Bài giảng chương trình Gặp gỡ Toán học 2015 tại Vũng Tàu

1

HÌNH PHẲNG OXY

TỪ KỲ THI ĐẠI HỌC ĐẾN THI OLYMPIC

(Lê Phúc Lữ, TP Hồ Chí Minh)

Trong những năm gần đây, bài toán hình giải tích Oxy trong kỳ thi ĐH đã có xu hướng sử dụng

các tính chất hình phẳng mà lâu nay gần như chỉ xuất hiện trong chương trình thi HSG. Trong số

các bài toán thi ĐH đó, có nhiều tính chất khá khó mà nếu khai thác trực tiếp rồi áp dụng để rèn

luyện kỹ năng hình phẳng trong các kỳ thi HSG sẽ rất có hiệu quả. Ta có thể thấy rằng với hình

giải tích phẳng, suy cho cùng, cũng là các bài toán dựng hình và tính chất thường không được chỉ

rõ mà đòi hỏi người làm Toán tự nghĩ ra. Đi sâu vào vấn đề đó, trong bài giảng bên dưới, chúng ta

sẽ cùng tìm hiểu một số tính chất và một số tình huống như thế.

Chú ý rằng trong các bài toán này, nếu không có giải thích gì thêm thì các yêu cầu của đề bài là

dựng các điểm bằng thước và compa, thông qua các phép dựng hình phổ biến.

I) Các ví dụ minh họa.

Bài toán 1. (Đề thi thử ĐH 2015)

Cho tam giác ABC có H là trực tâm và M là trung điểm của BC . Gọi , ,D E F lần lượt là chân

đường cao đỉnh , ,A B C của tam giác. Cho trước:

- Đường thẳng 1d đi qua , .E F

- Đường thẳng 2d đi qua ,A D .

- Vị trí của , .H M

Xác định vị trí điểm .A

Lời giải. Dưới đây, ta cùng tham khảo một số lời giải tiêu biểu cho bài toán.

Cách 1.

N

M

F

E

D

H

A

B C

2

Gọi N là trung điểm AH thì ta có 2

BCME MF và

2

AHNE NF nên MN chính là đường

trung trực của EF hay 1MN d . Từ đó suy ra cách dựng:

(1) Vẽ đường thẳng qua M , vuông góc với 1d cắt 2d tại .N

(2) Lấy đối xứng điểm H qua N , ta được .A

Cách 2.

Chú ý rằng nếu gọi AA là đường kính của đường tròn ( )O ngoại tiếp tam giác ABC thì BHCA

là hình bình hành. Ta cũng có AA EF nên có cách dựng sau:

(1) Dựng A đối xứng với điểm H qua .M

(2) Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với 1d và cắt 2d tại .A

Cách 3. Chú ý rằng H chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF nên ta có cách dựng sau:

A'

O

M

F

E

D

H

A

B C

M

F

E

D

H

A

B C

3

(1) Vẽ đường tròn tâm H và tiếp xúc với 1d .

(2) Dựng D là hình chiếu của M lên 2d .

(3) Kẻ 2 tiếp tuyến của ( )H từ D cắt 1d tại ,E F .

(4) Đường thẳng qua E , vuông góc với EH cắt 2d tại .A

Nhận xét.

Ở cách 3, ta thấy rằng vị trí trung điểm của M thực sự không quá cần thiết, chỉ cần M là điểm

nào đó nằm trên BC là đủ. Tuy nhiên, ở đây ta còn thấy rằng 4 thông tin ban đầu cho là hơi thừa,

ta có thể loại bớt điểm H đi và giữ nguyên các giả thiết cũng như yêu cầu còn lại.

Rõ ràng với tình huống không có điểm H , cả 3 lời giải trên đều “phá sản” và ta cần tìm một tính

chất mới mạnh hơn từ mô hình trên.

Bài toán 1a. Bỏ đi điểm H và giữ nguyên các giả thiết ban đầu, hãy dựng lại tam giác .ABC

Dưới đây, ta có 2 cách xử lý:

Cách 4. (của học sinh)

Sử dụng tính chất trực giao của 2 đường tròn ( )M và ( )N đã nêu trong cách 1 của bài toán gốc.

