TtQOtsd^evTog OtSQSOv ^sysd^sog. 6xoc6tog drj tmv
^vkivdQov toov sv ta syysyQa^^svip 6%ri^ati i6og
i6tl ta xvlLvdQG) ta afco tov avtov xvxXov avayga-
(po^isvG) S7tl ta avta ta B, (og 6 ^sv ®H r» 0/, 6
f) ds K A t^ K M, xal oC aXkoi Gi^avtag. xal ndvtsg
B Z-\
M/
/
9 ^
\ f
p^ o M\
r
n A\
r \-
\\
A A rdri oi xvXCvdQOL ndvts66iv 1'6ol svtC. di]Xov ovv^ ot
tb TtsQiysyQa^^svov <?%^fta roi5 iyysyQa^^svov vTtsQsxsL
ta xvXCv8Q(p rc5 ^d6LV s^ovtL tbv xvxXov tbv TtsQi
dLa^stQov tdv AF^ a^ova ds tdv EA. ovtog 6s i6tLv
10 iXd66Giv tov TtQOtsd-svtog 6tsQS0v ^sysd^sog.
X .
T^id^atog dod^svtog oTtotsQOvovv tcov xcovosLdscov
ccTtotst^a^svov iTtLTtsdip ^17} OQd^a Jlotl tbv a^ova rj
tcov 6(paLQ0SLdsov oTtotsQovvov ^rj ^SL^ovog r]iiC6sog
4. TO)] (prius) ro P; corr. Torellius. 6. Sr]] scripsi; 6s F,
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 379
«andem partem constructis, in qua est B. restat autem^
ut demonstremus , figuram circumscriptam excedere
inscriptam spatio minore, quam data magnitudo solida
est. unusquisque igitur cylindrorum figurae inscriptae
aequalis est cylindro in eodem circulo constructo in
j
eandem partem, in qua est punctum 5, uelut 0if= /,
\k A =^ K Mj et ceteri eodem modo. quare etiam
omnes cylindri omnibus aequales sunt. adparet igitur,
figuram circumscriptam excedere inscriptam cylindro
basim habenti circulum circum diametrum AF de-
scriptum, axem autem E^. hic autem minor est data
magnitudine solida. ^)
XX.
Dato segmento utriusuis conoideon absciso plano
non ad axem perpendiculari, uel segmento utriusuis
sphaeroideon non maiore, quam est dimidia pars
sphaeroidis, eodem modo absciso fieri potest, ut in
1) Ex hypothesi p. 376, 9. hoc autem fieri potest perEucl. X, 1; cfr. Quaest. Arch. p. 45.
Tiulgo. TCCiGiv F, uulgo. svti] scripsi; slglv F, uulgo. 11.
yi§' Torellius. 14. 7i(iL6sog] scripsi; tkhhvkXiov F, ceteri codd ;
r}(iiGovs ed. Basil., Torellius; ,,dimidia" Cr.
380 HEPI KSiNOEIAEiiN KAI S^AIPOEIAE^N.
TOv Gq^ccLQOSideog Oftotog ccjtotit^a^avov Svvarov icxLV
sis To tfia^a <?;t^ft« CteQSov iyyQdtpat xal aXko neQu-
yQaipat ix KvkivdQGiv to^cov vtpog l'0ov ixovtov 6vy-
x6c^£vov, Sere to TteQiyQacplv <3%riiia rov iyyQatpo^ii-
5 vov v7t€Q8xeiv ikd60ovi Ttavtog roi) TtQOted^ivtog ^teQeov
^eyid^eog.
ded66d^G) t^d^a, olov eiQT^tat. t^ad^evtog de rov
OxYi^atog iniTtidc) dXkc) did rov d^ovog OQd^a notl
ro intnedov ro dnotetiiaxog to do^^ev t^d^a rov ^ev
10 ax^^atog to^d e6ta d ABF xcovov rofta, tov dh
ininidov tov dnotet^axotog ro t^dfxa d FA ev^eta.
inel ovv vnoKeCtai to inCnedov to dnotetfiaxog ro
t^d^a ^rj el^ev oQd^ov notl roi/ d^ova, d to^d i66eC-
tac o^vycDvCov xcavov to^d, dtd^etQog de avtdg d AF,15 e6tG) drj naQaXkrikog td AF d ^T initpavov^a tdg
tov Kcovov to^dg^ invipavitco de xatd to B, xal dno
tdg T dve6taxitc3 inCnedov naQdXkrjkov rc5 xatd
rdv AF' inLipav6et de ro-uro rot5 ^;f?Jfi«rog xatd to
B. xal el fiev i6tt to t^d^a oQd^oycjvCov xovoetdiog^
20 dno rov B dx^co na^d roi/ dlE,ova d B ^, et de d^-
pXvyovCov ^ dno tdg xoQVcpdg tov xojvov tov neQt-
ixovtog to xcovoetdeg ev^ela dx^ei6a int tb B ix^e-
pXrj^d^o d BA, et de 6(patQoet6iog, inl tb B dx^et6a
evd-eta dnoke^.dg)d^c!) d B/1. drjXov drj, ort tifiveL d
2b Bzt dCxa tdv AF. i66eCtaL ovv\ tb ^ev B xoQvcpa
2. ilg xo Tfittfta] cum F; eIs avxo Torellius. gxthlcl] om.F; corr. Torellius. xal dXXo nBQiyqcLipui,] om, F; corr. Ri-
ualtus. Byyqdtpai] syysyqwipciL F. 3. cvynELpLSvovl xoav
crvyxft/u-fvcov F; corr. Torellius. A. iyyQUcpsvxogB. T.xfiaficcli
sic F, ut lin. 9, 11, 13, 19. 10. ABrj ¥; corr. Nizzius. 14.
AF] z/jT F; corr. Torellius. 15. l'<>rco dij nccQccXXriXog xu AF^Uom. F, uulgo; suppleuit Torellius, qui tamen Sri omisit et proj
^rhabet ry^;'„8it uy contingeiis" Cr. 19. Y,ovosiSsoi F.j
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 381
segmento figura solida inscribatur et alia circumscri-
batur ex cylindrorum frustis altitudinem aequalem ba-
bentibus composita/ ita ut figura circumscripta excedat
inscriptam spatio minore, quam quaeuis data magnitudo
solida est. — datum sit segmentum, quale dictum est.
figura igitur alio plano per axem secta ad planum
datum segmentum abscindens perpendiculari figurae
sectio sit ABF coni sectio, plani autem segmentum
abscindentis linea F A. iam quoniam suppositum
est, planum segmentum abscindens ad axem perpen-
diculare non esse, sectio erit coni acutianguli sectio,
et diametrus eius linea AF^) sit igitur linea ^Vlineae AF parallela coni sectionem contingens, et con-
tingat in puncto J5, et in linea OT erigatur planum
plano in y^r posito parallelum. hoc igitur figuram
in B puncto continget [prop. 16, b]. iam si est seg-
mentum conoidis rectanguli, a B puncto ducatur B^axi parallela, sin [segmentum conoidis] obtusianguli,
linea a uertice coni conoides comprehendentis ad Bpunctum ducta producatur [et sit] B^, sin [segmen-
tum] sphaeroidis, linea [a centro spbaeroidis] ad Bducta abscindatur [et sit] B^.'^) adparet igitur, lineam
B /J in duas partes aequales diuidere lineam A F. ^)
1) U. propp. 12,^ 13, 14. ^
2) Exspectatur dxd-Sioas sv&^slus ccTtoXsXdcpd^a) lin. 23—24.
puto tamen, constructionem duram nec satis logicam ferri posse.
3) In conoidis rectanguli segmento adparet ex quadr. pa-rab. prop. 1, de ceteris cfr. Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXVp. 56 nr. 26, p. 49 nr. 7.
23. int] dno tov nsvtQov snC Commandinus; scribendum puto:dno rov yisvtQOv tov acpaLQOSiSsos snC. 24. 8ri] scripsi; ds F,
uulgo. 25. sGosCtcci] scripsi; sGtat, F, codd. ceteri*; sativ ed.
Basil., Torellius; „erit igitur" Cr.
382 nEPI KiiNOEIAESiN KAI S^AIPOEIAE^N.
TOt; t^dfiatog, a ds BJ av^eta aicov, eOtiv 8ri tLg
ols^vycovLOV xcovov to^a jcegl did^stQOv tdv AF^ Hoi
yQa^fid d B^ dno rov xevtQOV dveGtaxovCa ev OQd^a
iTanedm notl ro iniTiedov, ev a eotiv d tou oifVyGiVLov
5 x(6vov toiidy dLa tdg iteQag ^La^etQOv eovtog rov
iTCLTcedov. dvvatov ovv iotLv xvIlvSqov evQeiv d^ova
exovta tdv B jd, ov iv ta ijcnpaveLa i66eLtaL d tov
o^vyavLOV X(6vov to^d JceQL dLd^etQOv tdv AF. ne-
0eLtaL de d inL<pdveLa avtov ixtbg tov t^d^atog,
10 ineL ictLv jjtOL xcovoeLdeog rj 6(paLQoeLdeog t^d^a^ xal
ov ^eL^ov i6tLv tov rjfiiOecog tov 6(paLQoeL8eog. i66eL-
taL drj tLg xvXlv8qov tofiog pd6Lv fiev excav tdv rov
o^vyavLOv xcovov to^dv tdv neQL 8Ld^etQov tdv AF^
7. snnpavBiai F. 9. x^,d^azo?] sic F, ut lin. 10. 11.
Tov] (prius) addidi; om. F, uulgo. ^/xt<yfof Torellius. 12. 8ti\
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 383
itaque B punctum uertex segmenti erit, linea autem
jBz/ axis.^) quare data est coni acutianguli sectio
circum diametrum ^F descripta, et linea Bzi si centro
erecta in plano ad id planum perpendiculari, in quo
est sectio coni acutianguli, ita ut planum illud per
alteram diametrum positum sit. fieri igitur potest,
ut cylindrus inueniatur axem habens B ^ lineam,
cuius in superficie sit sectio coni acutianguli circum
diametrum AF descripta [prop. 9]. superficies autem
eius extra segmentum cadet, quoniam est aut conoidis
segmentum aut sphaeroidis non maius dimidia parte
sphaeroidis.^) erit igitur frustum aliquod cylindri ba-
sim^) habens sectionem coni acutianguli circum dia-
metrum A F descriptam, axem autem B ^. frusto
1) B punctum uerticem esse adparet ex p. 276, 7; 278,
20 ; 282, 12. porro cum B d lineam AT vcl duas partes aequa-les dinidat, diametrus est segmenti et diametro sectionis (hoc
est axi conoidis uel sphaeroidis; u. p. 274, 20; 278, 6; 282, 2)
parallela (Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXV p. 44); tum u.
loci supra de uertice laudati.
2) Sequitur in conoidibus ex prop. 15, a—b, quia E -J axis
est, et$^, TT lineae axi parallelae, in sphaeroidibus ex prop.
17, quia Bz/ puncta contactus iungit (prop. 16, c).
3) Poterat fortasse retineri ^aaiag lin. 12.
scripsi; Ss F, uulgo. jSaffmg F; corr. C. tay] tag F; corr.
Torellius. 13. to[iag F; corr. Torellius.
384 nEPI KSiNOEIAESiN KAI S^AIPOEIAESiN.
cc^ova d€ rccv BzJ. rov ovv ro^oi» dixcc te^vo^svov
BTCiTtedoLg TtaQaXlriloig ra imTCsdc) rc5 xara rav AFi^CeCrai ro TcaraXsLjto^svov aXa66ov rov TCQorsd-svrog
^rsQsov ^sysd^sog. sGrco ro^og ^d^iv ^sv sicav rav
5 rov o^vycavCov xoavov ro^av rav tcsqI did^srQOv
rdv AF^ a^ova ds rdv E /J sldeGcov rov TtQO- ,
rs^svrog orsQSOv ^sysd^sog. diriQriCd^c) drj d ^ Big rdg l'6ag ra /J E^ xal aTtb rdv diaLQseCcav di^mvsv^sCaL TtaQd rdv AF s6rs Jtorl rdv rov xcovov ro-
10 ^dv^ aTto ds rdv dx^^SLedv ijtCTtsda dvs6raxsrcov
TtaQdkXriXa rw xard rdv AF i7tL7ts8(p. rsfivovrL dri
ravra rdv i7tL(pdvsLav rov r^d^arog^ xal i66ovvrav
o^vycovCcsv xcivcov ro^al o^oCul ra TtSQL rdv AF dLa-
fisrQOv, iitsl TtaQdkXrjld ivrL rd inCTtsda. d(p^ sxd^rag
15 drj rdg rov o^vyavCov xtovov ro^dg dvaysyQa^pd-cov
xvXCvdQOv roiuoL dvOj 6 [isv ijtl rd avrd rdg rov -
o^vyovCov xoovov ro^dg ra z/, o ds iTtl rd avrd ra
Bf d^ova i^ovrsg l6ov rc5 ^ E. i66ovvraL dr/ rLva .
6ir\\3Lara 6rsQsd, ro fisv iyysyQa^^svov iv ra rfidfiarL, \
20 rb ds TtSQLysyQa^^svov, ix xvXCvSqov ro^ov l'6ov vxl^og
ixovrcDv 6vyxsC^sva. koLitbv ds i6rL dsC^at^ orL rb
TtSQLysyQa^^svov 6%riiia rov iyysyQa^^svov ikd66ovL
vTtsQsxsL rov TtQorsd^svrog] 6rsQsov ^sysd^sog. ^si^X-
d^rj^sraL ds OfioCog ra TtQorsQC), on rb JtSQLysyQa^-
25 ^svov 6x^1 Via rov iyysyQa^^svov vTtSQSxsv rc5 rdftoj
1. ovv] scripsi; ju-fv F, uulgo; Sri Nizzius. Si%u\ aft 81%^Nizzius. 7. z/B] AB F; corr. Torellius. 8. BiuiQBasmv
F, uulgo. 9. Bv&Bioi F; corr. B*. IWf] iatoLi F; corr.
Torellius. 10. ctvBaxa-Aotaiv F; corr. Torellius. Figura in
F pauUo aliter descripta est. 12. Tfta|u.atoff] sic F, ut lin. 19.
^aaovvtai] scripsi; iaovvtui F, uulgo. 14. aqp*] scripsi; fqp
F, uulgo; „in unaquaque" Cr. eyittatJig F; corr. Torelliua.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 385
igitur [semper deinceps] in duas aequales partes di-
uiso^) planis parallelis plano in linea AF posito,
quod reliquum est, [aliquando] minus erit data ma-
gnitudine solida [Eucl. X, 1]. frustum basim habens
sectionem coni acutianguli circum diametrum AF de-
scriptam, axem autem ^z/, minus sit data magnitudine
solida. diuidatur igitur linea z/ J5 in partes lineae
^E aequales, et a punctis diuisionum ducantur lineae
usque ad coni sectionem lineae AF parallelae, et in
ductis lineis plana erigantur plano in AF posito par-
allela. ergo haec [plana] superficiem segmenti se-
cant, et orientur sectiones conorum acutiangulorum
sectioni circum diametrum AF descriptae similes, quia
plana parallela sunt [prop. 14 p. 354, 25]. iam in
singulis sectionibus conorum acutiangulorum bina fru-
sta cylindri construantur, alterum in eadem parte
sectionis coni acutianguli, in qua est ^, alterum in
eadem parte, in qua est 5, axem habentia lineae ^ Eaequalem. orientur igitur figurae quaedam solidae,
altera segmento inscripta, altera circumscripta, ex
cylindri frustis altitudinem aequalem habentibus com-
positae. restat autem, ut demonstremus, figuram cir-
cumscriptam excedere inscriptam spatio minore, quamest data magnitudo solida. eodem autem modo, quo
supra [prop. 19 p. 378], demonstrabitur, figuram cir-
cumscriptam excedere inscriptam frusto basim habenti
1) Hic quoque figura ita comparanda erat, uti dixi p. 377not. 3, sed cum mutari nequeat, hic quoque retinui Torellianam.
15. avaysyQacpd^cDVTL F; corr. Torellius. 16. rccg] addidi; om. F,iiulgo. 17. To5] (prius) xo F; corr. Torellius. 18. sGGovvtaL]scripsi; seovvrai F, uulgo. 22. sXaaaov F; corr. Torellius.
Archimedes, ed. Heiborg. I. 25
386 nEPI KiiNOEIAE^N KAI S^ABPOEIAESiN.
rc5 fidCLV ^€v iiovxL xav rov o^vycDVLOv xmvov to^av
tccv TteQL dLcciistQov tav A r, a^ova de rav E z/.
ovtog de iotLv iXdeacov tov TtQOtsd^evtog GteQeov
fieyed^eog,
5 xa',
Tovtcov TtQoyeyQa^^evcov dnodevxvvGiyLeg td tcqo-
Pe^Xrj^eva TCeQL tSv ^xri^dtcav.
ndv t^d^a oQd^oycovcov xwvoeideog aTtotetfiafievov
eTtLTtedc) OQd^S Jtotl tbv di,ova thiloXlov eCtv tot) xcovov
10 TOt» ^dCLv e^ovtog tdv avtdv tc5 t^d^atL xal d^ova.
e6tci ydQ t^d^a OQd^oycovLOv xcovoeideog djtotetfia-
Hevov oQd^a eTtLTteSco Ttotl tbv d^ova, xal t^ad^evtog
avtov eTtLTtedG) dXX(p dLa rov di^ovog tdg ^ev eTttq^aveLag
To/Lta e0tcs d ABF OQd^oycoviOv x(6vov TOfta, tov de
15 eTtLTtedov tov dnote^vovtog to t^d^a d FA evd^ela^
d^cDV de £(?Tco tov t^dfiatog d B ^. eetco de xal
xdsvog tdv avtdv pd0Lv excov tc5 tfid^atv xal d^ova i
Tov avtov^ ov xoQVfpd to B. deLXteov, otv tb t^dfia
Tov XG)voeLdeog tj^loXlov eotv tov xcjvov tovtov.
20 exxeL^d-G) ydQ xmvog 6 W rj^LoXLog ecov rov x(6vov,
ov pd6Lg 6 TteQL dLd^etQov tdv AF^ d^cov de d B^.e0tG) de xal xvXLvdQog ^dOLv ^ev eyjGiv tbv xvxXov
xbv JteQl dLd^etQOv tdv A F, d^ova de tdv Bzl. eo-
GeCtaL ovv 6 W xcavog rj^L6eog tov xvXlvSqov [ejteLTteQ :
2. tdv nsgQ ruv om. F. 5. %«'] cum F; in lin. 8 po-
suit Torellius (xy'). 7. tcsqlI addidi; om. F, uulgo. 8.
T|Lta|U.a] sic F, ut lin. 10, 11, 12, 15, 16, 18. KnoTStaa^ivov^scripsi; ccnotstfirjiisvov F, uulgo. 10. cc^ova tov avtov Niz-
zius. 20. (ov F, uulgo. 21. 6] 6 y.vY.Xog b Nizzius. d^cov
Ss d] a^ova $s rav F; corr. Torellius. 24. rjpnosog oXl F(h. e. -qfiiGso^ in 7](ii6Xiog correctum); pro oXi ed. Basil., To-
rellius (non BC*) oAov.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 387
sectionem coni acutianguli circum diametrum AF de-
scriptam, axem autem lineam EzJ. hoc autem minus
est data magnitudine solida.
XXI.
His praemissis demonstremus, quae de figuris pro-
posita erant.
Quoduis segmentum conoidis rectanguli plano absci-
sum ad axem perpendiculari dimidia parte maius est
cono basim habenti eandem, quam segmentum, et
axem [eundem].^)
sit enim segmentum conoidis rectanguli plano
abscisum ad axem perpendiculari, et secto eo alio
plano per axem superficiei sectio sit ABT coni rect-
anguli sectio [prop. 11, a], plani uero segmentum
abscindentis linea FAy axis autem segmenti sit Bzl.
sit autem etiam conus eandem basim babens, quam
segmentum, et axem eundem; cuius uertex sit B. de-
monstrandum est, segmentum conoidis dimidia parte
maius esse hoc cono.
construatur enim conus W dimidia parte maior
cono, cuius basis est [circulus] circum diametrum AFdescriptus , axis autem B z/. sit autem etiam cylin-
drus basim habens circulum circum diametrum AFdescriptum, axem autem B z/. erit igitur conus W
1) Cfr. p. 276, 12: Sia Tt, ff Y.a tov 6q%^oyoiVLov yicovosi-
Ssog tfidfiaTa a7tot(ia&^ iTtmsdo) OQ^^m notl tov a^ova, to ano-tyiiad^sv t^a^a tj^loXiov ioosLtaL tov yimvov tov ^doiv 4%ovtog
tdv avtdv Tc5 tfidfiatL ymI d^ova tov avtov. et nsQL sXl-a.
praef. : ort 8s to dnotfia&sv tfid^a rjfiioXiov ioosLtai tov ticovov
To-G §aOLv sxovtog tdv avtdv ta tiidiiatL xai vipog lOOVy dsL^ai dst.
25*
388 HEPI KSiNOEIAESiN KAI S^AIPOEIAESiN.
rj^iolLog i6riv 6 W xc5i/oj rov avrov 7it6vov\ Xsyo,
ori ro r^cc^a rov xavosLdEog i'6ov i0rl ra W Koovci.
BL yag ^ri idrLV l6ov, rjroL ^st^ov ivn rj iXa60ov.
sarco di} TtQorsQOv^ sl dvvarovj ^st^ov. iyysyQatpd^a
^Xx7\xr
/ / I \ \/ / » \ \
//
/~\
\*/,
/Si z Vd//M J^ \
\A ^ JT
6 ^ri Oxij^a 6rsQsov slg ro rfiaiia, xal aXko TtSQLysyQacpd-c)
ix TivkCvdQCDV vxpog l6ov i%6vrc)v 6vyxsL^svov, S0rs
ro 7tsQLyQa(psv 6xVi^^ '^^^ iyyQatpsvrog v7tSQS%SLV
iXa06ovLy 7] alLKC) v7tSQS%SL t6 rov xc>fWSLdsog r^ia^a
rov W x(6vov. xal s6rcD rcov xvXCvdQcov^ i^ (ov 6vy-
10 xsCraL ro 7tSQLyQa(psv 6xrj^a, ^syL6rog ^sv 6 ^a6Lv
sxcov rbv xvxXov roi/ TtsQL dLcc^srQOv rav AF^ a^ova
ds rav E^, iXaxL6rog ds 6 ^a6Lv fisv 8%^'^ '^^^
xvxkov rov TtsQi dLcc^srQov rav 2JT, a^ova ds rav
BI. rSv ds xvXCvdQov^ i^ cov 6vyxsCraL ro iyyQacpsv
4. (isi^cov F; corr. VBD, 5. uXXm F. 6. Gvy-KSifisvov']
rcov Gvynsiiisvoiv F; corr. Torellius. 8. rj aXnto)] scripsi;
nrjXiyiai F, uulgo; i] nrjXiHO} Torellius. ro] tco F. figura in
F male descripta est; / et permutat Torellius. 14. BI]scripsi cum Cr.; BF F, uulgo*; B& ed. Basil., Torellius.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 389
dimidius, quam cylindrus.^) dico, segmentum conoidis
aequale esse cono W.
si enim aequale non est, aut maius est aut minus.
prius igitur, si fieri potest, maius sit. itaque segmento
figura solida inscribatur et alia circumscribatur ex
cylindris altitudinem aequalem habentibus compositae,
ita ut figura circumscripta excedat inscriptam spatio
minore, quam quali spatio excedit segmentum conoidis
conum W^)j et cylindrorum, ex quibus composita est
figura circumscripta, maximus sit [cylindrus] basim
habens circulum circum diametrum ^F descriptum,
axem autem E^, minimus autem [cylindrus] basim
babens circulum circum diametrum UT descriptum,
axem autem BI. eorum uero cylindrorum, ex quibus
figura inscripta composita est, maximus sit [cylindrus]
1) Nam cylindrus sit C, et conus ABF sit K; erit ex hy-pothesi W= ^K. sed K = ^C (Eucl. XII, 10) == |
^
d : C= 2 'F.
hoc ipsum significatur uerbis: BTtEiSrinsQ rjfiioXLog p. 386 lin. 24— rov avtov tkovov lin. 1; sed nimis obscurum est tov avrovxcovov; etiam insiS^nsQ, uocabulum ab interpolatoribus amatum,suspectum est; quare haec uerba subditiua esse puto.
2) Hoc fieri potest per. prop. 19.
388 nEPI KSiNOEIAESiN KAI E^AIPOEIAEaN.
^fttoAtog i6TLV 6 W xavog rov avxov x(6vov\ keyco,
OTL t6 r^ccfia rov xavoscdsog i6ov s(Srl ra W xcjvc).
bI yag ^ri ieriv i'6ov, ijroL ^st^ov ivn 7] sXa6(5ov.
s0r(o drj TtQorsQOv, sl dvvarov, fist^ov. iyysyQdcpd^G)
A ^ jT
5 8ti\ 0%y\\ia 6rsQs6v slg ro r^a^a, xal alko TtSQiysyQacpd-ci
ix xvICv6qg)v vipog l'6ov i%6vrciv 6vyxsL^svov, Sors
ro TisQLyQafpsv ^xijfia rov iyyQatpsvrog v7tSQS%SLv
iXd66ovLy 7] dkCxci v7tsQS%SL ro rov xc^twsLdiog rfid^a
rov W xojvov. xal s6ro rcov xvXCvdQOv, i^ ov 6vy-
10 xsCraL ro TtSQLyQacpsv 6%rj^ay ^syL6rog fisv 6 ^d6Lv
s%G}v rbv xvxXov rov TtSQi dLd^srQOV rdv AF^ d^ovaj
ds rdv E^, ikd%L6rog ds 6 ^d6Lv fisv €%g)v rov
xvxlov rbv TtSQL dLd^srQov rdv UT, d^ova ds rdv
BI. rov ds xvlCvdQov, a| cov 6vyxsCraL rb iyyQacpsv
4. ftftjooy F; corr. VBD. 5. uXXoa F. 6. 6vyy{,SL^Bvov\
rcov 6vyv,SL(isv(ov F; corr. Torellius. 8. rj aAixo)] scripsi;
nrjXLHO) F, uulgo; r) nrjXiyia) Torellius. to] too F. figura in
F male descripta est; / et permutat Torellius. 14. BI]scripsi cum Cr.; BF F, uulgo*; B@ ed. Basil., Torellius.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 389
dimidius, quam cylindrus.^) dico, segmentum conoidis
aequale esse cono W.
si enim aequale non est, aut maius est aut minus.
prius igitur, si fieri potest, maius sit. itaque segmento
figura solida inscribatur et alia circumscribatur ex
cylindris altitudinem aequalem habentibus compositae,
ita ut figura circumscripta excedat inscriptam spatio
minore, quam quali spatio excedit segmentum conoidis
conum ^^), et cylindrorum, ex quibus composita est
figura circumscripta, maximus sit [cylindrus] basim
habens circulum circum diametrum AF descriptum,
axem autem E^, minimus autem [cylindrus] basim
habens circulum circum diametrum 2JT descriptum,
axem autem BI. eorum uero cylindrorum, ex quibus
figura inscripta composita est, maximus sit [cylindrus]
1) Nam cylindrus sit C, et conus ABF ^t K; erit ex hy-pothesi W= ^K. sed A' = ^ C (Eucl. XII, 10) = 1 5»" d : C= 2 9»'.
hoc ipsum significatur uerbis: instdrinsg r}(ii6Xiog p. 386 lin. 24— tov avTov y.covov Im. 1; sed nimis obscurum est tou avxovKwvov: etiam ineidrinsg, uocabulum ab interpolatoribus amatum,Buspectum est; quare haec uerba subditiua esse puto.
2) Hoc fieri potest per prop. 19.
390 nEPI KSiNOEIAESiN KAI S^AIPOEIAESiN.
6x^^cc, ^eyi6tog ^sv E6t(o 6 ^cc^lv excov tov xvhXov
tbv TtSQi ditt^stQov tccv KA, a^ova ds tccv ^E, sldxL-
^ro^ ds 6 ^ttCiv ^sv sxcjv tbv xvxlov tbv JtsQl did-
^stQov tttv 27 r, tt^ovtt ds tttv 01, sxpspX^^ad-G) ds
5 ttt SJlLTtsdtt TtttVtCOV tCJV XvXCvdQGiV TtOtl tttV S7tL(ptt-
vsittv tov TivXCvdQov tov ^tt6Lv sxovtog tbv xvxlov
tbv TtSQL dittnstQov tttv AF^ tt^ovtt ds tccv 5z/. s6(5sC-
tttL dfj o oXog xvXLvdQog dLtjQrj^svog sCg xvXCvdQOvg
rco fisv TtXrid^SL tOovg totg xvXCvdQOLg totg iv tS itsQL-
10 ysyQtt^^svG) axW^'^^^ '^^ ^^ ^sysd^SL l'6ovg rc5 (isyCctc)
ttVtCOV. Xttl sTtsl tb TtSQLySyQtt^^SVOV 6xV^^ ^^9^ ^^
t^tt^tt sXtt06ovL VTtsQsxsL tov iyysyQtt^^svov (?;^^'^aroj,
7] tb t^K^tt tov x(6vov, drjXov, ort Xttl tb iyysyQttu-
^svov ^xrj^tt iv rc5 t^a^tttL ^st^ov iotL tov W xcovov.
15 6 dri TtQcatog xvXtvdQog \t(ov iv t(p oAc) xvXCvdQG) 6
sxcov tt^ovtt tttv /lE Jtotl tbv\ TtQcjtov kvXlvSqov tcjv
iv t<p iyysyQtt^^svG) (J^^^^art, tbv sxovttt cc^ova tccv
z/jB, tbv ttvtbv sxBL Xoyov, ov cc AA itotX tccv KEdvvtt^SL. ovtog ds i6tLV 6 ttvtbg rw, ov sxbl k B^
20 ;rort tccv BE, xal rcS, ov sxsi' cc /1A itotX tccv ES.
o^oCcog ds dsLx^yj6staL xttl 6 dsvtsQog xvXLvdQog tcSv
iv rc5 oXg) xvXCvdQG), 6 sxcov cc^ovtt tbv EZ, notl
tbv dsvtsQOv xvXlvSqov tcov iv t<p iyysyQtt^^sva
6xriiicctL tbv ttvtbv sxsi^v Xoyov, ov cc IIE, tovts6tLv
25 a ^A, Ttotl tccv Z^, xttl tc5v ttXXav xvXCvdQcav sxtt-
0tog tcov iv tG) oXg) xvXCvdQG) cc^ovtt ixovtcav l6ov ta,
12. Jyyay^oJitt/itEvor] nBQiy^yQuyiiLSvov F; corr. ed. Basil.
13. Tftafta] sic F, ut lin. 14. 15. 6 'ixcov'] scripsi; 6 om. F,
uiilgo. 16. AE FV, CD*; corr. F man. 2. rmv'\ scripsi;
zov F, uulgo. 20. Tc5] xov F. 23. Ttov] scripsi; xov Fuulgo. iyyfy^afLtftsVci)] alterum /x supra man. 1 F. 24.
iX^Lv'] scripsi cum C; bix^v FAD, ed. Basil., %£t B; ejjcov
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 391
basim habens circulum circum diametrum KA descri-
ptum, axem autem ^dEj minimus uero [cylindrus] basim
habens circulum circum diametrum UT descriptum;
axem autem @I. producantur autem plana omnium
cylindrorum usque ad superficiem cylindri basim ha-
bentis circulum circum diametrum AF descriptum,
axem autem 5z/. totus igitur cylindrus diuisus erit
in cylindros numero cylindris figurae circumscriptae
aequales, magnitudine autem maximo eorum aequales.
et quoniam figura circum segmentum circumscripta
excedit figuram inscriptam spatio minore, quam quo
segmentum conum excedit^ adparet, etiam figuram
segmento inscriptam maiorem esse cono ^.^) quare
primus cylindrus cylindri totius axem habens z/^ ad
primum cylindrum figurae inscriptae axem habentem
^E eandem rationem habet, quam ^ A^: KE^.^) sed
^A^ : KE^ = BJ : BE^) = ^A : ES^) et eodem
modo demonstrabimus, etiam secundum cylindrum totius
cylindri axem habentem EZ ad secundum cylindrum
figurae inscriptae eandem rationem habere, quam IIEf
hoc est /^Ay ad Zii^), et unusquisque ceterorum
cylindrorum totius cylindri axem habentium lineae
1) Quia figura circumscripta segmento maior est.
2) Nam cum axes aequales sint, eam rationem habent cy-lindri, quam basea (Eucl. XII, 11); tum u. Eucl. XII, 2.
3) Quadr. parab. 3; u. Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXVp. 50 nr. 12.
4) U. Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p. 178 nr. 4.
5) Habent enim eam rationem, quamnE^ : :s:e' = JA^ -. SE^ = BJ -. BZ = AJ -. ZSl.
Torellius. 25. ZSl] ZE F; corr. Torellius. 26. loov rajdE usque ad u^ovoc ixovrcov p. 392 lin. 2 om F; corr. Nizzius.
