Herramienta metodológica para el análisis de los conceptos ... · 2) Método numérico para el sistema m/g(0,c)/1 con distribución uniforme en tiempo de servicio. 3) Modelación

Herramienta metodológica para el análisis de los conceptos matemáticos en

el ejercicio de la ingeniería1

Avenilde Romo2

Asuman Oktaç3

RESUMEN

Este trabajo surge por el interés de observar el papel que desempeñan los conceptosmatemáticos en la resolución de proyectos de ingeniería. A fin de efectuar un análisissistemático, proponemos una metodología –vinculada al marco teórico de los pensa-mientos téorico y práctico– que permite observar y dar cuenta de fenómenos produci-dos cuando los conceptos matemáticos son usados en la resolución de dichos pro-yectos. Bajo el uso de esta metodología hemos analizado cuatro proyectos deingeniería que conforman cuatro tesis de maestría en Ingeniería de Sistemas; aunquefueron producidas en el mismo espacio académico, resuelven problemáticas distintasde situaciones reales. En este artículo presentamos el análisis de una tesis, quepermite mostrar los fenómenos encontrados a través de la herramienta metodológica.

• PALABRAS CLAVE: Contexto de ingeniería, matemáticas en uso, herra-mienta metodológica, pensamiento teórico, pensamiento práctico.

ABSTRACT

This research stems from an interest in observing the role that mathematical conceptsplay in carrying out engineering projects. In order to perform a systematic analysis,we propose a methodology to observe and realize phenomena that are produced whenmathematical concepts are used in carrying out these projects. The methodologyemployed is related to the theoretical framework of theoretical and practical modes ofthinking. By using this methodology we have analyzed four en gineering projects withinthe context of four master’s theses in Systems Engineering. These theses were pro-duced in the same institution, but they concern different problems related to real situa-tions. In this article we present the analysis of on of these theses, which allow us to

Fecha de recepción: 4 de abril de 2006 / Fecha de aceptación: 24 de noviembre de 2006.1 Este trabajo forma parte del proyecto Conacyt 2002-C01-41726S.2 Université Paris 7 Denis Diderot. París, Francia.3 Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN, México.

Relime Vol. 10, Núm. 1, marzo, 2007, pp.117-143

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illustrate the phenomena that we observed by means of the methodological tool thatwe designed.

• KEY WORDS: Ingineering context, mathematics in use, methodologicaltoo, theoretical thinking, practical thinking.

RESUMO

Este trabalho surge do interesse em observar o papel que desempenham os con-ceitos matemáticos na resolução de projetos de engenharia. A fim de realizar umaanálise sistemática, propomos uma metodologia que permite observar e dar contados fenômenos produzidos, quando os conceitos matemáticos são utilizados naresolução desses projetos. A metodologia empregada está vinculada ao marco teó-rico dos pensamentos teórico e prático. Com essa metodologia analisamos quatroprojetos de engenharia, que resultaram de quatro dissertações de mestrado emEngenharia de Sistemas. Essas dissertações foram produzidas no mesmo espaçoacadêmico, porém, resolveram problemáticas diferentes, de situações reais. Nesseartigo apresentamos a análise de uma das dissertações, que permite mostrar osfenômenos encontrados através da ferramenta metodológica que planejamos.

• PALAVRAS CHAVE: Contexto de engenharia, matemática em uso, ferra-menta metodológica, pensamento teórico, pensamento prático.

RÉSUMÉ

Ce travail est motivé dans l’intérêt d’observer le rôle que jouent les concepts mathé-matiques dans le développement de projets d’ingénierie. Afin de réaliser une analy-se systématique, nous proposons une méthodologie pour observer et rendre comptedes phénomènes produits lors de l’utilisation des concepts mathématiques dans ledéveloppement de ces projets. La méthodologie développée est associée au cadrethéorique des modes de la pensée théorique et pratique. En utilisant cette méthodo-logie nous avons analysé quatre projets d’ingénierie qui font partie de quatre thèsesde maîtrise d’Ingénierie de Systèmes. Les thèses ont été développées dans lamême Institution, mais elles rendent solution aux problématiques réelles très diffé-rentes. Dans cet article nous présentons l’analyse d’une thèse, pour montrer lesphénomènes trouvés à travers l’utilisation de l’outil méthodologique que nous avonsdéveloppé.

• MOTS CLÉS: Contexte d’ingénierie, mathématiques en usage, outil métho-dologique, pensée théorique, pensée pratique.

1. INTRODUCCIÓN

El trabajo que presentamos surge por lareflexión sobre la naturaleza del trabajodel ingeniero, así como por la necesidadteórica de la ingeniería cuando debe re-solver problemas reales de manera prác-tica. Más precisamente, nos interesasaber el nivel teórico de los conceptosmatemáticos que son usados en la re-solución de un problema de ingeniería enla vida real. Algunas preguntas que es-bozan de manera general esta reflexiónson: ¿Qué tipo de conocimientos mate-máticos son usados por el ingeniero?¿Cómo justifica la elección de una he-rramienta matemática? ¿Qué caracterís-ticas tienen los usos de los elementosmatemáticos? ¿Se utilizan a nivel de he-rramientas para resolver un problema, obien para realizar y justificar hipótesis,procedimientos y encontrar resultados?¿Qué papel juegan estos conceptos enel trabajo del ingeniero?

Para dar respuesta a algunas pregun-tas, nuestra investigación considera comoobjetos de análisis a tesis de ingenieríaque tienen un carácter académico, puesexplicitan objetivos, hipótesis, manerasde resolver, herramientas y métodos. Asi-mismo, presentan la resolución de unproblema de ingeniería de la vida real, enla que intervienen elementos matemáti-cos.

Un objetivo de nuestra investigación esconocer cuál es el papel que dichos ele-

mentos desempeñan en la resolución deproblemas de ingeniería. Para ello, se re-quiere de una metodología que permitaanalizar el contenido matemático usadoen la resolución de un problema de inge-niería. Debido a las características de losobjetos de estudio, así como a la natura-leza de nuestra investigación, propone-mos una herramienta metodológica queanalice tesis de ingeniería, teniendo comoobjetivo determinar el rol de los elemen-tos matemáticos que son utilizados enla resolución de proyectos de ingeniería,a partir del uso de dicha metodología.

En nuestro trabajo analizamos cuatro te-sis de ingeniería:

1) Diseño y simulación de una red neu-ronal aplicada al problema de distri-bución óptima de planta.

2) Método numérico para el sistema m/g(0,c)/1 con distribución uniforme

en tiempo de servicio.

3) Modelación de sistemas de produc-ción mediante redes de Petri.

4) Optimización de la molienda de em-pacadores permanentes en las ope-raciones de reparación de pozos pe-troleros.

A fin de poder presentar de manera signi-ficativa nuestro trabajo, en este artículomostraremos sólo el análisis de una delas tesis, pero en el apartado de resulta-dos daremos a conocer los cuatro análi-sis que realizamos4.

4 Esta decisión se basa en el hecho de que cada tesis de ingeniería resuelve una problemática distinta; presentarsólo partes del análisis de las cuatro tesis nos parecía dejar fuera de contexto al lector. Para evitar esto, decidimospresentar un análisis completo que permitiera contextualizar al lector en la problemática de la tesis. En cuanto a losresultados, si mostrábamos los del análisis aquí presentado, estaríamos dando una mínima parte y quizás norepresentativa. Por ello, presentamos el análisis como prototipo de los cuatro y los resultados de los cuatro análisis.

Herramienta metodológica para el análisis de los conceptos matemáticos en el ejercicio... 119

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5 El cual se localiza en el ámbito escolar.6 En el ámbito de la ingeniería se encuentra este saber.

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2. ANTECEDENTES

Se han desarrollado diversos trabajos queestudian la naturaleza de la ingeniería des-de diferentes enfoques, preocupacionesy objetivos. Algunos centran su estudioen las características del entorno dondese desarrolla un ingeniero en su prácticaprofesional (Kent & Noss, 2002), o el per-fil que las condiciones de este siglo leexigen para realizarla (Rugarcia, et al.,2000). Otros se enfocan en observar yestudiar la enseñanza de las matemáti-cas en la formación de ingenieros, en lasproblemáticas que se le asocian (Molina,1999) o en el estudio de la naturaleza delconocimiento matemático aplicado enesta disciplina (Camarena, 1999).

