Hochschule Trier Fachgebiet Vermessungstechnik ... · 1 : 500 eine Genauigkeit von 5 cm (im Gelände) möglich. Lagepläne sind grundsätzlich nach Norden orientiert (Nordpfeil!!)

Hochschule Trier Fachgebiet VermessungstechnikFachrichtung Bauingenieurwesen Prof. B. Lehmann

Skript zur Vorlesung

© Prof. B. Lehmann - 2014

Professor B. Lehmann - 1 - Vermessungskunde 1

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G l i e d e r u n gSeite

Einführung ..............................................................................................................................................................3Erdfigur...............................................................................................................................................................3Erddimensionen..................................................................................................................................................3

Maßsysteme ...........................................................................................................................................................4Längenmaße:......................................................................................................................................................4Winkelmaße:.......................................................................................................................................................4

Geodätisches Koordinatensystem............................................................................................................................4Geodätische Hauptaufgaben ...............................................................................................................................51. Hauptaufgabe: ...............................................................................................................................................52. Hauptaufgabe: ...............................................................................................................................................5

Hinweise zum Führen eines Vermessungsrisses......................................................................................................7Hinweise zum Fertigen eines Lageplanes ................................................................................................................9Lageberechnung ...................................................................................................................................................10

Kleinpunktberechnung.......................................................................................................................................10Messungslinienberechnung......................................................................................................................11

Flächenbestimmung aus Feldmaßen .................................................................................................................12Flächenbestimmung aus Koordinaten ................................................................................................................13Aus Orthogonalkoordinaten:.............................................................................................................................13

Gauß'sche Trapezformel:.........................................................................................................................13Gauß'sche Dreiecksformel: ......................................................................................................................13

Aus Polarkoordinaten:......................................................................................................................................13Das Polarplanimeter..........................................................................................................................................13

Höhenfestpunkte...................................................................................................................................................14Deutscher Normalhöhenpunkt von 1879 ............................................................................................................14Deutsches Haupthöhennetz 1992 (DHHN 92) ....................................................................................................14Höhenpunktfestlegungen...................................................................................................................................15

Instrumentenkunde................................................................................................................................................16Einfache Höhenmessgeräte ..............................................................................................................................16Bauarten von Nivellierinstrumenten ...................................................................................................................16Gerätebauteile ..................................................................................................................................................17Zubehör............................................................................................................................................................17Nivellierlatten ....................................................................................................................................................18Nivellementsarten .............................................................................................................................................18

Das einfache Nivellement ......................................................................................................................................19Formularnotierung............................................................................................................................................19Liniennivellement .............................................................................................................................................19Ablaufschema eines Nivellements ....................................................................................................................20

Hinweise zum Ablauf eines Nivellements ...........................................................................................................20Nivellierprobe nach NÄBAUER..........................................................................................................................21Beispiel zur Fehlerrechnung und Abgleichung eines Doppelnivellements............................................................21Längs- und Querprofile ....................................................................................................................................22

Längsprofil...............................................................................................................................................22Querprofile ..............................................................................................................................................25

Flächennivellement ...............................................................................................................................................25Höhenrost.........................................................................................................................................................25Höhenlinieninterpolation....................................................................................................................................26

Erdmassenberechnung .........................................................................................................................................26Erdmassenberechnung aus Querprofilen ...........................................................................................................26Erdmassenberechnung aus Prismen .................................................................................................................28Erdmassenberechnung aus Höhenlinien............................................................................................................29

Grundlagen der Lagemessung...............................................................................................................................30Geographisch Nord, Magnetisch Nord, Gitternord ..............................................................................................30Kartennetzentwürfe...........................................................................................................................................31Mehrere geodätische Bezugssysteme................................................................................................................32Gauß-Krüger-Koordinatensystem ......................................................................................................................32UTM-System.....................................................................................................................................................33Umstellung des geodätischen Bezugssystems...................................................................................................34Grundlagennetze ..............................................................................................................................................35Horizontal-, Vertikal- und Positionswinkel...........................................................................................................36Bauteile und Zubehör eines Theodolits ..............................................................................................................37Einteilung der Theodolite...................................................................................................................................38Ausschnitte von Teilkreisen ...............................................................................................................................38Ablesebeispiele analoger Theodolite..................................................................................................................39Horizontierung des Theodolits, Justierung der Stehachslibelle............................................................................40Hinweise zum Ablauf einer Horizontalrichtungsmessung ....................................................................................40Ablaufschema einer Horizontalrichtungsmessung ..............................................................................................41

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Vermessungskunde 1 - 2 - Professor B. Lehmann

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Verfahren der Einzelpunktbestimmung .................................................................................................................. 43Rückwärtsschnitt............................................................................................................................................... 43Vorwärtsschnitt ................................................................................................................................................. 44Vorwärtsschnitt über Dreieckswinkel ................................................................................................................ 44Vorwärtsschnitt über Richtungswinkel .............................................................................................................. 45

Bogenschnitt..................................................................................................................................................... 46Vertikalwinkelmessung.......................................................................................................................................... 47

Vertikalkreisablesung........................................................................................................................................ 47Einfluss der Indexabweichung........................................................................................................................... 47

Trigonometrische Höhenmessung ......................................................................................................................... 49Grundlagen ...................................................................................................................................................... 49Turmhöhenbestimmung mit horizontalem Hilfsdreieck........................................................................................ 49Turmhöhenbestimmung mit vertikalem Hilfsdreieck............................................................................................ 50Einfluss der Erdkrümmung .............................................................................................................................................50Einfluss der Refraktion und der Erdkrümmung................................................................................................... 50Elimination von Refraktion und Erdkrümmung durch gleichzeitige Zenitwinkelmessung in zwei Standpunkten ..... 51

Koordinatentransformationen ................................................................................................................................ 52Ähnlichkeitstransformation ................................................................................................................................ 52Überbestimmte Ähnlichkeitstransformation ........................................................................................................ 54Affintransformation............................................................................................................................................ 55BASIC - Programm zur Affintransformation........................................................................................................ 57

Freie Standpunktwahl ........................................................................................................................................... 59Polygonzüge......................................................................................................................................................... 60

Beiderseits angeschlossener Polygonzug.......................................................................................................... 60Freier Polygonzug (Einrechnungszug) ............................................................................................................... 61Ringpolygonzug................................................................................................................................................ 61

Tachymetrische Geländeaufnahme ....................................................................................................................... 64Auswahl und Aufnahme der Geländepunkte ...................................................................................................... 65Führung des Vermessungsrisses ...................................................................................................................... 66Punktnummerierung.......................................................................................................................................... 68

Vermessung mit Hilfe von Satelliten....................................................................................................................... 70Statistik und Fehlerlehre........................................................................................................................................ 74

Einführung - Terminologie................................................................................................................................. 74Häufigkeitsverteilungen..................................................................................................................................... 75Graphische Darstellungen................................................................................................................................. 77Klasseneinteilungen.......................................................................................................................................... 79Verteilungsformen............................................................................................................................................. 80Statistische Maßzahlen eindimensionaler Häufigkeitsverteilungen ...................................................................... 81Lageparameter ................................................................................................................................................ 81

Das arithmetische Mittel........................................................................................................................... 81Das gewogenes arithmetisches Mittel....................................................................................................... 82Der Median ............................................................................................................................................. 82Der Modus .............................................................................................................................................. 83Quartile, Dezile, Zentile, Quantile, Fraktile................................................................................................ 83Das geometrische Mittel .......................................................................................................................... 83Das harmonische Mittel ........................................................................................................................... 83

Streuungsparameter ........................................................................................................................................ 84Spannweite ............................................................................................................................................. 84Varianz und Standardabweichung............................................................................................................ 84Variationskoeffizient ................................................................................................................................ 85

Zweidimensionale Merkmalsausprägungen ....................................................................................................... 85Regressionsanalyse ........................................................................................................................................ 87

Lineare Regression ................................................................................................................................. 87Korrelationsanalyse ......................................................................................................................................... 88

Normalverteilung............................................................................................................................................... 88Gauß'sche Glockenkurve......................................................................................................................... 88

Standardisierte Normalverteilung ..................................................................................................................... 89Verteilungsfunktion der standardisierten Normalverteilung ................................................................................ 92

Fehlerlehre ....................................................................................................................................................... 94Fehlerarten...................................................................................................................................................... 94

Grobe Fehler ........................................................................................................................................... 94Systematische Fehler .............................................................................................................................. 94Zufällige Fehler........................................................................................................................................ 94

Begriffsdefinition.............................................................................................................................................. 95Auswertung direkter Beobachtungen gleicher Genauigkeit ................................................................................ 95Auswertung direkter Beobachtungen verschiedener Genauigkeit ...................................................................... 96Das Fehlerfortpflanzungsgesetz....................................................................................................................... 97

Toleranzen im Bauwesen................................................................................................................................ 100Hinweise zur Ausarbeitung der Übungen im Fach Vermessungskunde ................................................................. 101Stichwortverzeichnis und Abkürzungen:............................................................................................................... 103Literaturangaben:................................................................................................................................................ 104Stand: Juli 2014


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Einführung

Die Bezeichnung Geodäsie kann aus dem griechischen abgeleitet werden:

geos = Erde dasei = teilen

F. R. HELMERT bezeichnete die Geodäsie als das Ausmessen und Abbilden der Erdoberfläche. Dies umfasst die Bestimmung von Form, Größe und Schwerefeld der Erde sowie ihre Beschrei-bung in Plänen, Karten und Verzeichnissen. Heute gehört dazu auch noch die Bestimmung der Oberfläche außerirdischer Körper.

