hw4

Assignment 4 — Solutions 2/6/04

Problem 3.1

We have azimuthal symmetry and charge-free space so expand in Legendre polynomials as in eq. 3.33:

FHr, qL = ‚l=0

¶

AAl rl + Bl r-Hl+1LE PlHcos qL

F§r=a = V QJ pÅÅÅÅÅ2

- qN

F§r=b = V QJq -pÅÅÅÅÅ2

N

V

ϖ

z

a

b

where Q is the step function. Use the orthogonality condition eq 3.21 to integrate both sides multiplied by PkHcos qL :

‚l=0

¶

AAl al + Bl a-Hl+1LE ‡-1

1 Hcos qL PlHcos qL PkHcos qL = ‡

-1

1 Hcos qL V QJ p

ÅÅÅÅÅ2

- qN PkHcos qL

‚l=0

¶

AAl al + Bl a-Hl+1LE 2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 k + 1

dkl = V ‡0

1 Hcos qL PkHcos qL

Ak ak + Bk a-Hk+1L =VÅÅÅÅÅÅÅ2

H2 k + 1L ‡0

1 Hcos qL PkHcos qL

The integral is done in Jackson 3.26 for odd k . For even k the PkHxL are even about x = 0, so we may double theintegration range and take half of the result; also we gratuitously multiply by P0HxL = 1:

‡0

1 Hcos qL PkHcos qL =

1ÅÅÅÅÅ2

‡-1

1 Hcos qL PkHcos qL P0Hcos qL =

1ÅÅÅÅÅ2

2 dk0

Ak ak + Bk a-Hk+1L =VÅÅÅÅÅÅÅ2

loooomnoooo

dk0 , k even

ikjjj-

1ÅÅÅÅÅ2

y{zzzHk-1Lê2

H2 k + 1L Hk - 2L !!ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 @Hk + 1L ê2D!

, k odd

The same procedure works for the r = b boundary condition except we're now integrating over -1 § cos q § 0 on theright-hand-side, which can be evaluated by a change of integration variables cos q Ø -cos q and noting thatPkH-xL = H-1Lk PkHxL (this is just a statement of the odd/evenness of the function):

1

Ak bk + Bk b-Hk+1L =VÅÅÅÅÅÅÅ2

H2 k + 1L ‡-1

0 Hcos qL PkHcos qL = -

VÅÅÅÅÅÅÅ2

H2 k + 1L ‡1

0 Hcos qL PkH-cos qL

= H-1Lk VÅÅÅÅÅÅÅ2

H2 k + 1L ‡0

1 Hcos qL PkHcos qL

= H-1Lk VÅÅÅÅÅÅÅ2

loooomnoooo

dk0 , k even

ikjjj-

1ÅÅÅÅÅ2

y{zzzHk-1Lê2

H2 k + 1L Hk - 2L!!ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 @Hk + 1L ê 2D !

, k odd

Define

Ck ªVÅÅÅÅÅÅÅ2

loooomnoooo

dk0 , k even

ikjjj-

1ÅÅÅÅÅ2

y{zzzHk-1Lê2

H2 k + 1L Hk - 2L !!ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 @Hk + 1L ê2D !

, k odd

Ak ak + Bk a-Hk+1L = Ck ó Ak + Bk a-H2 k+1L = Ck a-k ó Ak a2 k+1 + Bk = Ck ak+1

Ak bk + Bk b-Hk+1L = H-1Lk Ck ó Ak + Bk b-H2 k+1L = H-1Lk Ck b-k ó Ak b2 k+1 + Bk = H-1Lk Ck bk+1

Subtract the second row from the first to solve for Ak and Bk :

