Upload
anna-smet
View
233
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Herhaling kansrekenen ?!?Voor het bereken van kansen moet je weten hoeveel mogelijke uitkomsten er zijn voor het gekozen experiment en vervolgens hoeveel van deze uitkomsten er gunstig zijn.
Hiervoor is het goed als je handig kan tellen en de rekenformules van de combinatoriek goed kent en beheerst. Het volgende schema kan hier handig bij zijn
Herhaling toegestaan
Herhaling niet toegestaan
Volgorde niet van belang
Volgorde wel van belang
nPr
nCr
kn)!(
!
kn
n
)!(!
!
knk
n
k
n
k
kn 1
•Permutatie (volgorde) :Een eerder gekozen element n mag niet weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen k elementen maakt wel uit.•Herhalings permutatie : Een eerder gekozen element n mag wel weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt wel uit.•Combinatie (groepje) :Een eerder gekozen element mag niet weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt niet uit.•Herhalingscombinatie:Een eerder gekozen element mag wel weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt niet uit.
Voorbeelden
•Pin code•Afspelen van 9 nummers van een CD•Toto voor een competitie met 13 wedstrijden•Voorzitter,secretaris en penningmeester van vereniging bestaande uit 28 leden•Groepsvertegenwoordiging van 3 uit 28•Bestellen opnemen van een ober van 3 mensen met een keuze uit 4 dranken•Gironummers bestaande uit 8 cijfers die niet met een nul mogen beginnen•Scoreverloop van een voetbalwedstrijd met eind uitslag 4-6•Meerkeuze(4) toets bestaande uit 15 vragen •Verdeling van de kaarten bij klaverjassen•4 rings’combinatieslot ‘ ?!?
4
15
7
13
4
10
!8!8!8!8
!32
4
4
1064
109
363
314
328
3Pr28
3
!9
10
uitslag
nCr
nCr
n
Kansen en combinaties Is bij het kiezen van 4 dingen uit 7 dingen de volgorde niet van belang, dan spreken we van het aantal combinaties van 4 uit 7
Het aantal combinaties van 4 uit 7 noteren we als
Spreek uit : 7 boven 4
Het aantal manieren om k dingen uit n dingen te kiezen zonder op de volgorde te letten, dus het aantal combinaties van r uit n,
is
7 4
n k
9.1
Kansen en combinaties
Ook bij het pakken van knikkers uit een vaas heb je met combinaties te maken.P(2r, 2w, 1b) = ?Volgens de kansdefinitie van Laplace is die kans
Het aantal mogelijke uitkomsten is het aantal manieren om 5 knikkers uit de totaal 15 knikkers te pakken.
Dat kan op manieren.
Het aantal gunstige uitkomsten is het aantal manieren om 2r uit de 8r, 2w uit 4w en 1b uit 3b te pakken.
Dat kan op
P(4r, 1w, 2b) = ≈ 0,168
aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten
15 5
8 2
4 2
3
18 2
4
2
3 1
15 5
. .
manieren
8+4+3=15
2+2+1=5
P(G) =
. .
9.1
Vaas met 3 Rode 6 Blauw en 7 witte knikkers.Wat is de kansverdeling voor X= aantal Blauwe knikkers als Eline 3 knikkers pakt?
P(0 blauw) =
P(1 blauw) =
P(2 blauw) =
P(3 blauw) =
103
16 3
≈
opgave 5
102
16 3
≈
101
16 3
≈
100
16 3
≈
6 1
6 2
6 3
Het vaasmodelBij veel kansberekeningen kan het handig zijn het kansexperiment om te zetten in het pakken van knikkers uit een geschikt samengestelde vaas vaasmodel
9.1
probleemGloeilampen in dozen van 20 stuks.Willekeurig worden 4 lampen uit de doos gecontroleerd.Alle 4 goed dan wordt de doos goedgekeurd.In een doos zitten precies 2 defecte lampen.
