33

Chapitre 4

Electrocinétique des courants continus

I. Le courant électrique et ses caractéristiques

1 Notion de courant électrique

On appelle courant électrique tout déplacement de

charges électriques.

Par convention le sens d'un courant est le sens selon

lequel se déplacent les charges positives, c'est-à-dire le

sens des potentiels décroissants.

On peut classer les courants de la façon suivante :

courant de conduction, courant de convection, courant

de particules dans le vide.

2 Régime permanent, courant continu

Soit A et B deux conducteurs

reliés par un fil métallique.

Lorsque la différence de

potentiel VA-VB est

permanente (ne change pas avec le temps), ceci entraîne

un écoulement permanent des charges à travers le fil de

liaison ; cet écoulement permanent est appelé "courant

continu" ; on dit que l'on a un régime permanent.

34

3 Intensité et densité de courant

Lignes de courant : ce sont les trajectoires de charges

libres.

Tube de courant : c'est l'ensemble des lignes de courants

passant à l'intérieur d'une courbe fermée.

Intensité : soit dQ la quantité d'électricité qui, pendant

un temps dt, traverse une surface S dans un sens donné.

On appelle intensité de courant à travers S la grandeur

dt

dQI .

I représente la charge qui traverse S par unité de temps.

Dans le cas du régime permanent on a Q = I t.

35

Dans le système M.K.S.A, l'intensité I s'exprime en

ampère (A). (A = Cs-1).

Densité de courant : soit un conducteur dans lequel se

déplace un ensemble de porteurs de charge ayant une

vitesse moyenne v . Soit dS un élément de surface du

conducteur, d'orientation quelconque. Le nombre

moyen de charges qui traverse dS par unité de temps

est: dt

dqdi avec dq = dV.

= nq ; n : nombre de porteurs de charges/unité de

volume ; q: charge d'un porteur.

dt.dS.vdS.dt.vdV

d'où dS.jdS.vdi

,

d’où vj est la densité de courant (s’exprime en

A/m²).

Le courant qui traverse une section (S) du conducteur

est donc : )S( dS.jdiI

L'intensité à travers une surface S est le flux du vecteur

densité de courant à travers S.

36

Remarque : l'intensité du courant est la même à travers

toute la section d'un conducteur filiforme ne comportant

pas de dérivation.

II Loi d'Ohm microscopique (ou locale) :

Le champ électrostatique E responsable du mouvement

des charges est lié à la densité de courant j par la loi

d'Ohm locale (ou microscopique): Ej loi d’Ohm

locale

est la conductivité du milieu. Son inverse est la

résistivité. s'exprime en -1.m-1.

dépend du conducteur et de la température.

III Loi de Joule

Pour déplacer une charge q dans un champ E avec une

vitesse moyenne v , dans l'intervalle de temps dt, il

faut fournir l'énergie: dtv.Eqdl.FdW

La puissance vEqdt

dWP (pour une charge),

avec dt.Em

qvd

dt

vdmEqF

37

Pendant un intervalle de temps , m

Eqv

.

Soit n le nombre de charges mobiles par unité de

volume, le nombre total de charges mobiles dans un

élément d'un conducteur de longueur l et de section S

est nlS,

La puissance Eq.Em

qtnlsP (pour plusieurs charges)

Nls : nombre de charges

²

²V

m

t²qnlSP

l

²Vl

SP

avec

m

t²nq (conductivité)

38

R

²V²V

l

SP

1

car

S

lR

(ρ : la résistivité)

Donc ²RIVIR

²VP loi de Joule.

P s'exprime en Watt (1Watt1Joule/seconde),

où encore tR

²Vt²RIVItW en Joules

C'est l'énergie dépensée dans une résistance R sous

forme de chaleur (énergie calorifique).

R est une résistante morte car la seule forme d'énergie

qui apparaît, à son niveau, est calorifique.

IV Générateurs – récepteurs

1 Générateur

Un générateur est un appareil qui transforme une

énergie quelconque en énergie électrique.

Le générateur impose une certaine différence de

potentiel aux bornes d'un circuit. On appelle cette d.d.p.

la force électromotrice (fem) du générateur.

39

VA-VB= +E le sens de I

VA-VB = -E le sens de I

2 Récepteur polarisable

Un récepteur électrique est un dispositif qui consomme

de l'énergie sous deux formes : l'une par effet de Joule,

l'autre sous forme mécanique, chimique, optique…

Un récepteur peut être un moteur électrique ou une cuve

à électrolyte (par exemple). Pour que le récepteur puisse

fonctionner, le circuit doit imposer à ses bornes une

ddp. On appelle cette ddp force contre-électromotrice

(fcem) du récepteur.