Cụ thể là 90 .MEN MFN Ta có cách dựng như sau:

(1) Qua M , dựng đường thẳng vuông góc với 1d cắt 2d ở .N

(2) Qua ,M dựng đường thẳng vuông góc với 2d ở .D

(3) Đường tròn đường kính MN cắt 1d ở , .E F

(4) Dựng tâm đường tròn nội tiếp H của tam giác .DEF

(5) Dựng A đối xứng với H qua .N

Cách 5. (của tác giả bài viết)

Trong cách này, ta sẽ sử dụng hàng điểm điều hòa và các tính chất của nó.

N

M

F

E

D

H

A

B C

4

Gọi K là giao điểm của , .EF BC Dễ thấy rằng ( , , , ) 1K D B C nên theo hệ thức Maclaurin thì 2 2MD MK MB MC . (*) Ta đi đến cách dựng sau:

(1) Dựng đường thẳng 3d qua M và vuông góc với 2d (chính là đường thẳng BC ).

(2) Dựng K là giao điểm của 1 3,d d .

(3) Dựng đại lượng a MD MK , cũng chính là độ dài , .MB MC

(4) Đường tròn ( , )M a cắt 1d ở ,E F và cắt 3d ở ,B C .

(5) Dựng giao điểm A của , .BF CE

Nhận xét.

Ở đây, rõ ràng cách thứ 5 chưa hay bằng cách thứ 4 nhưng ý tưởng của nó khá gợi mở và có thể

sử dụng trong các tình huống tương tự khác. Trước khi phân tích các bài toán như vậy, ta thử

chứng minh đẳng thức (*) ở trên mà không dùng đến hàng điểm điều hòa.

Để làm được điều này, ta có thể xử lý các bài toán sau:

a) Gọi T là giao điểm của tia MH với đường tròn ( ).O Chứng minh rằng , ,BC EF AT đồng

quy tại .K

b) Gọi ,I J lần lượt là giao điểm của AM với , ( )KH O . Chứng minh tứ giác BICJ là hình

bình hành.

c) Chứng minh rằng 2 2MD MK MB MC .

Gợi ý.

a) K chính là tâm đẳng phương của 3 đường tròn ( ), ( ), ( ).M N O

b) Dễ thấy H là trực tâm tam giác AMK nên .KI AM Gọi AA là đường kính của ( )O

thì ta cũng có ,HI AM A J AM nên HIA J là hình bình hành, dẫn đến .MI MJ

c) Ta có .MD MK MI MA MJ MA MB MC

K M

F

E

D

H

A

B C

5

Từ một bài toán rất bình thường, ta đã khai thác khá kỹ và dẫn ra được nhiều tình huống thú vị.

Bài toán 2. (Đề ĐH Khối B, 2011)

Cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp .I Đường tròn ( )I tiếp xúc với , ,BC CA AB lần

lượt tại , , .D E F Cho trước: ,B D và đường thẳng d qua ,E F , hãy dựng lại tam giác .ABC

Lời giải. Trong bài toán này, ta vẫn có thể giải bằng nhiều cách.

Cách 1.

N

J

TO

I

K

M

F

E

D

H

A

B C

E

D

F I

A

B C

6

Chú ý rằng BD BF nên ta có cách dựng như sau:

(1) Dựng đường tròn ( , )B BD cắt d tại F .

(2) Dựng trung trực của DF cắt đường thẳng qua D , vuông góc với DB tại .I

(3) Dựng đường thẳng qua I vuông góc với d và cắt BF tại .A

(4) Dựng E thuộc d sao cho IE IF .

(5) AE cắt BD tại .C

Cách 2. Trong cách này, ta kẻ DK vuông góc với d , K d . Có thể chứng minh được rằng KD

là phân giác của góc .BKC

Việc chứng minh có thể dễ dàng thực hiện bằng cách dùng kiến thức THCS (kẻ ,BR CS vuông

góc với d và sử dụng tam giác đồng dạng) hoặc dùng tính chất cơ bản của hàng điểm điều hòa

với chú ý rằng , ,AD BE CF đồng quy (tại điểm Gergonne).

(1) Kẻ DK vuông góc với d , .K d

(2) Gọi B là điểm đối xứng với B qua .KD

(3) KB cắt BD tại C .

(4) Chọn ,E F d sao cho ,BD BF CD CE .

