Hermann Weyl - Szimmetria

5/28/2018 Hermann Weyl - Szimmetria

1/113


2/113


3/113

LOSZes bibliografiai megjegyzesek

A kisse kodos szimmetria= aranyok harmonia ja foga-lomtol elindulva e negy eloadas eloszor fokozatosan ki-bont ja kiilonfele alakjaiban szimmetria geometriaifogalmat: ketoldali, eltolasi, forgasi, ornamentalis, vala-mint kristalytani szimmetriakent, majd a mindezekbenaz egyedi alakokban benne rejlo altalanos eszmehezemelkedik, nevezetesen valamelyelemkonfiguracionak egyautomorf transzformaciok alkotta csoportra vonatkozoinvarianciajaig. Celom ket tos : szeretnem egyreszt meg-muta tn i a szimmetriaelv alkalmazasanak oriasi valtoza-tossagat a miiveszetekben, az elo eselettelen termeszet-ben, masreszt lepesrol lepesre megvilagitani a szimmetriaeszmejenekfilozofiai-matematikaijelentoseget. E masodikszandek a szimmetriaelmelet es a relativitaselmelet fogal-mainak osszevetesere kesztet, az elso valora valtasabanpedig szamos illusztracio segit.

Konyvem olvasoiul a tudos hozzaertokenel szelesebbkorre gondoltam. A konyv nem kertili a matematikat ez meghiusitana celjait), a problemak tobbsegenek resz-letestargyalasa,igy ateljesm atematikai taglalas azonbanmar meghaladnakoret.Azeloadasok melyek kisse mo-


4/113

dositva a szerzonek a Princeton Egyetemen 1951 febru-arjaban tartott Louis Clark Vanuxem-eloadasait eleveni-ti k fel, bovt i l t ek meg ket, matemat ikai b izonyi tasokkalfoglalkozo f i iggelekkel .

A targykorrel foglalkozo m as ko ny v e k , peldaul F . M.Jaeger klasszikus miive, a Lectures on the principle ofsymmetry and its applications in natural science Amste r -dam and L ondo n, 1917) vagy Jacques Nicolle ujabbkeleti i, joval kiseb b t er jedelmu konyvecskeje : L a symetrieet se s applications Paris, Albin Michel, 1950)az anyagnakcsak egy reszet olelik fel, bar a maguk teri i leten reszle-tesebbek. A szimmetria csak szereny oldalhajtas D ArcyThompson h a t a lmas mu nka j ab an , az On growth andform cimu miiben lijk iadas : Cambridge , Engl . , and NewYork, 1948). Andreas Speiser: Theorie der Gruppen vo nendlicher Ordnung 3. Aufl., Berlin, 1937) cimii ko ny v ees egyeb m unkai fontosak a targyesztetikaies matemati-kai aspektusanak a t tekinteseben. A Jay Hambidge-fe leDynamic Symmetry Yale Un ivers ity Press, 1920) acimen kiviil nemigen mutat rokonsagota jelen konyvvel.Talan aStudium Generalenemet fo lyo i rat sz immetr iavalfoglalkozo, 1949. jiiliusi szama all hozza legkozelebb Vol. 2., 203-278. old.; csak mint Studium Generaletfogjuk idezni).

Az illusztraciok forrashelyenek felsorolasa a ko ny vvegentalalhato.

Halaskoszonetetmondoka Pr inceton Egyetemi Nyom-danak mindazert a kiilso es belso gondossagert, mellyele kis kotetet elhalmoztak; nem kevesbe oszinten koszo-

n o m a Pr ince ton Egyetemnek, hogy modot adot t ehattyiidallal biicsiit vennem az Institute of AdvancedStudyto l valo visszavonulas kiiszoben.

Hermann WeylZurich 95 decembere


5/113

KETOLD LI SZIMMETRI


6/113

KETOLDALI SZIMMETRIA

H a nem tevedek, a szimmetria szot a mind ennap inyelv-ben ketfele ertelemben hasznal juk . A z egyik szerint asz immetr ikus va lami aranyos, kiegyensiilyozott, a szim-metria pedig az a fajta osszhang, mely egyes reszeketegessze egyesit.A szepseg kapcsolatban al l a szimmetria-val. gy hasznalja a szot Poliikleitosz, kit az okoriakszobrainak tokeletes harmonia i aranyaiert magasztal-tak , s akikonyve t irt azaranyokrol . Diirer az 6nyo md o -kaiban halad az ember i tes taranyok k ano nba foglala-saval.1 Ebben az erte lmeben a fogalom nemcsak a ter-Diirer: Vier Biicher von menschlicher Proportion, 1528. Maga

Diirer va lqjaban sohasem hasznalta a sz immetr ia szot, de abara t ja tol , Joachim Camerariusto l valo ,J6vahagyott latinforditas a De symmetric partium cimet viseli. Poliikleitosznaktu lajdoni t jak a kijelent^st (jiegi / J e A o T r o t f x d J t IV,2), hogy ,,igensok szam alkalmazasa szinte h ibat lanna teheti a szobrot . Lasdm eg Herbert Senktol: A u sujet de 1'expression avfifierglx dansDiodore, I, 98, 5-9, a Chronique d Egypte 6 (1951) 63-66.oldalan. Vitruvius megal lapit ja : , ,Szimmetria aranyossagbol fa -kad...Aranyossagazegyesreszek osszemerhet6sege azegesszel.Kidolgozottabb modern megkb'zelitfet talalniez i ranybanGeorgeDavid BirkhoflF:Aesthetic measure (Cambridge, Mass., Harvard

13


7/113

beli alakzatokra vonatkozik, a sz inonim , ,ha rmoniainkabb hangtani es zenei a lka lmazasokra m uta t , m intsemgeometr ia iakra . Az Ebenmass a neme tben jo egyenerte-kese a gorog sz imm etria szonak, m inthogy em ehhezhasonloan je lent i a ,,mertek -et is , a kozeputa t , melyreArisztotelesz Nikomakhosz i Etikaja szerint az erenye-seknek torekedniok kellcselekedeteikben,smelye tGale-nosz D e temporamentiseben a ket szelsosegtol egyaranttavol eso lelkiallapotnakirle: a v f i f j s T ^ o v oneq ExareQov i a > v

A merleg kepzetetermeszetes fogodzot ad a szo ujabbidokben meghonosodot t masodik je lentesehez: a ket-oldali szimtnetridhoz, jobb es bal szimmetr iajahoz, melyolyannyira je l lemzo a magasabb rendii allatok, de legki-valt az ember test i felepitesere. M a r m o s t e ketoldaliszimmetr ia szigonian geometr ia i fogalom, es az elobbi,homalyos szimmetriafelfogassal szemben teljesseggel sza-batos. Valam ely test , terbeli alakzat szim m etrikus egyadott E sikra nezve, ha az -re tiikrozve visszajut 6n -magaba . Az E-re merolegesen vegyunk fe l eg y tetszesszerinti / egyenest, az egyenesen pedig egy tetszes szerintipp o n t o t ; az /egyenesmas ik felen egy escsak eg yolyanp pont lesz, m elyazE siktol ugyanekkoratavolsagravan.A p pont csak akkor egyezikm e g ap-ve l ,ha azrajta va naz E n. A zE ievalo ti ikrozes a ternek onm agara valoS:p / > lekepezese, amely barmely/? pontot zE-velUniversity Press, 1933) c.konyv^benes ,,A mathematical theoryof aesthetics and its applications to poetry and music c immel

tartotteloadasaban:Rice Institute Pam phlet Vol. 19(July, 1932),189-342. old.

14

P

1.abra.Tiikrozes az E egyenesre

vettti ikorkepe beviszat. E gy lekepezesmeghatarozott, haeg yadott szabaly mind en/?ponthoz hozzakapcsol egy /? 'keppontot .M aspe lda :eg yfiiggolegestengelyko riili,mond-juk30-oselforgatasminden^pontotatviszegy/?'pontba,sezaltal lekepezest hataroz meg. Egy alakzat forgasszim-m etr ikus egy /tengelyre vonatkozolag,ha m ind en/kor i i l iforgatassal onm agaba jutvissza. igy aketoldali szim m etriaaze lso peldaatukrozesre , forga tasravagyhozzajuk hason-16muveletret amaszkodoszimm etriafelfogasra. Teljes for-gdsszimmetriajuk miat t tekintettek a pitagoreusok alegtokeletesebb alakzatnak a sikban a kort , a terben agombot . Arisztotelesz gomb alakot tulajdonitott az egi-testeknek, minthogy barmi m as csorbat ejtett volna egitokelyiikon. E hagyomanybol adodoan szolitja egy mo-dern kolto2 nagy szimmetrianak az Isteni Lenyt :1AnnaWickham,,,Envoi , aThe contemplative quarryc.kotetb61,

Harcourt,BraceandCo., 1921.15


8/113

Isten, te Nagy Szimmetr ia ,K i vagyaim csak tiizeled,6, add:ameddo buzgalomnakSzakadjanak meg napjai,S nevedben vegre va lamiTokeletest is letrehozzak.

A sz immetr ia barmily sziiken vagy tagan fogjuk is feljelenteset olyan fogalom, mellyel az ember hossziikorokon at igyekezett a rendet, szepseget es tokeletesse-ge t megerteni es megalkotni.A z eloadasok menete a kovetkezo lesz. Eloszor resz-letesebben targyalom a ketoldali szim me triat, es a mu-veszetekben, az elo s elettelen termeszetben jatszott sze-repet. Ezutan ezt a fogalmat fokozatosan a l ta lanos i t juk,a peldaban m ar elofordult forgasi sz immetr ia megjeloltei ranyban, elobb csak a geometria koren beliil; kesobbmar e ha tarokat a matematikai absztrakcio reven a t-hagva olyan litra lepiink, mely egy teljesen altalanos ma-tematikai fogalomhoz vezet el, a szimmetria valamennyiegyedi megnyilvanulasa es alkalmazasa melyen minteg yott rejlo platoni ideahoz. E keplet bizonyos fokig mindenelmeletiismeretetjellemez: valamilyen altalanos,de kor-vonalazatlan elven kezdjiik (szimmetria a szo elso ertel-meben), azutan talalunk egy fontos esetet, ahol pontos,konkret ertelmet adhatunk e fogalomnak ketoldali szim-metria), majd ettol ujra az altalanossagig emelkediink,most m ar sokkal inkabb matematikai konstrukciotol eselvonatkoztatastol,mintsem filozofiai abrandoktol vezetve;ha szerencsenk van, legalabb olyan egyetemes fogalommal16

vegezziik, min t amily ennel kezdtiik. A fogalom sokatveszthet erzekletessegenek vonzerejebol, de a gondolatokbirodalmaban valtozatlan vagy eppen nagyobb osszefogoerovel bir, es a homalyos helyett szabatos.

A ketolda li szim me triat ezzel a nagyszerii, az i. e. IV.szazadbol valo szoborral, eg y imadkozo fiii szobravalkezdem fejtegetni (2 . abra), hogy szinte m ar m in t sz im-bolumban erzekeltessem vele e szimmetriafaj ta fontos-sagat az eletben, a miiveszetekben. Kerdezheti va laki:a szimmetria esztetikai erteke az eletben jatszott szereperetamaszkodik-e, avagy az esztetikai ertek fiiggetlen szar-mazasii? Hajlamos vagyok Platonnal azt gondolni, hogymindkettonek a m atematikai idea a for rasa: a termeszetiszimmetria a termeszetet kormanyzo matematikai torve-nyekbol ered, a miiveszeti pedig az alkoto miivesznek azideara valo intuit iv raerzesebol; mindazonalta l hajlandovagyok elfogadni, hogy a muveszetben emellett meg azemberi test kulso megjelenesenek ketoldali szimmetriajais hatot t .

A zokorinepek kozott asumerok lathatolagkiilonosenkedveltek a szigoni ketoldali vagy heraldikai szimm etriat.Egy jellegzetes minta az i. e. 2700 koriil Lagas varosabanuralkodo Entemena kiraly hires eziistedenyen szembe-tekinto, oroszlanfejii sast abrazol, a sas labai egy-egyoldalnezetben latszo szarvas hatan nyugszanak ; a szarva-sokraelolrol oroszlanok rontanak a felso sor szarvasaitaz also sorban kecskek valtjak fel) (3. abra).A sas pontosszimmetriajat nyilvanvaloan csak kettozessel lehet a tobbiallatra is kiterjeszteni. N em sokkal kesobb a sas mar ket,clienteles oldalra fordulo fejj el jelenik meg, a formai


9/113

3 dbra

szimmetriaelv igyteljesen folebekerekedik a termeszethuutanzas elvenek. Ez a heraldikai kompozicio azutantovabbkovetheto Perzsiaban Sziriaban majd Bizancbanes aki mar avilagonvoltazelsovilaghaboruelott emlekeznifog aketfeju sasraacari Oroszorszages azOsztrakMagyar Monarchia cimereben.

19


10/113

Nezziik most ezt a su mer kepe t 4.abra . A ket sasfejCiember m a j d n e m s z im m e t r i a ba n a l l , de megsem egeszen ;mier t n e m ? Egy / egyenesre va lo s ikgeometr ia i t i ikrozeselvegezheto a s i k n a k az /egyen eskoriil i 180-os elforga-tasaval. Ha a karokra tekin tenek, az t fog jak mo n d an i ,hogy e ket szornyalak i lyen e l fo rgatassal adodik egymas-bol; a terbelisegUket fel idezo takarasok kovetkezteben esikbel i kepnek nem is lehetke to ldali sz immet r ia ja . A mii-vesz megis e r r e t o r eked e t t , felig e l fo rd i tva a szemlelotola ket a l ako t , s eszer in t e l rendezve meg a sza rn yaka t es alabakat is : a bal o l d a l i a l akn ak ajobb szarnya haj lik le ,a jobb o l d a l i n aka bal .