En esta última investigación, Camarenacaracteriza la naturaleza de lo que ha lla-mado saber de aplicación: “Un contenidode saber a enseñar que está destinado autilizarse en la ingeniería sufre a partir deentonces un conjunto de trasformacionesadaptativas que van a hacerlo apto paralas aplicaciones en esa ingeniería, al cualse le llamará saber de aplicación. Así, elsaber didáctico se extrae del dominioescolar para insertarse en el ámbito dela ingeniería, convirtiéndose en saber deaplicación. Al conjunto de las transforma-ciones que sufre un saber para pasar delsaber a enseñar 5 al saber de aplicación6

se le denominará transposición contex-tualizada” (Camarena, 1999, p. 159).Este acercamiento se basa en la trans-posición didáctica, noción introducida porChevallard (1985).

A partir de dicho planteamiento, nos pre-guntamos: ¿Cuáles son las característi-

cas de este saber de aplicación? ¿Cuáles el papel que desempeña en la resolu-ción de un problema de ingeniería y cuá-les son las características del pensa-miento que se presentan o se asociancon su uso?

Por otra parte, la investigación de Kent &Noss (2002), realizada con el fin de ob-servar la abstracción matemática en eluso que se hace de las matemáticas enla práctica de la ingeniería, se remitió aobservar la práctica de los ingenieros ci-viles en una pequeña empresa; es decir,en un escenario real. Dentro de esaempresa, los ingenieros usan las mate-máticas basándose en los códigos depráctica, entre los que se encuentran re-comendaciones para realizar diseños es-tructurales de acero, concreto, madera,etc. Cuando se requiere de conocimien-tos matemáticos avanzados, se consul-ta a un especialista analítico, un inge-niero cuya actividad se centra en laresolución de problemas matemáticos quelos otros no logran resolver. Sin embar-go, los ingenieros a quienes se lesresuelven los problemas matemáticosalcanzan un nivel de entendimiento so-bre la solución del problema matemáti-co, pues son capaces de usar los resul-tados.

A partir de su observación sobre el traba-jo de los ingenieros, estos investigado-res determinaron tres componentes en eldesarrollo de sus actividades, que formanun ciclo: diseño, análisis y revisión. Tam-bién notaron los cambios que ocurren enel proceso cuando se va de la compo-nente de análisis a la de diseño, un fenó-meno al que le atribuyen la noción de in-terfaces. Por ejemplo, en la interfasediseñador-especialista aparece una ca-


racterística similar al aspecto de enten-der a través del uso (Kent & Noss, 2002),ya que el especialista resuelve un pro-blema complejo a través de la actividadmatemática, y el resultado es entregadoal diseñador en forma de modelo generalde ingeniería, quien lo puede compren-der por sus conocimientos matemáticosy llega a modificarlo al alterar paráme-tros o realizar ajustes.

El sustento teórico de esta investigaciónse basa en otro trabajo de Kent & Noss,Situated abstraction and layering, dondela abstracción se define como “conoci-miento-en-uso, observable como la inva-riancia de relaciones” (Kent & Noss,2001). A la luz de estudio, se obtiene unresultado importante:

“El usuario del procedimiento esquien opera más abstractamenteque el programador; a diferenciadel usuario de matemáticas, el in-geniero es menos abstracto queel especialista analítico o el mate-mático” (Kent & Noss, 2002).

Los resultados de esta investigación per-miten observar la complejidad de la acti-vidad matemática del ingeniero. Asimis-mo, muestran que para abordar estacomplejidad se requiere de la construc-ción y desarrollo de herramientas teóri-cas específicas que permitan estudiarlay analizarla.

Nuestro trabajo considera también el es-tudio de una actividad profesional delingeniero, pero desde una perspectiva dis-tinta, ya que analizamos tesis de inge-niería que resuelven un problema de lavida real; es decir, analizamos una activi-dad profesional del ingeniero, pero no enel tiempo ni en las condiciones reales enlas que fue desarrollada, sino en el re-

porte académico que da cuenta de ello.Poder generar un método que permitaacercarnos a la naturaleza de la mate-mática en un contexto de ingeniería de-berá, posteriormente, favorecer una di-dáctica de la matemática en la formaciónde ingenieros que pueda ofrecer a los es-tudiantes de ingeniería, desde su forma-ción, una herramienta teórica para supráctica.

Para analizar el uso de conceptos mate-máticos en el desarrollo de los proyec-tos de ingeniería hemos considerado quepueden ser estudiados a partir de la con-sideración de la caracterización del pen-samiento matemático. Bajo esta hipóte-sis, presentamos las consideracionesteóricas en las que se basa la herra-mienta metodológica que hemos dise-ñado con el fin de analizar las tesis.

3. CONSIDERACIONES TEÓRICAS

Nuestra investigación se circunscribe almarco teórico de los modos de pensa-miento teórico y práctico, desarrollado porSierpinska, et al. (2002). A partir de estemodelo, diseñamos una herramienta me-todológica que consideró las caracterís-ticas de los elementos matemáticos(descritas en las categorías del pensa-miento teórico y práctico), con la inten-ción de definir los posibles usos que po-dían ejercer en las tesis de ingeniería.Dichas características, junto con el aná-lisis de la tesis, nos permitieron estudiarlos rasgos que pueden tener los elemen-tos matemáticos empíricos surgidos enla práctica de la ingeniería, así como enel tipo de pensamiento que se asocia aestos usos. Presentamos a continua-ción el modelo de los pensamientos teó-rico y práctico:

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3.1. Pensamiento teórico y pensa-miento práctico

El pensamiento práctico se distingue delteórico en su objetivo, objeto, preocupa-ciones principales y resultados:

• El pensamiento teórico es el que seproduce en el hecho puro de pensar;tiene como objeto a los sistemas deconceptos; estudia las relaciones ycaracterísticas entre conceptos y sis-temas de conceptos.

• El pensamiento práctico es el que segenera con el fin de obtener algo enconcreto; está asociado a objetos,hechos o fenómenos particulares; secentra en el significado de acciones(Sierpinska, 1994, p. 24), mientrasque su validez depende de lo factible.

3.2. Caracterización del pensamien-to teórico

El pensamiento teórico se distingue portres categorías principales: reflexivo, sis-témico y analítico. Empero, Sierpinska,et al (2002) consideraron necesario iden-tificar en estas categorías a otros rasgosmás específicos, en términos de com-portamientos observables. Cabe mencio-nar que tales comportamientos corres-ponden a la naturaleza de la entrevistaque se hizo7 y no son exhaustivas. Noobstante, las categorías generales esta-blecidas se relacionan con la caracteri-zación del pensamiento.

Reflexivo: El pensamiento teórico espensamiento por el afán de pensar.

Dentro de esta característica se conside-ran tres comportamientos observables: losmodos para resolver y encontrar una o va-rias soluciones posibles a los problemasmatemáticos, que atañen a inferir, conje-turar y trabajar de manera sistemática laconsideración del significado intrínseco delos conceptos y el uso del discurso rela-cional.

Sistémico: El pensamiento teórico secircunscribe a los sistemas de concep-tos, cuyo significado es establecido porsus relaciones con otros conceptos, nocon cosas particulares o eventos. Lassubcategorías del pensamiento sistémi-co son definicional, demostrativo e hipo-tético, y en cada una se consideran com-portamientos asociados.

Definicional: Los significados de los con-ceptos se establecen mediante definicio-nes. Los compartimientos asociados sonel uso de categorización formal; la refe-rencia al contexto algebraico o gráfico,cuando se decide sobre significados, asícomo el reconocimiento del estatus de ladefinición de un concepto, independien-temente de los contextos y representa-ciones.

Demostrativo: El pensamiento teóricoestá relacionado con la coherencia inter-na de sistemas conceptuales. Los com-portamientos asociados son la actividadde demostración como medio para justifi-car y validar; refutar un enunciado gene-ral mediante la contradicción, y el razo-namiento axiomático.

Hipotético: El pensamiento teórico esconsciente del carácter condicional de

7 Esta entrevista (en el sentido genérico del término) de tipo clínico fue realizada en el marco de la investigaciónSierpinska, et al (2002). Se pedía a los estudiantes la resolución de ciertos problemas especialmente diseñados parapermitir la identificación de las características de un pensamiento teórico, práctico o mixto. La entrevista era laherramienta metodológica que permitía ahondar en el pensamiento usado por el estudiante al momento de trabajar dichosproblemas.

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tico tiene una función primordial y centraldentro del quehacer de la ingeniería, yaque privilegia la acción sobre cosas ohechos concretos.

Al reflexionar sobre la presencia del pen-samiento práctico en la ingeniería y esti-mar que las matemáticas que conformanla ingeniería tienen un carácter de aplica-ción, nos preguntamos: ¿Qué tipo depensamiento se presenta cuando se apli-ca un concepto matemático? Si este pen-samiento es el práctico, ¿cuáles son suscaracterísticas?

