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H O S P I T A L MANPOWER P L A N N I N G

C a l l s W a i t i n gI n p u tS o u r c e 0 0

Servi ce Fa c il i tyF i g . 1 . T h e q u e u e i n g s y s t e m : o n e l i n e , m u l t i p l e s e r v e r s i n p a r a l l e l .

I n a d d i t i o n t o t h e s e n o n r o u t i n e s e r v i c e s , t h e u n i t p r o v i d e s r o u t i n e s e r v i c e ss c h e d u l e d a t d e f i n i t e t i m e s . I t i s e a s y t o e s t i m a t e t h e m a n - h o u r s r e q u i r e d t op r o v i d e t h i s r o u t i n e s e r v i c e , b u t i t i s n o t a s i m p l e t a s k t o e s t i m a t e m a n - h o u r st o b e a l l o c a t e d t o n o n r o u t i n e a c t i v i t i e s : c a l l s a r r i v e a t r a n d o m , a n d t h e t i m er e q u i r e d t o c o m p l e t e t h e s e r v i c e i s a l s o r a n d o m , d e p e n d i n g o n t h e t y p e o fr e q u e s t . H i r i n g a n u n l i m i t e d n u m b e r o f m e s s e n g e r s w o u l d a l l o w i m m e d i a t es e r v i c e f o r c a l l s a t a n y t i m e b u t i s o b v i o u s l y n o t e c o n o m i c a l l y s o u n d . On t h eo t h e r h a n d , s i g n i f i c a n t u n d e r s t a f f i n g o f t h e u n i t w o u l d r e s u l t i n p o o r s e r v i c e .T h e c h o i c e o f s t a f f i n g l e v e l m u s t b e c o n s i s t e n t w i t h a c c e p t a b l e l a b o r c o s t s a n dw i t h a c c e p t a b l e w a i t i n g t i m e s f o r s e r v i c e o n c a l l s .DATA COLLECTION AND ANALYSIS

T o a p p l y q u e u e i n g t h e o r y t o t h e p r o b l e m , i t i s n e c e s s a r y t o know t h e d i s t r i b u -t i o n s o f a r r i v a l t i m e a n d o f s e r v i c e t i m e a n d t h e q u e u e d i s c i p l i n e ( i n t h i s c a s ef i r s t - c o m e f i r s t - s e r v e d , a s i n d i c a t e d ) . To d e t e r m i n e a r r i v a l - t i m e a n d s e r v i c e - t i m ed i s t r i b u t i o n s , d a t a w e r e c o l l e c t e d f r o m 8 a . m . t o 3 p . m . - t h e b u s i e s t p a r t o f t h ed a y - o v e r a t w o - w e e k p e r i o d : t h e t i m e w a s n o t e d a s e a c h r e q u e s t f o r s e r v i c ea r r i v e d , a n d a l s o w h e n t h e m e s s e n g e r d e p a r t e d a n d r e t u r n e d . T h e d i f f e r e n c eb e t w e e n t h e l a t t e r t w o t i m e s w a s d e f i n e d a s t h e s e r v i c e t i m e .D a t a w e r e o b t a i n e d f o r 3 7 5 c a l l s f o r s e r v i c e ; t h e s e w e r e g r o u p e d b y t i m er e q u i r e d t o p e r f o r m t h e s e r v i c e , a s s h o w n i n T a b l e 1 . T h e mean s e r v i c e t i m e w a sc a l c u l a t e d a s 1 1 . 9 m i n . ; f o r c o n v e n i e n c e , 1 2 m i n . w a s t a k e n a s a n a p p r o x i m a t i o n .T h e d i s t r i b u t i o n o f s e r v i c e t i m e s i s c o m p a r e d i n F i g . 2 ( n e x t p a g e ) w i t h a ne x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n c a l c u l a t e d f r o m

T ( > t ) = N e - t / mw h e r e t i s t h e t i m e i n m i n u t e s , N i s t h e n u m b e r o f c a l l s o b s e r v e d ( 3 7 5 ) , a n d mi s t h e m e a n s e r v i c e t i m e . A g o o d n e s s - o f - f i t t e s t g a v e a x 2 v a l u e o f 1 2 . 4 , w h i l e t h eS p r i n g 1 9 7 1 77

