Hygino Domingues-Fundamentos de Aritmetica[001-013]

5/8/2018 Hygino Domingues-Fundamentos de Aritmetica[001-013] - slidepdf.com

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H y g in o H . D o m i h g o e s ' : : r "'.- J

FUNDAM ENTOS DE

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DO UVRO KOYO AO USADeCOUPRA - yaNDA - Tl:OCA

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R.O."doro, 1111.8.02/04 C,P,lIS)':

FONE /FAX t l -1 1 44

88010..020 - Flori ... hpolu - SC

u....H.t' 01. C .C.H . ( U FSC )

r o n e 33-40118



© Hyg ino H. Domi ngue' , 1 991.

Copyright deJta e4~lo:

ATVAL EOITORA LTDA., SAO PAULO, 1991.

Todes os d l re i to s r e se r vados ,

Dad ... .." C a~ .. Pub~o (CIP) IOh!11IIIciouI:

(elmara B.... 1eIn do u..-., SP, BnsII)

Domingues , Hygino H., 19l4- -

Fundamcntos de arifnRiica IHygino H. DOmingues. - SiloPaulo : Atual, 1991.·

Fundamentos de a ri tme tica I Hygino H. DOmingues. - Silo Paulo :AtuaI, 1991.

ISBN 85·7056-l+2~

1. Aritm!:tica I. TItulo.

91-0448 CDD-51l

"auili(: ~ -

1 7 ·.d;;~1:~-,~dearimRdca? ! ! ! 1 _ ~ _ _ A . tente editorilll: Sandr a . L u c ia Abrano

d .. : a q_ 3 9 f:J preptlrtl{'l0 e rm s.J o ~ tex~o: N~ Ribeiro. 0I'rl de texto: Maria L wz a S im o es

91,:nl 3d -3. ...9'QS Be . . Maria de Lourdes Chaves Ferreira

Paulo Si

Chti fe deone: ZiIdo BrIUGerente deJH"(Jdu¢o: Antonio Cabello Q. Filho

Prot/urIo gr4/ktl: Silvia Regina E. Almeida (coord.)Jose Rogerio L.de Simone

~ tkniar. G i l M a rc o s F e rr ei ra

C u pa : S y tv io ulbaa Cintra. Filho

Projeto , r6{ ICO: SoniaR eg in a V az

Composirlo e I lT te, f fJllJl: Diane E dl to ra . e C o m. de Livres Ltda.

Fotolito: BiohO'

Impresa/I(J: F . C . A .

' , ' 1

ATVAL EOITORA LTDA.

Rua Jo se An tl lo io Coel ho , 785

04011 - Silo Paulo - SP

I 5B N 85 · 70S 6 -l 4 2-1 'i

lNlEEC

NOS PEDIDOS TELEOitAFlCOS BASTA CITAR 0 c6D100 ADRM 1021 A

PREFAclO

opresente texto corresponde, de alguma mane ira, a uma

idealizacao do curso de T eo na d os N um e ro s (60 h/a) que tive-

mos ocasiio de ministrar algumas vezes na graduacao em Ma-

tematica da Unesp, campus de Sao Jose do Rio Preto. Imagi-

namos urn curso com carga horaria maior, no qual a aritmetica

fosse desenvolvida inicialmente para os ruimeros naturais e de-

pois estendida para os inteiros, em sintonia com sua evolucao

hist6rica. E, aproveitando 0 material teorico assim criado,

construir ao fim a teoria da representacao decimal dos mimeros

reais,

a capitulo I e utpa introdueao historica a aritmetica, ob·

viamente despretensiosa, Acreditamos que sejustifique tal ca-

pitulo nao s6 pela proposta do livro mas tambem pelas l igac;5es

quase orginicas entre as origens da matematica e da aritmeti-

ca. A teoria dos mimeros propriamente dita, objeto central do

texto, figura nos capftulos II e III, mas nao ultrapassa 0ambito

do elementar e do basico sobre 0 assunto, a estudo da forma

decimal aparece nos capftulos IV e V sobre mimeros racionais

e reais, respectivamente.

Ao longo de todos os capftulos houve a preocupacao de

tomar 0 texto auto-suficiente, Com esse objetivo, fomos desde

a construcao dos campos numericos ate alguns detalhes sobre

convergencia no corpo orden ado dos mirneros reais, Mas, paranao tornar 0 texto demasiadamente pesado, no que se refere a

estes aspectos as vezes omitimos justif icat ivas e a s vezes recor-

remos a intuicao geometrica,

Assim, esperamos apresentar urn texto que seja t it il, espe-

cialrnente sob 0 aspecto didatico, para professores e estudantes

de rnatematiea (inclusive em nivel do segundo grau). Alias,

uma outra preocupacao nossa foi explicar 0 porque de certos

procedimentos e algoritmos usados desde muito cedo no ensino

da matematica mas de uma maneira puramente mecanica,



E nao poderfamos encerrar sem 0registro de nossos agra-

decimentos especiais: aos editores, em particular ao Prof. Gel-

son Iezzi, pela confianca demonstrada no convite para redigir-

mos este trabalho; a Prof.' Ermfnia de Lourdes Campello Fan-ti, pela atenciosa Ieitura que fez da primeira redacao dos capf-

tulos II a V (teoria) e pelas oportunas sugestOes entiio apresen-

tadas.