Ce type de récepteur est dit "polarisable", car la borne +

est toujours la borne d'entrée du courant (la polarisation

change de sens si le courant s'inverse).

40

VA-VB= +e VA-VB = -e

3 Résistance interne d'un générateur ou d'un récepteur

Si un générateur (ou un récepteur) possède une résistance interne, on traitera le problème en incorporant ladite résistance en série avec l'appareil.

Exemple :

VA – VB = E – rI

VA – VB = e + rI

4 Loi d'Ohm généralisée – Loi de Pouillet

Soit AB un élément d'un conducteur. A représente

l'extrémité par laquelle entre le courant et B l'extrémité

par laquelle sort le courant on a :

41

VA-VB = RI

VA-VB = rI – E

VA-VB = rI + e

On peut regrouper ces trois relations en une relation

algébrique unique :

- désignons par E aussi bien la fem d'un générateur que

la fcem d'un récepteur ; E est algébrique, E>0 pour un

générateur et E<0 pour un récepteur,

- R désigne la résistance totale de l'élément AB du

conducteur.

On a alors dans tous les cas : VA – VB = RI – E.

Dans le cas de plusieurs appareils en série, on peut

écrire :

i ii iBA ERIVV (loi d'Ohm généralisée)

R la somme de toutes les résistances entre A et B.

E la somme des fem (positives) et des fcem

(négatives)

42

Dans le cas d'un circuit fermé (le point A du conducteur

AB est lié au point B),

on a 0VV BA et i i ii ERI (loi de Pouillet)

43

V Etudes des réseaux de conducteurs

1. Définitions

Réseau :

On appelle réseau un circuit électrique ou ensemble de

circuits, c'est à dire un ensemble d'appareils reliés entre

eux par des conducteurs filiformes.

Résistance équivalente :

Soit deux nœuds A et B d'un réseau; on appelle

résistance équivalente du réseau entre A et B la

résistance unique R qui, placée entre A et B, laisse

passer la même intensité I pour la même ddp VA – VB =

RI .

Résistances en série :

VA-VB = R1I+R2I = (R1+R2)I

d’où R = R1 + R2

44

Résistances en parallèle :

21

21

21 RR

RRR

R

1

R

1

R

1

Exemple de réseau :

Nœud : On appelle nœud le point de jonction d'au

moins trois conducteurs (Exemple : A, B, C, D, E, F

sont des nœuds; par contre G n'est pas un nœud).

Branche : On appelle branche toute portion de circuit,

ne comportant aucun nœud, qui relie deux nœuds (les

branches du circuit de l'exemple sont : AD, AC, CD,

EF,…; EG n'est pas une branche car G n'est pas un

nœud).

45

Maille : On appelle maille toute boucle fermée de

branches (dans le cas de l'exemple : ACDA, ABCA,

ABCDA, BEFDCB, EGFE…).

2. Lois de Kirchhoff

Ces lois ont pour but de permettre l'étude complète d'un

circuit c'est à dire de déterminer les ddp aux bornes des

différents appareils, et les courants qui les traversent.

a) Loi des nœuds

La somme des intensité des courants qui convergent

vers un nœud est égal à la somme des intensités des

courants qui en partent.

Le nombre d'équations = nombre de nœuds.

Exemple:

0IIII

ou

IIII

4321

4321

46

b) Loi des mailles

La somme des ddp aux bornes des différents appareils

rencontrés, lorsqu'on parcourt une maille dans un sens

choisi, est nulle.

Considérons une maille ABCDA d'un réseau

quelconque. La loi permet d'écrire:

0)VV()VV()VV()VV( ADDCCBBA

Dans le cas d'une maille contenant des générateurs, des

récepteurs et des résistances, on peut écrire

i ii ii EIR avec les conventions de signes suivantes

:

On adopte, d'une façon arbitraire, un sens de

parcours sur la maille.

Les intensités sont prises avec le signe + pour les

courants qui circulent dans le sens de parcours et

avec – dans le cas contraire.

Les fém et fcém sont affectées du signe du pôle

rencontré le premier dans le sens du parcours.

47

3. Théorème de Thévenin

Soit un réseau constitué de générateurs et de résistances

et soit BAth VVE , la d.d.p entre deux points A et B

du réseau. Introduisons entre A et B une résistance r. le

théorème de Thévenin permet de calculer l'intensité I

qui circule à travers cette résistance r.