(5) Dựng A là giao điểm của , .BF CE

Nhận xét. Rõ ràng ở đây, cách dựng sau vẫn cồng kềnh hơn và nếu xét về ý nghĩa hình giải tích,

nó cũng khó thực hiện hơn. Tuy nhiên, ta thử điều chỉnh giả thiết của bài toán một chút để thấy ý

nghĩa của nó. Chú ý rằng nếu đề cho trước điểm ,C D thay vì ,B D thì mọi việc vẫn tương tự nên

ta sẽ đổi hướng, thử tìm hiểu 2 bài toán sau:

Bài toán 2a. Đề cho trước ,D M với M trung điểm .BC Giữ nguyên các giả thiết còn lại.

Bài toán 2b. Đề cho trước ,A D . Giữ nguyên các giả thiết còn lại.

B'

K

E

D

F

I

A

B C

7

Cả 2 tình huống này đều có thể dùng sức mạnh của điều hòa.

Lời giải bài 2a. Gọi T là giao của ,EF BC thì ta vẫn có ( , , , ) 1.T D B C

(1) Dựng T là giao điểm của d và .DM

(2) Dựng đại lượng a MD MT (theo hệ thức Maclaurin tương tự bài 1).

(3) Đường tròn ( , )M a cắt MD tại ,B C .

(4) Đến đây tiếp tục thực hiện như bài toán 2.

Lời giải bài 2b. Ở đây ta chú ý rằng nếu gọi S là giao điểm của AD và ( )I thì tứ giác SEDF

điều hòa, suy ra ( , , , ) 1A R S D với R là giao điểm của AD và .d Từ đó, ta có cách dựng:

(1) Dựng R là giao điểm của AD và d .

(2) Dựng S là điểm thỏa mãn AS RS

AD RD .

MT

E

D

F I

A

BC

S

R

E

D

F I

A

BC

8

(3) Dựng ,E F trên d sao cho 2 2AE AF AS AD .

(4) Dựng tâm I của đường tròn đi qua các điểm , , .D E F

(5) Đường thẳng qua D , vuông góc với ID cắt ,AE AF lần lượt tại , .B C

Nhận xét.

Cách giải bài 2a ít nhiều cũng có liên hệ với ý tưởng của bài 1a ban đầu. Lời giải này còn khiến

chúng ta nhớ đến tính chất có sử dụng trong các kỳ thi trước đó:

(VMO 2010) Cho đường tròn ( )O và cung BC cố định không là đường kính. Điểm A di động

trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn không cân. Gọi ,D E lần lượt là các chân đường

phân giác trong và ngoài của tam giác. Gọi I là trung điểm DE và H là trực tâm tam giác

.ABC Chứng minh rằng đường thẳng qua H , vuông góc với AI luôn đi qua một điểm cố định.

(ĐH khối D, 2014) Cho tam giác ABC có AD là phân giác trong và tiếp tuyến của ( )ABC tại

A cắt BC ở E . Cho trước: điểm D , đường thẳng ,AB đường thẳng AE . Dựng tam giác ABC .

Thách thức đặt ra ở đây là thử giải quyết bài toán 2a, 2b ở trên mà không sử dụng công cụ điều

hòa, chỉ sử dụng thuần túy cách kẻ đường phụ của THCS.

Bài toán 3. (Đề ĐH Khối D, 2013)

Cho tam giác ABC có M là trung điểm AB . Gọi ,H D lần lượt là chân đường cao và đường

phân giác góc A . Cho trước: , ,H D M , hãy dựng lại tam giác .ABC

Lời giải. Bài toán khá nhẹ nhàng và không có nhiều lời giải khác nhau ở đây.

(1) Dựng ( , )M MH cắt đường thẳng HD tại .B

(2) Dựng A đối xứng với B qua M .

(3) Dựng M là điểm đối xứng với M qua .AD

(4) Dựng C là giao điểm của AM và .HD

M'

DH

M

A

B C

9

Nhận xét. Tất nhiên nếu dừng lại ở đây thì bài toán không còn gì thú vị nữa. Từ bài toán trên, ta

thấy với 3 yếu tố H là chân đường cao, M là trung điểm cạnh, D là chân đường phân giác, có

thể có một số tình huống như sau:

(1) ,H D thuộc cùng một cạnh và M thuộc cạnh khác.

(2) ,H M thuộc cùng một cạnh và D thuộc cạnh khác.

(3) ,M D thuộc cùng một cạnh và H thuộc cạnh khác.

(4) , ,H M D thuộc ba cạnh khác nhau.

(5) , ,H M D thuộc cùng một cạnh.

Các bài toán này cũng đã được nêu trong Wernick table năm 1982. Nhà toán học Walter Wernick

đã xây dựng hơn 100 tình huống dựng hình đặc thù và phân loại chúng là giải được hay không.

