1

HUYGENS İLKESİ ve KIRINIM

İlk defa Hollandalı bilim adamı Christian Huygens (1629-1695) 1778'de ifade edilen bu ilke,

belirli bir zamanda bilinen bir dalga cephesini kullanarak daha ileri bir zamanda dalga cephesini

bulmaya yarayan geometrik bir yöntemdir.

Huygens'in varsayımına göre, bir dalga cephesi üzerindeki her nokta, her yöne doğru yayılan ve

ana dalga ile aynı hıza sahip ikincil dalgaların kaynağı olarak düşünülebilir. Bu durumda, ileri bir

zamanda oluşacak yeni dalga cephesi de bu ikincil dalgacıklara teğet veya zarf oluşturarak

bulunur.

Huygens ilkesiyle bulacağımız tüm sonuçlar Maxwell denklemleriyle de bulunabilir, yani bu

bağımsız bir ilke değildir, ama birçok durumda dalga hareketini içeren olayların hesaplarında

kolaylık sağlar

Huygens ilkesi şekil-1'de gösterilmiştir.

Figure 4: (A) Huygens’ principle applied to both plane and spherical waves. Each point on the wave front AA′

can be thought of as a radiator of a spherical wave that expands out with velocity c, traveling a distance ct

after time t. A secondary wave front BB′ is formed from the addition of all the wave amplitudes from the

wave front AA′. (B) Huygens’ construction of a diffracted wave from a transmission grating. The wave

front is constructed by adding spherical waves from each slit of the grating. The wave emitted at a given

slit is delayed by one full cycle with respect to the wave from an adjacent slit.

Şekil 1.a

2

Başlangıçta dalga cephesi AA' oklarla gösterildiği gibi kaynaktan dışa doğru ilerlemektedir. t zaman

sonrasında dalga cephesinin yeni halini bulmak istiyoruz. Dalganın hızı v olsun; dalganın t süresi

içinde alacağı yol vt olur. AA' eğrisi üzerindeki noktaların merkez olduğu ve r=vt yarıçaplı birçok

çemberler (ikincil dalgaları temsilen) çizelim. Bu dalgacıkların zarfı olan BB' eğrisini yani yeni dalga

cephesini oluşturur. v hızının her nokta ve yön için aynı olduğunu kabul ediyoruz.

Şekil-2'de dalga leğeninde yapılmış bir deney sonucu verilmiştir. Bu şekil dalga cephesini ve her

yarıkta Huygens dalgacıklarının meydana gelmesini göstermektedir. Şekil-2a'da birincil dalgalar

dairesel; Şekil-2b'de ise birincil dalgalar doğrusaldır.

Kaynaktan dışarıya doğru yayılan dalgalar, dalga boyu ile karşılaştırıldığında oldukça küçük olan bir

yarık içeren bir engelle karşılaşırsa bu yarık, dairesel dalgalar yayan yeni bir dalga kaynağı gibi

davranır. Sonuçta, delikten geçişi takiben delik kenarlarından dışarı yayılan bir dalga oluşur.

Dalganın, deliğin kenarları etrafındaki yayılmasına KIRINIM denir.

Şekil 1.b

3

HUYGENS İLKESİ ve YANSIMA

Yansıma yasasını Huygens ilkesini kullanarak çıkarmak için, düz ve yansıtıcı bir yüzeye gelen bir

düzlem dalga düşünelim (Şekil-3). Şekil-3'de MM' yüzeyine gelen dalganın ardışık dalga cepheleri

AA', OB' ve NC' olarak gösterilmiştir. AA' dalga cephesinin A noktası bu yüzeye henüz gelmiştir.

Huygens ilkesini kullanarak t zamanı sonrasında dalga cephesinin konumunu bulabiliriz. AA'

üzerindeki noktalar merkez olacak şekilde vt yarıçaplı bir çok ikincil dalgacıklar çizelim. AA' dalga

cephesinin üst ucu yakınlarında oluşan dalgalar bir engelle karşılaşmadan ilerler ve bunların zarfı

yeni bir dalga cephesinin OB' kısmını oluşturur. Yansıtıcı yüzey olmasaydı AA' dalga cephesinin alt

ucu yakınlarında oluşan dalgacıkların alacağı şekil kesikli çizgi ile gösterilmiştir. Ancak bu

dalgacıklar yansıtıcı yüzeye çarpmıştır.