Al =al+1 - H-1Ll bl+1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

a2 l+1 - b2 l+1 Cl , Bl =a-l - H-1Ll b-l

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅa-H2 l+1L - b-H2 l+1L Cl

FHr, qL =VÅÅÅÅÅÅÅ2

+ ‚l=1

¶

AAl rl + Bl r-Hl+1LE PlHcos qL

I've separated out the A0 = a-bÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅa-b C0 = VÅÅÅÅÅÅ2 and B0 = 0 pieces to facilitate taking limits, which we will do next. Forb Ø ¶ this is like having no outer sphere and being outside a northern hemisphere at potential V , i.e. half of the a ê rversion of eq. 3.36 superimposed with a constant potential +V . Cl is independent of a and b , so we just need to worryabout the limiting forms of Al and Bl (keeping in mind that l ¥ 0 so apparently positive powers really are such):

limbØ¶

Al = limbØ¶

al+1 êbl+1 - H-1LlÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅa2 l+1 ê bl+1 - bl Cl = lim

bØ¶

0 - H-1LlÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

0 - bl Cl = 0 , l ∫ 0

limbØ¶

Bl = limbØ¶

a-l - H-1Ll ê blÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅa-H2 l+1L - 1 êb2 l+1 Cl =

a-lÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅa-H2 l+1L Cl = al+1 Cl

The first few (nonzero, l > 0) Cl 's are C1 = 3 ê 2 HV ê 2L, C3 = -7 ê8 HV ê 2L, C5 = 11 ê 16 HV ê 2L , so

limbØ¶

FHr, qL = ‚l=0

¶

Cl J aÅÅÅÅÅr

Nl+1 PlHcos qL =

VÅÅÅÅÅÅÅ2

ÄÇÅÅÅÅÅÅÅÅ1 +

3ÅÅÅÅÅ2

J aÅÅÅÅÅr

N2 P1Hcos qL -7ÅÅÅÅÅ8

J aÅÅÅÅÅr

N4 P3Hcos qL +11ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ16

J aÅÅÅÅÅr

N6 P5Hcos qL + …ÉÖÑÑÑÑÑÑÑÑ

exactly as advertised. For a Ø 0 this is like having no inner sphere and being inside a southern hemisphere at potentialV , which is half of the r ê a version of eq. 3.36 superimposed with -V and with the substitution V Ø -V after that:

2

limaØ0

Al =0 - H-1Ll bl+1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

0 - b2 l+1 Cl = ikjjj-

1ÅÅÅÅÅb

y{zzzl Cl

limaØ0

Bl = limaØ0

al+1 - a2 l+1H-1Ll b-lÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

1 - a2 l+1 b-H2 l+1L Cl = 0

limaØ0

FHr, qL = ‚l=0

¶

Cl J-rÅÅÅÅÅb

Nl PlHcos qL =VÅÅÅÅÅÅÅ2

ÄÇÅÅÅÅÅÅÅÅ1 -

3ÅÅÅÅÅ2

rÅÅÅÅÅb

P1Hcos qL +7ÅÅÅÅÅ8

J rÅÅÅÅÅb

N3 P3Hcos qL -11ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ16

J rÅÅÅÅÅb

N5 P5Hcos qLÉÖÑÑÑÑÑÑÑÑ

Problem 3.3

F§q=pê2,r<R = V = constant

sHvL = s0 IR2 - v2M-1ê2

ˆx ϖϖ′ ′ ′=

2 2x x z ϖ′− = +ˆx zz=

Vx

y

z

Rσ

To find the coefficients we use the trick of calculating the potential at an arbitrary point z > R on the z-axis:

FHz z̀L =1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 p e0

‡ 3x£ rHx”÷ £LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ - x”÷ £§ =

1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 p e0

‡0

2 pv£ f ‡

0

R v£ s0 HR2 - v£2L-1ê2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHz2 + v£2L1ê2

=s0ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 e0

‡0

R v£ v£

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!R2 z2 + HR2 - z2L Hv£L2 - Hv£L4ì change variable u ª v£2


‡0

R2

u1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!R2 z2 + HR2 - z2L u - u2=

s0ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 e0

Ä

Ç

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ-sin-1

-2 u + HR2 - z2LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ"#########################################HR2 - z2L2 + 4 R2 z2