Thú vị là trong 5 bài toán vừa nêu trên, ông ấy đã xếp 2 bài là giải được và 3 bài còn lại thì không.

Một bài trong số đó là bài (1) cũng là đề thi thử ĐH của chúng ta vừa giải quyết, bài còn lại chính

là bài số (3). Ta sẽ cùng đi giải quyết bài toán khá thú vị này.

Bài toán 3a. Cho tam giác ABC có AD là phân giác, M là trung điểm BC và BH là đường

cao. Cho trước: , ,H D M , hãy dựng lại tam giác .ABC

Bài toán này tuy ít nhiều khó hơn bài toán gốc, nhưng cũng không quá thử thách, ta có thể xử lý

như sau (sử dụng tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền, cũng như tính

chất của đường phân giác trong tam giác):

(1) Dựng ( , )M MH cắt DM tại , .B C

(2) Dựng E là điểm chia ngoài đoạn BC , tức là DB

EB ECDC

.

(3) Đường tròn đường kính DE cắt CH tại .A

Các bạn thử giải quyết các bài toán còn lại xem chúng khó đến đâu nhé!

Bài toán 4. (Đề thi ĐH khối A, 2014)

Cho hình vuông ABCD có M là trung điểm CD , N là điểm chia trong BD theo tỉ lệ 1:3 . Cho

trước: ,M N , hãy dựng lại hình vuông .ABCD

E

H

MD

A

B C

10

Lời giải. Bài toán này ngay từ đáp án cũng như các cách tiếp cận thông thường đều có sử dụng đại

số. Ta thử một cách tiếp cận hình học cho nó như sau:

Cách 1. (của tác giả bài viết) Gọi P là trung điểm của BC thì ta có ,MP NP lần lượt là các đường

trung bình của tam giác ,BCD IBC , trong đó I là giao điểm 2 đường chéo của hình vuông.

Từ đó, ta có MP NP và 2MP NP .

Ta sẽ dựng điểm P thỏa mãn các tính chất này (sử dụng thêm tính chất đường phân giác).

(1) Dựng Q là điểm sao cho tam giác MNQ vuông cân tại Q .

(2) Dựng T chia trong đoạn MN theo tỉ lệ 2:1.

(3) Đường thẳng QT cắt đường tròn đường kính MN ở .P

Khi đã dựng được P thì có thể dễ dàng dựng được các điểm còn lại.

P

N

M

I

C

B

A

D

T

Q

M N

P

11

Cách 2. (của học sinh) Gọi P là trung điểm của AI thì dễ dàng chứng minh được DMNP là hình

bình hành. Khi đó, ta có DP MN . Ngoài ra, do ,AI DN NP AD nên P cũng là trực tâm

tam giác ADN . Suy ra DP AN và AN MN .

Chú ý thêm rằng DP AN từ các tam giác bằng nhau nên có ngay tam giác AMN vuông cân tại

N . Dựng được A thì các điểm còn lại sẽ đơn giản.

Nhận xét. Trong cả 2 lời giải trên, ta thấy rằng có 1 ý tưởng đươc sử dụng là: Khi có 2 trung điểm

nằm rời nhau, không tạo thành đường mô hình đường trung bình, ta có thể dựng thêm trung điểm

thứ 3 để kết nối các điểm đó lại và tạo thành các tính chất quan trọng.

Dưới đây, ta xét một số bài toán cũng có cùng ý tưởng là dựng thêm trung điểm thứ 3 như thế:

Bài toán 4a. Cho hình chữ nhật ABCD có H là hình chiếu của B lên AC . Gọi ,M N lần lượt

là trung điểm của , .AH CD Chứng minh rằng BMN là góc vuông.

Bài toán 4b. Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm BC . Gọi H là hình chiếu của

M lên AC và K là trung điểm MH . Chứng minh rằng AK vuông góc với .BH

Bài toán 4c. Cho hình thang ABCD có đáy ,AB CD . Đường chéo AC vuông góc với cạnh bên

AD . Gọi I là giao điểm của 2 đường chéo và J là giao điểm của 2 cạnh bên kéo dài. Cho trước:

đường thẳng d đi qua ,I J , trung điểm ,M N lần lượt của ,BD BC . Dựng hình thang ABCD .