Yansıtıcının etkisi, üzerine çarpan dalgacıkların ilerleme yönünü değiştirmektedir. Dolayısıyla

yüzey olmasaydı ilerleyecek olan bu dalgacıklar şimdi şekilde kesiksiz çizgi ile gösterildiği gibi

yüzeyin solunda yer alır. Böyle dalgacıklardan ilki A noktası merkezlidir. Bu şekilde yansıtılan

dalgacıkların zarfı da dalga cephesinin OB kısmıdır. Bu anda tüm dalga cephesinin yolu BOB'

kıvrımıdır. Benzer şekilde, yine t zamanı sonrasında dalga cephesi CNC' olur.

Düzlem geometrisinden, gelen dalga cephesi ile yüzey arasındaki açı , gelen ışın ile yüzeyin

normali arasındaki açıya, yani gelme açısına eşittir. Benzer şekilde de yansıma açısına eşittir.

Bu açılar arasındaki ilişkiyi bulmak için Şekil-3b'den yararlanacağız. O noktasından ' çizgisine

dik çizgisi çizelim. Bu çizime göre doğrusu, merkezli ve yarıçaplı çembere teğet

olur. noktasından teğet noktasına çizgisi çizersek, ve dik üçgenleri, kenarları

ortak ve olduğundan eş üçgenlerdir. Dolayısıyla da açısı açısına eşittir, bu

sonuç YANSIMA YASASIDIR.

Şekil 2.

4

HUYGENS İLKESİ ve KIRILMA

Şekil-4'de ve kırılma indisleri a ve b ortamlarını ayıran SS' ara yüzüne gelmekte olan AA'

dalga cephesi, A noktası b ortamına tam değerken gösterilmiştir (yansıyan dalgalar burada

gösterilmiştir) Huygens ilkesini kullanarak, t zaman sonrasında kırılan dalga cephesinin

konumunu bulabiliriz.

AA' üzerindeki noktalar merkez olmak üzere şekilde birçok ikincil dalgacık çizelim. AA' dalga

cephesinin üst ucu yakınlarında oluşan dalgacıklar hızı ile hareket ederler ve t zamanı

sonrasında yarıçaplı küresel yüzeyler oluştururlar. A noktasından çıkan dalgacıklar ise ikincil

malzeme b içinde hızı ile hareket ederler ve t zamanı sonrasında yarıçaplı olurlar.

Başlangıçtaki dalga cephesinden çıkan dalgacıkların zarfı BOB' kıvrımıdır. Benzer şekilde, yine bir t

zamanı sonrası dalga cephesi de CPC' olur.

Gelen ve kırılan dalga cepheleri ile yüzeyler arasındaki açılar sırasıyla gelme ve kırılma

açılarıdır. Bu açılar arasındaki ilişkiyi bulmak için Şekil-4b'ye bakalım. AQ' ya dik ve BO'

ya dik çizelim.

dik üçgeninden

ve dik üçgeninden

Bu denklemleri birleştirirsek

(1)

yazabiliriz. Bir malzemenin kırma indisi n, ışığın malzeme içinde yayılma hızının boşlukta yayılma

hızına oranı olarak tanımlıdır:

⁄ ve ⁄ . Sonuç olarak

⁄

⁄

(2)

ve denklem-1 'i yeniden yazabiliriz

veya

(3)

Bu denklem Snell yasasıdır. Böylece dalga modeli kullanılarak Snell yasası elde edilmiştir.

5

GİRİŞİM Girişim: İki veya daha fazla dalganın uzayda aynı noktada birleştiği her durum için geçerlidir. Böyle bir durum üst üste binme (süperpzisyon) ilkesiyle belirlenir. Üst Üste Binme İlkesi: İki veya daha fazla dalga uzayda bir araya gelirse, herhangi bir noktada ve herhangi bir anda oluşan yerdeğiştirme, dalgaların her birinin o noktada ve o anda tek başına sahip olacağı yerdeğiştirmelerin toplanmasıyla bulunur. Bundan önceki konularda bu konu ayrıntılı olarak ele alınmıştır.