Gyako r i a s z i m m e t r i aa bab i lon i hengeres pecsetnyo-mok m i n t a i n . H a j d a n i kol legam, n eha i Ernst Herzfe ldgyii j t emenyebol emlekszem olyan ra jz i iakra , me l yekenvalamely o ldal ro l megmintazo t t is t ensegnek a sz immet-r ia kedveer tnemcsak afeje vo l t megket tozve,ha ne m b ika-teste is, ketto helyett negy ha tu l so labbal . A keresztenyidokben az l i rvacsora egyes abrazo lasain t a la ln ihasonlot,m i n t ezen a b izanci ostyatanyeron i s 5 . abra , aho l kets z im m e t r ik us Kr i s z t u s f o rd u l a t an i t van yo k fele. De i t ta sz i mmet r i a nem tel jes, es ez t u l m u t a t a f o r m a n : Kr isz-tus azegyik o ldalon ugy a n i sken yeret to r , a m a s ik onbortont.

Sumer es Bizanc ko zo t t vegyuk Perzs ia t : ezek a mazasszfinxek 6 .abra Dareiosz Marathon idejen epiilt sziizaipalo ta jabo l v a l ok . Az Egei - tengeren a tkelve a t ir iinsziMegaronban t a l a lu n k ezekre a keso hel lasz-kori, az ido-szamitas elott i 1200-as evekbol maradt p a d l o m i n t a k r a 7 . abra . A ki erosen hisz a tor tene lmi fo ly tonossagban

21


11/113

6 Abra

es kolcsonhatasokban, az a tengeri elet kecses ab razolasat,a delfint es a nyolckarii polipot akorabbi idokbol Kretaminoszi kultiirajaig m eg fogja talalni, a heraldikai szim-metriaban pedig vegso soron sumer hatast fedezhet fel.Ezredeveket atugorva is latjuk miikodni e hatasokat ,ezen az i. sz. XI. szazadi tablan 8.abra , melyaz italiaiTorcello domjanakszentelyracsabolvalo.A szololevelekkozt fenyokutbol iv o pavak okereszteny szimbolumai ahalhatat lansagnak; a hera ld ikus szerkezeti szimmetriakeletiszarmazek.

23


12/113

A k e l e t i n e k e l l e n t e t e k e p p e n a nyugat i mi ivesze t a h o g y a n m a g a az e let is h a j lamos e nyh i te n i , fe lo ldani ,m o d o s i t a n i a szigorii s z immetr ia t , so t a k a r m e g t o r n i is .Megis r i tka , hogy az asz immetr ia pusz tan csak a sz imme tr iah i a n y a v o l n a . M e g a z a s z i m m e t r i k u s k o m p o z i c i o k b a n i st a l a l n i s z i m m e t r i a t , m i n t z s i n o rm e r t e k e t , m e l y t ol e l t e rn in e m fo rmai termeszet i i e rok k e s z t e t n e k . U gy ve lem, jo lpeldazzak ez t a c o r n e to i Tr ic l in ium h ires e t ruszk s i r-emlekenek lovasa i (9 . abra) . M a r e m l i t e t t e m a z l irva-csora -abrazolas k e n y e re t e s bor t o sz to ke t tos Krisz tusa t .Ezen a m o z a i k o n , me ly a z U r m e n n y b e m e n e t e l e t a b r a -zolja, e s a s z ic i l ia i Monrea le ka tedra l i saban l a th a to , ak o z e p p o n t i csopor toza t , Maria s o ld a l a n a k e t a n g y a l ,m a j d n e m toke le tesen sz imm etr ikus (10 . abra) . ( A mozaikfolott e s a l a t t futo szalagdisszel a m a s o d ik e lo a d a s ba n24

f o g l a l k o zu n k majd . ) A s z i m m e t r i a elve kevesbe szi-gor i ian e rvenyes i i l egy , Krisz tus t angyalokto l 6 vezvea br a zo lo , k o r a b b i m o z a i k o n , a r a v e n n a i Sa n A p o l l i n a -re b a n (11. abra) . A m o n re a l e i m o z a i k o n M a r i a p e l d a u ls z i m m e t r i k u s a n , a ldas t oszton t a r t j a a ke t keze t , i t t csakcsupa jobb k ez e m e l k e d i k fel. M e g n a g y o b b t e re t n y e r ta z aszimmetria a kovetkezo kepen (12.abra , a velenceiSan Ma rco do mb ormu vu bizanci ikon jan . Ez egy deeszisz,

10 dbra

25


13/113

ffi,hT6 fflS ffift^^

dbra

12 . dbra26

e s t e rmesze tes , hogy a ke t a lak, aki i rgalomert konyo roga vegiteletet hirdeto Orokkevalo oldalan, nem lehet egy-mas nak tukorkepe, leven a jobboldalt allo a Sziizanya,a bal oldaliKeresztele Szent Janos. A megbontot t szim-metr ia pelda jakepp gondo lha tnak a keresztfa ket oldalanallo M ar ia r a es Janos evangelistara is .

I t t , ahol a keto lda l i s z immetr ia szabatos matematikaifogalma az Ausgewogenhei t homalyba veszo fogalmava,kiindulasi pontunk kiegyensulyozot t kompozic iqjava o l-dod ik ,m ar ny i lvanva loan f o n n a k a d u n k . ,,A s z immetr ia mo n d j a Dagobert Frey A miiveszeti szimmetria problemd-jdrol cimii c ikkben 3 nyugalmat es kote lmet fejez ki ,az aszim me tria mozgast es oldodast, ren det es torve nytaz egyik, a masik 6 nkenyesseget es veletlenseget, formaiszigort es kenyszer t amaz , ez eletet, jatekot es szabadsa-got. Isten vagy Krisztus mint a z orokkevalo igazsag vagyjo g sz imbolumai mindig sz immetr ikusan, szembol van-nak abrazolva, sohasem o ldalrol . Valosziniileg hasonlookok miat t tukorsz immetr ikusak a kozepiiletek es a temp-lomok , legyenek akar gorog t emplomok, akar keresztenybazilikak vagy k atedral isok . Bar az is igaz, hogy a gotik uste mp lomoknak ne mr i tkan nem egyforma a ket t o rnyu k ,ahogyan pe ldaul Char tres-ban is . Enne k oka azonbanszinte mindenkor a katedralis torteneteben keresendo,abban, hogy a to rnyok kiilonbozo korszakokban epiil-tek. Er the to , hogy egy kesobbi kor mar n em er i be azelodok elgondolasaval , ennelfogva i tt torteneti aszimmet-*Ausgewogenheit = kiegyensiilyozottsag. A ford.)8StudiumGenerale ,276. old.

27


14/113

riarol beszelheti ink. Tiikorkepek ot t ke le tkez nek, aholvan tiikor, akar a taj kepet visszavero toti ikor, akar azasszonyok arcmasat visszaado iivegtukor. A termeszeteppiigy el e motiv um mal, mint a festok. Gon dolom, azon-nal esziikbe jutnak ilyesfajta peldak. M i n t h o g ydolgozo-s zobamba n m i nd enn a p l a tom, nekem Hod l e r Silvaplana-tava a legismerosebb.Jol lehet a miiveszetrol lassan m ar atteriink a terme-szetre, a l l junk meg meg nehany percre , es beszeljiink ajobb es ba l matematikaiertelmetol A t u d o m a n y szamaraj o b bes bal kozt nines benso kiilonbseg, ellentet ,m i n tv anpeldaul h im es nosteny, vagy egy allat eliilso es hatulsofele kozott. M i a jobb es mi a bal: ez t csak onkenyesvalasztassal lehet eldonteni . De ha ezm egtor tent egyet lentes tre vonatkozolag, akkor mar m eg van ha tarozvaminden mas testre nezve is. E hhez nem i magyaraza totkell f iiznom. A terben a job b es bal kozotti kiilonbseg-tetel eg y csavar i ranyi tasahoz kotodik . Ha balra fo rd u-lasrol s zo lunk ,aztertjiik rajta, hogy e l fordulasunk i ranyaalab un k to l fejiinkig muta toi rannyaleg yiit tesen balcsavartkepez. A Fold napi forgasa a Deli-sarktol az Eszakifele muta to tengelyiranyi tassal : balcsavar, a tengely tellenteteseni ranyi tvaviszont jobbcsavar.* Leteznek olyan,optikailag aktivnak nevezett kristalyos anyagok, amelyek* A szerzo szohasznalataval szemben a szokasos megallapodas az,

hogy a csavarmozgas jobb menetu vagy jobbra csavarodo ha ahaladasi r anyabanezve a koriilforgas i ranyat azo ra m uta to koriil-jarasi i ranyaval megegyezonek la t juk. Es zerint balra fordulask orforgasunk iranya labunktol fejiink fele mutato irannyal k o m b i -nalva jobbcsavart kepez. S . Gy.

8

felepitesiik belso aszimmetr ia ja t a polaros l eny polari-zacios sikjanak balra vagy jobbra forgatasaval aruljakel; ugy ertve ezt, hogy a s i kna k a feny adott beesesi ira-ny a hoz tar tozo forgas i ranya es a fenyterjedesi i ranyegyiit t balcsavart a lkot vagy az esettol fiiggoen eppenjobbcsavart). M i d o n az elobb az t m o n d t u k i t t most aleibnizi szohasznalattal elve hogyjobb es bal megku-lonboztethetetlen azt akar tuk kifejezni, hogy a ter belsoszerkezete az onkenyes valasztas adta lehetoseget nemszamitva nem ad m o d o t kii lonbsegtetelre balra esjobb ra csavarodas kozott.

Szeretnem e sarkalatos fogalmat meg tovabb pontosi-tani , minthog y ra jta nyu gszik az egesz relativitaselmelet,maga is ujabb megnyilvanulasa a szimmetrianak. Euklei-desz szerint a ter s t ruk turaja leirhato nehany, pon tokkozot t i vonatkozassal ,olyanokkal ,m i n t : azA B C harmaseg y egyenesen fekszik; az ABCD negyes egy s ikban; azAB kongruens CD-vel 13 . abra). A terszerkezet leira-sara talan a Helmhol tz altal hasznalt modszer a legjobb;ez egyediil az alakzatok egybevdgosdganak fogalmaraepit. A ter egy S lekepezese minden p ponthoz hozza-

13 abra29


15/113

rendel eg yp pontot. Egy S esS :p - p es p - p leke-pezespart, melyben a lekepezesek egymasnak inverzei,vagyis ha S a p -t//-be viszi, akkor S e p -t visszaviszip-be,es viszont,kolcsonosen egyertelmii lekepezesparnakvagy t ranszformdcidpdrnak mond anak. Az olyan t ranszfor-maciokat, melyek megorzik a terszerkezetet s ha eszerkezetet Helmholtz modszerevel ir juk le, ez anny i ttesz, hogy azilyentranszformacio barmelyket, egymassalegybevago alakzatot ismet egymassal egybevago alak-zatokba visz at tehat az ilyen transzformaciokat amate mat ikusok au tomor f i zmusoknak nevezik. Leibnizfedezte fel, hogy e gondolat rejtozik a hasonlosag geo-metriai fogalmanak melyen . E gy automorf izmus minde nalakzatot olyanba visz at , mely Leibniz szavaival elve,,tole megkiilonboztethetetlen, ha az alakzatokat o nm a-g ukban tekintjiik . Jobb es bal egylenyegunek nyi lvan i -tasan azt a tenyt ertjiik, hogy a s ikbel i tukrozes au tomor-izmus

A tere t mint magaban levot a geometr ia vizsgalja. D ea te r az osszes fizikai esemenynek is kozege. A fizikaivilag szerkezetet az altalanos termeszeti torvenyek tarjakfel. Ezek bizonyos alapmennyisegek reven fogalmazodnakmeg, melyekaterneksidonek fiiggvenyei. H a etorvenyeknem lennenek mindenest i i l invar iansak a tiikrozesre,akkor arrakovetkeztethetnenk,hogy kepiesen szolvaa ter f izikai szerkezete ,,csavart rejt . Ernst Mach emliti ,micsoda szellemimegrazk odtatast elta t g y e rme kkoraban ,azt tanulvan , hogy a magnestli bizonyos iranyban aramotvivo vezetekfolefuggesztvebalravagyjobbrakiter(14.ab-ra).Mivelazegesz geom etriaies fizikaielrendezes,az elekt-

14. dbraromosaramotesa magn estli eszaki es delisarkatisbeleertve,min den latszat szerint szimm etrikusavezetekenes a tuna t-m e n o ^ s i k r a ,am agnest iinekligy kellen ereagalnia,min tB u-r idan szamaranak a ketegyforma szenacsomo kozott, meg-tagadva a valasztastjobbes bal kozott,ahogyan azegyen-16sulyokka l terheltegyenlokarum erleg sem billensejobb-ra, sebalra, hane m v izszintes marad . D e alatszat nehameg-teveszto. A gyermek Mach dilemmaja abbol fakadt, hogynagyon is hamar itelte meg, milyen hatast tesz a tukrozesaz elektromos aramra , valamint az eszaki es deli magnes-sarokra.M ig azt a priori tudjuk,m i tortenik tiikrozeskora geometriai objektumokkal, a fizikaim ennyisegekvisel-kedeset a termeszettol kell megtanulnunk. Es mit tala-