Pensamos que puede haber distintos ti-pos y niveles de aplicación de un con-cepto, entendiendo que el hecho de apli-car un concepto no es inferior al de crearun concepto, sino que estos diferenteshechos tienen una naturaleza distinta, quenos interesa estudiar. Además, las apli-caciones pueden dar lugar a la creaciónde nuevos conocimientos o a la organi-zación del conocimiento mediante expe-riencias que retroalimentan la teoría.

El marco de los modos de pensamientonos permite considerar que hay diferen-tes modos de pensamiento relacionadoscon la actividad matemática, como la crea-ción de conocimiento matemático, el en-tendimiento y uso de los conceptos ma-temáticos, y los diferentes usos y nivelesde estos elementos matemáticos que, asu vez, están relacionados con su propianaturaleza.

4. METODOLOGÍA

4.1. Las tesis de ingeniería, objeto deestudio

Nuestros objetos de estudio son tesis deingeniería en sistemas de nivel maestría,

sus enunciados, ya que busca descubrirlas suposiciones implícitas y estudiar to-dos los casos lógicos posibles. Aquí, elcomportamiento asociado es reconocerel carácter condicional de los enunciadosmatemáticos.

Analítico: El pensamiento teórico tieneuna aproximación analítica a los signos.Esta categoría presenta dos subcatego-rías y sus comportamientos asociados:

a) Sensitividad lingüística: ser sensiblea la notación simbólica formal.

b) Sensitividad metalingüística: Recono-cer la distancia entre signos y obje-tos, así como el significado de loscuantificadores universales y los co-nectivos lógicos.

El marco teórico que hemos descrito re-fiere las características del pensamientomatemático en su propia disciplina, con-siderando en específico una de sus ra-mas: el álgebra lineal. Cabe mencionarque Sierpinska, et al. (2002) creen en lanecesidad de ambos modos de pensa-miento para comprender las teorías ma-temáticas: “Las matemáticas se desarro-llaron debido a que algunos individuosempezaron a ver patrones generales enactividades prácticas y empezaron a de-sarrollar maneras sofisticadas de repre-sentar estos patrones”.

Consideramos que estos modos de pen-samiento juegan un papel específico enla ingeniería, pues es una ciencia de na-turaleza práctica que se constituye paraobtener productos, procesos u obras con-cretas, dependiendo de la especialidad ala que se haga referencia. Asimismo, so-luciona problemas que se originan en lavida real, o bien ofrece productos que po-sibilitan una mejora de algún proceso, deuna obra civil, etc. El pensamiento prác-


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que estudian y dan solución a problemá-ticas de alguna empresa o industria8. Talcaracterística las hace sumamente inte-resantes porque el uso de la matemáticano está considerado dentro de un proble-ma artificial, sino se ocupa para estudiary dar solución a una problemática real,donde el factor tiempo tiene un peso dis-tinto que en una situación problemáticaartificial. Por otro lado, el reporte sobrela solución de dicha problemática es aca-démico, ofrece una argumentación de lasolución que exige justificaciones, ya seaen cuanto al uso de herramientas, méto-dos o fórmulas.

La elección de las tesis se basó en dosaspectos:

1) Contenido matemático. Las tesisdebían comportar en su desarrollo uncontenido matemático importante quenos permitiera, en la fase de análisis,poder estudiar el papel que des-empeñaba.

2) Problemática abordada. La proble-mática abordada fue otro aspecto aconsiderar, ya que elegimos tesis queno abordaran lo mismo, a fin de tenerun espectro mínimo de problemáticaspara nuestro análisis.

4.2. La herramienta de análisis

Como las tesis abordaban problemáticasdistintas, juzgamos que para efectuar suanálisis la primera fase debía comportarel estudio y comprensión de la proble-mática, mientras que en la siguiente fasese debía identificar las características del

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contenido matemático que fueran invarian-tes o pudieran considerarse regulares enlas cuatro tesis. Para ello, era necesariohacer lecturas analíticas sobre cada unade las tesis que nos permitieran identifi-car posibles categorías del uso del con-tenido matemático, seguido de un proce-so de afinación sobre las mismas. Así,nuestra metodología partió de un análisisde las tesis para identificar un posiblemodelo que pudiera darnos pistas sobreel papel del contenido matemático.

Este primer análisis de las tesis nos en-frentó a la naturaleza del contenido mate-mático en el contexto de un proyecto deingeniería. Debido a la naturaleza de nues-tro trabajo, que se centraba en el análisisde las tesis y en la literatura que referían,nuestro objetivo no consistía en determi-nar las adaptaciones que el contenido ma-temático había sufrido en tanto saber es-colar y saber de aplicación, sino enanalizar su rol en la solución del proyec-to, según los términos que se redefiníanlos elementos matemáticos, para deveniren una herramienta práctica, a pesar deque en la solución del proyecto fungíancomo elementos teóricos.

Por otra parte, discurrir de entrada que elcontenido matemático de los proyectoses un saber escolar que ha sufrido adap-taciones supone negar la existencia deelementos matemáticos surgidos en lapráctica de la ingeniería. Era, en parte,apreciar que el conocimiento matemáti-co presente en un proyecto de ingenieríapasa naturalmente por el ciclo de vidasaber sabio, saber escolar y saber deaplicación. Si bien en nuestro estudiodistinguimos a las características del

8 Los autores de las tesis, estudiantes de la maestría en Sistemas del Instituto Politécnico Nacional, en general hanlaborado en alguna empresa o industria. Al ingresar a la maestría, gran parte de ellos logra mantener sus puestos detrabajo, a cambio de que consideren en sus tesis una problemática de la empresa o de la industria en la que hanlaborado, con el objetivo de estudiarla y darle solución.


elemento matemático como parte de lateoría matemática, y de manera másprecisa a las descritas en el modelo delpensamiento teórico –no de manera ex-haustiva–, también era claro que nos in-teresaba tomar en cuenta a los elemen-tos matemáticos empíricos que podríansurgir en la práctica de la ingeniería.

El otro elemento a considerar para pro-poner un método de análisis era el ca-rácter académico de las tesis, ya que nospermitía acceder a los argumentos queel ingeniero –autor de la tesis– daba paraelegir una herramienta matemática, unmétodo, un modelo, una fórmula; ensuma, cómo el modelo matemático ser-vía para el estudio y solución a la proble-mática abordada. Más que interesarnosen las distintas características y clasesde los modelos que podían ser utiliza-dos, como los reportados en Camarena(2001), nuestro método debía permitirnosdar cuenta de la naturaleza de la mate-mática que se usaba en los proyectos,de los modelos matemáticos utilizados,del empleo que se hacía de ellos, delpensamiento matemático que pudieraestar asociado a este uso.

Para ello, elaboramos una herramientametodológica que distingue cuatro cate-gorías: 1) uso del concepto; 2) compo-nente matemático; 3) relación entre losconceptos matemáticos y los conceptospropios de la ingeniería, y 4) condicióndel elemento matemático. Dichas cate-gorías se enfocan en el contenido mate-mático y su uso.

La propuesta de tales categorías se basaen la distinción que establece el acerca-miento teórico entre los modos de pen-samiento teórico y práctico. Considera-mos que el uso del concepto matemáticode manera práctica o teórica puede darle

nuevos significados a los términos teóri-co y práctico; en ese sentido, hablamosdel uso conceptual y del uso técnico deun concepto matemático. Asimismo, quesi dentro de un proyecto de ingeniería hayun contenido matemático, el papel quedesempeña puede ser de diferentes ni-veles.

Al hablar de un contenido matemáticousado en un contexto de ingeniería, erapertinente observar las conexiones entrelos conceptos matemáticos y los de in-geniería. Por otro lado, creemos que losconceptos de las matemáticas se modi-fican al momento de utilizarse en un pro-yecto de ingeniería por la naturaleza mis-ma de la ingeniería. El estudio de talescambios nos interesa como un elemen-to que nos permita referir la vida de uncontenido matemático en un contexto deingeniería.

Definimos a continuación cada una delas categorías que integran nuestro mé-todo de análisis.

1) Uso del concepto

El uso del concepto es la función quedesempeña el concepto matemático den-tro del proyecto. Aquí, consideramos dosdiferentes usos:

Uso conceptual: En este rubro repara-mos en dos posibilidades

• El concepto es utilizado haciendo re-ferencia a su definición, al cuerpo teó-rico que pertenece y a las conexio-nes que mantiene con otrosconceptos matemáticos.

