I Godina - Nacrtna Geometrija s Tehnickim Crtanjem i Zbirkom

Mojoj dragoj supruzi Emiri

s postovanjem!

Dr sc. HASO BECIROVIC

NACRTNA GEOMETRIJA SA TEHNICKIM CRTANJEM

I ZBIRKOM ZADATAKA

Tuzla 2000.

Tehni(;t;i i o

SADRZAJ

Uvod.

1. Osnovne geometrijske konstrukcije 1.1. Simetrala duzine i okomice ." 1.2. Podjela duzine . 1.3. Simetrala i prenosenje ugJa . 1.4. Konstrukcije uglova pomocu sestara i trouglova . 1.5. Konstrukcije pravilnih mnogouglova ..

2. Kolineacija i afinost u ravnini 2.1. Perspektivna kolineacija u ravnini . 2.2. Perspektivna afinost u ravnini , .. 2.3. Zadaci 1,a Ijduvanje .

3. Krivulje drugog reda 3.1. Elipsa.

3.1.1. Konstrukcija eJipse pomocu zurista .. 3 1.2. KonstrukciJa dipse POlTlo,:u ;":onccntricnih i..:ruznic.J . 3.1.3. Konstrukcija ehpse pomocll konjugiranih precnika ., 3.1.4. KonsTIlJkclj3 eupse pomocu iukova :t.akrivijenu:;.Li. 3.1.5. Rytzova konstrukcija elipse 3.1.6. Konstrukcija male osi eEpse .

3.2. Hiprebola .. 3.3. Parabola. 3.4. Zadaci za rjesavanje .

4. Tacke, pravci i ravnine 4.1. Projekcija tacke .

4.1,1. Ravnine projekcija, 4.1.2. Projiciranje tacke .. 4. L3. Tacke u kvadrantima . 4.1.4. Koordinate tacke .

4.2. Dva pravca . .:.!-2.1. Paralelni pravci . 4.2.2. Pravci se sijeku ..

--1.

5

to

I '

1-' , '

lS

2i 21

-1-.3.

4.2.3. I\llimoilazni pravci 4.2.4. Probodista i prikloni uglovi pravca . Ravnina 4.3.1. Presjek dviju ravnina . 4.3.2. Pravuc u ravnini .' .:L3.3. Sutraznice . Lj-.3.4. Priklonice j prikloni uglovi ravnine , 4.3.5. Prohodiste ravnine sa pravcem .......... . 4.3.6. Prelaganje ravnine . OSllovni zadaci 0 polozajllim i metrickim odnosima tacke. prnvca, ravnine i ravnog lika ,. 4.4.1. Rijeseni zadaci .. . ........... . 4.4.2. Zadaci za rjesavanje .

Hnkocrt i stranocrt (transformadja) 5.1. Bokocrtna ravnina i bokocrt . 5.2, Treei (rag ravnine i njegova sutraznica . 5.3. Stranocrtnn ravnina i stranocrt . :')A. Rijeseni zadaci 5.5. Zadaci za rjdi.1vanje.

6, Okrrtallje Ui rot.adja 6.1. Okretanje llopste-. 'v'.2. Okretanje tackc .. 0 . .3. Okrclanje duzine .. 6A. Okretanje tijela .

7, rrojidranje geometrijskih tijela 7.1. 0 projiciranjll tijela uopste . 7 2. Geometrij~ka tijcla.

7.2.1. Kocka. 7.2.2. Prizma . 7.2.3. Pirarnida . 7.2.4. Tetraedar. "7.'2.5. Oktaeclar. "'-.2.(i. VaJjak . r; I '7 Stozac . 7.2.8. Kugb. Zaci:lci [(j rjes(1Yanje ..

25 26 28 28 29 30 31 32 33

35 35 54

67 68 69 70 78

83 84 84 8S

86 86 86 89 94 98

102 104 108 111 113

,

8. Telmicki crtei i osnovni standardi 8.1. Vrste tehnickih crteta .. 8.2. Formati, zaglavlja, mjerila

8.2.1. Formati. . ......... . 8.2.2. Zag\avlja - sastavnice . 8.2.3. Mjerila ..

8.3. Vrste, debljioa i primjena lin!]a . 8.4. Tchnicko pismo. 8.5. Kotiranje .

8.5.1. Elementi kotiranja .. 3.52. Nacin kotiranja predmcta .. 8.5.3. Prikaz kotiranja tctive, duzine luka i ugla ..

9. Ortogonallla i kosa.aksonometrija 9.1. Uopste 0 aksonometriji . 9.2. Ortogonalna aksonometrija .

9.2.1. Vrste ortogonalne aksonometrij~ ... 9.3. Kosa aksonometrija . 0.4. Kosa projekcija 9.5. Zadaci za JjcSavanje .

10. Projiciranje tehnickih predmeta 10.1. 0 projiciranju predmeta . 10.2. ZadJci za rjesavanjc .

11. Presjed geometrijsldh tijela ravninama 11. J. TangenciJalne ravmne .

11.1.1. 0 tangencija!nim ravninama. 11.1.2. Tangencijalna ravnina vaJjka_.:..:.~: .. 11.1..3. Tangencijalna ravnina stoika .. 11.1.4. Tangencijalna ravl1tna kugle .

11.2. Presjeci prizme ravninom

t 1.3,1. 0 presjeku pimmide ravninom . 225 11.3.2. Presjek kose piramide opstom ravninom . 226 11.3.3. Presjek uspravne piramick opstom ravninom .. 228 j 1.3.4. Presjek kose piramide drugom

projicirajucom ravninom ..

11.3.5. Presjek uspravne piramide drugom projicirajucom ravninom .

11.3.6. Presjek uspravne piramide prvom projicirajucom ravninom .'

11.3.7. Presjek uspravne piramide trecom projicirajucom ravninom .

11.4. Presjeci stosca ravninom . 11.4.1.0 presjeku stoka ravninom . 11.4.2. Presjek kosog kruznog stoka opstom ravninom .. 1104.3. Presjek rotacionog srosca opstom ravninom .. 11.4.4. Presjek rotacionog stosca drugom

projicirajucom ravninom ..... . l1A.5. Presjeci rotacionog_ stoka d~gim

projicirajucim ravninama . 11.5. Presjeci valika ravnlnom .

I! .5.1.0 presjeku valjka ravnlnom .. 11.5.2. Presjek kosog kruznog valjka opstom ravninonl . 11.5.3. Presjek fOtacionog valika opstom ravninom . 11.5.4. Presjek rotacionog valjka drugom

projicirajucom ravninom 11.5.5. Presjeci rotacionog valjka drugim projicirajucim

ravninama i valjkastom plohom . 11.6. Presjeci kugle ravninom .

I 1.6.1. Presjek kugle opstom ravninom ... 11.6.2. Presjek kugle prvom projicirajucom ravninom .

1l.7. Zadaci za rjesavanje .

12. Prodori geometrijskih tijela 12.1. 0 prodorima uopste .. 12.2. Prodori uglatih tijela . 12.3. Prodori oblih tijela . 12A Zadaci za rjesavanje .

LITERATURA

229

23.!

234

236 237 237 :239 244

246

249 251 2)1 253 256

258

261 262 262 265 267

286 286 295 308

323

Uvod

1. DeJinicija. Naertna geometrija je nauka koja se buvi is!ruii~':mj2111 grajickim predstavljanjem prostornih geometrijskih obfiku i !"!iiituvih meet;;-sobnih odnosa.

okom,

Cilj izucavanja nacrtne geometrije je dvojak: a. upozllati metodc pomocu kojih mozcmo postojece iii zamisljelle

pros tome oblike prikazati crteZom u ravnini, taka ua se iz rog crte-fa mogu odrediti obllk, velie ina i polozaj u prostOll.l,

b. razvijati sposobnost osjecaja prostora i prostornih predsr3va. Ostvarenje ovog drugog ciljaje posebuo znl.lcajno.

2. V rste projekcije 2.1. Centralna projekcija. Ako neki predmet gledamo sam~ jednim

onda svaka vidljiva tacka predmeta .salje U oko jednu zraku. Kelda :;;vc zrake presijecemo j~dnom favninom, anda cemo u to.i ravnini dobiii stiku iIi

Slika 1.

projekcijll rng predmeta. Na slid 1 pnkazana je pro-

jekcija A'S'C'DI cctverokum ABCD iz tacke 0 na ravninu 7!.

Tacka 0 se naziva sfL'diX!c iIi centar projiciranja. Ravnina 7f se naziva ravninQ slike iii proje!..cUe_ Cetverokut A'S'C'DI je projekcija cetverokUla ABCD !l(l ravnini n. /~rD.k.e AD, EO, CO i DO zovu se :rake projiciranja.

Kad sve zrake projiciranja idu istom tackam 0, koja je u kuna'::n0stl, onda se projekcija predmeta na ravnini nnaziva cenlr.alnom projek.cijom.

Najbolji primjer ovakve projekcije je fotografija. kod koje s'ijetlost hemijskim putem obiljezava na filmu pojedine tacke.

Uvod

2.2. Paralellla projekcija. Ako centar projlClranja 0 pomjerimo heskcmacno daleko, onda ce zrake projiciranja biti medusobno paralelne. U tom

se slika predmcta na ravnini n naziva paralelnom projekcijom. Na shci 2 prikazanaje p

1.3. Simetrala i prenosenje ugla

I

I ! 0" OJ i '1:1 / / I \ \ I

J:-.! ~_L----1,,---A T A

Slika 1.6 Simetrala ugla Slika 1.7 Prenosenje ngla

1.4. Konstrukcije uglova pomocll sestara i trouglova

Slika 1.8 Konstrukcije uglova od 30'), 60 i 1200 pomocll sestara

o

SEka 1.9 Konstrukcijc ug!ova od 45 i 90 pomocll sestara

Stika 1.10 Konstrukcije uglova ad 30", 60", 120() i 1 SO" pornocu rrouglova

________ -'-loCC5_,fu.:.:":.:.":::s::.'r.::u:::kc:.:.U"oe..cPravi!nih nInogouglol'a

, ----------""

Slika 1.11 Konstrukcije uglova od 45, 75, 105 i 135 P011l0CU trouglu\'it

1.5. Konstrukcije pravilnih mnogougJova c

p

A B

Slika 1 J2 Konstrukcija trougla zadanom stranicom

o \

A B

;k Slika 1 14 Konstrukcija peterokura

zadanom stranicom

D+-~ ___ """,!Ci~C

~<

/o_~"

( \ -tl"-'~'" A ;( B Stika 1.13 Konstrukcija kvudr;lta

zadanom stranicom

CD

Slika 1 15 Konsrrukcija pcte[(~kL ~cL u zadanoj klUinici

G 1.0sl1ovnc geomerrijske konstrukcije ~" ____ ~"_~======X-____ _

F

Slika 1.16 KonstTukcija sesterokuta 11 zadanoj kmznici

\ D \ B~", \

Ie -----':-----.::r-SEka 1, ti) Konstrukcip osmerokuta

u zadanoj kmznici

~; lila 1.20 (

8 2. Kolilleacija i ajlr/os! l/ ravnini

Zadatak. Zadan je pravilni se.Ylerokur ,

R j e sen j e: Kruznica k je podijeljena na proizvoljan braj dijelova jz lac8ka povlacimo zrake afinosti paraielno zraku AA j

03 bismo odredili perspektivno aEnu knvulju kit postupak rjdenja dlnlu\2:cm ie kao.u prethodnom zadatku.

~ l(od ovog zadatka je pravi primjer iz koga se vidi da se precnici 1;Pl:7.11ice /\l3 i CD preslikavaju u konjugirane precnike dipse A/Br i C,D;.

23. Zadaci za rjesavanje L Zadan je is\oslrani Irokut ABC, kome je srediste opisane kruznice S(65.50}, vrh

i( !(l(/7{)} i osa afinosti 0 E MN[AH 10.75). N( 12(),J:W)/. Nacrtati perspekLiYno afini !r.,klltA;RiC}.

3. Krivulje drugog reda 3.1. EIipsa

Dejinicija. Elipsa je geometrijsko mjesto tacaka u ravnini kojima je zhir IIdab"enosti od dviju jiksnih tacaka te ravnine konstantal1. Fiksne tacke F; i F) nazivaju se iarista Hi fokllSi elipse. Udaljenost pojedinih tacaka T elipse o(f iarista su radij-vektori rl i r2. Konstantan zbir radij-vektora jednak je duzini velike ose elipse: rl + r2 ~ 2a :::: d(A,B).

Elipsa ima dvije ose sirnetrije. Duzina AB je velika, a duzina CD je lIlala osa elipse. Tacke ,4, B, C i D su vrhovi iIi tjemena dipse, a tacka 0 je njeno srediste. Duzina OF, :::: OF2 :::0: e je lineami ekscentricitet elipse.

3.1.1. Konstrukcija eUpse pomocu :iariSta

Na shei 3.1 prikazana je konstrukcija elipse pomocu zarista. Zadana je velika asa AB ;:::: 2a i mala Gsa CD :::: 2h elipse. Tacka () Je srediste ehpse. Radij--vektori tjemena C iednaki su polovini vel ike ose elipse, gdje je

CF; ~CF2 ~!...AB~a. 2

Ako u sestar uzrnemo duzinu (I sijece osu AB u foJeusima FJ i Fl'

i oko tacke C opisemo lnk k, taj Ink

Na velikaj asi, izmedu tacaka o i F2 , odaberemo bila koje tacke 1, 2 i 3. Uzme Ii se u sestar duzina poluprecnika A2 i oka zarista FJ opise !uk iznad i ispod ose AS, a s po!u-precnikom B2 luk iz zarista Fi takode iznad i ispod ose AB. Ta dva luka sijeku se u tackama T i T J koje leie na dipsi. Ako aka Fz opisemo luk polu-prccnika A2, a aka FJ luk poluprec-nika E2, oba luka se sijeku, takoac, U dvije tacke koje leze na elipsi.

o

Stika 3.1

n

______________ -"-3."-.1 Etipsa L-l

Aka oko F J i Fz opisemo lukove poluprccnika A1 i Bl, Jobil cemu n\)\"( cetiri tacke elipse. Ponovimo Ii opisival1je lukova novim poluprccnicima A3 i B3 oko fokusa FJ i F2 dobit cemo jos celiri tacke na e1ipsi. Tako dobivene tacke spajamo krivuljarorn i taka dabivamo elipsu.

U tacki T elipse povucena je tangenta t kao simetrala vaojskoi.l_ 112.1a a sto ga zatvaraju radij-vektori rJ i r2_ Normala 11 na tangentu u tacki T dobiv~1a je kao simetrala unutrasnjeg ugh f3 sto ga zatvaraju radij--vektori r/ j 1'2

3.1.2. Konstrukcija eJipse pomocu koncentricnih krulniea

Zadana je elipsa sa vdikom i rnalom osom A.B i CD. Oko osa opikD1c) koncentricne kruznice k; i k2 (s1.3.2). Aka se elipsi perspektivllo alinD pridl"U!.l kruznica k, s precnikom AS, tada je AB -= o} osa [c afinosti. a l.rake afino'>Li parale!ne su s precnikom CD. Analogno, ako se zadanoj clips! perspektiv\1o afino pridruzi kruznica kz s precnikom CD, tada .ie CD -= 02 osa rc afinosIl, J zrake afinosti paralelne su s precnikam AB.