31


16/113

l u n k : azE sikra va lo tiikrozeskor az a ra mi ra ny meg ma -rad , e l lenben az eszaki es deli sarok felcserelodik. Perszeezajobb esb al egyenrangiisagat helyrealli to k i u t egyediila pozit iv es negativ magnesseg lenyegi egyenlosege foly-t an j a rha to .A ketsegek mind elosz lo t tak, am iko rkideriilt ,hogy a tii magnessege molekularis termeszetii , a t ii iranytkor i i l fo lyo elekt romos a ramok to l ered ; nyi lvanvalo,hogy azE sikra t i ikrozve az ilyen a r a m o k folyas i ranya azel lenkezqjere v al tozik .A vegeredmenytehat az,hogya zegeszfizikabans e m m isem latszik belso ki i lonbsegre uta lni jobb es ba l kozot t .Mikent egyenertekii a ter 6 'sszes pontja esi ran ya , egyen-ertekii ajobb es bal is.Helyzet , i rany,jobbes bal viszonylagos foga lmak. Teologiava l athatot t st i lusban e relat ivi-tasi kerdes hosszasan taglaltatott Leibniz es a N e w t o nszoszolq jakent fellepo Clarke lelkesz kozott hires vita-j u k b a n .4 Az abszolut terben es idoben h ivo Newton amozgasban bizonyi tekot latott a vilag Isten szabad aka-ratabol valoterem tetesere,h iszki i lonben megfoghatat lanvo ln a ,miert mozog az anyageppebben, s nemvalami lyenm as i ran yban . Leibniz ovakodik Istent affele dontesekkelt e rh e ln i , m in t az ,,elegseges ok h ian ya . Ezt m o n d j a :,,A teret magaban is va lon ak feltetelezve keptelensegokat adni, miert helyezte Isten a testeket (kolcsonos ta -volsaguk es viszonylagos helyzetiik bolygatasa nelkiil)eppen erre a kiilonlegeshelyre,s nem valahovamash ova;4Lasd G. W .L ei bn i z ,Philosophische Schriften (Gerhardt kiadasa-

ban, Berlin 1875 es u t a na ) VII, 352-440. olda ldt , kulonosenLeibniz ha rma di kleveled, 5 .

32

pd lda na k okaert nem fordi to t t rendben, felcserelve Kele-tet es Nyugatot . H a v i sz on t a ter nem egyeb, mint a dol-gok terbel i rendje es v iszonya , akk or az imen t ike tal lapot ,avalosagose s aforditot t ja, semmibens em k i i l o n b o z i k . . .es kovetkezeskeppen teljes ertelmetlenseg azt kerdezni ,miert volt e lobbrevalo azegyik a l lapot a ma s ikka l sz em-ben. A jobb es bal problemajan elmelkedve Kant juto t teloszor a ter es id o szemleleti formakent va lo felfoga-sara.5 Igy la t sz ik velekedni : H a a teremtesben Isten elsocselekedete egy bal kez megalkotasa vol t , akkor e kez,m egm ielott barmi egyebbel b 'sszehasonlithato lett volna ,m ar birt a bal megkii lonbozte to jegyevel, mely jegy csakintuit ive foghato fel, foga lmi lag soha. Leibniz tagadjaezt : szerinte mit sem szamitot t volna , ha Isten eloszor,,jobb kezet teremt, s nem,,balt .A teremtest egy lepes-sel tovabb kell kovetni , ahol m ar lehetseges elteres. H aIsten ahelyett , hogy eloszor egy bal kezet , majd egy job-bot teremt, jobbot esmeg in t eg yjobbot csinal , n em elsotettevel masitotta volna meg a vilag arculatat , han em amasodik k a l , midon o lyan kezet alkotot t , mely egyformairanyitasii az elsovel, nem pedig ellentetes.A t u doman yos gondolkodas Leibniz part jan all .A mit ikus gondolkodas m indigis az ellenkezo velemenyenvolt, a m i n t ez k i t un ik a jobbnak es ba lnak oly szogesel len te t sz imbolumakent valo hasznalatabol , min t a joes rossz. Eleg, ha csak ajobb szo ket tos jelentesere gon-do lunk . A Sixtus-kapolna nevezetes Michelangelo-mii-5,,Kritik der reinen Vernunf t - j a mel let t lasd meg kivalt aProlegomena zu einerjeden kunftigen Metaphysik 13.-at.

33


17/113

15 . dbra

venek, azAdam teremtesenek (15 . abra) e reszleten az Urjobb felol, jobb kezevel bocsat eletet Adam baljaba.A z emberek j obb j ukka l fognak kezet. A latinban a

sinisterszojeloliabait,es a heraldikaban ma is ezt mo nd-ja k a pajzs ba loldalara.De asinistrum egybenarosszis,es akoznap i angolsagban a latin szonak csak ez a kepesertelme maradt fenn. 6 A Krisztussal megfeszitett ketlatorkozulajobbkezefeloliju t majdvelea paradicsomba.Szent Mate ig y irja le az utolso iteletet (25. Resz) : ,,Esallattya a Juhokat jobb keze felol, a ketskeket pedig balkeze felol. Akkor az t m o n d g ya a kiraly azoknak az kik6Tudomasom van arrol a furcsa tenyrol, hogy a roma i auguroknyelveben a sinistrum mint terminus technicus6pp ellenkezo 6rte-

lemben, kedvezo jelent&ben volt hasznalatos.

az 6jobb keze felol lesznek: Jertek el en Atyamnak al-dottai, birjatok az orszagot, mely megkeszitetett nektekez v i lagnak fundam entomanak fe lvetese elott. . . .A k k o rszolazoknak is kik az 6 bal kezefelollesznek, ollyanm o -don: Atkoztak , mennyetek el en tolem, az orok tiizre,mely keszitetett az Ordognek es az 6 Angyalinak. *

Eszembe ju t Heinrich Wolf f l in eg y hajdan Ziirichbentartott eloadasa, a ,,Jobb es bal a festeszetben ; rovidi-tett a lakban , ,Az inverz io (Um kehru ng)Raffael lo karpit-terveiben cimii cikkel egyiitt megtalaljak a Gedankenzu r Kunstgeschichte, 1941c. muveben. Szamos peldaval ,ig yRaffael lo SixtusiMadonnd]ava\s Rem br and t A hdromfa cimii rezkarcaval igyekezett k imu ta tn i , hogy a jobb-nak mas a Stimmungswertje,** min ta bale. Ugyszolvanminden sokszorosi to modszer folcsereli a jobbot es abait , s mintha a korabbi idok kevesbe lettek volna erze-kenyek az effele megforditasra . (Meg Rembrandt semata l lo t ta a Levetel a keresztroli oldalfo rditott rezkarcbanarulni a piacon.) Tekintve, hogy mi sokkal tobbet o lva-sunk, mint mondjuk a XVI. szazadiak, kezenfekvo a fol-teves, hogy a Wolf f l in altal kimutatott kiilonbseg ossze-fiigg a balrol jobbra olvasas szokasaval. Ahogy emlek-szem, maga elutasitotta ezt a felfogast, akarcsak az elo-adas utani eszmecsereben felhozott szamos egyeb lelek-tan i m agyaraza to t . A nyomtato t t szovegazzal a megjegy-zessel zarul , hogy a problemanak ,,nyilvanvaloan melyeka gyokerei, es erzekelesiinknek legmelyebb alapjaiig* Karoli Gaspar Vizsolyi.

** Stimmungswert :hangulati ertek. A ford.)5


18/113

nyiilnak . Ami engem il let , ennyire talan ne m veszemkomolyan adolgot.'A jobb e s ba l egyenrangusaganak bizonyossagat megegyes, mindjart emli tendo tenyek se mrend i te t tek meg atudoman y ban , meg ha o l y ba tiint i s , hogy inkabb cafol-ja k az ekvivalenciat , m i n t az i f j u Mach o t annyi ra meg-razo magnesti iki teres. Ugyanilyen egyenertekiisegi ker-des meriil fel az idoi rany megfordi tasakor felcserelodomultat esjovot, valamint apozitiv es negativ elektromos-sdgot illetoen. Ez esetekben, kivalt a masodikban, talanm eg vi lagosabb, mint a j o b b b a l pareban, hogy az apriori nyilvanvalosag nem elegendo a kerdes tisztazasa-hoz, tapasztalati tenyeketkelli ranyadoul venni . Bizonyos ,hogy a mu l t nak es jovonek tud atunkban ja tszot t szerepejelzi is mar belso kiilonbsegiiket a mul t i smerheto esv ltozt th t tl n a jovoism eretlen es mostani dontesselmeg befolyasolhato s arra szami thatna valaki , hogye kiilonbseg a fizikaitermesze ttorvenyekben gyokerezik.D e mindazok a torvenyek, melyeknek meglehetosen biz-to s ismeretevel dicsekedhetiink, az idoi rany megfordi -tasara invariansak, akarcsak ajobb es bal felcserelesere.Leibniz t i sztazta , hogy az ido rmilt es jovo modu sa avilagoksdgi szerkezetereutal.S barigaz,hogya kvantum-fizika megfogalmazta pontos , ,hu l lamtorvenyek nem

7V6. meg a kovetkez6kkel: A. Faistauer,,,Linksundrechts imBilde ,Am icis ,Jahrbuchd erijsterreichischen Galerie,1926,77.old.;Juliusv.Schlosser, ,,Intornoalia lettura deiquadri , Critica28,1930, 72 .old.;Paul Oppe, ,,Right an d left inRaphael'scartoons ,Journal of the Warburg and Courtauld Institutes 7, 1944. 82 . old.

36

val toznak meg az idoi rany megford i tasaval, e torvenyekstatisztikai interpretacioja reven a valoszinviseg es a re -szecskek al tal az oksag metaf iz ikai eszmeje az ido egy-iranyusagaval egyiitt megiscsak bekeriilhet a fizikaba.M eg n agy obb bizonytalansagot hagy m ai fizikai tu da -sunk a pozitiv es negativ elektromossag egyenertekusegefelol. Neheznek ti inik olyan f iz ikai torvenyeke tk i gon -dolni , melyekben ne vo l n an ak lenyegileg e g yf o rmak;mindamel le t t a pozitivtoltesii pro ton n ak meg felfedezet-len a negativ megfeleloje.*E felig filozofiai kitero alapvetesiil volt sziikseges atermeszetijobbb alszimm etria targyalasahoz;m egkelletterteniink,hogyatermeszctaltaldnos szervezettsegerendel-kezikesz imm etr iaval .Megsemfogjuk azt varni ,hogymin-denegyes termesz eti targy maga is ilyen legyen.Meglepo,hogyajobbbalsz immetr iamegismennyiresze les k orii . En-nek oka kell legyen, s nem is kell sokaigkeresni :az egyensii-lyiallapotvalosziniienszimm etrikus. Pontosabban, olyanko'rulmenyekkozott ,melyek egyetlenegyensulyiallapototjelolnek ki, a koriilmenyek szimmetriajanak meg kel ljelennie az egyensulyi helyzetben. Ezert gomb alakiiak ateniszlabdak es a csillagok, es azvolna a Fold is, ha nemforogna a tengelye koriil.A sarkoknal belapitja a forgas,de azert atengelye kori il forgas- vagy heng erszimm etrikus.N em aforgasszimm etriaszorultehatmagyarazatra, hanema tole valo, a szarazfoldek es vizek szabalytalan eloszla-saban es a foldfeliilet apro hegykitiiremkedeseiben meg-* Ma mar a legtobb elemi r&znek,igy a protonnakis ismeretes a

toltestiikrozesseleloalloantireszecskeje. A ford.


19/113

nyilvanulo elteresek. Wilhelm Ludwig zoologiai jobbbal-kerdesrol irott monografiajaban ezert ej t csak kevesszot az allatvilagban a tiiskesboriiektol kezdve jelenlevoketoldali szimmetr ia eredeterol, anna l tobbet viszont asz immetr ikus alapokon kialakulo m asodlagos aszimm et-r iak minden fajtajarol.8 Idezem: , ,Az emberi test, aho-gyan a tobbi gerinceseke i s , a lapjaban szimm etr ikusanepiil fel. M i n d e nelofordulo aszimm etr ia masodlagoster-meszetii, es a leglenyegesebbek, a belso szerveket erintoasz immetr iak fokent abbol a sziiksegbol adodnak, hogy

a test novekedtevel a belvezetek feliilete enovekedest meghalado aranyban nagyobbod-jek, s e hosszabbodas csavarodashoz es ossze-gongyolodeshez vezet. A torzsfejlodes soranpedig ezek a belrendszerrel kapcsolatos aszim-metr iak e rendszer jarulekos szervei reven m asszervrendszerekre is kiterjednek. Tudvalevohogy az emlosok szive aszimmetrikus csavaro-dasii ahogyan a 16.abra vazlatosan mutatja.

Ha a termeszet mero torvenyszeruseg volna16 .d b ra csak, akk or m inden jelenseg osztoznek a relativi-taselmelet megfogalmazasaban adott altalanos termeszet-torvenyekteljesszimmetriajaban.Mar apusztateny,hogyne m igyvan, b izonyitja, hogyaveletlenseglenyegesvonasa avilagnak.Clarke L eibnizcelvalovitajabanelfogadtaazeleg-segesokleibnizielvet de hozzatette hogy gyakranelegseges

8W . Ludwig: Rechts-links-Problem m Tierreich un d b ei Men-schen Berlin 1932.

indoka pusztaisteniakarat.U gyvelem,ittLeibniz,a racio-nalista, hatarozottan teved, es Clarke van jo nyomon.Csakhogy oszintebb dolog lenne mindenesti i l elvetni azelegseges ok elvet, s nem Istent tenni felelosse a vilagminden kovetkezetlensegeert. Masfelol Leibniznek vol tigaza Newtonnal es Clarke-kal szemben a relativitasielv megsejteseben. Az igazsag, ahogyan ma lat juk:A termesze t torvenyeinemegyertelmiien hatarozzakmeg atenylegesen letezo,egyetlen vilagot, meg ha fel tennok is ,hogy ket, automorf vagyis az altalanos termeszettor-venyek ervenyet megorzo transzformacioval ossze-kapcsolt vilag egyugyanazon vi lagnak tekintendo.

