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Henneberg-Konstruktion
in O(n²)Konstruktion von Laman-Graphen mittels
Rot-Schwarz-Hierarchien
Marko Walther WS 07/08
Überblick
1. Grundlagen und Definitionen2. Die Rot-Schwarz-Hierarchie (RSH)3. Charakterisierung von Laman-Graphen
mittels der RSH4. Berechnung der Henneberg-Konstruktion
mittels der RSH in O(n²)
1. Grundlagen
Theorem 1(Charakterisierung von Laman-Graphen):Ein Graph G(V,E) heißt Laman-Graph genau dann, wenn:
I. II.
2 3E V
2 3 für jeden Untergraphen
, von
E V
G V E G
Theorem 2 (Henneberg):
Ein Graph ist genau dann ein Laman-Graph,wenn für ihn eine Henneberg-Konstruktionexistiert.
Theorem 3 (Lovász und Yemini):Ein Graph G(V,E) mit n Ecken und 2n-3Kanten ist ein Laman-Graph genau dann, wennfür jede Kante e aus E der Multigraph G+e, derdurch Hinzufügen einer Kante parallel zu eentsteht, die Vereinigung von zweikantendisjunkten Spannbäumen ist.
Definition 1: 3tree2-Partition
1 2 3
,
, ,
i
Eine zulässige eines GraphenG V E ist eine Partition von E in drei Bäume T T T so dass jede Ecke von G zu genau 2 dieser Bäume gehört und kein Teilbaum zweier verschiedener T diese
3tree2 - Partition
lbe Eckenmenge besitzt.
Beispiel für 3tree2-Partition:6v
2v5v
1v
4v3v
1 1 2 3 4
2 3 4 5 6
3 2
6
1
5, , , , ,
, , ,
,
V T
V T
V T v v v v
v v v
v
v
v
v
v
Theorem 4:
Ein Graph G(V,E) ist ein Laman-Graph genaudann, wenn er eine 3tree2-Partition zulässt.
2. Die Rot-Schwarz-Hierarchie (RSH)
Definitionen:
,
T T
T
- Sei T ein Baum und sei L T die Menge der Blätter von T.- Sei G V E ein Graph und T= V ,E ein Baum mit ausgezeichneter Wurzel. Zwischen L T und V soll eine 1:1-Abbildung existieren.- Sei :V V u
T Tnd :E V V
Definition: Hierarchie
Eine ist ein Graph
mit Eckenmenge V und
Kantenmenge E .
Hierarchie H G,T,α,β
T
T e
Definition: Hierarchie
1 2
1 2
e= , aus E.
bildet die Kante e auf ,
ab, so dass und Vorfahren in T
von jeweils und jedoch keine
gemeinsamen Vorfahren von und
sind.
Sei u v
e e e
e e
u v
u v
Definition: Hierarchie
1 2Die Knotentiefen von und
seien in T gleich.
folgt sofort, dass keine
Kante in T sein kann.Man nennt von H.
Querkante
e e
Daraus e
e
Beispiel: Hierarchie
6v
2v5v
1v
4v3v
1v 2v
3v 4v 5v 6v
e
1 5,e v v
, , ,H G T ,G V E
1v
Definition: Rot-Schwarz-HierarchieEine Rot-Schwarz-Hierarchie ist eineHierarchie welche folgenden 4 Regeln genügt:
1. Wurzel-Regel:
Die Wurzel von T hat genau zwei Kinder.
2. Blatt-Regel:
Eine Ecke v von T ist genau dann das einzigeKind seines Elternknotens, wenn v ein Blatt ist.
3. Querkanten-Regel:
Die Endecken jeder Querkante habendenselben Großelternknoten, jedochunterschiedliche Elternknoten.
4. Baum-Regel:
Für jede Ecke v aus T bilden die Querkanten,die inzident zu Enkelknoten von v sind einenBaum, der alle Enkel von v verbindet.
Färbung der RSH:
Ecken gerader/ungerader Tiefe werden rot/schwarz eingefärbt.
Kanten können rot oder schwarz gefärbt sein. Querkanten haben die Farbe ihrer
Endpunkte.
Beispiel: Rot-Schwarz-Hierarchie
1v 2v
3v 4v 5v 6v
1v 2v
3v 4v 5v 6v
Hierarchie H
3. Charakterisierung von Laman-Graphen mittels der RSH
Die RSH als Charakterisierung von Laman-Graphen.
Bezeichnungen:
Sei im Folgenden n= V und m= E .
Lemma 5:
Sei G V,E ein Graph für den eine RSH
existiert.Dann ist m 2n - 3.
Beweis: Lemma 5
,
.