SUMARIO

o autorCAPITULO 1-NUMERO§, SISTEMAS DE NUMERAQAO: IN-

TRODUQAO HIST6RICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Renata

Regina

Renan

1. Origens................................................ 1

2. Sistemas de numeracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3. Alguns sistemas de numeracao .. . ... ... .. ... ... ... ... ... ... 34. 0 nascimento da teoria do s mimeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Dedicado a meus mhos:

CAPiTuLo II - os NUMEROS NATURAlS. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19

'.L Introducio 192. Opera~ - reJacio de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 203. Inducio ~ ' '" .. . .. .. .. 224. Divisibilidade em IN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31

5. Sistemas de numer~io posicionais - base . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34

6. M&x:imo divisor comum '" '" . .. 43

7. M£nimo mUltiplo comum ' . .. .. . 47

8. Nu.meros primos. .. . .. . .. .. . .. . .. .. 529 Afu ~ . u ....t·. n~ Ilgma e os n meros 1"""'" feitoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62

10. Os temos pitag6ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6811. A seqiiencia de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73

APENDICE 1-AXlOMAS DE PEANO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80

L Introducio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80

2. Os axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 803. Adicio em IN.. ... ... .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. ... 824. Multiplicacio em IN .. .. .. . .. . .. .... ... .. . .. 83

~5. Relacio de ordem em IN . . .. . .. . .. . .. . .. .. . . .. . . . . . . . .. ... 84

iCAPiTULO III - OS NUMEROS INTEIROS . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 88

1. Niimeros negativos: origens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882. Os inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89

3. Operacoes e relacio de ordem em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4. Indu!;io '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 93



5. Valor absoluto .

6. Aritmetica em Z .

7. Equ~o~s d~ofantinas lineares .

8. Congruencias ········

9. Congruencies lineares .

to. Sistemas de congruencias .

11. A funcao de Euler .

12. Restos quadraticos - teorema de Wilson .

13. Rafzes primitivas .

97

101

11 8

124-

134-

136

1 4 - 2

152

157

APENDICE II - CONSTRUQAO L6GICO-FORMAL DO CON-

JUNTO DOS NUMEROS INTEIROS 162

1. Os mimeros inteiros: construcao 162

2. Imersao de IN em Z , , , 168

APENDICE III - ARITMETICA M6DULO M..... ........ ..... 170

Ik:CAPfTULO IV - OS NUMEROS RACIONAIS . . . . . . . . . . . . . . . .. 179

1. Introducao 179

2. AdivisaoemZ ····················· 180

3. Niimeros racionais: construcao, operacao e rela~ de ordem 1814-. Valor absoluto (ou M6dulo) , 203

5. A funcao maior inteiro (sobre I I ! . ) 204-

6. Ndmeros racionais decimais 207

CAPITULO V - OS NUMEROS REAIS 215

1. Medida de urn segmento de reta: primeira abordagem , .. 215

2. Cortes em I I ! . 220

3. Os mimeros reais 224-

4 -. A representacao geometrica de IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

5. Sequencia de mimeros reais 24-7

6. Series infinitas de mimeros reais 255

7. Representacac decimal de urn mimero real . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 263

8. A teo ria da represen tacao decimal em I I ! . 268

RESPOSTAS A EXERCic lOS NUMERICOS E TESTES 284

B IBUOGRAFIA .- 294

fNDICE REMlSSIVO ." _ , 295

CJAPiTULOI

NUMEROS, SISTt;MAS DENUMt;RACAO:,

IN TRODUCAO H ISTORICA

1. Origens

Em algum momento da bist6ria a Ari tmet ica te rn infcio com 0homem

comecando a contar e, por conseqiiencia, a associar mimeros (ainda que im-

plicitamente) a colecoee de objetos.e seres que 0 rodeavam. Mas quando, onde

e mesmo de que maneir a, sao indagacdes para cuj a resposta nao ha como fugir

a bip6teses e conjecturas.

Na verdade e diffcil imaginar que alguma civil izacio de antepassadosnossos, mesmo a mais primi tiva, nao t ivesse ent re seus va lores cu ltu rais, mo

importa quia l imitados fossem estes , pelo menos 0 embriao da ideia de mime-

ro. Disce rnir entre ur.i e doi s, por exemplo, e a lga que mesmo culturas muito

atrasadas com certeza conseguiram atingir . Essa impressao, alias , e confuma-

da pela antropologia, arraves do estudo de culturas primitivas que remanesee-

ram ate nossa epoca. Como algumas tribos aborfgines da Austra li a capazes

apenas de contar ate dois, quantificando qualquer colecao com mais de urn

par de elementos simplesmente por "muitos".