Ha egy anyaghalmazra nezve a termeszet torvenyekbenrejloatfogo sz imm etriat csak eha lmazPhelyze tenek eset-legessege korlatozza, akkor a ha lmaz egyP koriili gombalakjatveszi fel. Azalsobbrendi i allatok, a vizben lebegoapro elolenyek ezzel osszhangban tobbe-kevesbe gombo-lyuek is. Az oceanfeneken elo fajok alakformalodasabannagyszerepevan a gravitacionak, minthogyaszimmetria-miiveletek halmazat a Pkoriili osszes elforgatasbol vala-mely tenge ly koriil i elforgatasokra szukitile.A viz, a levegoes afoldfelszin sajat erobolmozgoallatainalatest hatso-mellso mozgasi iranya es agravitacios irany mar egyfor-m an fontos szerepet jatszik. A mellso-hatso, a hat-hasoldali s ezzel ajobb-bal tengely kijelolese utan egye-diilajobbes balkozottikiilonbsegtevesmarad tetszolegesigy e fokon ne m varhato a ketoldalinal magasabbrendiiszimmetria. Azok a hatasok amelyek a torzsfejlodesbentorekednekorokletessetenni ajobbe s bal koz otti kiilonbse-geket, valoszinuleghatterbeszorulnak azallat mozgasszer-

39


20/113

veinek a csilloszorok vagy az izmok es a vegtagoksz immetr ikussagabol f ak ad o elonyok mellett : ha aszim-metr ikusan fejlodnek, az egyenesiranyii mozgas helyetta csavarszerii lett volna termeszetes kovetkezmeny. Ezmar segithet megerteni, miert engedelmeskednek veg-tagjaink hivebben a szimmetria torvenyenek, mint belsoszerveink. Arisztophanesz Platon akomdjaban mas tor-tenettel mondja el , hogyan lett a gombszimmetriabol ket-oldali szimmetria. Eredetileg igy 6 minden emberkerek volt, hata s oldala kort alkotott . Zeusz, hogy gog-jiiket eserejiiket megtorje, kettobevagta oket, s Apollon-nal megfordittatta arcukat es nemi szerveiket; Zeusz megfenyegetozott : ,,Ha ezutan sem h agynak fel a pimaszsag-gal, megint szetvagom oket, aztan majd ugralhatnak fel-labon.

A szervetlenvilagban a kristalyok a szimmetria legfel-tun6bb peldai. Az anyag ketjol meghatarozott allapotaa gaznemii es a kristalyos, melyeketa fizika viszonylagkonnyen magyarazhatonak talalt; az e ket szelsosegkozotti allapotok, mi n t a folyekony vagy a keplekenyhalmazallapot, m ar kisse nehezebben foghato meg elme-letileg.Gaznemuallapotban amolekulak szabadonmo-zognak aterben, egymastol fiiggetlen helyeken es sebes-seggel.Kristalyallapotban az atomok egyensulyi pontokkoru l oszcillalnak, mintha rugalmas szalakkal volnanakkotve. Ezen egyensulyi helyzetek allando, szabalyos ter-beli konfiguraciot alkotnak.Mit ertunk itt szabalyoson,es hogyan szarmaznak a kristaly lathato szimmetriai eszabalyosatomelrendezodesbol,ezt a kov tk zoeloadas-ban fogjuk tisztazni. Jollehet ,a geometriailag lehetseges

harmincket kristalyszimmetria-rendszer legtobbjevel velejar a tukorszimmetria,de megsem mindegyikkel.Esaholnem, ott elofordulhatnak ugynevezett enantiomorf kris-talyok, melyek jobb esbal ,,alak -ban leteznek, egymas-nakti ikorkepekent, mintajobbes a balkez.Azoptikailagaktiv vagyis a polaros feny sikjat jobbra vagybalraforgato anyagokrol felteheto,hogyilyenaszimmetrikusalakban krista lyosodnak.Ha a termeszetben letezik balraforgato, akkor varhatoan megtalalhato ajobbra forgatois, megpedig atlagban ugyanolyan gyakorisaggal. 1848-ban Pasteur felfedezte, hogy ha az optikailag semlegesracem sav a szolosav) natrium -am mon ium sojat vizesoldatabol alacsony homersekleten ujra kristalyositja,akkor ketfajta apro kristalykat kap, melyek egymasnaktiikorkepei. Gondos szetvalogatas utan a ketfajta kris-talybol felszabaditott sav a racem sawal azonos kemiaiosszeteteliinek bizonyult, csak az egyik optikailag balraforgato volt , a masik jobbra forgato. Emerrol kideriilt,hogy megegyezik az erjedo szololeben megjeleno borko-sawal, amazt addig sohasem talaltak a termeszetben.,,Tudomanyos felfedezesnek ritkan vannak olyanmessze-hatokovetkezmenyei mondja F.M.JaegerAszimmetriaelvrol es termeszettudomanyi alkalmazdsairol tartotteloadasaiban mint ennek voltak.

Teljesennyilvanvalo,hogyazoldat valamely pontjabanalighaellenorizheto veletlenekhatasara keletkezikjobbraforgato vagy balraforgato kristaly;es igy azoldat ege-szenek szimmetrikuses optikailag semleges voltaval,vala-mint a veletlen torvenyevel osszhangban akivalo balraforgato es ajobbra forgato anyagmennyiseg minden pil-

41


21/113

lanatban egyenlS, vagy csak kevessel ki i lonbozik a kris-ta lyosodas egesz meneteben. Masreszt a termeszet , meg-a jandekozvan benni inket a N o e n a k ol y n a g y gyonyor i i -segere levo szolovel, csupan az egyik fajtat allitotta elo,s Pas teurnek ma radt a mas ika t le t rehozni Ez mar csak-ugyan kiilonos. Teny, hogy a szamtalan szenvegyiiletbola leg tobb csak egy a lakban letezik a te rmesze tben , vagyaj o b b ,vagyabalvaltozat. A csigahaz csavarodasi i r an y agen e t ik a i a lka tban gyokerezo orokle tes sa ja tsag, akar a,,bal sziv" es a belvezetek tekeredese a Homo sapiensnel.Emel le t t azer t inverziok is lehetsegesek, peldaul azemberi belrendszersitusinversuss,0 ,02 szaza lekos gya ko-r i saggal ; erre kesobb meg vissza ter i ink Tes t i ink melyebbkemia i felepitese i s azt muta t ja , hogy , ,csavar" van ben-ni ink, mindi inkben ugyanolyan i ranyultsagu. Igy szer-vezeti ink gli ikozbol aj ob b ra forgato a l a k o t t a r t a lma zza ,f ruk tozbola ba lraforga tot .E genot ipusosa sz i mm e t r ian akkellemetlen m egnyi lvanulasa a feni lke tonu ria*neven is -mer t , e lmebaj t okoz o anyagcsere-betegseg, mely a k k o rtamadja meg az embert , ha e te lebe nemi ba l modosula t i ifeni l-alanin** kerii l; a j o b b modos u la tn a k n i n es ilyenveszes hatasa. Az e lo szervezetek aszimm etr ikus kemia ifelepi tesenek tu la jdoni tando, hogy e Pasteur-fele m od-

* A t u d o m a n y mai a l lasa szerint e betegseg oka: genetikai alaponkifej lodfi enzimdefektus . A f en i l -a lan in- tirozin a ta lakulas el -marad igy a fenil-piroszolosav es szdrmazekai f elszaporodnak ,amelyek a ki jzponti idegrendszert karos i t jak . A Kiado)

* * A tap la lekbol fe lsz ivodott f en i l -a lan in , mivel feherje eredetQ,mindig ba l ra forgato va l toza t . A jobbra forgato m6d osu l a t aszervezet enzimrendszereivel neml ep kolcsonhatasba. A Kiado)

42

sze r re l bakteriumok gombak elesztogombak e n z i m -hatasaval szetvalaszthatokajobbesabalmodosulatok.Ig y Pasteur azttalalta h o g y bizonyos racematok kezdet-b e n semleges oldata fokozatosan balra f o r g a t o v a v a l i k ,ha Penicil l ium gl ucum tenyesz ik benne. Az o r g a n i z m u sn y i l v a n a sajat k e m i a i f e l ep i t esehez inkabb illo borko-s a v - m o l e k u l a t v a l a s z t o t t a t a p l a l e k u l . Szokas a zar es akulcs kepeve l s z e m l e l t e t n i a sze r veze t ek e miikodesbelisajatsagat.

Tekin tve az eml i t e t ttenyeke t , 6s azt, hogy az opt ika i -la g k ozomb os a n ya gok a t t i s z t a n k emi a i eszkozokkel, ,akt iva lni" igyekvo p rob a lk oza s ok m i n d s i k e r t e len ekma ra d ta k , 9 er theto, ha Pas teur k i ta r tot t allaspontja mel-lett , miszer in t opt ika i lag akt iv vegyii leteket eloall i tanicsak az eletnek kivaltsaga. 1860-ban i r ja : ,,Ez ta lan azegyetlenha ta r oz o t tva laszvonal , melym a a hol t es az eloanyag kemiaja k ozo t t huz ha to . " Elso kiserletet mely-be n a racem sav ujrakristalyosi tassal balra esjobbra for-ga to borkosav elegyeve valtozott i gyek eze t ta levego-ben levo bakter iumoknak a semleges olda tra te t t ha ta -saval ma gya ra zn i . Ma mar b iztosan tudjuk, hogy nemvolt igaza; jozan f iz ika i magyaraza t szer in t a lacsonyabbhomersek le ten a ket , ellentetesen akt iv borkosav a lak

9 Jelenleg e gyetlen b izonyos eset ismeretes : a nitro-fahejsav b r o m -m al valo reakciqja, a ho l is cirkularisan po lar izal t feny ha tdsaraopt ika i lag ak t iv a n y a g keletkez ik . [A szerzo dltal ideze t t 6s vitat-ha t o e r e dme n n ye l jaro regi kiserletek mellett ma ma r s za mosolyan teny ismeretes,amcly az t b izonyi t ja , hogy c i rku lar i san po 4-ro s f enyben op t ika i lag inak t iv an yagb o l op t ika i lag ak t iva t leheteloalli tani. Kiado}.


22/113

elegye stabilabbasemleges racem savformanal. Halete-zik elvben kulonbseg elet es halal kozott , akkor nem azanyagi szubsztancia kemiajaban van. Ez mar bizonyos-sag,amiota Wohler 1828-ban tisztanasvanyianyagokbolkarbamidot szintetizalt. De F. R. Japp m eg 1898-ban isfenntar tot ta a Pasteur-fele allaspontot a BritishA ssoc ia-tion elott tartott egyik hires, , ,Sztereokemia es v i t 1 1 /mus c.eloadasaban,akovetkezom odos i tasban: , , K i z a -rolag az elo szervezet vagy szimmetriafogalommal biroelo ertelem produk alhatja ezt az eredmen yt (vagyis azaszimm etrikus vegyuletet). Csakugyan azt gondolja,hogy Pasteur ertelme hozz letre akiserlet elgondola-saval tulajdon maganak isamulataraa ketfele borko-savkristalyt? Japp folytatja: ,,Csak aszim metria szulhetaszimmetriat. A kijelentes igazsagat kesz vagyok el-ismerni, csakhogy erteke csekely, mivel a jovot szulojelen vilag veletlen multbeli es mai felepiteseben nincsenszimmetria.Van viszont eg y valosagos nehezseg: Miert kellett atermeszetnek az enantiomorf parokbol igen sokszor csakazt a modosulatoteloallitania, amely szinte bizonyosanelo szervezetbol szarmazik? Pascual Jordan e tenybenabbeli velemenyet latja tamogatva, hogy az elet kezdeteinem valamilyen veletlen, a fejlodes meghatarozott fokanmar itt is, ott is feltiinedezo esem enyeknek tulajdonit-hatok hanem eg y nagyon is rendkiviili valoszinutlenesetnek, mely egyszer, veletlenszeruen eloallvan, lavina-szeriien sokszorozodnikezd,onmagathajtva. Ha ugyanis,szamos novenyben esallatban, fiiggetlen eredetu aszim-metrikusproteinmolekulakvolnanaktobbhelyenestobb

idopontban is ,akkor a bal es ajobb valtozatoknak egy-forma bosegben kellene mutatkozniok. Igy ha t minthavolna valamiigazsagAdam es Eva historiajaban, ha nemis azemberine meredeteben,de azelet osformait tekintve.Voltakeppen ezekrol a biologiai tenyekrol mondot tamkorabban, hogylatszatra lenyegi kiilonbsegre utalnak ajobbes bal kozott, legalabbis ami a szerves vilag felepi-teset illeti. Bizonyosak lehetiink azonban afelol, hogyetalany megoldasa nem valamifele altalanos biologiai tor-venyekben rejl ik, hanem a szerves vilag keletkezesenekveletlenjeiben. Pascual Jordan mutatottegy k iu ta t; akad-hat, akikevesberadikalisat akarn a talalni, peldaul a foldilenyek aszimmetriajat maganak aFoldnek vagyaFoldetero napsugarzasnak valamilyen belso, min dame llett velet-len aszimmetriajara vezetve vissza. De e vonatkozasbannem ad kozvetlen segitseget sem a Fold forgasa, sem aFold es a Nap egyiittes magneses tere. Megint mas lehe-toseg volna azt feltenni: a fejlodes valqjaban az enan-t iomorf alakoknak egyenlo eloszlasaban kezdodot t , deez olyan instabilegyensiilyiallapot,hogy m ar egy csekelyveletlen zavar isfelboritja.