É

Ö

ÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑ0

R2

= s0ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 e0

Ä

Ç

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ-sin-1

-2 u + R2 - z2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

R2 + z2

É

Ö

ÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑ0

R2


ikjjjjjsin-1

R2 - z2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅR2 + z2 - sin-1

-2 R2 + R2 - z2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

R2 + z2y{zzzzz


ikjjjjj-Â sinh-1i

kjjjjjÂ

R2 - z2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅR2 + z2

y{zzzzz - sin-1H-1Ly

{zzzzz =


i

k

jjjjjjjjjjj-Â ln

i

k

jjjjjjjjjjjÂ

R2 - z2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅR2 + z2 + &'''''''''''''''''''''''''''''''''''i

kjjjjÂ

R2 - z2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅR2 + z2

y{zzzz2

+ 1y

{

zzzzzzzzzzz+

pÅÅÅÅÅ2

y

{

zzzzzzzzzzz


Ä

Ç

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅpÅÅÅÅÅ2

- Â lnikjjjjjÂ

R2 - z2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅR2 + z2 +

2 R zÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅR2 + z2

y{zzzzzÉ

Ö

ÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑ=


ikjj p

ÅÅÅÅÅ2

- Â ln Â R + zÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅR + Â z

y{zz ì lnH-ÂL = -Â p ê 2

= -s0ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 e0

Â ln Â z - RÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÂ z + R

Since the disk is at z = 0 has constant potential V , FH0L = V = p s0 ê 4 e0 so s0 = 4 e0 V ê p . Now to the cases:

(a) For r > R , let u ª R ê z so 0 § u § 1 and we can expand about u = 0 using ln 1+eÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1-e= 2 ‚n=0

¶ e2 n+1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 n+1 :

3

F>Hz z̀L = -Â VÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

pln

Â - uÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÂ + u

= -Â VÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

pln

1 + Â uÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1 - Â u

= -2 Â VÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

p„l=0

¶HÂ uL2 l+1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

2 l + 1= -

2 VÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

p„l=0

¶H-1Ll+1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 l + 1

ikjj R

ÅÅÅÅÅÅz

y{zz2 l+1

Now just take z Ø r and tack on the appropriate Legendre polynomials (remember that we want F to look like‚@Al rl + bl r-Hl+1LD Pl eventually) for the general r > R solution:

F>Hx”÷ L =2 VÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

p „

l=0

¶H-1Ll

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 l + 1

J rÅÅÅÅÅÅR

N-H2 l+1L P2 lHcos qL =

2 VÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

p RÅÅÅÅÅÅr

„l=0

¶H-1Ll


ikjj R

ÅÅÅÅÅÅr

y{zz2 l

P2 lHcos qL

(b) For r < R , let u ª z ê R so 0 § u § 1 and expand about u = 0:

F<Hz z̀L = -Â VÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

pln

Â u - 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÂ u + 1

= -Â VÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

pikjjjÂ p + ln

1 - Â uÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1 + Â u

y{zzz = V +

2 H-ÂL VÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

p „

l=0

¶H-Â uL2 l+1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

2 l + 1

= V +2 VÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

p„l=0

¶H-1Ll+1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 l + 1

J zÅÅÅÅÅÅR

N2 l+1

F<Hx”÷ L = V -2 VÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

p „

l=0

¶H-1Ll


J rÅÅÅÅÅÅR

N2 l+1 P2 l+1Hcos qL

(c) To calculate capacitance set V = 1 and compute the total charge on the disk:

C = Qtotal§V=1 = ‡0

2 pv f ‡

0

R v

s0ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!!!!!!!!!!!!!!!!R2 - v2

ƒƒƒƒ§ƒƒƒƒV=1

= 2 p4 e0 VÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

p

ƒƒƒ§ƒƒƒV =1B-"##################R2 - v2 F

0

R= 8 e0 R

Problem 3.4

(a) We need to expand in spherical harmonics, but can take Blm = 0 since we want finiteness at the origin inside:

FHr, q, fL = ‚l=0

¶

‚m=-l

lAlm rl YlmHq, fL , YlmHq, fL = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2 l + 1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 p

Hl - mL!ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHl + mL!

