I gir : 4/4

Inversion en i C = CCO ,r ),Iar

,er

s.a.

P' = Ior ( P ) er punhtetpaopS -

Ce.

Op . Op'

= r2-

o

Kryssforholdet yfire alike punht .

Gilt A ,B ,P og Q ,

sie et kryssforholdet

[ AB ,PQ ] =

ftp.BQAQ. BP Q p

O0

IT•

A BTeoreem 10.7.19Person OF A ,B ,

Peller Q,sci

bearer Io ,r kryssforhoklet I

[ AB, PQ ] = [ A' B '

,P' Q' J

Bevis : hes pie eager hand.

Kap .

11 Modeller- En modell i Euklidsh geometrid( kartesishe planet )

- l hyper bolster geo .:

° Poincare disk eno - l l - halo planet° Beltrami - Klein modeller

Modellene wiser at EPPog MPP

er uaerhengig ceo aksiomene E

noytral geo metre.

↳ehsistensen ao

En modell sier at system et er

uonsistent ( ingen logistic motsigelserKan utledes free det aksiomatishe

system et ) .

Desson Iet eksi steerer modeller

for mengdelcere ,SE eksisterer det

modeller for Euklidsk geometric , Ogfcdgelig for hyperbola geo .

Geidel : Mengele here lean ihke brakes tilavise at mengdekeoe er consistent

.

I '.I Den Uartesishe modellers

Tolkning-

Punkt - et ordnet par aoreelle tall ( x. y )

hinge - la a,b

,c EIR

, og ihkebcide

a -

- O,b - O

,da er

l = { ( x , y ) I axtbyt c. = O }Austand - A = ( x , , bi ) ,

B = ( Xz , ye ) ,

AB = ( ( x ,- xz5t ( y ,

- yay ) " 2

Halo plan - H,

= { ( x , g) I axtbytc > o }Hz = { ( x

, y ) I axtbytc so }H

,O Hz U l = Rx IR ( =p )

vinkelmal - Vi broker calculus

arctan x=foE at

y = Mix t bi Huis m, .mz= - l er

y = mzxtbz lingerie nor malt piehoerandre

.

Ellers,Sao her den mins 're uinkelep

mellon liniene mail

x -

- 18¥ tartan CTtm?mT ) )T

l, m

,= tan 2

,

Mz = - tan Xz

a = a, taz

lz

Her holder EPP :

Har x - c,

eller - Parcell elle huis

y =m× + bbesse er certitude

- paralleled huis lingeriehas Sammi strgningstall

11.2 Poincare disk en

Anta eksistensen ao en Euklidskmodell

.V8 bygger Poincare disher

" innit '

den Euklidske modeller.

-

-

--

-

,

iink: Feet :*:asE8inuiinni 8

.

| €. -

--

linie - open diameters; Hrsirkelbuen

som er normal til H.

Halo plan : snitt ow det Euklidshe halo planeti tilfelle listen er en diameter

,Tellersnihtet our det indrelytre med insideau p med det indue ao w sese

.

Vinkelmal : som for Sirk ler i delkap 10.7med tangent Strater

.

p se

¥÷!÷ oaa.

."

Rostand ; •

Q

c

d ( A. B) =/ In ( CAB , PQT) /

a- B. Pas -

-

aa¥?

' TO

i

11. 3

Beltrami - Klein

④'einnieeuainasuddnioesaoomer inn i 8

.

Aust and folkes indi relate

oed E nappe toolPoincare - disk en

.

Mapping freeH ( Beltrami -

Klein diskea)til Rz ( Poincare -

disk en )Figler fraVenema 2011

S.297

Poincare halo - planPunkt som i dem

Euklidske modeller

hinter som palskisseµ

.m

austanaocs-

a uinkelmal vedie

mapper til

Poincare '

- dished.

Ise figure i bona )