6

Yerdeğiştirme: Burada yerdeğiştirme sözcüğü genel anlamıyla kullanılmıştır. Bir sıvı yüzeyindeki dalgalar için bu terim sıvının normal yüksekliğinden aşağıda veya yukarıda olmasına karşılık gelir; ses dalgalarında da basınç farkına işaret eder; elektromanyetik dalgalarda ise elektrik veya manyetik alandaki değişmeye karşılık gelir. Girişim etkileri en kolay frekanslı ve λ dalga boylu iki sinüzoidal dalganın birleşmesinde görülür. Optikte sinüzoidal dalgalar tek renkli ışığı tarif eder. Tekrenkli ışık üretmek zordur. Bunun için bazı özel filtreler kullanılır. Tekrenkli ışığa en yakın kaynak lazerlerdir. He-Ne Lazerinin dalga boyu 632,8 nm dir. Fizik Lab. III dersinde tekrenkli lazer ışığı, mikrodalga ve ultrasonik ses dalgaları kullanarak girişim deneyleri yapacaksınız. Faz Uyumluluğu (coherent): Aynı frekansa ve belirli ve sabit bir faz ilişkisine sahip (aynı fazda olmak zorunda değil) tekrenkli iki ışık kaynağı faz uyumlu (coherent) olarak tanımlanır. Yapıcı Girişim: İki veya daha fazla kaynaktan çıkan dalgalar bir noktaya aynı fazda geldikleri zaman oluşan dalganın genliği her bir dalganın genliğinin toplamına eşittir; dalgalar birbirlerini güçlendirirler. Bu olaya yapıcı girişim denir (Şekil-1). Yapıcı girişim oluşan noktalara karın noktaları denir. ’den perde üzerindeki P noktasına uzaklık , ’den perdeye olan uzaklık ise olsun. P noktasında yapıcı girişim olması için iki kaynağın yol farkı , dalga boyunun tamsayı katı olmalıdır:

λ (1)

Yıkıcı Girişim: İki veya daha fazla kaynaktan çıkan dalgalar bir noktaya yarım periyot faz farkı ile geldikleri zaman bir dalganın tepesi diğerinin çukuru aynı anda bu noktaya ulaşır. Oluşan genlik iki genliğin farkıdır. Genlikler eşit ise toplam genlik sıfır olur. Tek tek dalgaların tamamen veya kısmen söndürülme olayına yıkıcı girişim denir (Şekil-2). Yıkıcı girişim oluşan noktalara düğüm noktaları denir. Yukarıda tanımlanan P noktasında yıkıcı girişim olması için iki kaynağın yol farkı , yarım dalgaboyunun (λ/2) tek katı olmalıdır: ( ) λ ⁄ (2a)

7

Bu eşitlik bazen ( ⁄ )λ (2b) şeklinde de verilir.

Girişim desenleri duran dalgalar değildir. Duran dalgada girişim zıt yönde yayılan iki dalga arasındadır ve değişmeyen bir karın ve düğüm deseni oluşur, iki yönde de net bir enerji akışı yoktur. Şekil-1 ve 2’de verilen durumlarda ise dışarı doğru net bir enerji akışı vardır. Çift Yarıkta Girişim (Young Deneyi) Şekil-3’de, oldukça dar ve eşit ve yarıklarına yaklaşan bir dalga cephesi gösterilmiştir. Basitleştirmek açısından, bu yarıkların orijinal dalga kaynağı olarak davranan bir noktadan eşit uzaklıklarda olduğunu varsayacağız. Böylece ve ikincil kaynakları aynı fazda olurlar.

Orijinal dalgamız sürekli ve basit harmonik bir dalga ise ve kaynakları bu dalgayı basit harmonik özdeş dalgalara dönüştürür. Perde üzerindeki herhangi bir P noktasındaki dalga, ve kaynaklarından gelen katkıların toplanması ile elde edilir. ve kaynaklarından P noktasına gelen genlikleri farklıdır. Bunun iki nedeni vardır:

8

1. ve uzaklıkları farklıdır ve dairesel genişleyen bir dalganın genliği kaynaktan uzaklaştıkça azalır.

2. ve kaynaklarından P noktasına gelen dalgaların sapma açıları farklıdır ve bir Huygens dalgacığı artan sapma açısı ile azalan bir genliğe sahiptir.

