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David Aubin 14/10/2011

LG301 ‐ Cours 5 1

Une histoire des nombres:

concepts, représentations et pratiques

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14/10/2011LG301 - Histoire des nombres 1

Sommaire

1. Le nombre, la numération, le calcul dans l’Antiquité

2. Deux types de mathématiques; deux types d’arithmétique en Grèce ancienne

3. Les chiffres arabes et l’invention de l’algèbre4. Mathématiques et commerce en Europe, 1200-

15005. La géométrie analytique de Descartes


Qu’est‐ce qu’un nombre?Représentations physiques Système verbal


• Parties du corps, cailloux, brindilles, encoches, coquillages, ficelles…

• Des « chiffres » qui apparaissent en même temps que l’écriture (il y a env. 5000 ans).

• Des systèmes de numérotation.

• Des sons qui reproduisent les systèmes de numérotation.

• Sans doute postérieur aux représentations physiques (pas de mots différents pour des choses différentes)

Leopold Kronecker (19e siècle) : « Dieu a créé les nombres entiers, tout le reste est l'œuvre de l'homme. »

Rappel: Conception moderne des nombres réels


http://biblio.alloprof.qc.ca/ImagesDesFiches/2500‐2999‐Maths‐au‐secondaire/2501/2501i1.jpg

Histoire des nombres• Trois aspects de la question à prendre

en compte:

1) La conception du nombre: Quelle est sa nature mathématique ou philosophique? Y a-t-il des types différents de nombres?

2) La représentation des nombres: Quel système de numération est employé pour écrire les nombres?

3) La manipulation des nombres: En particulier, quels méthodes de calcul sont employées? Peut-on manipuler d’autres objets comme si c’était des nombres (inconnues ou grandeurs géométrique)?


1Le nombre, la numération, le calcul dans l’Antiquité

La préhistoire, les « Babyloniens », les Egyptiens, les Grecs



LG301 ‐ Cours 5 2

L’ethnomathématique• Due à l’anthropologue brésilien Ubiratan

D'Ambrosio.• Leigh Wood: « Toutes les cultures sont

mathématisées, dans le sens où toute culture utilise des idées mathématiques dans la vie quotidienne. »

• Professeur Mariana Ferreira (SFSU) à une femme xingu dans l’Amazonie: « Vous avez un stylo et je vous en donne un autre: combien de stylos avez-vous? — J’ai un stylo. — Comment obtenez-vous cette réponse? — J’ai un stylo, je n’ai pas besoin de l’autre. »Cf. http://www.ethnomath.org


La représentation des nombres

• Mathématiques préhistoriques= avant l’écriture

• Quelques artefacts difficiles à interpréter.

• Le bâton d’Ishango(Congo)o 168 encoches sur un

os, regroupées systématiquement.

o 25 000 ans avant aujourd’hui.


Institut royal des sciences naturelles de Belgique

Les systèmes de numération oraux

• Pour compter, les habitants de l’île de Pâques utilisent les doigts des deux mains, mais jamais les orteils.

• De 1 à 10, les syllabes sont prononcés comme un seul mot, dans les multiples de 10 les mots sont bien séparés.

• Pour se rappeler d’un nombre, on fabrique des faisceaux des joncs.

• Thomson, W. J. (1891). Te Pito Te Henua, or Easter Island. Washington, DC: Government Printing Office.


La numération des Egyptiens

• Aussi vieille que les pyramides: • La base 10:

o des symboles pour 1, 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000…


1 333 331

http://lh5.ggpht.com/_qVrPjNrM2q4/R6djL17eMWI/AAAAAAAAD6M/_E0uuaoJSco/Les+chiffres+anciens.jpg

Les fractions


• Dénotation des fractions 1/2, 1/3, 1/4…

• La règle de Maya (trésorier de Toutankhamon vers – 1330).

• Papyrus de Rhind(vers –1650).