´̈ ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨̈ ¨̈¨≠ Æ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨̈̈ªClm

PlmHcos qL ‰Â m f

The boundary conditions are periodic with period 2 p ê n , so the potential should be as well:

FHr, q, f + 2 p ênL = FHr, q, fL ï ‰Â m Hf+2 pênL = ‰Â m f ï ‰2 Â p m ên = 1 ï m ê n œ

With the first segment at +V and alternating, the boundary condition is

FHa, q, fL = H-1Lk V , k p ê n § f § Hk + 1L p ê n , k = 0, 1, …, 2 n - 1

Integrate the left- and right-hand sides:

4

‡0

2 p f ‡

-1

1 Hcos qL Ylm

* Hq, fL FHa, q, fL = ‡0

2 p f ‡

-1

1 Hcos qL Ylm

* Hq, fL ‚l£=0

¶

‚m£=-l£

l£

Al£m£ al£ Yl£m£ Hq, fL

= Alm al

‡0

2 p f ‡

-1

1 Hcos qL Ylm

* Hq, fL FHa, q, fL = ‚k=0

2 n-1

‡k pên

Hk+1L pÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅn f ‡

-1

1 Hcos qL Yl£m£

* Hq, fL H-1Lk V

= ‚k=0

2 n-1H-1Lk V ‡

k pên

Hk+1L pÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅn f ‡

-1

1 Hcos qL Clm Pl

mHcos qL ‰-Â m f

= ‚k=0

2 n-1H-1Lk V Clm ‡

-1

1 Hcos qL Pl

mHcos qL ÂÅÅÅÅÅÅÅm

I‰-Â p Hk+1L mên - ‰-Â p k mênM

‰-Â p Hk+1L mên - ‰-Â p k mên = ‰-Â p k mên I‰-Â p mên - 1M = H-1Lk mên AH-1Lmên - 1E =lomno

0 , m ên even

2 H-1Lk , m ên odd

We see that Alm will vanish if m ê n is even. If m ê n is odd, we can have m either even or odd depending on n , i.e.schematically if n is odd, m = oddäodd = odd, otherwise if n is even, m = oddäeven = even. Also Pl

m is odd/even ifm + l is odd/even, so the integral over it (and thus Alm ) will vanish if m + l is odd, which happens if m and l differ inparity. In summary, we must have all three of m, n, l be of the same parity if Alm is not to vanish. For these nonvanish-ing Alm we can do the sum over k immediately since the two H-1Lk factors combine to form a +1:

Alm al = - ‚k=0

2 n-1H-1Lk V Clm ‡

-1

1 Hcos qL Pl

mHcos qL ÂÅÅÅÅÅÅÅm

2 H-1Lk

= -H2 n - 1 - 0 + 1L V Clm ‡-1

1 Hcos qL Pl

mHcos qL 2 ÂÅÅÅÅÅÅÅÅÅm

= -4 Â nÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

m V Clm ‡

-1

1 x Pl

mHxL

Alm =

looooomnooooo

-4 Â VÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

aln

ÅÅÅÅÅÅÅm

$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2 l + 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

4 p Hl - mL!ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHl + mL!

‡-1

1 Hcos qL Pl

mHcos qL , n, m, l have the same parity

0 , otherwise

(b) In the following we will need to evaluate integrals of Plm 's, which is a straightforward, tedious, and completely

uninteresting exercise so I ran them through Mathematica. We can save some work by using eq. 3.51 to relate

Al-m =4 Â VÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

aln

ÅÅÅÅÅÅÅm


4 p Hl + mL!ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHl - mL!

‡-1

1 Hcos qL Pl

-m Hcos qL

=4 Â VÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

aln

ÅÅÅÅÅÅÅm


4 p Hl + mL!ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHl - mL!

H-1Lm Hl - mL!ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHl + mL!

‡-1

1 Hcos qL Pl

mHcos qL

= -H-1Lm+1 4 Â VÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

aln

ÅÅÅÅÅÅÅm


4 p Hl - mL!ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHl + mL!

