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Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 7
27 de setembro de 2011
Aula 7 Pré-Cálculo 1
Escalas em Gráficos
Aula 7 Pré-Cálculo 2
Cuidado!
Se os eixos coordenados são desenhados com escalasdiferentes, distorções podem aparecer!
1 x
1
y
0 1 x
1
y
0
(escalas iguais para os eixos) (escalas diferentes para os eixos)
Aula 7 Pré-Cálculo 3
Cuidado!
Se os eixos coordenados são desenhados com escalasdiferentes, distorções podem aparecer!
1 x
1
y
0 1 x
1
y
0
(escalas iguais para os eixos) (escalas diferentes para os eixos)
Aula 7 Pré-Cálculo 4
Cuidado!
Se os eixos coordenados são desenhados com escalasdiferentes, distorções podem aparecer!
1 x
1
y
0 1 x
1
y
0
(escalas iguais para os eixos) (escalas diferentes para os eixos)
Aula 7 Pré-Cálculo 5
Cuidado!
Um círculo é desenhado como uma elipse.
1 x
1
y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 6
Cuidado!
Um círculo é desenhado como uma elipse.
1 x
1
y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 7
Cuidado!
Um quadrado é desenhado como um retângulo.
1 x
1
y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 8
Cuidado!
Um quadrado é desenhado como um retângulo.
1 x
1
y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 9
Cuidado!
Ângulos são distorcidos.
1 x
1
y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 10
Cuidado!
Ângulos são distorcidos.
1 x
1
y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 11
Contudo, escalas diferentes podem ser necessárias!
y = f (x) = 1000 x2
1 x
1
y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 12
Contudo, escalas diferentes podem ser necessárias!
y = f (x) = 1000 x2
0.05 x
1
y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 13
Cuidado: escalas no PowerPoint
Aula 7 Pré-Cálculo 14
Cuidado: escalas no PowerPoint
Aula 7 Pré-Cálculo 15
Cuidado: TV widescreen
Aula 7 Pré-Cálculo 16
Leitura gráfica: domínio e imagem
Aula 7 Pré-Cálculo 17
Leitura gráfica: domínio e imagem
Como saber se um número real a pertence ao domínio de uma função f?Resposta: verifique se a reta vertical x = a intercepta ou não o gráfico de f .
Como saber se um número real b pertence à imagem de uma função f?Resposta: verifique se a reta horizontal y = b intercepta ou não o gráfico de f .
(Ir para o GeoGebra)
Aula 7 Pré-Cálculo 18
Leitura gráfica: domínio e imagem
Como saber se um número real a pertence ao domínio de uma função f?Resposta: verifique se a reta vertical x = a intercepta ou não o gráfico de f .
Como saber se um número real b pertence à imagem de uma função f?Resposta: verifique se a reta horizontal y = b intercepta ou não o gráfico de f .
(Ir para o GeoGebra)
Aula 7 Pré-Cálculo 19
Leitura gráfica: domínio e imagem
Como saber se um número real a pertence ao domínio de uma função f?Resposta: verifique se a reta vertical x = a intercepta ou não o gráfico de f .
Como saber se um número real b pertence à imagem de uma função f?Resposta: verifique se a reta horizontal y = b intercepta ou não o gráfico de f .
(Ir para o GeoGebra)
Aula 7 Pré-Cálculo 20
Leitura gráfica: domínio e imagem
Como saber se um número real a pertence ao domínio de uma função f?Resposta: verifique se a reta vertical x = a intercepta ou não o gráfico de f .
Como saber se um número real b pertence à imagem de uma função f?Resposta: verifique se a reta horizontal y = b intercepta ou não o gráfico de f .
(Ir para o GeoGebra)
Aula 7 Pré-Cálculo 21
Leitura gráfica: domínio e imagem
Como saber se um número real a pertence ao domínio de uma função f?Resposta: verifique se a reta vertical x = a intercepta ou não o gráfico de f .
Como saber se um número real b pertence à imagem de uma função f?Resposta: verifique se a reta horizontal y = b intercepta ou não o gráfico de f .