Assim e que nossos antepassados, t alvez ha uns 30 000 anos, comecaram

a se preoeupar com 0regis tro quantitat ivo de entes e coisas l igados a sua vida

tribal: os familiares, cabecas de gado, dias que se passaram desde urn certo

evento, etc. E de que procedimento lancaram mao para levar a efeito esse re-

gistro? E bas tante provavel que iSBOosse fei to atraves da ideia de correspon-

dencia biunivoca. Ou seja , a cada e lemen to do conj unto a ser quanti ficado

associava-se uma marca ou a lgum elemento de outro conj unto (mais faci l de

te r j unto a si e de manipular), 0qual passava entiio a servir de referencia,

Por exemplo, os dedos das maos e, se necessa rio, os dos pes, poderiam

ser usados sem dificuldades para indic~ao de quantos membros tinha urna fa -

mflia. Mas caso se tratasse de urn clii ou de urn rebanho, a colecao de todos os

dedos de urn indivfduo poderia se r insuficiente. Para confe rir u rn rebanho,

nas suas idas e vindas do pastoreio, urn expediente bas tante provavel consist i-

ria em formar urn monte de pedrinhas, uma para cada cabeca de gado que

1



sa fa de manha; e no seu regresso , ao fim da tarde, uma pedrinha seria re tir ada

do monte para cada animal que voltasse. Mas e c laro que tambern urn monte

de pedras esUl muito longe do idea l para urn regi stro quanti ta tive.

Em 1937 Karl Absolom encontrou na Tchecoslovaquia uma tibia de

lobo de aprox irnadamen te 7 polegadas de comprimento, da tando de cerca de

30 000 anos, na qual estao gravados 55 cortes transversais, em grupos de 5,

sendo que os 25 primeiros se acham separados dos demais por urn par de cor-

tes maiores.

t c laro que nao seria improcedente con jec tu rar que cada urn dos cortescorresponde a algum objeto ou ser de urn conjunto, familiar ao hornem pre-

hi st6rico que os fez , vi sando a te r dele uma aval iaeao quant it at iva . A cada ele-

mente da colecao (de peles, parentes ou cabecas de gado, por exemplo) era

feito urn iinico corte sobre oosso. Essa e uma outra forma do usa da ideia de

eorrespondencia biunfvoca,

E como explica r a d ivi sao dos cortes em grupos de 5 e , depois, uma divi-

sio maior a fim de formar de 5 gI1 lpos de 5 cortes u rn g rupo maior? tazoavel

supor que por tras desse fato esteja tambem 0 embriao de ou tra das ideias fun-

damentais da Matematica, ou seja, a de base de urn sistema de nurneracao -

no caso base 5.

Assim, cada c inco un idades simples formavam uma unidade de ordem

imedia tamente superior e cinco destas ult imas fo rmavam uma unidade da or-dem seguinte, Se essa e ra a ideia usada, sem di iv ida estarfamos d ian te de urn.

exemplo de emprego da base 5. Mas e claro que apenas esse ach~o arqu~16-

g ico , apesar de sua importancia, nao permite nenhuma cond~sao defiDlt lVa:

A evolucao do conce ito de contagem e de mimero, a partu dessa fase, fo i

muito lenta e em etapas dif iceis de determinar. Por exemplo, 0que ter ia vindo

primeiro: 0 uso de sfmbolos graficos ou 0 uso de arran~os de sons par~ desig-

nar urn mirnero? A bipotese mais plausfvel , ate pelas dif iculdades subjaeentes

a cada urn desses avances, e a de que primei ro ter iam surg ido os simbolos. De

qualquer maneira pode ter ocorrido a prindpio que urn mesmo simbolo ou ~

mesmo arranjo de sons des ignasse indis tintamente, por exemplo, "dez carnei-

ros" e "dez cabras". 86 bem depois, talvez, e que foram surgindo simbolos

ou arran jos de sons di stintos para cada uma dessas situa.; :6es.

Em todo 0caso, a eulminancia desse processo, diga-se de passagem bas-

tante recente na hist6ria do homem, e ados mimeros como abstr acoes, em que

os simbolos e arr anj os de sons usados para indica-los passaro a ter urn signifi -

cado que independe de qualquer POSSIVe!associacao com particulares cole.;:oes

de obje tos ou seres, Hoje, por exernplo, a simples enunciaeao de "de_z" ja

desperta em quem a ouve ou Ie uma ideia quant ita tiva mui to clara que nao de-

pende de qualquer out ra referencia, . . . ,

As primeiras culturas a usar s imbolos especiais para designar numeros

local izaram-se jun to aos vales dos rios Nilo, Tigre e Eufrates, Indo e Yangtse

Kiang (China) e remontam a cerca de 6 000 anos.

2

2. Sistemas de nurneracao

Se dois conjun tos fini tes e nao vazios podem ser colocados em correspon-

rUncia.biUr_I.{voca, ou sej a, se a cada elemento do primeiro e possfvel associar, de

alguma maneira, urn iinico elemento do segundo, e vice-versa, entao ha entre

esses conjuntos, sob 0 aspecto quanti tat ivo, a lgo em comum. Diz-se que am-

bos tern 0mesmo numero de elementos ou a mesma cardinalidade. Os sfmbolos

usados para indicar as mimeros chamam-se numerais.

