Tehnička mehanika II

• Nastavnik: dr Marina Mijalković, vanredni profesor• Asistenti: mr Marina Trajković,

mr Marija Spasojević-Šurdilović• Saradnik: Predrag Petronijević• Kabineti 120 i VI sprat• www.gaf.ni.ac.rs/mehanika

OBAVEZE STUDENATA I VREDNOVANJE AKTIVNOSTI

• Obaveze studenata u toku nastave:• prisustvo na predavanjima, vežbama i aktivnost na

času 10 poena,• 2 testa po 15 poena 30 poena.

• Studenti su obavezni da pohađaju nastavu, rade vežbe i polažu oba testa.

• Testovi se organizuju u terminima nastave. Po obavljenoj nastavi se organizuje jedan popravni test.

• Minimalne obaveze studenta u toku semestra su:

• 50% od a) 5 poena,• 50% od b) (5 poena po testu) 15 poena.

• Ukoliko student ne ostvari 20 (5+15) poena nema pravo na potpis i mora da sluša predmet opet sledeće godine.

• Ispit se sastoji od pismenog dela i usmenog dela, koji je posle pismenog. Ispit traje četiri sata. Svaki od delova ispita se boduje sa po 30 poena. Minimalni broj poena da bi se položio pismeni deo i usmeni deoje 50% od 30, dakle 15+15 poena.

• Poeni ostvareni u toku semestra se sabiraju sa poenima ostvarenim na ispitu i njihov maksimalni broj je 100, (10+30+30+30). Prelazna ocena se dobija kada se sakupi najmanje 55 poena.

• Ocenjivanje se vrši na sledeći način:• ostvarenih 55-65 poena je ocena 6 (šest);• ostvarenih 66-75 poena je ocena 7 (sedam);• ostvarenih 76-85 poena je ocena 8 (osam);• ostvarenih 86-95 poena je ocena 9 (devet);• ostvarenih 96-100 poena je ocena 10 (deset).

LiteraturaUdžbenici:• M. Mijalković Autorizovana predavanja iz Tehničke mehanike II, GAF

Niš.• Bogunović – Mehanika II, skripta, Niš.• M. Kojić, M.Mićunović,– Kinematika, Kragijevac.• S.M.Targ – Teorijska mehanika – kratak kurs, Beograd.• M. Kojić – Dinamika, Kragujevac.• D. Rašković – Mehanika, II deo, za prvi stepen studija na mašinskim

fakultetima, Beograd.

Zbirke zadataka:• M. Mijalković, M. Trajković – Zbirka rešenih ispitnih zadataka iz Tehničke

mehanike II , Niš. • D. Stanković, N. Sokolović – Mehanika II – zbirka zadataka, Niš.• Lj. Stojanović, D. Grbić, B. Šuvakov – Zbirka zadataka iz Mehanike I i II,

Beograd.• D. Milosavljević – Kinematika – metodička zbirka rešenih primera sa

izvodima iz teorije, Kragujevac.• D. Stokić, R. Pavlović, zbirka rešenih zadataka iz mehanike II, sa izvodima

iz teorije, Niš.

KINEMATIKA TAČKE• POLOŽAJ POKRETNE TAČKE U PROSTORU• KOORDINATNI SISTEMI

• Dekartov pravougli sistem• Polarno cilindrični koordinatni sistem• Sferni koordinatni sistem• Prirodni koordinatni sistem

• BRZINA TAČKE• UBRZANJE TAČKE• NEKI POSEBNI SLUČAJEVI KRETANJA

TAČKE

• Mehanika je nauka u kojoj se izučava stanje mirovanja i kretanja tela koja su izložena dejstvu sila.

• Statika je deo mehanike u kome se proučava ravnoteža tela, odnosno određuju sile, koje deluju bilo kao spoljašnje na telo, bilo unutar njega, neophodne da bi telo zadržalo svoje stanje mirovanja ili jednolikog pravolinijskog kretanja.

• Kinematika je deo mehanike u kome se proučavaju opšta geometrijska svojstva kretanja tela.

• Dinamika je deo mehanike u kome se proučavaju zakoni kretanja tela pod dejstvom sila.

Pojam mehaničkog kretanja i mirovanja

Sva tela u prirodi se kreću:

Ljudi se kreću u odnosu na Zemlju, Zemlja se kreće u odnosu na Sunce, Sunčev sistem se kreće kroz prostor …

U prirodi ne postoji apsolutnomirovanje i apsolutnokretanje.

U okviru ovog kursa smatramo da je Zemljanepomična i da su sva tela koja su čvrsto vezanaza površinu Zemlje nepomična.

Kinematika je deo mehanike u kome se proučavaju geometrijska svojstva kretanja tela ne uzimajući u obzir njihovu inerciju (masu) i sile koje deluju na tela.

Promena položaja tela u prostoru može se uočiti samo u odnosu na drugo telo.

Za definisanje kretanja potrebno je referentno telo.

Referentno telo je telo u odnosu na koga se izučava kretanje ili mirovanje drugih tela.