Die Geodäsie gliedert sich in folgende Teilgebiete:

1. Erdmessung oder physikalische Geodäsie2. Astronomische Geodäsie und Satellitengeodäsie3. Landesvermessung4. Topographie und Kartographie5. Photogrammetrie6. Bodenordnung und Bauleitplanung7. Grundstücksvermessung (Katastervermessung)8. Ingenieurvermessung

Gestalt der Erde – Geoid

Erdfigur

- 25,8 m

+ 18,9 m

Mittleres Erdellipsoid Erdoberfläche, Geoid, Ellipsoid

Erddimensionen

Erddimension nach Große Halbachse a Kleine Halbachse b Abplattung a b

a

BesselHayfordKrassowskijIUGGIUGG - WGS 84

18411924194019671984

6 377 397 m6 378 388 m6 378 245 m6 378 160 m6 378 137 m

6 356 079 m6 356 912 m6 356 863 m6 356 775 m6 356 752 m

1 : 299,151 : 2971 : 298,31 : 298,251 : 298,257 223 563


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MaßsystemeIn Deutschland gilt seit 1970 verbindlich das SI - System (Système International d'Unités).

http://www.ptb.de/cms/fileadmin/internet/publikationen/DasInternationaleEinheitensystem.pdf

Längenmaße:Längeneinheit ist das Meter (m).

http://www.ptb.de/cms/themenrundgaenge/hueterindereinheiten.html

Durch Vorsatzzeichen lassen sich dezimale Vielfache bzw. Teile bilden:

Vorsatz Vorsatz- Vorsatz Vorsatz-zeichen zeichen

101 Deka da 10-1 Dezi d102 Hekto h 10-2 Zenti c103 Kilo k 10-3 Milli m106 Mega M 10-6 Mikro 109 Giga G 10-9 Nano n1012 Tera T 10-12 Piko p

Winkelmaße:In der Geodäsie wird das Gradmaß und das Bogenmaß verwendet. Es muss je nach Aufteilung des Vollkreises unterschieden werden in:

Sexagesimalteilung: Der Vollkreis hat 360 °

Zentesimalteilung: Der Vollkreis hat 400 gon

Seit 1937 wird im Vermessungswesen in Deutschland einheitlich die Zentesimalteilung benutzt. Vorteil hierbei ist, dass die Nachkommastellen Dezimalwerte sind. Alle Berechnungen werden also grundsätzlich in GON vorgenommen! Diese Einteilung kann bei Berechnungen mit dem Ta-schenrechner problemlos berücksichtigt werden, indem in die Winkeleinheit GRAD gewechselt wird.

Üblich für die Angabe von Teilen eines Gon-Winkels ist die Angabe mgon. Die Bezeichnung Neu-grad (g), Neuminute (c) und Neusekunde (cc) sind seit 1978 ungültig und dürfen nicht mehr be-nutzt werden!

Geodätisches KoordinatensystemDas geodätische Koordinatensystem ist ein Linkssystem. Die positive Abszissen - (X) Achse zeigt nach Norden, die Ordinaten - (Y) Achse zeigt nach Osten. Ein Winkel wird von der X - Achse rechtsläufig abgetragen, er heißt Richtungswinkel t.

x

y

t

P

http://www.ptb.de/cms/fileadmin/internet/publikationen/dasinternationaleeinheitensystem.pdfhttp://www.ptb.de/cms/themenrund


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Lage der Quadranten:

Geodätische Hauptaufgaben

1. Hauptaufgabe:

Berechnung von polaren Punkten

Gegeben: P1 (y1 ; x1) Gesucht: P2 (y2 ; x2)t1,2 und s

2. Hauptaufgabe:

Berechnung von Richtungswinkel und Entfernung

Gegeben: P1 (y1 ; x1) Gesucht: t und sP2 (y2 ; x2)

x

y

P2t2,1

P1

t1,2 s

y2y2 - y1

x2

x2 - x1

y1x1

x

y

P2

P1

t1,2 s

y2 = y1+yy = s sin t1,2

x2

xx = s cos t1,2x2 = x1+x

y1x1

IV I

IIIII


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Zur Vereinfachung der Berechnungsansätze und zur Vermeidung von Verwechslungen mit dem mathematischen kartesischen Koordinatensystem werden zweckmäßiger Weise als Koordinaten-achsen die Bezeichnungen Rechts und Hoch eingeführt.

Mit 12 RRR und 12 HHH lässt sich die Strecke entsprechend dem Lehrsatz des Py-

thagoras bestimmen zu: 22 HRs . Damit und mit den trigonometrischen Funktionen lässt sich im rechtwinkligen Dreieck der Dreieckswinkel jeweils ermitteln:

HRtan

bzw. sRsin

sHcos

Mit allen drei Berechnungsansätzen müsste sich für den gesuchten Richtungswinkel t immer das gleiche Ergebnis ergeben!

Beispiel:

Q ΔR ΔH s arctan . t t arcsin . arccos .[gon] [gon] [gon] [gon]

I 3 4 5 40,966 40,966 t = α 40,966 40,966II 3 -4 5 -40,966 159,033 t = α + 200 40,966 159,033III -3 -4 5 40,966 240,966 t = α + 200 -40,966 159,033IV -3 4 5 -40,966 359,033 t = α + 400 -40,966 40,966

Zur eindeutigen Festlegung ist auf jeden Fall die Betrachtung der Lage in den jeweiligen Quadran-ten erforderlich.

Eine einfachere Berechnung erlaubt die Polarfunktion POL bzw. die Polartaste des Taschenrech-ners: Beim SHARP – Taschenrechner müsste folgende Eingabe vorgenommen werden:

Tasten: ΔR ↕ ΔH ↕ ↕

Q ΔR ΔH liefert s liefert θ t t[gon] [gon] [gon]

I 3 4 5 40,966 40,966 t = θII 3 -4 5 159,033 159,033 t = θIII -3 -4 5 -159,033 240,966 t = θ + 400IV -3 4 5 -40,966 359,033 t = θ + 400

Der angezeigte Winkel θ hat also den Definitionsbereich ( 200200 ) in gon.

Zur eindeutigen Bestimmung des Richtungswinkels ist folgende Vorgehensweise sinnvoll:

Es wird über – ΔR und – ΔH zunächst der Gegenrichtungswinkel berechnet und danach grundsätzlich 200 gon hinzuaddiert. Dies führt nun zum Definitionsbereich für t ( 400t0 ).

Bei der Programmierung im SHARP Taschenrechner kann über die Polarfunktion POL sofort der richtige Richtungswinkel berechnet werden über: A=POL(-ΔH , - ΔR):S=Y:T=Z+200

Hinweis: Bei SHARP liegt in der Variablen Y die Strecke, in der Variablen Z der Winkel.

Auch bei MICROSOFT EXCEL kann über: =ARCTAN2(-ΔH ; -ΔR)*200/PI()+200 jeweils di-rekt der richtige Richtungswinkel (in gon) berechnet werden.

SHIFT → r θ


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Hinweise zum Führen eines Vermessungsrisses

Ein Vermessungsriss sollte folgende Inhalte haben:

1. Jeder angemessene Punkt wird durch einen Punkt markiert. Grenzpunkte erhalten, wenn sie vermarkt sind, eine Signatur, die die Art der Vermarkung (Grenzstein, Rohr, Nagel etc.) kenn-zeichnet.

2. Vermessungspunkte, deren Koordinaten bekannt sind -sog. NP's- erhalten eine Kreissignatur (=4mm) und eine unterstrichene Punktnummer.

3. Grenzlinien und Gebäudeseiten werden voll ausgezogen, Messungslinien werden gestrichelt dargestellt.

4. Die Maßzahlen auf den Messungslinien werden vom Anfangs- bis zum Endpunkt durchlaufend quer zur Messungslinie eingetragen. Dabei werden die Maßzahlen bei abgehenden Messungs-linien oder Einbindelinien auf der freien Seite eingetragen.

5. Das Maß am Ende einer Messungslinie ist doppelt zu unterstreichen. Bei abgehenden Einbinde-linien oder dem Schnittpunkt zweier Messungslinien ist das Maß einfach zu unterstreichen. Eine Verlängerung erhält eine Pfeilspitze.

6. Die durchlaufende Schreibweise der Messungszahlen kennzeichnet die Geradheit der Mes-sungslinie; ansonsten muss ein Geradheitszeichen dargestellt werden ( kein Knickpunkt).

7. Einzelmaße (Streben, Spannmaße, Gebäudemaße) sind mit dem Fuß auf die gemessene Linie zu schreiben. Gerechnete Maße werden in Klammern geschrieben.

8. Ein durch ein Rechtwinkelinstrument bestimmter rechter Winkel wird durch zwei Viertelkreise gekennzeichnet.

9. Bei Straßen und Wegen ist die Begrenzung der Fahrbahn aufzumessen und darzustellen.

10.Bei Gleisen werden nur Punkte der Gleisachse aufgemessen.

11.Topographische Elemente (Bäume, Laternen) werden nur auf dm angemessen.

12.Beschriftungen werden zur Erläuterung vorgenommen, z.B.

- Nutzungsart (Hf, G, A, W, etc.)- Gebäudeart (Whs, Ga, Stall, etc.)- Straßenart (L 3112, B 52, Weg, etc.)- Nordpfeil- Datum und Unterschrift des Feldbuchführers

z. B. gemessen am 16. Juli 2014, Maier (Bau Ing.)

Weitere Einzelheiten können der DIN 18702 entnommen werden.


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Schreibweise der Maßzahlen in Vermessungsrissen gemäß DIN 18 702

Nordpfeil nach DIN

Das Feldbuch (Vermessungsriss, Formulare) ist sauber und ordentlich zu führen, sodass ein erneutes Abschreiben nicht erforderlich wird.

Das Muster zeigt die bei durchlaufender Messung anzuwendende Schreibweise

Verlängerung

Endmaß(Ende der Messungslinie)

Spannmaß

Steinbreite

Strebe

gerechnetes Maß

mehrere Punkte auf einerGeraden

Gebäudeeinmessung

abgehende Linie

Einmessung eines topo-graphischen Gegenstandes

11 Schnittpunkt

12 angelegtes Maß


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Hinweise zum Fertigen eines Lageplanes

Ein Lageplan stellt maßstäblich ein Stück der Erdoberfläche dar. Gebräuchliche Maßstäbe sind 1 : 250, 1 : 500 und 1 : 1000; für die freie Feldlage ggf. auch 1 : 2000. Als Zeichenträger werden üblicherweise transparentes Zeichenpapier oder -folie benutzt; jedoch auch glatter Zeichenkarton, der zur Erhöhung der Maßhaltigkeit auch mit einer Metalleinlage versehen sein kann. Für die Zeichnung auf Karton oder transparentem Papier kann normale Tusche, für die Zeichnung auf Fo-lie muss eine Spezialtusche verwendet werden.