Com 0 desenvolvimento de uma sociedade vai-se tomando necessariocontar conjuntos carla vez mais numerosos, e fetuar ca lculos, 0 que ficaria

muito di ffci l sem uma sistematiaacao do processo de contagem e, para le la-

mente , do procecl imen to para escrever osm imeros. 0 expediente de que 0ho-

mem fez usa nesse sentido, desde tempos imernoriais , foi , como jei menciona-

mos de passagem, a escolha de uma base para formar grupos de elementos.

Esquematicamente, a ideia de base pode assim ser expl icada : u rn certo

mimero natural b > 1 € escolhido como base ; isso signifi ca que urn agrupa-

menta de b unidades simples (de primeira ordem) forma uma unidade de se-

gunda ordem, urn agrupamento de b unidades de segunda ordem forma uma

unidade de terceira ordem, e ass im por diante (no nosso s is tema, por exemplo,

dez unidades formam uma Jama, dez dezenas uma centena, dez centenas urn

mjihar. etc .); sao a tribufdos names e simbolos espec ia is para 1, 2, ... , b (ou0, 1,2, ... , b - 1,·se 0 zero e1:onhecido) e, a s vezes, para b2, b ', ... ; os names

e simbolos para os demais mimeros sao construfdos a par tir daqueles ja intro-

duzidos, mediante rtgras convenientes,

Po r que esta ou aquela base? Certamente i sso depende, de algum modo,

do conj unto tornado como refe renc ia em rela.; :ao ao qual todos os demais sao

avaliados , A prop6sito dos s is temas de base 10(como 0que usamos, por exern-

plo J Arist6teles observou que essa esco lha decorre do ac idente ana tornico de

te rmos dez dedos nas maos. E curioso observar que 0 vocabulo dfgito, hoje

usado para indica r qua lquer dos algar ismos de 0 a 9, e originario do termo la-

tino digitos, que significa dedo.

3. Alguns sistemas de nurneracao

o a) Os egipcios desenvolveram urn s istema de numeracao hieroglif ico de base

10hi cerca de 5000 anos. Esse sistema usava sfmbolos dife ren tes para os

mimeros 1, 10, 102, 10\ ...

1= 1000=1

10000 = ~

100 000 = c::::;/

(nor de l6tus)

(declo com a ponta curvada)

(girino)

lO=n

100= ~



A escri ta de urn mimero se baseava no princfp io da adicao dos valores dos

simbolos (principio aditivo). Por exemplo:

3 = IIIIII

26 = nn III

105 = ~III

II

b) Mais ou menos na mesma epoca em que os egfpc ios desenvolveram seu sis-tema de numeracao hieroglffico, surgia na Mesopotamia urn sistema com a

mesma estrutura que 0nosso atual - porem de base 60. Tal como 0que

usarnos ho je em dia, esse sist ema era posicional, ou seja, 0valor dos sfmbo-

los usados dependia de sua posiC;i iona escrita do nurnero, 0 que explicate-

mos em pouco.

Mas por que base 60? Nao hi uma resposta taxativa a essa pergunta mas,

provavelmente, essa escolha foi consequencia do fato de 60 unidades admi-

tirem varias subdivis6es: em rnetades, tercos, quartos, quintos , sextos, de-

c imos, doze avos, quinze avos, vigesimos e trigesimos. Isso era muito im-

portante numa r~giao onde a Maternatica estava for te mente l igada a ativi-

dades cornerciais.

Contudo 0 s istema de numeracao babil8nico (como costuma ser chamado)era incompleto na medida em qu; -uS;~; doi s sfmbolos apenas:

1 = T < = 10

Assim, ate 0mimero 59 era urn si stema ad itivo. Por exemplo:

21 = < < . . , .

Dai para a frente entrava a ideia de base 60 e 0 prindpio posicional. Por

exemplo:

T < I liT = 3 + 11 . 60 + 1 . 602 = 4 263

Ou seja, 0 simbolo'iT, por ocupar a primeira posic ;ao (da dire ita para a es-

querda) , valia efetivamente 3; 0< T , por ocupar a segunda posicao, val ia

11 . 60 = 660; 0y , por ocupar a terceira posicao, valia 1 . 602= 3 600.

o fato de nao haver urn sfmbolo para indicar 0 zero, alem de a escrita ba-

bil8nica ser fei ta em plaquetas de argila , nao raro tornava ambfgua a lei tu-

r a de u rn numeral . Por exemplo: IT .1 ,

tanto podia representar 02, como 61 ou 120, alem de out ros mimeros.

c) Os gregos antlgos usaram dois sistemas de numeracao. 0 mais recente, 0

jon ieo, era tambem urn sistema de base 10, aditivo, mas com algumas par-

t icular idades interessantes. Os simbolos do s is tema eram 27: as 241etras do

alfabeto grego e mais 31e tras em desuso. Os gregos tambem nao t raba lha-

yam com 0 zero. Os valores eram associados as letras da seguinte maneira:

1 = = a; 2 = /J ; 3 = = y; ... ; 8 = '1; 9 = e10 = t;20=JC;30=1.; ;80=1I;90==9

100 = Q; 200 = 0; 300 = T; ; 800 = co ; 900 = ' " f > . . .