(Ir para o GeoGebra)
Aula 7 Pré-Cálculo 22
Leitura gráfica: domínio e imagem
Como saber se um número real a pertence ao domínio de uma função f?Resposta: verifique se a reta vertical x = a intercepta ou não o gráfico de f .
Como saber se um número real b pertence à imagem de uma função f?Resposta: verifique se a reta horizontal y = b intercepta ou não o gráfico de f .
(Ir para o GeoGebra)
Aula 7 Pré-Cálculo 23
Leitura gráfica: domínio e imagem
Qual é o domínio da função f cujo gráfico é dado abaixo?
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 24
Leitura gráfica: domínio e imagem
Qual é o domínio da função f cujo gráfico é dado abaixo?
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 25
Leitura gráfica: domínio e imagem
Resposta: o domínio da função f é o conjunto D = [−1,4]
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 26
Leitura gráfica: domínio e imagem
Resposta: o domínio da função f é o conjunto D = [−1,4]
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 27
Leitura gráfica: domínio e imagem
Qual é a imagem da função f cujo gráfico é dado abaixo?
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 28
Leitura gráfica: domínio e imagem
Resposta: é o intervalo no eixo y indicado na figura!
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 29
Leitura gráfica: domínio e imagem
Qual é o domínio da função f cujo gráfico é dado abaixo?
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 30
Leitura gráfica: domínio e imagem
Qual é o domínio da função f cujo gráfico é dado abaixo?
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 31
Leitura gráfica: domínio e imagem
Resposta: não é possível determinarpois apenas uma parte do gráfico está sendo apresentada!
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 32
Leitura gráfica: domínio e imagem
Qual é a imagem da função f cujo gráfico é dado abaixo?
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 33
Leitura gráfica: domínio e imagem
Resposta: não é possível determinarpois apenas uma parte do gráfico está sendo exibida!
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 34
Funções monótonas
Aula 7 Pré-Cálculo 35
Função crescente
Dizemos que uma função f : D → C é crescente emum subconjunto S de D se
∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2).
x
y
x1 x2
f (x1)
f (x2)
Definição
Aula 7 Pré-Cálculo 36
Função crescente
Dizemos que uma função f : D → C é crescente emum subconjunto S de D se
∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2).
x
y
x1 x2
f (x1)
f (x2)
Definição
Aula 7 Pré-Cálculo 37
Função crescente
Dizemos que uma função f : D → C é crescente emum subconjunto S de D se
∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2).
x
y
x1 x2
f (x1)
f (x2)
Definição
Aula 7 Pré-Cálculo 38
Funções decrescente
Dizemos que uma função f : D → C é decrescente emum subconjunto S de D se
∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2).
x
y
x1 x2
f (x1)
f (x2)
Definição
Aula 7 Pré-Cálculo 39
Funções decrescente
Dizemos que uma função f : D → C é decrescente emum subconjunto S de D se
∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2).
x
y
x1 x2
f (x1)
f (x2)
Definição
Aula 7 Pré-Cálculo 40
Funções decrescente
Dizemos que uma função f : D → C é decrescente emum subconjunto S de D se
∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2).
x
y
x1 x2
f (x1)
f (x2)
Definição
Aula 7 Pré-Cálculo 41
Funções monótonas não-decrescentes
Dizemos que uma função f : D → C é monótona não-decrescente emum subconjunto S de D se
∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).
x
y
x1 x2
f (x1)
f (x2)
Definição
Aula 7 Pré-Cálculo 42
Funções monótonas não-decrescentes
Dizemos que uma função f : D → C é monótona não-decrescente emum subconjunto S de D se
∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).
x
y
x1 x2
f (x1)
f (x2)
Definição
Aula 7 Pré-Cálculo 43
Funções monótonas não-decrescentes
Dizemos que uma função f : D → C é monótona não-decrescente emum subconjunto S de D se
∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).
x
y
x1 x2
f (x1)
f (x2)
Definição
Aula 7 Pré-Cálculo 44
Funções monótonas não-decrescentes
Dizemos que uma função f : D → C é monótona não-decrescente emum subconjunto S de D se
∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).
