Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Numeri complessi
Hynek Kovarik
Universita di Brescia
Analisi Matematica 1
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 1 / 33
Introduzione
L’introduzione dei numeri complessi e legata alla formula risolutiva
x1,2 =−b ±
√b2 − 4ac
2a(1)
per l’equazione quadratica
ax2 + bx + c = 0, a 6= 0.
Infatti, la formula (1) perde significato quando b2 − 4ac < 0, radicequadrata di un numero strettamente negativo!
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 2 / 33
Definizione
1 Chiamiamo unita immaginaria i il numero (complesso) tale che
i2 + 1 = 0.
2 Chiamiamo numero complesso z un oggetto che si scrive nella forma
z = x + iy , con a, b ∈ R.
I Il numero reale a e detto parte reale di z . Scriviamo
x = Re(z).
I Il numero reale b e detto parte immaginaria di z ; si scrive
y = Im(z).
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 3 / 33
Forma algebrica di un numero complesso
1 L’espressione z = x + iy e detta forma algebrica del numerocomplesso z . Si scrive anche z = Re z + i Im z .
2 Denotiamo con C l’insieme di numeri complessi:
C = {x + iy : x ∈ R, y ∈ R} .
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 4 / 33
Osservazioni1
Un numero z = x + iy ∈ C e reale se e solo se
Im z = 0.
2 Dati z1 = Re z1 + i Im z1 e z2 = Re z2 + i Im z2,
z1 = z2 ⇔ {Re z1 = Re z2
Im z1 = Im z2.
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 5 / 33
Identificazione fra C e R2
Ogni numero complesso z = x + iy si puo identificare con la coppia(x , y) ∈ R2: scriviamo
C ∼= R2.
Infatti:
1 C si rappresenta nel piano di Gauss: a ogni complesso z = x + iy siassocia il punto P = (x , y)
2 viceversa, a ogni P di coordinate cartesiane x ∈ R e y ∈ R, si associail numero complesso z = x + iy .
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 6 / 33
Operazioni sui numeri complessi
- somma:(x + iy) + (c + id) := (x + c) + i(y + d)
- prodotto:
(x + iy) · (c + id) := (xc − yd) + i(xd + yc).
Infatti,
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 7 / 33
- ogni z ∈ C \ {0} ha inverso rispetto al prodotto dato da
z−1 =x
x2 + y2− i
y
x2 + y2.
- le operazioni somma e prodotto godono della proprieta commutativa,associativa e vale la proprieta distributiva.
i
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 8 / 33
L’operazione di coniugio
Sia z = x + iy ∈ C. Il complesso coniugato di z e il numero complesso
z = x − i y = Re z − i Im z .
Geometricamente: e la simmetria rispetto all’asse reale.
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 9 / 33
Proprieta del coniugio
z + z = 2Re z
z − z = 2i Im z
(z1 + z2) = z1 + z2,
(z1 · z2) = z1 · z2,
z · z = (x + i y)(x − i y) = (Re z)2 + (Im z)2 ≥ 0,
z = z
z = z ⇔ z ∈ R.
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 10 / 33
Modulo
Dato un numero complesso z = x + i y , il suo modulo e il numero reale
|z | =√z · z =
√x2 + y2.
Osservazione: se z ∈ R, allora |z | coincide con il suo modulo=valoreassoluto.
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 11 / 33
Coordinate polari e forma trigonometrica di un numerocomplesso
• Il punto z ∼= P ∈ R2 puo essere rappresentato in coordinate polari
z = (ρ, θ)
con
ρ : distanza di z dall’origine O: ρ =√
x2 + y2 = |z |;
θ e l’angolo (in radianti,verso antiorario), compreso fra l’asse delle x ela retta congiungente O con z : e detto argomento di z ,
θ = argz .
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 12 / 33
Coordinate polari e forma trigonometrica di un numerocomplesso
Si hax = ρ cos θ, y = ρ sin θ.
