Hukum newton hanya memberikan perumusan tentang bagaimana gaya

mempengaruhi keadaan gerak suatu benda, yaitu melalui perubahan

momentumnya.

Sedangkan bagaimana perumusan gaya dinyatakan dalam variabel-

variabel keadaan benda, harus dicari melalui pengamatan terhadap

benda- benda penyebab gaya. Beberapa kasus sederhana perumusan

tersebut akan diuraikan di bawah ini.

Gaya berat. Untuk semua benda yang dekat permukaan bumi,

percepatan gravitasi yang dialami benda dianggap sama, sehingga berat

benda sebanding dengan massanya. Gaya berat pada sebuah benda

yang dekat dengan permukaan bumi diberikan oleh

dengan g adalah percepatan gravitasi bumi, yang nilainya pada

permukaan bumi sekitar 9, 8 m/s² .

Hukum newton hanya memberikan perumusan tentang bagaimana gaya

mempengaruhi keadaan gerak suatu benda, yaitu melalui perubahan

momentumnya.

Sedangkan bagaimana perumusan gaya dinyatakan dalam variabel-

variabel keadaan benda, harus dicari melalui pengamatan terhadap

benda- benda penyebab gaya. Beberapa kasus sederhana perumusan

tersebut akan diuraikan di bawah ini.

Gaya berat. Untuk semua benda yang dekat permukaan bumi,

percepatan gravitasi yang dialami benda dianggap sama, sehingga berat

benda sebanding dengan massanya. Gaya berat pada sebuah benda

yang dekat dengan permukaan bumi diberikan oleh

dengan g adalah percepatan gravitasi bumi, yang nilainya pada

permukaan bumi sekitar 9, 8 m/s² .

Gaya pegas. Sebuah pegas ideal bila diregangkan atau ditekan akan

memberikan gaya yang sebanding dengan besar perubahan panjang

pegas. Jadi gaya yang diberikan oleh pegas adalah

∆x adalah vektor besar perubahan panjang pegas dan tanda negatif

pada persamaan di atas menunjukkan arah gayanya yang berlawanan

dengan arah perubahan panjang pegas. Konstanta kesebandingan k

disebut juga sebagai konstanta pegas.

Gaya normal/Gaya kontak. Antara dua permukaan benda yang saling

bersentuhan akan ada gaya dari permukaan benda yang satu ke

permukaan benda yang kedua, dan sebaliknya. Arah gaya normal ini

tegak lurus ter- hadap permukaan dan membentuk pasangan aksi-reaksi.

Gaya pegas. Sebuah pegas ideal bila diregangkan atau ditekan akan

memberikan gaya yang sebanding dengan besar perubahan panjang

pegas. Jadi gaya yang diberikan oleh pegas adalah

∆x adalah vektor besar perubahan panjang pegas dan tanda negatif

pada persamaan di atas menunjukkan arah gayanya yang berlawanan

dengan arah perubahan panjang pegas. Konstanta kesebandingan k

disebut juga sebagai konstanta pegas.

Gaya normal/Gaya kontak. Antara dua permukaan benda yang saling

bersentuhan akan ada gaya dari permukaan benda yang satu ke

permukaan benda yang kedua, dan sebaliknya. Arah gaya normal ini

tegak lurus ter- hadap permukaan dan membentuk pasangan aksi-reaksi.

Gaya gesekan. Antara dua permukaan benda yang bersentuhan akanada gaya yang mengarah tangensial terhadap permukaan sentuh. Gayaini merupakan pasangan dari gaya normal/gaya kontak dan secarabersama mendeskripsikan total gaya yang bekerja antara dua benda yangbersentuhan.

Momentum satu bendaMomentum adalah besaran yang merupakan perkalian massa dan

kecepatan.

Mometum sistem benda

Jika sistem kita amati terdiri dari sejumlah partikel benda, maka momentum

total sistem adalah jumlah vektor dari momentum masing-masing partikel.

Gaya gesekan. Antara dua permukaan benda yang bersentuhan akanada gaya yang mengarah tangensial terhadap permukaan sentuh. Gayaini merupakan pasangan dari gaya normal/gaya kontak dan secarabersama mendeskripsikan total gaya yang bekerja antara dua benda yangbersentuhan.

