Hukum Newton kedua (Newtons Second Law)Dalam pembahasan ini yang
akan dijadikan pengamatan adalah partikel bergerak dalam medan gaya
(force field) . Secara matematis, hanya merupakan suatu medan
vektor dalam (bentuk) ruang partikel, dalam kasus ini adalah . Dari
sudut pandang secara fisika, adalah gaya yang digunakan pada suatu
lokasi partikel yang terletak pada posisi . Contoh dari medan gaya
yang paling terkait adalah medan gravitasi matahari: adalah gaya
pada partikel yang terletak pada yang menarik partikel ke matahari.
Penjelasan lebih lanjut tentang sistem ini adalah di subbagian
13.3.Keterkaitan antara konsep fisika dari medan gaya dan konsep
matematika dari persamaan Differensial adalah Hukum Newton kedua :
. Hukum ini menyatakan bahwa suatu partikel dalam suatu medan gaya
bergerak sedemikian sehingga vektor gaya pada lokasi dari suatu
partikel, pada saat tertentu, sama dengan vektor percepatan pada
partikel dikali massa . Untuk itu, persamaan hukum Newton
memberikan persamaan persamaan differensial orde kedua
Sebagai sistem, persamaan tersebut menjadi
Dengan adalah kecepatan partikel. Ini merupakan sistem dari
persamaan pada . Sistem seperti ini sering disebut sebagai sistem
mekanik dengan derajat kebebasan .Solusi dari persamaan order kedua
dikatakan terletak pada ruang konfigurasi (configuration field).
Solusi dari sistem terletak dalam ruang fase (phase space) atau
ruang dasar (state space) dari sistem.
Contoh 1Perhatikan osilator harmonik tidak teredam sederhana
dari Bab 2. Pada kasus ini masa bergerak di satu dimensi dan
posisinya pada waktu diberikan oleh fungsi , dimana . Saat
diperhatikan, persamaan diferensial yang mengatur gerakan ini
adalah
Untuk suatu dan . Untuk itu, medan gaya pada titik diberikan
oleh . Sedangkan untuk menentukan solusi dari x(t) dengan
menerapkan materi pada bab dua, maka dapat dilakukan proses sebagai
berikut.1. Ubah persamaan differensial ke dalam sistem
persamaanPerhatikan bahwa
Misalkan dan
Maka diperoleh sistem persamaan yaitu
2. Menentukan nilai eigenMisal
Maka
3. Menentukan vektor eigenPerhatikan bahwa
dan untuk diperoleh
Sehingga diperoleh persamaan(i) (ii) Untuk itu diperoleh
Jadi eigenvektor yang diperoleh adalah
Pilih maka
4. Menentukan solusiKarena
Maka berdasarkan Zill dan Cullen (2009:322) diperoleh
Jadi
Sehingga karena diperoleh
Contoh 2Osilator harmonik versi dua dimensi mengijinkan masa
bergerak pada bidang, sehingga posisi saat ini diberikan oleh
vektor . Pada kasus satu dimensi, medan gaya adalah sehingga
persamaan gerak adalah sama dengan
Dengan solusi dalam ruang konfigurasi adalah
Untuk suatu nilai .Solusi tersebut dapat diperoleh melalui
proses berikut seperti pada Hirsch, dkk (2004:114)1. Perhatikan
bahwa dan 2. Karena
Maka pada bidang diperoleh
Sehingga diperoleh sistem persamaan yaitu
3. Menentukan nilai eigenMisal
Menentukan nilai eigen melalui dengan menggunakan maple
diperoleh> >
>
>
>
Sehingga dapat disimpulkan bahwa sistem memiliki nilai eigen
yaitu dan 4. Menentukan eigenvektorPerhatikan bahwa
dan untuk diperoleh
Sehingga diperoleh Untuk itu diperoleh dan Jadi eigenvektor yang
diperoleh adalah
Pilih dan 0 maka
Dengan cara yang sama untuk dan memililih dan 1 akan
diperoleh
5. Menentukan solusiUntuk
Maka berdasarkan Zill dan Cullen (2009:322) diperoleh
Jadi
Untuk dengan proses yang sama diperoleh
Sehingga karena diperoleh = Sebelum berhadapan dengan kasus yang
rumit dari Hukum Newton, harus diingat beberapa konsep dari
kalkulus multivariable. Ingat bahwa hasil kali titik (atau hasil
kali dalam) dari dua vektor dinotasikan dengan dan didefinisikan
dengan
Dimana dan . Untuk itu, . Jika merupakan fungsi halus, maka
versi dari aturan perkalian memenuhi
Secara lebih mudah dapat diperiksa menggunakan fungsi koordinat
dan .Ingat juga bahwa jika , gradien dari , dinotasikan sebagai ,
yang didefinisikan yaitu
Seperti pada bab 9, adalah medan vektor pada .Selanjutnya,
perhatikan komposisi dari dua fungsi halus dengan dan . Dengan
menerapkan aturan rantai pada diperoleh
Dalam pembahasan ini juga akan digunakan hasil hali silang (atau
hasil kali vektor) pada vektor-vektor . Dengan definisi
Mengingat kembali kalkulus multivariabel yaitu
Dengan merupakan satuan vektor yang tegak lurus dengan dan
dengan orientasi vektor , dan diberikan dengan aturan tangan kanan.
Dalam hal ini, merupakan sudut antara dan .Catat bahwa jika dan
hanya jika salah satu vektor merupakan kelipatan skalar dari yang
lain. Sedangkan, jika , maka tegak lurus dengan bidang yang memuat
dan . Jika dan merupakan fungsi pada dalam , maka versi lain dari
aturan perkalian menyatakan bahwa
salah satunya dapat diperiksa dengan menggunakan
koordinat.SoalSuatu pegas dengan konstanta sebesar 700 N/m
diletakkan horizontal dengan ujung kiri pegas dikaitkan pada
dinding dan sebuah massa 7 kg dikaitkan di ujung kanan pegas. Dalam
keadaan setimbang, benda ditarik ke kanan sejauh 0,05m kemudian
dilepaskan. Tentukan persamaan differensial yang memenuhi
permasalahan tersebut dan persamaan getaran benda yang
memenuhi.JawabPerhatikan bahwa dan Sehingga dari contoh 1 diperoleh
persamaan diferensial yang mengatur gerakan ini adalah
Selain itu, diperoleh dan sistem yang memenuhi adalah
Karena , maka . Sehingga persamaan differensial memenuhi
permasalahan tersebut adalah
Karena dalam keadaan setimbang, benda ditarik ke kanan sejauh
0,05m maka diperoleh masalah nilai awal adalah dan Sehingga
diperoleh,
Jadi persamaan getaran benda yang memenuhi adalah
DAFTAR RUJUKAN
Zill, D.G & Cullen, M.R. 2009. Differential Equations with
Boundary-Value Problems, Seventh Edition. USA: Brooks/Cole
Hirsch, M.W, Smale, S., & Devaney, R.L.2004. Differential
equations, dynamical systems, and an introduction to chaos. USA:
Elsevier
