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塑性変形における応力とひずみ
（１）弾性と塑性（２）大きな変形における応力とひずみの定義（３）応力ーひずみ曲線のモデル化
第8章，111ページ～
引張り試験における円柱材の変形
均一変形均一変形均一変形均一変形 破断破断破断破断くびれ発生＝最大荷重点くびれ発生＝最大荷重点くびれ発生＝最大荷重点くびれ発生＝最大荷重点 くびれ成長くびれ成長くびれ成長くびれ成長
引張り試験における応力ーひずみ曲線
加工硬化加工硬化加工硬化加工硬化（workhardening)
ΕΕΕΕ（ヤング率）（ヤング率）（ヤング率）（ヤング率）
延性の尺度延性の尺度延性の尺度延性の尺度
破断伸び，絞り破断伸び，絞り破断伸び，絞り破断伸び，絞り
テキスト：図8.1
弾性変形のメカニズム：原子間距離の微小変化
Pote
nti
al
en
ergy U
Bond energy
Forc
e a
cti
ng b
etw
een
ato
ms
f
引力
斥力
fa
fr
r0 r
dr
dUf =dr
df
rr000
r0r0
原子間力とポテンシャルエネルギー
塑性変形のメカニズム：すべり（すべり系と転位）
すべり面
すべり面
塑性変形のメカニズム：すべり（すべり系と転位）
{1 1 1}
[1 0 1]
( atom )
Slip plane
graingrain
boundary
1µm～100µm
A few
Slip occurs most readily in specific
directions (slip directions) on certain
crystallographic planes (slip planes) .テキスト：図8.8
2
塑性変形のメカニズム：すべり（すべり系と転位）
( ) cos cosRτ σ φ λ=Resolved shear stress
Schmid factor
Yield criterion
for a crystal
( )R
crkτ =Critical resolved
shear stress (CRSS)
Slip direction Slip plane
テキスト：図8.8
塑性変形のメカニズム：すべり（すべり系と転位）
結晶構造結晶構造結晶構造結晶構造 材料材料材料材料 すべり面すべり面すべり面すべり面 すべり方向すべり方向すべり方向すべり方向 すべり系の数すべり系の数すべり系の数すべり系の数
bcc
α-Fe, W, Mo
α-Fe, W
α-Fe, K
{110}
{211}
{321}
<111>
<111>
<111>
12
12
24
fcc Cu, Al, Ni, Ag, Au {111} <110> 12
hcp
Cd, Zn, Mg, Ti, Be
Ti, Mg, Zr
Ti, Mg
{0001}
{1010}
{1011}
<1120>
<1120>
<1120>
3
3
6
理論せん断強さ＝G/(2π) G：横弾性係数実際の塑性変形はこれより小さいせん断応力で生じる→転位
−−−
−−−
−
塑性変形のメカニズム：すべり（すべり系と転位）
Edge dislocation
刃状転位
テキスト：図8.8
塑性変形のメカニズム：すべり（すべり系と転位）
Screw dislocation
らせん転位
その他の塑性変形のメカニズム：双晶
双晶面
双晶面 双晶方向
最密六方（hcp）金属では双晶変形の果たす役割が大きい
延性破壊における空孔発生・成長・結合
母相・介在物界面の剥離
空孔（Void）発生
空孔（Void）成長 くびれ部の3軸応力状態
第14章，195ページ
3
延性破壊における空孔発生・成長・結合 延性破壊における空孔発生・成長・結合
くびれ部分の密度減少くびれ部分の密度減少くびれ部分の密度減少くびれ部分の密度減少
破断面に現れた孔の痕跡破断面に現れた孔の痕跡破断面に現れた孔の痕跡破断面に現れた孔の痕跡＝ディンプル・パターン＝ディンプル・パターン＝ディンプル・パターン＝ディンプル・パターン
引張り試験における板材の変形
均一変形均一変形均一変形均一変形 局部くびれ発生＝破断局部くびれ発生＝破断局部くびれ発生＝破断局部くびれ発生＝破断拡散くびれ発生拡散くびれ発生拡散くびれ発生拡散くびれ発生＝最大荷重点＝最大荷重点＝最大荷重点＝最大荷重点
くびれ成長くびれ成長くびれ成長くびれ成長
第14章，196ページ
公称応力／真応力公称ひずみ／真ひずみ（対数ひずみ）
( )n
o
P
Aσ =
P
Aσ =
公称応力(nominal stress)
真応力(true stress)
o
o
l le
l
−=
公称ひずみ(nominal strain)
真ひずみ(true strain）
対数ひずみ対数ひずみ対数ひずみ対数ひずみ(logarithmic strain)
== ∫
0
ln0 l
l
l
ldl
lε
l
dld =ε
真ひずみ（対数ひずみ）は加算できる
1l
テキスト：図8.2
=
−=
1
21
1
121
lnl
l
l
lle
ε
=
−=
2
32
2
232
lnl
l
l
lle
ε 21
1
33
21
1
133
ln
εε
ε
+=
=
+≠
−=
l
l
ee
l
lle
真ひずみ（対数ひずみ）は引張りと圧縮のひずみが無限大に近付き，現実的