H
H
L GP
P = V - L GP
V = L + P + GP
H H
H
Sei H= V ,E eine RSH für G V E .
Sei die Menge der Blätter und sei die Menge derGroßelternknoten in V .
Sei die Menge der restlichen Elternknoten.
Daraus folgt sofort:
v
v
v
Sei die Menge der Enkel des Knotens v in H.
Sei die Menge der Kanten von
G in H.
GC
E GCGC
Beweis: Lemma 5
v
v v vv GP v GP v GP v GP
vv GP
Nach der Blatt-Regel ist P L n
Durch Aufsummierung der GC ergibt sich:
GC E GC E GC + 1
GC #Querkanten + GP
.
1
GC = m +
H
Es gibt nur 3 Ecken, die keine Enkel sind (die Wurzel und ihre beiden Kinder).
m GC GP V GP L P GP GP n n 3 3 3
H
GP
V = GC + 3
2n - 3
Beweis: Lemma 5
Lemma 5 impliziert auch, dass nicht für jedenGraphen eine RSH existiert.
Lemma 6:
Sei G V,E ein Graph, für den eine RSH existiert.
Sei G V ein durch V V ( V ) induzierter
Untergraph von G mit Kantenmenge E .Dann besitzt G V höchstens k Kanten.
2
2 - 3
Beweis(Skizze): Lemma 6
Die Eckenmenge V definiert einen Teilbaum T in H, dessen Blätter L den Ecken in V entsprechen.Eine Ecke v aus H gehört genau dann zu T , wenn sie auf einem Pfadzwischen zwei Ecken aus L liegt.Sei
H H H = V ,E nun die durch T induzierte Hierarchie.
Für H lässt sich nun analog zum Beweis von Lemma 5 zeigen, dassE 2V 3. Dabei ist zu beachten, dass für H nur noch schwächere Versionen der vier R
SH-Regeln gelten.
Für einen ausführlichen Beweis, siehe [2].
Folgerung aus Lemma 5,6:
Graphen, für die eine RSH existiert sindLaman-Graphen.
Theorem 7:
2
Sei G= V,E ein Laman-Graph.
Dann existiert für G eine RSH und diese
kann in O n Zeit konstruiert werden.
Beweis: Theorem 7
Der Beweis wird hier nicht geführt.
Nur soviel:Die RSH wird konstruiert, indem der Graph G in eine3tree2-Partition zerlegt wird und aus dieser rekursiv dieUnterbäume der Knoten in H sowie die Querkanten erzeugtwerden.
Für einen ausführlichen Beweis, siehe [2].
Laufzeit:
Die 3tree2-Zerlegung kann in O(n²) Zeitkonstruiert werden (siehe [3]).
Die Knoten in H der selben Tiefe werden inO(n) Schritten bearbeitet.
Da die Höhe der RSH O(n) beträgt, folgt eineLaufzeit von O(n²).
Folgerung:
Ein Graph ist genau dann ein Laman-Graph,wenn für ihn eine RSH existiert.
Damit ist die RSH eine weitereCharakterisierung von Laman-Graphen nebender 3tree2-Partitionierung z.B. .
Lemma 8 (Validierung der RSH):Sei H eine Hierarchie für den Graph G.Es kann in O(n) Schritten überprüft werden, obH eine Rot-Schwarz-Hierarchie ist.
Beweis: Lemma 8
Sei H G,T, , die Hierarchie für G V,E .
Als Erstes wird geprüft, ob m 2n - 3.Ansonsten existiert für G keine RSH nach Lemma 5.
Beweis: Lemma 8
Nun wird überprüft, ob H allen 4 Regeln fürRSH genügt.
Beweis: Lemma 8
Die Wurzel-Regel kann in O(1) Zeit überprüftwerden.
Beweis: Lemma 8
Die Blatt-Regel kann für jedes Blatt undjeden inneren Knoten von H überprüft werden.Dafür sind O(n) Schritte notwendig.
Beweis: Lemma 8
1 2
Die Querkanten-Regel kann in O m Zeit
überprüft werden, indem die Großelternknotenvon e und e für jede Kante e aus G
verglichen werden.
Beweis: Lemma 8
Die Baum-Regel kann in O(m+n) Zeit überprüftwerden.
Es folgt eine Gesamtlaufzeit von O(n).
4. Berechnung der Henneberg-Konstruktion mittels der RSH in O(n²)
Henneberg-Operationen:
a
b
a
b
v
Henneberg-Einfüge-Operation vom Typ I
Henneberg-Operationen:
Henneberg-Einfüge-Operation vom Typ II
a
b
a
b
v
Henneberg-Operationen:
Die inversen Operationen werden Henneberg-Lösch-Operationen vom Typ I bzw. Typ II genannt.