Za referentno telo se vezujekoordinatni sistem u komevršimo proračun.

Referentno telo

Kretanje

Pod kretanjem u mehanici se podrazumeva promena položaja jednog tela, koja se vrši u toku vremena, u odnosu na drugo telo u prostoru.

Koordinatni sistem referencije

• Opisivanje kretanja tela ili tačke u prostoru vrši se pomoću koordinatnog sistema referencije koji je vezan za referentno telo.

• Ukoliko je referentno telo nepokretno opisuje se apsolutno kretanje, a ukoliko je pokretno opisuje se relativno kretanje u odnosu na njega.

U Njutnovoj mehanici prostor je homogen u svim delovima i izotropan. Homogenost prostora, u odnosu na neke osobine, znači da su te osobine prostora u svakoj tački jednake, a izotropnost da su te osobine prostora u svim pravcima jednake. Prostor koji je homogen i izotropan naziva se euklidskim prostorom.

Prostor

Dužina

Dužina je potrebna da bi se locirala pozicija tačke u prostoru.

Za jedinicu dužine pri merenju rastojanja usvanja se jedan metar (m), (manje jedinice santimetar, odnosno milimetar, a veća kilometar).

Vreme

Vreme se u mehanici smatra univerzalnim, to jest da teče (prolazi) na isti način u svim koordinatni sistemima referencije. Za jedinicu vremena uzima se jedna sekunda (s). Vreme je skalarna veličina koja se neprekidno menja. U kinematici je vreme t nezavisno promenljiva veličina (argument). Sve ostale promenljive veličine su u kinematici u funkciji vremena, to jest i one se menjaju tokom vremena. Vreme se meri (računa) od nekog početnog trenutka (t=0). Svaki određeni trenutak vremena t definiše se brojem sekundi, koje su protekle od početnog trenutka vremena. Razlika između bilo koja dva uzastupna trenutka vremena pri nekom kretanju se naziva vremenski interval.

TačkaTačka u kinematičkom smislu je geometrijska tačka (bez dimenzija), koja menja položaj u prostoru u toku vremena u odnosu na referentno telo (u odnosu na koje se kretanje posmatra).Tačka ima zanemarljive dimenzije. Na primer, veličina zemlje je beznačajna u poređenju sa veličinom orbite, pa tako ona može biti modelirana kao tačka u proučavanju kretanja u orbiti.

TeloPod telom se podrazumeva geometrijski objekat koji se kreće.

Kruto teloKruto telo predstavlja skup velikog broja tačaka u kome sve tačke ostaju na nepromenjivim rastojanjima jedne od drugih pre i posle nanošenja opterećenja.

U većini slučajeva deformacije koje se javljaju pri kretanju su relativno male pa je pretpostavka o krutom telu opravdana.

Znajući zakon kretanja datog tela ili tačke, odrediti sve kinematičke veličine, koje karakterišu kako kretanje tela kao celine, tako i kretanje svake njegove tačke posebno (putanje, brzine, ubrzanja).

Osnovni zadatak kinematike

Kinematika tačke

Da bi se definisalo kretanje tačke potrebno je odrediti njen položaj prema odabranom koordinatnom sistemu referencije u svakom trenutku vremena. Za to je moguće primeniti jednu od sledeće tri metode:– vektorska;– analitička (koordinatna);– prirodna.

Položaj pokretne tačke u prostoru

Položaj tačke M potpuno je određen vektorom čiji je početak u koordinatnom početku O, a vrh u tački koja se kreće. Taj vektor se zove vektor položaja tačke.Pri kretanju tačke M menja se vektor položaja i po pravcu i po intenzitetu. Prema tome, r je promenljivi vektor (vektor funkcija) koji zavisi od vremena t:

r r(t)=r r

Putanja - trajektorija

je zakon kretanja tačke u vektorskom obliku.Geometrijsko mesto krajeva vektora r određuje putanju pokretne tačke ili tarajektoriju.

r r(t)=r r

Putanja (trajektorija) je neprekidna linija koju opisuje tačka pri kretanju u odnosu na koordinatni sistem referencije. Ako je putanja prava – kretanje je pravolinijsko, a ako je kriva linija, onda se zove krivolinijsko.

KOORDINATNI SISTEMI

• Dekartov pravougli sistem• Polarno - cilindrični koordinatni sistem• Sferni koordinatni sistem• Prirodni koordinatni sistem

Dekartov pravougli koordinatni sistem

1

2

f (x, y) 0,f (y, z) 0.

==

r x i y j z k,= + +r r rr

r r(t) x(t) i y(t) j z(t) k,= = + +r r rr r

x x(t),y y(t),z z(t).

===

Ove tri skalarne funkcije su

zakoni kretanja u Dekartovom

koordinatnom sistemu.