Momentum satu bendaMomentum adalah besaran yang merupakan perkalian massa dan

kecepatan.

Mometum sistem benda

Jika sistem kita amati terdiri dari sejumlah partikel benda, maka momentum

total sistem adalah jumlah vektor dari momentum masing-masing partikel.

Contoh :1. Sebuah mobil yang memiliki massa 1250 kg berpindah sebesar

km dalam waktu setengah jam. Berapakah momentumrata-rata mobil tersebut?

2. Benda yang bermassa masing-masing 2 kg dan 3,5 kg bergerak masing-masing dengan kecepatan m/s dan m/s. Berapamomentum total sistem dua partikel tersebut?

Jawab :1.

2.

Contoh :1. Sebuah mobil yang memiliki massa 1250 kg berpindah sebesar

km dalam waktu setengah jam. Berapakah momentumrata-rata mobil tersebut?

2. Benda yang bermassa masing-masing 2 kg dan 3,5 kg bergerak masing-masing dengan kecepatan m/s dan m/s. Berapamomentum total sistem dua partikel tersebut?

Jawab :1.

2.

TumbukanDalam proses tumbukan antara dua benda, gaya yang terlibat, ketikakedua benda dilihat sebagai satu kesatuan, hanya gaya internal.Sehingga pada semua proses tumbukan, selama tidak ada gaya eksternal,total momentum sistem konstan.Ditinjau tumbukan antara partikel 1 dan 2, dengan massa m1 dan m2 ,dan besar kecepatan awal v1 dan v2 .Ketika tumbukan terjadi, partikel 1 memberi gaya ke partikel 2 sebesar F21

, dan partikel 2 memberi gaya ke partikel 1 sebesar F12 .

Sehingga :

Besaran integral di ruas kiri persamaan di atas juga disebut sebagaiimpuls yang diberikan oleh gaya F12 . Untuk partikel kedua berlaku

TumbukanDalam proses tumbukan antara dua benda, gaya yang terlibat, ketikakedua benda dilihat sebagai satu kesatuan, hanya gaya internal.Sehingga pada semua proses tumbukan, selama tidak ada gaya eksternal,total momentum sistem konstan.Ditinjau tumbukan antara partikel 1 dan 2, dengan massa m1 dan m2 ,dan besar kecepatan awal v1 dan v2 .Ketika tumbukan terjadi, partikel 1 memberi gaya ke partikel 2 sebesar F21

, dan partikel 2 memberi gaya ke partikel 1 sebesar F12 .

Sehingga :

Besaran integral di ruas kiri persamaan di atas juga disebut sebagaiimpuls yang diberikan oleh gaya F12 . Untuk partikel kedua berlaku

Sehingga persamaan di atas menjadi :

Kita akan meninjau terlebih dulu kasus ekstrim, yaitu tumbukan elastik, dimana tidak ada energi sistem yang hilang (sebagai panas maupun bunyi),dan tumbukan total tak elastik, di mana kedua partikel atau bendamenempel dan bergerak bersama-sama.

Tumbukan ElastikDalam tumbukan elastik, energi sistem sebelum dan sesudahtumbukan, tetap sama

Sehingga persamaan di atas menjadi :

Kita akan meninjau terlebih dulu kasus ekstrim, yaitu tumbukan elastik, dimana tidak ada energi sistem yang hilang (sebagai panas maupun bunyi),dan tumbukan total tak elastik, di mana kedua partikel atau bendamenempel dan bergerak bersama-sama.

Tumbukan ElastikDalam tumbukan elastik, energi sistem sebelum dan sesudahtumbukan, tetap sama

Persamaan di atas dapat disederhanakan sebagai

Dengan membagi persamaan di atas dengan

atau

Koefisien e disebut koefisien resistusi, dan untuk kasus tumbukan elastiknilai e = 1.

Contoh : sebuah mobil box massa 3000 kg sedang melaju kekanan dgnkecepatan 10 m/s menabrak bobil sedan dengan massa 1000 kg yangsedang parkir. Setelah terjadi tabrakan mobil sedan bergerak ke kanandengan kecepatan 15 m/s. berapa kecepatan mobil sekarang dan apakahtabrakan tersebut termasuk tumbukan sempurna?

tumbukan sempurna

Persamaan di atas dapat disederhanakan sebagai

Dengan membagi persamaan di atas dengan

atau

Koefisien e disebut koefisien resistusi, dan untuk kasus tumbukan elastiknilai e = 1.

