CARÁTULA DE TRABAJO

CÁLCULO DE ÁREA Y ÁNGULOS INTERNOS DE UN TERRENO IRREGULAR Título del trabajo

HYPATIA Pseudónimo de integrantes

MATEMÁTICAS ÁREA

LOCAL CATEGORÍA

INVESTIGACIÓN

EXPERIMENTAL MODALIDAD

4206245 Folio de Inscripción

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2. CÁLCULO DE ÁREA Y ÁNGULOS DE UN TERRENO IRREGULAR

3. RESUMEN

Planteamos el problema sobre cómo medir el área de un terreno irregular y

calcular sus ángulos internos.

El profesor nos explicó y nos enseñó cómo medir, auxiliándonos con los

materiales que nos pidió (cinta de medir que hicimos, balizas, nivel, etc.).

Cada medida tiene que ser horizontal utilizando el nivel y alineada sobre cada lado

del terreno apoyándonos con las balizas.

Delimitamos un terreno clavando las estacas para cada vértice y formando el

perímetro con el hilo cáñamo. Nos fuimos a un jardín de la escuela.

Hicimos un croquis en nuestro cuaderno del terreno y lo dividimos en triángulos y

anotamos las medidas de cada lado.

Calculamos el área de cada triángulo con la fórmula de Herón de Alejandría.

Procedimos a calcular los ángulos internos de cada triángulo con la ley de

cosenos y con ellos fuimos calculando los ángulos internos de nuestro terreno.

Los resultados quedaron asentados en el cuadro de datos.

Por último, trazamos nuestro terreno con la información del croquis, utilizando

regla y compás, y basándonos en la orientación de un lado que hicimos con la

brújula con asesoría del profesor.

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4. INTRODUCCIÓN.

4.1 Marco teórico.

o Para medir nos basamos en el principio de la horizontalidad y la alineación.

o Utilizamos la fórmula de Herón de Alejandría que nos ayuda a calcular el

área de un triángulo utilizando sólo su perímetro.

s = 𝑎+𝑏+𝑐

2

A = √𝑠 (𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)

o Para el cálculo de los ángulos internos utilizamos la Ley de los cosenos:

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

b2 = a2 + c2 – 2ac cos B

c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

o El terreno lo orientamos utilizando una brújula y en un solo lado (lado base).

o El plano del terreno lo trazamos con regla y compás basándonos en la

orientación anterior.

4.2 Objetivo de investigación.

Calcular las medidas que definen un terreno: área, ángulos internos, perímetro y

orientación magnética.

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4.3 Problema.

¿Cómo calcular el área y ángulos internos de un terreno con forma de polígono

irregular?

5. DESARROLLO

Para nuestro proyecto de matemáticas, el profesor nos explicó lo siguiente:

mediremos un terreno,

prepararán y traerán el material que les pediré,

después de que su equipo haya medido su parte, el trabajo que tendrán

que elaborar será calcular el área del terreno en total con las medidas que

haya obtenido el equipo registradas en el croquis del terreno.

Pero antes de empezar todo, tienen que comprender qué es exactamente lo que

harán.

1. ¿Qué es medir?

Medir es una acción que consiste en comparar 2 cantidades y una sirve de

patrón de medida.

2. Existen diferentes formas de medir, podemos medir longitud en metros (m),

tiempo en segundos (s), temperatura en grados Kelvin (°K), cantidad de

sustancia en moles (mol), luminosidad con la candela (cd), resistencia

eléctrica en OMHS (Ω) y masa en kilogramos (Kg).

3. Podemos comprenderlo más sabiendo algo sobre la TOPOGRAFÍA. Topos

> lugar, graphos > medidas. La topografía es una rama de la ingeniería que

se dedica a describir por medio de medidas una zona o área terrestre. La

topografía se mide en dos partes: planimetría y altimetría.

4. Horizontalidad → cualquier medida de una parte o zona siempre tendrá una

proyección horizontal.

Alineación → todas las medidas tienen que estar alineadas sobre una recta.

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MATERIAL.

6 palos de escoba y/o madera (mínimo 2)

1 listón 5.40m de largo y 3.5cm de ancho

1 madeja de hilo cáñamo blanco

40 – 12 clavos de 1”

1 marro o martillo

1 bolsa de lona, mochila vieja

1 nivel

Brújula Brunton

ACTIVIDADES PREVIAS.

1. Tomar el listón y dividirlo en cm y m, dejar 20cm al principio y de ahí marcar

los 5m, al final dejar otros 20cm. (Será nuestra cinta de medir)

2. Pintar de rojo y blanco cada 10cm cuatro palos de escoba. (Serán nuestras

balizas)

3. Cortar los palos que quedan en pedazos de 10cm para hacer estacas.

PRÁCTICA DE MEDICIÓN.