392 nEPI KilNOEIAESiN KAI S^^AIPOEIAESiN.
jdE Ttoxl sKa6tov tcov xvXlvSqcov t^v iv ta iyysyQa^-
fiivc) exriiLcctL a^ova i%6vtcov tov avtov £%£t rovrov
tbv Aoyov, ov a rj^Lesia tag dcafjietQov tag pdeiog
avtov notl tav dnoXsXa^iisvav dn avtdg fjista^v tdv
5 AB, B^ evd^eidv, xal ndvtsg ot kvXCv6qov ot iv roTivXtvdQco, ov pdctg fisv i6ttv 6 xvxXog 6 ncQt dtdns-
XQOv tdv AF^ d^oDv di [iiSttv] d ^I evd^Bta^ nott ndvtag
tovg KvktvdQovg tovg iv ta iyyeyQafifiEva 6xYiiiatb
tov avtov i^ovvtt Xoyov, ov nd^at at svd-stat at ix
10 tdiv xevtQcov tmv xvxXcov^ ol' ivtt ^aeCeg tcov stQrj-
fiivcov xvlCv^Qcov, nott ndcag tdg svd^sCag tdg dno-
XeXafifiivag dn avtdv fieta^v tdv AB^ B^. at de
etQfjfiivat evd^eCat tcov etQrjfiivoov ^ciptg tdg A/i fiet^o-
veg ivtt rj dtnXaoCat. Sote xat ot xvXCvdQot ndvteg
15 ot iv ta xvXCvSqg), ov dl^cov 6 ^J, fietloveg ivtl i}
dtnXaeCot rov iyyeyQafifievov GxriyLatog. noXXa aQa
xal 6 oXog xvXtvdQog, ov d^cov d AB^ fieC^cov ivtl r}
StnXacCcov tov iyyeyQafifiivov 6%rifLatog. tov Se Wxoovov rjv dtnXaeCcov. eXa66ov aQa to iyysyQafifiivov
20 fSxrjfia tov W xcovov* oneQ dSvvatov. ideCx^rj yaQ
fiet^ov. ovx aQa i6tlv jiet^ov to xcovoetdeg tov Wxcovov. ofioCcog de ovde eXa06ov. ndXtv yaQ iyye-
yQd^pd^co ro ^x^fJicc, xai neQtyeyQd(p%^co^ oo6te vneQexstv
exa6tov exd6tov iXd66ovt, rjneQ dXCxco vneQexst 6 W
3. ^acscog F, uulgo. 4. avtov] Nizzius; avrag F, uulgo.
tav] z(ov per comp. F; corr. Torellius. 5. svd^stmv F; corr.
Torellius. ndvrsg ovv ol? 7. J 1] scripsi cum Cr.; JF-F; JB Commandinus. 8. ysyQafifisva) F; corr. AC. 10.
svtl ^aalsg] scripsi; sv tr] ^aast slg (cum comp. r]v uel iv) F,
uulgo (ra pro tr] Torellius). 12. dn' avra»] scripsi; ano tag
F, uulgo'. 13. tag] tav F; corr. Torellius. (isl^cov F; corr.
Torellius. 15. ov] scripsi; ov 6 F, uulgo. z/ /] z/B Com-mandinus. 16. noXXm] delet Commandinus. 19. sXa6G<ov
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 393
^E aequalem ad unumquemque cylindrorum figurae
inscriptae eundem axem habentium eam rationem
habebit, quam dimidium diametri basis eius^) ad par-
tem eius^) inter lineas AB, BA abscisam. [quare]
omnes etiam cylindri in eo cylindro positi, cuius basis
est circulus circum diametrum AT descriptus, axis
autem linea z//, ad omnes cylindros figurae inscriptae
eandem rationem habebunt, quam omnes lineae, quae
radii sunt circulorum, qui bases sunt cylindrorum,
quos commemorauimus^), ad omnes lineas de illis*)
inter lineas AB^ BA abscisas. sed illae lineae his^
excepta linea A^^ maiores sunt quam duplo maiores.
quare etiam omnes cylindri in eo cylindro positi, cuius
axis est z/J, maiores sunt quam duplo maiores figura
inscripta.^) itaque etiam totus cylindrus, cuius axis
est z/B, multo maior est quam duplo maior figura.
inscripta. erat autem duplo maior cono W. itaque
figura inscripta minor est cono ^; quod fieri non po-
test. nam demonstratum est, maiorem eam esse. quare
conoides cono ^ maius non est. sed idem ne minus
quidem est. rursus enim figura inscribatur et circum-
1) H. e. cylindri in toto cylindro positi, p. 390, lin. 25.
2) H. e. diametri basis cylindri in toto cylindro positi.
3) H. e. cylindros in cylindro dl positos.
4) H. e. radiis circulorum.
6) Nam quia BI = 01 = ZE = Ez/.cet., lineae JJ, iSjEy
ZSl aequali spatio minimae earum aequali inter se excedunt;tum u. p. 290, 5 sq.
F. 24. s-Kciatov] om. F; corr. Torellius. sXccacov F; corr.
Torellius. rjnBQ aXinco] scripsi; t} nuXiv xco F; tJ nriXCyKo B,ed. Basil., Torellius.
394 nEPI KSiNOEIAE^N KAI S<I»AIPOEIAESiN.
xmvos tov xovosLdsog, [xal tcc aXka ta avta totg
TCQotsQOv xats^xsvdad-co, stcsI ovv sXa606v s6tL tb
syysyQa^^svov (^XV^^ ^^'^ t^d^atog, xa\ to syyQacpsv
tov 7CSQLyQa(psvxog skdocovv XsiTistai^ ij ro t^d^a tov
5 ^ x(6vov, d^Aov, G)g ^Xa666v s6ti to itsQiyQacpsv
6xrjiia tov ^P" x(6vov. Ttdkiv ds 6 itQcotog xvXivdQog
tcSv sv tS oKg) xvXcvdQG) 6 ^%Giv a^ova tdv ^E TCotl
tbv TCQcotov xvXtvdQOv tmv iv rc5 TCSQiysyQa^^svG)
6x^^atL tbv tbv avtbv s^ovta d^ova tdv E^ tbv
10 avtbv sxsi l6yov, ov ro dicb tdg AA tstQdycDvov
TCotl tb avtb. 6 ds dsvtSQog TcvXivdQog tciv sv ta
oXc) xvXivdQG) 6 sxG)v d^ova tdv EZ Tcotl tbv dsvtsQOv
xvXivdQov tc3V sv rc5 TCSQiysyQa^^sva ^xyj^ccti tbv
sxovta d^ova tdv EZ tbv avtbv sx^t, X6yov^ ov d
Ih /1A Tcoti tdv KE dvvd^Si' ovtog Ss s6tiv 6 avtbg
rw, ov sxsL d Bzl jcotl tdv BE, xal rc5, ov sxsc d
AA TCoti tdv ES' xal tcov dXXov xvXCvdQov sxa6tog
tov iv rc5 oXg) xvXCvdQCp d^ova ixovtcov i6ov td AETCoti sxa6tov tov xvXCv8qg)v tav iv rc5 JCSQiysyQa^-
20 ^svG) ^xyj^ccti d^ova ix^vtcov tbv avtov^ s%si tovtov
rbv X6yoVy ov d rj^C^Sia tdg dia^stQov tdg ^d6Log
avzov TCoti tdv djcoXsXa^^svav dn avtdg ^sta%v tdv
AB, BA svd^Sidv. xal Tcdvtsg ovv ot xvXCv8qol ol
iv to oXg) xvXCvdQC), ov d^cov i6tlv d BA svd-sta,
7. Ttiv] trjv F; corr. Torellius. 8. tmv'] scripsi; tov F,
uulgo. 9. Tov tov] scripsi; tov F, uulgo. tdv] scripsi; tcc
F, uulgo. 10. ^x^C] Torellius; 8lxs F, uulgo. 12. ^vXiv8Q(p]
KvXLvdQcov FACD*. tdv] toov (comp.) ccv F. 13. rw»'] scripsi;
tov F, uulgo. 16. tocv] ta F. «] Torellius; o F, uulgo.
18. i6ov] Torellius; laccv F, uulgo. 21. tag di.a(iftQ0v] om.
F; corr. Nizzius. §aGsa)g F, uulgo. 23. navt cum comp.
riv uel IV F. .ovv] yovv (comp.) F; corr. Torellius. 24. oXfp]
o supra manu 1 F. ovj cav F; corr. Nizzius.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 395
scribatur, ita ut altera excedat alteram^) spatio minore^
quam quali excedit conus W conoides [prop. 19], et
cetera eadem, quae supra, construantur. iam quoniam
figura inscripta segmento minor est, et figura inscripta
minor est figura circumscripta spatio minore, quam
quo segmentum minus est cono ^, adparet, figuram
circumscriptam minorem esse cono ^^. rursus autem
cjlindrus primus totius cylindri axem habens z/^ ad
primum cylindrum figurae circumscriptae eundem axem
E^ habentem eandem rationem habet, quam
AJ^ : A/J'^ [p. 391 not. 2].
et secundus cylindrus totius cylindri axem habens EZad secundum cylindrum figurae circumscriptae axem
habentem EZ eandem rationem habet, quam ^A^ : KE'^
[u. ibidem]. ea autem eadem est, quam habet jBz/
ad BE [p. 391 not. 3] et ^A : ES [p. 391 not. 4].
et ceterorum cylindrorum singuli, qui in toto cylindro
sunt et axem habent lineae ^E aequalem, ad singulos
cylindros, qui in figura circumscripta sunt et eundem
axem habent, eam rationem habebunt, quam dimidia
pars diametri basis eorum^) ad partem eius^) inter
lineas AB, B/l abscisam. itaque etiam omnes cy-
lindri totius cylindri, cuius axis est BJj ad omnes
1) H. e. figura circumscripta inscriptam; itaque parumrecte dicitur: %-kocgtov eKccarov; saltem debebat esse sy.cct8Qov
eyicczeQOv.
2) H, e, cylindrorum cylindri totius.
3) H. e. diametri basis. hoc loco igitur bases uocantur ii
circuli, qui in ea parte cylindrorum sunt, in qua est punctum.z/, supra uero ii, qui in altera parte sunt, in qua est B (p. 392, 4
;
sed p. 392, 3 ut hoc loco).
396 nEPI K.QNOEIAEiiN KAI S^AIPOEIAEiiN.
noxl ndvtag rovg HvXivdQOvg tovg iv ta itaQLysyQa^-iiiva exTinati tbv avtbv s^ovvtt Uyov\ ov ndaai aCev^scac notl Tcdeag tdg ev^stag. aC 81 av^sCai ndGaial iyi tmv xivtQov tiBv xvxAcov, o? ^aOLeg ivtl twv
5 xvXMQtov, tdv £vd-£idv Ttaadv tdv dnoXsla^^ivavdn avtdy Cvv ta AA ilacaovsg ivtl tJ dinkaeCaL.d^ilov ovv, oti xal oi xvXCvdQOi ndvteg ot iv ta oAc>xvUvdQCi ilaaeoveg ivtl t} dinXaisCoi twv xvACvdQwvtav iv ta nsQiyeyQa^^iva ^iri^ati. 6 aQa xvXtvdQo^
10 6 pdaiv exov tov xvxXov roi/ ne^l did^etQov tdvAr, diova de tdv B/i ildaaav iatlv ^ dinXaaCovro^ neQiyeyQa^^ivov axwatog. ^ovx iati di, dUd^eCtcov
^7] dinldaiog. tov yaQ W xmvov dtnlaaCcoviatC^ ro de neQiyeyQa^^evov axwa elattov ideCx^rj
15 Tov ^ xcovov. ovx dQa iatlv ovdh ekaaaov tb tovxovoeiSeog t^d^a tov 'J^ xmvov. ideCx^rj di, otcovde iiet^ov. rj^iohov aQa iatlv tov ^craVoi' rot; ^daivexovtog tdv avtdv ta t^id^ati xal d^ova tbv avtov.
20 Kal toCvvv el xa firj oQ^a notl tbv d^ova im-nidco dnot^ad^fj tb t^d^a dnb rov oQ^oyavCov xcj-
voeiSiog^ b^oCaig riiiioliov iaaeCtat tov dnotfid^atogrou x(6vov tov pdaiv exovtog tdv avtdv ta tfidtiatc
xal d^ova tbv avtov.
26 eatcj t^d^a oQd-oycDvCov xcovoeideog dnotet^a^ivov^tog eiQritai^ xal tfiadjvtog avtov imnida did tov
6. yivXivSQmv] kvXivSqoov nQog (comp.) F; corr. Torellius6. ra] zavF; corr. BD. 10. kvtiXov] nvXLvdQov F; corr. B*.13. dLnXaGimv] SinXaCL cum comp. tov F. 17. ovds] scripsi;ovTf F, uulgo. 18. Tfftliiati] sic F, ut lin. 21 (bis), 23. 19
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDJBUS. 397
cylindros figurae circumscriptae eandem habebunt
rationem, quam omnes lineae illae ad omnes has
lineas.^) sed omnes lineae, quae radii sunt circu-
lorum, qui bases sunt cylindrorum, minores sunt quam
duplo maiores omnibus lineis de iis abscisis una cum
linea AJ [p. 290, 5; u. p. 393 not. 5]. adparet igitur,
etiam cylindros omnes totius cylindri minores esse
quam duplo maiores cylindris figurae circumscriptae.
itaque cylindrus basim habens circulum circum dia-
metrum AT descriptum, axem autem 5z/ minor est
quam duplo maior figura circumscripta. at non est,
sed maior quam duplo maior; nam duplo maior est
cono ^, et figura circumscripta minor est cono ¥*",
ut demonstratum est [p. 394, 5]. itaque segmentum
conoidis ne minus quidem est cono ^. demonstratum
autem est, ne maius quidem id esse. quare dimidia
parte maius est cono basim eandem habenti, quamsegmentum, et eundem axem.
xxn.
lam uero etiam si segmentum plano ad axem non
perpendiculari abscinditur a conoide rectangulo, item
dimidia parte maius erit segmento coni basim eandem
habenti, quam segmentum, et eundem axem.
sit segmentum conoidis rectanguli ita abscisum,
ut dictum est, et secto eo plano per axem posito ad
1) Sequitur (ut supra p. 392, 5 sq.J addendo proportiones,quarum denominatores aequales sunt {oLvanoiXiv).
yiS' Torellius. 20. rc5 sTtntiSai? 22. saGSLtat,] scripsi; saTutper comp. F, uulgo. 25. yiovosiSsos F.
400 nEPI KSiNOEIAEnN KAI S^AIPOEIAESiN.
Toi5 o^vycovtov kcovov tofiocg dv£6taxov6a iv imTiido
OQQ^a avsGtaKotL cctio dca^itQOv Jtotl ro ijttTtsdov,
iv co iottv a Tot) o^vycovcov tkovov TOfta, dvvatov
i6ti KvXivdQov svQstv tov a^ova k'xovta in* svd^siag
5 ta 5z/, ov iv ta iTCKpavsCcc i6<5sitai a tov oi^vyGiviov
x(6vov to^a. dvvatov di i6ti ^al xcjvov svqslv xo-
• Qvcpav s%ovta to B 6a^stov, ov iv ta iTCtcpavsCa a tov
o^vyovCov aoavov TOfta i66sCtai. m6ts i66sCtaL to^og
xvXCvdQov tLg ^d6Lv sxcov tav tov o^vyovCov xcivov
10 to^av tav TtSQL dLcc^stQOV tdv AT^ d^ova ds tdv B^,xal aTtot^a^a xoovov pd6LV s%ov tdv avtdv tc5 ts TOftoj
xal Tw t^d^atL, d^ova ds tov avtov. dsLXtiov, otL tb
tov xcovosLdiog t^d^a rj^LoXLov i6ti tovtov tov xcjvov.
S6tc3 8rj 6 y^ Kcovog rj^LoXLOg tov djcot^d^atog
15 TovTov. i66sCtaL dri 6 to^og tov xvXCvdQOv 6 ^d^iv
s%aiv tdv avtdv ta t^d^atL xal d^ova tov avtbv
dL7tXd6L0g tov W xoovov. ovtog ydQ rj^LoXLog i6ti
tov djtot^d^atog tov xcavov tov ^d6Lv s^ovtog tdv
avtdv Tc5 t^d^atL xal d^ova tbv avtov^ t6 ds aTto-
20 t^a^a tov xoovov tb SLQrj^ivov tQCtov ^SQog i6tL tov
ro^ov Tov xvXCvdQOV tov ^d6Lv ^sv s^ovtog tdv avtdv
Tc5 tfid^atL xal d^ova tbv avtov, dvayxatov diq i6ti
tb tov xcavosidiog t^d^a l'6ov sl^sv tc5 ^ xoovc). st
ydQ ^ri i6tLv l'6ov, ritot ^st^ov i6tLv rj sXa66ov. s6tc}
25 drj TtQOtSQOVj Si dvvatov^ ^st^ov. iyysyQacpd^G) drj ti
slg tb t^d^a 6xrj}ia 6tSQs6v, xal dXio TtsQiysyQacpd^co
ix xvkCvdQCJV to^cav vrpog i6ov ixovtmv 6vyxsC^sva,
S6ts tb TtSQiyQacpsv ^xrjfia tov iyyQacpivtog vnsQSxsiv
2. rag SiafjLstQov? 4. svq cum comp. rjv uel iv F. 6.
svQ cum comp. i^v uel lv F. 8. coffrg iaasCTai] scripsi; om.F, uulgo; sGGBitai 8ri Torellius. 11. a7toT(i7}(ia F, ut lin. 15,
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 401
in plano a diametro erecto ad id planum perpen-
diculari^ in quo est sectio coni acutianguli, j&eri potest, ut
cylindrus inueniatur axem habens in producta linea Bzf,
cuius in superficie sit sectio coni acutianguli [prop. 9]. sed
hoc quoque fieri potest, ut conus inueniatur uerticem ha-
bens punctum B, cuius in superficie sit sectio coni acu-
tianguli [prop. 8]. erit igitur frustum quoddam cylindri
basim habens sectionem coni acutianguli circum dia-
metrum ^Fdescriptam, axem autemJ5z/, et segmentum
coni basim habens eandem, quam et frustum et segmen-
tum [conoidis], et axem eundem. demonstrandum est,
segmentum conoidis dimidia parte maius esse hoc cono. ^)
sit igitur conus W dimidia parte maior hoc seg-
mento [coni]. erit igitur frustum cylindri basim habens
eandem, . quam segmentum, et eundem axem duplo
maius cono W. hic enim dimidia parte maior est
segmento coni basim habenti eandem^ quam segmen-
tum, et eundem axem, segmentum autem coni, quod
commemorauimus, tertia pars est frusti cylindri basim
habentis eandem, quam segmentum, et eundem axem.^)
necesse igitur est, segmentum conoidis aequale esse
cono W. nam si aequale non est, aut maius est aut
minus. prius igitur, si fieri potest, maius sit. inscri-
batur igitur segmento figura solida, et alia circum-
scribatur ex frustis cylindrorum altitudinem aequalem
1) Fortasse scribendum lin. 14: tovtov tov aTtotiiccfiatos
tov xcovov; cfr. lin. 15.
2) U. supra prop. 10 p 340, 8.
19, 20; corr. Torellius. 13. to rov] scripsi; to F, uulgo; tovTorellius. 'KavosiSsg F; corr. Torellius. 19. trjv avtiqv^
utrumque per <jomp., F; corr. Torellius. 23. drj] scripsi; dsF, uulgo. 27. c%riiia\ om. F; corr. Torellius.
Archimedes, ed. Heiberg. I. 26
402 nEPI KiiNOEIAESiN KAI 2$AIP0EIAE<^N.
eXdo^ovL, rj kXCv.ci vnsQB^BL x6 rov xcovosidaog t^cc^cc
tov W Kcovov. xal didx^co td BTiCTieda tav to^coi' eets
Ttotl tdv eTiicpdveiav rou to^ov Toi) ^ddv exovtog tdv
avtdv t(p t^d^ati xal d^ova tbv avtov. ndkiv drj
5 6 7CQ(Btog to^og t(Bv ev tcp oAw to^c) 6 e^cov d^ova
tdv ziE TCoti Toi^ TtQcotov to^ov tcov iv t(p eyyeyQa^-
^ivcp (Sxriiiati rov e^ovta d^ova tdv ^E tov avtbv
t%ei loyov, ov tb aTtb tdg AA tetQdycovov Ttotl tb
aTtb tdg KE. ot ydQ to^oi ot iCov vipog exovteg tbv
10 avtbv e%ovti koyov Ttot dXkdkovg tatg pd6e6iv^ aC
de ^a^Ceg avtoav, inel o^oCat ivtl o^vycovCcav xcovcov
to^aC, tbv avtbv e%ovti koyov, ov aC o^okoyoi dia-
lietQOi avtdv dvvd^ei, Tj^i^eCai de ivti rcor o^okoycov
dia^itQcov aC A/i^ KE. ov de Xoyov 's%ei d A/i itotX
15 tdv KE dvvd^ei, rovrov e^ei d BjJ Ttotl tdv BE^dxeiy ijtel d fiev 5z/ Tta^d tdv did^etQOv i6tiv^ aC
6s AA^ KE TtaQa tdv xatd tb B iTtiipavovGav ov
d\ Xoyov 'e%ei d BzJ Jtotl tdv BE^ tovtov e%ei d A^Ttotl tdv ES- f|f^ ovv 6 TtQdotog to^og tcov iv rc5
20 oAg3 to^G) Ttotl tbv TtQcotov to^ov tcov iv rc5 iyye-
yQa^^evG) 0xi]^ati tbv avtbv koyov, ov d A^ Ttotl
tdv E^. xal tcov dkXcov to^cov exaatog tcov iv rc5
oX(p to^co d^ova i6ov ixovtcov ta ^E Ttotl sxa6tov
tdov rdfttoi/ rc5v iv rc5 iyysyQa^^iv(p 0%Yi^ati tbv
25 avtbv d^ova i%6vtcov tbv avtbv s%si koyov., 6v a
rj^Casia tdg dta^itQOv tdv ^aaCcov avtov Jtotl tdv
dTtokskayb^svav dit avtdg ybSta%v tdv AB, BA. dei%-
2. dvdx^o)] addidi; om. F, iiulgo. hrs] scripsi; sGGSLtai F,
uulgo. 3. tccv'] tr]v comp. F; corr. Torellius. 5. rco] to F; corr.
man.2,utuidetur. 6. JE] AE FBC*. 10. sxovtt] sxmvtL F.
12. sxoivtL F. . 17. x6 B] tav £E F; corr. Torellius. 20. rfov}
per comp. FB*. 23. sxovtcov] sxovta F; corr. '^. notC] nQOs
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 403
habentibus compositae, ita ut figura circumscripta
excedat inscriptam spatio minore, quam quali seg-
mentum conoidis conum ^ excedit [prop. 20]. et
plana frustorum producantur ad superficiem frusti basim
habentis eandem, quam segmentum, et axem eundem.
rursus igitur primum frustum totius frusti axem habens
^E Sid primum frustum figurae inscriptae axem habens
^E eandem rationem habet, quam AzJ^ : KE^. namfrusta eandem altitudinem habentia eandem rationem
inter se habent, quam bases^), bases autem eorum, quo-
niam similes sunt coni acutianguli sectiones [prop. 14
coroll.], eandem rationem habent, quam quadrata dia-
metrorum suarum sibi respondentium [prop. 6 coroll.],
et lineae ^z/, KE dimidiae sunt diametri sibi respon-
dentes. est autem A^^ : KE^ = B^ : BE [quadr.
parab. prop. 3], quoniam B^ diametro parallela est
[p. 399 not. 2], et lineae ^z/, KE parallelae lineae
in puncto B contingenti. sed B^ : BE = A^ : ES[p. 391 not. 4]. itaque primum frustum frusti totius
ad primum frustum figurae inscriptae eandem rationem
habebit, quam ^z/ : EtSl. et ceterorum frustorum
unumquodque eorum, quae in toto frusto sunt axem
habentia lineae z/E aequalem, ad unumquodque frustum
figurae inscriptae eundem axem habens eandem rationem
habet, quam dimidia diametrus basium eius ad eam
partem eius^), quae inter lineas AB^ B^ abscinditur.
1) Cfr. prop. 10 p. 340.
2) H. e. diametri basis, eo circulo pro basi sumpto, qui
in ea parte cylindri est, in qua est punctum B. cfr. p. 395not. 3.
per comp. F; corr. Torellius. 26. xav paoicov] scripsi; tcov |3a-
aicov F, uulgo ; tug ^dascos Nizzius. 27. tav'] tcav F ; corr. Torellius.
26*
404 nEPI KSiNOEIAE^N KAI S^AIPOEIAEiiN.
d^rjehaL ovv o^OLog rotg TCQotsQov to fi6v iyyeyQafi-
^Bvov 0%riiia ^st^ov ibv roi; ^ kcovov^ 6 de tov tcv-
XCvdQOV t6(ios ^cc6cv iyjcov tccv avtccv rc5 r|Ltaftari
xal a^ova roi/ avtov ^sl^cov i(X)v tj di7tla6LOv rov
5 iyysyQafjLfisvov Cxri^atoq. S0ts xal tov W xcovov
[iSL^cov s60SLtaL 7] 6LTikaOLcov . ov% i6tL ds, aXXa Sl-
TtXacCcDv. ovx ccQa ictl ^st^ov to tov xcovosLdsog
t^a^a tov W KCQVov. Slcc tojv avtSv ds dsLX^fJ^itaLy
otL ovds sXaijCov i6tLV. drjlov ovv, otL l0ov. rj^Lohov
10 ccQa ictl tb tov xovosLdsog t^d^a tov ccTtot^d^atog
tov xcjvov tov ^dOLV s^ovtog tdv avtdv rc5 tyid^atL|
xal ai^ova tbv avtov.
xy\
El' Ka tov OQd^oycDvCov xcovosLdsog dvo t^d^ata^^ aTtot^ad^sovtL iTtLTCsdoLg, tb (isv stsQov oq^o Jtotl
tbv d^ova, tb ds stSQOV (irj OQd^o, sovtL ds oC tov
tfia^idtcov d^ovsg l0ol, lCa i66ovvtaL td t(id(iata.
dTtotst^id^d^G) yaQ oQd^oyovCov HovosLdsog dvo t(id-
(lata, d)g siQTJtaL. t^iad^svtog ds tov xovosLdsog iitL-j
^^ Jtsdo dta rov d^ovog tov (isv KovosLdsog s6to tofid
d ABF OQd^oyovCov kovov tofid, dLd^istQog ds avtdg
d B/J, tov ds ijtLTCsdov aC AZ, EF svd^sCaL, tov (isv
oQd^ov Ttotl tbv d%ova a EF, tov ds (irj OQd^ov d ZA.d^ovsg ds satov rtov t^ia^idtov aC B®, KA toaL
1. 6/Ltotcos] syll. (og per comp. F. 7. iisl^cov F. 9. sXccggcov
F. 10. dnotfLfjfjLazog F. 13. xg' Torellius. 15. anoTfir}-
"©«covrt F, uulgo (t pro -^" AB, ed. Basil.), dTtotfiatscovti, To-rellius. 17. sGovvtccL F, uulgo. 18. anotstfirjG&to F; corr.
Torellius. tfidfiuta] sic F, ut lin. 14. 20. Post d^ovoghaec uerba habet F, uulgo: xat dXXoa ininsdco oQd-m notl tbv
a^ova, sed adparet, delenda esse. nam conoides secandum
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 405
itaque eodem modo, quo antea [p. 390, 11], demon-
strabimus, figuram inscriptam maiorem esse cono W,
frustum autem cylindri basim habens eandem, quam
segmentum, et eundem axem maius esse quam duplo
maius figura inscripta [cfr. p. 392, 16]. quare etiam
maius erit quam duplo maius cono ^.-^) hoc autem
non est, sed duplo maius. itaque segmentum conoidis
maius non est cono ^. per eadem autem demon-
strabitur, ne minus quidem esse. adparet igitur, aequale
id esse. itaque segmentum conoidis dimidia parte maius
est segmento coni basim habenti eandem, quam seg-
mentum, et eundem asem.
XXIII.
Si a conoide rectangulo duo segmenta abscinduntur,
alterum plano ad axem perpendiculari, alterum non
perpendiculari, et axes segmentorum aequales sunt,
segmenta aequalia erunt.
abscindantur enim a conoide aliquo rectangulo duo
segmenta ita, ut dictum est. secto autem conoide
plano per axem posito conoidis sectio sit ABF coni
rectanguli sectio, diametrus autem eius5z/ [prop. 11, a],
planorum autem lineae AZ, EF, plani ad axem per-
pendicularis sectio Er^ plani autem non perpen-
dicularis linea ZA. axes autem segmentorum sint
1) Quia conus W minor est figura inscripta.
esse et perpendiculari et non perpendiculari plano, iam lin.
18— 19: dvo t^a^uTa, a>g siQ^tai, (lin. 14—16) dictum est. quareNizzius male post a^ova supplet: xal alXca iit] oQQ^m notl tovaiova. 21. ABT^ BP F; corr. Torellius. '24. £(?roov]
scripsi; «(jrco F; eatcocav AD, BC*.
406 HEPI KSiNOEIAES^N KAI S^AIPOEIAEiiN.
aXXdXaig, KOQvq)al de xa B, A. deiTcreov, ort l'6ov
i(Srl ro r^a^a rov xcDVoecdsog, ov xoQvq)a ro B, rc5
r^d^arL rov xcovoeideog, ov xoQvq)d rb A.
eTCel yaQ djto rdg avrdg oQd^oycovCov kcovov rofidg
5 dvo r^d^ard evri dq^rjQrj^eva ro re AAZ xal rb
EBFy KaC evri avrwv at dia^erQOi i6ai at KA, B®,i'0ov e6rl rb rQCyavov rb AAK rc5 E®B' dedeCzrai
ydg^ on ro AAZ rQCycovov i(5ov e6r\ rc5 EBF rgi-
ycjvc}. d%%Gi drj d AX xdd^erog ejtl rdv KA m^kri-
10 %'ei6av. xal eitel i6ai at B&, KA, l6ai xal at E&,
AX. ecrco drj ev rc5 r^d^an, ov 7coQvq)d rb B, xc5vog
eyyeyQa^^evog rdv avrdv pdOiv excov r« r^d^an ical
a^ova rbv avrov' ev de ro5 r^d^an, ov KOQvq^a ro
A^ aTtor^a^a xcovov rdv avrdv pdeiv e^ov rc5 r^d-
1. aXXrjXccig F; corr. Torellius. 2. tov] addidi; om. F,
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 407
B@, KA inter se aequales, et uertices puncta B, A,
demonstrandum est, segmentum conoidis, cuius uertex
sit jB, aequale esse segmento conoidis, cuius uertex
sit A.
nam quoniam ab eadem sectione coni rectanguli
duo segmenta abscisa sunt, AAZ et EBT, et dia-
metri eorum KA^ B& a^quales sunt, triangulum AAKaequale est triangulo E&B] nam demonstratum est^
triangulum AAZ aequale esse triangulo ^EF^prop.S].^)
ducatur igitur linea AX ad productam lineam KAperpendicularis. et quoniam B0 = KAj erit etiam
E&= AX.^) inscribatur igitur segmento, cuius uertex
est Bj conus eandem basim habens, quam segmentum,
et eundem axem, et segmento^ cuius uertex est A,
segmentum coni eandem basim babens, quam seg-
1) Et B&, KA diametri (prop. 11, a) sectionum bases in
duas partes aequales diuidunt (prop. 3 p. 302, 9) ; tum u. Eucl.
VI, 1.
2) Nam, cum bases B0, KA aequales sint, erit
E@B : AKA = E@ : AX (Eucl. VI, 1) = 1 (not. 1).
uulgo. 6, civToav cct] scripsi; ccl om. F, uulgo. 14. ccno-
t(i7](ia F, ut p. 408 lin. 3; corr. Torellius. ^X^'^] ^j ^ ^S-ysxcov F, uulgo.
408 nEPI KSiNOEIAE^N KAI Z^AIPOEIAESiN.
^ciTL KoX a^ova rbv avtov. a%%^co ds ccTtb tov Axdd^etog inl tav AZ, a AM, iQOhitai drj avta v^og
tov aTiot^d^atog tov xcovov, ov nogvcpd ro A. ro
de djtot^a^a rot> xcovov, ov noQVcpd ro A^ xal 6 xcovog,
5 ov xoQvcpd tb B, tbv Ovyxei^evov koyov £%ovtL ;ror'
dkkaXa £x te roi; tmv ^aoCov Xoyov xal ix, roi5 tdav
vijjscov. tbv 6vyxsL[i£vov ovv s%ovtL Xoyov sx ts rot),
ov s%SL tb TiSQLSxo^svov xcoQLOV VTto tdg tov o^vyG)-
VLOV xcDvov to^dg tdg Ttsgl dLd^istQOv tdv AZ Ttotl
10 tbv xvxkov tbv TtSQL did^stQov tdv EF, xal ix tov,
ov s%SL d MA Ttotl tdv B®. tb ds xcoqlov ro itsQL-
s^o^svov VTtb tdg rov o^vyovLOv xcovov to^dg jtotl
tbv avtbv xvxlov tbv avtbv s^sl loyov^ ov ro 7ts-
QLS%6^svov VTtb tdv dLa^stQov Ttotl tb tstQaycovov
15 ro djtb tdg ET \s%sl xal tb dnot^rnia rov xco-
vov, ov xoQvcpd ro A^ TtQbg tbv xcovov, ov xoQvcpd
ro -B, tbv 6vyxsL^svov Xoyov sx ts rov, ov s%sl d
KA Ttotl tdv E@, xal rov, oV s%sl d MA Ttotl tdv
BS' d ^sv ydQ KA rj^L6sd ivtL tdg dia^stQOv tdg
20 pdoLog tdg rov d:tot^7]^atog tov xcovov^ ov xoQvcpd
tb ^, d 8s E& 7}[iL0sa tdg dLa^stQOv tdg ^doscog ro£»
xovov, at ds AM^ B& vjpsd ivtL avtov. s%sl ds d
AM Ttotl tdv B@ tbv avtbv loyov, ov xal Jtotl tdv
KA, ijtsl d B® L(jrj iatl td KA. s%sl ds xal d AM25 TTorl tdv KAy ov d XA Jtotl tdv AK']. s%ol ovv xa
xal ro djtot^a^a tov xcovov itotl tbv xovov tbv 6vy-
xsL^svov koyov sx ts rov, ov s%sl d AK Ttotl tdv
1. 8i'] Ss KUL D (non BC*); ed. Basil., Torellius. 2. Srj]
Torellius; Sl F, uulgo. 3. A] A F. 5. sxtovxi F; corr. D.
710ZL taXXaXa F. 11. MA] scripsi; NA FBC*; AM ed. Basil.,
Torellius. In figura lineas ZJT, ATI et litteras O, U addidi.