Maze se dokazati da .ie nekom pravcu p eJipse, koji prolazi sredistem 0 i jednom i drugom perspektivnom afinasri pridmzen isti pravac P J ~ p], koji kruinteu k j sijece lJ tackama T/,Gj, a kruinicu k2 u mckama Tb G 2 Tackuma T1,T2, kojima pripada pravac Ph Pz, U obje afinost! pridnliena je tacka T pravca p,. a tackama Gj , G2 kojima pripada pravac P]' P2 pridruzena je rack a C pravca p.

Zadanirn iE proizvoljnim pravcima konstruisu se astale

A

SliIca 3.2

tacke elipse koje $1..1 perspektivno afino pridruzene presjecima tib pr~l\~k~t :~ kntinicama kJ i k2_ Kaka su kmznica i elipsa dvije anne krivulj(3 kod kujih jc os;:\ AB OSa afinosti, anda tangenta t} kruznice kJ 1..1 tack! T! sijece asu atlnosti u tacki K. Afino pridruzen pravac ovoj langenti bit ce tangenta t dipse u taZ:ki T, koja je afino pridruzena ta6ki 1'1. Spojnica KTje, prema tome, tangenta r e!ipse 11 tacki T

3.1.3. KOlls(rukcija elipse pomocu konjugiranih precnika Na slici 3.3 priblzana je

eJipse POlllOCll ko-njugiranih precnika. Konjugi-ranim precnicima JIN i PR kon-

'~\ruj

16 3, Krivulje drugog reda

3.2. Hiperbo\a

Definicija. Hiperbola je geometrijsko mjesto tacaka u ravnilli za koje je vrijednost razlike udaljenosti od dvljll fiksnih ta(akd te ravnine konsranrna. Fiksne tacke F, i F] nazivaju se iarita iIi jokusi hiperbole. Uda!jenosti pojedinih tacaka T hiperbole od zarista su radljvektori r, i r2, a konstantna vrijednost razlike udaljenosti jednaka je dulini glavne iIi realne ose hjperbole: rrr?=2a=d(A,B). Oruga osa hiperbole je sporedna iIi imaginarna osa, jer su njeni presjeci s hiperbolom konjugirano imaginami. Duzina OF,=OF]o;:::;e je linearni ekscentricitet hiperbole.

Konstrukcija hiperbole. Zadanaje glavnu osa hiperbole d(A,B)=2a=40 i Iineami ekscentricitet e=35. Duline realne i imaginarne poluose, te linearnog ekscentriciteta hiperbole, povezuje relacija a2+b2=/, koja omogu6uje konstmk-ciju imaginame ose hiperbole.

Povucimo pravac AB i pravac CD .1. AB (5\.3.7), le oznacimo OA=OB=a i OF]=OF2=e. Na pravcll AB, desno od t1 odaberemo bila koje tacke J i 2. Uzmirno u sestar duzinu Ai, pa tim poluprecnikom oko F] kao sredista, opisimo luk iznad i ispad ose AB, a poluprecnikom Bl luk iz zarista FJ, takode iznad, i ispod ose AB. Ta ce se dva iuka sjeci u tackama T i I1> koje leie na hiperboli. Ako oko F2 opisemo luk poluprecnika Ai, a oko F, luk po!uprecnika B 1, oba luka ce $e sje6i, takode, u dvije tacke koje Ide na hiperboli, jer za svaku njeou tacku vrijedi isto kao npr. za (acku T, gdje je TFr TF,;AI-El ;AB;2a. Pomoc:u tacke 2 na osi AB do bit cerna, analogno, jos cetiri nove tacke hiperbok Opisu li se aka tacaka PI i Fl lukovi poluprecnika AF2 i BF], dobiju se tacke A i B koje takode leze na hiperboii. 1z konstrukcije hiperbole vidi

Slika 3.7

IF, /

se da je simetricna s obzirom na ose AB i CD. Krivulja ima dvije grane, a tacke A i B su joj rjemena iE vrhovi.

Tangente krivulje u njenim neizmjemo da!ekim rackama nazivaju se asimplate hiperboie. Kako je hiperbola krivuJja s dvijc neizmjerno daleke tacke, ima civije asimptote 111; i 1112. One se konstruisu lao dijagonale pravougaonika sa stranicama 2a, 2b I sredistem u tacki O. Zakrivljenost hiperbolc u njenim

33 Parabola 17

tjemenima dobijemo na stijedeCi nacin: ako se iz vrhova pravougaonika podignu okomice na asimptote koje njima proiaze, te s njima presijece realna OS3 hiperbole, dobiju se sredista zakrivljenosti SI i 52 u tjemcnimaA i B biperbole,

U tacki T hiperbole konstriJisana je tangenta t kao simetrala unutrasnjeg ugla a sto ga zatvaraju radij-vektori I"J i r2_ Normala n, koja je u tacki T okomita ua tangentu, je normala hiperbole u tacki T, koja jc dobivcna kao simetrala vanjskog ugla {3 5tO ga zatvaraju radij-vektori rl i rz

3.3. Parabola

Definicija. Parabola je gearnetrijsko fJ'U'es[O ta("{aka u ravnin[ su jednako udaljene od jednogfiksnog pravca i jedne jiksne taike te ravnine. Fiksn) pravac d naziva se ra.vnalicom iIi direktrisom parabole, a fiksna tacka F iaiBtern iii jokusom parabole.

Konstrukcija parabole. Zadana je direktrisa d i zarisle F [3.ko eta je d(F.d) ; p; 30.

Tackom F povtlcen je pravac FO okomito na direktrisu ii, koju un sijGcc u tacki 0 (s1.3.8). Na pravcu je proizvoljno odabrana tacka D U kojoj je povucena okomica na OF. Uzme li se u Sestar duzina OD i ako F apise luk. on okomicu u D sijece u tackama TiT}. Te tackc leze na paraboii, jcr aka se povuce TB ..:... d, onda je lik OETD pravougli, pa je TE;OD, a du-zine TF-=.OD i TB:::::.TF. Prema tome, tacka T je jednako udaljena od pravca d i tacke F. Os tale tacke parabole dobit cerno analagno, ako na osi uzmemo bila koje tacke 1,2, . Tacka A je tjerne parabole, a leZi u simet-ralnoj tacki duline OF. Duzine TB:::::.TF=r nazivaju se radij-vektari. Iz konstrukcije paraboJe se vidi da je ona simetricna s obzirom na osu OF.

;; I 0 A

Slika 3.8

U tacki T para bole konstruisana je tangenta t kao simetrala ugla ex zatvaraju duzine TE i TF. Kako je tangenta simetrala duzine BF, una ill duzinu palovi u tacki C i stoji na njoj okarnit.o.

Kako je tjeme A srediste duzine OF, a tacka C srediste duiine HF. to it duzina AC paralelna direktrisi i cini tangentu parabole II tjemenll A.

l s _____ .. __ ._ ... ___ L. KrivlIlje dmgog reda Zakrivljenost u tjemenu parabole odredl~e se tako da za svaku tacku T,

ma kako bila blizu tjemena A, vrijedi MF = PN, te ce i u granicnom polozaju, kad;) T padne u A, biti AF :::: FS, pa je S srediste zakrivljeno!';ti u tjemenu A.

~lorrn~b 11, h,ja:je II tach T okomita na tangentu, je nOlmala parabole u tacki 7: a dobivenn je kao simetrala ugla f3 Hi apisivanjem luka poluprecnika FT ako F kroz tacku T koji sijece aSU parabole u tackama MiN. Otuda je pravac MT !:.lng'-'.'PUL ,1 .. \'T l10rmala parabole.

3A. Zadaci Z3 rjcsavanje L :--i;;( r):)!i eiipSll kt.joj .ic ,'e1ika osa na pravcu p 20 A/l!f[A(20,60), l'd( 140.60)j. ,iedna

r]Gllle .u tacki /-L osa ABc;;;;JOO i jedna tacka dirse T( 100,30). U tacki T povuci t:lngenlll i normnju clipse

2. GaCI'l

~_ 3. KL~~!!.,IJ,::e-,(-:I,",,,;>g'C0g'-'.,-:-e,::-h,-' ~~~~~~~_ ~--'21}.,lNacrtati hiperbolu kojaj su asimptote In "" GHrG( 1O,20),H( 130.100)], ("":

n;;;; KL[K(20,105), L{ 130,40)) i poluosa a=25. U jednoj taeki povuci tangentu i normalu hiperbo!e.

22. Nacrtati hiperbolu kojoj je poluosa 6-::::.3D i ekscentricitet e-::::.4D. U jednoj tacki povuei tangentu i normalu hiperbole.

23. Nacrtati hipcrbo!u kojaj su z,arista F;(60,60), FA 150.60) i taeka hiperbolc 1'(80.90.). U jednoj tacki povuei tangentu i normalu hiperbole.

24. Nacrtati istostranu hiperbolu kojoj je z8dana poluosa a=-20. U jednuj weli krivl.ltjc pavuci [angentu i norma!u,

25. Zadana je osa paraboJe 0 E ABlA(50,7D), B( 120,70)) i tangcnta [ := i1,LV{M( 30,65), N( 1 J 5,0)). Nacrtati parabolu ako jc njeno tjcme u lacki A.

26. Nacrtati parabolu kojoj je :ladana zarisle F(65.65) i tangenta I NT[N(30,60j, T( 80,25)j,Jlko je njeno diraliste u taeki T.

27. Zadana je direktrisa d!E MN{M(30,20), N(30,120J], osa pambole 0 "" PR{Pto.7rJl. R(l20,70)) i-lacka parabole 1'(75,30). Nacrtati parabolu, konstruisati taflgelltu ! nannalu parabole u taeki T.

28. Zadane su dvije laeke na paraboli 1'd1Oo.,125) i TA85,:?5) koje su diralista dvije rangente. Nacrtati parabolu i konstruisati tangente u dodirnim tackama, dku j.: poznata direktrisa d;;E MN[lvl(35,lo.), :V( 35, I I()}}

Z9. -:iacrtati parnbolu kojoj je zadano zariste F(75.7f/\ ; t,mgenta ' s; GH!F;( It) 3()i H( 85,45)) sa diratistem u tacki T( 115,-).

30. Nacrtnli parabolll kojoj je zadano: tangenta t '= PR{P(O,O). R( 30,70!}, zsriste F(60.40) j parametar p=30.

31. Nacrtati parabolu kojoj je zadana osa na pravcu p ~ GH{C(O,50),fl( f20.50)) tangenta!:= RT{R(O,45), T(95,90)), ako je diraliste tangcnte u mcki T.

4. Tacke, pravci i ravnine ___________ _

4.1..2. Projiciranje lacke Aka iz 18cke A povucemo okomicu oa J[, omla je Doz,iste A' te okomice

prva projekclja tacke A. AnaJogno tome, noziste okomice Air nn n;; predstavlja drugu projckciju tacke A (51.42).

y

I 'A' b)

Slika 4.2

1z sli-ke vidimo da je tacka udaljena od 7[1 toliko, koliko je ojena druga projekcija udaljen3. od Dse .t, 3. ()d !r; toliko. koliko je 'ljena prva projekcija udaljcna-od ose x. Ako se J[j prcklopi oko ose xu praveu strelica, kao flU slici -1.2, u produj;e!~ju iT] ispud I)se x, umla A/I" u,sl;~e rid :::.vum mjestu, dok ,-\' vpisuje cclvrtinll kruznice i doJazi u n> Sada su obje projekcione ravnine n, i 1C2, te obje projek.;::jie tacke A' j A." sjedinjene u 1C2 U kojaj pravac A'A" nazivamo i)rriirw!()!11. Na slici 4.2b nacrtane S1.1 projekcije tacke A(Ar, AH ).

-4.1.3. Tacke u kvadrantima

Na sliei 4.J prikazane 5U tackc A. B, C i D j njihoyc projekcije, ako su ,we tacke u r, 11, rn i IV kvadrantu. Prcdnji dio ravnine 1[1 prc!ozimo oko ose x preHlJ dolje, duk slraznji dio ravlline Jrj pokrivu tada gornji diD ravnine n]. pri '.";;mll :.lzimamo dZl se rrr\'nina 7[2 poklJpa sa ravninom aIda ili slike (sI.4.3ri).

I .-

4.1 Projekczja tacke 23

1z slike 4.3b, na kojoj su nacr!.ane projekcije tacaka A, B, C i D, mozemo zaKijucili slijedcce:

a. Kadje {(lC/W u I kvadrall{u, andaje p'Ta projekcUa ispod, a druga iznad ose x IA).

U. Kad jc tadka u !I k,.'adrantu, onda su ohJe projekcije iZl/ad ase x (B). c. }(adje FaL'/W U 111 J,.'-vadranlU, ondajc prva projeKClju iZlltld, u Jruga ispo.1

ose x (C). d. Kad je fodm u II/ k,:adrantu. of/da SLl abje projeJecije ispad ose x (0).

4.1.4. Koorciinate taeke

Puce-tna lacka, iE islwdi.fte 0 (s1.4.2b), uzima se bilo gdje na 05i x, pa se SCI .Y oznncava udaljenost ordinale od te tacke. Ta se udaljenost naziva apscisa (x). Lldaljenost tacke u prostoru od 7r), koja se vidi kaa udaljenost prve projek~i.ie od ose x naziva se ordinma (yj. Udaljenost tacke u prostoru od n/, koja se vidi kao udaljcnost uruge projekcije od ose x naziva se aplikara (::J. Apscisa, ordinata i aplikala, llJzivaju sc zajednickim imcnom koordillote.

=2~4,-__________ ~4. Tacke, pra\'{.'i i rllvnin"

4.2. Dva pravca

Dva pravca u prostoru mogu bit! rnedusobno paralelni, mogu S~ sjeci i mogu se mimoijaziti.

4.2.1. Paralelni pravci

Aka su dva pravea meJlIsobno parole/na, undL! Sli mcdllsobllo pdrulelne i istoimel1e projekC/je fili pravaca.

Na s!ici 4.4 prikazana su dva pamlelna pravca {[ j b i oznuCellCl su njihova probodista A;,A] i B},ih Prva projicirajuca ravnina pravca at tj. A2 /\;.41 , paralelna je s prvol1l projicirajucom ravninon~ pravca b, lj. !32B;B/ i one sijeku ravninu doena u pravcima a f i b', koji su lukodc mcc1u sobom paralclni.

b"

x 8 11i I'

/

Slika 4A

Analogno tome, druga projicirajuca ravnina pnw(:;:l -:I, tj. A:A!A;, pam!e!na je s drugom projicirajucom ravllinom pravca b, [j. B]B{B; i one sijeku ravninu nacna u pravcima a" i !/', koji su meal! sobom paralelni. Pry.: i druge projekcije paralelnih pravaca mogu pusli II isti pravuc, J. rnogu sc fcducinri u dvije tacke, ako su oba pravca okomita na Jrj iii J[,. N:l slici 4.4b nacrune su projekcije ((all i 1/,&" pravacu a i b koji su para!dnl.