A torzsfejlodes jobb es bal problemaitol most fordul-junk az ontogenezis (egyedfejlodes) fele. K et kerdeskeriil it t eloterbe: Egy allat megtermekenyiilt petejenekket sejtre valo elso osztodasa kijeloli-e a kozepsikot ,vagyistartalmazz a-eaz egyik sejt a bal fel, a masika jobbfel lehetosegeit?Masodszor :Mi je lol ik i az elsoosztodaskozeps ik j a t?K ezdema m asod ikkal . A protozoaknalm a-gasabb rendu allatok petejenek kezdettol fogvavan egy po-laris tengelye, amely osszekoti azt a ket pontot amely

45


23/113

a h olyagcsira anim alis , ill. vegetativpolusava lesz.E tengelyes az apont, ahol a megtermekenyi to ondoszal a petebehatol, sikot hataroz meg, esigazan termeszetes gondo latlenne, hogy ez lesz az elso osztodas sikja. Es valoban,va n ra bizonyitek, hogy ez sok esetben all is. A jelenlegivelemeny hajlani latszik a feltevesre, hogy az elsodlegespolaritas, amint az azt koveto ketoldali sz immetr ia is, agenetikai felepites rejtett lehetosegeit valora valto kiilsotenyezok reven jon letre. A polaris tengely i ranyat sza-m os esetben nyilvanvaloan meghatarozza azeretlen pete-sejtnekapetefeszek falaho z valoodatapadasa es a megter-mekenyito ondoszal belepesi helye, mint mar mondot tuk ,legalabbis egyik, gyak ran a leglenyegesebb meg hatarozojaakozepsiknak.De mastenyezok isokolhatoka tengel y es asik rogziileseert.AFucusneviitengeri moszatbanfeny,elekt-romos tervagy kem iai gradiens jeloli k i apolaris tengelyt,egyes rovaroknal es fejlabuaknal pedig ug y tiinik, hogy akozepsik petefeszki hatasok revenmintham ara meg-te rmekenyuleselott m egvolna hatarozva.10 Nemely bio-logusok egy belso,preformalt struktiiraban keresik azt aza lapallomanyt ,amelyreahatoerokiranyuln ak; e rrol mind-10Julian S. Huxley es G. R. de Beer: lements of embryology c.klasszikus muvukben (Cambridge University Press, 1934) ezt a

megfogalmazast adjak (Chapter XIV, Summary, 438. old. ) :,,A legkorabbi szakaszokban a pete gradienster-tipusii egysegesszerkezettel bir, melyben egy vagy tobb mennyisegijellemzo eg yvagy tobb iranyban terjed ki a pete anyagaban. A felepiteselevemegszabja, kepes-e a pete valamilyenadott tipusiigradiensteretelSallitani;a gradiensek elhelyezkedese azonban nincsen eloremeghatarozva, azpeten kiviili hatoeroktol fiigg.

46

eddig nines vilagos kepiink. Ig y Conklin szivacsplazma-szerkezetrol beszel, masok sejtvazrol, s minthogy mosta-naban a biokemikusok kozott er6sodo torekves rostokravisszavezetni a szerkezeti tulajdonsagokat, olyannyira,hogy JosephNeedham endeseletcimu Terry Eloada-sain (1936) azt az afor izmat kockaztat ta meg, hogy abiologia joresz t rosttan - v arha toan aztderi t ik majdki , hogy a pete ebelso st ruktura ja hosszii prote inmoleku-la k vagy folyadekkristalyok alkotta vazbol all.

Valamivel tobbet t u d u n k az elso kerdesrol, m a r m i n thogy az elso osztodas felosztja-e a sejtet mind jar tjobbraes balra is? A ketoldali szimmetria alapveto jellegebolitelve elegkezenfekvonek latszikfel tenni , hogy csakugyanigy van. Avalaszmegsemlehetfeltetleniiligenlo.Meg haa normalis fejlodesre igaz is lenne a hipotezis, azeloszorHan s Driesch altal elvegzett tengerisiin-kiserletekbolt u d n ikhet,hogy ketsejt-allapotban atarsarollevalasztottmaga-nyos, barazdalodott sejt teljes, a normalistol csak kisebbmeretevel eliito belcsirava fejlodik. Im e Driesch neve-zetes abrai (17. abra). Felteendo, hogy ez nines igym inde n fajnal. A Driesch-felefelfedezesapetereszek lehet-seges es tenyleges rendeltetese kozotti kiilonbsegteveshezvezetett. Driesch magajovobeli jelentosegrol beszel pros-pektive Bedeutung), a jovobeli kepesseggel (prospektivePotenz) vetve ossze azt ; ez bovebb jelentesii, m in tamaz,deafejlodessel atagabbjelentes osszesziikiil.Hadd szem-leltessem esarkalatos pontot egymasik , a keteltiiek veg-tagkezdemeny-meghatarozasabol vett peldaval. R. G.Harrison olyan kiserleteket vegzett, melyek soran at-iiltetett a test kiilso falahoz tartozo korongokat, melyek


24/113

17 . dbra. A T . Echinus (tengeri siin) tobbespotencidljdra pluripo-tencidljdra) vonatkozd kiserletekQ is b Normdlis belcsirais normdlis echinopluteusz pdl-cd s larva).02 es b2. Fel-bilcsira is fel-echinopluteusz, Driesch vdra-kozdsa szerint.03isb3.A lenylegesen taldlt kisebb, de teljes belcsiraesechinopluteusz.

leendo vegtagoknak feleltek meg. Eszerint atiiltetesselmeg akko r is megfordithato a hathasoldal i es akozeprol oldalra iranyulo tengely, amiko r az elolrolhatrafele mutato tengely bizonyos idopontban mar rog-ziilt; ilyenforman e szakaszban a j o b b b a l ellentet akorongo knak meg jovobeli Iehetos6gei, es a kornye zoszovetekbefolyasatol fiigg, hogy e lehetoseg melyik iranykivalasztodasaval valosul meg.Drieschnek a normalis fejlodesbe valo eroszakos be-avatkozasa igazolja: az elso sejtosztodas ne m hatarozza

meg sziiksegkeppen egyszer s mindenkorra ajobbot es abait. De az elso osztodas sikja meg zavartalan fejlodesmellett sem lesz feltetleniil kozepsik. A sejtosztodas elsostadiumat gondosan megfigyeltek az Ascaris megalo-cephala feregnel, melynek aszimmetrikusak az idegrend-szeri reszei. A m egtermekenyiilt peteegy / sejtrees egykisebb, nyilvanvaloan mas termeszetiiP sejtre oszlik (18.abra). Ezek akovetkezo lepesbenegymasra merolegeske tsik menten 7'+/ -re esPi+T-Vreosztodnak tovabb.Ez-utan aPi P2 nyelel fordul ,ugyhogyP2 erintkezesbekeriilvagy/'-vel,vagy/ -vel;nevezziikezt azerintettet5-nek,a

H A T I

18. dbra

49


25/113

masika tA nak.Ezaltalegy romboidszerii al a ko t ka p tunk ,esAP2nagyjabolaz elolrolha t r a m uta to ,BP\a hathasoldali tengely. Csak a kovetkezo, azA -t es B- t el-valaszto sikra meroleges sik menten tor teno osztodasvagja szimmetr ikusan felbe A t es B-t: A=a a, B == b j ; ez ajobb es ba l meghatarozqja . A keplet eg ycsekely tovabbi eltolodasa megtori e ketoldali sz immet-riat. Felmeriil a kerdes, hogy a ke t egymas u t an i eltolo-da siranya vajonveletlenesemeny-e,melyeloszor az eliilsoes hatulso, majd ajobbes bal kozott valaszt, vagya petefelepitese ta r ta lmaz olyan specifikus ha toanyagokat azegysejt-szakaszban, amelyek meghatarozzak ezen eltolo-dasok iranyat. A z Ascaris fajra vona tkoz oa n a masodikfeltevest tamogato mozaikpete-hipotezis latszik megfe-lelobbnek.

A genot ipusos inverz ionak szamos olyan esete ismere-tes, ahol ket faj genetikai felepi tese ugyanugy viszonylikegymashoz, min t ket ena n t iomor f kristaly a tomi felepi-tese. Gyakoribb azonban afenot ipusosinverzio.A zemberbalkezessege pelda ja ennek. Mondok eg y erdekesebbet.Neh a ny rakfelenek (pi. a h o m a r n a k ) ket, morfologiailages funkcionalisan is eltero olloja van, eg ynagyobb, A, esegy kisebb, a.Tegyiik fel, hogy e faj szabalyosan fejlodoegyedeinAleszajobbolio. Ha egy natalallatnak levagjakajobbollqjat, fordito ttregeneraciomegy vegbe:a bal olio anagyobbAa lakkanovekszik, migajobbhelyenuj ranoeg ykisebb,atipusii.Azilyenes hasonlotapasztalatokbolasejt-plazma kettos lehetosegere (bipotencialjara) kell kovet-keztetni,jelesiilarra,hogy min den olyan fej lesztoszovetnek,mely aszimmetrikus lehetosegethordoz,modja van mind-50

ke t fo rm ateloallitani,de ugy,hogyzavartalan kifejlodesnelmindig csak azegyik formajon letre.Gen etikailag meg vanhatarozva, hogy melyik; rendhagyo kiilso koriilmenyekazonban inverzio teredmenyezhetnek.A forditott regenera-cio efurcsajelensegere alap ozva W ilhelm Lu dwig azzalalltelo, hogyazasz immetr iabanlenyeges tenyezoknem lehet-nek olyasfajta specifikus lehetosegek, mint mondjuk az ,,Atipusiijobblab letrehozasa,hanem olyanok, hogyk etha -toanyag,ResL(nght= jobb es/eft = bal)valt ja ki oket,melyek valam ilyen gradienssel oszlanak el a szervezetben,az egyiknckjobbrol balfele haladva csokken a koncent-racioja, a masikeaz ellenkezo irany menten.Alenyeg az,hogy nem egyetlen gradiensmezo letezik, hanem ket to,az egymassal ellentetesRe sL. Melyik keletkezik nagyobbbosegben: ezt a genet ika ifelepites szabja meg. Ha azon-ban a tobbsegben levo (dominans) hatoanyag valamilyenvesztesege folytan a korabban alarendelt masik jut tiil-sulyra,akkorinverzioa llelo. M atematikus, nem biologusleven,a legnagyobbovatossaggal szamolok bem inderrol,m i elottem folottebb hipotetikusnak tunik. A z azonbannyilvanvalo, hogy ajobbes a bal szembenallasa a szer-vezetek filo- esontogeneziset erinto legmelyebb proble-makkal all kapcsolatban.


26/113

ELTOLASI FORGASIES VELtJK ROKON

SZIMMETRIAK


27/113

E L T O L A S I , F O R G A S IE S V E L l K R O K O NS Z I M M E T R l A K

A ketoldali szimmetriarol most masfajta geometriai szim-metr iakra te r i ink a t . Mar a ke to lda l i sz immetr ia t fejte-getve sem hagyh at tam emli tesnelkiilaz egyeb szimmetria-fajtakat peldaul a hengeres gombszimm etriat. tJgytii-nik a leg jobb b izonyos szabatossaggal elore rogziteniaz a l ta lanos a l a p foga lm a ka t ; evegbol sziikseg leszegy kismatem at ikara mihez t ii re lmi ike t kerem. Szolottam mar at r an sz fo r mac i okr o l . A ter egy S lekepezesem inden te rbe lip pon thoz hozzarende l egy p pontot. Sajatos lekepezesa . m i n d e n p pon to t onm a ga ba visszavivo / lekepezes is .H a adva v an k et lekepezes S es T, ezek hathatnak egymasu t a n :h a S a p -t p -be viszia t a T a p - i pedig//'-be,a kko raz e redo lekepezes melye t ST-vel jeloliink a p -tp -be viszi at . Lekepezesnek letezhet inverze mellyelSS' = / esS'S I, mas szoval ha S a//-be visziat atetszes szerintip ponto t akkor5 e p -i visszaviszia p-be,es ugyanez all ha e loszorS' hat, es azutan S . A z i lyenkolcsonosen egyertelmii lekepezesekre a t ransz formaciokifejezest hasznal tuk az elso e loadasban ; az inverzetjelol jeS~\n az / azonos lekepezes transz-formacio es / onmaganak inverze.A sikbelitiikrozes,a

55


28/113

ketoldali szimmetria alapmiivelete olyan, hogyismetelt vegrehajtasa, SS az azonos lekepezesteredmenyezi, m as kifejezessel: S inverze 6n-maganak. A lekepezesek osszetevese altala-ban nem kommuta t iv : ST-nek nem kell e gye n-lonek lennie rS-sel. Vegyiik peldakeppen asik eg y o pont ja t , S1 legyen az o- i oi-be at-vivo vizszintes eltolas, T pedig egy o koriili90-os elforgatas. AkkorSTaz o- t az o 2 pontba

viszi at (19. abra), TS viszontaz0i-be.Ha az

i S egy transzformacio,19 . b r es S~ * ennek inverze,

akkor S 1 is transz-formacio, melynek inverze S. Ket transzformacioST osszetetele ismet transzformacio, es (ST) 1 egyenlor~1S~1-gyel(ebben a sorrendben ). Eszabalyt, ha nem ismatematikai alakjaban, mindannyianjol i smerik . Ruha-valtaskor nem mindegy, milyen sorrendben hajtjak vegrea muveleteket; s mig felo'ltozeskor az inggel kezdik es akabattal vegzik, levetkozeskor forditott sorrendetfigyel-hetnek meg, eloszor akabat kerul le ,es az ingjon utol-j a ra .