Dalga hızı v olmak üzere P noktasına ulaşan dalgalar arasında ( ) ⁄ zaman farkı tanımlanan bir faz ilişkisi vardır. Burada ve ikincil kaynakları arasındaki d uzaklığının, ve uzaklıkları ile karşılaştırdığında çok küçük olduğu durumu ele alacağız. ve kaynaklarından çıkan dalgaları

( ) ( ) (3a)

( ) ( ) (3b)

şeklinde yazabiliriz. Şekil-3’deki perde üzerinde P gibi herhangi bir noktada zamanın fonksiyonu olarak yer değiştirme ifadesi , ( ) ( ) ( ) (4)

şeklinde yazılabilir (Burada yerdeğiştirme yukarıda tanımladığımız anlamda olduğunu tekrar hatırlatalım). P noktası S1 ve S2 kaynaklarından uzakta alındığında ve kaynaklarından çıkan dalgaların genliklerini eşit alabiliriz ( ) . Bu durumda ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (5) yazabiliriz. Burada dalga sayısıdır. Eşitlik-5’deki ( ) çarpanını sıfır yapan yerlerde yıkıcı girişim (düğüm noktaları) olacaktır. Bu çarpanın sıfır olabilmesi için ( ) ( )( ) (6)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ⁄ ) (Düğüm noktaları) (7) yazabiliriz. Yarıklardan verilen bir uzaklıkta bileşke yer değiştirmenin maksimum olduğu noktalar vardır. Bunun için ( ) çarpanı maksimum olmalıdır (±1) yani, ( ) (8) ( ) (9)

9

(Girişimin Maksimumları) (10) yazabiliriz. Bu olaya yol farkları yerine faz farkları cinsinden de bakabiliriz. İki sinyal arasındaki faz farkı ( ) ( ) (11) dır. Faz farkı yol farkına ve λ dalgaboyuna bağlıdır. Eşitlik-5’deki ( ) çarpanını faz farkı cinsinden yazabiliriz: ( ) ( ) (12) Bu çarpanı maksimum yapan faz farkı cos (φ/2) = ±1 olduğunda gerçekleşir, yani veya (yapıcı girişim) (13) olmalıdır. Bu çarpanı minimum yapan faz farkı Cos (φ/2) = 0 olduğunda gerçekleşir, yani ( ) ( ) ( ) (yıkıcı girişim) (14) olmalıdır. Yarıkların perdeye olan L uzaklığının yarıklar arası uzaklık olan d’den çok büyük olduğunu kabul edersek dalgalar arası yol farkını (15) yazabiliriz. Bu durumda yapıcı girişim şartı ( Görünür ışıkla yaptığınız deneylerde aydınlık bantlar) için (16) Yıkıcı girişim şartı (Görünür ışıkla yaptığınız deneylerde karanlık bantlar ) için ( ⁄ ) (17) yazabiliriz. Denklem-5’de yazarsak ( ) ( ) (18)

elde ederiz. Bu durumda Bileşke dalganın herhangi bir doğrultudaki genliği için ( ) (19) yazabiliriz.

10

Bu ifade bize, yarıklardan oldukça uzak mesafelerdeki girişimin doğrultuya bağımlı olduğunu gösterir. Yani, eğer girişimin maksimum ve minimum konumları iki yarığı birleştiren çizgiye paralel bir çizgi boyunca (perde üzerinde) gözlenmiş ise arka arkaya maksimumların (ya da minimumların) lineer aralıkları yarıklardan olan uzaklıkla orantılı olarak artar. Perdedeki aydınlık bantların merkeze uzaklığı için (20) yazabiliriz (şekil-3). Bu tür deneylerde ym mesafesi genellikle L mesafesinden çok küçüktür.

Dolaysıyla

⁄ (21)

yazabiliriz. Aydınlık saçaklar için L, d ve ym ölçülebilir ve buradan dalgaboyu λ‘nın değeri hesaplanır. Young deneyi ışığın dalga boyunun ilk olarak ölçüldüğü deney olduğunu belirtmek gerekir. Bu koşulda perdedeki ardışık maksimumlar arasındaki mesafenin Lλ/d ifadesi ile verileceği açıktır. Bu ilişkiden faydalanarak dalga boyu hesabı yapmak çoğu kez yeterli olmaktadır. Ardışık aydınlık bantlar arası mesafe, d ile ters orantılıdır. Yarıklar birbirine yaklaştıkça desen dışa doğru yayılır. Yarıklar uzaklaşırsa bantlar birbirlerine yaklaşırlar. Laboratuvarda Young deneyini faz uyumlu ultrasonik ses dalgası ve mikrodalga kullanarak da yapacaksınız. Bu deneylerde de algılama noktası L, kaynaklar arası mesafe olan d’den çok daha büyük seçilmelidir. Denklem-18’de

( ) (22)

yazarak ( ) (23)

elde ederiz. Burada r, kaynaklardan P’ye olan ortalama uzaklık olarak alabiliriz Buradan şiddet için ( )