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G u p t a e t a l .T a b l e 1 . D i s t r i b u t i o n o f C a l l s G r o u p e db y S e r v i c e T i m e R e q u i r e d

S e r v i c e t i m e ,m i n u t e s0 - 5> 5 - 1 0> 1 0 - 1 5>15-20> 2 0 - 2 5> 2 5 - 3 0>30-35> 3 5 - 4 0

N u m b e r o fc a l l s9 21 0 38 23 92 6891 6

c r i t i c a l v a l u e o f x 2 ( a = . 0 5 , d . f . = 7 ) i s 1 4 . 0 7 , i n d i c a t i n g t h a t t h e o b s e r v e ds e r v i c e t i m e s c o n f o r m t o t h e t h e o r e t i c a l e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n .T h e d a t a w e r e t h e n t a b u l a t e d b y n u m b e r o f c a l l s a r r i v i n g d u r in g e a c h c o n -s e c u t i v e 1 2 - m i n . i n t e r v a l o f t h e d a t a - c o l l e c t i o n p e r i o d , a n d t h e m e a n n u m b e r o fa r r i v a l s p e r 1 2 - m i n . i n t e r v a l ( i . e . , p e r m e a n s e r v i c e - t i m e i n t e r v a l ) w a s d e t e r -m i n e d t o b e 1 . 1 6 . On t h e a s s u m p t i o n o f a P o i s s o n a r r i v a l p r o c e s s , t h e t h e o r e t i c a lf r e q u e n c y d i s t r i b u t i o n o f a r r i v a l s p e r m e a n s e r v i c e t i m e w a s c a l c u l a t e d a sT ( x ) = 1 . 1 6 M e - 1 1 6

w h e r e x = c a l l s p e r m e a n s e r v i c e t i m e a n d M = 3 1 5 , t h e n u m b e r o f s e r v i c e - t i m e

O 3 6 0. . . . . . . . . . . . . . . T h e o r e t i c a l

Actual2 7 0

1 8 0

9 0

S e r v i c e t i m e , t ( I T i r . n . )F i g . 2 . D i s t r i b u t i o n o f s e r v i c e t i m e s .

H e a l t h S e r v i c e s R e s e a r c h8

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H O S P r r A L MANPOWER P L A N N I N GT a b l e 2 . O b s e r v e d a n d T h e o r e t i c a l F r e q u e n c y D i s t r i b u t i o n so f C a l l s p e r M e a n S e r v i c e T i m eNumber F r e q u e n c yo f c a l l s O b s e r v e d T h e o r e t i c a l

0 9 6 9 81 1 1 2 1 1 32 7 4 6 93 2 0 2 44 1 0 95 3 2

i n t e r v a l s o b s e r v e d . T h e o b s e r v e d a n d t h e c a l c u l a t e d f r e q u e n c y d i s t r i b u t i o n sa r e s h o w n i n T a b l e 2 ; a g o o d n e s s - o f - f i t t e s t o f t h e s e d i s t r i b u t i o n s g a v e a x 2 v a l u eo f 1 . 7 , c o m p a r i n g w e l l w i t h t h e c r i t i c a l v a l u e f o r x 2 o f 1 1 . 0 7 ( a r = . 0 5 , d . f . = 5 )a n d j u s t i f y i n g t h e a s s u m p t i o n o f a P o i s s o n p r o c e s s f o r t h e a r r i v a l o f c a l l s .APPLICATION OF THE QUEUEINO MODEL