Contoh : sebuah mobil box massa 3000 kg sedang melaju kekanan dgnkecepatan 10 m/s menabrak bobil sedan dengan massa 1000 kg yangsedang parkir. Setelah terjadi tabrakan mobil sedan bergerak ke kanandengan kecepatan 15 m/s. berapa kecepatan mobil sekarang dan apakahtabrakan tersebut termasuk tumbukan sempurna?

tumbukan sempurna

Tumbukan tak elastikTumbukan tak elastik adalah tumbukan yang mana setelah tumbukankedua benda menyatu dan bergerak dengan kecepatan sama,sehingga :

Ini berarti pada tumbukan total tak elastik, nilai e = 0.

Contoh : Seekor ikan besar 50 kg hendak menangkap ikan kecil 8 kg. ketikaitu ikan besar berenang dengan kecepatan 6 m/s dan ikan kecil berenangdengan kecepatan 2 m/s ke arah ikan besar. Berapakah kecepatan ikanbesar setelah berhasil melahap ikan kecil tersebut dan apakah termasukleting sempurna?

Dalam hal ini :

tumbukan tak elastik

Tumbukan tak elastikTumbukan tak elastik adalah tumbukan yang mana setelah tumbukankedua benda menyatu dan bergerak dengan kecepatan sama,sehingga :

Ini berarti pada tumbukan total tak elastik, nilai e = 0.

Contoh : Seekor ikan besar 50 kg hendak menangkap ikan kecil 8 kg. ketikaitu ikan besar berenang dengan kecepatan 6 m/s dan ikan kecil berenangdengan kecepatan 2 m/s ke arah ikan besar. Berapakah kecepatan ikanbesar setelah berhasil melahap ikan kecil tersebut dan apakah termasukleting sempurna?

Dalam hal ini :

tumbukan tak elastik

Tumbukan elastik sebagianTumbukan elastik sebagian yaitu tumbukan yang tidak berlaku hukumkekekalan mekanik sebab energi sebagian diubah dalam bentuk lain, misalpanas, bunyi, getaran, dll. Nilai e yaitu 0 ≤ e ≤ 1.

Contoh : Sebuah mobil kayu bergerak ke kanan dengan kecepatan 5 m/smenabrak mobil kayu lain 3 kg yang bergerak dengan arah yang samadengan kecepatan 2 m/s. setelah terjadi tabrakan, mobil kayu 3 kgbergerak dengan kecepatan 4,2 m/s. berapa kecepatan mobil 2 kg setelahtabrakan dan apakah termasuk tumbukan sempurna?

Tumbukan elastik sebagian

Tumbukan elastik sebagianTumbukan elastik sebagian yaitu tumbukan yang tidak berlaku hukumkekekalan mekanik sebab energi sebagian diubah dalam bentuk lain, misalpanas, bunyi, getaran, dll. Nilai e yaitu 0 ≤ e ≤ 1.

Contoh : Sebuah mobil kayu bergerak ke kanan dengan kecepatan 5 m/smenabrak mobil kayu lain 3 kg yang bergerak dengan arah yang samadengan kecepatan 2 m/s. setelah terjadi tabrakan, mobil kayu 3 kgbergerak dengan kecepatan 4,2 m/s. berapa kecepatan mobil 2 kg setelahtabrakan dan apakah termasuk tumbukan sempurna?

Tumbukan elastik sebagian

Momen InersiaMomen inersia dari titik partikel tersebut dinyatakan sebagai hasil kalimassa partikel dengan kuadrat jarak partikel ke sumbu putar (jari-jari).Dengan demikian momen inersia titik partikel dapat dinyatakan dengan:

Benda yang terjadi dari beberapa partikel yang berotasi pada sumbunyamaka momen inersianya merupakan jumlah momen inersia daripartikelpartikel yang terkandung di dalam benda tersebut. Sehingga dapatdinyatakan dengan:

Momen InersiaMomen inersia dari titik partikel tersebut dinyatakan sebagai hasil kalimassa partikel dengan kuadrat jarak partikel ke sumbu putar (jari-jari).Dengan demikian momen inersia titik partikel dapat dinyatakan dengan:

Benda yang terjadi dari beberapa partikel yang berotasi pada sumbunyamaka momen inersianya merupakan jumlah momen inersia daripartikelpartikel yang terkandung di dalam benda tersebut. Sehingga dapatdinyatakan dengan:

Benda-benda yang teratur bentuknya dan berotasi pada suatu sumbutertentu mempunyai persamaan momen inersia tertentu seperti pada tabelberikut.