(24)

yazabiliriz (kaynaklardan çok uzakta ) Maksimum şiddetli yönler ’nin +1 veya -1 değeri aldığında gerçekleşir, yani ⁄ (25)

(26) İki yarıklı girişim deneylerinde girişim deseni yarıklardan L uzaklığına konan bir perdede gözlemlenir. Perdedeki konumları y koordinatı ile ifade edebiliriz; aydınlık saçakların konumu y<<L olduğu zaman

11

(27) ifadesi ile verilebileceğini biliyoruz. Bu durumda perdedeki herhangi bir noktadaki şiddeti y’nin fonksiyonu olarak ( ) ( ) (28) Şeklinde yazmak mümkündür. Bu denklemin grafiği Şekil-4a’da verilmiştir. Bunu da Şekil-4b’deki resimle karşılaştırabilirsiniz. Ancak Şekil-4b’deki resimde en yüksek şiddet merkezden uzaklaştıkça solmaktadır. Bunun nedenlerini kırınım konusunu işlerken göreceğiz.

İnce Filmlerde Girişim Işık, kalınlığı t olan ince bir filmin iki yüzeyinden yansıtıldığı zaman yüzeylerde faz kayması olmazsa ve 2t yolu dalgaboyunun tamsayı katı ise yansıyan dalgalar arasında yapıcı girişim oluşur. yüzeylerden birinde yarım-periyot faz kayması olursa bu yıkıcı girişim şartına dönüşür. İkinci ortamın kırılma indisi birinciden büyükse yansıma esnasında yarım-periyot faz kayması olur (Şekil-5). Not: Aradaki film boşluktan farklı bir ortam ise, hesaplamalarınızda ışığın o ortamdaki dalga boyunu kullandığınızdan emin olunuz ( , n= aradaki filmin kırma indisi))

12

İnce filmde yapıcı yansıma, göreceli faz kayması yok: (29a) İnce filmde yıkıcı yansıma, göreceli faz kayması yok: ( ) (29b) İnce filmde yapıcı yansıma, göreceli faz kayması yarım-periyot: ( ) (29c) İnce filmde yıkıcı yansıma, göreceli faz kayması yarım-periyot: (29d)

ÇOK YARIKTA GİRİŞİM Birbirlerinden eşit uzaklıklarda yerleşmiş N tane yarığa sahip bir düzenlemenin (Girişim ızgarası) girişim desenini analiz edeceğiz. Çift yarıkta olduğu gibi, yarıkların eşit ve oldukça küçük genişliğe sahip olduklarını kabul edeceğiz. Ardışık yarıklar arası mesafeyi d olarak alalım. Eğer yarıklara gelen orijinal dalga düzgün ve yarık düzlemine paralel ise bütün yarıkların aynı fazda sürüldüklerini kabul edebiliriz (Şekil-6).

13

Ardışık yarıklardan bir P noktasına ulaşan ikincil dalgalar arasındaki yol farkı

’ya eşittir. Bunun sonucu olarak , ⁄ 'ye eşit bir zaman farkı ve,

(30)

ifadesine eşit bir faz farkı vardır. Böylece P noktasındaki bileşke yer değiştirme ifadesi ( ) ( ) ( ) ( ) (31)

şeklinde N tane terimin toplamıdır. Burada

terimi ilk yarık tan P noktası arasındaki

uzaklığı ile ilgili faz farkıdır. Daha önce üst üste gelme olayını ele almıştık (2. Bölüm ders notlarına bakınız). Bileşke vektörün A genliği, her biri en yakınındaki komşusu ile açısı yapan uzunluğunda N tane vektörün toplanması ile

(

)

( ⁄ ) (32)

şeklinde elde edilmişti (2. Bölüm ders notlarına bakınız). P noktasında bileşke dalganın şiddeti

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( ) (33)

Burada her bir yarıktan gelen dalganın (optikte ışığın) şiddetidir ve

‘dir.