15. cin6z(i,c)C(icc, ut lin. 20, Torellius. 16. noTi Torellius.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 409
mentum, et eundem axem. ducatur autem ab A puncto
linea AM 2A lineam AZ perpendicularis. ea igitur
altitudo erit segmenti coni, cuius uertex est A?-^
segmentum autem coni, cuius uertex est A^ et conus,
cuius uertex est B^ eam inter se rationem habent,
quae composita est ex ratione basium et ratione
altitudinum. ^) habent igitur rationem compositam ex
ratione, quam habet spatium comprebensum sectione
coni acutianguli [prop. 12] circum diametrum AZdescripta ad circulum [prop. 11, a] circum diametrum
ET descriptum, et ratione MA : 50. sed spatium
sectione coni acutianguli comprehensum ad eundem
circulum eandem rationem babet, quam rectangulum
diametris [illius] comprehensum ad EV^ [pi^op- ^]-^)
quare etiam segmentum coni ad conum rationem ha-
1) Quia a uertice A ad basim perpendicularis ducta est
(u. quadr. parab. 17 extr.).
2) Cfr. prop. 10.
3) Sequentia uerba: Uxn xal lin. 15 — zav AK lin, 25
Bubditiua sunt. nam primum uerba ut ds AM^ B@ vipsd svtl
avtav boc loco prorsus absurda sunt post lin. 2—3. deindequae proxime sequuntur lin. 22— 25 demonstrationis teno-
rem plane conturbant. adparet enim ex p. 410, 1 sq., Archi-medem rationem AM : B@ immutatam retinuisse et alteramrationem ita transformasse , ut adpareret, eam aequalem esse
B@ : AM. tum etiam lin. 15—21, ubi etiam causa obscuresignificata (a fisv yccg v,tX. lin. 19) offendit^ delendae suntpropter lin. 26 sq.
«
18. MA] scripsi; NA FBC*; AM ed, Basil., Torellius. 19.
tav diaiLStqcov {cov comp.) tag ^aaias (ag comp.) F; corr.
Torellius. 22. AM] AN F, ut lin. 23; corr. ed. Basil. 24.
l'Ga Torellius. ^M] ^iV F, ut p. 410 lin. 2; corr. ed. Basil.
25. 8x01 ovv xa] scripsi; sxol F, uulgo; sxbl Torellius, B. 26.
a7cotfjLri(i.a F; corr. Torellius.
410 nEPI KS^N0EIAE5>N KAI S^AIPOEIAESiN.
AX' i(5a yccQ iatcv a AX xa E&' xal sk xov^ ov
£%Bi a AM Ttoxl xav B&. 6 ds sxsQog xcov siQrj^svav
loyov, 6 xag AK tcoxI AX, 6 avxog sOxu xa xag AKTtoxl AM. xo aQa aTtox^a^a Jtoxl xbv xavov koyov
5 Exsi^, ov a AK Ttoxl xav AM, xal ov si^l a AM itoxl
xav B0. l'6a ds a B® xa KA. dijXov ovv, oxl l'0ov
sGxl xb ccTtox^a^a xov x(6vov, ov xoQvcpa xb A, X(p
xcjVG), ov TCOQVcpa xb B, cpavsQbv ovv , oxl xal xa
x^cc^axa faa svxl, stcsI xb ^sv sxsqov avxcov rj^LoXLOv
10 S0XL xov Tccavov^ xb ds sxsqov rj^ioXLOv xov aTtox^d-
liaxog xov xatvov l6cdv sovxov.
xd',
El' xa xov OQd^oycovLOV TcovosLdsog dvo x^dfiaxa
ccTtox^ad^sovxL sTtLTtsdoLg OTtaxjovv dy^isvoLg^ xd xyid-
15 ^axa Ttox^ dXXaXa xbv avxbv s^ovvxl koyov xoig xs-
XQaycovoLg xotg d^tb xcov d^ovov avxov.
djtoxsx^d^d-o yaQ xov OQd^oyovLOv xovosLdsog dvo
x^d^axa^ ojg sxv%sv. s6xo ds xo ^sv xov sxsqov
x^d^axog d^ovL L0a d K, xo ds xov sxsqov l'0a d A.
20 dsLKXSov , OXL xd x^d^axa xbv avxbv s%ovxl Xoyov
Ttox' dkXaXa xolg ditb xdv K, A xsxQaycovoLg.
x^ad^svxog dri xov xovosLdsog sTtLTtsdo dta xov
1. AX] AF FV. 2. BtsQoq] scripsi; sv, F, uulgo. 3.
xaq\ xriq F; corr. Torellius. rcQoq per comp. F; corr. Torel-
lius, ut lin. 4 bis. tuq AK] trjg AN F, trjg AK ed. Basil.
;
corr. Torellius. A. AM] AK FYD. 6. AK] AN ¥-, corr.
AB. AM] AK F; corr. AB. xat ta ov F; corr. Torellius.
AM] AN ¥', corr. AB. 6. lor] F; corr. Torellius. 7. ccno-
tfjLTifia F. 10. anotfirj^atog F; corr. Torellius. 12. xg'
Torellius. 16. ccvtcov] avtr}6 cum comp. cov supra g F;
ccvtoig ed. Basil. corr. C*. 17. ccTtotEtfirjG&co F, ut lin. 14;
corr. Torellius. 18. ta] ta F; corr. B* D. 19. K] AKFBC*. A] AA FBC*.'
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 411
hehit compositam ex AK : AX (nam AX — E®y)et AM: B@. altera autem harum rationum^ AK:AXyaequalis est rationi AK : AM,'^) itaque segmentum
[coni] ad conum eam rationem habet, quam
AK:AMXAM:[email protected] B® = KA [ex hypothesi]. adparet igitur, seg-
mentum coni, cuius uertex sit A, aequale esse cono,
cuius uertex sit B. constat igitur, etiam segmenta
aequalia esse, quia alterum eorum dimidia parte maius
est cono [prop. 21], alterum dimidia parte maius seg-
mento coni cono illi aequali [prop. 22].
XXIV.
Si a conoide rectangulo duo segmenta abscin-
duntur planis quouis modo ductis, segmenta inter se
eandem rationem habebunt, quam quadrata axium.^)
abscindantur enim a conoide rectangulo duo seg-
menta quouis modo sumpta, et axi alterius segmenti
aequalis sit linea K, alterius autem linea A. demon-
strandum, segmenta eandem rationem habere inter se
quam K^ : A^.
secto igitur conoide plano per axem posito segmenti
1) U. p. 406, 10. Ducatur AU t ^X et ZIT -L AH. erit
Zn minor diametrus ellipsis, cuius maior diametrus est AZ(prop. 12). et (Eucl. VI, 2) ZO : On = ZK : KA = 1. sedOn = AX (Eucl. I, 34) = ©E. quare erit ZJT = EF. ita-
que AZxZn:Er^= AZ : ET= AK: E@ =-. AK : AX.
2) Nam trianguli MKA, AKX similes sunt; tum u. Eucl.VI, 4.
3) P. 276, 18 finis hic est: ra anotiiaQ^Bvtoc. t[id(jLata dmXd-6tov Xoyov s^ovvtL not' dXXaXa toav d^6v(ov; cfr. nsql iXi%.
praef.
412 nEPI KSiNOEIAESiN KAI S^AIPOEIAESiN.
a^ovog roi) r^d^arog eGro ro^a a ABF OQ^oycovLOv
x(6vov ro^a, a^cjv de a B^. xal aTtokskdq^d^c) a B^ ra
K l'0a, xal dtd roi) z/ iTtijtedov iKpe^kri^d^G) oQd^ov Ttorl
roi/ ai^ova. ro drj r^id^a roi) acovoeideog ro ^aGiV
^ ^ev e%ov roi' TiVKkov rov Tte^l did^erQOv rdv AF^d^ova de rdv J5z/ i6ov eCrl rw r^d^an rcj d^ova exovri,
l'6ov ra K. el '^ev ovv Kal d K i6a eCrl ra A^
(pavsQOv, ort xal rd r^d^ara i6a e60ovvrai dXkdloig.
exdreQov yd^ avrwv l'0ov ra avra. xal rd rer^d-
^" ycova ra ano rav A, A i6a (oOre rov avrov fsot^vrt
Ao^ov rd r^d^ara rotg rerQaycivoig rotg djto rSv
d^ovcov. el de ^ri i6a e6rlv d A ra K, e6rco d A i6a
ra B®y Tial did rov ® eitiTtedov dx^(o OQd^bv Ttorl
tbv d^ova. ro drj r^d^a ro pd6iv e%ov rbv kvxXovl^ rbv Tte^l did^erQov rdv EZ^ d^ova de rdv B@ i6ov
1. a] om. F. 3. K] IK¥. 4. dri] scripsi; ds F, uulgo.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 413
sectio sit ABF rectanguli coni sectio [prop. 11, a],
axis autem 5z/. et ponatur B^ lineae K aequalis,
et per z/ punctum planum ducatur ad axem perpen-
diculare. segmentum igitur conoidis basim habens
circulum circum diametrum A F descriptum, axem
autem JBz/ aequale est segmento axem babenti lineae
K aequalem [prop. 23]. quare si K = A, constat,
etiam segmenta aequalia inter se fore; nam utrumque
eorum eidem aequale est. et K^ — A^. quare seg-
menta eandem rationem babebunt, quam quadrata
axium. sin A linea lineae K aequalis non est, sit
A == B0y et per & ducatur planum ad axem perpen-
diculare. segmentum igitur basim habens circulum
circum diametrum EZ descriptum, axem autem B®
6. satC] comp. F, B C*; ivtL uulgo. t^cificcti] sic F, ut lin. 8, 11.
1. A] J ¥; corr. ed. Basil.* 9. l'6ov] comp. F. 10. tciv]
scripsi; tcov F, uulgo. A] A F; corr. ed. Basil.* 14. S^]scripsi; ds F, uulgo.
I
414 nEPI KSiNOEIAESiN KAI S^AIPOEIAESiN.
i6tl rcj T^d^aTi ra sxovn a^ova l'6ov ra A. iyys-
yQCc^d^coGav drj kcjvol ^aGiag ^sv i%6vteg tovg avKkovg
tovg tisqI diaiiitQovg tag AF^ EZ^ xoQvcpav ds to
B 6a(jiSiov. 6 dr] xcjvos 6 sxcov a^ova tav B^ Jtotl
5 tbv kSvov tov s'xovta a^ova tav B® tov 6vyxsi-
^svov s%si koyov sk ts tov, ov sxsi a A^ Ttotl tav
@E dvvd^siy xal ix tov^ ov s^si a ^dB Ttotl tav B®^dxsi. ov ds koyov s%si a AA Ttotl tdv ®E dvvd-
^Si, Toi^Tov s^si d B^ Ttotl tdv B® ^dxsi. 6 dga
10 xSvog 6 's%cov d^ova tdv jBz/ ^ttotI tov xojvov tov
s^ovta d^ova tdv B& t6i/ CvyxsC^svov s%si koyov sx
ts Tov, ov sxsi d ^B jtotl tdv 0B, xal ix tov^ ov
sisi d ^B Ttotl tdv B®. ovtog ds iattv 6 avtbg tcj,
oV s%si tb tstQaycovov t6 djtb tdg ^B Ttotl tb tstQa-
15 yovov tb aTtb tdg @B. ov ds \6yov s^Si 6 xdovog 6
d^ova sxcov tdv B z/ itotl tbv xcovov tbv d^ova sxovta
tdv 05, tovtov sxsi tbv X6yov tb t^d^a tov xovosidsog
tb d^ova sxov tdv z/5 Ttotl tb t^d^a tb d^ova sxov tdv
®B. sxdtsQOv ydQ rj^i6Xi6v ietiv. xai ictiv tc5 \isv
20 t^d^ati ta d^ova sxovti tdv B z/ i6ov tb t^d^a tov
xcovosidiog tb d^ova sxov i6ov td K, ta ds tfid^ati to
d^ova sxovti tdv &B t^ov to t^d^a Tot» xavosidiog fl
TC) d^ova sxov lCov ta A^ xal ta ^sv B^ l'6a d K^
ta ds @B i6a d A. dijXov ovv^ oti tb t^dfia toi>
25 xcovosidsog tb d^ova sxov i6ov ta K tbv avtbv sx£i
k6yov Ttotl tb t^d^a Tot) xavosidiog tb d^ova s^ov
i6ov ta A^ ov t6 tstQdycovov tb aTtb tdg K Ttotl tb
tstQdyovov t6 aTtb tdg A.
1. Tcc] scripsi; rco F, uulgo. 2. Si]'] Svo A, ed. Basil.,
Torellius. 4. ^fl scripsi; Ss F, uulgo. 9. fiayicov F; corr.
B. 15. @B] EB F; corr. ed. Basil.* 16. 6 d^ovcc] 6 ad-
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 415
aequale est segmento axem habenti aequalem lineae A,
inscribantur igitur coni bases habentes circulos circum
diametros AFy EZ descriptos, uerticem autem punctum
J5. conus igitur axem habens 5 z/ ad conum axem
habentem B eam rationem habet, quam habet
AA^:0E^XziB:B@^)sed AA^:®E^ = BzJ:B® [quadr. parab. prop. 3].
quare conus axem habens B A sid conum axem ha-
bentem B@ eam habet rationem^ quam *
z/5 : @BX^B:B0 = AB^ : 051et quam rationem habet conus axem habens Ez/ ad
conum axem habentem 0Bj eam rationem habet seg-
mentum conoidis axem habens z/jB ad segmentum
axem habens @ B. utrumque enim [segmentum] di-
midia parte maius est [cono basim eandem habenti
et axem eundem; prop. 21]. et segmento axem ha-
benti Bzf aequale est segmentum conoidis axem habens
lineae K aequalem, segmento autem axem habenti
@B segmentum axem aequalem habens lineae A, et
BzJ == Ky @B = A. adparet igitur, segmentum co-
noidis axem habens lineae K aequalem ad segmentum
conoidis axem habens lineae A aequalem eandem ra-
tionem habere, quam K^ ad A^.
1) Habent enim rationem ex ratione basium et ratione
axium compositam (prop, 10); sed ratio basicim ea est, quamhabet AJ'' : E@^ (Eucl. XII, 2).
didi; om. F, uulgo. BJ] KJ FBC* 20. ro] addidi; om.F, uulgo. 23. LGov'] scripsi; loav F, uulgo. K'] AK F. 27.
TBTQciymvov] tEtQCiycovov KE F] corr. B. 28. A] A F.
416 nEPI KS^NOEIAESiN KAI 2^AIP0EIAESiN.
Uav t^a^a a^^kvyoivCov xcovoeideog dTCoter^a^s-
vov iTtiJtsdc) oQd^S Ttotl tov a^ova Ttotl tbv xSvov
tov ^dCiv s^ovta tdv avtdv rc5 t^d^ati Tcal vipog
5 l'0ov tovtov sxsi tov Xoyov^ ov s%sl d Cvva^cpotSQaig
t6a rcj ts d^ovi tov t^d^atog ^al ta tQLTtXaGCa tdg
notsovGag rc5 d^ovi Ttotl tdv t(Sav d^cpotSQaig rc5 ts
d^ovL tov t^d^atog ;«o:t ta di7tKa6Ca tdg TtotsovGag
tco dtovL.m
10 s6t(>) ti t^d^a d}i^XvyovCov xcovosidsog dnotst^ia-
fLSvov sTtLTtsdcp OQ^'^ Ttotl tov d^ova, Tcal t^ad^svtog
avtov s7tL7tsd(p dkX(p Std tov d^ovog d to^d s6to
avtov ^sv rov TcovosLdsog d ABT d^plvycovCov
Kcovov to^d , tov ds sTtLTtsdov tov ditots^vovtog
15 ro t^d^a d AT svd^sta, d^av ds s6to rov t^d^atog
d JJz/, d ds 7totsov6a to d^ovL s0to d B®^ xal td
B® taa d Z@ Tial d ZH. dsLXtsov, otL to tfidfia
Ttotl tov ;cc5i/ov tov ^detv s^ovta tdv avtdv to t^d-
^atL %al d^ova tbv avtbv Xoyov s%sl^ ov d H/i 7tot\
20 tdv Zz/.
s6to drj xvXLvdQog tdv avtdv ^d<5LV s%ov to t^d-
liatL Tcal d^ova tbv avtov, 7tXsvQal ds avtov sCtoCav
at 0A, rV. s6to ds xal Tcovog rtg, sv o tb ^,ical Ttotl tbv xcSvoi^ tbv ^dCLv s%ovta tdv avtdv to
25 t^id^atL Tcal d^ova tdv 5z/ rovroi^ s%sto tbv Xoyov^
ov ^%SL d ifz/ Ttotl tdv z/Z. cpaitX drj tb t^d^a tov
1. H^' Torellius. 2. aTtorstfirjfisvov F, ut lin. 10; corr.
Torellius. 5. a avva(i(potiQccLg] scripsi; ovvcc(i(poteQa F, uulgo.
6. To5] ro F. 15. a AF svd^sia] scripsi; sv&SLa F, uulgo;
svd^sta a AF ed. Basil., Torellius. 16. BJ] BAJ ¥; corr.
ed. Basil*. Ttotiovaa F; corr. Torellius. 18. tiv ^daiv]
Torellius; tav ^aaiv F, uulgo. 19. Xoyov] tov avtov Xoyovl
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 417
XXV.
Quoduis segmentum conoidis obtusianguli plano
ad axem perpendiculari abscisum ad conum eandem
basim habentem, quam segmentum, et altitudinem
aequalem eam habet rationem, quam linea utrique
simul aequalis; et axi segmenti et triplici lineae axi
adiectae ad lineam utrique aequalem et axi segmenti
et duplici lineae axi adiectae.^)
sit segmentum aliquod conoidis obtusianguli plano
ad axem perpendiculari abscisum, et secto eo alio
plano per axem posito ipsius conoidis sectio sit ^^Pconi obtusianguli sectio [prop. 11, b], plani autem
segmentum abscindentis linea ^F, axis autem seg-
menti sit 5z/, et linea axi adiecta sit B®j et sit
B@ = Z® = ZH. demonstrandum est, segmentum
ad conum basim habentem eandem, quam segmen-
tum, et eundem axem eam rationem habere, quam
H^iZJ.sit igitur cylindrus eandem basim habens, quam
segmentum, et axem eundem, latera autem eius sint
lineae ^^, FT. sit autem etiam conus quidam, in
quo sit littera ^, et ad conum eandem basim haben-
tem, quam segmentum, et axem -Bz/ eam habeat ra-
tionem, quam H^\^Z. dico igitur, segmentum
1) P. 280, 2: st' v.a tov (Xfi^lvyoyviov KmvosLdsos dnoTfiad'^
Tficcfiata inLTCsda) OQd^m tiotl tqv a|ova, ro dnoTna&sv tfidfia
TtotL tov yicovov tov ^a6Lv s%ovta tdv avtdv tm tfidfiatL y.aL
d^ova tov avtov tovtov s^^l tbv Xoyov^ 6v d 6vva^(potSQr^gt(ffa, To5 ts d^ovL v,tX. (lin. 6— 9).
23. ds] scripsi; 8ri F, uulgo. 26. H/i'] KJ F; corr. ed. Ba-sil.* (prj^L F; corr. Torellius.
Archimedea, ed. Heiberg. I. 27
418 nEPI KSiNOEIAESiN KAI S^AIPOEIAE^N.
Tccovoeidsog l'6ov sl^ev rc5 W kcdvc}. si yccQ ^rj iGziv
l'0ov , riroi ^Bit,ov 7] ekaGGov iazLV. sOtco nQoteQOv,
ei dvvatov^ ^et^ov. iyyeyQacpd^o drj elq to t^a^a
Oxrj^a GteQeov^ xal akXo 7teQiyeyQacp%^G} ix kvXMqov5 vifjog l'0ov ixovtav GvyKeC^evov ^ w6te t6 TieQcyQacpev
6%r]^a tov iyyQacpevtog v%eQe%eiv ikdaaovi^ ^ ccXlxc)
vTteQe%ei to tov Kcovoeideog t^a^a tov W xcovov.
didx^co drj td iTtineda Ttdvtav tov xvAlvSqov Jtotl
tav i7tL(pdveLav tot)
10 I 1 „ xvkLvdQov roi; ^daLv
^ev e%ovtog tbv xv-
xXov tbv TteQi dLd-
fietQovtdvAF^ a^ovad£ tdv 5z/. icaeCtai
dij oXog 6 KvXLvdQog
dLTiQriiievog elg xv-
XCvdQovg to ^ev TtXri-
^ d^BL i6ovg totg xvXiv-
dQOig totg iv to
TteQiyeyQa^fievo
axi]fiati, To5 de fie-
yed^ei taovg to ^e-
yCato avtov. xal
iitel ikdaaovi viteQ-
25 X y^ X i%^i' tb TteQiyeyQa^-
^evov axij^a tov
iyyeyQa^^evov, rj tb
t^d^a TOi) W xdvov^ xal ^et^ov i(Sti tb TteQiyeyQa^-
^evov a%ri^a roi) t^dfiatog, drjXov, oti xal tb iyye-
15
20
1. yaQ'] scripsi; ys F, uulgo. 4. Mco F. 8. $Lrjx^a> F;
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 419
conoidis aequale esse cono ^. nam si aequale non
est, aut maius est aut minus. prius, si fieri potest,
maius sit. inscribatur igitur segmento figura solida,
et alia circumscribatur ex cylindris altitudinem aequa-
lem habentibus composita, ita ut figura circumscripta
excedat inscriptam spatio minore, quam quali excedit
segmentum conoidis conum ^ [prop. 19]. producan-
tur igitur plana omnium cylindrorum ad superficiem
cylindri basim habentis circulum circum diametrum
Q n ji n J2
AF descriptum, axem autem B^. itaque totus cy-
lindrus diuisus erit in cylindros numero cylindris
figurae circumscriptae aequales, magnitudine autem
maximo eorum aequales. et quoniam figura circum-
scripta excedit inscriptam minore spatio, quam quo
segmentum conum W excedit, et figura circumscripta
maior est segmento, adparet, etiam figuram inscriptam
maiorem esse cono W. sit igitur B P tertia pars
corr. Torellius. In fignra litteras M, N permutant Cr., ed.
Basil., Torellius. 24. BXaaGGovt F. 27. ij] om. F; corr. ed.
Basil. 28. r(ia(ic(] sic F, nt p. 420 lin. 12.
27^
420 nEPI Ki^NOEIAESiN KAI S^AIPOEIAESiN.
'yQa^^svov (^xVi^^ iist^ov sGti tov W xdvov. s6to
drj tQLtov ^SQOS toig B/1 a BP. s66sitai ovv a ifz/
tQi7tXa<5ia tag ®P. xal STtsl 6 ^sv xvlivdQog 6 ^a6LV
e%G}v tbv xvkIov tbv TtSQi did^stQOv tav AF^ a^ova
5 ds tav B^ Ttoti tbv xcovov tbv pdatv s^ovta tdv
avtdv xal a^ova tbv avtbv tovtov s%sl tbv koyov^
ov d H/J Ttotl tdv 0P, s^SL ds xal 6 stQrj^svog acj-
vog Ttotl tbv W Kcovov, ov d Z^ Jtotl tdv H^,s%SL ccQa xal dvo^OLog t<Bv koyav tstay^svov tbv
10 avtbv Xoyov 6 xvkLvdQog 6 SLQrj^svog Ttotl tbv ^xcjvov, ov d 7j/1 Ttotl tdv ®P. sCtco^av ds yQa^^al
KSL^svaL, scp^ dv td S, to ^sv TtXrjd-SL L6aL totg t^a-
lidts60Lv totg sv ta B^ svd^sCa^ to ds ^sysd^SL STcdcta
l'0a ta ZB, Kal TtaQ^ sTcdctav avtdv TtaQaTtsTttOKSto
15 %OQL0v vTtsQ^dklov sldsL tstQayovo ^ zal tb ^sv ^s-
yLCtov s6to lCov to VTtb ZA^ z/5, tb b\ sXd%L6tov
l6ov to vTtb ZO, OB. at ds 7t?.svQaL tov vTtSQ^lri-
^idtov rra l6o dXXdkav vTtSQSxovtov [Tial ydQ aC
L0aL avtatg ai sitl tdg J5z/ svd^SLag rc5 l'6o dXXdXov
20 VJtSQSX0V6Lv]. Xal S6tO d ^SV tOV ^SyL(StOV VTtSQ^Xl]-
fiatog JtlsvQa, scp' dg tb N, l6a ta 5z/, d ds Toi; skaxC-
Otov L0a td BO. s6to ds aal dkka xc^qCcc, iv olg to
ii, to ^sv Ttkri^^SL L6a tovtOLg, r« ds fisysd^SL s7ta<5tov
l'6ov tff ^syL0to to vTtb tdv Z^, zlB. 6 drj xv-
2. snsitccL F. 9. ccqk xat] scripsi; oc^stQi post lacunamF, uulgo; ovv Commandinus ; aQU Torellius. tstayfisvcov]
Commandinus; tstuQay^isvov F, uulgo; tstayfisvov Torellius.
11. ov] om. FBC*. 0P] 00 F; corr. ed. Basil.* ^ot(o-
eav] comp. F. ds] scripsi; ds ca F, uulgo. 12. K7a F; corr.
B* 13. ta] tco F; corr. Torellius. 14. avtoav F; corr.
Torellius. 16. icov] sv F; corr. ed. Basil. ZJ, BJ scripsi;
ZBz/ FBC*; Zz^B ed. Basil., uulgo. 17. loov] sv F; corr. A.ZO, OB] scripsi; ZOB F, uulgo. 18. rc5] tcov tco F; corr. B,
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 421
lineae 5 z/. erit igitur H^ = 3 ®R^) et quoniam
cylindrus basim habens circulum circum diametrum
ji r descriptum, axem autem J5z/ ad conum basim
habentem eandem et eundem axem eam babet ra-
tionem, quam ifz/ : 0P/) et etiam conus ille ad co-
num ^ eam rationem babet, quam Zz/ : H^j habebit
etiam, cum perturbata sit proportio [Eucl. V, def. 20],
cylindrus, quem commemorauimus, ad conum W eam
rationem, quam Z ^ : @ P [Eucl. V, 23]. ponantur
autem lineae quaedam, in quibus sint litterae S,
numero partibus lineae B Zl aequales, magnitudine
autem singulae lineae ZB aequales, et singulis ad-
plicetur spatium figura quadrata excedens, et maximumsit = Zz/ X ^B, minimum autem = ZO X OB;latera autem excessuum aequali differentia inter
se excedant.') et latus maximi excessus sit ea
linea, in qua est littera iV, aequalis lineae J5 ^,
latus autem minimi excessus lineae B O aequalis
sit. sint autem etiam alia spatia, in quibus sit
littera Sl, numero his aequalia et magnitudine sin-
gula maximo illorum, rectangulo lineis Z^, ^B
1) Nam HJ = HB -\- BJ = S@B + 3BP et
&P= @B -j- BP.2) Cpnus enim tertia pars est cylindri (Eucl. XII, 10; cfr.
supra prop. 10), et @P = ^ HJ.3) Cum nusquam dixerit Archimedes, latera aequalia esse
partibus lineae BJ (neque enim hoc ex lii^n. 15—17 concludipotest), adparet, retinendam esse scripturam codicum lin. 18,
et uerba sequentia lin. 18—20 delenda, in quibus offenduntetiam aXXdXcov et v7tBQs%ov6iv.
vnsQSxovri Mzzius. 20. vnsQSxovzi Torellius; sed u. not. 3.
21. t6 iV] scripsi; tov F; to M ed. Basil., Torellius; u. p. 419.22. BO] BI F; corr. ed. Basil. 24. Zd, JB scripsi; ZJBF, uulgo.
422 nEPI KSiNOEIAESiN KAI S^ATPOEIAESiN.
XcvdQog ^d^Lv ^ev e%ov t6i/ kvkIov xov TtsQi
did^EXQov rdv AF, d^ova ds xdv /lE noxl xov %v-
kivdQOv xbv ^dciv ^ev exovxa xbv kvkIov xbv TtSQi
didfisXQOv xdv KA^ d^ova de xdv AE xbv avxbv
5 sxsL loyov, ov d AA Ttoxl xdv KE dvvd^ec. ovxog
ds e0XLv avxbg ra5, ov e%eL xb JteQLexo^evov vitb
xotv Z^y B^ Ttoxl xb TteQLexo^evov vitb xdv ZE, BE.ev nd(ja yd^ xa xov d^^lvyovCov tcojvov xo^a xovxo
6vfi^aLveL [d yd^ dLnkacCa xdg 7toxeov6ag, xovxedXL
10 xdg ex xov TcevxQOv, jtlayCa eOxl xov eldovg TtlevQd].
%aC e6XL xa ^ev vjtb xdv Zz/, BA 7teQLexo^ev<p l'0ov
xb SN ^^oj^fcov, rc5 de vnb xdv ZE, BE laov e6xl
rb SM. d ydQ S 'Caa iaxl xa ZB, d ds M xd BE,d ds N xa Bzl. 6 aQa TcvlLvdQog 6 ^d^Lv fiev ix^'^
15 xbv KVTcXov xbv TteQL dLd^exQOv xdv AF, d^ova de
xdv ^E Ttoxl xbv TcvlLvdQOv xbv ^dOLV exovxa xbv
Tcvxkov xbv TteQL dLd^exQOv xdv KA, d^ova de xdv
/dE rbv avxbv e%eL koyov, ov xb Sl x^Q^^^ Ttoxl xb
SM. b^oCcog de deLx^yj0£raL zal xcov dlXcov kvXCv-
20 Sqcjv exaGxog xmv iv xa oAcj %vkCvdQ(p d^ova excav
xdv LCav xd ^E Ttoxl xbv xvhvdQOv xbv iv ro5 iyye-
yQa^^evc) (T^^ij^ari xbv exovxa xbv^avxbv d^ova xov-
Tov sxcov rbv Xoyov^ ov sx^l rb Sl x^Q^^'^ Ttorl rb
6(i6loyov rov TtaQa rdv S TtaQaTtsTtrcoKorov vneQ^dl-
25 Kov rcj rerQaycavc). eGXLv dri rLva ^eyed^ea, ot xvlCv-
dQOL OL iv ra oAoj TivkCvdQGi^ (hv exa^rog d^ova exsL
loov ra zlEj xal dlka ^eysd^ea, rd ^^o^^ta, iv olg rb
7. tccv] tas F; corr. AB. 12. /^iV] addidi; om. F, uulgo;
ISIM Cr., ed. Basil., Torellius. iaov satl to SM. d yocQ
S] om. F; corr. ed. Basil. (SN pro SM). 13. M] scripsi;
N F, uulgo. 14. N] M ed. Basil, Torellius. 19. SN Torellius.
24. ofioloyov] ov loyov F; corr. Torellius. tcav nccqa.] tav
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 423
comprehenso, aequalia. itaque cylindrus basim habens
circulum circum diametrum AF descriptum, axem
autem z/^ ad cylindrum basim habentem circulum
circum diametrum KA descriptum, axem autem z/£
eandem rationem habet, quam JA^\ KE^ [Eucl. XII^
11; XII, 2]. sed
zJA^:KE^==Z^XBJ:ZExBE.hoc enim in omnibus sectionibus coni obtusianguli
accidit. ^) et spatium SN = ZA X Bzi , et
SM=ZExBE;nam S= ZB et M= B E et N = B zf.^) itaque
cylindrus basim habens circulum circum diametrum
Al' descriptum, axem autem z/£J ad cylindrum basim
habentem circulum circum diametrum KA descriptum,
axem autcm ^E eandem rationem habebit, quam Sl
spatium ad S M. et eodem modo demonstrabimus,
etiam unumquemque ex ceteris cylindris totius cy-
lindri axem habentem lineae z/ E aequalem ad cy-
lindrum figurae inscriptae eundem axem habentem
eam rationem habere, quam spatium Sl ad respondens
spatium eorum, quae lineae S adplicata sunt figura
quadrata excedentia. sunt igitur magnitudines quae-
dam, cylindri totius cylindri, quorum singuli axem
habent lineae z/ E aequalem, et aliae magnitudines,
1) Apollon. I, 21; cfr. Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXVp. 55 nr. 24. sed sequentia uerba lin. 9—10 delenda sunt,
quia nomen r] nka/^ia nXi^vqa ab ApoUonio demum inuentumest. interpolator uerba Archimedis ad genus dicendi Apol-lonii adcommodare uoluit.
2) Et ^N ={M^ N)x N, SM ={S + M)xN.
TtSQi F; corr. Torellius. 57] Nizzius; iV^ F, uulgo. nsQi-nsTtxooKotoiv F; corr, Torellius.
424 nEPI KSiNOEIAESiN KAI S^AIPOEIAESiN.
Sl, L6a TovrOLg tc5 TcXTjd^st xatcc dvo ^syed^ea xov
avxov sxovta koyov^ snsl o% ts xvktvdQOt lOol ivtl
«AAaAotj, xal ra Sl %(OQCa tca akkdkoig' ksyovtai ds
tcov ts KvXivdQcav tivsg Ttotl akkovg nvkCvdQovq Tot^g
5 iv To5 iyysyQa^iisvci 6%YHiati^ 6 ds saxcctog ovds
Ttod'^ ^v Xsystai^ xal t(Bv ^cj^tajv, iv oig ta ii, :toT'
cUka xcDQCa ta Ttaga tav S TtaQaTtsTttcoKOta vTtsQpdX-
lovta stdsL tstgaycDVC), ta ds o^oXoya iv totg avtotg
koyoLg, tb ds so^atov ovds ittoO'' ^V Isystai. dijkov
10 ovv, oTt xal Ttdvtsg ot TcvkCvdQOL oC iv tco oXo kvICv-
dQG) Ttotl Ttdvtag tovg xvlCvdQovg tovg iv tco iyys-
yQa^^svG) OxYj^att tov avtbv s^ovvtL loyov, ov jtdvta
td Sl %C3()ta Ttotl Ttdvta td TtaQa^kri^ata x^Q^S ^^^
^syCatov. dsdsCxtaL ds, otL Ttdvta td Sl x^Q^^ Ttotl
15 Ttdvta td TtaQa^Xrifiata %C3()tg tov ^syC6tov ^sC^ca Ad-
yov sxovtL, 7] ov d NS Ttoti tdv tCav Gvva^cpotsQaig
Ta ts Tj^tOsa tdg S ^oii tc5 tQCtci ^sqsl tdg N. Sots
zai olog 6 avhvdQog Ttoti to syysyQa^^svov ^xvi^^
^sC^ova sxsL Xoyov., 7] ov d Z/l Ttoti tdv 0P, ov 6
20 oAog Kv^LvdQog sxov idsCx^Yj Jtoti tbv ^P" xcovov.