x
y
x1 x2
f (x1)
f (x2)
Definição
Aula 7 Pré-Cálculo 45
Funções monótonas não-crescentes
Dizemos que uma função f : D → C é monótona não-crescente emum subconjunto S de D se
∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).
x
y
x1 x2
f (x1)
f (x2)
Definição
Aula 7 Pré-Cálculo 46
Funções monótonas não-crescentes
Dizemos que uma função f : D → C é monótona não-crescente emum subconjunto S de D se
∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).
x
y
x1 x2
f (x1)
f (x2)
Definição
Aula 7 Pré-Cálculo 47
Funções monótonas não-crescentes
Dizemos que uma função f : D → C é monótona não-crescente emum subconjunto S de D se
∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).
x
y
x1 x2
f (x1)
f (x2)
Definição
Aula 7 Pré-Cálculo 48
Funções monótonas não-crescentes
Dizemos que uma função f : D → C é monótona não-crescente emum subconjunto S de D se
∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).
x
y
x1 x2
f (x1)
f (x2)
Definição
Aula 7 Pré-Cálculo 49
Observações
Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente,decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescenteneste conjunto.
Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótonanão-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em umconjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto.
Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentessimplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas não-crescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, quenegar (por exemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto Snão implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescenteneste conjunto.
Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela écrescente ou ela é decrescente neste conjunto.
Aula 7 Pré-Cálculo 50
Observações
Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente,decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescenteneste conjunto.
Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótonanão-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em umconjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto.
Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentessimplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas não-crescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, quenegar (por exemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto Snão implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescenteneste conjunto.
Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela écrescente ou ela é decrescente neste conjunto.
Aula 7 Pré-Cálculo 51
Observações
Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente,decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescenteneste conjunto.
Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótonanão-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em umconjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto.
Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentessimplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas não-crescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, quenegar (por exemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto Snão implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescenteneste conjunto.
Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela écrescente ou ela é decrescente neste conjunto.
Aula 7 Pré-Cálculo 52
Observações
Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente,decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescenteneste conjunto.
Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótonanão-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em umconjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto.
Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentessimplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas não-crescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, quenegar (por exemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto Snão implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescenteneste conjunto.
Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela écrescente ou ela é decrescente neste conjunto.
Aula 7 Pré-Cálculo 53
Observações
Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente,decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescenteneste conjunto.
Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótonanão-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em umconjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto.
Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentessimplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas não-crescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, quenegar (por exemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto Snão implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescenteneste conjunto.
Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela écrescente ou ela é decrescente neste conjunto.
Aula 7 Pré-Cálculo 54
Observações
Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente,decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescenteneste conjunto.
Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótonanão-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em umconjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto.
Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentessimplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas não-crescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, quenegar (por exemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto Snão implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescenteneste conjunto.
Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela écrescente ou ela é decrescente neste conjunto.
Aula 7 Pré-Cálculo 55
Observações
Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente,decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescenteneste conjunto.
Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótonanão-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em umconjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto.
Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentessimplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas não-crescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, quenegar (por exemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto Snão implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescenteneste conjunto.
Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela écrescente ou ela é decrescente neste conjunto.
Aula 7 Pré-Cálculo 56
Observações
Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente,decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescenteneste conjunto.
Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótonanão-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em umconjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto.
Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentessimplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas não-crescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, quenegar (por exemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto Snão implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescenteneste conjunto.
Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela écrescente ou ela é decrescente neste conjunto.
Aula 7 Pré-Cálculo 57
Observações
Existem funções que não são monótonas. Por exemplo, a função descritana figura abaixo não é monótona no conjunto S = [−1,4]. Contudo, ela émonótona em [−1,0], em [0,1], em [1,3] e em [3,4].
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 58
Observações
Existem funções que não são monótonas. Por exemplo, a função descritana figura abaixo não é monótona no conjunto S = [−1,4]. Contudo, ela émonótona em [−1,0], em [0,1], em [1,3] e em [3,4].
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 59
Observações
Existem funções que não são monótonas. Por exemplo, a função descritana figura abaixo não é monótona no conjunto S = [−1,4]. Contudo, ela émonótona em [−1,0], em [0,1], em [1,3] e em [3,4].