Theorem 9:
Sei G V,E ein Laman-Graph mit mindestens 3Ecken und sei H eine RSH für G. Durch Ausführung einer Henneberg LöschOperation wird G in G V ,E überführt. Für G kann eine RSH aus H konstruiert werden, in
dem höchstens konstant viele Ecken und Kanten aus H gelöscht bzw. zu H hinzugefügtwerden.
Beweis(Vorbemerkungen): Theorem 9
x
Sei H G,T, , eine RSH.
Sei der Teilbaum von T mit Wurzel x T.
Sei die Menge der Enkel eines Knotens x T und der Baum, der durch die GC in H induziert wird, sei .
x
x
x
T
GC
GT
Beweis(Vorbemerkungen): Theorem 9Nach [1] enthält G eine Ecke vom Grad 2 oder 3.
Beweis: Theorem 9
Der Beweis unterscheidet 4 Fälle.
Fall 1 und Fall 3 werden ausführlich bewiesen,um die Vorgehensweise aufzuzeigen.
Fall 1, 2 entsprechen einer Typ I Lösch-Operation,Fall 3, 4 einer Typ II Lösch-Operation.
Fall 1, 2:
Sei v eine Ecke vom Grad 2 und seien a, b die zwei zu v adjazenten Ecken.
a
b
v
Fall 1:
Nach
Sei
Definition der RSH besitzt v einenGroßelternknoten . Sei der Elternknoten von v.Nach der Querkanten-Regel ist weder w noch u adjazentzu einer Querkante in H.
w nun die Wurzel von T.
w u
w
u
v
Ausschnitt aus H:
Fall 1:
v
Nach
ist nun inzident zu genau 2 Querkanten v,a und v,b ,
welche den Kanten v,a und v,b in G entsprechen.
Sei nun der zweite Kindknoten von w.(er existiert nach der Wurzel-Regel)
der Querkanten-Reg
s
el ist u nicht der Elternknotenvon a und b . Dieser kann also nur s sein.
Fall 1:
b
w
u
v
s
a
aT bT
a b
Fall 1:
Durch eine Henneberg-Lösch-Operation vom Typ I wirddie Ecke v sowie die Kanten v,a und v,b aus G
gelöscht.
In H entspricht das dem Löschen der Knoten u,v und w sowie der zu ihnen inzidenten Kanten.
Die resultierende RSH H erfüllt danach immer noch alle 4 Regeln.
Fall 1:
b
w
u
v
s
a
aT bT
a b
b
s
a
aT bT
a b
a
b
v
a
b
Fall 2:
w ist nicht die Wurzel von T.Für einen Beweis siehe [2].
Fall 3,4:
Sei v eine Ecke vom Grad 3 und seien a, b, c die drei zu v adjazenten Ecken.
a
b
vc
Fall 3,4:
Es wird nun immer die Kante e ermittelt, die bei der Lösch-Operation vom Typ II hinzugefügt werden soll:
a
b
a
b
v ce c
Fall 3:
w (der Großelternknoten von v) hat zwei Kinder.
Fall 3:
Seien im Folgenden die Knoten a , b und c aus T Vorfahren der Ecken a,b und c aus G.
V habe einen Ur-Ur-Großelternknoten .
Sei v ,c die Querkante in H, die der Kante v,c
in G entspricht.Nach der Bau
x
m-Regel ist a inzident zu mindestens
einer Querkante. Sei diese v,a .
Fall 3:
Es werden ansonsten die selben Bezeichnungen wie in Fall 1 benutzt.
Nach der Baum-Regel ist u(Elternknoten von v) inzident zumindestens einer Querkante, z.B. u,b in T, welche der
Kante u,b in G entspr
icht.
Fall 3:
3 Spezialfälle werden unterschieden:
3a: s habe zwei Kinder a und c .
3b: s habe ein Kind a und v = u.
3c: s habe ein Kind a und v ist ein anderer Vorfahr von v.
Fall 3a:
S habe nun 2 Kinder: a und c .Daraus folgt, dass v auch inzident zur Querkante v,c in T sein muss.
x
bT
w
u
v=v‘
s
a‘ c‘
b‘
aT cT
Ausschnitt aus H für Fall 3:
Fall 3a:
cT
x
a c
a
c
Sei nun der Pfad von s nach b in GT .
Sei s,y die erste Kante auf diesem Pfad und
(z,y) die zugehörige Kante in G.y liegt nun entweder in T oder T .
Liegt y in T , so ist e a,b .