^sC^ova ovv sxsL koyov 6 oAog xv^LvdQog Ttoti tb
iyysyQa^^svov ^xij^cc 7] itoti tbv W xoovov' Scts
^sC^cov iotiv 6 W KODVog tov iyysyQa^^svov exW^^^^^S'
OTtSQ ddvvatov. idsCx^fj ydQ tb iyysyQa^^svov ^xfjiia
25 ^SL^OV TOV W K(6vOV. OVK ttQa ^St^OV TO TOV KovosLdsog
t^d^a Tov W Kcovov. ovds toCvvv skaCOov. s0tco ydQ,
SL dvvatov, sXa66ov. Ttdkiv ovv iyysyQdcpd^co stg tb t^d^a
3. ciXXrjloig (alt.) F. XsycovtaL F. 4. tovg] addidi; om.F, unlgo. 6. no^* ev] scripsi; nod^sv F, uulgo. 8. ccvTOig]
Nizzius; om. F, uulgo. 9. no&^' sv] u. lin. 6. 11. to5]
scripsi; om. F, uulgo. 16. M,S7 Torellius. 17. MTorellius.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 425
spatia, in quibus est littera Sl, illis numero aequales,
binae cum binis in eadem proportione, quoniam
et cylindri inter se aequales sunt, et spatia £1 inter
se aequalia. porro et cylindrorum nonnulli cum aliis
cylindris, qui sunt in figura inscripta, in proportione
sunt, ultimus autem in nulla est proportione, ^) et
spatiorum, in quibus sunt litterae Sl, [nonnulla] cumaliis spatiis, quae lineae S adplicata sunt figura qua-
drata excedentia, respondentia in iisdem proportionibus,
ultimum autem in nulla proportione. adparet igitur,
etiam omnes cylindros totius cylindri ad omnes cy-
lindros figurae inscriptae eandem rationem babere,
quam omnia spatia Sl ad omnia spatia adplicata
praeter maximum [prop. 1]. demonstratum autem,
omnia simul spatia Sl ad omnia spatia adplicata
praeter maximum maiorem rationem habere, quam
N-^-Si^S+iN [prop. 2]. quare etiam totus cylin-
drus ad figuram inscriptam maiorem rationem habet,
quam Z^ : ©P^), quam rationem totum cylindrum ad
conum ^ habere demonstratum est. itaque totus
cylindrus ad figuram inscriptam maiorem rationem
babet, quam ad W conum. quare conus W maior est
figura inscripta [Eucl. V, 8]; quod fieri non potest.
nam demonstratum est, figuram inscriptam maiorem
esse cono ^. itaque segmentum conoidis maius non
est cono W. — sed ne minus quidem est. sit enim,
si fieri potest, minus. rursus igitur segmento inscri-
1) Quia cylindri figurae inscriptae uno pauciores sunt, quamcylindri totius cylindri.
2) Nam iV + ^ = Bz^ + ZB = Zz/, et
i^4-^iV = B0+EP=6)P.
426 nEPI KSiNOEIAESiN KAI S^AIPOEIAESiN.
0%riliicc atsQsov, xal akXo 7CSQiysyQK(pd-o sx xvlCvdQav
vipog l'6ov sxovtov 6vyxsL^svov, Sotsto TiSQiysyQa^^svov
0XV^^ Toi; syyQatpsvtog vTtSQSxsiv sXaaeovL, ij aXixc)
v^SQSX^i Kovog tov t^d(iatog, xal ta akka ta avta xats-
5 Oxsvdod^cj, STCsl ovv skaOOov s6tL to syysyQa^^svov 6XV^^tov tfid^atog, xal skd66ovL vtcsqsxsi to TCSQiysyQa^-
^svov rov syysyQa^^svov, 7] 6 "^ xcovog roi) t^dfiatog,
dijXov^ otc xal tb TCSQcysyQa^^svov ^x^fj^a ska666v
s6tL tov W xcjvov. TcdXcv drj o ts xv^LvdQog 6 tcqo-
10 tog tc3v iv tip oXg) KvXLvdQ(p 6 sxov a^ova tdv ^ETCOtl tOV TCQCOtOV XvkLvdQOV tcov sv to TCSQLysyQa^-
fisvcj ^x^i^^atL tov sxovta a^ova tdv /lE tov avtov
sxsi loyov, ov to Sl x^Q^ov Ttotl to SN' l6ov yaQ
ixdtsQov ixatSQCD' xal tov dkXcav xvlLvdQcov sxa6tog
15 tmv sv rc5 oXco xvXCvdQtp d^ova ixovtcov tdv l'6av
ta ZlE TCotl roi/ xv^LvdQov tov iv to JCSQLysyQa^-
fisvp ^x^i^^atL nat avtov iovta xal d^ova sxovta tbv
avtbv tovtov s^SL tbv koyov^ ov tb Sl x(*>Q^ov TCotl
tb o^o^oyov tov TCaQa tdv S TCaQa^Xrj^dtcov 6vv to
20 vTCSQpXrj^atL, did tb SKa6tov tcov TCSQiysyQa^^svcov
XCOQLg tov ^syL6tov l6ov sl^sv sxd^ta tcov syysyQa^-
fisvcov 6vv rc5 ^syL6t(p. s%sl ovv xal 6 oAog tcvXlv-
dQog TCotl tb TCSQLysyQa^^svov 6x^^a tbv avtbv koyov,
ov Tcdvta td ^ X^Q^^ TCotl td icaQa^lri^ata 6vv totg
25 v7CSQ^Xriiidts66LV. dsdsCntaL d^s Tcdhv Tcdvta td Sl
XCOQCa TCotl Tcdvta td stSQa ikd66co Xoyov sxovta rov,
1
1. 6xriiioL\ om. F; corr. Torellius. 3. vnBQE% cum comp.
Tiv uel IV F. 8. nsQiyQa[i(i^ov F. 13. t6 SN] SM To-
rellius. 14. stiuteQco] addidi; om. F, uulgo. 15. xdv']
addidi; om. F, uulgo; 'cfr. p. 422, 21. 18. xov] om. FBC*.ov] om. F; corr. B*. 21. «r/itfv] Torellius; sgxlv per comp.F; slvai uulgo.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 427
batur figura solida, et alia circumscribatur ex cylin-
dris altitudinem aequalem habentibus composita, ita
ut figura circumscripta excedat inscriptam spatio mi-
nore, quam quali excedit conus segmentum, et cetera
eadem construantur. iam quoniam figura inscripta
minor est segmento, et figura circumscripta excedit
inscriptam minore spatio, quam quo conus ^ segmen-
tum excedit, adparet, etiam figuram circumscriptam
minorem esse cono W. rursus igitur et cylindrus
primus totius cylindri axem babens z/J5J ad primum
«ylindrum figurae circumscriptae axem babentem ^Eeandem rationem babet, quam spatium Sl Sid SN(utraque enim aequalia sunt), et ceterorum cylindro-
rum unusquisque eorum, qui in toto cylindro sunt
axem babentes lineae ^E aequalem, ad cylindrum
figurae circumscriptae eodem loco positum et eundem
axem babentem eam rationem babebit, quam spatium
Sl ad spatium respondens eorum, quae lineae S ad-
plicata sunt, adsumpto excessu, quia unusquisque
circumscriptorum praeter maximum aequalis est uni-
cuique inscriptorum cum maximo.^) babebit igitur
etiam totus cylindrus ad figuram circumscriptam ean-
dem rationem, quam omnia spatia Sl ad spatia ad-
plicata cum excessibus [prop. 1]. rursus autem de-
monstratum est, omnia spatia Sl ad omnia illa spatia
1) Sint Ci Cg Cg C4 cylindri inscripti, C^ C^ C^ C^ C^ cir-
cumscripti, K cylindri totius cylindri, r^ r^ r^ r^ r^ spatia ad-
plicata adsumpto excessu. iam supra p. 422, 14 sq. demon-stratum est K : c^ = Sl : r^, K : c^ = Sl : r^, K : c^ = : Sl : r^,
K : c^^ = Sl : r^; sed Cj = C^, c^ = Cg, C3 = (7^, C4 = Cg. ita-
que K : C^ = Sl : r^, K : C^ = Sl : r^ cett.
428 nEPI K<iNOEIAESiN KAI S^AIPOEIAEiiN.
ov E%Ei a SN Tiotl zav 1'Cav 6vva^(poT8Qat,g xa ts
rj^L6sa rag S J(^^ '^^ XQixci ^sqsl xag N' S6xs xal
oXog 6 zvXivdQog tcoxI x6 TtSQLysyQa^^vov Oxrj^cc
iXd60ova Xoyov s%Si, r] a Zz/ Jtoxl xav @P. «AA*
b cog a Zz/ Ttoxl xav ®P^ 6 oXog xvXtv^Qog Ttoxl xbv
W xcovov. skd66ova ovv Xoyov s%sl 6 avxog tcvXlv-
dQog TCoxl xo nsQLysyQa^^svov ^xrj^a 7] noxl xov W.
m6xs ^SL^OV S6XL xo TCSQLysyQa^^EVOV xov 5** xcovov
OTtSQ ddvvaxov. sdsLxd^rj yaQ skaxxov iov x6 nsQLys-
10 yQa^^EVOV Ipxri^a xov ^ k(6vov. ovk aQa sXa666v
s6XL x6 xov xcovosLdsog x^diia xov W ztovov. sTtsl
ds ovxs ^st^ov ovxs Eka666v S6XLV, dsdsLXxaL ovv x6
JtQOXSd^EV.
15 Kal xoLvvv s'C xa firj oQd"^ Ttoxl x6v d^ova xS
ETtLTtsdc) dTtox^ad^fj x6 x^d^a xov d^^XvycovLOv xcovo-
stdsog^ Ttoxl x6 djtox^a^a xov zcovov xo ^d6Lv £%ov
xdv avxdv tc5 x^d^axL xal d^ova x6v avx6v xovxov
£%SL x6v koyov^ ov d 6vva^cpoxsQaLg l'6a xa xs d^ovL
20 xov x^d^axog xal xd XQL7tXa6La xdg 7toxsov6ag ta
d^ovL 710x1 xdv l'6av 6vva^(poxEQaLg rc3 xs d^ovL xal
xa dL7tXa6La xdg 7toxsov6ag xa d^ovL.
S6XC0 yaQ x^d^a d^^XvycovLOv Ticovosidsog d^toxs- \
x^a^Evov s7tL7tEd(pj Gig ELQrjxat. x^ad^Evxog ds s^tLTtsdcp
25 xov 6%riiLaxog dXXoi dLa xov d^ovog OQd^a 7toxl x6
S7tL7tEdov x6 d^toxsxfiaxog x6 x^d^a xov ^sv 6%rj^axog
xo^d E6XC0 d ABF d^^kvycovCov xcovov xo^d, xov ds
1. SM Torellius. 2. M Torellius. 7. tov] scripsi; to
F, uulgo. ^] ^ KavQv Torellius. 12. sXaaa cum comp.7}v uel Lv F. 14. 'nr)' Torellius. 16. anoTiirjd^r} F, ut lin. 17;
corr. Torellius. 17. ro ^uglv'] scripsi; tov (comp.) §ccglv F,
uulgo. k'xovtog BC*, ed. Basil., Torellius. 19. at avvccficpo-
.r
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 429
minorem rationem habere, quam S-^-Ni^S-^-^N[prop. 2]. quare etiam totus cylindrus ad figuram circum-
scriptam minorem rationem habebit, quam Z^:(s>P. sed
ut Z^ : @Pj ita totus cylindrus ad conum W. itaque
idem cylindrus ad figuram circumscriptam minorem
rationem habet, quam ad W. quare [figura] circum-
scripta maior est cono ^ [Eucl. V, 8]; quod fieri
non potest. nam demonstratum est, figuram circum-
scriptam minorem esse cono W. itaque segmentum
conoidis minus non est cono W. et quoniam nec
maius nec minus est, constat propositum.
XXVI.
lam etiam si plano ad axem non perpendiculari
segmentum conoidis obtusianguli abscinditur, sic quo-
que ad segmentum coni basim habens eandem, quamsegmentum, et eundem axem eam rationem habebit,
quam linea utrique aequalis, et axi segmenti et tri-
plici lineae axi adiectae ad lineam utrique aequalem,
et axi et duplici lineae axi adiectae.^)
sit enim segmentum conoidis obtusianguli abscisum
plano, ita ut dictum est. figura autem alio plano per
axem secta ad planum segmentum abscindens perpen-
diculari figurae sectio sit ABF coni obtusianguli sectio
[prop. 11, bj, plani autem segmentum abscindentis
1) P. 280, 10: sl' y.a xov dfi^lvycovLOv 'naivosLdsog r^afiuccTtoTnu&^ sni,7tsdo3 fii} OQd^m noxl xov a^ovcc^ to ccTtotficc&^sv
tficifiLcc notl to Gx^fJlicc to ^ccglv s%ov tccv avtccv ta tfidfiatL naloc^ova tov avtov, o yivstaL dnotina^a Koavov, tovtov TitX., nt hocloco, nisi quod ibi dficpotSQULg legitur pro avva(iq}otSQaLg lin. 20.
tsQUL FVACD; at avva^cpotsQaLg B; corr. ed. Basil. 23.
anotst^ri^svov F, ut lin. 26, p. 430, corr. Torellius.
430 nEPI KSiN0EIAE5iN KAI S<E>AIPOEIAESiN.
iTCiTtidov Tov ccTCoter^aTioTog ro T^a^a a FA evd^etay
xoQvcpa ds e0TG) rot} xavov roi) 7t£Qii%ovTois to xmvo-
SLdsg t6 6ayLslov. Tial ax^co ^i^a roi5 B TCaQa Tav
AF i7Ctipavov0a Tag rov xoavov TO^ag a 0T^ im-
5 ^aviTG) ds KaTa ro B. xal ccjco tov @ iTcl ro B iTCi-
t^svxd^stOa ixps^Xt^cd^G). TSfist drj avTcc ^Cxa Tav AT^xal i66SLTaL xoQvcpa ^sv rov T^d^aTog ro B 6a^stov,
a^cov ds a jBz/, a ds JC0TS0v6a rc5 a^ovt a B®. Ta
ds B0 l'6a S6TG) a TS @Z xal a ZH. cctco ds Tccg
10 0T ijctTCsdov dvs6TaxiTG) Tt TCagdkkYiXov rc5 xaTa tccv
AT. i7Cti(jav6st 6rj rov xovostdiog xaTcc ro B. xal
ijcsl To iTCticsdov ro xaTcc tdv AF ovx ibv o^^-^-oi/
^rort rov d^ova TST^dxst ro xcovostdig, d rofta i66st-
rat o^vycjvtov xcovov TO^d, dtdfisTQog ds avTag a
15 ^st^av d FA. iov6ag dga o^vyovtov xcjvov to^dg
jcsqI dtd^sTQov rdv AF xal tdg BA yQa^^ag dnb
rov xivTQOv dvs6Taxov6ag iv ijctnidoj o i6Ttv dnb
tdg dtafiSTQOv OQd^ov tcotI to iictnsdov^ iv o i6Ttv
d rov o^vyovtov xoovov rofia, dvvaTov i6Tt xvXtvdQOv
20 svQstv Tov d^ova s%ovTa iic sv^siag ra B^ , ov iv
r« iTCtcpavsta i66stTat d tov o^vyoviov xcjvov To^d
d tcsqI dtd^sTQOV Tav AF. svQsd^ivTog ovv i66siTat
ttg xvXivdQOv tofiog tdv avrdv ^d6tv s^ov rci5 T^d-
^aTt xal d^ova tov avTov, d ds sriQa pd6tg avTov
25 i66siTat ro iTciitsdov ro xaTa Tdv ^T. Jtdktv ds xal
xcovov svQstv dvvaTov i6Tt xoQvcpdv i%ovta ro B
6. 8ri\ scripsi; Sia xa F, uulgo; Sr] zu Torellius. 7. T|Lta-
jLtaTOs] sic F. 11. 8rf\ scripsi; Ss F, uulgo. 12. Iwft]
saGSL altero a supra scripto F; iaaettaL cett. codd.*; corr. ed.
Basil, 13. zstfiriHSt F, uulgo. Kovosidsg F. 15. sovaa
F; corr. ed. Basil. dga] scripsi; aXXrj F, uulgo; ^tJ ed. Ba-
sil., Torellius. toiia F; corr. ed. Basil. 20. svq cum comp.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 431
linea F^, uertex autem coni conoides comprehendentis
sit punctum 0. et per B punctum ducatur lineae AFparallela linea ^T sectionem coni contingens, et con-
tingat in puncto Bj et [linea] a ad jB ducta pro-
ducatur. ea igitur lineam AF in duas partes aequales
secabit-^), et uertex segmenti erit B, axis autem B^^)j
et B® linea axi adiuncta [p. 278, 24]. sit autem
B& = eZ = ZH.et a linea 0T planum erigatur parallelum plano in
^i^posito. continget igitur conoides in B [prop. 16, b],
et quoniam planum in AF positum ad axem non
perpendiculare conoides secat, sectio erit coni acuti-
anguli sectio, et diametrus eius maior FA [prop. 13].
data igitur coni acutianguli sectione circum diametrum
AF descripta, et linea B^ a centro erecta in plano
in diametro posito ad id planum perpendiculari, in
quo est coni acutianguli sectio, fieri potest, ut in-
ueniatur cylindrus axem habens in producta linea 5z/,
cuius in superficie sit coni acutianguli sectio circum
diametrum AF descripta.^) eo igitur inuento erit
frustum quoddam cylindri eandem basim habens, quamsegmentum, et eundem axem, altera autem basis eius
erit planum in linea ^T positum. rursus autem hoc
quoque fieri potest, ut conus inueniatur uerticem
habens punctum B, cuius in superficie sit coni acuti-
1) Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXV. p. 56 nr. 26; cfr.
supra p. 381 not. 3.
2) B uertex erit propter p. 278, 20. tum BJ axis erit
propter p. 278, 21.
3) U. prop. 9.
r}v uel Lv F. svd^tLoov F; corr. Torellius. 22. «] addidi;
om. F, uulgo. 25. zdv'] Torellius; rriv (comp.) F, uulgo.
432 IIEPI KSiNOEIAES^N KAI S<l»AIPOEIAESiN.
6a^etov, ov iv xa BTiKpccvsCa iOGsiTai a xov o^vycovtov
xmvov rofta a TtsQi didfjietQov tav AF. evQed^evrog
T-
Mp
^ l' & /4'
ovv xal aTtot^a^d tc i66ettai k(dvov ^d(Hv e%ov tav
avtdv rc5 te tofic) Tcal t(p t^d^att Tcal d^ova tov
5 avtov. detxteov, ott tb tov xmvoetSeog t^d^a Ttotl
tb aTtot^a^a tov xgjvov ro etQrj^evov tbv avtbv h%ei
koyov, ov d H^ Ttotl tdv z/Z.
ov yaQ e%ei Xoyov a ifz/ ;rorl tdv ^Z, tovtov
i%et(Xi W xojvog Ttott tb aTtotfia^a tov Kcivov. et
10 ovv ^ri i6ttv l'6ov tb tov Kcovoetdeog t^d^a t(p ncovay
2. a TtBQC] d addidi; om. F, uulgo. 3. xat dnot^a^oi, . .
.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 433
anguli sectio circum diametrum ^Fdescripta [prop. 8].
eo igitur inuento etiam segmentum coni erit basim
n n n n J2
jhabens eandem, quam et frustum et segmentum, et
eundem axem. demonstrandum, segmentum conoidis
ad segmentum coni rationem eam habere, quam ifz/
ad z/Z.
babeat enim conus W ad segmentum coni eam
rationem, quam Hzl:/dZ. iam si segmentum conoidis
cono ^ aequale non est, sit, si fieri potest, maius.
To5 tficcfiazi lin. 4 om. F, uulgo; corr. Commandinus, nisi quodlin. 3 scribit icGsttuL to aTtotfiri^a (rt dnotficc^a Torellius,
qui lin. 3 sx(ov habet). ego haec ita transposui addito xatlin. 3, ut adpareret origo lacunae. 6. cc7tor(irj}ia F, ut lin. 9;corr. Torellius. 8. yccQ] Nizzius cum VD; yovv F, uulgo.a ilz/] om. F; corr. Torellius. 9. sxsrcol Torellius; sxsl F,
uulgo. Post -Kcovov supplet Commandinus: (pri(jLl {cpaiiC To-rellius) dri to tfi^fia (tfia(ia idem) tov 'noivosLdsog lgov sI(iev
tm W Havo).
Archimedes, ed. Heiberg. I. 28
434 nEPI KSiNOEIAESiN KAI 2<J>AIP0EIAESiN.
rc5 W^ 6L ^€v dvvatov ietiv, £6tco ^et^ov. syyeyQdfp^o
drj eCg to rov xcovosLdeog r^cc^a (3%ri^a arsQSOv^ xal
aXXo JtsQLysyQcccpd^co etc TcvXCvdQov ro^cjv l'6ov vipog
s%ovrcov OvyxsL^svov, S6rs ro TtSQLyQacpsv ^xV^a tov
5 iyyQacpevrog v7tsQe%SLV ilcc06ovL^ 7] ccXlxg) v7tsQS%SL ro
rov Kovostdsog r^d^a rov ^ xcovov. ijtsl ovv rb
TtSQLysyQa^^svov (Sxrj^a ^st^ov iov tov r^cc^arog iXdc-
0OVL v7tSQS%SL Toi) iyysyQa^^svov (3%ri^arog^ ^ ro r^afta
rov W xcDvov, drjXoVy ort ^st^ov iorL rb iyysyQa^^svov
10 (3%ri^a rov W xcovov. dLcc^d^G) dtj ra inLTtsda rov z6-
^cov rcov iyysyQa^^svov iv ro r^cc^arL itdvtcov eOte
TCorl rdv ijtLcpdveLav rov ro^ov rot5 ^dOLv s%ovrog rdv
avrav ro r^d^arL xal d^ova rbv avrov^ xal d rs BPrQLrov ^SQog s0rco rdg 5z/, xal rd dlka rd avrd rotg
15 TtQorsQOv xarsoxsvdG^o. TtdXLv dr^ 6 TtQcBrog ro^og
rov iv ro oAo? rd/Aoj 6 s%(ov d^ova rdv ^E Jtorl
rbv TtQorov rdftoi^ rcov iv ro iyysyQa^fisvo 6%Yi^arL
rbv e%ovra d^ova rdv /JE rovrov e%eL rbv Xoyov^ ov
rb ditb tdg AA tetQdyovov Jtotl tb dnb tdg KE. oC
20 yaQ ro^oL ol l^ov viljog i%6vreg rbv avrbv f^ovrt
Ad^^ov Ttor' dXXdlovg, ovjteQ ai ^aoCeg avrov. al de
^a^Ceg avrcov, ijtel o^oCaL ivrl o^vyovCov xcovov
ro^aC, rbv avrbv [ovv~\ k6yov e%ovrL Ttor dXXdXag,
ov a[ 6^ok6yoL dLa^etQOL avtdv dvvd^eL. ov ds k6yov
25 s%SL tb ditb tdg AA tstQdyovov Ttotl tb dnb tdg KE^
tovtov s%SL tb VTtb rdv Zz/, AB 7tSQLS%6^svov Ttorl
rb VTtb rdv ZE, EB, iitsC ieriv d ^sv ZA dy^sva :
1. fi£v] scripsi; yuQ (comp.) (ir} F, uiilgo; fiiv sati Torel-
lius; om. Commandinus. BOtiv^ l^arco] scripsi; sGtiv (comp.)
F, uulgo; IWoo Commandinus. 3. ccXX(o F. Y.vXtv8Q(ov ed.
Basil., Torellius. 5. vtisqsx cum comp. t^v uel iv F. 8. 6%ri-
ftaTO?] t(irj^atog F; corr. D, Cr. 10. dirjx^oa F; corr. Torel-
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 435
inscribatur igitur segmento conoidis figura solida, et
alia circumscribatur ex cylindri frustis altitudinem
aequalem habentibus composita, ita ut figura circum-
scripta excedat inscriptam spatio minore, quam quali
excedit segmentum conoidis conum W [prop. 20]. iam
quoniam figura circumscripta, quae segmento maior
est, minore spatio figuram inscriptam excedit, quam
quo segmentum excedit conum W^ adparet, figuram
inscriptam maiorem esse cono W. producantur igitur
plana frustorum omnium segmento inscriptorum usque
ad superficiem frusti basim habentis eandem, quamsegmentum, et eundem axem, et sit
et cetera eadem construantur, quae antea. rursus igi-
tur priraum frustum totius frusti axem habens ^Ead primum frustum figurae inscriptae axem habens
^E eam rationem habet, quam A^^ : KE^. namfrusta altitudinem aequalem habentia eam inter se
rationem habent, quam bases [cfr. prop. 10]. bases
autem, quoniam sectiones conorum acutiangulorum
similes sunt [prop. 14 coroll.], eandem inter se ra-
tionem habent, quam quadrata diametrorum respon-
dentium [prop. 6 coroll.]. sed
^z/2 : KE^ =^Z^XJB:ZEX EB,
lius. 11. svyiyg. F. Tfia^ojrt] scripsi; 6%ri^ati F, uiilgo.
fWe] saasLTccL F; corr. Torellius. 12. Tav]'(prius) scripsi, xrjv
F, uulgo; om. ed. Basil., Torellius. 14. xcc aXXa] scripsi; z'
alXa F, uulgo. 15. yiatsa-itsvdad-a)] scripsi; yLataa-asvaaQ^a} F,uulgo. 16. ai^ova'] a F. 17. tcov] scripsi; tov F, uulgo.20. sx(Qvti F. 21. at ds ^aatsq avtav] om. F; corr. Com-mandinus (nisi quod ^dasig scripsit). 23. ovv] delet Torel-lins. sxcovtL F. 26. Zz/, JB] scripsi; ZABF, ZJB uulgo;sic etiam p. 436 lin. 3. 27. ZEB F, uulgo, ut p. 436 lin. 4.
28*
436 nEPI KSiNOEIAESiN KAI S^AIPOEIAESIN.
dicc tov 0, xad'' au EyytGra 6v^7tL7trovtL^ aC ds A^d^
KE TtaQcc rav xata to B STtLil^avov^av, a6tiv d£ ro
inav vTto tav Zz^, z/5 7teQi£%6^Bvov lOov ta Sl xc)-
Qi(p, to d£ vTto tav ZE^ EB ta SM. £%ei ovv 6
5 TtQ^to^ TOftog rcov iv toj oXco toiKp 6 B%(QV a\ova
tav /iE Ttotl roi' jtQOJtov to^ov tcov iv tw iyye-
yQa^^svc) <5%ri^ati tov £%ovta a^ova tav ^E tov
avtov koyov^ ov to ii %ciQiov Ttotl to SM. Tcal tav
allcov ds to^cDv £xa0tos tmv iv to5 oAo) to^c) a^ova
10 i%6vtov Tai' l'6av ta ^E Jtotl tov t6^ov toi' iv tco
iyy£yQa^^£V(p 6%r}^ati xat avtov i6vta xal a^ova
£%ovta tav i0av ta zlE tovtov £%£i tov k6yov^ ov
to Sl %oQiov Ttotl to 6^6koyov tov TtaQcc tav S7taQa7t£7tto7c6tov v7t£Q^akk6vtov £l'd£i t£tQayovo. 7ta-
15 kiv ovv ivti tiva ^^yid^^a^ ot t6^0i oC iv tc5 oAcj
t6^o, Kal akXa ^^yid^^a^ ta %oQia, iv olg to 5i, l'6a
to ^tlrjd^^i totg t6^0ig xal aata dvo toi^ avtov X6yov
£%ovta avtotg. X£y6vtai de ot TOftot jtot' aXkovg to-
yiovg tovg iv t^ iyy^yQa^^ivo 6%ri^ati^ 6 d£ £6%atog
20 t6^og ovd£ jro'0'' sv X^yitai^ ta de 5i %OQia 7tot
aXka %OQia ta 7taQa tav S 7CaQa7t£7ttox6ta v7t£Q-
^dkXovta £id£6i t£tQayovoig^ td 6^6Xoya iv totg
avrotg k6yoig, ro d£ £6%arov ovda jro'9'' ^V X^yirai.
drjXov ovv ^ on xal 7tdvr£g ot r6^0i 7torl 7tdvrag tov
25 avrbv i^ovvn k6yov^ ov Ttdvra rd Sl %oQia Ttorl
1. o cct] ccg F; corr. Torellius. Gv^mnxoivxi F. 4. fi/iV]
Torellius, ut lin. 8. 6. xcov] scripsi; xov F, uulgo. 8. xo\
(prius) rto F. 10. xdv] addidi; om. F, uulgo. 12. xdv] addidi;
om. F, uulgo. 13. xav ^] xu NS F; corr. ed. Basil.^
15.
TOjLtot ot] om. F; corr. Torellius. 17. nlrj^&r} F. nccxd] y,a
supra manu 1 F. 18. bxovxcc] sxcovxl F; s%ovxi uulgo; corr.
Torellius. aXXaXovg F; corr. BC. 20. no^' %v] scripsi;
A
DE CONOIDIBUS ET SPHAEEOIDIBUS. 437
quoniam Z/i linea per ducta est, in quo lineae
sectioni proximae inter se incidunt, et AA^ KE lineae
in puncto B contingenti parallelae. ^) sed
et ZEx EB = SM. itaque primum frustum totius
frusti axem habens z/£J ad primum frustum figurae
inscriptae axem habens ^E eandem rationem habet,
quam ii ad SM. et ceterorum quoque frustorum
unumquodque eorum, quae in toto frusto sunt axem
habentia lineam lineae /tE aequalem, ad frustum in
figura inscripta eodem loco positum et axem habens
lineam lineae zlE aequalem eam rationem habet, quamspatium ii ad respondens spatium eorum, quae lineae
S adplicata sunt figura quadrata excedentia. rursus
igitur magnitudines quaedam sunt, frusta totius frusti,
et aliae magnitudines, spatia, in quibus est littera
i^, numero frustis aequales et binae cum binis in
eadem proportione. et frusta cum aliis frustis, quae
in figura inscripta sunt, in proportione sunt, ultimum
autem frustum in nulla proportione^), et spatia i2
cum aliis spatiis, quae lineae S adplicata sunt figuris
quadratis excedentia, respondentia in iisdem propor-
tionibus, ultimum autem in nulla est. adparet igitur,
etiam omnia frusta ad omnia eandem rationem habi-
tura esse, quam omnia spatia £1 ad omnia spatia
1) Apollon. I, 21; Zeitschr. f. Math., hisi. Abth. XXV p. 55nr. 24; cfr. supra p. 422, 5 sq.
2) Id scilicet, cuius axis est 5 O ; numerus enim frustoruminscriptorum uno minor est.
noQ^iv F, uulgo; sic etiam lin. 23. 21. xcl] addidi; om. F,liulgo. xu vTtSQ^ocXlovra F; corr. Torellius.
438 nEPI K^NOEIAE^N KAI S^AIPOEIAE^N.
Ttdvta xa TtaQa^krniaru %€oqI($ tov fisyt^tov. Jtdvta 4de td Sl %(OQCa notl Jtdvta td TtaQa^Xrniata %ciQlg
tov iisyC^tov ^sC^ova koyov s%ovti^ 7] ov d SN Ttotl
tdv l'6av d^(potSQaig ta ts rj^i^sa tdg 3 xal rc5 tQCtG)
5 ^SQSi tdg iV. ^sC^ova ovv Xoyov s%sl olog 6 to^og
Ttotl tb syysyQa^^svov ^^rj^a tov, ov s%si d SNTtotl tdv L6av d^g)OtSQaLg ta ts rj^LOsa tdg S ^ccl
ta tQCtcp ^sQSL tdg N' S<Sts xal tov, ov s%sl d Z^Ttotl tdv @P. ^sC^ova ovv s%sl Xoyov 6 okog to^og
10 Ttotl tb syysyQa^^svov 6%rj^a 7] Ttotl tbv W xcovov
OTtsQ ddvvatov. sdsC^d^rj yaQ ^st^ov sbv tb syysyQa^-
ILSvov (5%r]iia tov ^ }i(6vov. ovk sCtLv ovv fist^ov
tb tov xcDvosLdsog tfid^a tov W xcovov. — sl ds
sXa666v s6tL tb tov KCJvosLdsog t^d^a tov W thovov^
15 syyQacpsvtog slg tb t^d^a 6%i^^atog 6tsQsov xal dXXov
TtsQLyQatpsvtog sx xvXCvSqov to^cnv l0ov vil^og s%6vtcjv
avyxsLfisvov, m6ts tb TtsQtysyQa^^svov (S%rj^a tov sy-
yQa(psvtog vjtSQS%SLV sXd06ovL, 7] dXCxc) v7tsQS%SL 6 Wxmvog tov t^d^atog^ Ttdktv o^oCog dst^d^i^OstaL tb
20 TtSQLysyQa^^svov (3%rj^a sXa66ov sbv tov W xmvov^
xal 6 tov xvkCvdQOv tb^og 6 ^d^Lv s%cyv tdv avtdv
tcS tfid^atL xal d^ova tbv avtbv TCotl tb itSQLysyQa^-
^svov (^%rj^a skd66ova kbyov s%cav 7] itotl tbv Wxojvov oTtsQ s6tlv ddvvatov. ovx s6tLV ovv ovd^
25 ska66ov tb tov xcovosidsog t^d^a tov W xmvov. drj-
kov ovv tb TtQOtsd^SV.
1. xa %coQig FD. 3. Bxtovri F. MS Torellius. 5. MTorellius, ut lin. 8. 6. 57M Torellius. 7. ^] E/S? F; corr.
Cr., ed. Basil. 10. x6v\ to F. 11. (isi^ov iov] fiSL^sov F;
corr, B*. 23. 8%'^'^ v] Torellius; sxtovTL F, sxovti uulgo.
