25

Hyperbolic Equations : Scalar One-Dimensional Conservation Laws

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Hyperbolic Equations : Scalar One-Dimensional Conservation Laws

����������� ��������������������� �"!$#%�&�'�(�)�+*,�-�/.01��23�4� �5�������'�6 ��� �����87����������:9;�=<>�

9?���@�A� �B�3C C

Page 2: Hyperbolic Equations : Scalar One-Dimensional Conservation Laws

D E�F&G HIG�JLK�M�N-O�P�J/Q�GSR@T�MUNWVXG&Y+OZ@[\Z ]_^`)acbedfb\g=achi8jki8jki lUm8n�o(prq(sutuvxwys8p{z5m|q~} �8�r���5�;��S�I���I�������y�������\�x�)���

�8��8��� �� � � ��8  ¡_¢� �  �£\� �¤�f¥§¦¤¨ª©���«u�u¬­�u�~®&�-¯����|¦\�x�ª°±�x²�³r«����r¨ª¥´¨eµ�k�¶��¦�¦I·f�¸���¸�x�±¨�«u�-·u©u�(�~¨x·5¹I¹�¹��� � � ���u¥§¦�¨ª©��)º�«f»

i8jki8j§¼ ½)q~wk}¾wyvxwks|p¿z�m�q~} �8�r���5�ÁÀÂ����-���§¦ª��Ã8��®&��¥Ä¨ª¨ª�I�Á¹I¹x¹

�8��8� � ��� � � ��8  ¡ �8��|� �1Å �Å ��8��8  ¡_¢

�8��8� �;Æ � � � �8��8  ¡_¢®&©u�x�ª� Æ � � � ¡ÇÅ �Å �

¹È �

ÉÁÊË�Ì�Í ÎÏʭбÌ�ÑÒÌ�ÓÔÌ�Ð~ÕfÖ�×ØÊ­ÓAÙ�Ì~ЭÚ�Õ˪ÛÜÊfÓÞÝ4Õ|ßSÙà �%¦ª���¸����áuá��´¥§¯I��¨ª¥â����¦x·�¨�©u�&º�«f»¸�y«u�|¯�¨ª¥â��� � �¶�ãµU²u�Iá8�I��²¶�I»fáu�´¥§¯�¥´¨ª�âµ-�y�u��¨Ô¨ª©u����«�ä�© � ����  5å ¥æ¹ ��¹ � � ��£ª  ��¹ à �¿¦ª«�¯�©-¯I��¦ª�x¦x·­¨ª©���áu�ª¥â�¸¥Ä¨�¥´°±�S�y�����ç���A¨ª©u���(³r«��~¨�¥´�±�ÒÃ8�x¯I���¸�x¦

�8��|� �XÆ � � � �|��|  ¡_è � � �®&©u�x�ª� Æ � � � ¡1éãêé(ë

å ���|² è � � � ¡íì�éãêéxîá��â�ãµf¦�¨ª©����ª�±�´�)���/�¸¦\�±«u��¯I�S¨ª�I���-¹ï ©u�Ááu���­¯I�x²f«��ª�(¦%áu���x¦ª�I�r¨ª�(²_©u�x�ª��®&¥´�â�)Ã|�Áä��x�u�I�����â�´µ_��áuáu�â¥â¯x��Ãu�â��·c¦ª���¸�I¨ª¥â���(¦ ®&¥Ä¨�©¦ª�¸���´���¸�­²u¥Äð|¯x�~¨�¥´�±��¦I·|¨ª��¨ª©u¥§¦'���±�ª�Øä��I���I�����B�y�±�ª�-¹cñc�~®4�x°��x�x·��y���'¯I�â���ª¥´¨eµ ���Ôáu���x¦ª�I�fò¨���¨ª¥â���¿®��Ø®&¥â�´���ª�(¦e¨��ª¥§¯�¨'��«u��¦\�x�´°±�x¦¤¨��%¨�©u�U¯x��¦ª� ®&©u�I��� � ¯I���¿Ã|��²f��¨��I���¸¥´�u�(²¿���|¯�� �¥§¦¤¬r���~®&�B¹

Page 3: Hyperbolic Equations : Scalar One-Dimensional Conservation Laws

ó8ôkó8ôâõ ö�÷�ø(ù­ú�û~üuý&þ�ÿ�û�� ��������� ������������������� �!#"����%$&�'�(�*),+.- /�0213/�4657*8 9:<;>=@?�A?�B�C ?ED2FGAEH? /JILK�M.NPOKK B : ; A K�M.N.Q - D2FGA 4 H Q D2FGA 0 H 5

RTSVUXW�Y�Z[U[\�]3^�_�`ba�]dceW�fgZGSVUhc�a�fdZi\�U�Y�U�]3^�_<`ba�]dcja�`gZGSVU�kla�YVf�U�]dm#^'ZnWoa'Yp_q^�r�`l]3a�csrtS<WoklSZGSVUvu�W wxU�]3U�YyZzWo^�_{`ba']dc|f}^']3Uvu�U�]dW�m#Ulu�~��bY�kla�Y�Zn]3^�fdZriW�ZGS&ZGSVUvu�W wxU�]3U�YyZzWo^�_#`ba�]dch�tr�UxY�a'Z[UZGSV^�Z�ZGSVU&W�YyZ�Uz\�]3^'_<`l]�a�cjW�fXr�Ub_�_�u%Uo��Y�Ulu�U�m#U�Y>rtSVU�Y>Z�SyUXf�a�_���ZzWoa�Y A ^'Y�ud�Ta�]�ZGSVU������D ^']3U&u�W�f�kla�Y�ZnW�Y��ya��<f�~��*U|f3SVa'r��lU�_qa�r2��^�Y�U���^'c��T_qU&a�`Xu�U�]dW�m#^'ZnWoa'Y�a�`|Z�SyU&u�W wxU�]3U�YyZ`ba�]dchf|a�`�ZGSVUXkla�YyfbU�]dm�^�ZzWoa�Y�_(^�r2f�`l]3a'c.�yS<�#fdWokl^�_y��]dW�Y�k�W ��_(Udf�~�i�n� ���¡ �¢�£2¤t¥V¢�¦�§©¨�ª�¤i«­¬}®��ó8ô�¯Bôkó °Uÿ8÷t±(ùrû³²uüuø{´kÿ8÷_ÿ�µ�¶ üV±³± ��������· ����������������¹¸���º(»V$��|)¼���y½�ºq�����³�¿¾<À*��»y��Áo�%½b� ? )¼½�����Â����q�y�q�VÃ�Ä�»V�(�*��Á2�V���y�3�ÅÂ�À�Æ FoÇ 1 B�H�'���ÉÈ<�V��Ê���¸��{ºq��½b�qÂ�À¹Ë FnÇ 1 B�H9�ÌiÍ�ÎPÏvÐÑ �Ò}ÌxÓvÔÕμÏvÐ + Ö×ÌvØVØ*Ð2ÙÚ�ÛÜÏvÐÝÐ6ÙtÚ�8�ÞÖ×Ì}ØVØ�8�ÓvØ<8�ÞvÎP) Í�Ò}9�ÏvÚ}ÔÕÒ ? )??�B :<; Æ K�M N Q :Vß{; Æ�Ë*àbá K�âN Q : ;Xã à F Æ�Ë H K<M

��������ä: ;Ñåb? Æ?�BhC ã à F Æ�Ë H[æ K<M.N�Oç �%º(�y��ÁG�����'º(ºt)vèV�3��Ê��g½{�'��Ê��3�qÂ3�? Æ?�BhC ã à F Æ�Ë H NPOÍ ç �������� ç �gé ´Gê4ù±û~ù­÷�ø{´æüuý�µ ÿ|û�� ��Á ç �g½b�%�y���{�3¸��'Â3�(���ɺ��#Ê�ëR�a�u�U�]dW�m�UÉZGSVU�u�W w}Ub]3U�YyZzWo^�_�`ba�]dcìa�`�ZGSVU�kla�YVf�U�]dm#^'ZnWoa'Y�_(^�r2�}r�UXSV^'m#U*^#flfd��c&U�u×Z�Sy^�ZÆ FoÇ 1 B�H ^�YTu Ë FoÇ 1 B�H ^']3Uhu'W wxU�]3UbY�ZnWo^%�b_(U�`l��YTkbZzWoa�Yyf�~

í

Page 4: Hyperbolic Equations : Scalar One-Dimensional Conservation Laws

îiïnð ñ�ò�ó2ô­õvö�÷øù�ú(ûúoù ü�ýoþ6ÿ����������ÿ� �{ý���þ���������³ý���þ � ��������� "!�#�$&%(')! *�+,$&'.-0/1!,*�! 2435')!,*6')$&*�-8793:-8/;! *�<>=�?�@8ACB.DE <E AGF E <�HE ?JI E <E AGF H E <E ?KI�LH"DM')!,*6NO-93P*�- QSR

T�U�V.WYX Z\[^]�W�_�VC`OU�a^bOcY`edSfhgi`jU�alknmf>o�VC`OU�ap ! *hNC/q#�$r7s-0t�$vu6w�xy! 2z3�'9t�$&{s/q'r3 %}|63 NC-~NC!,{5$Y|>! /;*�-�/1*�3�NO-078$i3P{v�l��2S-0t�$r70$v/;N5*�!#�/1�>whNC/;! *l/1*K-8t6$vu6!:���M-0t�$"')! *h')$r*�-0703P-8/;! *y|678! �6%1$Y�}/;%1%�'r! *�+ $i'.-�#�!:�}*6NC-870$&3 {��}/�-0t3�+ $r%;!�')/1-O�yH>��3 *6#y/qN�#�$iN8'r78/;�h$i#�����-0t�$"%1/;*�$i3P7�3 #�+,$&')-8/;! *y$i��w63:-0/1!,*(�K�j*l|�793 ')-8/q')$ �{5! %;$&'rw�%;3 7(#�/1�>w6N8/;! *n3 *6#S-8w�70��w�%;$r*6'r$M�}/;%1%�'r3PwhNC$�-0t�$�'r! *6'r$r*�-8793:-0/1!,*S|�70!P�h%1$^-0!�'9t63P*6� $ ���/1-8t\-0t�$5NC/;{5|�%1$G! *�$r��#�/1{5$r*hNC/;! *63 %{5!�#�$&%��$G'&3P*�*�! -S{5!�#�$r%4-0w�78�6w�%1$&*6')$,��t�!:��$&+ $&7-8t6$�$)��$&')-G! 2�{s!,%1$i')w�%q3P7s#�/1�>w6N8/;! *y'&3P*��>$�/;*6')%;w6#�$i#�����#�$)-8$&78{5/;*�/;*��\-0t�$�#�/1��w6NC/;+ $u6w�x�����t�/qN�uhw�x\/;N�#�$iN8'r78/;�h$i#"���\��!,w�78/;$r7i� N���3 �¡! 2Mt�$&3P-�'r! *6#�wh'.-8/;! *l=�-0t�$s#�/���w6N8/1!,*!P2^35'9t�$r{5/q'r3P%('r! *6'r$r*�-8793:-0/1!,*�/qN}N8/1{5/;%;3 7�-8!�#�/1�>w6N8/;! *v!P2^t�$&3P-9B)D#�/���w6N8/1+,$zu6w�x I¡¢�£ E <E ?�¤p ! {G��/;*�/1*6�S-0t�/qN��}/�-0ts-8t�$�3,#�+ $i'.-8/;+ $�u6w�x���H�<h�P��$}! ��-03P/;*G-8t�$ �����ÿ� �{ý���þ�¥0�6ýe¦��4§{ý¨��þÿ�������{ý���þ D E <E AGF EE ? © H�< ¢�£ E <E ?�ª«I¬LQ ! -8$�-8t63P-2e!,74-8t�$�3 #�+,$&')-8/;! *��j#�/1�>w6N8/;! *­$i�,wh3:-8/;! *�� -8t�$�u6w�x�2ew6*6'.-0/1!,*n*�!:�y#�$r|>$r*6#�N4!,*®i¯®i° 3 N���$r%;%(3 N�<>�M��t�$­3 #�+ $&')-8/;! *��j#�/1�>whNC/;! *�$&��w63:-0/1!,*�/qN�3n±6²:³8²,´0µP¶¸·�¹�$&��w63:-0/1!,*(���}t�/;%1$-8t6$\%1/;*�$i3P7�3,#�+ $i'.-0/1!,*l$i��w63:-0/1!,*l/qN"º�»0±6¼)³r´9µ:¶�·�¹)�½��t�/;N�{5$&3P*hN5-8t63P-�-0t�$¾3 #�+ $&')-8/;! *��#�/1�>whNC/;! *�$&��w63P-8/;! *�3P%;��3 ��N�t63,N�NC{5!�!P-0t�N8! %;w�-8/;! *hNr�$r+ $&*�/12�-8t�$�/;*�/1-8/q3P%�#�3P-03v/qN�#�/qNO�')!,*�-8/;*�w6! w6N&���}t�/1%;$z-8t6$�%1/;*�$&3 7�3 #�+,$&')-8/;! *Y$&��w63:-0/1!,*Y3,#�{5/�-9N}#�/qN8'r! *�-8/;*�w�/�-0/1$iNr����$��}/;%1%')!,*6N8/;#�$&7}NC!,{s$�N8! %;w�-8/;! *hN�!P24-8t�$�%;/1*6$&3P7�3,#�+ $i'.-0/1!,*�$&��w63P-8/;! *Y%;3P-8$&7}/1*Y-8t6$�%1$i'.-8w678$,�

ù�ú(ûúq¿ Àbþ��¡ý¨§&%ý���Ás���:Â�ÿ�� §,Ã��S���4���³ý���þ � ��������Ä�4%;w�x�2ew6*6'.-0/1!,*"Å^=�Æ�B IÈÇÉ Æ Ép ! *hNC$&78+:3:-0/1!,*�%q3 �ÊDE ÆE AsF E ÇÉ Æ ÉE ? I E ÆE A5F Æ E ÆE ?KI¬L Q�ËË