0l
l → +∞
0l →
( )eε → +∞ → +∞
( 1)eε → −∞ → −
引張りで
圧縮で
o
o
l le
l
−=
=
0
lnl
lε
4
塑性変形は体積一定で生じる
xol yo
l
xol
yol
zol
xl
yl
zl
xo yo zo x y zl l l l l l=塑性体積一定条件
剛塑性体とすると
0p p p
xx yy zzε ε ε= + + =
+
+
=
zo
z
yo
y
xo
x
zo
z
yo
y
xo
x
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
llnlnlnln
剛塑性棒の引張りにおける［真応力／真ひずみ］と
［公称応力／公称ひずみ］の関係
o
o o o
AP P P l
A A A A lσ = = =
o
o
l le
l
−=
( ) (1 )n eσ= +
o oA l Al=Q （塑性体積一定条件）（塑性体積一定条件）（塑性体積一定条件）（塑性体積一定条件）
σ = σ (n) (1+e)ε = ln(1+e)
σ (n) = σ /exp(ε)e = exp(ε)−1
「公称」→「真」
「真」→「公称」
剛塑性棒の引張りにおける［真応力／真ひずみ］と
［公称応力／公称ひずみ］の関係
圧縮側の真応力圧縮側の真応力圧縮側の真応力圧縮側の真応力−−−−真ひずみ曲線の形真ひずみ曲線の形真ひずみ曲線の形真ひずみ曲線の形状は状は状は状は，，，，引張側と同じ引張側と同じ引張側と同じ引張側と同じ（（（（原点中心に反転さ原点中心に反転さ原点中心に反転さ原点中心に反転させたものせたものせたものせたもの）））） 引張側の公称応力
−公称ひずみ曲線は最大値（＝引張強さ）を持つ（最大荷重点）
圧縮側の公称応力-公称ひずみ曲線は，公称ひずみ −1で公称応力-∞に．
ひずみが大きくなるにつれ ， 「 公称」と「真」の差が大きくなる
真応力ー真ひずみ（対数ひずみ）曲線は引張りと圧縮で同じ形
σ (n) − ε
「真」
「公称」
引張り・圧縮・引張り-除荷-反転圧縮の真応力ー真ひずみ曲線
Eσ ε=
e pε ε ε= +バウシンガー効果バウシンガー効果バウシンガー効果バウシンガー効果(Bauschinger effect)
ed Edσ ε=（弾性変形）（弾性変形）（弾性変形）（弾性変形）
（弾性変形）（弾性変形）（弾性変形）（弾性変形）
加工硬化加工硬化加工硬化加工硬化（workhardening)
ひずみの弾塑性分解
（初期）降伏応力
変形抵抗・流動応力
テキスト：図8.3
高張力鋼板の繰返し弾塑性変形の実験結果
F. Yoshida and T. Uemori, Int. J. Plasticity 18 (2002), pp.633-659.
5
応力ーひずみ曲線のモデル
(Elastic perfectly plastic body)
(Elastic linearly hardening
plastic body)
(Rigid nonlinearly hardening
plastic body)
テキスト：図8.7
応力ーひずみ関係のモデル化
'
( )
'( )
''( )
p n
p n
p a
o
C
Y C
C
σ ε
σ ε
σ ε ε
=
= +
= +
n乗硬化則
Ludwik型
Swift型
テキスト：図8.4
加工硬化（ｎ乗硬化則： ）( )p nCσ ε=
n: 加工硬化の尺度
テキスト：図8.5
n乗硬化則材における最大荷重条件
'
( )
'( )
p n
p n
C
Y C
σ ε
σ ε
=
= +
0
( ) 0
P A
dP dA Ad
d AL LdA AdL
dL dAd
L A
σσ σ
ε
=
∴ = + =
= + =
∴ = = −
dn
d
σσ ε
ε= → =
n: 均一伸びの尺度
最大荷重条件成立時の真ひずみは，
公称応力-公称ひずみ曲線の最大値（最大荷重点）における公称ひずみ（＝均一伸び）は，
σ (n) − ε
e n= −exp( ) 1
ε = n
ε = +ln( )1 e
「真」・「公称」ひずみの関係
最大荷重条件成立時の真応力は，
σ = Cnn
最大荷重点における公称応力（＝引張強さ）は，
σ σ= +( ) ( )n e1
「真」・「公称」応力の関係
σ ( )
exp( )
nnCn
n=
補足：「公称」と「真」の応力-ひずみ曲線と最大荷重条件（n乗硬化則材 の場合）
「真」
「公称」
'
( )
'( )
p n
p n
C
Y C
σ ε
σ ε
=
= +
種々の金属材料の応力ーひずみ曲線
テキスト：図8.6
6
軟鋼の不均一変形 応力ーひずみ曲線の温度依存性
降伏応力（耐力）
変形抵抗（流動応力）
破断伸びヤング率
アルミニウム合金（Α5083）
温度が上昇すると……
減少
減少
増加
減少
純チタン（JIS 1種）板材の公称応力-公称ひずみ曲線の温度依存性
応力ーひずみ曲線の温度依存性 応力ーひずみ曲線の速度依存性
降伏応力（耐力）
変形抵抗（流動応力）
変形速度（ひずみ速度）が上昇すると……
増加
増加
破断伸び減少ステンレス合金316L
応力ーひずみ曲線の温度・速度依存性
マグネシウム合金AZ31板材の公称応力-公称ひずみ曲線の温度・速度依存性
低速低速低速低速
高速高速高速高速
