I. MỞ ĐẦU 1. Lý do

Nguyễn Văn Thế Đăng kí học em Inbox thầy qua Facebook Nguyễn Văn Thế

https://www.facebook.com/nguyenthe312 | 1

KĨ THUẬT CASIO 580VNX CƠ BẢN I. MỞ ĐẦU

1. Lý do. Xu hướng thi trắc nghiệm Toán nên các yêu cầu về kỹ năng sử dụng máy tính là rất

quan trọng, giúp đẩy nhanh việc tính toán đạt hiệu quả cao trong học tập.

2. Yêu cầu. Có một chiếc máy tính CASIO fx-580VN X

II. NỘI DUNG

1. Vai trò của máy tính. Giúp ta làm chủ bài toán, định hướng cách làm nhanh hơn.

2. Tám tính năng cơ bản. + Lưu nghiệm STO: Lưu giá trị thành các ẩn để tiện sử dụng trong tính toán. + Thử nghiệm CALC: Tính giá trị của hàm số tại một giá trị x bất kì. + Tìm nghiệm SOLVE: Tìm một nghiệm bất kì của phương trình (nếu có)

+ Lập bảng TABLE: Lập bảng giá trị hàm số tại nhiều giá trị x (tối đa 30 giá trị). + Tính tích phân, đạo hàm: Sử dụng để kiểm tra giá trị tích phân, đạo hàm tại một giá trị x. + Tính toán vector: Chủ yếu là tính tích có hướng của 2 vector trong hệ Oxyz. + Tính toán số phức: Cộng, trừ, nhân, chia số phức bình thường như với số thực. + Giải phương trình, hệ phương trình bậc 4: Tìm các nghiệm của phương trình, hệ phương trình bậc 4 một cách nhanh chóng. Chú ý: - Sau nhiều lần tính toán, ta nên đưa máy tính về chế độ mặc định để tránh việc sai kết

quả do nhầm hệ đơn vị.

- Để đưa máy tính về chế độ mặc định, bấm: q93=C

- Để cài đặt ngôn ngữ Tiếng Việt cho máy tính, bấm: qwRRR2 III. PHƯƠNG PHÁP

1. Tính năng STO: bấm J Ẩn muốn lưu (A _z,B _x,…)

Các ẩn: A ; B ; C ; D ; E ; F ; X ; Y ; Z ; M

VD: Để lưu kết quả 3 + 5 cho biến A ta bấm: 3+5Jz lúc này biến A đã được lưu với giá trị bằng 8

Để gọi nội dung biến A, bấm: Qz=

Lưu giá trị 100 cho biến B, bấm:100Jx

Nhân A với B 8 x 100 = 800

Bấm: QzOQx=( Kết quả bằng 800)

Nguyễn Văn Thế Kết hợp hài hòa Casio & Tự luận, đơn giản hóa mọi bài toán khó!

2 | https://www.facebook.com/nguyenthe312

ỨNG DỤNG: Tính năng này đặc biệt hữu ích khi trong quá trình tính toán ra các số lớn

hoặc số vô tỷ chúng ta chỉ việc lưu vào các ẩn để sử dụng trong các phép toán tiếp theo.

2. Thử nghiệm CALC

Ví dụ: Cho 4 29 12 17y x x x= + + +

Tính giá trị biểu thức tại x= 1; 2; 3; 4.

B1: Nhập biểu thức vào máy tính bấm

Q(^4$+9Q(^2$+12Q(+17

( Nhập x bấm Q( )

B2: Bấm r1== Kết quả cho 39 tức là y(1) = 39

Bấm r2== Kết quả cho 93 tức là y(2) = 93

Tương tự tính tiếp y(3) ; y(4).

ỨNG DỤNG: a, Thử đáp án. Tính năng này đặc biệt hiệu quả trong tìm tọa độ điểm để vẽ đồ thị và thử đáp án đề thi

trắc nghiệm giúp tiết kiệm rất nhiều thời gian khi làm bài thi.

b, Nhân chia nhanh đa thức không cần nháp. Ví dụ 1: y=(x+1)(x+2) + (3x2+x+6)(x+7)