4.? Dva pravca

4.2.2. Pravci se sijeku Aka se dva pmvca /.I proslOru s(jeku, om/a illl prt!Jjt'ci pHi!! i ,/n(siJ!

prajekcija lef.e It iSla} ordinali. Na slici 4.5 prikazana su dva pravca a i b koji se sijeku u lucki S. Kako

je tacka S zajednicka za aba pravca, to se u njenom tlocrtu 5,'/ moraju s.ieci tlocrti a' i b' ,a u njenom nacrtu SH moraju sjeei nacrli a'" i H~ prJ.v

4. T(lcke, pmvci i v(/vnine

c;nh)rn 110cni 0' i b', kao i nacrti a# i b#, illlmoilaznih pravaca a i b, ali ta llcce biti na istoj ordinali.

Aka se dva pnn'ca mimoifa:e, presjeci njlhovih projekcija ne ieie na ~rdiJw!i.

I rr2~-- b" 0" On I

all o. OJ Ie" B e" I I )- x I x A' I

A' q' B' b' c' b' ~"~:- 0' B'

Slika 4.6

Na slici -t.6b nacnane $U projekcije ([',a" i o',bl! dva mimoi1azna pravca tl i b. Tacka D jc u prostoru iznad tRcke C. jer je -[5ffiZtlad e.if, zatc; se tacka C -if" vick kada pn1VC(" (I i .1-) promatramn ndozgo. nknmito n3 Tf!. Tacka () )e U

~l()crtll -"ieli, ;} tach! C lle vidi. Tacka B je u prostoru ispred tacke A., jeT je l( ispred /\'. zato se tack a A ne vid], kada promatrnmo pravce a j b sprijeda,

,~,\mito il:J Tacka B se u nac1'tu vidi, J tacb ,\ ne :idi.

4.2.4. ProbodiSta i prikloni uglovi pravca

Nu slid 4.7-"prikazan je pravac p koji probada It, u tacki Pr,"a 1[2 U tack] T:lcke n3 pravclJ 11 Kojima taj pravac probada projekcione: ravnine nazivaju se

"i"'Jhodi,ftCi PI"(lVC17 i obiljdcna su S8. P. Po tome da li pravac u toj tach probada Pl-':U. drugll ili tre(~u projekcionu ravninu razlikujemo prvo (PJ), drugo (F'2) ill [reet: probodistc (P;).

Probodiste pravca je tacka koja zajednicki pripada i pravcu j 1'avninl. Prcrna tome, odrcditi probodiste znaci odrediti lacku na pravcu, koja istovre-meno pnr'acia i ravnini koju pravac probada. Svaka tacka na pravcu ima svoj

'hY~r\ 1"1,1 [iocrtu pruVC3. a svoj nacrt na naCrlu pravca. Kada je tacka na pravcu. njcZIli je docrr 11(1 rloerrl/. () !lOcrr na n((crtrl toga pravca.

T'r\'(.' prohodi.'ite P! pravca r je u ;rl. zuto je njegov tlocn P: u istoj tacki. K~!ko je p, na pravcu [!. mora njegov nacn ~# biti nLl nacrtu p" pravca p. a kako

je Pi U 1[,. njegov nacrt je U osi x. Prema tome, p( mora biti u presjeku nacrta pravea pI! i ose x.

b)

_ .--i--40

Slika 4.7

Druga probodi.fte P2 pravca p je 'tl ][2. NJegov nacn p;~ je u istoj l(lcki. Tlocrt 17; drugog probodista mora biti na tlocnu pI pravca p_ Prema tome, r; je 1.1 presjekutIOCrW p' pravca pI ose x,

Uguo Cti, sto ga rruvac p zatvara S3 svojim tlocrtom 17 love se jJlTi prikloni ligan, a ugao Ci], sto ga pravac p zalvara sa nacrtom pI!, Love se drugi prikloni rigC/o pravca p. Sa projekcijama pI i p" pravca p odredicemo priklone uglove tog pravca preJaganjem prJvouglih troug.lova. ito: prelaganjem trougla

PjP~'P2 oko kalcte PiP; U l[! dobicemo II prelozenom po!ozaju tog trougJa pravu velicinu ugla (/./. Anaiogllo, prelaganjem pmvougJog trougla ~prp2 ako katele

p~ P; u :r? dobicemo pravu veliCinu ugla 0::2. Na slid 4.7h odredene su projekcijc p 1 pi"l. probodista Pi i P2 sa projekcionim ravninar\-w i prikloni uglovi ex} j a~ prJ\'cap.

28 4. Tacke, provel i ravlJine

4.3. Ravnina

Tri tacke koje ne leze na jed nom pravcu odreduju ravtlinu, Kakvil goJ bila ravnina, ana ce sjeci jednu od projekcionih ravnina u dog!ednom prostoru. Aka je ravnina 1.1 opstem polozaju, onda ona sijece obadvije projekcione ravnine.

oj

Slika 4.8

Pravci po kojima ravnina presijeca projekcione ravninc lUlLivamo tragovi iii frase.

Prvi trag e, je pravac po kome wvnina E sijece ra\11inu Jrl, a drugi trag e, .ie pravac po kome ravnina E sijece ravninu IT), TI"agovi rnvnine 0' "ijekn se nil osi x u tacki E::t-(sL4.8r- -

?\.fa ,Iici 4.:;Sh nacrtani

30

4,3.3. Sutrazilice

Pravci neke ravnine, koji su paralelni s jednim njenim tragom nazivaju 5C .mtrainice tc favninc. Pravac ravnine, kojije paralelan s njenim prvim tragom, zove se sutrainica prvog traga (prve. skupine), a onaj, koji je paralelan s njenim drugim tragom, zove se sutrainica drugog traga (druge skupine). Svaka ravnina Ima mnogn sutraznica prvog i sutraznica drugog traga. Na slici 4.11 prikazanaje jcrlna sutrazniC3 m prvog traga ravnine E.

0) [772 I

e, I I

mil : ~ -------'1

I I

Slika 4.1 J

b)

m"

Ex x

Njeno Jrugo probodiste P2 nalazi se na drugom tragu e2 te ravnine. a lljt;]10 pC'c'o probodi~[e PI =: P; je neizmjerno daJcko na prvom tragu te ravnine. iJosto Je s-mraz+1-I+pn paraJelna--s prvlm tragom ej, tj. S Jcdmm pravcem ravnme ",[-, nnc13 ic i ona prmllelna s 1[/, tj. nien Hoeft m' naralelan ie s prvim tragom el, a njen nacrt m" mora biti parale\an sa osom x.

Na slici 4.11 h rijeSen je ovaj zadatak sa zadanom ravninom E( el,e2) i naqtane projckcije n{ i m" sutrainice III prvog traga te ravmne:--- Povucen je bilo

pra\.'

kao pravae ravnine E, i tioert p;, kao pravac ravnine !fl, okomirl na prvom tragu i?j, kao presjecnici till dviju ravnina, onda je (il! jednak priklonol1l uglu ravnine E sa ravninom 1[/. Na slid 4.14a konstnlisana je prava velicina pr\'og priklonog ugla Oh ravnine E prelaganjem prve prikJonice PI, odnmno prvog priklonog ugla PjP;P1 oko tlocrta p; na ravninu tr/. Analogno je na s1.i~i 4.l...J.b kUI1SlruisiJ.n

drugi prikloni ugao W2, U pravoj velicini, !ito ga druga priklonica q, gracii sa svojim nacrtom q; .

e,

~" , aJ Ex p" 2 X Ex

RII' , : ~' , w,

. .!i~ p, 7

'!l

Slika4,14

4.3.5. ProbodiSte ravnine sa pravcem

q' '" 1

b)

Probodiste ravnine E sa pravcem p odredicemo tako cia pravcem p polozimo jednu pomocnu ravninu L\ (obicno ravnina okomita na JIj iii J[;,) j rom ravnu10m sijeccmo ravninu E u pl'avcu Q. Presjeciste 5 presjecnice a s pravcem p je trazeno probodiste ravnine E sa pravcem p (51.4.15). Na sUe! .:I..lSb prik::aano je probodiste ravnine E sa pravcem p.

Pry! trag til prve projicirajuce ravnine .:1, po!ozene pravcem p,". poklapa se sa tlos;rtom p' pn.lVca p, dakle d j == p', a njen drugi trag d2 okomit je na osu x. Odre(tene su projckcije (I'i a" presjecn!ce a ravnina E i ,1. U presjecistu nacJ"-ta pravaca a'" i p" nalazi se nacrt S" trazenog probodisla S, J. U presjeCiSlu ordi-nale povucene nacrtom S'" tacke S i tlocna a' pravca a bit ce lloCH S' iackc S.

4.3.6. Prelaganje ravnine

A21 \ e2 , ,

I \ a" I ' ! /' \5" r : \

p"

I : \ ".1 : \ A~' x ~--, .-~i;>-.~--

A~ ",: : d: S' ,

Sl1ka4.i5

hi

Ako treba odrediti pravu velicinu nekog lika u ra\'nini cije su nam projekcije poznate, pOlrebnoj"e tu ravninu okrenutl tako da padne u jcdi1ii' O(j projekclonih ravnina. Okretanje ravnine mozemo izvrsiti samo aka pravca kOj) je zajednicki za obje ravnine. Takvi praVCi:;iLl tragovi ravninc. Ukrcmnjc raVDl!1C aka traga, dok ne padne u projekLionu ravninu, nazivamo prelaganjc/Il ,""!vn!!!!.:. Na slici 4.10 prikazana je ra_vnina E( ef. e?~.

!T2

~, e' k T

TcJiI'

pll

Slika 4.16

34 4. Tacke, pravci i ravnine ------

Na tragu f2 odabrana je bHo koja tacka T i odreden njen Hoert T'. Iz tackc T povtlccna je priklonica p prvog traga tc ravnine, naertan je njen tlocrt pI j Dznaccno jc njcno prvo probodistc Pi. Prclaganjem ravnine E oko njenog prvpg traga Ci u ravninu ni, okrece se tacka T i opisuje luk okretanja k. Srediste lukaje u tilcki Pi kome je poluprecnik PlT. Ravnina okretanja F tacke T okamita jc na pn'Oill tragu Cr, a kakoje el u n/, ooaje okomita'}--na 1[/. Prema tome, prvi trag /i ravnine F prolazi tackom T' okomito na prvi"rrag ej. Tacka (T ), 'u kojoj iuk okrct.anja k sijece trag iI, bite pre!ozaj tacke Tu 7r, oko prvog tnlga ej. Kako jc; tacka (T ) udaljena od sredi,sta okretanja P j 't6tiko, koliko 1 tacka T, treba naci pnrnl \Iejiclnu duzine PiT Prelozimo Ii pra\'ougl1 trougao Pl T'T aka katele Pi T' U Jr!, dobicemo trougao Pi T' To. HipotenuZ3 P I To :::: po tog trougla jcdnaka jt dlJ7ini PIT, kao i duzina PdT). Luk ~ poluprecnika po sjeCi ce trag II U Lacki (T J, Spajanjem tacke (T) sa tackom Ex, koja je kod prelaganja ostala na iqnm 1l1jestu, dobijemo pra\'ac (2). Pravac (C2) je prelozeni dnlgi trag 2 ravnine E u r~tVninll 1[; oko njenog prvog traga fl. Ugao w, sto ga zatvaraju pravci el i ;' (/7 i. jednak je uglu ,5tO ga u prostoru zatvaraju tragovi er i e2 ravnine E.

Prema ranijem objasnjenju. na slici 4.16b odredene su projekcije 'I~7Tff bil0 koje tarke T drugog traga e2 ravnine E. Izvrsimo okretanje te tacke

,~~k(1 prvog trag a ej, dok ona ne padne U IT). Nacrtan je tloer! p'i nacrt prik!onice p prvog traga ravlline E. koja pro!azi kroz tachl T. Duzina TP,

bice pn\urrecnik okretanja tackc T. Prvj trag .'0' favnine okretanja F tacke T ;~(1kl:1pZl ~e

c3,,6'-_________ '-'..f." li.u;kt!., pravci i ravnil/e

Vidljivost pravca 11 odnosu na ravninu odredujemo kada ih promatramo odozgo, odnosno sprijeda. Kada ih promatramo odozgo, viJljivoSI mozemo odrediti na slijedeci !latin: pravac p i stranica a su dva mimodaZllLl pC:lYca. Njihovi se tlocrti pI i a'sijeku u tacki koju oznacimo sa r i 3' , jer je Ol1:l tlocH tacke 1 stranice a i tlocrt tacke 3 pravca p. Odredimo l.atim na nacrtLl pH pravca p naert 3" tacke 3. Kako je 311 ispod r J zakljucujemo cia je [atka 3 pruvca p ispod tacke 1 stranice a, pa, prema tome, necemo vidjeti anaj diD pravca p koji je izmedu probodista S i tacke 3, kada pravac i trougao promatrall1o odozgo na Hi. Zato je tlocrt toga dijela pravca nacrtan isprekidanom linijom. Da bismo odrediE koji dio pravca zaklanja ravnilla u drugoj projekciji, promatramo ill sprijed~l Odredimo zatim tacku II kojoj se sijeku nacrti e" i pH str::mic.? c i pravca p. Tu tacku oznacimo sa 4" i 5", jer je ona nacrt tacke ""' stranice c i n1\crt lackc 5 pravca p. Odredimo zatim na tlocrtu c'stranice c .llocrt 4' tacke 4, a nD. tlocrLU pI pravea p lIoert 5' racke 5. Kako je 5' iza 4', lakJjllcujemo Ja je [ ell tragova ra\:rii'ne-t-pn3S.~cciYic~\'-P j q odredena su probodista JI j .V pr~l\ ~lc.:'-l 0' i b sa ravrlinom E. Ouline d' "'" kiN' i (r = lVi'iv" su projtkcije udaljelro:.,(i pravaca {t i b (sl.-4.19a). Pri1\,:t ','(;liLdL, udaljc:nosti odretiena je kao u 2. za-datku.

5'

Slika~.19

R j e S e 11 j e h: Na praVCll h odabrana je tacka C(C',C") i odredcna ud3Jjenost d == CS, tacke C od pravca CI. Kod odredivanja projekcija S' i S'" probodista tackc S, prjmijenjenc su sutraznice min prve i druge skupine, prve projicrrajuce ravnine A Ovu ravninu pravac a probada u tacki S. koja je ')drcdcna pomocu presjecnice p =- 1 ~2. Nacrt pIt =- 1"2" presjecnice p sijece nacrt {Iff pravca a U llacrtu S" probodista S'. Tioert probodista S je u presjecistu tlocna pravca (1 j ordinate povutene nacrtom tacke S. Duzinc d'::: e's' i d" == e"s" su projekcije udaljenosti pravaca a i h. Prava veliCina udaljenosti odredena je na vee fJoznati naCin (sIA.19b).

