Hidrodinamica IVb

Programa de Engenharia Oceanica

COPPE / UFRJUniversidade Federal do Rio de Janeiro

Hidrodinamica IVb

SH Sphaier

Marco de 2008

Sumario

1 Introducao a Dinamica de Corpos Flutuantes 1

1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Consideracoes Fısicas sobre o Problema Hidrodinamico . . . . . . . . . . . . . 2

2 Dinamica do Corpo Bidimensional Flutuante 7

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Movimento Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Movimento de Jogo Puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Movimento Lateral Puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Movimentos Simultaneos Lateral e de Jogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6 Hipotese de Froude-Krylov para o Calculo de Forca de Onda . . . . . . . . . . 21

2.6.1 Forcas de Froude-Krylov em Estruturas Retangulares . . . . . . . . . . 22

2.6.2 Cancelamento de Forcas de Froude-Krylov em um Retangulo . . . . . . 26

2.6.3 Extensao da expressao de Froude-Krylov para o caso de um Navio com

fundo plano horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6.4 Cancelamento de Forcas de Froude-Krylov em Estruturas Semisub-

mersıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Dinamica de um Corpo Tridimensional Esbelto em Ondas 31

3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Movimentos vertical e de rotacao em torno do eixo lateral . . . . . . . . . . . . 32

3.2.1 Equacoes dos Movimentos Acoplados de Heave e Pitch . . . . . . . . . 33

3.2.2 Solucao das equacoes de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 Movimentos lateral, de rotacao em torno do eixo Oz e de jogo . . . . . . . . . 36

3.3.1 Equacoes de movimento no plano horizontal . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.2 Solucao das equacoes de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Generalizacao do Problema Dinamico 41

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Corpos com Geometria Qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

i

ii Texto Preliminar, SH Sphaier

4.3 Um Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5 Equacoes de Movimento para Navios com Velocidade de Avanco 49

5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2 Frequencia de encontro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2.1 Equacoes de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.3 Interferencia da Velocidade de Avanco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6 Navio em Mar Irregular 55

6.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.2 Transformada de Fourier da Equacao de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.3 O Espectro de Resposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.4 Espectro de Resposta de um Sistema Oceanico em um Mar Irregular . . . . . 57

6.5 Movimentos de um Corpo Flutuante no Mar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.5.1 Deslocamentos, velocidades e aceleracoes em um ponto do corpo . . . . 59

6.5.2 Eventos de Seakeeping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.6 Resumo Esquematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7 Batedor de Ondas 71

7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.1.1 Obtencao do Potencial de Velocidades Solucao do Problema . . . . . . 73

7.1.2 Batedor de Ondas Tipo Flap e Outros Tipos . . . . . . . . . . . . . . . 78

8 Hidrodinamica de Corpos Flutuantes Estacionarios 81

8.1 Aspectos Fısicos: Leis e Princıpios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

8.2 Formulacao hidrodinamica: Leis e Princıpios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

8.3 Forcas Atuantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

8.3.1 Forcas hidrodinamicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

8.3.2 Forca de excitacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.3.3 Forca de radiacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.3.4 Quantidades de Movimento Linear e Angular da Massa do Corpo . . . 98

8.3.5 Restauracao: Acao das forcas hidrostaticas e das forcas de corpo . . . . 103

8.4 Equacoes de Movimento no Domınio da Frequencia . . . . . . . . . . . . . . . 108

8.5 Equacoes do Movimento no Domınio do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

9 Dinamica de corpos flutuantes com velocidade de avanco 115

9.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

9.2 Potencial de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

9.2.1 Condicao de contorno na superfıcie livre . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

9.2.2 Condicao de contorno na superfıcie do corpo . . . . . . . . . . . . . . . 118

9.3 Forcas devidas a acao fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Texto Preliminar, SH Sphaier iii

9.3.1 Forcas hidrodinamicas dependentes do tempo . . . . . . . . . . . . . . 121

9.3.2 Forca de excitacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

9.3.3 Forca de radiacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.4 Formulacao do Problema Hidrodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

9.4.1 Condicao de contorno na superfıcie livre . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

9.4.2 Condicao de contorno na superfıcie do corpo . . . . . . . . . . . . . . . 126

9.4.3 Problemas de valor de contorno para os diversos potenciais . . . . . . . 128

9.5 Teoria das faixas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.5.1 Hipoteses Simplificadoras Impostas ao Problema . . . . . . . . . . . . . 134

9.5.2 Equacoes Simplificadas de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

10 Metodo da Integral de Contorno para Determinacao da Funcao Potencial

de Velocidades 141

10.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

10.2 Superposicao de Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

10.2.1 O Problema de Valor de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

10.2.2 Implementacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

10.2.3 O Algoritmo de Solucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

10.2.4 Outras Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

10.2.5 Forca Atuando sobre o Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

10.3 Solucao da Equacao de Laplace por Separacao de Variaveis . . . . . . . . . . . 151

10.3.1 Solucao Fundamental: A Funcao de Green . . . . . . . . . . . . . . . . 153

10.4 Representacao da Funcao φ por uma Integral de Contorno . . . . . . . . . . . 154

10.4.1 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

10.4.2 Discretizacao da Equacao Integral para a Formulacao Direta . . . . . . 158

10.4.3 Discretizacao da Equacao Integral para a Formulacao Indireta . . . . . 162

10.5 Acao de Ondas em Corpos de Grandes Dimensoes . . . . . . . . . . . . . . . . 165

10.5.1 Resolucao do Problema de Valor de Contorno pelo Metodo Indireto . . 169

10.5.2 Discretizacao da Integral de Superfıcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

10.5.3 Avaliacao das Forcas e Coeficientes Hidrodinamicos . . . . . . . . . . . 171

10.5.4 A Funcao de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

A Desenvolvimentos 173

A.1 Condicoes de contorno na Superfıcie do Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

A.2 Expressoes para mi em funcao do potencial estacionario para um corpo esbelto 179

A.3 Desenvolvimento das Expressoes Tij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

iv Texto Preliminar, SH Sphaier

Lista de Figuras

1.1 Onda Incidente e sua Difracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Radiacao e Empuxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Forca de Restauracao Vertical Resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Decremento Logarıtmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Fator de Amplificacao, Funcao de transferencia, Rao . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Angulo de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Banda de uma secao naval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.6 Cancelamento em Formas Retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.7 Cancelamento em Estruturas Semisubmersıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1 Inercia Adicional e Amortecimento na Forma Adimensional I . . . . . . . . . . 45

4.2 Inercia Adicional e Amortecimento na Forma Adimensional II . . . . . . . . . 46

4.3 Inercia Adicional e Amortecimento na Forma Adimensional III . . . . . . . . . 46

4.4 Forca de Excitacao Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.5 Momento de Excitacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.6 Rao de Heave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.7 Rao de Pitch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.1 Apresentacao Esquematica I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2 Apresentacao Esquematica II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.3 Apresentacao Esquematica III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.4 Apresentacao Esquematica IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.5 Apresentacao Esquematica V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.1 Gerador de Ondas em Forma de Pistao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

10.1 Definicoes geometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

10.2 Distribuicao de singularidades no interior do corpo . . . . . . . . . . . . . . . 145

10.3 Distribuicao de singularidades no interior do corpo . . . . . . . . . . . . . . . 146

10.4 Relacoes geometricas em um elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

v

Capıtulo 1

Introducao a Dinamica de Corpos

Flutuantes

1.1 Introducao

O estudo do comportamento de corpos flutuantes trata do estudo da dinamica de um corpo

flutuante sujeito a forcas hidrodinamicas, hidrostaticas e forcas de corpo. Neste capıtulo ini-

ciaremos o estudo do problema de um corpo na superfıcie livre com liberdade de executar

movimento vertical. Em seguida analisaremos os aspectos hidrodinamicos, porem ainda de um

ponto mais descritivo do fenomeno que de um ponto de sua formulacao matematica. Posteri-

ormente apresentaremos a formulacao matematica e a solucao para o fenomeno hidrodinamico

de radiacao de ondas a partir dos movimentos de um corpo junto a superfıcie livre. Por uma

questao de simplicidade de formulacao matematica analisaremos o caso de um batedor de

ondas do tipo pistao. O problema de um corpo fixo em ondas e analisado na secao seguinte

para introduzirmos a hipotese de Froude-Krylov e o problema de difracao. Finalmente ap-

resentamos o caso de um corpo flutuante em ondas, estabelecendo o problema de valor de

contorno linearizado.

1.2 Sistemas de referencia

Ao longo do texto utilizaremos tres sistemas de referencia. Um sistema de coordenadas

OXY Z com o plano Z = 0 sobre a superfıcie livre. O eixo OZ aponta verticalmente para

cima.

Um segundo sistema utilizado e o sistema oxyz cujo centro, sempre concide com o ponto O,

1

2 Texto Preliminar, SH Sphaier

com eixo ox fazendo um angulo β com o eixo OX.

O terceiro sistema aqui considerado e o sistema oxyz, o qual se desloca com a velocidade

do navio, sem oscilar. Seu centro esta localizado na superfıcie livre em repouso e o eixo oz

aponta verticalmente para cima. O ponto o, centro do sistema, esta localizado a meio navio.

Muitas vezes e mais pratico localiza-lo na vertical passando pelo centro de gravidade.

O navio desloca-se em linha reta com velocidade U na direcao do eixo ox.

As ondas se propagam na direcao do eixo OX e o vetor celeridade da onda faz um angulo β

com o vetor velocidade do navio, e consequentemente com o eixo longitudinal do navio.

1.3 Consideracoes Fısicas sobre o Problema Hidrodina-

mico

Tentando apresentar uma visualizacao do fenomeno e identificacao das acoes hidrodinamicas

sobre um corpo flutuante deslocando-se em ondas, vamos considerar, para efeito de analise,

que o corpo, inicialmente, se encontra em repouso em aguas tranquilas sujeito a acao de seu

peso e ao empuxo, resultante da acao das pressoes hidrostaticas sobre a superfıcie molhada

do corpo.

A nossa experiencia diaria nos diz que, incidindo uma onda sobre o corpo, este saira da

situacao de equilıbrio estatico executando movimentos no meio fluido.

Inicialmente imaginemos o que se passa sobre uma superfıcie fictıcia cuja forma e igual a

forma do corpo colocado no meio fluido. Se nao houvesse ondas, a forca que o fluido, externo

a superfıcie imaginaria, faria sobre a massa fluida contida em seu interior seria igual ao peso

desta massa fluida. Isto nada mais e que o princıpio de Arquimedes. Esta forca pode ser

obtida como resultado da integracao da pressao hidrostatica pe,0.

Consideremos agora a acao de ondas. As partıculas fluidas atravessam a superfıcie ima-

ginaria e a pressao em cada um de seus pontos varia com o tempo devido a contribuicao

da pressao hidrodinamica das ondas incidentes. Alem da forca hidrostatica temos uma forca

hidrodinamica devida ao campo de pressoes decorrente da onda incidente pinc. A esta com-

ponente hidrodinamica de forca chamamos de forca de onda segundo a hipotese de Froude-

Krylov, ou de forma abreviada, forca de Froude-Krylov. Trata-se entao de determinar a forca

hidrodinamica devida a pressao hidrodinamica causada pela onda incidente sobre a superfıcie

a ser ocupada pelo contorno do corpo.

Uma segunda componente dinamica de forca aparecera devida a perturbacao que o corpo cria

no meio fluido. Na realidade as partıculas fluidas nao podem atravessar o corpo. A presenca

Texto Preliminar, SH Sphaier 3

do corpo impoe velocidades as partıculas fluidas de forma a terem componentes normais

junto ao corpo iguais a zero. Sao originadas ondas que se propagam para o fluido, interagem

com a onda incidente anulando as componentes de velocidades das partıculas fluidas junto a

superfıcie do corpo na direcao normal. A este fenomeno chamamos de difracao. Aparecem

ondas de difracao geradas junto ao corpo. Este fenomeno esta intimamente ligado as ondas

incidentes. A onda incidente ao encontrar o corpo se difrata. A energia que se propaga na

direcao da onda incidente espalha-se devido a presenca do corpo propagando-se em outras

direcoes. Soma-se a pressao dinamica da onda incidente uma nova parcela devida a onda

difratada pdif . De forma semelhante ao problema do escoamento uniforme acelerado em torno

de um cırculo em que a forca resultante era composta de duas componentes, uma devida ao

escoamento acelerado, e outra devida a perturbacao que o cırculo, representado pelo dipolo

causava no escoamento, no problema de ondas aparecem duas componentes de forca, uma

devida a onda incidente como se nao houvesse corpo (forca de Foude-Krylov) e outra devida

a perturbacao que o corpo cria na onda incidente, forca de difracao.

Uma segunda fonte de formacao de ondas que se radiam do corpo para o meio deve-se aos

movimentos do corpo. O movimento do corpo induz movimento as partıculas fluidas junto ao

casco. Este movimento transmite-se as outras partıculas fluidas, agitando a superfıcie livre

gerando ondas que se propagam para o meio. A este fenomeno chamamos de radiacao. Estas

ondas tambem provocarao uma modificacao no campo de pressoes atuantes sobre o casco prad.

Uma ultima parcela que contribui para a variacao da pressao atuante em um ponto da su-

perfıcie do corpo com o tempo e sua constante mudanca de posicao. A pressao hidrostatica

dependera da posicao inicial do ponto e dos movimentos do corpo. Com os movimentos do

corpo cada ponto de sua superfıcie tera sua coordenada vertical variando com o tempo. Assim

teremos a coluna de agua em um ponto, que rege a pressao hidrostatica, variando com o tempo

e a pressao hidrostatica total dada pela soma da pressao hidrostatica inicial correspondente a

posicao de equilıbrio estatico do corpo, e de uma componente de pressao hidrostatica variavel

com o tempo, correspondente a mudanca de posicao vertical do ponto pe,t.

Admitindo ser possıvel a superposicao dos efeitos acima descritos na forma de um somatorio

de efeitos a pressao total ptotal seria entao:

ptotal = pe + pd

= pe,0 + pe,t + pinc + pdif + prad

= pe,0 + p(t) (1.1)

onde a pressao dinamica pd e dada por

pinc + pdif + prad (1.2)

onde a pressao estatica pe e dada por

pe,0 + pe,t (1.3)


e a pressao dependente do tempo p(t) e dada por

pe,t + pinc + pdif + prad (1.4)

onde:

• pressao estatica pe

• pressao dinamica pd

• pressao dependente do tempo pt

• pressao estatica independente do tempo pe,0

• pressao estatica dependente do tempo pe,t

• pressao devida a onda incidente pinc

• pressao devida a onda difratada pdif

• pressao devida a onda radiada prad

As forcas de origem hidrodinamica seriam obtidas pela integracao destas pressoes ptotal ao

longo do casco. Alem das forcas hidrodinamicas atua sobre o corpo a forca de peso. Re-

unindo estas forcas externas e utilizando a lei de Newton, temos as equacoes que vao reger o

movimento do corpo.

Atraves das figuras 1.1 e 1.2 vemos esquematicamente as diversas contribuicoes.


Figura 1.1: Onda Incidente e sua Difracao


Figura 1.2: Radiacao e Empuxo

Capıtulo 2

Dinamica do Corpo Bidimensional

Flutuante

2.1 Introducao

Neste capıtulo vamos tratar da dinamica do movimento de um corpo flutuante. Vamos nos

ater ao problema no plano, isto e, observamos o comportamento de um cilindro, cuja secao

tem uma forma naval, flutuando na superfıcie livre. Inicialmente, daremos somente um grau

de liberdade de movimento. Este grau de liberdade sera o de movimento vertical, depois o

de movimento de jogo e por ultimo o de movimento lateral. Posteriormente analisaremos os

movimentos acoplados de jogo e lateral.

2.2 Movimento Vertical

Analisemos o movimento vertical de um cilindro infinito de secao qualquer, flutuando na

superfıcie livre com seu eixo coincidindo com o eixo Ox, e com simetria em relacao ao plano

longitudinal. Consideremos que inicialmente se encontra em equilıbrio estatico. Como trata-se

de um corpo infinito podemos desenvolver uma analise bidimensional (figura 2.1).

Utilizando a segunda lei de Newton temos:

ms = −P + E0 = 0 (2.1)

onde:

s e o movimento vertical do corpo,

7


Figura 2.1: Forca de Restauracao Vertical Resultante

m e a massa do corpo por unidade de comprimento,

P e o peso do corpo por unidade de comprimento,

E0 e o empuxo por unidade de comprimento.

Dando um deslocamento vertical ao corpo, havera entao um desequilıbrio entre o peso e o

empuxo. Caso as unicas forcas intervenientes fossem o peso P e o empuxo E terıamos P 6= E.

O corpo entraria entao em movimento oscilatorio.

A lei de Newton fornece

ms = −P + E0 +4E (2.2)

Considerando pequenos movimentos verticais podemos dizer que ∆E = −ρgBs e entao

ms = −ρgBs (2.3)

com s(t = 0) = s0, sendo B a boca do cilindro.

Assim terıamos a seguinte equacao diferencial ordinaria para resolver.

ms+ ρgBs = 0 (2.4)

com s(t = 0) = s0 e s = 0.

Trata-se de uma equacao diferencial ordinaria a coeficientes constantes de segunda ordem

homogenea sujeita a uma condicao inicial. A solucao e da forma

s = s0eiωnt (2.5)


com ωn =√ρgB/m, frequencia natural, e o corpo permaneceria em movimento harmonico

indefinidamente.

A experiencia diaria nos diz entretanto que este movimento tem um decremento com o tempo,

e podemos observar o aparecimento de ondas na superfıcie livre. Estas ondas propagam-se

do corpo para o infinito carregando consigo energia.

Lembrando as conclusoes obtidas no estudo do escoamento devido a um cırculo acelerado em

um fluido em repouso, sabemos que a pressao dinamica da origem a uma forca contraria a

aceleracao do corpo. Sem nos preocuparmos aqui com o rigor matematico, podemos dizer que

a pressao da origem a uma forca na forma

Fhdin = −a33s (2.6)

A lei de Newton agora fornece

ms = −a33s− ρgBs (2.7)

ou

(m+ a33)s+ ρgBs = 0 (2.8)

A solucao desta equacao e semelhante a solucao do caso anterior, modificando-se somente o

valor de ωn

ωn =

√ρgB

m+ a33

(2.9)

Isto quer dizer, que o decaimento do movimento que observamos em nossa experiencia diaria,

nao e previsto e por conseguinte a energia dissipada na formacao de ondas nao esta sendo

considerada. A expressao acima, representativa da forca hidrodinamica nao preve termo

responsavel pela formacao de ondas e consequentemente pelo decaimento do movimento do

corpo, o que nao representa o caso real.

Ocorre que estas forcas, devidas a radiacao de ondas, nao necessariamente estao em fase com

a aceleracao do corpo. A forca de radiacao resultante esta subdividida em duas parcelas,

uma em fase com a aceleracao e outra com a velocidade do corpo. Esta segunda parcela e

responsavel pelo constante consumo de energia cinetica do corpo, transferindo energia para

a massa fluida na forma de ondas, que se transmitem para o infinito, provocando assim um

decaimento no movimento do corpo.

Ao coeficiente de proporcionalidade entre aceleracao e a forca em fase com a aceleracao

chamamos de coeficiente de massa adicional e, ao coeficiente de proporcionalidade entre ve-

locidade e forca em fase com a velocidade, damos o nome de coeficiente de amortecimento.

Com esta expressao a equacao de movimento do corpo apresenta um termo nao conservativo

linear, e esta intimamente ligado a energia da onda que, formada pela interacao fluido-corpo

junto a superfıcie livre se radia para o meio, propagando-se a longas distancias.


Fhdin = −a33s− b33s (2.10)

onde b33 e o coeficiente de amortecimento.

A equacao de movimento obtida a partir da aplicacao da lei de Newton seria agora

ms = −a33s− b33s− ρgBs (2.11)

ou

(m+ a33)s+ b33s+ ρgBs = 0 (2.12)

Esta e uma equacao diferencial homogenea ordinaria de segunda ordem a coeficientes con-

stantes. Sua solucao e da forma exponencial. Este problema corresponde ao de vibracao livre

de um sistema amortecido, sujeito a um deslocamento e uma velocidade iniciais.

Consideremos agora que incide uma onda monocromatica que, como descrito acima, introduz

uma forca de excitacao harmonica.

Fexc = F0eiωt = (F0,R + i F0,I)e

iωt (2.13)

onde

F0 e a amplitude da forca

ω e a frequencia de oscilacao.

A lei de Newton fornece entao a seguinte equacao de movimento

ms = −a33s− b33s− ρgBs+ Fexc (2.14)

ou

(m+ a33)s+ b33s+ ρgBs = F0eiωt (2.15)


A solucao desta equacao diferencial e a soma da solucao homogenea, que corresponderia ao

movimento apos um impulso inicial, mais a solucao particular que seria regida pela carac-

terıstica da forca de excitacao. Assim, apos algum tempo, a solucao homogenea nao mais

interferiria na solucao do problema, isto e, apos a fase transiente o corpo entraria em um

movimento harmonico com frequencia ω

s = s0ei (ωt+δ) = s0e

i (ωt) (2.16)

onde:

s0 e a amplitude do movimento

s0 e a amplitude complexa

δ e a fase.

Solucao homogenea

A solucao homogenea e a solucao da equacao:

(m+ a33)s+ b33s+ ρgBs = 0 (2.17)

e e da forma:

s = e−b33/[2(m+a33)] t(a1e

t√

(b33/[2(m+a33)])2−ρ g B/(m+a33) + a2e−t√

(b33/[2(m+a33)])2−ρ g B/(m+a33))

(2.18)

Para valores de b33 em que [b33/2(m + a33)]2 − ρ g B/(m + a33) > 0 temos o movimento

decrescendo exponencialmente segundo 2.18.

Para pequenos valores de b33 em que [b33/2(m+a33)]2−ρ g B/(m+a33) < 0 temos um sistema

pouco amortecido e o argumento das funcoes exponenciais sera imaginario. A solucao toma

a forma:

s = e−b33/[2(m+a33)] t(a1 cos(t

√ρ g B/(m+ a33)− (b33/[2(m+ a33)])2

+a2 sin(t√ρ g B/(m+ a33)− (b33/[2(m+ a33)])2

)(2.19)

Se defirmos ω como frequencia amortecida:

ω =√ρ g B/(m+ a33)− (b33/[2(m+ a33)])2 (2.20)


entao teremos

s = e−b33/[2(m+a33)] t (a1 cos(ωt) + a2 sin(ωt)) (2.21)

O valor de b33 para o qual

[b33/2(m+ a33)]2 − ρ g B/(m+ a33) = 0 (2.22)

e chamado de amortecimento crıtico.

b33,c = 2(m+ a33)ωn (2.23)

Definimos como ζ a relacao entre o amortecimento b33 e o amortecimento crıtico b33,c,

ζ =b33

b33,c

(2.24)

Observemos que substituindo (2.9), (2.24) e (2.23) em (2.12) obtemos

s+ 2ζωns+ ω2ns = 0 (2.25)

Este e um formato compacto da uma equacao diferencial que vimos acima. Trata-se de uma

equacao ordinaria a coeficientes constantes. Embora seja totalmente equivalente ao caso visto

acima, vamos aqui desenvolver novamente sua solucao, que e da forma

s = aeλt (2.26)

Substituindo esta expressao em (2.29) obtemos, para a determinacao de λ, a seguinte equacao

do segundo grau:

λ2 + 2ζωnλ+ ω2n = 0 (2.27)

Assim, temos duas solucoes na forma:

λ = −ζωn ± i√

1− ζ2ωn (2.28)

Observemos que o crescimento ou decaimento do deslocamento, isto e, o crescimento ou

decaimento de s ao longo do tempo, depende do fator ζ, relacao entre o amortecimento do

sistema e o amortecimento crıtico. Cabe entretanto, conceituar amortecimento crıtico. Antes

porem observemos o comportamento da solucao para valores de ζ positivo, nulo e negativo.

Iniciemos abordando o caso em que ζ = 0.

s+ ω2ns = 0 (2.29)


Figura 2.2: Decremento Logarıtmico

Esta equacao tem solucao na forma

s = a1eiωnt + a2e

−iωnt (2.30)

Assim vemos que o corpo vai oscilar indefinidamente harmonicamente na chamada frequencia

natural.

Caso ζ < 0, o movimento aumentara indefinidamente com o tempo. Trata-se de um sistema

com amortecimento negativo causando uma amplificacao do movimento. Caso ζ > 0, o termo

exponencial atuara forcando o decaimento do movimento.

Para o caso do amortecimento positivo, isto e, ζ positivo, devemos distinguir tres casos. O

primeiro em que ζ < 1. O termo exponencial atuara como um regulador da amplitude do

movimento. Este regulador impoe um decaimento do movimento. O corpo oscila com a

frequencia

ω =√

1− ζ2ωn (2.31)

A figura 2.2 mostra este comportamento.

Para o caso em que ζ > 1 o sistema e fortemente amortecido. Nao ha oscilacao. A solucao


toma a forma

s = a1e

(−ζ+√ζ2−1

)ωnt + a2e

(−ζ−√ζ2−1

)ωnt (2.32)

No caso em que ζ = 1 a expressao (2.28) torna-se

λ = −ωn (2.33)

isto e, a expressao (2.26) fornece uma unica solucao.

s = ae−ωt (2.34)

Temos que providenciar uma segunda solucao. Como sabido do calculo diferencial a solucao

homogenea torna-se entao:

s = (a1 + a2t)e−ωt (2.35)

Observemos que, de forma geral, em um sistema massa-mola-amortecedor, podemos medir a

massa do corpo e o efeito de mola aplicando-se uma forca e medindo-se a elongacao da mola.

Conhecidos estes dois termos da equacao diferencial do movimento, falta-nos determinar o

amortecimento do sistema. Atraves de uma experiencia e, determinando-se o logaritmo natu-

ral da relacao entre duas amplitudes sucessivas, e possıvel extrair-se o valor do amortecimento.

No caso de um corpo oscilando na superfıcie, podemos medir os efeitos de restauracao ou

calcula-los atraves das linhas do corpo. Podemos determinar a massa do corpo, compondo a

massa de cada uma de suas partes, e calcular a massa adicional e o coeficiente de amortec-

imento de ondas atraves de metodos matematicos. Na abordagem aqui encaminhada, nao

fazemos nenhuma mencao a efeitos viscosos, que por efeitos locais, podem ser importantes.

Nestes casos, embora possamos determinar o amortecimento devido a formacao de ondas,

e fundamental o teste do decremento logarıtmico para a determinacao precisa dos efeitos

viscosos. Poder-se-ia perguntar entao se sempre terıamos que fazer o teste. Em termos

absolutos sempre seria necessario, entretanto devemos inicialmente verificar se os efeitos vis-

cosos sao importantes ou nao, e se os metodos de calculo das propriedades hidrodinamicas,

massa adicional e amortecimento, para formas semelhantes levam a bons resultados ou nao.

Em geral para formas navais, somente o movimento de jogo apresenta efeitos viscosos im-

portantes. Costuma-se desenvolver testes experimentais, acumulando-se informacoes sobre o

amortecimento na forma de um percentual do amortecimento crıtico do sistema. Isto e, se o

amortecimento fosse igual ao crıtico este seria dado por (2.23).

Para a determinacao do decremento logarıtmico, admitamos que a solucao seja dada por:

s = Se−ζωnt[sin(√

1− ζ2ωnt+ α)]

(2.36)

onde S e α foram obtidos a partir de (2.18) e das condicoes de deslocamento s(t = 0) e

velocicades s(t = 0) iniciais.


A curva

s = Se−ζωnt (2.37)

tangencia a curva de resposta do sistema proximo aos maximos. O decremento logarıtmico

entre duas oscilacoes sucessivas e expresso por

δl = lns1

s2

= lne−ζωnt1

e−ζωn(t1+T )= ln eζωnT = ζωnT (2.38)

Como o sistema oscila com frequencia

ω = ωn√

1− ζ2 (2.39)

o intervalo de tempo entre as duas oscilacoes sera

T =2π

ωn√

1− ζ2(2.40)

e o decremento (ver figura 2.2):

δl =2πζ√1− ζ2

(2.41)

Em sistemas pouco amortecidos teremos entao

δl = 2πζ (2.42)

Solucao Particular

Substituindo (2.16) em (2.15) obtemos a amplitude complexa s0 dada por

s0 =1

ρ g B − ω2 (m + a33) + i ω b33

F0

=ρ g B − ω2 (m + a33) − i ω b33

(ρ g B − ω2 (m + a33))2 − (i ω b33)2F0

=ρ g B − ω2 (m + a33) − i ω b33

(ρ g B − ω2 (m + a33))2 + (ω b33)2F0 (2.43)

que pode ser escrita em termos do modulo | s0 | e da fase δ por

s0 = (s0,R + i s0,I) ei ω t = | s0 | e(iω t+ δ) (2.44)

onde:


freq / freq natural

Amplificação

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

zeta = 0.05zeta = 0.10zeta = 0.15zeta = 0.20zeta = 0.25zeta = 0.30zeta = 0.35zeta = 0.50zeta = 0.75zeta = 1.00

Figura 2.3: Fator de Amplificacao, Funcao de transferencia, Rao

s0,R e a parte real da amplitude complexa,

s0,I e a parte imaginaria.

Multiplicando s0 pelo seu conjugado s∗0 obtemos o modulo da solucao:

| s0 |2= s0 · s∗0

=ρ g B − ω2 (m + a33) − i ω b33(

[ρ g B − ω2 (m + a33)]2 + (ω b33)2)2

[ρ g B − ω2 (m + a33) + i ω b33

]| F0 |2

=1

[ρ g B − ω2 (m + a33)]2 + (ω b33)2| F0 |2 (2.45)

onde

| F0 |2= F0 · F ∗0 (2.46)

O angulo de fase δ e dado por

δ = arctanF0,I (ρ g B − ω2 (m + a33)) − F0,R (ω b33)

F0,R (ρ g B − ω2 (m + a33)) + F0,I (ω b33)(2.47)

O comportamento da solucao desta equacao diferencial e mostrado nas figuras 2.3 e 2.4. Esta

solucao fornece o modulo da resposta e a fase. O modulo e chamado de fator de amplificacao,

funcao de transferencia ou RAO (Operador de Amplitude de Resposta).


freq / freq natural

Angulodefase

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-180

-150

-120

-90

-60

-30

0zeta = 0.05zeta = 0.10zeta = 0.15zeta = 0.20zeta = 0.25zeta = 0.30zeta = 0.35zeta = 0.50zeta = 0.75zeta = 1.00

Figura 2.4: Angulo de Fase

2.3 Movimento de Jogo Puro

Estudemos agora o problema de oscilacao angular de um corpo bidimensional junto a su-

perfıcie livre. Consideremos que incide uma onda monocromatica que, impoe um momento

de excitacao harmonico.

Mexc = M0eiωt = (M0,R + i M0,I)e

iωt (2.48)

O corpo, reagindo a este momento, entra em movimento harmonico com a mesma frequencia

da excitacao. Dotado deste movimento vai radiar ondas para o meio que induzem pressoes

sobre o corpo. O momento da forca de reacao hidrodinamica atuando sobre o corpo, e da

forma

Mrad = −a44η4 − b44η4 (2.49)

Com o deslocamento do corpo de sua posicao de equilıbrio, atuara sobre ele um momento

restaurador resultante da acao das forcas devidas ao peso e as pressoes hidrostaticas.

Admitamos que a secao execute uma rotacao η4 em torno do ponto O, ver figura 2.5.


Figura 2.5: Banda de uma secao naval

O centro de carena, localizado inicialmente no ponto B, desloca-se para o ponto B′. A vertical

passando por B′

encontra o eixo Oz no ponto M , o metacentro. Nesta vertical temos o ponto

B′, de forma tal que B′B e um segmento horizontal. Valem as relacoes:

A1C1 = A2C2 =b

2tan(η4) (2.50)

GB = BM −GM (2.51)

BB′ = (GM +GB) sin(η4) (2.52)

O deslocamento do centro de carena do ponto B para o ponto B′, deve-se ao ganho da area do

triangulo C1OA1 e a perda de area do triangulo C2OA2. A area de cada uma destas cunhas

e dada por1

2

b

2

b

2tan(η4) =

1

8b2 tan(η4) (2.53)

Assim o peso deslocado e de ρg 18b2 tan(η4) para cada cunha.

As duas cunhas geram um momento

2ρg

∫ b/2

0

yy tan(η4)dy = 2ρg tan(η4)

∫ b/2

0

y2dy

= 2ρg tan(η4)y3

3|b/20 = ρg tan(η4)

b3

12(2.54)


Dividindo o momento pelo peso temos o braco de momento igual a b/3.

Considerando o empuxo total ser composto pelo empuxo aplicado em B, somado ao empuxo

devido ao triangulo C1OA1 e subtraıdo do empuxo devido ao triangulo C2OA2 teremos os

seguintes momentos atuantes:

M1 = −GB sin(η4)mg (2.55)

M2 = ρg tan(η4)b3

12(2.56)

Por outro lado, temos que a distancia horizontal e dada por:

BB′′ = (ρg tan(η4)b3

12)/mg (2.57)

Assim

(GM +GB) sin(η4) = (ρg tan(η4)b3

12)/mg (2.58)

Compondo os dois momentos teremos o momento restaurador Mrest dado por:

Mrest = M1 +M2 = ρg tan(η4)b3

12−GBmg sin(η4)

= mg(GM +GB) sin(η4)−GBmg sin(η4) = mgGM sin(η4) (2.59)

A distancia GM e chamada de altura metacentrica e mede a capacidade que um corpo tem

para retornar a sua posicao de equilıbrio.

Admitindo pequenos deslocamentos, sin(η4) ≈ η4, e reunindo todas estas forcas, segue da

segunda lei de Newton, para a condicao de conservacao do movimento angular:

I44η4 = Mrad +Mrest +Mexc (2.60)

ou

(I44 + a44)η4 + b44η4 +mgGMη4 = Mexc (2.61)

Da mesma forma que no movimento vertical, esta e uma equacao diferencial ordinaria de se-

gunda ordem a coeficientes constantes, nao homogenea. Sua solucao e a soma de uma solucao

homogenea e uma solucao particular. Admitindo que a contribuicao da solucao homogenea

decai rapidamente, o corpo executara movimento harmonico na mesma frequencia das ondas

incidentes. Todo o desenvolvimento utilizado na solucao do movimento vertical e aplicado

diretamente, pois as equacoes diferenciais sao correspondentes.


2.4 Movimento Lateral Puro

As equacoes diferenciais que descrevem os movimentos de oscilacao vertical e angular sao

semelhantes. Em ambos os movimentos temos inclusive termos de restauracao. Ja no movi-

mento horizontal tal comportamento nao se da. Nao ha restauracao. Se quisermos utilizar

o conceito de frequencia natural, veremos que esta sera nula. Consideremos que a onda

monocromatica incidente impoe uma forca de excitacao harmonica.


iωt (2.62)

O corpo reagindo a esta forca entra em movimento harmonico com a mesma frequencia da

excitacao. Dotado deste movimento vai radiar ondas para o meio que induzem pressoes sobre

o corpo. A forca de reacao hidrodinamica atuando sobre o corpo e da forma

Frad = −a22η2 − b22η2 (2.63)

onde η2 e o deslocamento lateral do corpo.

Aplicando a segunda lei de Newton para a condicao de conservacao do movimento linear

temos:

(m+ a22)η2 + b22η2 = Fexc (2.64)

Esta e uma equacao diferencial ordinaria de segunda ordem a coeficientes constantes, nao

homogenea, sendo que e nulo o coeficiente do termo de grau zero.

2.5 Movimentos Simultaneos Lateral e de Jogo

Consideremos que uma onda monocromatica incide sobre a secao impondo uma distribuicao de

pressoes sobre ela. Esta distribuicao nao ira somente induzir forca ou momento de excitacao,

porem ambos e simultaneamente. Sendo a onda harmonica, a forca e o momento de excitacao

serao harmonicos.


iωt (2.65)

Mexc = M0eiωt = (M0,R + i M0,I)e

iωt (2.66)

O corpo, reagindo a esta forca e este momento, entra em movimento harmonico com a mesma

frequencia da excitacao. Dotado deste movimento vai radiar ondas para o meio que induzem

pressoes sobre o corpo.