I t h a s b e e n e s t a b l i s h e d t h a t t h e m e s s e n g e r s e r v i c e p o s s e s s e s t h e c h a r a c t e r -i s t i c s o f a P o i s s o n a r r i v a l p r o c e s s , a n e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n o f s e r v i c e t i m e s , af i r s t - c o m e f i r s t - s e r v e d q u e u e d i s c i p l i n e , a n d a s e r v i c e a r r a n g e m e n t o f m u l t i p l es e r v e r s a c t i n g i n p a r a l l e l . I t i s a s s u m e d t h a t t h e s y s t e m o p e r a t e s i n a s t e a d y - s t a t ec o n d i t i o n , i . e . , t h a t t h e c u r r e n t s t a t e i s i n d e p e n d e n t o f t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s .U n d e r t h e s e c i r c u m s t a n c e s i t may b e a s s u m e d t h a t a s i m p l e q u e u e i n g m o d e lw i l l d e s c r i b e t h e s e r v i c e a d e q u a t e l y . No a t t e m p t i s m a d e h e r e t o d e v e l o p t h em a t h e m a t i c a l m o d e l i n d e t a i l . T h e i n t e r e s t e d r e a d e r w i l l f i n d d e t a i l e d d i s c u s -s i o n s o f t h e f o r m u l a s i n t h e w o r k s o f H i l l i e r a n d L i e b e r m a n [ 1 2 ] , M o r s e [ 1 3 ] ,a n d S a a t y [ 1 4 ] .S t a f f i n g L e v e l a n d S e r v i c e D e l a y

F o r t h e p r e s e n t p r o b l e m , t h e p a r t s o f t h e m o d e l t h a t a r e o f i n t e r e s t a r e t h o s ew h i c h e x p r e s s , a s f u n c t i o n s o f t h e n u m b e r o f m e s s e n g e r s , L q , t h e e x p e c t e d q u e u el e n g t h , a n d P ( > t ) , t h e p r o b a b i l i t y t h a t a c a l l w i l l h a v e t o w a i t s o m e t i m e l o n g e rt h a n t . L e t A d e n o t e t h e mean n u m b e r o f a r r i v a l s p e r u n i t t i m e , / u t h e meann u m b e r o f c a l l s s e r v i c e d b y o n e m e s s e n g e r p e r u n i t t i m e , a n d s t h e n u m b e r o fm e s s e n g e r s . I f t h e mean a r r i v a l r a t e i s l e s s t h a n t h e mean s e r v i c e r a t e , x < l s ;f o r c o n v e n i e n c e , l e t p = X / , L s , a n d n o t e t h a t p < 1 . T h e p r o b a b i l i t y t h a t n o c a l l sa r e w a i t i n g c a n b e d e f i n e d a s

P 0 = 1 [/X2Qn+ s 1 ( 1 N P ) ]w h e r e n i s t h e n u m b e r o f c a l l s i n t h e q u e u e i n g s y s t e m . T h e n t h e w a i t i n g - t i m ep r o b a b i l i t y may b e c a l c u l a t e d a sS p r i n g 1 9 7 1 79

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G u p t a e t a l .5 0

4 1 \ 4 0

E 3 0

2 0*S\'- ' 1 01

= 32 s 42 1 0 2 0 3 0 4 0

W a i t i n g t i m e , t ( m i n . )F i g . 3 . P r o b a b i l i t y o f w a i t i n g t i m e s l o n g e r t h a n t a t d i f f e r e n t s t a f f i n g l e v e l s .

P ( > t ) = o ( A / - , ) ( e - 8 ) ( 1 - (a n d t h e e x p e c t e d q u e u e l e n g t h may b e o b t a i n e d f r o m

L P O ( X 1 ) 2 p ( 2 )C u r v e s w e r e d r a w n f r o m E q . 1 f o r t h e p r o b a b i l i t y o f d e l a y s o f s e r v i c e w i t h

d i f f e r e n t s t a f f i n g l e v e l s ( F i g . 3 ) . E x p e c t e d q u e u e l e n g t h ( L q ) w a s c a l c u l a t e df r o m E q . 2 f o r v a r i o u s s t a f f i n g l e v e l s ; t h e r e s u l t s a r e g i v e n i n T a b l e 3 .S t a f f i n g L e v e l a n d C o s t

T h e c o s t o f w a i t i n g i s i n t a n g i b l e i n m o s t c a s e s a n d i s d i f f i c u l t t o e s t i m a t e .One c a n , h o w e v e r , g e t a n i n s i g h t i n t o t h e p r o b l e m b y a r b i t r a r i l y v a r y i n g t h eT a b l e 3 . E x p e c t e d Q u e u e L e n g t h w i t hV a r i o u s N u m b e r s o f M e s s e n g e r sN u m b e r o f C a l l s w a i t i n gm e s s e n g e r s f o r s e r v i c e