4. Zadaf.ak. Odredi6 udaljenost lacke 1"(40,45,45) od rm-'nine E!65,45,55! (,11,4,20).

Stika 4.20

R j e sen j e: Udaljenost tacke od ravnine je duiina okomice povucene iz tacke na ravninu. a ogranicena je tom taGkom i probodistcm okomice S. Udaljenost odre-

lh~emo tako da iz tackc reT: T''J povl1cemo okomi-eli p(p', p") na ravninu E( i{,e;'i- -Tom okomic'Om polozena je ;'1"V3 ~rojicjrajuea ravnina F(fl,.h). Ray-nina F sijece ravnlnu E u presjecnici q. U presjeku na-erta pff okomiee p sa nacr~ tom q" presjecnice q, dobi-yen je naert S" tacke S 11 kojoj ta okomica probada ravninu. Duzine el' = T'S' i d" = T"5" sU projekcije uda-Uenosti tacke T od ravnine E. Praya velicina udaljenosti d(J= 7~JSv dobivena.ie n

40

Ex

.:/, Tacke, pr':lvd i J"IYJlilh~

A,

TX

~ i\ \x

/" '/ iI T'

:)l!Ka -+.22

2"

8"

c"

7. Zadatak. OJ/:i:ditr tragove rctvitine z.adallc p~u'a!eIJlim jJrdvcima: (/ CEABIA(6(),,20,JO), B(9(),J5,J5)] i b = CD[C(40,60,J5j, DJ,

R j e sen j e: Tragove ravnine E(ej,c2), kojaje zadana sa dva paralelna pravca a(c/,e/') i b(b',b ff) odredimo taka da se nadu probodislCl till pravaca i spoje istoimena probodista, ana/agno kao Ll 5. zadatklL RavninJ inu divergentlle tragove prikazane na slid 4.23.

ie.

4.4 Osnovni zadaci 0 poloiajnim j metrilkim odllosima tacke,.,

z

0

, I

Ex

0'

\

r: r '

I '

AX ,

\'

AX fAl , 2

Slika 423

" c

x

a'

'i.lil' '\

41

8. Zadatak. ZadaJ/Q su dva prat'ca koji se szjeku: a=' .4B[A(-JO,5,50), B(lO.25,20)j i b "" RerB, C(-5,60,JO)). NaCi tragave ravnine ko/u odredl~iu Q"VC! dva pravca, kao i pravu veiiCinu ugla Ito ga pravel :3:WVardju.

R j e sen j e: Tragove ravnine E( e J, ell, koja je z2danJ. iJra\'cinn 11 i h, adredimo taka da se nadu probodista til! pravaca i spoje istoimena pWDoJisla, kao u S. zadatku.

Prelaganjem ravnine oka njcnog prvog traga eJ u ravninu J[j, preJoieni su i pravci a i b. Ugao koga zatvaraju pravci (a) i (b) je prava ve!icillh ugl a ():" (s1.4,24),

4. Tacke, pravci i ravnine ___________ _

/ 8,

Slika-4-.2.4 ,-

9, Zarlatak. Nacrtati projekcife I:stostranicnog trougla ABC, ki~ji leii u ramini E(! 10. 70,55), kome je stranica a ""- AB[A( 10,-,10). B(55,-. ]0)] IW :C'Ilirainici pn'og traga ral!nine ('51.4.25).

Da bismo rijeSili ovaj zadatak potrebno je odrcditi nepoznate koordinate tacaka ..l. i B. Zatil11 cerna preloziti vrhove A i B oko traga ravnine trougla u ra\:nillll projekcijc, konstruisati istostranicl1i trougao i odrediti njegove projek-

R j e sen j e: Nacn,om slltrainice In prvog traga, polozene nacrtorn tilbka ;-\ i B, odreden je tlacrt tih tacaka. Pre!ozene su tacke A i B oko prvog traga e; u ravninu IT;_ Sa stranicorn (a)::::(A){B) konstruisan je istostranicni Lrougao (A){ B)( C). Pomocu afinosti i sutraznice n prvog traga odredene su

_ ____ 4-4 Osno\-'tli zadaci 0 polozaj/Jim i metrickim odnosima ([Jcke, .. 43

projekcije tacke C(C',CI!). Spajanjem vrhova istoimenih projekcija dobivene Sil projekcije istostranicnog trougia.

z A" a"

Siika 4.25

8 '1 m"

.(B) I I I I I ,

'\ i \0

44 4. Tacke, pravci i ravlJinc;

M' peVUe! cerno okomicu M'G' , na n i nacrtati pravougli trougao Af'G'"H,j U kojemje MM{) -=MxM".

. Zatim cerna tacku ':11) rotirati aka G 1 u polozaj (AJ) i dobili pre10zcn pt~vac (p! =: (M)(N). Kako Je vrh Au ravnini n/. kod preJaganja ostaje n8. istom ITIjes[u A =(A). .

~,M u" ~a' .:

/

\ \~\L.--" .... \!reJ _

4. Tacke, pravci i ravnine

12. Zadatak. Tacka S(30,30,20) je srediste pravilnog peterokuta. ."I,/acrtafi projekcUe peterokuta kame je poiuprecnik opisanog kruga r= 35, a jedna '~jego.va strana leb na pravcu p ::z; MN[M(-lO,]OO.O), N{70,20.O}] (sl.4.28).

R j e sen j e: Ravnina peterokuta odredena je tackom sredista S i pravcem p 0= p' koji ]di u ravnini IT",-_ pa je on i pry! trag te raynine pi:= e

J

Preloienaje ravnina z3jedno sa tackom S, oko traga e, u rayrunu nh pri cemuje dobivena tacka (8). Konstlllisan je _pravilni peterokut (A)( B)( C)( D)( E) Cija jedna s!rana (A)(B) leii na zadanom pravcu. 'Antirotacijom', perspektivllom afinosti i prnhodisfem odreaene su projekcije vrhova peterokuta. Spajalljem vrhova Jstoimenih projekcija odreucne su projekcije peterokuta. .

D"

C"

Siika 428

4.4 Osnovni zadaci 0 polozajnim i metrick"im odnosima tacke, ... 47

13. Zadatak. Nacrtati projekcUe presjecnice trougla ABC rA( 15,65,70), B(70,15,1O), e(25,5,l5)] sa 'rauglam EFG[E(0,30,35),F(80,65,20),G(50,O, 70)], Zadarak rijditi bez. upofrebe tragova ravl1ina trouglova.

Zadatke ovog tipa rjdl.lvamo taka da odredimo probodista dviju stranica jednog trougla sa ravninom drugog. Isti se postupak primjenjuje kod presje~a trougla i paralelograrna, presjeka dva paralelograrna, kao i presjeka ostahh likova.

R j e sen j e: Konstruisano je probodiste P pravca AB i ravninc odreaene pravcima FE 1 FG kao u 1. zadatku. Pravccm AS polozena je ,prva projicirajuca ravnina F(j{,.i2}. Presjecnica p ravnine F i ravnjne prayaca FE 1 FG konstruisflna je P011l0CU tacaka ] i 2 koje su probodiSta pravaca FE i FG sa ravninom F (51.4.29).

A"

,

y

k/ EJ~-

:-----_~B" x

Slika4.29

Tacka P je presjek pravaca AB i p. Nacrt p" == 1"2" presjecnice p

sijece naert AdSd strani-ce Atlu' nacItu p" pro-bodiSta P. Njegov tioert p' je U pl-esjeeistu LIo-

erta p' presjecnice p i or~ dinale povucene nacrtom tacke..p:" Probodiste tacke R pravca AC i ravnine trougJa EFG odredeno je na isti nacin kao i pro~ bodiSte--tacke P. Tacke 3 i 4 su probodista pravaca EF i EG sa prvom proji~ cirajucom ravninom po-\o,zenom pravcem AC (Iragovi ove ravnine nisu oznaceni). Vidljivost tro-uglova odredena je po-

/' moen tacaka zaklonica kao u 1. zadatku.

48 4. Tacke, pravci i raviline

14. Zadatak. Nqcrtati projekcije presjecnice ravnine pareie!ogranw .4~CD[.4( 10,25,20), E(50,50,5), C(75,30.30), DJ sa ravilillom Irougla EFG{E(O,35,30), F(30,60,60), G(70,10,10)] i IlLlZllaCili njillovu vidljivoSi.

R j e s'~e n j e: U rjdavanju ovog za-datka koristicemo pos-tupak opisan u 1. za-datku. Na slid 4.30 odredene su tacke P i R u kojima stranice FG i EG trollgla probadaju ravninu paraielograma. Projekcije P' pH i 'R~ g" tacaka P i R odre~ dene su pomocll prvih projicimjuCih ravnina (tragovi ovih ravnina nlsll oznaceni) i po-mocu presjecnica 1-2 i 3-4 tih ravnina sa para-lelogramom. Da bismo odredili koji su dijeiovi paraielograma J trougJa nevi~ljivi, kada ih pro~ matramo odozgo, od-nasoo sprijeda, moramo najerije odrediti koji su dijelovi stranica FC i EG nevidljivi oka nji-bovih probodista P i R. To dokazujemo porno-C:ll tacaka zaklonica, ka-ko je objasnjeno u 1. zadatku.

J-' I y

A'

F"

, G'

2' , ,

" B'

F'

Slika 4.30

4.4 OSflovni zadaci 0 polozajnim i metrickitn odnosim.: tacke, ..

15. Zadatak. Odrediti ugao .iila ga meausobna zarvaraju ravnine E(70,65,80) i F(60,90,50) (sl.4.3J).

Odredi se presjecnica p zadanih ravnina E i F. Na presjecnici p odabcre se tacka N i tom tackom polozi ravnina G okomito na presjecnicu p. Ravnina G sijece zadane ravnine u pravcima a j b. Ta dva pravca_inc ugao koji je jeclnilk uglu izmedu dvije ravnine.

R j e sen j e: Prelozlmo presjecnicu p aka njenog tlocrta p' lJ raVDHlll 77:,- Na prelozenoj presjecnici po odaberemo tacku No> u kojoj POVUCcHlO okomica na prelozenu priklonice po- U presjeku te okornice sa tlocrtom p' presjecnice jJ je [Iacrt M'tacke M. Tlocrtom tacke M povucemo pravac g, okomito llJ. llocrt presjecnice p. Taj pravac je prvi trag postavlj'ene ravnine G. U prcsjeku prvog traga g J ravnine G i istoimenih tragova ravnina E i F Sll tlocrti tacaka A i B,

B.

'" B' 'i /

. ! / i, e' P, f, Stika 4.31

50 4. Tacke, pravci i Tavnine ;..:.c.="--_____ _

,?komic.a M~N() je prelozena priklonica ravnine G. Tacka M je prvo probodlste te pnklo111cc. Okomica iz tacke N na tlocn I y ~

o p presJecmce p odrcauJc tlocrt. N~ tacke N~ Spojnice tacke N sa tackama A j B odreduju pravce a i b. ~ravCl a, ::= NA' 1 b':;:o NY' Sll tlocrti presjecnica ravnina E iF sa ravninom C. Pr:lagaoJcm ravl1ine G oka njenog prvog traga g j U ravninu 1[; tacka N ce pasti u tackll (tV) nn tlocrtu p' presjecnice p. Duzina Mr;(N);;:.MoNo, dok tJocrti tacaka Ai H ostZljU .na istom mjesb.L Trazcni ugao aje ugao koga zatvaraju pravci (a) i (b).

:(7 J ,', 17~' ~ad~ta~: Tackom ~(5.15,15.~ poloiiti ravnilltl F paralelno ravnini 1' (,00 .. )J I odl edltl pravu l'chclnu udal;cnosti Cill dvii . ( 14 12)

Slika 4.32

, ')u ravmna \s. ,_ .

Rjesenje: Ako su dvije ravnine me-du soborn paralelne, onda su im i istoimeni tragovi paralelni. Prema tome, dovoUno je nati jednu tacku prvog iii -' drugog traga ravnine F da bi po-lozaj njenih tragova bio odreden.

Tatkom T polozi-rna sutraznicu m prvog traga ravnine F i vdredi-rna probodiste M 2 ::;;:: M; . Probodistern M2 povuci-rilo pravac h pamIe!an s drugim tragom e2 ravnine E. Taj pravac je drug! trag ravnine F. Zatim je odre-den njen prvi tragf].

Da bismo odredi, Ii udaljenost paralelnih ravnina E i F poJozimo prvu projicirajucu ravninu G( g" 82) okomito na te ravnine. Ravnina G sijece ravnine E i F u pre;;jec-nlcama pi q.

_____ 4.,4 OsnOl'lli zadaci 0 polozajllim i melrickim odnosima tacke, ... 51

U presjeku okomice 11 sa presjecnicama p i q dobivene 3U tacke A i B. Duzjne d'::::: A'B' i d";:::: A"E N odreduju projekcije udaljenosti dviju paralelnih ravnina. Prava velicina udaljenosti do=-AoBo odredenaje na vee poznati naCin.

17. Zadatak. Nacrtati projekcije kruzn(t;.g ka}a} je srediste S(50,40,~) i polupreenik 1'=35, aka 0110 lezi u ravl1il1i E(35,O-]0,40) (51.4,33).

Kako je mvnina kruznice k data_,.u opstcm polozaju prema ravninarna projekcije, Hoert i nacrt kruinice bite elipse k' i k". Svaki precnik kruznice k projicirat ce se u preenik clipse k'. odnosllo k". Od SVlh precnika kruinice treba nacrtaLi docrt onog pura okomitih precnika knl:lnice k koji se projiciraju u 051 dipse k' i naert onog para okomitih precnika kruznice k koji se projiciraju u OS1 elipse k" .

Velika osa elipse je njen najduzl precnik, a mala osa najkraci. U veHke ose elipse projicirat ce se ani precnici kruzllice koji se u projekcijama ne skracuju, dakie, precnici parale1ni s ravninama projekcije. Ti precnici lezc na sutraznicama ravnine, cije skracenje je jednako nuh. U male ose eUpse projiciraju se ani precnici kroznice koji se najvise skracuju, dakle, precnici koji teze na pravcimn rnvnine sa najvecim priklonim uglom, a to su priklonice.

R j e sen J e: S obzirom na to da tacka S pripada ravnini E, pomocu

52 4. Tacke, pravci i rcll'nine

;l- __ ~D_"~k" " i ,

m" --'-8'

,

I: 1

y

F' 'i

\

Slika 4.33

(= MN ~8~ Zadatak. Nacrlati projekcije kruinice kojojje pravac - f., ( 0,55,55), N(55,]0,45)] tangenta, a tacka A(30 10 10'\ '.'"

poluprecmka r=25 (s1.4.34). ' , / na Knenzel

Da bismo rijesili ova)' d t k -PreloziIi ok r . ~a. a a , potTebno Je zadanu rangentu i tucku o raga ravnme kruznlce II a f . k .. odrediti njene projekcije. . r. \ mnu proJe ClJe, nacrtati kruznicu i

4.4 Osnovni zadaci 0 po{ozajnim i metriCkim odnosima tacke .. 53

R j e sen j e; Ravnina E kruznice k odredena je pravcem I i tackom A. Nj~ni tragovi e} i e2 nacrtani su pomocll pravca p koji prolazi kroz tacku .4, a

rparalelan je s pravcem t. Oka traga e2 pre/ozene su tacke lvi, N i ta6ka A. Odreden je pravac (t) i oznaceno diraliSte (T) tangente (t). Nacrt sredista kruznice S" odrec1en je pomocu afinostj, a tlOCli S' pomocu sutraznice m

-'am gog traga ravnine E. Ose elipsi k'i V konstruisane su kao Ll preL!1OUn;}1ll zada~ku, a elipse najedan od poznatih naeina.