Eğer N = 2 alırsak

( )

( )

( )

⁄

⁄

veya

(

) (34)

elde ederiz. Bu daha önce çift yarıktaki Young deneyi sonucundan başka bir şey değildir. Şimdi N yarık içeren girişim ızgarası deneyinde şiddet deseninin davranışına bakalım:

( )

( ) (35)

i)

ise üst üste gelen vektörler birbirlerine paralel olup birbiri ile toplanırlar:

Bu durumda mümkün en büyük bileşke vektör genliğini ifade etmekte olup aynı zamanda

14

ifadesi ile tanımlı θ’nın her değeri için mümkündür. Yani d aralıkları ile yan yana gelmiş N tane yarıktan oluşan bir düzenleme, aynen çift yarık örneğinde olduğu gibi aynı doğrultularda temel maksimumlara sahiptir.

ii)

...... ise vektör bileşenleri kapalı bir çokgen oluşturur ve A = 0 durumuna sahip

olunur. Bu sonuç, denklem-32’den açık bir şekilde anlaşılır. Çünkü

açısı, π’nin tam

katlarına eşit olduğu zaman pay sıfır olur.

iii) Bu sıfırlar arasında maksimum yer değiştirmelerin ara değerlerine karşılık gelen ve θ değerleri de vardır. Bu maksimumlara çok yarıklı girişim deneyinin ikincil maksimumları denir ve denklem-35’den de hesaplayarak göreceğimiz gibi bu ikincil maksimumların tam açısal konum ve bağıl genlik değerleri tam olarak bilinmemesine rağmen bunların genlikleri temel maksimumların genliklerinden daha küçüktür.Şekil-7’de N =2, N=4, N=6 ve N=8 için 35-denklemi ile verilen şiddetin ’ye karşı grafiği verilmiştir. Temel maksimumlar arasında ikincil maksimumlar da görülmektedir. Ardışık iki temel maksimum arasında N-2 adet ikincil maksimum değer olduğu görülmektedir.

Daha çok yarığın kullanılması temel maksimumu daha da keskinleştirir. Bu özellik, spektroskopide kırınım ızgarasını kullanışlı bir alet yapar. Çünkü kırınım ızgarası belli bir dalga boyundaki ışık için oldukça keskin bir açısal çözünürlük (resolution) ifade eder.

15

KIRINIM Sesin bir köşe etrafında büküldüğünü biliyoruz. Noktasal bir kaynaktan çıkan ışık keskin bir köşeye gelip gölge oluşturulduğunda, gölgenin köşesi hiçbir zaman keskin olmaz. Gölgeli olduğunu düşündüğümüz bölgede bir miktar ışık vardır ve aydınlatılan bölgede ardışık aydınlık ve karanlık saçaklar gözlemleriz. Kırınım bazen “ışığın köşelerden geçerken eğilmesi” olarak anlatılır. Kırınım her türlü dalga olayı için geçerlidir. Girişim Kırınım Ayrımı Kırınım ile girişim arasında gerçekte bir ayırım yoktur. Tarihsel nedenlerle, sonlu sayıda , ayrı, eş fazlı kaynakların katkılarının üst üste gelimi ile oluşmuş genlik ya da şiddet örneğine genellikle bir girişim deseni denir. Sürekli, eş fazlı bir kaynaklar dağılımının katkılarının üst üste gelimi ile oluşmuş genlik ya da şiddet örneğine ise, genellikle kırınım deseni denir. Böylece iki dar yarığın oluşturduğu girişim örneği ya da, bir geniş yarığın oluşturduğu kırınım örneği, ya da geniş iki yarığın oluşturduğu bileşik girişim ve kırınım örneği söz konusu olur. Her iki olay da aynı temel fiziksel ilkeler tarafından belirlenir: üstüste binme ve Huygens ilkesi. Fresnel kırınımı: Kaynak ve gözlemci engelleyen yüzeye yakın ise buna Fresnel kırınımı denir (Şekil-1). Fraunhofer kırınımı: Kaynak ve gözlemci engelleyen yüzeyden, giden ışınlar paralel kabul edilecek kadar uzaktaysa buna Fraunhofer kırınımı denir (Şekil-1). Tek Yarıkta Kırınım Dar bir yarığa gönderilen tek renk ışık uzaktaki bir perdede kırınım deseni oluşturur (şekil-2)

16

Şekil-3’de yarık genişliği D olan bir yarığa gelen dalganın kırınımı şematik olarak verilmiştir. Tek yarık içindeki tüm noktaların gelen dalga düzlemi tarafından aynı fazda sürüldüklerini kabul edeceğiz. Yarığın iki ucu arasından gözlem noktasına (P noktası) ulaşan dalgalar arasında (1) kadarlık bir yol farkı ve bu yol farkı

(2)

kadarlık bir faz farkına neden olur. Burada D yarık genişliği, θ ise yarığa dik bir çizgi ile yarık merkezini P ile birleştiren çizgi arasındaki açıdır (şekil-3). Bir düzlem dalganın D genişliğindeki yarık üzerine düşmesiyle oluşan kırınımı incelemek istiyoruz. Yarık içerisinde N tane Huygens dalga kaynağı olduğunu düşünebiliriz. Bu durumda ardışık iki Huygens kaynağı arasında d uzaklığı için