Trước khi kết thúc bài này, ta thử tìm hiểu một bài toán khác có cách giải “kinh điển” bằng đại số

liên quan tới hình vuông như sau:

Bài toán 4d. Cho hình vuông ABCD có các điểm , , ,M AB N BC P CD Q DA . Cho trước

các điểm , , ,M N P Q , hãy dựng lại hình vuông ban đầu.

Bài toán này có thể giải theo kiểu sử dụng hình học giải tích bằng cách đặt ( , )u a b là vector chỉ

phương của AB rồi viết phương trình các đường, sử dụng tính chất khoảng cách bằng nhau để tìm

mối liên hệ giữa , .a b

P N

M

I

C

B

A

D

12

Ở đây, ta có thể dựng hình thuần túy bằng cách chú ý rằng nếu chọn điểm R sao cho MR NQ

và MR NQ thì khi đó R CD .

Đến đây, việc dựng hình là hoàn toàn đơn giản. Và tất nhiên, vẫn còn rất nhiều bài toán tương tự

như thế này đang chờ chúng ta giải quyết, các bạn chủ động tìm thử nhé!

Bài toán 5. (Đề thi thử ĐH 2015)

Cho tam giác ABC nhọn có H và O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi ,D E

lần lượt là hình chiếu của ,A B lên cạnh đối diện. Cho trước: ,H O , đường thẳng 1d là trung trực

của DF và đường thẳng 2d là đường cao AH , dựng tam giác ABC .

Lời giải.

R C

BA

D

M

P

Q

N

d1

d2

H

O

F

E

D

A

BC

13

Nếu bài toán cho trung trực của EF thì mọi việc sẽ vô cùng dễ dàng. Theo ý tưởng của bài toán

1, điểm A sẽ dựng được đầu tiên.

Tuy nhiên, ở đây lại cho trung trực của DF , không chung đỉnh với đường cao AH . Để giải quyết

tình huống này, ta chú ý rằng: góc nhọn tạo bởi 1 2,d d cũng bằng góc A .

Ngoài ra, 2 cosAH R A với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có:

2cosAH

AAO

. Do góc giữa 1 2,d d là xác định được nên ta dựng được tỉ số 2cosk A , từ đó ta có

cách dựng cho bài toán này như sau:

(1) Dựng góc tạo bởi 1 2,d d và tỉ số 2cosk .

(2) Dựng đường tròn Apollonius tỉ số k trên đoạn .OH

(3) Dựng giao điểm A của 1d và đường tròn trên.

(4) Dựng M sao cho 1

2OM AH .

(5) Đường tròn ( , )O OA cắt đường thẳng qua M , vuông góc với OM tại , .B C

Rõ ràng, bài toán sử dụng các kết quả không khó nhưng lạ, đòi hỏi phải phân tích kỹ vào mô hình

mới có thể xử lý trọn vẹn được.

Tiếp theo, ta xem xét một bài toán rất thú vị như sau:

Bài toán 5a.

(Đề thi Sharygin, 2015) Cho tứ giác ABCD có E là giao điểm 2 đường chéo. Gọi 1 2,O O lần lượt

là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác , .ABE DAE Gọi 1 2,I I lần lượt là tâm đường tròn nội

tiếp các tam giác , .BCE DAE Cho trước 1 2 1 2, , ,O O I I , hãy dựng tứ giác .ABCD

Kỳ thi Sharygin của Nga diễn ra lần đầu tiên vào năm 2005 và cho đến nay, đã trải qua 11 lần tổ

chức. Kỳ thi này có 2 vòng là sơ loại và chung kết, đều giải các bài toán hình học đủ thể loại với

2 mức là: Junior và Senior. Vài năm trở lại đây, Ban tổ chức đã “mở cửa” cho các thí sinh nước

ngoài tham gia vào và Việt Nam cũng đã nhiều lần có học sinh tham gia. Năm 2013, đã có 1 học

sinh đạt giải 3 tại kỳ thi chung kết diễn ra tại Moscow.

Bài toán nêu trên chính là bài khó nhất trong kỳ thi vòng loại năm nay của Sharygin, đề gốc như

sau: “The diagonals of a convex quadrilateral divide it into four triangles. Restore the

quadrilateral by the circumcenters of two adjacent triangles and the incenters of two mutually

opposite triangles.”

Chúng ta sẽ cùng phân tích lời giải của bài toán này:

Bài toán khá mới lạ và thú vị. Nếu quan sát kỹ, ta có thể thấy rằng:

- 1 2, ,I E I thẳng hàng (phân giác góc BEC ).