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 60
Observações
Existem funções que não são monótonas. Por exemplo, a função descritana figura abaixo não é monótona no conjunto S = [−1,4]. Contudo, ela émonótona em [−1,0], em [0,1], em [1,3] e em [3,4].
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 61
Observações
Existem funções que não são monótonas. Por exemplo, a função descritana figura abaixo não é monótona no conjunto S = [−1,4]. Contudo, ela émonótona em [−1,0], em [0,1], em [1,3] e em [3,4].
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 62
Observações
Existem funções que não são monótonas. Por exemplo, a função descritana figura abaixo não é monótona no conjunto S = [−1,4]. Contudo, ela émonótona em [−1,0], em [0,1], em [1,3] e em [3,4].
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 63
Observações
Existem funções que não são monótonas. Por exemplo, a função descritana figura abaixo não é monótona no conjunto S = [−1,4]. Contudo, ela émonótona em [−1,0], em [0,1], em [1,3] e em [3,4].
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 64
Exemplo
Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e
x2 − x1 > 0.
Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que
x2 + x1 > 0.
Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque
(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.
Sendo assim,x22 − x21 > 0
e, consequentemente,x22 > x
21 ,
isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.
Aula 7 Pré-Cálculo 65
Exemplo
Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e
x2 − x1 > 0.
Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que
x2 + x1 > 0.
Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque
(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.
Sendo assim,x22 − x21 > 0
e, consequentemente,x22 > x
21 ,
isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.
Aula 7 Pré-Cálculo 66
Exemplo
Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e
x2 − x1 > 0.
Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que
x2 + x1 > 0.
Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque
(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.
Sendo assim,x22 − x21 > 0
e, consequentemente,x22 > x
21 ,
isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.
Aula 7 Pré-Cálculo 67
Exemplo
Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e
x2 − x1 > 0.
Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que
x2 + x1 > 0.
Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque
(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.
Sendo assim,x22 − x21 > 0
e, consequentemente,x22 > x
21 ,
isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.
Aula 7 Pré-Cálculo 68
Exemplo
Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e
x2 − x1 > 0.
Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que
x2 + x1 > 0.
Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque
(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.
Sendo assim,x22 − x21 > 0
e, consequentemente,x22 > x
21 ,
isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.
Aula 7 Pré-Cálculo 69
Exemplo
Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e
x2 − x1 > 0.
Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que
x2 + x1 > 0.
Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque
(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.
Sendo assim,x22 − x21 > 0
e, consequentemente,x22 > x
21 ,
isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.
Aula 7 Pré-Cálculo 70
Exemplo
Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e
x2 − x1 > 0.
Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que
x2 + x1 > 0.
Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque
(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.
Sendo assim,x22 − x21 > 0
e, consequentemente,x22 > x
21 ,
isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.
Aula 7 Pré-Cálculo 71
Exemplo
Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e
x2 − x1 > 0.
Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que
x2 + x1 > 0.
Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque
(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.
Sendo assim,x22 − x21 > 0
e, consequentemente,x22 > x
21 ,
isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.
Aula 7 Pré-Cálculo 72
Exemplo
Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e
x2 − x1 > 0.
Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que
x2 + x1 > 0.
Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque
(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.
Sendo assim,x22 − x21 > 0
e, consequentemente,x22 > x
21 ,
isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.
Aula 7 Pré-Cálculo 73
Exemplo
Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e
x2 − x1 > 0.
Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que
x2 + x1 > 0.
Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque
(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.
Sendo assim,x22 − x21 > 0
e, consequentemente,x22 > x
21 ,
isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.
Aula 7 Pré-Cálculo 74
Exemplo
Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e
x2 − x1 > 0.
Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que
x2 + x1 > 0.
Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque
(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.
Sendo assim,x22 − x21 > 0
e, consequentemente,x22 > x
21 ,
isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.
Aula 7 Pré-Cálculo 75
Exemplo
Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e
x2 − x1 > 0.
Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que
x2 + x1 > 0.
Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque
(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.
Sendo assim,x22 − x21 > 0
e, consequentemente,x22 > x
21 ,
isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.