• El concepto es utilizado como mode-lo, ya que para poder modelar un fe-

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nómeno necesitan ser conocidas lascaracterísticas y propiedades quedefinen al concepto matemático, demanera que se pueda elegir como mo-delo de un fenómeno, elemento, etc.

Uso técnico: Se usa como resultado latécnica, el algoritmo del concepto, la apli-cación de un método o modelo de ma-nera sistemática; es decir, se emplea untipo específico de modelos para un tipoespecífico de problemas.

2) Componente matemático

El componente matemático del proyec-to de ingeniería alude al conformado porlos conceptos, modelos, algoritmos, fór-mulas o métodos vistos en conjunto,percibidos como un solo ente. Tal aspectonos permite considerar el nivel de impor-tancia del contenido matemático, aten-diendo a su requerimiento para la cons-titución del proyecto.

Identificamos dos tipos de componentesmatemáticos, de acuerdo con su impor-tancia en la constitución del proyecto:

Componente matemático esencial: Ocu-rre cuando el contenido matemático esparte medular del proyecto, en el que seestructura y consolida. Aquí hacemosreferencia, por ejemplo, al uso de mode-los matemáticos que al ser aplicados enel proyecto lo fundamentan.

Componente matemático facilitador: Seda cuando el contenido matemático esun elemento que facilita la constitucióndel proyecto, pero su presencia no esdeterminante para su realización. Aquícontemplamos a las fórmulas, los méto-dos y los algoritmos, que sin duda sonherramientas que posibilitan la obtención

de resultados, mas no sostienen de ma-nera importante el proyecto.

3) Relación entre conceptos matemá-ticos y conceptos propios de la in-geniería

Sabemos que cualquier concepto mate-mático de manera natural tiene conexio-nes con otros conceptos matemáticosdentro de la teoría a la que pertenece.Pretendemos observar cómo son las re-laciones entre los conceptos matemáti-cos y los de la ingeniería que están en elproyecto, pues tal vínculo nos permitirácaracterizar el rol que juega allí el con-cepto matemático.

4) Condición del elemento matemá-tico

El concepto matemático tiene caracterís-ticas específicas dentro de la teoría ma-temática. Nos preguntamos si son lasmismas cuando es aplicado a un proyec-to específico; en este caso, uno de inge-niería. Por ello, trataremos de observar sisufre alguna trasformación al ser aplica-do; es decir, si evoluciona, si contribuyea la teoría matemática o aparece sólocomo un elemento inmutable de ella. Ensuma, apreciar la naturaleza del elemen-to matemático aplicado en la ingeniería através de su presencia en el proyecto.

5. ANÁLISIS DE LAS TESIS

5.1. Condiciones para el análisis

A fin de determinar el papel del con-tenido matemático hicimos el análisisde las tesis, considerando tres partes:


objetivos, cuerpo y conclusiones. Cadauna define una parte importante del tra-bajo, aunque en diferente sentido.

Los objetivos constituyen en ciertamedida la dirección del trabajo; por ello,observamos si plantean el uso de con-ceptos matemáticos y cómo lo hacen,valiéndose de la categoría uso del con-cepto.

El cuerpo de la tesis, parte central deltrabajo, integra el planteamiento del pro-blema y el desarrollo de su resolución.Para analizar cómo funge el contenidomatemático, empleamos las cuatro ca-tegorías de análisis que describimos an-teriormente.

Las conclusiones enmarcan los resulta-dos de la tesis. Aquí, nos interesa ver sies tomado en cuenta el componentematemático, si el autor considera que in-fluyó o determinó los resultados o si losresultados constituyen un logro matemá-tico y una contribución a la teoría mate-mática.

En nuestro trabajo, a cada análisis detesis antecedió una descripción generalde la problemática abordada. Luego, apa-recieron 1) el análisis de los objetivos,utilizando la categoría uso del concepto;2) el análisis del cuerpo de la tesis, em-pleando las cuatro categorías que con-forman nuestro método, y 3) el análisisde las conclusiones, recurriendo a la ca-tegoría componente matemático. Presen-tamos a continuación el análisis de latesis como prototipo de los otros análi-sis y como ejemplo.

5.2. Presentación de la tesis: Dise-ño y simulación de una red neuronalaplicada al problema de distribuciónóptima de planta (Martínez, 2002)

Síntesis de la tesis

El problema a resolver dentro del proyec-to es el de distribución de planta. Con-siste en tener un área donde se requiereubicar un conjunto de elementos, quepueden ser departamentos, máquinas uotros de manera óptima, con el fin deobtener el mayor beneficio posible, yasea en términos de costos o utilidades.

Ahora bien, este tipo de problema ha sidoestudiado por mucho tiempo, debido ala importancia que tiene para la indus-tria. Y aunque se han desarrollado mo-delos matemáticos que han empleadomúltiples métodos, no se ha encontradoninguna aproximación que garantice unasolución óptima. Dentro del proyecto sepresentan algunos de los más utilizados,así como una metodología, técnicas yherramientas para resolver el problemade distribución de planta. Se enfatiza eneste trabajo la aproximación del Proble-ma de Asignación Cuadrática (QAP), quefue elegido para representar el problema.

Para definir los problemas de optimiza-ción cuadráticos, donde se enmarca elQAP, se hace referencia a la siguientecita:

En general, los problemas de op-timización cuadráticos son proble-mas de optimización no lineal enlos cuales una función cuadrática

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Cicjocki, A. & Unbehauen, R. (1993). Neural networks for optimization an signal processing. UK: Wiley.9

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debe minimizarse o maximizarse,sujeta a restricciones lineales yusualmente a restricciones no ne-gativas en las variables de diseño(Cicjocki y Unbehauen, 19939, cit.en Martínez, 2002, p. 23).

Luego se presenta el problema de asig-nación cuadrático y la forma en que solu-ciona el problema de distribución.

En el problema de asignación cua-drático en particular existen n de-partamentos que serán ubicadoso distribuidos en n sitios; es decir,el espacio a distribuir se divide enn áreas o sitios exactamente igua-les por restricción (Martínez, 2002,p. 23).

Tal situación se representa mediante lasiguiente figura:

Figura 2.4. Representación del Problema deAsignación Cuadrática

(tomada de Martínez, 2002, p. 26).

Se considera el flujo que hay entre per-sonas, la información y los materialesentre dos departamentos, donde tambiénse marca una distancia determinada del

problema, recurriendo a la distancia rec-tilínea entre sus centroides. Se presentala siguiente figura:

Figura 2.5. Distancia rectilínea entre centroi-des de dos departamentos

(tomada de Martínez, 2002, p. 26).

También se considera el costo de movi-miento para cada elemento que se mue-ve entre los departamentos (material, ma-quinaria o personal).

El objetivo del problema se enmarca dela manera siguiente:

El objetivo del problema es mini-mizar el costo total de la distribu-ción. Dicho costo puede calcular-se de la siguiente manera: paracada distribución posible se mul-tiplica el costo de movimiento en-tre el par de departamentos, por elflujo entre ellos, por la distancia en-tre los sitios asignados y se sumacada uno de estos costos. (Martí-nez, 2002).

El modelo matemático se presenta así:

Minimizar:

∑∑∑∑=

≠= =

≠=

=N

i

N

ijj

N

h

N

hkk

jkihihjk xxcZ1 1 1 12

1

Sujeto a:

para toda h

para toda i

{ }1,0∈ihxDonde:

Cijhk = á ij fij dhk = Costo de asignar los de-partamentos i y j a los sitios h y k, res-pectivamente.

fij = Flujo de material entre los departa-mentos i y j.

dhk = Distancia entre los sitios h y k.

αij = Costo de mover una unidad de ma-terial una unidad de distancia entre losdepartamentos i y j.

Para solucionar el QAP, se propone comoherramienta de solución a las redes neu-ronales.

Una red neuronal puede definirse comoun conjunto de elementos interconecta-dos jerárquicamente, que se comportancomo sus análogos biológicos. Su fun-cionamiento se puede describir en térmi-nos generales como sigue: la red recibeinformación del entorno o de otras neuro-

nas artificiales, o bien por medio de unafunción, que es llamada función de en-trada; la información es trabajada por unafunción de procesamiento que correspon-de a esta neurona y la información obte-nida es entregada como función de sali-da.

Para la solución del modelo se ocupa lamáquina de Boltzmann, ya que el fin con-siste en minimizar el costo de la distribu-ción. Los problemas de optimización cua-dráticos están representados por unafunción cuadrática (que es su función ob-jetivo), y será simbolizada por la funciónde energía10 de la red, pues ésta, al lle-gar a los estados estables mínimos, en-contrará el costo mínimo del problema.