,

I ,

or' o ,

I y

Silk. 4.34

54 4. Tacke, pravei i ravnine

4.4.2 Zadaci za rjesavanje 1. Nacrtafi projekcije. odrediti priklone uglove, probodiSta sa projekcionim ravninama

1 oznPravccm a "" ,A.B{A( 40,40,50), B(20, 70, 10)}, pOloziti ravninl1 F okomito na ravninu --' E(-40.25,-90j.

1" 1 .. AB( '(100 20 01 8(- JO 50 )0)] po!oziti ravninl1 E okomito na ravninu 'J. 'ravcenla=. _ /1 '" ., ,- , F(-30,-30,50) i odre(flli tragove ravlline E.

- \'J "(0 50 60) B(1 70 0 -40)), polo ziti ravninu E okomito nn ravninu . 20 Pril\'ccrn a = " f VI , " .' -".

'F(30,-30,-50) i odrediti tragove ravnine E .

. 'IB['li,.1IJ.20.60). BI.90,-10,0)}, poloziti ravninu F okomito nn ravnint! 21, Pnl\'Ccm (l e;:,

(30,60,10).

22. Pravcem a :=, ABli\(30 . . 25), B(75,-.60)];--r01o:l:ili'ravninu--F~okomito na ravninu H(50,60, 80).

2.i Pravccm p ~ AB[A( 10.0,20). , ,ugan od 60".

B(70.55,80)], poloziti ravninu E koja sa ;Ii zatvara

c'i ',24.lravcem p 0= ABIA( 20, 90.50). , Ligao ,'xl {;O" "./

(i~>Pra\'cem-p ~ AE[A( -30,50,60), B(60,25,O)], poloziti ravninu E okomilo no. ravninu -'>./ F(-30,3o..60) i odrcditi tragave ravnine E. _. _' . , _.

26, TackmD T pravea p ~ TS[T( /0, 10,50), S( -20, -50.10)], poJoziti ravninu E okomito na -' pravac p.

Tackom [(0,50,60) poloziti ravninu E okomito na pravac p ~ AB[A(-70,JO.70), B(O,35, ]O)} i odrediti tragovc ravnine E.

'28: 1z tacKc T(30,0,0) POVUC! okomicu aa f(IVI~in\1 zadanu sa dva pravea koji se sijcku: _i a ~ AF{A(D,50,O}. 8(60,15,'70)} i b i.E BCrB. C(j40,40,0)]bez upotrebe tragova.

'9 O ditj l'fOj-ekcijc okomice po-vucene iz tacke. 7"('1'10.70.80) na ravninu zadanu sa - .. me .. ' .' .. _ . 0 l' . = BC[B. Cil30.30.0JI

,iva pr:l\.'CI lOJl se SlJeku: a "'" AB[A(O.80,0/, B!60.15,7 ) I IJ ladatak rije:siti bel. upotrebe tragova.

56 4. Tacke, pravc[ i ravl1i!1e

:~ Odrediti prvi i drugi prikloni lIgao ravnine E(60AO,50). ~j,~o. drediti ugao izmedu dvu pravca kOJ"j se siJ'ckll,' ~ b a,=,j,lJ[4(20,20,15j, B(50,45,85,)j

, B Ae[A. C(50.30,10)].

_~3,/Odrediti pravu velicinu ug!a sto ga zutvaraju pravci: .. ., a ~ AB[A(40.60,10), B(70.20,30)1 i b ~ CDIC(50,lO.50), D(60 .. 30)].

,-- J '. __ ~3.-'0drediti pravu velicinu ugla sto ga zatvaraju pravci:

tl = ABIA(20,55,D), BI 75..65,40)J i b So BClB, C(90,20,OJ). ::. :-\ ..

34:1 Odred!t! pruyu ve,!icinu ugla sto 0a zatvaraJ'u d\" "~. I" .. , -AS! 0_ dpra\eSJJeKu

a = A(20.15,O), B(80JO,50J} I b = BC[B, C(J20,30.0jJ.'

35.,.odrediti pravu ve!iClnu ugla Sio ga zatvaraju pravci: a"'" ABIA( -80,25,0), 8(-15.60,90) J J b '5i Se[B, C( 6(),]O,4{))}.

36. Odrcditi pravu ve1icinu 19l' ~ '1 ' . E' l a :,to.ga mel usobno zarvur:lJu f"]vllipc (-60.100,60) i F(60,50,90). . .

37. Odrediti pravll veLicinu ugl " j _~ . _ a:, 0 ga nIe, usobno zJ.l\araju fen'nine E(-65,50,80} l F(3j,iJO,60). . .

38. Odrcditi prayu vcJi'::inli u! , , t ' . E ' _, ~ Il"" SO'. Odrediti udaJje!lost tacke 1'(50,50,90.) od pravci.\ p ~ AB{A(O,O,20), B( 100,5U. i)(: i/

Sl>Odredili uda!jenost tacke T(140,75,S5) od pravca a == AJ31A(40,6(),95), H( !.f(t,(), __ ;',~il , __ ,_/ bez llpotrebe tragova.

52. Odrediti udaljenost tacke 1'(40,20,60) cd pravc.a p == MN[M(60,70,20), N(l1O,30,80)].

(51. Odrediti udaijenost tacke T(80,80,60) od pravca a == ABfA(-60, BI.45,120.80)).

25,25),

,-: 54') Odrediti udaljenost tacke 7'(0.0,0) ad pravCil j") 0. ?vIN !~H( -20,20,30}, N(10,S(),6u)j. ~-,j -

55.) Odrediti pravu ve!icitlll udaljenosti tacke T(15,50,30) ad pravca u == AH[r\( 5i),5( ,i if!, .'. B-U_~9:.0..:'iO)], pr~laganjem pomocnc ravnlne koiu obrazutu pr

58 4. Tar:.rke, provei i raVl1ille

/62)/Odrediti udaljenost tacke T(75,55,50) od ravnine koja je Z~dana sa dva para!elna " pnwc od ravnine trougla ABC[A(30,O,30), 8(80.70.10). C(] JO.30,80)}, be? upotrebc tragova.

83, Odrcditi udaljenost tacke Tr20.5,80) od ravnine~trougJaABC[A(20,40.20), '..._ .. / 8( }OO,] O.40i. 060.80, 9(}) 1, bez. upotrebe tragova.

84, \U lacki S( ]0,30.20 j ravnine E koja je zadana sa dva pravea koji se sijeku:" if, !1) '0 AS[!\(-2552!7l. Si ill 2 i('ifB(35.30,45J. Slpodici okomicu duzined=50.

}'i 85. U tacki T(.J5,-,45J uougla ABC[A(-50,50.30,. 8(-10. 10. 70}, C{l0,30.JO)] podici 0Komicu i Da rlju II: tacke T nanijeti duzinu d:;;:;70. Zadatak rijesiti bel. upotrebe

-. --tmgova r

i'"

60 4. Tacke. pravci i I"{lVl1ille

91.)Odrediti projekcije presjeka ravnine E(-20.30]0) I ravnine F kojaje zadana sa Jva " paraJeJna pravca: as': AB{A(60,80,25), B( 120,Q,-25)} i b =. CDLc( 100,0.40), D). "~

,/ ( 92) Odrediti projekclje presjeenice mvninu A(=,30,60) i B(=,50,30). , / ,.="

93.~:Odreditj presjek ravnina A( -45.35,55) i B( 10,20,5). 94~: Odrediti presjek ravnina A( -35,20,25) i B( 15, ]0,-25). 9S .. 0drediti presjek ravnine trougla.ABCIA(-50,J5,O). B(O, 45, OJ, C(-105,70,90J}sa

ravninom E(-120,110,100).

96. Ddrediti presjek ravnine trougla ABC[A{-JO, lD,O}, B(20,]0,o), C( -60,70,50)] sa ravninom (-80,80,50).

n_' 97f})dFediti presjek rnvnine troug!a ABC[.4(O,O, 15), B( 50. In.30), C( -40,60,80 lJ sa "--,, ravninom E{-20,20,-20),

98. Odrediti medusobni presjek dva trougla i njihovu vidtjivost: ABC[,-~(20,30,JO), B(80,70,80), C(llO,25,20)} i EFG[E{40,f5,70), F(l20,45,55i. C(70,SU15!}.

9~~ Odrediti medusol5ii!presjek (iva ttollgla I njihovu vidljivost: AHC[A(O,40,j()), B(100,10"35), C(60"90"85)] i EFG[E(20.80S), F(J W50"20J. Gi4IJ5JIJiJ

--'--,

100. 'Odrediti medusobni presjek dva rrougla i njihovu vidljivost: ABC{,4( .3(), 120,0), 'B(50,50,0), C(-20,fO,JOO)1 J EFG[E(~60.30,20). Fi40,JO.3OJ. GrO.12o.1?()!7

101.. Odredi[j medusobni presjek dva troHgla i njihovu vidliivost: ARC!Ar-f)() I()n/Wi B(O,u, 0), L-{50,JO,20)] ! EFGfE(-70,50,40), F(-lO,lJO,O), G(40,15,90)).

}O.4-: Odred'iti medusobni presjek dva tmugla i njihovu vidljjvost: ABC[/\(-4030.U), - B(0,65,80), C(80,15,60)} -j EFGLEt-25;'lS,6Sj: F(20.7SjO), G(70,45,45)).

I03;'Odrediti medusobni presjek dva trougla i njihovu vidljivost: ABCLA(.55,60,iJ), B(G. 80. 90)" C(30JUO)] i EFG[E(-65.35"80), F(JO"85Jh G(lOJ),50g 'j

l04 lbdrediti medusobni presjek dva tl"Oug!a j njihOVll vldljivost: ABC(A(-40,70,Oj, i /8(10)10"100)" C{50,/0"30J] i FC((-50"40" 90), F(50)1(W), G{20"u,70)}. .-/

lO-.5~,.Od\editi medusobni presjek dva trougla i njihovlJ vidljivost: AlJC[A(-75,70,lO), B(O,30.40), C(-llO.20,SO)] i EFG[E(.J]0.45,OI, F(-40,Jo.WI, G(-lO,60,80)].

106,Odrcditi mcausobni presjek dVIl trougla i njihovu vidljivosr: ABC(A( !/J, !:;,70), B(35,JOO,fO), C(75,40,]0J.! i EFG[E(0.30,30), F(75,75.70), G(S5,]O,15)].

4.4 OsnovlIi zadac~ () polozajnirn i metrickim od}jos~!!!:!:ylr5ki?, .. 61

~ , . ' k d' trou la i njjhovll vidljivost: .4BC[A( -40,55,35), '107),'Odredit! medu~ob~l Pf)eS]Je. E;~[(-4~ 1 J'180) F{60,8{),}O), 012o.,15.5J1-

" B{O"90)O), C(40,1),12() 1 " "" ,

--------, . ,-.' d' 'ou la i njihovu vidljivosl: AJJC[A{4-0,20,J.O). (108.0drediti medusobm Ploe'J]e~ E;'~[~(458060) F(OO JOO), G(-60,100,O)1-~/B(O,100,80)" Ci"60"40,4 ) l' '. " __ ' ""

~ . '-1.BCD rA(!58065) B(lJOAO,40), ' - 10.9. Odrediti medusobni presJek paralelog1r amaE'FG/E(~O 80' 10i F; 7{) I), I05},

C(J45,70,70), D(50,JjO,9?)!.sa trou~_om _ J ,,. _. , O( 130,90,']5)] i njihovu vldlJIVOSt.

~;', , .. ,,'.- , alelo ramaABCD{A(-15,6{).70). B(45,j()(j,j i.J), 11~. Odreditl lnedusobnl plesJck P;~G{E~O 30 ?OJ F(90,60,50), (J(6,'!, IOLUOOjJ ,j C(90,50,40), D} sa troug!om {,,- "

i njihovu vidljivost. //-----" .' '.'. lela mmaABCD!A(20,60.6V), B(70.90.!,~)' 111. 9dredJtl rnedusobm presJek pa~~C[:(30 30 70) F(90,90,90). G{ i 20,00.6U!1 "-.-- C(llO,50,45),D]sarrouglom J ,,~, "

i njihovu vidljivost.

,--0::\ . ' '1'10 rrama ABCD{A( 15.65,30), B( 1 JO,--!-J,70( "112\)' Odrediti medusobm presJck pa~~~[:(30 10 30) F(70 105,1 lOj, O( 130,35,20)/

/ C(145,70,40), D]sa rrouglom , "_" "'''/ i njihovu vidljivost.

" , , "e tacke T( 108') 80) nll ravninu E koju jc_ XJJ~lI\~l ~" ;'Iii':,Odrediti ortogonalne pTOJekcIJ, . ?O J ~ nl'70 j(Y 60)1 i h'i'i CD{C(70.{)u,3iJ;, D}. " ~ dvaparalelnapravca:Cl':A1J[.4.{JO .. ,J), "

---." -'.-, "' -""4fJ[4(lO)6-;'O) B(35,3{),--I-O)jnarcnninu 11.;1. Odrediu proJckclJe pr,lvca p ~, , ,_ ,;), , ' E(!OO;60,80) _

?}/',,,,, .. ,.. . ""'I.B{A(70500)W.60,O,30)jnaravlIillu-E(25,15,25i ;';;115. -Odredltl proJckClJe pravca p -" " , \ '-x ~', ,,', v' 1- ABIA ',504030) B(20,90,6U)J na ,an1inu ,on 16:' OJrediti proJekc!Je duzme t = ,( , , , c ("50,80"50) .

. '. t k .. J'edan v1'11 u \acki A{Cici,j),y()), 1 117 Nacrtati projekcije istostranog troug a 'o.me~j: __ _ "- - lr oh Be na pravcup;; /vfN[lYJ(O,}),l)). N(} W.W,..!5)). suprotna strana oUe '

-, "\ , , '('.~ S" "''') Jk~1 " : " - - ugla lwji !eZ! II raVll!nt i.D,' (J,' ~, v _ c 118. t4acrtati projekclJe lst,ostrallkog .-[r~ ok~ trougla a jedan vrh troug!;) II tacki

,/S(55,-,50) srediste oplsane nlZl1!ce , A(55,-" 20)"

1~9~Nacrtati projekcije istokracnog trougla, koj,i l:;;zi u mvnini El90,55,65}, ;iku mu }: bridABIA(O,-,50), B(25,,0)], a vrh C u raVfllnl 7[;,.