• Table de valeurs de 2/n :

http://euler. slu. edu/escher/upload/9/9f/Mayameetstokdetailog6. jpg

http://madisonclarke.files.wordpress.com/2011/02/rhind_mathematical_papyrus.jpg?w=578&h=363

Les Mésopotamiens


8000: premiers jetons3500–3000: à Uruk, l’écriture, la comptabilité…Vers 2000: Ur III, la notation sexagésimale1600–2000: Babylone, mathématiques florissantes: multiplication, racines, puissances, problèmesalgorithmiques….

Uruk

Ur

Babylone


LG301 ‐ Cours 5 3

Les MésopotamiensLes « calculis » sumériens

(env. 4000 av. J.-C.)Les cunéiformes

(env. 1800 av. J.-C.)


Babylone (vers –1800)• Trios pythagoriciens

Tablette dite de Plimpton 322 (Univ. Columbia, NY)

• Table de multiplication University of Pennsylvania Museum B6063


http://isaw.nyu.edu/exhibitions/before‐pythagoras/items/plimpton‐322/images/P322obv.png

http://isaw.nyu.edu/exhibitions/before‐pythagoras/items/b‐6063/images/B6063obv.png

Un système de notation positionnel

2Deux types d’arithmétique

Platon, Euclide, pratiques hybrides.


Les mathématiques grecques

• Rappel: Deux types de mathématiques chez Euclide: géométrie et arithmétiqueo Les nombres sont composés d’unités; les grandeurs sont

toujours divisibles. o Les grandeurs ne peuvent donc pas être représentées par

des nombres!o Origines distinctes chez Eudème de Rhodes:

Origine phénicienne des nombres. « c’est assurément chez les Phéniciens, à cause du commerce maritime et des contrats, que la connaissance précise des nombres a débuté […]. »


La numération des Grecs• Le système archaïque de l’Attique

• Le système ionien:ce système ne permet pas de faire des calculs.

Les calculs se font à l’aided’un abaque.


L’abaque occidental

• Différent du boulier (=l’abaque oriental)

• Détail du vase de Darius (provenant de Canossa) Vers – 350.Museo Archeologico Nazionale, Naples


http://www.encyclopedie‐universelle.com/images/abaque‐vase‐darius‐perse‐musee‐archeologique‐naples‐pm.jpg

http://www.iser.uni‐erlangen.de/pictures/I9024_02.jpg


LG301 ‐ Cours 5 4

Les chiffres romains

• Principes de numération à la fois additifs et soustractifs.

• Ne permettent pas d’algorithme de calcul.

• Utilisés majoritairement en Europe occidentale jusqu’à la fin du Moyen Âge.


Philosophes et vulgaire

• Platon (rappel): Philèbe. « SOCRATE: Ne doit-on pas reconnaître qu'il y a une arithmétique pour le vulgaire et une autre propre aux philosophes ? […] Car les uns font entrer dans le même calcul des unités numériques inégales, par exemple, deux armées, deux bœufs… »« PROTARQUE: Tu as raison de dire que la différence entre ceux qui s’occupent des nombres n’est pas petite, et qu’on est par conséquent fondé à distinguer deux espèces d’arithmétique. »

• La logistique (=le calcul et la numération) et l’arithmétique (=science des nombres).


Platon, La République• SOCRATE: l'étude [de la logistique et de l'arithmétique ] est nécessaire au

guerrier pour ranger une armée, et au philosophe pour sortir de la sphère du devenir et atteindre l'essence, sans quoi il ne serait jamais arithméticien. […] Il conviendrait donc, Glaucon, de prescrire cette étude par une loi, et de persuader à ceux qui doivent remplir les plus hautes fonctions publiques de se livrer à la science du calcul, non pas superficiellement, mais jusqu'à ce qu'ils arrivent, par la pure intelligence, à connaître la nature des nombres; et de cultiver cette science non pas pour la faire servir aux ventes et aux achats, comme les négociants et les marchands, mais pour l'appliquer à la guerre, et pour faciliter la conversion de l'âme du monde de la génération vers la vérité et l'essence […].