Mostramos la función de energía de lared:

Donde:

w ij= Peso de la conexión entre las neu-ronas i y j, respectivamente.

si = Valor de la salida de la neurona i.

sj = Valor de la salida de la neurona j.

è i = Valor del umbral de la función de ac-tivación de la neurona i.

(Martínez, 2002, p. 51)

También es importante señalar que lasmáquinas de Boltzmann pueden represen-

10 En el proyecto se hace referencia a la cita de Tagliarini et al. (1991), Optimization using neural networks. IEEE Trans.Computers 40 (12), 1347-1358. “Para significar la función de energía, aclarando que está basado en una analogía entreel comportamiento de la red neuronal y el de ciertos sistemas físicos: así como éstos evolucionan hacia un estadode equilibrio, una red de neuronas siempre evolucionará hacia un mínimo de la función de energía; por lo que losestados estables de una red corresponden al mínimo local de la función de energía, el número de mínimos correspon-de al número de informaciones de entrada que se hayan proporcionado” (Martínez, 2002, p. 46).


∑=

=N

iihx

1

1

∑=

≤N

hihx

1

1

∑ ∑ ∑= = =

+=N

i

N

j

N

iiijiij ssswE

1 1 121 θ

x =jk {1 Si el departamento es asignado al departamento

De otra manera

ik

0

Relime

con las constantes de castigoA>0, B>0, C>0, D>0 (Martínez,2002, p. 58).

Esta función de energía corresponde alproblema QAP, y al ser minimizada ofre-cerá los mínimos del problema. Sin em-bargo, falta establecer la manera para quecada término de la función sea mínimo,por lo cual se establecen los pesos de lared (cada término de la función de ener-gía) con el siguiente procedimiento:

Para obtener los pesos puedenconsiderarse por separado cadauno de los términos de la expre-sión anterior11. El primer términoserá mínimo cuando la suma delas salidas en cada fila, asocia-da con sitios, sea uno. El segun-do término de la ecuación serámínimo cuando la suma de las sa-lidas en cada columna, asociadacon departamentos, sea uno. Eltercer término ocasiona que la redfavorezca los estados 0 y 1 delas neuronas que están en uno uotro estado; dicho término ejerceinfluencia en todas las neuronasde la red (Martínez, 2002, p. 59).

Los pesos se pueden obtener específica-mente mediante la expresión matemáti-ca:

( ) ( ) CBAW ijhkhkijijhk −−−−= δδδδ 11

y CNi −=θ , donde iδ es la función deltade Kronecker

⎩⎨⎧ =

=contrario lo de

si

01 ji

ijδ

(Martínez, 2002, p. 59)

Función de energía correspondiente al problema QAP.11

130

tarse con un arreglo bidimensional, don-de para determinar que una salida de lared corresponda a una solución del pro-blema se definirá que cada fila represen-te un sitio y cada columna un departa-mento.

El problema de QAP está representadopor una función objetivo, mientras que lared neuronal –máquina de Boltzmann– sesimboliza por la función de energía paraque la máquina de Boltzmann sea la quedé solución al problema QAP.

Se considera necesario representar demanera equivalente la función de energíay la función objetivo del QAP. Para lograr-lo, hay que mostrar la función objetivo sinrestricciones, en forma de función deenergía, con el fin de que al utilizarla losmínimos favorezcan aquellos estados quebeneficien que:

1. Los departamentos se ubiquen enun solo sitio.

2. Se obtenga el costo menor, depen-diendo de la distancia mínima entrelos pares de departamentos y el flujoentre ellos (Martínez, 2002, p. 57).

Para eliminar las restricciones de la fun-ción objetivo se utiliza el método de fun-ciones de castigo que, al ser aplicado,da la función de energía correspondienteal problema QAP, que es expresada dela siguiente manera:

( ) ∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑

= = = == =

= == =

+−+

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

N

i

N

j

N

h

N

kjkihijhk

N

i

N

hihih

N

i

N

hih

N

i

N

hih

xxcDxxC

xBxAE

1 1 1 11 1

1

2

11

2

1

1

11

En esta ecuación de los pesos falta porconsiderar el último término de la funciónde energía del QAP, que está relaciona-do con el costo de la asignación. Paradeterminarlo, se hace el siguiente plan-teamiento:

Para intentar minimizar de algunaforma este término puede consi-derarse preferir sitios que involu-cren el menor costo; es decir, pre-ferir la inhibición de la selecciónde sitios adyacentes en propor-ción al costo entre ellos calcula-do por la distancia y el flujo entreesos sitios.

Esto podría expresarse con la si-guiente magnitud:

)( 11 −+ +− jijiijhk fdD δδ

donde dhk representa la distanciaentre el sitio h y el sitio k, y fij esel flujo entre los departamentos iy j. Para una fila j, los dos térmi-nos delta aseguran que se haganconexiones inhibitorias sólo conlas neuronas de filas adyacentes,sitios que se encuentren cercanosal de la fila j. El término ijhk fdD−asegura que las neuronas que re-presenten a las asignaciones conmás costo reciban la mayor se-ñal inhibitoria.

Por lo que la expresión para lospesos es:

(Martínez, 2002, p. 61)

Posteriormente, se implementa la red me-diante una simulación computacional para

obtener una respuesta inmediata y concostos mínimos.

5.3. Análisis de la tesis

La primera parte del análisis está hechasobre los objetivos de la tesis. Aquí, seutilizan las categorías uso del conceptoy componente matemático para dar cuen-ta de cómo es visualizado el contenidomatemático.

5.3.1. Objetivos

En la tesis hay un objetivo general y sie-te objetivos específicos. Consideramostres de ellos, ya que enuncian el elemen-to matemático:

Modelar el problema de distribu-ción de planta como un proble-ma de optimización matemática(Martínez, 2002, p. XII).

Presentar como una alternativade solución para problemas deoptimización matemática a las re-des neuronales (Martínez, 2002,p. XII).

Diseñar una red neuronal que re-suelva –un modelo de optimiza-ción– el problema de distribuciónde planta (Martínez, 2002, p. XII).

Dichos objetivos establecen la manera deresolver el problema: convertirlo en unode índole matemática. La forma de bus-car la solución al problema de la distri-bución de planta (problema principal aresolver en este proyecto) está proponién-dose bajo un modelo matemático.

Consideramos que el contenido mate-mático está visualizándose como uncomponente esencial en el proyecto, al


)(

)1()1(

11 −+ Δ+Δ−−

−Δ−Δ−Δ−Δ=

jijiijhk

ijhkhkijijhk

fdDC

BAW

Relime

12 Se implementó la red mediante una simulación, para lo cual eligieron modificar un simulador existente; dentro dela programación de este simulador se utilizó el concepto de matriz.

132

ser el eje sobre el que se gira el desarro-llo de la tesis.

Además de que se intenta resolver el pro-blema de distribución de planta bajo unmodelo de optimización matemática, sepropone ampliar las soluciones a los pro-blemas de optimización matemática me-diante la herramienta redes neuronales,de manera que no está pensada para te-ner un uso técnico porque se pretendeampliarla y evolucionarla. Para ello, serequiere de la consideración de la teoríaa la que pertenece.

Por tanto, se concibe un uso conceptualde la optimización matemática.

5.3.2. Cuerpo de la tesis

La segunda parte del análisis com-prende el cuerpo de la tesis. Aquí, seemplean las cuatro categorías de la he-rramienta metodológica: uso del concep-to, componente matemático, relaciónentre conceptos matemáticos y con-ceptos propios de la ingeniería y condi-ción del elemento matemático.

Uso del concepto

Uno de los conceptos que son maneja-dos en la resolución de este proyecto esel de matriz. A continuación, analizare-mos su uso.

El elemento matemático de la matriz esrequerido en diferentes partes del proyec-to. Aparece en el diseño de la red, masno se hace referencia explícita a su defi-nición ni a la teoría a la que pertenece.Por ello, es considerada como un arre-

glo bidimensional e incluso podríamosdecir que su uso no es conceptual. Loque sí es explícito es su significacióncomo representación de la red neuronal.

Las redes de Hopfield y las má-quinas de Boltzmann pueden re-presentarse de manera gráficacomo un arreglo. En el caso delQAP, para determinar que una sa-lida de la red corresponda a unasolución del problema puede defi-nirse que cada fila represente unsitio, y cada columna representeun departamento (Martínez, 2002,p. 56).

... se utilizan n2 neuronas, donden es el número de departamentos,cada uno a un sitio. Se hace unarepresentación en dos dimensio-nes de las neuronas que forman lared, lo que en la programación12 esrepresentado con una matriz o unarreglo de dos dimensiones; esdecir, cada elemento del arreglo re-presenta una neurona con dos ín-dices. El primer índice representael departamento y el segundo ín-dice el número del sitio donde debecolocarse cada departamento(Martínez, 2002, p. 63).