(3)

yazabiliriz. P noktası yarıktan yeterince uzak alındığında her bir Huygens dalgacığının P’deki genliklerini eşit alabiliriz. Yani her dalgacığın genliği A(r) alınabilir. Huygens dalgacıklarının eşit fazda

17

olduğunu kabul edeceğiz. Bu nedenle P noktasında yer değiştirme (ışık kullanılıyorsa elektrik alan E’a eşittir) üst üste gelme ilkesi kullanılarak, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4) şeklinde yazılabilir. Sanal sayı kavramı kullanılarak cebirsel yazılımları basitleştirebiliriz. y yerdeğiştirmesi, sanal niceliğinin gerçel kısmıdır. Burada

( ) ( ) (5)

dir. Burada ....................... ( ) (6) dir (şekil-4).

Böylece denklem-5’i, bütün terimlerde ortak olan ’i parantez dışına alınarak

( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ) (7a)

şeklinde yazabiliriz. Burada S, parantez içindeki geometrik seriyi göstermektedir

( ) ( ) ( ) (7b) dir. S’nin terimleri üslerindeki niceliği d aralıklı kaynaklardan gelen dalgaların faz farkıdır ve bunu ϕ ile gösterirsek

18

yazabiliriz. Bu durumda N terimli S geometrik serisi

( ) (8) olur. Bu geometrik serisi için

(9)

yazabiliriz (Bölüm 2 ders notlarına bakınız). Bunu

( ⁄ )

( ⁄ )

[ ( ⁄ ) ( ⁄ ) ]

[ ( ⁄ ) ( ⁄ ) ]

(

)( ) ( ⁄ )

( ⁄ ) (10)

şeklinde yazabiliriz. Bu durumda Denklem-7a

( ) ( ⁄ )

( ⁄ ) (11)

haline gelir. Burada

( )

(12)

büyüklüğü, gözlem noktasından (P noktası) yarığın ortasına olan uzaklıktır (şekil-3). Denklem-11’in gerçel kısmını alarak, P noktasındaki elektrik alan E için

( ) ( ) ( ⁄ )

( ⁄ ) ( ) ( ) ( ) (13)

elde ederiz. N =2 için bu eşitlik

( ) ( )

( ⁄ ) ( )

( ) ( ⁄ ) ( ⁄ )

( ⁄ ) ( )

( ) ( ) ( ⁄ ) ( ) (14) şeklini alır. Bu bağıntının daha önce çift yarık Young deneyinde elde ettiğimiz sonuç ile aynı formda olduğuna dikkat ediniz. Şimdi D’yi sabit tutalım ve N sonsuza gitsin. Bu durumda d aralığı sıfıra ve bu yüzden ardışık dalga kaynakları arasındaki ϕ faz farkı sıfıra gider. Birinci ve N’inci kaynakların P’deki katkıları arasındaki toplam Φ faz kayması, tam olarak (N-1) ϕ’dir.Bu durumda ( )

19

alarak 13-denklemindeki A(r,θ) için

( ) ( ) ( ⁄ )

( ⁄ ) ( )

[( ⁄ )(

)]

(15)

yazabiliriz. N’nin yeterince büyük olduğu sınırda paydayı seriye açar ve yalnız ilk terimle yetinebiliriz:

[( ⁄ ) (

)] ( ⁄ ) (

)

Bu durumda

( ) ( )

yazabiliriz. θ sıfıra giderken Φ’nin sıfıra gidecek ve

( ) ( ) olur. Böylece P ’deki bileşik alan

( ) ( )

( ) (16)

olur. Enerji akısı zaman ortalamasının açıya bağlılığı (sabit r için)

( ) [

]

(17)

olacaktır. Tek Yarıkta Kırınım Deseninin şiddeti 17-denklemini yeniden ele alalım

( ) [

]

[ ( ⁄ ) ( ⁄ )] (18)

Şiddetin θ açısının fonksiyonu olarak davranışı şekil-5’de verilmiştir.

