Embed Size (px)
Citation preview
Werkboek Meetkunde
Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren
Naam: ……………………………………….…
– 141 –
Klas: ..........
Eventjes herhalen : Wat is een homothetie ?
h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k
Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren
Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor
∈k |R vind je als volgt:
• Kies een assenstelsel met centrum O
• Bepaal de coördinaat van het punt A
• Vermenigvuldig die coördinaat met k
• Het punt met het verkregen koppel als coördinaat is het gezochte beeld
A’. Trek een pijl van A naar A’.
Opmerkingen:
� Voor 1−=k krijgen we een puntspiegeling
� Een homothetie met 0=k noemen we een constante homothetie
� Een niet-constante homothetie behoudt het recht zijn, evenwijdige en
loodrechte stand, hoekgrootte .
� Een niet-constante homothetie vermenigvuldigt de lengte van een
lijnstuk en de omtrek van een figuur met de absolute waarde van die
factor.
� Een niet-constante homothetie vermenigvuldigt de oppervlakte van een
figuur met het kwadraat van de factor.
Werkboek Meetkunde
Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren
Naam: ……………………………………….…
– 142 –
Klas: ..........
Gelijkvormige figuren:
Definitie:
Een figuur F is gelijkvormig met een figuur F’ als F’ congruent is met een homothetisch beeld
van F.
Notatie : F ~ F’
Voorbeelden:
� Een foto en een vergroting van die foto
� Een dia en het beeld ervan op een scherm
� Een figuur en een tekening van die figuur op schaal ( bv. Landkaarten)
F1
F2
F3 F4
Welke figuren zijn gelijkvormig ?
……………………………………......
……………………………………......
Werkboek Meetkunde
Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren
Naam: ……………………………………….…
– 143 –
Klas: ..........
Gelijkvormigheidsfactor: (boek pag 226)
Als F gelijkvormig is met F’ dan bestaat er een niet - constante homothetie h die F afbeeldt op
F’zo dat F” ≅ F’.
De absolute waarde van de factor van die homothetie noemen we de gelijkheidsfactor van
de figuren F en F’.
Gelijkstandige elementen:
Het lijnstuk [ ]AB en [ ]'' BA noemen we gelijkstandige lijnstukken
Het lijnstuk [ ]BC en [ ]''CB noemen we ........................................ lijnstukken
Het lijnstuk [ ]AC en [ ]''CA noemen we .................................................................
De hoeken A en 'A noemen we ............................................................
De hoeken B en 'B noemen we .............................................................
De hoeken C en 'C noemen we .............................................................
We spreken af dat we voor gelijkvormige veelhoeken de gelijkstandige hoekpunten op de
overeenkomstige plaatsen noteren.
In het voorbeeld krijgen we dus ∆ ABC ~ ∆ A’B’C’
Opmerkingen:
� Congruente figuren zijn ook ................................................................ figuren
F ≅ F’ ⇒ F ~ F’
Geldt dit ook omgekeerd? ...............................................
� Elke figuur is gelijkvormig met ..........................................................
F ~ F
Werkboek Meetkunde
Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren
Naam: ……………………………………….…
– 144 –
Klas: ..........
Eigenschappen van gelijkvormige figuren: ( boek pag 228)
a) Evenwijdige stand in een figuur vind je ................... in een gelijkvormige figuur
...............//''// DABCAD ⇒
b) Loodrechte stand in een figuur vind je .................... in een gelijkvormige figuur
..............'' ⊥⇒⊥ DAABAD
c) Gelijkstandige hoeken zijn ..........................................
.......................ˆ.......................ˆ.................ˆ.............ˆ ==== DCBA
d) De lengten van gelijkstandige lijnstukken hebben een ................................ verhouding
die gelijk is aan de .................................................................
...............................
.............
.............
............
.............
............''====
AB
BA
We kunnen dit ook schrijven als : ABBA ........'' =
e) De verhouding van de omtrekken van twee gelijkvormige figuren is ...........................
............................................'.......................'
=⇔= FOmtrekFOntrek
FOmtrek
f) De verhouding van de oppervlakten van twee geljikvormige figuren is gelijk aan
het ............................................................................................
.....................................'....................'
=⇔= FeOppervlaktFeOppervlakt
FeOppervlakt
Werkboek Meetkunde
Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren
Naam: ……………………………………….…
– 145 –
Klas: ..........
Merk op:
� De eigenschap voor de gelijkstandige zijden geldt voor alle gelijstandige lijnstukken. In
vorige figuur geldt ze bv. ook voor de diagonalen van de trapezium.
Besluit:
� Als twee figuren F en F’ gelijkvormig zijn, dan is F’ een tekening op ........................van F.
Bovendien geldt : schaal = .....................................................
Opgave: boek pag 229 nr 1
a.
a) Beschouw een homothetie met
centrum : .......................................................
factor : ........................................................
b) Contrueer F”
c) '" FF ≅ want F’ is het ........................ van F”
door een ..........................................
d) Besluit: F ………… F’
....................................
................''==
AC
CA
F’
F
• Duidt op de figuur F’ de
gelijkstandige elementen aan.
• Teken de diagonalen in de
figuur F’.
Werkboek Meetkunde
Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren
Naam: ……………………………………….…
– 146 –
Klas: ..........
b.
ABCD is een gelijkbenig trapezium.
Bewijs : F ~ F’
Opgave: (boek pag 229 nr. 2) De gestippelde figuur is telkens gelijkvormig met de groen
gekleurde figuur. Bepaal de gelijkvormigheidsfactor.
a.
b.
Opgave (boek pag 230 nr. 6)
Een driehoek met zijden van 12 cm, 8 cm en 14 cm is
gelijkvormig met een driehoek met zijden van 21 cm en
12 cm.
Bereken de lengte van de overblijvende zijde.
Werkboek Meetkunde
Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren
Naam: ……………………………………….…
– 147 –
Klas: ..........
Opgave: (boek pag 230 nr. 7)
Een ruit met zijden van 5 cm heeft een oppervlakte
van 18 cm2. Die ruit is gelijkvormig met een ruit met
zijden 7 cm. Bereken de oppervlakte van die laatste
ruit.
Opgave: boek pag 230 nr. 9
Een rechthoekige driehoek met oppervlakte 12 cm2 is
gelijkvormig met een rechthoekige driehoek met
oppervlakte 12 m2. De kortste rechthoekzijde van de
eerste driehoek is 4 cm. Bereken de lengte van de
korste rechthoekszijde van de andere.
12 m2
12 cm2
Werkboek Meetkunde
Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren
Naam: ……………………………………….…
– 148 –
Klas: ..........
Gelijkvormigheidskenmerken voor driehoeken: (Boek pag 234)
a) Gelijkvormigheidskenmerk 1 voor driehoeken
Besluit:
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als paarsgewijs de drie zijden evenredig zijn.
Met symbolen:
'''............''''''
''',
CBAABC
CA
AC
BC
CB
AB
BA
CBAABC
∆∆⇒
==
∆∆
Bewijs : Zie boek pag 234
De zijden van bovenstaande driehoeken
zijn paarsgewijs ....................... lang en
dus zijn die driehoeken
............................................
De zijden van bovenstaande driehoeken
zijn .........................................
5,1
..........
.........
2
2
4==
Werkboek Meetkunde
Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren
Naam: ……………………………………….…
– 149 –
Klas: ..........
b) Gelijkvormigheidskenmerk 2 voor driehoeken
Besluit:
Twee driehoeken zijn gelijkvormige als paarsgewijs twee zijden evenredig zijn en de ingesloten
hoek even groot is.
Met symbolen:
'''............
'ˆˆ
''''
''',
CBAABC
AA
CA
AC
AB
BA
CBAABC
∆∆⇒
=
=
∆∆
Bewijs: boek pag 235
Bovenstaande driehoeken hebben
paarsgewijs twee ............................. even
lang en de ingesloten ................... even groot.
De twee driehoeken zijn dus
..........................................
Bovenstaande driehoeken hebben
paarsgewijs twee zijden ............................
en de ingesloten .......................
oBB 60'ˆˆ
.........
4,2
2
3===
Werkboek Meetkunde
Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren
Naam: ……………………………………….…
– 150 –
Klas: ..........
c) Gelijkvormigheidskenmerk 3 voor driehoeken
Besluit:
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als paarsgewijs twee hoeken even groot zijn.
Met symbolen:
'''............
'ˆˆ
'ˆˆ
''',
CBAABC
BB
AA
CBAABC
∆∆⇒
=
=
∆∆
Bewijs: zie boek pag 236
Bovenstaande driehoeken hebben
paarsgewijs één ............................ even
lang en twee ...........................................
hoeken ....................................
De twee driehoeken zijn ................
Bovenstaande driehoeken hebben paarsgewijs twee
hoeken ................................................
'ˆˆ'ˆˆ CCBB ==
We hebben maar twee lengtes en dus kunnen we
niets zeggen over de evenredigheid van de lengtes.
Werkboek Meetkunde
Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren
Naam: ……………………………………….…
– 151 –
Klas: ..........
Gevolgen:
a)
b)
c)
d)
Opgave (boek pag 237 nr. 14)
Bewijs dat ∆ ABC en ∆ DEF gelijkvormig zijn. Noteer telkens de driehoeken met de
gelijkstandige hoeken op dezelfde plaats.
a.
Twee rechthoekige driehoeken zijn gelijkvormig als een
………………................…. hoek even ...........................
is.
Twee gelijkbenige driehoeken zijn gelijkvormig als
de ………………………….......................... ( of
een ………………….……………..) even
………………….. is.
Twee gelijkbenige rechthoekige driehoeken zijn
steeds .....................................................
Twee gelijkzijdige driehoeken zijn steeds
.....................................................
Werkboek Meetkunde
Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren
Naam: ……………………………………….…
– 152 –
Klas: ..........
b.
c.
d.
e.
f.
Werkboek Meetkunde
Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren
Naam: ……………………………………….…
– 153 –
Klas: ..........
Opgave : boek pag 238 nr. 16
a.
Een rechte evenwijdig met de zijde [ ]BC van een
∆ ABC snijdt de andere zijden in D en E.
Bewijs : ∆ ADE ~ ∆ ABC
b.
Twee snijdende rechten x en y worden gesneden door
twee evenwijdige rechten a en b.
Bewijs dat de verkregen driehoeken gelijkvormig
zijn.
Opgave: boek pag 238 nr. 19
a. Een driehoek heeft een hoek van 60o en
een hoek van 70o. Een andere driehoek
heeft een hoek van 50o en een hoek van
60o. Zijn ze gelijkvormig?
b. Een driehoek heeft zijden van 8 cm,
6 cm en 12 cm. Een andere driehoek
heeft zijden van 9 cm, 12 cm en 18 cm.
Zijn ze gelijkvormig?
Werkboek Meetkunde
Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren
Naam: ……………………………………….…
– 154 –
Klas: ..........
Samenvatting:
a) Gelijkvormigheidskenmerk 1 voor driehoeken
'''............''''''
''',
CBAABC
CA
AC
BC
CB
AB
BA
CBAABC
∆∆⇒
==
∆∆
b) Gelijkvormigheidskenmerk 2 voor driehoeken
'''............
'ˆˆ
''''
''',
CBAABC
AA
CA
AC
AB
BA
CBAABC
∆∆⇒
=
=
∆∆
c) Gelijkvormigheidskenmerk 3 voor driehoeken
'''............
'ˆˆ
'ˆˆ
''',
CBAABC
BB
AA
CBAABC
∆∆⇒
=
=
∆∆
Twee driehoeken zijn
gelijkvormig als paarsgewijs de
..............................................
evenredig zijn.
Twee driehoeken zijn gelijkvormige
als paarsgewijs .............................
evenredig zijn en de ..........................
.................................. even groot is.
Twee driehoeken zijn
gelijkvormig als paarsgewijs
.............................................
even groot zijn.
Werkboek Meetkunde
Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren
Naam: ……………………………………….…
– 155 –
Klas: ..........
Opgave : boek pag 244 nr. 35
Zoek telkens gelijkvormige figuren. Geef een bewijs. Leid er enkele gelijkheden uit af.
a.
b.
c.
Opgave : boek pag 244 nr. 36 : Bereken x.
a.
Werkboek Meetkunde
Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren
Naam: ……………………………………….…
– 156 –
Klas: ..........
b.
c.
d.
e.
Werkboek Meetkunde
Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren
Naam: ……………………………………….…
– 157 –
Klas: ..........
f.
Opgave: boek pag 245 nr. 37 - Bereken x en y.
a.
b.
Werkboek Meetkunde
Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren
Naam: ……………………………………….…
– 158 –
Klas: ..........
c.
d.
e.
Werkboek Meetkunde
Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren
Naam: ……………………………………….…
– 159 –
Klas: ..........
Opgave: boek pag 245 nr. 38
Nevenstaande figuur is een parallellogram ABCD.
Bereken x (2 mogelijkheden).
Opgave: boek pag 247 nr. 49
In nevenstaande piramide TABC zijn de punten A’, B’ en C’ zo
gekozen dat:
A’B’ // AB B’C’ //BC C’A’ // CA
Bewijs : ∆ ABC ~ ∆ A’B’C’
Werkboek Meetkunde
Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren
Naam: ……………………………………….…
– 160 –
Klas: ..........
Opgave: boek pag 247 nr. 51
De ribben van nevenstaande kubus meten 5 cm. We
nemen op [ ]'CC het punt E zodat cmCE 2= .
Geef het snijpunt van B’E en BC de naam F.
Bereken de lengte van [ ]AF
Opgave: Boek pag 247 nr. 52
Gegeven is een houten balk met afmetingen 12 m, 10
m, 6 m ( zie figuur).
Een mier neemt de kortste weg van B’ naar D.
• Is dit langs een punt M [ ]'' DA∈ of langs een
punt N [ ]'' DC∈ ? Bepaal de plaats van het
correcte punt.
• Welke afstand legt de mier af?
Werkboek Meetkunde
Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren
Naam: ……………………………………….…
– 161 –
Klas: ..........
Toepassingen op gelijkvormigheid: schaal
schaallengtewerkelijke
lengtegetekende=
a. Een rechthoekige kamer heeft een
lengte van 4,5 m en een breedte van
3 m. Teken een plan op 100
1.
Eventjes herhalen!
De schaal van een tekening is de .................................... van het maatgetal van
de ............................. van een lijnstuk op de tekening tot het maatgetal van de
corresponderende lengte in ......................................., waarbij beide lengten met
dezelfde eenheid worden gemeten.
Werkboek Meetkunde
Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren
Naam: ……………………………………….…
– 162 –
Klas: ..........
b. Brussel ligt in vogelvlucht 1150 km
van Rome verwijderd. Welke
afstand is dit op een kaart met
schaal 0000005
1?
c. Op een plan met schaal
50
1 meet
een lijnstuk 3 cm. Hoeveel meet dit
lijnstuk op een plan met schaal 40
1.
d. Een voetbalveld met een
oppervlakte van 9900 m2 is op
schaal getekend als een rechthoek
met opp 99 cm2. Bereken de schaal