... el círculo más oscuro represen-ta que la neurona correspondientea la fila i y columna j está encendi-da, lo cual significa que su hipóte-sis13 correspondiente es verdade-ra (Martínez, 2002, p. 56).

Según este arreglo, al llegar a unasolución se obtendría que solamen-te una neurona (o elemento delarreglo), por cada fila y por cadacolumna, tendría un valor de 1 oencendido (Martínez, 2002, p. 64).

Donde ija representa que el de-partamento j se ubica en el sitio i.

La salida respectiva para esta so-lución en forma de matriz sería lasiguiente:

Departamento 1 en Sitio 4




(Martínez, 2002, p. 64)

La matriz funge como el modelo que re-presenta a la red neuronal. Sin embargo,nos preguntamos: ¿qué conocimientodebe tenerse de un concepto para usarlocomo modelo? Es decir, si no se conocesu definición, propiedades ni característi-

cas que lo conforman, ¿cómo puede pen-sarse que simboliza cierto problema, con-cepto o elemento?

En este caso, la matriz representa unared neuronal que debe asignar un depar-tamento a cada sitio; para ello, se debe-rá tener una matriz con un único uno porrenglón y columna, de forma que se en-cuentre sólo un departamento para cadasitio. Un elemento necesario a conside-rar es la distancia entre departamentos,en el que caben dos posibilidades con laayuda de la programación: construir unamatriz de distancias o que el programalas calcule a partir de la posición de losdepartamentos.

Para la primera opción, es preciso cono-cer las relaciones que designan a los ele-mentos de una matriz. Mostramos cómolas obtienen:

Los pesos de la red se represen-tan mediante un arreglo de cuatrodimensiones porque dichos pesosse forman de la siguiente manera:

ihjkW es el peso entre el par deneuronas ih (fila i y columna h) yjk (fila j y columna k).

El cálculo de los pesos se hacedel siguiente modo:

( ) ( )( )11

11

−+ Δ+Δ−−

−Δ−Δ−Δ−Δ−=

jijiijhk

ijhkhkijihjk

fDdC

BAW

y CNi −=θ

donde ij es la función delta deKronecker:

Herramienta metodológica para el análisis de los conceptos matemáticos en el ejercicio...

13 La regla se basa en el hecho de que cada neurona en la red representa una hipótesis. Cuando una neurona seencuentra en estado ON, es decir, encendida, en el momento que la red alcanza un estado estable significa que suhipótesis es verdadera (Martínez, 2002, p. 55).

133

Relime134

⎩⎨⎧ =

=Δcontrario lo de

si

01 ji

ij

y A, B, C y D son parámetros decastigo (Martínez, 2002, p. 65).

Al emplear una matriz para calcular lasdistancias, deben ser conocidas sus ca-racterísticas y propiedades que la defi-nen para poder tener esta aplicación.El uso de la matriz a este nivel es con-ceptual.

La segunda opción es que el programarecurra a una función preestablecida,ocupando el siguiente algoritmo:

1. Determinar la matriz de distancias,la matriz de flujos y la matriz de cos-tos de movimiento (Martínez, 2002,p. 65).

El uso de la matriz en el algoritmo ante-rior es técnico, ya que tiene como obje-tivo encontrar un resultado, por lo cualno se requiere conocer la definición nilas características del concepto.

Componente matemático

El componente matemático es esencial,debido a que el problema de distribuciónde planta es formado a través de un mo-delo matemático de optimización cuadrá-tica, por lo que se torna en el eje del pro-yecto. Darle solución al problema deoptimización significa resolver el proble-ma de distribución de planta que justifi-ca la conformación del proyecto.

Una de las representaciones delproblema de distribución de plan-ta es un modelo de optimizaciónmatemática. El modelo que se eli-gió en este trabajo fue el proble-

ma de asignación cuadrática (Mar-tínez, 2002, p. 37).

Se ha planteado resolver el proble-ma de distribución óptima de plan-ta modelado a través del problemade asignación cuadrática, y elabo-rando una red neuronal del tipomáquina de Boltzmann (Martínez,2002, p. 63).

Relación entre conceptos matemáticos yconceptos propios de la Ingeniería

En este proyecto el concepto de ingenie-ría de mayor importancia es la red neuro-nal, que se relaciona estrechamente conel contenido matemático, pues su propó-sito es dar solución al modelo de optimi-zación matemático usado.

Las redes de Hopfield y las máqui-nas de Boltzmann se aplican bási-camente con dos propósitos: comomemorias asociativas o para resol-ver problemas de optimización (Mar-tínez, 2002, p. 52).

En general, una red neuronal re-suelve satisfactoriamente un proble-ma específico de optimización com-binatoria si es capaz de encontraruna solución cercana a la óptima,aunque no sea necesariamenteésta (Martínez, 2002, p. 52).

Dentro de la teoría matemática, específi-camente de la optimización matemática,la red neuronal no es un concepto mate-mático propio; sin embargo, dentro delproyecto dará solución al problema deoptimización matemática, se convertirá enparte de él.

Para el diseño de la red, se requiere deun arreglo matricial que modele el com-


portamiento de la matriz, y cada uno desus elementos tendrá un significado parala solución del problema. El elementomatemático no se utiliza como tal, sinose convierte en la representación de lared.

Las redes de Hopfield y las máqui-nas de Boltzmann pueden repre-sentarse de manera gráfica comoun arreglo. En el caso del QAP,para determinar que una salida dela red corresponda a una solucióndel problema puede definirse quecada fila represente un sitio y cadacolumna un departamento (Martí-nez, 2002, p. 56).

La relación entre el modelo matemáticoy el de la red neuronal dentro del proyec-to es tan estrecha que no se visuali-zan como elementos distintos, sino seconforman como un solo ente, definién-dose nuevamente. Pero su conformacióndesaparece fuera del problema específi-co; ahí se diferencian y reconocen porseparado; es decir, en el proyecto el mo-delo QAP se soluciona mediante redesneuronales, más no su definición mate-mática. Fuera del proyecto son elemen-tos diferenciados uno del otro.

Las redes neuronales pueden utili-zarse como herramienta para re-solver problemas de optimizaciónmatemática combinatorios como elproblema presentado aquí, obte-niendo resultados aceptables quese acercan al óptimo. La base prin-cipal es encontrar la manera derepresentar una solución del pro-blema con las salidas de la redneuronal (Martínez, 2002, p. 76).

Condición del elemento matemático

El modelo matemático sufre una adecua-ción que sin duda lo transforma, ya quesus condiciones y características semodifican en su significación. Si presen-tamos el modelo matemático, cumpleciertas características como expresión enlenguaje matemático, claridad, coheren-cia interna, generalidad. Sin embargo, alhacer su adecuación toma significadosespecíficos, pues cada uno de sus ele-mentos representa algún componente delfenómeno que simboliza. Es decir, secondiciona a otra representación, susconexiones se establecen con concep-tos diferentes a los matemáticos.

Concepto matemático matriz n x n

nnnnnn

n

n

n

n

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

4321

4

334333231

224232221

114131211

.MMMM

L

L

L

Adecuación del concepto

Relime136

… se muestra un grupo de neuronas.La neurona 23 está encendida y seva a analizar su influencia sobre laneurona 24, que está en la mismafila y en distinta columna. Esta neu-rona 24, así como las demás de lafila 2, no deberían encenderse, pues-to que no debe resultar más de unaneurona encendida por fila (Martínez,2002, p. 60).

Según el primer término de laexpresión de los pesos para lasfilas i = 2 y j = 2 y las columnash = 3 y k = 4:

( ) ( )( )( )( )

AAA

AA hkij

−=−=

−−=

Δ−Δ−=Δ−Δ−

1011

11 3422

Por tanto, cuando la neurona 23está encendida ejercerá una inhi-bición de magnitud A sobre la neu-rona 24 para evitar que se encien-da.

Por otra parte, para evaluar la in-fluencia de la neurona 23 sobre ellamisma, se tiene que i = 2 y j = 2y las columnas h = 3 y k = 3:

( ) ( )( )( )( )

00

111

11 3322

=−=

−−=

Δ−Δ−=Δ−Δ−

AA

AA hkij

Lo que indica que la neurona 23,cuando está encendida, evita inhi-birse a sí misma (Martínez, 2002,p. 60).

5.3.3. Conclusiones

La tercera parte del análisis comprendelas conclusiones de la tesis. Aquí, se uti-

liza la categoría componente matemá-tico.