Anhand des Zahlenmaterials der örtlichen Aufmessung, die im Vermessungsriss festgehalten wur-den, kann der Lageplan kartiert werden. Dazu wird zunächst für den Entwurf ein Bleistift (2H) be-nutzt. Erst am Ende wird die Kartierung mit Tusche ausgezogen. Weitere Hilfsmittel sind Anlege-maßstab, Kopiernadel, zwei Zeichendreiecke aus transparentem Material, Zirkel und ggf. Kurvenli-neale. Die Kartiergenauigkeit liegt bei 0,1 mm; entsprechend ist bei einem Kartenmaßstab von 1 : 500 eine Genauigkeit von 5 cm (im Gelände) möglich.

Lagepläne sind grundsätzlich nach Norden orientiert (Nordpfeil!!). Ein Nordpfeil ist nicht erforder-lich, wenn eine Rahmenkarte im Gauß-Krüger-Koordinatensystem oder UTM-Koordinatensystem mit dem entsprechenden Quadratnetz und Koordinatenangaben gefertigt wird. Bei der Kartierung von Verkehrswegen wird von dieser Regel abgewichen; diese Pläne werden entsprechend des Verlaufs unabhängig von der Nordrichtung unter Angabe eines Nordpfeils von links nach rechts o-rientiert.

In folgender Reihenfolge ist bei der Kartierung vorzugehen:

1. Konstruktion des Quadratnetzes und Kartierung der koordinatenmäßig bekannten Punkte.

2. Kartierung der Messungslinien unter Berücksichtigung eventueller Abweichungen, die proportio-nal verteilt werden.

3. Danach Kartierung der Objekte durch rechtwinkliges Abtragen von den Messungslinien oder Konstruktion mittels der Einbindelinien.

4. Auszeichnung mit Tusche. Zunächst der Kartenrahmen mit Angabe der Koordinatenwerte und des Maßstabs. Eigentums- und Flurstücksgrenzen werden mit einer Strichbreite von 0,35 mm; Gebäudeumrisslinien, Nutzungsartengrenzen, Begrenzungen von Fahrbahnen mit 0,25 mm ausgezogen. Nachgeordnete Vermessungspunkte (NP's - Polygonpunkte) erhalten einen Kreis von 2,5 mm Durchmesser mit Punktnummer (unterstrichen); abgemarkte Grenzpunkte einen Kreis mit 1,5 mm Durchmesser. Messungslinien werden nicht dargestellt.

5. Beschriftungen sind so anzuordnen, dass sie vom unteren Blattrand lesbar sind. Beschriftungen von Verkehrswegen folgen der Richtung der Anlage; Hausnummern sind mit dem Fuß der Zahl zur Straße gerichtet einzutragen.

6. Gebäudeflächen sind zu schraffieren. Wohngebäude und öffentliche Gebäude werden unter 50 gon zu den Begrenzungslinien, Wirtschaftsgebäude werden parallel zur kürzesten Seite schraf-fiert. Die Nutzungsart wird nur in öffentliche Gebäude -z.B. Kirche, Rathaus, Post etc.- eingetra-gen, ansonsten wird sie nicht eingetragen.

Weitere Einzelheiten können der DIN 18702 entnommen werden.


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Lageberechnung

KleinpunktberechnungGegeben: PA (yA ; xA) Gesucht: Pi (yi ; xi)

PE (yE ; xE)

o ysAE gem

.

= Ordinatenkonstante

a xsAE gem

.

= Abszissenkonstante

Für Punkte Pi auf der Messungslinie gilt: yi = yA + o sixi = xA + a si

Für Punkte Pi seitlich der Messungslinie gilt: yi = yA + o si + a hixi = xA + a si - o hi

wobei für hi links der Messungslinie AE ein negativer Wert verwendet werden muss!

Beispiel:

Gegeben folgende Koordinaten und die Messungsanordnung:

Punkt Rechts (Y) Hoch (X)

021 = A 35 23 652,14 52 15 739,96

023 = E 35 23 628,36 52 15 821,39

Riss:

A

x

y

Pi

E

sAEsixi

x yi

y

021

023

022/1

023/4

022


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MessungslinienberechnungOrt: _ Trier Projekt: ___B 51__________ Seite : ______1________

Datum: 2.2.2014 Berechnung : __Müller________

sger. d o a

sgem. dzul.

si o . si a . si

yi xi

Punkt hi a . hi - o . hi Punkt

Nr. yi xi Nr. Bemerkungen

021 35 23 652,14 52 15 739,96 A

022 15,62

022/1F 43,26

022/1 -5,39

023/4F 73,14

023/4 8,48

84,87

023 35 23 628,36 52 15 821,39 E

.gem.ger

gem.

AE

gem.

AE

gem.

ger.!

222AE

2AE.ger

ssds

x-x=a

sy-y

=oss

oam)x-(x+)y-(y=s:tzFormelansa

Form MessL 01 - 2014 by FH Trier - FB BLV


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Flächenbestimmung aus Feldmaßen

Beispiel:

Gegeben ist die folgende Messungsanordnung. Bestimmen Sie die Fläche des Sechseckes durch Zerlegung in Teilflächen (Dreieck, Trapez und verschränktes Trapez).

E 49,32

10,6642,34

33,7611,29

14,9331,25

0,00

7,518,12

13,72 12,28


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Flächenbestimmung aus Koordinaten

Aus Orthogonalkoordinaten:

Gauß'sche Trapezformel:

- für die Projektion auf die X - Achse: 2 11

1A y y x xi ii

n

i i

( ) ( )

- für die Projektion auf die Y - Achse: 2 11

1A x x y yi ii

n

i i

( ) ( )

Gauß'sche Dreiecksformel:

- für die Projektion auf die X - Achse: 21

1 1A y x xii

n

i i

( )

- für die Projektion auf die Y - Achse: 21

1 1A x y yii

n

i i

( )

Aus Polarkoordinaten:

21

1 1A s s r rii

n

i i i

sin( )

Das Polarplanimeter

Funktionsprinzip des Polarplanimeters mit dem Pol außerhalb der Fläche

2

1

3

4S

A1A2s1

s2r1

A4 s3 A3r2r3

s4r4

Nullrichtungdes Teilkreises

f Fahrarmlängep Polarmlängeq Abstand Messrolle - Ge-lenkR MessrolleG GelenkP PolF Fahrstift


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Höhenfestpunkte

Deutscher Normalhöhenpunkt von 1879

Deutsches Haupthöhennetz 1992 (DHHN 92)


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Höhenpunktfestlegungen


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Instrumentenkunde

Einfache Höhenmessgeräte

Grundgedanke des Nivellierens

Schlauchwaage

Längsschnitt durch das Ni 2 von ZEISS

Kompensationseinrichtung im Ni 2

Bauarten von Nivellierinstrumenten

Libellennivellier ohne Kippschraube(Norddeutsches Nivellier)

Libellennivellier mit Kippschraube(Süddeutsches Nivellier)

Nivellier mit automatischer Horizontierung

Abkürzungen:F FußschraubenLi Röhrenlibelle D DosenlibelleK Kippschraube LL LibellenachseS Seitenklemme ZZ ZielachseSF Seitenfeintrieb VV Vertikalachse

Setzlatte

Professor B. Lehmann Vermessungskunde 1

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- 17 -

Gerätebauteile

Röhrenlibelle

Dosenlibelle

Koinzidenzlibelle

Justiermöglichkeitdes Strichkreuzes

Einfaches Strichkreuzmit Distanzstrichen

Strichkreuz nach DIN 18 725mit Distanzstrichen

Strichkreuz mit Keilfür Feinnivellements

Zubehör

Lattenuntersatz


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17

16

15

Nivellierlatten

Lattenablesung

Höhe: 1,653 mEntfernung: 14,7 m

Lattenablesung

Höhe: 1,328 mEntfernung: 50 m

a b c d

Nivellierlatten

a) einfache Felderteilungb) doppelte Felderteilungc) umgekehrte Felderteilungd) Digitallatte

Nivellementsarten

Bezeichnung charakteristische Aufgaben Standardabweichungauf 1 km

DoppelnivellementBAU - Nivellement Höhenangaben für Wohnhäuser

Höhenaufnahmen im GeländeHöhenangaben für Straßen, Kanäle

> 1 cm

INGENIEUR - Nivellement Höhennetze von lokaler AusdehnungVerdichtung von OrtshöhennetzenHöhenangaben für Ingenieurbauwerken

2 - 10 mm

PRÄZISIONS - Nivellement Ingenieur- und LandesvermessungshöhennetzeHöhenangaben für MaschinenanlagenSetzungs- und Überwachungsmessungen

< 1 mm


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- 19 -

Das einfache Nivellement

Formularnotierung

LiniennivellementOrt : Trier Seite : 1

Datum : 16.11.10 Projekt: ___Linie 3_________ Beobachter : Maurer

Gruppe : Feldbuchführer : Schmitt

Wetter : heiter Temp.: _6__°C Sicht : _3__ km Instrument : Ni 2 – 4311

Punkt Ziel- Rück- Vor- Höhenunterschied = R - V Höhe BemerkungenNr. weite blick blick + - ü. NN

A 32 2,871 212,133

W1 32 1,342

W1 22 2,286

HP1 20 3,488

HP1 36 1,022

B 38 3,808 209,670

= h soll

= h ist

= wwzul. = 2 + 5 s kmwzul.=

vi = w s s

sr v( )

v2

v1v3

r2

r1r3I2

W1HP1I1

I332 32

22 20

36 38

h

3,4882,286

2,871 1,3423,8081,022

A

B


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Ablaufschema eines Nivellements