2 0 . 6 7 53 0 . 0 9 44 0 . 0 1 65 0 . 0 0 3H e a l t h S e r v i c e s R e s e a r c h0

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H O S P I T A L MANPOWER P L A N N I N GT a b l e 4 . H o u r l y C o s t o f V a r i o u s S t a f f i n g L e v e l s a t T w o D i f f e r e n tR a t i o s o f W a i t i n g C o s t ( C 2 ) t o S e r v i c e C o s t ( C 1 )N u m b e r o f C o s t p e r h o u rm e s s e n g e r s C 2 / C 1 = 5 C 2 1 C 1 = 1 5

2 $ 8 . 3 5 $ 2 1 . 8 23 4 . 5 4 6 . 4 24 5 . 7 6 6 . 0 85 7 . 6 3 7 . 6 8

r a t i o o f c o s t o f w a i t i n g p e r u n i t t i m e t o c o s t o f s e r v i c e p e r u n i t t i m e a n d s t u d y i n gi t s e f f e c t o n t h e s y s t e m . T o c o n s t r u c t a n e x a m p l e , l e t u n i t t i m e b e o n e h o u r ; C ii s s e r v i c e c o s t p e r m e s s e n g e r p e r h o u r a n d C 2 i s w a i t i n g c o s t p e r c a l l p e r h o u r .A t a n y t i m e [ s - ( A / , ) ] m e s s e n g e r s a r e i d l e : t h e c o s t o f i d l e n e s s i sCi [ s - ( X / 4 ) ] . A l s o , L q c a l l s a r e w a i t i n g t o b e s e r v e d , w i t h a n a d d i t i o n a l c o s to f C 2 L q , s o t h a t t h e e q u a t i o n d e s c r i b i n g t h e t o t a l h o u r l y c o s t i s

F ( s ) = C ( s < - ) + C 2 L qT h e o b j e c t i v e i s t o m i n i m i z e F , w h i c h i s a f u n c t i o n o f s . T h e e q u a t i o n c a n b es o l v e d b y t r i a l a n d e r r o r : l e t C i = $ 2 / h r , a n d a s s i g n a l t e r n a t i v e v a l u e s 5 a n d 1 5t o t h e r a t i o C 2 / C 1 . T h e r e s u l t i n g v a l u e s f o r h o u r l y c o s t a r e s h o w n i n T a b l e 4 .DISCUSSION

T h e a d m i n i s t r a t o r m u s t d e c i d e w h i c h o n e o f s e v e r a l c r i t e r i a i s t h e m o s t r e l e -v a n t a s t h e b a s i s f o r c h o o s i n g a s t a f f i n g l e v e l . He may d e c i d e t h a t a g i v e n p e r -c e n t a g e o f c a l l s m a y n o t b e a l l o w e d t o w a i t f o r s e r v i c e l o n g e r t h a n a c e r t a i n t i m eo r t h a t n o m o r e t h a n a c e r t a i n p e r c e n t a g e o f c a l l s may b e w a i t i n g i n t h e q u e u e f o rs e r v i c e a t a n y t i m e , o r h e may c h o o s e t o m i n i m i z e t h e t o t a l c o s t o f t h e o p e r a t i o n ,b a l a n c i n g t h e c o s t o f w a i t i n g a g a i n s t t h e c o s t o f p r o v i d i n g a d d i t i o n a l m e s s e n g e r s .A s s h o w n i n F i g . 3 , w i t h t w o m e s s e n g e r s 2 0 p e r c e n t o f t h e c a l l s w o u l d w a i tl o n g e r t h a n 1 0 m i n u t e s , w h i l e w i t h t h r e e m e s s e n g e r s o n l y 2 p e r c e n t o f t h e c a l l sw o u l d w a i t l o n g e r t h a n 1 0 m i n u t e s . T h e c h o i c e o f c r i t e r i a m u s t d i c t a t e w h i c h o ft h e s e v a l u e s i s t o b e r e g a r d e d a s o p t i m a l .B y i n s p e c t i n g T a b l e 3 , o n e c a n a l s o d e c i d e o n a t o l e r a b l e l i m i t f o r c a l l s w a i t -i n g t o b e s e r v i c e d a t a n y t i m e . I t i s o b v i o u s f r o m t h e r e s u l t s t h a t i n c r e a s i n g t h en u m b e r o f m e s s e n g e r s f r o m t w o t o t h r e e h a s a m a r k e d e f f e c t o n t h e q u e u el e n g t h , w h i l e a f u r t h e r i n c r e a s e t o f o u r o r m o r e h a s r e l a t i v e l y l i t t l e e f f e c t . A d d -i n g a n a d d i t i o n a l p e r s o n i s n o t a l w a y s a n e f f e c t i v e s o l u t i o n .W i t h r e g a r d t o t h e c o s t v a l u e s s h o w n i n T a b l e 4 , i t c a n b e s e e n t h a t w h e nw a i t i n g c o s t ( C 2 ) i s e x c e s s i v e l y h i g h , i t i s e c o n o m i c a l t o h a v e f o u r m e s s e n g e r si n s t e a d o f t h r e e . T h i s s o r t o f r e s u l t w a s e x p e c t e d i n t u i t i v e l y . I n e m e r g e n c yu n i t s , t h e r e f o r e , a h i g h e r l e v e l o f s e r v i c e s h o u l d b e p r o v i d e d . S u c h c a l c u l a t i o n sc a n p r o v i d e e s t i m a t e s o f s t a f f i n g c o s t s f o r e m e r g e n c y s e r v i c e .