‡-1

1 Hcos qL Pl

m Hcos qL

= H-1Lm+1 Alm

n = 1 is odd, so we will only have terms where m and l are both odd. The above then gives Al-m = Alm for all l, msince m + 1 is even. Remembering that l ¥ 0 and m = -l, …, l , we see that the nonzero coefficients up to l = 3 are

5

A11 = -4 Â VÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

a1ÅÅÅÅÅ1

$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2 + 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

4 p H1 - 1L!ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH1 + 1L!

‡-1

1 Hcos qL P1

1Hcos qL = -Â VÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅa

$%%%%%%6ÅÅÅÅÅp

J-pÅÅÅÅÅ2

N =Â VÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅa

$%%%%%%%%%%3 pÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2

= A1-1


a31ÅÅÅÅÅ3



‡-1

1 Hcos qL P3

3 Hcos qL =Â VÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅa3

è!!!!!!!!!!35 pÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

16 = A3-3


a31ÅÅÅÅÅ1



‡-1

1 Hcos qL P3

1 Hcos qL =Â VÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅa3


16= A31

FHr, q, fL = Â Vi

kjjjjjj$%%%%%%%%%%3 p

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2

rÅÅÅÅÅa

@Y1-1Hq, fL + Y11Hq, fLD +è!!!!!!!!!!35 pÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

16 J r

ÅÅÅÅÅa

N3 @Y3-3Hq, fL + Y33Hq, fLD

+è!!!!!!!!!!21 pÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

16 J r

ÅÅÅÅÅa

N3@Y3-1Hq, fL + Y31Hq, fLDy

{zzzzzz + …

In our coordinate system the "right" hemisphere is at +V and F is explicitly specified for the full range of q and f. Theresult eq 3.36 has the northern hemisphere at +V and gives the potential F£ as a function of q£ only, since there isazimuthal symmetry in their case. A little thought shows that if we take the q = p ê 2 "slice" of our system and shiftf Ø p ê2 - f we will have rotated into their coordinate system with our shifted f playing the role of q£ . Now

In our coordinate system the "right" hemisphere is at +V and F is a functionof both q and f. The result eq 3.36 has the northern hemisphere at +V and givesthe potential F£ as a function of q£ only, since there is azimuthal symmetry in theircase. A little thought shows that if we take the q = p ê2 "slice" of our system andshift f Ø p ê2 - f we will have rotated into their coordinate system with our shiftedf playing the role of q£ . A formula from my CRC handbook helps (if marginally)cut down on the algebra:

x

y

z

+V

φ

θ x-V

θ ′

YlmJ pÅÅÅÅÅ2

,pÅÅÅÅÅ2

- fN = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%H2 l + 1L Hl - mL! Hl + mL!ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

4 p H-1LHl+mLê2 ‰Â m Hpê2-fLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

2l I l-mÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 M! I l+mÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 M!

YlmJ pÅÅÅÅÅ2

,pÅÅÅÅÅ2

- fN + Yl-mJ pÅÅÅÅÅ2

,pÅÅÅÅÅ2

- fN =H-1Llê2

è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!H2 l + 1L Hl - mL! Hl + mL!ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!!!!!4 p 2l I l-mÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 M! I l+mÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 M !

AH-1Lmê2 ‰-Â m f Âm + H-1L-mê2 ‰Â m f Â-mE

=H-1Llê2

è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!H2 l + 1L Hl - mL! Hl + mL!ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!!!!!4 p 2l I l-mÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

2M! I l+mÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

2M !