Hinweise zum Ablauf eines Nivellements

1. Transport des GerätesKompensatorgeräte werden, wenn sie auf dem Stativ sind, geneigt getragen, damit der Kompensator nicht hin- und herschlägt. Libel-lengeräte werden grundsätzlich mit vertikaler Stehachse getragen.2. Aus- und Einpacken des GerätesVor dem Herausnehmen des Instrumentes merke man sich die Lage im Transportbehäl-ter. Beim Einpacken sind Klemmschrauben zunächst zu lösen und wenn das Gerät im Behälter ist, leicht anzuziehen.3. Aufstellung des GerätesDer Instrumentenstandpunkt kann frei ge-wählt werden. Es ist jedoch darauf zu achten, dass Kfz-Verkehr nicht behindert wird. Die Zielweiten sollten nicht über 40 m liegen und die Zielweiten sollten gleich lang sein. Die Stativbeine werden soweit ausgezogen, dass in bequemer Haltung beobachtet werden

kann. In ebenem Gelände sind die Beine gleich lang und bilden ein gleichseitiges Drei-eck, bei geneigtem Gelände stehen zwei Sta-tivbeine zur Talseite. Der Stativteller sollte grundsätzlich horizontal, die Fußschrauben in Mittenstellung sein. Während der Messung wird das Stativ nicht angefasst!4 HorizontierungDie Libelle folgt bei gleichzeitiger, gegenläu-figer Drehung an zwei Fußschrauben der Bewegungsrichtung des linken Daumens; die dritte Fußschraube sollte deshalb auch mit der linken Hand verstellt werden.5 Okular scharf stellenDen Himmel oder ein weißes Blatt Papier, das vor das Fernrohr gehalten wird, betrach-ten und das Strichkreuz mit dem Einstellring am Okular scharf stellen. Das Strichkreuz darf sich beim Hinundherbewegen des Auges nicht verändern.

nein

ja

nein

ja

nein

ja

Ablesung notieren

hist = [Ri] - [Vi]

w = hsoll - hist

Latte ablesen

endgültige Auswertung

Fernrohr fokussieren

Instrument einpacken

Nivellier auspacken 2) und auf dem Stativ befestigen

Latte anzielen

Gerät horizontieren 4)

Instrument Standpunkt Ii

Stativbeine festtreten

i = 1

Latte Anfangspunkt PA

Okular scharf stellen 5)

Latte auf W i ?

W i = PE ?

w < wzul. ?

Latte W i

i = i + 1

Latte drehen!


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- 21 -

6. WechselpunkteDie Nivellierlatte muss in den Wechselpunk-ten immer auf einen Lattenuntersatz gestellt und beim Instrumentenwechsel vorsichtig ge-dreht werden. Sollte die Nivellierlatte einmal abgelegt werden, dann grundsätzlich mit der Ableseseite nach oben.7. FeldbuchDie abgelesenen Werte werden grundsätzlich sauber in einem Formular notiert. Dazu sagt

der Beobachter laut und deutlich die abgele-senen Werte -Nachkommastellen werden einzeln genannt- , der Feldbuchführer wie-derholt die Zahlenwerte und der Beobachter bestätigt diese Werte durch eine erneute Ab-lesung. Am Ende der Messungen erfolgt so-fort eine Überprüfung der Messwerte, ob sie innerhalb der Fehlergrenzen liegen. Die Be-rechnung der endgültigen Höhen kann später erfolgen.

Nivellierprobe nach NÄBAUER

I1: h1 = ( a1 - c ) - ( b1 - 2c ) = a1 - b1 + cI2: h2 = ( a2 - 2c ) - ( b2 - c ) = a2 - b2 - c

Wird die Differenz h1 - h2 gebildet, so erhält man:2 c = a2 - b2 - ( a1 - b1 )

Wenn kein Zielachsenfehler vorliegt, ist c = 0. Der Sollwert im 2. Instrumentenstandpunkt ist dann:a2 Soll = b2 + ( a1 - b1 )

Beispiel zur Fehlerrechnung und Abgleichung eines Doppelnivellements

HP h' h" si d ddddsi

hm vi h H

m m km mm m mm m m

1609 156,924+2,468 -2,472 0,82

17+1,037 -1,033 0,74

18+5,826 -5,832 1,90

19-3,704 +3,708 1,47

1610 162,559

Standardabweichung eines 1 km langen Doppelnivellements: 1

12

1kmD n

dds

n = Anzahl der gemessenen h

s

I2

I1

BA

h

a2 b2

b1a1

cc

cc

s s


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Längs- und Querprofile

Längsprofil

Ein Längsprofil stellt als Vertikalschnitt die Höhenlage der Erdoberfläche entlang einer Trasse dar. Durch Höhenmessung wird die Höhe (über NN) zunächst der regelmäßig angeordneten Stationie-rungspunkte und ggf. von Punkten bei markanten Änderungen der Geländeverhältnisse bestimmt. Ist die Trasse bereits in die Örtlichkeit übertragen, werden auch die Höhen an den Punkten be-stimmt, an denen eine Änderung der Trassierungselemente eintritt. Bei der anschließenden gra-phischen Auswertung wird die Geländedarstellung in der Regel im Verhältnis 1 : 10 überhöht (z.B. MdL = 1 : 1 000, MdH = 1 : 100) wiedergegeben.

Abmarkung eines Stationspunktesmit Grundpflock und beigestelltemNummerierungspflock

R = A = 80

0+300

0+247,82 = UA

0+200

0+100

0+000= Ausbauanfang

R =


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- 23 -

FlächennivellementOrt: Trier Seite : 1 _

Datum: 1.2.2014 Projekt: Querprofil _ Beobachter : Maier _

Gruppe: Feldbuchführer : Müller _

Wetter: heiter Temp.: _20_°C Sicht : _2_ km Instrument : Ni 2 - 4376 _

Punkt Ziel- Rück- Zwischen- Vor- Höhe der Höhe BemerkungenNr. weite blick blick blick Zielachse ü. NN

HP1 69 1,732 173,416

W1 72 1,138

W1 71 1,927 175,937

0+000 - 0,87 175,07

0+050 - 1,47 174,47

0+100 - 2,13 173,81

0+150 - 2,91 173,03

W2 63 3,461

W2 69 0,632 173,108

0+200 - 0,74 172,37

0+247 - 1,58 171,53

0+250 - 2,07 171,04

0+300 - 3,62 169,49

0+350 - 2,83 170,28

0+400 - 2,14 170,97

W3 64 1,738

W3 67 3,841 175,211

0+450 2,61 172,60

0+486 1,84 173,37

0+500 1,27 173,94

Form Niv 02 - 2014 by FH Trier - FB BLV


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173,94173,37

172,60

170,97

170,28

169,49

171,04

171,53

172,37

173,03

173,81

174,47

175,07


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- 25 -

Querprofile

Querprofile sind Vertikalschnitte der Erdoberfläche, die links und rechts senkrecht zum Längsprofil wenigstens in den Stationierungspunkten systematisch (etwa alle 5 m) erfasst werden. Die Erfas-sungsbreite ist von dem jeweiligen Projekt abhängig und geht über dessen Breite hinaus. In der Darstellung wird eine Überhöhung in der Regel nicht vorgenommen, damit spätere Flächenbe-stimmungen zur Ermittlung von Auf- oder Abtragsmassen auch mit graphischen Methoden (Po-larplanimeter) möglich sind.

Trassenverlauf im Grundriss mit Teil eines Längsprofils mit be-Darstellung der Querprofile reits eingetragener Gradiente

Damm Anschnitt Einschnitt

Querprofile zu dem Längsprofil

Flächennivellement

Höhenrost

Feldbuch über die Absteckung eines quadratischen Rostes


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Höhenlinieninterpolation

Höhenlinienkonstruktion Interpolation von Höhenlinien

Höhenliniendarstellung Falsche Interpolation durch nichtausreichende Punktdichte

Erdmassenberechnung

Erdmassenberechnung aus Querprofilen

Volumen zwischen zwei Querprofilen - Auftragsmasse eines Dammes(Fi und Fi+1 sind positiv)


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- 27 -

Koordinatenfestlegung und Punktnummerierung zur rechnerischen Bestimmung der (positiven) Auftragsfläche und der (negativen) Abtragsfläche

Prismatoidformel: )FF4F(61V 2m1

Prismenformel: )FF(21V 21

Pyramidenstumpfformel: )FFFF(31V 2211

Wechsel von Auftrag zu Abtrag

Berechnung der Damm- bzw. Einschnittlänge:

2211

11

D b/Fb/Fb/F

2211

22

E b/Fb/Fb/F

Bei gleicher Breite b1 = b2 vereinfachen sich die Längenberechnungen zu

21

1

D FFF

21

2

E FFF


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Mit den vorher genannten Längen lassen sich dann mit der positiven Auftragsfläche und der nega-tiven Abtragsfläche die getrennten Volumen berechnen:

Auftrag: D11 F21V

Abtrag: E22 F21V

Erdmassenberechnung aus Prismen

Volumen zwischen Geländeoberfläche und Bezugsfläche bei

horizontaler Bezugsfläche unterschiedlich geneigten Bezugsflächen

Die mittlere Höhe hmi ergibt sich für ein Dreiecksprisma aus:

h h h hmi i i i 1 2 3

3Die Addition aller Dreiecksprismen ergibt das Gesamtvolumen:

V V F hi i mii

n

i

n

11

Erdmassenberechnungen lassen sich heute auf einfache Weise mit Hilfe von EDV-Programmen auch für größere Gebiete durchführen (digitale Höhenmodelle - DHM).

Darstellung verschiedener digitaler Höhenmodelle


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- 29 -

Erdmassenberechnung aus Höhenlinien

Aufteilung eines Erdkörpers durch horizontale Schichten

Der Rauminhalt einer Schicht ergibt sich nach der Pyramidenstumpfformel:

V F F F F hi u u o o 13

( )

Beispiel: Massenberechnung durch Aufteilung des oben abgebildeten Erdkörpers in horizontale Schichten oberhalb einer Bezugsfläche in 70 m Höhe.

Höhe Begrenzungs-punkte FlächeVolumenzwischen h Fu Fo Vi

[m] [m2] [m] [m] [m] [m2] [m2] [m3]

70

71

72

73

73,5

GILMCG

GIKDG

GIJEG

GHFG

G

285

205

99

10

0

70,0

71,0

72,0

73,0

71,0

72,0

73,0

73,5

1,0

1,0

1,0

0,5

285

205

99

10

205

99

10

0


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Grundlagen der Lagemessung

Geographisch Nord, Magnetisch Nord, Gitternord

Geographische Koordinaten Meridiankonvergenz , Deklination und Na-delabweichung n in einem Meridianstreifen

0°

180°

80°

70°

magn.Nordpol

Nordkap

Nordpolarmeer

geogr.Nordpol

SibirienAlaska

Grönland Spitzbergen

Lage des magnetischen Nordpols

Kreisel am Äquator Kreiseltheodolit und Aufsatzkreisel

Geogr. Nord

M. N. M. N.Magn. Nord

Gi.N.Gi.N.Gi.N.