Dentro de las conclusiones, podemos re-parar que el componente matemático esesencial porque hacen consideracionesespecíficas hacia él. El papel del elemen-to de ingeniería es visualizado en torno almatemático.

Las redes como método de reso-lución de problemas de optimiza-ción es una opción aceptable (Mar-tínez, 2002, p. 77).

... se presentó la red de Hopfieldcomo una herramienta para resol-ver problemas de optimización ma-temática y una variante de ella, lamáquina de Boltzmann (Martínez,2002, p. 78).

También se propone una aportación a lateoría matemática, involucrando un ele-mento de ingeniería.

Los resultados de esta tesis pue-den sugerir el desarrollo de una me-todología para resolver problemasde optimización matemática (Mar-tínez, 2002, p. 79).

6. ALGUNOS RESULTADOS

Los resultados que presentamos corres-ponden a los análisis de las cuatro tesis,aplicando la herramienta metodológica.Aquí, los presentamos como fenómenosque dan cuenta de la actividad matemáti-ca del ingeniero en su ejercicio, aunquesu identificación no fue de manera global,sino a partir de cierta categoría del méto-do de análisis; nos servimos de ella paradescribir lo que el autor documentaba ensu tesis sobre su hacer y su cómo hacer.

Fenómeno

Contenido mate-mático como ejede un proyectode ingeniería

Evidencia del fenómeno

Se encuentra que los elementos matemáticos son losque permiten realizar el estudio del fenómeno, ademásde dar solución al problema central del proyecto median-te un modelo matemático (Optimización de la moliendade empacadores permanentes en las operaciones dereparación de pozos petroleros)

Categoría en laque se presenta

Componentematemático


Por ejemplo, cuando usamos la catego-ría componente matemático identificamoscómo el autor se sirvió de los elementosmatemáticos para resolver la problemáti-ca de su proyecto; si este servirse de lamatemática resultaba fundamental en lasolución de la tesis, entonces se dabacuenta de que el contenido matemáticoera el eje en la solución del proyecto.

Cada una de las categorías de la meto-dología nos permitieron identificar dichosfenómenos, y algunos aparecieron enmás de una de las tesis. Debido a suscaracterísticas, clasificamos en cuatrocategorías:

1) Contribución de la matemática en laresolución de un problema.

2) Aportación a la matemática.

3) Cambio en el contenido matemático.

4) Teoría de la práctica.

Para mostrar los fenómenos identificadosnos servimos de tablas. En la primera co-lumna consignamos al fenómeno identifi-cado, en la segunda a la evidencia delfenómeno, que concierne a su descrip-ción en la tesis –cuyo título pusimos en-tre paréntesis–, mientras que en la ter-cera a la categoría del método de análisisque nos permitió identificarlo.

Aportación matemática


La red neuronal resuelve el modelo matemático QAP (Di-seño y simulación de una red neuronal aplicada al pro-blema de distribución óptima de planta)

Se propone el desarrollo de una metodología para resol-ver problemas de optimización matemática; la propuestase basa en los resultados de la tesis (Diseño y simula-ción de una red neuronal aplicada al problema de distri-bución óptima de planta)Localizamos que pueden surgir teorías matemáticasmotivadas por el estudio de un fenómeno con el fin deoptimizarlo, como es el caso de la teoría de colas. (Métodonumérico para el sistema m/g(0,c)/1 con distribuciónuniforme en tiempo de servicio)

Fenómeno

Un elemento deingeniería comoparte de un mo-delo matemático.

Aportanción a lateoría matemá-tica.

Aportación a lateoría matemáti-ca.


Relación entreconceptos mate-máticos y concep-tos propios de laingeniería.Componente mate-mático

Condición delelemento mate-mático.

6.1. Relación entre los fenómenos encontrados y la categoría

Contribución de la matemática a la resolución de un problema

Relime

Cambio en el elemento matemático

Fenómeno

Adecuación delmodelo mediantela resignificaciónde los elementosmatemáticos demodelo en térmi-nos del fenómenoo proceso en es-tudio.

Significación delelemento matemá-tico.


El modelo QAP se resignifica en términos de la funciónde energía de la red neuronal.

La matriz se resignifica de manera que sus elementosrepresentan neuronas y éstas, a su vez, a un departa-mento que se ubica en un sitio (Diseño y simulación deuna red neuronal aplicada al problema de distribuciónóptima de planta).

El modelo de las redes de Petri se adecua, puesto quesus elementos se resignifican en términos de significa-dos específicos del fenómeno en estudio (Modelaciónde sistemas de producción mediante redes de Petri).

Los elementos estadísticos son definidos, pero no entérminos estrictamente matemáticos, sino que en los delfenómeno al que son aplicados (Optimización de lamolienda de empacadores permanentes en las opera-ciones de reparación de pozos petroleros).


Condición del ele-mento matemático.

Condición del ele-mento matemático.

Un fenómeno similar al que presentamosa continuación fue observado enSierpinska, et al. (2002), donde un estu-

diante mostraba la necesidad de ejem-plos particulares para entender resulta-dos más teóricos.

Teoría de la práctica

Fenómeno

Conocimiento de unmodelo mediante lamanipulación delmismo.


El autor no establece que para ese conocimientoél haga referencia a la definición del modelo, sinoque parece conocerlo por la manipulación delmismo. (Modelación de sistemas de producciónmediante redes de Petri).

Categoría en la quese presenta

Uso del concepto.

Los fenómenos identificados por las ca-tegorías de la metodología nos permitie-ron apreciar diferentes niveles de aplica-ción de los conceptos matemáticos, quellamamos usos. Notamos que el uso quese hace de los conceptos matemáticos,en su mayoría, es para modelar un fenó-meno. Ahora bien, los modelos utiliza-

dos no siempre son creados por el inge-niero que estudia el fenómeno.

Asimismo, hallamos la creación de mo-delos y estructuras matemáticas que seestablecen como herramientas para so-lucionar cierto tipo de problemas, en lasque se vislumbra la necesidad de que el

138


de ingeniería define su actividad me-diante una función matemática.

• Contribución a la teoría matemáti-ca: Ante un problema que requiere dela optimización matemática, pero nose encuentra una herramienta adecua-da para resolverlo, se propone el de-sarrollo de una herramienta dentro dela teoría matemática que permita ha-llar una solución óptima.

El uso de la herramienta metodológicanos permitió abordar fenómenos que ca-racterizan al conocimiento matemáticoaplicado para resolver problemas de in-geniería. De igual manera, el análisis efec-tuado a la tesis en tres partes resulta útil,pues logra que se sustente la identifica-ción del fenómeno.

Los fenómenos identificados hacen quese puedan conocer algunos elementos dela naturaleza de la actividad matemáticaen la ingeniería. No sólo encontramos unaaplicación directa de elementos matemá-ticos como conceptos, modelos o méto-dos, sino que éstos, al involucrarse en elestudio de un fenómeno, en la soluciónde un problema o en la conformación deun modelo que describe un fenómeno tie-nen constitución y vida propia. El conte-nido matemático no se inserta de mane-ra directa en la ingeniería, sino toma formapropia, ya que los problemas de la vidareal que la ingeniería resuelve provocantambién la creación de conocimientomatemático.

Creemos que el análisis de cuatro tesisde un programa de maestría en Ingenie-ría de Sistemas no permite hablar de re-sultados generales, pero estimamos quela herramienta metodológica posibilita larealización de otros trabajos que puedandar cuenta de resultados más generales.

modelo sea de fácil aplicación. De igualmanera, la eficacia en términos de tiem-po es un factor importante en la elecciónde los modelos.

Cada una de las categorías instituidas enla metodología nos permitió conocer ras-gos del conocimiento matemático que seaplica en la ingeniería. Vistas en conjun-to, propiciaron que tuviéramos un primeracercamiento a la naturaleza del conte-nido matemático en un contexto de inge-niería. Esto se debió a que cada una delas categorías considera de manera sis-temática la naturaleza del conocimientomatemático y del pensamiento asociadoa éste, mientras que en conjunto hacenque se conozca de manera sistémica lanaturaleza del contenido matemático enla tesis.

Bajo el uso de esta herramienta metodo-lógica, notamos diferentes fenómenosque refieren cómo vive el contenido ma-temático dentro de un proyecto de inves-tigación en ingeniería:

• Significación del elemento mate-mático: Se percibe la necesidad deresignificar el elemento matemático entérminos de elementos que pertene-cen al fenómeno o proceso que se es-tudia.

• Adecuación del modelo: El modelosufre una adecuación en el sentido deque cada elemento matemático seresignifica en términos de los que ata-ñen al fenómeno o proceso que semodela.