Page 5: Hyperbolic Equations : Scalar One-Dimensional Conservation Laws

Ì�Í�Î.Ï"Ð ÑvÒ6ÓiÔÏ:Ó Õ�Ö�×nØÒ>Ù�ÎCÚOÍ�ÛÜ�Ý�Þ�ß à)á8â6ß ã�Þ&ä�â6ßPá8å;æ çvèOá0â6é�å;Þ&évê�ë�ì�â�í0î Þrí9è�å1çhà)ã;â6é�Þ&è}ß5ï�åqè8àræ â6è�á0Þrí0ðYñò>óò>ôsõ ó ò>óò>öK÷«ø ò�ù.óò>ö ù(úÜ�Ý�åqèzå;è�æ,ç�Þ5æPû�á0Ý�Þ�èCå;ð5ü�ã;Þ&èCázð5æ�é�Þ&ã;è�á0Ý6ß:á�å;ç6à)ã;â6é�Þiè�á8Ý�Þ�ç�æ,ç�ã;å1ç�ÞißPízßPç6é�ï�å;è0à)æ,â6è�Þ)û�ýûeÞ&à)á0è�æ û�þ6â�åqévé�ë�ç6ßPð5åqàrè&ÿ���î,ß å1ç����}Ý�Þrç���ÞSå;ç6à)ã;â6é�Þzá0Ý�Þ�ï�å;è0à)æ,â6è�á8Þ&í8ð���á8Ý6Þ�Þ&ä�â6ß:á0å1æ,çê>Þ&à)æ,ð5Þ&è�ü6ß í0ß êhæ,ã1åqàSß ç6évé�æ�Þ&è�ç�æ á�ß é�ð5å1á�é�å;è0à)æ,ç�á8å;ç�â6æ â6è}è8æ ã;â�á8å;æ çhèrÿ��ç�å;ðsü>æ í8á0ß ç�á�ß,èCü>Þ&à)á�æPû�á8Ý�Þsþ6â��¾ûeâ�ç6à.á0å1æ,ç��(á0Ý6ß:á�}å;ã;ã�êhÞ�â6è8Þ&é�ãqß:á8Þ&í��å;è�á0Ý6ß:á­å1á�å;èà)æ,ç�ï Þ�� ��å ÿ Þ,ÿ���� ��� ó � ÷��ù���� ÿ��������� "!$#�%'&)(+*-,/. 0�13254�6879(Þrá;:�� ö�<8ô=� é�Þ&ç�æPá0Þ"á8Ý6Þ¾é�ÞrçhèCå1áOëKæ û­àrßPí9è>��ï ÞrÝ6å;àrã1Þiè@?$A�ð � ß ç6é ó � ö�<8ô=� á8Ý�Þ�ï Þ&ã1æ�à)å1áOë ÿB å;ç6à)Þ­à&ßPí9è�ßPí0Þ�àræ ç6è8Þrí0ï Þié � ò :ò>ôGõ ò : óò>ö ÷ ���è0è8â�ð5ÞSá0Ý6ß:á ó åqè�ßGûeâ�ç6à)á8å;æ çvæPûC:>ñ

ó �-: � ÷ ó�DE�F�G H+I :: DEJFCK�}Ý�Þ&í8Þ �ML : L : DE�F ß ç6é óNDEJF åqè�èCæ,ðsÞ�ð�ß$��å;ðnâ�ðÊè8ü>ÞrÞ&é��eá8Ý�Þ}è8ühÞ&Þ&éGã1å;ð5å�áPO � ÿ QSRÌ�Í�Î.ÏUT V�Ó:Ù/WYX;Z+[OÍ]\_^�Ó,Í�`�[jÏbaÜ�ë�ü6å;à&ßPã;ã1ë�æ çnß�Ý�å1î,Ý/��ß ëc�d��Þe�}åqèCÝ­á8æSé�í8å;ï Þ�ß:á4è8æ ð5Þ�è8ü>ÞrÞ&é óNf�gih �iê6â�á4å;çnÝ6Þ&ß ï�ë�á0í0ßbj~à��Þ~èCã;æ$�½é�æ$�}ç(ÿU��ásèCæ,ðsÞ�ü>æ å;ç�á�4á8Ý6Þ~Ý�å;î Ý/��ß ë¾í8Þiß à9Ý�Þièzå�á9è­ð�ß$��å;ðnâ�ð àrßPühß à)å1áOë¾æ ûàrß í0è��: f�gih �^ßPç6é�æ,â�í­ï,Þrã;æ�àrå�áOë¾å;èlkrÞrí0æ6ÿYÜ�Ý�Þ~è8å1ð5ü�ã;Þ&èCánð5æ�é�Þrã�ûeæ í�á0Ý�å;èní8Þ&ã;ßPá8å;æ ç6è8Ý�å;üê>Þ)ám��ÞrÞrç�ï Þrã;æ�à)å1áOë�ßPç6é~é�Þrç6è8å�áOë�åqè�á8Ý6ßPá�î,å1ï,Þrç�ß êhæ:ï,Þ ÿ^Ü�Ý�å;è�ûeâ�ç6à)á8å;æ çYÝ6ß è�ê>ÞrÞrç�ûeæ â�çhéá8æ�ü�í0æ:ï�å;é�Þvß¾û�ßPå;í8ã;ë�î æ�æ�é�ð5æ�é�Þrã�ûeæ,í�ß à.á0â6ßPã�á0í0ßbj�à�þ6æ$��è&ÿon�æ,í5Þ���ßPð5ü�ã;Þp��ûeæ ísá8Ý�Þ9(å;ç6àræ ã;ç�á0â�ç�ç�Þ&ã�ß5î æ�æ�é�q�á�á8æ�ß à)á8â6ß ã(é�ß:á9ßr��ß è�æ,ê�á0ß å1ç6Þ&é�â6èCå;ç�îsá8Ý6Þzûeâ�ç6à.á0å1æ,ç

�C�s: � ÷ut :�ã;æ î G : DEJF: K <�}Ý�åqà9Ý�Ýhß è}ß�è8å1ð5å;ã;ß í�è8Ý6ß ühÞzá0æsæ,â�í}ã;å1ç�ÞißPí}í0Þrãqß:á0å1æ,ç8�¨èCÞ&ÞMv wYx � ÿw�Þ�ü>æ å;ç�á}æ â�á}á0Ý6ß:á+�}å1á8ÝvÞrå1á8Ý�Þ&í�æPû�á0Ý�Þzám��æGí0Þrãqß:á0å1æ,ç6èCÝ6å1ü6è�ê>Þ)ám��ÞrÞ&çYà&ßPí}é�ÞrçhèCå1áOë�ßPçhéï Þ&ã1æ�àrå�áOëc��á8Ý�Þzþ6ây��å;è�ßsàræ ç6à&ß ï ÞSûeâ�ç6à)á8å;æ çvæPûz:N��å ÿ Þ ÿ���� �{�-: � L�� ÿ�������}| ~���&d��*{�c���@���3�N�3!$�3�J�;��� �z#���{,N� 0�13254�68�� æ çhèCåqé�Þrísß"ám��æ¾ü�Ýhß è8Þ��eæ,å1ã}ß ç6é���ß:á8Þ&í � þ6â�åqé�þ6æ$� å;çyü>æ í0æ âhè­ð5Þ&é�å;â�ðvÿ'9(Þrá �oLó � ö�<8ô=� L H í0Þrü�í0Þ&è8Þrç�á�á8Ý�Þ­è0ß:á0â�í9ß:á8å;æ çYæPûz��ßPá8Þ&í&ÿ

R

Page 6: Hyperbolic Equations : Scalar One-Dimensional Conservation Laws

�������� � �C�s� ���� �u����/� �l¡@¢�£]¤b¥{�-¦b§U�y¤$�l¤©¨p¨�ª«�-¬@¤$¥��-¦$§]��5§�¦$�5ª�­©¡P�J¡J­P®¯¦b�5­°�@�5±�£�ª}¤b¥{�-¦b§³²��y¡J­i¡�¦$§�¡´±�¦µc¡�ª¶�´¥s�y¡· ¦$²¸¦m¹¦b�5ªz¤b§�µ�²�¤b¥º¡J­°¥5��­i¦$£p»¯�r¨]¦$­©¦$£/�°­i¦¬@¼½¦$­°�J¤$§�µp¾S¿�¦ � ®¯¤b­P�-¡P�lÀ@¡J¥{²�¡@¡J§�Á;¤b§�µ;Âà � �¸� ­i¡º¨�­i¡���¡J§]¥{�¤ · ¦$²Ä¦=¹Å¨�£�­i¡�¦$�5ª«Æ � �ÈÇ ­i¡º¨�­i¡���¡J§]¥{�Ũ�£�­i¡²�¤$¥É¡�­J¾ ÊrË�C�s� � � ��Ì� Ì �'Í � Ç+Î ��� ÌÍNÏeÐJÑpÒ]Ó=Ô©ÕpÒ3ÔSÖ×ÇØ8Ù ÚPÛ>Ü Ý+Þ�Û½ß�à áPâ�ãmÛäzå=æ+Ûyç�ÛbècÛyÚJÚ´élê�àNë�Ú=ìÉÙ�ízîï ÑcðSÔ©ñyòMóMÑcÓ=Ô�ô]Õpð=Ôdõ ö"òMÐ�ÑcÒ]Ói÷�ø�òðùòdú3û]Õ$Ô©÷}ÑcÒ]ÓSö+ñ]òJð©ò �C�-��� ÷�Ó°ÐJÑpÒ/üpòJý � Ñpð´ÕUÐ�ÑpÒNÐJÕ¯üpò �þ ûyÒ]Ð�Ôi÷�ÑpÒ½Ñ þ Ô©ñyò°ûyÒyÿ/ÒyÑ$ö+Ò ü$Õbð©÷ Õ ��� ò����ÉÒ Ô©ñyò°Ð�ÑpÒ/ücò�ý � ÑcðÅÐJÑpÒ]ÐÕ¯üpò � ÐJÕcÓ=òcõpÔ©ñyò´Ó=Ñ � û�Ô©÷}ÑcÒÑ þ ÕbÒ�÷}Òy÷}Ôi÷ Õ � øy÷�Ó©Ð�ÑcÒcÔ©÷}Ò/ûyÑ3ÓCøyÕ$Ô@Õùø�÷ Ó=Ôið©÷ � ûyÔi÷�ÑpÒ �� ÷�òJó�ÕbÒ]Òrôyð©Ñ �� òó � ÷ Ó�Õ � öÅÕ���Ó�òJ÷}ÔiñyòðCÕÓiñyÑ�Ð@ÿ�Ñcð�ÕSð@Õbð©ò þ ÕcÐPÔi÷�ÑpÒ � ÑpðCò�ý�ô]ÕpÒ]Ói÷}ÑcÒ � ö Õ¯üpò ���uñyòÒ � ÷ ÓCÒyÑbÔ�Ð�ÑcÒ/üpò�ý � ÒyÑpð�Ð�ÑcÒ]ÐJÕ¯ücò � õÔiñ]ò>Ó=Ñ � û�Ô©÷}ÑcÒYó�÷��pñ3Ô ÷�Ò/üpÑ � üpò � ÑbÔiñ���� ñyò��Åû]Ð@ÿ � ò�������òJücòJð©ò�Ô=ÔMòú3û]ÕbÔi÷�ÑpÒ ÷�Ó;Õ�Ó=÷�óMô � òò�ýyÕpó�ô � ò°ö+ñyòðiò�Ôiñ]÷�Ó Ói÷}Ôiû]ÕbÔi÷�ÑpÒUóMÕ��;Ñ/ÐÐ�ûyð��

� ���! " $#&%'�( *)�+�#&,- /.1024365 7/8&9;:&<*=?>�@ACB�:D9;AEBF> GIH�JLK�MONQP� òdÐJÕ ��� Ôiñ]ò´ôyði÷�óM÷ Ô©÷}ücò þ Ñpð©ó Ñ þ ÔiñyòÐJÑpÒ]ÓiòJð©ü$Õ$Ô©÷}ÑcÒ � Õ¯ö������ �oÍ �s� � ������ �¸�� ñyò°Ô©ÑbÔ©Õ � Ôi÷�óMòü$Õbð©÷�ÕbÔi÷�ÑpÒUÑ þ �z�-��Ri�=� õ]ÑcÒ)ÕbÒ�Õbð � ÷ Ô©ð©ÕpðS�½Ð�ûyð©üpò � � ���-�=� õN÷}Ò�Ô©ñyò � Î �ô � ÕbÒyòcõ�÷�Ó T �T � � ������ �

T �T � ������243U2 VXWY:D@:�ZI9;>[@\A6] 9�A6Z^] GIH�JLK�MON�N

_-`T �T � �uÍ �s� �ba

T �T � �Ä� a � � �Ic � Ð�ÑcÒ]Ó=Ô©ÕbÒ3Ô �� ñyò´Ð�û]ðiücòÓ � � ���s�=� õNÓiû]Ð@ñ½Ôiñ]ÕbÔ

T �T �U�ÄÍ �s� � Õbð©ò�ÐÕ ��� òdøed�fDg;hig�dQj�k�h�lUm�j�ld m� ÐJÑpÒ]Ó=Ô©ÕpÒcÔon Í �s� � Ð�ÑcÒ]Ó=Ô©ÕbÒ3Ôond�fDg;hig�dQj�k�h�lUm�j�ld m"g;hik�mpj�hig�lqIfrj"slUtukvmw