vaasmodelVaas met 20 knikkers waarvan 2 rood (de defecte lampen) en 18 groen.
antwoord
P(goedkeuring) = P(4 goed) =
18 4
20 4
≈ 0,632
opgave 9
probleem500 appels wordt verpakt in 20 dozen van elk 25 stuks.Bij deze 500 appels zijn er 10 met een rotte plek.Bereken de kans dat alle appels in de doos gaaf zijn.
vaasmodelVaas met 500 knikkers waarvan 10 rood (de appels met een rotte plek) en 490 groen, je pakt 25 knikkers uit de vaas.
antwoord
P(alle appels gaaf) = P(geen rode) =
490 25
500 25
≈ 0,596
opgave 10
probleemIn een restaurant zijn bij de ingang 20 kapstokken.Er komt een gezelschap van 18 personen binnen.Willekeurig worden de jassen opgehangen.Hoe groot is de kans dat de kapstokken 3 en 12 leeg blijven.
vaasmodelVaas met 20 knikkers waarvan 2 rood (de nummers 3 en 12) en 18 groen.
antwoord
P(3 en 12 blijven leeg) =
2 0
20
18
≈ 0,005
18
18
.
opgave 11
De somregel
Als de gebeurtenissen geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben,
dus als de gebeurtenissen elkaar uitsluiten dan geldt de somregel .Hebben twee gebeurtenissen wel gemeenschappelijke uitkomsten,dan geldt de somregel niet. Zo is als we kijken naar het aantal ogen bij het gooien van tweedobbelstenen P(som is 4 of product is 4) niet gelijk aan,P(som is 4) + P(product is 4) want de gebeurtenissen ‘som is 4’ en ‘product is 4’ hebben de uitkomst gemeenschappelijk
Voor elkaar uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2
geldt de somregel:
P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2)
9.2
In een vaas zitten 4 rode, 2 blauwe en 4 groene knikkers,Nancy pakt 3 knikkers uit de vaas.a P(2 of 3 rood) = P(2 rood) + P(3 rood)
b P(minder dan 2 groen) = P(0 groen) + P(1 groen)
4
210 3
6
1.
4
310 3
6
0.
= + ≈ 0,333
4 0
10 3
6
3.
4
1
10 3
6
2.
= + ≈ 0,667
opgave 20
De complementregel
P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1
P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis)
P(minder dan 8 witte) = P(0 w) + P(1 w) + P(2 w) + P(3 w) +P(4 w) + P(5 w) + P(6 w) + P(7 w) = 1 – P(8 witte)
9.2
Vaas met 60 knikkers waarvan 4 rood (de glazen met een barst).Aafke pakt 12 knikkers (de doos met de 12 glazen).
a P(minstens 1 glas met barst) = 1 – P(geen glas met een barst)
= 1 –
b P(alle kapotte glazen in de doos) =
60 12
56 12
≈ 0,601
4 4
60 12
56 8
.≈ 0,001
opgave 29
9.2
Vaas met 30 knikkers waarvan 20 rood (minder dan 10 km van school).P(minstens 6 minder dan 10 km van school) = P(6) + P(7) + P(8)
=
20 6
30 8
10 2
. 20 7
30 8
10 1
.
+ ≈ 0,452
20 8
30 8
10 0
.
+
opgave 35a
Vaas met 30 knikkers waarvan 12 rood (de jongens).P(minder dan 7 jongens) = 1 – (P(7 jongens) + P(8 jongens))
=
12 7
30 8
18 1
. 12 8
30 8
18 0
.