Ao executar um movimento lateral a secao sofre uma reacao na forma de uma forca na

direcao horizontal e um momento em torno do ponto O. Assim sendo, a secao tendera a ter

dois movimentos acoplados. De forma similar, ao executar movimentos em torno do ponto O


a secao sofre uma reacao hidrodinamica na forma de uma forca horizontal e de um momento

em torno do ponto O. Podemos dizer que ao executar os movimentos em conjuntos, atuarao

sobre a secao forcas e momentos da forma

Frad = −a22η2 − b22η2 − a24η4 − b24η4 (2.67)

Mrad = −a42η2 − b42η2 − a44η4 − b44η4 (2.68)

onde η2 e η4 sao respectivamente os movimentos lateral e de jogo.

Observando que so ha momento de restauracao, nao ha forca de restauracao, da aplicacao das

leis de conservacao de movimento linear e de movimento angular, segunda lei de Newton, as

equacoes de movimento sao escritas na forma:

mη2 −mZgη4 = −a22η2 − b22η2 − a24η4 − b24η4 + fexc,2 (2.69)

Ixxη4 −mZgη2 = −a44η4 − b44η4 − a42η2 − b42η2 −mgGMη4 + fexc,4 (2.70)

ou

(m+ a22)η2 + b22η2 + (a24 −mZg)η4 + b24η4 = fexc,2 (2.71)

(I+a44)η4+b44η4+mgGMη4+(a42−mZg)η2+b42η2 = fexc,4 (2.72)

Este e um sistema de equacoes diferenciais ordinarias de segunda ordem acopladas a coefi-

cientes constantes, nao homogeneas.

2.6 Hipotese de Froude-Krylov para o Calculo de Forca

de Onda

Vimos acima o problema de radiacao. Um corpo oscila junto a superfıcie livre gera ondas

que se propagam carregando energia. Determinamos a solucao para o caso de um batedor de

ondas como exemplo basico. Originalmente nao existiam ondas no meio fluido. Vamos agora

estudar o problema da acao de ondas em um corpo fixo junto a superfıcie livre.

Consideremos um retangulo flutuando na superfıcie livre e determinemos a forca de onda

atuante sobre ele segundo a hipotese de Froude-Krylov, isto e, a forca devida a onda inci-

dente. Segundo a hipotese de Froude-Krylov, as forcas hidrodinamicas atuando em um corpo

flutuante devem-se unicamente a acao da onda incidente. Despreza-se o efeito da difracao das

ondas incidentes.


A forca hidrodinamica e calculada integrando-se as pressoes devidas as ondas in-

cidentes atuando sobre a superfıcie imaginaria dada pela posicao instantanea a

ser ocupada pelo corpo.

A pressao e dada pela integral da Equacao de Euler linearizada

p = −ρ∂φ∂t− ρgz (2.73)

e a forca e entao

F = Fd + Fe = −ρ∫S0

(∂φ

∂t+ gz

)nds (2.74)

onde Fd representa a contribuicao dinamica

Fd = −ρ∫S0

(∂φ

∂t

)nds (2.75)

e Fe representa a contribuicao estatica

Fe = −ρ∫S0

(gz) nds (2.76)

Admitindo que o potencial de velocidades deve-se unicamente a onda incidente:

φ = φinc = iA(z) e i (ωt−k0x) (2.77)

onde, para aguas profundas:

A(z) =ζ0g

ωe k0z (2.78)

Entao

pd = −ρ∂φinc∂t

= −ρiA(z)iωei(ωt−k0x)

= ωρA(z)[cos(ωt− k0x) + i sin(ωt− k0x)] (2.79)

2.6.1 Forcas de Froude-Krylov em Estruturas Retangulares

A figura (2.6) mostra o retangulo na superfıcie livre. O centro do retangulo encontra-se

localizado em x0, tem boca b, calado T e pontos extremos A,B,C e D. As normais voltadas

para fora do meio fluido estao indicadas em cada trecho do contorno. O trecho S1 e limitado

pelos pontos A e B, S2 e limitado pelos pontos B e C e S3 pelos pontos C e D.


Figura 2.6: Cancelamento em Formas Retangulares


Observando a figura 2.6 podemos escrever a expressao da forca hidrodinamica na forma

Fd = ωρ

∫ D

A

A(z) e i (ωt−k0x)nds (2.80)

Fd = ωρ

∫ B

A

A(z) e i (ωt−k0x)i(−dz)

+ωρ

∫ C

B

A(z) e i (ωt−k0x)k(dx)

+ωρ

∫ D

C

A(z) e i (ωt−k0x)(−i)(dz) (2.81)

Escrevendo as componentes em x e em z separadamente teremos:

Forca Horizontal

Fd,x = ωρ

∫ −T0

A(z) e i [ωt−k0(x0−b/2)](−)dz −∫ 0

−TA(z) e i [ωt−k0(x0+b/2)]dz

(2.82)

Fd,x = ωρ

e i [ωt−k0(x0−b/2)] − e i [ωt−k0(x0+b/2)]∫ 0

−TA(z)dz

= ωρ

e i [(ωt−k0x0)+k0b/2] − e i [(ωt−k0x0)−k0b/2]∫ 0

−TA(z)dz

= ωρ

∫ 0

−TA(z)dz e i (ωt−k0x0)

e i (k0b/2) − e −i (k0b/2)

= 2iωρ

∫ 0

−TA(z)dz e i (ωt−k0x0) sin(k0b/2) (2.83)

e assim

Fd,x = 2iωρ

∫ 0

−TA(z)dz e i (ωt−k0x0) sin(k0b/2) (2.84)

Como, para aguas profundas

A(z) =ζ0g

ωe k0z (2.85)

resolvendo a integracao obtemos:

Fd,x = ρgζ0b[1− e −k0T ]sin(k0b/2)

(k0b/2)[i e i (ωt−k0x0)] (2.86)


Para ondas longas

[1− e −k0T ]→ 0 (2.87)

e a forca anula-se.

Observemos o caso em que x0 e nulo. A forca horizontal tem intensidade:

Fd,x,0 = ρgζ0b[1− e −k0T ]sin(k0b/2)

(k0b/2)(2.88)

e assim pode ser escrita como:

Fd,x = Fd,x,0 [i e i (ωt)] = Fd,x,0 e i (ωt−π/2) (2.89)

Podemos tambem observar que a forca horizontal e regida pelo seno de ωt. A forca horizontal

horizontal tem seu maximo defasado do maximo da onda. Vemos que a forca horizontal e

maxima quando temos um no com zero descendente em x0.

Forca Vertical

Fd,z = ωρ

∫ C

B

A(z) e i (ωt−k0x)dx = ωρA(−T )

∫ x0+b/2

x0−b/2e i (ωt−k0x)dx

= ωρA(−T )i e i (ωt−k0x)

k0

|x0+b/2x0−b/2

=ωρA(−T )

k0

i e i [ωt−k0(x0+b/2)] − e i [ωt−k0(x0−b/2)]

=ωρA(−T )

k0

i e i [(ωt−k0x0)−k0b/2] − e i [(ωt−k0x0)+k0b/2]

=ωρA(−T )

k0

i e i (ωt−k0x0) e −i k0b/2 − e i k0b/2 (2.90)

e finalmente

Fd,z = 2ωρA(−T )

k0

e i (ωt−k0x0) sin(k0b/2) (2.91)

Podemos observar que a forca vertical e regida pelo cosseno de ωt. Isto e, a forca vertical

passara por um maximo sempre que a amplitude da onda passar por um maximo em x0.

Lembrando que em grandes profundidades A(z) = ζ0 g ek0z/ω entao:

Fd,z = ρ g ζ0e−k0T e i (ωt−k0x0) sin(k0b/2)

k0/2(2.92)


Multiplicando e dividindo por b obtemos:

Fd,z = ρ g ζ0be−k0T e i (ωt−k0x0) sin(k0b/2)

k0b/2

= ρ g b ζ(t, x0) e−k0Tsin(k0b/2)

k0b/2(2.93)

Esta expressao indica que a forca esta em fase com a elevacao da onda em x0 e tem uma forma

similar a uma forca hidrostatica como se o corpo afundasse o que a onda se eleva corrigida

de:

1. o efeito do decaimento da pressao dinamica com a profundidade

2. da variacao da forma da onda e da pressao com o cosseno de k0x

Caso a onda seja muito longa

k0b/2 = 2πb/2/L0 → 0, (2.94)

e−k0T = e−2πT/L0 → 1 (2.95)

esin(k0b/2)

k0b/2=

sin(w)

w→ 1 (2.96)

Assim,

Fd,z = ρ g ζ0b e i (ωt−k0x0) = ρ g b ζ(t, x0) (2.97)

e a forca atuante tem uma semelhanca com uma forca hidrostatica com variacao de afunda-

mento igual a ζ(t) no ponto x0.

2.6.2 Cancelamento de Forcas de Froude-Krylov em um Retangulo

Acima obtivemos as seguintes expressoes para as forcas de Froude-Krylov sobre um retangulo:

Fd,x = ρgb[1− e −k0T ]sin(k0b/2)

(k0b/2)i e i (ωt−k0x0) (2.98)

Fd,z = ρ g ζ0be−k0T e i (ωt−k0x0) sin(k0b/2)

k0b/2(2.99)

Vemos que ambas expressoes contem o termo

sin(k0b/2)

k0b/2(2.100)


Comok0b

2=

2πb

2L0

=πb

L0

(2.101)

onde L0 e o comprimento da onda, a relacao entre a boca do retangulo e o comprimento da

onda podera, por um efeito de forma acarretar que a amplitude da forca seja nula. Assim as

forcas horizontal e vertical terao amplitudes nulas se

b

L= n n = 1, 2, .... (2.102)

2.6.3 Extensao da expressao de Froude-Krylov para o caso de um

Navio com fundo plano horizontal

Digamos que temos agora um navio com fundo chato em que as ondas se propagam na direcao

do eixo longitudinal do navio. O problema e semelhante ao anterior, porem a boca torna-se

o comprimento do navio e ao longo da boca, para um x fixo a pressao e constante. O sistema

de referencia agora e Oxyz com Ox na direcao longitudinal e Oy na direcao transversal. O

navio tem boca B e comprimento L. A expressao da forca vertical e dada por:

Fd,z = ωρ

∫S

A(z) e i (ωt−k0x)dxdy (2.103)

como a pressao nao varia com a boca

Fd,z = ωρA(−T )B

∫L

e i (ωt−k0x)dx (2.104)

A exponencial no tempo pode ser retirada da integral e entao:

Fd,z = ωρA(−T ) e iωt∫L

B(x) e i k0xdx

= ωρA(−T ) e iωt∫L

B(x)[(cos(k0x) + i sin(k0x)]dx (2.105)

No caso de um casco em forma de caixa B(x) e constante e entao:

Fd,z = ωρA(−T )B e iωt∫L

[(cos(k0x) + i sin(k0x)]dx (2.106)

2.6.4 Cancelamento de Forcas de Froude-Krylov em Estruturas

Semisubmersıveis

Vimos que e possıvel cancelar as forcas e ou os momentos hidrodinamicos em estruturas

flutuantes do tipo retangular. Outro tipo de cancelamento se da para estruturas em que alguns


membros afloram da superfıcie livre e outros tem suas extremidades localizadas totalmente

no meio fluido, quando as ondas sao longas.

A figura 2.7 apresenta o esquema de uma estrutura semi-submersıvel em um plano. As colunas

estao indicadas com C1 e C2 e o pontoon com PON. O fundo da estrutura esta na cota z2.

A parte superior do pontoon esta na cota z1. As bases das colunas tem comprimento l1 e o

comprimento do pontoon tem comprimento l2.

Figura 2.7: Cancelamento em Estruturas Semisubmersıveis


A pressao e composta por duas parcelas, estatica e dinamica. A essas soma-se a pressao

atmosferica, que normalmente e assumida ser igual a zero.

p = patm + pest + pdin (2.107)

A pressao estatica e dada por:

p = ρgz (2.108)

e com ela obtem-se que a forca de empuxo e o peso do volume imerso. Nas colunas a forca

de empuxo e:

E =

∫S

pestndS =

∫S

ρgz2(2l1 + l2)k−∫S

ρgz1(l2)k (2.109)

A pressao na parte superior do pontoon e menor que na parte inferior. Assim o pontoon sofre

uma forca para cima. A pressao dinamica e dada por:

pdin = −ρ∂φ(x, z, t)

∂t= −ρ∂φ(x, 0, t)

∂tek0z (2.110)

e como o perfil da onda e dado por:

ζ = −1

g

∂φ(x, 0, t)

∂t= ζ0 cos(ωt− k0x) (2.111)

entao∂φ(x, 0, t)

∂t= −gζ0 cos(ωt− k0x) (2.112)

e

pdin = ρgζ0 cos(ωt− k0x)ek0z (2.113)

[Obs: o mais correto seria trabalhar com a forma exponencial, incluindo a parte imaginaria

na analise e somente no final pegar o modulo e a fase. Entretanto as conclusoes seriam as

mesmas]

Na situacao em que a crista de uma onda longa passa pelo centro geometrico da plataforma,

toda a plataforma estara sujeita a pressoes como se estivesse toda ela em situacao de crista. A

situacao em que a crista passa pelo centro da estrutura localizado na posicao x0, corresponde

a

Θ = ωt0 − k0x0 = ωt0 −2π

Lx0 = n · 2 · π (2.114)

onde n e um inteiro. Se a onda e longa em relacao ao tamanho da estrutura, e a crista se

localiza no centro da estrutura, entao

l1 + l2 + l1L

<< 1 (2.115)


Θ = ωt− k0x = ωt− k0x0 − 2πx− x0

L≈ 1− 2π

x− x0

L(2.116)

em toda a regiao da estrutura, e

pdin ≈ ρgζ0ek0z(1− 2π

x− x0

L) (2.117)

Com a pressao dinamica determina-se agora as forcas nas colunas e no pontoon

fC1 =

∫l1

pdin(z2)dx ≈ ρgζ0ek0z2l1 (2.118)

fC2 =

∫l1

pdin(z2)dx ≈ ρgζ0ek0z2l1 (2.119)

fPON =

∫l2

pdin(z2)dx−∫l2

pdin(z1)dx ≈ l2ρgζ0(ek0z2 − ek0z1) (2.120)

Como z1 e z2 tem valores negativos e o modulo de z2 e maior que o de z1 entao a forca

dinamica no pontoon aponta para baixo.

Para efeito de projeto pode-se determinar mais precisamente as cotas e as dimensoes da

estrutura resolvendo-se as integrais das pressoes exatamente. Inicialmente com o volume, a

area de linha dagua e o formato da estrutura determina-se a massa adicional e a frequencia

natural. Tenta-se fazer com que este o perıodo natural nao venha a estar contido na faixa de

frequencia de excitacao do mar. A seguir determina-se o comprimento da onda cujo perıodo

coincida com o perıodo natural da estrutura. Para este comprimento ajusta-se as dimensoes

principais. Caso as premissas impostas a volume, area de linha da agua e formato nao sejam

satisfeitas, faz-se um ajuste na geometria e retorna-se ao inıcio do problema.

Capıtulo 3

Dinamica de um Corpo Tridimensional

Esbelto em Ondas

3.1 Introducao

No capıtulo anterior analisamos o problema de secoes navais oscilando na superfıcie livre.

Observamos que as ondas incidentes atuando sobre o corpo se difratam, e as ondas formadas

desta composicao, onda incidente e onda difratada, geram forcas sobre a secao. Essas forcas

obrigam o corpo a oscilar periodicamente e os movimentos oscilatorios do corpo geram ondas.

Como reacao, aparecem forcas atuando sobre o corpo dadas pela soma dos produtos: massa

adicional vezes aceleracao e amortecimento vezes velocidade. Alem disto, os movimentos do

corpo provocam desiquilıbrio entre as forcas e momentos devidos a acao da gravidade sobre

a massa do corpo e as pressoes atuantes sobre a superfıcie do casco.

Neste capıtulo vamos estender nossa analise ao problema tridimensional. Vamos nos ater a

ondas monocromaticas e corpos esbeltos.

O objetivo do presente estudo e o desenvolvimento das equacoes de movimento de um corpo

esbelto rıgido flutuante em movimento em presenca de ondas.

Vamos equacionar o problema, de forma heurıstica, utilizando as conclusoes obtidas ate agora.

O procedimento adotado e dividir o corpo em varias secoes. Contruir uma expressao para

o carregamento em cada secao, levando em consideracao a acao da gravidade na massa da

secao, a pressao hidrostatica, as pressoes dinamicas devidas as ondas incidente, difratada e

radiada, e a inercia da secao. A seguir aplicamos as leis de conservacao da quantidade de

movimento linear (segunda lei de Newton) e de forma similar a de quantidade de movimento

angular. Assim, construimos as equacoes de movimento descrevendo a dinamica do corpo em

31


ondas.

3.2 Movimentos vertical e de rotacao em torno do eixo

lateral

A conservacao da quantidade de movimento linear indica:∫Lδma =

∫Lδp +

∫Lδe +

∫Lδfhidrodinamica (3.1)

onde:

a e a aceleracao de cada secao, e e dada pela composicao da aceleracao linear, isto e a con-

tribuicao do movimento vertical η3, e a contribuicao do movimento angular de arfagem

η5

a = (η3 − xη5)k (3.2)

δm e a massa da secao

δp e o peso da secao

δp = δmgk (3.3)

δe e o empuxo da secao

δe = ρgB(η3 − xη5)k + δe0 (3.4)

δfhidrodinamica e a forca hidrodinamica na secao, composta de um termo devido ao fenomeno

de radiacao e outro devido a onda incidente e sua difracao

δfhidrodinamica = −a33(η3 − xη5)k− b33(η3 − xη5)k + ρζ0fexck (3.5)

ζ0 e a amplitude da onda incidente.

a forca de excitacao e a soma da acao da onda incidente somada a acao da onda difratada

ρζ0fexck = ρζ0fexc + fdifk (3.6)


A conservacao da quantidade de movimento angular indica:∫L

r× δma =

∫L

r× δp +

∫L

r× δe +

∫L

r× δfhidrodinamica (3.7)

onde:

r ≈ xi.

Deve-se observar que δe0 6= δp em cada secao, porem∫Lδe0 =

∫Lδp (3.8)

∫L

r× δe0 =

∫L

r× δp (3.9)

3.2.1 Equacoes dos Movimentos Acoplados de Heave e Pitch

A partir do deslocamento de uma secao a uma distancia x da origem do sistema pode-se obter

as velocidades e as aceleracoes da secao:

η(x) = η3 − x sin(η5) ≈ η3 − xη5 (3.10)

˙η(x) = η3 − xη5 (3.11)

¨η(x) = η3 − xη5 (3.12)

A partir das forcas acima mencionadas e com as expressoes dos deslocamentos, das velocidades

e das aceleracoes, pode-se determinar a carga por secao:

q(x) = −m(x) · η − a33(x) · η − b33(x) · η + p(x) + e0(x)− ρgB(x) · η + ρζ0(finc + fdif )

= −m(x) · (η3 − xη5)− a33(x) · (η3 − xη5)− b33(x) · (η3 − xη5)

+p(x) + e0(x)− ρgB(x) · (η3 − xη5) + ρζ0(finc + fdif ) (3.13)

A integral do carregamento e a equacao de equilıbrio de forcas e a integral da cargas mulplicada

pela distancia ao centro e a equacao de momentos:∫L

q(x)dx = +

∫L

[−m(x) · (η3 − xη5)]dx

+

∫L

[−a33(x) · (η3 − xη5)]dx+

∫L

[−b33(x) · (η3 − xη5)]dx


+

∫L

[p(x) + e0(x)]dx+

∫L

[−ρgB(x) · (η3 − xη5)]dx+

∫L

ρζ0[finc + fdif ]dx (3.14)∫L

xq(x)dx = +

∫L

x[−m(x) · (η3 − xη5)]dx

+

∫L

x[−a33(x) · (η3 − xη5)]dx+

∫L

x[−b33(x) · (η3 − xη5)]dx

+

∫L

x[p(x) + e0(x)]dx+

∫L

x[−ρgB(x) · (η3 − xη5)]dx+

∫L

xρζ0[finc + fdif ]dx (3.15)

Desenvolvendo as duas equacoes, obtemos as equacoes dos movimentos acoplados no plano

vertical:

(A33 +M)η3 +B33η3 + C33η3 + (A35 −MXg)η5 +B35η5 + C35η5 = F3 (3.16)

(A53 −MXg)η3 +B53η3 + C53η3 + (A55 + Iyy)η5 +B55η5 + C55η5 = F5 (3.17)

onde os coeficientes hidrodinamicos e hidrostaticos sao dados por:

A33 =

∫L

a33dx B33 =

∫L

b33dx C33 = ρg

∫L

B(x)dx

A35 = −∫L

x a33dx B35 = −∫L

x b33dx C35 = −ρg∫L

x B(x)dx

A53 = A35 B53 = B35 C53 = C35

A55 =

∫L

x2 a33dx B55 =

∫L

x2 b33dx C55 = ρg

∫L

x2 B(x)dx

As forcas de excitacao sao dadas por:

F3 = ρζ0

∫L

fexcdx (3.18)

F5 = ρζ0

∫L

−xfexcdx (3.19)

onde:

fexc e a soma das contribuicoes devidas a onda incidente finc e a onda difratada fdif ,

Xg e a posicao longitudinal do centro de gravidade.


3.2.2 Solucao das equacoes de movimento

Inicialmente vamos observar que ate entao consideramos o navio como uma serie de secoes,

calculamos as cargas nas secoes e integramos ao longo do comprimento. Para determinacao

das cargas detrminamos as massas adicionais, os amortecimentos e as forcas de restauracao

e de excitacao em cada secao. Podemos fazer o mesmo atraves de metodos tridimensionais.

Assim, A33, B33, C33, A35, B35, C35, A53, B53, C53, A55, B55, C55, F3 e F5 sao calculados por

metodos tridimensionais integrando-se as pressoes dinamicas e estaticas como anteriormente,

porem sobre uma superfıcie molhada do corpo na posicao media. As pressoes dinamicas sao

obtidas da solucao de problemas tridimensionais. Obtemos como equacoes de movimento o

sistema.


(A53 −MXg)η3 +B53η3 +C53η3 + (A55 + Iyy)η5 +B55η5 +C55η5 = F5 (3.21)

As equacoes acopladas que regem os movimentos vertical e de arfagem, sao equacoes diferen-

ciais ordinarias de segunda ordem a coeficientes constantes. Admitindo que a onda incidente

e harmonica, e que a fase transiente ja tenha sido superada, o processo entra em regime per-

manente; as ondas difratadas tambem o serao harmonicas. As pressoes atuantes sobre o corpo

tambem terao um carater harmonico e consequentemente as forcas e momentos de excitacao

terao o mesmo comportamento e neste regime permanente a solucao da equacao diferencial,

que rege o movimento e descrita pela solucao particular.

Assim, as forcas e momentos sao dados por Fi,0eiω e as solucoes por:

ηj = ηj,0eiωt (3.22)

Substituindo (3.22) nas equacoes de movimento no plano longitudinal e definindo

P = C33 − ω2(A33 +M) + iωB33 (3.23)

Q = C35 − ω2(A35 −MXg) + iωB35 (3.24)

R = C53 − ω2(A53 −MXg) + iωB53 (3.25)

S = C55 − ω2(A55 + Iyy) + iωB55 (3.26)

obtemos

Pη3,0eiωt +Qη5,0e

iωt = F3,0eiωt (3.27)


Rη3,0eiωt + Sη5,0e

iωt = F5,0eiωt (3.28)

Simplificando o termo eiω, temos um sistema de duas equacoes a duas incognitas, cujas

solucoes sao dadas por:

η3,0 = (F3,0 · S − F5,0 ·Q)/DEN (3.29)

η5,0 = (P · F5,0 −R · F3,0)/DEN (3.30)

onde:

DEN = P · S −R ·Q (3.31)

3.3 Movimentos lateral, de rotacao em torno do eixo

Oz e de jogo

Vamos equacionar o problema, de forma semelhante ao que fizemos no caso dos movimentos

vertical e de arfagem acoplados. O procedimento adotado e dividir o corpo em varias secoes,

aplicar as leis de conservacao da quantidade de movimento linear (segunda lei de Newton) e

de forma similar a de quantidade de movimento angular para os movimentos de rotacao e de

jogo.

A conservacao da quantidade de movimento linear indica:∫Lδma =

∫Lδfhidrodinamica (3.32)

onde:

a e a aceleracao de cada secao, e e dada pela composicao da aceleracao linear, isto e a

contribuicao do movimento vertical η2, e a contribuicao do movimento de rotacao η6

a = (η2 + xη6)k (3.33)

δm e a massa da secao

δfhidrodinamica e a forca hidrodinamica na secao, composta de um termo devido ao fenomeno

de radiacao e outro devido a onda incidente e sua difracao

δfhidrodinamica = [−a22(η2 + xη6)− b22(η2 + xη6)− a24η4 − b24η4 + ρζ0fexc,2] j (3.34)

Assim,∫Lδm(η2−Zgη4 +xη6) =

∫L(−a22[η2 +xη6]−b22[η2 +xη6]−a24η4−b24η4 +ρζ0fexc,2)dx (3.35)


A conservacao da quantidade de movimento angular em torno do eixo Oz indica:

k ·∫L

r× [δm(η2 + xη6 − zm(x)η4)j] = k ·∫L

r× δfhidrodinamica (3.36)

De acordo com nossa aproximacao, em que estamos considerando o corpo esbelto vale r ≈ xi,

e entao

MXgη2 + Izzη6 − Ixzη4 =∫L[−a22(xη2 + x2η6)− b22(xη2 + x2η6)− a24xη4 − b24xη4 + ρζ0xfexc,2] dx (3.37)

A conservacao da quantidade de movimento angular em torno do eixo Oz indica:∫L(δIxxη4 − δmzgη2 − δmxzgη6)

= i ·(∫Lδmhidrodinamica +

∫Lδmpeso +

∫Lδmhidrostatica

)(3.38)

ou ∫L(δIxxη4 − δmzgη2 − δmxzgη6)

=

∫L[−a44η4−b44η4−a42(η2 +xη6)−b42(η2 +xη6)]dx−GM

∫Lδmgdxη4+

∫Lfexc,4dx (3.39)

3.3.1 Equacoes de movimento no plano horizontal

(A22 +M)η2 +B22η2 + (A24 −MZg)η4 +B24η4 + (A26 +MXg)η6 +B26η6 = F2 (3.40)

(A42−MZg)η2 +B42η2 +(A44 +Ixx)η4 +B44η4 +C44η4 +(A46−Ixz)η6 +B46η6 = F4 (3.41)

(A62 +MXg)η2 +B62η2 + (A64 − Ixz)η4 +B64η4 + (A66 + Izz)η6 +B66η6 = F6 (3.42)

sendo


A22 =∫La22dx B22 =

∫Lb22dx

A26 = A62 =∫Lx a22dx B26 = B62 =

∫Lx b22dx

A66 =∫Lx2 a22dx B66 =

∫Lx2 b22dx

A24 = A42 =∫La24dx B24 = B42 =

∫Lb24dx

A44 =∫La44dx B44 =

∫Lb44dx

A46 = A64 =∫Lx a24dx B46 = B64 =

∫Lx b24dx

C044 = ρ g∆ ¯GMT

Iij - momentos e produtos de inercia

M - massa do corpo

(Xg, Yg, Zg) - posicao vertical do centro de gravidade

3.3.2 Solucao das equacoes de movimento

De forma semelhante ao que foi feito para os movimentos acoplados vertical e de arfagem,

vamos supor que separamos a fase transiente, que ja estamos na fase permanente, onde as

ondas tem carater harmonico, as forcas e os momentos de excitacao tambem o tem, e o corpo

executa movimentos harmonicos. Definindo

P = C22 − ω2(A22 +M) + iωB22 (3.43)

Q = C24 − ω2(A24 −MZg) + iωB24 (3.44)

R = C26 − ω2(A26 +MXg) + iωB26 (3.45)

S = C42 − ω2(A42 −MZg) + iωB42 (3.46)

T = C44 − ω2(A44 + Ixx) + iωB44 (3.47)

U = C46 − ω2(A46 − Ixz) + iωB46 (3.48)

V = C62 − ω2(A62 +MXg) + iωB62 (3.49)

W = C64 − ω2(A64 − Ixz) + iωB64 (3.50)

X = C66 − ω2(A66 + Izz) + iωB66 (3.51)


e das equacoes de movimento no plano horizontal obtemos:

Pη2,0eiω +Qη4,0e

iω +Rη6,0eiω = F2,0e

iω (3.52)

Sη2,0eiω + Tη4,0e

iω + Uη6,0eiω = F4,0e

iω (3.53)

V η2,0eiω +Wη4,0e

iω +Xη6,0eiω = F6,0e

iω (3.54)

Simplificando o termo eiω e resolvendo o sistema obtemos

η2 = (F2 · T ·X +Q · U · F6 +R · F4 ·W − F2 · T ·R−W · U · F6 −X · F4 ·Q)/DEN (3.55)

η6 = (P · T · F6 +Q · F4 · V + F2 · S ·W − V · T · F2 −W · F4 · P − F6 · S ·Q)/DEN (3.56)

η4 = (P · F4 ·X + F2 · U · V +R · S · F6 − V · F4 ·R− F6 · U · P −X · S · F2)/DEN (3.57)

onde

DEN = P · T ·X +Q · U · V +R · S ·W − V · T ·R−W · U · P −X · S ·Q (3.58)


Capıtulo 4

Generalizacao do Problema Dinamico

4.1 Introducao

Vamos aqui, de forma abreviada, generalizar o problema para corpos de formas quaisquer.

Escreveremos as equacoes de movimento e posteriormente vamos analisar as simplificacoes

quando aparecem simetrias.

Posteriormente mostraremos a forma das equacoes de movimento para um corpo esbelto com

simetria longitudinal e dotado de velocidade de avanco.

4.2 Corpos com Geometria Qualquer

A generalizacao do problema com seis graus de liberdade e corpos de qualquer geometria toma

a forma:

([M] + [A])η + [B]η + [C]η = [F] (4.1)

Em que introduzimos

- a matriz de inercia [M] = [Mij], onde seus termos definem a massa, os produtos e os

41


momentos de inercia

[M] = [Mij] =

M 0 0 0 MZg −MYg0 M 0 −MZg 0 MXg

0 0 M MYg −MXg 0

0 −MZg MYg I44 −I45 −I46

MZg 0 −MXg −I54 I55 −I56

−MYg MXg 0 −I64 −I65 I66

(4.2)

- a matriz de massa adicional [A] = [Aij]

[A] = [Aij] =

A11 A12 A13 A13 A15 A16

A21 A22 A23 A24 A25 A26

A31 A32 A33 A34 A35 A36

A41 A42 A43 A44 A45 A46

A51 A52 A53 A54 A55 A56

A61 A62 A63 A64 A65 A66

(4.3)

- a matriz de amortecimento [B] = [Bij]

[B] = [Bij] =

B11 B12 B13 B13 B15 B16

B21 B22 B23 B24 B25 B26

B31 B32 B33 B34 B35 B36

B41 B42 B43 B44 B45 B46

B51 B52 B53 B54 B55 B56

B61 B62 B63 B64 B65 B66

(4.4)

- a matriz de restauracao [C] = [Cij],

[C] = [Cij] =

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 C33 C34 C35 0

0 0 C43 C44 C45 0

0 0 C53 C54 C55 0

0 0 0 0 0 0

(4.5)

com:

C33 = ρgSw (4.6)

C34 = C43 = ρgSy (4.7)

C35 = C53 = ρgSx (4.8)

C44 = Mg(zb − zg) + ρgSyy (4.9)


C45 = C54 = ρgSxy (4.10)

C55 = Mg(zb − zg) + ρgSxx (4.11)

observando que os coeficientes restantes Cij sao nulos, e

Sx =

∫Sw

xdxdy (4.12)

Sy =

∫Sw

ydxdy (4.13)

Sxx =

∫Sw

x2dxdy (4.14)

Syy =

∫Sw

y2dxdy (4.15)

Sxy =

∫Sw

xydxdy (4.16)

zg - posicao vertical do centro de gravidade

zb - posicao vertical do centro de carena

- o vetor forca de excitacao generalizado, composto de tres componentes de forca e tres

componentes de momentos, [F] = [Fi]

Deve ser observado que para corpos sem simetria as matrizes de massa adicional e deamortec-

imento sao cheias.

Para corpos com simetria longitudinal, como navios, as matrizes de massa adicional e de

amortecimento sao dadas por:

[A] = [Aij] =

A11 0 A13 0 A15 0

0 A22 0 A24 0 A26

A31 0 A33 0 A35 0

0 A42 0 A44 0 A46

A51 0 A53 0 A55 0

0 A62 0 A64 0 A66

(4.17)

[B] = [Bij] =

B11 0 B13 0 B15 0

0 B22 0 B24 0 B26

B31 0 B33 0 B35 0

0 B42 0 B44 0 B46

B51 0 B53 0 B55 0

0 B62 0 B64 0 B66

(4.18)


em que

Aij = Aji (4.19)

Bij = Bji (4.20)

Alem disto, para corpos com simetria em relacao ao plano longitudinal:

C34 = C43 = 0 (4.21)

No caso de corpos alongados, como navios, podemos assumir que o acoplamento do movimento

longitudinal, na direcao 1, com os movimentos nas direcoes 3 e 5 seja pequeno e as matrizes

de massa adicional e de amortecimento tomam a forma:

[A] = [Aij] =

A11 0 0 0 0 0

0 A22 0 A24 0 A26

0 0 A33 0 A35 0

0 A42 0 A44 0 A46

0 0 A53 0 A55 0

0 A62 0 A64 0 A66

(4.22)

[B] = [Bij] =

B11 0 0 0 0 0

0 B22 0 B24 0 B26

0 0 B33 0 B35 0

0 B42 0 B44 0 B46

0 0 B53 0 B55 0

0 B62 0 B64 0 B66

(4.23)

e retornamos as equacoes obtidas anteriormente.

4.3 Um Exemplo

Como exemplo apresentamos nas figuras 4.1, 4.2, 4.3, 4.44.54.6 e 4.7 as inercias adicionais, os

amortecimentos, as forcas de excitacao e os RAOs, em forma adimensional para os movimentos

3 (heave) e 5 (pitch) de um VLCC, calculados por um metodo tridimensional:

A33 = A33/(ρL3pp) (4.24)

B33 = B33/(ωρL3pp) (4.25)


Periodos em Segundos25 50 75 100

0

0.0025

0.005

0.0075

0.01

0.0125

0.015

0.0175

0.02

A33B33

A33, B33

VLCC

Figura 4.1: Inercia Adicional e Amortecimento na Forma Adimensional I

A35 = A35/(ρL4pp) (4.26)

B35 = B35/(ωρL4pp) (4.27)

A55 = A55/(ρL5pp) (4.28)

B55 = B55/(ωρL5pp) (4.29)

F3 = F3/(ρgL2pp) (4.30)

F5 = F5/(ρgL3pp) (4.31)

A solucao deste problema para diversas frequencias de onda gera as seis funcoes de trans-

ferencia para os deslocamentos do corpo. E comum chamarmos de RAO (Operador de Am-

plitude de Resposta), como ja citamos anteriormente.



-0.01

-0.009

-0.008

-0.007

-0.006

-0.005

-0.004

-0.003

-0.002

-0.001

A35B35

A35, B35

VLCC

Figura 4.2: Inercia Adicional e Amortecimento na Forma Adimensional II


0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

A55B55

A55, B55

VLCC

Figura 4.3: Inercia Adicional e Amortecimento na Forma Adimensional III


Periodos em segundos10 20 30 40 50 60

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15 Força de Excitaçãode Heave

Figura 4.4: Forca de Excitacao Vertical

Periodos em segundos10 20 30 40 50 60

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018 Momento de Excitaçãode Pitch

Figura 4.5: Momento de Excitacao


Periodo em segundos10 20 30 40 50 60

0

0.25

0.5

0.75

1

RAO de Heave

Figura 4.6: Rao de Heave

Periodo em segundos10 20 30 40 50 60

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

RAO de Pitch

Figura 4.7: Rao de Pitch

Capıtulo 5

Equacoes de Movimento para Navios

com Velocidade de Avanco

5.1 Introducao

Vamos agora estender as equacoes de movimento para o caso de navios com velocidade de

avanco.