Page 7: Hyperbolic Equations : Scalar One-Dimensional Conservation Laws

xry�zo{|y}i~S} {-�Cz-~��������{��o}Q~Sz4����~S}i����yv�u���L�Iz-�4�L�"�Lyz&���$���r��}i�rzY}Q���i�v���uy;�{|y$������{��Q������}Q��C������D�����S� �& ¡�\��¢u��y�z£{�y�}i~|}�{���z�~������U�{��}������L���/��yv~|�i¤���y$�� ¡�� ¢\�� ¡��¢����Y��y�zY���i��¤;����i��E�1��y�z*�-�i�L���i�&�L���¥�L�\�L�U�}Q�§¦i}i��¤z¨�I~S� ©-��z-ª¬« �r­i« �e ¯®r���I���-�°�u�U� �± ²�� ³¨��Lzp���´ ��4µ¶®r���I���E���·I¸�¹Lº�»O¼�½

« �«��  ¡®r��� � � ¾ �e ¿� � µÀ®r��� � �I� ÁoÂ

ÃXÄ^Å�ÆÈÇ ÉËÊ�Ì;ÍiÌIÎ�Å-ÆiÍ�ÏUÐ ÅSÏCÎ�ÐÑ4Ò�Ó§ÔSÕ�Ö ×\Ó�Ö�Ø\Ù|Ò�Ó§Ú�ÒÛ�Ü|Û Ú�ÙSÓpÜSÝ�Ô6ÙSÝ�ÚFÕ�Ý�ÞÓpÔ&Ý�Ô�ß;Ó�ÙSÓ�Ü|àáÝ�ÞÓpßáâvã$ÙSÒÓ§Ý�ÞÝ�Ù|Ý�Û�ÕÚ-Ö Þß;Ý�ÙSÝ�Ö�Þá� � ���r��äÓ-å�Ú�Ó�×;Ù&Ø�Ö Ü�ÙSÒ�Ó�Ù|ÜSÝ�ævÝ�Û�Õ�Ú�Û Ô6Ó4Ý�Þ¨ç�Ò�Ý�Ú�Ò"è"Ý�Ô�Û£Õ�Ý�Þ�ÓpÛ�Ü�Ø�é�ÞÚ�Ù|Ý�Ö Þ¨ÖQØr�uêDëCÞ/ÙSÒ�Ý�Ô&Õ�ÛiÙSÙSÓ�Ü�Ú�Û�ÔSÓ�äÙSÒÓ�Ô6Õ�Ö�×IÓ$Ú�ÒÛQÜ�Û�Ú-ÙSÓ�Ü|Ý�ÔEÙ|Ý�ÚpÔFÝ�Ô§Ú-Ö ÞÔ6Ù|ÛQÞ�Ù�Ý�ê Ó ê�ÙSÒ�Ó�Ú�ÒÛ�Ü|Û Ú�Ù|Ó�Ü|Ý�Ô6ÙSÝ�Ú�ÔìÛQÜ|Ó£×ÛQÜ�ÛQÕ�Õ�ÓpÕUêíXÓìÞÖQÙSÓ4Ù|ÒÛiÙ�äiØ�Ö�Ü&Ö é�Ü�×�Ü|Ö�â�Õ�Ó�à¨ÔpäiÙSÒ�Ó§Ú�Ò\ÛQÜ�Û�Ú�Ù|Ó�Ü|Ý�Ô6ÙSÝ�Ú�ÔDÛQÜ|Ó4ÔEÙ|Ü|Û�Ý�î Ò Ù�Õ�Ý�Þ�Ó�Ô�ä�Ó�æ�ÓpÞ*Ý�Þ/ÙSÒ�ÓÞ�Ö Þ;ï�Õ�Ý�Þ�ÓpÛ�ÜËÚpÛ�ÔSÓ�ärâ\Ó�Ú�Û�éÔ6Ó¨èðÝ�Ô£ß;Ó-Ù|Ó�Ü|àáÝ�Þ�Ó�ß�âvã��ñÖ�ÞÕ�ã êóò�Ö Ü£ÔSã;ÔEÙ|Ó�à¨ÔoÖQØ�Ó�ô�éÛiÙ|Ý�Ö ÞÔ�äÖ�Ü�Ø�Ö�ÜFÔ|Ú�Û�Õ�Û�Ü&Ópô�éÛiÙ|Ý�Ö ÞÔ&ç�Ý�ÙSÒ"ÓpÝ�Ù|Ò�Ó�ÜìÛ$Ô6Ö é�Ü�Ú-Ó4ÙSÓpÜSàõÖ�Ü�ÛËöé;å/Ø�é�ÞÚ�Ù|Ý�Ö ÞáÙSÒÛQÙìß;Óp×\ÓpÞß�ÔÓ-å;×�Õ�Ý�Ú-Ý�ÙSÕ�ã"Ö�Þ1��ä�ÙSÒ�Ó�Ú�ÒÛ�Ü|Û Ú�Ù|Ó�Ü|Ý�Ô6ÙSÝ�Ú�ÔìÛQÜ|Ó£Þ�ÖáÕ�Ö Þ�î�ÓpܧÔEÙ|Ü|Û�Ý�î Ò Ù4Õ�Ý�Þ�Ó�Ô�êë�Ø[çìÓoÔSÖ�Õ�æ�ÓYÛ$×ÜSÖ â�Õ�Ópà÷Ö�Þ"Û$ø\Þ�Ý�Ù|Óoß;Ö à¨ÛQÝ�Þ[ä�Ù|Ò�ÓËÞ�éàóâIÓ�ÜìÖQØ^â\Ö é�Þß�Û�ÜSã¨Ú�Ö�Þß;Ý�ÙSÝ�Ö�Þ\Ô&ÙSÖâIÓ�×�Ü|ÓpÔ|Ú-Ü|Ý�âIÓpß^ä�Ý�Þ£ÙSÒ�Ó�Þ�Ö�Þ�ï�Õ�Ý�ÞÓpÛQÜuÚ�Û�ÔSÓ�ä�ß;Óp×\ÓpÞß�ÔuÖ�Þ£ÙSÒÓ�ß�ÛQÙ|Û�Ý�Ù|ÔSÓ�Õ�ØEêDÑ4Ò\ÛiÙ�Ý�Ô�ä�Ý�Þ£ÙSÒ�Ö�Ô6ÓâIÖ�é�ÞßÛQÜ|Ý�Ó�Ô�ç�Ý�Ù|Ò/Ý�ÞÚ�Ö�àáÝ�Þî£Ú�Ò\ÛQÜ�Û�Ú�Ù|Ó�Ü|Ý�Ô6ÙSÝ�Ú�ÔDÛ£âIÖ�é�ÞßÛQÜ|ãóÚ-Ö Þß;Ý�ÙSÝ�Ö�Þ/ç�Ý�Õ�Õ�âIÓ�ÜSÓ�ô éÝ�Ü|Ópß^êù Ý�àáÝ�Õ�ÛQÜ|Õ�ã ä�Ù|Ò�Ó£Ô6Ö Õ�é;Ù|Ý�Ö Þ�ÛQÙFÙSÒÖ ÔSÓYâIÖ�é�ÞßÛQÜ|Ý�Ó�ÔFç�Ý�ÙSÒ�Ö�é;Ù|î�Ö�Ý�Þ�îóÚ�Ò\ÛQÜ�Û�Ú�Ù|Ó�Ü|Ý�Ô6ÙSÝ�Ú�ÔFç�Ý�Õ�Õrâ\Óß;Ó�ÙSÓ�Ü|àáÝ�ÞÓpßXâvãÈÙ|Ò�Ó¨Ý�Þ�Ù|Ó�Ü|Ý�Ö Üpê�íúÓ"ÚpÛQÞðÔ6ÓpÓ¨ÙSÒÓ�Ü|Ó-Ø�Ö�Ü|Ó/ÙSÒÛQÙóÝ�ÞñÙSÒ�Ó±û�üýÚ�Û Ô6ÓáçìÓ"Ú�Û�ÞÜ|Ópô�é�Ý�ÜSÓ ä ÙEçìÖä;Ö Þ�Ó£Ö�Ü�Þ�ÖáâIÖ�é�Þ\ß�ÛQÜ|ã(Ú-Ö Þß;Ý�ÙSÝ�Ö�Þ[êò�Ö Ü�ÞÖ�Þ�Õ�Ý�ÞÓpÛQÜ1Ú-Ö ÞÔSÓ�Ü|æ�ÛQÙSÝ�Ö�Þ¡Õ�Û�ç§ÔeÛQÞß�ÛQÜ|â�Ý�Ù|Ü|Û�ÜSã¿ß�ÛQÙ|Û�äYÙSÒ�ÓñÚ�ÒÛ�Ü|Û Ú�ÙSÓpÜSÝ�Ô6ÙSÝ�Ú�Ô"à¨Û�ãÚ-Ü|Ö Ô|Ô�ç�Ý�ÙSÒÝ�Þ�øÞ�Ý�ÙSÓËÙSÝ�àáÓ�ê�Ñ4Ò�Ý�Ôìç�Ö é�Õ�ß(ÔSé�î�î ÓpÔ6ÙìÛ�à*é�Õ�ÙSÝ�ï�æiÛQÕ�é�Ó�ß�ÔSÖ�Õ�é;ÙSÝ�Ö�Þ(ç�Ò�Ý�Ú�Òeß;ÖvÓpÔÞ�Ö�Ù*à¨ÛQþ Ó�ÛQÞvãñÔ6ÓpÞÔSÓ(×�Òvã;Ô6Ý�Ú�Û�Õ�Õ�ã�êúíúÓeç�Ý�Õ�Õ�ÔSÓ�Ó"Ù|ÒÛiÙoÿEéÔ6ÙáÛQÙ*Ù|Ò�Ó(×IÖ�Ý�Þ�Ù/ç�Ò�ÓpÜSÓ(ÙSÒ�ÓÚ�ÒÛ�Ü|Û Ú�ÙSÓpÜSÝ�Ô6ÙSÝ�Ú�Ô�Ô6Ù|Û�Ü6Ù�Ú�ÜSÖ�ÔSÔSÝ�Þîä�ÙSÒ�Ó�ÔSÖ�Õ�é;ÙSÝ�Ö�Þ*â\Ó�Ú-Ö à/Ó�Ô&ß;Ý�ÔSÚ�Ö�Þ�ÙSÝ�Þvé�Ö�éÔpê��ìÙ�Ù|Ò�Ý�Ô�×IÖ�Ý�Þ�ÙpäÙSÒÓXß;Ý��rÓ�Ü|Ó�Þ�ÙSÝ�ÛQÕ£×�Ü|Ý�àáÝ�ÙSÝ�æ�ÓÈØ�Ö�Ü|à ÖQØ$ÙSÒÓXÓ�ô�éÛiÙ|Ý�Ö Þ[ä§Ö�Þ�ç�Ò�Ý�Ú�Ò çìÓúÛQÜ|ÓÈâ\Û�ÔSÝ�Þ�îOÖ�é�ÜÔSÖ�Õ�é;ÙSÝ�Ö�Þe×�Ü|ÖvÚ�Ópß;éÜSÓËÝ�Ô§Þ�ÖáÕ�Ö Þ�î�ÓpÜ�æ�Û�Õ�Ý�ß^ê

Â

Page 8: Hyperbolic Equations : Scalar One-Dimensional Conservation Laws

����� � �������������������� �! �"$#&%('*),+�-.#0/213 �45"76�8:9�%;1< �45" =5>&?A@�BDC2E

F0G2H�I;JLK�GNMO5P�Q�RTSVUXWYO&Z&P�Q\[^]NSVU_!`ba2cLaNdeJTf3cTKhgVJTKhdiH�K�Mbf3g

Q*WjQ Zlk ]&S�������h� mn9�'po5#&'rqNst6u8:9$%;1< �45" =5>&?A@�BDCpvw f<dxayH�H�z P|{:U}W�~� { �y� gTG ]5P�{�U}W7{ � {� S k { � {� Q Wj�

F;G2H�I;JTK�G2M�� {$P�Q�RTSVUXWY{5ZNP�Q\[�{5SVU� `(f�gTG2H�I;JTK�G2M�K�gid�G2M.g�J�ayM&J�ayH�G2M(��JT`(f�d�`.ayc�a2deJLfxcLK�gVJTKhduH�K�M(f3g �(f��bM(f<���&� Q\[�{.StW7Q.Z2����n�5�p���n�|�(�p� �|�(���N���p p�n¡x�p¢¤£;�¦¥��p�^¥h¡¨§N��©X�5��§*¥Aª�«�¢¤¥�¬x¥A��¢¤­^®��<¯±°N¯¨�|�(��§N��©X�b¥A�¦¥��p�²�V³´�|�(�³�£;�5¬x�¦¥��p�¶µT��·�£;¥AµT��¡\�|�(��³�£;�5¬x��¥��y�D¥A��¡x��¢ ³x¸��y�5§��|�(�xµT��³��yµT��¥A�¹¥h¡*��³������¶�5�y�¹ r�xµe­º£0¡x��³�£;¢�¯���*¬��p�D r�xµe¥ ³�­��b�p»X�x r�xµ��x­º§p¥AµT��¬x�¹§y¥ ¼i�xµT���.��¥��y��¥��y�D�|�(�y�u¥A��¥h¡�¥A�*³��N¬����½¡x�y¢¤£;��¥��y�¶�V³�|�(� «(�yµe��¥��y¢$§p¥ ¼u��µT�x�b�¦¥��p¢���·�£b�y��¥��y�(¾}¥�¯A�<¯�¿

{5À´W7{5ÁZ [�{�ÁZ {5À2S  {5À�W { ÁZà k { ÁZ S{5Ä�WÅ[ { ÁZ {\[�{ ÁZ {5ĦS  {5Ä�W [ { ÁZ {à k { ÁZ S;Æ =5>&?A@�BDC2Ç

_!G2M.gVKh�;fxclJL`(f�K�MbKÈJLK�a2H��(apJ�a

{�P|Q�RL�NU}W ÉÊ Ë Ã Q�ÌY�à [�Q �¨Í¶Q�Í Ã� Q�Î Ã=5>&?A@�BDC2Ï

Ð

Page 9: Hyperbolic Equations : Scalar One-Dimensional Conservation Laws

Ñ5Ò&ÓAÔ�ÕDÖ&×Ø(ÙNÚÜÛ´ÝßÞØ(ÙNÚ à�áDâuã ä àä â�åçæ�è à å â:éêàbë è ì�í à�îVâVï åðæØ(ÙNÚ â!ñDàòñ æ ã ä àä â�åçæ�ó àbë è à åôí�æ ó àbëpï�â�éêàbë