Beszeltem azutana ter t ranszformacioinakegyspecia li sfajtajarol, amelyetageom eterekhasonlosagnakneveznek.Magam azonban inkabb az automorf izmus elnevezesthasznaltam, Leibniz nyonian olyan transzformaciokkentdefinialva ezeket, melyek nem valtoztatnak a ter szerke-zeten.Pil lanatnyilag nem f ontos,minemiiis ez a szerkezet.Vilagosmar a puszta definiciobol, hogy az 7azonos leke-56

pezesautomornzmus.es haSi saz ,akkor inverze,S1isaz .Azonfeliilaz S es aT automorfizmus ST osszeteveseismetautomorfizmus. Mindez csak maskenti kifejezese a nna k ,hogy (1 ) minden alakzat hasonlo sajat magahoz, (2) haaz F alakzat hasonlo F-hez, a kkor F ishasonlo F'-hoz,(3) haFhasonloF'-hozesF'azF -hoz,akkorF hasonloF -hoz. A matematikusok a csoport szot valasztottak eteny megjelolesere, igy azt mondjak, hogy az automor-f izmusok csoportot alkotnak. Transzformacioknak barmelyr osszessege, halmaza csoportot alkot ,ha teljesiilnek akovetkezo feltetelek: (1) az / azonos lekepezes F-hoztartozik, (2) ha S a f-hoz tar tozik, a kkor S~l is, (3)ha S esT hozzatartozik r*-hoz, akkor ST 6'sszeteteluk is .

A terszerkezet egyik Newton esHelmholtz altal elo-szeretettel hasznalt leirasi modja az egybevagosagfogalmara epiil. Egybevago terreszek azok, melyeket el-foglalhat egyazonmerevtest,k etkiilonbozohelyzeteben.Ahogyan azegyikhelyzetbol am asikigmozgat juka testet,az egyik terresznek, a F-nek valamelyp pont ja t fedo re -szecskeje ezutan a masik terresz, a V eg yp pontjat fogjafedni, igy a mozgaseredmenyeaF-nekF'-revalop - plekepezese. A merev testet akar valosagosan, akar kep-zeletben kibovithetjuk a ter egytetszoleges p pontjanakelereseig, ennelfogva a p p egybevagosagi lekepezeskiterjesztheto az egeszterre.Barmely ilyenegybevagosagitranszformacio enewel illetem, mert nyilvanvaloanletezik p p inverze hasonlosagi automorfizmus;konnyenm eggyozodhetiink rola,hogy ez kovetkezik m ara definiciobol. Nyilvanvalo tovabba, hogy az egybevago-sagi transzformaciok csoportot alkotnak, reszcsoportjat


29/113

az automorfizmuscsoportnak. Reszletezve a kovetkezo ahelyzet.A hasonlosagok kozottleteznek olyanok, melyekne m valtoztatjak meg a testmereteket; ezeket mostant61egybevagosagoknak fogjuk nevezni. Egy egybevagosagvagyvalodi: bal csavart balba,jobb csavart jobba visz,vagy nemvalodi, tiikrozo: bal csavart jobbra valt esviszont. A valodi egybevag6sagokat neveztuk elobbvalamely merev test pontjainak mozgas elotti es utanihelyzetet osszekapcsolo egybevagosagi t ranszforma-cioknak. Ezeket egyszeriien elmozgatasoknak fogjuk ne-vezni(nem kinematikai, hanem geometriai ertelemben), anemvalodiegybevagosagokat pedig tiikrozeseknek, a leg-fontosabb peldarol, a testek sikra valo tukrozeserol,mellyel a testek tiikorkepuk be mennek at. f gy a kovetkezolepcsozetes osztalyozashoz jutunk: hasonlosagok -egybevagosagok = merettarto hasonlosagok - elmozgatasok = valodi egybevigosagok. Az egybevagosagokreszcsoportjat kepezik a hasonlosagokenak, a mozgasok2 indexii reszcsoportot alkotnak az egybevagosagokcsoportjaban. Az indexre vonatkozo kitetel azt jelenti,hogy haB egy tetszolegesen m egadott nem valodi egybe-vagosag, akkor az osszes nemvalodi egybevagosag eloallBSalakban, eBes az osszesleheto valodi S egybevagosagosszetevesevel.Tehata valo di egybevagosagok teszik ki azosszes egybevagosag egyik felet, a masikat a nemvalo-diak.De csak a z elso fe l resz csoport, mivel k et nemvalodiA es B egybevagosag osszetetele mar valodi egybevago-sag.

A valamelyO pontot helyben hagyo egybevagosagoknevezhetokO koruli elforgatdsoknak; igy vannak valodi58

es nemvalodi elforgatasok. A rogzitett kozeppont korulielforgatasok csoportot alkotnak. Az egybevagosagoklegegyszeriibb fajtaja az eltolds. Egy eltolas jellemezhetoegy AA vektorral; ha ugyanis azeltolas egyA pontot^4 -be visz at, egy B pontot pedig .B -be, akkor a BB'ugyanolyan iranyii es hossziisagu, mint az AA , mas szo-val aBB vektor egyenlo az AA vektorral.1A z eltolasokcsoportot alkotnak; az AB es BC eltolas egymasutanjaugyanis azAC eltolast adja eredmenyiil.

r

20 .dbraMi koze mindennek a szimmetriahoz? A meghataroza-

sahoz nyujt alkalmas matematikai nyelvet. Ha adva va negy terbeli alakzat, akkor a ternek az g-et onmagabavisszavivo automorfizmusai F csoportot alkotnak, es1A szakasznak csak hossziisaga van,a vektornak viszont hosszu-

saga 6siranyitasa is. A vektor tulajdonk6ppen ugyanaz, mint azeltolas, csak 6ppen a vektoroknal es az eltolasoknal md s asz6hasznalat.AzA pontot A -be atvivoaeltolas helyett o = AAvektorrol beszelnek, ahelyett pedig, hogy ,,az a eltolas az A-tA -bevisziit ,aztmondjak, hogy azA avdgpontjaazA pontbolkiinduld a vektornak. Ugyanez avektor,ha a Bpontb61 indulki,a B' pontbanei v6get, felteVe, hogy azA-t A -be vivo eltolds aB- tB -be visziat.

59


30/113

e csoport pontosan megadja az sz immetr idi t . Maga ater teljes szimmetriaval bir az osszes auto mo rfizm us, azosszes hasonlosag csoportjara vonatkozoan. Barmelyter-beli alakzat szimmetria ja t e csoportnak valamely resz-csoportja irja le. Vegyiikpeldakeppen anevezetes penta-

g rammat , mely Faustdoktor kiiszoben meg-akasztja Mephistot, azordogot 21. abra). Ezonmagaba megy at azO kozeppont korii li6t valodi elforgatassal,melyeknek szoge360/5-ne k tobbszorose koze-jiik ertjiik az azonos

21 .abra transzfo rma ciot is) , esugyanigy hat az O-t es

a csiicspontokat osszekoto egyenesekrevegzet t tiikrozesis. E tiz muvelet csoportot alkot,es ecsoport meg mond ja,milyen sz imm etr iaja van a pentagrammanak. A ketoldalisz immetr iato le szelesebb geometriai szimmetriafelfogasigvezeto termeszetes altalanositas tehat: asikravalo tiikro-ze sfelcserelese tetszoleges automorfizmuscsoporttal. Egysik O kozeppontii korevagya ter Okozeppont i i gombjea valamennyi s ikbeli vagy terbeli elforgatas csoportjaaltalleirtsz imm etr iat mutat ja .

Ha egygalakzat nem nyiilik a vegtelenbe, akkor azalakzatot valtozatlanul hagyo automorf izmusoknak me-re t ta r toknak , kovetkezeskepp egybevagosagoknak kelllenniok, hacsak az alakzat nem egyetlen pontbol all. Ime60

az egyszerii bizonyitas. Ha egyautom orf izmus valtozat-lanul hagyjaazgalakzatot,de am eretetm egvaltoz tatna,akkor vagy az autom orf izmus, vagy az inverze a 1aranyban novelne s nem csokkentene) a l inearis merete-ket;itt azavalamilyen 1-nelnagyobbszam.Nevezziik eztaz automorfizmust .S-nek,a es /3 ped ig legyenaz alakzat-nak ket kiilonbozo pontja. Ezek pozitiv d tavolsagrafekszenek egymastol. IsmeteljiikazS transzformacio t:

51=S1, SS =S2 SSS =S3 ...Az n-szeres ismetles,a z S transzformacio a-t es/3-t alak-zatunk ket pontjaba,an-bee s/5n-be viszi at, melyektavol-saga d-a . Az nkitevo novekedtevel ez atavolsag a veg-telenbe tart. De ha alakzatunk korlatos, akkor letezikolyan c szam, hogy semelyik ket pontja sines c-nelnagyobb tavolsagra. Ellentmondas tamad, mihelyt nolyan nagy lesz, hogy m ar d c f > c. Az ervelesmast ismuta t : B armely veges automorfizmuscsoport csak egy-bevagosagokbol all. Ha ugyanis tartalmaznaolyan5-et,mely a 1 aranyba n novelne a linearis mereteket a 1 akkor a csoporthozhozzatartozo vegtelensokegymas u tan iS\2,S3 . . . ismetles mind kiilonbozolenne, mer tkiilonbozo,a\2,a3, ... meretekbe n nagyi-tananak.Ilyenfeleokokbolszinte kizarolag egybevagosagicsoportokat tekintiink meg ha szalagornamensszeriivagy hasonlo, tenylegesen vagy potencialisan vegtelenalakzatokkal akad ismajd dolgunk.

Mindezen altalanos matematikai megfontolasok utanfoglalkozzunk nehanyszimmetriacsoporttal, amelyjelen-to samuveszetbenes termeszetben. A ketoldali szimmetria

61


31/113

meghatarozomiivelete, a tukrozes lenyeget tekintve egy-dimenzios muvelet. Egy egyenest tukrozhetiink barmelyOpo ntjara, ezaltal eg yadottPpont azO-tol ugyanolyantavoli, csak az egyenesmasik felen levoP pontba megyat. E tiikrozesek az egy dimen zios egyenesegyediili nem-valodiegybevagosagai,a szinten egyediili valodiak pedigazeltolasok. AzOpontra valotukrozesta zOAeltolassalkombinalva az OA szakaszAI felezopontjara vonatkozotiikrozesre jutunk. Egy teltolasra in varia ns alakzat meg-mutatja, mit isneveznekadiszitomuveszetbenvegtelenismetlodes -nek, azaz szabalyos terbeli ritmusban valoismetlodesnek. A t eltolasra invarians mintazatok val-tozatlanok maradnak a t1, t2,t3, . . . ismetlodesekreis,ezenkiviil a t= I azonos transzformaciora, a t eltolas

ismetlodeseirei s.1inverzere,esennektl,t 2,t 3,Ha a taz egyenest atavolsaggaltolja el, akkor t az

na (n = 0, 1, 2, . . . )tavolsaggal. Ha tehat a t eltolasokat a letrejovo a elto-lodassaljellemezziik, akkor f -nek az natobbszoros felelmeg. Egyadottegy enes menti vegtelen ismetlodesu min-tazatot onmagaba vivo eltolasok ebben az ertelembenmind egyetlen aalapeltolasnak natobbszorosei.E ritmi-kussag tiikSrszimmetriavaljarhat egyiitt.Ekkor atiikor-

dbr

pontok az eltolasi tavolsag felevel, a-val kovetik egy-mast. Az egydimenzios mintazatok koreben csakez a 22.abran szemleltetett ke t szimmetriafajta lehetseges.[A keresztek( X ) a tiikrozesi kozeppontokatjelolik.]

A valosagos szalagdiszek persze nem egydimenziosak,szimmetriajuknak azonban leirasunk szerint csak ahosszanti kiterjedeshez va n koze. Im e nehany egyszeriipeldaa gorog muveszetbol.Azigen gyakoripalmamoti-vumot abrazolo elso pelda (23. abra) az I. tipushoz

23 .dbra

tartozik (eltolas+tukrozes).A kovetkezo (24. abra) marne m tiikrozheto (II. tipus). A perzsa ijaszokat mutatofriz Dareiosz szuzai palotajabol (25. abra) tisztan elto-lasi szimmetriat mutat; vegyek azonban eszre, hogy azalapeltolas tavja ketszer nagyobb az alakok kozottitavolsagnal, valtakozo leven az ijaszok ruhaja. M egegyszer megmutatomamonrealeiAz Ur mennybemene-tele mozaikot (10. abra), eziittal a keretezo szalagdiszre

63


32/113

24 dbra

5 dbra

hivom fe l f igye lmuket . A sajatos, kesobb a Cosmatiaktolnaggya te t t technikava l kesziilt szclesebbik minta csaka faszerii kiilso korvonalak ismet lodeseben mutat el to-las i s z i m m e t r i a t , beliil mar mind mas, gazdag szimmet-riaju, ketdimenzios mozaikkal van kitoltve. A velenceidozs ek palotaja 26. abra j e l k e p e z h e t i az epiteszetitranszlacios szimmetriat. Szamtalan pe ldava ll e h e t n efoly-tatni.

