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ÜberblickHydrodynamik
Ein TeilchenViele Teilchen
Experimente
Hydrodynamische Wechselwirkungund Stokes Reibung
Johannes Reinhardt
9. Februar 2008
Johannes Reinhardt Hydrodynamische Wechselwirkung und Stokes Reibung
ÜberblickHydrodynamik
Ein TeilchenViele Teilchen
Experimente
Problemstellung
Kolloidsuspension aus Teilchenund LösungsmittelTeilchen bewegen sich aufgrundvon externen Kräften
SchwerkraftÄußere elektrische FelderBrownsche Bewegung
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Problemstellung
Bewegung der Teilchen erzeugtStrömungen im LösungsmittelStrömungen im Lösungsmittelbeeinflussen Bewegung derTeilchenBewegung aller Teilchengekoppelt
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Hydrodynamische Wechselwirkung
Hydrodynamische WechselwirkungDie Wechselwirkung zwischen den Teilchen, diedurch Strömungen im Lösungsmittel übertragenwird, bezeichnet man als hydrodynamischeWechselwirkung.
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Ziel
ZielAufstellen einer Bewegungsgleichung, die dieBewegung der einzelnen Teilchen in Abhängigkeitder auf sie wirkenden Kräfte unter Berücksichtigungder hydrodynamischen Wechselwirkung beschreibt
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Weiteres VorgehenHydrodynamik
Beschreibung desLösungsmittelsNavier-Stokes Gleichunggeeignet vereinfachen (CreepingFlow Gleichungen)Wirkung von Kräften aufLösungsmittel (Oseen-Tensor)
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Weiteres VorgehenEin Teilchen
Beschreibung eines einzelnenTeilchensVerhalten eines Teilchens imLösungsmittel (Faxén Theorem)Stokes Reibungsformel
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Weiteres VorgehenViele Teilchen
Bewegungsgleichung für vieleTeilchenApproximation derHydrodynamischenWechselwirkung(Rodne-Prager-Matrix)
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Weiteres VorgehenExperimente
Experimentelle ÜberprüfungHydrodynamische FunktionExperimentelle Bestimmung derHydrodynamischen Funktion
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Ausgangspunkt
inkompressible Navier-Stokes Gleichung
ρ0
∂u(r, t)∂t + (u(r, t) · ∇)u(r, t)
=
η0∇2u(r, t)−∇p(r, t) + fext(r, t)
Inkompressibilitätsbedingung
∇ · u(r, t) = 0
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Reynolds-Zahl
Terme der N-S-Gleichungverschieden wichtigSituation charakterisiertdurch typische Längen a,Geschwindigkeiten v , undZeiten τTransformation zudimensionsloser Variablen
u’ =uv
r’ =ra
t ′ = tτ
p′ = aη0v
p
f’ext =a2
η0vfext
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Reynolds-Zahl
a2ρ0vτη0
∂u’∂t ′ +
ρ0avη0︸ ︷︷ ︸Re
u’ · ∇′u’ = ∇′2u’−∇′p′ + f’ext
Re heißt ReynoldszahlFür typische Kolloidsuspensionen ist Re� 1Deshalb: Vernachlässigen des u · ∇u Terms
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Experimente
Creeping Flow Equations
a2ρ0vτη0
∂u’∂t ′ = ∇′2u’−∇′p′ + f’ext
Teilchengeschwindigkeit relaxiert wegenReibungTypische Zeitskala für Dynamik istRelaxationszeitSetze τ = m
6πη0a
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Creeping Flow EquationsInteressiert an Beschreibung auf diffusiverZeitskala mit τD � τ
Annahme: fext(r, t) und damit u(r, t) ändernsich auf diffusiver Zeitskala, also∣∣∣∣∣∂u’
∂t
∣∣∣∣∣ ≈ 1τD
Dann ∣∣∣∣∣∂u’∂t ′
∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∂u’∂t
∂t∂t ′
∣∣∣∣∣ = τ
∣∣∣∣∣∂u’∂t
∣∣∣∣∣ ≈ τ
τD
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Creeping Flow EquationsBetrachte Vorfaktor
a2ρ0vm
6πη0aη0=
a3
m︸︷︷︸∝ρp