B1 : Nhập phương trình (x+1)(x+2)+(3x2+x+6)(x+7) vào máy tính

B2 : Bấm r1000==

Máy tính cho kết quả 3023016044 ta tách chúng thành từng cụm 3 chữ số lần lượt từ

phải sang trái

003 | 023 | 016 | 044 => 3 | 23 | 16 | 44

Ta được các hệ số cần tìm lần lượt là 3 ; 23 ; 16 ; 44 tức là y=3x3+23x2+16x+44

Ví dụ 2 : y=(5x-3)(x2+6x-7)+10x-21

B1 : Vẫn nhập phương trình và bấm r1000==

Được kết quả là 5026957000 ta tách chúng thành từng cụm 3 chữ số lần lượt từ phải

sang trái

005 | 026 | 957| 000 B2 : + Xét từ phải sang trái nhóm 000 => hệ số là 0

+ Nhóm 957 > 500 => hệ số là -43 (vì 957-1000 = -43)

+ Tiếp nhóm 026 đứng sau nó là nhóm 957 có hệ số là -43<0 => Hệ số của nhóm này là 26 + 1= 27 (Hiểu đơn giản như nhóm đứng trước nhóm có hệ số âm thì phải nhớ 1)

+Nhóm 005 => hệ số là 5

Vậy các hệ số lần lượt là 5 ; 27 ; -43 ; 0 tức là y= 5x3+27x2-43x

(Có thể thử lại bằng cách nhập biểu thức 5x3+27x2-43x và bấm

r1000==được kết quả là 5026957000 tức là đã tách đúng)



Ví dụ 3 : y=(x2-3x+7)(x+2)

B1 : Vẫn nhập phương trình và bấm r1000== Được kết quả là 999001014 ta tách chúng thành từng cụm 3 chữ số lần lượt từ phải sang trái 000 | 999 | 001 | 014 Các hệ số lần lượt là 1 ; -1 ; 1 ; 14 Vậy y= x3-x2+x+14 Ví dụ 4 : y=(x+5)(x+3)(x-7) – (4x2-3x+7)(x-1) B1 : Vẫn nhập phương trình và bấm r1000== Được kết quả là -2992051098 ta bỏ dấu trừ và làm bình thường, cuối cùng đổi dấu tất cả các hệ số tìm được ta được kết quả : Tách chúng thành từng cụm 3 chữ số lần lượt từ phải sang trái 002 | 992 | 051 | 098 Hệ số lần lượt là 3 ; -8 ; 51 ; 98 Đổi dấu hệ số -3 ; 8 ; -51 ; -98 Vậy y= -3x3+8x2-51x-98= -(3x3-8x2+51x+98) (Coi dấu trừ trước kết quả là dấu trừ cho cả biểu thức) Ví dụ 5 : Giải phương trình x3+4x2-3x-2=0 B1 : dùng các tính năng TABLE, CALC hoặc SOLVE để tìm được một nghiệm của phương trình là x=1

B2 : Nhập phương trình 3 24 3 2

1

X X X

X

+ − −

− và bấm r1000==

B3 : Kết quả là 1005002 Hệ số lần lượt là : 1 ; 5 ; 2 Vậy y=(x-1)(x2+5x+2) ( ví dụ trên chỉ là minh họa cho ứng dụng tính năng CALC phân tích đa thức thành nhân tử và chia đa thức bậc cao, còn phương trình bậc 3 đã có tính năng giải sẵn trên máy tính) c, Tính giới hạn của hàm số.

10

10

10 0,00000000001 0

10 0,00000000001 0

−

−

= ≈

− = − ≈

�

�

; 10

10

10 10000000000

10 10000000000

= ≈ +∞

− = − ≈ −∞

o Tính giới hạn tại 0x+ ta sử dụng tính năng CALC tính giá trị của hàm số tại 10

0 10x−

+ .

o Tính giới hạn tại 0x− ta sử dụng tính năng CALC tính giá trị của hàm số tại 10

0 10x−

− .

o Nếu0 0

lim ( ) lim ( ) ax x x x

f x f x+ −

→ →= = thì

0

lim ( ) ax x

f x→

= .

o Nếu 0 0

lim ( ) lim ( )x x x x

f x f x+ −

→ →≠ thì không tồn tại

0

lim ( )x x

f x→

.

o Tính giới hạn tại +∞ ta sử dụng tính năng CALC tính giá trị của hàm số tại 1010 .

o Tính giới hạn tại −∞ ta sử dụng tính năng CALC tính giá trị của hàm số tại 1010− .



Ví dụ 1: Tính

a ,3 2

1

1lim

4 3x

x

x x+→

−

− + b,

3 21

1lim

4 3x

x

x x−→

−

− + c,

3 21

1lim

4 3x

x

x x→

−

− +

Giải.

a, B1: nhập hàm số 3 2

1( )

4 3

xf x

x x

−=

− +.

B2: Sử dụng tính năng CALC tính giá trị của ( )f x khi 101 10x−

= + .