A m i n t mar mondottam, a s za lagdis zek: kozepvonalm e n t e n hiizodo ketdimenzios savok, igy hat van megegy keresztiranyli kiterjedesiik is , melynek tovabbi szim-metr ia i l e h e t n e k . A mintazat az / kozepvo nal ra t i ik rozveeset l eg o n m a g a b a ter vissza; nevezziik ezt hosszantitiikrozesnek, megkiilonboztetesul az /-remeroleges egye-nesre valo harantt i ik rozes tol . Vagy a mintazat onmagaba

65


33/113

vihetS az a nagysagii eltolas es egy rakovetkezo hosz-szanti tukrozes egyiittesevel (hosszanti iranyii csusztatvatukrozes). A szalagdiszekben gyakori mo t iv u mo k a zsi-ndrok , szalagok, fonatok egyesfaj tai ; ezek keresztezod-

ve n mintha terben helyezkednenek el(igy reszben el is takarjak egymast).E szemleletmodot elfogadva tovabbimiiveletek valnak lehetse gesse, peldaula diszitmenyek sikjara valo tiikrozesseleg y nemileg e sik felett levo sza-lag sik alatt iva valtozna at. Mindezacsoportelmeleteszkozeivel kimeritoe nelemezheto, mint Andreas Speiser tesziaz E16szoban mar emlitett Theorie derGruppen von endlicher Ordnun g cimiikonyvenek egyik fejezeteben.Az elo termeszetben az eltolasisz immetr ia , melyet a zoologusok m e-tame rianak neveznek, eppoly ritka,mint amennyire gyakori szimmetria ake toldali.Peldakeppszolgalhat aj uhar -fa ag a es az Angraecum dis t i chum haj-tasa (27. abra).2 E masodik esetbenazeltolas hosszanti csuszotukrozessel pa -*Ez & a kovetkezS k6 pa Stadium Generate

249. &241. oldalar61va 6. (W.Trollcikkd-b61: ,,Symmetriebetrachtung in der Biolo-

7 dbra gie".)66

rosul. Persze a m inta nem nyulhatavegtelenbe(nemnyiilik a szalagdisz sem), de mondhatni, hogy po-tencialisanvegtelen, legalabbis egy iranyba n, min t-hogyaz idomul tavalak ipa t tanorug yek reven egyreujabb szelvenyek valasztodn ak el.Goethe mondot taa gerincesek farkarol, hogy szinte a szerves letpotencialis vegtelensegereu t a lnak .A kepen lathatoallat, a szazlabu testenek (28. abra ) kozepso reszeegeszen szabalyos, tiikrosseggel parosult eltolasiszimmetriaval bir, amelynek alapmiivelete az egyizzel valo eltolas es a hosszanti tukrozes.

Azegyenlo idokozonken ti egydimenzios idobeliismetlodesa ri tmus zenei alapja. A hajtas novekede-sevel aztlehetne monda ni alassuidobelir i tmusterbelive fordul . Az idotiikrozes, az idoirany-meg- 23 .dbraforditas a ritmusenaljoval csekelyebb szerepet ja tsz ik azeneben.E gydallam jellegejocskan m egvaltozik, havissza-felejatsszak, s m agam , ki rossz muzsikus vagyok, nehez-nek talalom felismerni a tiikrozest a fuga szerkezeteben;valosziniileg nem tesz olyan termeszetes hatast, mint aritmus. Minden mu zsikus vall ja, hogy a zene erzelmialaptenyezoje eg yerosen form alis elem. Meglehet, meg-kozelitheto valam i olyasfajta matem atikai targyalasmod -dal, m int a m i l y e n a diszitomiiveszetben sikeresnek bi -zonyult. Ha igy van, valoszinu, hogym egnincsenek fel-fedezve a megfelelS matemat ikai e szkozok . Ezn em vol -na meglepo. Vegiil is az egyiptomiak mar negyezerewelazelott isjeleskedtek a diszitomiiveszetben, hogy a m a-tematikusok felismertekvolnaa zornamensek vizsgalata-nak 6s lehetseges szimmetriaosztalyaik levezetesenek al-

67


34/113

ka lma s ma te ma t ika i apparatusat. Andreas Speiser , ak ikiilonleges figyelemmel fordul t az ornamensek csoport-elmeleti vizsgalata fele, megprobalt a zcne formal ker-deseire is kombina tor ika i e lveke t a lka lmazni . I lyen cim-m el talalunk eg y fejezetet Die mathematischeD enkweise(Zurich, 1932) cimii konyveben. Pe ldakeppen Beethovenop. 28-as Pastorale zong oraszo natajat elemzi, es emlitesttesz a Richard Wagner fomiiveinek formalis szerkezetetku ta to Alfred Lorenz vegezte v izsga la tokrol. A kolteszetimetr ika kozel ir okon , s itt allitja Speiser joval elobb-re tart a tudom any . Zeneben es ve rstanban kozos e lvneklatszik az a a b gyakran taktusnak mondot t a l a k :eg y a t em a , mely megismetlodik, es a ra kove tkezo b,,ajanlas ;strofa, -antistrofa e s epodosz a gorog korusban.De az effajta kepletek aligha tar toznak a szimm etria ci m-sz o ala.3

Visszateriink a terbeli szimmetriahoz. Vegyenek egyszalagdiszt, melyen az i smet lodo mintak a hosszusaguak,es ovezzenek korul vele egy korhenger t , amelynek kerii-lete az a-nak egesz szamii tobbszorose , pe ldaul 25a E k k o rolyan mintazato t kapnak, amelye t a henger tengelyekoriili x= 360/25 nagysagu szoggel es tobbszoroseivelelforgatva a la tvany nem valtozik. A z e lforgatas huszon-otszori vegrehajtasa, a 360-os elforgatas, lesz az azonostranszformacio. Egy 25-6d rendu, azaz 25 muveletbol

Vesse ossze ezt az olvaso azzal, ami t G. D. Birkhoff mo ndhat akolteszet es a zene matematikajarol az elsoeloadas elso labjegy-zeteben iddzett k et publikaciojaban.

68

allo veges forgascsoporthoz j u tunk tehat. A hengertbarmilyen hengerszim metrikus feltilet helyettesitheti,vagyis olyan, mely egy bizonyos tengely ko rul min denleheto modon e lforgatva onm agaba megy at , peldauleg y vaza. A 29 . abrae gy a tt ikai vazatmutata geometr ikuskorszakbol; jo nehany ilyen t ipusii egyszervi ornamens

29 dbra


35/113

lathato rajta. A szimmetriai elv ugyanaz, de a stilus marnem ,,geometriai ezen a rhodoszi korson (30. abra);jon iskola, az i. e. VII. szazadbol. M as idevago peldakaz oszlopfok, mint ezek itt 6egyiptombol (31. abra .Barmely, adott pont koriili sikbeli vagy adott tengelykoriili terbeli elforgatasokbol allo veges forgascsoport

30 dbra

31 dbra

tar ta lmaz egy primitiv t elforgatast, melynek elforgatasiszoge a teljes, 360-os elforgatasnak egesz szammal vetttortresze: 360/w, s a csoport ennekt\2 ... t ~\(= azonos transzformacio) ismetlodeseibol all. A z nrend teljesenjellemzi a csoportot. Az eredmeny abbol azanalog tenybol kovetkezik, hogy az egyenes ment i elto-lasok barmely csoportja felteve, hogy az azonostranszformacio tetszes szerinti kozelsegeben magan azazonos transzformacion kiviil nincsen mas csoportbelimiivelet egyetlena transzformacio va ismetlodeseibolal l (v= 0, 1, 2, . . . ) .

A hajdani tuniszi bejek bardoi palotajanak faboltozataa belsoepiteszetbol adhat peldat (32 abra). A kovetkezoke p (33. abra Pisaba visz el: a Baptisterium, csiicsanaz aprocskanak latszo Keresztelo SzentJanossal, kozep-

71


36/113

32 dbra

pontos epiilet,melyenhat, kulonbozo forgasiszimm etriajureteget kiilonboztethetnek meg. Ennel is hatasosabbatehetoa kep, ha meghozzavesszuk aFerde tornyot hat,egyforman magasrendii szimmetriaval biro oszlopgale-riajaval,esmagatadomot,melyben akozephajo kiilsejeaz oszlopokkal es frizekkel az egyenes menti eltolasszimmetriatipusait rejti, az oszlopsorral ovezett kupolapedigmagas fokiiforgasi szimmetriat mutat.Egeszenmasszellemet arasztehatulsokonistraktusbolelenktarulo latvanyanem etorszagiMainzromankated-72

ralisaban 34. abra . Itt is jelen van a frizek korive, anyolcadrendu kozeppontossz imm etria a kisrozsadiszbenes a harom tornyon n = 8, a pisai Baptisteriumegyesszintjeiben testet olto sz immetriakhoz merve csekely

dbr


37/113

34 dbra

ertek ,viszont egeszebenesreszleteiben istiikorszimmet-ria uralja a szerkezetet.A ciklikus szimmetria legegyszerubb alakjaban mutat-kozik, ha a teljeshengerszimmetriaju feliilet a tengelyremeroleges sik. Ekkor egy C kozeppontu ketdimenziossikra szoritkozhatunk. E sikbeli kozeppontos szimmetria-

nak nagyszerii peldai a gotikus katedralisok ragyogoszinekben pompazo iivegablakai. A legdiszesebb, ahogyemlekszem, a troyes-i St . Pierre rozsaablaka Francia-orszagban; ezminden izeben a 3-as szamra epiil.A viragok, a termeszet e legszelidebb gyermekei iskitiinnek szineikkel es korszimmetriajukkal. Ez itt 35.abra) eg y noszirom kepe, harmas polusaval. A viragokkozott leggyakoribb az otos szimmetria. Haeckel Kunstformen derN aturjanak ilyesfele oldalai 36. abra mintha

35 dbra75


38/113


39/113

arra utalnanak,hogyez azalsobbrend u allatok korebensem ritka. De a biologusok figyelmeztetnek, hogy ezek-nek az Ophiodea osztalyba tartozo tiiskesboriieknek bizo-nyos fokig megteveszto a kiilsejuk, es larvaik a ketoldaliszimmetria elvet kovetve alakulnak ki. Nem hozhatofel ilyen ellenvetes az ugyanezen forrasmunkabol szar-mazo keppel szemben 37.abra), amelyegy nyolcszorosszimmetriajii Discomedusdt abrazol. Az irbel ugyanisolyan helyen all a filogenetikai fejlodesben, ahol a kor-szimmetria m eguralkodoa ketoldaliszimmetriavalszem-ben. Haeckel rendkiviili munk aja melybenaz elo szer-vezetek irantierdeklodese szamtalan,a leheto legaprobbreszletekig kidolgozott rajzbanolt testet a szimmetria-na k valosagos termeszeti kodexe. Legalabb ennyirejel-lemzo Haeckelre, abiologusraa ChallengerMonograph-janak ezer meg ezer abraja; 1887-ben itt irja le eloszor aChallenger-expedicio osszegyujtott anyagat, melyben3508uj sugarallatfajt fedezett fel.Agyakran tul spekulativfilogenetikai konstrukciokon kiviil melyeknek gyakranengedett szabad folyast ad arwinizm us lelkes apostola eteljesitmenyekrol sem szabad megfeledkezni; meg eleggSsekelyes materialista monizmusa mellett sem, mely aszazadfordulon meglehet5s szenzacibt keltett Nemet-orszagban.

A Medusdkiol sz61va nem allhatom meg, hogy neidezzek nehany sort D'Arcy Thompson klasszikusmiive-bol,a Growth ndFormbol az angol irodalom eremeke-bol, mely melyrehato geometriai, fizikai 6s biologiaitudast otvoz humanista miiveltseggel, 6s nem mindenna-pian eredeti tudomdnyos 61eslatassal. Thompson hul 6

cseppekkel vegzett fizikai kisdrletekrol szamol be, ekis6rletek a meduzak kialakulasanak analogids szemlel-tetesetceloztak. ,,Az elo meduzat mondja annyiraszembeszoko es szabalyos szim metria jellemzi, hogy azmar fizikai vagy mechanikai t^nyezoket sejtet az aproelolenyek novekedeseben 6s felepiileseben. Itt van elo-szor isorvenyszeru harangja vagy ernyqje, szimmetrikusszajcsovevel vagy m anubrwm ava l . A harangot sugarascsatornak szelik dt, negy vagy negynek tobbszorose; aharangszelt sima vagynemri tkan gyongyozott tapogatokovezik, szabalyos kozonkent vagynagysag szerinti rend-ben, es bizonyos erzekeloszervek, koztiik szilard, meg-kemenyedett allomanyok vagy otolitok; egyensulyi6s hallasszervek, szinten szimmetrikuselrendezodesben.Mihelyt letrejon, liiktetnikezd;megkondulaharang.A sarjadekok, aszuloszervezetnek a promasai, leginkabba tapogatokon, a szajcsovon tfinnek fel,neha a harang-peremen; mintha a szemiink elott kelten6 egyik orvenya masikat. A meduzaf61ek fejlSdese e szemponttol fiig-getleniil is tanulmanyozasramelto. K6tsegtelen, hogyazaprocska Obelia mediizafelek annyira gyorsan es tokele-tesen sarjadzanak, hogy az automatikus es szinte pilla-natszeriikialakulasi aktust sejtet, nem fokozatos fejlodesifolyamatot."