Nesse quadro as letras em desuso eram 9 (koppa),})o..(sampi) e I; (vau) = 6.

Com esses sfmbolos e rnais 0 uso de urn acento , como explicaremos a se-

guir, era possfvel expressar qualquer ruimero inferior a 10 OOO.comquatro

let ras apenas (urna eventua lmente acentuada), 0 que nao deixa de se r uma

vantagem.

Por exemplo:

12 == I(3 ; 23 = xy; 382 = = m( 3

Para os nove primei ros mril tip los de 1000 uti li zavam as nove primeiras le -

tras da tabela anterior precedidas de urn acento, como no exemplo a seguir:

. .'8 = 9 000; '8011 == 9 213

,E quando se tratava de escrever os mimeros a partir de 10000 usavam 0

princfpio da multipl icacao, colocando sobre a letra maiiiscula M(mu) ou asua di rei ta os sfmbolos convenientes de 1 a 9 999. Por exemplo :

Y Q A

M = 30 000; M = 1 300000

Urn sistema como 0 jonico e chamado as vezes de sistema de nUr7IeTQfao ci -

frado.

d) 0 s istema de numeraeao romano (ainda com alguns usos hoj e em dia) etambem dec imal adi tivo. Os simbo los para 1, 10, 102 e 10

3sao, respectiva-

mente, I, X, C eM. Mas hi tambem simbolos especiais para 5 ==V ,

50 = L e 500 = D, 0 que torna mais breve a expressao de urn mimero. Por

exemplo, ao inves dejustapor sete vezes 0simbolo I para indicar 0 7 , basta

esc rever VII. Tambern por urna questao de brevidade 0 sistema incorpo-

rou, ao longo do tempo, urn prindpio subt rativo:

IV = 5 - 1; IX ~ 10 - 1; XC = 100 - 10; CM = 1 000 - 100

5



Assim, se urn romano da epoca de Cristo escrevia

1 989 = MDCCCCLXXXVIIII

Na expressao (a, a,_, . .. a, aO)bos sfrnbolos ~I' a" , a, representam

respectivamente as unidades de primeira, segunda, , (r - l)-esima

ordem. Na verdade 0 valor de a, e alb, 0 de a2 e a~bz, etc.

No caso da base 10(nosso sistema de nurneracao) omitern-se os parenteses

eo fndice, Os digitos, como se sabe, sao 0, 1, 2, ... , 9. Por exernplo:a pelos fins da idade media 0mais comum era

1 989 = MCMLXXXIX 17 9 = 9 + 7 . 10 + 1 . 1O~

e) 0uso da base 2 e comum hoje em cornputacao eletronica. Mas 0 que e

uma opr;ao tecnica dos nossos dias foi pratica espontanea de muitos povos.Algumas dezenas de tribos de indios norte-americanos, por exemplo, ado-

tavam a base 2.

Uma delas, do oeste americano do seculo passado, embora sem possuir

uma Iinguagem escrita, e embora discern indo os mimeros apenas ate 0

seis, contava da seguinte rnaneira: 1, "urapun"; 2, "okosa" j 3, "okosa-

urapun"; 4, "okosa-okosa" j 5, "okosa-okosa-urapun"; 6, "okosa-okosa-

okosa"; mais do que 6, "ras". 0mirnero 5, por exemplo, pode ser de-

compos to da seguinte maneira:

4. 0 nascimento da teoria dos nurneros

4.1 Antecedentes

No item anterior focalizamos 0 sistema de numeracao hieroglifico egfp-

cio eo sistema de nurneracao usado na Mesopotamia. E interessante observar

que tanto os egfpcios como os babildnios construfram, ao longo de sua histd-

ria , urn acervo marematico signi ficat ivo . Desenvolveram a aritmetica , a geo-

metr ia e a algebra, ate urn cer to ponto. Mas essa matematica, apesar de sufi-

ciente para embasar algumas realizacoes materiais importantes desses povos, eapesar de exibir alguns vislumbres teoricos, tinha limitacoes serias sob 0ponto

de vista cientffico.

De urn lado porque a matematica desses povos pouco passava de uma

colecao de conclus6es empfricas a que chegaram ao longo dos seculos, E sendo

quase urn recei tuario, nao se eogitava de concei tos te6ricos e mui to menos de

possfveis deducdes 16gicas. Outro ponte que obstava seriamente 0desenvolvi-

mento da matematica de egipcios e babilonios era sua quase tot~ ausencia de

abst racao. No caso de mimeros e operacoes nurnericas, se pensavam abstrata-

mente talvez nem se dessem conta disso, Mas em geometria, por exemplo,

para eles com certeza uma reta nao passava de uma corda esticada e urn reran-

gulo nada mais era do que uma cerca ou algo equivalenre. Em que pesem suas

rafzes empfricas e sua rmiltipla aplicabilidade, a Matematica e uma ciencia de-

dutiva e, portanto, s6 como tal pode se desenvolver plenamente.

