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33 HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS 1 MARZO 2011
LLAA M MOTIVACIÓNOTIVACIÓN E ENN M MATEMÁTICASATEMÁTICAS CCONON A ANTECEDENTESNTECEDENTES HHISTÓRICOS ISTÓRICOS ¿Cómo motivar el inicio de un tema aplicando un antecedente histórico?
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Una característica comúnmente reconocida de la enseñanza de las matemáticas, es la falta de motivación que ofrecemos a los conceptos abstractos. Omitiendo su trasfondo histórico del como, cuando, donde y porque se dieron tales conceptos.
n el ámbito educativo propiamente hablando en la enseñanza de las
matemáticas, existe una deficiencia o desinterés con respecto a la utilización de la historia de las matemáticas como una herramienta didáctica mas, es decir no se le da la importancia que requiere su aplicación en la enseñanza de las matemáticas.
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A menudo introducimos una idea por medio de un concepto abstracto igualmente sin saber su motivo, o con algunas prácticas, a veces triviales, es decir, su aplicación "el mundo real", como una justificación que imponemos a nuestros estudiantes. Como resultado, la mayoría de los estudiantes ven las matemáticas como un juego con reglas arbitrarias, establecidas por nosotros, no relacionadas con algo.
La utilización de la motivación serviría para tratar de cambiarles este enfoque a los alumnos.Ahondando en la motivación, en la psicología y la filosofía, la motivación son las cosas que mueven a la persona a realizar determinadas acciones y persistir en ellas para su culminación. Este término está relacionado con el de voluntad y el del interés.
Las distintas escuelas de psicología tienen diversas teorías sobre cómo se origina la motivación y su efecto en
la conducta observable.
La motivación, en pocas palabras, es la voluntad para hacer un esfuerzo, por alcanzar las metas de la organización, condicionado por la capacidad del esfuerzo para satisfacer alguna necesidad personal.
La palabra motivación deriva del latín motus, que significa movido, o de motio, que significa movimiento¹.
La motivación puede definirse como el señalamiento o énfasis que se descubre en una persona hacia un determinado medio de satisfacer una necesidad, creando o aumentando con ello el impulso necesario para que ponga en obra ese medio o esa acción, o bien para que deje de hacerlo.
Son las actitudes que dirigen el comportamiento de una persona hacia el trabajo y lo apartan de la recreación y otras esferas de la vida.
"Es el impulso que inicia, guía y mantiene el comportamiento, hasta alcanzar la meta u objetivo deseado".
La motivación exige necesariamente que haya alguna necesidad de cualquier grado; ésta puede ser absoluta, relativa, de placer o de lujo. Siempre que se esté motivado a algo, se considera que ese "algo" es necesario o conveniente. La motivación es el lazo que une o lleva esa acción a satisfacer esa necesidad o conveniencia, o bien a dejar de hacerlo.
Los motivos pueden agruparse en diversas categorías:
a) En primer lugar figuran los motivos racionales y los emocionales.
b) Los motivos pueden ser egocéntricos o altruistas.
c) Los motivos pueden ser también de atracción o de rechazo, según muevan a hacer algo en favor de los demás o a dejar de hacer algo que se está realizando o que podría hacerse.
El uso de hechos históricos permite la aclaración de conceptos matemáticos al saber la forma y circunstancias en los que se surgieron y se dieron tales conceptos.
Incluso si pudiéramos convencer a los estudiantes que las cosas que enseñamos son realmente útiles, ¿por qué debería esto hacerlas interesantes para ellos? No hemos tratado las matemáticas como se merecen presentándolas sólo como "el lenguaje de la ciencia", ya que la mera utilidad de una materia no necesariamente genera algún entusiasmo por ella. Para muchos el entusiasmo proviene del aspecto creador, artístico de la materia, y su fascinación intelectual.
Otro inconveniente serio a nuestro enfoque actual consiste en que esto priva a los estudiantes del sentido que las matemáticas son un proceso.