24. sariv] supra manu'l F.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 439
adplicata praeter maximum [prop. 1]. sed omnia
spatia Sl ad omnia spatia adplicata praeter maximummaiorem rationem habent, quam
S + i\r:iS+iiV[prop. 2].
itaque totum frustum ad figuram inscriptam maiorem
rationem habet, quam S -{- N : ^ S -\- ^ N^ quare
etiam maiorem, quam Zz/ :©P.^) itaque totum frustum
maiorem rationem habet ad figuram inscriptam quamad conum ?P*^); quod fieri non potest. nam demon-
stratum est, figuram inscriptam maiorem esse cono W.
itaque segmentum conoidis maius non est cono W. —sin minus est segmentum conoidis cono W, inscripta
segmento figura solida et alia circumscripta ex cy-
lindri frustis aequalem altitudinem habentibus com-
positis, ita ut figura circumscripta excedat inscriptam
spatio minore, quam quali conus W segmentum ex-
cedit, rursus eodem modo demonstrabimus, figuram
circumscriptam minorem esse cono W [cfr. p. 434,
6 sq.], et frustum cylindri basim habens eandem,
quam segmentum, et eundem axem ad figuram circum-
scriptam minorem rationem habere quam ad conum^ [cfr. p. 434, 15 sq.]; quod fieri non potesi^) ita-
que segmentum conoidis ne minus quidem est cono
W. constat igitur propositum.
1) U. p. 425 not. 2.
2) Nam frustum totum ad W eam ratio^nem habet, quamZJ : @P; cfr. p. 420, 3 sq. itaque figura minor est cono.
3) Tum enim figura circumscripta maior esset cono ^(Eucl. V, 10), quod secus est (lin. 19).
440. nEPI KiiNOEIAEJiN KAI S*AIPOEIAEiJN.
Ilavtog 6%ri^atog (jcpaLQOSideog t7a7tid(p t^ad^evtog
dca tov xevtQOv OQd^a Ttotl tov a^ova ro a^i0eov tov
<5(paiQoeideog diitkaGiov e^ti roi} ncavov rot5 ^ciOiv
5 e^ovtog rai/ avtav ta t^cc^ati %al a^ova tbv avtov.
66tG) 6(paiQoeideg 6%ri^a eTtiJtedcp tet^ia^evov dicc
tov xevtQOv oQd^a Jtotl tbv a^ova. tfiad^evtog de
avtov aklcp e7ti7tid(p dicc tov a^ovog rov ^ev exrj^atog
to^a e6tco a ABFzl o^vyoviov xcovov to^d, did^etQog
10 de avtdg Kal a^cav tov 0(paiQoeideog d 5z/, xevtQOv
ds tb ®. diOiOet de ovdev^ sHts d ^ei^ov e6tl did-
^stQog d B^ tdg tov o^vycoviov xcovov to^dg, slts
d iXda^cov. rov de tet^axotog i7ti7tidov tb 6%riiia
toybd e6tci) d FA evd^eta. i(36eitai drj avtd did tov
15 Tcal OQd^dg 7toi7]6ei ycoviag 7totl tdv BA, i^tel tb
i7ti7tsdov v7toxsitai Sid tov TtivtQOv ts d^d^at xal oQd^bv
sl^sv Ttotl tbv d^ova. dsiTctiov, ort ro d^i6sov tov
6(paiQoeidiog t^d^a tb ^d^tv ^sv s%ov tbv xvxlov
tbv 7t6Qi did^stQov tdv AF, %OQVCpdv ds tb B 6a-
20 iisiov di7tld6i6v i6ti rov xcovov tov ^d6iv s%ovtog
tdv avtdv ta t^d^ati xal d^ova tbv avtbv.
s6tco ydQ xoovog tig, iv a ro W, di7tXa6icov tov
Ticovov tov ^d6iv s%ovtog tdv avtdv rra t^d^ati xal
d^ova tbv avtbv tdv 0B. (pa^l dr} tb d^i6sov rov
25 6cpaiQOSidiog i6ov sl^sv ta ^ xoovc). sl ovv iiri
i6tiv l'6ov ro d^i6sov tov 6(paiQOSidiog ta W xcovcoy
s6tc3 7tQ(5tov, sl dvvatov^ fist^ov. iyysyQa^pd-co drj
1. y.d'' Torellius. 6. 6xi](i(x] tpir](ia. F; corr. ed Basil.*;
„portio" Cr. Tsrfirjfisvov F, uulgo. 8. Sid'] scripsi; tov (isv
dia F, uulgo. cr;g?^/xaTOs] tfirjficctoe F; corr. B. 11. 0] 0z/ F.
13. cc] addidi; om. F, uulgo. tstfiriTiotog F; corr. Torellius.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 441
XXVII.
Quauis figura sphaeroidis per centrum plano ad
axem perpendiculari secta, dimidia pars sphaeroidis
duplo maior est cono basim eandem habenti, quam
segmentum, et eundem axem.^)
sit figura sphaeroidis per centrum plano ad axem
perpendiculari secta. ea autem alio plano per axem
posito secta, figurae sectio sit ABFJ coni acutianguli
sectio [prop. 11, c], diametrus autem eius et axis spliae-
roidis BJ, centrum autem 0. nihil autem interest, utrum
maior diametrus sectionis coni acutianguli sit B^ an
minor. plani autem figuram secantis sectio sit linea FA.
ea igitur per punctum @ [ducta] erit, et cum linea 5z/
rectos angulos faciet, quoniam suppositum est, planum
et per centrum ductum esse et ad axem p*erpendiculare
[Eucl. XI, 18 et XI def. 4]. demonstrandum est, di-
midiam partem sphaeroidis basim babentem circulum
circum diametrum AF descriptum, uerticem autem
punctum B duplo maiorem esse cono basim eandem
habenti, quam segmentum, et eundem axem.
sit enim conus aliquis, in quo sit littera W, duplo
maior cono basim habenti eandem, quam segmentum,
et eundem axem ®B. dico igitur, dimidiam partem
sphaeroidis aequalem esse cono ^. iam si dimidia
pars sphaeroidis cono W aequalis non est, sit primum,
si fieri potest, maior. inscribatur igitur segmento,
1) P. 284, 2 sq.: £t v.a n tav 6cpaiqoBi8i(ov axi^ficitcov etil-
nid(p t^KQ^ij Sicc tov tisvtQOV oQd^m notX tov a^ovcc^ tav ysvcc-
flivCOV t^UfldtOiV SMCCtEQOV dinXcCOLOV SGOsltCCL tov yicovov tov^ccGLV sxovtog tccv avtccv ta tfidfiatL y.al d^ova tov avtov.
16. ts dx&aL'] scripsi; tstax&aL F, uulgo. 24 diq] scripsi;
ds F, uulgo.
442 nEPI KSiNOEIAESiN KAI S^AIPOEIAES^N.
slg to t^a^a tb a^C^eov tov dcpaLQOSLdeos ^xij^a 6ta-
Qeov^ zal aXko TtEQiyeyQdcpd-co ix nvXivdQCOv vipog lcov
sxovtov 6vyx£L^svov, mCtE to TtEQiyQacpsv ^xYiiia tov
syyQacpsvtog vtcsqsislv skd66ovL^ 7] dXCxo vTtEQEysL ro
5 d^Cosov tov 6cpaLQOELdsog to€ ?P" xcovov, sitsl ovv
^SL^ov sov tb TCEQLysyQa^iisvov 6xrj^a tov d^C6sog
rot» ecpaLQosLdsog sXdd^ovL v7tsQE%SL roi» iyysyQa^-
pLSvov 6%riiiatogj ?} ro d^Cosov tov ^cpaLQOSLdsog roi)
^ xcovov, drjXov ovv, otL xal tb iyysyQa^^svov ^xrj^a
10 iv rra t^d^atL tcj d^Laicp tov OcpaLQOSLdsog ^st^ov
3. ixovtcov] sxov tov (comp.) F. Litteram P in figura ad-
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 443
quod dimidia pars est sphaeroidis, figura solida, et
alia circumscribatur ex cylindris altitudinem aequalem
habentibus composita, ita ut figura circumscripta
excedat inscriptam minore spatio, quam quali excedit
dimidia pars sphaeroidis conum W [prop. 19]. itaque
quoniam figura circumscripta, quae maior est dimidia
parte sphaeroidis, minore spatio excedit figuram in-
scriptam, quam quo dimidia pars sphaeroidis conum Wexcedit, adparet, etiam figuram segmento inscriptam,
quod dimidia pars sphaeroidis est, maiorem esse cono
W. sit igitur cylindrus basim habens circulum circum
didi; quadratum 1 addidit Torellius, sed seorsum; ego cumceteris iunxi. 6. ccfiLasog] F; afi^Gscog uulgo. 7. sXccggovl]
Nizzius; sXocaaov F, uulgo. 9. ovv] delendum? 10. rmcc[iiasa}\ acripsi; rov a(ii-asos FCD, tov a^iasoig uulgo.
444 nEPI K^NOEIAEiiN KAI 2^AIP0EIAE<iN.
sGtL tov ^ yi(6vov. £0tco drj xvhvSQog ^aaiv ^lv
£%cov tov zvK^ov tbv TtSQl dia^stQov tccv AFy a^ova
ds tav B@. eTtsl ovv ovtog 6 xvhvd^og tQiTcXd^iog
s6tc tov xcjvov tov ^cc6cv s^ovtog tav avtav ta t^d-
.5 ^atc Tcal a^ova tbv avtov, 6 ds W^ Kojvog dcTildocog
s6tc roiJ' avtov Kcavov^ drjXov, cog 6 TivlcvdQog ri^co-
^.cog s0tc tov W Kcovov. ixps^li^^d^o 6rj td STicnsda
tcov KvXcvdQcav itdvtcov^ s^ cov (jvyxsctat tb syysy^a^-
^svov 0%ri^a^ s6ts Ttotc tdv sitccpdvscav tov xvXcvdQov
10 Toi) pd6cv s%ovtog tdv avtdv ta t(id^atc Tcal d^ova
tbv avtov. s06sctac drj 6 oXog xvXcvdQog dcacQrj^svog
scg KvKcvdQOvg ta ^sv TtXr^^^sc c6ovg tocg KvXcvdgocg
tocg sv ta TtSQcysyQa^^svc) 0%riiiatc^ ta ds ^sys^sc
c6ovg roj ^syCotcp avtcov. s6tcov ovv y^a^^al ksc-
15 ^svac, scp' dv td S, ta nXri^sc c6ac tocg t^a^dts06c
tocg tdg B& sv^scag^ ta ds ^sysd^sc l'0a sxdcta ta
jB@, xac ditb sxd6tag tst^dycovov dvaysyQacpd-co. dcpac-
Q^^Cd^cj drj ditb ^sv roi) s6%dtov tstgaycovov yvco^ov
TtXdtog s%cov i'6ov ta BI. s66sctac drj ovtog t6og tcj
20 7tSQcs%o^svc) V7tb tdv Bly Jz/. aTtb ds tov Ttaq
avtm tstQayoovov yvco^cov dcpacQ^^^d^co TtXdtog s%cov
dc7tXd6cov tdg BI. s66sctac drj ovtog l'6og ta JtsQc-
s%o^£vco vTtb tdv BX, Xz/. xal dsl djtb rot) s%o^svov
tstQaycovov yvoo^cov dg)acQT^6d^co ^ ov TtXdtog svl t^d-
25 ^atc ^si^ov Toi) jtXdtsog tov TtQb avtov dcpacQrj^svov
yvco^ovog. s66sctac drj sKa6tog avtoov l'6og rw TtsQc-
1. ^doiv] scripsi; 6 ^aaiv F, uulgo. 9. I^ars] saasLxcii, F;corr, Torellius. 11. SiaiQrnLhoq] scripsi; diaiqov^Bvog F,
uulgo. 14. £<jrwv] scripsi; fffTco dri F; iatoaoav 8ri Nizzius
cum BD, 15, loa F; corr. Torellius. t^rjfiaai F, uulgo;
t^d^aat Torellius. 19. i'oov] scripsi; laav F, uulgo. Sri]
Nizzius; Ss F, uulgo. 21. tstQaycavmv F. 22. tat] ro F.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 445
diametrum AF descriptum, axem autem B®. iam
quoniam hic cylindrus triplo maior est cono basim
habenti eandem, quam segmentum, et eundem axem
[Eucl. XII, 10; cfr. supra prop. 10], sed conus ^duplo maior eodem cono, adparet, cylindrum dimidia
parte maiorem esse cono W. producantur igitur plana
omnium cylindrorum, ex quibus composita est figura
inscripta, usque ad superficiem cylindri basim habentis
eandem, quam segmentum, et eundem axem. totus
igitur cylindrus diuisus erit in cylindros numero
aequales cylindris figurae circumscriptae, magnitudine
autem maximo eorum aequales. ponantur igitur lineae
quaedam, in quibus sint litterae S, numero partibus
lineae B& aequales, magnitudine autem singulae aequa-
les lineae 5@, et in singulis quadratum construatur.
auferatur igitur ab ultimo quadrato gnomon latitudinem
habens lineae BI aequalem. is igitur aequalis erit
Blxl/J,^) a quadrato autem ei proximo auferatur
gnomon latitudinem habens 2 BI. is igitur aequalis
erit BXx Xz/. et semper deinceps a quadrato se-
quenti auferatur gnomon, cuius latitudo una parte
[lineae B&] maior est latitudine gnomonis ante ablati.
unusquisque igitur eorum aequalis erit spatio partibus
1) Nam cum BJin partes aequales (in 0) et in inaequa-les (in J) diuisa sit, erit (Eucl. II, 5): B Ix IJ -\- 1@^ = B@^,h. e. B@^ — I©^ = BIxIJ, sed B@^ — I@^ ipse gnomonest. et eodem modo ceteri gnomones inueniuntur.
23. sxofisvov] snofisvov Torellius. 24. ov] addidi; om. F,
uulgo. svl'] scripsi; fisv tj FCD; (isv lgov AB, ed. Basil;
usv sxcov svi Commandinus, Torellius. 25. tzqo'] C, Torellius
;
7CQ0X0V FD; TiQfoxov AB, ed. Basil.
448 nEPI KSiNOEIAESiN KAI S<I>AIPOEIAEOT.
oXg) xvXivdQC) Ttotl Tcdvrag rovg ereQovg xvUvdQOvg
rov avrov s^ovvrv Xoyov^ ov Ttccvra ra tsrQccycova
TCorl Ttdvrag rovg yvco^ovag rovg dcpaiQrj^svovg dn
avrtSv. 6 ccQa TcvXivdQog 6 pdoiv i%Giv rdv avrdv rw
5 r^d^an xal d^ova tov avtov notl tb syysyQaii^svov
6%ri^a tbv avtbv sxsi Xoyov, ov itdvta td tstQdycova
Ttotl Ttdvtag rovg yvco^ovag rovg dcpaiQTj^svovg dit
avrdov. rd ds rsrQdycava Ttdvrcov rojv yvcj^ovov rSv
dcpaiQfj^svov dit avrcjv fist^ovd svri ^ rj^LoXta. svrl
10 ydQ rtvsg yQa^^al xst^svai at ^P, S2, ^T, ST, S^tco l6g) dXXdXav vTtSQsyovGai ^ %aX d sXayi6ra l'6a ra
vTtsQOxa. svrl ds %al dXXat yQa^^at, scp^ dv td dvo
S, S? f^(p ^£f^ Ttkri^si i6ai ravraig^ ra ds ^sysd^st
sxd6ra l'6a ra ^syt^ra. rd ovv rsrQaycova rd d%b
15 7ta6dvy dv sdrcv sxd6ra i'6a ra ^sytCra, Jtdvrcov ^sv
tcov rsrQaycovcav rcov ditb rdv ra l'6c) dkXdXav vitSQ-
s%ov6dv sXd66ovd svri r]' rQiTtXd^La^ rwv ds XoLJtmv
%G)Qlg rov dnb rdg ^syC^rag ^st^ova r] rQL7tXa6L0va.
rovro yaQ sv rotg TtsQt rdv slCxcov ixdsdo^svoLg ds-
20 dsCxraL. sTtsl ds Ttdvra rd rsrQdycova skd66ovd svn
^ rQL7tXd6La rojv srsQCJV rsrQayoovcov, d svrL dcpaLQrj-
^sva dit avr^Vy drjXov.^ ort rtov XoLTtdov ^sC^ovd svn
7] ri^Lolta. rSv ovv yvco^ovov ^sC^ovd svrL ri rj^LoXLa.
oo6rs %al 6 xvkLvdQog 6 ^d6LV s%cov rdv avrdv rco
25 r^d^arL Tcal d^ova rbv avrbv ^sC^cov s6r\v ^ rj^LoXLog
3. dcpcaQrjfisvovg] scripsi; acpuLQOfisvovg F, uulgo; dcpcci-
Qov(isvovg ed. Basil., Torellius; sic etiam lin. 7. 9. i]] om. F.
10. ,^*] S^, ^^j, SSl F; corr. ed. Basil. 14. ra] rto F; corr.
Torellius. 15. av] scripsi; d F, uulgo. fisv tcov] scripsi;
rmv om. F, uulgo. 16. zccv rc5 faa)] scripsi; tcov looiv F,
uulgo; tuv Vacp Torellius. 18. (isc^ov F; corr. Torellius.
tQiTtXcioCovcc] uel tQinldoLu scripsi; tQinlccoiov F, uulgo. 21.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 449
lindri ad omnes ceteros cylindros eandem rationem
habebunt, quam omnia quadrata ad omnes gnomones
ab iis ablatos [prop. 1]. itaque cylindrus basim habens
eandem, quam segmentum, et eundem axem ad figuram
inscriptam eandem habet rationem, quam omnia qua-
drata ad omnes gnomones ab iis ablatos. sed [omnia]
quadrata illa maiora sunt quam dimidia parte maiora
omnibus gnomonibus ab iis ablatis. sunt enim lineae
quaedam positae^ SP, S^y ST, S^, S^y aequali diflfe-
rentia inter se excedentes, et minima differentiae aequa-
lis est.-^) sed etiam aliae quaedam lineae sunt, in
quibus sunt duae litterae SS, numero illis aequales^
magnitudine autem singulae aequales maximae. qua-
drata igitur omnium linearum^ quarum quaeque maxi-
mae [illarum] aequalis est, omnibus quadratis linearum
inter se aequali differentia excedentium minora sunt
quam triplo maiora, reliquis autem praeter quadratum
maximae maiora quam triplo maiora. hoc enim in
libro de helicibus edito demonstratum est [prop. 10
coroll.]. quoniam autem omnia quadrata minora sunt
quam triplo maiora alteris quadratis, quae ab iis
ablata sunt, adparet, reliquiis maiora ea esse quamdimidia parte maiora. gnomonibus igitur maiora sunt
quam dimidia parte maiora. quare etiam cylindrus
basim habens eandem, quam segmentum, et eundem
axem maior est quam dimidia parte maior figura in-
1) Sunt enim 5BI, 4BI, 3BI, 2BJ, BI.
xqinXccGici] dinXaoia F; corr. ed. Basil.* 22, (isi^ova] va postlacunam F; corr. ed. Basil. 23. rjjLttoXtoo (alt. loco) F; corr.
Torellius. 24. §a6Lv fisv F, uulgo; (isv deleui. 25. (isi^ov
F. ?] rjfiioXiog] rjiiiGsos F; corr. ed. Basil., Cr.
ArcMmedes, ed. Heiberg. I. 29
450 nEPI K5iNOEIAE5iN KAI 2<E»AIPOEIAE5iN.
Tot; iyysyQafi^Evov 6xi^iicctog' otieq advvarov. xov yccQ
^ K(6vov fj^LoXLOs iiSTL, xo 6% iyysyQa^^svov (5xri^a
liet^ov iSsLx^V ^o^ ^ 7C(6vov. ovx aga i0xl ^st^ov
x6 r]^t06ov xov 6(paLQOBLdiog xov W Xiovov. ovde
5 xoLVvv sXa66ov. s6xci yccQ , sl dvvaxov, ska66ov.
jkxXlv drj iyysyQccq)d-a3 sig xb a^L6sov xov 6(paLQ0-
SLdsog 6xri^a 6xsQs6vy Kal aklo TCSQLysyQcc^pd^G) ix xv-
XlvSqcdv vtpog l6ov ixovxcDv 6vyxsL^svov, ca6xs xo
TCSQiyQacpsv 6xrj^a xov iyyQa(pivxog VTtSQSx^LV iXcc66ovL^
10 rj (p vTtSQsxsL 6 W x<6vog xov rjiiL^sog xov 6(paLQ0-
SLdsog, xal ta aXXa xa avxa xotg jtQoxsQov xaxs6xsv-
d6^(0: iTCsl ovv ^Xa666v i6XL xo iyyQacpsv ^x^fjiia xov
xiicc^axog, drjXov, oxl xal xb TCSQLyQacpsv 6xrj^a sXa6-
66v i6xL xov ^ xcjvov. tcccXlv drj b TCQcoxog xvXlv-
15 ^Qog xmv iv rc5 oXci xvXlvSqg) 6 ^x^'^ a^ova xav ®ETCoxl tbv 7CQC0XOV xvXlvSqov xcov iv xa TCSQLysyQaii-
lisvca 6xi]^axL xbv sxovxa a^ova xav @E xbv avxbv
sxsc Xoyov, ov xb tcqooxov xsxQccycovov jtot' avxb. 6
6s dsvxsQog xvXLvdQog xwv iv rc5 oXa xvXCvdQ^p 6
20 sxcDV a^ova tav EII tcoxI xbv Ssvxsqov xvXlvSqov
t<ov iv ta TCSQLysyQa^^svG) ^x^^att tbv sxovta a^ova
tav En tbv avtbv sxsl X6yov, ov ro dsvtsQov ts-
tQccycovov icotl tbv yvco^ova tbv dic avtov d(paLQri-
liivov. xal tcov dXXcov ds xvXlvSqcov sxa6tog tcov iv
25 rc5 oXg) xvXlvSqc) d%ova ix6vtcov tdv t6av ra ®ETCotl tbv xvXlvSqov tbv iv rcj TCSQLysyQa^^svco 6xr\-
ybati xat avtbv ibvta xal d^ova ^'^^ovra tbv avtov
4. dfiLGBov Torellius. 5. elccGGov] priore loco slaffaoov F.
6. dfiicsov} ajitKj^ov F; cotr. BC*. 10. «] addidi; om.
F, uulgo. dfiiGsog Torellius. 18. tcot* ocvto] scripsi; uot'
ttVTo uulgo; de neglecta aspiratione cfr. Quaest. Arch. p^93.
21. Tcov] scripsi; tov F, uulgo 22. dsvTsqov] Torellius; § F,
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 451
scriptaj quod fieri non potest. nam dimidia parte
maior est cono ^, et demonstratum est, figuram in-
scriptam maiorem esse cono W, itaque dimidia pars
sphaeroidis maior non est cono ^. sed ne minor qui-
dem est. sit enim, si fieri potest, minor. rursus
igitur in dimidia sphaeroidis parte inscribatur figura
solida, et alia circumscribatur ex cylindris altitu-
dinem aequalem habentibus composita, ita ut figura
circumscripta excedat inscriptam spatio minore, quam
quo conus W dimidiam sphaeroidis partem excedit, et
cetera eadem, quae antea, construantur. iam quoniam
figura inscripta segmento minor est, adparet, etiam
figuram circumscriptam minorem esse cono W. rursus
igitur primus cylindrus totius cylindri axem habens
®E sid primum cylindrum figurae circumscriptae axem
habentem @E eandem rationem habet, quam primum
quadratum ad se ipsum.^) secundus autem cylindrus
totius cylindri axem habens EII ad secundum cylin-
drum figurae circumscriptae axem habentem EUeandem rationem habet, quam secundum quadratum
ad gnomonem ab eo ablatum. et ceterorum etiam
cylindrorum unusquisque eorum, qui in toto cylindro
sunt axem habentes lineam lineae ®E aequalem, ad
cylindrum in figura circumscripta eodem loco positum
et axem eundem habentem eam rationem habet, quam
1) Utraque enim titrisque aequalia sunt.
uulgo. 26. rav] addidi; om. F, uulgo. 26. syysyQocfifbsve)
P; corr. TorelHus. 27. xal a^ova Exovta'] scripsi; om. F,uulgo; xai i%ovta a^ova Torellius.
29
452 nEPI KSiNOEIAEiiN KAI S^AIPOEIAE^N.
rovtov B%eL tov koyov^ ov tb o^Oicog tetay^evov avta
tetQccycDVOv Jtotl rov yvm^ova toi^ a7t avtbv dtpaiQrj-
^evov. %al Ttdvteg ovv ot xvXivdQOi ot ev ta oAca
%vkivdQ(p Ttotl Ttdvtag tovg KvXCvdQOvg tovg iv toj
5 TteQiyeyQa^^evc) Cxrniati tov avtov e^ovvti XoyoVj ov
Ttdvta td tetQdyova Ttotl to Hoov tc5 TtQmtci tetQa-
yc3V(p %al totg yvco^6ve0^i totg aTto tmv loiJtcov te-
tQaycjvcjv dcpaiQrj^evoig. xal td tetQdymva Jtdvta
eXd60ovd evti 7} 7i^i6^.ia tov l0ov tcj te TtQCotc) te-
10 tQaycjvcj Kal totg yvco^6ve^6Lv totg aTtb tmv loLTtav
d(paLQri^evoLgj dL^tL tSv tetQayojvov tosv dito tdv tS
l6(p dkXdXav v7teQe%ov0dv %(OQ\g tov dito tdg ^eyC^tag
tetQaycavov ^eC^ovd evtL 7] tQLTtXd^La. 6 aQa xvXlv-
dQog pd^Lv [^ev] e^cov tdv avtdv t^ t^d^atL xal
15 d^ova Toi^ avtov eXdc^cov 7] Tj^i^Xi^g e6ti tov iteQi-
yeyQa^^evov 6%7j^atog' OTteQ ddvvatov. Tov yaQ WKcovov rj^i6Xi6g e^ti, to de TteQiyeyQa^^evov ^XV^^eXattov edeC^d^ri tov W xcovov. ovk aQa e6tlv ekao-
0OV tb rj^Cdeov tov 6(paiQoeideog tov W tkovov. ejtel
20 de oi;t£ iiett,6v e6tiv ovde eXa06ov, i6ov aQa e6tCv.
%ri'
.
Kal toCvvv et xa tb 6(paLQoeLdeg ^rj OQd"^ Jtotl
tbv d^ova Tc5 eitLTtedc!) dLa tov xevtQov t^ad-rj^ o^oCog
t6 d^C6eov tov 6(paLQoeLdeog dLitXd^tov e66eCtaL tov
25 ditot^dfiatog tov xcovov to{5 pd6Lv 5;^oi/Tog tdv avtdv
t(p t^d^ati Kal d^ova tbv avt6v.
1. tov Xoyov'] scripsi; rov om. F, uulgo. ov to] Nizzius;
om. F, uulgo. tsruy(i8vov] Nizzius; rsrccyfiEvoj F, uulgo.
2. rsrQciyavov] Torellius; rsrQccyavco F, uulgo. uidendumtamen, ne ferri possit: rov avrov ¥%si Xoyov rc5 o^oiois rs-
rocY^svo} . . rsrQCiycovq). 10. yvcoiiovsciv F. 11. rav] rcov F; ;
corr. Torellius. 12. xcoQLg] %aiQ cum comp. t^? F. 14. /tgv]
DE CONOIDIBUS £T SPHAEROIDIBUS. 453
quadratum eodem loco positum ad gnomoiiem ab eo
ablatum.-^) itaque etiam omnes cylindri totius cylindri
ad omnes cylindros figurae circumscriptae eandem
habebunt rationem, quam omnia quadrata ad spatium
aequale quadrato primo simul cum gnomonibus a
reliquis quadratis ablatis [prop. 1]. et quadrata om-
nia minora sunt quam dimidia parte maiora spatio
aequali primo quadrato simul cum gnomonibus a
reliquis ablatis, quia quadratis linearum aequali diffe-
rentia inter se excedentium praeter quadratum maxi-
mae maiora sunt quam triplo maiora. quare cylindrus
basim habens eandem, quam segmentum, et eundem
axem minor est quam dimidia parte maior figura
circumscripta; quod fieri non potest. cono enim Wdimidia parte maior est^ sed demonstratum est^ figu-
ram circumscriptam minorem esse cono W. itaque
dimidia pars sphaeroidis cono W minor non est. quo-
niam igitur neque maior est neque minor, aequalis est.
xxvin.Sed etiam si sphaeroides plano ad axem non
perpendiculari per centrum secatur, item dimidia pars
sphaeroidis duplo maior erit segmento coni basim
eandem habenti, quam segmentum, et eundem axem.^)
1) Sint Ci Cg C3 (7^ C^ cylindri circumscripti, c^ c^ c^ c^
inscripti, K partes totius cylindri, Q^ Q^ Q^ Q^ Q^ quadrata,
9i 9& 91 9b gnomones. demonstratum «st (p. 446, 6 sq.):
iC : Ci = ^3 : 5^2, ^: C2 = ^3 : g^, K: Cg = Q^.: gj K: c,= Q^ : g^(nam Q^ = Q^ cet.); sed c^==C^, c^ = C3, Cg = C^, c^ = C^.
2) P. 284, 19: st' xa tmv atpuLQosidsoov xi ETtinidcp tiiccd^ij
deleo. 19. to rjiiLasov] scripsi; tov ri^iGovg F, uulgo; t6afiiGsov Torellius. 20. ds] addidi; om. F, uulgo. figt^cov
F. ovds] F; ovts uulgo. 21. l' Torellius; om. F. 25.
aTcot^rinatos F; corr. Torrellius.
454 nEPI KiiNOEIAESiN KAI S^AIPOEIAESiN
.
t£t^cc^d^cj yccQ 0XV^^ 6(paLQ06Ldig' t^ad^ivtog ds
avtov iTCiTtidco akX(p dia roi5 ai,ovog OQ^^^a notl to
ti(ivov iTtiTtsdov tov ^sv ^xri^atog to^a eOtGi a
ABF^ o^vyaviov tccovov to^d, TcivtQOv de avtag ro
5 ©y rov ds tetiiaKotog imnidov tb Oxijiia £6t(o a AFevd^sta. i60eLtaL d^ avta Slcc tov & dyo^iva, BTCel
tb iitCitedov vTtixecto dLcc tov xivtQov ax%ai. ioceCtaL
ovv tig o^vyavCov xdvov to^ iteQL did^ietQov tdv
AF, iTcel tb ijtCitedov tb ditotifivov vTtixevto ov itot
10 OQ^dg el^ev ta d^ovL dy^ivov. dx^cov drj ttveg at
KA, MN TtaQa tdv AF i7tLJpavov6aL tdg tov o^v-
ycovCov Kcovov to^dg xatd td -B, ^, ditb de tdv KA,MN iTtCiteda dvedtaxitco TtaQdklrjka rc5 xatd tdv AF.iTtLipavovtL drj tavta tov ^cpaLQoetdiog xatd td B, ^,
15 xal d BA i7tL^evx^£t0a TteCeCtaL dtd tov 0, xal i6-
OovvtaL t(Bv tfia^dtcov xoQvcpal ^ev td B, A 6a\ieia^
d%oveg ^\ al J50, 0z/. dvvatbv drj i6tLV xvhvdQOV
evQetv d^ova e^ovta tdv B@, ov iv ta iTtLcpaveCtx
i06eCtaL d tov o^vycovCov xcovov to^d d Tte^l dLa^etQov
20 tdv AF. evQed^ivtog de i66eCtaL rtg xvXCvSqov to^og
tdv avtdv ^diSLV e%cov rc5 ri^L(5i(p tov CcpaLQoeLdiog
ical d^ova tbv avtbv. itdXLv drj xal kosvov evQetv
dvvatov i6tL xoQvcpdv e^ovta tb B Ga^etov, ov iv
td i7tL(paveCa i06eCtaL d tov o^vycovCov xcovov to^d
1. Gxrjfia] Tfnjjtia F; corr. ed. Basil.* 2. a^mvog F. 6.
dij] d' F; corr. Torellius. inst] sni F. 7. &x^ai] ts-
rdx^ocL Torellius. 10. dx^c'^^] scripsi cum C; ccx^c* ^» uulgo;
dx^coGuv Nizzius cum VBD. 11. snL^pavovaocv FBC*. 13.
Tco] To F; corr. Torellius. 14. smipavtovtL F. Sri] scripsi; Ss
F, uulgo. -Katd td B, J] om. F; corr. Torellius. 15. xai
d BJ] scripsi; xat Ta B, J F, uulgo. 8id] ds 8uc F; corr.
Torellius. 17. @J] ©A FBC*. Sri ietLv] scripsi; Ss sgxiv
F, uulgo. 18, svQ cum comp. riv uel iv F, ut lin. 22. 20.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 455
secetur enim figura sphaeroides. secta autem ea
alio plano per axem posito ad secans planum per-
pendiculari figurae sectio sit ABF/d coni 'acutianguli
sectio [prop. 11, c], centrum autem eius punctum @,
plani autem figuram secantis sectio sit linea AF, ea
igitur per ducta erit, quoniam suppositum est, pla-
num per centrum ductum esse. erit igitur coni acu^
tianguli sectio quaedam circum diametrum AV de-
scripta, quoniam suppositum est, planum secans ad
axem non perpendiculare ductum esse [prop. 14].
ducantur igitur lineae KA^ MN lineae AF parallelae
sectionem coni acutianguli contingentes in punctis B,
/1, et in lineis KA, MN erigantur plana plano in
linea AT posito parallela. ea igitur sphaeroides in
punctis 5, A contingunt [prop. 16, b], et ducta linea
BA per punctum cadet [prop. 16, c], et uertices
segmentorum erunt puncta jB, A [p. 282, 12], axes
autem jB0, 0z/ [p. 282, 13]. potest igitur fieri, ut
inueniatur cylindrus axem habens jB@, in cuius super-
ficie sit coni acutianguli sectio circum diametrum ATdescripta [prop. 9]. eo autem inuento erit frustum
quoddam cylindri eandem basim habens, quam dimidia
pars sphaeroidis, et eundem axem. rursus igitur fieri
potest, ut inueniatur conus uerticem habens punctum
5, in cuius superficie sit coni acutianguli sectio in
Bia. rov TisvTQOv firj ogd^a Ttotl rov cc^ova rmv ysvafiiv(ov rfia-
litttcov STicitSQOv SLTfXaaiov saasCrai rov axvi^atog rov ^daivsxovrog rdv avtdv ta rfid^ari, xat d^ova rov avrov. yivsravSs ro ax^fi^cc dnorfia^a yicovov.
livXivdQ supra scripta littera o F; ytvlivdQog CD. 21. ra>
J7fiKj«G)] scripsi; rov 7}^iaovg F, uulgo*; rov d(iLasog Torellius.