Mas uma nova atitude em relacao a Matematica teria lugar na Grecia

Antiga, mais ou menos a partir do siculo VI a.C. Na verdade os gregos muda-

ram a relacao do homem com 0universo a medida que, embora sem .desprezar

to ta lmente a observacao e a experimentacao, passaram a adotar a razao como

o grande instrumento na busca da verdade. No que tange a Matematica, essa

postura se consubstanciou na grande enfase dada ao metodo dedut ivo a parti r

de axiomas enunciados a pr ior i . Outro ponto importante e que a primeira fase

da matematica grega, que vai rnais ou menos do seculo VI a.C. a morte de

Alexandre, 0Grande, em 323 a.C., se desenvolveujunto a eseolas filos6ficas,

1

0J 0•

okosa-okosa , urapun, ,unidades unidades unidades

de de de

3!l ordem 2!l ordern 1!l ordem

(uma) (nenhuma) (uma)

f) No capitulo II ( item 5) mostraremos que, uma vez escolhido urn mimero

natural b > 1, todo mimero natural a pode ser representado, de maneira

ilnica, do seguinte modo:

onde r ; ; a , 0 eO" a u , a" ... , a, < b. Em virtude desse fato, a correspon-

dencia que associa a cada mimero natural a a seqiiencia (a, a,_l ... a, aO)bebijetora, 0 que permite representar 0mimero atraves da sequencia.

Essa notacao, e os elementos te6ricos em que se baseia, caracterizam 0 que

se chama s is te ma d e nUmeJ'Qf t i o posicWnal. Para escrever qualquer rnimero sao

necessaries b sfmbolos, urn para 0 zero, outro para a unidade, outro para

duas unidades, ... , e urn para b - 1 u nidades. Esses sfmbolos sao chama-

dos dfgitos.

6



resultando daf algumas de suas diretr izes basicas como, por exemplo, a orga-

niaacao logica e 0 cararer abstrato de que se revestiu,

o primeiro matematieo grego de nomeada foi Tales de Mileto (sec.

VI a.C.), tambem ftI6sofo. Pouco se sabe sobre a vida e a obra de Tales mas

nao foi com ele ainda que a matematica grega atingiu 0carater abst ra to ~0 ri-

gor logico que vieram a caracteriza-la. Talvez tenha sido ele 0 primeiro indivf-

duo na hist6ria a forrnular algumas propriedades gerais sobre figuras geome-

t ricas. Por exemplo: "Os angulos da base de urn t riangulo isosceles sao iguais

entre si". Com forrnulacoes como essa, desvinculadas de exemplos concretos,comeca a nascer a geometria como ciencia.

por exemplo, a agua era 0princfpio fundamental de todas ascoisas. Os pitago-

ricos encontraram nos mimeros (para eles apenas os naturais noo nulos) e nas

r e 1 a r , : O e S nurnericas a chave para a explicacao do universo. Arist6teles (384-322

a.C.) afirma, em sua Metaf ts ica, que para os pitag6ricos os mlmeros eram a

componente ultima dos objetos reais e materiais. Fatos percebidos por eles, co-

rno as Iigac6es da Maternatica com a astronomia e a rmisica, por exemplo , de-

vem te-Ios levado a tal concepcao.

Mas deve-se levar em conta que para os primeiros pitagdricos os mime-

ros certamente nao erarn entes abstratos, como as concebemos hoje. Nessa

primeira fase com certeza os imaginavam concretamente, de alguma maneira

constitufdos de pontos materiais - 0 que explica, pelo menos em parte, a po-

sicao que ocupavam em sua filosofia .

Isso contudo deve ter mudado com 0 correr do tempo. SegundoProclus

(410-485 d.C.) em seu ComentJ.rio ao l ivro primeiro dos Elemmtos, de Euclides

_ muito provavelmente baseado numa "historia" da Maternatica de Eude-

mo de Rodes (sec. IV a.C.), uma obra que se perdeu de entjio para c a - , a

matemat ica pura foi uma criacao dos pi tagdricos; 0que e bern provavel,

\_~74.3 A ernmetice pitag6rica /:\

4.2 A esco/a pitag6rica

Pitagoras nasceu na i1ha de Sames por volta do ano 560 a.C, Quando

jovem visitou demoradamente 0 Egito, a india e a Mesopotamia, onde, a par

da Maternatica , certamente absorveu muito domistic ismo desses lugares.

Com cerca de 40 anos de idade fixou-se em Crotona, colonia grega si-

tuada ao sui da Italia, e hi fundou urn misto de escola e comunidade rel ig iosa

em que coexistiam 0cultivo da Filosofia, da Ciencia e da Matemarica, com a

devocao e 0asceti smo, em meio a uma vida comunitaria e mfstica . Os ensina-

mentos eram transmitidos oralmente e sob promessa de segredo (e possfvel

que nao houvesse essa exigencia com relacao a Matematica). Era norma da

escola atribuir todas as desoobertas realizadas por seus membros ao chefe -

daf nao se poder discernir hoje ent re as contribuicoes de Pi tagoras e as de seus

discipulos ou seguidores. De qualquer maneira nenhum documento original

restou sobre a maternatica pitag6rica que, apesar de toda a influencia que

exerceu, s6 e conhecida atraves de fontes indiretas, referencias ou informacOes

esparsas.

