Trabalho realizado por:

Gabriel da Fonseca Matos

10º ano – turma A

Disciplina de Matemática A

Professora Camila

Ano lectivo 2008/2009

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Índice

Introdução 3

Hipócrates de Quios 4

O problema das Lunas 5

Duplicação do Cubo 7

Quadratura do Círculo 8

Trissecção do Ângulo 9

Conclusão 10

Bibliografia 11

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Introdução Neste trabalho, iremos explorar a vida de Hipócrates de Quios: como veio a

estudar a Matemática e as suas descobertas e estudos. Veremos também alguns dos

problemas clássicos que estudou durante a sua vida, e porque pode ser considerado

um grande matemático da antiguidade clássica.

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Hipócrates de Quios

Hipócrates de Quios nasceu na Grécia, em Quíos. Foi dos grandes matemáticos do séc. V a.C., vindo a estabelecer-se em Atenas, com a finalidade de recuperar terras suas através de um processo judicial. O processo levou meses, aproveitando Hipócrates para estudar assuntos de seu interesse, tais como Filosofia e Geometria. Nessa altura, Atenas havia atingido grande desenvolvimento cultural e isto provavelmente estimulou Hipócrates nos seus estudos.

Especula-se que terá escrito um livro, intitulado Elementos1. Embora possamos

considerar que o seu livro engloba-se na chamada tradição euclidiana, foi escrito um

século antes de Euclides.

Muitos dos seus estudos na geometria estavam inseridos no seu livro, que também

apresentava soluções para equações do segundo grau. Eventualmente, todo o seu trabalho foi

perdido, embora tenha sido salvo ao ser incluído na obra de Euclides, também intitulado

Elementos.

Hipócrates teve uma contribuição importante para a Geometria, destacando-se na

investigação de problemas clássicos gregos. Veio a estudar principalmente estes três

problemas matemáticos:

• a trissecção do ângulo, ou seja, a tentativa de dividir um ângulo dado três partes iguais;

• a duplicação do cubo, ou seja, encontrar a aresta para um cubo do qual o volume é o dobro do volume do cubo inicial;

• a quadratura do círculo, ou seja, encontrar um quadrado de área igual à de um círculo.

Hipócrates privilegiou o estudo dos dois últimos problemas, contudo criou outro importante problema – o problema das lunas, sendo com ele o primeiro matemático a calcular precisamente a área de uma região plana delimitada por curvas.

Em adição, foi o primeiro a aplicar o método da redução geométrica e a usar letras nas figuras geométricas.

1 Todos os tratados axiomáticos gregos possuem o nome “Elementos”

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O problema das Lunas

Se sobre os lados de um triângulo rectângulo [ABC] se desenharem duas semi--

circunferências em direcção ao exterior do triângulo e uma semi-circunferência que

tenha como raio a hipotenusa e que passe por todos os pontos do triângulo, então a

soma das áreas das lunas, compreendidas entre as três semi-circunferências é igual à

área do triângulo rectângulo dado.

Esta afirmação pode ser comprovada ao se resolver as equação:

��� = área do semicírculo de diâmetro ������

�� = área ∆[ABC]

������ = 5

������ = 3

������ = 4

��� = " × 2,5&

��� =6,25"

2= 3,125"

�� =4 × 3

2

�� = 6 �)&

6

� *1 =" × 1,5&

2

� *1 =2,25"

2= 1,125"

� *2 + ,2 = " × 2&

2

� *1 + *2 + ,1 + ,2 = 3,125" − 6

� ,1 + ,2 = .1,125" + 2"/ − .3,125" − 6/

� ,1 + ,2 = 3,125" − 3,125" + 6

� ,1 + ,2 = 6

� ,1 + ,2 = �� = 6

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A Duplicação do Cubo

Não se sabe com exactidão quando e quem criou este problema, porém existem várias

passagens sobre o assunto.

Uma história conta que os délios estavam a enfrentar uma praga, e foi questionado o

oráculo de Apolo em busca de um método de combater a peste. Este afirmou que o altar de

Apolo, cuja forma era cúbica, devia ser duplicado.