B3: KQ bằng 1

5− tức là

3 21

1 1lim

4 3 5x

x

x x+→

−= −

− + .

b, B1: nhập hàm số 3 2

1( )

4 3

xf x

x x

−=

− +.


= − .

B3: KQ bằng 1

5− tức là

3 21

1 1lim

4 3 5x

x

x x−→

−= −

− + .

c, 3 2 3 2 3 211 1

1 1 1 1lim lim lim

4 3 4 3 4 3 5xx x

x x x

x x x x x x+ − →→ →

− − −= = = −

− + − + − +

Ví dụ 2: Tính

a,3

1lim

3x

x

x+→

−

− b,

3

1lim

3x

x

x−→

−

− c,

3

1lim

3x

x

x→

−

−

Giải.

a, B1: Nhập hàm số1

( )3

xf x

x

−=

−.


= + .

B3: KQ bằng 2.1010 ≈ +∞ (rất lớn) tức là 3

1lim

3x

x

x+→

−= +∞

−

b, B1: Nhập hàm số 1

( )3

xf x

x

−=

−.


= −

B3: KQ bằng -2.1010 ≈ −∞ (rất nhỏ) tức là 3

1lim

3x

x

x−→

−= −∞

−

c, 3 3

1 1lim lim

3 3x x

x x

x x+ −→ →

− −≠

− −nên không tồn tại

3

1lim

3x

x

x→

−

−

Ví dụ 3: Tính

a,2

1lim

6x

x

x x→−∞

−

− − , b,

2

1lim

6x

x

x x→+∞

−

− −

c 3lim ( 2 4)x

x x→−∞

+ + , d, 3lim ( 2 4)x

x x→+∞

+ +

Giải.



a, B1: Nhập hàm số 2

1( )

6

xf x

x x

−=

− − .

B2: Sử dụng tính năng CALC tính giá trị của ( )f x khi 1010x = − .

B3: KQ bằng 1− tức là2

1lim 1

6x

x

x x→−∞

−= −

− − .

b, B1: Nhập hàm số 2

1( )

6

xf x

x x

−=

− −.

B2: Sử dụng tính năng CALC tính giá trị của ( )f x khi 1010x = .

B3: KQ bằng 1 tức là2

1lim 1

6x

x

x x→+∞

−=

− −.

c, B1: Nhập hàm số 3( ) 2 4f x x x= + + .

B2: Sử dụng tính năng CALC tính giá trị của ( )f x khi 1010x = − .

B3: KQ bằng 301.10− ≈ −∞ tức là 3lim ( 2 4)x

x x→−∞

+ + = −∞ .

d, B1: Nhập hàm số 3( ) 2 4f x x x= + + .

B2: Sử dụng tính năng CALC tính giá trị của ( )f x khi 1010x = .

B3: KQ bằng 301.10 ≈ +∞ tức là 3lim ( 2 4)x

x x→+∞

+ + .

3. Tìm nghiệm SOLVE : bấm qr

Ví dụ 1: Giải phương trình 5( 2) 3(x 4) 7(x 2) 0x + + + + − =

B1: Nhập phương trình 5( 2) 3( 4) 7( 2) 0x x x+ + + + − = vào máy tính

(Có thể nhập "=0" hoặc không cần nhập vì nếu không nhập máy tính sẽ tự mặc định là

vế phải bằng 0)

Nhập dấu "=" thì bấm Qr

B2: Bấmqr=

Kết quả bằng 0,5333...− bấm M=được kết quả 8

15− tức là

80,5333...

15− = − .

Phương trình trên có nghiệm là 8

15x = −

Ví dụ 2: Giải phương trình 3 1 3 1x x x+ − + = − .

B1: Nhập phương trình 3 1 3 ( 1)x x x+ − + − − vào máy tính rồi bấm =để lưu

phương trình. B2: Bấmqrrồi nhập giá trị khởi tạo là 5 bấm 5== Kết quả bằng 1 tức là phương trình có 1 nghiệm 1x = là nghiệm gần 5 nhất.



Chú ý: - Đối với những phép tính toán phức tạp (chứa căn) thì SOLVE và tính tích phân thường

mất thới gian tương đối lâu để tìm ra kết quả. Nên việc chọn giá trị khởi tạo hợp lý

trong SOLVE là rất quan trọng để máy tính cho ra kết quả nhanh.

- Bản chất khi em nhập giá trị khởi tạo bằng 5 máy tính sẽ thử tất cả các giá trị xung

quanh 5: 1<=1,1…<=1,2…<= 5 =>5,1….=>5,2… đến 1x = làm cho phương trình

bằng 0 thì báo là nghiệm.