A zotszogesszimmetriat,bar aszerves vilagba ngyakori,a szervetlen termeszet legtokeletesebb szimmetriaju mii-veiben,akristalyokkor6bennemtalalnimeg.Ott a 2-od-,3-ad-, 4-ed- 6s6-odrend(in kiviil nincsen mas lehetsegesforgasi szimmetria. Ahokristalyoka legismertebbmintaia hatszoges szimmetrianak. E kis fagycsodakbol mutat

79


40/113

38 . dbraegynehanyat a 38.abra. I f j uko r omban , mi ko r karacsonytajan alahul lo t tak az egbol , betakarvan a v ideket , gyo-nyuriisegere voltak idosnek, fiatalnak. Manapsag m ar

csak a sizok szeretik, az autovezetokben eppenseggeluta la tot ke l t enek . Az ango l i r oda lomban o t t honosakemlekezni f ognak S ir T h o m a s B r o w n eGarden o f Cyrusa n a k ku lonos leirasara a hatszoges es, ,6tfogasu sz i m-met r i a r o l , mely , , talalva mu ta t j a , m i n t geometr izal esteremt rendet a termeszet mi nden do lgok kozott .A nemet ir oda lom ismeroi elott felelevenedik, hogyan i r taleThomas M ann Vardzshegyeben4 ah o v i h a r, ,hexagonaleUnwesen - j ei t , mely v iharban hose, H ans Castorp k i shijan odavesz, mi don a kimeri i l t segtol a l o m b a z u h a n , seg y paj tanak dolve mely almot lat a ha la l ro l es a szere-lemrol . Egy oraval elobb, hogy H a n s litnak i nd u l t okta-la n sik i randulasara, hop ihekke l j a t szadozo t t , ,,es a mi -r i adny i varazscsillag bolcselkedet t nem e m b e dszemnek szant , t i tkos es m i k r o s z k o p i k u s p o m p a j ab a negyik peldany sem volt azonos a m as ikka l , kor la t lanfe l ta la lokcdv nyi lvanu l t i t t meg a m i nd i g egy f o r ma alap-szkema, az egyenlo oldalii es egyenlo szogii hatszog val-tozataiban es f inom ci f razataiban ; de magaban vevem i n d e n egyes h ideg kepzodmeny h ibat lanul aranyos vol tes jegesen szabalyos, igen, eppen ez vol t benne a ki'ser-teties, eletellenes es a szerves elettel szemben allo: tiil-sagosanszabalyosakvoltak a hopihek ,a z eletre szervezettanyag sohasem volt ennyi re szabalyos , az elet i r tozott atokeletespo ntossagtol, halalt sej tett benne, a halal t i tkat es Hans Cas to rper ten i velte, hogy regi ko rok poganytemplomepi toi mier t epitettek oszloprendjeiket t i tkon es4 Szollosy Klara forditasabanidezziik;EuropaKon y v k iado , Buda -pest, 1969.

81


41/113

szantszandekkalugy, bogykisseelterjenek ateljes szim-metriatol .5

Mindeddig csak a valodi elforgatasokra figyeltiink.Anemvalodielforgatasokat isfigyeiembeveveavalamelyOpont koriili elforgatasokbol allo veges csoportokra akovetkezok a lehetosegek parhuzamban az egyenesmentiornamentalisszimmetriaketlehetsegesfajtajaval(1) a 360 valameiy egesz n-ed reszevel, a 360//i-nelvalo valodielforgatasbol es egymasutanjaibol allo vegescsoport; 2)ezenelforgatasok esnszamu,a sz dgenkentitengelyes tukrozesek egyiittesenek csoportja. Az elsoneve:C^,ciklikuscsoport,amasodike:/),diedercsoport.Ket dimenzioban tehat mindossze ezek a kozeppontosszimmetriak1 i,C2,Cs,. ..; bC\t jelenti hogy egyaltalan nines szimmetria, a DIpuszta ketoldali szimmetriat fejez ki. Az epiteszetbenuralkodo a 4-es szimmetria. Tornyoknak gyakran vanhatszogesszimmetriajuk. Joval ritkabbaka6-osszimmet-riaju eskozeppontos epiiletek. Az okor utani idok elsotisztan kozeppontos epiilete nyolcszoges a l a ku : a S.Maria degli Angeli Fizenzeben (1434-ben kezdtek epi-

*Durerugytekintette az emberi testrol irott kanonat , mint szab-vanyt, melytolelterni kel) inkabb, mintsem ragaszkodni hozza.A Vitruvius-fele temperaturae ugyanilyen ertelmunek latszik, stalana,,szinte szdcskaisefelemutata Poltikleitoszaaktulajdo-nitott kijelentesben; ideztiikazelso eloadas elso megjegyzeseben.

82

teni).Az otszognagyon ritkaalak.Amikormeg 1937-benBecsbeneloadasttartottama szimmetriarol,azt mondot-tam, csak egyetlenpeldatismerek,az isaligvehetSeszre:az atjarot a velenceiSan Michele di Muranobol a hat-szogletuCapella Emilianahoz. Ma marpersze ott van aPentagon-epiilet Washingtonban. Mereteivel es jelleg-zetes alakjaval vonzo tereppont bombazok szamara .Leonardo daVincii sfoglalkozott akozeppontos epiileteklehetseges szimmetriainak rendszerezesevel, es azzal,hogyan lehet kapolnakat esfiilkeket hozzajuk kapcsolnia mag szimmetriajanak felboritasa nelkiil. Eredmenye amai elvont szohasznalatban a ketdimenziobeli valodiesnemvalodi) elforgatasok veges csoportjainak elobbi lis-taja.

Eddiga sikbeliforgasiszimmet-rianak mindig velejaroja volt atlikrozesi szimmetria; mutattammar tobbpeldat is a Dn dieder-csoportra, egyet sem viszont azegyszeriibbCnciklikuscsoportra.De ez tobbe-kevesbe veletlen. Imeket virag 39. abra), egy Gera-nium I), szimmetriacsoportjaaZ)5,miga Vinca herbacede II) a szirmok aszimmetriajabolkovetkezoleg a sziikebb Ccsoport. A 40. abra mutatja a

*G61yaorr**Pusztai meteng

39 .abra

83


42/113

talan legegyszeriibb forgasszimmetr ikusalakot, a haromlabat (n=3). H a m egakarunk szabadulni a t ukorsz imme t -r iatol, eleg zasz locskakat illeszteni a la-bakhoz, s eloall at r iq u e t r u m ,osi magikusjelkep.A gorogokpeldaula haromszogletiiSzici l iaszimbolum akent hasznaltak ,Medii-

I za-fovela k o zep en . Matem at ik u so k n akis-I m er o sa Rendicontideldrcolo Matematico di Palermo fedolapjarol , az emblemabol .

^ A negykarii valtozataszvaszt ika,itt nemszuksegesbemutatni :azemberisegegyikleg-

4 0 ,dbra osibb je lkepe ,kozos bir tokajo nehany, bi-zonnyal fiiggetlen, muvel t segkornek. Sz im m et r iatargyii1937-es oszi becsi eloadasomon, kevessel aze lott, hogy ahitleriho rdak elfo glaltak Ausz triat, a horogkeresztrol szol-vam eg h o zza te t t em : , ,Nap j a in k ban a kigyohajli Med u za-fonel is borzalmasabb ter rornak val tje lkepeve , a te rem-ben a taps es a hurrogas ziirzavara tort ki. U gy tiinik,az e min t a kna k tulajdonitott varazsero furcsa, csonkasz immetr ia jukkal magyarazhato: elforgathatok, de nemtiikrozhetok. Ez itt (41.abra abecsi Szent I stvan-domszoszek enek kecses szerkesztesii csigalepcso je; triqu et-r u m o k val takoznak rajta szv asztika kullejii kerekekkel .

Ennyit a ketdimenzios forgasi szimmetriarol.Aszalag-diszhez hasonlo, potencialisan vegtelen mintazatokatvagy a vegtelen csoportokat veve,a mintat invariansanhagyomiiveletnek mar nem kell sziiksegkepp egybevago-sagnak lennie, lehet hasonlosag is. Egy dimenzioban ahasonlosagok,hacsak ne meltolasok,helyben hagynakeg y

O pontot: czek O kozeppontu , a 1aranyii s nyujtasok,ahol a 1. Nem lenyeges megszoritas, ha feltessziik,hogy a> 0. E miivelet vegtelen szamii egymasutanjaieg ycsopor to t alkotnak ,az(2) s (n =0 1, 2, . . . )miiveletek csoportjat. Ennek a szimmetriatipusnak jo

4 1. dbra85


43/113

peldaja a Turritella dup-l icata* heja (42. abra).Igazan igen figyelemre-melto, hogy az egymasu tan i f o rd u la tok m eny -nyire p ontosan kovet ikamertanihaladvanytor-venyet . Nemely ora m u-ta to folyamatosan esegyenletesen ja r korbe;masok percrol percreugranak. Az egesz per-cekkelvalo elfordulasokdiszkret reszcsoportjatkepezik az 6'sszes elfor-gatasfolytono s csoport-j a n a k ,eskezenfekvo egys elforgatast es (2>beliegymasutanjait e folyto-no s csoportbol valonaktekinteni. E felfogasnakhasznat vehetjiik 1, 2 vagy 3 dimenzioban,voltakeppenbarmely 5transzformaci6valkapcsolatban. Egy teretkitol-

to anyag, ,,ftuidum mozgasat matematikai lagaz U(?,/ )transzformacio megadasaval irhatjuk le, mely transz-formacio a folyadek barmely pontjanak t idopontbeliP,helyzetet t' idobeli Pf, helyzetebe viszi at. E transzfor-maciokegyparameterescsoportot alkotnak, ha U(t, f)*Tornyoscsiga86

4 dbr

egyediil at -t kulonbsegtol fugg: U(t, t') =S(t' i) ,azaz ha egyenlo i dokozon ke n t u gy anaz a mozgas ismet-lodik. Ekkor a f lu idum , ,egyenletes mozgasu . Az egy-szerii

csoporttorveny az t fejezi ki , hogy az egymas u tani es tz i do ta r t a mok alatt vegbemeno mozgasok egyiitt a/ i + / 2 idotartam alatti mozgast eredmenyezik. Az 1percalatt vegzett mozgas megad egymeghatarozott s = S l)transzformaciot, es az S(n) mozgas mi n de n negeszre azs ismetlodes lesz: az s ismetlodeseibol allodiszkretcsoport bele van agyazva a t parameterii, S(i) transzfor-maciok alkotta foly tonos csoportba. Mondhatni , hogy afolytonos mozgas veg nelkiili ismetlodeseug ya n a n n a k az egyenlo, egymas utani, vegtelen kicsi idoszakaszokalat t vegbemeno infinitezimalis mozgasnak.

Alkalmazhat juk e felfogasmodot egy siklemez elfor-gatasaira es a nyiijtasokra is . Itt most tetszoleges valodis hasonlosaggal szamolunk, o lyannal tehat , mely nemcsereli fe l ajobbot es abait. Ha ez m iken t fel istesz-sziik n em puszta eltolas,akkor van egyOfixpontja, segy Okoriili elforgatasbol es egy ugyancsakOkozeppontunyujtasbol tevodik ossze.Feltehetjiik, hogy 1percmul tanazS(l)allapotegyenletes forgast kiseroegye nletes nyiijtas-sa l all elo. E mozgasfolyamat az O-tol kiilonbozo pon-tokat logaritmikus vagy egyenloszogiicsigavonalnak(lo-gar i tmikusspiralnak) nevezett v onalak menten viszi vegig.Egorbek ig yazeg yene sekk elesa korokkel egyetemben re-szesei annakafontossajatossagnak,hogyahasonlosagoke


44/113

43 . dbra

folytonos csopor t ja a l ta l onmagukba mennek at . JohannBernoulli a baseliMunsterben levo s i rkovereis ravesete t t ,spira mirabilisTol szolo szavai: , ,Eadem m utata resurgo *,e tula jdonsagnak fel lengzos kifejezese. Az egyenesvona les a kor hataresete a loga r i tmikus s p i r a lnak ; akkorallnak elo, ha az elforgatas es nyuj tas egyiitteseben azegyik osszetevo eppen az azonos transzformacio. A folya-mat(3) / = = ....-2,-1,0,1,2, ...idopontok banelertal lomasaia (2)ismetlodesek csoport-* Megvaltozva, megisonmagamban emelkedem fel. A Kiado)88

ja tteszikk i. ANauti lushi rneves heja 43. abra) bam ulatostokellyel adja vissza a sz immet r ia e fajtajat. Nemcs ak afo ly tonos l oga r i t m i kus spiralt lat jak itt,h a n e m a hej-rekeszeknek potencialisanvegtelensorozatat,a ] T diszkretcsoport leir tasz immetr iava l.Enagynapraforgo, a Helian-thusm ax imu s kepere pi l l antva 44. abra) m i n d e n k i latja,

44. dbra89


45/113

hogy a szemek logaritmikus spiralok menten helyezked-nekel, ket, ellentetesen csavarodo spiralosztalyban.A haromdimenzios terben a legaltalanosabb merevmozgas a csavarmozgas:egy tengely koriili elfordulas esugyanezen tengely menti eltolassegym asutanja. Az ennekmegfelelo folytonos, egyenletesmozgas a tengelyen kiviiles o pontokat csavarvonalon viszi vegig, melyrol azeadem resurgo eppoly joggal mondhato e l , mint a loga-ritmikusspiralrol.A zegyenlo idokozu 3)idopontokbanelert Pn helyzetek egyenletesen oszlanak el acsavarvonalmenten, mintafokokacsigalepcson.Ha azsmiiveletbenaz elforgatas szoge a teljes 360-os szo

Documents

Hermann Weyl - Szimmetria