Com 0 tempo a ordem pitag6rica acabou se envolvendo na polftica local,

o que provocou a expulsao de seu lider da cidade de Orotona, Pitagoras en-

controu refugio em Metaponto, cidade grega situada no golfo de Tarento,

tambern na Italia, onde morreu no ano 497 a.C. Mas a escola oontinuou a

existir por pelo menos mais dois seculos e, dentre os sucessores d.~Pitagoras,

os mais preerninentes Coram Filo laus (450-365 a.C.) e Arquitas de Tarento

(428-347 a.C.) . Foi atraves de urn livre escrito por Filolaus que 88 doutrinas

pitag6ricas foram reveladas, quebrando 0 silencio e 0mister io de cerca de urn

seculo que havia em torno delas. Platao (428-328 a.C.), que inclusive foi ami-

go de Arquitas, teve acesso IIobra de Filolaus. Dessa forma, e tambem atraves

dos sofistas, a maternatica pitag6rica entrou em Arenas, onde exerceu grande

influencia.

A atitude de tentar explicar 0 universo racionalmente (0que nao signi -

fica necessariamente de maneira correta) cornecou com os gregos. Para Tales,

8

Nao resta di ivida que os pitag6ricos viam 0 papel dos mimeros no mun-

do de uma maneira muito especial. Oaf nao ser surpresa que a aritmetica te6-

rica tenha nascido entre des. Como a escola t ratava a rnatematica de maneira

muito filosofica e abstrata, desvinculada da s exigencias da vida prat ica, era

natural que separassem 0 estudo te6rico dos mimeros, que chamavam "arit-

metica'", dos calculos praticos, que denorninavam "Iogfstica", preocupando-

se essencialmente apenas com 0 primeiro desses aspectos. E curioso observar

que hoje em dia , ent re nos, a chamada aritmet icacorresponde mui tas vezes alogfstica dos gregos antigos. Mas 0termo aritmetica vern do grego e suas raf-

zes sao as seguintes: ari thmos, que significa mimero, e technes, que set raduz por

ciencia.

Aos pitag6rioos se deve a distincao entre mimeros pares e fmpares, Os

seguintes teoremas, entre outros, eram conhecidos por eles:

a) A soma de dois mimeros pares e par.

b) 0produto de dois mirneros impares e impar.

c) Quando urn mimero impar divide urn mimero par, tambem divide sua

metade.

Muita coisa da matematica pitag6rica foi reunida nos Ehmmws, de

Euclides (c. 300 a.C.), uma obra em treze livros, abarcando a Matematica

elernentar da epoca. Os livros VII, VIII e IX s a o exatamente sobre aritrnetica

te6rica , porem, como era praxe entre os gregos da epoca. 0enfoque e a lingua-

9



gem sao geometricos, Por exemplo, a definicao 5 do livro VII diz 0 seguinte:

"Urn mimero e parte de outro, 0 menor do maior , quando ele mede 0

maior ". Era assim que Euclides expressava que urn mimero era divisor de urn

outro (maior que de),

Oividiam tambem os mimeros em pn'mos e secunddn'os (compostos). A de-

finiCiio 11 do livro VII citado e a seguinte: ' 'Urn rnimero primo e aquele que e

mensuravel apenas pela unidade". Mensuravel a t, obviamente, s igni fica divi -

sfvel, Nessas condicoes 0proprio 1poderia ser considerado primo nilo Fosseele

exclufdo do rol dos mimeros (naturals , nao nulos), por ser 0 gerador de todos.

Mesmo 02 a s vezes ni io era considerado primo, por ser 0gerador dos pares.

Mas Arist6te les diz ia que 02 e "0t inico mimero par primo".

Outro concei to Que tambem aparece nos EUm en t o s e que provavelmente

remonta aos pitag6ricos e 0de nUmn:opnfnto: "Niimero perfei to e aquele que e

igual a soma de suas partes", Por exemplo, 6 e perfeito pois 6 = 1 + 2 + 3.

Note-se que eles interpretavam "parte" de urn mlmero como urn div isor p r o -

p r i o do rnimern, isto e, urn divisor diferente do proprio mimero, 0 rnimero 28

tambem e per feito ja que 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, No capitulo I I (item 9.2)

voltaremos ao assunto com mais detalhes.

Tambem se atribui aos pitag6ricos a descoberta dos numeros amigt iv ti s .