Théorème :

Lorsqu'on branche une résistance supplémentaire r

entre deux points A et B d'un réseau, l'intensité I du

courant passant par r est égale à celle débité dans r par

un générateur de fém. Eth, égal à la ddp existant

primitivement entre A et B, et de résistance interne

theq RR égale à celle du réseau primitif entre A et B.

48

éq

th

Rr

EI

avec )VV(E BAth en absente de I (circuit ouvert)

Réq = résistance équivalente du circuit (sans r)

Exemple : Trouver I2 dans le cas du circuit ci-contre.

Solution :

I2 = - I', comme 2eq

th2

2éq

th

RR

EI

RR

E'I

,

d’après Th. de Thévenin

)VV(E BAth en circuit ouvert entre A et B,

31

1232th

RR

)EE(REE

Pour calculer Rth, on court-circuite les générateurs

, donc

49

A.N: R1 = R2 = 10; R3 = 5; E1 = 40V; E2 = 10V

V20Eth , 3

10R th , d'où A

2

3I2

3. Transformation triangle étoile (théorème de Kennely)

On peut remplacer le triangle ABC, constitué des

résistances R1, R2, R3, par l’étoile ABC constituée des

résistances r1, r2, r3.

On montre que :

321

311

RRR

RRr

321

212

RRR

RRr

321

323

RRR

RRr

50

4. Méthode des courants de Maxwell (courants de maille)

Cette méthode consiste à faire un changement de

variables, ce qui permet parfois de simplifier la

résolution des équations de Kirchhoff. Pour cela on fait

les étapes suivantes :

On suppose que les mailles constituent des circuits

indépendants parcourus par des circuits fictifs

qu’on appelle courants de mailles.

On écrit que les courants réels Ik (courants de

branches) sont les sommes algébriques des courants

fictifs ik (courants de mailles).

On écrit les équations aux mailles en utilisant les

courants fictifs ik.

Exemple : Calcul de I2 cette méthode dans le cas de

l’exemple suivant :

51

Les courants de Maxwell i1 et i2 sont liés aux courants

réels I1, I2 et I3 par les relations :

i1 = I3 (branche ACB)

i2 = - I1 (branche ADB)

i1 – i2 = I2 (branche AB)

Equations des mailles :

122122

222123

1

I

21

I

122

2

I

212

I

13

Ei)RR(iR

EiRi)RR(

EiR)i(iR)ABD.m(

E)i(iRiR)ACB.m(

12

23

A.N. R1 = 10; R2 = 10; R3 = 5, E1 = 40V;

E2 = 10V

i1 = -1A et i2 = 2

5 A

A1iI

A2

3iiI

A2

5iI

13

212

21

52

Dans la branche ACB le courant est de 1A dans le sens

BCA, dans la branche ADB, courant de A2

5 dans le

sens ADB, dans la branche BA courant de A2

3.

5. Théorème de superposition

Les équations de Kirchhoff sont linéaires en I et V, elles

vont donc obéir au principe de superpositions.

Considérons deux réseaux de même géométrie, dont les

branches occupant les mêmes positions possèdent les

mêmes résistances. Ces deux réseaux ne différent que

par les valeurs des fém placées dans leurs branches.

Réseau 1

mailles des Loi0²E²IR

nœuds des Loi

ii

iii

I1sortI1ent (1)

53

Réseau 2

0²E²IR

ii

iii

I2sortI2ent (2)

(3) = (1) + (2)

0Ri

Ei

E2iE1

i

Ii

I2iI1ii

I

I2sortI1sort

I

I2entrI1entr

sortentr

Les équations (3) sont celles d’un réseau qui a la même

géométrie que les deux précédents, avec les mêmes

résistances, et où la fém dans chaque branche est la

somme des fém de cette branche dans les deux réseaux

précédents.

Exemple 1 : Calcul de I en utilisant cette méthode.

I = I1 + I2,

avec I1 = E1/(R1+R2+R3) et I2 = E2/(R1+R2+R3).

Donc I = (E1+E2)/(R1+R2+R3).

54

Exemple 2 :

I = I1 - I2,

avec I1 = E1/(R1+R2+R3) et I2 = E2/(R1+R2+R3).

Donc I = (E1- E2)/(R1+R2+R3).

55

6. Théorème de Millmann Dans un réseau électrique de branches en parallèle, comprenant chacune un générateur de

tension parfait en série avec une résistance, la tension aux bornes des branches est égale à

la somme des forces électromotrices respectivement divisées par la résistance de la

branche, le tout divisé par la somme des inverses des résistances.

Exemples :

Ex. 1

Ex 2