2010/07/12 1

制御工学I 第13回周波数特性

ナイキスト線図ニコルス線図

平成22年7月12日

2010/07/12 2

ボード線図の書き方

• 伝達関数

• 周波数伝達関数

( ) ( )( )( )22

310433

30102234 ++++

=+++

+=

sssss

ssssssG

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

++++

=

221

21

315.7

222

122

1

33

110

22310

22

2

ωωωω

ω

ωωωω

ωωωωω

ωω

jjjj

j

jjjj

jjjjj

jjG

2010/07/12 3

ボード線図の書き方

• 周波数伝達関数の構成要素と振幅– 水平直線:20log7.5– 直線:傾き-20dB/dec(0dB@ω=1)– 近似直線:0dB,折点ω=3,傾き20dB/dec

– 近似直線:0dB,折点ω=2,傾き-20dB/dec

– 近似直線:減衰係数ζ=0.35360dB,折点ω=√2,傾き-40dB/dec

( ) -12

221 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

ωω jj

5.7

( ) 1−ωj

31 ωj+

-1

21 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ωj

これらを全て足す(掛け算はlogを取ると足し算になる)

2010/07/12 4

ボード線図ゲイン

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0.1 1 10

①

②

③

④

⑤

合計

2010/07/12 5

ボード線図位相

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

0.1 1 10

①

②

③

④

⑤

合計

2010/07/12 6

ベクトル軌跡

• 周波数伝達関数G(jω)の極座標表示

– 振幅，位相角の応答

• ナイキスト(Nyquist)線図

– 複素平面表示

– 周波数ωを0→∞

2010/07/12 7

ナイキスト線図1

• 積分要素– 虚軸・負の部分-∞→0

• 微分要素– 虚軸・正の部分0→∞

( ) o90111−∠=−==

ωωωω j

jjG

( ) o90∠== ωωω jjG

1/S

S

Re

Im

Re

Im

2010/07/12 8

ナイキスト線図2

• 一次システム

– 実・虚成分に分離

( ) TTTj

jG ωωω

ω arctan1

11

122

−∠+

=+

=

( ) ( )( ) ( )jYX

TTj

TjTjTj

TjjG +=

+−

=−+

−=

+= 21

111

11

1ωω

ωωω

ωω

2211

TX

ω+=

221 TTY

ωω

+−

=

Tjω+11

sT+11

2010/07/12 9

ナイキスト線図

( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) 222222

2

22

22222222

22

2

22

2

22

22

2

22

2

22

22

2

22

2

222

2

2121

121

42112

1

122

121

11212

121

11

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

++−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

TTT

TTTT

TT

TT

TT

TT

TT

TYX

ωωω

ωωωω

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

ω

2010/07/12 10

ナイキスト線図3– 実・虚成分に分離

» 中心(0.5,0)半径0.5» 下半円 上半円

» 周波数を0→無限大∞≤≤ω0

22

22

2

22

222

2

21

111

21

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

TT

TTYX

ωω

ωω

0≤≤∞− ω

( ) o010 ∠=jG

o452

11arctan2

11∠=−∠=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

TjG

( ) o900arctan0 −∠=∞−∠=∞jG

2010/07/12 11

ナイキスト線図4

• 一次システム– 周波数0→無限大

• 半円となる

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0 0.5 1 1.5Re

Im

2010/07/12 12

ナイキスト線図3

– 一次システム

• (1,0)を通る虚軸に平行な直線

( ) TjjG ωω +=1

( ) TjjG ωω +=1

( )Tj

jGω

ω+

=1

1完全に異なる

sT+1

(1,0)