ì$í à�îTâVï åçæ�ó àbë å æ ó àæ ó âØ(ÙNÚ à�õ æ ã ä àä â åjö÷è à å à ë è ì�í à�îVâVï åøöù�úpû�âuñüàêñ æ2ýlþXÿ�� û������xú�� ÿ�� úpû ��� ÿ�� ���yû�� � � ÿ û�������� � ���� ÿ ����������� ��� � �!� ÿ ��� ÿ�" �pû ÿ# ÿ�� � ÿ #%$ "'&�(&*) åjì �,+-��� ��ÿuì ��� � ú.�����/�.�0������ú.�21 ÿ � � � � �0�pû�� � � ÿ û������3� ��ýlþXÿ54 �5ú þ ���0���ú�� ÿ � � �%���� ÿ6&�(&*) åjì ë2�57�� ��ÿ¹þXÿ ���� ÿ # ÿ � ÿ û�89��� ÿ # ��� ÿ�� �0�pû�� � � ÿ û������3� � �:��� ÿ � ýtþXÿ,; � ÿ��� ÿ<� � � �<�����.� ì ��� � ú.�����/�.�0������ú.�21 ÿ � � �=���� ÿ ��ú # ÿ � ÿ û�8>��� ÿ ��� ÿ ú� ÿ û*�����?�xú.� ; ����ú.�-� Ñ5Ò&ÓAÔ�ÕDÖA@

Ø(ÙNÚÜÛCB Þì$í à�îVâVï å D æ à�ñ æö àFE æ

G �$â å æ ��� ÿ �xú�� ; �3��ú�� # ÿ ÿ ��ú*HI��� # ��� � ú.�0�3��� ; ��� " �KJL� ��� � úpûeû ÿ �3H(ú.� # ��� ú6��� ÿ ����8 ÿ ���þ �M� � �N��� ÿ9� ���yû�� � � ÿ û�������� � � � û���� � ûTú������O�P�QSR(ÚLÙ T�QVU�W(Ú�QCX(Ú*QVYAZM[�U;Ù�\�]K^|ÙNÚ â<E æ

_

Page 10: Hyperbolic Equations : Scalar One-Dimensional Conservation Laws

` acb�dfe�g9h>ijb�hlk=g>k=dnm6g9o�k%ijb�g>hp�qsr t�uwv�x�y{z�v}|0~��f� �sv�� �-�2�������A�

SHOCK PATH

�����V���*�������0�A�*�����*���*���s�������>���*���*���������N�����0���*� ���¢¡f£¥¤�¦s§s¨>�I�A�l�A����� ©0��� ���'�sª��A«-�A¬®­¯ �������A�2�����M��� �±°N�A�S²´³¶µ?·´¸����A�*¹������A� ¯ ����� ¯ � ºL���*���2�����.ªj�´»��I�������A�¼���S���=ª ����½A�V�,¾!�Aª � ¯ ¬¿CÀ ÁwÂüÄÆÅ�Ç�È É�Ê Ëf̥ʹÎf̥˶ÏÐÉ,Ì¥ÍAÑAÄ ÍVÌ�Å¥ÒÔÓ ÕfÕjÖ�Ä�Ê-Ñ�έ����*���<�����×���0�.���A�������*���±�*���V�Ø�0�!¾A�w�����2����� ¯ �������V���×�.�*�w�s��¹ ��«I��� �2�*�<¤6Ù��0���*��¹>���������0�A��A�0�l���0�.���A�������*���±�*���9ª �´� ¯ �5Ú0�A��ÛF�*�F§SÜÞÝ�¬6ß��0����Ù<����ª ¯ ��¹ «�ª °����0�.�5���0�l�s��ª � �*� ���à���¹��0ª:�*�:á/¾��.ª���� ¯ ���5���0�����K«I��� �2�V�¶Ù��������¼���๠���s�����A���V�C���S���A�5«��M°M�������.ª�ª�°N���´�.ª����*�.Ú0ª ��¬ß����C���A�*�*�V���}«0�2° �����V�.ªIÚI�V�0�!¾M� �����<�V�.��Ú-� ¯ �����V��¹ ����� ¯ ÚM°>���´���Aª ª�� �0½S���0�.���*���w���M¾2���*��� ¯âã���*½A�����Vä��V»2�0�.�����A�SÙ��A���×�s��¹ «�ª��:©0� ¯ ¾A�V�*�����A�,�.�0�w¾2���*���A�I�?�V»2�0�.�����A�SÙ�� ���������V��¹æå ç´èséç´ê è�A�>�*�����*� ½����*�0�.� ¯ ��� ¯ �A¬Øë/�L�����w� ��� �����.ª ¯ �����S���}�s¹ �M�.�*�l�.� ¯ å<����¾A�V��°���¹��.ª�ª��A�����V�����0������V��¹ì��������½�ª ��½A��Ú�ª�������¹ «0�.�*� ¯ �����*���5ª������*�0�.� ¯ á/��� ¯ �S���V��¹��V�I�.� ¯ ���������Aª�� �*� ���F�.�Ø�����¾M���*�����0�¶�V»2�0���*� �������j�.ª�¹ ���s�f� ¯ ���2�*���V�.ª2���×���0�.�j�.�0�*���ã� �M¾M���*��� ¯ �V»2�0���*� ���?¬¶íw��Ù<�V¾A�V�V���A����0� ¯ ���*�������*� �M��� �±°�Ú-��½A���0�ã�*�9������¹=� ç´èséç´ê è ÚI�´����¹>�´�ã¾A���*°�ª��.�*½A�A� �A� ¯ �*���,¾M���*�����0�<�����*¹Ú-�V����¹ �V�Ø��¹>«-�A���*�A�2�V¬Øß������j�����*¹îÛ����V«0�Ø���0���s��ª � �*� �����s¹ �M�.�*�9�����}�.ª�ª ����¹ �5£��*�V�V�.ª�ª ������V»2�0�.�����A�¼���,�0��Ùï«0�A�*�AÚI��ª ���V¨����.� ¯'¯ �����V��¹ �����V�,�*���l�������*�V���C«0�2° �����V�.ªj�0�.�����*� �.�ã�������°M�s���V¹ð�A��������Ù��K� �K�*���,©0½A�0���,Ú-��ª���ÙS¬

limiting solution ε -> 0

ß������6Ú-���I�!¾2���A�0�6���%�V¾M� ¯ �V�2�%���ñ���0�'�´»��I�������A�I�l½A��¾����*������½àò0��� ¯ ò0��ÙS¬óß����àÁ}��ª�����V»2�0�.�����A�0�V� Ù��������%��½A�0�A�*�×�*���S¾M���*�����0�ã���V��¹��V���.�*�,�2°M«-���*ÚI��ª ���,�.� ¯ � ¯ ¹ �:� ¯ ���*���A�2�*� � á�����0�����Aª�� �����A�0�V¬�ô<�A�M¾A�V�*����ª�°A�M�*���9¿×�!¾2������á±õ2����ÛA�V�ã�´»��I�������A�I���.�*�S«0�.���.Ú-�Aª����.�0�A� ¯ �����¾M���*���2�s� �±°����I�s���*�V�ã�*�0�����*���5���Aª�� �����A�K�����Aª Ù��!° ���s¹ �M�.�*�?¬ö=÷wø Ç.Ö�Ñ´Ì�Í.ǼùN£����*�A¹ûú ü�ý�þ�¨�õM����ÙÐ���0�.��������¾2���*���A�I��â<�0��½�������ä �´»��I�������A�K�0�����9�����!¾�á��ª�ª�� ��½ Ù��!¾A�,�s��ª �������A�K�.���*���,���A�*¹ð¡Æÿ�£¥¤�¦s§s¨<Ü���£¥¤�����§s¨ãÚM° ¯ ���*� ¾M����½��.����×Á����A���.� ¯ ¾����*�:��°M����½>���0�.������������×Á¢�I�A�����Aª�� �����A�0���A���*���,���A�*¹

��£ ��¨�Ü�¡���� Â� £�¡����¼¡��L¨�ú:Â������.����£�£�¡����¼¡��L¨�������å�¨ þ�

Page 11: Hyperbolic Equations : Scalar One-Dimensional Conservation Laws

����! �"$#&% '�(�)*'�+-,!.0/2143657�!89�! �:0�<;4% =2,?>@'�+A:7B?=�>DC?EF:0G�H�;4% =2,I>J'�(K:7B=$>L)<E�1NMPOQ8R�TSU V�! ��WB6B!57XWYZ�T��5QG[:7G�H[��G�H2�WS\:]�!8I 25]�^�_�6`]:7a!�W8\B:QBbc>ed�1fhgji kml6npo�q�nsrutwv�v&x�y2z|{?}�n~r �������s�m�Z������0�!�7���h���<�Z���7���U�����0���� �2�?�T�U�2�0�\���0�Z�����c� �2�h���0���Z�j���0�V�]���]���� U�]���¡�����Z���¡���R�h���s���c�P���j�U�Z��¢�£�����0���|¤w��� ���¥����¦6§���� ¨©�U�<§��!�Q�R����¦¥ª�«��2�I¬?���R¦¥�]�­�¥§��T�7�����R¦®���4�� U�0�2���R���]�]�¡���]�m���0¤�¢�!¯��R� �2���<¤w��� �9§����U U��¤w���R�¥ U�0�2�����0���h�7�]�¢�9���]�°����¯±�£�����P¯0���£�0���R U�0���¡�����Z���¡²7ª

³ '³�´ ) ³-µ % '-,³�¶ #�d'·% ¶s¸ dQ,N#º¹ ' + ¶�» d'�( ¶�¼ dfhgjf ½hl�z¾2¿Àx±t�Á2l �������s�m�-«­�Ã�Q�R�¢�R��¦$�����V� �2���!�2�° TÄ¥§��]� �Ť|�����U�T�����[¯��Ã�U�7 UÄ������ �2�VÆ¢ÇwÈ!É�Ê�Ë°Ì�ÍNÎQÏ­ËQÐÑ�Ò��� �2� U�]���R�����]�]�¡���]���W�]¤K¤~�Z�� T�����I�U�¡�����s�]�]�_���V�Q R�!�]�U�Ó�����<�!�2�° UÄ7ª

³³­´|ÔÅÕ°ÖÕ�×'4Ø ¶ #ÙC�% µ % '�(w,·C µ %�'�+-,!,

«��2�Ú�U�]�Z���7�]�����R� ¶ ( �]��� ¶ + �]�!�Ã�¢�\ÄQ�R�^���RÛ* ����R�­�j�_²Ü R�W�����Ã���Å�������!���\ UÄ�Ý¥���Å�����]��¡§2�0�j���0�Z���0�����]�¡���]���6�Ò�c�����c���]���Z�¡���]���0¤|�]²N�U�!�0¦Ù�����c�!�2�° TÄ4�U�T U�0¦£�6�Z����¦�§2�0�����0���¢ª4«��2��²�]�T�<�]�Þ���$�¢�\ÄQ�R�±���RÛß R�������¡��²©�R�0�I�U§2�0�����U�!�0¦à�����?�!�2�° TÄ9���9� �2�]�|�����<�T�0�Z���Q�]��²$¤w���������]������¢��� �R�R�!�4¤w��� �±� �2�Ó�Ò���\ UÄ�¦£�0�j���0�m�0�����9�¥�¡��¦¥�Ó���­���������0��á ´ ª �������s�m�2�â d

Page 12: Hyperbolic Equations : Scalar One-Dimensional Conservation Laws

ãpäå�æZç�è�é ã è�ê-ë å�ì[í ã çjî·ç�è�é·ë ã î·ç è�ê�ë!ëïPð2ñZòUó�ô!õ�ö�ö\÷ø í å�ìå�æ í î·ç è�é·ë ã î·ç�è�ê-ëè é ã è ê ùûú î­üú è­üý�þ�ÿ����jÿ������ ���­ÿ ����������� õ�ò�ñ���÷������ñ�� �!