AÂ2 m ‰-Â m f + Â-2 m ‰Â m fE

=H-1Llê2

è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!H2 l + 1L Hl - mL! Hl + mL!ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!!

p 2l I l-mÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 M! I l+mÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 M ! H-1Lm cos m f

Y11JpÅÅÅÅÅ2

, f -pÅÅÅÅÅ2

N + Y1-1JpÅÅÅÅÅ2

, f -pÅÅÅÅÅ2

N = -Â $%%%%%%%%%%3ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 p

cos f

Y33JpÅÅÅÅÅ2

, f -pÅÅÅÅÅ2


, f -pÅÅÅÅÅ2

N =Â

ÅÅÅÅÅ4

$%%%%%%%%%35ÅÅÅÅÅÅÅÅÅp

cos 3 f =Â

ÅÅÅÅÅ4


I4 cos3 f - 3 cos fM

Y31JpÅÅÅÅÅ2

, f -pÅÅÅÅÅ2


, f -pÅÅÅÅÅ2

N =Â

ÅÅÅÅÅ4


cos f

6

FHr, q, fL = Â Vi

kjjjjjj-Â $%%%%%%%%%%3

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 p

$%%%%%%%%%%3 pÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2

rÅÅÅÅÅa

cos f +Â

ÅÅÅÅÅ4


16 $%%%%%%%%%35

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅp

J rÅÅÅÅÅa

N3 I4 cos3 f - 3 cos fM

+Â

ÅÅÅÅÅ4



16 J r

ÅÅÅÅÅa

N3 cos fy

{zzzzzz + …

= V ikjjj 3

ÅÅÅÅÅ2

rÅÅÅÅÅa

cos f - J rÅÅÅÅÅa

N3 ikjjj 35

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ16

cos3 f -105ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ64

cos fy{zzz -

21ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ64

J rÅÅÅÅÅa

N3 cos fy{zzz + …

= VÄÇÅÅÅÅÅÅÅÅ

3ÅÅÅÅÅ2

rÅÅÅÅÅa

cos f -7ÅÅÅÅÅ8

J rÅÅÅÅÅa

N3 ikjjj 5

ÅÅÅÅÅ2

cos3 f -3ÅÅÅÅÅ2

cos fy{zzzÉÖÑÑÑÑÑÑÑÑ + …

= VÄÇÅÅÅÅÅÅÅÅ

3ÅÅÅÅÅ2

rÅÅÅÅÅa

P1Hcos fL -7ÅÅÅÅÅ8

J rÅÅÅÅÅa

N3 P3Hcos fLÉÖÑÑÑÑÑÑÑÑ + …

Whew.

Problem 3.7

Without the sphere the potentials of the point charges superimpose:

FHx”÷ L =q


ikjjj 1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ - a z̀§ -2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ § +1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ + a z̀§y{zzz

We use our favorite formula ∑ †b x” - c”§n ê ∑ †x”§ = n b †b x” - c”§n-2 Hb †x”§ - c” ÿ x̀L to calculate in very few lines

F§a=0 =q


ikjjj 1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ § -2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ § +1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ §y{zzz = 0

FÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅa

ƒƒƒ§ƒƒƒa=0= -

qÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 p e0

ikjjjj

a - x”÷ ÿ z̀ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ - a z̀§3

+a + x”÷ ÿ z̀

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ + a z̀§3

y{zzzzƒƒƒƒ§ƒƒƒƒa=0

= -q


ikjjj a - x”÷ ÿ z̀

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅr3 +

a + x”÷ ÿ z̀ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

r3y{zzzƒƒƒ§ƒƒƒƒa=0

= 0

2FÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅa2

ƒƒƒƒ§ƒƒƒƒa=0

= -q


ikjjjj

1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ - a z̀§3

+1


y{zzzz +

3 qÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 p e0

ikjjjjjHa - x”÷ ÿ z̀L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ - a z̀§5

+Ha + x”÷ ÿ z̀L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ + a z̀§5

y{zzzzzƒƒƒƒ§ƒƒƒƒa=0

= -2 q

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 p e0 r3 +

6 q Hr cos qL2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

4 p e0 r5 =2 q


ikjjjjj-

1ÅÅÅÅÅÅÅÅr3 +

3 cos2 qÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

r3y{zzzzz

FHx”÷ L = F§a=0 +FÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅa

ƒƒƒ§ƒƒƒa=0 a +



a2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2!

+ Ia3M =Q H3 cos2 q - 1LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

4 p e0 r3 + Ia3M , Q ª q a2

This is of course exactly what we expected — the potential of a dipole at the origin.