ボード線図では符号が反転しただけだったのとは大きな違い

Re

Im

2010/07/12 13

ナイキスト線図4

• 二次システム– 但し減衰比ζ>0

• 実・虚成分に分離

( ) jYXjG +=ω

( ) 2

21

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

nn

jj

jG

ωω

ωωζ

ω

22

2

2

2

2

21

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

nn

nX

ωωζ

ωω

ωω

22

2

2

21

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

nn

nY

ωωζ

ωω

ωωζ

22

1121

1

ssnn ωω

ζ ++

2010/07/12 14

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

-0.5 0 0.5 1 1.5Re

Im

ナイキスト線図5– 周波数を0→無限大

• 減衰比0<ζ<1– 軌跡と虚軸の交点ω=ωn

– 共振周波数(ω=ωr)で原点からの距離最大となる

• 減衰比1<ζ(過制動)– 軌跡は半円に近づく

• 一次のシステムに近い

( ) o010 ∠=jG

( ) o1800 −∠=∞jGζ=10

ζ=1

2010/07/12 15

0

5

10

15

20

-60 -40 -20 0 20

Re

Im

ナイキスト線図5

• 二次システム

( )2

21 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

nn

jjjGωω

ωωζω

22

1121 ssnn ωω

ζ ++

2010/07/12 16

ナイキスト線図６

• 一般化した伝達関数のナイキスト線図– 分子の次数が分母より低い(n>m)

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

nn

mm

anaa

bnbb

sasaasbsbb

sTsTsTssTsTsTKsG

L

L

L

L

++++

=

++++++

=−

−

10

10

21

21

111111

λλ

λ 分母の零根次数λ

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )nn

mm

anaa

bnbb

jajaajbjbb

TjTjTjjTjTjTjKjG

ωωωω

ωωωωωωωω

λλ

λ

L

L

L

L

++++

=

++++++

=−

−

10

10

21

21

111111

2010/07/12 17

ナイキスト線図7

-5

-3

-1

1

3

5

-5 -3 -1 1 3 5

ReIm

type0

type1

type2

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ナイキスト線図8• Type0(λ=0)

– 開始点(ω=0)実軸上の点。傾きは虚軸に平行– 終端点(ω=∞)原点

• Type1(λ=1)– 分母のjωが-90°位相をずらす– 開始点:振幅∞，位相-90°– 終端点(ω=∞):振幅0，傾き:軸に平行

• Type2(λ=2)– 分母の(jω)^2が-180°位相をずらす– 開始点:振幅∞，位相-180°– 終端点(ω=∞):振幅0，傾き:実軸の負の部分に平行

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ニコルス線図

• 対数振幅(dB表示)-位相(位相余裕Φ-(-180))– ボード線図は対数振幅と位相を別の線で表示

– ニコルス線図は同時に表示

• 閉ループシステムの安定性が分かる

• 正弦波伝達関数のG(jω)と1/G(jω)は歪対称

( ) ( )ωω

jGjG

log201log20 −=

( ) ( )ωω

jGjG

−∠=∠1

2010/07/12 20

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0 0.5 1 1.5Re

Im

ニコルス線図

-50

-40

-30

-20

-10

0

-100 -80 -60 -40 -20 0deg dB

Tjω+11

-40

-30

-20

-10

0

10

0.01 0.1 1 10 100

ω

dB

-90

-45

0

0.01 0.1 1 10 100ω

Φ[deg]

ボード線図

ナイキスト線図

ニコルス線図

2010/07/12 21

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

-200 -150 -100 -50 0deg

dB

ζ=1

ζ=0.5

ζ=0.2

ζ=0.1

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

-10 0 10 20 30 40 50Re

Im

ζ=1 ζ=0.5ζ=0.2 ζ=0.1

ニコルス線図

-40

-30

-20

-10

0

10

20

0.1 1 10

ω

dB ζ=1

ζ=0.5

ζ=0.2

ζ=0.1

-180

-90

0

0.1 1 10ω

Φ[deg]

( ) 2

21

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

nn

jj

jG

ωω

ωωζ

ω

ボード線図

ナイキスト線図

ニコルス線図

2010/07/12 22

制御理論の歴史と分類

• 古典制御– 本授業の対象

– ～1950– PID– 伝達関数

– 周波数応答

• 現代制御– 1960～1980– 状態方程式

– 多入出力系

– 可制御性・可観測性

– 最適レギュレータ

• その他– 1980～– H∞制御

• 外乱抑制性能をH∞ノルムで評価

• ロバスト安定性

– NN制御

– ファジイ制御