A estrutura das equacoes de movimento e a mesma que obtivemos para o problema general-

izado, no capıtulo anterior, com alteracao dos coeficientes das equacoes de movimento.

Inicialmente vamos discutir a questao da frequencia de encontro, depois introduziremos as

equacoes de movimento. Neste caso vamos mostrar as expressoes completas das forcas de ex-

citacao, que ate entao nao foram apresentadas; dissemos somente que obtemos suas expressoes

integrando as pressoes da onda incidente (focas de Froude-Krylov) e da onda difratada. A

forma de se obter as forcas de Froude-Krylov foi apresentada para secoes simples. A obtencao

dessas forcas para formas mais complexas e tridimensionais segue o mesmo procedimento.

A partir das expressoes aqui apresentadas, podemos gerar as equacoes para o caso sem ve-

locidade de avanco, simplesmente fazendo a velocidade de avanco igual a zero.

5.2 Frequencia de encontro

E intuitivo pensar que se o navio tem velocidade de avanco diferente de zero e encontra ondas

pela proa, sua frequencia de oscilacao sera diferente da frequencia das ondas. Dizemos que

ele vai oscilar na frequencia de encontro ωe, que e dada por

49


ωe = ω − k0U cos β (5.1)

onde ω e a frequencia da onda, k0 e o numero de onda, U e a velocidade de avanco e β e o

angulo que a direcao de propagacao das ondas faz com o eixo longitudinal do navio, de tal

forma que, quando as ondas vem pela popa β e nulo.

Para interpretar a frequencia de encontro analisemos como um observador no navio observa

o perfil da onda.

Lembremos aqui os sistemas de referencia definidos anteriormente.

1. Sistema de coordenadas OXY Z.

Plano Z = 0 sobre a superfıcie livre. Eixo OZ apontando verticalmente para cima.

2. Sistema oxyz

Centro concide com o ponto O. Eixo ox faz um angulo β com o eixo OX.

3. Sistema oxyz

Desloca-se com a velocidade do navio, sem oscilar. Centro localizado na superfıcie livre

em repouso. Eixo oz aponta verticalmente para cima.

o, centro do sistema, localizado a meio navio ou na vertical passando pelo centro de

gravidade.

Outras observacoes sao:

1. O navio desloca-se em linha reta com velocidade U na direcao do eixo ox.

2. As ondas se propagam na direcao do eixo OX. O vetor celeridade da onda faz um

angulo β com o vetor velocidade do navio

O perfil de onda e dado por

ζ(X, t) = ζ0 cos(ωt− k0X) (5.2)

porem como,

X = x cos(β)− y sin(β) (5.3)

e

x = x+ Ut (5.4)

entao

ζ(X, t) = ζ0 cos[ωt− k0(x cos(β)− y sin(β))] =


ζ0 cos[ωt− k0(x+ U)t cos(β) + k0y sin(β)] (5.5)

Podemos rearranjar esta expressao na forma:

ζ(X, t) = ζ0 cos[ωt− k0x cos(β)− k0Ut cos(β) + k0y sin(β)] =

ζ0 cos[(ω − k0U cos(β))t− k0x cos(β) + k0y cos(β)] (5.6)

o que nos leva a definir a funcao elevacao da superfıcie livre na forma:

ζ(x, y, t) = ζ0 cos(ωet− k0x cos(β) + k0y cos(β)) (5.7)

5.2.1 Equacoes de movimento

No caso de um navio com velocidade de avanco nao nula as equacoes de movimento sao dadas

por:


(A53 −MXg)η3 +B53η3 + C53η3 + (A55 + Iyy)η5 +B55η5 + C55η5 = F5 (5.9)

Deve ser observado que a forma das equacoes e a mesma alterando-se as expressoes dos

coeficientes, com a introducao de termos com velocidade de avanco:

A33 = A033 (5.10)

B33 = B033 (5.11)

C33 =

∫L

b(x)dx (5.12)

A35 = A035 −

U

ω2e

B033 (5.13)

B35 = B035 + UA0

33 (5.14)

C35 = −ρ g∫L

x b(x)dx (5.15)

A53 = A035 +

U

ω2e

B033 (5.16)

B53 = B035 − UA0

33 (5.17)


C53 = −ρ g∫L

x b(x)dx (5.18)

A55 = A055 +

U2

ω2e

A033 (5.19)

B55 = B055 +

U2

ω2e

B033 (5.20)

C55 = ρ g

∫L

x2 b(x)dx (5.21)

A033 =

∫La33dx B0

33 =∫Lb33dx

A035 =

∫Lx a33dx B0

35 = −∫Lx b33dx

A055 =

∫Lx2 a33dx B0

55 =∫Lx2 b33dx

(A22 +M)η2 +B22η2 + (A24 −MZg)η4 +B24η4 + A26η6 +B26η6 = F2 (5.22)

(A42−MZg)η2 +B42η2 +(A44 +Ixx)η4 +B44η4 +C44η4 +(A46−Ixz)η6 +B46η6 = F4 (5.23)

A62η2 +B62η2 + (A64 − Ixz)η4 +B64η4 + (A66 + Izz)η6 +B66η6 = F6 (5.24)

Neste caso, tambem e observado que a forma das equacoes e a mesma, alterando-se as ex-

pressoes dos coeficientes, com a introducao de termos com velocidade de avanco:

A22 = A022 (5.25)

B22 = B022 (5.26)

A24 = A024 (5.27)

B24 = B024 (5.28)

A26 = A026 +

U

ω2e

B022 (5.29)

B26 = B026 − UA0

22 (5.30)

A42 = A24 (5.31)

B42 = B24 (5.32)

A44 = A044 (5.33)

B44 = B044 +B∗44 (5.34)


A46 = A046 +

U

ω2e

B024 (5.35)

B46 = B046 − UA0

24 (5.36)

A62 = A062 −

U

ω2e

B022 (5.37)

B62 = B062 + UA0

22 (5.38)

A64 = A064 −

U

ω2e

B024 (5.39)

B64 = B064 + UA0

24 (5.40)

A66 = A066 +

U2

ω2e

A022 (5.41)

B66 = B066 +

U2

ω2e

B022 (5.42)

A022 =

∫La22dx B0

22 =∫Lb22dx

A026 = A0

62 = −∫Lx a22dx B0

26 = B062 = −

∫Lx b22dx

A066 = −

∫Lx2 a22dx B0

66 = −∫Lx2 b22dx

A024 = A0

42 =∫La24dx B0

24 = B042 =

∫Lb24dx

A044 =

∫La44dx B0

44 =∫Lb44dx

A046 = A0

64 =∫Lx a24dx B0

46 = B064 =

∫Lx b24dx

C044 = ρ g∆ ¯GMT

Iij - momentos e produtos de inercia

M - massa do corpo


aij and bij - coeficientes hidrodinamicos bidimensionais

O coeficiente B∗44 representa a influencia viscosa


As forcas de excitacao sao dadas por

Fj = ρζ0

∫L

(fj + hj)dx+ ρζ0U

iωehaj (5.43)

para j = 1, 2, 3 ou 4

F5 = ρζ0

∫L

[−x(f3 + h3) +

U

iωeh3

]dx− ρζ0

U

iωexah

a3 (5.44)

F6 = ρζ0

∫L

[x(f2 + h2) +

U

iωeh2

]dx+ ρζ0

U

iωexah

a3 (5.45)

com

fj = ge−i k0x cosβ

∫C

njei k0y sinβek0zds (5.46)

hj = −ωe−i k0x cosβ

∫C

(i sin βn2 + n3)ϕ0je

i k0y sinβek0zds (5.47)

para j = 2, 3 ou 4.

5.3 Interferencia da Velocidade de Avanco

A consideracao da velocidade de avanco traz algumas implicacoes que devem ser ressaltadas:

1. a velocidade de avanco afeta os termos do primeiro membro das equacoes de movimento,

consequentemente o RAO.

2. a velocidade de avanco afeta as forcas de excitacao, consequentemente o RAO.

3. o navio encontra uma onda na frequencia da onda, com a energia que a onda tem nesta

frequencia, porem ele oscila na frequencia de encontro. Isto e, para se determinar o

espectro de resposta, o RAO na frequencia de encontro tem que ser composto com o

espectro do mar na frequencia do mar.

Capıtulo 6

Navio em Mar Irregular

6.1 Introducao

Determinamos nos capıtulos anteriores a funcao de resposta do navio em ondas regulares, que

chamamos de RAOs. As ondas consideradas foram sempre ondas monocromaticas. Investi-

garemos agora a resposta do navio em mar irregular.

6.2 Transformada de Fourier da Equacao de Movimento

A equacao de movimento do navio e dada por:

(M + A)x+Bx+ Cx = f(t) (6.1)

A esta equacao aplicamos a transformada de Fourier, definida por:

Fg(t) ≡ 1

2π

∫ ∞−∞

e iωtg(t)dt = G(ω) (6.2)

Entretanto, vamos inicialmente considerar um intervalo T das ondas atuantes. Retiramos do

sinal original ζ(t) a funcao ζT (t) que e igual a ζ(t) no intervalo T e fora deste intervalo e nula.

Estas ondas vao provocar forcas sobre o navio que serao nulas fora do intervalo T e iguais as

forcas do mar no intervalo T . A transformada de funcoes neste intervalo e dada por:

FfT (t) ≡ 1

2π

∫ ∞−∞

e iωtfT (t)dt = GT (ω) (6.3)

55


Alem disto, para as derivadas vale:

Fg(t) = iωG(ω) (6.4)

Fg(t) = −ω2G(ω) (6.5)

entao

FgT (t) = iωGT (ω) (6.6)

FgT (t) = −ω2GT (ω) (6.7)

Aplicando a equacao do movimento, teremos:

−ω2(M + A)XT + iωBXT + CXT = FT (6.8)

−ω2(M + A) + iωB + CXT = FT (6.9)

onde

XT = XR,T + iXI,T (6.10)

FT = FR,T + iFI,T (6.11)

6.3 O Espectro de Resposta

Multiplicando pelo conjugado

−ω2(M + A) + iωB + C−ω2(M + A)− iωB + CXR,T + iXI,TXR,T − iXI,T

= FR,T + iFI,TFR,T − iFI,T (6.12)

X2R,T +X2

I,T =F 2R,T + F 2

I,T

(C − ω2(M + A))2 + (ωB)2(6.13)

ou

XTX∗T =

FTF∗T

(C − ω2(M + A))2 + (ωB)2(6.14)

dividindo pelo tempo T e fazendo o limite quando T →∞ temos:

limT→∞

2πXTX∗T

T= lim

T→∞

2πFTF∗T

T

1

(C − ω2(M + A))2 + (ωB)2(6.15)

porem limT→∞2πXTX

∗T

Te o espectro da funcao x(t) e limT→∞

2πFTF∗T

Te o espectro das forcas.

Entao

Sxx = Sff1

(C − ω2(M + A))2 + (ωB)2(6.16)


Por outro lado, ha uma relacao similar entre o espectro das forcas e o espectro do sinal

elevacao da onda na origem.

Sff = Sζζ |F (ω)|2 (6.17)

logo

Sxx = Sζζ |F (ω)|2 1

(C − ω2(M + A))2 + (ωB)2(6.18)

6.4 Espectro de Resposta de um Sistema Oceanico em

um Mar Irregular

A previsao das respostas de um corpo flutuante en ondas, tais como movimentos e baseada

na equacao 6.18 e o trabalho pioneiro no assunto foi desenvolvido por St. Denis e Pierson em

1953. Desde entao tem sido amplamente aplicado para varios problemas de comportamento

de estruturas flutuantes no mar. Entretanto cabe ressaltar em que condicoes foi desenvolvido:

- As ondas do mar sao consideradas como um processo estocastico estacionario, normal-

mente distribuıdo com media zero.

- A funcao de densidade espectral das ondas do mar e das respostas da estrutura sao

consideradas de banda estreita.

- As funcoes de densidade de probabilidade e o espectro de excitacao e de respostas sao

consideradas como independentes do tempo.

- O princıpio de superposicao e aplicavel para a previsao das respostas em mar irregular.

- As respostas em ondas irregulares podem ser representadas pela soma de respostass da

estrutura em ondas regulares.

Um sistema linear mantem relacoes entre respostas e excitacao de tal maneira que:

- a resposta do sistema a uma excitacao monocromatica (onda regular com uma unica

frequencia e amplitude constante) e monocromatica

- se a variavel aleatoria que representa a excitacao do sistema segue um processo gaussiano

a resposta tambem sera um processo gaussiano

- a partir das respostas do sistema para uma onda regular (monocromatica) variando

sua frequencia, construimos a funcao de resposta do sistema (funcao de transferencia,

fator de amplificacao) que e a relacao entre a amplitude da resposta e a amplitude da

excitacao para as varias frequencias


- A funcao de densidade espectral da resposta pode ser obtida a partir da funcao de

densidade espectral da excitacao atraves de:

SY Y (ω) = SXX(ω)|H(ω)|2 (6.19)

onde |H(ω)| e a funcao de resposta do sistema a ondas regulares

Em Engenharia Oceanica |H(ω)| e frequentemente chamado de RAO que sao as iniciais

da expressao inglesa Response Amplitude Operator.

6.5 Movimentos de um Corpo Flutuante no Mar

O estudo de um corpo flutuante tem como interesse respostas como movimentos, velocidades

e aceleracoes de pontos do corpo, alem de outras variaveis que decorrem dos movimentos.

Com os movimentos pode-se calcular as pressoes sobre o casco, cargas, etc. Inicialmente

consideremos os movimentos do centro do sistema localizado no corpo. Assim, estas respostas

formam um vetor de 6 posicoes.

η =

ηlηa

(6.20)

onde

ηl =

η1

η2

η3

e ηa =

η4

η5

η6

(6.21)

- η1,2,3 movimentos lineares (surge, sway, heave)

- η4,5,6 movimentos angulares (roll, pitch yaw) e

- ηi = ηi,0 e i δi

- ηi,0 amplitude do movimento i

- δi angulo de fase do movimento i

Uma vez que a excitacao em mar regular e harmonica e da forma F = F0 e iωt e o modelo,

todas as respostas tambem o serao:

η = η e iωt = η0 e i δ e iωt (6.22)

Assim:


- velocidade = (d/dt) (deslocamento)

v =d

dtη = η = iωη = v e iωt (6.23)

- aceleracao = (d/dt) (velocidade)

a =d2

dt2η = η = −ω2η = a e iωt (6.24)

Passemos agora a partir dessas respostas a determinacao de espectros de deslocamentos,

velocidades e aceleracoes e ao estudo de eventos de seakeeping. Os espectros de deslocamentos,

velocidades e aceleracoes em mar irregular serao da forma

SXX(ω) = |RAOX(ω)|2Sζζ(ω) = XX∗Sζζ(ω) (6.25)

SXX(ω) = |RAOX(ω)|2Sζζ(ω) = ¯X ¯X∗Sζζ(ω) = V V ∗Sζζ(ω) = ω2|RAOX(ω)|2Sζζ(ω) (6.26)

SXX(ω) = |RAOX(ω)|2Sζζ(ω) = ¯X ¯X∗Sζζ(ω) = AA∗Sζζ(ω) = ω4|RAOX(ω)|2Sζζ(ω) (6.27)

onde: V = ¯X, A = ¯X, ¯X∗ = V ∗ e ¯X∗ = A∗, e X∗, V ∗ e A∗ sao os conjugados de X, V e A

respectivamente.

6.5.1 Deslocamentos, velocidades e aceleracoes em um ponto do

corpo

Da mecanica sabemos que o deslocamento de um ponto qualquer de um corpo pode ser

obtido se conhecemos o deslocamento linear de um ponto e a rotacao em torno daquele ponto.

Admitindo pequenos deslocamentos esta expressao e da forma:

d = ηl + ηa ×R (6.28)

onde

d =

dxdydz

(6.29)

e o vetor dos deslocamentos do ponto

ηl =

η1

η2

η3

(6.30)


e o vetor dos deslocamentos lineares, isto e, ”surge”, ”sway”e ”heave”

ηa =

η4

η5

η6

(6.31)

e o vetor dos deslocamentos angulares, isto e, ”roll”, ”pitch”e ”yaw”

d =

x

y

z

(6.32)

sao as coordenadas do ponto em selecao ao sistema fixo no corpo,

A hipotese de pequenos deslocamentos permite-nos interpretar (η4, η5, η6) como um vetor.

Uma vez obtido o vetor dos deslocamentos

d =

dxdydz

(6.33)

podemos obter os vetores das velocidades,

v = iωd (6.34)

v =

vxvyvz

=

iωdxiωdyiωdz

(6.35)

e

a = iωv = −ω2d (6.36)

a =

axayaz

e v =

iωvxiωvyiωvz

(6.37)

Os RAOS de deslocamentos, velocidades e aceleracoes em um ponto qualquer do corpo sao

dados entao por:

|RAOdx(ω)|2 = |dx|2 = dx · d∗x (6.38)

|RAOdy(ω)|2 = |dy|2 = dy · d∗y (6.39)


|RAOdz(ω)|2 = |dz|2 = dz · d∗z (6.40)

|RAOvx(ω)|2 = |vx|2 = vx · v∗x (6.41)

|RAOvy(ω)|2 = |vy|2 = vy · v∗y (6.42)

|RAOvz(ω)|2 = |vz|2 = vz · v∗z (6.43)

|RAOax(ω)|2 = |ax|2 = ax · a∗x (6.44)

|RAOay(ω)|2 = |ay|2 = ay · a∗y (6.45)

|RAOaz(ω)|2 = |az|2 = az · a∗z (6.46)

Para obtermos os espectros resposta, basta multiplicarmos os quadrados das funcoes de trans-

ferencia (RAOs) pelo espectro do mar.

6.5.2 Eventos de Seakeeping

Para operacoes no mar torna-se importante verificar as seguintes ocorrencias:

- embarque de agua (green water)

- culapada, entrada da proa na agua (slamming)

- culapada tranversal com o movimento de jogo em transporte de estruturas ou modulos

com barcaca

- emersao do propulsor

No caso de agua no conves pesquisa-se a frequencia de ocorrencia desta situacao para uma

borda livre pre-determinada ou a borda livre necessaria para que uma certa frequencia de

ocorrencia de embarque de agua nao seja ultrapassada.

Determina-se inicialmente o quadrado do RAO de deslocamento vertical relativo corpo-onda

para um ponto no plano longitudinal da embarcacao no nıvel da linha de agua.

O deslocamento vertical de um ponto do navio localizado no eixo Ox, localizado longitudi-

nalmente na posicao XL e dado por:

ηz(t) = η3(t)−XL · η5(t) (6.47)

O deslocamento relativo superfıcie do mar e o ponto acima

ηr(t) = ηz(t)− ζ(t) = η3(t)−XL · η5(t)− ζ(t) = [η3,0ei δ3 −XL · η5,0e

i δ5 − ζei k0XL]eiωt (6.48)


O quadrado do modulo da resposta da distancia relativa e dado por:

|ηr,0|2 = ηr,0 · η∗r,0

= [η3,0ei δ3 −XL · η5,0e

i δ5 − ζei k0XL] · [η3,0e−i δ3 −XL · η5,0e

−i δ5 − ζe−i k0XL]

= (η23,0 +XL2 ∗ η2

5,0 + ζ20 )−XLη3,0η5,0[ei (δ3−δ5) + e−i (δ3−δ5)]+

−η3,0ζ0[ei (δ3−k0·XL) + e−i (δ3−k0·XL)] +XL · η5,0ζ0[ei (δ5−k0·XL) + e−i (δ5−k0·XL)] (6.49)

O quadrado da relacao entre a resposta do movimento e a amplitude da onda, isto e, a resposta

para onda unitaria e o modulo do RAO do deslocamento relativo ao quadrado:

RML = 1 + (XL ∗ η5,0)2 + η23,0 − 2η3,0 cos(δ3,0 − k0XL)− 2XLη3,0η5,0 cos(δ3,0 − δ5,0)

+2XLη5,0 cos(δ5,0 − k0XL) (6.50)

De forma similar ao que foi feito anteriormente, os quadrados dos RAO’s de velocidade e

aceleracoes relativas sao dados por:

RV L = ω2 ·RML (6.51)

RAL = ω2 ·RV L = ω4 ·RML (6.52)

Os espectros de resposta sao dados por:

SMM = Sζζ ·RML (6.53)

SV V = Sζζ ·RV L (6.54)

SAA = Sζζ ·RAL (6.55)

Como sabido, a area sob a curva da funcao de densidade espectral fornece a media dos

quadrados do processo em estudo: deslocamentos, velocidades e aceleracoes. Assumindo-

se que o processo e de banda estreita o processo estocastico dos picos de deslocamentos,

velocidades e aceleracoes, segue a lei de Rayleigh cuja funcao de densidade de probabilidade

e dada por:

fX(x) =x

mx

e−x2/2mx (6.56)

onde mx e a variancia do processo da variavel X:

mx =

∫ ∞0

Sxxdω (6.57)

A probabilidade da variavel X exceder um certo valor crıtico e:

P [X > Xcrit] = e

−X2crit

2mx (6.58)


ou

X2crit = −2mx lnP [X > Xcrit] (6.59)

Esta expressao fornece o deslocamento relativo vertical crıtico para um certo nıvel de prob-

abilidade P [X > Xcrit]. Caso conheca-se a frequencia admissıvel de ocorrencia de embarque

de agua no conves pode-se obter a borda livre necessaria

BL =√−2mx lnP [X > Xcrit] (6.60)

Se, por exemplo, a probabilidade de excedencia for de 1/25 obtem-se uma borda livre

BL = 2.54√mx (6.61)

No caso em que a borda livre e dada e se quer verificar a incidencia de ocorrencia de agua no

conves tem-se:

P [X > BL] = e−BL2/(2mx) (6.62)

e, determinando-se o numero de oscilacoes por hora

Nosc = 3600 · (ciclos por segundo) = 3600σmedio/(2π) = 3600√mv/mx/(2π) (6.63)

pode-se calcular o numero de vezes em media esperado de ocorrencia de agua no conves:

N = Nosc ∗ P [X > BL] = 3600√mv/mxe

−BL2/(2mx)/(2π) (6.64)

No caso de emersao do propulsor o procedimento e similar. Determina-se qual a probabilidade

da pa do propulsor deixar a agua, isto e, quer-se que a distancia entre a onda e a posicao da

pa do propulsor nao se torne nula.

Para as previsoes de slamming longitudinal e transversal a situacao e relativamente similar.

Deve-se determinar a probabilidade do deslocamento, dada pela diferenca entre a cota do

fundo do corpo flutuante e a linha de aguas tranquilas, exceder uma distancia limite pre-

estabelecida. Entretanto um outro fator e tambem importante que e a velocidade de imersao.

Se a velocidade for baixa nao ha risco. Entretanto se ela exceder um certo valor a entrada na

agua e feita com risco de dano estrutural.

A probabilidade de ocorrer simultaneamente emersao do propulsor e excedencia da velocidade

crıtica e dado por:

P [ocorrencia de slamming] = P [excedencia do deslocamento] · P [excedencia da velocidade]

(6.65)

onde

P [excedencia do deslocamento] = e−DIST2/(2mx) (6.66)

P [excedencia da velocidade] = e−V TL2/(2mx) (6.67)


DIST - e a distancia entre o nıvel de aguas tranquilas e o ponto de interesse.

VTL - e a velocidade crıtica a partir da qual pode haver danos estruturais. Recomenda-

se utilizar um valor em torno de 0.1√gLpp

Com este resultado pode-se calcular o numero de vezes em media esperado de ocorrencia de

slamming:

N = P [ocorrencia de slamming]3600√mv/mx/(2π) (6.68)


6.6 Resumo Esquematico

Figura 6.1: Apresentacao Esquematica I


Figura 6.2: Apresentacao Esquematica II


Figura 6.3: Apresentacao Esquematica III


Figura 6.4: Apresentacao Esquematica IV


Figura 6.5: Apresentacao Esquematica V


Capıtulo 7

Batedor de Ondas

7.1 Introducao

Anteriormente estudamos o problema de ondas de gravidade propagando-se em um domınio

infinito −∞ < x <∞. Vamos agora estudar ondas geradas por um pistao horizontal. Com o

movimento do pistao sao induzidas velocidades as partıculas fluidas, e consequentemente sao

geradas ondas que se radiam a partir do corpo. Nosso objetivo nesta secao nao e somente de

estudar o problema do batedor de ondas, mas muito mais de introduzir os conceitos de massa

adicional e amortecimento inerentes ao problema de radiacao.

O pistao horizontal esta dotado de um movimento harmonico com amplitude s0 e frequencia

ω

s = s0 sinωt (7.1)

sobre o qual aplicamos uma forca horizontal F para vencer a reacao fluida Fh(ver figura

refFig-ICF-02).

Utilizando a lei de Newton podemos descrever o movimento do corpo por

ms = F + Fh (7.2)

onde Fh e a reacao hidrodinamica. Assim

F = ms− Fh (7.3)

Nosso objetivo e determinar a reacao hidrodinamica sobre o batedor, o que nos permitira

determinar a forca a ser aplicada ao batedor. Para determinar a reacao hidrodinamica temos

que determinar a pressao atraves da integral da Equacao de Euler, o que nos exige determinar

o potencial de velocidades. Enfim, temos que resolver o problema de valor de contorno geral

71


Figura 7.1: Gerador de Ondas em Forma de Pistao

da hidrodinamica aplicado ao caso presente. Trata-se de um escoamento bidimensional em

uma regiao com profundidade finita em que os efeitos viscosos sao desprezıveis, o fluido e

incompressıvel, o escoamento pode ser considerado irrotacional e as forcas de corpo derivam

de um potencial. Do ponto de vista do fluido o pistao pode ser visto como uma parede vertical

dotada de um movimento harmonico. Ondas sao formadas nesta regiao e transmitem-se para

o fluido. A este fenomeno damos o nome de radiacao, uma vez que ondas se radiam do corpo

para o infinito. Temos neste caso um domınio semi infinito em x. Definimos um sistema de

coordenadas Oxz colocado junto a superfıcie do pistao e sobre a superfıcie livre e consideramos

que o movimento do pistao e de pequenas amplitudes. De forma semelhante ao que fizemos no

problema anterior as condicoes de contorno na superfıcie livre sao linearizadas e aplicadas na

posicao media. Junto ao pistao faremos uma aproximacao semelhante aplicando a condicao

de contorno na posicao media do pistao.

Podemos escrever o seguinte problema de valor de contorno para determinacao do potencial

de velocidades φ, que rege o movimento do fluido.

∇2φ = 0 (7.4)

em todo domınio fluido

∂2φ

∂t2+ g

∂φ

∂z= 0 (7.5)

na superfıcie z = 0


∂φ

∂z= 0 (7.6)

em z = −d

<(∂φ

∂x

)= s0ω cosωt (7.7)

em x = 0.

Esta ultima equacao pode ser escrita na forma:

∂φ

∂x= s0ω exp(iωt) (7.8)

em x = 0.

Alem destas condicoes devem ser impostas condicoes de radiacao para limx → ∞. Neste

caso, esta condicao estabelece que longe do corpo uma unica onda progressiva propague-se

carregando a energia cedida ao fluido pelo batedor a cada ciclo.

Notemos que a quarta condicao, valida na parede do corpo esta sendo aproximada, a medida

que vamos aplica-la na posicao media do corpo.

7.1.1 Obtencao do Potencial de Velocidades Solucao do Problema

Para a obtencao da solucao do problema vamos aplicar o metodo de separacao de variaveis,

de forma similar ao que fizemos anteriormente.

Assim, aplicando-se o metodo de separacao de variaveis a equacao de Laplace, dada por

∂2φ

∂x2+∂2φ

∂z2= 0 (7.9)

de forma tal que

φ(x, z, t) = F (x)G(z)H(t) (7.10)

obtemos:

F′′GH + FG

′′H = 0 (7.11)

ou entaoF′′

F= −G

′′

G(7.12)


Como observado anteriormente, o primeiro membro e uma funcao exclusiva de x e o segundo

membro e funcao somente de z, a igualdade so e possıvel se:

F′′

F= −G

′′

G= ±k2

k (7.13)

onde kk e uma constante.

A partir desta expressao, podemos mais uma vez repetir o quadro de solucoes de acordo com

o valor de k2k, se positivo ou negativo.

Se equacao em x equacao em z solucao em x solucao em z

−k2k F

′′+ k2

kF = 0 G′′ − k2

kG = 0 cos kkx ; sin kkx exp(±kkz)

+k2k F

′′ − k2kF = 0 G

′′+ k2

kG = 0 exp(±kkx) cos kkz ; sin kkz

ou, utilizando a forma complexa

Se equacao em x equacao em z solucao em x solucao em z

−k2k F

′′+ k2

kF = 0 G′′ − k2

kG = 0 exp(±ikkx) exp(±kkz)

+k2k F

′′ − k2kF = 0 G

′′+ k2

kG = 0 exp(±kkx) exp(±ikkz)

em que i e o unitario imaginario, i =√−1

A escolha do sinal associado a k2k e por conseguinte da forma das solucoes em x e z dependera

das condicoes de contorno.

Lembrando que no presente caso, nao temos mais um domınio infinito para a variavel x, uma

vez que a parede do batedor limita o domınio fluido, temos um caso a mais para analisar alem

do que vimos anteriormente. Alem disto a profundidade e finita, isto e, o domınio vertical, o

domınio da variavel z e finito.

Admitindo que o batedor de ondas oscila harmonicamente com frequencia ω, uma possıvel

solucao e dada por:

φ = a0cosh(k0(z + d))

cosh(k0d)exp[i(ωt− k0x)]

= a0Z0(k0z)F0(k0x)eiωt (7.14)

Alem desta solucao, que equivale ao caso:

F′′

+ k20F = 0 (7.15)


G′′ − k2

0G = 0 (7.16)

temos que incorporar as solucoes que decrescem com x indo para infinito, F = exp(−kjx),

isto e solucoes para o par

F′′ − k2

jF = 0 (7.17)

G′′

+ k2jG = 0 (7.18)

que, associado as condicoes de contorno no fundo definem

Gj(kjz) = cos[kj(z + d)] (7.19)

que substituıda na condicao de superfıcie livre, equacao 7.5, geram

Fj(x)Gj(z = 0)∂2H(t)

∂t2+ gFj(x)H(t)

∂Gj(z)

∂z|z=0 = 0 (7.20)

−ω2Gj(z = 0) + g∂Gj(z)

∂z|z=0 = 0 (7.21)

ω2 = −gkk tan(kkd) (7.22)

Reunindo essas duas solucoes, a forma geral da solucao da equacao de Laplace bidimensional

em um domınio semi-infinito, em coordenadas cartesianas satisfazendo as condicoes (7.5),

(7.6) e as condicoes de radiacao e

φ =∞∑j=0

ajGj(kjz)Fj(kjx)eiωt (7.23)

onde, para j = 0 temos uma onda progressiva tal que:

G0(k0z) = cosh[k0(z + d)] (7.24)

F0(k0x) = e−ik0x (7.25)

e para j 6= 0 temos os modos evanescentes, com:

Gj(kjz) = cos[kj(z + d)] (7.26)

Fj(kjx) = e−kjx (7.27)

aj sao coeficientes a serem determinados e k0 e o numero de onda solucao da equacao de

dispersao

ω2 = gk0 tanh(k0d) (7.28)

e kj sao as solucoes da equacao

ω2 = −gkj tan(kjd) (7.29)


Observemos que conhecemos a frequencia da oscilacao do batedor e a profundidade local.

Com estes dois parametros podemos determinar o numero de onda k0, autovalor da solucao

representando a onda progressiva, e kj os autovalores dos modos evanescentes. Temos ainda a

determinar os coeficientes aj e tambem nao fizemos uso da condicao de contorno na superfıcie

do pistao.

A obtencao dos coeficientes aj e conseguida aplicando-se a equacao (7.8)

∂φ

∂x= −ik0a0G0(k0z)F0(0) +

∞∑j=1

−kjajGj(kjz)Fj(0)eiωt = ωs0eiωt (7.30)

ou

−ik0a0G0(k0z)−∞∑j=1

kjajGj(kjz) = ωs0 (7.31)

Deve-se observar que estamos diante de um problema de autovalor e as entre as autofuncoes

vale a proproedade da ortogonalidade. Esta propriedade estabelece que as funcoes Gj no

intervalo −d < z < 0, satisfazem a relacao:∫ 0

−dGiGjdz =

0 para i 6= j

Nj para i = j(7.32)

onde

Nj =

∫ 0

−dG2j(kjz)dz =

sinh(2k0d) + 2k0d

4k0para j = 0

sin(2kjd) + 2kjd4kj

para j 6= 0(7.33)

Assim multiplicando-se a equacao (7.31) pela funcao Gi e integrando a equacao no intervalo

−d < z < 0 temos

−ik0a0

∫ 0

−dG0Gidz −

∞∑j=1

kjaj

∫ 0

−dGjGidz = ωs0

∫ 0

−dGidz (7.34)

com a propriedade de ortogonalidade das funcoes Gj, descrita acima, resulta entao para i = 0

−ik0a0N0 = s0ω

∫ 0

−dG0(k0z)dz (7.35)

e para i 6= 0

−kiaiNi = s0ω

∫ 0

−dGi(kiz)dz (7.36)

ou

a0 = iA0s0ω (7.37)


para i = 0 e para i 6= 0

ai = −Ais0ω (7.38)

onde

Ai =

∫ 0

−dGj(kjz)dz

1

kjNj

(7.39)

Podemos agora calcular a pressao hidrodinamica atuante sobre o corpo a partir da integral

da Equacao de Euler linearizada

p = −ρ∂φ∂t

(x = 0) = −iωρ∞∑j=0

ajGj(kjz)eiωt = s0ω2ρ

(A0G0 + i

∞∑j=1

AjGj

)eiωt (7.40)

e entao a forca hidrodinamica

Fx =

∫ 0

−dpnxdz =

∫ 0

−d−pdz = s0ω

2ρ

[−A0

∫ 0

−dG0dz − i

∞∑j=1

Aj

∫ 0

−dGjdz

]eiωt (7.41)

porem, como ∫ 0

−dGjdz = kjAjNj (7.42)

temos

Fx = s0ω2ρ

[−A2

0k0N0 − i∞∑j=1

A2jkjNj

]eiωt (7.43)

e entao

Fh = <(Fx) = −ρωA20k0N0[s0ω cos(ωt)] + ρ

∞∑j=1

A2jkjNj[s0ω

2 sin(ωt)] (7.44)

Os termos entre colchetes sao a velocidade e a aceleracao do corpo

s = s0ω cos(ωt) (7.45)

s = −s0ω2 sin(ωt) (7.46)

Definindo

k11 = ρ∞∑j=1

A2jkjNj (7.47)

n11 = ρωA20k0N0 (7.48)

Assim a forca e entao dada por

Fh = −k11s− n11s (7.49)

Este resultado mostra que a forca hidrodinamica atuante sobre o pistao e composta de dois

termos, um proporcional a aceleracao e o outro proporcional a velocidade do corpo. De forma


semelhante ao que vimos anteriormente, o primeiro termo e a massa adicional que esta ligada

aos modos evanescentes, que nao contribuem na propagacao de energia. O outro termo,

que nao apareceu anteriormente, quando nao consideramos a presenca de superfıcie livre, esta

relacionado ao modo progressivo que, ao contrario dos modos evanescentes, transmite energia.

Por ser entao um termo dissipativo, damos o nome de coeficiente de amortecimento.

Lembrando agora que para grandes valores de x os modos evanescentes desaparecem, o perfil

da onda a grandes distancias sera dado unicamente pela onda progressiva, cujo potencial e

φ = a0G0(k0z)F0(k0x)eiωt = iA0s0ωG0(k0z)F0(k0x)eiωt (7.50)

O perfil da onda nesta regiao e dado por

ζ = −1

g∂φ/∂t =

A0

gs0ω

2G0(k0z)ei(ωt−k0x) (7.51)

Logo a amplitude de onda ζ0 e dada por

ζ0 =A0

gs0ω

2G0(0) (7.52)

e obtemos para o coeficiente de amortecimento

n11 =ρ g N0

ω tanh(k0d)

(ζ0

s0

)2

(7.53)

Deve ser notado que a amplitude da onda varia linearmente com a amplitude do movimento

do corpo, e e funcao da frequencia ω.