Aula 7 Pré-Cálculo 76
Exemplo
Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e
x2 − x1 > 0.
Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que
x2 + x1 > 0.
Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque
(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.
Sendo assim,x22 − x21 > 0
e, consequentemente,x22 > x
21 ,
isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.
Aula 7 Pré-Cálculo 77
Exemplo
Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e
x2 − x1 > 0.
Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que
x2 + x1 > 0.
Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque
(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.
Sendo assim,x22 − x21 > 0
e, consequentemente,x22 > x
21 ,
isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.
Aula 7 Pré-Cálculo 78
Estudar o crescimento de funções pode ser difícil!
Em quais intervalos a função f abaixo é crescente?
f : R → R
x 7→ f (x) = 2x
x2 + 1
f é crescente nos intervalos(−∞, 1−
√1−(ln(2))2ln(2)
]= (−∞,0.402806113 . . .] e
[1+√
1−(ln(2))2ln(2) ,+∞
)= [2.482583968 . . . ,+∞).
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!
Aula 7 Pré-Cálculo 79
Estudar o crescimento de funções pode ser difícil!
Em quais intervalos a função f abaixo é crescente?
f : R → R
x 7→ f (x) = 2x
x2 + 1
f é crescente nos intervalos(−∞, 1−
√1−(ln(2))2ln(2)
]= (−∞,0.402806113 . . .] e
[1+√
1−(ln(2))2ln(2) ,+∞
)= [2.482583968 . . . ,+∞).
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!
Aula 7 Pré-Cálculo 80
Estudar o crescimento de funções pode ser difícil!
Em quais intervalos a função f abaixo é crescente?
f : R → R
x 7→ f (x) = 2x
x2 + 1
f é crescente nos intervalos(−∞, 1−
√1−(ln(2))2ln(2)
]= (−∞,0.402806113 . . .] e
[1+√
1−(ln(2))2ln(2) ,+∞
)= [2.482583968 . . . ,+∞).
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!
Aula 7 Pré-Cálculo 81
Estudar o crescimento de funções pode ser difícil!
Em quais intervalos a função f abaixo é crescente?
f : R → R
x 7→ f (x) = 2x
x2 + 1
f é crescente nos intervalos(−∞, 1−
√1−(ln(2))2ln(2)
]= (−∞,0.402806113 . . .] e
[1+√
1−(ln(2))2ln(2) ,+∞
)= [2.482583968 . . . ,+∞).
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!
Aula 7 Pré-Cálculo 82
Estudar o crescimento de funções pode ser difícil!
Em quais intervalos a função f abaixo é crescente?
f : R → R
x 7→ f (x) = 2x
x2 + 1
f é crescente nos intervalos(−∞, 1−
√1−(ln(2))2ln(2)
]= (−∞,0.402806113 . . .] e
[1+√
1−(ln(2))2ln(2) ,+∞
)= [2.482583968 . . . ,+∞).
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!
Aula 7 Pré-Cálculo 83
Estudar o crescimento de funções pode ser difícil!
Em quais intervalos a função f abaixo é crescente?
f : R → R
x 7→ f (x) = 2x
x2 + 1
f é crescente nos intervalos(−∞, 1−
√1−(ln(2))2ln(2)
]= (−∞,0.402806113 . . .] e
[1+√
1−(ln(2))2ln(2) ,+∞
)= [2.482583968 . . . ,+∞).
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!
Aula 7 Pré-Cálculo 84
Estudar o crescimento de funções pode ser difícil!
f : R → R
x 7→ f (x) = 2x
x2 + 1
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 x
−1
1
2
3
4
y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 85
Máximos e mínimos de funções reais
Aula 7 Pré-Cálculo 86
Motivação: o problema da caixa
Você foi contratado por uma empresa que fabrica caixas sem tampa. Cada caixa éconstruída a partir de um folha retangular de papelão medindo 30 cm× 50 cm. Parase construir a caixa, um quadrado de lado medindo x cm é retirado de cada cantoda folha de papelão.
50 cm
30 cm
x
x
Dependendo do valor de x , diferentes caixas (com diferentes volumes) podem serconfeccionadas. O problema é determinar o valor de x a fim de que a caixacorrespondente tenha o maior volume possível.