+
opgave 35b
Vaas met 30 knikkers waarvan 13 rood.(de meisjes die minder dan 10 km van school wonen)P(3 meisjes die minder dan 10 km van school wonen)
=
13 3
30 8
17 5
≈ 0,302
opgave 35c
De productregelVoor de gebeurtenis G1 bij het ene kansexperiment en de
gebeurtenis G2 bij het andere experiment geldt :
P(G1 en G2) = P(G1) · P(G2)
9.3
KansbomenBij het uitvoeren van 2 of meer kansexperimenten kun je een kansboom gebruiken.Je gaat als volgt te werk :• Zet de uitkomsten bij de kansboom.• Bereken de kansen van de uitkomsten die je nodig hebt.• Vermenigvuldig daartoe de kansen die je tegenkomt als je de kansboom doorloopt
van START naar de betreffende uitkomst.
9.3
Draaiende schijven
Welke kansboom hoort er bij het draaien van de schijven?
Oefenopgave 1
a P(ba,ba,ba) = 2/4 × 1/3 × 1/4= 2/24 ≈ 0,083
b P(ke,ke,ke) = 1/4 × 1/3 × 1/2 = 1/24 ≈ 0,042
c P(ci,ci,ba) = 1/4 × 1/3 × 1/2= 1/24 ≈ 0,042
d P(ci,ci,ci) = 1/4 × 1/3 × 0= 0
opgave 2
a P(geen banaan) = P(bbb)
= 2/4 × 2/3 × 3/5= 12/60 = 0,2
b P(2 citroenen en 1 banaan)= P(ccb) + P(cbc) + P(bcc)= 1/4 × 1/3 × 2/5 + 1/4 × 1/3 × 2/5 + 2/4 × 1/3 × 2/5= 8/60 ≈ 0,133
c P(3 dezelfde) = P(bbb) + P(ccc) + P(kkk)= 2/4 × 1/3 × 2/5 + 1/4 × 1/3 × 2/5 + 1/4 × 1/3 × 1/5= 7/60 ≈ 0,117
d P(2 keer kersen) = P(kkk) + P(kkk) + P(kkk)= 1/4 × 1/3 × 4/5 + 1/4 × 2/3 × 1/5 + 3/4 × 1/3 × 1/5= 9/60 = 0,15
e P(1 banaan) = P(bbb) + P(bbb) + P(bbb)= 2/4 × 2/3 × 3/5 + 2/4 × 1/3 × 3/5 + 2/4 × 2/3 × 2/5= 26/60 ≈ 0,433
Een experiment 2 keer of vaker uitvoeren
Het 4 keer gooien met een dobbelsteen is een voorbeeld van het herhaald uitvoeren van hetzelfde kansexperiment.Ook in zo’n situatie gebruik je de productregel om kansen teberekenen.
De productregel gebruik je ook als je hetzelfde kansexperiment 2 of meer keren uitvoert.
9.3
Oefen opgave 3
a P(3 rode) = P(r r r)= 2/5 × 2/5 × 2/5 = 0,064
b P(geen rode) = P(r r r)= 3/5 × 3/5 × 3/5 = 0,216
c P(2 rood en 1 blauw) = P(r r b) + P(r b r) + P(b r r)= 3 × 2/5 × 2/5 × 1/5 = 0,096
d P(2 rood) = P(r r r) + P(r r r) + P(r r r)= 3 × 2/5 × 2/5 × 3/5 = 0,288
= · (2/5)2 · (3/5)1
2 rood van de 53 niet rood van de 52 rood van de 5
1 blauw van de 5
2 rood van de 5
3 niet rood van de 5
De schijf wordt drie keer rondgedraaid.