1 2F (x, y, z) 0, F (x, y, z) 0.= =

Određivanje jednačine putanje:

Polarno – cilindrični pravougli koordinatni sistem

Koordinate tačke M: ρ, ϕ, z

constconstzconst === ρϕ ,,se zovu koordinatne površi – dve ravni i jedna cilindrična površ. U preseku koordinatnih površi se dobijaju koordinatne linije – dve prave linije i krug, a u preseku koordinatnih linija je tačka M.U pravcu tangenti na koordinatne linije su jedinični vektorikoji definišu radijalni, cirkularni i aksijalni pravac.

kcrrr i, 00ρ

( ) ( ) ( ) ( )0r t t t z t k.= ρ ρ +rr r

( )( )( )

t ,

t ,

z z t .

ρ = ρ

ϕ = ϕ

=

Vektor položaja i zakoni (jednačine kretanja) tačke u polarno-cilindričnom sistemu.

x cos ,y sin ,z z.

= ρ ϕ= ρ ϕ=

Zavisnost između koordinata x, y, z i ρ, ϕ , z jedne iste tačke M u dva koordinatna sistema – Dekartovom i polarno cilindričnom je očigledna sa slike:

Eliminacijom parametra t se mogu dobiti jednačine oblika:

( ) ( )1 2f , 0, f , z 0.ρ ϕ = ϕ =

koje predstavljaju površi, u čijem preseku je linija putanje tačke.

( ) ( )r r t , t .= ϕ = ϕ

Jednačina linije putanje je:

( )r r .= ϕ

pri čemu je rρ =

Ako se tačka kreće u ravni, z =0, polarno – cilindrični koordinatni sistem se svodina polarni koordinatni sistem, zakoni kretanja su:

Polarni koordinatni sistem

Sferni koordinatni sistem

Koordinate tačke M:r, ϕ (od 0 do 2π)ψ (od -π/2 do π/2),jedinični vektori

000 ,, νrrr cr

Vektor položaja tačke glasi:

( ) ( )0r r t r t=r r ( )

( )( )

r r t ,

t ,

t .

=

ϕ = ϕ

ψ = ψJednačine ili zakoni kretanja su:

Koordinatna transformacija između sfernog i Dekartovog koordinatnog sistema:

x r cos cos ,y r cos sin ,z r sin .

= ψ ϕ= ψ ϕ= ψ

Eliminacijom parametra t iz zakona kretanja se dobijajednačina putanje tačke.

Da bismo poznavali položaj tačke M u svakom trenutku na putanji potrebno je da znamo zavisnost:

( )s s t=

zakon kretanja (zakon puta) tačke M po putanji. Da bi se odredilo kretanje tačke prirodnim putem, potrebno je poznavati:• putanju tačke• početak koordinatnog sistema sa utvrđenim pozitivnim i negativnim smerom• zakon kretanja (zakon puta) gde rastojanje s određuje krivolinijsku koordinatu tačke.

Prirodni koordinatni sistem

Ravni:• Oskulatorna,• Normalna• Rektifikaciona.

Ortovi obrazuju takozvani prirodni trijedar.U opštem slučaju prostorne krive linije, pravci osa prirodnog trijedra menjaju se od tačke do tačke krive.

drT, T , T dTds

= +rr r r r

Ortovi:

T, N, B.r r r

Brzina tačke

def

srt 0 t 0

r drv lim v lim r.t dt∆ → ∆ →

∆= = = =

∆

r r rr r &

( ) ( )r r t t r t ,∆ = + ∆ −r r r

srrv .t

∆=

∆

rr

drv r.dt

= =r rr &

Brzina tačke jednaka je prvom izvodu vektora položaja tačke po vremenu.

[ ] 1dr dsv . ds dr v L T . (m / s, cm / s, km / s, km / h).dt dt

−= = = =r rr

Vektor brzine tačke se poklapa sa pravcem tangente na putanju, u smeru kretanja.

Brzina tačke u Dekartovom koordinatnom sistemu

x y z

dr d dx dy dzv r x(t) i y(t) j z(t) k i j kdt dt dt dt dt

v x i y j z k.v x, v y, v z.

= = = + + = + +

= + += = =

r r r r r r rrr &

r r rr & & && & &

)25(,,, zvyvxv zyx &&& ===

y2 2 2 2 x zv v v

vv vx y zv v v x y z , cos , cos , cos .v v v v v v

= ⋅ = + + α = = β = = γ = =& & &r r & & &

x y zv v(t) v i v j v k,= = + +r r rr r

r r(t) x(t) i y(t) j z(t) k.= = + +r r rr r

komponente brzine

PrimerNeka su zakoni kretanja tačke dati jednačinama

x bsin( t), y b cos(2 t), z bcos(2 t)= ω = − ω = ω

gde su b i pozitivne konstante.ω

Primenom jednačina slede komponente vektora brzine:

x y zv x, v y, v z= = =& & &

x

y

z

v x b cos( t),v 2b sin(2 t),

v 2b sin(2 t),

= = ω ω= ω ω

= − ω ω

&

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2 2

2

v x y z b cos t 8sin t ,

v b cos t 1 32sin t 0

= + + = ω ω + ω

= ω ω + ω ≥

& & &

Intenzitet brzine je: