HİPOTEZ TESTLERİ VE ARALIK TAHMİNİ (GÜVEN ARALIĞI)kisi.deu.edu.tr/levent.senyay/istatistik II/9 hip test-GA-test gucu.pdf · doğru olduğu hallerde hipotezin red edilmesi olasılığı

Prof. Dr. Levent ŞENYAY IX- İSTATİSTİK II 1

9

HİPOTEZ TESTLERİ

VE

GÜVEN ARALIKLARI

9.1. İstatistiksel Yorumlama

9.2.1. Hipotez testinin aşamaları

9.2.2. Güven Aralığı aşamaları

9.3. Populasyon ortalaması ve orani için büyük örnek testleri 9.3.1. Populasyon ortalaması( ) için hipotez testi

9.3.2. İki populasyon ortalaması arasındaki fark (1

- 2 ) için hipotesti

(bağımsız örnekler) 9.3.3. Populasyon oranı (p) için hipotez testi

9.3.4 İki populasyon oranı arasındaki fark ( 1p - 2p ) için hipotez testi

9.4. Populasyon ortalaması ve oranı için küçük örnek testleri 9.4.1. Populasyon ortalaması için hipotez testi

9.4.2. İki populasyon ortalamsı arasındaki fark (1

- 2 ) için hipoteztesti

9.4.2.1. eşleştirilmiş gözlemlerde 9.4.2.2. eşleştirilmemiş gözlemlerde

9.5. Populasyon varyansı için hipotez testleri

9.5.1. Tek populasyon varyansı (2 ) için hipotez testi

9.5.2. İki populasyon varyansının oranı (2

2

2

1 / ) için hipotez testi

9.6. Örnek büyüklüğünün tespiti 9.6.1. Populasyon ortalaması kullanılarak tespiti 9.6.2. Populasyon oranı kullanılarak tespiti 9.7. Hipotez testinin Gücü


9.1. İSTATİSTİKSEL YORUMLAMA

Örnekten elde edilmiş istatistikler varken ,örnek özelliklerine dayanılarak populasyon

parametreleri hakkında genellemeler yapmak gerekir. Bu işleme istatistiksel yorumlama denir. İstatistiksel yorumlama iki tip problemin genellenmesinden oluşur.

1. Tahmin 2. Hipotez testi Hipotez testi yapılırken örnek istatistiğine karşılık gelen (değeri bilinmeye

çalışılan)populasyon parametresine uygun olup olmadığının saptanmasına çalışılır. Bir istatistik yardımı ile parametre tahmini yapılırken mutlaka belli bir seviyede belirsizlik

olacaktır. Sınırlı fayda çalışılan örnek istatistiği ile populasyon parametresi arasında bir fark oluşur. Bu durumda tahmin yapılırken hata yapma riski ile karşı karşıya kalınır.

Bir hipotez kurulduğunda, bir tahmini kullanabilmek için bu tahmine ne derece güvenle bakıldığının

bilinmesi gerekir. Diğer taraftan da hangi tür hatalar ile karşı karşıya kalındığının bilinmesi gerekir. Hipotez Test Sonucu (örneğin / denemenin sonucu) RED RED DEĞİL I. tip hata Doğru karar DOĞRU 1- (önem seviyesi) (güven aralığı)

0H hipotezi

(populasyon sonucu) Doğru karar II. tip hata

YANLIŞ 1-

(testin gücü) (testin zayıflığı)

0H doğru olduğu hallerde hipotezin red edilmesi olasılığı ( ) ne kadar küçük ise bu tercih edilen

bir durumdur. 9.2.1. HİPOTEZ TESTİNİN AŞAMALARI

1.Hipotez kurulur. 0H ve 1H belirlenir.

Bu aşamada testin tek veya çift yönlü olduğu belirlenir.

0 15

a)Çift yönlü hipotez testi

00 : H

01 : H

15


REDRED1-α

α/2α/2

μ

b)Tek yönlü hipotez testi

0 0

1 0

:

:

H

H

15

RED1-αα

veya

0 0

1 0

:

:

H

H

15

RED 1-αα

2) I. tip hata ( ) belirlenir, ya uygun örnek hacminde belirlenir, ve yı sınırlayan n

bulunur

3)Test istatistiği belirlenir.

a)Populasyon ortalaması( ) ve populasyon oranı için(p) için

2 biliniyorsa Z istatistiği

2 bilinmiyor ve n>30 ise Z istatistiği

2 bilinmiyor ve n 30 ise t istatistiği


b)Populasyon varyansı (2 ) için

2 istatistiği

c)İki populasyon varyansının karşılaştırılması için F istatistiği kullanılır. 4)Kritik tablo değeri bulunur. -Bu değer 3. adımda kullanılan test istatistiği ve onun dağılışına bağlıdır. -Tablonun nasıl kullanılacağı,tablo üzerindeki şekile göre farklılık gösterebilir. -1. aşamada belirtilen alternatif hipotez testi

çift yönlü ise 2

tek yönlü ise değerleri kullanılır. 5)Örneğe ilişkin test istatistiği hesaplanır. 6)Karar: Kritik tablo değeri ile hesaplanan test istatistiği karşılaştırılır,hipotez hakkında karar verilir

ve sonuç yorumlanır.

Hesaplanan test istatistiği > Kritik tablo değeri ise 0H red edilir

Hesaplanan test istatistiği < Kritik tablo değeri ise 0H red edilmez

Diğer bazı hipotez testleri;

:0H < 0

klasik teori geçerli

:1H 0

:0H < 0

klasik teori geçersiz

11 : H

00 : H

klasik test teorisi kullanılamaz.

11 : H (ardışık analizler)

9.2.2. GÜVEN ARALIĞI AŞAMALARI ± Ztablo = Zhesap Not : tüm test istatistiklerinde kritik değer ile hesaplama ± Zα = Zh değeri eşitlenerek güven aralığı elde edilir

± Zα/2 x

X X

n

nZx

2

1

22 nZx

nZxP µ’nün (1-α) olasılıklı güven aralığı


9.3. POPULASYON ORTALAMASI VE ORANİ İÇİN BÜYÜK ÖRNEK TESTLERİ 9.3.1. BÜYÜK ÖRNEKLERDE POPULASYON ORTALAMASI İÇİN HİPOTEZ

TESTİ (2 BİLİNİYOR)

ÖRNEK : Bilye üreten bir işletmede bilyelerin ağırlıklarının ortalaması 5 gr, standart sapması 0,1

gr olan bir normal dağılıma uymaktadır.İşletmede belli bir değişiklik yapılmış ve bu değişikliğin bilye ağırlıklarını arttırdığı düşünülmektedir.Bu amaçla üretimden 16 rassal örnek alınmış ve bu örneğin ortalaması 5,038 gr bulunmuştur.Bu verilere dayanılarak 0.05 önem seviyesinde populasyon ortalamasının 5 gr.dan artıp artmadığını test ediniz.

5

0.1

16

5.038

0.05

gr

gr

n

x gr

H0: =5

H 1 : >5

05.0

Z =x

X X

n

0

μ=

x

z

1.52

Red

Bölgesi

Red Edememe

Bölgesi

1.645

0.5-0.05=0.45 0.05

5.038 51.645 1.52

0.1

16

hZ Z

olduğu için

1.52 1.645h tz z olduğu için H 0 red edilemez!!


GENEL KURAL

h tz z ise H 0 red

h tz z ise H 0 red edilemez

z tablo

H 0 hipotezinin red edilebileceği en küçük anlamlılık düzeyine, hipotezin olasılık değeri(p) denir.

(α)

0

0.5

1.28 1.52 1.645

0.10 0.0643 0.05

z hesap Z=

n

X

P z

0.4257 1.52

H 0 : 5 şeklinde belirlense de

H 1 : 5 için aynı karar kuralı geçerli olur.

1.28

α=0.1

1.52

Sonuç : H 0 red


1.52

α=0.0643

0.4357

0

0,5 – 0.4357 = 0,0643

GÜVEN ARALIĞI (%95)

P( ZX X )=1-

P(16

1,0.645,1038,5 )=0,95

P( 079,5 )=0,95

1-

0

x

z

1.645

5.0795.038

0.4500

Gerçek populasyon ortalaması için 0,95 güven aralığı

Örnek: Bir cıvata üreten fabrikada, belli bir tezgahta ortalaması 2 mm ve standart sapması 0.06

mm olan normal dağılışa uygun cıvata üretilmektedir. Tezgahın doğru çalışıp çalışmadığını test etmek amacıyla 9 rassal örnek alınmış ve ortalaması 1.95 mm bulunmuştur. 0.05 önem seviyesinde tezgahın doğru çalışıp çalışmadığını test ediniz.

2

0.06

9

1.95

0.05

n

x


5,2

9

06,0

295,1

05,0

2:

2:

2

Z

n

xZ

H

H

o

o

96,15,22

ZZh olduğu için oH red.

-1.96 1.96

Red Edememe Bölgesi

(Kabul Bölgesi)Red Bölgesi

Red Bölgesi

-2.50

z

x

0

0.4750.475

2.50

95,01 Güven Aralığı

95,09892,19108,1

95,09

06,096,195,1

9

06,096,195,1

122

P

P

nZx

nZxP


-1.96 1.96

x

z

21.9108 1.9892

0

α/2=0.025

0.4750

9.3.2. BÜYÜK ÖRNEKLEMDE İKİ POPULASYON ARASINDAKİ FARK

21 İÇİN HİPOTEZ TESTİ VE GÜVEN ARALIĞI

(varyanslar biliniyor veya büyük örnek,bağımsız örnekler.) Belli bir soruya verilen cevaplar ile ilgili bir araştırmada (ankette)verilen cevaplar 1=kesinlikle

karşıyım ile 5=kesinlikle katılıyorum arasında bir ölçekte değerlendirme istenmiştir. Araştırmaya 186 erkek cevap vermiş,cevapların ortalaması 4,059 ve standart sapması 0,839 bulunmuş,172 kadın katılmış yanıt ortalaması 3,68 ,standart sapması ise 0,966 bulunmuştur.0,01 lik önem seviyesinde erkeklerin cevaplarının gerçek ortalamasının kadınlarınkinden daha yüksek olup olmadığını test ediniz.

0

1

0

1

: 0

: 0

:

:

0.01

E K

E K

E K

E K

H

H

yada

H

H

Büyük örneklerde (n>30) örnek standart sapması (S), popülasyon satandart sapması ( ) için iyi bir

tahminleyici olması nedeniyle, değeri yerine S kullanılmaktadır.

KE xx

KEKE

S

xxz

K

K

E

Exx

n

S

n

SS

KE

22

95.3

172

966,0

186

839.0

068.30599.4

22

z

Var( 1 2 1 2) ( ) ( )x x Var x Var x


0

x

z

2.33

Red

Bölgesi

3.95

E-K=0

0.49

α=0.01

.

2,33 3,95t hZ Z olduğu için 0H red

Tek yönlü güven aralığı

2 2

1

var( ) var( )var( ) var( ) var( )

0.839 0.9664.0599 3.68 2.33 0.99

186 172

E K

E K

E K E K x x

E Kx x E K E K

E K

E K

P x x z S

x xS x x x x

n n

P

0.02

98,01 Güven aralığı

01,02

1

22KEKE xxKExxKE SzSzxxP

98,06024.01556.0

98,00959,033,268,3059,40959,033,268,3059,4

KE

KE

P

P


-2.33 2.33

x

z

20.1556 0.6024

1-

E-K

0

0.4900

9.3.3.BÜYÜK ÖRNEKLERDE POPULASYON ORANI (p) İÇİN HİPOTEZ TESTİ

(2 BİLİNİYOR VEYA n>30)

Bir süpermarkette 802 müşterinin 378’i belli bir malı alışveriş arabasına koyduktan hemen sonra doğru fiyatı söyleyebilmiştir. Toplam müşterilerin en az yarısının doğru fiyatı söyleyebileceği sıfır hipotezini 0,1 seviyesinde test ediniz.

H 0 : p 0,5 (veya p=p 0 da olabilir)

H 1 : p< 0,5

=0,1 (p 00 , H doğru iken oran)

p

pp

ˆ

0ˆ

n

ppp

)1( 00ˆ

çünkü p binom dağılış parametresidir.

0-1.28

p

z

α=0.1 0.40

-1.64


471.0802

378ˆ p

0.471 0.5

1.64 1.280.5(0.5) /802

h Z

olduğu için H 0 red.

Açıklama: Binom dağılışında x şans değişkeni için E(x)=np Var(x)=npq

n

xp

2

p =Var(p)=Var )(n

x= )(

1)(

122

npqn

xVarn

=n

pq

Standart sapma(p) = p

pq

n

n=802 ( , )X binom p n

X

0 1 1 0 0 1 0 1

3780.471

802

xp

n


1- =0.90 Güven Aralığı

ˆˆ 1pP p p

90.0)0176.0(28.1471.0 pP

P(0.448 p )=0.90

-1.28

z

0.448

1-

0

p

=0.1

p̂

9.3.4 BÜYÜK ÖRNEKLERDE İKİ POPULASYON ORANI ARASINDAKİ FARK (p1-p2) İÇİN HİPOTEZ TESTİ

(2 BİLİNİYOR VEYA n>30)

Tesadüfi olarak seçilen 203 İngiliz ticari dergi reklamından 52’sinde gülme unsuru varken,270

Amerikan ticari dergi reklamından 56’sında gülme unsuru işlenmektedir. Tüm İngiliz ve Amerikan ticari dergi reklamlarında gülme unsuru işlenme oranlarının aynı olup olmadığının testi için kritik değeri

bulun ve buna karşılık gelen 0H red olasılığının limit değerini hesaplayınız.

256.0203

52

0:

0:

1

0

x

yx

yx

p

ppH

ppH

207.0270

56yp

(fr)

p n np

0.256 203 0.256(203)

0.207 270 0.207(270)

npp

n

p için ağırlıklı ortalaması olan 0p̂ değeri aşağıdaki gibi hesaplanır


0

52 56ˆ 0.228

203 270

x y

x x y y x y

x y x y x y

x yn n

n p n p n n x yp

n n n n n n

xp ve yp bağımsız binom parametreleridir.

Var(x-y)=var(x)+var(y) olduğundan,

2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆx y x y

y yx xp p p p

x y

p qp q

n n

0H doğru iken 0p̂pp yx olacağına göre, varyans (veya standart sapma) hesaplamasında bu

değer kullanılır

yx

opp

n

qp

n

qpyx

000ˆˆ

2 ˆˆˆˆ

0 0

ˆ ˆ

1 1ˆ ˆ

x y x y

x y

p p p p

p qn n

-1.26 1.26

z

0

0.3962

px-py

26.1

270

1

203

1228.01228.0

0207.0256.0

h

Yorum : Z tablosu kullanılarak 0,5 – 0,3962 = 0,1038 bulunur. Z çift yönlü olması nedeniyle

α /2 = 0,1038 , dolayısı ile α = 0,2076 olasılık değeri hipotezin reddine yol açacak kritik olasılık değeridir. Kritik Z tablo değeri ise 1,26 dır. Z(tablo) = 1,26 dan (veya α = 0,2076 dan) büyük değerler sıfır hipotezinin reddine yol açar.


1- 90.0 Güven Aralığı

P 1ˆˆˆˆˆˆ2/ˆˆ2/ yxyx ppyxyxppyx pppppp

Buradaki standart sapma formülünde 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆx y x y

y yx xp p p p

x y

p qp q

n n kullanılır.

0.049 0.0638

0.256 0.207 1.645 0.0388 0.256 0.207 1.645 0.0388 0.90x yP p p

0.0148 0.1128 0.90X YP P P

-1.645 1.645

z

0

px-py-0.0148 0.1128

px-py

0.45 0.45

9.4. POPULASYON ORTALAMASI VE ORANI İÇİN KÜÇÜK ÖRNEK TESTLERİ

9.4.1 KÜÇÜK ÖRNEKLERDE POPULASYON ORTALAMASI İÇİN HİPOTEZ

TESTİ( 2 bilinmiyor, ve n < 30)

Bir mağaza zincirinde Aralık ayı satışlarının Kasım ayı satışlarından 0,20 daha fazla olduğu

bilinmektedir. Bu amaçla 6 ayrı mağazadaki Aralık ayı satış artış yüzdeleri alınmıştır. Bu verilere göre, populasyon dağılımının normal olduğu varsayımı altında Aralık ayı satış ortalamalarındaki gerçek artışın 0,20 olduğu hipotezini 0,1 anlamlılık düzeyinde test ediniz.

Mağaza No

6 ayrı mağazadaki Kasım–Aralık Satış Artış %si

x

2

ix

1 19,2 368,64 2 18,4 338,56 3 19,8 392,04 4 20,2 408,04 5 20,4 416,16 6 19,00 361,00

Toplam x =117 2x =2,284,44


20: 00 H

20:1 H

1,0

,sdt sd=n-1

nS

x

S

xt

x

n

1,

5,196

117

n

xx

2

2 22

22 2

1 1 1

2,284.44 6(19.5)0.588 0,767

1 5

x n x xx xx x n nnS

n n n

x nx

n

597,1

16

767,0

205,19

ht

-2.015 2.015

1-

0

18.82 20.17

-1.5972, 1n

xt

s n

2, 1nx t s n

597,1015,25,05,0 htt 0H red edilemez.


GENEL KURAL

h tt t ise H 0 red

h tt t ise H 0 red edilemez

0.05,5 / 2, 1

0.1 0.05

5 2.015 n

sd

t t

1 0,90 Güven Aralığı

, 1 , 12 2

0.05,5

1

2.015

x xn n

x

P x t S x t S

sS t

n

0,673

0,767 0,76719,5 2,015 19,5 2,015 0,90

6 6P

449,26

18,82 20,17 0,90P

-2.015 2.015

1-

0

18.82 20.17 / 2, 1h n

sx t

n

/ 2, 1n

x

xt

s

19.5x

2( , )

(0,1)

xx Normal s

t Normal

0 : 20H olduğu için red edilemez.


9.4.2 KÜÇÜK ÖRNEKLERDE İKİ POPULASYON ORTALAMASI ARASINDAKI FARK

)( 21 İÇİN HİPOTEZ TESTİ : EŞLEŞTİRİLMİŞ BAĞIMLI

GÖZLEMLER bilinmiyor2( ve )30n

İki ayrı TV program kuşağında 10 ayrı reklam kişilere izlettirilmiş ve 24 saat sonra, iki ayrı

kuşaktaki reklamlardan hatırlanma indeksleri elde edilmiştir. Ürün Sabah Kuşağı Akşam

Kuşağı id 2

id

1 137 53 84 7,056 2 135 114 21 441 3 83 81 2 4 4 125 86 39 1,521 5 47 34 13 169 6 46 66 -20 400 7 114 89 25 625 8 157 113 44 1,936 9 57 88 -31 961 10 144 121 23 1,089

Toplam d =210 2d =14,202

İki ayrı kuşakta izlenen reklamların hatırlanması indeksleri karşılaştırıldığında sabah kuşağının

hatırlanması indeksinin daha yüksek olup olmadığını 05,0 seviyesinde test ediniz.

0 0 0: 0 :s a s aH D veya H

1 1: 0 :s a B aH veya H

d

nS

Ddt 0

1,

2110

210

n

dd

i

2

22 222

2

2

2 2 22

2

1 1 1

14,202 10 211,088

1 1 9d

ddd d dx x n d d d

n n n n

dd d ndnS

n n

2

2

22

d

d

x

SS

n

SS

n

10

98,32

10

088,1

n

SS d

d


0 1.833

d

t,n-1

2.014

0,05,9

21 02,014 1,833

32,98

10

h

d

d Dt t

s

olduğu için 0H red.

Açıklama : Eğer gözlemeler bağımlı ise ;

2

,

222

212121

2xxxxxx

n

xxCov

nn

xx 21

2

2

1

2,

221

222

21 xx ve nnn 21 ise

n

xxCov

nn

21

22 ,2

n

xxCov

n

21

2 ,22

olur.

90,01 Güven Aralığı

0

, 1 , 12 2

1

d d

s a s a

d dDs s

g a s a s ax x x xn nP x x t S x x t S


0.05,9

0.1

0.052

1.833t

90,0)43,10(833,12143,10833,121 0

13.19

DP

0(1.869) 40.13) 0,90P D

-1.833 1.833

1-

0

1.869 40.13D0

d

t /2,n-1

Tek yönlü güven aralığı

0.05,9

, 1

1 0.95

1.833

1

21 1.833(10.43) 0.95

1.869 0.95

n d

t

P d t s D

P D

P D

1.869D0


9.4.3 KÜÇÜK ÖRNEKLERDE İKİ POPULASYON ORTALAMASI ARASINDAKİ FARK

)( 21 İÇİN HİPOTEZ TESTİ:

Eşleştirilmemiş (bağımsız) gözlemler ( varyanslar eşit,2 bilinmiyor ve n 30 )

Belli bir kuş cinsine ait populasyonda erkek ve dişi vücut ağırlıklarının aynı olup olmadığı

araştırılması amacıyla 10 erkek ve 9 dişi kuş şans örneklemesi ile seçilmiştir. Elde edilen veriler aşağıdaki gibidir, bu verilere göre erkek ve dişi vücüt ağırlıklarının aynı olup olmadığı hipotezini 0.05 seviyesinde test ediniz.

Örnek hacmi (n) ortalama( x ) varyans(2s )

Erkek 10 90.80 55.2 Dişi 9 81.52 66.2

1

2

:

:

erkek

dişi

H 0 : 1 - 2 = 0

H 1 : 1 - 2 0

= 0.05

2

2

1

1 2

1

2 2 2 1

1

1 2 1

2 1 2

2 22 1 1 2 2

2

1

, 2

2

1 1( )

( 1) (

( ) (

1)

2

)n n

x x

x x

n nS S

n n n n

n S n SS

n n

x xt

S

2S (2 2 2

1 2 varsayımı ile )

0

x1-x2

-2,110 2,110

t/2,n1+n2-1

2.60

2 9(55.2) 8(66.2)

60.3810 9 2

S

57.3)9

1

10

1(38.60_

21

XX

S


1 2 2 10 9 2 17sd n n

1 2

1 2 1 2

0.025,17

( ) (90.80 81.52) 02.60 2.110

3.57h

x x

x xt t

s

olduğu için

0H red.

Açıklama.:

22

2

2

1 değil ise ,yani 2

2

2

1 ise

2

2

2

1

2

1

21_

n

S

n

Sxx olur.

*

2

2

2

1

2

1

2121* )()(tt

n

S

n

S

xxt

dağılışı gösterir.

2

2

2

1

2

1

1,

2

2

21,

1

2

1

21

221121

**

n

s

n

s

tn

st

n

S

ww

twtwt

nn

t

olur.

Eğer 1n = nn 2 ise

2 2

, 1 2 21 2, 1 , 1 1 2

2 22 21 2

1 2

, 1

( )

1( )

n

n n

t

t n

ts st t s s

n n nts s

s snn n

t t

dağılışı gösterdiği görülür.

95.01 GÜVEN ARALIĞI

1 2 1 21 2 1 2

1 2 1 2 1 2, 2 , 2

2 2

1 2

9,28 7,5327

1 2

( ) ( ) 1

(90.80 81.52) 2.11(3.57) (90.8 81.52) 2.11(3.57) 0.95

1.7473 16.8127 0.95

x x x xn n n n

P x x t s x x t s

P

P


0

x1-x2

-2,110 2,110

1.7473 16.81271-2

t/2,n1+n2-2

0H red 0H red

0 1 2: 0H

9.5. POPULASYON VARYANSLARI İÇİN HİPOTEZ TESTLERİ

9.5.1. BİR POPULASYON VARYANSI 2 İÇİN HİPOTEZ TESTİ:

2

TESTİ

(POPULASYON DAĞILIŞI NORMAL) Bir çimento fabrikasında üretilen çimentodan yapılan betonların sağlamlığının standart

sapmasının 10 2cmkg den fazla olduğu iddia edilmektedir. Bu amaçla 10 beton örneği alınmış ve bu

örneklerin sağlamlılıkları saptanmıştır. Normal dağılış gösteren bir populasyondan alınan bu örneklerin

ortalama ve varyansı 2312 195x S olarak bulunmuştur. İddiayı 0.05 seviyesinde test ediniz.

100: 2

0 H 2cmkg

100: 2

1 H 2cmkg 2

10

100

05,0

2

0

22

1;

1

Snn

n

n

=16.92


92,1655,17100

1959 2

9;05,0

2 h olduğu için 0H red.

Ki- kare tablosu:

1 0.05

9 16.92

n

Aynı örneği çift yönlü test olarak ele alalım. Yapılan betonların sağlamlığının standart

sapmasının 10 2cmkg ’den farklı olduğu iddia edilmektedir. Buna göre aynı veriler ile iddiayı 0.1

seviyesinde test edin.

100: 2

0 H

2

1 : 100H

1,0 1 0.90

Red BölgesiRed

Bölgesi

0.052

0.052

2

1 / 2, 1 3.33n 2

/ 2, 1 16.92n

1 0.90

2 17.55h

2 2 2( 1) /h n S

55,17100

19592 h

Ki- kare tablosu:

1 0.05 0.95

9 16.92 3.33

n

33,32

9;95,0 92,162

9;05,0

2 2

0,05;917,55 16.92h olduğu için 0H red


90,01 için GÜVEN ARALIĞI

2

2

2

2

2

2

1

1

n S

n S

111

2

1,2

1

22

2

1,2

2

nn

SnSnP

90,0195919592

9;95,0

2

2

9;05,0

P

90,033,3

1959

92,16

1959 2

P

90,002.52772.103 2 P

3.33 16.92

103.72 527.02S

2

n

1-

2

0 : 100H


9.5.2 İKİ POPULASYON VARYANSININ KARŞILAŞTIRILMASI

(2

2

2

1 ) İÇİN HİPOTEZ TESTİ: F TESTİ

(POPULASYONLARIN DAĞILIŞI NORMAL ve VARYANSLAR BİLİNMİYOR )

Pazara sunulan iki ayrı bağımsız hisse senedinin değişkenliklerinin birbirine eşit olup olmadığını

aşağıdaki rastsal örneklere dayanarak test ediniz.

2

1 123.38S 171 n

2

2 8.02S 112 n

02.0

2

2

2

10 : H

2

2

2

11 : H

2

1

2

1

2

11 1/ nSn

2

1

2

2

2

22 2/ nSn dağılışları gösterir,

1

2

1 1

2 2

1

2

1

2

2

1

1

1

n

n

n

F

2

1

12

1

1S

n

2 1n

2

2

22

2

1S

n

2

12 221 21

2

2

2

2

S

S

S

2 2

2 1S

2 20 1 2

2

1

2

2

:H

S

S

12,112

2

2

2

2

1

2

1

/

/ nnF

S

S

0H : 22

2

2

1 )1/( 2

2

2

1

2

22 )1(

Sn

38.1502.8

38.1232

2

2

1 S

SF

0.01 için F tablosu


1 1 2 21 1 10

16 4.53

n n

1 2, 1, 1 0.01,16,10 4.53n nF F

1,1, 21 nnF

F0.01,16,10=4.53 < Fh=15.38 olduğu için Ho red edilir.

AÇIKLAMA: 1) Eğer;

22

1:0 H

2

2

2

11 : H ise

2

2

2

1

S

SF kullanılır

2

2

2

11 : H ise

2

1

2

2

S

SF kullanılır

2)Hipotez tek yönlü ise 1,1, 21 nnF kullanılır.

Hipotez çift yönlü ise 1,1, 21

2

nnF kullanılır. Ancak iki tane kritik F değeri

bulunması gerekmez. 2

2

KüçükS

BüyükS şeklinde hesaplanır.


Tek yönlü hipotez testi 2 2

0 1 2

2 2

1 1 2

:

:

H

H

1,1, 21 nnF

Tek yönlü hipotez testi (kullanılmaz)

2 2

0 1 2

2 2

1 1 2

:

:

H

H

1,1, 21 nnF

Çift yönlü hipotez testi

2 2

0 1 2

2 2

1 1 2

:

:

H

H

1,1, 21 nnF

98.01 Güven Aralığı

)1(/

)1(/

2

2

2

2

22

1

2

1

2

11

nSn

nSnF


)%1()1(/

)1(/1,1,2/

2

2

2

2

22

1

2

1

2

111,1,2/1 2121

nnnn F

nSn

nSnFP

)%1()1/(

)1/(

)1/(

)1/(

1

2

11

2

2

221,1,2/2

1

2

2

1

2

11

2

2

221,1,2/1 2121

nSn

nSnF

nSn

nSnFP nnnn

veya

1 2 1 2

2 2 2

1 1 1

2 2 21 , 1, 1 , 1, 1

2 2 22 2

. . 1n n n n

S SP F F

S S

şeklinde elde edilebilir. Örneğe devam edilir ise,

2

1

2

2

123.3815.38

8.02

S

S

98.038.1538.15 10,16,01.02

2

2

110,16,99.0

FFP

98.053.438.1569.3

138.15

2

2

2

1

P

AÇIKLAMA:

1,1,2

1,1,2

1

21

12

1

nn

nn FF

271.069.3

11

16,10,01.0

10,16,99.0 F

F

01,0 için F-tablosu aşağıdaki gibi kullanılaraak

1 1 2 21 1 10 16

10 3.69

16 4.53

n n

98.067.69168.42

2

2

1

P güven aralığı elde edilir.