Embora tenhamos trabalhado aqui com um caso de um corpo que se estende desde a superfıcie

livre ate o fundo, que tem uma forma reta e so pode executar movimento horizontal o resultado

obtido pode ser generalizado.

Todo corpo oscilando junto a superfıcie livre gera ondas que se radiam do corpo

para o meio fluido e, devido a estas ondas, sofre uma forca de reacao hidrodinamica

composta de dois termos. Um proporcional a aceleracao relacionado com os modos

evanescentes e outro proporcional a velocidade relacionado com a energia que se

propaga com a onda progressiva.

7.1.2 Batedor de Ondas Tipo Flap e Outros Tipos

Acima consideramos que o Batedor atuava como um pistao. Vejamos agora que alteracoes

devem ser introduzidas no procedimento acima se, ao inves de um batedor que se desloca


igualmente em toda sua vertical, tenhamos um batedor que atua com distintas velocidades

ao longo da vertical.

Consideremos por exemplo que o batedor e do tipo flap em que na linha d’agua, em z = 0,

ele tem velocidade

s(z = 0, t) = s0ω cos(ωt) (7.54)

e no fundo

s(z = −d, t) = 0 (7.55)

Isto e, a velocidade horizontal do batedor varia linearmente com z:

s(z, t) = s0(d+ z

d)ω cos(ωt) (7.56)

Assim, aplicando-se uma aproximacao linear para a condicao de contorno de igualdade da

componente da velocidade do corpo na direcao da normal a superfıcie corpo e da componente

da velocidade das partıculas fluidas na direcao da mesma normal a superfıcie do corpo, teremos

que, as velocidades horizontais das partıculas fluidas em x = 0 ao longo da vertical, deverao

ser iguais as velocidades instantaneas do batedor na direcao horizontal, porem aplicadas na

posicao media do batedor, x = 0:

∂φ(x = 0, z, t)

∂x= s0ω (

d+ z

d) exp (iωt) (7.57)

Com isto havera alteracoes em relacao ao que vimos para o caso anterior, refletidas nas

equacoes (7.34), (7.35) e (7.36) de tal maneira que, para o presente problema teremos:

−ik0a0

∫ 0

−dG0Gidz −

∞∑j=1

kjaj

∫ 0

−dGjGidz = ωs0

∫ 0

−d(d+ z

d)Gidz (7.58)

Cujo resultado e, termpo para i = 0

−ik0a0N0 = s0ω

∫ 0

−d(d+ z

d)G0(k0z)dz (7.59)

e para i 6= 0

−kiaiNi = s0ω

∫ 0

−d(d+ z

d)Gi(kiz)dz (7.60)

ou

a0 = iA0s0ω (7.61)


para i = 0 e para i 6= 0

ai = −Ais0ω (7.62)

onde

Ai =1

kjNj

∫ 0

−d(d+ z

d)Gj(kjz)dz (7.63)

Com isto podemos generalizar estes resultados dizendo que, se o batedor oscila em torno de

uma vertical com pequenas amplitudes

s(z, t) = s0(z)ω cos(ωt) (7.64)

as alteracoes acima se refletem na determinacao dos coeficientes Ai:

Ai =1

kjNj

∫ 0

−ds0(z)Gj(kjz)dz (7.65)

Capıtulo 8

Hidrodinamica de Corpos Flutuantes

Estacionarios

8.1 Aspectos Fısicos: Leis e Princıpios

Passaremos agora a tratar o problema discutido acima em bases mais formais do ponto de vista

hidrodinamico. Vamos assumir que as ondas sao de pequenas amplitudes, o corpo executara

movimentos de pequenas amplitudes e podemos tratar o problema linearmente.

Nosso objetivo e o estudo do comportamento de corpos flutuantes, isto e, corpos rıgidos

movendo-se, semi-imersos em um fluido em movimento. Como sabemos o movimento de um

corpo e regido pelas leis da mecanica, que sao as tres leis de Newton e a lei de gravitacao

universal. Alem disto temos que satisfazer aos princıpios de conservacao da massa e da

impenetrabilidade dos corpos.

No caso especıfico do corpo, sua massa e considerada imutavel, estando assim, automatica-

mente satisfeito o princıpio de conservacao da massa.

O princıpio da impenetrabilidade nos diz que os movimentos do corpo e das partıculas fluidas

sao tais que as partıculas nao podem penetrar no corpo, nem tampouco uma partıcula fluida

podera penetrar no corpo ou em outra partıcula fluida.

O movimento de um corpo sujeito a forca externas e descrito pela segunda lei de Newton, em

que as as variacoes das quantidades de movimento sao iguais as forcas e momentos

externos: ∫B

d

dt(u dm) =

∑Fext (8.1)

81


∫B

d

dt(r× u dm) =

∑Mext (8.2)

onde:

B e o domınio que define o corpo

dm e a massa de uma parte elementar do corpo

r e o raio vetor de cada ponto do corpo em relacao a um ponto O.

u e o vetor velocidade de cada ponto do corpo

u = U0 + Ω× r (8.3)

U0 e o vetor velocidade linear do corpo

Ω e o vetor velocidade angular do corpo no ponto O

Fext sao as forcas externas atuando sobre o corpo

Mext sao os momentos das forcas externas atuando sobre o corpo, em relacao ao ponto O.

As forcas externas atuantes sobre o corpo sao a forca da gravidade, forca de atracao da Terra,

e a forca devida a acao do fluido junto do corpo. A forca da gravidade e do tipo de forca de

corpo e as forcas devidas a acao do fluido sao do tipo de forcas de superfıcie.

∫B

d

dt(u dm) = Fc + Fs (8.4)∫

B

d

dt(r× u dm) = Mc + Ms (8.5)

onde:

Fc e a resultante das forcas de corpo

Fs e a resultante das forcas de superfıcie.

A forca devida a atracao da Terra pode ser obtida atraves da lei de gravitacao universal de

Newton. No caso especıfico do movimento junto a superfıcie da Terra podemos dizer que esta

forca e constante, e dada por:

Fc = (

∫Bdm)g = Mg (8.6)

onde:


M e a massa do corpo

M =

∫Bdm (8.7)

g e o vetor aceleracao da gravidade.

As forcas de superfıcie surgem da acao das partıculas fluidas sobre o corpo. Imaginemos

inicialmente que colocamos um corpo em um escoamento retilıneo uniforme unidirecional.

A presenca do corpo provoca uma modificacao do escoamento fluido. Ao se moverem e

encontrarem o corpo, as partıculas fluidas sao aceleradas e desaceleradas. Pela segunda lei

de Newton isto so e possivel pela acao de uma forca externa. Esta acao externa deve-se a

interacao entre as partıculas fluidas e a presenca do corpo. Pela terceira lei de Newton, a forca

que o corpo exerce sobre uma partıcula fluida, correspondera uma reacao, na forma de uma

forca igual e de sentido contrario a de acao, atuando sobre o corpo. Isto dar-se-a junto a cada

parte da superfıcie do corpo. Assim, as partıculas fluidas sofrerao a acao do corpo, na forma

de forcas e como reacao aparecerao sobre o corpo forcas locais. Decompondo estas forcas em

componentes normal e tangencial, temos as componentes de forca devida a pressao e a tensao

cisalhante, respectivamente. Uma vez que estas forcas dependem da interacao entre o corpo

e o fluido, e necessario que determinemos o movimento do fluido para podermos calcular as

forcas de superfıcie atuando sobre o corpo. E entao necessario que estabelecamos as equacoes

de movimento das partıculas fluidas, utilizando as leis e os princıpios fısicos estabelecidos.

Estes sao mais uma vez as tres leis de Newton, a lei de gravitacao universal, o princıpio de

conservacao da massa e o princıpio de impenetrabilidade.

8.2 Formulacao hidrodinamica: Leis e Princıpios

Para o estudo do movimento do corpo utilizamos a descricao Lagrangeana. Acompanhamos

o que acontece com o corpo ao longo do tempo, determinando as suas posicoes. No caso

do escoamento da massa fluida utilizamos a descricao Euleriana. Descrevemos o escoamento

atraves dos campos de velocidades e pressoes, sem nos importarmos com que partıcula ocupa

cada posicao do espaco em cada instante. Admitimos tambem que o fluido preenche con-

tinuamente todas as posicoes do espaco. Assim, nunca podera aparecer um espaco vazio no

domınio fluido; as partıculas que formam uma linha material, sempre estarao formando uma

linha fluida, etc... Esta ultima afirmacao implica em que, as partıculas que formam uma

superfıcie livre, sempre a formarao.

Da mesma forma que para o corpo, o movimento de uma partıcula fluida, sujeita a forcas

externas, e descrito pela segunda lei de Newton

D

Dt(vρdV ) =

∑dFext. (8.8)


onde:

D/Dt e o operador derivada substantiva

ρ e a massa especıfica do fluido.

dV e o volume elementar da partıcula

v representa o campo vetorial das velocidades

dFext sao as forcas externas atuando sobre a partıcula fluida

A derivada substantiva da velocidade define o campo vetorial que representa as aceleracoes

das partıculas fluidas, a = (D/Dt)v.

As forcas externas sao tambem, a forca de atracao da Terra e as forcas de superfıcie. As forcas

de superfıcie devem-se a acao das outras partıculas que estao em contato, e eventualmente ao

corpo, caso a partıcula encontre-se em contato com o corpo.

D

Dt(vρdV ) = dFc + dFs (8.9)

onde:

dFc e a forca de corpo atuando no elemento de fluido

dFs e a forca de superfıcie atuando no elemento de fluido

Aplicando-se a segunda lei de Newton ao estudo do movimento de um fluido incompressıvel,

cuja relacao entre tensao cisalhante e movimento siga a equacao constitutiva de Newton,

chegamos a equacao de Navier-Stokes:

ρa dV = −ρg dV −∇p dV + µ∇2v dV (8.10)

ouD

Dtv + g +

∇pρ− ν∇2v = 0 (8.11)

onde:

D

Dtv =

∂

∂tv + v · ∇(v)

p e a pressao

ν e a viscosidade cinematica do fluido.


∇ e o operador gradiente

∇2 e o laplaceano, ∇2 = ∇ · ∇

O princıpio de conservacao da massa e dado pela equacao da continuidade, que para fluidos

incompressıveis e

∇ · v = 0 (8.12)

onde ∇· e o operador divergente

O princıpio da impenetrabilidade define uma relacao entre as componentes das velocidades

das partıculas fluidas e do corpo na direcao da normal ao corpo. No caso de corpos nao

porosos essas componentes devem ser iguais

v · n = u · n (8.13)

onde n e o vetor normal ao contorno do corpo.

Por ser uma propriedade cinematica, esta condicao e chamada de condicao de contorno

cinematica.

Alem dessa condicao, devemos introduzir a condicao de aderencia das partıculas fluidas junto

ao corpo. Se, por razoes fısicas, podemos supor que nao haja deslizamento entre as partıculas

fluidas em contato com o corpo e sua superfıcie, entao

v · t− u · t = 0 (8.14)

onde t e o vetor unitario tangente ao contorno do corpo.

Como dissemos, passaremos agora a tratar o problema discutido acima em bases mais formais

do ponto de vista hidrodinamico. Assumindo que as ondas sao de pequenas amplitudes, o

corpo executara movimentos de pequenas amplitudes e podemos tratar o problema linear-

mente.

Para tal, relembremos as definicoes dos sistemas de referencias como fizemos anteriormente.

consideremos um sistema de coordenadas OXY Z com o plano Z = 0 sobre a superfıcie livre.

O eixo OZ aponta verticalmente para cima. Consideremos um segundo sistema oxyz cujo

centro, sempre concide com o ponto O, com eixo ox fazendo um angulo β com o eixo OX.

O navio tem velocidade desloca-se em linha reta com velocidade U na direcao do eixo ox. As

ondas se propagam na direcao do eixo OX e o vetor celeridade da onda faz um angulo β com

o vetor velocidade do navio, e consequentemente com o eixo longitudinal do navio.

Consideremos um terceiro sistema oxyz que se desloca com a velocidade do navio, sem oscilar.

Seu centro esta localizado na superfıcie livre em repouso e o eixo oz aponta verticalmente para


cima. O ponto o, centro do sistema, esta localizado a meio navio. Muitas vezes e mais comodo

localiza-lo na vertical passando pelo centro de gravidade.

Considerando que os efeitos de viscosidades sao desprezıveis podemos adotar a hipotese de

fluido ideal e escoamento irrotacional. Supomos tambem que o fluido e incompressıvel. Com

estas hipoteses pode-se verificar que o escoamento e descrito por uma funcao φ, potencial de

velocidade tal que

v = ∇φ (8.15)

sendo φ solucao da equacao de Laplace

∇2φ = 0 (8.16)

Como vimos anteriormente a unicidade da solucao e conseguida impondo-se condicoes de

contorno. Isto e, nos contornos do meio fluido a funcao φ devera tambem satisfazer condicoes

da forma

αφ+ β∂φ

∂n= f (8.17)

onde α, β e f sao conhecidas.

O contorno fluido neste caso e composto da superfıcie do casco, a superfıcie livre, o fundo e

uma superfıcie longe do corpo ligando a superfıcie livre e o fundo.

Na superfıcie do casco devemos ter por exemplo

u · n =∂φ

∂n(8.18)

onde u e a velocidade de um ponto P do casco, n a normal a superfıcie do casco.

Expressando a equacao da superfıcie do casco na forma

Fc(x, y, z, t) = 0 (8.19)

a condicao de contorno acima equivale a:

D

DtFc(x, y, z, t) = 0 (8.20)

Em cada ponto da superfıcie livre as componentes das velocidades do perfil da onda usl e da

velocidade da partıcula fluida na direcao da normal sao iguais.

usl · n =∂φ

∂n(8.21)

De forma similar ao que expusemos acima, se Fsl(x, y, z, t) = 0 e a equacao da superfıcie livre

entaoD

DtFsl(x, y, z, t) = 0 (8.22)


traduzira esta condicao.

Alem desta condicao cinematica a ser satisfeita na superfıcie livre, devemos impor que a

pressao p seja igual a pressao atmosferica patm.

Admitindo a regiao fluida infinita temos que impor condicoes assintoticas para pontos dis-

tantes do corpo (condicoes de radiacao). Caso o corpo encontre-se em aguas com profundidade

finita z = −d devemos ter∂φ

∂z(x, y, z = −d, t) = 0 (8.23)

Observando o problema de valor de contorno estabelecido acima e o problema de ondas de

gravidade, vemos que ambos diferem unicamente pela condicao de contorno no corpo. Assim,

apos linearizacao do problema chegamos ao seguinte problema de valor de contorno para o

potencial de velocidades φ

∇2φ = 0 (8.24)

em todo domınio fluido∂φ

∂z+

1

g

∂2φ

∂t2= 0 (8.25)

em z = 0∂φ

∂z= 0 (8.26)

em z = −d∂φ

∂n= un (8.27)

na superfıcie do corpo

Resolvendo este problema obtemos a equacao da superfıcie livre

ζ = −1

g

∂φ(x, y, z = 0, t)

∂t(8.28)

e a pressao em qualquer ponto do domınio

p = −ρgz − ρ∂φ(x, y, z, t)

∂t(8.29)

De acordo com a descricao fısica do problema podemos escrever

φ = φinc + φdif + φrad (8.30)

onde φinc potencial de velocidades das ondas incidentes, φdif potencial de velocidades de

difracao das ondas incidentes e φrad potencial de velocidades das ondas de radiacao.

O potencial φinc representa as ondas existentes antes da colocacao do corpo e φdif o po-

tencial de difracao das ondas incidentes. Representa ondas que sao geradas junto ao corpo


e se propagam para o meio, isto e, representa a presenca do corpo como obstaculo para a

propagacao da onda incidente. Traduz o efeito da presenca do corpo diante das ondas inci-

dentes gerando um campo que ”compense a penetracao das ondas atraves do corpo”. Assim

sobre o corpo devemos ter∂φdif∂n

= −∂φinc∂n

(8.31)

O potencial de radiacao representa as ondas geradas junto ao corpo devidas aos movimentos

do corpo e se propagam para o meio. Assim,

∂φrad∂n

= un (8.32)

Os tres potenciais satisfazem a equacao de Laplace e as condicoes de superfıcie livre e de

fundo. Nao entraremos neste texto em consideracoes mais aprofundadas sobre as solucoes

dos potencias, mas podemos dizer que os potenciais φdif e φrad devem satisfazer condicoes

assintoticas descrevendo o comportamento a grandes distancias. Este tipo de condicao e

chamada de condicao de radiacao e foi estabelecida por Sommerfeld.

O perfil da onda que se propaga no mar e dado por

ζ(X, t) = ζ0 cos(ωt− k0X) (8.33)

Para um observador no navio a onda incidente, sera dada por

ζ(x, y, t) = ζ0 cos(ωt− k0x cos(β) + k0y cos(β)) (8.34)

e seu potencial de velocidades e dado por:

φinc = ig

ωe k0zζ0 e i(ωt−k0x cos(β)+k0y cos(β)) = ϕinc e iωt (8.35)

onde ϕ e dado por:

ϕinc = ig

ωe k0zζ0 e i(−k0x cos(β)+k0y cos(β)) (8.36)

Consideracoes sobre os potenciais de difracao e de radiacao

Como dito acima, se imaginarmos um navio colocado no meio das ondas do mar, a superfıcie

do casco sera invadida pelas partıculas fluidas. Isto e, as ondas vao atravessar corpo, o

que nao e fisicamente aceitavel. Assim sendo, temos que gerar um escoamento que junto

ao casco neutralize as ondas incidentes. Este e o papel do potencial de difracao; vai gerar

velocidades junto ao casco que se contraponham as velocidades das ondas incidentes. O

potencial de difracao gera velocidades cujas componentes na direcao da normal ao casco


anulem as componentes das velocidades da onda incidente sobre o casco. Este e o sentido da

condicao de contorno sobre o corpo:

udif · n =∂φdif∂n

= −∂φinc∂n

= −uinc · n (8.37)

one

udif = ∇φdif (8.38)

uinc = ∇φinc (8.39)

Esses potenciais vao gerar pressoes que variam harmonicamente, uma vez que estamos assu-

mindo que as ondas sao harmonicas. Essas pressoes vao gerar forcas harmonicas e o corpo

vai se mover harmonicamente.

Assim, como o corpo, alem de impedir a passagem das partıculas fluidas atraves de si, se

move periodicamente, ele impoe movimento as partıculas fluidas. Tudo se passa como se

forcassemos o corpo a se mover em aguas tranquilas. O corpo gera ondas. Para representa-

las introduzimos um potencial de velocidades. Este potencial tem que gerar movimento nas

partıculas fluidas de tal forma que junto ao corpo, as partıculas fluidas acompanhem o corpo.

Pensemos agora em um ponto do corpo. Como as partıculas podem deslizar sobre o corpo,

suas componentes de velocidades na direcao normal ao corpo no ponto considerado tem que

se igualar a componente de velocidade do corpo na direcao normal ao ponto da superfıcie do

corpo.

Assim, este potencial tem que satisfazer:

∂φrad∂n

= un (8.40)

Porem o corpo tem seis movimentos, tres lineares ao longo dos eixos do sistema de referencias

colocado no corpo, e tres movimentos angulares em torno desses tres eixos. Entao podemos

imaginar que cada movimento seja um gerador de movimentos das partıculas fluidas. Isolamos

cada um deles e para cada um e necessario gerar um potencial de velocidades. Cada um

desses potenciais de velocidades e dado pelo produto de uma funcao, que depende da forma

do corpo e da frequencia do movimento, multiplicada pelo modulo da velocidade do corpo

naquela direcao:

φrad = ϕ1η1 + ϕ2η2 + ϕ3η3 + ϕ4η4 + ϕ5η5 + ϕ6η6 (8.41)


8.3 Forcas Atuantes

8.3.1 Forcas hidrodinamicas

O conhecimento da funcao φT , permite que determinemos a pressao e por conseguinte as

forcas e momentos hidrodinamicos. Utilizando a segunda lei de Newton para forcas e sua

extensao para momentos determinamos os movimentos do corpo.

Para tal vamos inicialmente determinar as pressoes atuantes sobre o corpo.

Assumimos que o corpo executa pequenas oscilacoes lineares ηl e angulares ηa, onde:

ηl = η1i + η2j + η3k (8.42)

ηa = η4i + η5j + η6k (8.43)

η1 movimento linear do corpo na direcao longitudinal, eixo Ox

η2 movimento linear do corpo na direcao lateral, eixo Oy

η3 movimento linear do corpo na direcao vertical, eixo Oz

η4 movimento angular do corpo em torno da direcao longitudinal, do eixo Ox

η5 movimento angular do corpo em torno do eixo lateral, em torno do eixo Oy

η6 movimento angular do corpo em torno do eixo vertical, em torno do eixo Oz

Assim, o movimento de qualquer ponto do corpo e dado por:

η = ηl + ηa × r (8.44)

Alem disto vamos admitir inicialmente que as ondas sao monocromaticas, e por conseguinte,

qualquer grandeza varia no tempo harmonicamente:

F (x, y, z, t) = f(x, y, z;ω) e iωt (8.45)

Seguindo esta linha de raciocınio, o potencial de radiacao pode ser escrito na forma:

φrad =6∑i=1

φi(x, y, z, t) =6∑i=1

ηi(t)ϕi(x, y, z;ω) (8.46)


Isto e, sao seis potenciais correspondendo aos seis movimentos, em que cada um deles e o

produto de uma funcao de forma ϕi(x, y, z;ω) multiplicada pela velocidade naquela direcao

(velocidade linear ou angular) ηi(t), onde

ηl = η1(t)i + η2(t)j + η3(t)k (8.47)

ηa = η4(t)i + η5(t)j + η6(t)k (8.48)

Deve ser lembrado que os angulos que posicionam o corpo ao longo do tempo nao formam

um vetor. Entretanto, se forem pequenos pode-se assumir que formam um vetor.

Com a integral da equacao de Euler linearizada temos a pressao em qualquer parte do domınio

dada por

p = −ρ∂φT∂t− ρgz (8.49)

Podemos separar esta pressao em parte dinamica e parte estatica, bem como em partes

independente e dependente do tempo:

p(t) = pe + pd

= pe,0 + pe,t + pinc + pdif + prad

= pe,0 + pt

pt = pe,t + pinc + pdif + prad (8.50)

onde:

p e a pressao total,

pe e a pressao estatica,

pd e a pressao dinamica,

pe,0 e a pressao estatica independente do tempo,

pe,t e a pressao estatica dependente do tempo,

pt e a pressao dependente do tempo,

A pressao dinamica e dada por:

pd = −ρ∂φT∂t

(8.51)


A pressao estatica e dada por:

pe = −ρgz (8.52)

onde z e a posicao do ponto da superfıcie do corpo onde se esteja avaliando a pressao, isto e,

e a soma da cota da posicao em repouso e a variacao devida ao movimento do corpo:

z = z0 + k · (ηl + ηa × r) (8.53)

Devemos lembrar que com a hipotese de pequenas perturbacoes podemos desprezar a con-

tribuicao do termo quadratico, como feito acima, na expressao das pressoes, na integral da

equacao de Euler. A pressao dinamica e a soma do termo em derivada partial em relacao ao

tempo do potencial das ondas incidentes, das ondas difratadas e das ondas radiadas.

pd = −ρ∂φinc∂t− ρ∂φdif

∂t− ρ∂φrad

∂t(8.54)

Multiplicando-se a pressao pelo elemento de area local tem-se a intensidade da forca que a

pressao exerce sobre o corpo naquele local. Multiplicando-se pelo vetor normal, tem-se o

elemento de forca local

dFs = pdndS + pendS = −ρ∂φinc∂t

ndS − ρ∂φdif∂t

ndS − ρ∂φrad∂t

ndS − ρgzndS (8.55)

Multiplicando-se o elemento de forca pelo raio vetor que liga o centro do sistema ao elemento

de area, tem-se o momento que a pressao atuando neste elemento de area gera.

dMs = r× (pdndS + pendS) = pdr× ndS + per× ndS

= −ρ∂φinc∂t

r× ndS − ρ∂φdif∂t

r× ndS − ρ∂φrad∂t

r× ndS − ρgzr× ndS (8.56)

Notemos que

r× n = i(y nz − z ny) + j(z nx − xnz) + k(xny − y nx) (8.57)

Assim, se utilizarmos a notacao

n1 = nx

n2 = ny

n3 = nz

n4 = (y nz − z ny)

n5 = (z nx − xnz)


n6 = (xny − y nx)

podemos pensar em um elemento de forca generalizada, um vetor de seis componentes em

que as tres primeiras componentes significam forcas e as tres ultimas componentes significam

momentos:

dF =

dF1

dF2

dF3

dF4

dF5

dF6

=

p n1 dS

p n2 dS

p n3 dS

p n4 dS

p n5 dS

p n6 dS

=

p nx dS

p ny dS

p nz dS

p (y nz − z ny) dSp (z nx − xnz) dSp (xny − y nx) dS

(8.58)

A partir dessas forcas generalizadas podemos obter as forcas e os momentos sobre o corpo inte-

grando os elementos de forca. Esta integracao fornece a forca generalizada (forca e momento)

total atuando sobre o corpo:

Fs = Fd + Fe = −ρ∫S0

∂φinc∂t

ndS − ρ∫S0

∂φdif∂t

ndS

−ρ∫S0

∂φrad∂t

ndS − ρg∫S0

zndS (8.59)

Separando em parte hidrodinamica e parte hidrostatica temos:

- forcas hidrostaticas generalizadas (forca e momento)

Fe = −ρg∫S0

zndS (8.60)

- forcas hidrodinamicas generalizadas (forca e momento)

Fd,t =

∫S0

pdndS = −ρ∫S0

∂φT∂t

ndS (8.61)

Como supomos, o potencial φT e dado por

φT = φinc + φdif + φrad (8.62)

e que o potencial de radiacao pode ser escrito na forma:

φrad =6∑i=1

ηi(t)ϕi(x, y, z;ω) (8.63)


Assim, temos:

pd = −iωρ[(ϕinc + ϕdif + ϕrad) e iωt

](8.64)

= −iωρ(ϕinc + ϕdif ) e iωt − iωρ6∑i=1

ηiϕi eiωt (8.65)

A integral da pressao fornece a forca total

Fs = Fd + Fe = −ρ∫S0

(iωφ+ gz) ndS (8.66)

Para nao repetirmos sempre a expressao forca generalizada (forca e momento), vamos sim-

plesmente chamar de forca. Separando em parte hidrodinamica e parte hidrostatica temos:

Forca hidrodinamica

Fd = −ρ∫S0

iωφndS (8.67)

Forca hidrostatica

Fe = −ρ∫S0

(gz) ndS (8.68)

As forcas hidrodinamicas sao dadas por

Fd = Finc + Fdif + Frad (8.69)

e cada uma das parcelas e dada por:

Finc =

∫S0

pincndS =

∫S0

−ρ∂φinc∂t

ndS = −iρω

∫S0

ϕincndS e iωt (8.70)

Fdif =

∫S0

pdifndS =

∫S0

−ρ∂φdif∂t

ndS = −iρω

∫S0

ϕdifndS e iωt (8.71)

Frad =

∫S0

pradndS =

∫S0

−ρ∂φrad∂t

ndS =6∑i=1

−iρωηi

∫S0

ϕindS e iωt (8.72)

isto e:

Fd = −iρω

∫S0

ϕincndS e iωt − iρω

∫S0

ϕdifndS e iωt +6∑i=1

−iρωηi

∫S0

ϕindS e iωt (8.73)


8.3.2 Forca de excitacao

Como dito acima, podemos dividir a forca total em termos das contribuicoes do potencial da

onda incidente e de sua difracao e potencial das ondas de radiacao.

O potencial de velocidades das ondas incidentes em aguas profundas e dado por:

φinc = ig

ωe k0zζ0 e i(ωt−k0x cos(β)+k0y cos(β)) = ϕinc e iωt (8.74)

Assim, obtemos para as forcas de excitacao

Fexc = −iρω

[∫S0

ϕincndS +

∫S0

ϕdifndS

]e iωt (8.75)

As forcas excitatrizes podem ser subdivididas em duas partes. Uma relativa a onda incidente

e a outra relativa ao potencial de difracao. A forca devida a onda incidente, tambem chamada

de forca de Froude-Krylov, e dada por

Finc = −iρω

∫S0

ϕincndS e iωt (8.76)

As forcas de difracao sao dadas por:

Fdif = −iρω

∫S0

ϕdifndS e iωt (8.77)

Decompondo este vetor em suas seis componentes temos as seguintes expressoes

Fdif,j = −iωρ

∫S0

∂ϕj∂n

ϕdifdS e iωt (8.78)

Utilizando agora as relacoes de reciprocidade, as componentes das forcas sao entao dadas por:

Fdif,j = −iωρ

∫S0

ϕj∂ϕdif∂n

dS e iωt (8.79)

Com a condicao de contorno junto ao corpo obtemos

Fdif,j = iωρ

∫S0

ϕj∂ϕinc∂n

dS e iωt (8.80)


Forca de Froude-Krylov

Acima estabelecemos a expressao do calculo da forca sobre o corpo a partir do conhecimento

das pressoes. Determinaremos agora a expressao da forca de onda segundo a hipotese de

Froude-Krylov, isto e a forca devida a onda incidente. A onda incide com um angulo de

ataque β, tal que β = 0 significa ondas de traves. A pressao dinamica devida a onda incidente

e dada pela integral da Equacao de Euler linearizada

pinc = −ρ∂φinc∂t

(8.81)

e a forca e entao

Finc = −ρ∫S0

∂φinc∂t

ndS (8.82)

Admitindo que o potencial de velocidades deve-se unicamente a onda incidente, temos entao

p = pinc = ρgζ0 e k0z e iωt e −ik0x cosβ e ik0y sinβ (8.83)

Com a pressao obtemos a forca

Finc = ρgζ0

∫S′

e ik0(y sinβ−x cosβ) e k0zndS e iωt (8.84)

Forca de difracao

A partir da pressao de difracao e usando relacoes de reciprocidade entre os potenciais podemos

expressar as forcas de difracao sem que necessitemos resolver o problema de valor de contorno

para φdif .

Cada componente e dada por

Fdif,j = −iωρ

∫S0

ϕj∂ϕdif∂n

dS e iωt = iωρ

∫S0

ϕj∂ϕinc∂n

dS e iωt

= iωρ

∫S0

ϕj

[∂ϕinc∂x

nx +∂ϕinc∂y

ny +∂ϕinc∂z

nz

]dS e iωt (8.85)

Como∂ϕinc∂n

= (−in1 cos β + in2 sin β + n3)k0ϕinc (8.86)

Chegamos finalmente a expressao

Fdif,j = iρω

∫S0

(−in1 cos β + in2 sin β + n3)k0ϕjϕincdS e iωt (8.87)


8.3.3 Forca de radiacao

Seguindo o modelo acima, as forcas hidrodinamicas sao dadas por:

Frad =6∑i=1

−iρω

∫S0

ϕindSηi eiωt (8.88)

Como o potencial de radiacao pode ser escrito na forma

φrad =6∑i=1

ηi(t)ϕi(x, y, z;ω) (8.89)

entao

Frad,j =6∑i=1

ρω2

∫S0

ϕinjdSηi eiωt = −

6∑i=1

ηi(t)ρ

∫S0

ϕinjdS = −6∑i=1

ηi(t)λji(ω; forma)

(8.90)

onde o coeficiente hidrodinamico, λji(ω; forma), depende da forma e da frequencia, e e dado

por

λji = ρ

∫S0

ϕinjdS (8.91)

Deve-se observar que para um movimento em uma direcao aparecem reacoes hidrodinamicas

em todas as direcoes. Isto e, se o corpo se move na direcao 1, gera o potencial

ηi(t)ϕi(x, y, z;ω) (8.92)

este potencial gera uma pressoes. Essas pressoes multiplicadas pela normal e o elemento

de linha geram elementos de forca que integradas gera uma forca sobre o corpo com tres

componentes. Essas pressoes multiplicadas pela normal e o elemento de linha geram elementos

de forca que multiplicadas pelo braco (distancias de cada ponto na superfıcie do corpo ate o

centro do sistema) e integradas geram momentos sobre o corpo nas tres direcoes, isto e com

tres componentes .

Para o caso de um corpo profundamente imerso

λji(ω; forma) = Aji(forma) (8.93)

sendo Aji conhecido como massa adicional.

Atraves de uma formulacao para problemas com superfıcie livre podemos mostrar que

λji(ω; forma) = Aji(ω; forma) +1

iωBji(ω; forma) (8.94)


onde Bji e o amortecimento hidrodinamico devido a energia cedida para a formacao das ondas.

Na forma vetorial temos:

Frad =

Frad,1Frad,2Frad,3Frad,4Frad,5Frad,6

= −[A]η − [B]η (8.95)

8.3.4 Quantidades de Movimento Linear e Angular da Massa do

Corpo

Vamos agora desenvolver os primeiros membros das equacoes de conservacao de quantidade

de movimento linear e angular para o caso de um corpo em ondas regulares de pequenas

amplitudes. Sob essas condicoes, linearizando o problema, desenvolveremos um modelo para

analise da dinamica do navio no mar.

Utilizamos dois sistemas de referencia para descrever os movimentos do navio. Um sistema

Oxyz, que se desloca com velocidade de avanco igual a do corpo U = constante, sobre a

superfıcie livre do mar na condicao de aguas tranquilas. O eixo Oz esta voltado verticalmente

para cima e o eixo Ox, encontra-se sobre o plano da linha dagua apontando para vante, na

direcao do movimento do corpo. Um segundo sistema fixo ao corpo O′x′y′z′, que oscila e

avanca solidario ao corpo, sera considerado. E definido de tal forma que coincide com Oxyz

quando o corpo passa pela posicao media. O centro de gravidade tem coordenadas (X′g, Y

′g , Z

′g)

no sistema solidario.