Aula 7 Pré-Cálculo 87
Motivação: o problema da caixa
Aula 7 Pré-Cálculo 88
O problema da caixa
50 cm
30 cm
x
x
Aqui, y = f (x) = x (30− 2 x) (50− 2 x) = 1500 x − 160 x2 + 4 x3 e A = (0,15).
Aula 7 Pré-Cálculo 89
O problema da caixa
50 cm
30 cm
x
x
Aqui, y = f (x) = x (30− 2 x) (50− 2 x) = 1500 x − 160 x2 + 4 x3 e A = (0,15).
Aula 7 Pré-Cálculo 90
O problema da caixa
50 cm
30 cm
x
x
Aqui, y = f (x) = x (30− 2 x) (50− 2 x) = 1500 x − 160 x2 + 4 x3 e A = (0,15).
Aula 7 Pré-Cálculo 91
O problema da caixa
50 cm
30 cm
x
x
Aqui, y = f (x) = x (30− 2 x) (50− 2 x) = 1500 x − 160 x2 + 4 x3 e A = (0,15).
Aula 7 Pré-Cálculo 92
O problema da caixa
50 cm
30 cm
x
x
Aqui, y = f (x) = x (30− 2 x) (50− 2 x) = 1500 x − 160 x2 + 4 x3 e A = (0,15).
Aula 7 Pré-Cálculo 93
O problema da caixa
50 cm
30 cm
x
x
Aqui, y = f (x) = x (30− 2 x) (50− 2 x) = 1500 x − 160 x2 + 4 x3 e A = (0,15).
Aula 7 Pré-Cálculo 94
O problema da caixa
Aula 7 Pré-Cálculo 95
Extremos globais
Seja f : D → C uma função e seja A um subconjunto do domínio D.(1) Dizemos que p ∈ A é um ponto de máximo global (ou máximo
absoluto) de f em A se
f (p) ≥ f (x), ∀x ∈ A.
Neste caso, f (p) é denominado de valor máximo da função f em A.
(2) Dizemos que p ∈ A é um ponto de mínimo global (ou mínimo absoluto)de f em A se
f (p) ≤ f (x), ∀x ∈ A.
Neste caso, f (p) é denominado de valor mínimo da função f em A.
(3) Dizemos que p ∈ A é um extremo global (ou extremo absoluto) de fem A se p é um ponto de máximo global ou p é um ponto de mínimoglobal de f em A.
Definição
Aula 7 Pré-Cálculo 96
Extremos globais
Seja f : D → C uma função e seja A um subconjunto do domínio D.(1) Dizemos que p ∈ A é um ponto de máximo global (ou máximo
absoluto) de f em A se
f (p) ≥ f (x), ∀x ∈ A.
Neste caso, f (p) é denominado de valor máximo da função f em A.
(2) Dizemos que p ∈ A é um ponto de mínimo global (ou mínimo absoluto)de f em A se
f (p) ≤ f (x), ∀x ∈ A.
Neste caso, f (p) é denominado de valor mínimo da função f em A.
(3) Dizemos que p ∈ A é um extremo global (ou extremo absoluto) de fem A se p é um ponto de máximo global ou p é um ponto de mínimoglobal de f em A.
Definição
Aula 7 Pré-Cálculo 97
Extremos globais
Seja f : D → C uma função e seja A um subconjunto do domínio D.(1) Dizemos que p ∈ A é um ponto de máximo global (ou máximo
absoluto) de f em A se
f (p) ≥ f (x), ∀x ∈ A.
Neste caso, f (p) é denominado de valor máximo da função f em A.
(2) Dizemos que p ∈ A é um ponto de mínimo global (ou mínimo absoluto)de f em A se
f (p) ≤ f (x), ∀x ∈ A.
Neste caso, f (p) é denominado de valor mínimo da função f em A.
(3) Dizemos que p ∈ A é um extremo global (ou extremo absoluto) de fem A se p é um ponto de máximo global ou p é um ponto de mínimoglobal de f em A.