31
opgave 46De kansen dat ze op rood staan is achtereenvolgens 0,4 ; 0,7 en 0,2.a P(3 keer doorlopen)
= P(r, r, r)= (1 - 0,4) x (1 - 0,7) x (1 - 0,2)= 0,144
b P(één keer wachten, niet voor de derde)= P(r, r, r) + P(r, r, r)= (0,4 x 0,3 x 0,8) + (0,6 x 0,7 x 0,8)= 0,432
- - - -
- - -
a P(tweejarige wordt 4)= 0,40 x 0,25 = 0,1
b P(pasgeboren muis gaat op driejarige leeftijd dood)= 0,42 x 0,60 x 0,40 x (1 – 0,25)≈ 0,076
c P(pasgeboren muis wordt geen 3 jaar)= 1 – P(pasgeboren muis wordt 3 jaar)= 1 – 0,42 x 0,60 x 0,40≈ 0,899
leeftijd in jaren 0 1 2 3 4
kans 0,42 0,60 0,40 0,25 0,05
opgave 48
Experimenten herhalen totdat succes optreedt
In het volgende voorbeeld pak je één voor één knikkers uit de vaas met 3 rode en 5 witte knikkers. Je gaat net zo lang door tot je een rode knikker pakt. Elke keer pak je als het ware uiteen nieuwe vaas. De kansen in de kansboom veranderen daardoorper keer.
9.3
a P(Sanne wint in 2 sets)= P(SaSa)= 0,6 · 0,6= 0,36
b P(Johan wint de 1e en Sanne de volgende twee sets)= P(JSS)= 0,4 · 0,6 · 0,6= 0,144
c P(de partij duurt 3 sets)= P(SJS) + P(SJJ) + P(JSS) + P(JSJ)= 0,6 · 0,4 · 0,6 + 0,6 · 0,4 · 0,4 + 0,4 · 0,6 · 0,6 + 0,4 · 0,6 · 0,4= 0,48
opgave 60
start
S
S
S
S
S
S
S
S
toelatings- examen
eerste herkansing
tweede herkansing
derde herkansing
0,6
0,4
0,3
0,3
0,3
0,7
0,7
0,7
a P(bij de 2e herkansing slagen)= P(S S S)= 0,4 · 0,7 · 0,3 = 0,084
b P(definitief afgewezen)= P(S S S S)= 0,4 · 0,7 · 0,7 · 0,7 ≈ 0,137
opgave 62
opgave 65
Kansen en formules
In vaas I zitten 11 knikkers. Daarvan zijn er x rood. De rest is zwart.In vaas II zitten 6 knikkers. Daarvan zijn er x rood. De rest is zwart.
a P(rr) =
b P(zr) =
c Voer in y1 =
Maak een tabel:Je ziet dat dat y1 maximaal 0,4545 is bij x = 5 en x = 6.
Dus bij 5 rode en 6 zwarte knikkers in vaas I en5 rode en 1 zwarte knikker in vaas II.En bij 6 rode en 5 zwarte knikkers in vaas I en6 rode en geen zwarte knikkers in vaas II.
2
11 6 66
x x x
211 (11 ) 11
11 6 66 66
x x x x x x
211
66
x x
Trekken met en zonder terugleggen
9.4
a P(2r) = P(2r en 3w) = ≈ 0,417
b P(2r) = P(2r en 3w) = ≈ 0,316
c P(2r) = P(2r en 3w) = ≈ 0,309
d P(2r) = P(2r en 3w) = ≈ 0,309
32
73
105
302
703
1005
3002
7003
10005
.
.
.
opgave 73
30002
70003
100005
.
9.4
Kleine steekproef uit grote populatie
Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag jetrekken zonder terugleggen opvattenals trekken met terugleggen.
9.4
opgave 75
a P(geen bijtende stoffen) = 0,8510 ≈ 0,197
b P(8 brandende en 2 bijtende) = · 0,608 · 0,152 ≈ 0,017
c P(minstens 9 brandbare) = P(9 brandbare) + P(10 brandbare)
= · 0,609 · 0,40 + 0,6010 ≈ 0,046
108
109
9.4
opgave 79
a P(één van de twee) = · 0,18 · 0,82 ≈ 0,295
b P(minstens 2 van de 8) = 1 – P(0 of 1) = 1 – (P(0) + P(1))
= 1 – (0,828 + · 0,18 · 0,827) ≈ 0,437
c 20% van 85 is 0,2 · 85 = 17
P(17 van de 85) = · 0,1817 · 0,8268 ≈ 0,096
21
81
8517