S p r i n g 1 9 7 1 8 1

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G u p t a e t a l .I n t h i s p a r t i c u l a r a p p l i c a t i o n , i t w a s f o u n d t h a t t h e d a t a o n s e r v i c e t i m e s a n da r r i v a l r a t e s w e r e a d e q u a t e l y r e p r e s e n t e d b y t h e t h e o r e t i c a l d i s t r i b u t i o n s . I n

m o r e c o m p l e x c a s e s t h e s e d i s t r i b u t i o n s m a y n o t a p p r o x i m a t e t h e r e a l - l i f e s i t u a -t i o n : f o r e x a m p l e , i n a n e m e r g e n c y d e p a r t m e n t t h e r e m a y b e p r i o r i t i e s o f s e r v i c ed e p e n d e n t o n t h e c o n d i t i o n o f e a c h n e w l y a r r i v e d p a t i e n t . T h e a n a l y s i s o f s u c ha s i t u a t i o n i s i n v o l v e d a n d m a y s o m e t i m e s b e i m p o s s i b l e , s o t h a t c o m p u t e r s i m u -l a t i o n w o u l d b e n e c e s s a r y t o p r o v i d e a n o b j e c t i v e b a s i s f o r d e c i s i o n s o n s t a f f i n g .T h e m e s s e n g e r s e r v i c e p r o b l e m , h o w e v e r , p r o v e d t o b e s i m p l e e n o u g h t h a t t h ea n a l y t i c a p p r o a c h o f q u e u e i n g t h e o r y w a s b o t h f e a s i b l e a n d e f f e c t i v e : a s a c o n -s e q u e n c e o f t h i s a n a l y s i s , i t w a s d e c i d e d t h a t t h r e e m e s s e n g e r s w o u l d b e t h eo p t i m a l o n - d u t y s t a f f f o r t h e f i r s t ( d a y ) s h i f t . W i t h t h i s s t a f f i n g l e v e l , a b o u t 8 6p e r c e n t o f t h e r e q u e s t s w o u l d b e s a t i s f i e d i m m e d i a t e l y , w h i l e 1 4 p e r c e n t w o u l dw a i t a n a v e r a g e o f f o u r m i n u t e s t o b e s e r v e d . A f t e r m a k i n g a l l o w a n c e f o ra b s e n t e e i s m , t u r n o v e r , a n d 7 - d a y - w e e k s c h e d u l i n g , s i x m e s s e n g e r s w e r e a s s i g n e dt o t h e f i r s t s h i f t .A f t e r t h e d e s i r e d s t a f f i n g l e v e l w a s a c h i e v e d , d e p a r t m e n t a l r e c o r d s s h o w e dt h a t t h e m e s s e n g e r u n i t w a s p r o v i d i n g a d e q u a t e s e r v i c e a n d t h a t w a i t i n g t i m e sw e r e w i t h i n t h e d e s i r e d l i m i t s . T h e r e c o m m e n d e d r e d u c t i o n i n m a n p o w e r f r o m1 1 t o 6 r e s u l t e d i n a s a v i n g o f c l o s e t o $ 2 5 0 0 0 p e r y e a r .