6ρ0π =9ρ0
2ρP≈ 9
2
Für Zeitableitungsterm gilt also mit τD � τ
a2ρ0vτη0
∂u’∂t ′︸ ︷︷ ︸
|...|≈ 9τ2τD�1
= ∇′2u’−∇′p′ + f’ext
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Creeping Flow Gleichungen
Lineare, inhomogene,partielle Differential-leichungenbeschreiben dasLösungsmittel inKolloidsuspensionenHeißen auch„Creeping Flow“Gleichungen
Stokes Gleichung
∇p(r, t)− η0∇2u(r, t)= fext(r, t)
Inkompressibilität
∇ · u(r, t) = 0
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Oseen Tensor
„Creeping Flow“ Gleichungen linearSuperposition möglichBerechnen nun Lösung u(r, t) mit denRandbedingungen
limr→∞u(r, t) = 0
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Oseen Tensor
Durch Fouriertransformation wird aus den„Creeping Flow“ Gleichungen ein Systemalgebraischer Gleichungen
„Creeping Flow“
∇p(r, t)− η0∇2u(r, t)= fext(r, t)
∇ · u(r, t) = 0
Fouriertransformation
ikp(k, t) + η0k2u(k, t)= fext
(k, t)iku(k, t) = 0
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Oseen Tensor
fext(k, t) = ikp(k, t) + η0k2u(k, t)
p(k, t) = −i kfext(k, t)
k2
Oseen Tensor in Fourier-Darstellung
u(k, t) =1
η0k2
(I − kk
k2
)fext
(k, t)
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Oseen Tensor
u(r, t) =∫d3r ′ 1
(2π)3
∫d3k 1
η0k2
(I − kk
k2
)e ik·(r−r’)
︸ ︷︷ ︸:=T (r−r’)
fext(r’, t)
RücktransformationMan erhält also die Lösung der „CreepingFlow“ Gleichungen durch Integration über denOseen Tensor T
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Oseen Tensor
u(r, t) =∫
d3r ′T (r− r’)fext(r’, t)
Die Geschwindigkeit an einem Ort zu einer Zeithängt von den Kräften an allen anderen Ortenzur selben Zeit abAlso Ausbreitungsgeschwindigkeit vonhydrodynamischen Störungen unendlich schnellNäherung für diffusive Zeitskala gut erfüllt, daAusbreitungsgeschwindigkeit sehr viel größer alsDiffusionsgeschwindigkeit
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Oseen Tensor
Das Integral lässt sich ausrechnen, und nachlängerer Rechnung erhält man expliziteDarstellung des Oseen Tensor im Ortsraum
T (r) =1
8πη0r
(I +
rrr 2
)
T (r) ∝ 1r , der Effekt einer Kraft an einem Ort
ist also langreichweitig
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Oseen Tensor
Betrachten Spezialfall einer Punktkraft imUrsprung
fext(r, t) = f0δ(r)Dann erzeugt der Oseen Tensor direkt dasGeschwindigkeitsfeld
u(r, t) = T (r)f0
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Faxén Theorem
Im Folgenden betrachten wir nur nochkugelförmige TeilchenRotation wird nicht betrachtetUntersuchen Effekt von mit v0 bewegter Kugelin einem äußeren Strömungsfeld u0(r, t)
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Faxén TheoremZiel: Zusammenhang zwischen Gesamtkraft aufKugel, u0(r) und v0Ausgangspunkt
u(r) = u0(r) +∫S
d3r ′T (r− r’) · fext(r′)
Haftrandbedingung auf Kugeloberflächeu(r) = v0 r ∈ SIntegration über Kugeloberfläche∫
Sd3r (v0 − u0(r)) =
∫S
d3r ′[∫
Sd3rT (r− r’)
]·fext(r′)
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Faxén Theorem
∫S
d3rT (r) =1
8πη0
∫S
d3r 1r I︸ ︷︷ ︸=4πI
+∫S
d3r rrr 3︸ ︷︷ ︸
:=Bij
Kugelkoordinaten für B
Bij = a∫ 2π
0dφ
∫ 1
−1d(cos θ)rirj
r 2 ∝ I
wegen Symmetrierr = (sin θ cosφ, sin θ sinφ, cos θ)T
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Faxén Theorem
Insgesamt ∫S
T (r) =2a3η0
I
Damit∫S
d3r (v0 − u0(r)) =2a3η0
∫S
d3r ′I ·fext(r′) =2a3η0
F
linke Seite weiter vereinfachen
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Faxén Theorem
∫S
d3ru0i(r) =∫S
d3ru0i(r0) + (rj − r0j)
∂
∂xju0i(r0)+
+12(rl − r0l)(rj − r0j)
∂
∂xl
∂
∂xju0i(r0) + . . .