Passaremos agora a desenvolver as expressoes das diversas contribuicoes citadas anterior-

mente. Inicialmente vamos desenvolver as expressoes para a determinacao das variacoes das

quantidades de movimento do corpo: ∫B

d

dt(u dm) (8.96)

e ∫B

d

dt(r× u) dm (8.97)

Nesta expressao u e a velocidade de um ponto P fixo no corpo, que no sistema Oxyz, e dada

por (8.3):

u = U0 + Ω× r = ηl + Ω× r (8.98)


Nesta expressao fizemos U0 = ηl sendo que ηl e o vetor de deslocamento linear

ηl = η1i + η2j + η3k (8.99)

O vetor r descrito nos dois sistemas acima definidos e dado por

r = xi + yj + zk = x′i′+ y

′j′+ z

′k′

(8.100)

Multiplicando (8.100) escalarmente por i, j e k obtemos:x

y

z

=

i′ · i j

′ · i k′ · i

i′ · j j

′ · j k′ · j

i′ · k j

′ · k k′ · k

x′

y′

z′

(8.101)

Multiplicando (8.100) escalarmente por i′, j′

e k′

obtemos:x′

y′

z′

=

i · i′ j · i′ k · i′

i · j′ j · j′ k · j′

i · k′ j · k′ k · k′

x

y

z

(8.102)

As matrizes que aparecem em (8.101) e (8.102) sao inversas. A transformacao de coordenadas

de um sistema para o outro, pressupoe entretanto que conhecamos os angulos entre os vetores

unitarios, que sao desconhecidos e que descrevem o movimento angular do corpo. Admitindo

que a rotacao assumida pelo corpo em cada instante e o resultado de tres rotacoes η4, η5 e η6,

em sequencia, a partir de uma situacao onde os eixos O′x′, O

′y′

e O′z′

inicialmente coincidem

com os eixos Ox, Oy e Oz, e que estas rotacoes se dao em torno do eixo O′x′, do eixo O

′y′

e

do eixo O′z′, podemos dizer que um vetor r, que na posicao final tem coordenadas (x

′, y′, z′)

no sistema solidario, tera coordenadas (x, y, z) no sistema Oxyz, relacionadas atraves de:x′

y′

z′

=

c(η6) s(η6) 0

−s(η6) c(η6) 0

0 0 1

c(η5) 0 −s(η5)

0 1 0

s(η5) 0 c(η5)

1 0 0

0 c(η4) s(η4)

0 −s(η4) c(η4)

x

y

z

(8.103)

ou x′

y′

z′

= [R]

x

y

z

= (8.104)

onde introduzimos a matriz de rotacao [R], dada por:

[R] =

c(η5)c(η6) c(η4)s(η6) + s(η4)s(η5)c(η6) s(η4)s(η6)− c(η4)s(η5)c(η6)

−c(η5)s(η6) c(η4)c(η6)− s(η4)s(η5)s(η6) s(η4)c(η6) + c(η4)s(η5)s(η6)

s(η5) −s(η4)c(η5) c(η4)c(η5)

(8.105)


onde c(ηi) e s(ηi), significam o cosseno e o seno de ηi. Assim sendo, um ponto P do corpo

que, em relacao ao sistema solidario tem coordenadas (x′, y′, z′), tera coordenadas (x, y, z)

em relacao ao sistema inercial, dadas por:xPyPzP

=

η1

η2

η3

+ [R]−1

x′P

y′P

z′P

(8.106)

Sob a hipotese de pequenos deslocamentos, a expressao acima toma a forma:xPyPzP

=

η1

η2

η3

+

1 −η6 η5

η6 1 −η4

−η5 η4 1

x′P

y′P

z′P

(8.107)

=

η1

η2

η3

+

1 0 0

0 1 0

0 0 1

x′P

y′P

z′P

+

0 −η6 η5

η6 0 −η4

−η5 η4 0

x′P

y′P

z′P

(8.108)

Assim, a diferenca entre os vetores rP e r′P e dada por

xPyPzP

−

x′P

y′P

z′P

=

η1

η2

η3

+

0 −η6 η5

η6 0 −η4

−η5 η4 0

x′P

y′P

z′P

(8.109)

ou

∆r = ηl + ηa × r′

P (8.110)

Assim, podemos assumir que o movimento de rotacao do corpo e dado pela soma vetorial de

tres rotacoes em torno de cada um dos eixos, podendo o movimento angular ser representado

por um vetor. Definimos este vetor por ηa

ηa = η4i + η5j + η6k (8.111)

O vetor velocidade angular Ω esta relacionado com as derivadas η4, η5 e η6 atraves de:

Ωx = η4 cos(η5) cos(η6) + η5 sin(η6) (8.112)

Ωy = −η4 cos(η5) sin(η6) + η5 cos(η6) (8.113)

Ωz = η4 sin(η5) + η6 (8.114)

confirmando que, para pequenos movimentos, podemos assumir:Ωx

Ωy

Ωz

=

η4

η5

η6

(8.115)


Isto e, a velocidade angular Ω e dada pela soma das derivadas das tres componentes do vetor

ηa:

Ω = ηa = η4i + η5j + η6k (8.116)

Definindo as quantidades de movimento linear por

Ll =

∫B

udm = L1i + L2j + L3k =

∫B(ηl + ηa × r)dm (8.117)

e angular por

La =

∫B

r× udm = L4i + L5j + L6k =

∫B

r× (ηl + ηa × r)dm (8.118)

onde o vetor velocidade do ponto P e dado por:

u = ηl + Ω× r = ηl + ηa × r = η1i + η2j + η3k + (η4i + η5j + η6k)× r

= i(η1 + z′η5 − y

′η6) + j(η2 + x

′η6 − z

′η4) + k(η3 + y

′η4 − x

′η5) (8.119)

e o produto vetorial

r× u = iy′(η3 + y′η4 − x

′η5)− z′(η2 + x

′η6 − z

′η4)

+jz′(η1 + z′η5 − y

′η6)− z′(η3 + y

′η4 − x

′η6)

+kx′(η2 + x′η6 − z

′η4)− y′(η1 + z

′η5 − y

′η6) (8.120)

teremos

L1 =

∫B(η1 + z

′η5 − y

′η6)dm = η1

∫Bdm+ η5

∫Bz′dm− η6

∫By′dm (8.121)

L2 =

∫B(η2 + x

′η6 − z

′η4)dm = η2

∫Bdm+ η6

∫Bx′dm− η4

∫Bz′dm (8.122)

L3 =

∫B(η3 + y

′η4 − x

′η5)dm = η3

∫Bdm+ η4

∫By′dm− η5

∫Bx′dm (8.123)

L4 =

∫By′(η3 + y

′η4 − x

′η5)− z′(η2 + x

′η6 − z

′η4)dm

= −∫Bz′dmη2 +

∫By′dmη3 +

∫B(y′2 + z

′2)dmη4 −∫By′x′dmη5 −

∫Bz′x′dmη6 (8.124)

L5 =

∫Bz′(η1 + z

′η5 − y

′η6)− x′(η3 + y

′η4 − x

′η6)dm

= −∫Bz′dmη1 +

∫Bx′dmη3 −

∫By′x′dmη4 +

∫B(x′2 + z

′2)dmη5 −∫Bz′y′dmη6 (8.125)


L6 =

∫Bx′(η2 + x

′η6 − z

′η4)− y′(η1 + z

′η5 − y

′η6)dm

= −∫By′dmη1 +

∫Bx′dmη2 −

∫Bz′x′dmη4 −

∫Bz′y′dmη5 +

∫B(x′2 + y

′2)dmη6 (8.126)

Introduzindo as seguintes definicoes: ∫Bdm = M∫

Bx′dm = M Xg∫

Bz′dm = M Zg∫

By′dm = M Yg∫

B(y′2 + z

′2)dm = I44∫B(x′2 + z

′2)dm = I55∫B(x′2 + y

′2)dm = I66∫Bx′y′dm = I45 = I54∫

Bx′z′dm = I46 = I64∫

By′z′dm = I56 = I65

onde M e a massa do corpo, Xg, Yg e Zg sao as coordenadas do centro de gravidade do corpo

e Iij sao os produtos e momentos de inercia.

Assim sendo, vale a expressao

L =

Ll

La

= [M]η = [M]

ηlηa

(8.127)

onde introduzimos a matriz de inercia [M] = [Mij], onde seus termos definem a massa, os

produtos e os momentos de inercia,

[M] = [Mij] =

M 0 0 0 MZg −MYg0 M 0 −MZg 0 MXg

0 0 M MYg −MXg 0

0 −MZg MYg I44 −I45 −I46

MZg 0 −MXg −I54 I55 −I56

−MYg MXg 0 −I64 −I65 I66

(8.128)


Com isto entaod

dtL = [M]η (8.129)

8.3.5 Restauracao: Acao das forcas hidrostaticas e das forcas de

corpo

Quando um corpo flutuante abandona sua posicao de equilıbrio estatico, a acao de seu peso e

das reacoes de origem hidrostaticas tendem a restaurar sua posicao original. A estas reacoes

da-se o nome de forcas e momentos de restauracao.

Assim, a obtencao das forcas e momentos de restauracao passa pela determinacao das forcas

dos momentos de origem hidrostatica, obtidos atraves da integracao das pressoes hidrostaticas

ao longo da superfıcie instantanea do corpo:

Fe =

∫ScpndS (8.130)

Me =

∫Scpr× ndS (8.131)

Utilizaremos aqui os mesmos dois sistemas de referencia utilizados na determinacao das quan-

tidades de movimento, ver figura (??).

Como a pressao hidrostatica e dada por p = −ρgz, temos que:

Fe = −ρg∫SczndS (8.132)

Me = −ρg∫Sczr× ndS (8.133)

onde r e o vetor posicao de um ponto do casco relativo ao referencial Oxyz.

Como os movimentos oscilatorios lineares e angulares sao de pequenas amplitudes vale:

r = r′+ ηl + ηa × r

′(8.134)

onde:

ηl = (η1, η2, η3) e o vetor que fornece os deslocamentos lineares do ponto O′

relativamente a

O.

ηa = (η4, η5, η6) e o vetor que dos deslocamentos angulares do referencial O′x′y′z′ relativa-

mente a Oxyz.


r′

e o vetor que fornece a posicao de um ponto qualquer do casco com relacao a O′, quando

o corpo se encontra em sua posicao inicial de equilıbrio.

x = x′+ η1 + η5z

′ − η6y′

(8.135)

y = y′+ η2 + η6x

′ − η4z′

(8.136)

z = z′+ η3 + η4y

′ − η5x′

(8.137)

A coordenada z, que aparece nas expressoes (8.132) e (8.133), encontra-se fixa no espaco,

enquanto a superfıcie molhada do corpo Sc(x, y, z, t) oscila.

Para que se possa calcular as integrais de superfıcie por meio da aplicacao do teorema de

Gauss, deve-se utilizar o artifıcio de fechar a superfıcie Sc, acrescentando-se parte do plano

de linha dagua pertencente ao plano z = 0, observando-se, no entanto, que os integrandos em

(8.132) e (8.133) se anularao.

Aplicando as duas variantes do teorema de Gauss∫V∇fdV = −

∫SfndS (8.138)

∫V∇× fdV = −

∫S

n× fdS (8.139)

respectivamente as expressoes (8.132) e (8.133) vamos obter:

Fe = −ρg∫SczndS = ρg

∫Vc∇zdV (8.140)

Me = −ρg∫Sczr× ndS = ρg

∫Vc∇× (zr)dV (8.141)

onde Vc e o volume instantaneo deslocado pelo corpo.

Desenvolvendo o termo ∇× (zr) no sistema inercial teremos:

Me = ρg

∫Vc

(−iy + jx) dV (8.142)

As integrais volumetricas em (8.140) e (8.141) podem ser calculadas em termos das coorde-

nadas fixas ao corpo fazendo-se uma decomposicao do volume instantaneo Vc num volume

constante V0, igual ao volume sob o plano z′

= 0, mais a variacao desse volume dada pela

regiao entre os planos z = 0 e z′= 0.


Usando as relacoes (8.137) a contribuicao hidrostatica de restauracao sera dada por:

Fe = ρgk

[V0 −

∫Sw

(η3 + η4y′ − η5x

′)dx

′dy′]

(8.143)

e a contribuicao para o momento de restauracao sera:

Me = −ρg∫V0

[−i(η2 + y

′+ η6x

′ − η4z′) + j(η1 + x

′+ η5z

′ − η6y′)]dV

−∫Sw

(η3 + η4y′ − η5x

′)[−i(η2 + y

′) + j(η1 + x

′)]dx

′dy′

(8.144)

onde Sw e a superfıcie da linha dagua na condicao de equilıbrio do corpo e V0 e o volume

deslocado na mesma condicao.

As equacoes (8.143) e (8.144) podem ser expressas como segue:

Fe = ρgk

[V0 − η3

∫Swdx′dy′ − η4

∫Swy′dx′dy′+ η5

∫Swx′dx′dy′]

(8.145)

Me = ρgi

[−η2

∫V0

dV −∫V0

y′dV − η6

∫V0

x′dV + η4

∫V0

z′dV

+η3

∫Swy′dx′dy′+ η4

∫Swy′2dx

′dy′ − η5

∫Swx′dx′dy′]

+ρgj

[η1

∫V0

dV +

∫V0

x′dV + η5

∫V0

z′dV − η6

∫V0

y′dV

−η3

∫Swx′dx′dy′ − η4

∫Swx′y′dx′dy′+ η5

∫Swx′2dx

′dy′]

(8.146)

Como o centro de carena (xb, yb, zb) e dado por

x′

b =1

V0

∫V0

x′dV (8.147)

y′

b =1

V0

∫V0

y′dV (8.148)

z′

b =1

V0

∫V0

z′dV (8.149)

como

Sw =

∫Swdx′dy′

(8.150)


V0 =

∫V0

dV (8.151)

e definindo:

Sx′ =

∫Swx′dx′dy′

(8.152)

Sy′ =

∫Swy′dx′dy′

(8.153)

Sx′x′ =

∫Swx′2dx

′dy′

(8.154)

Sy′y′ =

∫Swy′2dx

′dy′

(8.155)

Sx′y′ =

∫Swx′y′dx′dy′

(8.156)

temos

Fe = ρgk(V0 − η3Sw − η4Sy′ + η5Sx′

)(8.157)

Me = ρgi[−η2V0 − y

′

bV0 − η6x′

bV0 + η4z′

bV0 + η3Sy′ + η4Sy′y′ − η5Sx′y′]

+ρgj[η1V0 + x

′

bV0 + η5z′

bV0 − η6y′

bV0 − η3Sx′ − η4Sx′y′ + η5Sx′x′]

(8.158)

Podemos incorporar agora a contribuicao devida a acao das forcas gravitacionais, isto e, a

acao do peso, e as forcas e aos momentos de restauracao.

Fp = −Mgk (8.159)

onde M e a massa do corpo.

Para o calculo do momento do peso relativamente ao ponto O fixo no espaco devemos conhecer

o raio-vetor entre o centro de gravidade G e o ponto O origem do referencial Oxyz. Suas

coordenadas sao:

xg = x′

g + η1 + η5z′

g − η6y′

g (8.160)

yg = y′

g + η2 + η6x′

g − η4z′

g (8.161)

zg = z′

g + η3 + η4y′

g − η5x′

g (8.162)

onde:

rG = (xG, yG, zG) define a posicao instantanea do centro de gravidade G em relacao ao

referencial Oxyz

r′G = (x

′G, y

′G, z

′G) define a posicao instantanea do centro de gravidade G em relacao ao

referencial O′x′y′z′

quando o corpo se encontra em sua posicao media.


O momento do peso sera dado por:

Mp = rg × Fp (8.163)

Desenvolvendo (8.163) teremos:

Mp = −Mgrg × k = −iMg(y′

g + η2 + η6x′

g − η4z′

g) + jMg(x′

g + η1 + η5z′

g − η6y′

g) (8.164)

Somando os termos de forca e momento do peso as forcas e momentos hidrostaticos teremos

entao as forcas e momentos de restauracao propriamente ditos:

Fr = −Mgk + ρgk(V0 − η3Sw − η4Sy′ + η5Sx′

)(8.165)

Mr = i[−ρgη2V0 − ρgy

′

bV0 − ρgη6x′

bV0 + ρgη4z′

bV0 − y′

gMg − η2Mg − η6x′

gMg + η4z′

gMg

+ρgη3Sy′ + ρgη4Sy′y′ − ρgη5Sx′y′]

+j[ρgη1V0 + ρgx

′

bV0 + ρgη5z′

bV0 − ρgη6y′

bV0 + x′

gMg + η1Mg + η5z′

gMg − η6y′

gMg

−ρgη3Sx′ − ρgη4Sx′y′ + ρgη5Sx′x′]

(8.166)

Para um corpo flutuando livremente temos

ρgV0 = Mg (8.167)

x′

g = x′

b (8.168)

y′

g = y′

b (8.169)

Substituindo estas expressoes em (8.165) e (8.166) teremos:

Fr = ρgk(−η3Sw − η4Sy′ + η5Sx′

)(8.170)

Mr = i[η4Mg(z

′

b − z′

g) + ρgη3Sy′ + ρgη4Sy′y′ − ρgη5Sx′y′]

+j[η5Mg(z

′

b − z′

g)− ρgη3Sx′ − ρgη4Sx′y′ + ρgη5Sx′x′]

(8.171)

Utilizando a notacao

Fr,i =6∑j=1

Cijηj i = 1, 6 (8.172)

temos

C33 = ρgSw (8.173)


C34 = C43 = ρgSy′ (8.174)

C35 = C53 = ρgSx′ (8.175)

C44 = Mg(z′

b − z′

g) + ρgSy′y′ (8.176)

C45 = C54 = ρgSx′y′ (8.177)

C55 = Mg(z′

b − z′

g) + ρgSx′x′ (8.178)

e os restantes Cij nulos.

Para corpos com um plano de simetria

C34 = C43 = 0 (8.179)

8.4 Equacoes de Movimento no Domınio da Frequencia

Nas secoes anteriores desenvolvemos expressoes para as forcas hidrostaticas, hidrodinamicas

e inerciais.

As equacoes que representam campos de velocidades e pressoes foram linearizadas e os efeitos

viscosos desprezados. O problema hidrodinamico tornou-se determinar potenciais de veloci-

dades.

Considerando-se que o problema hidrodinamico e linear, pode-se supor que a onda incidente

e monocromatica, isto e, todas suas propriedades variam com o tempo de forma harmonica.

Assim as pressoes variam harmonicamente com o tempo, assumindo a forma:

pinc(x, y, z, t) = finc(x, y, z) e iωt (8.180)

A onda incidente ao encontrar o corpo sofre difracao e a onda difratada e tambem harmonica,

gerando pressoes que variam harmonicamente:

pdif (x, y, z, t) = fdif (x, y, z) e iωt (8.181)

A soma desses dois campos gera o campo de pressoes de excitacao, tambem harmonicas

pexc(x, y, z, t) = fexc(x, y, z) e iωt = [finc(x, y, z) + fdif (x, y, z)] e iωt (8.182)

A integracao das pressoes hidrodinamicas gera forcas harmonicas que, atuando sobre o corpo,

vao impor um movimento harmonico ao corpo. O movimento harmonico do corpo gera forcas

de radiacao harmonicas. Assim, todas as propriedades, velocidades das partıculas fluidas,


movimentos do corpo, forcas de excitacao, forcas de radiacao, forcas de restauracao e forcas

inerciais, sao harmonicas.

Outro aspecto que se deve considerar e que a onda incidente atua por um longo tempo de tal

forma que a resposta transiente (solucao homogenea da equacao de movimento as condicoes

iniciais) evanesce e nos concentramos na resposta harmonica a excitacao harmonica (solucao

particular).

Reunindo as expressoes das forcas hidrodinamicas, hidrostaticas e do peso e aplicando as leis

de conservacao das quantidades de movimento linear e angular obtemos:

Mij ηj = −(Aij ηj +Bij ηj)− Cijηj + Finc,i + Fdif,i (8.183)

ou

(Mij + Aij) ηj +Bij ηj + Cijηj = Fexc,i (8.184)

Observando as forcas de excitacao e as forcas de radiacao vemos que esta equacao foi de-

senvolvida para uma excitacao harmonica. Tratando-se de um sistema linear respondera

harmonicamente a excitacao. As forcas de excitacao e as respostas sao entao escritas na

forma:

Fexc,i = Finc,i + Fdif,i = F0i eiωt (8.185)

ηj = η0j e i(ωt) (8.186)

com isto pode-se escrever:

ηj = iωηj (8.187)

ηj = −ω2ηj (8.188)

substituindo nas expressao acima da equacao de movimento:[− (Mij + Aij)ω

2 + iωBij + Cij]η0j e i(ωt) = F0i e

iωt (8.189)

Vemos que a dependencia do tempo se concentra na funcao exponencial que pode ser can-

celada na equacao, obtendo-se uma equacao algebrica para obtencao da resposta para cada

frequencia:

η0j =[− (Mij + Aij)ω

2 + iωBij + Cij]−1

F0i (8.190)

Como a expressao nao depende do tempo, somente da frequencia, diz-se que se esta resolvendo

o problema no domınio do tempo. Deve-se observar que tanto a forca de excitacao bem como

a fracao sao funcoes complexas. O vetor de forcas e momentos F0i e complexo e seu modulo

forma o vetor de intensidade e a relacao entre a parte imaginaria e a parte real fornecem a fase

da forca em relacao a onda. De maneira similar o vetor de respostas, contem a intensidade

da resposta para os seis graus de liberdade do corpo, bem como a informacao da fase dos

movimentos em relacao a onda. Como a forca de onda pode ser escrita como:

F0i = f(ω, forma do corpo)ζ0 (8.191)


onde f(ω, forma do corpo) e a funcao de transferencia entre a onda e a forca sobre o corpo.

η0j

ζ0

=[− (Mij + Aij)ω

2 + iωBij + Cij]−1

f(ω, forma do corpo) (8.192)

Tem-se entao a relacao entre os seis movimentos do corpo e a amplitude da onda em funcao

da frequencia. Esta funcao e chamada de funcao de transferencia, fator de amplificacao e

operador de resposta de amplitude (RAO - response amplitude operator).

8.5 Equacoes do Movimento no Domınio do Tempo

Nas secoes anteriores apresentamos o problema hidrodinamico, as forcas hidrodinamicas,

hidrostaticas e inerciais para o caso em que a onda incidente e a solucao do problema de

valor de contorno linearizado e que a dependencia no tempo e harmonica. Desprezamos a

solucao transiente e estudamos a solucao da equacao de movimento para excitacao harmonica.

Na presente secao vamos considerar que a forca de excitacao e oscilatoria porem irregular.

Decorre disto que o corpo vai executar movimentos irregulares. Assim o problema de valor

de contorno para determinar o potencial de velocidades e dependente do tempo de forma nao

harmonica.

Serao estabelecidos dois problemas de valor de contorno, cujas solucoes nos fornecem como

seria a resposta hidrodinamica do corpo, o problema de radiacao. A partir desses dois prob-

lemas serao construıdas as equacoes de movimento. Vamos supor que e possıvel conhecermos

a forca de excitacao de forma irregular.

O desenvolvimento aqui apresentado deve-se basicamente ao trabalho de Cummins com a

extensao de Ogilvie.

Considere-se um corpo que se encontra proximo a superfıcie livre sem velocidade de avanco,

em aguas tranquilas e que executa um movimento impulsivo do modo de movimento j de valor

∆ηj. Deve-se lembrar que se tem seis modos j = 1, ..., 6, que representam os movimentos de

surge, sway, heave, roll, pitch e yaw. Este movimento ∆ηj equivale a mover o corpo com uma

velocidade vj durante um intervalo de tempo ∆t de forma que:

∆ηj = vj∆t (8.193)

Podemos entao dizer que a este movimento corresponde uma funcao potencial de velocidades

φ =6∑j=1

φj =6∑j=1

vjψj (8.194)


que satisfaz na superfıcie do corpo a condicao

∂ψj∂n

= nj (8.195)

e no fundo, z = −h,∂ψj∂z

= 0 (8.196)

Da condicao de contorno cinematica a ser respeitada na superfıcie livre do mar

∂ζj∂t

=∂φj∂z

= vj∂ψj∂z

(8.197)

pode-se dizer que a este impulso correspondera uma elevacao da superfıcie livre na forma:

∆ζj∆t

= vj∂ψj∂z

(8.198)

ou

∆ζj = vj∂ψj∂z

∆t (8.199)

Apos a acao deste impulso, ocasionando a elevacao da superfıcie livre, seguira a formacao

de ondas que se propagarao para o meio. O potencial de velocidades resultante sera entao

proporcional ao impulso

φ =6∑j=1

χj(t)∆ηj (8.200)

onde a funcao χj(t) devera satisfazer a condicao inicial

χj(t < t0) = 0 (8.201)

Obedecendo a Equacao de Bernoulli, deve valer na superfıcie z = 0 uma vez que o problema

e linearizado, a condicao

∆ηj∂χj∂t

= −g∆ζj (8.202)

Combinando-se esta condicao com as equacoes (8.199) e (8.193) segue:

∂χj∂t

= −g∂ψj∂z

(8.203)

na superfıcie z = 0 no instante t = t0 + ∆t.

Alem desta condicao, na superfıcie z = 0, a funcao χj devera satisfazer

∂2χj∂t2

+ g∂χj∂z

= 0 (8.204)


sobre a superfıcie do casco S0∂χj∂n

= 0 (8.205)

sobre o fundo∂χj∂z

= 0 (8.206)

No problema que se esta tratando, tem-se entao dois potenciais a serem determinados:

1. ψj, solucao da equacao de Laplace satisfazendo as seguintes condicoes de contorno:

∂ψj∂n

= nj sobre o corpo (8.207)

∂ψj∂z

= 0 no fundo (8.208)

ψj = 0 na superfıcie z = 0 (8.209)

2. χj, solucao da equacao de Laplace satisfazendo as seguintes condicoes de contorno:

∂χj∂n

= 0 sobre o corpo (8.210)

∂χj∂z

= 0 no fundo (8.211)

∂2χj∂t2

+ g∂χj∂z

= 0 na superfıcie z = 0 (8.212)

χj = 0 para t < t0 (8.213)

∂χj∂t− g∂ψj

∂z= 0 em z = 0 para t = t0 + ∆t (8.214)

Deve-se notar que o potencial ψj corresponde ao caso de um corpo oscilando na superfıcie

livre a altas frequencias.

Quando o corpo oscila arbitrariamente na superfıcie livre pode-se imaginar que seu movimento

seja a superposicao de diversos movimentos impulsivos. Assim,

φ(n∆t) =6∑j=1

[vj(n∆t)ψj +n∑i=1

χj(t0 + (n− i)∆t)vj(i∆t)∆t] (8.215)

no limite quando ∆t→ 0 e como t = t0 + n∆t

φ(t) =6∑j=1

[ηj(t)ψj +

∫ t

−∞χj(t− τ)ηj(τ)dτ ] (8.216)


As pressoes, e por conseguinte as forcas, sao determinadas atraves da Equacao de Bernoulli,

p(t) = −ρ∂φ∂t

= −ρ6∑j=1

[ηj(t)ψj + χj(0)ηj +

∫ t

−∞

∂χj(t− τ)

∂tηj(τ)dτ ]

= −ρ6∑j=1

[ηj(t)ψj +

∫ t

−∞

∂χj(t− τ)

∂tηj(τ)dτ ] (8.217)

entao

Fk =

∫S0

p(t)nkdS = −ρ∫S0

∂φ

∂tnkdS

=6∑j=1

[−ρηj(t)∫S0

ψjnkdS − ρ∫S0

∫ t

−∞

∂χj(t− τ)

∂tηj(τ)dτnkdS] (8.218)

Definindo

mkj = −ρ∫S0

ψjnkdS (8.219)

Kkj(t) = −ρ∫S0

∂χj(t)

∂tnkdS (8.220)

Aplicando a segunda lei de Newton para o corpo flutuante

6∑j=1

[(Mkj +mkj)ηj +

∫ t

−∞Kkj(t− τ)η(τ)dτ + Ckjηj] = F ∗k (t) (8.221)

onde:

Mkj e a matriz de inercia

Ckj e a matriz de restauracao

Kkj e a funcao de retardacao (memoria fluida)

mkj e a matriz de massa adicional

F ∗k (t) e a funcao variavel no tempo que representa as forcas externas, por exemplo a

forca excitatriz devida as ondas incidentes.

Cummins desenvolveu esta formulacao, porem nao desenvolveu a forma para se determinar

os potenciais nela envolvidos. Ogilvie, relacionando o presente problema com o problema no

domınio do tempo, mostrou que e possıvel determinar mkj e Kkj sem que se faca necessario


determinar os potenciais. Para tal considere-se inicialmente que o corpo realiza um movimento

harmonico simples a partir do instante t = 0

ηj = η0jei(ωt+δj) (8.222)

isto e, esteja sujeito a uma forca excitatriz harmonica. Assim, a equacao de movimento sera

<6∑j=1

[(Mkj +mkj)(−ω2)η0j e i(ωt+δj) + ∫ t

0

Kkj(u) e iωudu(iω)η0jei(ωt+δj)

+Ckjη0j e i(ωt+δj)] = F ∗0k(t) e i(ωt+θk) (8.223)

ou6∑j=1

[−ω2Mkj +mkj −1

ω

∫ t

0

Kkj(u) sin(ωu)du cos(ωt+ δj)

−ω∫ t

0

Kkj(u) cos(ωu)du sin(ωt+ δj) + Ckj cos(ωt+ δj)]η0j = F ∗0k cos(ωt+ θk) (8.224)

Esta equacao corresponde a equacao no domınio da frequencia se forem respeitadas as relacoes:

akj = mkj −1

ω

∫ t

0

Kkj(u) sin(ωu)du (8.225)

bkj =

∫ t

0

Kkj(u) cos(ωu)du (8.226)

O uso da transformada inversa de Fourier para a expressao acima permite que se explicite a

funcao Kkj

Kkj =2

π

∫ ∞0

bkj cos(ωt)dω (8.227)

e o valor da constante mkj fica entao dado por:

mkj = akj(ω′) +

1

ω′

∫ ∞0

Kkj sin(ω′t)dt (8.228)

onde ω′ pode ser escolhido arbitrariamente.

Cabe ressaltar que bkj(ω) tende a zero quando a frequencia ω tende para infinito. Para

fins de avaliacao numerica e entao conveniente pesquisar-se uma forma assintotica para bkjdesdobrando-se a integral que determina Kkj em duas parcelas

Kkj =2

π

∫ ω1

0

bkj cos(ωt)dω +2

π

∫ ∞ω1

Ckjωp

cos(ωt)dω (8.229)

onde a segunda parcela pode ser resolvida analiticamente.

Capıtulo 9

Dinamica de corpos flutuantes com

velocidade de avanco

9.1 Introducao

Nesta secao vamos tratar a dinamica de corpos flutuantes dotados de velocidade de avanco

no mar com ondas de pequenas amplitudes. Neste caso ha algumas modificacoes a serem

incluıdas no desenvolvimento da teoria vista anterioriormente, para o caso de corpos sem

velocidade de avanco, que impoem algumas dificuldades ao problema.

Vamos estender o equacionamento do problema para o caso de um corpo tridimensional com

velocidade de avanco em que admitimos que o corpo seja similar a um navio com simetria em

relacao ao plano y = 0. As hipoteses simplificadoras basicas sao: efeitos viscosos desprezıveis,

fluido incompressıvel e forcas de corpo derivam de um potencial. Nestas condicoes pode-se

dizer que existe um potencial de velocidades que satisfaz a equacao de Laplace.

Mais uma vez vamos nos ater a respostas em ondas monocromaticas. E intuitivo pensar que se

o navio tem velocidade de avanco diferente de zero e encontra ondas pela proa, sua frequencia

de oscilacao sera diferente da frequencia das ondas. Dizemos que ele vai oscilar na frequencia

de encontro ωe, que e dada por

ωe = ω − k0U cos β (9.1)

onde ω e a frequencia da onda, k0 e o numero de onda, U e a velocidade de avanco e β e o

angulo que a direcao de propagacao das ondas faz com o eixo longitudinal do navio, de tal

forma que, quando as ondas vem pela popa β e nulo.

115


Consideremos um sistema de coordenadas OXY Z com o plano Z = 0 sobre a superfıcie livre.

O eixo OZ aponta verticalmente para cima. Consideremos um segundo sistema oxyz cujo

centro, sempre concide com o ponto O, com eixo ox fazendo um angulo β com o eixo OX.

O navio tem velocidade desloca-se em linha reta com velocidade U na direcao do eixo ox. As

ondas se propagam na direcao do eixo OX e o vetor celeridade da onda faz um angulo β com

o vetor velocidade do navio, e consequentemente com o eixo longitudinal do navio.

Consideremos um terceiro sistema oxyz que se desloca com a velocidade do navio, sem oscilar.

Seu centro esta localizado na superfıcie livre em repouso e o eixo oz aponta verticalmente para

cima. O ponto o, centro do sistema, esta localizado a meio navio. Muitas vezes e mais comodo

localiza-lo na vertical passando pelo centro de gravidade.

O perfil de onda e dado por

ζ(X, t) = ζ0 cos(ωt− k0X) (9.2)

porem como,

X = x cos(β)− y sin(β) (9.3)

e

x = x+ Ut (9.4)

entao

ζ(X, t) = ζ0 cos[ωt− k0(x cos(β)− y sin(β))] =

ζ0 cos[ωt− k0(x+ U)t cos(β) + k0y sin(β)] (9.5)

Podemos rearranjar esta expressao na forma:

ζ(X, t) = ζ0 cos[ωt− k0x cos(β)− k0Ut cos(β) + k0y sin(β)] =

ζ0 cos[(ω − k0U cos(β))t− k0x cos(β) + k0y sin(β)] (9.6)

o que nos leva a definir a funcao elevacao da superfıcie livre na forma:

ζ(x, y, t) = ζ0 cos(ωet− k0x cos(β) + k0y sin(β)) (9.7)

9.2 Potencial de velocidades

Com a velocidade de avanco, uma nova contribuicao potencial deve ser introduzida. Supomos

que o potencial φT seja dado por

φT = −Ux+ φ = −Ux+ φsta + φinc + φdif + φrad = −Ux+ φsta + φt (9.8)

onde


U e a velocidade de avanco do corpo

φ e o potencial representativo das ondas incidentes e da perturbacao devido a presenca do

corpo,

φsta e o potencial representativo da perturbacao devido a presenca do corpo quando em

avanco uniforme sem ondas,

φT e o potencial total

φt e o potencial dependente do tempo

φinc e o potencial representativo das ondas incidentes

φdif e o potencial representativo da perturbacao das ondas incidentes pela presenca do corpo

φrad e o potencial representativo das ondas que radiam para o fluido devidas aos movimentos

do corpo

Para garantir a existencia e a unicidade da solucao devemos impor condicoes a funcao φTnos contornos do domınio fluido. O domınio fluido tem como contornos, a superfıcie livre, o

fundo, uma superfıcie muito longe do corpo e a superfıcie do corpo flutuante. As condicoes a

serem satisfeitas pela funcao potencial de velocidades φT sao expressoes de condicoes fısicas

a serem validas nos contornos fluidos.

Definimos a superfıcie livre pela funcao

Fsl(x, y, z, t) = z − ζ(x, y, t) = 0. (9.9)

Isto indica que ζ(x, y, t) representa a elevacao da superfıcie.

Nesta superfıcie temos que satisfazer a duas condicoes. Uma, representando o equilıbrio de

forcas, indica as condicoes que devem valer para que o fluido sustente a pressao atuante por

agentes externos. A outra, de caracterıstica cinematica, representando a concordancia entre

os movimentos da superfıcie e das partıculas fluidas. No fundo e junto ao corpo temos que

satisfazer as condicoes cinematicas, que representem a impenetrabilidade do fluido atraves

desses limites. Para o problema ora abordado supomos que o fundo e um plano horizontal

com z = −d.

9.2.1 Condicao de contorno na superfıcie livre

De forma similar ao que fazemos para o caso em que nao consideravamos a velocidade de

avanco, desenvolvemos as condicoes cinematica e dinamica, linearizamos e combinamos essas


duas condicoes. Assim, obtemos a condicao de contorno na superfıcie livre para o potencial

de velocidades.

∂φT∂z

+1

g(∂

∂t− U ∂

∂x)2φT = 0 (9.10)

a ser satisfeita em z = 0.

9.2.2 Condicao de contorno na superfıcie do corpo

O desenvolvimento da condicao de controno na superfıcie do corpo e bem mais complexa.

Apos seu desenvolvimento, chegamos a seguinte expressao:

∂φrad∂n

= n · η + m · η =6∑i=1

(niηi +miηi) =6∑i=1

(ni +1

iωemi)ηi (9.11)

a ser satisfeita na superfıcie do corpo.