456 nEPI KSiNOEIAE^N KAI S^AIPOEIAE^N.
a djcb dia^erQov tag AF. svQsd^evrog de £666itai tc
djtot^a^a X(6vov tdv avtdv ^d^tv e%ov reoi t^d^att,
Tcal d^ova tov avtov. keyco ^tj, oti tov (ScpaLQoeideog
ro ri^C(5eov diTtXd^iov e6ti tov xoivov tovtov. eotco
6 drj 6 W xcBvog diTtKddog rov dnot^d^atog tov x(6vov.
€i ovv ^rj e6tiv i0ov tb rj^i^eov tov 6(paiQoeideog
rc5 ^ x(6va}, e^tco 7CQ(Btov, el dvvatov, fiet^ov. iv-
eyQa^a d^ rt etg tb rj^iGeov tov 6(paiQO£ideog ^xrj^a
6teQe6v j xal dXXo TteQieyQaTpa ex %vXiv8Qov rdfttov
10 vil)og i6ov eypvtcxiv 6vyxei^evov ^ S^te ro iteQiyQacpev
^Xrj^a rov eyyQacpevtog v7teQe%eiv eXd66ovi^ ^ dkCy^cp
v7teQe%ei tb d^C^eov tov 6(paiQoeideog tov W xcovov.
o^oCcag drj totg TtQoteQOv deixd^rj^etai ro eyyeyQa^^evov
0%riiia ev t(p rj^i^eG) tov 6(paiQoeideog ^et^ov ebv tov
15 ^ Kcjvov, Ttal 6 to^og 6 ^dOiv exov tdv avtdv rc5
1. Tt] scripsi; to F, uulgo. 2. ccnotfirifia F, ut lin. 5;
corr. Torellius. v,(ovov\ om. F; corr. Torellius. 4. dfiLGSOv
Torellius, ut lin. 6. tov dnot^a^atog tov •acovov Nizzius.
7. svByqaipa'] scripsi cum VABD; svsyQatpm F; syysyQacpd^ca
ed. Basil., Torellius. 8. cniCasov Torellius. 9. nsqiysyQa(p9^(o
ed. Basil., Torellius. 14. aincscp Torellius. 15. TOju-og tow
%vXCv8qov Commandinus, Torellius.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 457
diametro ^F descripta.^) eo autem inuento erit seg-
mentum quoddam coni eandem basim habens, quam
segmentum [sphaeroidis], et eundem axem. dico igi-
tur, dimidiam spbaeroidis partem duplo maiorem esse
hoc cono. sit igitur conus ^ duplo maior segmento
coni. itaque si dimidia pars sphaeroidis cono Waequalis non est, sit primum, si fieri potest, maior.
inscripsi igitur dimidiae parti sphaeroidis figuram so-
lidam, et aliam circumscripsi , ex frustis cylindrorum
altitudinem aequalem habentibus compositas^ ita ut
figura circumscripta excedat inscriptam spatio minore.
quam quali excedit dimidia pars sphaeroidis conumW [prop. 20]. itaque eodem modo,« quo antea, de-
monstrabimus, figuram dimidiae parti sphaeroidis in-
scriptam maiorem esse cono W^ et frustum basim
habens eandem, quam segmentum, et eundem axem
1) Ex prop. 8; nam linea B@ perpendicularis non est.
456 nEPI KSiNOEIAE^N KAI S^AIPOEIAESiN.
a ccTcb dLa^exQOv tas AF. evQed^evrog de e66eCtai tc
djtot^a^a Kcovov tav avtav ^d^tv e%ov reo t^d^atc
xal a^ova tbv ccvtov. Xeyco dri^ oti tov acpaiQoeideog
tb rj^L6eov dvJtXdciov i6tt tov x(6vov tovtov. e6tco
h dri W xcovog diTcXdocog tov dnot^d^atog tov xcovov.
si ovv ^rj e6tiv i6ov tb rj^i6eov tov CcpaiQoeideog
rc5 ^ Tccova), e6tco TCQootov, el dvvatov, ^etiov. ev-
ey^aipa dri tt etg tb r}^i6eov tov 6(paiQoeideog ^xij^a
OteQeov j xal dXlo TteQieyQail^a e% %vXiv8Qov to^cov
10 vtl^og i6ov ejovtcov 6vyKei^evov , S6te ro TteQiyQacpev
6%riiia rov eyyQacpevtog v7teQe%eiv eXd66ovi^ ^ dki^cp
vJteQexsi tb d^i6eov tov 6(paiQoeideog rot; W kcovov,
o^oicog drj totg JtQoteQOv dei^d^ri^etai ro eyyeyQa^^evov
^xrj^a ev tcp rj^i^eio tov 6(paiQoeideog ^et^ov ebv tov
15 W Kcovov, xal roftog 6 ^d6iv ejicov tdv avtdv rc5
1. xi\ scripsi; ro F, uulgo. 2. anotfirjiia F, ut lin. 6;
corr. Torellius. xcovov] om. F; corr. Torellius, 4. cc^lgsov
Torellius, ut lin. 6. zov ccTtotficcficctog tov kcovov Nizzius.
7, svsyQa^pa] scripsi cum VABD; EvsyQaipoo F; syysyQacpd^o
ed. Basil., Torellius. 8. aiiCasov Torellius. 9. nsQvysyQacpQ^o}
ed. Basil., Torellius. 14. a(ii6sqj Torellius. 15. tofiog tov
%vXiv8Qov Commandinus, Torellius.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 457
diametro ^F descripta.^) eo autem inuento erit seg-
mentum quoddam coni eandem basim habens, quam
segmentum [spbaeroidis], et eundem axem. dico igi-
tur, dimidiam spbaeroidis partem duplo maiorem esse
hoc cono. sit igitur conus W duplo maior segmento
coni. itaque si dimidia pars sphaeroidis cono Waequalis non est, sit primum, si fieri potest, maior.
inscripsi igitur dimidiae parti sphaeroidis figuram so-
lidam, et aliam circumscripsi , ex frustis cylindrorum
altitudinem aequalem habentibus compositas, ita ut
figura circumscripta excedat inscriptam spatio minore,
quam quali excedit dimidia pars sphaeroidis conumW [prop. 20]. itaque eodem modoy quo antea, de-
monstrabimus , figuram dimidiae parti sphaeroidis in-
scriptam maiorem esse cono W, et frustum basim
habens eandem, quam segmentum, et eundem axem
1) Ex prop. 8; nam linea B@ perpendicularis non est.
458 nEPI KS^NOEIAEiiN KAI S<I>AIPOEIAES^N.
r^cc^atc Tcal a^ova tov avxov rov luv W Koavov
'i]^i6liOs i(6v, xov 8e iyyeyQa^^evov OxrifjLaxog iv xS
rj^L^eci) xov ^(paLQoeLdsog ^sl^cov t] rjfiLohog' ojcsq
advvaxov. ovx aQa ^sl^ov xo rj^LOeov xov 6(paLQoeL~
5 deog xov W k(6vov. el de eXaOOov i6xL xo r}^L6eov
xov 0(paLQoeL8eog xov W k(6vov, iyyeyQci^pd^c) elg xo
r}^L6eov xov Og^aLQoecdeog ^xrj^a 6xeQe6v, xal aXko
TteQLyeyQcc^pd^o ix avXCvdQCiv x6(jlg)v vil^og lcov i%6v-
xcov GvyyteC^evov^ S<3xe xo 7teQLyQa(pev xov iyyQa(pev-
10 xog v7ieQe%eLV iXd66ovL^ ^ aXCKCjy vTteQexeL 6 W xcjvog
xov rj^C^eog xov 6(paLQoeLdeog. ndXLV ovv o^oCmg xotg
TtQ^xeQOv deLxd^rjeixaL xb TteQLyeyQa^^evov (5xri^a eXaa-
6ov iov xov W K(6vov, Tcal 6 x6^og xov xvXCvSqov 6
^d(5LV exav xdv avxdv xS x^d^axL xal a^ova xbv
15 avxbv xov ^ev W tccovov rj^L^XLog iciv, xov de iteQL-
yeyQa^^evov 6%ri^axog iXdcccav 7] d^L^XLog' oiteQ ddv-
vaxov. ovK i^oeCxaL ovv ovde eXa06ov xb tJ^lOv xov
(j(paLQoeLdeog xov W k(6vov. iitel de ovxe ^et^bv icxLV
ovde eXa0(5ov^ tcov ioxC. , (pave^bv ovv icxLV^ o edeL
20 deC^aL.
K^\
Tlavxbg 6%rj^axog (j(paLQoeLdeog iTtLTtedco x^ad^ev-
xog ^rj dLa xov KevxQOv OQd^a itoxl xbv d^ova xb
eXaxxov x^d^a Ttoxl xbv kcovov xbv ^dcLv e%ovxa
25 xdv avxdv xS x^dybaxL kol d^ova xbv avxbv xovxov
e%eL rbv X6yov, ov d l'6a 6vva^(poxeQaLg xa rs ri^L(Se(x
2. roj rifiiaim] scripsi; 7](iL6S(og F, uulgo; r^^iaico B, dfii-
ai(p Torellius. 4. uqu int^ov] scripsi; Batai ovv F, uulgo;
iOtuL ovv fiBi^ov Commandinus , Torellius. dfiCasov Torel-
lius. 5. si ds sXccaaov saxi xo rjfiCasov rov acpciLQOSLdiog rov
W TKovov] scripsi; om. F, uulgo; sC ds sXccaaov saxiv Comman-
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 459
dimidia parte maius esse cono W, maius autem quamdimidia parte maius figura dimidiae parti sphaeroidis
inscripta; quod fieri non potest. itaque dimidia pars
sphaeroidis maior non est cono W, sin minor est
dimidia pars sphaeroidis cono IP*, inscribatur dimidiae
parti sphaeroidis figura solida, et alia circumscribatur
ex frustis cylindrorum altitudinem aequalem habenti-
bus compositae, ita ut figura circumscripta excedat
inscriptam spatio minore, quam quali excedit conus
W dimidiam partem sphaeroidis [prop. 20]. rursus
igitur eodem modo, quo antea, demonstrabimus, figuram
circumscriptam minorem esse cono W, et frustum cy-
lindri basim habens eandem, quam segmentum, et
eundem axem dimidia parte maius esse cono W^ minus
autem quam diraidia parte maius figura circumscripta
;
quod fieri non potest. quare dimidia pars sphaeroidis
ne minor quidem erit cono W. quoniam autem neque
maior est neque minor, aequalis est. constat igitur,
quod demonstrandum erat.
XXIX.
Quauis figura sphaeroide plano secta per centrum
non posito, sed ad axem perpendiculari, minus seg-
mentum ad conum eandem basim habentem, quam
segmentum, et eundem axem eam habet rationem,
dinus, Torellius. 6. fyyQcccp&a F. Btg ro r}(it6sov ....nf-QiyeyQccq)d-a) sk lin. 8 om. F; corr. Commandinus. 8. xv-
XCvSqov Commandinus. 11, rniiasoq] acripsi; rjfiLCovg F, uulgo;
ccfiLGOvg Torellius. 17. to'] tov (comp.) F; corr. BC*. 18.
fisi^av F. 21. lcc' Torellius; om. F. * 26. oV] addidit
Torellius; om. F, uulgo. roa avvccfKpotsQaig] scripsi; a avv-
aiKpotsQa F, uulgo; a om. Toreliius. ts] om. F; corr. To-rellius. cc^iascc idem.
460 nEPI KSiNOEIAEON KAI S^AIPOEIAESiN.
Tov a^ovos tov 0(puLQoei8ios xal ra cc^ovl tov ^ei^ovog
tfid^atos TCotl Tov a^ova toi/ rot; ^st^ovos t^d^atog.
£0t(X) ydg ti t^d^a acpac^oeideos 0%ri^atos djtote-
tiia^svov sTtLTiidco oQd^a Jtotl roi/ a^ova ^ij dtd Toi5
5 xavtQov. t^ad^evtos ^^ avtov sjaTCsdc) dkl(p dtd roi}
dlE,ovos roi) ^hv a^T^^atos to^d satcj d ABF ojt^yw-
vCov K(6vov rofi«, did^stQog ^f tds to^ds Kal d^cav
roi) 6cpaiQ06idsos eatco d BZ, xavtQov de ro 0, rot;
de ejtiTtedov roi) d7Cote}ivovtos ro t^d^a to^d e6tc3 d
10 AF evd^ela. Ttoiiqaei de avtd oQ^ds yovias Jtotl tdv
BZy ejtel ro eitiTtedov oq^ov ei^ev itotl tbv d^ova
vjtexeito. e6tco de ro t^d^a ro ditotet^a^evov , ov
xoQvg)d ro B (ja^etov ^ eXa(36ov ri d^Caeov tov acpat-
Qoeideos axrj^atos, xal td B0 i6a eotco d ZH. dsix-
15 tsoVy oti to t^d^a, ov KOQvq)d to B ^a^etov, jtotl
roi^ n^vov rov ^dCiv e%ovta tdv avtdv t^ t^d^azi
%al d^ova rov avtov rovrov e^ei tov koyov ^ ov d
^H Ttoti tdv /IZ.
e0ta) dri xv^ivd^os tdv avtdv ^dOiv e%cov rc5
20 eXdcaovi t^d^ati %al d^ova tov avtov. eOtco 8e Kal
Kcovos^ ev 0? ro W^ Jtotl tbv kcovov tbv ^datv e%ovta
tdv avtdv tovtov e^cov roi' Xoyov, ov e^ei d ^HTtotl tdv AZ. (pa\ii dri tbv IP" k^vov laov el^ev
rc5 t^d^ati ta xoQV(pdv e%ovti ro B aa^etov. el yd^
25 ft^ e6tvv iOos^ s0tco TtQcotov^ el dvvatov, e^,d66cov.
1. To5 d^ovi] scripsi; 6 a^cav F, uulgo. 3. ax^^ficctog^
Tarjiicitog F; corr. ed. Basil. cmotstfirjfisvov F, ut lin. 12;
corr. Torellius. 9. tfiaficc] t supra manu 1 F. 11. slvccl
per comp. F; corr. Torellius, 13. dfiiasov'] scripsi; ccjjLiaovg
F, uulgo. (paLQOSLdsog F. 14. cc ZH] tov ^ZJf F; corr.
B.* 18. tccv] ta F; corr. AB. 19. Srj] scripei; Ss F,
uulgo. 21. to] Tco F. 22. ccvtdv tco t^dficctL nal d^ovcc tovavtov Nizzius, fortasse recte.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 461
quam linea utriqiie aequalis, et dimidio axi sphae-
roidis et axi segmenti maioris, ad axem segmenti
maioris.^)
sit enim segmentum aliquod figurae sphaeroidis
plano ad axem perpendiculari non per centrum abs-
cisum. secto autem eo alio plano per axem posito
figurae sectio sit ABF coni acutianguli sectio [prop.
11, c], diametrus autem sectionis et axis sphaeroidis
sit linea BZ, centrum autem @; plani autem segmen-
tum abscindentis sectio sit linea AF. ea igitur cum
BZ rectos angulos faciet, quoniam suppositum est,
planum ad axem perpendiculare esse [Eucl. XI, 18;
XI def. 4]. sit autem segmentum abscisum, cnius uer-
tex sit B punctum, minus quam dimidium sphaeroidis,
et sit ZH == B©. demonstrandum, segmentum, cuius
uertex sit 5, ad conum eandem basim habentem,
quam segmentum, et eundem axem eam habere ratio-
nem, quam z^H : z/Z.
sit igitur cylindrus eandem basim habens, quam
segmentum minus, et eundem axem. sit autem etiam
conus, in quo sit littera ^, ad conum eandem basim
habentem [quam segmentum, et eundem axem] eam
habens rationem, quam z/if : z/Z. dico igitur, conum
W aequalem esse segmento uerticem habenti punctum
B. nam si aequalis non est, sit primum, si fieri potest,
minor. inscripsi igitur segmento figuram solidam, et
1) P. 284, 6: ft 8s xa oQd^a (isv notl xov a^ova to5 stcl-
7CBd(p Tfjiad-fj^ iirj Sia rov y.svTQOV de, xwv ye.vafiivcov xfiafidxmvx6 alv ^SL^ov nxl., x6 8s sXaooov x[ia(ia noxl x6v yimvov x6v§doiv s%ovxa xdv avxdv xm xfidfiaxi y,al d^ova x6v avx6v xov-xov s%si x6v Xoyov , ov d ovvayicpoxsQaiq loa xd xs rjiiLGsa xdgsvd^siagj d soxiv d^(ov xov ocpaiQOSidsog htA., ut lin. 1—2.
462 HEPI KS^NOEIAESiN KAI S^AIPOEIAESiN.
15
svsyQaxl^a 6r} slg t6 t^a^a ^xrj^a ^tsqsov^ xal akXo
jtsQLsyQatpa ix xvXMqcov vipog i6ov s%6vt(ov 6vyxsL-
^svov^ Sots to TtSQiyQa-
cpsv 6%Yi^a tov iyyQag)sv-
tog v7CSQS%siv sXd66ovt^ ^aXtXG) ^st^ov s6tL to roi5
6(patQOSLdsog t^a^a rov ^xcovov. STCsl ovv ^st^ov
ibv ro TtsQtysyQa^^svov
10 "f^ 6xrj^a rov t^d^atog iXd6-
60VL vTtSQsxsL tov iyys-
yQa^fisvov, 7] ro t^a^a rov
xoavov, ^^Aoi/, ori ^st^ov
i6tL xal to iyysyQa^^svov
6xrjiia rov ^ xcavov. s6tc3
drj tQLtov ^SQog tdg jBz/
d BP. iitsl ovv d [isv
BH tQL7tXa6La i6tlv tdg
B®, d ds B^ tdg BP,
20 / \ d^Xov, otL tQL7tXa6La i6tlv
d ^H tdg ®P. sxsL drj 6
^sv xvXLvdQog 6 pd6LV
sxcnv tdv avtdv ta t^a-
liatL xal d%ova tovB z/ Ttotl
25 Z A tov KC3V0V tov pd6LV sxovta
tdv avtdv Ttal d^ova tov avtov rovroi/ rov Xoyov,
ov sxsL d JH Ttotl tdv ®P. 6 ds xSvog 6 slQrj-
liivog Ttotl tbv W xmvov tbv avtbv Xoyov ^x^l, ov
d AZ Jtotl tdv JH s^SL ovv dvo^OLcog tmv X6-
1. ivy£yQdq)d^(o Nizzius. 2. nsqiysyQdcpQ-ai idem. ^10.
iXcccaovL] scripsi cum Nizzio ; sXccGaov F, uulgo. 18. sativ]
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 463
aliam circumscripsi ex cylindris altitudinem aequalem
habentibus compositas, ita ut figura circumscripta ex-
cedat inscriptam spatio minore, quam quali segmen-
tum sphaeroidis maius est cono W [prop. 19]. iam
// / /
i
Ai A•f
>4
quoniam figura circumscripta, quae segmento maior
est, excedit figuram inscriptam spatio minore, quamquo segmentum conum excedit, adparet, etiam figuram
inscriptam maiorem esse cono W. sit igitur
iam quoniam BH=^ B®, et BJ — ^BPj adparet,
esse ^H == 3 ®P. itaque cylindrus basim habens
eandem, quam segmentum, et axem 5z/ ad conum
eandem basim habentem et eundem axem eam rationem
habet, quam z/H:®P [Eucl. XII, 10]. conus autem,
quem commemorauimus, ad conum W eandem rationem
habet, quam z/Z : ^dH. itaque cum perturbata sit
comp. F. tccg BSj a ds Bd tccg BP, dvXov, ort tQtnXactaietiv'] scripsi; om. F, uulgo; tag B@, xat a BJ tag BP, tQi-
7cXa6ia k'atai 'nai ed. Basil., Torellius. 24. 7ioti~\ nQog percomp. F; corr. Torellius. 26. tovtov sxsi^ tov F; corr. To-rellius. 29. JZ] JHF; corr. B. JH] /JZ F-, corr. B.
464 nEPI KSiNOEIAESiN KAI S^AIPOEIAESiN.
ycov tstay^svcov 6 xvhvdQOs b ^d6iv e%G)v tav avtav
Tc5 t^d^atc %al a^ova tov avtov Ttotl tbv W k^vov
tbv avtbv Xoyov, ov a z/Z jtotI tav @P. e6tcov di]
yQa^^al xsi^evaL^ icp' av ra S, N^ rc5 ^av TtXrjd^sc
5 l'6ai totg t^a^dts(j0LV totg tag B^, ta ds ^sys^Si
S7id(3ta L6a ta Zz/. s6tcj ds xal tdv SO sxd^ta l'6a
ta Bzf. tdv ovv NO sndijta dLTtXacCa s66SLtaL tdg
@/d. TtaQajtSTCtcjxstco drj TtaQ^ sxd^tav avtdv xcoqlov
tL TtXdtog s^ov l'0ov ta B^, Sots sl^sv sza6tov tcov
10 s%6vtcov tdg dLa^stQovg tstQdycovov. d(paLQri6^co drj djtb
^isv tov TtQootov yvco^cov Ttldtog s%cov l6ov td BE, aTtb
ds tov dsvtSQOv TtXdtog s%cov l'6ov td BX. Kal scp*
sxd^tov tbv avtbv tQOitov slg ditb tov STto^svov ^co-
QLOV yvoo^cov dcpaLQi^^d^co Ttkdtog s%cov svl t^d^ati
15 sXa66ov roi) jtXdtsog roi» TtQb avtov yvco^ovog dcpaL-
Qrj^svov. sd6sLtaL drj 6 ^sv ditb tov TtQcotov ^coqlov
yvco^cov dcpaLQfj^svog l'6og rc5 7tSQLS%o^sv(p VTtb tdv
BE^ EZ^ Tcal tb loLitbv %coqlov TtaQajtsntcoxbg JtaQa
tdv NO vTtsQ^dXXov slSsl tstQaycovcp tdv tov vitsQ-
20 pirj^atog TtXsvQav s%ov L6av td ^E^ 6 ds ditb tov
dsvtsQOV %coQLOv yvco^cov dcpaLQrj^svog l'6og ta TtSQi-
s%ofLSvco VTtb tdv ZX, XB, xal tb XotTtbv %coqlov TtaQa
tdv NO TtaQaTtsTttcoxbg VTtsQ^dkkov sldsL tstQaycovco'
%al td XoLTtd b^OLcog tovtOLg s^ovvtL. dLd^d^co d^ td
25 STtLTtsda Jtdvtcov tcov KvlLvdQcov, f'! cov 6vyKSLtaL ro
2. Tov W\ To ^ F. 3. EGtcav] C; sGtoo per comp. F;
satcoGccv uulgo. 5. ras] scripsi cum B; ra F, uulgo; iv ta.
ed. Basil., Torellius. 6. !siO'\ 30 F. 7. tdv] ta F ; corr.
BC. 11. ta] tciv F. 12. s(p'] scripsi; cccp' F, uulgo. 14.
8vi] sv F, corr. Torellius. 19. NO] @ P; corr. ed. Basil.*
20. B%ov] scripsi; sxoiv F, uulgo, 24. SvdxQ^o) di] scripsi; 8s
(ods F^ uulgo; ds mds iv.^s^^G&oi Torellius. 25. to] scripsi
:
to ts F, uulgo.
i
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 465
proportio [Eucl. V def. 20], cyliDdrus basim habens
eandem, quam segmentum, et eundem axem ad conum
W eandem habebit rationem, quam ^Z : ®P, sint
igitur lineae quaedam positae, in quibus sint pnncta
S, N^ numero partibus lineae Bzl aequales, magnitu-
dine autem singulae lineae ZzJ aequales. sint autem
etiam lineae SO singulae aequales lineae Bzi. itaque
lineae NO singulae erunt 2 ®zJ.^) adplicetur igitur
unicuique harum linearum spatium latitudinem ha-
bens lineae BzJ aequalem, ita ut unaquaeque figu-
rarum diametros habentium quadratum sit. aufe-
ratur igitur a primo [spatio] gnomon latitudinem
habens lineae BE aequalem, a secundo autem gno-
mon latitudinem habens liueae BX aequalem. et
in unoquoque [spatio] eodem modo gnomon ab spatio
sequenti auferatur latitudinem habens una parte mino-
rem latitudine gnomonis ante eum ablati. erit igitur
gnomon a primo spatio ablatum aequalis rectangulo
BE X EZ^), et reliquum erit spatium lineae NOadplicatum excedens figura quadrata et latus excessus
lineae ^E aequale habens. gnomon autem a secundo
spatio ablatus erit == ZX X XB, et reliquum erit
spatium lineae NO adplicatum figura quadrata ex-
cedens^), et cetera eodem modo se habebunt. produ-
cantur autem plana omnium cylindrorum, ex quibus
1) Nam
2) Nam gnomon = Zz/ x Bz/ — Ez/ x (Zz/— BE)= Zz/ X {B^—E^) -{-BExEJ = ZJxBE-{-BExEJ
= BEx{ZJ-\-EJ) = BExEZ.3) Cuins latus erit 2JE.
Archimedes, ed. Heiberg. I. 30
466 nEPI KSiNOEIAE.QN KAI 2«^AIP0EIAESiN.
iyyeyQa^^svov (^XV^^ ^'^ '^^ t^d^arc, Jtotl rai' iiti-
(pdvecav roi} xvXovd^ov tov ^aGiv sxovtog tdv avtdv
ta t^d^atL xal d^ova tov avtov. i^CaCtai drj 6 oAo^
xvXivdQOs diaiQYj^evos etg Ttv^ivdQOvg ro5 ^sy nkri^^ei
5 lOovg totg iv ta TtSQiysyQa^^ivG) (Sxri^ati^ ta ds ^e-
yid^ei t0ovg ta ^eyi(3tG) avtav. 6 de TiQStog xv-
?.ivdQog tcov iv ta oAca xvXivdQC) 6 i%G}v d^ova tdv
^E Ttotl roi' TtQmtov xvXivdQOv tcjv iv ta iyyeyQa^-
^iv(p 6%r}^ati tbv e%ovta d^ova tdv z/jEJ tov avtov
10 eiei Xoyov, ov to tetQdyovof tb aTtb tdg ^F Jtotl
ro aTtb tdg KE. ovtog 6i i^tiv 6 avtbg rca, ov e%ei
tb vTtb tdv 5z/, z/Z 7teQie%6^evov jtotl ro vjtb tdv
BEy EZ. e^ei ovv 6 xvXivdQog jtotl tbv xvXivdQOv
tbv avtbv koyov j ov tb JtQcotov %c3Qiov Ttotl tbv
15 yvcifiova tbv dit avtov d(paiQr}^ivov. o^oiog de xal
tSv dkXaiv xvXivdQcov t^v iv rc5 oAo? xvkivdQG) exa-
(?rog d^ova e%Giv tdv i0av td ^E jtotl tbv Kat avtbv
xvXivdQOv tbv iv ta iyyeyQa^^ivGJ 6%7]^ati d^ova
e%ovta tbv avtbv tovtov ei^ei tbv Xoyov, ov tb o^oicog
20 tetay^ivov avta ^coQiOv Jtotl tbv yvca^ova tbv aTC
avtov dcpaiQrj^ivov. ivtl ovv ^eyid^ed nva ot xv-
XivdQOi oC iv rco oAco xvkivdQG) xal dkXa ^eyid^ea td
XGiQia td TtaQa tdg SN TtaQaTtentcoxota nkdtog s^ovta
tdv i6av td jBz/, ro5 de itkri^ei loa totg xvlCvdQOig
25 'nal xatd 8vo tbv avtbv e%ovta koyov. keyovtat de
ot te xvkCvdQoi jror' dXkovg xvlCvdQOvg roug iv rc5
iyyeyQa^^evc) (5%ri^ati.^ 6 de e^S^atog ovde Ttod^^ ev
Xeyitaiy xal td %GiQCa 3tor' dkXa ^coQCa^ tovg d%
5. xoiq\ zovq F; corr, BC*. 6. v.vXivB^o<;'\ scripsi; 6 xv-
XivSqoq F, uulgo. 8. z(ov'\ xov F; corr. B. 10. //r] z/E F;
corr. ed. Basil,* 17. v.glx' avror] %cLXQixov F suplU scripto v
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 467
composita est figura segmento inscripta, ad superficiem
cylindri basim habentis eandem, quam segmentum, et
eundem axem. totus igitur cylindrus diuisus erit in
cylindros numero cylindris figurae circumscriptae
aequales, magnitudine autem maximo eorum aequales,
primus autem cylindrus totius cylindri axem habens
^E ad primum cylindrum figurae inscriptae axem
babentem ^E eandem habet rationem, quam ^F^iKE^[Eucl. XII, II5 XII, 2], quae eadem est, quam habet
B^XJZiBExEZ [Apollon. I, 21; cfr. supra
p. 447 not. 1]. itaque cylindrus ad cylindrum eandem
rationem habet, quam primum spatium ad gnomonem
ab 60 ablatum. et eodem modo ceterorum cylindrorum
totius cylindri unusquisque axem habens lineam lineae
JE aequalem ad cylindrum in figura inscripta eodem
loco positum et eundem axem habentem eam rationem
habet, quam spatium eodem loco positum ad gno-
monem ab eo ablatum. sunt igitur magnitudines
quaedam, cylindri totius cylindri, et aliae magnitudines,
spatia lineis SN adplicata latitudinem habentia
lineam lineae BA aequalem, numero cylindris aequales
et binae cum binis in eadem proportione.^) prae-
terea et cylindri cum aliis cylindris, qui in figura in-
scripta sunt, in proportione sunt, ultimus autem in
nulla proportione, et spatia cum aliis spatiis, [gno-
monibus] ab iis ablatis, respondentia in iisdem pro-
1) Quia cylindri cylindris_, spatia spatiis aequalia sunt.
, j . . — .
manu 2; corr. B. 19. ^x<avxa F. ov\ om. F, corr. A. 20-
T«ray|u.fVov] a supra manu 1 F. 22. xa %aiqia tu] scripsi;
;Uco^(.a F, uulgo. 23. rag] scripsi; xav F, uulgo. 27. noQ''
fV] scripsi; no^-h uulgo, ut p. 468 lin. 2.
30*
468 IIEPI K5iN0EIAE.<iN KAI S^AIPOEIAE<iN.
avx^v cc(paLQrj^evovg, xa o^oXoya iv xotg avxotg ko-
yoig, xo ds e^iaxov laQiov ovde Ttod'^ ev Xeysxai.
drjXov ovvy oxL xal Ttdvxeg ol %vXCvdQOi Jtoxl jtdvxag
xovg exeQOvg xov avxbv e^ovvxi Xoyov, ov itdvxa xd
5 xcoQia Ttoxl Ttdvxag xovg yva^ovag. 6 aga KvXivdQog
6 pd6LV €XOV xdv avxdv xa x^d^axi xal d^ova xov
avxov Ttoxl xo 0j(^rj^a xo eyyey^a^^evov ev xa x^d-
^axi xov avxov e%ei Xoyov.^ ov itdvxa xd %(JOQia Ttoxl
Ttdvxag xovg yvco^ovag. xal eTtel evxC xiveg yQa^^al i6ai
10 xei^evai, ecp' dv xd N, O, Tial JtaQ^ ixd6xav naQa-
7te7txc3Kev Xi icDQiov vTteQpdXXov eldei xexQaycjvco, ai
de TtXevQal xmv vTteQ^Xrj^dxcov xco i6o dXXdlav viteQ-
exovxiy xal d viteQoid i6a e6xl xd eXaxCcxa, xal dXXa
ivxl %GiQCa TtaQd xdg ^N TtaQajteTtxojKoxa^ TtXdxog de
15 e%ovxa l6ov xd BzJ xcj ^ev TtXri^^ei i6a xovxoig^ xa
de ^eyed^ei exa^xov i6ov xa ^eyC6xG)^ drjXov, wg 6v^-
Ttavxa xd %cjQCa^ cSv i6xiv exa6xov i6ov xa ^syC^xc),
Ttoxi Ttdvxa xd exeQa %coQCa iXd6603 Xoyov e%ovxi xov.,
ov €%eL d 3N Ttoxl xdv i6av 6vva^(poxeQa xa xe ri^i-
20 6ea xdg NO xal xa xqCxc) ^eQei xdg SO. (paveQov
ovv^ oxi xd avxd %coQCa Jtoxl Jtdvxag xovg yv(ofi6vag
^eC^ova Xoyov e^ovvxi xov ^ ov e%ei d SN itoxl xdv
i6av 6vva^(poxeQaig xa xe 7]^i6ea xdg NO xal dvoig
XQLXa^OQCoig xdg SO. (3 aQa xvXivdQog 6 ^d6iv e%cov
25 tdv avxdv xa x^d^axi xal d^ova xbv avxbv Jtoxl xb
6%rj^a xb iyyeyQa^^evov iv rc5 x^d^axi ^eC^ova Xoyov
6. xal cc^ovcc ad iv tco t^idfiati lin. 7 bis F , sed alterumexpunxit manus, ut.uidetur, prima. 12. to5] addidi; om. F,
uulgo. 14. tcig] scripsi; tray F, uulgo. SN] IS^O Torel-
lius. 15. i6ov] ioccg F per comp., uulgo; laccv C; corr. To-rellius; fort. rag taccg. 19. avvcc(i(poteQcag Torellius. 24.
tdg] tcc F; corr. B*.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 469
portionibus, ultimum autem spatium in nulla propor-
tione. ^) adparet igitur, etiam omnes cylindros ad
omnes alteros eandem rationem habituros esse^ quam
omnia spatia ad omues gnomones [prop. 1]. itaque
cylindrus basim habens eandem, quam segmentum, et
eundem axem ad figuram segmento inscriptam eandem
rationem babebit^ quam omnia spatia ad omnes gno-
mones. et quoniam positae sunt lineae quaedam
aequales, in quibus sunt litterae N, O, et singulis
adplicatum est spatium figura quadrata excedens, latera
autem excessuum aequali differentia inter se excedunt,
et differentia minimo aequalis est, et alia spatia sunt,
quae lineis SN adplicata sunt, latitudinem habentia
lineae B^ aequalem et numero illis^) aequalia, ma-
gnitudine autem singula maximo aequalia, adparet,
omnia simul spatia, quorum quodque maximo aequale
est, ad omnia altera spatia minorem rationem habere,
quam SN : ^ NO -f- -| SO [prop. 2]. itaque mani-
festum est, eadem spatia ad omnes gnomones maiorem
rationem habitura esse, quam SN : ^ NO -\- ^ SO.^)
itaque cylindrus basim habens eandem, quam segmen-
tum, et eundem axem ad figuram segmento inscriptam
maiorem rationem habet, quam SN : ^ NO -f- f SO.