Schwerkraft

OstWest


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- 31 -

Präzession und Nutation Polbewegung 1967 - 1973

Kartennetzentwürfe

Art der Abbildungsfläche Art der Lage

Azimutale Abbildung Normale Lage

Konische Abbildung Transversale Lage

Zylindrische Abbildung Schiefachsige Lage


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Mehrere geodätische Bezugssysteme

Für die Fläche der Bundesrepublik Deutschland und den Grenzbereich der Nachbarstaaten sind derzeit noch vier geodätische Bezugssysteme von besonderer Bedeutung.

Das wiedervereinigte Deutschland verwendet derzeit das Gauß-Krüger-Meridianstreifensystembezogen auf das Bessel-Ellipsoid von 1841. Dieses Bezugssystem wurde von 1927 an auch in Deutschland bzw. in der Bundesrepublik Deutschland vor der Wiedervereinigung verwendet.

In der ehemaligen DDR wurde das System 42/83 auf dem Krassowskij-Ellipsoid verwendet. Die Kartenwerke wurden mit einem 6 Grad breiten Gauß-Krüger-Streifensystem dargestellt.

Das militärische Geowesen verwendet den europäischen NATO-Standard mit dem Europäischen Datum ED50 auf dem Internationalen Ellipsoid von Hayford von 1924. Die militärischen Karten-werke verwenden das UTM-Streifensystem (Universale Transversale Mercatorprojektion) zur Dar-stellung.

Durch die starke Akzeptanz und auch dem Vertrieb preiswerter Empfangsgeräte für das Satelliten-navigationssystem GPS gewinnt das 1984 festgelegte World Geodetic System (WGS84) immer mehr an Bedeutung.

Im Bereich der Europäischen Union (EU) sollte vom Jahr 2005 an ein einheitliches Koordinaten-system für alle Mitgliedsländer gelten. Bereits 1991 hat die Arbeitsgemeinschaft der Vermes-sungsverwaltungen der Länder der Bundesrepublik Deutschland (AdV) beschlossen, dass dies das UTM-System sein soll, das bereits bei den Umweltbehörden, beim Katastrophenschutz und im mili-tärischen Bereich verwendet wird. Die endgültige Umstellung bei den Landesvermessungsbehör-den wird aber wohl noch bis zum Jahr 2010 dauern.

Gauß-Krüger-Koordinatensystem

Längentreue Abbildung des Hauptmeridians Ellipsoidische Orthogonalkoordinatenbei der Transversalen Mercatorprojektion

Meridianstreifen nach Gauß-Krüger


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- 33 -

Meridianstreifensysteme nach Gauß-Krüger in Deutschland

Berührungszylinder bei 3° und 6°

Differentielle Abbildungsverzerrungen

UTM-System

Das Universale–Transversale–Mercator–System ist eine winkeltreue Abbildung und in seinem Aufbau dem Gauß-Krüger-System ähnlich. Mercator ist dabei der Name eines Geographen und Kartographen, der eigentlich Kremer hieß und Mitte des 16. Jahrhunderts eine Weltkarte für die Seefahrer schuf. Der durch ihn in dieser Karte verwendete winkeltreue Kartennetzentwurf trägt den Namen Mercatorprojektion und wird bis heute in der See- und Luftfahrt verwendet; eine Li-nie, die alle Meridiane unter dem gleichen Winkel schneidet (Loxodrome) wird in der Karte als Ge-rade dargestellt.

In Europa wird als Bezugsellipsoid das Internationale Ellipsoid von Hayford von 1924 verwen-det. Die Meridianstreifen sind 6° breit. Diese Meridianstreifen werden als Zonen bezeichnet und vom Hauptmeridian 177° westliche Länge (für den Bereich von 180° w. Länge bis 174° w. Länge) nach Osten bis zum Hauptmeridian 177° östliche Länge von 1 bis 60 durchnumeriert. Das Gebiet von Deutschland liegt in den Zonen mit den Nummern 32 und 33.

Damit sich die zum Rand hin auftretenden Verzerrungen in Grenzen halten, gibt es nicht wie bei der Gauß-Krüger-Abbildung einen längentreuen Hauptmeridian, sondern durch Verwendung eines Schnittzylinders zwei längentreue Kreisbögen. Der Bereich zwischen diesen beiden Kreisbögen wird verkürzt dargestellt. Dabei erhält der Hauptmeridian einen Verjüngungsfaktor von 0,9996; dies entspricht 40cm auf 1000m oder 4cm auf 100m oder 4mm auf 10m oder 0,4mm auf 1m. Die Außenbereiche werden vergrößert bis zum Faktor 1,00015 am jeweiligen Grenzmeridian. Damit im Randbereich zwischen zwei Streifen übergangslos gemessen und gerechnet werden kann, ist eine Überlappungszone von ca. 20 km je Zone = 40 km insgesamt vorhanden. 40 km am Äquator ent-sprechen ca. 22', so dass jede Zone eine Breite von 3°11' westlich und östlich des Hauptmeridians = 6°22' Zonenbreite hat.

180°

N

6°ö.L.0°

3°


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Transversaler Schnittzylinder Einteilung in Zone und Band

Aufgrund des Schnittzylinders können die Bereiche an den Polen nicht mehr unverzerrt abgebildet werden, so dass das UTM-System auf einen Bereich zwischen 80° (tlw. 84°) nördlicher Breite und 80° südlicher Breite begrenzt ist. Innerhalb einer Zone werden acht Breitengrade durch einen gro-ßen Buchstaben bezeichnet (sog. Band). Die Buchstaben I und O werden zur Vermeidung von Verwechslungen nicht genutzt. Die Bezeichnung für einen solchen Bereich ist Gitterzone. Deutsch-land liegt zum überwiegenden Teil in der Gitterzone 32U.

Koordinaten für den Dom in Trier:

Gauß-Krüger-Koordinaten Rechts Hoch2 546 382,61 5 513 486,76

Geographische Koordinaten Länge Breite06° 38' 37,618'' 49° 45' 26,279''

UTM-Koordinaten East North(Hayford) 32 330 321,10 5 514 388,99

(WGS84) 32 330 242,32 5 514 187,95

UTM Meldeplanquadrat 32U LA 3014

Umstellung des geodätischen Bezugssystems

Die Arbeitsgemeinschaft der Vermessungsverwaltungen der Länder der Bundesrepublik Deutsch-land (AdV) hat schon 1991 für alle Aufgabenbereiche des Vermessungs- und Katasterwesens die Einführung des European Terrestrial Reference Systems (ETRS89) beschlossen. Da alle euro-päischen Länder ihre bisher lokalen Referenznetze umstellen und an das einheitliche Bezugssys-tem ETRS89 anschließen, ist zukünftig die Verwendung staatenübergreifender Geodaten in einem einheitlichen Koordinatensystem möglich.

CDEFGHJKLM

NPQRSTUVWX

0° 0°8°

8°16°

16°24°32°40°48°56°

64°72°

80°

24°32°40°48°56°64°72°80°

um 0,9996zu verjüngenderHauptmeridian

Schnittzylinder

längentreueSchnittkreisbögen


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- 35 -

Als Abbildungssystem wird die Universale Transversale Mercatorprojektion (UTM) mit 6 Grad brei-ten Meridianstreifen auf dem GRS80-Ellipsoid (Geodetic Reference System) mit Datum ETRF89 (European Terrestrial Reference Frame) verwendet. Die Koordinaten im GRS80 stimmen bis auf wenige Millimeter mit WGS84 überein.

Die endgültige Umsetzung des Beschlusses der AdV war für das Jahr 2000 vorgesehen, wird aber noch einen längeren Zeitraum in Anspruch nehmen. In diesem Zeitraum werden die alten Systeme neben dem neuen System verwendet werden müssen.

Grundlagennetze

Ungefähr seit 1837 wurde in Deutschland mit der Vermessung der einzelnen Staatsgebiete be-gonnen. Als Messmethode wurde die Triangulation angewendet. Dazu wurden, ausgehend von einer zu damaligen Zeit sehr genau gemessenen Strecke (Basis), Dreieckswinkel (Angulus = Win-kel) gemessen und so die gemessene Strecke in die weiteren drangehängten Dreiecke übertra-gen.

Anschließend erfolgte eine umfassende Berechnung der Dreiecksnetze unter der Bedingung, dass die Summe der Dreieckswinkel 180° ergeben musste (Netzausgleichung nach der Gauß'schen Methode der kleinsten Quadrate). Mehrere Netzteile wurden zum Deutschen Hauptdreiecksnetz (DHDN) zusammengeschlossen. Als mathematische Berechnungsfigur diente das Rotationsel-lipsoid nach Bessel von 1841 mit dem Fundamentalpunkt Rauenberg bei Berlin

Triangulationsnetz (mit Basis) Trilaterationsnetz

Neuere Vermessungen (im Ausland) haben seit ungefähr 1960 zur Bestimmung der Koordinaten der Lagefestpunkte die Methode der reinen Streckenmessung angewendet. Diese Trilaterations-netze (Latus = Strecke) sind heute auch nicht mehr die aktuellste Methode zur landesweiten Be-stimmung eines Festpunktfeldes, heute werden die Methoden der Positionsbestimmung mit Hilfe künstlicher Erdsatelliten angewendet.

Die Lagefestpunkte der Grundlagenvermessungen werden heute überwiegend als Bodenpunkte durch eine unterirdische Platte mit einem daraufgestellten Pfeiler vermarkt. Wegen der früher vor-herrschenden Messmethode werden die Punkte als Trigonometrische Punkte (TP) bezeichnet. Entsprechend ihrer Bedeutung haben die Steinpfeiler Dimensionen von 12 x 12 x 60 cm über 16 x 16 x 60 cm bis 30 x 30 x 90 cm. Die Vermessungsnetze sind in bestimmte Ordnungen einge-teilt. So haben die Lagefestpunkte entsprechend ihrer Ordnung folgende Abstände:

Netz Seitenlänge des Dreiecks

1. Ordnung 30 – 50 km2. Ordnung 10 – 30 km3. Ordnung 3 – 10 km4. Ordnung (Aufnahmepunkte - AP's) 1 – 3 km

Zur weiteren Punktverdichtung wurden früher Polygonzüge gemessen, so dass in bebauten Berei-chen etwa alle 100 – 200 m ein Lagefestpunkt vorhanden ist.