• S: Et j'aperçois maintenant […] combien [la science des nombres] est belle et utile, sous bien des rapports, à notre dessein, à condition qu'on l'étudie pour connaître et non pour trafiquer.G: Qu'admires-tu donc si fort en elle?S: Ce pouvoir, dont je viens de parler, de donner à l'âme un vigoureux élan vers la région supérieure, et de l'obliger à raisonner sur les nombres en eux-mêmes, sans jamais souffrir qu'on introduise dans ses raisonnements des nombres visibles et palpables.

14/10/2011LG301 - Histoire des nombres 21 14/10/2011LG301 - Histoire des nombres 22

Les nombres chez EuclideLIVRE VII:


Les irrationnels chez Euclide• LIVRE X

Calcul de l’aire d’un trapèze (Papyrus d’Ayer à Chicago)

« Soit donné un trapezoïde scalène tel que celui dessiné plus bas, selon les conditions du problème, le 13 au carré égale 169, et le 15 au carré égale 225. Retirer le 169; le reste est 56. Retirer le 2 du côté supérieur du 16 de la base; le reste est 14. Prendre 1/14 de 56; c'est 4. Cela retiré du 14 laisse 10. La moitié de ceci laisse 10. La moitié de ceci égale 5. Ceci au carré égale 25. Retirer ceci du 169; le reste est 144, dont la racine est 12. Ceci par le 5 de la base égale 60, dont la moitié est 30; de tant d'acres est la surface de chacun des triangles rectangles. Et le 12 par le 2 du côté supérieur égale 24; de tant d'acres est le rectangle intérieur. Et le 12 multiplié par le 4 de la base égale 48; dont la moitié est 24; de tant d'acres est le triangle obtusange. Suit la figure: »

Edgar J. Goodspeed, “The Ayer Papyrus,” The American Mathematical Monthly, Vol. 10, No. 5 (May, 1903), pp.133-135 .



LG301 ‐ Cours 5 5

La trigonométrie• Ptolémée (90 à 170), L’Almageste,

o المجسطيالكتاب , al-kitabu-l-mijisti, (i.e. « Le grand livre »), orig. La synthèse mathématique, ou Composition mathématique.

o Manuscrit grec du 12e siècle (Vatican)• Déjà chez Hipparque, des tables de

cordes: o Corde(A) = 2 sin(A/2)


http://www.ibiblio.org/expo/vatican.exhibit/exhibit/d‐mathematics/images/math09a.jpg

Un astrolabe arabe de 1309


http://www.hps.cam.ac.uk/starry/isaslabe2med.jpg http://www.hps.cam.ac.uk/starry/isaslabe1med.jpg

Au Moyen Âge en Europe• Numération romaine. • Tradition néopythagoricienne héritée d’Euclide

o Nicomaque de Gérase (v. 150): Introduction à l’arithmétique et Théologie arithmétique.

o Jamblique (v. 242 – v. 325) o Boèce (v. 480 – v. 525),

Institution arithmétique.

• Calcul commercial à l’aide de l’abaque occidental.


Une table pour faire des calcul:

l’abaque occidental

La valeur d’un jeton dépend de sa position sur la table.


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e0/Rechentisch.png

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b0/Rekenaar_1553.jpg

L’abaque occidentalJehan Adam, Traicté en arismetique pour la practiquepar gectouers… Parchemin. XVe siècle (1475).