"$#&%('�) *,+ �.-0/&~þ�132546�Pþmý5 1��78�2ö8�!ö°òUð����:9 � ö8�Tð�;<�=��ôôÒñ � ö>�?� � ö\ô � ô!ö>@ ��A @ ñ�B÷Zö>�TöCB � �D���D��EF�!ð2ö<÷G��ôTòRñ��H��I� � ñ � ôhôÒñ AI�GJ�?�Wñ��F��ôK�!ñ<ôL�;MB?�ON=���TðF�!ð2öô!ñ AD� �?�Wñ��£òRñ���ô��B � ò(�!ö°÷ � ôL�D��E<òUð�;MBP;7ò>�!öQB?��ô���Wò\ôCR�Shð��Wô|ôÒñ AI� ���ñ��� ;6TVU­ö �W��A �?� JYX ; AI� ö\÷Z�I@­òUð�;�B;Qò(�!öQB?��ôL�?��ò�ôsòCB!ñ�ô!ôQR�Shð2ö �W��A �?� JYX ; AI� ö\÷Óõ�;MB?�Tô�òC;M�WU­öcö A � �FJ�D��;<�Tö\÷[U\T5�D��ôÒöQBL��I��E�ôÒð2ñZòUóZô=;<�!;7õ2õ�BTñ7õ�B�:;<�!ö A ñZòC;<���ñ���ôQR]Shð2ö4ô!ð2ñZòUó A ñZòQ;<�?�Wñ���òQ;M�^U­ö÷ZöC�!öCB � �I��ö\÷$U\T.�!ð�ö`_aCb�c<d3c<e?_Pc.e(bGdI_VNð���òUðf�WôÓ÷2ö�õ���ò(�Tö\÷f�D�g�Tð2öih�E � BTöFU�ö A ñ<NZR5Shð2öô!ð2ñZòUóF��ôhõ A ;7ò�ö\÷�ô!ñ,�Tð�;<�3�Tð2ö<ôÒð�;Q÷Zö\÷j;MBTöQ;Qô©ò � �cñ�k�ñ��VöC�I�!ð2öQBhô?��÷ZöIð�; X ö?öQ9 � ; A ;�B!öl;7ôQR

m�nDm�n�o -8p þ�qsrK1�� t�uHvxw�y$z�{| ñ�Bñ � BöC}�; � õ A ö�~

ø í ú î­üú è�üí�� ã���� ã ä í ä�

ì��í ä�� æ�

SHO

CK

m�nDm�n:� � þG4<��þ�� 1��$���\þG�l�H� t�uHvxw�y$z\�� @ è ��ô��2ñ���òRñ���ô��P;M�H�8;M�!U­ñ��!ð�ô?�W÷2ö\ô6ñ�@��Tð2ö9ô!ð2ñZòUó�~G�!ð�ö ����� õ�òRñ���÷G�I�?�Wñ���ôL�?� AIA ;0õ2õ A �Wö\ô1����7þ�1�1���� ô!ð2ñZòUó�õ�;M�!ð^�Wô ���46���H� R

ä7ä

Page 13: Hyperbolic Equations : Scalar One-Dimensional Conservation Laws

�O�����F���I�� ¡£¢�¤¥��C¤P¦Q§H�l¨H¢��<©ªI«�¬j­=ªI©?®¯K°�±�²³�´]µ ¶· ¸ ³ ±�¹º³± ³F»¼±�»¾½³ ±�¿¾½

À�ÁHÂxÃ�Ä$Å�Æ

Ç�È�ÉFÊÈ�Ë<Ì?Ë�Ê>ÍÎÉCÌ(Ï:ÐPÍÑÏ�Ê>ÐFÉ>ÒiË<Ó�Ë<ÍÑÏxÓHÔ8ÕPÌ?Ö<Ò °�³�²C½6´ Ë<Í�× µØ³ ËMÌ?É8Ô�ÏxÙ<É>ÓsÚ>Û±jµÜ±�Ý\°�½�Þ × ´

Ö<Ógß�È\Ï�ÊPÈ ¯ °�±�² × ´�µº± Ý µ ±½�Þ ×à ÌÖ<ÙlÏ�á�ÉPá�ÊÈ�Ë<Ì?Ë�Ê>ÍÎÉCÌ(Ï:ÐPÍÑÏ�Ê>ÐZÈ�ËMÙ6ÉiÓ�Ö<Í3ÏxÓ�ÍYÉCÌPÐCÉÊCÍÎÉá�â[Ç�ÖjÍxÈ�ÉFÌ(Ï�ÔlÈGÍ!Ö�Õ,ÐLÈ�ÖQÊPãjÍ�È�ÉiÊPÈ�Ë<ÌË�ÊCäÍÎÉ>Ì(Ï:Ð(ÍÑÏ�Ê(ÐWË<ÌÉ,Ù<É>Ì(ÍÑÏ�ÊPË<å�ßOÏxÍxÈ ¯[µæ³ ÖMÓ$ÉPË�ÊPÈ�âç ÖjË<Í�ÍxÈ�ÉZÐ?È�ÖlÊPã6è ±�é èê ±�éê × µìë °�¯�íO´Kî ë °�¯�ï�´¯ í î$¯ ï µ ½ð ¯�ñí î$¯�ñï¯ í î$¯ ï

µ ½ð °�¯�í[Þ�¯�ï�´µ ½ð °�³!Þ ± é½�Þ × ´µ ½ð ±�é½�Þ ×GòÇ�È\Ï:Ðôó]õVöæÈ�Ë6ÐZÐCÖMåø÷GÍ�Ï�ÖMÓ ± é µúù ½�Þ × ²ß�È\Ï�ÊPÈ.Ï:ÐVÍ�È�É,Ð?È�ÖlÊã à Ö6Ð(ÏxÍÑÏ�Ö<ÓgÐ>É à Ë<Ì?ËMÍ�ÏxÓ\Ô ¯ í Ë<Ó�á ¯ ï µ ûü ûLý&þ â

½ ð

Page 14: Hyperbolic Equations : Scalar One-Dimensional Conservation Laws

ÿ��Dÿ��Dÿ ���������� ���������������������������� ������!�#"$�&% ' (�)+*�,�- ./$0&1�24365�798 :!;:!<>= :@?A ; A:!B CED F4GIHJLK MON 3QP MQRTSUR ;; :!;:!<V= ; : ?A ; A:!B CWD 0X8 : ?A ; A:�<Y= : ?Z ; Z:!B C[D

\ 7 N^] C ?A ; A`_ Nba 791dce7gf�h`1Ic^8i3 N 7: ]:!< = :^j kZ ]�lm:!B CWD FinoH ' (�)+*�,�-�p/ a h&8bhXf N 7�8i362 N 36f92�q

G rtsrbu CEvxw ;zy C ;n rtsrbu CEvxw ] y C j kZ ZAU{ ] C { | ] C ;} a 0�ft~T2iP!797�5�qG ����C ?A w ;x� = ;!�zyn ����C AZT� l�x� � l �� m � � � m ������X� ���� ���L�X����������� ������!�E �X%���������x������&�� ��#�&�!�����������U�[�z��� �x����b�

�� z¡£¢o¤ ¥�¦§ �¨t©#ª£«¬¢�¢U­zª® 3Q2bf¯0X1 N 3O1 K 0 K 2�240 MOK N 3Q0&1�2°5�7�P�7�1�5V0&1 Nia 7^± K h&1 N 3 N²R³S 7�3O1 ´µf90&1�2i798b¶&7�5z·�¸¹1 Nia 7^0X8i3Q´&3Q1�h M7�± K h N 3Q0&1 _ c$7ºf90&1�2i798b¶&7 ; _ c a 3 M 7º3Q1 Nia 7³2i7�f90&1�5I7�± K h N 3Q0&1Ice7ºf¯0&1�247�8i¶X7»?A ; A ·$¼^7�f9h MOMNia 7º2 a 0�ft~�2iP�7�7�5 2�h`8b7½´X3O¶X791 S�R �¬C¿¾ À9Á¾ � Á

·§Â 0X8 Nia 7µ0X8i3Q´&3Q1�h M 7�± K h N 3O0X1 _

� ? C ?A ; A�»Ã ?A ; A�;x� à ;!� C Ä| w ; � = ; � yzÅ

 0X8 Nia 7µÆ>0�5�3OÇ�7�5I7�± K h N 3Q0&1 _� A C ?Z ; Z� à ?Z ; Z�?A ; A� à ?A ; A� C |È ; Z� à ; Z�; A� à ; A��ÉC Ä

| w ;!� = ;!�zyxŸ N 3Q2 Nia 798b7¯Ê�0&8b7½¶&798 R 3OÆ>P!0&8 N h&1 NeN 0>h M cËh R 2 K 2i7 Nba 7½f90&1�2i798b¶&7�5�± K h`1 N 3 N²R>N 0Vf�h M f K M h N 72 a 0�ft~T24P!797�5z·

Ä�È

Page 15: Hyperbolic Equations : Scalar One-Dimensional Conservation Laws

Ì Í Î@ϵÐÒÑTÓVÔ9Õ×ְدÓ�ÙdÚ Û Ü�Ý+Þ�ß�à áâäã!å`æèç�éiå`êxëìåîí>æ�ïñðXòóìã!òºåµô�ò9ã!ò9éiåîêöõO÷�òtðVø9ïîêùç�æèõï`ã�ï²ú¬æ+û�ògõ+ã�ü�õ6ø9ý¯õð×òtþ¯ç�å`æèõï`ãLæ+û�åîæ$ðXï�ò¯øã!ï`æ°éiòtþ¯ç�õ+ébò½ð`õ ÿ�ò9éiò¯ã�æèõå��¯õ+êùõ+æèíñõ6ø�æ¹ïµô�ï��tåXý��Væ¹ï�æ+û�ò½õ+ã�æ¹ò�ô`éiå`êîú¯ïîé�� ï4ú�æ�û òµýtïîã�ø9ò¯é£üîåîæ õïîãêOå`ë��Ëåîãxð>ø9åîíTæ+û�åîæ�� �������ºõ6ø³åVôXò9ã!ò9éiåîêùõO÷�òtðTø9ïîêöç�æ õïîã ï²úºæ+û�ò�òtþ9ç�åîæ õïîã�õ úµæ+û�ò�õ+ã�æ¹ò ô&éiå`êú¯ïîé�� ï²úºæ+û�ò�òtþ9ç�åîæ õïîãoõ6øgø9åîæ õ6ø�ó$òtð@ú¯ï`é�åîê+ê����[åîãxð������â¬ã#å`êöæ¹ò¯é£ãxåîæ õ+ü�òIæ¹ï�æ+û�òIå��tïîüîò»å����!éiï�å&ýtû�õ6øTæ¹ï»ë°é£õ+æ¹òLå�� �"!$#&%(')!*'+��,-��./'�õ+ã[å�ú¯ïîé��ë�ûUõýtû»éiòtþ¯ç�õ+éiò¯øµêOò¯øbøgø��ñï�ï`æ+û�ã!ò¯øbø§útéiï$� æ�û òºø9ïîêöç�æ õïîã/�021*354�687*389 �:/;=<?>A@CBED 9GF �������IHGJLKM ON PRQGN PTS �J KM õ6ø^æ�û ò�ø)� åXýbògï4ú�ýtïîã�æ õ+ã�ç�ï`çUøxútç�ãxý¯æ õïîã�ø^ë°õ+æ+û×ýtïîã�æ õ+ã�ç�ï`çUø�ó§étø£æ�ðXò¯é£õ+üîåîæ õ+ü�òµæ+û�åîæ�û åîüîòýtï?�T� åXý¯æ$ø£çU�V��ïîé£æXW§õ �+ò(�½æ�û å`æËå`éiòg÷�ò9éiï×åîæeõ+ã�ó§ã�õ+æèíV�

Y[ZM Y=Z\ Z F : ;[< > �^]���]�� @_BNa` 4�b(cVdfe?4�6 ` c D 9-7�e$d�4�gY ZM Y Z\ Zih F : E; F > <�jk]V��]V�L; Y Z\ Z F O�L��Bk�a�O����B���]V�l@_Bm û ò>åV�tï`ü�ò³ø£æ�å`æ�òn�ñò¯ã�æìë°õ+ê+ê��tòA�>ï�ðîõ óeòtð×åXýbýtï`éiðîõ+ãUô`êöí½ú¯ïîé³ål�tïîç�ã!ðXòtð>ø)� å`æèõå`ê�ðXï?�ñåîõ+ã*��9íñõ+ã!ýtïîé)��ïîéiå`æèõ+ãUô×æ+û�ò�åf�V�!ébï��!é£õå`æ�òo�tï`ç�ã!ð&å`é£í�æ¹ò¯é���øn� Û Ü�Ý+Þ�ß�à*pN+q e D�r?s b�g�4�e$4�b(t�b ` 4u68g�g�e?4�68g�v�b(w qOr d�eV353xF HyJ KM ON PzQ{N PTS � 4�|*b `}�O�L����� 6~g�eG���k�*��U���X���U� ���� òbåU� ø9ïîêöç�æ õïîã�ø�åîéiò ò£øtø9ò¯ã�æèõå`ê+êöí�ø¯ï`êöç�æ õïîã ø�æ+û�åîæ>ø9åîæ õ6ø�útí�æ�û ò ð`õ ÿ�ò¯ébò¯ã�æèõå`ê³òbþ9ç�åîæ õïîãë�û ò9éiò»æ+û�òdø9ïîêöç�æ õïîãWõ6ø×ø��ñï�ï`æ+û��>åîãxð æ�û ò��£ç��T��ýtï`ã!ðîõ+æ õïîã åîæVð`õ6ø9ýbï`ã�æ õ+ã�ç�õ+æ õò£øn� â¬ê+ê� ø£æèéiï`ã�ô"��ø9ïîêùç�æèõï`ã ø�ï²úeæ�û ò½ðîõ ÿ�ò9éiò9ã�æ õåîê�òtþ9ç�åîæ õïîã×å`éiò¬å`ê ø9ïµëìòtå(�µø9ïîêöç�æ õïîã�øfW�æ+û�ò@ébò¯üîò¯étø9òõ6øËï��¯ü�õïîçUø£êöíµãxïîæ�æ é£ç�òU����ã�ú¯ï`é£æèç�ãxåîæ¹ò¯êùí���æ+û�ò¯éiò^õ6øËå��xé£õýbò@æ�ïx��åîíu�9ígò9ã�êQåîéèô&õ+ã�ôºæ+û�ò@ý¯êQå�øtøï²ú½ø9ï`êöç�æèõï`ã øn��z����� �(��� �L�(�X����� 4 ro�"r�` g�b(d s e$4�6 rV` 3~e���gI���?� rVq 4�b ` ����������� �^� ���

�n�

Page 16: Hyperbolic Equations : Scalar One-Dimensional Conservation Laws

����  ¡£¢x¤¦¥?§T¤T¨�©¦§�ª�¤Tª�«�«¬L­ ®�­ ® ¯±°³²*´¶µ�· ¸º¹�»�¼�½?¾�¸�½?¿�À�¸�Á^¼�²�Â(ÃXÄ�Å Æ�ÇkÈÊÉ�Ë&Ì�ÍÎ�ÏOÐ�Ñ�Ò�Ó ÔÖÕØ×�Ù Ð2ÚÛÒÙ Ð2ÜÛÒ Æ�ÇkÈÊÉ�Ë&Ì^Ý