62 ___ '_._1 (lc;ke,. pra1'ci f ravlline

------

120,- ~~~Cli(lti projekcije istostrano? trougta, koji lezi u ravllini E(100,60.90), kome jedna ';.1 "na. a:;;:80 zatvara sa prvllTI tragom ugao od 45, a krajnjc tacke su joj na trag(lVlma ravnine. .

121. NacrtRti projckcije istostranog trougJa ABC, cija jc jedna strana na praVCl! P"'- ['4N[M(20,O, 90). N(80,60.0)], a suprotan vrh u tacki ((-10,50,20).

122.N;]cnati pmjekcije istostranog troug!a ABC, koji leti U favnmi (120.100,80), taka . / da mu VTh A le-li 1.1 1[2 udaljen d=-60 od IT,_ a suprotn3 strana BC= 75 paralelna SIT!.

123, Nacnati projekcije istostranog trougla ABC, cUa je jedna strana n3 p'ravcu p "" IHN[M(-30,50.0). N(20,O. 75 )}, a suprotan vrh u tacki C(50,30,30).

Odrediti praVll velici"rw trougla ABC[I-I(-70.80,30), B(0.20,80). C(50,50,O)J okretanjem paralelno S ITI bez upotrebc tragova.

125. 'Odrediti pravu ~'eliCinu trougla IIBC{A(O,O,60), B(0.60,50), C(60, 10, 15 Jl preJagnnjcm ravnine trougla oko prvog traga U iT}, .

126. Odrc.diti pnl\'U ve!icinu trouglaABCfA(10,.,20j, B(30,-.70), C(70, .. 0))koji lez! u ravmnJ E(-40,30.4(}) prelaganjem oka prvog traga u nt,

127; U ravninj,!~(80,70.90) lezi trougao ABC[A(O,-.70j, B(-40,60,-), C(30,25,.)]. Odredi!i pmvu VcllCll1U trougla prelaganjem "ko prv0g, a z3till1 oko drugog traga ravninc.

128. ~acrL~ti projckcije istostranog trougla koji lezi u ravnini E(25,60,-20), jedan vrh Inn je u tack! A(25, .. ,20), a vrh B 1I ravnini rr"

129. Odrediti pravu velicinu troug!a .4BC[A{(J.4(} .In!. B( an, !f),50), C(65,.':O.}O)] prelaganjem oka prvog traga ravnine traugla un}.

.130 .. OdT("(~ir~ pravu velicinu trougla ABC:A(30,20,45), S(7.5,65.80), C( 120,5,30)J _ okretanJcm paralclno's IT2 bez upotrebe tragova ravnine.

131. Odrcditi pnrnl veliCinu trouglaABC[A(-50 .. , . .30), E(20. 101 C( 20 70l]k 1 ,. , J' " " , OJI eZl U

ravnilli E(60, 40. 70) prelaganjem oko prvog traga u nj ,

132" Odrcdil.i pravu vclicinu trougla ABC[A(20, 70,10), B(50.35.90), C( 130,50,30) J 0krctanJcm parnlelno S 1rj bez llpotrebe tragova ravnine.

~;;)cn(1ti projckciie kvadrala koji lezi II ravnini E(80, 70,90) kome je jCdna strana na ;-,r~n Cl1 p 'E ,\fiV[M(O, 65, 5 ), N(50,5.25)]. a tacka A(20, J 5,) jed an njegov vrh.

4.4 O;;lloVl1i zadaci 0 pnfoiajnim i metrickim odnosima tacke, .. 63

,134. Na\:;rtati projekcije kvadrata Cije Stl dvije strane na paralelnim pravcima: a=' APIA(20,40.10), P(80,55,40)) i b =,.MN[M(20']O,50), N], a tacka A jedan njegov \Th.

i35~~hcrtati projekcije kvadrata koji leii u ravnini E(~120,70, 100), jedan mu je vrh 11 held A(25,45, .), a jedna stram na pravcu p ;;; PR[P( ~75,O,), R(O,-,On

'13, Nacrtati projckcijc kvadrata kOJi !cii u ravnini E( 3Q,-1S,30), cija je dijagonaJa d s BD{B(35.20,')' D( 100.70.';/.

nIIN""",; projckcije kvadrata cijiJe jedan vrh u tae,ki A(SO;20,75), a dijagonaJa na ,,'h.e&' pra\"Cu p """ PR[P(O,O.60). R( 100,100,O)J. ,

';13"S .. , Nacrtati projckcije kvadrala ABeD koji lcii u ravnini E(20,-25.-20), cija je dljagonala d:;;, AC[A(60,20.~}, C( 120,50, -)).

-'-', /' ----.....,

i39.'~"\Iilcrtati projekcije kvadrata koji Jdi u ravnini E(70,60,Sihsa, sredist.em u tacki S(~20,-.30), a jet.1an vrb mu je u P~Q.h~)~i~!!!:pkornt8.e .. pOirUCene>'i~ tacke T(50.65,70) na ravninu . .-:~,

/ .. _, . ,':,i ,.,i"3crtati projckcijc k,Zldrata koji lezi u "i3vnini. ~(.75,55.8_:!, -:lj~\~\ ~U~gonal~.d .. =:8(J i zalvara sa prvim tragom ugao od 60 , a kraJnJc tacke d'Jagonale~,su, na tragov1ma ravnlllC.

,ii~h42,:Nacrtati projekcije kvadfata ?ijaje strana'na pravcu ,.' f . p:= PR[PfQ.SilJJ), Rr50,(},90}], 8. jedan wh 1) tacki A(9f).3()~45)

143. Odredili projekcije cctyerougla, tiji su vrhovi n3 pravciJ1\a: a ~ ABIA(10,50,l0), 1l(40,40,40)]; b = HC[B, .C(90,80,20)Jy imajll duzinu d",40, dokjc,d,,?zina cetvrte strane;proizvolt~j1,>'-~,-",

~:~,"-... ; ,,/,: " , 144:' Nacrtati projekcije romba ABeD koji~le_7..i. . .u.ravrt,ifif (:fl~S' ~~,

1~1

64, 4. Tac;ke. pravci i I,",a,,',n,i;,;e _____ _

'i47./Nacrtati projekcije rombu ABeD koji leii u raVllll1i E( -60,40, 75), cija je dijagonala d'IE AC[A( 5,80, -), C( -50,15, -)] a vrh B je u Ttl_

66 4. Taike, pravci i ravnfne

175. ,'Nacrtati projekcije kruznice koja Ie y' , ___ ~" a 'i.'iAB[A( 40,10,0), B( -30,50,90)J i ~1: ravmm E zadanoJ sa dva p~~aJ~na pravca:

S(lO,55,-) 1 pOluprecnikom r=40. CD[C(70,40,O), Dj, sa sredlstern u tacki

176.'-Nacrtati projekcije k ,7' k' ! v' /, v' ruzfllce oJa eZl u ravnini E(70 (40) i dod,ruJe ~ Sre,I,s'le

KmZl1lCe Ie ud r d 40 . ' , ''"3-_, _

,

;!:-

, ,

5, Boko('f'( i Slranocrr (tramjo~macUa) ,

Na slici 5, tb nacrtane su sve tri proj'ekciJ'e tacke -i(A' A~ A"') k . ._ ' " ,oJa se

nal,azl u I oktantu, ~a.ko je udaljenost bokocrta tacke od ose z jednaka ordinati v tocebokocrtza 0 I 1" - ' p ZInvan y )lti lJevo, a za negatlvan y des no od ose z, -

5.2. Treci trag ravnine i njegova sutralnica

, Ra-:nina E s~~ece projekcione ravnine J[j, [[2 i f{3 \l tragoyima ei, e; i eo, Trag eJ naZlva se treel trag ravnine (s1.5.2). - .

.. U poglavlju 4.3.3 abradene su slltrainice, odJ'e smo vidJ'eli da u svalcoJ ravnlm t' t ~ '. ::0 ' pas ?Je.su razmce prve 1 druge skupine koje su paralelne s njenirn prvim, odnosno S tlJemm drugim tragom (sl.4.11 i 4_12)

U sva~oj ravnini postoje i sutraznice trecea [raga. Pravac nlvnjne- kOJiJe paralelan s .,. ,b , '" k

. nJenlm treclm tragom, naZlva sc sutraznica rreceg rraga (trece s upme).

Ez

z

~J

I t'

S!ika 5.2

,. Na slid 52 prikazana je jedna sutraz-nica treceg traga ravnine E Kalo se;tr~cl trag e3 okomito projicira fla ravnine H, i 1[2 U osu y :;, 2: 1- x. in j~ tlocrt tn) I naert m'" sut az . k -. < ' ) r nice III, u a amICI na OS1 x kao nJ slici :') "b 0 . surraznica n'eni . d 'wk' ,< ' -

70 5. Bokocrt i stranoert (transjormac(;a)

lezc na suprotnim stranama ose IX3, onda i cetvrte projekcije tih tacaka Ide na suprotnim stranama ose 3X4.

L 8"

a)

/ b) "

Slika 5.4

Treeu projekcionu ravninu TZ; rnozemo postaviti okomito i na ravninu 7[2. Na slid 5.4 prikazane 3U opet sve tri ravnine projekcija Tr/. 7[2 i Jr.,. ali sada ,'.(; .i liz. Ravnine Jr2..l 7~, sijeku se U osi 2Xj. U ovom slucaju, za taGku B vrijedi ista lao za tacku A u prethodnom slucaju, sarno sto u ovom sJucaju ravninc Jr, i 71>. kao j me y, Z. zamjet~jujl.l svoje uloge. Na slici 5Ab nacrtane su sve cetiri projekcije tacke B nakon poznatog sjedinjenja ravnina projekcija u ravninu 'Hz. Natojsjici B"~B""~Zx3 j LBm """ BfK, S""SfVl.JX4iMBfV",S"L.

5.4, Rijeselli zadaci

1._Z.adatak. Odrediti pomocu ,~tranocrfa udaljenost ta(:ke T(O,40.50) od prmca p ~ AE [AU 0,1 0,15). B( 40,45,50)] (sl.5.5).

R j e sen j e: Udaljenost tacke T od pravca p odredit cerno taka da n8.jprije, ravninu lr] po!ozimo okomito oa ravninu Jr, i to paralelno s pravcen p.

Stranocrtna osa fX3 je paralelna s tl?crtorn p' pravca p. Zatim odredimo treee projekcije T m i p"'" tacke T i pravca p( ,4"'Bhl' E pM) kao udaljenosti njihovih drugih projekcija od ose '''2< Tada postavimo ravninu lr4 okomito na pravac p, pa je osa 3.1:" okomita na pm.

5.1 Rijdeni ,.adaci __ . __________ 71

" k" r 1" J1i tacke T i pravea p dobivene su na osnovu udaljenosti ProJe Cl.1

e 1.~,. ,c"".l ce okomica TS, h 'h nrvih pro)' ekcIJa ad ose IX," K,lko Je pra vac p 1(4. to , .

nil OVI t 'T d ' b" ytVSIV - TS JCfJe .. . lac'ke T n'j pravac I' bili paralelna s n4. a ace !tl -,

"pustenalz< ,-, .. , .'b.t" ' - ,~ la ce SIV biti u rr. Kako Je 7S paralelno S 1f4, mow 1 1 tacka S na pravcu h 1 ," .nr d 'ekci'e 5' na T"'Sfl! takode paralelno 3 3.X4. Pomocu ordlllata 1Z S odre e se pro) . J. ".

I 0" "Taka J"e dobivena udaljenost tacke T od pravcap kroz ploJekclje, P 1 ,) na p . . .~. " .. d - dW - TtI'SI,' a prava -vehcma lldalJenostl JC ,0 - -

T" B" /

Slika 5.5

I i , .'/,a,locrta udaliel10st ta{ke T(45,45,50) 2. Zadatak. Or re( III pomocu , J od ravninc (70,60.70) (5156). ",";"

R - "e n J c: Aka treeu projckcionu ravninu 1[3 postavimo. lako da ona \..1 e S . - "' ., b,' komHa 11a prvom b j k 'a nil nvninn ]"[1 i ravmnu E, tada osa IX3 mora I 10 ll( e \1 "ornl, ". m. .. l ravnine E

. 'nine E TreeD projckciju T tacke T J trec} rag e3 tragu e I Hn " .... '} . k .. od ose x od;caujemo na OSl10VU udaljenostl nJl110vlh d:'Ugll proJe Cl.~a .' /1 v, 0 ~ , L>lalJ"enost tacke oJ ravnine odreduJemo tako da lZ tacke. T povucem

\. ~ . vk T m treCt tm!! e I una okomicu na wvninu E Okomica povucena lZ tac e n3 ~ -.. probodiste u tacki Sm

77 5. Bokocrt i strmwcr( (rronsjOntUlcija) ~-----~=~=~==='-"""---.. ---

,-i e\ I id'"

, /

k ,"

Slika5.6

UdaljeflOS[ d"'::::: r"'S"/:::::; do jC ujedno ! prava velicina udalje-nosti tacke od r::lVninc, jer je TS...L E 1. el, dakle TS je paralelna S HI, Pomocu ordinala iz S?" odrede se projekcije Tacke Sf S',Sff). Duzine d' = T's' i cr = T '15" su projekcije udaljeno:>ti tacke vel ravnine,

_.---,

.,. -i "'L-\; /

\--'-; X/Zadatak. Odreditipomo('u stranocria IIdalicllosl tar}ke T(5,25,55) ad -,.~. ~ rCII'nine tmurda ABCfA(-2{J.Sn,5.), B(! 5,80,50), C(70,35,35)] bez i-Iputrebe tragovQ (sf.5. 7).

Rj e s e nJ e~ZacraTakje rijesen pomol:l! sutraZniL:Ll III i fI ruvnine trougla 4BC Tackom C( C/, C"; tJ01u2

74 5, Bokocrt i stranocrt (trallsformacijn)

mora biti okomita i na pravcima a . b" II' . , ' . '. '. 1 , Jer Je Jr3 I alb. Tada Je osa JX4 oa l~lOtz'volJnoJ udalJenostl okomita na tTcce projekcije "'. b'" .

Cetvne projekcije tv' YVl. . a 1 pravaca a t b, . i ,_.. a 1, _ tl1 p~ava~a odrcdllJemo kao lldaljenosti njihovih Jrvih

plo.;ekclJa ~~ ose ).t3 U cetvrtoJ proJckciji pravci se vide kao tacke 1 Duzma dlV ;:;; atV bl\' ~ d' " .~. .',

- 0 Je pl ava vehcma udaljcnoslJ izmedu dvn paralelna prayea.

:"5. J:adatak. Zadm," ;'" d"" .' ./ ~' ~ --;;;-.. ~. ,u, y fIlllnOl azna pravea: a =' ABrA(_ "'0 -() 0) BrcCU.3',d)!i i b" CD[C'0400 ,. ".I ..

. I (.J, ,), D(60,30,30)). Odrediti najkr{[(,;u udaljen0'5t ')\IT Gwr pravca P(JIJlOCIi stranocrla (s1.5. 9), '

"'J ',_ ~ f: j, c. sen j e: Ud~!jenost izmcdu dva mimoilazna pravca odredit cemo luke, dd ],l\lllnu lL postavllllO okomito na r;)\'ninu !f, .. ;) 1 1 pnqc:l () ili h para e no s jednim od

B"

o ~D'/ p' )f d~ -9 : .$/~~t-Z~ _.