Basis


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Merkblatt

über den Schutz der Grenz- und Vermessungsmarken

1.Die Grenzmarken und die Vermessungsmarken des amtlichen Lage-, Höhen- und Schwerenetzes (Steine, Kunststoffmarken, Rohre, Bolzen und dgl.) bilden eine wichtige Grundlage für viele öffentliche und private Vermessungsarbeiten. Neben ihrem allgemeinen öffentlichen Nutzen dienen sie insbesondere auch der Sicherung des Grundeigentums und der Wahrung des Grenzfriedens.

2.Die Abmarkungen erfolgen im allgemeinen oberirdisch.

3.Die Grenzmarken und die Vermessungsmarken sind durch das Abmarkungsgesetz unter besonderen Schutz gestellt.

4.Bei Erdarbeiten besteht die Gefahr, dass Grenz- und Vermessungsmarken zerstört, beschädigt oder ver-schüttet werden. Verursacht jemand vorsätzlich oder fahrlässig derartige Veränderungen an Grenz- und Vermessungsmarken, so begeht er eine Ordnungswidrigkeit; ihm können eine Geldbuße und die Kosten-der Wiederherstellung der Abmarkung auferlegt werden. In bestimmten Fällen kann Strafanzeige erstattet werden (§§ 274 und 304 des Strafgesetzbuches).

5.Ordnungswidrige Veränderungen an Abmarkungen und hohe Unkosten können vermieden werden, wenn die Auftraggeber von Erdarbeiten bzw. die ausführenden Unternehmer

a) dem zuständigen Katasteramt von dem beabsichtigten Bauvorhaben und dem Beginn der Arbeiten rechtzeitig Kenntnis geben und bei diesem Katasteramt oder bei einem Öffentlich bestellten Vermes-sungsingenieur die Sicherung der gefährdeten Abmarkungen beantragen - in diesem Fall trägt das Land die Kosten für die Sicherung und Versetzung von Vermessungsmarken. Für die Sicherung und Verset-zung von Grenzmarken hat der Auftraggeber (Grundstückseigentümer, ausführender Unternehmer) die Kosten zu tragen, die nach der Kostenordnung für Leistungen der Katasterbehörden bzw. Kostenord-nung für Leistungen der Öffentlich bestellten Vermessungsingenieure erhoben werden.

b) die am Bauvorhaben beteiligten Hilfskräfte zur gebotenen Sorgfalt und Vorsicht bei den Arbeiten anwei-sen.

6.Es empfiehlt sich, die Unternehmer bei der Auftragserteilung auf den Schutz und die Sicherung der Grenz-und Vermessungsmarken besonders hinzuweisen und sie zu verpflichten, die infolge der von ihnen zu ver-tretenden Versäumnisse entstehenden zusätzlichen Kosten zu tragen.

VA 1 Merkblatt über den Schutz der Grenz- und Vermessungsmarken

Winkelmessung mit dem Theodolit

Horizontal-, Vertikal- und Positionswinkel

Darstellung des Horizontalwinkels = r2 - r1, Vertikal(Höhen-)winkels und Positionswinkels

S

H xP1

P2

y

21

h1h2

r2r1


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- 37 -

Bauteile und Zubehör eines Theodolits

Darstellung eines einfachen Theodolits

Theodolitbauteile

Kreisklemme

Verbindung Stativ - Dreifuß optisches Lot

Dreifuß mit Zwangszentrierung Zieltafeln für Zwangszentrierung


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Einteilung der Theodolite

Klein- oder Bautheo-dolite

Ingenieurtheodolite Feinmesstheodolite

Ablesung 1 - 2 cgon 1 - 2 mgon 0,1 - 0,5 mgon

Horizontalkreis 50 - 100 mm 70 - 100 mm 80 - 100 mm

Vertikalkreis 50 - 75 mm 60 - 85 mm 70 - 90 mm

Fernrohrvergrößerung 18 - 25 fach 25 - 30 fach 30 - 35 fach

Verwendung Bauabsteckung Polygonierung, Abste-ckung, Kleintriangula-

tion

Triangulation, Feinab-steckung, Industrie-

vermessung

Ausschnitte von Teilkreisen

Analoge Ablesung Digitale Abtastung

Ablesung: 265,4412

Koinzidenzmikroskop vor und nach Betätigung des Mikrometers


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- 39 -

Ablesebeispiele analoger Theodolite

Sehfelder von Strichmikroskopen

Sehfelder von Skalenmikroskopen

Sehfelder von Strichmikroskopen mit optischem Mikrometer

Ablesung: 378,8506 gon 94°12'44,3"

Sehfelder von Koinzidenzmikroskopen


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Horizontierung des Theodolits, Justierung der Stehachslibelle

1. Instrument auf dem Stativ festschrauben und mit der Do-senlibelle grob horizontieren.

2. Röhrenlibelle parallel zur Verbindungslinie zweier Fuß-schrauben F1 und F2 stellen und mit diesen die Libellenbla-se gleichzeitig gegenläufig in der Mitte (Normalpunkt) ein-spielen. Die Libellenblase folgt dabei der Drehbewegung des Daumens der linken Hand.

3. Theodolitoberbau um 100 gon drehen, so dass die Libelle zur dritten Fußschraube zeigt. Auch hier die Libellenblase im Normalpunkt einspielen lassen.

4. Theodolitoberbau um 200 gon drehen. Bleibt die Libellen-blase nicht im Normalpunkt, ist die Libelle dejustiert. Durch Beseitigung des halben Libellenausschlags a mit der Fuß-schraube F3 wird die Libelle in den Spielpunkt gebracht.

5. Drehung des Theodolitoberbaues um 100 gon, damit die Libellenblase wieder parallel zu den beiden Fußschrauben steht. Die Libellenblase auch hier auf den Spielpunkt brin-gen. Damit ist i. d. R. das Instrument horizontiert.

6. Überprüfung der Horizontierung durch Drehung um 50 gon. Wandert die Libelle aus, so werden die Schritte 2. bis 6. wiederholt.

7. Mit Hilfe der Libellenjustierschraube kann die Libellenblase auf den Normalpunkt eingespielt werden. Dadurch ist der Spielpunkt in den Normalpunkt gelegt worden und die Li-belle justiert. Zur Kontrolle wird der Theodolit um 200 gon gedreht. Zeigt sich ein Libellenausschlag, sollten die Schrit-te 2. bis 7. wiederholt werden.

Hinweise zum Ablauf einer Horizontalrichtungsmessung1. Transport des GerätesKompensatorgeräte werden, wenn sie auf dem Stativ sind, geneigt getragen, damit der Kompensator nicht hin- und herschlägt. Libel-leninstrumente werden stets mit vertikaler Stehachse getragen.2. Aus- und Einpacken des GerätesVor dem Herausnehmen des Instrumentes merke man sich die Lage im Transportbehäl-ter. Beim Einpacken sind Klemmschrauben zunächst zu lösen und wenn das Gerät im Behälter ist, leicht anzuziehen.3. AufstellungDie Stativbeine werden soweit herausgezo-gen, dass in bequemer Haltung beobachtet werden kann. In ebenem Gelände bilden die Stativbeine ein gleichseitiges Dreieck, in ge-neigtem Gelände stehen zwei Beine zur Tal-seite. Der Stativteller muss genähert horizon-tal sein, die Fußschrauben des Dreifußes soll-ten in Mittenstellung sein.

Die Aufstellung erfolgt zentrisch über dem Bodenpunkt mit Hilfe des optischen Lotes. Während der Messung wird das Stativ nichtangefasst.4. HorizontierungDie Horizontierung eines Theodolites wir zu-nächst grob mit Hilfe der Dosenlibelle vorge-nommen, danach präzise mittels der Röhren-libelle. Die Libelle folgt bei gleichzeitiger, ge-gengegenläufiger Drehung an zwei Fuß-schrauben der Bewegungsrichtung des linken Daumens; die dritte Fußschraube sollte auch mit der linken Hand verstellt werden. Wandert die Libelle während der Messung aus, wird -jedoch erst zu Beginn eines neuen Satzes -wieder neu horizontiert. Weisen die Messer-gebnisse des vorherigen Satzes zu den nach der erneuten Horizontierung ab, so ist grund-sätzlich ein weiterer Satz zu beobachten und ggf. ist der Satz mit den abweichenden Wer-ten zu streichen.


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- 41 -

5. Okular scharf stellenDazu den Himmel oder ein weißes Blatt Pa-pier, das vor das Fernrohr gehalten wird, be-trachten und das Strichkreuz mit dem Einstell-ring am Okular scharf einstellen. Das Strich-kreuz darf sich beim Hinundherbewegen des Auges nicht verändern. Auch das Ableseoku-lar muss scharf eingestellt werden. Dazu muss Licht über einen Spiegel in das Instru-ment gespiegelt werden. Dieser muss vorsich-tig gedreht und geneigt werden.6. MessungJe nach Genauigkeitsanforderung und Ziel-punktanordnungen werden volle Sätze oder Halbsätze beobachtet, in der Regel durch drei Sätze. Die Anzielung der Ziele erfolgt in Lage I von links nach rechts, anschließend in Lage II von rechts nach links. Zunächst wird das Ziel grob über das Diopter, das sich auf dem Fernrohr befindet, angezielt. Erst danach wird durch das Fernrohr geschaut und das Ziel endgültig mittels der Feintriebschrauben scharf eingestellt.

7. Feldbuch/FormularÜber die Messungsanordnung ist grund-sätzlich eine Zeichnung (Riss) zu fertigen. Die abgelesenen Messwerte werden grundsätzlich sauber in einem Formular no-tiert. Dazu sagt der Beobachter laut und deutlich die abgelesenen Werte -Nachkommastellen werden einzeln ge-nannt- , der Feldbuchführer wiederholt die Zahlenwerte und der Beobachter bestätigt diese Werte durch eine erneute Ablesung. Am Ende der Messungen erfolgt sofort ei-ne Überprüfung der Messwerte, ob sie hin-reichend übereinstimmen. Ansonsten ist der Satz, der nicht in die Beobachtungsrei-he passt, zu streichen und durch eine wei-teren Satz zu ersetzen. Nach Abschluss der Messung erfolgt unmittelbar die Aus-wertung der Fehlerrechnung. Erst danachkann mit dem Instrument zu einem anderen Standpunkt gewechselt bzw. eingepackt werden.