Keterangan:m = massa bendaL = panjang bendaR1 = jari-jari dalamR2 = jari-jari luar

Empat buah partikel dihubungkan oleh sebuah batang yang massanyadiabaikan, ditunjukkan seperti gambar di bawah ini. Tentukan momeninersia sistem partikel bila : Diputar terhadap poros A Diputar terhadapporos B

Pembahasan :Diputar terhadap poros AI = ∑m.R²I = 2m (0) ² + 4m (r) ² + m (2r) ² + 2m (3r) ²I = 0 + 4m r² + 4m r² + 18m r²I = 26 m r²

Diputar terhadap poros BI = ∑m.R²I = 2m (2r) ² + 4m (r) ² + m (0) ² + 2m (r) ²I = 8m r² + 4m r² + 0 + 2m r²I = 14 m r²

Empat buah partikel dihubungkan oleh sebuah batang yang massanyadiabaikan, ditunjukkan seperti gambar di bawah ini. Tentukan momeninersia sistem partikel bila : Diputar terhadap poros A Diputar terhadapporos B

Pembahasan :Diputar terhadap poros AI = ∑m.R²I = 2m (0) ² + 4m (r) ² + m (2r) ² + 2m (3r) ²I = 0 + 4m r² + 4m r² + 18m r²I = 26 m r²

Diputar terhadap poros BI = ∑m.R²I = 2m (2r) ² + 4m (r) ² + m (0) ² + 2m (r) ²I = 8m r² + 4m r² + 0 + 2m r²I = 14 m r²

Jika sebuah silinder pejal bermassa 2 kg dan berjari-jari 0,1 m diputarmelalui sumbu silinder dan segumpal lumpur bermassa 0,2 kg menempelpada jarak 0,05 meter dari pinggir silinder, maka hitunglah momen inersiasistem.

Pembahasan :I = I silinder + I lumpurI = ½ mR² + m.r²I = ½ (2).(0,1) ² + 0,2 (0,05) ²I = 0,01 + 0,0005I = 0,0108I = 1,05 x 10-2 kg m²

Jika sebuah silinder pejal bermassa 2 kg dan berjari-jari 0,1 m diputarmelalui sumbu silinder dan segumpal lumpur bermassa 0,2 kg menempelpada jarak 0,05 meter dari pinggir silinder, maka hitunglah momen inersiasistem.

Pembahasan :I = I silinder + I lumpurI = ½ mR² + m.r²I = ½ (2).(0,1) ² + 0,2 (0,05) ²I = 0,01 + 0,0005I = 0,0108I = 1,05 x 10-2 kg m²

Dinamika RotasiMomentum sudutMomentum sudut merupakan besaran vektor. Momentum sudutdidefinisikan sebagai hasil perkalian silang antara vektor r dan momentumlinearnya.Arah momentum sudut dari suatu benda yang berotasi dapat ditentukandengan kaidah putaran sekrup atau dengan aturan tangan kanan. Jikakeempat jari menyatakan arah gerak rotasi, maka ibu jari menyatakan arahmomentum sudut. Pada gerak translasi benda memiliki momentumlinier sedangkan pada gerak rotasi ada momentum sudut.Arah Momentum SudutArah momentum sudut L tegak lurus dengan arah r dan arah v.Arah momentum sudutsesuai dengan arah putaran sekrup tangan kananyang ditunjukan gambar berikut :