Antes de medir el terreno, el maestro nos mostró cómo íbamos a utilizar las

balizas (los 4 palos) y el listón.

Salimos e hicimos una pequeña práctica que consistía en:

Un compañero que sostuviera una de las balizas en un punto, otro compañero

pondría el “cero” del listón y otro compañero estiraría el resto del listón hacia otro

punto donde otro compañero sostendría otra baliza. Aprendimos cómo medir

distancias en un terreno en declive.

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EN EL CAMPO.

Lo aprendido esa vez lo utilizamos para la medición del terreno para el proyecto

desarrollado de las siguientes formas:

Elevamos las estacas en los que serían nuestros vértices del terreno. Amarramos

el hilo entre las estacas para unir los puntos y nuestro procedimiento de medición

ya aprendido lo aplicamos para calcular la longitud de lado a lado y de diagonales

para formar triángulos en nuestro croquis que dibujamos.

Por último, orientamos utilizando la brújula, y con ayuda del profesor, un lado del

terreno (lado base), para poder trazar el plano posteriormente. La medida fue:

Lado ED, orientación (rumbo) N 60° E

Se obtuvo lo siguiente:

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CÁLCULO DEL ÁREA DE CADA TRIÁNGULO DEL TERRENO

Fórmula de Herón de Alejandría:

s = 𝑎+𝑏+𝑐

2

A = √𝑠 (𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)

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Triángulo EAF

Fórmula:

s = 𝑒+𝑎+𝑓

2

e = 12.02 a = 10.83 f = 9.22

s = 12.02+10.83+9.22

2 s =

30.07

2

s = 16.035//

A = √16.035(16.035 − 12.02)(16.035 − 10.83)(16.035 − 9.22)

A = √16.035(4.015)(5.205)(6.815)

A = √2283.71081

A4 = 47.78818693m2

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Triángulo EBA

Fórmula:

s = 𝑒+𝑏+𝑎

2

e = 13.07 b = 6.32 a = 12.02

s = 13.07+6.32+12.02

2 s =

31.41

2

s = 15.705//

A = √15.705(15.705 − 13.07)(15.705 − 6.32)(15.705 − 12.02)

A = √15.705(2.635)(9.385)(3.685)

A = √1431.16705

A3 = 37.83076856m2

10

Triángulo ECB

Fórmula:

s = 𝑒+𝑐+𝑏

2

e = 11.16 c = 6.33 b = 13.07

s = 11.16+6.33+13.07

2 s =

30.56

2

s = 1528//

A = √15.28(15.28 − 11.16)(15.28 − 6.33)(15.28 − 13.07

A = √15.28(4.12)(8.95)(2.21)

A = √1245.19073

A4 = 35.28726017m2

11

Triángulo EDC

Fórmula:

s = 𝑒+𝑑+𝑐

2

e = 8.98 d = 8.76 c = 11.16

s = 8.98+876+11.16

2 s =

28.9

2

s = 14.45//

A = √14.45(14.45 − 8.98)(14.45 − 8.76)(14.45 − 11.16)

A = √14.45(5.47)(5.69)(3.29)

A = √1479.66478415

A1 = 38.46641112m2

Entonces el area total del terreno será la suma de todos:

AT = 38.46641112+35.28726017+37.83076856+47.78818693=

AT = 159.3726268m2

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CÁLCULO DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DE CADA TRIÁNGULO

* Triángulo: EDC

Cos A = 𝑏2+ 𝑐2− 𝑎2

2𝑏𝑐 a = 8.98 a2 = 80.6404

b = 8.76 b2 = 76.7376

c = 11.16 c2 = 124.5456

Cos A = 76.7376+124.5456−80.6404

2 (8.76)(11.16)

Cos A = 120.6428

195.5232 A = 51.90°

Cos B = 𝑎2+ 𝑐2− 𝑏2

2𝑎𝑐 a = 8.98 a2 = 80.6404

b = 8.76 b2 = 76.7376

c = 11.16 c2 = 124.5456

Cos B = 80.6404+124.5456−76.7376

2 (8.98)(11.16)

Cos B = 128.4484

200.4336 B = 50.14°

Cos C = 𝑎2+ 𝑏2− 𝑐2

2𝑎𝑏 a = 8.98 a2 = 80.6404

b = 8.76 b2 = 76.7376

c = 11.16 c2 = 124.5456

Cos C = 80.6404+76.7376−124.5456

2 (8.98)(8.76)

Cos C = 32.8324

157.3296 C = 77.95°

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* Triángulo: ECB

Cos A = 𝑏2+ 𝑐2− 𝑎2

2𝑏𝑐 a = 11.16 a2 = 124.5456

b = 6.33 b2 = 40.0689

c = 13.07 c2 = 170.8249

Cos A = 40.0689+170.8249−124.5456

2 (6.33)(13.07)