Si passa dalla forma algebrica z = x + i y alla sua forma trigonometrica
z = ρ(cos θ + i sin θ)
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 13 / 33
• Date le coordinate (ρ, θ), il numero z = x + i y risulta univocamentedeterminato dalle formule
x = ρ cos θ, y = ρ sin θ.
• Viceversa, dato z = x + i y , determino (ρ, θ):
- ρ =√x2 + y2 = |z |;
- θ e angolo che verifica
cos θ =x√
x2 + y2=
x
ρ, sin θ =
y√x2 + y2
=y
ρ.
Queste relazioni NON determinano UNIVOCAMENTE angolo θ (lefunzioni cos, sin sono periodiche di periodo 2π, quindi: se θ le verifica,anche θ + 2kπ, k ∈ Z, le verifica).
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 14 / 33
Formule di De Moivre
Dati
z1 = ρ1(cos θ1 + i sin θ1), z2 = ρ2(cos θ2 + i sin θ2) ∈ C
Si haz1 · z2 = ρ1ρ2 [cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)]
Infatti,
z1 · z2 = ρ1ρ2
[cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2
+ i (sin θ1 cos θ2 + cos θ1 sin θ2)]
= . . .
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 15 / 33
• Possiamo generalizzare formula per il prodotto a n fattori
z1 · z2 · . . . · zn= ρ1ρ2 . . . ρn
(cos(θ1 + θ2 + . . .+ θn) + i sin(θ1 + θ2 + . . .+ θn)
).
• In particolare, se tutti i fattori sono uguali:
zn = ρn [cos(nθ) + i sin(nθ)] .
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 16 / 33
Esempio
Scriviamo in forma algebrica (1 + i )7. Si ha
|1 + i | =√
2, arg(1 + i ) =π
4.
Pertanto
(1 + i )7 = (√
2)7
(cos
7
4π + i sin
7
4π
)= 8− 8i .
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 17 / 33
Esponenziale complesso
Problema
Definireez ∈ C, z ∈ C
in modo coerente con le proprieta delle potenze.
Definizione
ez = eRe z [cos(Im z) + i sin(Im z)] ∀ z ∈ C.
Quindi, se z = x + i y , allora
ez = ex(cos y + i sin y).
In questo modo e definita la funzione
exp : C→ C.
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 18 / 33
Esempi
e(3−i ) = e3 [cos(−1) + i sin(−1)] = e3(cos 1− i sin 1),
e2iπ = e0 [cos(2π) + i sin(2π)] = 1,
e iπ = e0(cos(π) + i sin(π)) = −1,
quindi
e iπ + 1 = 0
Formula di Eulero
Per ogni θ ∈ R vale
e i θ = cos θ + i sin θ
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 19 / 33
• Proprieta dell’esponenziale complesso:
ez 6= 0 ∀z ∈ C
ez1 · ez2 = ez1+z2 ∀z1, z2 ∈ C,
eze−z = 1 ∀ z ∈ C,
|ez | = eRe z ∀ z ∈ C,
e i θ = e−i θ ∀ θ ∈ R,
|e i θ| =√
cos2 θ + sin2 θ = 1 ∀ θ ∈ R
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 20 / 33
Forma esponenziale di un numero complesso
Dalla forma trigonometrica di z ∈ C:
z = ρ(cos θ + i sin θ)
e dalla formulae i θ = cos θ + i sin θ
seguez = ρe i θ forma esponenziale di z ∈ C.
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 21 / 33
La forma esponenziale e “molto comoda” per i conti, per es., sez1 = ρ1e
i θ1 e z2 = ρ2ei θ2 , allora
z1z2 = ρ1ρ2ei (θ1+θ2),
z1
z2=ρ1
ρ2e i (θ1−θ2)
(z1)n = ρn1ei nθ1 .
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 22 / 33
Esercizio:
calcolare(1 + i )6.
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 23 / 33
Radice n-esima di un numero complesso
Dato z ∈ C, chiamiamo radice n-esima (complessa) di z ogni numerow ∈ C verificante
wn = z .