Liegt y in T ,
so ist e b,c .
x
w
u
v
s
a‘ c‘
b‘
aT
cT
yT
y‘
y
Fall 3a:
Diese Prozedur wird als„Vervollständigung des Baumes vom Typ I“genannt.
Fall 3a:
2. u und v und alle zu ihnen inzidenten Kanten werden entfernt.3. a‘ und c‘ werden zu Kindern von w.
x
bT
w
u
v
s
a‘ c‘
b‘
aT cT
x
bT
w
a‘ c‘ b‘
aT cT
Fall 3:
4. Für jede Querkante s,y und zugehörige Kante z,y
in G wird eine neue Querkante, entweder a ,y
oder c ,y erstellt.
Um zu entscheiden, welche von beiden, wird das Blatt z in einen de
a cr beiden Bäume T oder T gesucht.
Fall 3a:
5.Füge e in G und die zugehörige Querkante e
in H ein.
Ist e a,b , dann e a ,b ,
sonst e b ,c .
Fall 3b:
s habe ein Kind a und v = u.
x
bT
w
u=v‘
v
s
a‘=a
c‘b‘
cT
Fall 3b:
1. u und v und alle zu ihnen inzidenten Kanten werden entfernt.2. s wird durch das Blatt a ersetzt.
Fall 3b:
x b c
b c
3. u wird aus GT entfernt. Durch Entfernen von u zerfällt GT in zwei Bäume und , so dass b in und c in enthalten sind. s muss in einer dieser Bäume enthalten sein.
bT
w
u=v‘s c‘b‘
cT
cb
v a=a‘
Fall 3b:
bIst s dann wird e auf a,c gesetzt. Sonst auf a,b .
Diese Prozedur wird "Vervollständigung des Baumes vom Typ II" genannt.
x
bT
w
u
v
s
a
c‘b‘
cT
x
bT
w
a c‘b‘
cT
Fall 3c:
s habe ein Kind a und v sei ein Vorfahr von v u.
x
bT
w=v‘
u
v
s
a‘=a
c‘
b‘
cT
Fall 3c:
1. u und v und alle zu ihnen inzidenten Kanten werden entfernt.2. s wird durch das Blatt a ersetzt.
Fall 3c:
3. Die Kante e a,c wird in G eingefügt, welche der
Kante v ,c in T entspricht.
x
bT
w=v‘
u
v
s
a‘=a
c‘
b‘
cT
x
bT
w
a
c‘
b‘
cT
Fall 3:
In den Fällen 3a, 3b und 3c genügt dieresultierende RSH wieder allen 4 Regeln.
Fall 4:
w hat mehr als zwei Kinder.Für einen Beweis siehe [2].
Theorem 9:
Die vorherigen 4 Fälle reichen aus.
Theorem 9:
Denn angenommen, keiner der vorherigen 4 Fälle kann angewendetwerden.Dann beträgt der Grad jeder Ecke aus G mindestens 3.
Da es 2n-3 Kanten gibt, existieren mind. 6 Ecken in H mit Grad 3.(sieht man durch Konstruktion eines solchen Graphen).
Nach der Wurzel-Regel existiert ein Kindknoten u der Wurzel von T, sodass mind. 3 Ecken vom Grad 3 Nachfahren von u sind.
Der Großelternknoten kann nach der Blatt-Regel nicht die Wurzel sein.Also greift hier Fall 3 oder 4.
Theorem 10:
Die Henneberg-Konstruktion eines Laman-Graphen mit n Ecken kann in O(n²) ZeitBerechnet werden.
Beweis: Theorem 10
Es wird eine RSH für den Graphen mit dem Algorithmus aus Theorem 7 in O(n²) Zeit konstruiert.
Mit dem Algorithmus aus Theorem 9 kann eine Lösch-Operation inO(n) Zeit berechnet werden.
Da O(n) Lösch-Operationen nötig sind,folgt daraus die Behauptung.
Quellen: [1]
R. Haas, D. Orden, G. Rote, F. Santos, B. Servatius, H. Servatius, I. Streinu, D. Souvaine and W. Whiteley. Planar minimally rigid graphs and pseudo-triangulations. Comput. Geom. Theory Appl., 31(1-2):31-61, 2005, http://dx.doi.org/10.1016/j.comgeo.2004.07.003.
[2]Henneberg-Aufbau in O(n²) Schritten:S. Bereg. Certifying and constructing minimally rigid graphs in the plane. In Proc. 21st Annu. Sympos. Comput. Geom., pages 73-80, 2005.
[3]A.R.Berg und T.Jordan. Algorithms for graph rigidity and scene analysis. In 11th European Symp. on Algorithms, LNCS 2832, pp. 78-89. Springer-Verlag, 2003.