A pequeña escala, los libros de texto modernos y los métodos clásicos de enseñanza dejan de ilustrar el modo en que los matemáticos realmente piensan y trabajan en los problemas. A una escala más amplia, privamos a los estudiantes del proceso a largo plazo por el cual una teoría matemática surge de la lucha con uno o más problemas centrales, a menudo durante muchos siglos². Estos procesos, sin embargo, son las mismas cosas que queremos que entiendan.No es de extrañar que tanta gente, incluso aquellos que han tenido una buena cantidad de matemáticas en la escuela secundaria o la universidad, son incrédulos cuando uno les dice
33 HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS 1 MARZO 2011
(1)L. R. Aiken «Teorías de la motivación », Pearson, 2003
(2) Miguel de Guzmán, « Origin and Evolution of Mathematical Theories: Implications for Mathematical Education »
La Motivación en Matemáticas con Antecedentes
que de hecho, hay mucha investigación que continúa en las matemáticas de nuestros días. Ellos sólo han visto una estructura aparentemente petrificada, sin el rastro de sus orígenes humanos creativos.
Los matemáticos saben, por supuesto, que se lo debemos en gran medida al trabajo de nuestros predecesores, no sólo en la forma evidente, sino como una fuente continua de inspiración: Hay todavía muchas ideas que se encuentran en los trabajos de Gauss, Weierstrass y Hilbert, e incluso en Euler. Para un novelista, poeta, pintor o filósofo tales observaciones serían viejas noticias, ya que sus disciplinas han reconocido desde hace mucho tiempo la importancia de estudiar las obras originales, las técnicas y las perspectivas de los maestros clásicos.
Lamentablemente, hemos perdido ese sentido de la tradición en nuestra disciplina, e, irónicamente, podemos culpar quizás la mayor parte de esta pérdida a la explosión deslumbrante de las matemáticas en este siglo. Ya es tiempo de recuperar la perspectiva histórica.
Si fuera sólo una cuestión de informar a nuestros estudiantes que "todo esto proviene de algún lugar", entonces el recurso habitual de impartir un curso sobre la historia de las matemáticas podría en primer intención parecer suficiente.
Pero estos cursos tienden a marginar y eliminar la misma materia que ellos defienden, generalmente hablando sobre matemáticas sin realmente hacer matemáticas. Además, en la historia de muchos cursos de matemáticas, así como los libros sobre la historia de las matemáticas, se gasta una cantidad excesiva de tiempo en el pre
renacimiento de las matemáticas, y prácticamente poco tiempo a las matemáticas del siglo XIX y XX. Si bien, por ejemplo, las matemáticas de Babilonia son muy interesantes, es apenas relevante a las cosas que la mayor parte de los estudiantes aprenden en sus cursos.
Tampoco es suficiente añadir simplemente biografía histórica o comentarios a los cursos de matemáticas que enseñamos, ya que, si bien tales complementos pueden proporcionar una dimensión humana a la materia, ellos arrojan muy poca luz sobre las matemáticas. En cambio, sostenemos que es necesario integrar firmemente el estudio de fuentes originales en todos nuestros cursos, presentando estas fuentes para motivar las teorías modernas que se han generado. El estudio de los escritos originales del pasado es esencial para poder entender de donde la matemática vino, como esta evoluciona actualmente, y hacia donde puede ir. En palabras de Abel, "Me parece que si se quiere avanzar en las matemáticas, uno debe estudiar los maestros y no a los alumnos³."
Utilizado fuentes originales los estudiantes comienzan a ver las matemáticas de un nuevo modo. Las matemáticas ya no son una colección de enigmas, que no guardan una relación.
Entonces, ¿Cómo podemos usar fuentes originales en nuestra enseñanza? Ciertamente, casi cada idea matemática es construida sobre una sucesión de ideas precedentes. Y cuando uno se remonta a lo largo de esta cadena de ideas, los problemas al comienzo se vuelven cada vez más claros.
Al trabajar a través de estas fuentes originales que discuten y solucionan, o intentan solucionar, los problemas
antecedentes, los estudiantes descubren las raíces de los problemas modernos, las ideas y los conceptos, e incluso los temas. Ellos también ven los obstáculos que lospensadores anteriores tuvieron que afrontar para avanzar, y así comprender mejor los problemas actuales y la forma de abordarlos.