20

Şekil-5. Dalgaboyu λ =0,85 cm ve yarık genişliği D = 3 cm alınarak şiddetin açıya bağlı davranışı. Burada θ radyan cinsindendir (Fiz Lab. III dersinde bu deneyi yapabilirsiniz). Merkezi maksimumun , şiddet bölgesinin diğer hepsinden çok daha geniş olduğuna ve şiddet tepeleri desenin merkezinden uzaklaştıkça hızlıca azaldıklarına dikkat ediniz. Küçük açılar için, kırınım deseninin açısal genişliği yarık genişliği D ile ters orantılıdır veya daha hassas olarak, D ile dalgaboyu λ oranıyla ters orantılıdır. Şekilde-6’da üç farklı D/λ değeri için θ açısına bağlı şiddet I grafiği verilmiştir.

21

Eşitlik -1’de verilen yol farkının λ/2 olduğunu düşünelim. Bu durumda iki çizgiden P noktasına gelen dalgalar arasında yarım-periyot faz farkı olur ve birbirlerini yok ederler. Benzer olarak, şekildeki çizgilerin hemen altındaki iki çizgiden çıkan dalgalar da P noktasına yarım-periyot zıt fazda gelir. Gerçekte yarığın üst yarısındaki tüm çizgilerden gelen dalga ile alt yarısındakilerden gelen dalga birbirlerini yok ederler. Sonuç olarak da tüm yarıktan gelen dalgalar P noktasında tam yok etmeye neden olur ve bu noktada girişim deseninin bir karanlık saçağı oluşur. Sonuç olarak karanlık saçak oluşma şartı (19) sinθ = 0 durumunun aydınlık saçağa karşılık geldiğine dikkat ediniz. Bu durumda tüm yarıktan gelen dalga P noktasında aynı fazda gelir. Bu yüzden denklemde m=0 koymak yanlış olur. Küçük açılarda m.ci karanlık saçağın merkeze uzaklığı (20) ile verilebilir. Şekil-7’da tek yarıkta görünür bölgede ışık ile yapılmış bir kırınım deneyinin resmi verilmiştir.

22

Belirli Genişlikte İki Yarık İki yarıklı desene, daha gerçekçi durum olarak yarıkların genişliği belirli olan durumda yeniden bakalım. • Şekil-8a, genişliği D olan tek bir yarığın oluşturduğu kırınım desenindeki şiddeti gösteriyor. Karanlık kırınım saçakları md = ±1, ±2, ... tamsayıları ile işaretlenmiştir. • Şekil-8b’de, aralarında b uzaklığı olan iki çok dar yarığın oluşturduğu girişim desenini göstermektedir, b uzaklığı şekil-8a’daki yarık genişliğinin 4 katıdır . Aydınlık kırınım saçakları mi = ±1, ±2, ... tamsayıları ile işaretlenmiştir. Tek yarık durumunda iki karanlık saçak arası mesafenin, iki yarık durumundakinin dört katı olduğuna dikkat ediniz. • Şimdi iki dar yarığın genişliğini şekil-8a’daki tek yarığın genişliği D olana kadar açtığımızı düşünelim. Şekil-8c, genişlikleri D, aralarındaki mesafe olan iki yarığın oluşturduğu deseni göstermektedir. Yarık genişliğinin belirli bir büyüklükte olmasının etkisi iki desenin üst üste binmesidir; yani her noktada iki şiddetin çarpımıdır. İki yarık tepeleri önceki durumla aynı konumdadır, fakat şiddetleri, bir zarf görevi yapan tek yarık deseni ile farklılaştırılmıştır.

23

Şekil-8c’de gösterilen şidet için ifade, tek yarıkta kırınım (17) ve iki yarıkta girişim (Girişim konusu anlatılırken verilen 24 ve 28 nolu ifadelere bakınız) için elde edilen ifadelerin çarpımıdır: ( ) ( ) ( ) (Belli genişlikte iki yarık) (21) Burada ( ) ( ) dır. Şekil-8c’de kenarlardaki her dört aydınlık saçaktan birinin yerinde olmadığına dikkat ediniz; çünkü bu noktalardaki aydınlık girişim saçakları (mi = ±4, ±8, ... ) karanlık kırınım saçakları (md = ±1, ±2,..) ile aynı noktaya denk gelmektedir. Bu durum için gerçek durumun resmini gösteren şekil-8d’de görülebilir. Şekil-8d’deki desene girişim mi, kırınım mı demeliyiz? Aslında her ikisi de, çünkü desen iki açıklığın farklı yerlerinden gelen dalgaların üst üste binmesiyle oluşmuştur. Girişim ve kırınım arasında temel bir ayırım yoktur.