REFERENCES

1 . B r o c k m e y e r , E . , H . L . H a l s t r o m a n d A . J e n s e n . T h e L i f e a n d W o r k s o f A . K . E r l a n g .T r a n s . o f t h e D a n i s h A c a d . o f T e c h . S c i . 2 : 9 , 1 9 4 8 .2 . F r y , T . C . P r o b a b i l i t y a n d I t s E n g i n e e r i n g U s e s . New Y o r k : V a n N o s t r a n d , 1 9 2 8 .3 . M o l i n a , E . C . A p p l i c a t i o n o f t h e t h e o r y o f p r o b a b i l i t y t o t e l e p h o n e t r u n k i n g p r o b l e m s .B e l l S y s t e m s T e c h . J . 6 : 4 6 1 , 1 9 2 7 .4 . B a t h e r , J . A . O p t i m a l r e l a t i o n p o l i c i e s f o r f i n i t e d a m s . J . S o c . I n d . A p p . M a t h . 1 0 : 3 9 5 ,1 9 6 2 .5 . B e n s o n , F . a n d D . R . C o x . T h e p r o d u c t i v i t y o f m a c h i n e s r e q u i r i n g a t t e n t i o n a t r a n d o mi n t e r v a l s . J . R o y . S t a t . S o c . ( S e r . B ) 1 3 : 6 5 , 1 9 5 1 a n d 1 4 : 2 0 0 , 1 9 5 2 .6 . E d i e , L . C . T r a f f i c d e l a y s a t t o l l b o o t h s . O p . R e s . 4 : 1 0 7 , 1 9 5 6 .7 . B r i g h a m , C . On a c o n g e s t i o n p r o b l e m i n a n a i r c r a f t f a c t o r y . O p . R e s . 3 : 4 1 2 , 1 9 5 5 .8 . B a i l e y , N . T . J . a n d J . D . W e l c h . A p p o i n t m e n t s y s t e m s i n h o s p i t a l o u t p a t i e n t d e p a r t -m e n t s . L a n c e t 2 6 2 : 1 1 0 5 , 1 9 5 2 .9 . B a i l e y , N . T . J . A s t u d y o f q u e u e s a n d a p p o i n t m e n t s y s t e m s i n h o s p i t a l o u t p a t i e n td e p a r t m e n t s w i t h s p e c i a l r e f e r e n c e t o w a i t i n g t i m e . J . R o y . S t a t . S o c . ( S e r . B ) 1 4 : 1 8 5 ,1 9 5 2 .1 0 . W h i t e , M . J . B . a n d M . C . P i k e . A p p o i n t m e n t s y s t e m s i n o u t p a t i e n t c l i n i c s a n d t h e e f f e c to f p a t i e n t s ' u n p u n c t u a l i t y . M e d . C a r e 2 : 1 3 3 , 1 9 6 4 .1 1 . H a u s s m a n n , R . K . D . W a i t i n g t i m e a s a n i n d e x o f q u a l i t y o f n u r s i n g c a r e . H e a l t h S e r v .R e s . 5 : 9 2 Summer 1 9 7 0 .1 2 . H i l l i e r , E . S . a n d C . J . L i e b e r m a n . I n t r o d u c t i o n t o O p e r a t i o n s R e s e a r c h . S a n F r a n c i s c o :H o l d e n - D a y , 1 9 6 7 .1 3 . M o r s e , P . M . Q u e u e s , I n v e n t o r i e s a n d M a i n t e n a n c e . New Y o r k : W i l e y , 1 9 5 8 .1 4 . S a a t y , T . L . E l e m e n t s o f Q u e u e i n g T h e o r y . New Y o r k : M c C r a w - H i l l , 1 9 6 1 .

H e a l t h S e r v i c e s R e s e a r c h2