Ablaufschema einer Horizontalrichtungsmessung

nein

ja

nein

nein

ja

ja

ja

nein

nein

ja

Ablesung notieren

r = Anzahl der Zielen = Anzahl der Sätze

endgültige Auswertung

Summenprobe, reduzieren

Instrument einpacken

Stativ zentrisch, Stativteller horizontal aufstellen 3)

Theodolit auspacken 2) und auf dem Stativ befestigen,zentrieren und horizontieren

Zieli scharf mit Feintrieb einstellen

Zieli grob einstellen, klemmen

Fernrohr fokussieren

i = 1

Fernrohr in Lage I

Okulare scharf einstellen

i = r ?

Lage I

durchschlagen

Teilkreis um200/n verstellen

i = 1

grober Fehler?

i = i + 1

i = i - 1

weitere Sätze?


Hochschule Trier

HorizontalrichtungsmessungOrt: Trier Projekt:____Turnhalle__________ Seite: 2

Datum: 1.2.2014 Beobachter: Müller

Gruppe: 5 Feldbuchführer: Maier

Wetter: heiter Temp.:_3__°C Sicht: _5__ km Instrument: T 16 - 47 13

Stand- Ziel- Horizontalkreis Mittel aus reduziertes Mittel aus Fehler-punkt punkt Ablesung I und II Satzmittel allen rechnung

Lage I Lage II Beobachtungen 0,1 mgon[gon] [gon] [gon] [gon] [gon] d v vv

31 22 2 347 202 34524 64 163 264 16025 128 513 328 51126 214 907 14 906

31 22 67 574 267 572 67 573 0 00024 129 389 329 387 129 388 61 81525 193 737 393 736 193 736 126 16326 280 130 80 128 280 129 212 556

31 22 133 486 333 484 133 485 0 00024 195 303 395 302 195 302 61 81725 259 652 59 650 259 651 126 16626 346 045 146 043 346 044 212 559

f = ( r - 1 ) . ( n - 1 ) s =v v

fForm Trig 01 - 2014 by FH Trier - FB BLV


Hochschule Trier

Verfahren der Einzelpunktbestimmung

Rückwärtsschnitt

Gegeben: Koordinaten der Festpunkte A, M, B

Gemessen: Auf dem Neupunkt die RichtungenrA, rM, rB zu den Festpunkten

Gesucht: Koordinaten des Neupunktes P

Rückwärtsschnitt nach COLLINS

MBA M r-r=r-r Günstige Bestimmungsrichtungen

gon200',gon200'gon200wenn','gon200wenn

AB

ABB,A

2AB

2AB

x-xy-yarctan=t

)x-x(+)yy(=AB

AM

AMM,A

2AM

2AM

x-xy-yarctan=t

)x-x(+)yy(=AM

M,AB,A t-t=Gefährlicher Kreis

Hinweis: Treten bei den folgenden Streckenberechnungen negative Werte auf, so sind diese bei den weiteren Berechnungen auch zu berücksichtigen!

M

P

A B

M

P

A B

P'

P

A

MB

P rA

rB rM A

FG

M

B

H


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)'+'(sin'sinAB=AH

'cosAH=AG

'sinAH-=GH

cosAM=AF

sinAM-=FM

)AFAG()FMGH(arctan=

auf die Lage in den Quadranten achten!

BA,HP, t=t FMGHwenn,gon200t=t HP,HP,

'sinsinAH=AP)'(-=gon200't=t HP,PA,

Neupunktberechnung:

PA,AP

PA,AP

tcosAPx=x

tsinAPy=y

Kontrolle:

''=tt'=ttxxyyarctan=t

Soll

AP,BP,

Soll

MP,BP,PB

PBBP,

Hinweis:Der Rückwärtsschnitt sollte aufgrund eventuell ungünstiger Messungsanordnungen zu-gunsten anderer Messmethoden (polare Messung) nicht mehr angewendet werden.

Vorwärtsschnitt

Vorwärtsschnitt über Dreieckswinkel

Gegeben: Koordinaten der Festpunkte A und B

Gemessen: Auf den Festpunkten die RichtungenrAB, rAP, rBA, rBP


AB = ( y y ) + ( x - x )

t = arctan y - yx - x

B A2

B A2

A,BB A

B A

r - r = r - rAP AB BA BP

B

P

A

rBPrBA

rAB

rAP


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t = tA,P A,B t = t tB,P B,A A,B 200 gon

)+(sinsinAB=AP

BP = AB sin sin ( + )

Neupunktberechnung: Kontrolle:

y = y AP sin t

x = x AP cos tP A A,P

P A A,P

PB,BP

PB,BP

tcosBPx=x

tsinBPy=y

Vorwärtsschnitt über Richtungswinkel

Gegeben: Koordinaten der Festpunkte A, B, C und D

Gemessen:Auf den Festpunkten die Richtungen- zum Neupunkt rAP, rBP- zu den Fernzielen rAC, rBD,


AB = ( y y ) + ( x - x )


B A2

B A2

A,BB A

B A

t = arctan y - yx - xA,C

C A

C At = arctan y - y

x - xB,DD B

D B

t = t +(r - r )A,P A,C AP AC t = t + (r - r )B,P B,D BP BD

= t - tA,P A,B = t - t t 200 gon - tB,A B,P A,B B,P

AP = AB sin sin ( + )

BP = AB sin

sin ( + )


y = y AP sin t


P A A,P

PB,BP

PB,BP

tcosBPx=x

tsinBPy=y

DB

P

C

A

rBP

rBD

rACrAP


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Bogenschnitt

Gegeben: Koordinaten der Festpunkte A und B

Gemessen: Strecken AP BP und ggf AB, .


Ist AB nicht gemessen kann ein Maßstabsfaktor

m ABAB

nicht eingeführt werden Anstelle AB

muß AB bei der Berechnung verwen werden

ber

gemgem

ber

,

.

det .

.

..

.

arccos . . .

. .

AB AP BPAB AP

gem gem gem

gem gem

2 2 2

2

AB = ( y y ) + ( x - x )


ber. B A2

B A2

A ,BB A

B A

t = t +A,P A,B Hinweis: Vorzeichen von beachten!


y = y AP sin t


P A A,P

( )

( )

m

mBP = ( y y ) + ( x - x )

Soll

B P2

B P2

P'

-+

+-

B

P

A


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Vertikalwinkelmessung

Vertikalkreisablesung

Vereinfachte Darstellung der Vertikalkreisablesung Zenitwinkel z und Indexabweichung vz

Einfluss der Indexabweichung

z a v a vz z 1 2400!

( )

z a a 4002

1 2( ) v a az 400

21 2( )

Zenit

Zielachse

Stehachse

Feinstellschraube

Höhenindexlibelle

Ablesefenster mitIndex - Doppelstrich

Zenit

0 gon

Ziel

Zenit0 gon

Ziel

300 gon

Fernrohrlage I

z = a1 + vz

Fernrohrlage II

z = 400 - (a2 + vz)

100 gon

vz za1

z

a2

vz


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VertikalwinkelmessungOrt: Trier Projekt: _____Turnhalle_________ Seite:____1_______

Datum: 1.2.2014 Beobachter:_Müller______

Gruppe: 5 Feldbuchführer:_Maier_______

Wetter: heiter Temp.: _3__°C Sicht: _5__ km Instrument:_T 16_- 47 13_

Stand- Ziel- Vertikalkreis z = Gesamtmittel Fehler-punkt punkt Ablesung I + II ( I + 400 ) - II ( I + 400 ) - II z = [ z ] / n rechnung

i = t = Lage I Lage II 2 0,1 mgon[gon] [gon] [gon] [gon] [gon] [gon] v vv

42 53 99 126 300 89355 92 826 307 19456 71 375 328 64558 62 915 337 105

42 53 99 125 300 891 400 016 198 234 99 11755 92 822 307 194 400 016 185 628 92 81456 71 372 328 644 400 016 142 728 71 36458 62 912 337 104 400 016 125 808 62 904

42 53 99 129 300 892 400 021 198 237 99 11855 92 829 307 194 400 023 185 635 92 81856 71 374 328 648 400 022 142 726 71 36358 62 914 337 108 400 022 125 806 62 903

42 1,5253 1,6355 1,5856 3,2758 5,12

f = nz . ( ns - 1 )

s =v v

fForm Trig 02 - 2014 by FH Trier - FB BLV


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Trigonometrische Höhenmessung

Grundlagen

h = e . cot z oder h = d . cos z

HB = HA + h + iA - tB

Turmhöhenbestimmung mit horizontalem Hilfsdreieck

= rAB - rAT = rBT - rBA

s bAT

sinsin ( )

hA = sAT . cot zA HT = HA + hA + iA

s bBT

sinsin ( )

hB = sBT . cot zB HT = HB + hB + iB

Grundriss Hochziel T

Stand-punkt B

Stand-punkt A

Basis b

sAT sBT

rAT rBT

rAB rBA

sBTsAT

Aufriss

NN

b B

hAhB

T

A

zBzA

HA

iAiB

HB

e

h

iA

HA NN

tB

HB

z

d


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Turmhöhenbestimmung mit vertikalem Hilfsdreieck

in A gilt mit IA = HA + iA :

HT = IA + (b + x) . cot zA

in B gilt mit IB = HB + iB :

HT = IB + x . cot zB

Werden beide Ansätze gleichgesetzt und nach x aufgelöst, erhält man:

x I I b zz z

A B A

B A

cotcot cot

dies oben einge-setzt liefert: H

I z I z b z zz zT

A B B A A B

B A

cot cot cot cotcot cot

oder, nachdem Zähler und Nenner durch cot zA. cot zB dividiert werden:

H I z I z bz zT

A A B B

A B

tan tantan tan

Einfluss der Erdkrümmung Einfluss der Refraktionund der Erdkrümmung

HB = HA + h + kE HB = HA + h + kH mit kH = kE - kR

2H er2

)k1(k

kurze Entfernungen große Entfernungen

Entfernung e 50 m 100 m 200 m 300 m 500 m 1 km 5 km 10 km

Korrektion kE 0,1 mm 0,7 mm 3,0 mm 7,0 mm 19,5 mm 7,8 cm 1,96 m 7,84 m

Korrektion kH 0,1 mm 0,6 mm 2,7 mm 6,1 mm 17,0 mm 6,8 cm 1,71 m 6,82 m

Aufriss

NNx

B

T

A

zA

HA

iA

HT

zB

iB

HBb

HA

h

kE

HA

e

z

Ziel-punkt B

Stand-punkt A

rr

h

kE

HA

e

z'z

B

r

z

RLRL

kR

Stand-punkt A

HA

r

HBHB


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Elimination von Refraktion und Erdkrümmung durch gleichzeitige – gegensei-tige Zenitwinkelmessung in zwei Standpunkten

Höhenunterschied von A nach B:

BA2

A tier2)k1(zcoteH (I)

Höhenunterschied von B nach A:

AB2

B tier2)k1(zcoteH

diese Gleichung mit (-1) multipliziert liefert:

AB2

B tier2)k1(zcoteH (II)

Summe (I) und (II) liefert:

BABABA ttii)zcotz(coteH2

Damit ist die Höhenkorrektion kH heraus gefallen; dies ist der doppelte Höhenunterschied zwischen A und B, jedoch frei von Erdkrümmung und Refraktion.