- 1 2O O chính là trung trực của AE .

14

Như thế, ta sẽ tập trung vào tam giác ADE vì có khá nhiều thông tin liên quan đến nó: phân giác

1 góc, trung trực của 1 cạnh, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp.

Tuy nhiên, nếu đối chiếu lại thì rõ ràng tam giác ADE đó cũng chính là tam giác DEF của bài

toán 5 nêu trên bởi vì:

- Đường thẳng 1d chính là trung trực cạnh .DF

- Đường thẳng 2d chính là phân giác góc .EDF

- H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF .

- Trung điểm OH (tâm Euler) chính là tâm ngoại tiếp tam giác DEF .

Từ đây, sử dụng ý tưởng của bài thi thử ĐH ở trên, ta có thể giải quyết được bài toán trong đề thi

Sharygin một cách dễ dàng. Quả thật rất thú vị!

Dưới đây là một số bài toán tương tự giúp rèn luyện thêm. Thông qua các bài toán, chúng ta có thể

dừng lại khai thác, mở rộng để cố gắng phát hiện nhiều tính chất mới, nhiều cách tiếp cận hay

nhằm trao dồi thêm kỹ năng hình học cũng như tư duy giải quyết vấn đề.

II) Các bài tập tự luyện.

Bài 1. Cho tam giác ABC có M là trung điểm BC . Gọi D là hình chiếu của M lên AC . Đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt BC ở E . Cho trước: ,C E và đường thẳng d đi qua A , hãy

dựng lại điểm .A

Bài 2. Cho hình vuông ABCD có ,M N thuộc đoạn AC sao cho 3 4AC AM AN . Cho trước:

đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN và điểm I nằm trên trung trực của AB . Dựng lại hình

vuông ban đầu.

O2

O1

I1

I2

E

A

D C

B

15

Bài 3. Cho tam giác ABC có ,I J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp góc A của tam

giác ABC . Cho trước ,I J , hãy dựng tam giác ABC nếu biết thêm:

a) Tâm đường tròn ngoại tiếp O của tam giác.

b) Điểm A .

c) Điểm .B

d) (Sharygin 2014) Hình chiếu H của A lên BC .

Bài 4. Cho tam giác ABC có M là trung điểm BC và ,D E lần lượt là các chân đường cao kẻ từ

,B C của tam giác. Cho trước: ,M A và đường thẳng d đi qua DE , hãy dựng , .B C

Bài 5. (Sharygin, 2012) Dựng tam giác ABC biết A và chân đường phân giác trong góc ,B C .

Bài 6. (Đề thi thử ĐH)

a) Cho hình bình hành ABCD có H là trực tâm tam giác BCD và I là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác .ABD Gọi M là trung điểm của BC . Cho trước: , ,H I M và đường thẳng d đi qua B ,

hãy dựng lại hình bình hành.

b) Cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I . Điểm D đối xứng với A qua BC và có

H là trực tâm tam giác .DBC Gọi M là trung điểm BC và ,HM DI cắt nhau ở G . Cho trước:

,I H và G , hãy dựng lại tam giác .ABC

c) Hỏi hai bài toán trên có liên hệ gì với nhau?

Bài 7. Cho hình bình hành ABCD có N là trung điểm CD và điểm M chia trong đoạn AC theo

tỉ lệ 1:3 . Gọi H là điểm đối xứng với N qua C . Biết rằng 3 2AC AB . Cho trước: d là đường

thẳng BN , điểm M và đường thẳng l đi qua .H

Bài 8. (Đề thi thử ĐH)

a) Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC . Điểm D thuộc tia đối của tia BA

và điểm N thuộc tia AC sao cho .BD CE Cho trước: , ,M D E và điểm F nằm trên phân giác

góc A của tam giác, hãy dựng lại tam giác .ABC

b) Hãy giải lại bài toán trên khi bỏ đi giả thiết tam giác cân.

Bài 9.

a) Cho tam giác ABC có , ,D E F lần lượt là các chân đường phân giác trong của , ,A B C . Biết

rằng DEF vuông cân tại D , chứng minh rằng tam giác ABC cũng vuông cân tại .A

b) Cho trước tam giác DEF vuông cân tại D , dựng tam giác ABC nhận , ,D E F là các chân

đường phân giác trong.

c) Thử giải bài toán b ở trên trong trường hợp không có tính chất vuông cân của tam giác DEF .