Dinamika RotasiMomentum sudutMomentum sudut merupakan besaran vektor. Momentum sudutdidefinisikan sebagai hasil perkalian silang antara vektor r dan momentumlinearnya.Arah momentum sudut dari suatu benda yang berotasi dapat ditentukandengan kaidah putaran sekrup atau dengan aturan tangan kanan. Jikakeempat jari menyatakan arah gerak rotasi, maka ibu jari menyatakan arahmomentum sudut. Pada gerak translasi benda memiliki momentumlinier sedangkan pada gerak rotasi ada momentum sudut.Arah Momentum SudutArah momentum sudut L tegak lurus dengan arah r dan arah v.Arah momentum sudutsesuai dengan arah putaran sekrup tangan kananyang ditunjukan gambar berikut :

Momentum sudut linear akan kekal bila total gaya yang bekerja padasistem adalah nol. Bagaimana pada gerak rotasi? Pada gerak rotasi kitaakan menemukan apa yang disebut sebagai mometum sudut. Dalam gerakrotasi, besaran yang analog dengan momentum linier adalah momentumsudut. Untuk benda yang berotasi di sekitar sumbu yang tetap, besarnyamomentum sudut dinyatakan :

dengan:L = momentum sudut (kgm2/s)I = momen inersia (kgm2)ω = kecepatan sudut (rad/s)

Jika benda bermassa m bergerak rotasi pada jarak r dari sumbu rotasidengan kecepatan linier v, maka persamaan dapat dinyatakan sebagaiberikut :

Karena dan maka :

Momentum sudut linear akan kekal bila total gaya yang bekerja padasistem adalah nol. Bagaimana pada gerak rotasi? Pada gerak rotasi kitaakan menemukan apa yang disebut sebagai mometum sudut. Dalam gerakrotasi, besaran yang analog dengan momentum linier adalah momentumsudut. Untuk benda yang berotasi di sekitar sumbu yang tetap, besarnyamomentum sudut dinyatakan :

dengan:L = momentum sudut (kgm2/s)I = momen inersia (kgm2)ω = kecepatan sudut (rad/s)

Jika benda bermassa m bergerak rotasi pada jarak r dari sumbu rotasidengan kecepatan linier v, maka persamaan dapat dinyatakan sebagaiberikut :

Karena dan maka :

Tampak bahwa momentum sudut analog dengan momentum linear padagerak rotasi, kecepatan linear sama dengan kecepatan rotasi, massa samadengan momen inersia.

Hubungan Momentum Sudut Dengan Momen Gaya (Torka)Kita telah mengetahui bahwa impuls merupakan perubahan momentumdari benda.

Karena v = r . ω, maka :

Jadi, kedua ruas dikalikan dengan r, diperoleh:

Tampak bahwa momentum sudut analog dengan momentum linear padagerak rotasi, kecepatan linear sama dengan kecepatan rotasi, massa samadengan momen inersia.

Hubungan Momentum Sudut Dengan Momen Gaya (Torka)Kita telah mengetahui bahwa impuls merupakan perubahan momentumdari benda.

Karena v = r . ω, maka :

Jadi, kedua ruas dikalikan dengan r, diperoleh:

Mengingat r . F = τ dan m . r2 = I, maka :

dengan I. ω adalah momentum sudut, sehingga :

Berdasarkan persamaan diatas dapat dinyatakan bahwa momen gayamerupakan turunan dari fungsi momentum sudut terhadap waktu.

Hukum Kekekalan Momentum SudutDalam gerak linear kita telah mempelajari apabila tidak ada gaya dari luarsistem maka momentum sudut total sistem adalah kekal, atau tidakberubah. Dari Persamaan momentum sudut diatas tampak jika torsi padasuatu sistem adalah nol maka dL =0 atau perubahan momentum sudutnyanol, atau momentum sudutnya kekal. Apabila τ = 0 maka L konstan,merupakan hukum kekekalan momentum.Sebagai contoh seorang penari balet berputar dengan kecepatan sudut w,momen inersianya Im. Bila dia kemudian merentangkan kedua tangannyasehingga momen inersianya menjadi Ia, berapa kecepatan sudut penarisekarang? Kita bisa menyelesaikan dengan menggunakan hukumkekekalan momentum sudut. Pada penari tidak ada gaya dari luar makatidak ada torsi dari luar, sehingga momentum sudut kekal :

Penari merentangkan kedua tangannya maka momen inersianya menjadibertambah. Ia > Im maka kecepatan sudut penari menjadi berkurang.