1) Quia a spatio ultimo nullus gnomon ablatus est.
2) Spatiis, quae lineis NO adplicata sunt.
3) Sit summa spatiorum !siN= s^, summa spatiorumNO = s^,
summa gnomonum = Sg (Sg = s^ — s^); erit
s,:s^<:SN:^NO-{-^Sg.tum conuertendo (Pappus VII, 48 p. 688)
% :S,>;e!N:SN~^NO— ^ IS^O-,
sed SN = NO -f 5*0; itaque
sn—^no — ^;h:o = 4^no-{-^-;e:o.
470 nEPI KSiNOEIAE^N KAI 2«I>AIP0EIAE<iN.
exsc, 7] a SN Ttoxl xav l'6av Cvva^cpoxeQttLg xa xs rj^t6ea
xdg NO xal dvotg XQixa^oQiOLg xdg SO. b6xiv 8\ xd ^ev
SN l0a d z/Z, xd 8s rj^Laea xdg NO d z/@, xd ds
dvo XQLXa^oQLa xdg SO d ZlP. oXog aQa 6 xvkLvdQog
5 jtoxl xb ^xri^a xo syysyQa^^evov sv xa x^d^axL ^sC-
^ova koyov s%sl^ iJ ov s%sl d /iX itoxX xdv ®P. ov
ds Xoyov s%SL d z/Z noxl xdv 0P, xovxov sdsL%^ri
syayv 6 avxog TivkLvdQog itoxl xov W xcovov. ^st^ova
ovv s%SL koyov Ttoxl xb syysyQa^^svov (jx^^^ia ij Ttoxl
10 rbv W Tcmvov' OTtsQ ddvvaxov. sdsLx^rj ydQ ^st^ov
sbv xb syysyQa^^svov (Syriiia xov W xwvov. ovtc aQa
i6xl ^st^ov xb xov ocpaLQOSLdsog x^d^a xov W xcovov.
dXX^ s(}X(D, SL dvvaxov^ sXa6(jov. TtdXtv drj syysyQacpd^G)
XL sig xb x^d^a 6%ri[ia 0xsqs6v, xal dlko TtSQLysyQacp^cj
15 SK TivXCvdQCiv vijjog l6ov sxovxcov 6vyKsC^svov, S(yxs
tb TtsQLysyQa^^svov (^xrj^a xov syyQacpsvxog vJtsQsxsLV
sXd(j6ovL, 7] dXCKCi ^sC^cjv s6xlv 6 W Tccovog xov x^d-
ftarog, xal xd dXXa xd avxd xotg itQOXSQOV xaxs0xsv-
d^d^co. sTtsl ovv sXa666v s6xl xb syysyQa^^svov ^x^j^a
20 xov x^dfjiaxog, xal sXd66ovL vitSQSxsL xb itsQLyQacpsv
xov syyQacpsvxog, i] 6 W xcovog xov x^d^axog, drjXov.,
OXL xal xb TtSQLyQacpsv ^xfj^a sXa666v s6xl xov W%(6vov. TtdXLv drj 6 TtQcoxog otvXLvdQog xcov sv xS
oXc) KvXCvdQG) 6 sxcov d^ova xdv /JE itoxl xbv TtQco-
25 xov TCvXLvdQOv xcov sv xa TtSQLysyQa^^isvcp 6xv^ccxl
xbv sxovxa d^ova xbv avxbv rowov sxsl xbv Xoyov,
ov xb s6xcctov xc^Q^ov xcov TtaQd xdv SN TtaQaTtSTtxo-
7t6xG)v TtXdxog sx6vxov l'6ov xd B^ Jtox^ avxo. sxd-
xsQa ydQ l'6a s6xCv. 6 ds dsvxsQog xvXLvdQog xcov sv
3. z/6>] dE F; corr. Torellius. 4. Svo rqixaiiOQicc]
scripsi; tQLxoc dvo ploqlu F, uulgo; error ortus est ex signis
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 471
sed SN = Z/Z, \N0 = J&, ^ SO = JP.') itaque
totus cylindrus ad figuram segmento inscriptam maio-
rem habet rationem, quam z/Z : &P. sed demon-
stratum est, eundem cylindrum ad conum W eam
habere rationem, quam z/Z : ®P. maiorem igitur
rationem habebit [idem cylindrus] ad figuram in-
scriptam quam ad conum W.^) quod fieri non potest.
nam demonstratum est, figuram inscriptam maiorem
esse cono W. quare segmentum sphaeroidis cono Wmaius non est. — sed, si fieri potest, sit minus. rursus
igitur segmento inscribatur figura solida, et alia cir-
cumscribatur ex cylindris aequalem altitudinem haben-
tibus compositae, ita ut figura circumscripta excedat
inscriptam spatio minore, quam quali conus ^ maior
est segmento [prop. 19], et cetera eadem, quae antea^
construantur. iam quoniam figura inscripta segmento
minor est, et figura circumscripta inscriptam excedit
minore spatio, quam quo conus ^ segmentum excedit,
adparet, etiam figuram circumscriptam minorem esse
cono W. rursus igitur primus cylindrus totius cy-
lindri axem habens z/^ ad primum cylindrum figurae
circumscriptae eundem axem habentem eam rationem
habet, quam ultimum spatium eorum, quae lineae
SN adplicata sunt latitudinem habentia lineae 5z/
1) Nam BJ==3BP=;e!0 = BP-}- JP.2) Itaque figura inscripta minor est cono W (Eucl. V, 10).
numeralibus. 9. loyovl Xoyov 6 avtog v.vUv8Qog Torellius.
16. vnsQSx^t F; corr. AB. 17. (isl^ov F; corr. B. 18. ccXXa]
alterum X supra manu 1 F. 21. tov syyQoccpsvrogl om. F;corr. Torellius. 22. rov] to F, 25. tSv] tov F; corr. B.
27. SM F. 28. TCot' ccvto] scripsi; not' avto uulgo; cfr.
p. 450, 18.
472 nEPI KS^NOEIAE.QN KAI S^AIPOEIAESiN.
rc5 oXc) KvkivdQG) a^ova £%cov t(5ov ra zJE Ttotl tbv
xvXtvdQOv tov ycat avtov iovta t^v iv r» TtEQiys-
yQa^i^svG) 6%ri^ati roi' avtov e%8i Xoyov^ ov tb TtQCj-
tov %coQiOv tcov TtaQcc tav SN jtaQaTtSTttcoKotcov
5 TtXdtog s%6vtG)v l(5ov ta B^ Ttotl tbv yvco^ova tbv
dcpaiQYi^svov dit ai^rot) * 'nal tcov aXXcov ds KvXivdQcav
STcaijtog tcov sv rc5 oXg) xvXivdQC) a^ova s%6vtG)v l'6ov
ta zfE Ttotl tbv Kat avtbv TcvXivdQOv tcjv sv ta
TtSQiysyQa^^svG) 6%ri^ati tbv avtbv l6yov^ ov tb
10 biibloyov %G)QiOv avta tmv jtaQa tdv ^iV TtaQaTtSTttca-
x6tG)v Ttotl tbv yvca^ova tbv dTC avtov dq^aiQYj^svov
TtQcotov Xsyo^svov roi; s6%dtov. xal Jtdvtsg ovv oC
TtvkivdQOi oC sv tS oAw TCvXivdQG) Ttoti Ttdvtag tovg
KvkivdQOvg tovg sv tS TtsQiysyQa^^svc) 6%ri^ati tbv
15 avtbv s^ovvti X6yov^ ov Jtdvta td %G)Qia td itaQa tdv
tSjN 7taQa7ts7ttG)x6ta Ttotl ro l'6ov ta ts s6%dtc) Tcsi^svco
%G)QiG) Kal totg yvG)^6vs(j6i totg d(paiQrj^svoig djtb tcov
dXXov did td avtd totg TtQbtSQOv. stcsI ovv dsdsiottai,
oti td %G)Qia Ttdvta td TtaQa tdv tSlN 7taQa7ts7ttG)x6ta
20 :7rorl td %G)Qia Tcdvta td TtaQa tdv NO 7taQa7tS7ttG)-
7c6ta vTtsQ^dlXovta stdsi tstQaycovc) %G)Qlg toi ^syi-
<?rot> ^si^ova k6yov s%ovti tov, ov s%si d SN 7totl
tdv i0av 6vva^(potSQaig ta ts r}^i6s(x \tdg NO xal
tco tQitco ^SQSi tdg SO^ dijXov, oti td avtd %coQia
25 ;rorl td XoiTtd^ d svti i(5a rca» s(S%dtG) %coQiC) KSi^svG)
1. taov] scripsi; lguv F, uulgo. 2. rmv] scripsi; rov F,
uulgo. 5. L6ov] Torellius; Laccv F, uulgo; rdv lguv? 7,
loov] scripsi; lguv F, uulgo; rdv laav? 12. nQoarov] scripsi;
TtQO rov F, uulgo. Xsyoiitvov] Xsyofisv F; corr. A, C*. nav-
ros (comp.) F. 16. TtccQCiTtsnrcoy.corcc F. 17. yvoafiovEat F.
19, rd xoiQLa ndvra rd nuQa rdv lElN naQansnrcoyiora norC]
om. F; corr. Torellius (nisi quod ndvra rd %oiQLa habet).
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 473
aequalem ad se ipsum. utraque enim inter se aequalia
sunt. secundus autem cylindrus totius cylindri axem
habens lineae ^E aequalem ad cylindrum in figura
circumscripta eodem loco positum eandem rationem
habet, quam primum spatium eorum^ quae lineae ^iV
adplicata sunt latitudinem habentia lineae Bzl aequa-
lem, ad gnomonem ab eo ablatum.^) et etiam cete-
rorum cylindrorum unusquisque eorum, qui in toto
cylindro sunt et axem lineae ZlE aequalem habent,
ad cylindrum in figura circumscripta eodem loco po-
I situm eandem rationem [habet]^), quam respondens
spatium eorum, quae lineae l^N adplicata sunt, ad
gnomonem ab eo ablatum^ ita ut ultimum primo loco
numeretur.^) quare etiam omnes cylindri totius cy-
lindri ad omnes cylindros figurae circumscriptae ean-
dem habebunt rationem, quam omnia spatia lineae
SN adplicata ad spatium aequale spatio ultimo loco
posito et gnomonibus a ceteris ablatis propter eadem,
quae autea [prop. 1]. iam quoniam demonstratum
est [prop. 2], omnia spatia lineae SN adplicata ad
omnia spatia lineae NO adplicata figura quadrata
excedentia praeter maximum maiorem rationem habere,
quam SN : ^ NO + -J-gO, adparet, eadem spatia ad
reliqua, quae aequalia sunt spatio ultimo loco posito
1) Quia secundus cylindrus figurae circumscriptae aequalis
v.'^ primo inscriptae; tum u. p. 466, 15. idem in ceteris cy-
lindris fit.
2) Fortasse post xov avtov lin. 9 addendum est £;^ft.
3) Fingatur spatium 4 alteri parti adfixnm. proportionesigitur hae erunt (cfr. p. 453 nofc. 1): K: C^ = Q^: Q^;
K:C, = Q,:g,', K:C, = Q,:g,; K:G,= Q,:g,.
Q spatia SN sunt.
474 nEPI KiiNOEIAESiN KAI S^AIPOEIAESiN.
xal totg yvco^6ve00i totg (XTtb tav Ioltccdv cc(paLQOv-
^EVOLg, iX(x60ova koyov £%ovtL rov, 6V biel a ^NTtotl rav L6av (jvva^cpotEQaLg ta te 7j^L6ea tag NOTcal dvcl tQLta^OQLOLg tag IHJO. dijkov ovv, otL Tcal
5 6 xv^LvdQog 6 ^oc^Lv e%Giv tav avtav ttp tficc^atL Tial
a^ova tbv avtbv Jtotl ro <5%riiia tb TteQLyeyQa^^evov
eXa66ova Xoyov e%eL tov^ ov e%eL a Zz/ :rorfc tav
@P. ov de Xbyov e%eL a ztZ Ttotl tav @P, tovtov
e%eL 6 eiQrj^evog xvlLvdQog itotl tbv W xdovov. iXda-
10 6ova aQa koyov e%eL 6 avtbg ocvXLvdQog Ttotl tb TteQL-
yeyQa^^evov 6%riiia ri Ttotl tbv W xcovov OTteQ ddvva
tov. ideCxd^r} yccQ ela66ov ibv tb TteQtyeyQa^^evov
6%rj^a tov ^ K(6vov. ovx ccQa i0tlv ela66ov tov Wiccovov. iitel de ot;r5 ^et^ov ovte eXa60ov, l'6ov ccQa
15 ictCv.
X'.
Kal tOLVVv el' xa ^rj oQd^a Ttotl tbv d^ova t^axtfj
tb 6(paLQoedeg ^rjde dLcc tov xevtQOv, tb eXa66ov avtov
t^d^aa Ttotl tb djtot^a^a tov tccovov tb ^dCLV e%ov
20 tdv avtdv ro5 t^d^atL ycal d^ova tbv avtbv tovtov
e%eL tbv koyov^ ov d taa 6vva^(poteQ(x ta te r}^L6e(x
tdg i7tL^evyvvov6ag tdg xoQVcpdg tcov yevo^evov t^a-
lidtcDV xal ta d^ovL tov ^eC^ovog t^d^atog Jtotl tbv
d^ova roi) ^eC^ovog t^d^atog.
1. yv(o^6vs6GL] alterum a supra manu 1 F. dcpuLQrjfis-
voLg Torellius. 3. rccig ts rjfiLOsciig F; corr. Torellius. 4.
TQitccficoQiOLg F. 7. Zz/] ZA F. 10. ccqcc] om. F; corr. B.
11. 7]] om. F; corr. B. 13. sXacaov'] sXaaaov z6 xov acpuLQO-
sidsog xfia^a Torellius. W] om. F; corr. Torellius. 16.
X|3' Torellius; om. F. 19. aTtotfirjfia F; corr. Torellius. to
^daLV sxov] scripsi; tov ^acLV sxovtog F, uulgo. 21. d faa
cvva^cpotSQa] scripsi; ai (supra manu 1) cvva(i(potSQaLF,uu[go;
at GvvaiicpotSQaL tca Torellius.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 475
et gnomonibus a ceteris ablatis, minorem rationem
habere, quam SN : ^ NO + f SO.^) adparet igitur,
'' etiam cylindrum basim habentem eandem, quam seg-
mentum, et eundem axem ad figuram circumscriptam
liiinorem rationem habere, quam habet Zzl:®P.^)
sed quam rationem habet ^Z : @P, eam habet cy-
lindrus ille ad conum ^ [p. 462, 29]. itaque idem
cylindrus ad figuram circumscriptam minorem rationem
habet quam ad conum ^^); quod fieri non potest.
nam demonstratum est, figuram circumscriptam mino-
rem esse cono W. quare [segmentum sphaeroidis]
minus non est cono W, et quoniam neque maius
neque minus est, aequale igitur est.
XXX.
Uerum etiam si [plano] ad axem non perpendiculari
sphaeroides secatur nec per centrum posito, minus eius
segmentum ad coni segmentum basim habens eandem,
quam segmentum [sphaeroidis], et eundem axem eamhabebit rationem, quam linea utrique aequalis, et
dimidiae lineae uertices segmentorum ortorum iungenti
et axi segmenti maioris, ad axem segmenti maioris.^)
1) 'AvccotqsiIxxvtl; u. Pappus VII, 48 p. 686; cfr, p 469not. 3.
2) Nam ZJ = Is;N, 0P= (9z^ + z/P= ^ iVO -f | ^O; u.
p. 470, 2 et 471 not. 1.
3) Quare figura circumscripta maior est cono W (Eucl.
V, 10).
4) P. 284, 24: «t 8s xa (irizs dia tov hsvtqov firjrs oqd^ttt
noxX rov cc^ovcc rm snmsSo) Tfiad^ij to GcpciLQOSvdsg , roav ysvcc-
[Lsvoiv x^ci^aT(ov xo (isv (iSL^^ov xtL, x6 ds sXaoGov xfiafia tcotI
To Gxrifia t6 ^aOLV s^ov xt^. , ut hoc loco, nisi quod lin. 21 acvvafKpOTSQaLg l'aa legitur, lin. 22 ysvofisvcov omittitur, lin. 24tov Tov legitur.
476 nEPI KSiNOEIAESiN KAI 2:$AIP0EIAESiN.
tet^da^(0 yaQ ti 6xrj^a aq^acQosLdsg, cag slQritai.
xal t^a^svtog avtov aUip S7ii7tsd(p dia rot) a^ovogoQ^a Ttotl ro ts^vov STcCitsdov to{) ^sv 0%riiiatog ro-
\ia s0t(o a ABF o^vyovtov xcovov to^cc, tov ds ts^-
5 vovtog STCLTCsdov to axijiia a FA svd^sia. xal Tta^a
tav AF axd^cov ai 11P, ZT STti^avovaaL tag rovKcovov to^ag xata ta B, Z, xal dvsataxstco dn avtdvSTtLTtsda TtaQaXXrjka rc5 xatd tdv AF. STttfavaovvtL
d^ tavta tov acpaLQOSidsog xatd td B, Z, xal iaaovv-10 taL KOQV(pal tcov t^a^dtcov. dx^co ovv d tdg xoQV(pdg
t(Dv tfia^dtav sm^svyvvovaa, xal sato d BZ. nsasC-
taL ds avtd dta tov xsvtQOv. xal sata) xsvtgov roi)
acpaLQOSLdsog xal tdg tov o^vycjvCov xcovov to^dg ro
&. STtSL ovv vTtsxsito ^rj oQd^o Ttotl tov d^ova ts-
15 t^dad^aL ta sTtLTtsdo) ro axrj^a, d to^d iatLV 6^vyc3-
vCov x(6vov to^d, xal dLdiistQog avtdg d FA. Is-
kd(pd^cci ovv o ts xvUvdQog 6 d^ova sxcov in svx^sCag
ta B^, ov iv td iitL(pavsC(i iaasCtat d tov o^vyovCovxcovov to^d d TtsQL dLa^stQov tdv AF, xal 6 x6vog
20 6 xoQV(pdv SXC3V to B aa^sLOv, ov iv ta i7tL(pavsC(x
iaasCtaL d tov o^vyovCov xcovov to^d d nsQl dLa-
^stQov tdv AF. iaasCtaL drj to^og tLg xvICvSqovtdv avtdv pdaLV sxcov to t^d^atL xal d^ova tbvavtov, '<aL aTtot^a^a xcovov tdv avtdv ^daLv s^ov
25 rc5 t^d^ati xal d^ova tov avtov. dsLXtsov, otL ro
t^d^a rov a(paLQosLdsog, ov xoQV(pd ro B, Jtotl to
3. rofiav F. A. AB T] ABrj F; corr. Nizzius. 6.
dx&(ov] scripsi; ax&(o F, uulgo. 8. iniTtsda naQccXXrjXa]Nizzius; eninsdov naQocXXr,lov F, uulgo. Tiatd] na F. 9.
$72 scripsi; ds F, uulgo. ra] ro F; corr. AB. 10. dx&(oovv a Tttg Mojovcpag rtov tfiafidrav] scripsi; om. F, uulgo; raJB, z/. dx^co ovv d xds %oqvcpdg Nizzius. 11. snilsvyvvovca]
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 477
secetur enim figura sphaeroidis, ita ut diximus.
et secta ea alio plano per axem ad secans planum
perpendiculari figurae sectio sit ABF coni acutianguli
sectio [prop. 11, c], plani autem figuram secantis linea
FA. et lineae AF parallelae ducantur lineae RP,
2JT sectionem coni in punctis B, Z contingentes , et
in iis plana erigantur plano in linea AF posito par-
allela. ea igitur sphaeroides in punctis B, Z con-
tingent [prop. 16, b], quae uertices erunt segmentorum
[p. 282, 12]. ducatur igitur linea uertices segmen-
torum iungens, et sit BZ. ea igitur per centrum
cadet [prop. 16, c]. et centrum sphaeroidis et sec-
tionis coni acutianguli sit ®. iam quoniam suppo-
situm est, figuram plano ad axem non perpendiculari
sectam esse, sectio est coni acutianguli sectio, et dia-
metrus eius FA [prop. 14]. sumaturjigitur et cylin-
drus axem habens in producta linea JSz^, cuius in
superficie sit sectio coni acutianguli circum diametrum
AF descripta [prop. 9], et conus uerticem habens
punctum B, cuius in superficie sit sectio coni acutian-
guli circum diametrum AF descripta [prop. 8]. erit
igitur frustum quoddam cylindri basim habens eandem,
quam segmentum, et eundem axem, et segmentum coni
eandem basim habens, quam segmentum [sphaeroidis],
et axem eundem. demonstrandum est, segmentum
sphaeroidis, cuius uertex sit B, ad segmentum coni
scripsi; sm^svx^si-Goc F, uulgo. 14. rszfiTiod^ciL F; corr. To-rellius. 17. 6] addidi; om. F, uulgo. a^bivcc F. 24. yiccl
an6x(icc(ia ad lin. 25: tov avzov in mg. habet F manu 1, ad-
jDOsito signo t;/. s%cov F.
478 nEPI KSiN0EIAE5iN KAI S^AIPO EIAESiN.
aTtoT^cc^a tov Ticovov xo ^dciv e%ov xav avrccv ta
r^d^atL Kal d^ova tbv avtbv tovtov e^ei tbv Xoyov^
ov d ^H Ttotl tdv z/Z. l'0a de adta) d ZH td &Z.
IL B JP
XsXdcpd^co di] ttg xSvos^ iv (p tb W, Jtotl t6 aTto-
5 t^a^a tov xcovov tb pdoiv ^%ov tdv avtdv ta t^a-
^ati zal d^ova tbv avtbv tovtov excov tbv Xoyov, ov
exei d jdH jcorl tdv AZ. el ovv /ittj £(;th/ l6ov t6
t^d^a tov acpaiQoeideog tw W xcovc) , e0to TtQiBtoVy
el dvvatov, ^et^ov. eveyQail^a Srj elg tb t^d^a Tot>
10 6g)aiQoeideog ^xrj^a 0teQe6vy xal dkko TteQiiyQaTpa ix
xv/iivdQov toyicov vi^jog i6ov ixovtcav 6vyKei^evov^
1. uTtotiJLrificc] F, ut p. 476 lin. 24, p. 478 lin. 4; corr. Torellius.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 479
basim habens eandem, quam segmentum [sphaeroidisj,
et eundem axem eam rationem habiturum esse, quamJH.AZ. sit autem ZH= @Z,
sumatur igitur conus aliquis, in quo sit littera 'jP*,
qui ad segmentum coni basim habens eandem, quamsegmentum, et eundem axem eam habeat rationem,
quam ^H: z/Z. iam si segmentum sphaeroidis cono
^W aequale non est, primum, si fieri potest, maius sit
inscripsi igitur segmento sphaeroidis figuram solidam,
:et aliam circumscripsi ex frustis cylindrorum altitu-
^inem aequalem habentibus compositas, ita ut figura
To ^ctGiv ^xov] scripsi; tov ^ccgiv Bxovtog F, uulgo. 3. 0Z] z/ZF. 5. t6 ^aGLV f;tov] scripsi; tov ^aciv sxovtog F, uulgo.
6. sxov F; corr. Torellius. 9. iyyeyQucp&ai et lin. 10: nsQi-
ysyQoccp^co Nizzius.
480 nEPI KS^NOEIAESiN KAI 2cE»AIP0EIAESiN.
Sote xo 7teQiyQK(p£v 6xV^^ '^^^ eyy^acpevrog vTte^exeiv
eldccovL^ 7] ccXiXG) v7teQe%ei ro r^cc^a rov 6q)aiQoeideog
roi) ^ K(6vov. o^oicog drj rcj TCQoregc) deixd^rj^erai
ro eyyeyQa^^evov (Sxrj^a ^et^ov eov roi5 . W ticjvov,
5 Tcal 6 ro^og rov otvXivdQov 6 pcc6iv excov rai' avrav
ra r^cc^an nal a^ova rov avrov Ttorl ro eyyeyQa^^e-
vov Gx^^^a ^eit,ova koyov excov 7] Ttorl rov W xcovov
e6riv advvarov. ovx e60eirai ovv ro roi) Gcpai-
Qoeideog r^a^a rov W kcdvov ^ett^ov. dXX^ eGrca^ ei
10 dvvarov, eXaGCov. eyyeyQa^^evov drj TtdXiv ecra) elg
ro r^d^a ^xrj^a creQeov, xal dXko JteQiyeyQa^^evov
e% KvkivdQov ro^cov vil^og tcov f^irdvrcov Gvyxei^eva,
S6re ro TteQiyQacpev 6XV^^ '^^'^ eyyQacpevrog vTteQexsiv
eXd6(iovi, 7] dliKG) vTteQexsi o W xcovog rot> r^d^arog.
15 Ttdkiv dr} did rmv avrwv deix^^^^tat ro TteQiyeyQa^-
^evov Oxrj^a eXa60ov rov W xcovov, %al 6 ro^og rov
Kv?JvdQOV 6 pd6iv exG)v rdv avrdv ra r^d^an xal
d^ova roi/ avrov Jtorl ro TteQtyeyQa^^evov 6xV^^ eldo-
6ova koyov excov 7] Ttorl rov W kSvov o eGnv ddv-
20 varov. ovk eOGeCrai ovv ovde elaCCov ro r^d^a rov
K(6vov. (paveQov ovv, o edet dei^at.
Xa
.
Uavrbg Gxrj^arog (j(paiQoeideog ejtiTtedc) r^ad^evrog
oQd^a Ttorl rbv d^ova ^rj did rov xevrQOv rb ^et^ov
25 r^d^a Ttorl rbv Kcavov rbv ^d6iv e'xovra rdv avrdv
rco r^d^an xal d^ova rbv avrbv rot^rov f%f£ rov
Xoyov., ov d i6a 6vva^(poreQaig ra re ri^iOecc rov
10. IWco] om. F; corr. Torellius. 12. i6ov] om. F; corr.
B, 13. vnBQ£%Ei F. 20. saaBitai] saasi F. 21. o tdeL]
coadsi F; corr. Torellius. 22, ly' Torellius; om. F.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 481
circumscripta excedat inscriptam spatio minore^ quam
quali segmentum sphaeroidis conum W excedit. ^) eodem
igitur modo, quo supra, demonstrabimus, figuram in-
scriptam maiorem esse cono W^ et frustum cylindri
basim habens eandem, quam segmentum, et eundem
axem ad figuram inscriptam maiorem rationem babere
quam ad conum ^; quod fieri non potest. quare
segmentum sphaeroidis maius non erit cono W. sit
autem, si fieri potest, minus. inscribatur igitur rursus
segmento figura solida, et alia circumscribatur ex cy-
I lindri frustis altitudinem aequalem habentibus compo-
sitae, ita ut figura circumscripta excedat inscriptam
spatio minore, quam quali conus W segmentum excedit
[prop. 20]. rursus igitur eodem modo demonstrabimus^
figuram circumscriptam minorem esse cono W^ et
frustum cylindri basim habens eandem, quam segmen-
tum, et eundem axem ad figuram circumscriptam mi-
norem rationem habere quam ad conum W-^ quod
fieri non potest. quare segmentum ne minus quidem
erit cono. manifestum ergo est, quod erat demon-
strandum.
XXXI.
Quauis figura sphaeroide plano ad axem perpen-
diculari; per centrum autem non posito, secta, seg-
mentum maius ad conum basim habentem eandem,
quam segmentum, et eundem axem eam rationem
habet, quam linea utrique aequalis, et dimidio axi
1) Ex prop. 20.
Archimedes , ed. Heiberg. I. 31
482 nEPI KSilirOEIAE^iN KAI S^AIPOEIAE^N.
alE,ovog tov 6(paLQosLddog xccl rc5 roi5 iXd66ovog t^cc-
liarog u^ovl tcotI rov rov iXcc66ovog r[id^atog a^ova.
rer^d^^co n OcpaLQOELdsg, ag siQriraL. r^iad^svrog
ds avrov ijtLTtsdcD dlk(p dLa rov d^ovog OQd^a Jtorl
5 ro rs^vov iTtCiisdov rov iisv 6%Yiiiarog ro^d sarco d
ABF oi^vyavLOv xcavov ro^d, dLd^srQog ds avrdg xal
d^cjv rov 6%ri^arog d B^, rov ds rsfivovrog iitLTtsdov
d FA svd^sta. i66sLraL drj avrd nor oQ^^dg rd B^.s6rc3 ds ^SL^ov rcov r^a^drcjv, ov xoQVCpd ro B, xal
10 xsvrQov roi) 6cpaLQOSLdsog ro ®. 7torLXSL6d-co dri d
z/if rd z/0 L6a. xal d BZ rd avrd l'6a. 6sLxrsov.4 7 4 t 7
orL ro r^d^a ro{> 6(paLQOSLdsog^ ov xoQvq)d ro B, Jtorl
roi/ xwvov rbv ^d6Lv s^ovra rdv avrdv rc5 r^d^arL
xal d^ova rov avrov rovrov sisl rot' Xoyov^ ov s%sl
ih d EH Ttorl rdv E/t.
tst^d^d^co dr} rb 6(paLQ0SLdsg inLTCsdcp dLa rov xsv-
rQOv oQd^a Ttorl rbv d^ova, xal uTtb rov ysvo^svov
xvxkov xcjvog s6ro xoQvcpdv sxcov rb z/ (Sa^stov. s6rLV
drj rb ^sv oXov 6(paLQ0SLdsg 8L7tXd6L0v rov r^d^arog
20 ro{5 pd6LV s%ovrog rbv xvxXov rbv tcsqI dLd^srQov rdv
KAy xoQvcpdv ds ro z/ 6a^stov, rb ds siQtj^svov r^d^a
8L7tXd6L0v rov xcovov rov pd6Lv s^ovrog rdv avrdv
rc5 r^d^arL xal d^ova rbv avrov. SsdsCxraL ydQ ravra.
ro okov ovv 6cpaLQ0SLdsg rsrQajtXd^Lov i6rL rov xcovov
25 Tot; SLQri^svov. 6 ds xcovog ovrog Ttorl rbv x^vov
rbv pd6Lv s^ovra rbv xvxXov rbv TtsQl dLa^srQov rdv
5. 6xri(icitog] t^rj[iaTog F; corr. TorelliuB. 7. di'] om.F; corr. Torellius. 25. di] scripsi; Srj F, uulgo.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 48 o
sphaeroidis et axi segmenti miiioris, ad axem seg-
menti minoris. ^)
secetur sphaeroides aliquod, ita ut diximus. secto
autem eo alio plano per axem ad secans planum
perpendiculari figurae sectio sit ABF coni acutian-
guli sectio, diametrus autem eius et axis figurae Bzl
[prop. 11, c], plani autem secantis linea FA. ea igi-
tur ad lineam BJ perpendicularis erit [p. 440, 15].
sit autem maius segmentum id, cuius uertex est Bpunctum, et centrum sphaeroidis sit ®, adiiciatur
igitur linea z/If lineae z/@ aequalis, et BZ eidem
aequalis. demonstrandum, segmentum sphaeroidis,
cuius uertex sit B, ad conum eandem basim habentem,
quam segmentum, et eundem axem, eam habere ra-
tionem, quam habeat EH : E^.secetur igitur sphaeroides plano per centrum ad
axem perpendiculari, et in circulo inde orto [prop. 1 1, c]
conus construatur uerticem habens punctum z/. est
igitur totum sphaeroides duplo maius segmento basim
habenti circulum circum diametrum KA descriptum,
uerticem autem punctum z/ [prop. 18]; segmentum
autem illud duplo maius est cono basim eandem ha-
benti, quam segmentum, et eundem axem [prop. 27].
haec enim demonstrata sunt. itaque totum sphae-
roides quadruplo maius est cono, quem commemora-
1) P. 284, 6; £L Si 'na OQd^m [ihv notl xov a^ova to5 stcl-
nsdcp tfiad^rj, (irj Slcc tov y.evtQov df , tmv yivafiavcov t^afidtavto }iev (iSL^ov notl tbv v.utvov tov rav avtdv j^doLv e%ovta tat^d^atL Kal a^ova tov avtbv tovtov s^sl tbv Xoyov, ov d avv-
ufitpotsqaLg LCa ta ts rjaLasLa tdg sv&siag^ d sctiv d^cov tovGq^aLQOSLdsog, xat tm d^ovL ta> tov sXdooovog t^d(iatog notltbv d^ova tov sXdcaovog tfidfiatog.
31*
484 nEPI KSiNOEIAEiiN KAI S^AIPOEIAESiN.