Se comparamos esta expressao para o caso em que o corpo nao tem velocidade de avanco,

vemos que um novo termo surgiu. Este surgiu por forca da velocidade de avanco e se traduz

no produto escalar de um vetor m e os deslocamentos lineares e angulares do corpo. As

componentes do vetor m sao dadas por:

m1 = − 1

U

[n1∂2φt∂x2

+ n2∂2φt∂y∂x

+ n3∂2φt∂z∂x

](9.12)

m2 = − 1

U

[n1∂2φt∂x∂y

+ n2∂2φt∂y2

+ n3∂2φt∂z∂y

](9.13)

m3 = − 1

U

[n1∂2φt∂x∂z

+ n2∂2φt∂y∂z

+ n3∂2φt∂z2

](9.14)

m4 =1

U

[n1

∂

∂x+ n2

∂

∂y+ n3

∂

∂z

](yvz − zvy) (9.15)

m5 =1

U

[n1

∂

∂x+ n2

∂

∂y+ n3

∂

∂z

](zvx − xvz) (9.16)

m6 =1

U

[n1

∂

∂x+ n2

∂

∂y+ n3

∂

∂z

](xvy − yvx) (9.17)

Esta condicao de contorno indica que o potencial de radiacao pode ser subdividido na forma

de funcoes de forma que multiplicam a velocidade e funcoes de forma que multiplicam os

deslocamentos:


φrad(x, y, z, t) = ϕ∗rad(x, y, z)eiωet =6∑i=1

ϕ∗i (x, y, z)eiωet =6∑i=1

[ϕ0i (x, y, z)ηi+Uϕ

Ui (x, y, z)ηi]e

iωet =

6∑i=1

[ϕ0i (x, y, z) +

U

iωeϕUi (x, y, z)]ηi,0e

iωet (9.18)

onde:∂ϕ∗1∂n

= n1 · η1 + Um1η1 = n1 · η1 (9.19)

∂ϕ∗2∂n

= n2 · η2 + Um2η2 = n2 · η2 (9.20)

∂ϕ∗3∂n

= n3 · η3 + Um3η3 = n3 · η3 (9.21)

∂ϕ∗4∂n

= n4 · η4 + Um4η4 = n4 · η4 (9.22)

∂ϕ∗5∂n

= n5 · η5 + Un3η5 (9.23)

∂ϕ∗6∂n

= n6 · η6 − Un2η6 (9.24)

isto e∂ϕ0

i

∂n= ni para i = 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 (9.25)

∂ϕU5∂n

=∂ϕ0

3

∂n= n3 (9.26)

∂ϕU6∂n

= −∂ϕ02

∂n= −n2 (9.27)

e entao

ϕ∗i = ϕ0i para i = 1, 2, 3 ou 4 (9.28)

ϕUi = 0 para i = 1, 2, 3 ou 4 (9.29)

ϕ∗5 = ϕ05 +

U

iωeϕ0

3 (9.30)

ϕ∗6 = ϕ06 −

U

iωeϕ0

2 (9.31)


9.3 Forcas devidas a acao fluida

Como as ondas incidentes sao harmonicas, de frequencia ω e frequencia de encontro ωe, as

ondas de difracao, as pressoes e as forcas atuantes sobre o corpo tambem o serao. O sistema

e linear e entao suas respostas tambem serao harmonicas. Assim, podemos dizer que

φT = −Ux+ φsta + (ϕinc + ϕdif + ϕ∗rad)eiωet (9.32)

Com a integral da equacao de Euler e o potencial de velocidades (9.8), temos a pressao em

qualquer parte do domınio dada por

p =1

2ρU2 − ρ∂φT

∂t− 1

2ρ | ∇φT |2 −ρgz (9.33)

Podemos separar esta pressao em parte dinamica e parte estatica

p = pd + pe

= pe,0 + pe,t + ps + pinc + pdif + prad

= pe,0 + ps + p(t) (9.34)

Esta ultima expressao mostra a divisao da pressao em um termo estatico independente do

tempo, um termo estacionario e um termo dependente do tempo. A pressao dependente do

tempo e dada por:

p(t) = pest,t + pinc + pdif + prad (9.35)

A pressao dinamica e dada por

pd =1

2ρU2 − ρ∂φT

∂t− 1

2ρ | ∇φT |2 (9.36)

que apos introduzirmos (9.8) e linearizarmos, fornece:

pd = −ρ∂φ∂t

+ ρU∂φ

∂x(9.37)

A pressao estatica e dada por

pe = −ρgz (9.38)

onde:

z = z0 + k · (ηl + ηa × r) (9.39)


Introduzindo (9.32) em (9.37) obtemos a pressao no domınio fluido, dada por:

pd = ρU∂φsta∂x− iωeρ

[(ϕinc + ϕdif + ϕrad)e

iωet]

+ ρU∂

∂x

[(ϕinc + ϕdif + ϕrad)e

iωet]

(9.40)

pd = ρU∂φsta∂x− iωeρ(ϕinc + ϕdif )e

iωet + ρU∂(ϕinc + ϕdif )

∂xeiωet

−iωeρ6∑i=1

ϕ∗i eiωet + ρU

6∑i=1

∂ϕ∗i∂x

eiωet (9.41)

A integral da pressao fornece a forca total

Fs = Fd + Fe = −ρ∫Sc

(iωeφt − U

∂φ

∂x+ gz

)ndS (9.42)

Separando em parte hidrodinamica e parte hidrostatica temos:

- Forca hidrodinamica

Fd = −ρ∫Sc

(iωeφt − U

∂φ

∂x

)ndS

= ρU

∫Sc

∂φsta∂x

ndS − ρ∫Sc

(iωeφtn− U

∂φt∂x

n

)dS (9.43)

- Forca hidrostatica

Fe = −ρ∫Sc

(gz) ndS (9.44)

9.3.1 Forcas hidrodinamicas dependentes do tempo

Tomando agora, somente a parte dinamica dependente do tempo e usando (9.41)

Fd,t =

∫Sc

[−iρωeϕinc + ρU

∂ϕinc∂x

]ndSeiωet+

∫Sc

[−iρωeϕdif + ρU

∂ϕdif∂x

]ndSeiωet+

6∑i=1

∫Sc

(−iωeρϕ

∗i + ρU

∂ϕ∗i∂x

)ndSeiωet (9.45)


Observemos que a forca tem um termo em derivada parcial do potencial em relacao a x. Este

termo esta diretamente ligado a influencia da velocidade de avanco, carregando a interferencia

entre as diversas secoes. Isto caracteriza uma efeito tridimensional. Outro ponto a ser salien-

tado, e que o domınio de integracao e uma funcao de x, o que impossibilita a inversao da

integracao. Entretanto, aplicando-se o teorema de Stokes, e possıvel eliminar a diferencial em

x, como mostrado no apendice 2, obtendo-se:∫Sc

∂φ

∂xndS =

∫ScφmdS −

∫C

φnds (9.46)

entao

Fd,t =

∫Sc


∂ϕinc∂x

]ndSeiωet

−iρωe

∫ScϕdifndSe

iωet + ρU

∫ScϕdifmdSeiωet −

∫C

ρUϕdifndseiωet

+6∑i=1

[−∫Scρiωeϕ

∗indS +

∫ScρUϕ∗imdS −

∫C

ρUϕ∗inds

]eiωet (9.47)

9.3.2 Forca de excitacao

Como dito acima, podemos dividir a forca total em termos das contribuicoes do potencial da

onda incidente e de sua difracao e potencial das ondas de radiacao. Assim, obtemos para as

forcas de excitacao

Fexc =

∫Sc


∂ϕinc∂x

]ndSeiωet

−iρωe

∫ScϕdifndSe

iωet + ρU

∫ScϕdifmdSeiωet +

∫C

ρUϕdifndseiωet (9.48)

As forcas excitatrizes podem ser subdivididas em duas partes. Uma relativa a onda incidente,

e a outra relativa ao potencial de difracao. A forca devida a onda incidente, tambem chamada

de forca de Froude-Krylov, e dada por

Finc =

∫Sc


∂ϕinc∂x

]ndSeiωet

= −ρ∫Sc

(iωeϕinc + iUk0 cos β)ϕincndSeiωet

= −iω0ρ

∫ScϕincndSe

iωet (9.49)


As forcas de difracao sao dadas por:

Fdif = −iρωe

∫ScϕdifndSe

iωet + ρU

∫ScϕdifmdSeiωet −

∫C

ρUϕdifndseiωet (9.50)

Decompondo este vetor em suas seis componentes e introduzindo as expressoes (9.93), temos

as seguintes expressoes

Fdif,j = −ρ∫Sc

∂

∂n(iωeϕ

0j − UϕUj )ϕdifdSe

iωet − ρU∫C

∂ϕ0j

∂nϕdifdse

iωet (9.51)

Utilizando agora as relacoes de reciprocidade as componentes das forcas sao entao dadas por:

Fdif,j = −ρ∫Sc

(iωeϕ0j − UϕUj )

∂ϕdif∂n

dSeiωet − ρU∫C

∂ϕdif∂n

ϕ0jdse

iωet (9.52)

Com a condicao de contorno junto ao corpo obtemos

Fdif,j = ρ

∫Sc

(iωeϕ0j − UϕUj )

∂ϕinc∂n

dSeiωet + ρU

∫C

∂ϕinc∂n

ϕ0jdse

iωet (9.53)

Como∂

∂nϕinc = (−in1 cos β + in2 sin β + n3)k0ϕinc (9.54)

Chegamos finalmente a expressao

Fdif,j = ρ

∫Sc

(iωeϕ0j − UϕUj )(−in1 cos β + in2 sin β + n3)k0ϕincdSe

iωet

+ρU

∫C

(−in1 cos β + in2 sin β + n3)k0ϕincϕ0jdse

iωet (9.55)

9.3.3 Forca de radiacao

Frad =6∑i=1

[−∫Scρiωeϕ

∗indS +

∫ScρUϕ∗imdS −

∫C

ρUϕ∗inds

]eiωet (9.56)

Introduzindo a expressao (9.18) obtemos as componentes de forca nos seis modos na forma:

Fj =6∑i=1

[−∫Scρiωe(iωeϕ

0i + UϕUi )njdS +

∫ScρU(iωeϕ

0i + UϕUi )mjdS


−ρU∫C

(iωeϕ0i + UϕUi )njds

]ηie

iωet (9.57)

Introduzindo λji atraves de

Fj = −6∑i=1

λjiηi(t) = −6∑i=1

Ajiηi(t)−6∑i=1

Bjiηi(t) (9.58)

temos

λji = ρ

∫Sc

(ϕ0i +

UϕUiiωe

)njdS −ρU

iωe

∫Sc

(ϕ0i +

ϕUiiωe

)mjdS

+ρU

iωe

∫C

(ϕ0i +

ϕUiiωe

)njds (9.59)

Introduzindo as expressoes (9.93) e (9.130) nestas expressoes, obtemos:

para i = 1, 2, 3 ou 4 e j = 1, 2, 3 ou 4

λji = ρ

∫Scϕ0injdS +

ρU

iωe

∫Cϕ0injds (9.60)

para j = 1, 2, 3, ou 4 e i = 5 ou 6

λj5 = ρ

∫Sc

(ϕ05 +

U2

iωeϕ0

3)njdS −ρU

iωe

∫C(ϕ0

5 +ϕ0

3

iωe)njds (9.61)

λj6 = ρ

∫Sc

(ϕ06 −

U2

iωeϕ0

2)njdS −ρU

iωe

∫C(ϕ0

6 −ϕ0

2

iωe)njds (9.62)

para j = 5 ou 6 e i = 1, 2, 3 ou 4

λ5i = ρ

∫Scϕ0in5dS +

ρU2

ω2e

∫Scϕ0in3dS +

ρU

iωe

∫Cϕ0in5ds (9.63)

λ6i = ρ

∫Scϕ0in6dS −

ρU2

ω2e

∫Scϕ0in2dS +

ρU

iωe

∫Cϕ0in6ds (9.64)

para j = 5 ou 6 e i = 5 ou 6

λ5i = ρ

∫Sc

(ϕ0i +

UϕUiiωe

)n5dS−ρU

iωe

∫Sc

(ϕ0i +

UϕUiiωe

)n3dS+ρU

iωe

∫C(ϕ0

i +UϕUiiωe

)n5ds (9.65)


λ6i = ρ

∫Sc

(ϕ0i +

UϕUiiωe

)n6dS+ρU

iωe

∫Sc

(ϕ0i +

UϕUiiωe

)n2dS+ρU

iωe

∫C(ϕ0

i +UϕUiiωe

)n6ds (9.66)

λ6i = ρ

∫Sc

(ϕ0i +

UϕUiiωe

)n6dS+ρU

iωe

∫Sc

(ϕ0i +

UϕUiiωe

)n2dS+ρU

iωe

∫C(ϕ0

i +UϕUiiωe

)n6ds (9.67)

9.4 Formulacao do Problema Hidrodinamico

Nesta secao daremos um tratamento hidrodinamico ao problema de modo a estabelecer os

problemas de valor de contorno que cada potencial de velocidades deve satisfazer.

9.4.1 Condicao de contorno na superfıcie livre

- Condicao de contorno dinamica na superfıcie livre

A condicao dinamica e definida pela integral da equacao de Euler

patm + ρ∂φT∂t

+1

2ρ | ∇φT |2 +ρgz − 1

2ρU2 = 0 (9.68)

a ser satisfeita em F (x, y, z, t) = z − ζ(x, y, t)

Trata-se de uma equacao nao linear e que deve ser aplicada em z = ζ(x, y, t), que

desconhecemos. Observemos claramente que esta condicao de contorno introduz uma

nova incognita ao problema. Buscamos equacionar o problema de valor de contorno

para determinar a funcao potencial de velocidades φT , e dependemos da equacao que

descreve o contorno.

Introduzindo a equacao (9.8) em (9.68), linearizando e avaliando na superfıcie z = 0

∂φT (x, y, z = 0, t)

∂t− U ∂φT (x, y, z = 0, t)

∂x+ gζ = 0 (9.69)

Podemos reescrever esta expressao e observar que descrevemos a expressao da superfıcie

livre em funcao do potencial de velocidades, avaliado na superfıcie z = 0.

ζ = −1

g

(∂φT∂t− U ∂φT

∂x

)(9.70)


- Condicao de contorno cinematica na superfıcie livre

A segunda condicao a ser imposta, como dito acima, e uma condicao cinematica

D

DtFsl(x, y, z, t) = 0 (9.71)

que tambem pode ser escrita como:

Usl · n =∂φT∂n

(9.72)

a ser satisfeita em F (x, y, z, t) = z − ζ(x, y, t)

Desenvolvendo esta expressao obtemos:

∂φT (x, y, z = ζ, t)

∂z− ∂ζ

∂t− ∂φT (x, y, z = ζ, t)

∂x

∂ζ

∂x− ∂φT (x, y, z = ζ, t)

∂y

∂ζ

∂y= 0 (9.73)

Trata-se tambem, de uma equacao nao linear a ser aplicada em z = ζ(x, y, t).

De forma semelhante, introduzindo a equacao (9.8) em (9.73), linearizando e avaliando

na superfıcie z = 0 obtemos

∂φT∂z− ∂ζ

∂t+ U

∂ζ

∂x= 0 (9.74)

Observemos que esta condicao de contorno tambem depende da equacao que descreve o con-

torno. Combinando essas duas equacoes obtemos a condicao de contorno na superfıcie livre

para o potencial de velocidades.

A condicao dinamica (9.70) fornece a equacao da superfıcie livre a partir do potencial de ve-

locidades. Substituindo esta expressao na condicao cinematica (9.74) eliminamos a incognita

ζ, obtendo:∂φT∂z

+1

g(∂

∂t− U ∂

∂x)2φT = 0 (9.75)


9.4.2 Condicao de contorno na superfıcie do corpo

Descrevendo-se a superfıcie do corpo por Fc(x, y, z, t) = 0 a condicao de impenetrabilidade

do fluido atraves dela e satisfeita se

D

DtFc(x, y, z, t) = 0 (9.76)


ou∂φT∂n

= un = u · n + (Ω× r) · n (9.77)

valida na posicao instantanea do corpo

u - velocidade linear do centro do sistema fixo ao corpo

Ω - velocidade angular do corpo

n - vetor normal a superfıcie do corpo, voltado para fora do domınio fluido

r - raio vetor de um ponto da superfıcie do corpo

Esta condicao de contorno tem que ser aplicada na superfıcie do corpo que desconhecemos a

princıpio. O objetivo do estudo e obtermos os movimentos do corpo. Consistente com nossa

teoria de pequenos movimentos, a condicao de contorno junto a superfıcie do corpo e dada

por (ver apendice 1).

∂φT∂n

= [ηl +∇× (ηl × v) + ηa × r +∇× ((ηa × r)× v)] · n

= n · ηl + (r× n) · ηa − [(n · ∇)v] · ηl − [(n · ∇)(r× v)] · ηa (9.78)

na posicao media do corpo.

ηl - deslocamento linear do corpo

ηa - deslocamento angular do corpo

Convem observar que a teoria de pequenos deslocamentos aqui tratada permite-nos considerar

deslocamentos angulares como vetores.

Definindo de forma generalizada os vetores η e n por:

η = ηl,ηa (9.79)

n = n, r× n (9.80)

e m, tal que suas seis componentes sao dadas por:

mi = ∇× (n× v) = −(n · ∇)v (9.81)

mi+3 = ∇× ((n× r)× v) = −(n · ∇)(r× v) (9.82)


em que i = 1, 2 e 3, podemos escrever

∂φ

∂n= n · η + m · η (9.83)

As componentes do vetor m sao dadas por:

m1 = − 1

U

[n1∂2φt∂x2

+ n2∂2φt∂y∂x

+ n3∂2φt∂z∂x

](9.84)

m2 = − 1

U

[n1∂2φt∂x∂y

+ n2∂2φt∂y2

+ n3∂2φt∂z∂y

](9.85)

m3 = − 1

U

[n1∂2φt∂x∂z

+ n2∂2φt∂y∂z

+ n3∂2φt∂z2

](9.86)

m4 =1

U

[n1

∂

∂x+ n2

∂

∂y+ n3

∂

∂z

](yvz − zvy) (9.87)

m5 =1

U

[n1

∂

∂x+ n2

∂

∂y+ n3

∂

∂z

](zvx − xvz) (9.88)

m6 =1

U

[n1

∂

∂x+ n2

∂

∂y+ n3

∂

∂z

](xvy − yvx) (9.89)

Lembrando que

vx = U +∂φt∂x

(9.90)

vy =∂φt∂y

(9.91)

vz =∂φt∂z

(9.92)

e assumindo que ∂φt/∂x, ∂φt/∂y e ∂φt/∂z sao muito menores que U, isto e U >> ∂φt/∂x,

obtemos:

m1 = m2 = m3 = m4 = 0 m5 = n3 m6 = −n2 (9.93)

9.4.3 Problemas de valor de contorno para os diversos potenciais

- Potencial do problema estacionario

∇2φsta = 0 (9.94)

em todo o domınio fluido.


∂φsta∂z− U2

g

∂2φsta∂x2

= 0 (9.95)


limz→∞

φsta = 0 (9.96)

∂φsta∂n

= Unx (9.97)

a ser satisfeita na superfıcie do corpo

- Potencial da onda incidente

∇2φinc = 0 (9.98)


∂φinc∂z

+1

g

(iωe − U

∂

∂x

)2

φinc = 0 (9.99)


limz→∞

φinc = 0 (9.100)

O potencial de velocidades da onda incidente descrito no sistema Oxyz definido acima,

e dado por

φinc = igζ0

ωek0zei(ωt−k0x) (9.101)

onde:

ζ0 - amplitude da onda

ω - frequencia da onda ω = 2πT

T - perıodo da onda

k0 - numero de onda

O numero de onda e a frequencia estao relacionados atraves da equacao de dispersao

para aguas profundasω2

0

g= k0 (9.102)

O perfil da onda no sistema Oxyz e dado por


ζ = <−1

g

∂φinc(x, y, z = 0, t)

∂t = ζ0 cos(ωt− k0x) (9.103)

onde β e o angulo de ataque das ondas incidentes, definido como o angulo entre os eixos

Ox e Ox fixo no corpo.

Como entre os dois sistemas valem as relacoes

x = (Ut+ x) cos β − y sin β (9.104)

z = z (9.105)

entao

φinc = igζ0

ωek0zeik0[−(x+Ut) cosβ+y sinβ]+ωt

= igζ0

ωek0ze−ik0x cosβeik0y sinβei(−k0U cosβ+ω0t)

= igζ0

ωek0ze−ik0x cosβeik0y sinβeiωet (9.106)

onde:

ωe - e a frequencia de encontro

ωe = ω − k0U cos β

- Potencial de difracao

∇2φdif = 0 (9.107)


∂φdif∂z

+1

g

(iωe − U

∂

∂x

)2

φdif = 0 (9.108)


limz→∞

φdif = 0 (9.109)

∂φdif∂n

= −∂φinc∂n

(9.110)

a ser satisfeita na superfıcie do corpo(ω2r

g

12

)(∂φdif∂n

− iω2

gφdif

)→ 0 as r →∞ (9.111)

onde r =√x2 + y2.


- Potencial de radiacao

∇2φrad = 0 (9.112)


∂φrad∂z

+1

g

(iωe − U

∂

∂x

)2

φrad = 0 (9.113)


limz→∞

φrad = 0 (9.114)

(ω2r

g

12

)(∂φrad∂n

− iω2

gφrad

)→ 0 as r →∞ (9.115)

onde r =√x2 + y2.

Como visto, a condicao de contorno a ser satisfeita na superfıcie do corpo e dada por:

∂φrad∂n

= n · η + m · η =6∑i=1

(niηi +miηi) =6∑i=1

(ni +1

iωemi)ηi (9.116)

e vimos que esta condicao indica que o potencial de radiacao pode ser subdividido na

forma:

φrad = ϕ∗radeiωet =

6∑i=1

ϕ∗i eiωet =

6∑i=1

(ϕ0i ηi + UϕUi ηi)e

iωet =6∑i=1

(ϕ0i +

U

iωeϕUi )ηi,0e

iωet

(9.117)

onde:∂ϕ∗1∂n

= n1 · η1 + Um1η1 = n1 · η1 (9.118)

∂ϕ∗2∂n

= n2 · η2 + Um2η2 = n2 · η2 (9.119)

∂ϕ∗3∂n

= n3 · η3 + Um3η3 = n3 · η3 (9.120)

∂ϕ∗4∂n

= n4 · η4 + Um4η4 = n4 · η4 (9.121)

∂ϕ∗5∂n

= n5 · η5 + Un3η5 (9.122)

∂ϕ∗6∂n

= n6 · η6 − Un2η6 (9.123)


isto e∂ϕ0

i

∂n= ni para i = 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 (9.124)

∂ϕU5∂n

=∂ϕ0

3

∂n= n3 (9.125)

∂ϕU6∂n

= −∂ϕ02

∂n= −n2 (9.126)

e entao

ϕ∗i = ϕ0i para i = 1, 2, 3 ou 4 (9.127)

ϕUi = 0 para i = 1, 2, 3 ou 4 (9.128)

ϕ∗5 = ϕ05 +

U

iωeϕ0

3 (9.129)

ϕ∗6 = ϕ06 −

U

iωeϕ0

2 (9.130)

9.5 Teoria das faixas

Quando o corpo tridimensional esta dotado de velocidade constante pode-se observar os

seguintes aspectos. A integral para a determinacao das forcas apresenta uma derivada em x.

Isto significa que temos que resolver um problema de valor de contorno tridimensional para

obtermos o potencial φt. Estruturas projetadas para ter velocidade de avanco nao devem ofer-

ecer grande resistencia contraria ao movimento. Normalmente, as estruturas flutuantes que

operam com velocidade de avanco tem formas alongadas objetivando minimizar a potencia

requerida para seu deslocamento. A variacao da boca ao longo do comprimento e muito

suave. Estas sao formas tıpicas de navios, que apresentam uma elevada relacao entre seu

comprimento e as dimensoes transversais.

Estes corpos tem formas esbeltas, o que implicara numa aproximacao adicional. A introducao

da hipotese de corpo esbelto, propicia uma grande simplificacao do problema, sendo possıvel

aproximar o problema tridimensional por uma serie de problemas bidimensionais estudados

em planos transversais.

Em decorrencia deste resultado, esta forma de estudo e chamada de teoria das faixas.

Entretanto permanece a dificuldade da derivada no integrando. Poderıamos em princıpio

aproximar esta integral da seguinte forma.

ρU

∫Sc

∂φt∂x

ndS ≈ ρU

∫L(∂

∂x

∫s(x)

φtnds) dx (9.131)


Com isto podemos determinar as propriedades hidrodinamicas em cada secao do corpo e pos-

teriormente proceder a derivacao. Observemos que, se o corpo nao tem velocidade de avanco,

a reducao do problema tridimensional a varios problemas bidimensionais e a aproximacao da

integral de superfıcie, por uma integral em x e uma integral de linha na secao, faz com que o

tratamento heurıstico que demos ao problema anteriormente, e o tratamento hidrodinamico

agora desenvolvido levem ao mesmo resultado.

Devemos observar que ate agora nao foi feita nenhuma aproximacao no que se refere a esbeltez

do corpo. As unicas hipotese simplificadoras impostas foram: efeitos viscosos desprezıveis,

escoamento irrotacional, pequenas amplitudes com consequente linearizacao e a hipotese de

nao haver interferencia entre os potenciais.

Admitir que o corpo e esbelto significa que as relacoes boca-comprimento, B/L, e calado-

comprimento T/L sao pequenas, e que

∂

∂x<<

∂

∂y,∂

∂z(9.132)

Desta hipotese decorre entao que:

1. A equacao de Laplace tridimensional pode ser aproximado pela sua expressao bidimen-

sional

2. O cosseno diretor da normal na direcao x e desprezıvel comparado com as outras com-

ponentes

Sendo B/L e T/L pequenos, ou melhor, qualquer dimensao em planos transversais

muito menor que dimensoes longitudinais e n1 << n2, n3,

3. a frequencia das ondas incidentes e alta, com comprimento de onda da mesma ordem

que a boca do navio,

Por conseguinte, as ondas difratadas e radiadas tambem o serao e se propagam parale-

lamente ao eixo longitudinal do corpo.

4. a velocidade de avanco e de ordem O(1).

Assim, muito menor que o termo representando a frequencia. A condicao de contorno

e tambem reduzida a uma condicao bidimensional.

Reunindo todas essas hipoteses, e utilizando-as para o problema em estudo, podemos chegar

as equacoes de movimento do corpo.


9.5.1 Hipoteses Simplificadoras Impostas ao Problema

Como apresentado anteriormente, o problema pode ser reduzido de acordo com a introducao

de hipoteses simplificadoras. Reunindo todas essas hipoteses temos:

efeitos viscosos desprezıveis,

escoamento irrotacional,

pequenas amplitudes com consequente linearizacao e a hipotese de nao haver interferencia

entre os potenciais.

o corpo e suposto ser esbelto

Isto significa que as relacoes boca-comprimento, B/L, e calado-comprimento T/L sao

pequenas, e que∂

∂x<<

∂

∂y,∂

∂z(9.133)

a frequencia das ondas incidentes e alta com comprimento de onda da mesma ordem que a

boca do navio,

consequentemente as ondas difratadas e radiadas terao pequenos comprimentos de onda

e propagam-se paralelamente ao eixo longitudinal do corpo.

Destas hipoteses decorre entao que:

1. A equacao de Laplace tridimensional pode ser aproximado pela sua expressao bidimen-

sional∂2ϕj∂x2

+∂2ϕj∂y2

+∂2ϕj∂z2

≈ ∂2ϕj∂y2

+∂2ϕj∂z2

= 0 (9.134)

2. O cosseno diretor da normal na direcao x e desprezıvel comparado com as outras com-

ponentes

n1 << n2, n3. (9.135)

3. com isto podemos, na condicao de contorno no corpo, utilizar como vetor normal o vetor

N, unitario no plano x constante (N1 = 0), de tal forma que:

N = (jn2 + kn3)/(n22 + n2

3)12 = jN2 + kN3 (9.136)

Assim,∂ϕ0

k

∂n= nk (9.137)


e substituido por∂ϕ0

k

∂N= Nk (9.138)

e

ϕ01 = n1 = 0 (9.139)

4. sendo B/L e T/L pequenos, ou melhor, qualquer dimensao em planos transversais muito

menor que dimensoes longitudinais e n1 << n2, n3, entao:

n5 = zn1 − xn3 ≈ −xN3 (9.140)

n6 = xn2 − yn1 ≈ xN2 (9.141)

5. a condicao de contorno na superfıcie z = 0 fica reduzida a

−ω2

gϕj +

∂ϕj∂z

= 0 (9.142)

6. a condicao de contorno sobre cada secao fica reduzida a

∂ϕj∂N

= Nj (9.143)

onde:

N1 = 0 (9.144)

N2 6= 0 (9.145)

N3 6= 0 (9.146)

N4 = yN3 − zN2 (9.147)

N5 = −xN3 logo∂ϕ5

∂N= −x∂ϕ3

∂N(9.148)

N6 = xN2 logo∂ϕ6

∂N= x

∂ϕ2

∂N(9.149)

Com essas duas ultimas relacoes temos: ϕ5 = −xϕ3 e ϕ6 = xϕ2

Assim sendo, teremos somente tres problemas de valor de contorno a resolver, a saber, deter-

minacao de ϕ2, ϕ3 e ϕ4.

Outro ponto a ressaltar e que os elementos de areas dS, com a hipotese de corpo esbelto

poderao ser aproximados por

dS = dxds (9.150)


onde ds e o elemento de linha ao longo de C.

Reunindo as expressoes das forcas hidrodinamicas, hidrostaticas e do peso e aplicando as leis

de conservacao das quantidades de movimento linear e angular obtemos:

Mij ηj = −(Aij ηj +Bij ηj)− Cijηj + Finc,i + Fdif,i (9.151)

ou

(Mij + Aij) ηj +Bij ηj + Cijηj = Fexc,i (9.152)

onde:

Aij +1

iωBij =

∫L

[ρ

∫CϕjNids

]dx =

∫L

(aij +

1

iωbij

)dx (9.153)

Fexc,i = Finc,i + Fdif,i = ρζ0

∫L

(fj + hj) e−ik0x cosβ (9.154)

fj = ge−ik0x cosβ

∫Cek0(z+iy sinβ)Njds (9.155)

hj = −ωe−ik0x cosβ

∫Cϕ0j(iN2 sin β +N3)ek0(z+iy sinβ)ds (9.156)

Anteriormente apresentamos as hipoteses em que se baseia o modelo matematico para que

pudessemos reduzir um problema tridimensional a varios problemas bidimensionais, no prob-

lema sem velocidade de avanco. No caso do problema com velocidade de avanco introduzimos

uma condicao adicional que diz respeito a velocidade. Supomos que a velocidade de avanco e

de ordem O(1). Assim, muito menor que o termo representando a frequencia. A condicao de

contorno e tambem reduzida a uma condicao bidimensional.

Reunindo todas essas hipoteses e utilizando-as para o problema em estudo, podemos chegar

as equacoes de movimento do corpo.

9.5.2 Equacoes Simplificadas de Movimento

Equacoes no plano vertical

(A33 +M)η3 +B33η3 + C33η3 + A35η5 +B35η5 + C35η5 = F3 (9.157)

A53η3 +B53η3 + C53η3 + (A55 + Iyy)η5 +B55η5 + C55η5 = F5 (9.158)


Equacoes no plano horizontal

(A22 +M)η2 +B22η2 + (A24 −MZg)η4 +B24η4 + A26η6 +B26η6 = F2 (9.159)

(A42−MZg)η2 +B42η2 + (A44 + Ixx)η4 +B44η4 +C44η4 + (A46− Ixz)η6 +B46η6 = F4 (9.160)

A62η2 +B62η2 + (A64 − Ixz)η4 +B64η4 + (A66 + Izz)η6 +B66η6 = F6 (9.161)

onde

A33 = A033 −

U

ω2e

ba33 (9.162)

B33 = B033 + Uaa33 (9.163)

C33 =

∫L

b(x)dx (9.164)

A35 = A035 −

U

ω2e

B033 +

U

ω2e

xaba33 −

U

ω2e

aa33 (9.165)

B35 = B035 + UA0

33 − Uxaaa33 −U

ω2e

ba33 (9.166)

C35 = −ρ g∫L

x b(x)dx (9.167)

A53 = A035 +

U

ω2e

B033 +

U

ω2e

xaba33 (9.168)

B53 = B035 − UA0

33 − Uxaaa33 (9.169)

C53 = −ρ g∫L

x b(x)dx (9.170)

A55 = A055 +

U2

ω2e

A033 −

U

ω2e

x2aba33 +

U2

ω2e

xaaa33 (9.171)

B55 = B055 +

U2

ω2e

B033 + Ux2

aaa33 +

U2

ω2e

xaba33 (9.172)

C55 =

∫L

x2 b(x)dx (9.173)


A033 =

∫La33dx B0

33 =∫Lb33dx

A035 = −

∫Lx a33dx B0

35 = −∫Lx b33dx

A055 =

∫Lx2 a33dx B0

55 =∫Lx2 b33dx

onde

U - velocidade de avanco do corpo

ωe - frequencia de encontro corpo onda

ωe = ω − k0U cos β (9.174)

A22 = A022 −

U

ω2e

ba22 (9.175)

B22 = B022 + Uaa22 (9.176)

A24 = A024 −

U

ω2e

ba22 (9.177)

B24 = B024 + Uaa22 (9.178)

A26 = A026 +

U

ω2e

B022 −

U

ω2e

xaba22 +

U2

ω2e

aa22 (9.179)

B26 = B026 − UA0

22 + Ux2aa

a22 +

U2

ω2e

ba22 (9.180)

A42 = A24 (9.181)

B42 = B24 (9.182)

A44 = A044 −

U

ω2e

ba44 (9.183)

B44 = B044 + Uaa44 +B∗44 (9.184)

A46 = A046 +

U

ω2e

B024 −

U

ω2e

xaba24 +

U2

ω2e

aa24 (9.185)

B46 = B046 − UA0

24 + Ux2aa

a24 +

U2

ω2e

ba24 (9.186)

A62 = A062 −

U

ω2e

B022 −

U

ω2e

xaba22 (9.187)

B62 = B062 + UA0

22 + Uxaaa22 (9.188)


A64 = A064 −

U

ω2e

B024 −

U

ω2e

xaba24 (9.189)

B64 = B064 + UA0

24 + Uxaaa24 (9.190)

A66 = A066 +

U2

ω2e

A022 −

U

ω2e

x2aba22 +

U2

ω2e

xaaa22 (9.191)

B66 = B066 +

U2

ω2e

B022 + Ux2

aaa22 +

U2

ω2e

xaba22 (9.192)

A022 =

∫La22dx B0

22 =∫Lb22dx

A026 = A0

62 =∫Lx a22dx B0

26 = B062 =

∫Lx b22dx

A066 =

∫Lx2 a22dx B0

66 =∫Lx2 b22dx

A024 = A0

42 =∫La24dx B0

24 = B042 =

∫Lb24dx

A044 =

∫La44dx B0

44 =∫Lb44dx

A046 = A0

64 =∫Lx a24dx B0

46 = B064 =

∫Lx b24dx

C044 = ρ g∆ ¯GMT

Iij - momentos e produtos de inertia

M - massa do corpo


aij and bij - coeficientes hidrodinamicos bidimensionais

O coeficiente B∗44 representa a influencia viscosa

As forcas de excitacao sao dadas por

Fj = ρζ0

∫L

(fj + hj)dx+ ρζ0U

iωehaj (9.193)

para j = 1, 2, 3 ou 4

F5 = ρζ0

∫L

[−x(f3 + h3) +

U

iωeh3

]dx− ρζ0

U

iωexah

a3 (9.194)


F6 = ρζ0

∫L

[x(f2 + h2) +

U

iωeh2

]dx+ ρζ0

U

iωexah

a3 (9.195)

com

fj = ge−ik0x cosβ

∫C

njeik0y sinβek0zds (9.196)

hj = −ωe−ik0x cosβ

∫C

(i sin βn2 + n3)ϕ0je

ik0y sinβek0zds (9.197)

para j = 2, 3 ou 4.

Capıtulo 10

Metodo da Integral de Contorno para

Determinacao da Funcao Potencial de

Velocidades

10.1 Introducao

A equacao de Laplace aparece em varios problemas da fısica matematica, e entre eles em es-

coamento potencial. Uma das tecnicas de solucao reside em se ter uma solucao fundamental

e usa-la na forma de uma superposicao. Vamos iniciamente estudar esta tecnica de solucao,

para problemas de escoamento potencial em torno de um corpo em um domınio fluido in-

finito. Posteriormente vamos desenvolver um tratamento mais elaborado a partir da segunda

identidade de Green. Assim, transformamos o prolema de valor de contorno para solucao de

uma equacao diferencial em uma equacao integral e resolvemos esta equacao discretizando o

domınio de integracao e sobre cada elemento discreto do domınio assumimos uma forma de

representacao da funcao incognita, concentrada em alguns pontos, constante ao longo de cada

elemento, variando linearmente ao longo de cada elemento e assim sucessivamente. A forma

apresentada e similar ao metodo de elementos de contorno. Existem varias formas bastante

similares, porem com suas particularidades, de tratar o problema. Assim, encontramos na

literatura diversas denominacoes: o metodo de paineis, o metodo da integral de contorno, o

metodo da funcao de Green, etc...

Inicialmente vamos apresentar a construcao de uma solucao do problema a partir da super-

posicao de singularidades concentradas na superfıcie. Posteriormente vamos tratar de forma

mais consistente o problema a partir da segunda identidade de Green.

Finalmente vamos tratar o problema tridimensional de difracao e radiacao de ondas, utilizando

141


uma Funcao de Green que satisfaz as condicoes de fundo, de superfıcie livre e de radiacao.