Cos A = 86.3482

165.4662 A = 58.54°

Cos B = 𝑎2+ 𝑐2− 𝑏2

2𝑎𝑐 a = 11.16 a2 = 124.5456

b = 6.33 b2 = 40.0689

c = 13.07 c2 = 170.8249

Cos B = 124.5456+170.8249−40.0689

2 (11.16)(13.07)

Cos B = 255.3016

2291.7224 B = 28.93°

Cos C = 𝑎2+ 𝑏2− 𝑐2

2𝑎𝑏 a = 11.16 a2 = 124.5456

b = 6.33 b2 = 40.0689

c = 13.07 c2 = 170.8249

Cos C = 124.5456+40.0689−170.8249

2 (11.16)(6.33)

Cos C = −6.2104

141.2856 C = 92.51°

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* Triángulo: EBA

Cos A = 𝑏2+ 𝑐2− 𝑎2

2𝑏𝑐 a = 13.07 a2 = 170.8249

b = 6.32 b2 = 39.9424

c = 12.02 c2 = 144.4804

Cos A = 39.9424+144.4804−170.8249

2 (6.32)(12.02)

Cos A = 13.5979

151.9328 A = 84.86°

Cos B = 𝑎2+ 𝑐2− 𝑏2

2𝑎𝑐 a = 13.07 a2 = 170.8249

b = 6.32 b2 = 39.9424

c = 12.02 c2 = 144.4804

Cos B = 170.8249+144.4804−39.9424

2 (13.07)(12.02)

Cos B = 275.3629

314.2028 B = 28.79°

Cos C = 𝑎2+ 𝑏2− 𝑐2

2𝑎𝑏 a = 13.07 a2 = 170.8249

b = 6.32 b2 = 39.9424

c = 12.02 c2 = 144.4804

Cos C = 170.8249+39.9424−144.4804

2 (13.07)(6.32)

Cos C = 66.2869

165.2048 C = 66.34°

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* Triángulo: EAF

Cos A = 𝑏2+ 𝑐2− 𝑎2

2𝑏𝑐 a = 12.02 a2 = 144.4804

b = 10.83 b2 = 117.2889

c = 9.22 c2 = 85.0084

Cos A = 117.2889+85.0084−144.4804

2 (10.83)(9.22)

Cos A = 57.8169

199.7052 A = 73.17°

Cos B = 𝑎2+ 𝑐2− 𝑏2

2𝑎𝑐 a = 12.02 a2 = 144.4804

b = 10.83 b2 = 117.2889

c = 9.22 c2 = 85.0084

Cos B = 144.4804+85.0084−177.2889

2 (12.02)(9.22)

Cos B = 112.1999

221.6488 B = 59.58°

Cos C = 𝑎2+ 𝑏2− 𝑐2

2𝑎𝑏 a = 12.02 a2 = 144.4804

b = 10.83 b2 = 117.2889

c = 9.22 c2 = 85.0084

Cos C = 144.4804+117.2889−85.0084

2 (12.02)(10.83)

Cos C = 176.7609

260.3532 C = 47.24°

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6. RESULTADO.

6.1 PLANO

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6.2 CUADRO DE DATOS.

Vértice Lado Distancia Ángulo

A AB 6.32cm 144.44°

B BC 6.33cm 158.85°

C CD 8.76cm 136.49°

D DE 8.98cm 51.90°

E EF 9.22cm 155.6°

F FA 10.83cm 73.17°

Total 719.91°

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7. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS.

El área total es la suma de las áreas de todos los triángulos.

Con la fórmula de Herón de Alejandría no es necesario utilizar la altura de

los triángulos.

Los polígonos tienen algunas características que los definen, en este caso,

nuestro terreno es un polígono de 6 lados (hexágono) y en este polígono la

suma de sus ángulos internos debe de ser de 720°, dato que al compararlo

con el que calculamos que nos dio 719.91°, tiene una diferencia de 9

centésimas.

8. CONCLUSIONES.

a) Cuando el terreno que se va a medir es un polígono como en nuestro caso,

siempre conviene dividirlo en triángulos.

b) Se pueden facilitar los cálculos diseñando un programa para hacerlo en

computadora, o utilizar algún paquete. Los aparatos modernos de

topografía ya tienen dichos programas integrados.

c) Cuando el terreno es inclinado, como nos tocó en algunas partes, a las

personas se les hace difícil entender que la medida tiene que ser horizontal.

d) Nos divertimos mucho.

9. FUENTES DE INFORMACIÓN.

Guzmán Herrera, Abelardo, Geometría y Trigonometría, México, Publicaciones

Cultural, 2002, pp. 76-141.