Definição
Aula 7 Pré-Cálculo 98
Extremos globais
Seja f : D → C uma função e seja A um subconjunto do domínio D.(1) Dizemos que p ∈ A é um ponto de máximo global (ou máximo
absoluto) de f em A se
f (p) ≥ f (x), ∀x ∈ A.
Neste caso, f (p) é denominado de valor máximo da função f em A.
(2) Dizemos que p ∈ A é um ponto de mínimo global (ou mínimo absoluto)de f em A se
f (p) ≤ f (x), ∀x ∈ A.
Neste caso, f (p) é denominado de valor mínimo da função f em A.
(3) Dizemos que p ∈ A é um extremo global (ou extremo absoluto) de fem A se p é um ponto de máximo global ou p é um ponto de mínimoglobal de f em A.
Definição
Aula 7 Pré-Cálculo 99
Extremos locais
Seja f : D → C uma função e seja A um subconjunto do domínio D.
(1) Dizemos que p ∈ A é um ponto de máximo local (ou máximo relativo)de f em A se existe um intervalo aberto I, com p ∈ I e
f (p) ≥ f (x), ∀x ∈ I ∩ A.
(2) Dizemos que p ∈ A é um ponto de mínimo local (ou mínimo relativo)de f em A se existe um intervalo aberto I, com p ∈ I e
f (p) ≤ f (x), ∀x ∈ I ∩ A.
(3) Dizemos que p ∈ A é um extremo local (ou extremo relativo) de f em Ase p é um ponto de máximo local ou p é um ponto de mínimo localde f em A.
Definição
Aula 7 Pré-Cálculo 100
Extremos locais
Seja f : D → C uma função e seja A um subconjunto do domínio D.
(1) Dizemos que p ∈ A é um ponto de máximo local (ou máximo relativo)de f em A se existe um intervalo aberto I, com p ∈ I e
f (p) ≥ f (x), ∀x ∈ I ∩ A.
(2) Dizemos que p ∈ A é um ponto de mínimo local (ou mínimo relativo)de f em A se existe um intervalo aberto I, com p ∈ I e
f (p) ≤ f (x), ∀x ∈ I ∩ A.
(3) Dizemos que p ∈ A é um extremo local (ou extremo relativo) de f em Ase p é um ponto de máximo local ou p é um ponto de mínimo localde f em A.
Definição
Aula 7 Pré-Cálculo 101
Extremos locais
Seja f : D → C uma função e seja A um subconjunto do domínio D.
(1) Dizemos que p ∈ A é um ponto de máximo local (ou máximo relativo)de f em A se existe um intervalo aberto I, com p ∈ I e
f (p) ≥ f (x), ∀x ∈ I ∩ A.
(2) Dizemos que p ∈ A é um ponto de mínimo local (ou mínimo relativo)de f em A se existe um intervalo aberto I, com p ∈ I e
f (p) ≤ f (x), ∀x ∈ I ∩ A.
(3) Dizemos que p ∈ A é um extremo local (ou extremo relativo) de f em Ase p é um ponto de máximo local ou p é um ponto de mínimo localde f em A.
Definição
Aula 7 Pré-Cálculo 102
Extremos locais
Seja f : D → C uma função e seja A um subconjunto do domínio D.
(1) Dizemos que p ∈ A é um ponto de máximo local (ou máximo relativo)de f em A se existe um intervalo aberto I, com p ∈ I e
f (p) ≥ f (x), ∀x ∈ I ∩ A.
(2) Dizemos que p ∈ A é um ponto de mínimo local (ou mínimo relativo)de f em A se existe um intervalo aberto I, com p ∈ I e
f (p) ≤ f (x), ∀x ∈ I ∩ A.
(3) Dizemos que p ∈ A é um extremo local (ou extremo relativo) de f em Ase p é um ponto de máximo local ou p é um ponto de mínimo localde f em A.
Definição
Aula 7 Pré-Cálculo 103
Exemplo: y = f (x) = 3 x4 − 16 x3 + 18 x2, A = [−1,4]
O ponto de máximo global de f em A é p = − 1.