10.2 Superposicao de Singularidades

O objetivo do estudo e o de se poder gerar os campos de velocidade, pressao, etc ... como

consequencia de um escoamento em torno de um corpo. Lembrando que atraves da super-

posicao de um dipolo e um escoamento retılineo uniforme permanente pudemos representar

o escoamento de um fluido ideal em torno de um cırculo e que com a superposicao de uma

fonte, um sumidouro e um escoamento retilıneo representamos o escoamento em torno de

um ”ovoide”, vamos estender estes resultados para representar outras formas. Vamos utilizar

varias fontes e varios sumidouros e determinar suas intensidades para tal.

10.2.1 O Problema de Valor de Contorno

Para formalizar matematicamente o problema, utilizaremos um sistema de coordenadas Oxy

fixo no espaco. O campo de velocidades do escoamento incidente e dado por U i, onde U e

sua intensidade e i e o vetor unitario apontando na direcao positiva de Ox.

Vamos admitir em nosso estudo que o fluido e incompressıvel e os efeitos viscosos sao de-

sprezıveis, supondo entao que o escoamento e irrotacional. Assim, o campo de velocidades v

pode ser dado pelo gradiente de uma funcao potencial de velocidades, isto e:

v = ∇Φ (10.1)

sendo esta funcao potencial de velocidade solucao da equacao de Laplace

∇2Φ = 0 (10.2)

e satisfazendo junto ao corpo a condicao de impenetrabilidade

n · ∇Φ = 0 (10.3)

onde n = nxi + nyj = cos(n, x)i + cos(n, y)j e o vetor unitario normal ao contorno do corpo

apontando para fora do domınio fluido, e j o vetor unitario apontando na direcao Oy. Para

pontos muito afastados do corpo o potencial de velocidades tende para Ux, isto e:

Φ→ Ux com R→∞ (10.4)

onde R =√x2 + y2


A funcao Φ pode ser escrita como a superposicao do escoamento incidente Ux e um potencial

de perturbacao devido a presenca do corpo Uφs

Φ = U(x+ φs) (10.5)

Introduzindo (10.5) em (10.3)

n · ∇Φ = n · ∇U(x+ φs) = Un · (i +∇φs) (10.6)

= U(i · n + n · ∇φs) = Ucos(x, n) +∂φs∂n = 0 (10.7)

ou∂φs∂n

= −n · ∇φs = − cos(x, n) (10.8)

Com (10.2), (10.4), (10.5) e (10.8) podemos escrever o seguinte problema de valor de contorno

para φs

∇2φs = 0 em todo domınio (10.9)

∂φs∂n

= − cos(n, x) no contorno do corpo (10.10)

φs → 0 com R→∞ (10.11)

10.2.2 Implementacao

Para representarmos a funcao φs utilizaremos uma serie de fontes e/ou sumidouros distribuıdos

ao longo de uma linha no interior do corpo. A figura 10.1 apresenta um quadro das definicoes

geometricas utilizadas.

Chamando qj(η, ξ) a intensidade das fontes, teremos:

φs =n∑1

qj(η, ξ)ln |rj − ri|

2π(10.12)

onde

|rj − ri| =√

(x− ηj)2 + (y − ξj)2 (10.13)

Podemos verificar que ln r satisfaz as equacoes (10.9) e (10.11) do problema de valor de

contorno estabelecido acima. Colocamos varias singularidades na linha S(η, ξ) e calculamos

as suas influencias em cada ponto (x, y) do domınio.

As figuras 10.2 e 10.3 mostram a representacao de um contorno por elementos reta sobre os

quais sao distribuidas as singularidades


Figura 10.1: Definicoes geometricas


Figura 10.2: Distribuicao de singularidades no interior do corpo


Figura 10.3: Distribuicao de singularidades no interior do corpo


A fonte com intensidade qj colocada no ponto (ηj, ξj) cria o potencial φj.

φj(x, y) =qj2π

ln |rj − ri| (10.14)

A influencia de todas fontes cria o potencial dado em (10.12). As condicoes (10.9) e (10.11)

estao automaticamente satisfeitas. Falta satisfazer a condicoes (10.10). Esta determinara

entao os valores de qj de tal forma que seja gerada uma linha de corrente fechada representando

entao o corpo.

Com (10.12) em (10.10) teremos:

n · ∇

(n∑1

qj2π

ln |rj − ri|

)= − cos(x, n) = −nx (10.15)

oun∑j=1

qj2π

n ·∂

∂xln |rj − ri|i +

∂

∂yln |rj − ri|j

= −nx (10.16)

n∑j=1

qj2π

1

|rj − ri|∂|rj − ri|

∂xn · i +

1

|rj − ri|∂|rj − ri|

∂yn · j

= −nx (10.17)

n∑j=1

qj2π

1

|rj − ri|

x− ηj|rj − ri|

cos(n, x) +y − ξj|rj − ri|

cos(n, y)

= −nx (10.18)

n∑j=1

qj2π|rj − ri|2

(x− ηj) cos(n, x) + (y − ξj) cos(n, y) = −nx (10.19)

Como temos N incognitas precisamos satisfazer esta equacao em N pontos do contorno. Assim,

teremos N equacoes

n∑j=1

qj2πr2

ij

(xi − ηj) cos(n, x) |i +(yi − ξj) cos(n, y) |i = −nx,i (10.20)

Fazendo

Aij =1

2πr2ij

(xi − ηj)nx,i + (yi − ξj)ny,i (10.21)

podemos escrevern∑j+1

Aijqj = −nx,i (10.22)

Os coeficientes Aij, sao chamados de coeficientes de influencia, pois indicam como uma fonte

de intensidade unitaria colocada na posicao (ηj, ξj) do espaco (ponto fonte) influenciaria cada

posicao (xi, yi) do domınio (ponto campo).


10.2.3 O Algoritmo de Solucao

Deve ser conhecido o contorno do corpo e seu posicionamento em relacao a um sistema de

eixos Oxy, uma vez que pressupomos que o escoamento incide na direcao x. A escolha dos

pontos no interior do corpo onde colocaremos as singularidades e arbitraria, e de sua escolha

vai depender numa melhor ou pior representacao do escoamento.

Escolhemos sobre o corpo um numero de pontos igual ao numero de singularidades onde

queremos impor a condicao de contorno. A seguir determinamos os cossenos diretores do

vetor da normal aos pontos do contorno e entao os coeficientes de influencia. Resolvemos a

equacao

[A]q = c (10.23)

onde: [A] e a matriz dos coeficientes Aij, q vetor de dos coeficientes qj e c o vetor

independente, vetor dos cossenos diretores nx,i = cos(ni, xi).

Assim, temos que fornecer as coordenadas dos pontos onde vamos aplicar as condicoes de

contorno e os respectivos cossenos diretores nx e ny. O algoritmo programado preve que se

forneca pontos ao longo do contorno ordenados de 1 a N percorrendo o contorno do corpo,

mantendo seu interior a nossa esquerda. Assim, o corpo e substituıdo por um polıgono.

Os pontos sobre o corpo, onde queremos satisfazer a condicao de contorno, sao os pontos

medios dos lados do polıgono. A figura 10.4 mostra detalhes sobre um elemento do corpo.

Este elemento, elemento i une os pontos i e i+ 1. Observando-se a figura temos

t = txi + tyj (10.24)

tx = cos(t, x) = cosα =∆x

s(10.25)

ty = cos(t, y) = sinα =∆y

s(10.26)

∆x = xi+1 − xi; ∆y = yi+1 − yi; s =√

∆x2 + ∆y2 (10.27)

n = nxi + nyj (10.28)

nx = cos β = cos(α + π/2) = − sinα = −tx (10.29)

ny = sin β = sin(α + π/2) = cosα = ty (10.30)

Convem ressaltar que a melhor escolha e aquela em que as fontes e/ou os sumidouros sao

colocados nos pontos medios onde sao aplicadas as condicoes de contorno. Isto aparentemente

cria uma singularidade no coeficiente de influencia. Entretanto, esta dificuldade pode ser

ultrapassada analiticamente. Assim procedendo, temos

Aii = −0.5 (10.31)


Figura 10.4: Relacoes geometricas em um elemento


10.2.4 Outras Propriedades

Uma vez obtidas as intensidades das fontes, podemos entao determinar as velocidades, as

aceleracoes, as pressoes e a funcao de corrente:

1. Velocidades

vx =∂Φ

∂x= U

(1 +

n∑j=1

qj2π

x− ηj|rj − ri|2

)(10.32)

vy =∂Φ

∂y= U

n∑j=1

qj2π

y − ξj|rj − ri|2

(10.33)

2. Aceleracoes

ax =∂vx∂t

+ vx∂vx∂x

+ vy∂vx∂y

(10.34)

ay =∂vy∂t

+ vx∂vy∂x

+ vy∂vy∂y

(10.35)

3. Pressoes

p = −ρ∂Φ

∂t+

1

2| ∇Φ |2

= −ρ

U [1 +

n∑j=1

qj2π

ln |rj − ri|]

+U2

2

1 + 2n∑j=1

qj2π


+

(n∑j=1

qj2π


)2

+

(n∑j=1

qj2π

y − ξj|rj − ri|2

)2(10.36)

4. Funcao de Corrente

Ψ = U(y +∑j

qj2πθj) θj = arctan

(y − ξjx− ηj

)(10.37)

Observemos que se trata de uma funcao constante ao longo de cada linha de corrente.

Se quisermos tracar as linhas de corrente, deveremos determinar o conjunto dos pontos

(x, y), | Ψ = C, o lugar geometrico dos pontos para os quais Ψ = C.


10.2.5 Forca Atuando sobre o Corpo

A forca atuante sobre o corpo e dado pela integral da forca elementar em cada elemento do

contorno pnds, isto e:

F =

∫S

pnds (10.38)

Considerando a pressao constante ao longo de cada elemento do polıgono a integral pode ser

discretizada em um somatorio:

F = n∑i=1

pinx,i∆sii + n∑i=1

piny,i∆sij (10.39)

Assim, as forcas nas direcoes Ox e Oy sao dadas por:

Fx = n∑i=1

pinx,i∆si (10.40)

Fy = n∑i=1

piny,i∆si (10.41)

10.3 Solucao da Equacao de Laplace por Separacao de

Variaveis

A equacao de Laplace em coordenadas polares e dada por

∂2φ

∂r2+∂φ

r∂r+

∂2φ

r2∂θ2= 0 (10.42)

Aplicando entao o metodo de separacao de variaveis de forma tal que

φ(r, θ) = R(r)Θ(θ) (10.43)

e substituindo na equacao de Laplace obtemos:

R′′Θ +

1

r2RΘ′′ +

1

rR′Θ = 0 (10.44)

ou entao

r2R′′

R+ r

R′

R= −Θ

′′

Θ= ±λ2 (10.45)


Em que o primeiro membro e uma funcao exclusiva de r e o segundo membro e funcao

somente de Θ, sendo assim, a igualdade so e possıvel se ambos forem iguais a uma constante

λ2. Separando a expressao acima em duas equacoes diferenciais ordinarias temos:

r2R′′

+ rR′ − (±λ2)R = 0 (10.46)

Θ′′ ± λ2Θ = 0 (10.47)

A equacao em R(r) e a equacao diferencial de Euler.

Observemos agora as possıveis solucoes de acordo com os valores de λ:

1. caso λ = 0

- a equacao em θ e agora

Θ′′

= 0 (10.48)

cuja solucao e da forma:

Θ = a1 + a2θ (10.49)

- a equacao para R e:

rR′′

+R′= 0 (10.50)

fazendo R′= G obtemos

rdG

dr+G = 0 (10.51)

oudG

G= −dr

r(10.52)

que integrada conduz a

lnG = − ln r ou G =1

r(10.53)

e assim

R′= G =

1

r→ R = a3 ln r + a4b1 (10.54)

- compondo essas duas solucoes obtemos:

φ = b1 + b2θ + b3 ln r + b4 ln rθ (10.55)

- observamos que b2θ representa a presenca de um vortice no escoamento, enquanto

b3 ln r representa uma fonte ou um sumidouro.

2. caso em que λ 6= 0


- a equacao em θ e agora

Θ′′ ± λ2Θ = 0 (10.56)

cujas solucoes sao:

Θ = c1senλθ + c2 cosλθ (10.57)

e

Θ = c1 e λθ + c2 e −λθ (10.58)

- a equacao para R e:

r2R′′

+ rR′ − (±λ2)R = 0 (10.59)

introduzindo R = rn temos R′

= nrn−1 e R′′

= n(n − 1)rn−2, que substituindo

acima conduz a:

r2[n(n− 1)]rn−2 + rnrn−1 ± λ2rn = 0 (10.60)

e assim n = ±λ e

R = c3rλ + c4r

−λ (10.61)

- compondo essas solucoes temos:

φ(r, θ) = d1rλsen(λθ) + d2r

λ cos(λθ) + d3r−λsen(λθ)+

d4r−λ cos(λθ) + d5r

λ e λθ + d6rλ e −λθ + d7r

−λ e λθ + d8r−λ e −λθ (10.62)

- observamos que para λ = 1:

φ1(r, θ) = d1rλsen(λθ) = d1rsen(θ) e φ2(r, θ) = d2r

λ cos(λθ) = d2r cos(θ)

(10.63)

representam escoamentos retilıneos nas direcoes y e x

φ3(r, θ) = d3r−λsen(λθ) = d3

sen(λθ)

re φ4(r, θ) = d4r

−λ cos(λθ) = d4cos(θ)

r(10.64)

representam dipolos.

10.3.1 Solucao Fundamental: A Funcao de Green

A solucao logarıtmica obtida acima e chamada de solucao fundamental. E a solucao da

equacao de Laplace com uma singularidade na origem e tambem obtida como solucao da

equacao de Poisson∂2φ

∂r2+∂φ

r∂r+

∂2φ

r2∂θ2= δ(r = 0) (10.65)

onde δ representa a ”funcao”delta de Dirac.


10.4 Representacao da Funcao φ por uma Integral de

Contorno

Nesta secao vamos desenvolver a equacao integral equivalente ao problema de valor de con-

torno para obtencao da solucao da equacao de Laplace para escoamentos em domınio externo

em um domınio fluido bi-dimensional.

O domınio fluido e definido por Ω, com contorno S. O domınio Ω contem em seu interior o

domınio interior Ωc, com contorno Sc. O contorno S e formado pela uniao S∞ e Sc.

Pela segunda identidade de Green temos∫ ∫Ω

(G∇2F − F∇2G)dΩ =

∫S

(G∂F

∂n− F ∂G

∂n)ds (10.66)

onde F tem segundas derivadas contınuas no domınio Ω com contorno S, n e o vetor normal

ao contorno voltado para o exterior do domınio Ω, ds o elemento de linha do contorno e G a

funcao de Green tal que:

∇2G = δ(r − r0). (10.67)

Para o caso bidimensional G = ln(r − r0)/(2π).

Tomemos dois pontos no domınio Ω, A e B. Em torno do ponto A definimos um cırculo

Sε com raio ε e o domınio interior Ωε. O ponto B encontra-se localizado em S. Definimos

tambem o domınio Ω0, tal que Ω = Ω0

⋃Ωε. Aplicando a segunda identidade de Green a φc

em Ω0 obtemos:∫ ∫Ω0

(G(A,B)∇2φc(A)− φc(A)∇2G(A,B))dΩ =

∫Sε

(G(A,B)∂φc(A)

∂n− φc(A)

∂G(A,B)

∂n)ds

+

∫Sc

(G(A,B)∂φc(B)

∂n− φc(B)

∂G(A,B)

∂n)ds+

∫S∞

(G(A,B)∂φc(B)

∂n− φc(B)

∂G(A,B)

∂n)ds.

(10.68)

Como A nao pertence a Ω0, a integral sobre o domınio Ω0 e nula. O vetor normal a Sε esta

orientado para dentro do cırculo e no limite, quando rc → 0, Ω0 → Ω e

limrε→0

∫Sε

(G∂φc∂n− φc

∂G

∂n)ds = lim

rε→0

∫Sε

(−G∂φc∂rε

+ φc∂G

∂rε)ds

=

∫Sε

φc1

2πrεrεdθ =

1

2πφc

∫Sε

dθ =1

2πφc2π = φc (10.69)

Caso o ponto A pertenca ao contorno nao podemos circunda-lo totalmente com um cırculo,

mas com um semi-cırculo. Neste caso o ”angulo solido”nao seria mais 2π porem π e o resultado


obtido acima seria multiplicado por 1/2. Se o ponto A esta localizado fora do domınio Ω

nao existe a integral em Sε, o que equivale a multiplicarmos o resultado acima por zero.

Introduzindo este resultado em (10.68) obtemos

cφc =

∫Sc

φc∂G

∂nds+

∫S∞

φc∂G

∂nds−

∫Sc

∂φc∂n

Gds−∫S∞

∂φc∂n

Gds (10.70)

onde c = 1, 1/2, 0 para pontos em Ω, Sc e Ωc, respectivamente.

Assumindo que o comportamento de φc para grandes distancias e dado por

limr→∞

φc = α ln r (10.71)

entao a integral ao longo de S∞ anula-se∫S∞

(G∂φc∂n− φc

∂G

∂n)ds = 0 (10.72)

e teremos a seguinte equacao integral para determinacao do potencial φ:

cφc =

∫Sc

φc∂G

∂nds−

∫Sc

∂φc∂n

Gds (10.73)

Esta equacao integral estabelece o problema de obtencao da funcao φ em todo o domınio se

conhecermos φ e ∂φ/∂n no contorno do domınio. Dizemos que esta e a formulacao direta

para obtermos a funcao atraves de uma integral de contorno.

Consideremos novamente a equacao (10.70) sem nenhuma suposicao sobre o comportamento

da funcao φ para grandes distancias. Aplicando a identidade de Green (10.66) para φc em Ωc

(um problema interno fictıcio), obtemos:

cφc =

∫Sc

φc∂G

∂ncds−

∫Sc

∂φc∂nc

Gds (10.74)

onde c = 1− c e nc = −n.

Somando as duas expressoes (10.70) e (10.74) temos

c φc + c φc =

∫Sc

∂G

∂n(φc − φc)ds+

∫S∞

φc∂G

∂nds

+

∫Sc

G(∂φc∂n− ∂φc∂n

)ds−∫S∞

∂φc∂n

Gds (10.75)

Assumindo a continuidade da funcao potencial junto ao contorno Sc, isto e φc = φc, uma

descontinuidade na derivada na direcao normal a Sc, (∂φc/∂n)− (∂φc/∂n) = γ devida a uma

distribuicao de fontes e teremos

φc =

∫Sc

γGds+

∫S∞

(G∂φc∂n− φc

∂G

∂n)ds (10.76)


Assumindo que o comportamento de φc para grandes distancias e dado por

limr→∞

φc = α ln r (10.77)

entao a integral ao longo de S∞ anula-se, e longe do corpo

φc =1

2π

∫Sc

γ(s)ds lnR +O(R−1) (10.78)

e

| ∇φc |=1

2π|∫Sc

γ(s)ds | 1

R+O(R−2) (10.79)

Assim:

φc =

∫Sc

γGds (10.80)

Consideremos que este potencial de velocidades tem que satisfazer uma condicao de contorno

de derivada normal na forma (10.86). Aplicando esta condicao a equacao (10.80) teremos:

∂φc∂n

=∂

∂n

∫Sc

γGds (10.81)

A integral sobre o contorno apresenta uma singularidade, quando r = 0. Assim, de forma

semelhante ao que fizemos acima, contornamos o ponto com um semi-cırculo de raio ε,

excetuando-o do domınio, obtendo

∂φc∂n

= limε→0

∫Sε

γ∂G

∂nds+ PV

∫Sc

γ∂G

∂nds (10.82)

onde a segunda integral deve ser entendida como uma integral de valor principal de Cauchy.

A integral em torno do semi-cırculo fornece:

limε→0

∫Sε

γ∂G

∂nds = −

∫Sε

γ1

2πrεrεdθ = − 1

2πγ

∫Sε

dθ = − 1

2πγπ = −γ

2(10.83)

Introduzindo este resultado em (10.82) teremos finalmente

∂φc∂n

= −1

2γ + PV

∫Sc

γ∂

∂n

ln r

2πdS = g(xc, yc) (10.84)

que e a equacao a ser satisfeita no contorno.


10.4.1 Resumo

O problema que temos pra resolver e a equacao de Laplace:

∇2φ = 0 (10.85)

em que conhecemos a forma do comportamento da funcao ou sua derivada normal em partes ou

em todo o contorno. Como sabemos, a equacao de Laplace tem solucao unica se conhecermos

ao longo de todo o contorno ou a funcao ou sua derivada ou combinacao linear de ambas.

Assim, se o contorno do problema e a linha S = S1

⋃S2

⋃S3 e

∂φ

∂n= f(x, y) (10.86)

em S1,

φ = g(x, y) (10.87)

em S2 e

α∂φ

∂n+ βφ = h(x, y) (10.88)

em S3, a equacao de Laplace tem solucao unica.

Na realidade existe uma particularidade em escoamentos externos bidimensionais no que

diz respeito a circulacao no infinito. Para garantir a unicidade e necessario uma condicao

adicional. No tratamento que sera dado aqui esta condicao nao sera discutida e estara sempre

satisfeita automaticamente.

Aqui nos ateremos somente ao problema em que conhecemos φ em Sa correspondente a parte

ou todo o contorno e conhecemos ∂φ/∂n na parte complementar de Sa.

O problema de valor de contorno e transformado em uma equacao integral equivalente para

determinacao do potencial φ na forma:

cφ =

∫S

φ∂G

∂nds−

∫S

∂φ

∂nGds (10.89)

onde c = 1, 1/2, 0 para pontos no domınio, no contorno S e fora do domınio, respectivamente,

e a funcao G e a solucao fundamental da equacao de Poisson com termo nao homogeneo dado

pelo δ de Dirac:

G =ln r

2πdS = g(xc, yc) (10.90)

Esta equacao integral estabelece o problema de obtencao da funcao φ em todo o domınio fluido

se conhecermos φ e ∂φ/∂n no contorno do domınio fluido. Dizemos que esta e a formulacao

direta para obtermos a funcao atraves de uma integral de contorno.


Observemos que se conhecemos φ somente em parte do contorno, nao podemos calcular a

integral acima para obtencao φ em todo o domınio. O mesmo se da para ∂φ/∂n. Assim, nossas

incognitas sao os valores de φ e sua derivada normal em partes do contorno. Nossas incognitas

encontram-se no integrando, o que caracteriza uma equacao integral. Nosso problema e obter

φ e sua derivada normal em todo o contorno e consequentemente obter φ em todo o domınio.

Outra forma de representar o problema por uma equacao integral sera obtida, e chamamos

de metodo indireto. O potencial e dado pela seguinte integral

φ =

∫S

γGds (10.91)

Este potencial tem que satisfazer uma condicao de contorno de derivada normal na forma

∂φ

∂n= −1

2γ + PV

∫Sγ∂G

∂ndS = g(xS, yS) (10.92)

Temos novamente uma Equacao Integral para obtencao do potencial φ conhecendo-se a forma

de sua derivada normal no contorno. Nossa incognita agora e a funcao γ ao longo do contorno.

10.4.2 Discretizacao da Equacao Integral para a Formulacao Direta

Na secao anterior desenvolvemos a expressao do potencial em termos de uma integral de ao

longo do contorno:

cφc(A) =

∫Sc

φc(B)∂G(A,B)

∂nBds−

∫Sc

∂φc(B)

∂nBG(A,B)ds (10.93)

Discretizando o contorno usando N elementos retilıneos e assumindo que:

∫S

φc∂G

∂nBdsB =

N∑j=1

∫Sj

φc∂

∂nB

ln rc,j2π

dsB (10.94)

∫S

∂φc∂nB

GdsB =N∑j=1

∫Sj

∂φc∂nB

ln rc,j2π

dsB (10.95)

onde rc,j =√

(x− ξj)2 + (y − ηj)2 e (ξj, ηj) e um ponto no segmento sj.

Para tal consideremos um sistema local de coordenadas Oxj yj, no elemento j, e determinamos

os coeficientes de influencia no ponto medio do elemento i. As coordenadas do ponto medio

do elemento i, em um sistema local em j sao (x(i)j ,y

(i)j ).


A derivada normal no sistema de referencia global e dada por

∂G(i)j

∂nB= g

(i)η,j =

∂G(i)j

∂η(10.96)

A influencia de um elemento sobre si mesmo e:

∂G(i)i

∂nB=∂G

(i)i

∂η= −1

2(10.97)

Considerando todos os elementos do corpo obtemos a seguinte expressao para a derivada

normal da funcao de Green no corpo∫s

φc∂G

∂nds =

∑j

∫sj

φc∂

∂ηln r

(i)l,j dsj (10.98)

e ∫s

∂φc∂nB

Gds =∑j

∫sj

∂φc∂nB

ln r(i)l,j dsj (10.99)

onde r(i)l,j =

√(x

(i)j − xj)2 + y

(i)2j .

As distribuicoes de φc e ∂φc/∂n em cada elemento:

1. distribuicoes pontuais no centro dos elementos, assim∫sj

∂φc∂n

ln r(i)l,j dsj =

∂φc,j∂n

ln r(i)l,j∆sj (10.100)

e ∫sj

φc2π

∂

∂nln r

(i)l,j dsj =

φc,j2π

∂

∂nln r

(i)l,j∆sj (10.101)

onde ∆sj e o comprimento do elemento j.

2. distribuicoes uniformes em cada elemento

φ(sj) = φj (10.102)

e∂φc(sj)

∂n=∂φc,j∂n

(10.103)


3. distribuicoes lineares em cada elemento

φc(sj) = φc,j + βjsj (10.104)

e∂φc(sj)

∂n=∂φc,j∂n

+ ηjsj (10.105)

onde

βj = (φc,j+1 − φc,j)/∆sj (10.106)

e

ηj = (∂φc,j+1

∂n− ∂φc,j

∂n)/∆sj (10.107)

Em todos os dois casos vamos supor que os pontos onde impomos a condicao de contorno

estao localizados no centro de cada elemento.

Embora os pontos final e inicial do contorno coincidam, nao vamos impor para o caso da

distribuicao linear que a priori φc e ∂φc/∂n nesses pontos sejam iguais. Assim teremos duas

incognitas a mais que o numero de equacoes. De acordo com o problema impomos condicoes

adicionais. Podemos escrever que para o centro do elemento i vale:

n∑j=1

∂G(k)ij

∂njφc,j −

n∑j=1

G(k)ij

∂φc,j∂nj

= 0 (10.108)

onde ∂G(k)ij /∂n e G

(k)ij sao os coeficientes de influencia e o ındice k superescrito refere-se a

forma de consideracao da distribuicao: k = 0 para o caso de distribuicao pontual, k = 1 para

distribuicao uniforme e k = 2 para distribuicao linear.

No caso de usarmos distribuicoes pontuais, os coeficientes de influencia sao dados por:

∂G(0)ij

∂n=

[cosαj(yi − yj) + sinαj(xi − xj)] ∆sj/(2πr

2ij) se i 6= j

−1/2 se i = j(10.109)

G(0)ij =

ln rij∆sj/(2π) se i 6= j

−∆sj/(2π) se i = j(10.110)

No caso de uma distribuicao uniforme temos:

∂G(1)ij

∂n= Iij/(2π) (10.111)

G(1)ij = Bij/(2π) (10.112)


onde

Iij =

arctan(x

(i)j /y

(i)j )− arctan((x

(i)j −∆sj)/y

(i)j ) se i 6= j

−π se i = j(10.113)

Iij = r(2)ij − r

(1)ij (10.114)

r(1)ij =

√x

(i) 2j + y

(i) 2j r

(2)ij =

√(x

(i)j −∆sj)2 + y

(i) 2j (10.115)

Bij = x(i)j ln r

(1)ij − (x

(i)j −∆sj) ln r

(2)ij −∆sj + y

(i)j Iij (10.116)

Devido a dificuldades numericas no tratamento da funcao arctan torna-se mais conveniente

avaliar a diferenca da seguinte forma:

arctan(x(i)j /y

(i)j )− arctan((x

(i)j −∆sj)/y

(i)j ) =

arctan(y(i)j /(x

(i)j −∆sj))− arctan(y

(i)j /x

(i)j ) (10.117)

Usando a distribuicao linear, temos N + 1 valores de φj e φn,j e N pontos de aplicacao da

condicao de contorno. Os coeficientes de influencia sao relativos a dois elementos adjacentes,

uma vez que os φj’s e os φn,j’s sao tomados nos extremos do elemento, entao temos:

∂G(2)ij

∂n= (1− δ(j,N + 1))(Iij − Lij) + Lij−1 /(2π) (10.118)

G(2)ij = (1− δ(j,N + 1))

[1

2π

(Bij −

Pij∆sj

)]+

1

2π

Pij−1

∆sj−1

(10.119)

onde

δ(j,N + 1) =

0 for j 6= N + 1

1 for j = N + 1(10.120)

Pij =1

2

(x

(i)2j ln r

(1)ij + (x

(i)j −∆sj)

2 ln r(2)ij

)− x(i)

j (x(i)j −∆sj) ln r

(2)ij

−1

2x

(i)j ∆sj + x

(i)j y

(i)j Iij −

∆s2j

4+ y

(i)2j

Aij2

(10.121)

Lij = (Iij xij + Aij yij)/∆sj (10.122)

Mij = 1 + (Aij xij − Iij yij)/∆sj (10.123)

No caso de distribuicao linear, devemos considerar nessas equacoes que quando j = 1 entao

os termos em j − 1 nao tem sentido, devendo ser eliminados.


10.4.3 Discretizacao da Equacao Integral para a Formulacao Indi-

reta

Como foi visto no capıtulo anterior, podemos escrever o potencial de velocidades como a

integral de uma distribuicao de fontes ao longo do contorno:

∂φc(A)

∂nA= −1

2γ + PV

∫Sc

γ∂

∂nAG(A,B)dS = un (10.124)

Discretizando o contorno usando N elementos retilıneos obtemos

φc =N∑j=1

∫Sj

γj(sj)ln rc,j

2πds (10.125)

onde rc,j =√

(x− ξj)2 + (y − ηj)2 e (ξj, ηj) e um ponto no segmento sj.

Considerando um sistema local de coordenadas Oxj yj, no elemento j, a velocidade no ponto

medio do elemento i e dada por

u(i)j =

∂φj∂xj

(x(i)j , y

(i)j ) (10.126)

v(i)j =

∂φj∂yj

(x(i)j , y

(i)j ) (10.127)

onde (x(i)j ,y

(i)j ) sao as coordenadas do ponto medio do elemento i.

No sistema global de coordenadas, as componentes da velocidade no elemento i devidas a

distribuicao de fontes no elemento j sao:

u(i)j = u

(i)j cosαj − v(i)

j sinαj (10.128)

v(i)j = u

(i)j sinαj + v

(i)j cosαj (10.129)

onde αk e o angulo do elemento k com o eixo x

A velocidade normal no sistema de referencia global e dada por

v(i)n,j = −u(i)

j sinαi + v(i)j cosαi = u

(i)j sin(αj − αi) + v

(i)j cos(αj − αi) (10.130)

A velocidade induzida por um elemento sobre si mesmo e:

v(i)n,i = v

(i)i =

∂φi∂yi

(10.131)

Esta velocidade corresponde ao termo −γ/2 da equacao (10.84).


Considerando todos os elementos do corpo obtemos a seguinte expressao para a velocidade

normal no corpo devida a distribuicao de fontes

v(i)c,n =

∑j

sin(αj − αi)∂

∂xj

∫sj

γ(sj)

2πln r

(i)l,j dsj

+∑j

cos(αj − αi)∂

∂yj

∫sj

γ(sj)

2πln r

(i)l,j dsj (10.132)

onde r(i)l,j =

√(x

(i)j − xj)2 + y

(i)2j .

Usando a expressao (10.132) na equacao (10.84) podemos escrever

v(i)inc,n +

∑j

sin(αj − αi)∂

∂xj

∫sj

γ(sj)

2πln r

(i)l,j dsj

+∑j

cos(αj − αi)∂

∂yj

∫sj

γ(sj)

2πln r

(i)l,j dsj = 0 (10.133)

Utilizando para a funcao γ em cada elemento, concentracoes pontuais no centro dos elementos,

ou distribuicoes uniformes e lineares em cada elemento, obtemos:

1. distribuicoes concentrada no centro dos elementos:∫sj

γ(sj)

2πln r

(i)l,j dsj =

γj2π

ln r(i)l,j∆sj (10.134)

onde ∆sj e o comprimento do elemento j.

2. distribuicoes uniformes em cada elemento:

γ(sj) = γj (10.135)

3. distribuicoes lineares em cada elemento:

γ(sj) = γj + βjsj (10.136)

onde

βj = (γj+1 − γj)/∆sj (10.137)

Em todos os tres casos vamos supor que os pontos onde impomos a condicao de contorno

estao localizados no centro de cada elemento.


Embora os pontos final e inicial do contorno coincidam, para o caso da distribuicao linear,

nao vamos impor a priori que γj nesses pontos sejam iguais. Assim teremos duas incognitas

a mais que o numero de equacoes. De acordo com o problema impomos condicoes adicionais.

Com estas tres formas de distribuicao de fontes podemos escrever, a partir da equacao (10.133)

que no centro do elemento i valem

v(i)inc,n +

n∑j=1

D(k)ij γj = 0 (10.138)

onde D(k)ij sao os coeficientes de influencia e o ındice k superescrito refere-se a forma de

consideracao da distribuicao: k = 0 para o caso de fontes pontuais, k = 1 para distribuicao

uniforme e k = 2 para distribuicao linear.

No caso de usarmos fontes pontuais os coeficientes de influencia sao dados por:

D(0)ij =

(cosαi(yi − yj)/r2

ij + sinαi(xi − xj)/r2ij

)∆sj/(2π) se i 6= j

−1/2 se i = j(10.139)

No caso de uma distribuicao uniforme temos:

D(1)ij = cos(αj − αi)Iij − sin(αj − αi)Aij/(2π) (10.140)

onde

Iij =

arctan(x

(i)j /y

(i)j )− arctan((x

(i)j −∆sj)/y

(i)j ) =

arctan(y(i)j /(x

(i)j −∆sj))− arctan(y

(i)j /x

(i)j ) se i 6= j

−π se i = j

(10.141)

Aij = ln r(2)ij − ln r

(1)ij (10.142)

r(1)ij =

√x

(i) 2j + y

(i) 2j r

(2)ij =

√(x

(i)j −∆sj)2 + y

(i) 2j (10.143)

Usando a distribuicao linear, temos N + 1 incognitas γj e N pontos de aplicacao da condicao

de contorno. Os coeficientes de influencia sao relativos a dois elementos adjacentes, uma vez

que os γj’s sao tomados nos extremos do elemento, entao temos:

D(2)ij = (1− δ(j,N + 1)) (cos(αj − αi)(Iij − Lij)− sin(αj − αi)(Aij −Mij)) (10.144)

+ cos(αj−1 − αi)Lij−1 − sin(αj−1 − αi)Mij−1 /(2π) (10.145)

onde

δ(j,N + 1) =

0 for j 6= N + 1

1 for j = N + 1(10.146)


Lij = (Iij xij + Aij yij)/∆sj (10.147)

Mij = 1 + (Aij xij − Iij yij)/∆sj (10.148)

No caso de distribuicao linear, devemos considerar nessas equacoes que quando j = 1 entao o

termo j − 1 deve ser eliminado.

Podemos escrever a equacao (10.138) como

Dγ = −vn (10.149)

10.5 Acao de Ondas em Corpos de Grandes Dimensoes

Nesta secao vamos apresentar o uso do metodo indireto para o calculo da acao de ondas

em corpos de grandes dimensoes utilizando o metodo da integral de contorno para um caso

tridimensional, com uma funcao de Green que satisfaz as condicoes de contorno no fundo,

na superfıcie livre e a condicao de radiacao para grandes distancias. Assim, veremos que a

distribuicao de singularidades e feita somente ao longo da superfıcie do corpo.