^r, TCOQVcpav de ro ^ 6a^etov tbv Ovyaet^evov exec
Xoyov ex re tov, ov exei a 0z/ TtOrl tav E^, xal mtov, ov eiei to aito tag K® tetQaycovov TCotl tb
dnb tdg EA. ov 6e koyov exei tb dnb tdg K@ Ttoti
5 ro aTtb tdg EA^ 6 avtog e6ti rw, ov exei tb vtco
B@, ®/l Ttoti tb vTtb tdv BE, EA. ov drj Xoyov
e%ei d @A Ttotl tdv EA, roi^roi' e%etGi d tSA Ttotl
tdv @A. e%ei ovv xal tb TteQtexo^evov vitb tdv S^?B@ Ttoti ro vTtb tdv J5©, 0z/, ov d A® itotl tdv
^O zfE. de 6vyxei^evog koyog ^yt te rot5, ov e^et ro
V7tb Sz/y SB Ttoti tb vTcb B@, 0z/, Jtal ex tov, ov
e%ei tb vTtb tdv B@, &^ Ttotl tb vnb tdv BE, EzJ^
6 avtog e0ti rc5, ov e%ei tb TteQtexoiievov vTtb tdv
Sz/, B® Ttoti tb VTtb tdv BE, E^. e%ei ovv l ^ev
15 xoovog pd6iv e%G)v tbv tcvxXov tbv TteQl didfietQOV
7. @J] @A F. 11. B6>, 0z/] scripsi; B0J F, uulgo.
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 485
uimus. sed hic conus ad conum basim habentem
circulum circum diametrum AF descriptum, uerticem
autem punctum z/ rationem habet compositam ex
ratione &J : EJ et K@^ : EA^^) sed
K@^ : EA^ ^ B® X ®J:BEX EJ[ApoUon. I, 21; cfr. supra p. 447 not. 1]. sit igitur
[Eucl. VI, 11]* gz/ : 0z/ = &J : EJ-^ quare etiam erit
S^XBS:B®X®J= ^0: ^E. ratio autem com-
posita ex
S^X&B:B®X ®J et B®X®^ :BEx EJeadem est, quam habet XJ X®B : BEX EJ. ita-
que conus basim habens circulum circum diametrum
KA descriptum, uerticem autem punctum z/ ad co-
num basim habentem circulum circum diametrum AFdescriptum, uerticem autem punctum A eandem ra-
tionem habet, quam S^ X B® : BEx E^. sed co-
1) U. prop. 10 et Eucl. XII, 2. nam basis segmenti cir-
culus est (prop. 11, c).
486 nEPI KSiNOEIAE^N KAI S^AIPOEIAEiiN.
rccv KA, KOQVcpccv de to z/ 6a^stov Ttoxl tbv amvov
xov pd0Lv exovxa xov %vkXov xov nsQl dta^sxQov xav
AF, xoQvcpav ds xo A Ca^siov xov avxov koyov^ ov
XO 7tSQlS%6^SVOV V710 XCCV S^, BS TtOxl x6 V7tO XCCV
b BE^ E^. 6 ds xcjvog 6 pd6tv 's%ov xov xvxlov xov
TtSQi did^sxQOv xdv AT^ xoQvq)dv ds xo /1 ^a^stov
jfoxi ro x^d^a xov ^cpaiQOSidsog x6 PtcOiv s^ov xdv
avxdv avx^ xal d^ova x6v avxov rovroi/ s^si xov
Xoyov, ov xo TtsQisxo^svov V7t6 xdv BE, E/J 7toxi x6
10 TtSQiSxo^svov V7t6 ZE, EA [xovxs6xiV d BE Ttoxl EZ'x6 yaQ sXa66ov 7] rjiii6sov xov 6cpaiQOSi8sog Jtoxl x6v
xcsvov x6v pd6iv sxovxa xdv avxdv xa x^d^axt xal
d^ova x6v avx6v dsdsixxai xovxov s^ov x6v Xoyov, ov
d 6vva^(poxsQaig i6a xa xs 7j^i6sa xov d^ovog xov
15 6(paiQosidsog xal rc5 d^ovt xa xov ^st^ovog x^d^axog
7toxl x6r d^ova x6v xov ^si^ovog x^d^axog. ovxog ds
s6XiVy ov s%si d ZE Ttoxl xdv BE]. 6 aQa xcovog 6
sv rc5 ripit6s(p xov 6cpaiQOSidsog Ttoxl x6 x^d^a xov
6(paiQOSidsog x6 sXa66ov xov Tnii^sog x6v avx6v sxsi
20 Xoyov, ov x6 TtSQisxo^svov V7t6 xdv Sz/, B0 Ttoxl x6
V7t6 xdv ZE. E^. STtsi ovv x6 ^sv oXov 6(paiQosidsg
Ttoxl x6v kSvov x6v sv XC3 rj^i6s(p xov 6(paiQOSidsog
x6v avx6v sxsi koyov, ov x6 7tsQisx6^svov V7t6 xdv
ZH, S/J Ttoxl x6 V7t6 xdv B&, S^' xsxQa7tXd6i0v
25 ydQ sxdxsQOV sxaxsQOV' 6 ds Tccjvog 6 sv xa rj^i6s(p
xov 6cpaiQOSidsog Ttoxl x6 x^d^a x6 ska66ov ri x6
rj^i6sov xov 6cpaiQOSidsog xovxov s^Si x6v X6yov, ov
x6 7tsQisx6^svov V7t6 xdv SzJ, B@ 7toxi x6 ^7^6 xdv
ZE, E^, sxoi xa xal x6 okov 6cpaiQ0Sidsg 7toxl x6
1. xdv] xd. F. 7. xov\ xo xov F. bxov F. 10. ZE,EJ] lE^Ej BE ¥. 13. £X(ov F. 19. xov ri^iGaog] scripsi;
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 487
nus basim liabens circulum circum diametrum AFdescriptum, uerticem autem punctum ^ ad segmen-
tum sphaeroidis basim habens eandem^ quam conus^
et eundem axem eam habet rationem, quam
BEX EzJ : ZExEJ})quare conus^ qui in dimidia parte sphaeroidis est, ad
segmentum sphaeroidis, quod minus est dimidia parte,
eandem rationem habet, quam S/JxB® ad Z^X Ezl
[di i0ov Eucl. V, 22\ iam quoniam totum sphae-
roides ad conum, qui in dimidia parte sphaeroidis est,
eandem rationem habet, quam
ZHxS^ 'B®XS^(utrumque enim utroque^) quadruplo maius est), conus
autem, qui in dimidia sphaeroidis parte est, ad seg-
mentum, quod minus est dimidia parte sphaeroidis,
eam rationem habet, quam S/1 X B0 : ZEX EJ,habebit etiam totum sphaeroides ad segmentum eius
minus eandem rationem, quam ZHx S^ : ZEX E/1
1) Habent enim eam rationem, quam BE:ZE (prop. 29).
sed quae sequuntur uerba lin. 10—17, quibus sine causa re-
petitur prop. 29 tota, subditiua sunt. neque enim xovtsGrLv
lin. 10 aptum est, quod tum demum sensum haberet, si Archi-
medes proportione Ez/:ZE uti uellet. ut nunc est, ita debuit
scribere: ov a BE notl EZ, TovrgCTt to 71sql8x6(18vov vno BE,Ez/ notl to vno ZE, E/d.
2) H. e. et sphaeroides cono, et rectangulum ZHxSJrectangulo B@xSJ (nam ZH—^B@).
tov 7}(iLav F, uulgo; tov iifiiascog B; 7} to rjfiiasov Torellius.
22. rjfiiasq)] Tjfiiav F; corr. B. 25. fxarfpov] addidi; om. F,
uulgo. 28. tav] (alterum) tmv per comp; F; corr. Torellius.
29. xa] addidi; om. F, uulgo. £;^ft B, Nizzius.
488 nEPI KSiNOEIAEwQN KAI S^AIPOEIAEON.
t^d^a xo sXaCCov avtov roi^ avtov koyov^ ov tb
7t8Qt6x6flSVOV VTtO tCCV ZH^ ^A TtOtl tO VTtO tScV ZE,E^. (X)6t€ Kal to fiet^ov t^cifia tov acpaLQOSidsog
Ttoti to ska06ov tov avtov Xoyov 's%Si^ ov a vTtSQOxcc^
5 a vTtsQsxsi ro TtSQisxo^svov vTtb tav ZH, ISI^ toi)
vjto tav ZE^ £z/, ;roTt to vnb tav ZE, EA. vjtsQsxsi
ds tb vTtb tav ZH^ ^A TOt) vitb tav ZE^ EA tc5
ts VTto tav S^, EH TtSQiSxo^svG) Tcal tS VTtb tav
ZE^ aE. ^'xsi aQa tb ^st^ov t^a^a rov OcpaiQOSidsog
10 TtOTt To sXa66ov tbv avtbv Xoyov, ov tb l'6ov d^cpo-
tsQOig ta ts TtSQiSxo^svc) VTtb tdv ^^, EH xal ta
vTtb tdv ZE, SE Ttotl tb JtsQisxo^svov vTtb tdv ZE^E/1. tb ds sXa06ov t^d^a tou 6cpaiQosidsog Ttotl
tbv 7C(Bvov tbv pd6iv s^ovta tav avtdv avtco Tcal
15 a^ova tbv avtbv tovtov s'xsi tbv Xoyov^ ov tb itsQi-
sxo^svov vTtb tdv ZE, EzJ Ttotl t6 vTto tdv BE, E/t
\tbv yaQ avtbv s^si Xoyov^ ov d ZE Ttotl tdv BE\6 ds xSvog 6 iv tc5 sXd06ovi t^d^ati Jtotl tbv xdovov
tbv sv Ta5 ^sit,ovi T^a|u<aTt. tov avtbv sx^i Xoyov, ov
20 t6 TtsQisxo^svov VTtb tdv BE^ EA Ttotl tb ditb tdg
BE tstQdycovov. tbv yaQ tcov vjI^scov Xoyov sxovti
ot Kcovoi, sTtsl ^doiv sxovti tdv avtdv. s^oi ovv xa
tb ^st^ov tfid^a tov 0(paiQOSidsog Ttotl tbv xcovov tbv
sv avt(p syysyQa^^svov , ov tb l'0ov d^cpotsQotg ta
25 ts 7tsQisxo^sv(p vTtb tdv S^ ^ EH xal ta vnb tdv
ZE^ SE Ttoti t6 tstQdycivov tb ditb tdg BE. ovtog
1. avTOv] delet Nizzius. 2. ZH] ZN F. ZE, EJ]scripsi; ZEz/ F, uulgo. 5. tov] to F; corr. Torellius. 6.
Ttoti] TiQog per comp. F; corr. Torellius. ZE, EJ] scripsi;
ZEzJ F, uulgo. 7. To] Tov per comp. F; corr. ed. Basil.
Tov] a F; corr. ed. Basil. ^ 8. tco] to F. 11. £H]EiV F. 16. t6] t6 TCEqiExo^Evov Torellius. EE, EJ]
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 489
[Eucl. V, 22]. quare etiam maius sphaeroidis seg-
mentum ad minus eandem rationem habet, quam
ZHxS^ — ZEXE^: ZExEJ[dislovTi Eucl. V, 17]. sed
ZHxS^— ZExE^= SJxEH-\-ZExSE^)itaque segmentum maius sphaeroidis ad minus eandem
rationem habet, quam
S^ X EH+ ZExSEiZEX EJ,sed minus segmentum sphaeroidis ad conum eandem
basim habentem et axem eundem eam habet rationem,
quam ZEX EJ : BEX EJ.^) et conus, qui in mi-
nore segmento est, ad conum, qui est in maiore, ean-
dem rationem habet, quam BEX EJ : BE^] coni
enim rationem altitudinum inter se habent, quoniam
eandem habent basim [Eucl.XII, 14; cfr. supra prop. 10].
quare maius segmentum sphaeroidis ad conum ei in-
scriptum [eam rationem] habet, quam habet
S^XEH+ ZExSE:BE^ [Eucl. V, 22].
haec autem ratio eadem est, quam habet EH : E/1.
1) Nam ZR = ER-\-EZ', itaque
ZHx ,^z/= EifX ^^ + EZ X 5/z/;
et ehx:s:j-}-ezx:e:j — ezxej^EHxSd-\-EZx{!B:d — EJ) = EHxSJ+EZxES.
2) Uerba xov yaq avtov t%Bi XoyoVj ov a ZE Ttotl xavBE lin. 17 prorsus superuacua sunt, cum Archimedes iamp. 486, 6 hac ipsa proportione usus sit, nulla addita causa.
itaque interpolatori tribuenda esse putaui. — Hinc sequitur
(Eucl. V, 22), segmentum maius ad conum in minore segmentoinscriptum eam habere rationem, quam
;5:JxEH-\-ZExSE:BExEJ.
£Ez/ F; corr. Torellius. _ 17. ZE] Z@ '^; corr. ed. Basil.
22. iTisi] ini F. sxol ovv mo:] scripsi; «jjot av «at F, uulgo;
^X^i, ovv Hal Nizzius. 24. ov] scripsi; om. F, uulgo; tovxovzov Xoyov, ov ed. Basil., Torellius. 26. ZE] Z@ ¥.
490 nEPI K^NOEIAEiiN KAI 2<^AIP0EIAE^N.
de 6 avtog i<5ri to5, ov e%ei oc EH Ttorl rav KA. rb
yccQ V7i6 rav S^^ EH norl ro VTto rav lEl^, EzJ
rovroi/ £x^^ "^^^ Xoyov, ov a EH itorl rav E^, xal
rb vTcb rav lElE, ZE jtsQLSxo^avov novl ro V7tb rav
5 ZE, 0E roiDroi/ £%sl rbv Xoyov, ov a EH Jtorl rav
E^' a yccQ !ElE Ttorl rav ®E rbv avrbv exei koyov^
ov a EH Ttorl rav E/i dicc rb avdkoyov sifisv rag
S^, ©z/, ^E, xal rav 0z/ l'6av sl^sv ra H^' xal
rb i(5ov ovv d^cporsQOig ra rs 7tsQiSxo^sv(p VTtb rdv
10 S^i EH xal rc5 vjtb rdv ZE, SE Ttorl ro l'6ov
6vva^cpor£QOig rc5 rs vjtb rdv S^, E^ xal ra vTcb
rdv ZE, &E rbv avrbv s^si koyov^ ov d EH Jtorl
rdv -Ez/. ro ds aTtb rdg EB rsrQayovov i'6ov svrl
d^cporsQOig rc5 rs 7tsQis%o^svc3 vTtb rdv ^z/, £Jz/ xal
15 rc5 V7tb rdv ZE^ &E. ro ^sv yaQ aTtb rdg B@ rs-
rQaycjvov i6ov r<p VTtb rdv S*^, E^ 7tSQisxo^svG), d
ds vTtSQOxd^ a ^st^ov s6ri ro «jro rdg BE rsrQaycjvov
rov d7tb rdg B@y l'6ov s6rl ra TtsQiSxofisvc) vTtb rdv
ZE. @E, sTtsl i6ai al B&, BZ. dijXov ovv^ ort rb
20 lisltov rov 6<paiQOSidsog r^d^a 7tor\ rbv occdvov rbv
pd6iv s'xovra rdv avrdv ra r^d^an xal d^ova rbv
avrbv rovrov sx^i rbv Xoyov^ ov d EH Ttorl rdv E/J.
X^\
Kal roivvv st xa ^ri oQ^a :7rort rov a|ova rc5
25 S7ti7tsdcp riia^fi ro 6cpaiQ0Sidsg ^rj6s did rov xsvrQOV,
1. 6] addidi; om. F, uulgo. EH] E.V F. EzJ] om.
F; corr. AB. 5. Xoyov] loyov • Ez/ • F; corr. B; Ez/ in mar-
gine adscriptum, ita ut ad lineam 1 pertineret, postea hic ir-
repsit EH] EiV F. 6. d] at F; corr. AB. 7. iliisv]
to SLpLSv FV. 8. slfisv] r' sifisv F; zs slfisv uulgo. HJ]N^ F. 9. T£] addidi; om. F, uulgo. 11. S^] SE F;
corr. AB. 12. ov] om. F; corr. Torellius. 15. rw] scripsi;
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 491
est enim S^ X EH ig^xE^ = EH : E^, et
:eiexzE'.zex®e = eh -. ej,nam SE : ®E = EH : E^, quia proportionales sunt
lineae S^, 0z/, /^Ey et ®J = H/I.^) itaque etiam
:H!JxEH-]-^ExSE:SdxEJ-^ZEx@E=^EH:EJ^)sed EB^ = ^z/ X Ezl + ZEX &E', nam
5@2 = gz/ X Ez/3),
et B£;2 — 5@2 = ZEX @E, quoniam B® = 5Z.*)
adparet igitur, maius sphaeroidis segmentum ad conum
eandem basim habentem, quam segmentum, et axem
eundem eam habere rationem, quam EHi E/i.
XXXII.
Uerum etiam si plano ad axem non perpendiculari
secatur sphaeroides nec per centrum posito, maius
1) Erat (p. 484, 6): Ib: zJ : J@ = J @ : JE; quare SleXovzl
erit S@:J& = E@:JE = S@: HJ, unde ivccUd^
:H:@:E@ = HJ:dEet Gvvd-svti SE:0E=EH:Ezl.
2) NamEH:EJ = SdxEH:SJxEJ = SExZE:ZEx9E;unde ivaXXd^
S/ixEH:^ExZE = SJxEJ:ZEx@E,et GVVd^ivXL
sjxeh-{-sexze::e:exze= SJxEJ-\-ZEx@E:ZEx@E;
et rursus ivccXXd^
SJxEH-^SExZE:SJxEJ-{-ZEx@E= B:ExZE:ZEx@E = EH:EJ.
3) Nam B@ = @J, et SJ:@d = @J:JE', tum u. Eucl.VI, 17.
4) Nam BE"^ = B@^ -{- E@^ -\-2B@'xE@ (Eucl. II, 4)
= B02 _|_ £0 X (£0 _^ 2B@) = B@'' + E0X (E6>+ B6)+ BZ)==B02 + E0xEZ.
to F, uulgo. 16. «] F. 17. ftft^ov] scripsi; [isl^cov F,
uulgo. 19. kl] scripsi; u F, uulgo. 23. Xd' Torellius; om. F.
492 nEPI K<iNOEIAE<iN KAI S^AIPOEIAESiN.
To ^et^ov T^a^a avtov Ttotl ro anot^a^a tov tkovov
to pddtv sxov tdv avtdv ta t^d^att xal d^ova rov
avtov tovtov si^ai roi/ Ao^^ov, ov d evvaiicpotsQatg l'6a
ta t€ ri^toia tdg eTitt^svyvvovOag tdg xoQVCpdg rtoi/
5 ysvo^evcjv t^andtc3v xal rc5 d^ovt ra5 rov eXdaeovog
t^dfiatog Ttotl tov diE,ova tov tov iXdOGovog t^d-
^atog.
tst^ded^co ro 6q)atQostdsg STttTCsdcj^ cog slQritat. t^a-
d^svtog ds avtov S7tt7tsd(p dXXa dtd tov d^ovog OQd^a
10 Jtort ro ts^vov sTttTtsdov roi) ^sv 6%ri^atog to^d s6tG)
d ABFzl o^vycovtov xcovov to^d, tov ds ts^vovtog
sTCtTtsdov ro Oxrnia d TA svd^sta. TtaQa ds tdv AF
dx^(jo6av at 11P, UT sntipavovCat tdg tov 6i,vyovtov
xoovov to^dg xatd td B^ z/, xal dvs0taxstco dit avtdv
15 sTCtTisda naQdXXrjXa tw xatd tdv AT. i:tt^av6ovvtt
1. anoTiirj^cc F; corr. Torellius. 2. ro ^daiv ^'xov] scripsi;
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 493
segmentum eius ad coni segmentum eandem basim
habens^ quam segmentum [sphaeroidis], et axem eundem
eam liabebit rationem, quam linea utrique aequalis,
et dimidiae lineae uertices segmentorum inde ortorum
iungenti et axi segmenti miuoris, ad axem segmenti
minoris. ^)
secetur spbaeroides plano, ita ut diximus. et secto
eo alio plano per axem ad secans planum perpen-
diculari figurae sectio sit ABF^ coni acutianguli
sectio [prop. 11, c], plani autem figuram secantis
linea FA. et lineae AT parallelae ducantur lineae
IIP, 2JT sectionem coni acutianguli in punctis B, /1
contingentes, et ab iis erigantur plana plano in linea
AT posito parallela. ea igitur spbaeroides in punctis
1) P. 284, 24; at 8k xa \ir\x^ 8iu tov yiivtQOv ftrjrg oQd-m
Ttotl tov a^ova tm sniitBdm tfia&ij ro aq^aLQosiSsg^ tmv ysva-
^SVCOV t(lCi(lCCtCOV tO [ISV (ISL^OV TtOti tO 6%ri(ia tO ^CC6LV s%ov
tccv avtav ta> t(id[iati yial a^ova tov avtbv tovtov s^si tovloyov, ov %tX. ut hoc loco, nisi quod lin. 4 avtug raff le-
gitur, et lin. 5 ysvo(isvoav omittitur.
•
Tov §aai,v sxovtog F, uulgo. 3. a avva^icpotsQaig] scripsi;
ai avva(i(potsQai, F , uulgo. 4. ra] cum B; om. F, uulgo.
8. tst(ir}a&G) F; corr. Torellius. 9. aXla F; corr. B*. 14.
Jj B Torellius. 15. sniipavoivti F; corr. Torellius,
494 nEPI KS^NOEIAE.qN KAI 2<I»AIP0EIAEfiN.
drj tavta tov 6(paLQoeLd£og xatcc ta B, z/, Kal imovv-tai xoQvtpal t(Bv t^a^dtcov ia B, zf. a%%^G) ovv a
tag xoQvcpag ijtt^svyvvovea tojv yevo^dvcov t^a^dtava Bzf' 7t£68Ltai d' avtd did tov xevtQov xal eata
5 xivtQov to &^ ^et^ov de 7} tb rj}iL6eov rov acpaiQo-
eLdeog ro t^d^a^ ov xoQvtpd to B. TtotLxeC^d^co de ra
Zl® L0a a ^H. xal d BZ td avtd. deLXteov. otL ro
t^d^a tov 6g)aLQoeLdeog tb ^et^ov Ttotl ro aTtot^a^a
tov x(6vov tb pdOiv e%ov tdv avtdv ta t^d^ati xal
10 d^ova tbv avtbv rovrov e^ei tbv koyov, ov d EHTtotl tdv Ezt.
tet^d6d^c3 ydQ ro 6(paiQoeideg e7ti7te8(p did rov
xevtQOv 7taQaXXYil(p ta xatd tdv AF e7tL7tedc}^ xal
eyyeyQacpx^Gi elg tb rj^L^Seov tov 6q)aLQO£Ldeog djto-
15 t^a^a xcovov xoQV(pdv e^ov tb A (Sa^etov ^ xal ov
e^eL Xoyov d A® 7tot\ tdv E/l^ roi^roi' £%£rc3 d ^/1Ttotl tdv 0z/. b^OLCog drj t(p ^tQoteQOv deix^rj6etaL
to te d^tot^a^a roi; x(6vov rov iv rc5 rj^KSico roi)
0(paLQoeLdiog iyyeyQa^^ivov Ttotl tb d^tot^a^a rou
20 x(6vov roi) iv ta iXd6(3ovL iyyeyQa^^ivov tbv avtbv
e%ov Xbyov ^ ov tb 7teQLe%6^evov' vTtb tdv S^, B&Ttotl ro V7tb tdv BE, ^z/, xal tb d^tot^a^a roi) X(6-
vov tov iv rco ikd^^ovi t^d^ati iyyeyQa^^ivov 7totl
ro t^d^a rd, iv (p iyyeyQa^ttai^ tbv avtbv e^ov koyov^
25 ov tb 7teQie%6^evov vTtb tdv BE^ Ezl Ttotl ro V7tb
tdv ZE^ E^. e%ei ovv ro d^tot^a^a tov X(6vov tov
iv rc5 r]^L6ec) roi) 6(paLQoeLdiog iyyeyQa^^ivov 7totl
1. 8rf\ scripsi; §8 F, uulgo. sgovvtui F, uulgo. 5.
ds T] To] ovtos (comp.) xco F; corr. Torellius (7] to iam V; to
iam CD). 6. to t^cc^cc] scripsi; to om. F, uulgo. ta Ji'aa d z1 H] scripsi; tag JH laa a /i@ FCD; d JH ioa ta
J@ uulgo. 8. a7iot[ir)^a F; corr. Torellius, ut lin. 14, 18, 19,
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 495
B, z/ contingent [prop. 16, b], et uertices segmen-
torum erunt B, z/ [p. 282, 12]. ducatur igitur uertices
segmentorum ita ortorum iungens Bzf linea (per
centrum autem cadet [prop. 16, c]), et centrum sit
&, et segmentum, cuius uertex est 5, maius sit quam
dimidia pars sphaeroidis. adiiciatur autem linea ziH
aequalis lineae z/0, et linea BZ eidem aequalis.
demonstrandum est, segmentum sphaeroidis maius ad
segmentum coni basim habens eandem, quam seg-
mentum, et eundem axem eam habere rationem, quam
EH: EJ.
secetur enim sphaeroides plano per centrum posito
plano in linea AF posito parallelo, et dimidiae sphae-
roidis parti inscribatur segmentum coni uerticem ha-
bens punctum z^, et sit gz/ : @z/ = 0z/ : E^. itaque
eodem modo, quo supra, demonstrabimus, segmentum
coni dimidiae sphaeroidis parti inscriptum^) ad segmen-
tum coni [segmento] minori inscriptum ^) eandem ratio-
nem habere, quam S^ X B0 : BEx ^z/, et segmen-
tum coni segmento minori inscriptum^) ad segmentum,
cui inscriptum sit, eam rationem habere, quamBExEZl :ZEXEJ.
itaque segmentum coni dimidiae parti sphaeroidis
inscriptum^) ad minus segmentum sphaeroidis [eam
1) Debebat esse (Hn. 18, 20, 23, 26): x6 iv ... £yysyQa[i[x,i-
vov\ ad ciTtoTfiaficc enim, non ad ncovov pertinet. et ita fortasse
uel inuito codice scribendum est. lin. 19 ed. Basil. et A habentiyysyqafifiivov.
22, 26. 9. to ^dcLv hxovl scripsi; tov ^aauv s%ovto^ F, uulgo.12. TarftT^ff^co F; corr. Torellius. 17. @J'] @A F. tc5] toP. 19. syyByqayi>n,Bvoi F; corr. Torellius. 24. sxovta F;corr. B*.
496 nEPI KiiNOEIAE^N KAI 2^AIP0EIAESiN.
ro €la(}6ov t^a^a rov Og^aLQoeidiog^ ov ro iteQisxO'
fisvov vjtb rai/ S^, B& Ttorl ro vtco rav ZE, E^.s^SL ovv rb ^sv oXov dcpaLQOStdsg Tcorl ro aTCor^a^a
rov xcovov rov iv np rj^L^sc) rov 0q)aLQosLdsos syys-
5 yQa^^svov rbv avrbv koyov^ ov ro itsQLSxo^svov vnb
rav ZH^ S^ ^orl rb vitb rav B@, S^- rsrQanXdaLov
yccQ SKarsQOv sxdrsQOV. rb ds aTtor^a^a rov xcovov
rb SLQTj^svov Ttorl rb sXa0(5ov rfid}ia rov 6(paLQOSLdsog
rbv avrbv s%sl koyov^ ov ro 7tSQLS%6iisvov vitb rdv
10 S^5 B@ Ttorl ro V7tb rdv ZE, E^. s%sl ovv rb oAov
dcpaLQosLdsg Ttorl ro sXa06ov r^d^a avrov [roi) 6(paL-
QOSLdsog^ rbv avrbv Xoyov^ ov rb jtSQLSxo^svov vjtb
rdv ZH, S^ ^orl rb vjtb rdv ZE^ EA, avrb b\ \
rb \iSL%ov r^d^a Ttorl rb sXa(S6ov rbv avrbv sxsi loyov,\
15 ov d v7tsQ0%d, a v71sqs%sl rb TtsQLSxo^svov vTtb rdvj
ZH^ S^ rov TtSQLSxo^svov vTtb rdv ZE^ EA ^ itorX \
ro vTcb rdv ZE^ E^d. rb 8\ ska6^ov r^d^a jtorl rb\
djtor^a^a roi) acovov rov sv avra syysyQa^^svov rbv
avrbv s^sl koyov^ ov rb vTtb rdv ZE^ E/1 Ttorl ro
20 V7tb rdv BE, EA [dsdsL^raL yaQ rovrov sxov rbv
koyov^ ov d ZE 7torl rdv BE]^. rb ds d^torfjLa^a rov
%(Qvov roi; sv rS sXd66ovL r^d^an syysyQa^^svov\
7torl rb d^tor^a^a rot> xcovov rov sv rw ^sl^ovl r^d- \
^iarL syysyQa^iisvov rbv avrbv sxsl Xoyov, ov rb VTtb [
25 rdv BE, Ezf Ttorl ro d^tb rdg BE rsrQdycovov. rd
2. B@] BE F. 3. ccnot[ir}(icc F; corr. Torellius; ut lir».,
7, 18. 4. Too supra manu 1 F. 6. B@] B^Si FD. 9. i
xav] Toov per comp. F; corr. Torellius. 10. ZE] ZC7 F. :
11. Tov GcpaLQosLdsog] deleo; „eius" Cr. 13. ZH, S^ noxl '
x6 vnb xoiv] bis F; corr. A. 21. ccnox(ir}(ia F; corr. Torellius, !.
ut p, 498, 1 et 5. 22. iXdaaovL xficcfiaxi ad xov iv xa lin. 23,
om. F; corr. ed. Basil. (xfnqfiaxL, dnoxfirjfia] corr. Torellius).
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 497
rationem] habebit, quam Szl X B® : ZE x E/J
[Eucl. V, 22]. habebit igitur totum sphaeroides ad
segmentum coni dimidiae sphaeroidis parti inscriptum^)
eandem ratiouem, quam ZHx S^ : 5@X S^\ utrum-
que enim utroque quadruplo maius est.^) sed seg-
mentum coni, quod commemorauimus^ ad minus seg-
mentum sphaeroidis eandem rationem habet, quam
SJxB0:ZExEzJ.habebit igitur totum sphaeroides ad minus segmentum
eius eandem rationem, quam ZHX S^ '- ZEx E^[Eucl. V, 22]. ipsum autem segmentum maius ad
minus eandem rationem habet, quam
ZHxS^ — ZExE/i \ZEX EA\piBX6vxi Eucl. V; 17]. segmentum autem minus ad
segmentum coni ei inscriptum^) eandem rationem habet,
quam ZEx E/l : BEx Sz/.*) segmentum autem
coni minori segmento inscriptum^) ad segmentum coni
segmento maiori inscriptum^) eandem rationem habet,
quam BEx E^ : B E^. nam segmenta conorum,
quae commemorauimus^ rationem altitudinum habent^
quoniam eandem habent basim [prop. 10]^ et alti-
1) x6 iv ... iyysyQocfi^svov? (lin. 4—5); cfr, p. 495 not. 1.
2) H. e. sphaeroides segmento coni, et rectangulumZifx^z/
rectangulo B&xSzl (nam ZiI=4B0).3) t6 kv . . . iyysyQa^fiEvov? (lin. 18); cfr. not, 1.
4) Quare segmentum maius sphaeroidis ad segmentum coniminori inscriptum eam habet rationem, quam
ZHx;h:J — ZExEJ:BExEJ (Eucl. V, 22).
sed quae sequuntur uerba: Ssdsi^tca yccQ lin, 20 ad noxl xavBE lin. 21, subditiua sunt. nam, si opus essent, adiicienda
1erant p. 494, 26; cfr. p. 489 not. 2.
5) rd . . , syysyQa^^svov? (lin. 22 et lin. 23—24); cfr. not. 1.
uerum semel seruatum est p, 498, lin. 5.
Archimedes, ed. Heiberg. I. 32
498 nEPI KSiNOEIAESiN KAI S^AIPOEIAESiN.
yccQ djtot^d^ara rwv Ttmvcov rd EiQYniiiva tov rcoi/
v^icov loyov sj^^ovri, insl ^doiv f^^oi/ri rdv avrdv, rd
ds v^sa avrav rbv avrbv Xoyov i%ovrL np rdg ZlETtori rdv EB. ix^c ovv xal rb ^et^ov rfid^a tov
5 Oq^aiQoecSiog Ttorl rb uTtor^a^a roi) xojvov rb iv avr^
iyyeyQa^^ivov rbv avrbv Xoyov^ ov d v7tsQ0%d^ d vTteQ-
i%eL ro TteQiexo^evov vTtb rdv HZ^ S^ tov VTtb tdv
ZEj E^j Ttotl tb ditb tdg BE tetQdycavov. 6 d\
koyog ovtog b^OLog rcai :r^or£^oi' deLi^^eCri xa 6 avtbg
10 id)v rc5, ov e%eL d EH Ttotl tdv E/1.
2. fjTft ^cLGiv B%ovxi] addidi; om. F, uulgo; post xdv uvxdvaddidit Torellius. 3. b%03vxi F. too xag\ xov xrjg F; corr.
Torellius. 4. noxl xdv] TtQog xov (utrumque per comp.) F;corr. Torellius. ovv] addidi; om. F, uulgo. 5. xov . . iy-
ysyQUfifiEvov ed. Basil., Torellius. 7. xov] xo F; corr. BC.8, ZE, EJ] scripsi; ZEz/ F, uulgo. 9. Ssi^d^Eirj xa] scripsi;
xoj om. F, uulgo; dsL^d^i^Gsxcct. Torellius. In fine F: nsQi tko-
V0Sld(OV V,CH, 6(pUiQ0Sl8(OV.
I
I
DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 499
tudines eorum eandem rationem habent, quam
itaque etiam maius segmentum sphaeroidis ad segmen-
tura coni ei inscriptum eandem rationem habet, quam
HZXS^ — ZEXE^: BE\^)
sed hanc rationem eandem esse, quam EHiE^, eodem
modo, quo supra [p. 490, 1 sq.; cfr. p. 488, 6], demon-
strabimus.
1) Ducantur enim a punctis B, z/ lineae ad lineam AFperpendiculares. orientur trianguli rectanguli similes, quorumhypotenusae erunt z/E, EB, cathetae autem inter se respon-dentes lineae perpendiculares, quae altitudines conorum erunt;tum u. Eucl. VI, 4.
2) Euci. V, 22; cfr. p. 497 not. 4.
32
^Q-^r^m