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 104
Exemplo: y = f (x) = 3 x4 − 16 x3 + 18 x2, A = [−1,4]
O ponto de máximo global de f em A é p = − 1.
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 105
Exemplo: y = f (x) = 3 x4 − 16 x3 + 18 x2, A = [−1,4]
O ponto de máximo global de f em A é p = − 1.
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 106
Exemplo: y = f (x) = 3 x4 − 16 x3 + 18 x2, A = [−1,4]
O ponto de mínimo global de f em A é p = 3.
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 107
Exemplo: y = f (x) = 3 x4 − 16 x3 + 18 x2, A = [−1,4]
O ponto de mínimo global de f em A é p = 3.
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 108
Exemplo: y = f (x) = 3 x4 − 16 x3 + 18 x2, A = [−1,4]
Os pontos de máximo local de f em A que não são globais são p = 1 e q = 4.
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 109
Exemplo: y = f (x) = 3 x4 − 16 x3 + 18 x2, A = [−1,4]
Os pontos de máximo local de f em A que não são globais são p = 1 e q = 4.
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 110
Exemplo: y = f (x) = 3 x4 − 16 x3 + 18 x2, A = [−1,4]
Os pontos de máximo local de f em A que não são globais são p = 1 e q = 4.
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 111
Exemplo: y = f (x) = 3 x4 − 16 x3 + 18 x2, A = [−1,4]
O ponto de mínimo local de f em A que não é global é p = 0.
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 112
Exemplo: y = f (x) = 3 x4 − 16 x3 + 18 x2, A = [−1,4]
O ponto de mínimo local de f em A que não é global é p = 0.
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 113
Exemplo: y = f (x) = x , A = (−1,+1)
A função f não possui extremos locais nem extremos globais em A.
−2 −1 1 2 x
−1
1
y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 114
Exemplo: y = f (x) = x , A = (−1,+1)
A função f não possui extremos locais nem extremos globais em A.
−2 −1 1 2 x
−1
1
y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 115
Calcular os extremos de uma função pode ser difícil!
Quais são os extremos da função f abaixo?
f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
x =15− 3
√(135 + 60
√6)2 − 3 3
√135 + 60
√6
12 3√
135 + 60√
6= −0.605829 . . . é ponto de mínimo global de f em R.
A função f não possui outros extremos globais em R.
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!
Aula 7 Pré-Cálculo 116
Calcular os extremos de uma função pode ser difícil!
Quais são os extremos da função f abaixo?
f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
x =15− 3
√(135 + 60
√6)2 − 3 3
√135 + 60
√6
12 3√
135 + 60√
6= −0.605829 . . . é ponto de mínimo global de f em R.
A função f não possui outros extremos globais em R.
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!
Aula 7 Pré-Cálculo 117
Calcular os extremos de uma função pode ser difícil!
Quais são os extremos da função f abaixo?
f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
x =15− 3
√(135 + 60
√6)2 − 3 3
√135 + 60
√6
12 3√
135 + 60√
6= −0.605829 . . . é ponto de mínimo global de f em R.
A função f não possui outros extremos globais em R.
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!
Aula 7 Pré-Cálculo 118
Calcular os extremos de uma função pode ser difícil!
Quais são os extremos da função f abaixo?
f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
x =15− 3
√(135 + 60
√6)2 − 3 3
√135 + 60
√6
12 3√
135 + 60√
6= −0.605829 . . . é ponto de mínimo global de f em R.
A função f não possui outros extremos globais em R.
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!
Aula 7 Pré-Cálculo 119
Calcular os extremos de uma função pode ser difícil!
Quais são os extremos da função f abaixo?
f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
x =15− 3
√(135 + 60
√6)2 − 3 3
√135 + 60
√6
12 3√
135 + 60√
6= −0.605829 . . . é ponto de mínimo global de f em R.
A função f não possui outros extremos globais em R.
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!
Aula 7 Pré-Cálculo 120
Calcular os extremos de uma função pode ser difícil!
f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
−2 −1 1 2 x
1
2
y
0
Aula 7 Pré-Cálculo 121
Escalas em GráficosLeitura gráfica: domínio e imagemFunções monótonasMáximos e mínimos de funções reais