• Elementos de ingeniería como par-te de un modelo matemático: Unelemento de ingeniería se empleacomo solución de un modelo matemá-tico, considerando que este elemento

Relime

to teórico no puede ser el pensamientopor el afán de pensar.

A partir de lo anterior, con base en nues-tro análisis sobre las tesis de ingenieríacon la metodología que definimos y sus-tentamos en la perspectiva de los mo-dos de pensamiento teórico y práctico,mostramos a continuación característi-cas del pensamiento que consideramosimportantes, cuales están asociadas ala actividad matemática en el ejerciciode la ingeniería. Cabe aclarar que nosreferimos al pensamiento en ingenieríabasado en el uso de herramientas mate-máticas, no a todo el pensamiento en in-geniería.

El pensamiento en el ejercicio de la in-geniería propicia la creación de conoci-miento y modelos generales, aunquepuede ser iniciado por consideracionesteóricas. Tiene un carácter mixto debidoal carácter práctico de la ciencia: es difí-cil encontrar un pensamiento teórico sinun pensamiento práctico. Ambos se mez-clan en su objetivo, objeto, preocupacio-nes principales y resultados.

Ahora bien, el objeto del pensamiento enel ejercicio de la ingeniería son los siste-mas de conceptos matemáticos, que sonaplicados para modelar un fenómeno real.Esto concierne al significado de los con-ceptos matemáticos, definidos en térmi-nos de los elementos del fenómeno.

El enfoque del pensamiento en el ejerci-cio de la ingeniería es el estudio de lasrelaciones que se describen entre las va-riables de un fenómeno, a través de lasrelaciones establecidas entre los concep-tos matemáticos y su caracterización enun sistema de conceptos. En los análi-

Sin embargo, a partir de este análisis con-sideramos necesario reflexionar sobre losmodos de pensamiento y su relación conla actividad matemática del ingeniero. Espertinente hacer una reinterpretación delos modos de pensamiento teórico y prác-tico con base en el análisis que nos permi-tió observar el pensamiento del ingenieroasociado al uso que hace del contenidomatemático en su ejercicio.

Al analizar los fenómenos que surgen enese uso, identificamos dos niveles: el deaplicación y el de creación. En el nivel deaplicación se requiere de la experienciay habilidad para elegir y adoptar los mé-todos adecuados; en el de creación seprecisa de un trabajo teórico motivado porla práctica.

Esta identificación nos hace reparar enuna posible modificación para explicar elpensamiento del ingeniero, que explica-mos a continuación:

6.2. Pensamiento teórico y práctico enla ingeniería

Los fenómenos que hemos identificadorefieren la naturaleza de la actividad ma-temática que se desarrolla en la ingenie-ría. Consideramos que el pensamientoque se asocia a esta actividad tiene unanaturaleza específica, ya que si reflexio-namos en el modelo de pensamiento departida, los fenómenos identificados y losusos mencionados en el apartado ante-rior, podríamos observar que el modelo depensamiento no corresponde con los usosni con los fenómenos, e incluso con lastareas que pueden considerarse teóricas.La motivación práctica es el motor quelos genera; en este sentido, el pensamien-

140

141Herramienta metodológica para el análisis de los conceptos matemáticos en el ejercicio...

sis de las tesis, cada vez que un ele-mento matemático era usado como mo-delo, había que redefinirlo en términos delfenómeno. Por ende, hay una relación en-tre cada elemento matemático y cadaelemento que es redefinido en términosdel fenómeno.

¿Qué características del pensamientosurgen en la práctica del ingeniero? Conbase en lo anterior, y a los análisis he-chos, proponemos ciertas característicasque podrían dar cuenta del pensamientoque surge en la práctica de un ingeniero.

6.3. Pensamiento que surge de lapráctica de un ingeniero

Operacional: El pensamiento en el ejer-cicio de la ingeniería es el que permitedar solución a problemas que surgen enla práctica, incluso los que requieren deuna solución urgente, lo cual propicia unahabilidad para el uso de herramientas queotorguen la solución.

Sistemático: El pensamiento en el ejer-cicio de la ingeniería es el que propicia laaplicación sistemática de resultados ma-temáticos como fórmulas, algoritmos,métodos, etc.

Resolutivo: El pensamiento en el ejerciciode la ingeniería está preocupado por apli-car herramientas matemáticas que han sidocreadas para resolver un tipo de problemas,más que por la reflexión sobre el problemay la naturaleza de la herramienta.

Eficiente: El pensamiento en el ejerciciode la ingeniería se asocia a la aplicaciónsistemática de un modelo o de un méto-do, en la que el fundamento matemáticose visualiza como un instrumento de vali-dación de la herramienta aplicada.

Decisivo: El pensamiento en el ejerciciode la ingeniería es el que propicia juiciosvalorativos sobre la elección de la herra-mienta matemática a utilizar, referidos ala complejidad o simplicidad de su usomás que a definición, estructura y rela-ciones entre los elementos que la con-forman.

Los resultados que hemos presentado re-fieren ciertos fenómenos producidos porel uso de conceptos y elementos mate-máticos en el desarrollo de proyectos deingenieria al igual que ciertos rasgos delpensamiento asociado a la actividad ma-temática en el ejercicio del ingeniero. Laherramienta que diseñamos fue un primermétodo para poder acercarnos a la natu-raleza de la matemática que vive en laingeniería.

Este estudio de caso, donde hemospuesto a prueba la herramienta metodo-lógica, muestra una perspectiva median-te la cual se aborda el rol de las matemá-ticas en la ingeniería, que tienen su propianaturaleza. Estudiar y caracterizar dichanaturaleza con el fin de proponer una di-dáctica de las matemáticas en la forma-ción de ingenieros es una tarea que lamatemática educativa, en tanto discipli-na científica, debe continuar.

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BIBLIOGRAFÍA

Camarena, P. (2001). La matemática en el contexto de las ciencias. Antologías 11,149-169.

Camarena, P. (1999). Las funciones generalizadas en ingeniería, construcción de unaalternativa didáctica. Tesis de doctorado no publicada, Cinvestav, México.Chevallard, Y. (1985). La transposition didactique. Du savoir savant au savoir enseig-né. Grenoble, France: La Pensée Sauvage.

Hurtado, R. (2001). Optimización de la molienda de empacadores permanentes enlas operaciones de reparación de pozos petroleros. Tesis de maestría no publicada,SEPI-ESIME, México.

Kent, P. & Noss, R. (2002). The mathematical components of engineering expertise:The relationship between doing and understanding mathematics. Conferencia presen-tada en IEE Second Annual Symposium on Engineering Education. London, UK.Obtenido de http://k1.ioe.ac.uk/rnoss/MCEE/Kent-Noss-EE2002-preprint.pdf.

Kent, P. & Noss, R. (2001). Investigating the mathematical components of enginee-ring expertise. Obtenido de http://k1.ioe.ac.uk/rnoss/MCEE/MCEE-poster-for-PME25.pdf.

Lagunes, J. (1999). Modelación de sistemas de producción mediante redes de Petri.Tesis de maestría no publicada, SEPI-ESIME, México.

Martínez, C. (2002). Diseño y simulación de una red neuronal aplicada al problema dedistribución óptima de planta. Tesis de maestría no publicada, SEPI-ESIME, México.

Molina, A. (1999). Problemática actual en la enseñanza de la ingeniería: una alterna-tiva para su solución. Ingenierías 2(3), 10-15.

Rugarcia, A., Felder, R., Woods, D. & Stice, J. (2000). The future of engineering edu-cation. A vision for a new century. Chemical Engineering Education 34(1), 16-25.

Sierpinska, A., Nnadozie, A. & Oktaç, A. (2002). A study of relationships betweentheoretical thinking and high achievement in Linear Algebra. Reporte de investiga-ción, Universidad de Concordia, Canadá. Obtenido de http://alcor.concordia.ca/~sierp/downloadpapers.html.

Sierpinska, A. (1994). Understanding in mathematics. London, UK: The Falmer PressLtd.

Trueba, B. (2002). Método numérico para el sistema m/g(0,c)/1 con distribución uni-forme en tiempo de servicio. Tesis de maestría no publicada, SEPI-ESIME, México.


Avenilde Romo Université Paris 7 Denis Diderot París, Francia

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Asuman Oktaç Departamento de Matemática Educativa Cinvestav-IPN México

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Herramienta metodológica para el análisis de los conceptos ... · 2) Método numérico para el sistema m/g(0,c)/1 con distribución uniforme en tiempo de servicio. 3) Modelación