Dais mimeros se dizem amigaveia se cada urn deles e a soma dos divisores pro-

prios do outro, como ocorre com 220 e 28t, pois:

soma des divisores prdprios de 220 "" 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 ++ 44 + 55 + 110 = 284

Se indicarrnos por T, 0 enesimo mirnero triangular, vale a formula:

1T', "" I + 2 + ... + n = = 2" n(n + 1)

Os mimeros que resultam de dispor pedrinhas num plano de modo a for-

mar quadrados, conforme f igura a seguir, chamam-se n um e r os q u od r ad o s:

4

• ••• ••• ••

9

• •••• •••• •••• •••

••• •

1 16

Muitos resultados interessantes sobre mimeros figurados podem ser obtidos de

maneira puramente geornetrica e informal. Indicando por Qn 0 enesimo mi-

rnero quadrangular e dividindo seus pontos como na figura

observa-se que

e 1 1 1) 2Q n "" Tn_ l + T, = 2" (n - l)n + 2" n(n + 1) "" "2 n(2n "" n

soma des divisores proprios de 284 "" 1 + 2 + 4 + 71 + 14 2 = 22 0

4.4 Os nomeros figurados

Para passar de urn mimero quadrangular a outro os pitag6ricos prace

diam segundo 0 esquema

Na epoca de Pitagoras ainda se contava atraves do uso de pedrinhas ou

de marcas de pontes na areia, Por outro lado eram os pi tag6ricos observadores

atentos de formas geometricas, Oaf porque, ta lvez, t iveram sua atencao cha-

marla para os numerosf igurados. Estes, como diz 0proprio nome, resultam de

arranjos com pontos ou pedrinhas de maneira a formar figuras geometricas.

ASIIim, as mimeros 1, 3, 6, 10, .. . sao chamados triangulares porque cor-

respondem a distr ibuil ,[ io de pedrinhas num plano na forma de triangulos, do

seguinte modo:

••••••••••• ••••• ••••

• ••••de onde sai

au seja

•• • •• • • • • •• • • • • • • • • •1 3 6 10

10

n2 + (2n + 1) "" (n + 1)2

uma identidade elementar bastante conhecida.

11



.0 conjunto de pontos a direita e abaixo do iingulo reto tracado na fi raanterior era chamado gnomon. gu

. Outra propried~e interessante ligada aos rnimeros quadrados ode serobtida da figura a seguir: p

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) =n2

N u m e ro s p e n ta g o na l 's :

1,5,12,22, ... ,Pn, •••

N u m er os h e xa g on a u:

1,6,15,28, ... ,Hn, •••

sem Nessa maneira de representar as mirneros figurados, as gn8mons sao

n pre, :m c~ etapa, as pontes que ficam na poligonal, que fecham a figura

t a parte . inferior. Ademais, cada segmento dessa l inha pal igonal tern urn pon-

n::: mats que 0 c?rn::spondente da poligonal anterior. Como no caso dos

eros hexag~>naJ.ssao quat ro os segrnentos de cada gnBmon, entao a dife-renca entre 0numero d t d doi .0.

. e .pon os e OlS gnomons consecutivos e 4. Para as rni-meros eneagonais essa dlferent;a e n - 2.

12

Assim, no caso dos mimeros hexagonais , os sucessivos gnomons tern

1+ 4 = 5, 5 + 4 = 9, 9 + 4 = 13, ... , 4n + 1,

pontos. Logo:

H, = 1 + 5 + 9 + ... + [4(n - 1) + 1) "" (1 + 4n - 3) . n = 2n2 - n2

4.5 Os ternos pi tag6ricos

Hoje em dia sao conhecidas algumas centenas de demonstraeoes do cha-

mado teorema de Pitagoras, segundoo qual 0 quadrado da hipotenusa de urn

triangulo retAngulo e igual a soma dos quadrados dos catetos. Embora ja co-

nhecido antes de Pitagoras, e bern pcssfvel contudo que se deva a ele, ou a suaescola, a primeira demonstracao dessa relacso fundamental da geometria me-

trica.

Mas, oonsiderando 0 grau de preocupacao dos pitag6rioos no sentido de

ligar os ndmeros (naturais) a s coisas, especialmente a geometria, era natural

esperar que procurassem determinar todos os t riangulos retangulos de lados

inteiros. Este problema consiste em resolver no conjunto dos ternos ordenados

de mkneros naturais nao nuIos a equacao x2 + y2 :: :: Z2. Urn terno (a, b, c) de

mimeros naturais nio nulos tal quea" + b2 :::: c2 chama-se t emo pi la t!6r ico.

Com isso a esoola pitag6rica inaugurou 0 estudo de problemas indeter-

minados envolvendo numerus naturais, algo que seria retomado posterior-

mente, com grande ffiJego, por Diofanto de Alexandria (sec. III, d.C.). Em-

bora a solu'Wiogeral para essa questao 56viesse a aparecer nos Elemmtos, os pi-

tag6ricos deram sua contribuicao ao assunto.

Talvez observando que 0 gnBmon que fecha 0 mimero n2 tern 2n + 1

pontos e que este mimero corresponde a dois lados de urn quadrado

• •••• •••• •••• •••

as pitag6ricos devem ter experimentado fazer 2n + 1 ::::rn2. Daf segue que

n=

e portanto:

Documents

Hygino Domingues-Fundamentos de Aritmetica[001-013]