Þ/ß*àAáÊâ�áÊã)á ä?å�æ�ç$â�è$áÊãXá ç$â}á~é�áÊâ�ê"ä�æ"ã�äoé"ç$åìë�ã)á ç?â�ê"ç$íAä?åÊåLãXáÊîoà�éï�ð*ñ�òfó-ô¦õ�öV÷ Ï ï�ñVø8ù�ú�û8ñVü2ý Óþ±Ô Î�ÿ��yÎ��� Ô ÒÎ�ÏOÐ�Ñ���Ó Ô Õ ×�Ù Ð2ÚÛÒÙ Ð2ÜÛÒ

Æ�ÇkÈÊÉ�Ë&Ì�� â�ç$ãÊß�à"í��ç�éfé�á �"å8à�é"ç$åìë�ã)á ç?â{á~é� õ���÷�� õVò�ú�û5ñ�ü ô õ�ö�÷ Ï ï�ñ�ø5ù*ú�û8ñVü » Ó� énç?îoà"ã)áÊîEà"éAæfä?åÊå5àfèlà����ä?â*é�á ç$â��xä��?à"é��Î�ÏOÐ�Ñ���Ó Ô �� � ×�Ù Ð2Ú × �� × ��!=Ð"!#�Ù Ð�Ü$�%�â�ê"äVænã &xáÊã á~é'*ç?éféfá �nå5à�ãaç æfç?â�éfã)í�ë�ænã áÊâ)(xâ�áÊãaà"å+*oîoä?â,*��xàfä)--énç?åìë�ã)á ç?â�é�.oÞ*í/*oáÊã10 Æ�ÇkÈÊÉ�Ë&Ì*Ìï�ñVø8ù�ú�û8ñVü2ý ï�ñVø8ù�ú�û8ñVü »

���32 42¤�576�¢98':<;}¢x¤>=T¨?5*¨�¢x¤ Æ�ÇkÈÊÉ�Ë&Ì7@A<B Ã3C B à ¿� B ¸iµ BED ¿Uà C�²*· · D ½?¸�· ¸GF*²*Å/Âo¿UÄ�·X¼�ÂUà Ä�ÅIHJ���û ú�÷���û5ñ�ü�K�ú�ð�÷ML*ð7N7O�û~ònõ$øPO�ñVø8ù�ú�û5ñ�üQO�õ?ú�ûROTS�÷)Oø5ûRUV3WYX>Z9[ Î[ � � []\ Ï Î/Ó[ Ð Ô_^ [E` Î[ Ð `

aÙcb

Page 17: Hyperbolic Equations : Scalar One-Dimensional Conservation Laws

d"e"fhgji�k/l m�e�nporqsept�g�n�e�uGe�iEe�nhv�wyx)lzk�f{g�|7k}k�g�w+|~o�l g�is��v�iEm�o1vc��eQo�q�epw�lrt�lro�v�k��}������Eq7lzk�lzk�orqse�x�v�i,lzk�q7lriGu"x)lzk�f{g�k/lro���k�g�w+|~o�l g�i�mjlzk�f�|7k{k�ehmpe{v�n/w�l e�n��"�Eq7lzk�f{gji�m�lro�l g�i�lzk�iEg�o� v�n/o�l f�|~w�vjn/w+��e{v�k/��o?g"��gjn�����lrorqs��dpe���lrwrwyeh�7v�t�lri�eQ�{e�w�gj��k�g�t�epeh��|~lrx�v�w�e�isoI �g�n/t�k¡�¢ �r£,� ¢�¤¦¥ g§ �e�� � nhe/k{k/lriGu�orq~lzk�e�i,o3n�g � ��f{g�iEm�lro�l g�iE�¨ª©z«P© ¬ ­�®�¯E°,±G²´³Tµ�®�¯ªµ¦¶�°�±�·�¸º¹ª²P±7» ¼�½G¾r¿ÁÀ�Â�ÃÄÆÅ�Ç)È�ÉIÊ�Ë]ÌÎÍzÏÑÐ�Ò�È7Ó¦Ç�ÔpÍ3Õ Ç�ÕMÉEÖ Ö3Ê ËEÌ>×Ø��Ê�Ò¦Ù>Ð�Ò�ÈsÐ)Ú�Ó�Ç�Í�Õ Ç¦ÕYÉEÖ Ö�Ê�Ë]Ì>ÛØ�¦ÌÎÜ�Ò�ÙYÚjÝRݪ˺Þ�ß�Å�ÇÇ�ÈGßhÙ�Ò¦àGá�Ð�Ò�Èsâ�Í�ßhÍ�Ò¦ÈQÐ)ÚjÈpã,ÇMäÎÙhÍ�ßTß�Ç)ÈQÚ¦Ïå Ê�ËEæ]Ì�çèÉ Ö Ê�ËEæPÌ'éÆêMé#É Ö Ê�ËEë�Ì�ç å Ê Ë�ë9Ìì ÅsÚ�ÙhÚ¦Ð/ß�Ç)Ù�ÍzÏTß�ÍzÐ�Ï�í�îsÏTßïÙ�îsÈpð ¯Eñ)® ßhÅ�Ç�ÏTÅsÒ7Ð{ò�Ü�Ò�ÙÎÍRÈsÐ�ÙhÇ)Ú¦ÏTÍRÈ�ó�ô/Þ�È�ÒjßÎÇ)í�Ç)Ù�ó¦ÇÑÜ�Ù�Ò¦íõÍ�ßcÕ ¼�½G¾r¿ÁÀ�Â�ö

ENTROPY SATISFYING

ENTROPY VIOLATING

¨ª©z«P©z« ÷>²P¶�ø�ùIú ± ¼�½G¾r¿ÁÀ�Â,ûü Ò¦Ý�î~ßhÍ�Ò¦ÈQý å Ê�Ë æ Ì9çÆË æ çÿþ��ê>ç��� Ê�Ë ë�� Ë æ Ì9ç_�å Ê�Ë ë Ì�ç Ë ë ç���9ÈGßhÙ�Ò¦àGá�Ð�Ò�Èsâ�Í�ßhÍ�Ò¦È}ÍzÏÎÓ7Í�Ò¦ÝRÚjß�Çcâ�Ð{ÅsÚ�ÙhÚ¦Ð/ßhÇ�ÙhÍRÏTß�ÍzÐ�Ï�Ç�í Ç�Ùhó�ÇÑÜ�ÙhÒ�í ßhÅ�Ç�Ï�Å�Ò~Ð{òü Ò¦Ý�î~ßhÍ�Ò¦È�� Ò Ï�Å�Ò~Ð{ò�� ���¨ª©z«P©�� ��ú ± ð ¯ ð���� » ­�®�¯�� ð ñ ð ®�¯ ¼�½G¾r¿ÁÀ�Â��� àsà�Ý�ÍzÐ�Ú�ã�ÝRÇYß�Ò ó�Ç)È�Ç�Ù{ÚjÝ �sî~Ô}Ü�î�ÈsÐ�ß�ÍRÒ�ÈsÏËIÊ�!#"�ôT̺ÍRÏ�ß�Å�ÇÎÇ)ȦßhÙ�Ò¦à7á�Ï�Újß�ÍzϧÜ�á7ÍRÈ�óMÏTÒ¦Ý�î~ßhÍ�Ò¦È Í�Ü]ÚjÝRÝ�â~ÍzÏ�Ð�Ò�ÈGß�ÍRÈ7î�Í�ßhÍ�ÇcÏ9ÏhÚ�ß�ÍzÏTÜ�áMß�Å�ÇÎàsÙ�Ò¦à,Ç)ÙTߧáß�Å,Ú�ß ÉIÊ�Ë]̺þ�ÉIÊ�ËEæEÌË�þ�Ë�æ ×ÆêM× ÉIÊ�Ë]̺þ�ÉIÊ�ËEëIÌË�þ�Ë�ëÜ�Ò�ÙïÚ�Ý�Ý]Ë"ã�Ç�ߧä'Ç�Ç)ÈpË æ ÚjÈsâ}Ë ë Õ

�%$

Page 18: Hyperbolic Equations : Scalar One-Dimensional Conservation Laws

&�')(*'+& ,�-/.1032547698�:�-<;=.?>@2 -�ABDC=EFEHGJIKC3LNMKO@PQGSRTUG1V�W=L C=VYXNGSRZIKX�W3R[WUI1V\G1R]O+^?W3V_O@C3L`CbacV�X�GJG1LNV_RdCKe TfIKC3L P=OYVgO@C=L�ME�XhO@IKXO)M�ijG1R]TDklGSL/GSRdW=m<W=L PJIKW=LonKG�RdGKWQP3OYmpT�GdqQVrGSL/PUGKPcVrCcM]TjM]V\G1sDMDCtauG[v1wNW3V_O@C3LNM1x

y zl{Y|#}o~���c�@�/���)�Z�=�`� -/.10325476��\:�-<;=.?>@2 - �+���+�J�)� 4H2 A%>@.%>�� � � ;Q25-/� �Q�����U�N�9�d�N�1�[���S�����t�[���S� �d�[�%�d� � �N�������� -/.10325476���: � �d¡ � �J�[�N�3�

¢�£_�@�/�¥¤¦�§£_���7�t¨/£_���7�© � ���tª �h� �[��� �U« ¡��[� � �N�

¬ ­ �­5®

¯ ­ ¢­ °

¤²±

³´RdC?CbaSµJ¶�w�mpV_O e mpT·VYXNGJC3R]O¸kUOYL W=m¹GKv1wNW3V_O@C3Lº�5» ¯ ¨3¼�¤½±�nST¾� £ W3L/P�V�X�G�WUnKC3i3G¾RdGSMKw�m¸V@MaSC3mYm�C3E�M1xy zl{Y|#}·¿NÀÁ¹���´��¡�� � �d� � �c��� °#Âd® �<�����d���Ã�%�Q�[� � �hÄu�d�=�d�)�b��Äh������� �Q« ¡��[� � � � �N�[���Ã� �3Å �1�[���+�N�Æ�%Çl¡N�=�d� � �N��+�b�=� � �È� «�«N�S� � Å �S�D�%�l�d� � �hÄ���¡�� � �d� � �N�¹�c���7���=�5� �1� �[�d�?�t� � �5���+�N���%�l�d� � �hÄ�ÉN¡����?�¥¢���7�]��d�N���+���?Çl¡N� « �¸�bÄ

­ �c���7�­5®

¯ ­ ¢�@�/�­ °

Ê ±�)�Ã�d�=�d�)�bËN�?�J�����d����Ì´�%�UÍJ�d�1�N�d�UÎ ÏuÐ%±Ñ\�¥¨����7�H�)� ;Q25-/� �Q�ÒÌ´� � � « ÄZ���%�%�¾� �� ��� � Í� � � 2 - ���c���7�ÓoÔ7Õ]Ö·×5Ø ÙÛÚ�ÕdÜUÔQÝ7Þ²ßÈà5Ú¥áhÕtârÔ�Ú<ãÁ¹���)�Æ�)���=�·� « �[�1�[�N�3�[� Å �D�=���N� � � � ��� � �1��� � � � �+���J�d���ä�1�l�d� � �hÄ �S� �N���+�d� � �*Î�Ñr�f�Q�Q�Æ��Älå�N�Uª�� � �%�j�Ã���hÄ��t� � � « Çl¡N�=�l�d�+�bÄ��S�����t�[� � � «+« �%���[���ÛG1LNV_RdC[e/T��d�N�=���)�*Íh� � ÌÃ��� ��æ � �1� �N�t�[�U�l�� «�� �N�J�N�U�t�[� �1« �ä�N�3�[�N���+�o�tª �h� �[�fÉ � Ì��*�U�N��� �uç ¡�ªc�º� � �J�����U�N�1� Å � « ¡N���Q�Æ�[�����Q�U�� � � �[�d�%���Z�d� ��� Í/ÎÆÁ¹���ä�1�l�d� � �hÄ � �=�·��� Å �1� ç ¡Nª��·� � � «+� Ì´�1� Å � « ¡N�¾�gè�� �S� �N�fé��jÌ � �Á¹���%�dª � ��Äh�N�=ªc� � �K�H�U�N�J�d���)�¹�U� Å �?�H�[���§�S�h�d�K� �S� �5���¸�[� � �JÌÃ��� � ���1�N� æ�« �?�¹¡N�È� � �d� « � � ��d�N�����hÄh�d� � � «�« Ä �S� �[�[� � ��� �U« ¡��d� � �#ÎÁ¹����� æ �3Å �§�����%Çl¡N� « �+�bÄZ�)�Ã���1�[� Å �%� æ ÄZªD¡ « �[�+� « Äh�+�N�c�d��� Å �)� �1� ¡N�¹�?ÇQ¡5�3�d� � � æ Ä�� £ ���7�

��£¸� » ¯ �§£)¨ ¤ ê]��£¸�/¼%¼��» ¯ ¢�¼ ¤ ê]��£¸�/¼%¼��» ¯ ¢�¼ ¤ ê?�\��¼?¼§ë � £ £ �/ì¼ �

�d�+� � �D���)� �S� � Å �S�7�N� £ £7í ±c�=�N��� ���» ¯ ¢�¼ Ê êS��¼?¼

Ðjî

Page 19: Hyperbolic Equations : Scalar One-Dimensional Conservation Laws

ï=ð5ñJò�óSôdôdõ�ð�öZ÷´øúù�öQõ+ûQó%ü%ý þÿ�������� ù

õ�ð�ï�´ó%ï�Zütó%ðNütó ���� ó��´ó%ï�������������<ô � ó�ó%ðlô��������õ+ðNó �"!Nï=ò�õ+ô#�Zõ�üÃô � !Nü$&%' $(%) %+* , ÿþ � , � �.-�/�01/�23� $(%) %4,�5 076 ù 8 /�09� ù