(b) The Green's function for a sphere of radius b is from eq. 2.16

GHx”÷ , x”÷ £L =1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ - x”÷ £§ -b ê †x”÷ £§

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ°x”÷ - Hb ê †x”÷ £§L2 x”÷ £•

=1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ - x”÷ £§ -b

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ††x”÷ £§ x”÷ - b2 x̀£§

The charge density for this problem is

rHx”÷ £L = q d3Hx”÷ £ - a z̀L - 2 q d3Hx”÷ £L + q d3Hx”÷ £ + a z̀L

7

which we use in Green's formula for the Dirichlet problem with surface term vanishing since the sphere is grounded:

FHx”÷ L =1


‡sphere

3x£ rHx”÷ £L GHx”÷ , x”÷ £L

=q


ikjjj 1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ - a z̀§ -b

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†a x”÷ - b2 z̀§ +2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ § -2 b

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†-b2 x̀£§ +1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ + a z̀§ -b

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†a x”÷ + b2 z̀§y{zzz

=q


ikjjj 1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ - a z̀§ -b

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†a x”÷ - b2 z̀§ +2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ § -2ÅÅÅÅÅb

+1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ + a z̀§ -b

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†a x”÷ + b2 z̀§y{zzz

This is it, for all of r < b . Now the limit:

F§a=0 =q


ikjjj 1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ § -b

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†-b2 z̀§ +2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ § -2ÅÅÅÅÅb

+1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ § -b

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†b2 z̀§y{zzz = 0

FÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅa

ƒƒƒ§ƒƒƒa=0= -

qÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 p e0

ikjjjjj

a - x”÷ ÿ z̀ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ - a z̀§3

-b †x”÷ § Ha †x”÷ § - b2 z̀ ÿ x̀LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

†a x”÷ - b2 z̀§3+

a + x”÷ ÿ z̀ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ + a z̀§3

-b †x”÷ § Ha †x”÷ § + b2 z̀ ÿ x̀LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

†a x”÷ + b2 z̀§3y{zzzzzƒƒƒƒ§ƒƒƒƒa=0

= -q


ikjjjjj

-x”÷ ÿ z̀ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ §3

-b †x”÷ § H-b2 z̀ ÿ x̀LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

†-b2 z̀§3+

x”÷ ÿ z̀ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ §3

-b †x”÷ § Hb2 z̀ ÿ x̀LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

†b2 z̀§3y{zzzzzƒƒƒƒ§ƒƒƒƒa=0

= 0



= -q


ikjjjjj

1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ - a z̀§3

-b †x”÷ §2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†a x”÷ - b2 z̀§3

+1


-b †x”÷ §2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†a x”÷ + b2 z̀§3

y{zzzzza=0

+3 q


i

kjjjjjjHa - x”÷ ÿ z̀L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ - a z̀§5

-†x”÷ §@b †x”÷ § Ha †x”÷ § - b2 z̀ ÿ x̀LD2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

†a x”÷ - b2 z̀§5+

Ha + x”÷ ÿ z̀L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ†x”÷ + a z̀§5

-†x”÷ §@b †x”÷ § Ha †x”÷ § + b2 z̀ ÿ x̀LD2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

†a x”÷ + b2 z̀§5y

{zzzzzza=0

= -q


ikjjjjj

1ÅÅÅÅÅÅÅÅr3 -

b r2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅb6 +

1ÅÅÅÅÅÅÅÅr3 -

b r2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅb6

y{zzzzz

+3 q


i

kjjjjjjHr cos qL2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

r5 -r @b r H-b2 cos qLD2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

b10 +Hr cos qL2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

r5 -r @b r Hb2 cos qLD2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

b10

y

{zzzzzz

= -2 q

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 p e0 r3

ikjjjjj1 -

r5ÅÅÅÅÅÅÅÅÅb5

y{zzzzz +

6 q cos2 qÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 p e0 r3

ikjjjjj1 -


y{zzzzz =

qÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 p e0 r3 I-1 + 3 cos2 qM i

kjjjjj1 -


y{zzzzz

We recognize -1 + 3 cos2 q = 2 P2Hcos qL , so with Q ª q a2 as before:

FHx”÷ L = F§a=0 +FÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅa

ƒƒƒ§ƒƒƒa=0 a +



a2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2!