: 0

R" C' x

'".----~y

/ P' y~-

B"

" C' R'

lJ d J . . _ za at(u JC favnina 1r.; postavljena paraldno praveu a Tad'] je asa \."

l,uraleln,i s rlocnom a' pravca a Oared ~ , . .. ',,,. ~. '

il :1 .J, ,I ,

" _,i,,'

76 5, Bokocrl i s/ranocrt (franV~~rlllac"ij~a~) ______ _

8" F'

Fm

e"/.

y

8"

A',

8'

Sllka 5.1 0

R Le_3 e n j e; U ovom zadatku treba iZYrsiti dvije lransformfjcije zadanog-predmeta. Potrebno je takode obiljeZiti sve njegove vrhovc 1 _ 20 ito u rrvaj Jf - 20' i drugoj projekciji 1" - 20" . TreeD projekciju r _ 201'f i'ehnickog predmeta odredujemo na osnovu udaljenosti njegovilJ vrhova druge projekcije od ose ,X2, Cervrru projekciju JlF - 2{jl' odredujemo kao udaljenost njegovih vrhova prve projekcije od ose ,X3.

Vidljivost predmeta u trecoj projekciji odretlujerno na osnovu njegove prve projekcije, a vidljivost u cetvnoj proje-keiji odredujemo na osnovu njegove trece projekcije, Bridovi pre-dmeta lCoji po laze iz onih vrhova koji su u pre[hod~ noj projekciji najbliz,e osi transformacije, u slijedecoj projekcionoj rnvnini se ne vide, U trecoj projekciji nevid!jivi 511 bridovi 9"'13"', JO'"1f'.ff i 17'''j9''', au cetvrtoj pTojekciji nevidljivi su oni bridovi koji po laze 1Z vrhova ()"i", 8i\', 1 'Oil JdF i 20n ,

5.4 Rijdeni ::adaci

,.," ".,," ,,",," r--7;"q-;;,,~, -,

.' IJ" ,,' ,,' JX, ___ _ 'i-''-----,;,,~.,~."~~f~-\ 6(J"

8. Zadatak. lz projekcUa, tlocrta i nacrta kocke cija osnova ABCD{A(20.40,0), B(20.10.0),C(50,JO,O),D] lei! i_I trl! pomo(;u stranocrta 17[[-crtati koch!. Stranocrtna osa jX.! je pod uglom 6(/' It odnosu no OSll ,Xl> U osa 3X.j pod uglom 45" 1-1 odnosu nQ aSH jX} (sl.5.12).

\" ,I 30' i~ ____ ,,-

Slika 5.11

Slika 5.12

. 'd k' , '1-- 'II 'Ie kao I'l 7 R ' '" ~ . "'. Postupak rjesavanJa ovog za al

78 5. Bokocrt i stranoert (transjorJnQcija) -"~-"----

5.5. Zadaci za rjesavanje 1. Odrediti pomocu siranocrta udaUenost tacke T(40,40,55) od pravca

p ~ ASiA( 10,25,0),8(80,0,60)].

2. Odrediti pomocu stranocrta udaljenost tacke T(45,50,75) od pravca p s MN[M(JO,40.60), N(80,20, 10)]. --

, , . :t Odrediti pomocu stranocrta udaljenost tacke T( 20, [0,60) ad pravca

p ~ MN{M(40, 60, 20), N(,40.10,70)}.

.. k Odreui[i P0l110CU stranocrta udaljcnast tacke T( J0,45, 40) ad pravca p =AB(,1(30,60,20), B(90,30,50)), a zatim naci pravu velie-inu uclaljenosti izmedu tacaka A i B.

5. Odrcdifi pomocll stmnocrta llda1jenost tacke T(40.70,45) od ravf1ine (50,30,60).

6})drcditi pomoC:ll stranocrta udaljenost tacke T(-60,45,50) od ravnine E(-75.80,70).

7"pdrediti pomoc:u stranocrta udaljenost tacke T(50,1O,-30) od ravnine trougla Odrediti pomocu stranocrta presjek p.aralelo~rama ABCD~A(2?,50,40), " B(40,20.70), C(90.10,50). VIsa raVll1l10m (50,50,60).

. 26. O'dtediti pomoc1.l stranocrta pregjek troug!a ABC[A(0,40,JO), B( 100,10,35), c(60,90,85)! 50 lroug!om EFG[E(20,80,5), F(} }O,50.20), G(40,5.70)J i ~jihovu vidljivost u projekcijama. C;;~'8dredili pomocu slranoerta prcsjek lrnug!a ABC[A(15,!5.45). B(65,}5~80),

;'" _______ ~./ C(95. 7(), 15)] sillrotlglom EFG[E(25,20,25), F(55,80,/O), G(lJ5,30,3 )]

28.

i njjhovu vidljivost u projekcijama.

Odrediti POIllOCll stranocrta prcsjek trougla ABC[Ar 20,15.10), B( 30. 70, ~5). Cn05,30,30)) sa lrongiom EFG[E(30.30.401, F(70,JO,JOO), G(95,70,} )J i njihovu vidljiyost u projekcijama.

/'"S"OC"T ______ .;S:.:-:.:B"o::k"oo:c::,':.:i",::',,,-O::O'-'O_::C::"eJi.:u"o::"-,sfi"o::':.:"'::":::'",ij::o:.:! _____ . ___ _ i,29. O"ctrediti pomocu stranocrta presjck trougla ABC[.4.(20,45,45), B(70,lO, 75),

'C( 115,65, 15)] sa trouglom EFG[E( lO,6{),]5), F(9(),80,65), G{ 130, J 5,30) 1 --2. njihovu vldljivosr u projekcijama.

30. Odrediti pomocu stranocrta presjek paralclograma ABCD[A(20,35, 70), B(95,20,55),C(J20,30,20j, D) sa trouglom F(;[(25,60,50), F(J00,70,85). G(65,0,15)) i njihovu vidljiyost u projekcijama.

31: Na pravcu p ;;;;; MN[M(OJOJO), N(45,J5J))] kZl Gsa oktaedr:J.. Nacrtati projekcije oktaedra pomocu stranocrtfl, aka je taeka A( 55.50,40) jedan njcgov vrh.

32. ~a pravcu p e;;: MN[M(10,80,90J. N(80.10,Oj) lezi Gsa oktaedra. Nacrtali projckcije oktaedra pornocll stranocrta, ako je {atka A(75, 70,65) jedall njegov vrh.

33." [z projekcija, tlocrta i nacrta tehnickog predmem, POlllO(;tl str::tJ]ocrta nacrtati predmet II cetvrtoj projekcijL Osc tranSf0n11acije i-'3 i jX~ oJabr:lli po volji. Projekcije tehnickih predmeta zadane su slikamfl broj I do 16.

8). ___ 5 B k ' _ _ ___ =' =oO'cCc~c:..":csC'l"m'C0,,:,o"'-0':ct-,-(tC':t,,-an,,:,',!,fO>tO>0!'.w,!:c!l.ij,,-a!..) _______ _

6, Okretanje (rotacija)

6,1, Ol{retanje nopste Predmeti i geometrijska tijcla U osobitom polozaju dovode se rotacijom

aka nekog pravca ~ ase u nove, opste, polozaje prema ravninama projekcija. Projekcije till predmeta i tijela u novim polozajima jasnjje prikazuju te predmete i tijela. testa je potrebno da se tijelo rotacijom dovede iz opsteg U osobiti po!oiaj, u kome se neki zadaci jednostavnije rjesavaju. Okretal1jem tijela aka ase rotacije za neb ugaa, svaka njegova taiSka opisuje luk istog ugla.

Obja.flljenje. Am.la.Cka A rotira aka ase 0, ana opisuje kruznicu k. Srediste te kruznice je U osi 0 i La u nozistu S okomice spustene iz lacke A na aSll o. Duiina AS"" r je poluprecnlk Ie krtlznice (s1.6.1)' Pravac 0 zove se Gsa, tacka S srediste, a duiina ,45 = r pohrpreenik rotacije. KlUznica k, koju opisuje tacka

Slika 6.1

A, zove se kruinica rOlacije. Ta kruz.nica Idi 1.1 ravnini L. koja se Love ravllilla rotacije, a okomira je na osu . :-otacije.

Obieno se tacka okrece aka ase za neki zadani ugao i to na desnu iIi Iijevu stranu.

Ako se taeka A akrene ulijevo za ugao a, dalazi u polazaj AI. Ugao a zove se ugao rotacije. Kod svake rotacije mora biti zadana osa, ugao i smjer rotacije. Obicno se uzima da jc osa rotacije okomita na jednu od projekcionih ravnina, 1T, iii IT] iii da je II jedooj od tih ravnina.

84 6. Okrettlllje (rotacljrl)

6.2. Okretanje tacke

Aka tacka A rotira oko cse 0 ..L rei za ugna a::::; 1200 ($1.6.2a), ona ce opisati kruzni luk k koji se na Tfj projicira u pravoj velicin.i kao luk e. Sredisre je S'luka k'll 0' , a poluprecnik je S:-1'::::: rJ". Ugao a prikazan je u Tt! u pravoj velicini, dakle tacka A' opise treCinu kminice i dDde u poJozaj .4;. Nacrt Juka k, koji ide tackolTI A, paralelan je s osom x. No. nacrtu k" lula k naiazi se Ilucrt A; tacke AI u koju je rotacijom dosla tatka A.

0" .A'-"_"k_",.-

7. Projiciranje geometrijskih tijela 7.1. 0 projiciranju tijela uopste Geomctrijska tijela ogranicena su plohama, bridovima i uglovima

(vrhovima). Projckcija tijela na projekcionu ravninu dobije se taka, 8[0 se na tu ravnillu projiciraju sve plahe, kojima je tijelo ograniceno. Uglata tijela ogranicena su ravnim plohama, a plohe su ogranicene bridovima i vrhovima. Ako se vrhov( uglatih tije1a projiciraju na projekcione ravnine Da se te pr:jekci~e spoje onaka kaka Sil spojcni vrhovi U ptOstoru, dobit ce s~ projekcije bndova 1 pI aha kojimaje tijclo ograniceno.

Projekcijc stosca i valjka bit ce odredene projekcijom vrlla i osnovc, odneBiio projekcijama obiju os nova. Kod projekcijc tijela na ravninu vidljlve su one pJohe kaje su okrenute prema oku, a nevidljive one koje su okrenute prema TClvninJ projekcije. Bridovi koji dijele vldljivi dio ploha od nevidljiyog zovu se kontumi bridovi tijela u toj projekciji. Konturni bridovi tijeia uvijek su vidljivL Ako je neb vrb tijela unutar,konture vidIjiv, anda su vidliivi i bridovi koii iz tOg .vrha-.izlaz.e.j obrnuto._NevldljlV je uvijek onaj k6ji jg.us~protnoj projekciji bJiz~ 051 x, jer je tada daljc od naseg aka. Proiekciie vidliivih hridovn izv!ace sc PUll1 1rJ, a nevidJjivih isprekidanim linijama. - - . .. U OVOID je pogJavlju 11glavnom obuhvaceno projiciranje geometrijskih

tljCI3 u opst~m 'p-.ol0.Z:ajy._Po~navanjem osngvni1Hyvejstava pravilnih uspravnih g~Qll1ernjskih tijeJa, kao i poznavanje konstruktivnih postupaka obradenih u 4. pogJsylju, U ovom poglavlju lakse se l]davaju slozcniji prostomi problemi , .

7.2. Geometrij~ka tijela 7.2.1. Kocka

K~cka je 'praviJ~o g~ometrijsko uglato tijelo ograniceno sa 6 jednakih '.' ,.,,~jj."'. _~lm[! 12 Jcdnabh bndova i 8 trostranih uglova koji cine vrhove kocke (51./.11. l\ocka lma 3 jednake. meau sobom okomite. ose KL. ,HN, PR i ..j. jednake dijagonaJe AG, Bf{, CE j DF. '

H G

Slika 7.1

7.2 Geometrijska t1jela 87

Osei dijagonale se sijeku u tacki 0 koja je jednako udaljena od svih ploha, svih bridova i svih vrhova, a zove $C srediste kocke. Kocka je pravilna cetverostrana prizma.

~. 7.Aldatak. Nacrfati projekcije kocke aja oSTlava ABeD leii u ravnini E(-4(jJ~4b,tO).sa sredistem 11 t(lc~ki S(-35,~,55), a tacka A(-40,-,25)jejedan njezln vrh (sl. 7.2).

R j e sen j e: OS11o,va kocke je pravilan cetverokut kame je srediste.u tack! S. Cetverokut osnove odrea-cn je vrhom A i sredistem S. Visina kocke Je jedan njezin brid prave vcliclne.

Tloerti tacaka S i A odredeni su pU!110CU sutrainica min prvog traga. Preloiene su tacke S ~i A 11 ravninu H, oko prvog, traga e, ravnine~E.--:-Pbmocu prelozenih facaka (5) i (A) konstruisan je kvadrat (A)(B)(C)(D) u pravoj velicini. 'Antirotacijom' i perspektivnom arinosti odredenje tloert. a sutraZmcama prvo~ trai,W nacrt os nove ABeD. Kako osnova kockc leli u ravnini E, njeni boem bridovi su i)komili na tu ravninll. a proiekeije tih bridova morajll biti okomite na 15toimene tnlglive te ravnine. Posta je brid AE okomjt na ravnini E, on je okomit : na priklonici P }Jr/og traga te ravnine., h~a ide kroz tacku A. a ciji

88 7. Projiciranje geometrijskih tijela

~'i~red .tloc~~ tac~e F, U oacrtu se tacka D viJi, tacka F ne vidi, a vidljivi su svi n:~~~.l. kO]1 ~du lZ ,v:ha D i .ne~i~ljiv~. kOj,i i,elu iz vrha F. Nevidljivi vIh sadrii

. JIve b~ldove Ill,;e nevldlJIVI bndovl sljeku u nevidljivom vThu. Dijelove ~ragOkvadravntn: r:., kOJl SU ostali ispod projekcija kocke, ne vidimo j izvlacimo ih lspre 1 anom liOljOrn.

Slika 7.2

7.2 Geomelrijska tijela 89

2. Zadatak. Nacrtali projekcije kocke ciji jedaJ! brid lefi na pravcu p ""- MN[M(65,55, JO), N(50, 10, 65)}, a tacka A(25,30,lS) je jedan njezin vrh (s1.7.3 ).

R j e sen j e: Osnova kocke je pravilan ce'(verokut koji je odreden vrhom A i uslovorn da jedan ojc2iD brid lezi na pravcu p. Visina kockc je jedan njezin brid prave velieine.