ô���: óuüdï=ôdõ)ü#;5ó%ñ<������ï=ò�ò ,>=@?7A' 5�B CED@B CGF 8H�Ãõ+ô � ,�5 076I2 8�J ùK������ï=ò�ò 0 ï=ð5ñ 2 �L �Uôdó�ô � ï3ô�:5óNM1ïQüI!�óO�Èó � ïjûUó�ðP�Q� ïUð�õ+ð�óN�"!Nï=ò�õ¸ô#�QýR�ÈóS�K!Nütô7�[ó �"!�õT�dó�ô � ï3ô�ô � óU�Èó%õ+ö � ô[õ+ðNö��!�ðVMSôdõT�UðNü , : óW�X�lütõ+ôdõ�ûUó �Y7Z\[�Z\] ^`_�aPbdcfehg i1j"kml3npo3qr !P�[öUó �[ü shó �"!Nï3ô[õt�Qð+u 5hv 8Sw Ax v x� ï�Uó þ 5hv 8Sw v x ïUðNñ � 5�v 8Sw xy v yz ðlô���� �"�õ�ð�óN� !5ï=ò�õ¸ô#�

5hv x 8 ÿ���{O|} vy�~ � � ù

� �������������.�������������������������I� ��P�� ¢¡¤£¦¥#§7¨ i1j"kml3npoX©ª �3ûUó �dðNõ+ð�ö�ó �"!Nï=ôdõT�Uð¬«f­ ÿ�� u 5 ­�8 � w²ù

u 5 ­�8Sw�­ v w4­ vX®�¯�° {²±�³ ­­ ®�¯�°~

uµ´ 5 ­¶8Ow v1®�¯�° { ±�³ | ­­ ®�¯�°~ 6 uµ´ ´ 5 ­�8Sw ³ | v1®�¯�°­ ®�¯�°4· ù

¸µ¹PºU»H¼�½�¾\¿ÁÀ<ÂÄÃ�Å1ÂÄÀQÆQºHÇļ¶Å1Â�ÈɾhÃ�ŬÃ#Ç�È�¹PºÁ¼¶Å�Ê�Å1Ã�Ë�Å ­²ÌÍ w * u -* ­ - w v ®�¯�° { ±�³ ­�Î � ­"Ï­ ®�¯�°

~

± Ð

Page 20: Hyperbolic Equations : Scalar One-Dimensional Conservation Laws

Ñ�ÒhÓ1ÒhÓ Ô�ÕUÖQ׶Ø�Ù+Ú�×PÛ�Ü Ý1Þ"ßmà3ápâXãäUå�æXçIè\é¶ê�ë�ì�íïîðì ñ�ò�ó�ô�æVé�ì"õpö&ì"ñ�ò�óø÷ ù3ú7û Ù üýpþ ÿ���������þ�� �����������������Äþ����������� ��� �!�"�#�%$&�('����)���µÿ! �*���+����������Äþ�������,-��� þ/.0.1 ����2

VEHICLE TRAJECTORIES CHARACTERISTICS

3 ö&4¦ô�æVé65#7Vê�ç%7På�8�9;:Vë�å�:Vô<"ô�5�êNç=5�å-5#7Pê?>Tê�@ 5 A�B�B

CEDGF�HJI�I KML�N�OQP6RTS+DVUXWZY\[(D]P�^_Y0D�S/`aF#b+D�cd 7Pêe8 ô�ëÄç¦ô�ë�ê�f�å�g�ètæV<ïô5<ç%:1ê�êNé&h1õjik4mlT7Pê æ&5#7Pê�n(ê�æ�8�å0oVæ�5�ê�ë-5/7Pêp5�ëÄô�q;8srIôfptu 7Pê æv5#7Pê�n�ç%>\ôf å�æp5/7Pê�èTëZwPë�ô09�êNç�xV5#7Pê�n�èTæVç%5�ô�æ�5Äô�æPê å0oVç#>yn<ë�ê é�oV8�ê?5#7Vê�èTëzg ê�>Tå�8�è{5|n�5�å} ê ë�å�x7ô�æVéE5#7Pê�é¶ê�æXçIè~5|n6r|oVfs:Xç�@�ë�å0f�ì õ 5�åpì ñ�ò�ó�� 5#7VèTçÁèTç�5#7Pê�ç%7På�8�9*��t d 7Pê@ç%7På�8�9>Tå�8 ô�5�ètå æ�få�g ê ç�5�åe5/7Pê6>Tê�@ 5�ô�ç�f�å ë�ê68 ô�ëÄç�r#å�èTæ�5/7Pê;5�ë�ôq!8?rIôf � 3 ö�4���t u ê 8�ô�æg�ê ë�è~@�n!5/7Vô�5z8�7Xô�ëÄô08�5�ê�ë�èTç%5�è�8�ç�ë/oPæ+èTæ�5�å-5#7PêKç%7På�8�9�ô�æVé�5#7Xô�5�5/7Pê�ê�æ�5�ë�å�:�n�8�å�æXé¶è{5�ètå æ+èTç5#7�oVç�ç�ô�5�èTç%�VêNéGtÑ�ÒhÓ1Ò�� Ô��@Ö��������(��� ú1� Ü Ý1Þ"ßmà3ápâPâäUå�æXçIè\é¶ê�ëT4�ö ì"í(ö&ì�õ>ö ì"ñ�ò�ó�÷ � ׶Ö���� ×PÙ � � û � t�1������s{�\�����¦þNÿ0���a���*�����+�����"�\.dþ%���/������|���+�����;��{�������������V�T�0�#�����12

VEHICLE TRAJECTORIES CHARACTERISTICSì õ î�ì ñ�ò�ó x@ì í î��  ì ñ�ò�ó A�B�¡

CEDGF�HJI�I KML�N�OQP;¢�DVUsW?L�N�L�H0£�N�P�F#b+D�c�Y0D�S/`aF#b+D�cd 7Pês8�ô�ëÄç¤5�å;5/7Pês>tê�@ 5.èTæPè~5�è\ô>y>~nv7Vô�g ê } ê�ë�å;g�ê�>tå�8�è~5|n � 5/7Pê�n>ô�ë�êÁç%5�å�:*:1ê épô5z5/7Pêètæ�5�ê ë%¥ç�ê�8�5�ètå æ���t d 7Pê�n�wXê�<�èTæ¦5�å¬ô�8�8�ê�>tê ë�ô5�ê<ô ç�5/7Pêv8�ô�ë�çÁètæ_@�ë�å æ�5Kå@¤5#7Pê�f§få�g ê0t¦¨�èTæV8�ê5#7Vêzg ê�>Tå�8�è{5|n¦è\çHètæ�g ê�ëÄçIê�>~n-:Pë�å0:1å�ë#5�èTå�æVô0>*5�å�5/7PêWé¶ê�æVç�è~5|n0x¶ê ô�8�768�ô�ë�8 ô�æ@å�æ*>yn�ç%:1ê�êNé6oV:

B�©

Page 21: Hyperbolic Equations : Scalar One-Dimensional Conservation Laws

ª�«v¬­y­~®�¯T°y±*²!³/´*µs¶*°y·%³/¬0±V¸�µsª�µ�³|¯�µ�µ�±J¸�¬¹�·�³/®6°y±V¸�¹/µ�¬�·%µ�ºZ»�´Vµ�¹/µ�¼�®0¹/µ�¯�µ�·#µ�µs¬6²�¹/¬�¶�½V¬0­¬0¸�¸�µ�­~µ�¹/¬³#°y®0±�¬0±V¶ ·%¾*¹/µ�¬�¶�°y±*²�®�½�³�®¼¿¸�¬0¹/·?À�³#´*µ?¹�¬¹/µ�¼�¬�¸�³#°y®0±�¯�¬�Á�µ\Â�ºÃ ®0³#µ�¬0­y·#®�³#´*µ�¹#µT°�·(¬0±*®³/´*µ�¹Ä¯�µ�¬0Å�·#®0­y½�³#°y®0±s³/®�³#´*°�·=¾*¹/®0ªV­~µ�Æ º¿»�´*°�·(·#®0­y½�³#°y®0±!¸�®0±�³/¬0°~±V·¬v·#´*®�¸�ÅE¬0±V¶�¸�®�¹#¹/µ�·#¾�®�±V¶*·Z³/®J¶�¹/°~Á�µ�¹�·�¬0¸�¸�µ�­yµ�¹�¬�³/°~±V² °y±V·%³/¬0±�³�¬±*µ�®0½V·#­y«e¼�¹/®0ÆÈÇ�É�ÊÌ˳#®_Ç�ÍÈΧËϬ�·;³/´*µm¸�¬¹�·�°~±�¼�¹/®0±�³pÆ-®�Á0µe®�½�³ ®0¼?³#´*µE¯�¬�«0ºj»�´*°y·p·#®0­y½�³#°y®0±Ð°y·�±*®³¾*´�«�·%°�¸�¬0­~­y«JÁ�°�¬ª*­yµ6°y±�³/µ�¹/Æ-·�®¼T³/´*µ6®�¹#°y²0°y±V¬­(¾*¹#®�ª*­yµ�ÆpºeÑ+±m³#µ�¹#Æ!·�®¼TÆ!¬�³/´*µ�Æ!¬�³/°y¸�¬­Á�°y¬0ª*°y­~°~³|«0ÒÓ¬­~³#´*®�½*²0´m°~³�·#¬³#°�·|Ô�µ�·Z³#´Vµ;²0®�Á�µ�¹/±*°~±V²�µ\Õ�½�¬�³#°y®0±�·�ÒM°{³�°�·?°y±V¬0¶*Æs°�·/·%°yª*­yµ;·%°y±V¸�µ³#´Vµs¸�´V¬0¹/¬�¸�³/µ�¹/°y·%³#°�¸�·T¹/½*±e®�½�³�®¼=³/´*µs·#´*®�¸�Åp¬±V¶e³#´*µ�¹#µ�¼�®0¹/µ?³#´*µsµ�±�³/¹#®�¾�«v¸�®0±V¶�°~³#°y®0±J°y·Á�°~®�­y¬³#µ\¶Gº

Ö]×�Ø�×yÙ Ú�ÛaÜ�ÝÓÞÓßÐÛGà(á�á�ßÓâ ã�ä�å æaçJè�éê ®�¹�·%Æ-®�®³/´ ·#®0­y½�³/°~®�±V·�°~±*¼�®0¹/Æ-¬³#°y®0±�³#¹�¬�Á0µ�­y·�¯T°~³#´v·%¾�µ�µ\¶vë1ì�À�í�Â

í�îGï_ë ì À�í�Â+í�ð�Ê�Ëñ ®0±�·%°�¶�µ�¹T¬-±*µ\¬¹/­~«;¸�®0±V·%³/¬0±�³T·#®0­y½�³/°~®�±

í1À�òMó%ô%Â(Ê�í�õ�ï�ö�í�÷À�òMó%ô%ÂÑ�¼Óö�°y·¤·%Æ!¬­y­G¯�µ�¸�¬± Æ-®�¶*µ�­]í ÷ À�òaó%ô%ÂT¯T°{³/´�³/´*µ?­y°~±*µ\¬¹Tµ\Õ�½�¬�³#°y®0±

í*÷+îGïÏë ì À�í�õ�Â|í�÷%ð�ÊÐË

ø1ù*ú�û üVû ý"û�þ�ÿ��0þ�ý+þ���û�����ÿ����� ��*þ���þý�ú�����ü���ù*þü���ú����Äû ý�ù���ú�ÿ� ���û ý�� ë1ì�À�í õ Â��ã�ä�å æaçJè��

ë ì À�í�õ\Â=Ê�Ç� �!�"$#&%('*) í�õí �!�",+ ó Ç�õzÊ�Ç� �!�"�#-%(' í�õí �!�",+

ë1ì"À�í�õ�Â/.&Ç�õ?¸�¬¹�·�³#¹�¬�Á0µ�­G¬0´*µ�¬�¶6®0¼Ó¶�°�·|³/½*¹/ªV¬±V¸�µ�·0 ½�³�º�º�ºí õ21 ÷3 í �!�" ë ì À�í õ Â�Î&Ë ¶�°y·%³#½V¹#ªV¬0±V¸�µ\·�Æ-®�Á0µZ¼�®0¹/¯�¬0¹/¶í õ Î ÷3 í �!�" ë1ì�À�í õ  1 Ë ¶�°y·%³#½V¹#ªV¬0±V¸�µ\·�Æ-®�Á0µ�ªV¬0¸�Å�¯�¬¹�¶

í õ Ê ÷3 í �!�"5426 ·#®0±*°�¸¤¾�®0°y±�³879;:�< =?>�@BA(CED-F/GIHJD-KLDNMBD-OPORQTS/>�UVOXWZYL[ ã�ä�å æaçJè]\ë¿À�ÇGÂ¿Ê Ç 3

Ç 3 ï_^1ÀE%('EÇG 3 ó`^sÊa%b�ú��#ú�(úJ�8 üc��ûd�0ú���ý ùVú�ezû�ú��-þüVüf���8 hg�ÿ~ú��i�� �üc��ûj��ý"û ü��� Zk�þl��ûj���� �üVý"û üB�B m�Zû ü�û ý�û�þÿ&�0þý�þÇ�Êa% k� m� ò 1 Ë þü�� ÇpÊ�Ë k� n� òeÎQË��

) Ë

Page 22: Hyperbolic Equations : Scalar One-Dimensional Conservation Laws

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

oTp(q�p�psr�tBumr�r�tBpVvxwhyxz�wX{�|�r~}d�m{$}�{�r�tP}jqs|�uIq�ps}jq�{�p�}�r�tcp��s|��m{B�mp8yf{��m��|��n{�|�um�mp��;��{sz�uh|�r��}�r�tBuIq�un{�}�{�v(p8y�}d�m{��B�m}�{�r�� �������&�����RAREFACTION