+ Ia3M =Q

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 p e0 r3

ikjjjjj1 -


y{zzzzz P2Hcos qL + Ia3M

Off-topic remark: I really have no idea why Jackson likes to unnecessarily expand things out in terms of coordinates.Takes an incredible amount of algebra to do things that are much more concise in vector notation — that's what it wasinvented for! To think of all the time I wasted chasing symbols when I took E&M and did this problem...

Problem 3.9

The finite range in z is a hint that we want to arrange constants so that we have trigonometric functions in z :

∑2 FÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑ v2 +

1ÅÅÅÅÅÅÅÅv

∑ F

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑ v

+1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅv2

∑2 FÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑ f2 +

∑2 FÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑ z2 = 0

FHv, f, zL = RHvL QHfL ZHzL

8

Z≥ + k2 Z = 0 , k2 > 0Q≥ + n Q = 0 , n2 > 0

R≥ +1

ÅÅÅÅÅÅÅÅv

R£ -ikjjjjjk2 +

n2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅv2

y{zzzzz R = 0

Enforcing boundary conditions:

ZHzL = A cos k z + B sin k z :ZH0L = 0 = A

ZHLL = 0 = B sin k L ï k =n pÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅL

, n œ

QHfL = C cos n f + D sin n f : QHn f + 2 p nL = QHn fL ï n = m œ

RHvL = E ImJ n p vÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

LN + F KmJ n p v

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅL

N : RHv Ø 0L < ¶ ï F = 0

The general solution is thus

FHv, f, zL = ‚n=0

¶

‚m=0

¶

HAmn cos m f + Bmn sin m fL sinJ n p zÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

LN ImJ n p v


N

Using the orthogonality of sines and cosines given F§v=b = V Hf, zL we extract the coefficients for m ∫ 0:

‡0

2 p f ‡

0

L z V Hf, zL : cos m f

sin m f> sinJ n p z

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅL

N

= „n£=0

¶

„m£=0

¶

‡0

2 p f ‡

0

L z HAm£n£ cos m£ f + Bm£n£ sin m£ fL sini

kjjj n£ p z

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅL

y{zzz Im£

ikjjj n£ p b


y{zzz : cos m f

sin m f> sin

n p zÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

L

= „n£=0

¶

„m£=0

¶

‡0

2 p f HAm£n£ cos m£ f + Bm£n£ sin m£ fL Im£

ikjjj n£ p b


y{zzz : cos m f

sin m f>

LÅÅÅÅÅÅ2

dnn£

=LÅÅÅÅÅÅ2

„m£=0

¶

‡0

2 p f

ikjjjAm£n cos m£ f : cos m f

sin m f> + Bm£n sin m£ f : cos m f

sin m f>y{zzz Im£

ikjjj n p b


y{zzz

=LÅÅÅÅÅÅ2

‚m£=0

¶

pikjjjAm£n : dmm£

0> + Bm£n : 0

dmm£>y{zzz Im£

ikjjj n p b


y{zzz =

p LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2

: AmnBmn

> Imikjjj n p b


y{zzz

: AmnBmn

> =2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅp L ImHn p b ê LL ‡

0

2 p f ‡

0

L z V Hf, zL : cos m f

sin m f> sinJ n p z


N , m ∫ 0

For the special case m = 0 clearly we can take B0n = 0 (since the sines vanish anyway). For A0n :

‡0

2 p f ‡

0

L z V Hf, zL sinJ n p z


N =LÅÅÅÅÅÅ2

„m£=0

¶

‡0

2 p f Am£n cosHm£ fL Im£

ikjjj n p b


y{zzz =

LÅÅÅÅÅÅ2

2 p A0n I0ikjjj n p b


y{zzz

A0n =1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅp L ImHn p b ê LL ‡

0

2 p f ‡

0

L z V Hf, zL sinJ n p z


N

9

Documents

hw4