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Homework 5 (총 7문제, 제출: 4월 17일 금요일 18시)
[2020년 수학연습 1]
※ 답안지에 학번과 이름을 쓰시오. 답안 작성시 풀이과정을 명시하시오.
1. 다음 극한을 구하시오.
limx→0
esinx − 1− x
x2(a) lim
x→0
x− tanx
x− sinx(b)
limx↘0
√sinx log x(c) lim
x↘0xxx
(d)
limx↘0
xa log x (a > 0)(e) limx↘0
x2 log tan(x3)
esinx − 1(f)
2. 양의 실수 a에 대하여 다음을 보이시오.
limx→∞
log x
xa= 0.
3. m이자연수일때, 0이상인임의의실수 a1, a2, · · · , am에대하여다음을밝히시오.
limn→∞
(a1/n1 + a
1/n2 + · · ·+ a
1/nm
m
)n
= m√a1a2 · · · am
4. 다음 함수의 원점에서의 5차 근사다항식을 구하시오.
f(x) = ex sinx(a) f(x) = (1 + sinx)−1(b)
5. 다음을 보이시오.
coshx = cosx+ o(x)(a) sinhx = sinx+ o(x2)(b)
tanhx = arctanx+ o(x4)(c)
6. 원점근방에서정의된 n번미분가능한함수 f(x)가 o(xn)라하자.이때f(x)의 i계도함수 f (i)(x)는 o(xn−i)임을보이시오. (단, i ∈ {1, 2, · · · , n−1} 이다.)
1
7. 함수 f(x) =
x3 cos1
x(x 6= 0)
0 (x = 0)에 대하여 다음 진술이 참인지 거짓인
지 판단하고, 왜 그런지 설명하시오.
(a) f ′(0) = 0
(b) f(x)는 일급 함수이다.
(c) f ′(x) = o(x)
(d) f(x) = o(x2)
(e) f ′′(0)은 존재하지 않는다.
2