Osservazione: Dato z = ρe i θ, al variare di k = 0, . . . , n − 1 ,gli n numeri complessi w0, w1, . . . , wn−1
wk = re iφk , r = n√ρ, φk =
θ + 2kπ
n
sono radici n-esime di z .
Infattiwnk =
[n√ρ e i (θ+2kπ)/n
]n= ρe i (θ+2kπ) = ρe i θ = z .
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 24 / 33
Teorema
Ogni numero complesso z ∈ C, z 6= 0, ha esattamente n radici n-esimedistinte w0, w1,. . ., wn−1.Rappresentazione grafica delle radici n-esime: Le n radici
wk = re iφk , r = n√ρ, φk =
θ + 2kπ
n
sono i vertici di un poligono regolare di n lati, inscritto nel cerchio dicentro 0 e raggio r .
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 25 / 33
Esercizio 1
Determiniamo le tre radici cubiche di −1.
Si haw3 = −1 ⇒ w3 = 1 e iπ.
Quindi
wk =3√
1 e iφk , φk =π + 2kπ
3, k = 0, 1, 2,
e
w0 =1
2(1 + i
√3), w1 = −1, w2 =
1
2(1− i
√3).
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 26 / 33
Esercizio 2
Determiniamo le sei radici seste di i .
Si haw6 = i ⇒ w6 = e i
π2 .
Quindi
wk =6√
1 e iφk , φk =π2 + 2kπ
6=
π
12+ k
π
3,
con k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 27 / 33
Polinomi in campo complesso
Chiamiamo polinomio in una variabile complessa la funzioneP : C 7→ C
P(z) = anzn + an−1z
n−1 + · · ·+ a1z + a0 ∀ z ∈ C, (2)
con a0, a1, . . . , an numeri complessi assegnati, detti coefficienti delpolinomio.
Se an 6= 0, si dice che il polinomio e di grado n.
Si chiama radice di P ogni numero complesso w tale che P(w) = 0.
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 28 / 33
Principio di identita dei polinomi
Siano P e Q due polinomi: essi sono uguali se e solo se sono uguali icoefficienti delle potenze omologhe dei due.
Fattorizzazione di polinomi
Sia w una radice del polinomio P, di grado n. Allora esiste un unicopolinomio Q di grado n − 1 tale che
P(z) = (z − w)Q(z), ∀z ∈ C.
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 29 / 33
Teorema
Sia P un polinomio in C di grado n. Allora P ha esattamente n radiciw1,w2, · · · ,wn e si puo fattorizzare come prodotto
P(z) = an(z − w1)(z − w2) . . . (z − wn).
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 30 / 33
Molteplicita
Le radici possono non essere tutte distinte.Chiamiamo molteplicita di una radice wj (e la denotiamo con mj) ilnumero di radici uguali a wj .Quindi, se w1,w2, . . . ,wk sono le radici distinte di P di grado n, si ha
m1 + · · ·+ mk = n = grado(P).
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 31 / 33
Esempi
1 Consideriamoz2 + 1
Le sue radici: z1 = i , z2 = −i .
2
z5 + z3 = z3(z2 + 1) = z · z · z(z − i )(z + i ).
Radici: z1 = z2 = z3 = 0, z4 = i , z5 = −i . La radice 0 hamolteplicita 3.
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 32 / 33
Proposizione
Sia P un polinomio a coefficienti reali:
1 Se w e una radice (non reale), anche w e una radice, con la stessamolteplicita.
2 In particolare, se il grado del polinomio e dispari, vi e almeno unaradice reale.
Dimostrazione: Punto (1): Se il polinomio P ha coefficienti reali, siverifica facilmente che P(z) = P(z), per ogni z ∈ C. Se w e una radice,allora 0 = P(w) = P(w) = P(w), dunque anche w e una radice.
Punto (2): poiche le radici non reali devono viaggiare in coppia, e il totaledelle radici (contate con la loro molteplicita) deve dare il grado delpolinomio, se vi sono solo radici non reali, allora il grado e pari.
Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 33 / 33