Zusammenfassung:

1. bei Entfernungen bis 250 m muss die Erdkrümmung und Refraktion nicht berücksichtigt werden,

2. bei Entfernungen bis 2 – 3 km muss die Höhenkorrektion 2H er2)k1(k angebracht werden,

3. bei größeren Entfernungen müssen gleichzeitig gegenseitige Zenitwinkelmessungen ausgeführt werden.

hA = e . cot z

A

hB

= e

. cot

zB

e

iA

tB

zA

iB

zB

tA

A

B

H


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Koordinatentransformationen

Ähnlichkeitstransformation

Mit Hilfe der Ähnlichkeitstransformation lassen sich Koordinaten, die in einem orthogonalen y' - x' - Koordinatensystem gegeben sind über zwei identische Punkte (Punkte, die in beiden Koor-dinatensystemen bekannt sind) in ein anderes orthogonales y - x - Koordinatensystem umrechnen:

Zunächst werden die Koordinatendifferenzen der identischen Punkte berechnet:

dy y yE A' ' ' dx x xE A' ' ' dy y yE A dx x xE A

Die Transformationskonstanten ergeben sich aus:

a dx dx dy dydx dy

' '

' '2 2o dx dy dy dx

dx dy

' '' '2 2

Hinweis: Der Nenner ist bei den Transformationskonstanten gleich!

Maßstabsfaktoren: m a o 2 2

Drehwinkel: arc oa

tan bzw. arc am

cos arc om

sin

Translationsparameter: y y o x a yA A A0 ' ' bzw. y y o x a yE E E0 ' '

x x a x o yA A A0 ' 'bzw. x x a x o yE E E0 ' '

Neupunktberechnung: y y o x a yi i i 0 ' '

x x a x o yi i i 0 ' '

x'x

x0

y'

y0 y

Pi PE

Pi Pi

PA


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KoordinatentransformationOrt: _ Trier Projekt: ___Sportplatz_________ Seite : ______1_________

Datum: 2.2.2014 Berechnung : __Schmitt________

S d o as m

AltesSystem NeuesSystemy'A x'A yA xA

Punkt y'i x'i yi xi PunktNr. y'i x'i yi xi Nr.

y'E x'E yE xE

23 8 338,99 8 586,69 3 497 944,99 5 208 664,62

481 7 319,35 8 802,06

482 8 858,81 9 717,54

24 7 918,31 9 538,01 3 497 564,56 5 209 632,75

y y y x x xE A E A y y y x x xE A E A

s y x S y x2 2 2 2 2 2 d S s o x y y xs

2 ay y x x

s 2 m

Maßstabsfaktor: sSoam 22 Drehwinkel: arc o

atan

yi = o . x'i + a .y'i xi = a . x'i - o .y'i Form Transf 2014 by FH Trier - FB BLV


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Überbestimmte Ähnlichkeitstransformation

Mit Hilfe der überbestimmten Ähnlichkeitstransformation (Helmerttransformation) lassen sich Koor-dinaten, die in einem orthogonalen y' - x' - Koordinatensystem gegeben sind über identische Punk-te in ein anderes orthogonales y - x - Koordinatensystem umrechnen. Die Zahl der identischen Punkte, die in beiden Systemen gegeben sein müssen, ist n 3. Um numerisch günstige Werte für die Berechnung der Transformationskonstanten zu erhalten, werden die Berechnungen mit Ko-ordinatendifferenzen, bezogen auf den Schwerpunkt der gegebenen Punkte, durchgeführt:

Schwerpunktkoordinaten:n = Anzahl der identischen Punkte

y yns

i' ' x xns

i' ' für i = 1 ... n

y yns

i x xns

i

Danach werden die Koordinatendifferenzen zu jedem Koordinatenwert berechnet:

dy y yi i s' ' ' dx x xi i s' ' ' für i = 1 ... ndy y yi i s dx x xi i s


adx dx dy dy

dx dy

i i i i

i i

' '

' '2 2[ ] = Gauß'sches Summenzeichen

odx dy dy dx

dx dy

i i i i

i i

' '

' '2 2

Hinweis: Der Nenner ist bei den Transformationskonstanten gleich!

Maßstabsfaktoren: m a o 2 2

Drehwinkel: arc oa

tan bzw. arc am

cos arc om

sin

Translationsparameter: y y o x a ys s s0 ' '

x x a x o ys s s0 ' '

Neupunktberechnung: y y o x a yi i i 0 ' '

x x a x o yi i i 0 ' '


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Für die identischen Punkte lassen sich mit diesen Berechnungsansätzen die Restklaffungen in den Koordinaten bestimmen:

v y yy i ber ii .

v x xx i ber ii . Kontrolle: v vy xi i 0

Mit Hilfe der Restklaffungen lässt sich die Standardabweichung eines Koordinatenwertes berech-nen:

s sv v

nx yy xi i

2 2

2 4n > 2 Anzahl der identischen Punkte

Die Standardabweichung eines Punktes ergibt sich aus:

s sP x 2

Affintransformation

Bei der Affintransformation werden Koordinaten, die in einem y' - x' - System gegeben sind, in ein kartesisches y - x - System umgerechnet. Die Koordinatenachsen des y' - x' - Systems können windschief zueinander sein und unterschiedliche Maßstäbe haben. Bei 3 identischen Punkten ist die Lösung eindeutig, bei mehr als 3 identischen Punkten liegt eine Überbestimmung vor, bei der [vv] = Minimum wird.

Zur Berechnung der Transformationskonstanten werden zunächst die Schwerpunktkoordinaten in beiden Koordinatensystemen aus den Koordinaten der identischen Punkte bestimmt.

Schwerpunktkoordinaten:n = Anzahl der identischen Punkte

y yns

i' ' x xns

i' ' für i = 1 ... n

y yns

i x xns

i

x'x

x0

y'

y0 y

Pi

P2

Pi Pi

P1

x

P3

P4y


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Danach werden die Koordinatendifferenzen zu jedem Koordinatenwert berechnet:

dy y yi i s' ' ' dx x xi i s' ' ' für i = 1 ... n

dy y yi i s dx x xi i s


ady dx dx dx dy dy dx

dx dy dx dyx

i i i i i i i

i i i i

' ' ' ' '

' ' ' '

2

2 2 2

ody dx dy dx dy dy dy

dx dy dx dyx

i i i i i i i

i i i i

' ' ' ' '

' ' ' '

2

2 2 2

adx dy dy dx dy dx dy

dx dy dx dyy

i i i i i i i

i i i i

' ' ' ' '

' ' ' '

2

2 2 2

odx dy dx dx dy dx dx

dx dy dx dyy

i i i i i i i

i i i i

' ' ' ' '

' ' ' '

2

2 2 2

Hinweis: Der Nenner ist bei allen Transformationskonstanten gleich!

Maßstabsfaktoren: m a ox x x 2 2 m a oy y y

2 2

Drehwinkel: xx

xarc a

m cos y

y

yarc

am

cos

Translationsparameter: y y a y o xs y s x s0 ' '

x x a x o ys x s y s0 ' '

Neupunktberechnung: y y o x a yi x i y i 0 ' '

x x a x o yi x i y i 0 ' '

Standardabweichung der Koordinaten:

s sv v

nx yy xi i

2 2

2 6n > 3 Anzahl der identischen Punkte

Standardabweichung eines Punktes:

s sP x 2


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BASIC - Programm zur Affintransformation

HINWEIS: Vor jeder Zeile muss i. d. R. eine Zeilennummer stehen (hier ab 3000).

3000 PRINT "AFFINTRANSFORMATION N>3!"3010 INPUT "ZAHL D. ID. PUNKTE";N3020 DIM YA(N),XA(N),YN(N),XN(N)3030 XA=0:YA=0:XN=0:YN=0:GRAD3040 REM EINGABE DER KOORDINATEN DER IDENTISCHEN PUNKTE3050 FOR I=1 TO N3060 Z$=STR$(I)3070 PRINT "PUNKT";Z$3080 INPUT "RECHTS(ALT)=";YA(I)3090 INPUT "HOCH (ALT)=";XA(I)3100 INPUT "RECHTS(NEU)=";YN(I)3110 INPUT "HOCH (NEU)=";XN(I)3120 YA=YA+YA(I)3130 XA=XA+XA(I)3140 YN=YN+YN(I)3150 XN=XN+XN(I)3160 NEXT I3170 REM SCHWERPUNKTBERECHNUNG3180 YA=YA/N3190 XA=XA/N3200 YN=YN/N3210 XN=XN/N3220 REM SUMMENBILDUNG3230 S1=0:S2=0:S3=0:S4=0:S5=0:S6=0:S7=03240 FOR I=1 TO N3250 S1=S1 + (YA(I)

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Hochschule Trier Fachgebiet Vermessungstechnik ... · 1 : 500 eine Genauigkeit von 5 cm (im Gelände) möglich. Lagepläne sind grundsätzlich nach Norden orientiert (Nordpfeil!!)