Entonces ¿por qué no leer un texto moderno que establezca este gran esquema? ¿Por qué estudiar los escritos originales? Por dos razones. Para que perciban la tenacidad, los falsos comienzos y triunfos de sus practicantes, así como los pasos sobresalientes que revolucionaron los campos y mostraron el camino hacia el siguiente ciclo.
La segunda razón es más sutil y tal vez derivada de la primera, pero, no obstante, importante. Cuando los estudiantes leen fuentes originales, ellos se inician en el modo en que las matemáticas son practicadas: a través de la investigación, la publicación y el debate. Los matemáticos a la vanguardia en su área no leen libros de texto, sino que leen artículos de investigación. Por lo tanto, nuestros estudiantes también deberían leer tales documentos.
Los estudiantes pueden leer las fuentes en una combinación de trabajo individual, en grupos pequeños, después de que introducimos su lectura con una descripción y los alertamos de las partes en particular difíciles. El debate se extiende progresivamente a toda la clase que reconstruye el argumento, considera las consecuencias del resultado. Esto emula en gran parte la dinámica de la investigación matemática.
Nuestros estudiantes entienden que creemos en ellos lo suficiente como para pedirles que se enfrenten a las fuentes originales como nosotros, y su respuesta a esta fe se
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(3)Ronald Calinger, « Classics of mathematics », second edition
(4)Richard Mankiewicz, « Historia de las Matematicas », Editorial Paidos, 2000
manifiesta en el aumento de la intensidad de su motivación y estudio, y en el espíritu que impulsa su trabajo.
¿Qué importancia tiene este enfoque a nuestro plan de estudios del estudiante actual universitario? Nuestros cursos suelen tener planes de estudios que deben ser "cubiertos" para su uso en el próximo curso. Estos requisitos no deben, y no son necesarios que se interpongan en el camino real de proporcionar la verdadera motivación intelectual. Por ejemplo, en un primer curso sobre la teoría de grupo, sentimos que no puede haber mejor introducción al tema que el artículo de Arthur Cayley que resume por primera vez el concepto de un "grupo" de numerosos ejemplos que abundan en la investigación contemporánea. También en un comienzo de un curso de análisis real, se puede conocer la verdadera naturaleza de los números reales que en el tratado original de Dedekind sobre el tema, explica cómo su exploración de
sus cualidades esenciales surgió directamente de la insatisfacción con sus explicaciones en clase a los estudiantes de cálculo. En el cálculo, los estudiantes se pueden beneficiar tanto de la comprensión y lamotivación de ver directamente las luchas de Arquímedes, Cavalieri, Torricelli, Leibniz y de Cauchy, ya que el tema se trasladó desde la elaboración de los métodos de exhausción, hasta la prueba geométrica original de Leibniz con indivisibles del teorema fundamental para el cálculo de áreas, que culminó en casi un visión moderna de la integral con el trabajo de Cauchy.
Hay de hecho un abastecimiento enorme de fuentes que ilustran y traen casi todos los conceptos enseñados a los estudiantes de cualquier nivel. Si son cuidadosamente seleccionadas, las fuentes originales pueden enriquecer altamente tanto a los estudiantes y a los instructores.Excelentes fuentes originales se pueden encontrar publicadas en las obras de muchos
matemáticos de la antigüedad hasta el siglo XX, y en el libro de las colecciones editadas porR. Calinger, J. Fauvel y J. Gray, H.O. Midonick, D.E. Smith, D.J. Struik, N. Biggs, G. Birkhoff y J. Van Heijenoort.
PropuestasPropuestas
1.- Involucrar en la enseñanza de las matemáticas fuentes originales que permitan comprender el desarrollo histórico o evolución de los conceptos matemáticos, derivados directa o indirectamente de la solución de un problema o problemas.
2.- Crear contenidos a nivel bachillerato, que hagan énfasis de la aplicación de la historia de las matemáticas considerándola como una herramienta didáctica mas.
3.- Motivar el inicio de los temas con breves relatos históricos de los personajes que hicieron aportaciones del tema a tratar.
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La Motivación en Matemáticas con Antecedentes
(5)David E. Smith, « A source book in mathematics», Mc Graw Hill, 1987
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