Bibliothèque Sainte-Geneviève [Ms. 3143]

Secrétaire de Nicolle Tilhart, notaire et auditeur des comptes de Louis XI, l'auteur lui dédie ce traité illustré de nombreuses figures décrivant l'usage de l'abaque, héritage romain qui constitua le principal instrument de calcul numérique médiéval.


http://www‐bsg.univ‐paris1.fr/la_reserve/expos/sciences/IMGWEB/savants2‐II‐3p.JPG

3Les chiffres « arabes »

Invention, diffusion, algorisme et algèbre



LG301 ‐ Cours 5 6

Les chiffres « arabes »• Abu Ja'far Muhammad

ibn Musa Al-Khwarizmi(env. 790 – env. 840).

o Kitāb 'al-ĵāmi` wa'l-tafrīq bīh'isāb ’al-Hind كتاب الجامع و التفريق ), )بحساب الھند ou Livre de l'addition

et de la soustraction d'après le calcul indien :

o exposé de « la manière de calculer des Indiens à l’aide des neufs caractères » + la « dixième figure en forme de cercle » (le zéro), dont il recommande de « ne pas négliger l’usage afin de ne pas confondre les positions ».

o le texte arabe n’a pas été retrouvé.


• Le zéro et la notation de position proviennent d’Inde.

• Le manuscrit de Bakhshālī(date incertaine, vers – 200 à + 400). R. Hoernle, vienne 1887.

• En 629 Brahmaguptaexpose les calculs écrits (addition et multiplication) dans ce système.

Codex Vigilanus• Manuscrit produit à

Pampelune en Espagne en 976.

• Première apparition des chiffres arabes en occident.


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3b/Codex_Vigilanus_Primeros_Numeros_Arabigos.jpg

http://www.vallenajerilla.com/albeldense/amanuense.jpg

Gerbert d’Aurillac


• Gerbert d’Aurillac (futur pape Sylvestre II, le pape de l’an Mil)

se familiarise avec les chiffres arabes à l’occasion d’un voyage à Cordoue en 972-982.

• Notation et nom des chiffres dans divers manuscrits latins du 10e

siècle:(Œuvres de Gerbert, Clermont-Ferrand, 1867, p. xxxvi.)

Illustration from Cod. Pal. germ. 137, Folio 216v Martinus Oppaviensis, Chroniconpontificum et imperatorum ~1460http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b8/Silvester_II._and_the_Devil_Cod._Pal._germ._137_f216v.jpg

« Dixit Algorizmi »


• Algoritmi de numero Indorum : manuscrit latin du 12e siècle, traduction probable d’Adélard de Bath [Cambridge, University Library, Ii. 6.5]

Fibonacci• Leonard de Pise,

Liber abaci, 1202.

• « Nommé scribe public et établi à la douane de Bougie… mon père me fit venir encore enfant auprès de lui et pendant quelques jours me fit demeurer là à apprendre l’abaque. Lorsque par un enseignement admirable je fus introduit dans l’art (du calcul) par les neufs chiffres indiens… avec ces neufs chiffres et avec le 0 qui s’appelle Zephirum en arabe, on peut écrire tous les nombres qu’on veut. »


http://nicholasvmmuseum.wikispaces.com/file/view/Liber_Abaci.jpg/101797615/Liber_Abaci.jpg

Table des matières du Liber Abaci

(1202)1. Sur la reconnaissance des neuf chiffres

indiens et comment tous les nombres peuvent s’écrire avec leur aide

2. Sur la multiplication des entiers3. Sur leur addition 4. Sur la soustraction de nombres inférieurs de

nombres supérieurs 5. Sur la multiplication d’entiers et de fractions,

et aussi de fractions seules6. Sur l’addition, la soustraction, et division des

entiers par des fractions et la réduction des fractions

7. Sur l’achat et la vente de choses commerciales

8. Sur le troc et l’achat de monnaies9. Sur les compagnies 10. Sur la monnaie etc….


http://www.twistedlifestyle.com/Images/Liber‐Abaci‐Book‐Of‐Calculation‐002.jpg


LG301 ‐ Cours 5 7

Abacisme vs. algorisme

Publiés la même année (1514), les deux traités

de Köbel (à gauche)

et de Böschenteyn (à droite)

exposent l’un le calcul

avec des jetons sur abaque,

l’autre le calcul à la plume sur papier.


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5b/K%C3%B6bel_B%C3%B6schenteyn_1514.jpg

Margarita philosophica, par Gregor Reisch, début 16e siècle

L’arithmétique La géométrie


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