Hukum Kekekalan Momentum SudutDalam gerak linear kita telah mempelajari apabila tidak ada gaya dari luarsistem maka momentum sudut total sistem adalah kekal, atau tidakberubah. Dari Persamaan momentum sudut diatas tampak jika torsi padasuatu sistem adalah nol maka dL =0 atau perubahan momentum sudutnyanol, atau momentum sudutnya kekal. Apabila τ = 0 maka L konstan,merupakan hukum kekekalan momentum.Sebagai contoh seorang penari balet berputar dengan kecepatan sudut w,momen inersianya Im. Bila dia kemudian merentangkan kedua tangannyasehingga momen inersianya menjadi Ia, berapa kecepatan sudut penarisekarang? Kita bisa menyelesaikan dengan menggunakan hukumkekekalan momentum sudut. Pada penari tidak ada gaya dari luar makatidak ada torsi dari luar, sehingga momentum sudut kekal :

Penari merentangkan kedua tangannya maka momen inersianya menjadibertambah. Ia > Im maka kecepatan sudut penari menjadi berkurang.

Prinsip ini juga dipakai pada peloncat indah. Saat peloncat meninggalkanpapan memiliki laju sudut ωo, terhadap sumbu horizontal yang melaluipusat massanya, sehingga dia dapat memutar sebagian tubuhnyasetengah lingkaran. Jika ia ingin membuat putaran 3 kali setengahputaran, maka ia harus mempercepat laju sudut sehingga menjadi 3kali kelajuan sudut semula. Gaya yang bekerja pada peloncat berasal darigravitasi, tetapi gaya gravitasi tidak menyumbang torsi terhadap pusatmassanya, maka berlakukekekalan momentum sudut. Agar laju sudutnyabertambah maka dia harus memperkecil momen inersia menjadi 1/3momen inersia mula-mula dengan cara menekuk tangan dan kakinya kearah pusat tubuhnya sehingga terbantu dengan adanya momentumsudut dari gerakannya.

Prinsip ini juga dipakai pada peloncat indah. Saat peloncat meninggalkanpapan memiliki laju sudut ωo, terhadap sumbu horizontal yang melaluipusat massanya, sehingga dia dapat memutar sebagian tubuhnyasetengah lingkaran. Jika ia ingin membuat putaran 3 kali setengahputaran, maka ia harus mempercepat laju sudut sehingga menjadi 3kali kelajuan sudut semula. Gaya yang bekerja pada peloncat berasal darigravitasi, tetapi gaya gravitasi tidak menyumbang torsi terhadap pusatmassanya, maka berlakukekekalan momentum sudut. Agar laju sudutnyabertambah maka dia harus memperkecil momen inersia menjadi 1/3momen inersia mula-mula dengan cara menekuk tangan dan kakinya kearah pusat tubuhnya sehingga terbantu dengan adanya momentumsudut dari gerakannya.

Jika sebuah silinder pejal bermassa 2 kg dan berjari-jari 0,1 m diputarmelalui sumbu silinder dan segumpal lumpur bermassa 0,2 kg menempelpada jarak 0,05 meter dari pinggir silinder diputar dengan kecepatan 2rad/s selama 3 detik, maka hitunglah momen inersia sistem danmomentum sudutnya serta momen gayanya?.

Pembahasan :I = I silinder + I lumpurI = ½ mR² + m.r² I = ½ (2).(0,1) ² + 0,2 (0,05) ²I = 0,01 + 0,0005 I = 0,0108 I = 1,05 x 10-2 kg m²

Jika sebuah silinder pejal bermassa 2 kg dan berjari-jari 0,1 m diputarmelalui sumbu silinder dan segumpal lumpur bermassa 0,2 kg menempelpada jarak 0,05 meter dari pinggir silinder diputar dengan kecepatan 2rad/s selama 3 detik, maka hitunglah momen inersia sistem danmomentum sudutnya serta momen gayanya?.

Pembahasan :I = I silinder + I lumpurI = ½ mR² + m.r² I = ½ (2).(0,1) ² + 0,2 (0,05) ²I = 0,01 + 0,0005 I = 0,0108 I = 1,05 x 10-2 kg m²