Pravcem p(p',p") i tackom A(A',AN)odrc(lena je ravnina E(el,e2). Prelozeni su pravac p i tacka A u ravninu TCI aka prvag traga e! ravnine E. Pomoeu (p) i (A) konstruisaoje kvadrat (A)(B)(C)(Dl u pravoj velieioi. Kako so tacke (8) i (C) na pravcu (p), a lacke (A) i (D) na pravcl1 (LJ), njihovi tlocrti ce biti oa tlocrtu, a nacrti na nacrtu pravaca p i q. Dalji postupak rjesuvunjd. analogan je kao u 1. zadatku.

Kako ravnina E ima konvergentne tragove, a kocka osnovom ABeD le:i.i u toj ravnini, to cerno u tlocrtu i nacrtu vidjeti gornju SHanll kocke, a njezinu osnovu necemo vidjeti. Necemo vitijeti ni dio prvog traga Cj, koji je ispou kocke, kao ni diD drugog traga e], koji je iza kockc.

7.2.2. Prizma

Prizma, kao geometrijsko tijelo, nastaje kada se prava linija pomjera po obimu nekog mnogokuta, ali tako; da ostaje sarna sebi paraldna. Prizma ima dvije osnove i oooliko boc.nil}._ploha koliko~mnogokut ima bridova, onol1ko bocnih bridova koliko mnogokut Ima-uglova i dvufmfa veei broj vrhova od hroja--uglova mnogokuta. Boene pIche prizme su paralelogrami. Prizma moze biri uspravna i kosa. Uspravna prizma ima bocue bridove okomite nil osnovu, a kOSCl prizmaje ona ciji bocni bridovi stoje koso ua njezinu osnOvu. Pravilna prlzm3 za osnovu irna pravilan mnogokut.

3. Zadatak. Haertati projekcije pravilne, uspravne, petostrune priz.1li2 eija osnova leii u ravnini E(J 5,45,) 0), sa sredistem u tal.:ki S(35,60

90, ______ _

\ \

/ (0,,: .... \~, ~< ~.\

\

7 Pro;iciranje r.:eometrijskih tijela J "

././,/ E,"'"\-\----~--,!V,'FI \

Slika 7.3

8"

p"

8'

'(' I

/ /

/

Fir ---;'(G II '\

\

/"

\ \

\

I" ,: ,

iH" /" ~ "

/ \

\. RGo \ \/ \

i ,

j\ \ ; \\

\

y

\ \

\ ,

\ \

\ \ ,

\ \

\ -,-"";.L-~7"-7f' 1\ ,

\

~ x Ex/ ~E.,,_ --+-~t;:--T

" ,I, .... ~c. /.. \" 1\ / / \

,

IE)

Slika 7.4;

92 7. Projicirallje geometrijskih tijela

R j e sen j e: Prizma za Osnovu im3 pravilan peterokut kome je srediste u tacki S: Peterokut osnove odreden je sredistem S i poluprecnikom r, pri cemu je jedan njezin brid paralelan s ravninom IT). Zadana v1510a prizme nanosi se na jedan njezin bocn! brid.

Pomocu sutraznice m prvog traga odreden je naert tacke S. Prelozena je tacka S u ravninu 1[1 aka prvog traga ej ravnine E. Pomocu tacke (S) i poluprecnika r konstruisan je pravilan lIeterokut (A)( B)( e){ D)( E) II pravClj velicini, Ciji brid (A)(E) je paralelan prvom tragu ravnine E, posta je taj brid paralelan s nt. 'Antirotacijom' Sll odredeni tlocrti vrhova dooje osnove prizme, a sutrafuicama prvog traga nacrti. tih vrhova. Spajanjem vrhova ABCDE istoimenih projekcija dobivene su projekcije donje osnove prizme. Dalji postupak rjesavanja analogan je kao u 1. zadatku. Kako mvnina ima divergentne tragove, a osnova prizme leii u toj ravnini, vidljivost je slijedeca. kada se ona promatra 1I smjeru nonnalnog projiciranja na ravninu 1[" vidjet ce se njezina gornja os nova. a kada se ona prOImltra u smjeru . o'onnalnog projiciranja na ravninu !fl, vidjet ce se njezina donja osnova. Zbog toga prizma u tlocrtu zaklanja donJu osnovu pa se vrhovi tlocrta A i B i bridovi koji idu iz tih vrhova ne vide. U nacnu je zaklonjena gornja osnova pa se vrhovi nacrta G i Hi bridovi koji idu iz dh vrhova ne vide.

4. Zadatak. Nacrtari projekcije pravtine, ilspravnc, eSlOSlrwte prizme cija osnova leii u ravnini E(-40,oo,30j, sa sredi.ftem u tadd S(-5,40,-).

taL~ka A (0, 70,) je jedan njezin vrh, a visina prizme v=70 (sl. 7.5).

R j e sen j e; Osnova prizme je pravilan sesterokut kome je sredlste u tacki S, Scsterokut osnove odreden je vrholU A j sredisr.em S. Zadana visina prizme nanosi se na njezinu osu od tacke S, ili najecian njezin boeni brid.

Zadana prizm~ svojom osnovQm Id:i u drugoj projicirajucoj ravnini. Nacrti tacaka 5 i A su oa drugom tragu e1nl~nine E. Prelozene su tacke S i A oko prvog traga eJ U ravninu 7r:j. Pomocu tacaka (S) i (AJ konstmisana jc osnova prizme. pravilan sesterokut (A)(B)(C}(D)(E){F). Pomocu perspekrivne afinosti i 'antirotacijom' odredeni su tlocrti vrhova donje osnove prizme, a medusobno spojeni odreduju njezin tloert.

U presjeku drugog traga i ordinala povucenih vrhovima donje osnove je njezin nacrt. U nacrtu se visina prizrne vidi u pravoj ve1icini vo:::: S"V", s obzirorn na to da su njeni bocni brid9vi paralelni S 1[2_ Kako su osnove prizme medu scborn paralelne, dobiveni su vrhovi nacrta gomje osnOve GHIll( j L. U presjeku ordinal.a povucenih iz vrhova naerta gomje Qsnove S:1 okomicama povllcenim iz vrhova tlocrta donje osnove je tloert gomje osnove prizme. Dalji postupak rjesavanja je kao u prethodnim zadacirna.

7.2 Geometrijska tijela 9]

(8J '~"----~-::--7 B'

e,

Slika 75

114 7. i-rojiciranje geometrijskih tijela

7.2.3. Piramida

Kao geometrijsko tijelo, piramida nastaje kada se prava linija pomjera po obimll nekog mnogakuta prolazeci kroz jeduu taCku u prostoru. Piramida ima jednu OS110VI1, onoliko bocnih ploha koliko mnogokut ima bridova, ol1oliko bocnih bridova koliko mnogokut ima vrho\JB-, a broj uglova jednak je broju \Thova mnogokuta viSe jedan. Bacne plohe piramide su trokuti. Piramida moze biti l.lspravna i kasa. Uspravna piramida je ona Gija je osa okomita na osnovu, a kod kose piramide osa stoji koso na njezinu osnovu. Pravilna piramida loa osnovu im

96 7 Projiciranje geometrijskih (ijcla

6. Zadatak. Naertati projekcije pravilne, liJpravne, seslOstran piramide tija osnova letl u ravnini E, kOjajednim bridom osnove dodinu"e ravninu n:J, alw je njezina osa SVI5(0,55,35), "1/(75,15,85)) (sl. 7.7).

,

R j e sen j e: Osnova piramjde je pravilan sesterokut kome je srediste u tacki S. Sesterokut asnove odreden je sredistem S i uslovom da jednim svojim bridom dodiruje ravninu nl.

Kako tacka S pripada ravnini , pomocu sutraznice m te rJ.vnine odredeni Sil njezini tragovi.

Tackom S polot.ena je sutraznica In prvog trag a okomiro nn asu SV i odredena ravnina E (e" e2). Prelozcnaje tacka S oka prvog traga ej U ravninu 7[}. Pomocu tacke (S) konstruisana je os nova piramide, pravilan sesterokut, (A){B){C){D)(E)(F) u pmvoj velicini, tako da jedan njezin brid lezi u prvom tragu ravnine E, jer ana dodiruje ravninu 1(}. 'Antirotacijom' i perSpektivnom afinosti konstruisan je tioert, a pomocll sutrtrinieo. prvog traga nacrt osnove ABCDEF.. Spajanjem istoimenih projekcija njezinog vrha 1 vrhova njezine osnove dobivene su projekeije piramide.

-o-Kako ravnina ima divergentne tragove, a pirarnida osnovOrrl !ezi 1.1 taj ravnini, vidljivostje odredena kao u 3. zadatku.

7.2 Geometrijska tijela 97

V"

c,

98 7, Prajieimllje geometrijskih rijela ----------------~--~~~~~~------------7.2.4. Tetraedar

Tetraedar je p~avilno geornetrijsko uglato tijelo ograniceno sa 4 jednaka i:;::tostrana trougla. tma 6 jednakih bridova i 4 istostrana ugla koji Cine vrhove tctracdra. Aka se u svakom kvadratu, kojim je ~ocka ogranicena, povtlce po jedn3 dijagonala, kao na slid 7.8, onda sve te dijagonale 'cine 4 jednaka istostrana trougla koji ogranicavaju pravilan tetraedar. Dva brida tetraedra koji ne Ide na istoj plohi, npr. AB i CD, meau soborn su akomiti. Takvi bridovi ZOVll sc suprotni bridovi tetraedra. Tetraedar 1m3 to para suprotnih bridova. Aka se SPO]C sredista snprotnih bridova duzil1ama KL, MN i FR, tada se te duzine lOvu osc trtracdra.

A

Slika 7.3

Te su osc medu sobomjcdnake i okomite. Sijeku se u tacki 0 i podudaraju sa osama kocke, Aka je a brid kocke, onda je duzina ose tetraedra jednaka G., a duzina brida tetraedra aJ2. Tetra-edar moze biti praviJan iIi nepravilan. Pravilan tetraedar je ggranicen sa cetiri jednaka istostrana trougla, dok je nepravilau' tetraedar ogranicen sa 4 ncpravilna i ~~~naka traugla.

7. Zadatak. Nacrlati projekcije tetraedra cija osnova ABC leii u 1'G1:nini (-40,60.-30), ako mil je srediste oSl1ove u tacki Sr'-50.50.-J. a tacka

71f=60.J5,c-)jedan-njezin vrh (51.7.9),

R j e S e 11 j e: Osnova tetraedra je istostrani trougao sa sredistem u tacki S. Trougao osnove odreden je vrhom A i S"recl:i-stem S. Visina tetraedra nanosi se m] njegovu osu od tacke S. ,

Nacrti tacaka S i A odredeni su pomocll sutraznica min prvog traga. Prelozene su tacke S i A u ravninu n, oko prvog traga e, ravnine E, Pomocu prelozenih tacaka (Sj i (Aj konstruisan je istostrani trougao (A)(B)(C) u pravoj velicini. 'Antirotacijom' odrcaen je tloert tacaka B i C, a sutraznieama prvog ::mga njihov nacrt.

Vis loa tetraedra odredena je konstruktivno. iz pravouglog trougla (C)(S)(D) u kojem sU (C)(S) i (iJ)(S) katele. a (C)(D)=(C)(B) hipotenuza. Ako taj trougao prelozimo oko katete (C)(S) u rei [(S)(D) 1. (C)(5), (C)(D)=(C)(BJj, onda je (S)(D)~vl). DaJji postupak rjesavanjaje kao u 5. zadatku.

Kako ravnin

102 7. Projiciranje geomerrijskih tijela

7.2.5. Oktaedar I

Oktaedar je pravilno geometrijsko nglato tijelo ograniceno sa 8 jednakih istostranih trouglova. Tma 12 jednakih bridova j 6 cetverostranih uglova koji Cine vrhove oktaedra. Oktaedar ima tn jednake, meau soborn okomite, ase KL, MN i

PR (s1.7.11). Ose-~e sijeku u zajednickoj tacki 0, ~M //1 koja se zove s-r-ediste oktaedra. Bridovi oktaedra

Slika 7.11

cine tri kvadiata, Gije su ravnine medu soborn okomite Lsijeku se u osama oktaedra. Po dvije ose ujedno su i dijagollille spomcnutih kvadrata, a svaka od njih okomita je na jedan oJ kvadrata. Oktaedar se sastoji od jvije jednake kvadratne piramide sa zajednickom osnovom.

9. Zada'tak. Nacrtatf projekcije oktaedra, kome jedun b!"id leif na pravcu p E MN[M(30,60,5), N(75,15,20)], a tacka S(45. 30, 45) je njegovo srediste (sl.7.12).

Rj e s.e nj e: Oktaedar je pravjlno geometrijsko ~uglat? tijdo saslavljeno od dvije jednake kvadratne piramide sa zujednickorn osnovom. Osnova je !cvadrat ciji jedan brid lezi flit praVCL! p, a mtka S je njegoyo sredi$rc. V.isina oktaedra je dijagonala osnog presjeka.

Pravcem p(p',p")j tackomS(S~S")odredena je ravnina E{e"ez). Prelo-zenl su pravac p i tacka S u rav'ninu Tj aka PrV'og [raga e, ravninc E. PomoGu pravca (p) j tacke (S). tj. spu5tanjem okomic-e iz tacKe (5) DU pravac (p) dc-bivena je polovina brida (aoI2) oktaedra. Sa bridom ao=::::(A)(B) konsrruisan je kvadrat (Aj(Bj(C)(D) u pravoj velitini. Kako su taCke (A) i (B) na praveu (p), njihovi tioerti ce biti na tlocrtu, a nacrti na n3crtu pravca p. 'Antirotaeijom' odred'eni su tlocrti tacaka C i D, a sutraznicama prvog traga njihovi naerti. Spajanjem vrhova ABeD istoimenih projekcija dobiveni su tlocrt i naert kvadrata kao osni presjek oktaedra. Vrbove E i F odredirno taka da tackam S povucemo pravac a okomito na ravninu E. Ovaj pravac je osa oktaedra. Nanosenjem prave velicine polovine dijagonale kvadrata (C)(S)=(d;; 12) nu prikIonicu prave velicine po iz tacke So, dobivena je taCka Eo. Ako iz tacke Eo povucemo paralelu duzini 5

0S', u

presjeku ie paralele i okomicqrovucene iz tloena tacke S je tloert tacke E. Tloert vrba F dobiven je na osnovu reladje ES;:::SF. U presjeku ordina/a povuc-enih tlocrtom tacaka E i F sa okomicom povllcenom iz naerta taeke S su nacrti meaka E i F. Projekcije oktaedra dobijemo spajanjern istoirnenih projekcija njegovih vrhova E i F sa vrhovima kvadrata ABeD kao osnog presjeka. Vidljivosl oktaedraje odredena na vee poznati nacin.

7.2 Geometrijska rijela

I} q"

,

Q\ A" , ...... 7 i y

'stika 7.12

104 7, Projiciranje geometnjskih lijela

7.2.6. Valjak ,

Aka za osnove prizme, umjesto mnogokuta uzmemo krufuice, tada umjesto prizme dobivamo kruini valjak. Valjak ima dvije osnove i plast oblika

Documents

I Godina - Nacrtna Geometrija s Tehnickim Crtanjem i Zbirkom