0.271 4.53

1-

F

2

2

2

1 / SS

4.168 69.67

1 ’lık Tek Yönlü Güven Aralığı

2 1

2 2

1 1, 1, 12 2

2 2

1n n

SP F

S


9.6. ÖRNEK BÜYÜKLÜĞÜNÜN TAHMİNİ

9.6.1 POPULASYON ORTALAMASI KULLANILARAK n TAHMİNİ

(Populasyon varyansı bilinen ve populasyon dağılışı normal)

2 2

1

L

P x z x Zn n

1LxLxP

nzL

2

Araştırmacı L değerini önceden saptamak isterse:

L

Zn

2

2

22

2L

Zn

Örnek:Bir sanayi işletmesinde üretilen metal çubukların boyları, =1.8mm olan normal dağılış

göstermektedir. Bu populasyondan 9 rassal örnek alınmış ve populasyon ortalamasının 0.99 ,güven aralığı

194,65 197,45 0.99P

bulunmuştur. Araştırmacı bu aralığı çok geniş bulmuş ve ortalama etrafında ancak 0.5mm toleransın 0.99 güven aralığı içinde olmasını istemektedir. Bu aralığın kullanılabilmesi için örnek büyüklüğü ne olmalıdır?

L=0,5 8,1 575,2005,0

2

zz

( 0.5 0.5) 0.99P x x

2 2 2 2

2

22

2,575 1,885,93 86

0,5

zn

L


GENEL SONUÇ: Daha dar güven aralığı ve daha hassas sonuçlar elde etmek için daha büyük örnek almak gerekir.

9.6.2 POPULASYON ORANI KULLANILARAK “n" TAHMİNİ

P

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 )ˆ ˆ

L

p p p pp Z p p Z

n n

)1( %

1)ˆˆ( LppLpP

n

ppzL

)ˆ1(ˆ

2

0<p<1 olduğuna göre L’nin olabileceği en büyük değer p=0,5 iken

nzL

)5,0(5,0

2

L

zn 2

5,0

2

2

2

25,0

L

Z

n

Örnek: Üniversite mezunlarının işe alınmasında 142 farklı şirket yetkilisinin mülakat sırasında

mezuniyet not ortalamasının çok önemli olduğunu 87’si belirtmiştir. Bu görüşe sahip olanların 0,95 güven aralığı

142n 142

87p 96,1

2

Z

=0,613

0,613(0,387) 0,613(0,387)0,613 1,96 0,613 1,96 0.95

142 142P p

P(0,533<p<0,693)=0.95 tür Bu aralığın, populasyon oranının,örnek oranının her iki yanında en çok 0,06 aralığında olmasının

0,95 güven aralığı içinde kalması için örnek büyüklüğü ne olmalıdır? L=0,06

26778,266)06,0(

)96,1(25,02

2

n örnek gereklidir.


9.7. HİPOTEZ TESTİNİN GÜCÜ Kimyasal üretim yapan bir fabrikada günlük üretim miktarının ortalama 880 ton olduğu

bilinmektedir.Bu durumun doğrulanması amacıyla fabrikada günlük üretimler 50 kez ölçülmüş ve ortalaması 871 ton bulunmuştur.

880 ton/gün 50n

:0H 8800 ton 871x ton/gün

:1H 880 ton 21s ton

05.0 9698.250

21

n

SS x

0H doğru varsayımı altında

x

z

0-1.96 1.96

874.18 885.82

0.4750

xS

xZ

2

871 880

3.0321

50

hz

xSZx2

880 1.96(2.9698) (874.18) (885.82)

95.0)82.88518.874 P


0H yanlış varsayımı ile

H1: :

/2=0.025 /2=0.0251-

0.475

874.18 880 885.82

xH0 Doğru iken

H0 Yanlış iken

871

0 1.41

x

z

0.4207

1 0.9207

0.0793

874.18

41.19698.2

87118.8741

Z

4207.041.10 zP

0793.04207.05.0 0H yanlış iken ; 0H kabul olasılığı II.Tip hata

9207.00793.011 0H yanlış iken ; 0H red olasılığı Testin Gücü

05.0 0H doğru iken ; 0H red olasılığı

95.01 0H doğru iken ; 0H kabul olasılığı

yı küçültmek için yollar:

1. büyütülür

2. 0 :H a a b

3. n


00 : H 01 : H

1-

x

n1

n2

n3

0

0.05

1.0

n1 n2 n3> >


1-

0

1.0

0 1

1-

1-

Ho doğru iken Ho yanlış iken

İdeal güç eğrisi

1-

1.0

ideal güç eğrisi

00 : H


01 : H

1-

n2 n1n2>n1

x

Documents

HİPOTEZ TESTLERİ VE ARALIK TAHMİNİ (GÜVEN ARALIĞI)kisi.deu.edu.tr/levent.senyay/istatistik II/9 hip test-GA-test gucu.pdf · doğru olduğu hallerde hipotezin red edilmesi olasılığı