SHO

CK

�������tX�Iq�}d|�un�����T�Lpfq�p�p�r�tBumr�umq�r�tcp��Lunr�p��� ��m�mp�q�}�{c�(}�r�¡n}jq��]�¢uh|�p�qluT|8p��£r¤um}�{�z���u�|�r~}d�m{R�Zzr�tcp��m}��,}� f �p8¡n}dumr¤p���h�f¥sp8tX}�{�¡�r�tcp�qZtB��|�¦$r�tcp���pf}jq�u$ f}y�r�wX�8pf�Zzf�n}��Lum{]¡$�Lumr¤p����,}�r�t�¢p�q�q�un{�¡��¢p£q�qJ�m}���uIq2r~}� �p�q�§���p£qJ�n{��oTp�{��nr�p�r�tcunrLz��m��{]�m{B¨Z|��n{B�mp�ylvxwhy�z�wX{�|�r�}d�n{cq�}�rJ}jq��B�Iq�q£}d©��¢p�r¤�ªtcum�mp5uT«�}dp� �um{B{q��m��wXr~}d�m{$�¬tP}d|�t$}�{��I�n���Ip�q­©��mr�t$uJqZtB��|�¦�um{]¡�uJ�8um��p�z�uh|�r�}d�n{T�Lum�mp��/��z�r�tBp�v/whyxz�wX{]|�r~}d�m{tcu�¡s ��n��p/}�{�v(p8yh}d�n{��B�m}�{�rdq��-r�tcpLq��m��wXr~}d�m{� f}§�tXr-}�{B�m�m���mp/ ��n��pxq�tc��|8¦mq/un{�¡s��um�8pdz�u�|�r~}d�m{�Lum�mp�q��®5¯-°£±�²B³ ´�µm¶�·�¸¬¹Eº$»V±c°£±nµI¼_¹d½�¶-°�¹¤¯X½¾¯c¿2°Z¸L±�À�¸�º�¯�Áä¯Nºm¶-°Z¹E¯P½Ä;ÅcÆ(Ç�ÈhÉ�ÊXË�Ì�ÈhÍ�Ë�È­Ë�ÅBÆ�Î(Ì¢Æ�Ï�ÐnÍcÍfÑcÒ8ÈhÓcÉ�Æ�ÏÕÔ�ÐnÍ�Ó�Æ�ÖXÆ�Ë�Æ�Ò�Ï�Ì�ÍcÆ�ÖJ×�Ò�È�ÏØË�ÅBÆ(ÙhÒ�ÐnÑcÅ�Èn×]Ú�ÛdÜ]ÝÌ�Í�Ð�Ç�Ì¢Ï�ÑcÉ�Æ2Ï�ÐnÍcÍBÆ�Ò�Þ

ß �

Page 23: Hyperbolic Equations : Scalar One-Dimensional Conservation Laws

à;ácâ�ã�ähå�æ�çJänè;ç8éhæcêhâ�æBë�ìîí-ï�å�ðJãcñ�â�ë�åjðZâ�ò¢ìªç�ácâ�ã�ä�ðZçZó¤ð�ácäXë�ô�õménò�öcâh÷�à;ácâ�ðZç�ñ�énå�êhá�ç�ò�å¢æcâñ8â�ãcñ8â�ð�â�æ�ç8ðsç8ácâ�ðZáBäPë�ô�øEöcù�ãcå¢æBêTè�ñ�ä�ùúíüûþý�ç�äTíRûÿí-ïféhæ��îç�ácâ�ð�â�ê�ùfâ�æ�ç�änè����dí��é��ämõhâç8ácâ2ç�énæcê�â�æBë�ì�ã�ähå�æ�çsñ8â�ãcñ8â�ð�â�æ�ç8ð(ç�ácâ�ñ�énñ8â�èdé�ë£ç8å¢ä�æ�;éIõhâ�÷ ��änç8â2ç�á�émç�ç8ácâJð�ò¢ä�ã�âänèxç�ácâ�ðZç�ñ�énå�êhá�ç2ðZâ�êhù�â�æ�ç2å�ðãBñ�â�ë�åjðZâ�ò¢ì�ç8ácâ�ðZáBäPë�ôªð�ã�â�â��N÷fà;ácâ�èdé�ë£çç�á�émçç�ácâ�ò�å�æcâ�å�ðç8éhæcêhâ�æ�çfç8ä ç�ácâªë�öcñ8õhâ�ù�â�énæ�ð�ç�áBénç�ç�ácâªð�ácäXë�ô_ù�ämõhâ�ð�émç�ç8ácâªð�éhù�â�ð�ã�â�â�� é�ð�ç�ácâë�áBéhñ8é�ë£ç�â�ñ�åjðZç�åjë�émç(ç8ácâ2â��cêhâänè¬ç�ácâ2ñ�énñ8â�èdé�ë£ç�å�ähælèdénæN÷��çsë�énæ���â�â�ð�â�â�æ�ç�áBénç�å¢è,ç�ácâfðZácäXë�ô�xâ�ñ�âJë�ähæcæBâ�ë£ç8â��$ç8älðZä�ù�â�ã�ä�å¢æ�ç���â�ò�ä� í-ï��ç�ácâ�æç�áBâlðZä�ò¢öcç�å�ähæ�/ähöcò�����â�ùJöcò¢ç�å¢ó~õméhò¢öcâ����,énæ�� å¢è;ç�ácâ$ðZáBäPë�ô�xâ�ñ�â�ë�ähæcæBâ�ë£ç8â��5ç8ä�ðZä�ù�âã�ähå�æ�ç�é���ämõ�âsíNï�ç�áBâ2â�æ�ç�ñ8ähãPì�ë�ä�æ��Xå¢ç�å�ähæ�/ähöcò�����â2õPå¢ä�ò�énç�â��-÷� �! #"�$&%(')$#*,+-$."�+- 0/1�243 576�8:9�;=<>;4?@9 ACBEDGFIHKJMLN�OPORQTSU0VGW�OXWCYZ[S]\�^RY_\�O`^badceY=f0aGg�Oih-jkS�lmS^njkYWoh-O`^bp�S�adVqY�WrlmS�Z�hiaGg�S�asZtVGlGl@ukOXvTh-Owfkv>lVGW�xyO`p�O-lmY_\�VGWEz�WMv>UXO-^bVqjkS�l{Sk\�\�^RY-QyVGUnS�adVqY�Woh-|�}�goOia~Y�a~S�l�p�S�^bVqSawVqYWrY=f]S�fkv>WCj-awVqYW�í�V�hx�Ow�,W�Okx�S�h-�

���n��í���û�������d�í�C�

����R� ����n�dí��`û � í����5í��>����� í���� í�������� í�� �5í�������� í��@�îí��T�-��� í��:�5í����

N�OnWCYa�O�a�goS�a�aGg�OPa~Y�a~S�l@p�S^bVqS�adVqY�W7j_SW�ukOn^_O`lmSa�Okxea�YeaGg�OPUnS-QyVGUnSKS�W�x�UiVGW�VGUnSKY4fa�goO�fkv>WCj-awVqYW�S�h,f`Y�lGl�Y�Z�h-����n�dí��`û � í����5í��>����� í���� í�������� í�� �5í�������� í��@�îí��T�-��� í��:�5í����û �o�dí��I�_í��������o�dí��{�?í��b���5í����_í��û �]��� UXS�Q�VGUnS��(� U0VGWMVGUXS- 

1�2w¡ ¢�?@9�<o;49�£�?@£�¤�¢�¥�¤E6 ACBEDGFIH�¦>§¨©O`a�a�goO:S�ukY�p�Otfkv>W�j`adVqY�Wfí(j_Y^b^RO`hw\�Y�W�x0a�Y]aGg�O.VGW�VGadVqS�l�jkY�WCxVGawVqYW&f`Y�^:Y�v>^�jkY�W�h-O`^bp�S�adVqY�WlmSZ@|

���

Page 24: Hyperbolic Equations : Scalar One-Dimensional Conservation Laws

ª�«�¬M­4®�¯>°-±³²_´o°:²R«�²_µ¶I·�µ�±R®�µ�²_®m«y¬�«�¸©¹�º�»I¼R½4¾�¿C°`²=À³°-°-¬�²=À³«iÁC«�®�¬E²_­�»�ºq½4¾�µ¬�¯�»MÃyº�½4¾³¶�ÄT®m¬oÅ«�¬�²=À³«XÆk´Mµ±kµ�Æb²_°-±_®�­4²R®�Æ-­�Ç

ÈCÉEÊGËIÌ�Í�ÎÏ ¸:²R´o°�±R°�µ±_°eЩÑÓÒ�Ô{Ñ�Õ�Ö�Òe¿C°`²=À³°-°�¬7»�º�½4¾Pµ�¬�¯×»MÃyº�½4¾`Ø ²R´o°�¬×²R´o°�°`ÙT²R±_°-ÚnµÛÀ ®�¶m¶�¬o«²Æk´�µ�¬oÅ�°yØTµ�¬�¯�²R´o°#Ü�Ñ�Ü�ÝoÞ�ßoÝ>à�áqÝ>Ü�áqÑCÐ×âXáwÞqÞ³Ò-Ü�Ý�ã×Õ�ÑCÐ{Ò-Ü�ÝoÐ�ÜXâXáqÜ�Ô×Ü�áqä(åCÇæ�ç º�¹�º�»©¼4½4¾R¾@è æ�ç º�¹�º�»I¼_éy¾R¾

ê�ëwì íïîRðEñ�ò�ó@ôoîRó³õ�ò@õ�ð!ö�÷�ðEø ÈCÉEÊGËIÌ�Íoùú ´o°]­R«�¶�û>²_®m«y¬�µ²�µn­R´o«>Ækü�®�­�¯>°-²R°-±_ÚX®m¬�°�¯�¿TÄ�ý  º�½4¾ µ�¬�¯�ý à º�½4¾�Áo±_«�·T®�¯o°�¯�²R´o°0­4´o«>Ækü�®�­°-¬E²_±R«yÁEÄP­_µ�²_®�­4¸�ÄT®m¬�Å�Ç

ÈCÉEÊGËIÌ�Íoþÿ������������� ����� ������� ������������ �� �����!�#"%$&���')( ¹{ºq»I¼ æ ¾�*!+ ��,��$-�����.���/$�0��1�2���2$�'%3-$4�5 �$��� �����6� ¹�º�»©¼ æ ¾ �5 ��7��8 ��9��$��:���.�8�/$�0��;��"&������0�$�<

=4>

Page 25: Hyperbolic Equations : Scalar One-Dimensional Conservation Laws

?A@CB�DEB�F!G�?AHIHKJ L D�MENOD�PL/QRL D�SENOD�T4LUQVL D�W8NXD�T�LY[Z�\�]�^�_�`�a/bc\�d4]feg`h^/`�`8b�i�j�b?A@�B�DkB�F!G�?AHIHKJ L D M NOD P LUQVL D M NOD T L/QlL D W NOD T Lm L D M NOD P LUQVL D S NXD M L/QVL D�noNOD S L/QlL D T NXD�n%LUQlL D W NOD T LJ ?A@�B�DEB�F�G�p%HIH

q7r%s�t!uOv�wxzyk{�|�}U~�}8�4~#}8�I|.������U�E?A@�B�DEB�F�GI?AH�H m ?A@CB�DEB�F!G#p&H�Hx2����}U��}/~��4��� ��&� �7������c� D� F���� � F.� m p

�:�k���U�,�U���,����������U���7���7�����������/���. �¡£¢U���U��¢¤��¡¥���k¦§¢¤�7��¨��U���7�£��¢��§�k�,�!©#�c��ª����%�.¢U�c��¦�z¨��kª4�¤���7�«�,�1�¤��¬­�7®¯±°9²E°³¯A°³´�µ!° ¶· ¶¤¸�¹oº¼»�ºh¶,eg`¤½�Z-¾­¿�i�`�d�À5ZÁd6Âf¶�a�j4ÃÄj�ÀÆÅ1]7`/ÇIÈ�\�É�`�].^5\�d�]7j4Ã[Ê8Z#_.`�À/½�d�ÃË\�aÁµ9d�].^/`�À5Ì�j�b�\�d�]Í�j�eE^�¾�Î&]7ÈA°9¯hµ1Åg²�¿&ϧµÐ¶7ÑɧÉ�`/À ¶�a#i.dUd4Ã7d4]�ÏAÈ�Ì�j�]�a#`�ÈÒ²9ÃÓd�eÔ¶7\�ɧÑÃÄj4bc\�d4]�¾�¶�`2_7b2`�É;ǽ�`�ÀhÕ�Ö�Ö%×�º· ÍgØ&¸8¯:º�Ùº9Í�`�Ø,`�Ú/Ñ.`5¾ ´:ÑÉ�`/À5\�a�j�óÛf`/b�i.dUÈ�^±Â�d�À�µ9d�].^/`�À5Ì�j�b�\�d�]­Í!j4eE^�¾oÍ�`#a/b�ÑÀ�`:´hd4bz`�^\�]ÜÛfj4b�i.`�É�j�b�\�a5^�¾E°h¿,ÊÞÝ ßDkÀ5\�a#i�¾EYo\�À�à¤i.ßá Ñ�^�`/À�¾gÕ4Ö&Ö4Î%º· ͸8¹oº¼â;ºkÍ�j/ã�¾9Ê8Z#_.`�À/½�d4Ã)\�a�¶7Z-^�b2`/Éh^;dIÂäµ9d4]�^/`�À5Ì�j�b�\�d�]XÍ�j�eE^�j�]�È£b�i.`§ÛÜj4b�i.`�É�j�b�\�a�j�ÿ�i�`�d�À5Z£d6Â�¶�i�d¤a#à­å�j4Ì-`�^�¾9¶�æ#ÏÒÛçÕ4Ö.èUé&º· å�¸�êoº8å�i\�b�i.j�ɧ¾EÍE\�]�`#j4Àhj�]�ȧ´§d�].ÃË\�]7`�j�À�å�j�Ì�`5^�¾hå£\�ÃÄ`/Z�Ç�æ5],bz`/À�^/a�\�`/]7a�`�¾�Õ4Ö.è�ë,º

ì�í