Uma outra versão diz que o rei Minos, querendo um túmulo maior para o seu filho

Glauco, exigiu que este fosse duplicado sem que perdesse a forma cúbica.

Os gregos sabiam resolver um problema semelhante, mas mais simples – duplicar um

quadrado.

Dado um quadrado ABCD, traça-se uma diagonal (BD) e constrói-se um quadrado de

lado igual a essa diagonal (BDEF). Este novo quadrado irá ter o dobro da área do original.

Isto poderia ter sido o que levou os gregos a pensarem em uma solução para a

duplicação do cubo; contudo, todas as soluções eram teóricas e nenhuma solução prática foi

encontrada.

Apenas no séc. XIX, mais de 2000 anos depois da formulação do problema,

estabeleceu-se a impossibilidade da realização do problema com apenas régua (não graduada)

e compasso – instrumentos euclidianos.

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Quadratura do Círculo A quadratura do círculo é um problema criado pelos antigos geómetras gregos,

e resume-se em desenhar um quadrado com a mesma área de um círculo somente com uma régua e um compasso e com um número finito de etapas.

“Em 1882, Ferdinand Lindemann provou que π é um número transcendente, ou seja, não existe um número inteiro dos quais π seja uma raiz. Assim, não é possível representar π por números inteiros, fracções racionais ou raízes.” (adaptado de Quadratura do

Círculo in http://pt.wikipedia.org/wiki/Quadratura_do_c%C3%ADrculo)

Por essa razão torna-se impossível construir, somente com uma régua e um compasso, um quadrado cuja área seja rigorosamente igual à área de um círculo.

Trisecção do Ângulo

A trissecção do ângulo, tal como o nome sugere, consiste em dividir um ângulo em três ângulos iguais, utilizando apenas compasso e régua (nãoa quadratura do círculo e a duplicação do cubo, é impossível de realizar apenas com estes instrumentos; contudo, em certas amplitudes (como por exemplo 90 graus), uma trissecção é realizável. Nenhuma história ou lenda está associada a este problema.

Trissecção aproximada

Trisecção do Ângulo

A trissecção do ângulo, tal como o nome sugere, consiste em dividir um ângulo ângulos iguais, utilizando apenas compasso e régua (não-graduada). Tal como

a quadratura do círculo e a duplicação do cubo, é impossível de realizar apenas com estes instrumentos; contudo, em certas amplitudes (como por exemplo 90 graus), uma

enhuma história ou lenda está associada a este problema.

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A trissecção do ângulo, tal como o nome sugere, consiste em dividir um ângulo graduada). Tal como

a quadratura do círculo e a duplicação do cubo, é impossível de realizar apenas com estes instrumentos; contudo, em certas amplitudes (como por exemplo 90 graus), uma

enhuma história ou lenda está associada a este problema.

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Conclusão

Hipócrates de Quios deu um grande contributo à matemática clássica, pois conseguiu ser o primeiro calcular a área de uma figura geométrica determinada por curvas, fazendo com que se abrissem um grande número de hipóteses para avançar com o problema da quadratura do círculo; contudo, nunca foi resolvido.

Estudou também outros três problemas clássicos, que eventualmente foram dados como impossíveis de realizar com instrumentos euclidianos (regra não graduada e compasso). Todo o seu trabalho foi armazenado no livro Elementos de Euclides, pois o que Hipócrates escreveu fora perdido.

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Bibliografia

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/67/Trisec%C3%A7ao.png http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/hippocrates.htm

http://www.cefetsp.br/edu/guerato/mat_bio_hipocrates.htm

http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/duplica-cubo.html

http://recursos.malha.net/component/option,com_docman/task,doc_download/gid,253/Itemid,41/

http://www.prof2000.pt/users/miguel/tese/pdf/4_Capt_1.pdf http://pt.wikipedia.org/wiki/Quadratura_do_c%C3%ADrculo