Taylorentwicklung des ungestörtenGeschwindigkeitsfelds u0(r) um denMittelpunkt der Kugel
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Faxén Theorem
Jeder Summand ist von Struktur
(r1−r01)n1(r2−r02)
n2(r3−r03)n3∂n1
∂xn11
∂n2
∂xn22
∂n2
∂xn21
u0i(r0)
ungeraden Potenzen von ri − r0i fallen wegenSymmetrie wegdeshalb fallen gemischten Terme einerungeraden Ableitung (n1 + n2 + n3 ungerade)weg
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Faxén TheoremHöhere gerade Ableitungen fallen weg, dennaus den „Creeping Flow“ Gleichungen folgt
∇2∇2u(r) = 0
Übrig bleiben zwei Terme, das Ausführen derIntegration liefert∫S
d3ru0i(r) = 4πa2u0i(r0) +2π3 a4∇2u0i(r0)
Einsetzen für rechte Seite liefert dasJohannes Reinhardt Hydrodynamische Wechselwirkung und Stokes Reibung
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Faxén Theorem
Faxén Theorem
F = 6πη0av0 − u0(r0)−
a2
6 ∇2u0(r0)
Verknüpft Kraft auf Kugel, ungestörtesStrömungsfeld und Geschwindigkeit der KugelDas ungestörte Strömungsfeld geht nur amMittelpunkt der Kugel einKeine Näherung
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Stokes Reibungsgesetz
Direkte Folgerung aus dem Faxén Theorem füru0(r) = 0Kraft auf Kugel, die mit v0 durch eine ruhendeFlüssigkeit gezogen wird
F = 6πη0av0
Die Kraft, die dazu nötig ist, ist geradeFR = −FReibungskoeffizient γ = 6πη0a
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Strömung durch Bewegung einer Kugel
Lösen der „Creeping Flow“ Gleichung für sichmit v0 bewegende Kugel in ruhigemLösungsmittel
u(r) =∫S
d3r ′T (r− r’)fext(r′)
Nach einiger Rechnung findet man als Ergebnis
u(r) = 6πη0aT (r− r0) +
a2
6 ∇2T (r− r0)
· v0
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BewegungsgleichungZiel: Bewegungsgleichung für TeilchenAusgangspunkt: Newtonsches Gesetz mitStokesscher Reibung
mv = −ξv + Fges
Linke Seite kann vernachlässigt werden, daReibungsterm dominiert
v =1ξ
Fges = βD0Fges
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Bewegungsgleichung
Kräfte auf jedes Teilchen:externe KräfteKräfte durch Strömung im Lösungsmittel
Kompliziertes, gekoppeltes, implizitesGleichungssystemGeschwindigkeit i-tes Teilchen dann
vi = βD0
Fexti +
∑j 6=i
FHydij
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Rodne-Prager-Matrix
Super-Vektor Schreibweise
v1v2. . .vN
= β
D11 D12 . . . D1ND21 D22 . . . D2N. . . . . . . . . . . .
DN1 DN2 . . . DNN
·
Fext1
Fext2. . .Fext
N
D hängen von Positionen aller Teilchen abSuchen Approximation für D
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Rodne-Prager-Matrix
Erste Näherung: Kräfte durchHydrodynamische Wechselwirkung klein
Fgesi = Fext
i + FHydi ≈ Fext
i
Annahme: Strömung u(r) so, als bewegten sichTeilchen mit vi = βFext
iDamit kann man u(r) ausrechnenDann kann mit dem dem Faxén Theorem dieFHyd
i und somit FHyd ausrechnenJohannes Reinhardt Hydrodynamische Wechselwirkung und Stokes Reibung
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Rodne-Prager-Matrix
ui(r) = 6πη0aT (r− r0i) +
a2
6 ∇2T (r− r0i)
·βFexti
genäherter Strömungsfeldbeitrag von Teilchen iFaxén Theorem, Kraft dadurch auf Teilchen j
FHydij = 6πη0a
βFextj︸ ︷︷ ︸
=vj0
−1 +
a2
6 ∇2ui(rj)
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Rodne-Prager-Matrix
Durch einige Umformungen und Vergleich miterhält man
Dij = D0
3a4rij
(I +rijrij
r 2ij
) +a3
2r 3ij(I − 3rijrij
r 2ij
)
Dii = D0I
Diese Näherung wird auch alsRodne-Prager-Matrix bezeichnet
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Hydrodynamische Funktion
Wie lässt sich das nun experimentellüberprüfen?Statische Lichtstreuung nurPotentialwechselwirkungAber dynamischer Strukturfaktor enthältDynamik
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Hydrodynamische Funktion
Man kann zeigen, dass für kurze Zeiten gilt
S(q, t) = S(q)e−Dcq2t
misst man dynamischen und statischenStrukturfaktor, und errechnet daraus
− 1q2t ln
S(q, t)S(q)
= Dc
so findet man eine q Abhängigkeit von Dc
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Hydrodynamische Funktion
Diese kommt von der HydrodynamischenWechselwirkungMan kann weiter zeigen
D(q) = D0
⟨∑i ,j Dije−iq·(ri−rj)
⟩S(q)
Der Zähler wird auch als HydrodynamischeFunktion bezeichnet
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Hydrodynamische Funktion
Diese Hydrodynamische Funktion kann miteinigen Tricks und mit Hilfe derWechselwirkungsmatrizen berechnenUnd man kann sie über den dynamischen undstatischen Strukturfaktor messen
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