Consideremos um corpo de grandes dimensoes, localizado flutuando na superfıcie livre, tendo

seus movimentos restringidos. Vamos admitir que uma onda monocromatica propaga-se na

superfıcie livre e que sua mecanica seja bem descrita pela solucao linear. Vamos admitir

que o comprimento da onda e da mesma ordem das dimensoes do corpo de tal forma que a

onda seja perturbada por sua presenca. Nestes casos a onda incidente sofre forte modificacao

nas suas caracterısticas, originando uma onda que se propaga do corpo para o meio, onda

difratada, e que interferira com a onda incidente. Como ainda sao validas as hipoteses de fluido

incompressıvel e, a menos de efeitos locais, as forcas viscosas sao desprezıveis, o problema de

valor de contorno estabelecido anteriormente continua valendo. Entretanto, junto ao corpo

deve ser imposta uma condicao de contorno que represente a impenetrabilidade do corpo.

Assim, se φ e o potencial total tal que

φ = φinc + φdif (10.150)

onde φdif e o potencial de difracao, junto ao corpo deve valer a condicao:

∂φ

∂n=∂φinc∂n

+∂φdif∂n

= 0. (10.151)

Isto implica em que∂φdif∂n

= −∂φinc∂n

(10.152)

Linearizando as condicoes de contorno cinematica e dinamica na superfıcie livre e introduzindo

a condicao de radiacao obtemos o seguinte problema de valor de contorno para determinacao

do potencial φdif :


- em todo domınio fluido

∇2φdif = 0 (10.153)

- em z = 0.

ω2φdif − g∂φdif∂z

= 0 (10.154)

- no fundo, z = −d,∂φdif∂z

= 0 (10.155)

- junto ao corpo∂φdif∂n

= −∂φinc∂n

(10.156)

- condicao de radiacao para R =√x2 + y2 + z2 →∞

limR→∞

√R(∂φdif∂R

+ iωφdif ) = 0 (10.157)

Desenvolvemos agora a equacao integral equivalente a este problema de valor de contorno e

posteriormente, aplicando a tecnica da funcao de Green desenvolveremos um algoritmo para

sua solucao.

Pela segunda indentidade de Green a funcao φdif pode ser determinada com auxılio da funcao

de Green G atraves de

φdif =1

4π

∫ ∫S

(G∂φdif∂n

− φdif∂G

∂n)dS (10.158)

onde n e a normal voltada para fora do domınio fluido e ST e a superfıcie que delimita o

domınio fluido de interesse. No caso ST e composta da superfıcie do corpo SC , da superfıcie

SL−C em z = 0 excetuando a regiao do corpo, da superfıcie do fundo SF e da superfıcie

bastante longe do corpo SR, distando R =√x2 + y2 do centro de ordenadas, formando um

cilindro de secao circular, com base no fundo e de raio R, estendendo-se ate a superfıcie z = 0.

Isto e,

S = SC⋃

SL−C⋃

SF⋃

SR (10.159)

A partir da expressao acima podemos escrever:

φdif =1

4π

∫ ∫SC

(G∂φdif∂n

− φdif∂G

∂n)dS +

1

4π

∫ ∫SL−C

(G∂φdif∂n

− φdif∂G

∂n)dS

+1

4π

∫ ∫SF

(G∂φdif∂n

− φdif∂G

∂n)dS +

1

4π

∫ ∫SR

(G∂φdif∂n

− φdif∂G

∂n)dS (10.160)


A funcao de Green e a solucao fundamental da equacao de Poisson

∇2G = δ(R−R0) (10.161)

Para o caso tridimensional a funcao de Green, e G = 1/|R − R0|. Podemos, entretanto,

complementar a solucao com funcoes que satisfacam todas ou algumas condicoes de contorno.

Assim, consideremos a funcao complementar F tal que

G =1

R+ F (10.162)

e G safisfaca as condicoes de contorno no fundo (10.155), na superfıcie livre (10.154) e na

superfıcie SR, assim∂G

∂z= 0 (10.163)

e

ω2G− g∂G∂z

= 0 (10.164)

em z = −d e z = 0 respectivamente. Entao, na superfıcie livre temos:

∂G

∂z=ω2

gG (10.165)

que e similar ao comportamento de φdif na superfıcie livre, obtido de (10.154)

∂φdif∂z

=ω2

gφdif (10.166)

Disto decorre: ∫ ∫SF

(G∂φdif∂n

− φdif∂G

∂n)dS = 0 (10.167)

e ∫ ∫SL−C

(G∂φdif∂n

− φdif∂G

∂z)dS =

∫ ∫SL−C

(Gω2

gφdif − φdif

ω2

gG)dS = 0 (10.168)

Na superfıcie SR temos:

limR→∞

∫ ∫SR

(G∂φdif∂n

− φdif∂G

∂n)dS = lim

R→∞

∫ ∫SR

(G∂φdif∂R

− φdif∂G

∂R)dS (10.169)

uma vez que a derivada em n e igual a derivada em R, e somando e subtraindo ik0Gφdif

limR→∞

∫ −∞0

dz

∫ 2π

0

R1/2R1/2(G∂φdif∂R

− φdif∂G

∂R)dθ =

limR→∞

∫ −∞0

dz

∫ 2π

0

R1/2R1/2(G∂φdif∂R

+ ik0Gφdif − ik0Gφdif − φdif∂G

∂R)dθ =


limR→∞

∫ −∞0

dz

∫ 2π

0

[R1/2GR1/2(∂φdif∂R

+ ik0φdif )−R1/2φdifR1/2(

∂G

∂R+ ik0G)]dθ (10.170)

Pela condicao de radiacao temos que:

- R1/2G e R1/2φdif sao limitados e

- R1/2(∂φdif/∂R + ik0φdif ) tende a zero quando R→∞

- R1/2(∂G/∂R + ik0G) tende a zero quando R→∞

Assim sendo,

limR→∞

∫ ∫SR

(G∂φdif∂n

− φdif∂G

∂n)dS = 0 (10.171)

Reunindo esses resultados, temos que a expressao que fornece a representacao integral do

potencial, resume-se a uma integracao sobre a superfıcie do corpo, ou seja:

φdif (M) =1

4π

∫ ∫SC

(G∂φdif∂n

− φdif∂G

∂n)dS (10.172)

Esta expressao fornece o potencial de velocidades da difracao das ondas em todo

o domınio fluido, atraves de uma integracao ao longo do contorno do corpo,

conhecendo-se a funcao de Green para o problema de valor de contorno e o

potencial e sua derivada no contorno do corpo. Esta expressao e resolvida nu-

mericamente, discretizando-se o contorno e aplicando, por exemplo, o metodo de

elementos de contorno, determinando-se o potencial em todo o campo. Neste caso

dizemos estar aplicando o metodo direto.

Considerando agora:

- ψ, um potencial de velocidades fictıcio que representa o fluido que ocupa a regiao interna

ao corpo,

- De e Di os domınios externo e interno, respectivamente,

- n e n os vetores normais ao contorno externo e interno, voltados para fora dos corre-

spondentes domınios, e

- M(x, y, z) um ponto pertencente ao domınio externo De,


podemos escrever as seguintes expressoes:

φdif (M) =1

4π

∫ ∫SC

(G∂φdif∂n

− φdif∂G

∂n)dS (10.173)

0 =1

4π

∫ ∫SC

(G∂ψ

∂n− ψ∂G

∂n)dS (10.174)

Devemos observar que (∂/∂n) = −(∂/∂n) pois os vetores normais n e n estao orientados para

o exterior dos domınios De e Di, respectivamente,

Somando (10.173) e (10.174) teremos:

φdif (M) =1

4π

∫ ∫SC

[G(∂φdif∂n

− ∂ψ

∂n)− ∂G

∂n(φdif − ψ)]dS (10.175)

Supondo agora que os potenciais φdif e ψ se igualem no contorno SC do corpo, isto e, φdif = ψ

em SC e definindo

q(P ) = q(ξ, η, ζ) =1

4π(∂φdif∂n

− ∂ψ

∂n) (10.176)

onde P = (ξ, η, ζ) e um ponto de SC , temos que o potencial de difracao e dado por:

φdif (M) =

∫ ∫SC

G(M,P )q(P )dSP (10.177)

ou

φdif (x, y, z) =

∫ ∫SC

G(x, y, z, ξ, η, ζ)q(ξ, η, ζ)dSξ,η,ζ (10.178)

Esta representacao mostra que o potencial de velocidades da difracao das ondas

pode ser obtido por uma integracao ao longo do contorno do corpo, conhecendo-

se a funcao de Green para o problema de valor de contorno tendo-se q(P ) como

incognita.

Esta expressao e entao resolvida numericamente, discretizando-se o contorno e

aplicando, por exemplo, o metodo de elementos de contorno, determinando-se

o potencial em todo o campo. Neste caso dizemos estar aplicando o metodo

indireto.

10.5.1 Resolucao do Problema de Valor de Contorno pelo Metodo

Indireto

A funcao de Green deve ser encontrada como solucao da equacao de Poisson, satisfazendo

as condicoes de contorno no fundo, na superfıcie livre e as condicoes de radiacao. Isto e,

satisfazendo todas as condicoes com excecao da condicao de contorno junto ao corpo.


Como a funcao de Green G(x, y, z, ξ, η, ζ) satisfaz a todas as condicoes com excecao da

condicao junto ao corpo, segue pelo princıpio da superposicao que o potencial φdif dado por

(10.178) tambem ira satisfaze-las, restando aplicar a condicao de contorno junto ao corpo.

Calculando a derivada normal do potencial de velocidades dado pela expressao (10.178) ter-

emos:

∂φdif (x, y, z)

∂n= −2πq(x, y, z) + PV

∫ ∫SC

q(ξ, η, ζ)∂G(x, y, z, ξ, η, ζ)

∂ndS (10.179)

O termo −2πq(x, y, z) aparece porque o potencial apresenta uma singularidade para os pontos

do campo que pertencam a superfıcie S, pois neste caso

(x− ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2 = 0. (10.180)

e esta singularidade da origem a uma integral impropria porem convergente.

Como estabelecido anteriormente o potencial de difracao satisfaz no contorno a condicao

(10.156). Substituindo esta expressao em (10.179) vamos obter uma equacao integral de

Fredholm de segunda especie cuja solucao nos fornece a funcao q(ξ, η, ζ):

−2πq(x, y, z) + PV

∫ ∫SC

q(ξ, η, ζ)∂G(x, y, z, ξ, η, ζ)

∂ndS =

∂φinc∂n

(10.181)

A partir do potencial de velocidades podemos com auxılio da integral da Equacao de Euler,

determinar as pressoes atuantes sobre o corpo e consequentemente as forcas.

10.5.2 Discretizacao da Integral de Superfıcie

Devido a grande complexidade apresentada pelo nucleo da equacao (10.181) aproximamos

a equacao integral por um sistema de equacoes lineares resolvendo-o por meio de algum

algoritmo do tipo eliminacao de Gauss ou congenere.

A superfıcie do corpo e discretizada por meio de elementos retangulares com area SC e a

intensidade das singularidades q e assumida constante ao longo de cada elemento. A equacao

(10.181) fica aproximada por:

−2πq(x, y, z) +N∑i=1

PV

∫ ∫∆Si

q(ξ, η, ζ)∂G(x, y, z, ξ, η, ζ)

∂ndS = P (x, y, z) (10.182)

onde N e o numero de elementos e P (x, y, z) = ∂φinc/∂n


Supomos que os pontos (x,y,z) da superfıcie SC coincidem com os centroides das facetas,

entao:

−2πqj(xj, yj, zj) +N∑

i=1,i 6=j

q(ξi, ηi, ζi)

∫ ∫∆Si

∂G(xj, yj, zj, ξ, η, ζ)

∂ndS = Pj(xj, yj, zj) (10.183)

Definindo a integral do nucleo por GNji

GNji =

∫ ∫∆Si

∂G(xj, yj, zj, ξ, η, ζ)

∂ndS (10.184)

obtemos:

−2πqj(xj, yj, zj) +N∑

i=1,i 6=j

GNjiq(ξi, ηi, ζi) = Pj(xj, yj, zj) (10.185)

Incorporando o termo −2πqj no somatorio, temos:

N∑i=1

GN∗jiq(ξi, ηi, ζi) = Pj(xj, yj, zj) (10.186)

ou na forma matricial

[GN∗]q = P (10.187)

Resolvendo o sistema (10.187) obtemos as intensidades complexas das singularidades qj.

10.5.3 Avaliacao das Forcas e Coeficientes Hidrodinamicos

Para avaliacao das forcas devemos determinar os valores das pressoes nos elementos com

auxılio da Equacao de Bernoulli. Mantendo a hipotese de que as pressoes hidrodinamicas nao

variem dentro de cada elemento, as forcas serao obtidas por simples somatorio dos valores em

cada elemento,

Finc = iωρ e iωtN∑i=1

φinc(xi, yi, zi)nk,i∆Si (10.188)

Fdif = iωρ e iωtN∑i=1

φdif (xi, yi, zi)nk,i∆Si (10.189)


10.5.4 A Funcao de Green

A maior parte do esforco computacional gasto para a solucao do problema numerico esta na

determinacao da funcao de Green e de suas derivadas nos pontos necessarios. Entre outras

existem duas formulcoes basicas para funcao de Green conforme Wehausen e Laitone, uma

delas envolvendo uma serie infinita e a outra apresentando uma integral com valor principal.

A funcao de Green na forma de uma serie infinita ja havia sido desenvolvida por John, sendo

expressa por

G =2π(ν2 − k2

0)

[(k20 − ν2)d+ ν]

cosh[k0(z + d)] cosh[k0(ζ + d)][Y0(k0r) + iJ0(k0r)]

+4N∑m=1

(µ2m + ν2)

(µ2m + ν2d− ν)

cos[µm(z + d)] cos[µm(ζ + d)]K0(µmr) (10.190)

onde:

- J0, Y0 e K0 sao as funcoes de Bessel de ordem 0

- r = [(x− ξ)2 + (y − η)2]1/2

- µm sao as solucoes da equacao

µm tan(µmd) + ν = 0 (10.191)

- ν e o numero de onda em aguas profundas

ν = ω2/g (10.192)

- g e a aceleracao da gravidade.

As derivadas da funcao de Green sao calculadas diretamente ja que a serie e uniformemente

convergente.

A funcao de Green pode ser dada tambem na forma uma integral de valor principal:

G =1

R+

1

R1

+ 2P.V.

∫ ∞0

(µ+ ν)e−µd cosh[µ(z + d)] cosh[µ(ζ + d)]J0(µr)

µ sinh(µd)− ν cosh(µd)dµ

−i2π(k2

0 − ν2)

(k20 − ν2)d+ ν

cosh[k0(z + d)] cosh[k0(ζ + d)]J0(k0r) (10.193)

onde

R = [r2 + (z − ζ)2]1/2 R1 = [r2 + (z + 2d+ ζ)2]1/2 (10.194)

Apendice A

Desenvolvimentos

A.1 Condicoes de contorno na Superfıcie do Corpo

Consideremos um navio movimentando-se na superfıcie livre do mar. Alem disto, considere-

mos dois sistemas de coordenadas, um sistema inercial Oxyz e um sistema solidario O′x′y′z′.

Facamos a hipotese que no instante t = t1 os sistemas coincidem e que no instante t = t2 o

sistema solidario tenha se deslocado de tal forma que o ponto O′

teve um deslocamento linear

ηl e o corpo tenha tido um movimento angular pequeno que pode ser escrito como um vetor

ηa.

Assim, um ponto P da superfıcie do corpo, que inicialmente esta na posicao de equilıbrio

estatico com um raio vetor r′, no segundo instante, P tem um raio vetor r e encontra-se

deslocado da posicao inicial de

α = ηl + ηa × r′ (A.1)

onde α, ηl e ηa sao vetores infinitesimais. Estes vetores estao mostrados na figura (??)

Os tres vetores r′, r e α formam um triangulo no espaco e entre eles vale a seguinte relacao:

r′ = r− α (A.2)

Deve-se notar que esta e uma relacao vetorial e pode ser decomposta em qualquer sistema de

referencia.

A condicao de contorno na superfıcie do corpo e

D

DtFc =

∂

∂tFc +∇φ · ∇Fc = 0 (A.3)

173


onde: ∇φ = V +∇φt e Fc(x′, y′, z′) = 0 e a equacao do casco no sistema O′x′y′z′ e

V = ∇(−Ux+ φST ) (A.4)

Assim:D

DtFc =

∂Fc∂x′

∂x′

∂t+∂Fc∂y′

∂y′

∂t+∂Fc∂z′

∂z′

∂t+

(V +∇φt) · [i(∂Fc∂x′

∂x′

∂x+∂Fc∂y′

∂y′

∂x+∂Fc∂z′

∂z′

∂x) + j(

∂Fc∂x′

∂x′

∂y+∂Fc∂y′

∂y′

∂y+∂Fc∂z′

∂z′

∂y)+

k(∂Fc∂x′

∂x′

∂z+∂Fc∂y′

∂y′

∂z+∂Fc∂z′

∂z′

∂z)] (A.5)

Desenvolvendo cada termo do segundo membro e lembrando que a derivada local deve ser

avaliada para r fixo, isto e, para r′ variavel, teremos:

∂Fc∂x′

∂x′

∂t+∂Fc∂y′

∂y′

∂t+∂Fc∂z′

∂z′

∂t= ∇′Fc ·

∂

∂t(−α) (A.6)

e para os termos convectivos:

i(∂Fc∂x′

∂x′

∂x+ ...) + j(

∂Fc∂x′

∂x′

∂y+ ...) + k(

∂Fc∂x′

∂x′

∂z+ ...) =

i(∇′Fc∂r′

∂x) + j(∇′Fc

∂r′

∂y) + k(∇′Fc

∂r′

∂z)

= i[∇′Fc · (i−∂α

∂x)] + j[∇′Fc · (j−

∂α

∂y)] + k[∇′Fc · (k−

∂α

∂z)] =

∇′Fc − i(∂α

∂x) · ∇′Fc − j(

∂α

∂y) · ∇′Fc − k(

∂α

∂z) · ∇′Fc (A.7)

com (A.6) e (A.7) em (A.5)

D

DtFc = −∂α

∂t·∇′Fc+(V+∇φt)·[∇′Fc−i(

∂α

∂x)·∇′Fc−j(

∂α

∂y)·∇′Fc−k(

∂α

∂z)·∇′Fc] = 0 (A.8)

Deve-se notar que esta equacao vale instantaneamente para qualquer posicao do corpo. Como

α e pequeno em relacao as dimensoes do corpo, podemos, com aplicacao da Serie de Taylor e

a consideracao de somente dois de seus termos, equacionar o problema em relacao a posicao

media.


Seja VT a velocidade total de uma partıcula fluida junto ao corpo. Quando o corpo se encontra

fora da posicao media podemos obter o valor de VT na posicao instantanea do ponto P (t2) a

partir dos valores de VT junto ao ponto P (t1) na posicao media:

VT = V|P (t2) +∇φt|P (t2) = V|P (t1) +∇φt|P (t1) + (α · ∇)V|P (t1) + (α · ∇)φt|P (t1) + ...... (A.9)

Um outra hipotese que se faz e que o corpo causa pequenas perturbacoes no escoamento. A

presenca do corpo no meio fluido com escoamento uniforme, introduz pequenas velocidades

adicionais no escoamento. A diferenca entre a velocidade de uma partıcula e a velocidade do

corpo e pequena quando comparada com a velocidade do corpo.

|∇φST | << |V| (A.10)

Como supomos que o corpo executa movimentos de pequenas amplitudes, α e pequeno, pode-

se dizer que as perturbacoes devidas a esses movimentos tambem sao pequenas em comparacao

com U . Com isto podemos desprezar as contribuicoes a partir do quarto termo em (A.9).

Introduzindo (A.9) em (A.8) e como na posicao media r′ = r, teremos a seguinte condicao de

contorno que devera ser satisfeita na posicao media do corpo.

−∂α∂t· ∇′Fc + (V(r′) +∇φt + (α · ∇)V(r′)) · [∇′Fc

−i(∂α

∂x) · ∇′Fc − j(

∂α

∂y) · ∇′Fc − k(

∂α

∂z) · ∇′Fc + ...] = 0 (A.11)

onde

V = Vinc + Vpert,ST (A.12)

Para um corpo com velocidade de avanco constante deve ser satisfeito em seu contorno a

condicao

V(r′) · ∇′Fc = 0 (A.13)

Desenvolvendo (A.11) e observando (A.13)

−∂α∂t· ∇′Fc −V(r′) · (i(∂α

∂x· ∇′Fc) + j(

∂α

∂y· ∇′Fc) + k(

∂α

∂z· ∇′Fc))+

∇φt · ∇′Fc + (α · ∇)V(r′) · ∇′Fc =


(∇φt + (α · ∇)V(r′)) · (i(∂α∂x· ∇′Fc) + j(

∂α

∂y· ∇′Fc) + k(

∂α

∂z· ∇′Fc)) (A.14)

Os termos do segundo membro sao todos de ordem superior aos do primeiro membro, de

forma tal que podem ser desprezados e como:

V(r′) · (i(∂α∂x· ∇′Fc) + j(

∂α

∂y· ∇′Fc) + k(

∂α

∂z· ∇′Fc)) = ((V · ∇)α) · ∇′Fc (A.15)

entao, a condicao de contorno a ser satisfeita na posicao media do casco e:

−∂α∂t· ∇′Fc − ((V · ∇)α) · ∇′Fc +∇φt · ∇′Fc + (α · ∇)V(r′) · ∇′Fc = 0 (A.16)

que reagrupando fornece

∇φt · ∇′Fc =∂α

∂t· ∇′Fc + ((V · ∇)α− (α · ∇′)V) · ∇′Fc (A.17)

Como esta equacao devera ser satisfeita na posicao media do corpo, e indiferente utilizarmos

∇′ ou ∇. Alem disto, pode-se mostrar que a seguinte relacao vetorial e verdadeira:

(V · ∇)α− (α · ∇)V = ∇× (α×V)− α(∇ ·V) + V(∇ · α) (A.18)

Como pela equacao da continuidade ∇ ·V = 0 e

(V(∇ · α)) · ∇Fc = (∇Fc ·V)(∇ · α) = 0 (A.19)

da equacao (A.17) obtem-se:

∇φt · ∇Fc =∂α

∂t· ∇Fc + (∇× (α×V) · ∇Fc (A.20)

Como ∇Fc e um vetor normal ao casco dividindo entao os dois membros de (A.20) por |∇Fc|chega-se a:

∇φt · n = (∂α

∂t+∇× (α×V)) · n (A.21)

uma vez que n = ∇Fc/|∇Fc| e o vetor unitario normal ao casco, voltado para fora do meio

fluido.

O primeiro termo em (A.21) no segundo membro e o produto escalar entre a velocidade de

um ponto da superfıcie devida ao movimento oscilatorio do corpo, sem considerar o efeito da

velocidade de avanco. Isto significa a projecao do vetor velocidade de um ponto do casco na

direcao da normal ao ponto. O segundo termo leva em consideracao a influencia da velocidade

de avanco e da perturbacao devida a presenca do corpo nas velocidades das partıculas junto

ao casco.


Queremos agora explicitar o vetor deslocamento do corpo no segundo termo do segundo

membro. Neste sentido, lembramos que

α = ηl + ηa × r (A.22)

em que ηl = [η1, η2, η3]T e ηa = [η4, η5, η6]T entao:

∇φt · n =∂ηl∂t· n + (

∂ηa∂t× r) · n + (∇× (ηl ×V)) · n + (∇× ((ηa × r)×V)) · n (A.23)

Utilizando agora as seguintes expressoes vetoriais:

(q× r) · n = q · (r)× n) (A.24)

(∇× (q×V)) · n = −((n · ∇)V) · q (A.25)

(∇× ((q× r)×V)) · n = −((n · ∇)(r×V)) · q (A.26)

podemos escrever:

∇φt · n = n · ∂ηl∂t

+ (r× n) · ∂ηa∂t− ((n · ∇)V) · ηl − ((n · ∇)(V × r)) · ηa (A.27)

ou∂φt∂n

= nl ·∂ηl∂t

+ na ·∂ηa∂t

+ Uml · ηl + Uma · ηa (A.28)

onde definimos

nl = n = [n1, n2, n3]T na = r× n = [n4, n5, n6]T (A.29)

e

ml = −(n · ∇)V/U = [m1,m2,m3]T ma = −(n · ∇)(V × r)/U = [m4,m5,m6]T (A.30)

tal que:

n1 = nx n2 = ny n3 = nz (A.31)

n4 = (ynz − zny) n5 = (znx − xnz) n6 = (xny − ynx) (A.32)

Assim, a derivada do potencial de velocidades sobre a superfıcie do corpo, expressao (A.28),

pode ser escrita como

∂φt∂n

= nl ·∂ηl∂t

+ na ·∂ηa∂t

+ Uml · ηl + Uma · ηa (A.33)

onde

φt = φw + φdif + φrad (A.34)


Porem como∂φw∂n

+∂φdif∂n

= 0 (A.35)

entao, obtemos para a derivada do potencial de radiacao a expressao:

∂φrad∂n

= nl ·∂ηl∂t

+ na ·∂ηa∂t

+ Uml · ηl + Uma · ηa (A.36)

=6∑i=1

niηi + U

6∑i=1

miηi (A.37)

A partir desta expressao pode-se ver que o potencial de radiacao pode ser escrito como:

φrad =6∑i=1

φ0i ηi + U

6∑i=1

φUi ηi (A.38)

em que

ni =∂φ0

i

∂nmi =

∂φUi∂n

(A.39)

Para a obtencao das expressoes de mi temos que desenvolver as terceira e quarta expressoes

em (A.28). Desenvolvendo a expressao

Uml · ηl = −(n · ∇)V · ηl =

−(n1∂

∂x+ n2

∂

∂y+ n3

∂

∂z)(Vxη1 + Vyη2 + Vzη3) = U(m1η1 +m2η2 +m3η3) (A.40)

temos:

mi = − 1

U(n1

∂

∂x+ n2

∂

∂y+ n3

∂

∂z)Vi (A.41)

para i = 1, 2, 3.

Desenvolvendo agora a expressao:

Uma · ηa = −(n · ∇)(r×V) · ηa =

−((n1∂

∂x+ n2

∂

∂y+ n3

∂

∂z)((xi + yj + zk)× (V1i + V2j + V3k)) · ηa =

−[(3∑i=1

ni∂

∂xi)(i(yV3 − zV2) + j(zV1 − xV3) + k(xV2 − yV1))] · ηa =

−(3∑i=1

ni∂

∂xi)(yV3 − zV2)η4 − (

3∑i=1

ni∂

∂xi)(zV1 − xV3)η5 − (

3∑i=1

ni∂

∂xi)(xV2 − yV1)η6 (A.42)


temos

m4 = −(3∑i=1

ni∂

∂xi)(yV3 − zV2) m5 = −(

3∑i=1

ni∂

∂xi)(zV1 − xV3)

m6 = −(3∑i=1

ni∂

∂xi)(xV2 − yV1) (A.43)

A.2 Expressoes para mi em funcao do potencial esta-

cionario para um corpo esbelto

Como

V = ∇(−Ux+ φst) = −U i +∇φst = [−U +∂φst∂x

,∂φst∂y

,∂φst∂z

]T (A.44)

podemos ver que:

m1 = − 1

U[n1

∂2φst∂x2

+ n2∂2φst∂y∂x

+ n3∂2φst∂z∂x

] (A.45)

m2 = − 1

U[n1

∂2φst∂x∂y

+ n2∂2φst∂y2

+ n3∂2φst∂z∂y

] (A.46)

m3 = − 1

U[n1

∂2φst∂x∂z

+ n2∂2φst∂y∂z

+ n3∂2φst∂z2

] (A.47)

m4 = − 1

U[...] (A.48)

m5 = − 1

U(

3∑i=1

ni∂

∂xi)(zV1 − xV3) =

− 1

U[Vxn3 + z(

3∑i=1

ni∂

∂xi)(∂φst∂x

)− n1∂φst∂z− x(

3∑i=1

ni∂

∂xi)(∂φst∂z

)] (A.49)

m6 = − 1

U[...] (A.50)

Linearizando a expressao de m5 e como

∂φst∂x

<< U (A.51)

temos m5 ≈ n3. De forma analoga podemos mostrar que m6 = −n2 e m4 e muito pequeno.

Alem disso vemos que m1, m2 e m3 sao desprezıveis em relacao a n1, n2 e n3, respectivamente,

entao:∂φ1

∂nη1 = n1η1 + Um1η1 ≈ n1η1 (A.52)


∂φ2

∂nη2 = n2η2 + Um2η2 ≈ n2η2 (A.53)

∂φ3

∂nη3 = n3η3 + Um3η3 ≈ n3η3 (A.54)

∂φ4

∂nη4 = n4η4 + Um4η4 ≈ n4η4 (A.55)

∂φ5

∂nη = n5η5 + Um5η5 ≈ n5η5 + Un5η5 (A.56)

∂φ6

∂nη6 = n6η6 + Um6η6 ≈ n6η6 − Un6η6 (A.57)

Assim podemos introduzir a seguinte definicao:

φi = φ0i ηi i = 1, 2, 3, 4 (A.58)

φi = φ0i ηi + UφUi ηi i = 5, 6 (A.59)

com∂φ0

1

∂n= n1

∂φ02

∂n= n2

∂φ03

∂n= n3

∂φ04

∂n= n4 (A.60)

∂φ05

∂n= n5

∂φ06

∂n= n6 φU5 = φU3 φU6 = −φU2 (A.61)

Com essas expressoes temos que os potenciais de velocidades podem ser escritos na forma

φj = φ0j +

U

iωeφUj (A.62)

onde φ0j indica o potencial para velocidade de avanco nula. φUj e um potencial complementar

que leva em consideracao os efeitos da velocidade de avanco. Note-se que esses efeitos so

aparecem nos movimentos 5 e 6.

φU1 = φU2 = φU3 = φU4 = 0 (A.63)

Os potenciais φ0j devem satisfazer junto ao corpo a condicao de contorno

∂φ0j

∂n= nj (A.64)

enquanto os potenciais φU5 e φU6 devem satisfazer:

∂φ05

∂n= n3

η5

η5

=1

iωe

∂φ03

∂n(A.65)

∂φ06

∂n= −n2

η6

η6

= − 1

iωe

∂φ02

∂n(A.66)


A.3 Desenvolvimento das Expressoes Tij

Com base no que foi apresentado anteriormente as forcas e momentos devidos ao fenomeno

de radiacao podem ser colocadas na forma generalizada

G = −[λ]η (A.67)

onde

Gj = −λjkηk (A.68)

e

λjk = ρ

∫ ∫S0

nj(iωe − U∂

∂x)φkdS (A.69)

em que foram desprezados termos de ordem superior. Reescrevendo e contendo termos de

ordem superior tem-se:

λjk = ρ

∫ ∫S0

nj iωeφkdS − ρ∫ ∫

S0

njU∇φ · ∇φraddS (A.70)

onde:

φ = −x+φstU

(A.71)

Fazendo V = ∇φ tem-se

ρ

∫ ∫S0

njU∇φ · ∇φraddS = ρU

∫ ∫S0

njV · ∇φraddS (A.72)

que na forma vetorial e escrita como

ρU∫ ∫

S0n∇φ · ∇φraddS

ρU∫ ∫

S0(n× r)(∇φ · ∇φrad)dS

= ρU

∫ ∫S0

nG∇φ · ∇φraddS (A.73)

ρU

∫ ∫S0

nG∇φ · ∇φraddS (A.74)

Faremos agora o desenvolvimento das expressoes acima conforme apresentado por Ogilvie e

Tuck explorando as seguintes expressoes do Teorema de Stokes:∫ ∫S0

(n×∇)× (φV)dS =

∫Ca

dl× (φV) (A.75)

e ∫ ∫S0

(n×∇)× (φV)× rdS =

∫Ca

(dl× (φV))× r (A.76)


Utilizando calculo vetorial pode-se mostrar que:

(n×∇)× (φV) = φn× (∇×V) + φ(n · ∇)V−n(V · ∇φ) + (n ·V)∇φ− φn(∇ ·V) (A.77)

Como o campo vetorial V representa a superposicao do escoamento retilıneo uniforme inci-

dente sobre o corpo e o escoamento estacionario devido a perturbacao que o corpo cria no

escoamento incidente, ele e um campo irrotacional, com divergencia nula e tangente ao corpo

logo:

∇V = 0 ∇ ·V = 0 n ·V = 0 (A.78)

entao:

(n×∇)× (φV) = φ(n · ∇)V − n(V · ∇φ) (A.79)

Definindo −(n · ∇)V = m e utilizando (A.79) em (A.75) obtemos:

∫ ∫S0

mφdS +

∫ ∫S0

n(V · ∇φ)dS = −∫C0

φdl×V (A.80)

Para o caso de um corpo flutuante a linha C0, que delimita a area S0, e a linha d’agua. Entre-

tanto, a expressao acima e valida para qualquer S contido em S0. Assim sendo, admitiremos

inicialmente que C0 e a linha formada por um trecho da linha d’agua CW e por uma linha para

a qual x e constante Ca. Esta consideracao e importante uma vez que pela teoria das faixas

que veremos adiante, o corpo e dividido em secoes e o problema tridimensional e reduzido a

diversos problemas bidimensionais, Assim para o caso de um corpo cujas extremidades sejam

secoes perpendiculares ao eixo x e esbelto, os efeitos das secoes extremas estao consideradas

atraves de Ca.

Com esta expressao e certas relacoes vetoriais chegamos a:

dl×V = −dl(k× n)× V = dl[−n(k · V + k(n · V)]

= −dln(k · V) (A.81)

Para a secao C0

−dl = −dl(i× n) (A.82)

logo

dl× V = −dl(n(i · V) ≈ ndl (A.83)

Assim sendo obtemos de (A.80)

−∫ ∫

S0

mφdS +

∫ ∫S0

n(V · ∇φ)dS ≈ −∫CW

dl[−n(k · V)]φ−∫CA

φndl (A.84)


Entretanto k · V e um termo de ordem superior aos outros termos podendser desprezado.

Assim procedendo temos:∫ ∫S0

mφdS =

∫ ∫S0

n∂φ

∂xdS +

∫CA

φndl (A.85)

De acordo com (A.75), o integrando do primeiro termo em (A.80) pode ser escrito na forma

((n×∇)× (φV)× r = φr×m + (r× n)(V · ∇)φ =

= −φ(m4i +m5j +m6k) + (n4i + n5j + n6k)(V · ∇)φ

≈ −φ(m4i +m5j +m6k) + (n4i + n5j + n6k)(−∂φ∂x

) (A.86)

e o integrando do segundo membro em (A.84) ser colocado na forma

dl× (φV)× r = −dlφ((k ·V)(n× r)− (k× r)(n×V)) = −dlφ((k ·V)(n× r) (A.87)

em CW e

dl× (φV)× r = −dlφ((i ·V)(n× r)− (i× r)(n×V)) = −dlφ((i ·V)(n× r) (A.88)

em CA.

Assim ∫ ∫dS(−φ(m4i +m5j +m6k)) +

∫ ∫dS[(n4i + n5j + n6k)(V · ∇)φ =

−∫CW

dlφ(k ·V)(n× r)−∫CA

dlφ(i ·V)(n× r) (A.89)

Como k · V e de ordem superior aos outros termos desta expressao e (V · ∇)φ ≈ −∂φ/∂xentao de forma generalizada podemos escrever:∫ ∫

S0

mGφraddS =

∫ ∫S0

∂φrad∂x

nGdS +

∫CA

dlφ(i ·V)(n× r) (A.90)

Deve ser ressaltado que se tratarmos o problema de valor de contorno para determinacao

de φrad na forma tridimensional e S0 for toda a area molhada, o ultimo termo do segundo

membro nao devera ser considerado, isto e:

∫CA

dlφ(i ·V)(n× r) = 0 (A.91)


Utilizando entao (A.90) e (A.70) podemos escrever:

λjk = −ρiωe∫ ∫

S

njφkdS + Uρ

∫ ∫S

mjφkdS − Uρ∫CA

njφkdl (A.92)

ou

λjk = −ρiωe∫ ∫

S

njφ0kdS − Uρ

∫ ∫S

njφUk dS + Uρ

∫ ∫S

mjφ0kdS

+U2ρ

iωe

∫ ∫S

mjφUk dS − Uρ

∫CA

njφ0kdl −

U2ρ

iωe

∫CA

njφUk dl (A.93)

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Hidrodinamica IVb