História da Trigonometria e algumas Curiosidades

A palavra TRIGONOMETRIA tem origem grega: TRI (três), GONO (ângulo) e METRIEN (medida).

Etimologicamente, significa medida de triângulos.Trata-se, assim, do estudo das relações entre os lados e os ângulos de um triângulo.

As suas aplicações iniciais foram na área da:

Astronomia

Navegação

Cartografia

Construção

Iniciou-se através dos Babilónios e Egípcios, por volta do século IV e V a.C., para dar resposta a problemas práticos de Astronomia, Agrimensura e Navegação.

Papiro de Rhind

Também, por volta dos séculos VI e IV a.C., começou-se a desenvolver na Grécia, com o objectivo de dar resposta a problemas de Astronomia.

No séc. III a.C., Arquimedes de Siracusa no seguimento do trabalho que desenvolveu para calcular o perímetro de um círculo dado o respectivo raio, calculou o comprimento de grande número de cordas e estabeleceu algumas

fórmulas trigonométricas.

No século V a.C., Hipócrates de Quios estudourelações entre arcos de circunferência e respectivas cordas.

Hiparco de Nicéia, por volta de 180 a 125 a.C., ganhou o direito de ser chamado "o pai da Trigonometria" pois, na segunda metade do século II a.C., fez um tratado em doze livros em que se ocupou da construção do que deve ter sido a primeira tabela trigonométrica, incluindo uma tábua de cordas. Evidentemente, Hiparco fez esses cálculos para usá-los nos seus estudos de Astronomia. Hiparco foi uma figura de transição entre a astronomia babilónica e a obra de Ptolomeu.

Foi Ptolomeu (séc. II d.C.) quem influenciou o desenvolvimento da Trigonometria, durante muitos séculos.

O seu livro Almagesto, contém uma tabela de cordas correspondentes a diversos ângulos, por ordem crescente e em função da metade do ângulo, que é equivalente a uma tabela de senos, bem como uma série de proposições da actual trigonometria.

No século III d.C., surgiu a Trigonometria esférica, através dos matemáticos Indianos e Árabes.

No século XV, Johann Muller Regiomontanus (1436 – 1476), conseguiu sistematizar os conhecimentos trigonométricos até então conhecidos.

No século XVI, François Viéte (1540 – 1603) introduziu Teoremas que permitiram relacionar lados e ângulosde triângulos não rectângulos.

Nos séculos XVIII e XIX, a Trigonometria atinge o seu expoente máximo, onde se destacaram os trabalhos do matemático suiço Euler (1707-1783) e de Joseph Fourier (1768 – 1830) , no âmbito das funções trigonométricas.

Fourier Euler

Algumas aplicações atuais:

Telecomunicações

Música

Astronomia

Medicina

Física

Sociologia

Evolução dos instrumentos que medem ângulos

Balestilha (Vara de Jacob) Astrolábio Sextante

Grafómetro ( Século XVI e XVII) Teodolito

GPS

Quadrante

Razões trigonométricas

Triângulo retângulo

a é o cateto oposto do ângulo α

c é o cateto adjacente do ângulo α

b é a hipotenusa do ângulo α

Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida da hipotenusa.

sin𝛼

Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a medida da hipotenusa.

Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida do cateto adjacente.

EXERCÍCIO 1

Considera o triângulo rectângulo [ABC],retângulo em A.

45

3

α

Determina as razões trigonométricas do ângulo α.

EXERCÍCIO 2

Determina, com duas casas decimais, a amplitude do ângulo α.

Nota: Utilizando a calculadora, existem as funções que dado o valor do seno ou do cosseno ou da tangente, conseguimos calcular a amplitude do ângulo.

1cos (...) 1(...)tg

B

A C

𝑠𝑖𝑛−1(…)

EXERCÍCIO 3

Considera o triângulo retângulo. Determina o valor de x, com uma aproximaçãoàs décimas.

a)

b)

EXERCÍCIO 4

Determina a altura da torre, apresenta o resultado com uma aproximação às centésimas.

Fórmulas Trigonométricas

+

Apenas por curiosidade, podemos conhecer outras razões trigonométricas

Razões trigonométricas dos ângulos especiais: 30º, 45º e 60º

30º 45º 60º

Seno

Cosseno

Tangente 1

Exerc í cio 1 :Sabendo que oângulo α é 𝑎𝑔𝑢𝑑𝑜𝑒𝑐𝑜𝑠𝛼=45 ,𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖𝑛𝛼−2 𝑡𝑔𝛼

Exercício 2: Sabendo que e que 0 < < 90º , determina :

a) b)

Exercício 3: Mostra que para qualquer ângulo agudo de amplitude x :

b)

c)

d)