- Khi không nhập giá trị khởi tạo thì máy tính sẽ mặc định giá trị khởi tạo là giá trị của

biến nhớ Ans hiện tại.

- Giá trị khởi tạo càng gần nghiệm thì máy tính báo nghiệm càng nhanh. B3: Bấmqrrồi nhập giá trị khởi tạo là -5 bấm z5== - Kết quả bằng -0,2915… tức là phương trình có 1 nghiệm 0,2915...x = − là nghiệm gần -

5 nhất.

- Lưu nghiệm -0,2915… vào biến nhớ A bấm Jz B4: Để tìm xem phương trình còn nghiệm nào khác 2 nghiệm trên không chúng ta bấm

E!để sửa phương trình thành:

( 3 1 3 ( 1)) (( 1)( ))x x x x x A+ − + − − ÷ − −

Sau đó bấm qr= (lần này thì không cần nhập giá trị khởi tạo nữa) máy tính báo

vô nghiệm tức là phương trình đã hết nghiệm.

4. Lập bảng TABLE: bấmw8

- Có 2 chế độ lập bảng là:

+ Lập bảng cho 2 hàm f(x) và g(x) bấm qwRR12 (với tối đa 30 giá trị x)

+ Lập bảng cho 1 hàm f(x) bấmqwRR11 (với tối đa 40 giá trị x) - Chúng ta thường chọn chế độ lập bảng cho 1 hàm để tiện lợi hơn trong quá trình lập

bảng và tính được nhiều giá trị x hơn.

Ví dụ 1: 4 29 12 7y x x x= + + +

Tính giá trị biểu thức trên tại x=1,2,3,4,5,6,7,8,9

B1: Bấm w8 để vào chế độ TABLE

B2: Nhập hàm 4 2( ) 9 12 7f x x x x= + + + vào máy tính

B3: Bấm = màn hình hiện Bđầu: Bấm 1=

Con trỏ chuyển đến dòng Kthúc: Bấm 9=

màn hình hiện Bước: Bấm 1== Màn hình sẽ hiện 3 cột

STT x f(x) 1 1 29 2 2 83 3 3 205



4 4 455 5 5 917 6 6 1699 7 7 2933 8 8 4775 9 9 7405

Tức là các giá trị x và f(x) tương ứng: f(1)=29, f(2)=83,… Chú ý: Dùng mũi tên R để xem hết bảng. Bản chất: Bđầu: Là giá trị X bắt đầu trong ví dụ trên là 1 Kthúc: Là giá trị X kết thúc trong ví dụ trên là 9 Bước: Là khoảng cách giữa 2 giá trị X trong ví dụ trên là 1 Ví dụ: Khoảng cách giữa 1 và 2 là 1 (đơn vị) Khoảng cách giữa 2 và 2,5 là 0,5 (đơn vị) Chú ý: - Tính năng này chỉ sử dụng khi các giá trị x có khoảng cách bằng nhau, khoảng cách khác nhau ta nên sử dụng tính năng CALC. - Một số lưu ý về cách chọn "Bước" + Khi x là các số nguyên chọn Bước=1 + Khi x không nguyên chúng ta nên linh hoạt chọn Bước=0,1 hoặc 0,2 hoặc 0,25 hoặc 0,5 tùy vào đoạn khảo sát là dài hay ngắn sao cho tối đa chỉ 40 giá trị x. Nên chọn Bước càng nhỏ càng tốt. + Đối với trường hợp đoạn khảo sát quá dài (>20 đơn vị) hoặc đầu mút là các số vô tỷ chọn Bước=(Cuối-Đầu)/20

+ Đối với hàm lượng giác khi đơn vị góc là Radian thì Bước=12

π .

+ Đối với hàm lượng giác khi đơn vị góc là Độ thì Bước=15 5. Tính tích phân, đạo hàm

Ví dụ 1: Tính tích phân 2

2

1

( 3 4)I x x dx= + +

B1: Nhập giá trị tích phân vào máy tính. Bấm phím y B2: Nhập biểu thức 2( 3 4)x x+ +

B3: Bấm mũi tên sang phải $$$$ để nhập cận dưới: bấm 1 vì ở đây cận dưới bằng 1 B4: Bấm mũi tên sang phải $ để nhập cận trên bấm 2 vì ở đây cận trên bằng 2

B5: Bấm = được kết quả 65

6 tức là

65

6I =

Chú ý: - Tùy từng bài toán mà ta cần chọn đơn vị của góc là Độ hay Radian để giải. + Chọn đơn vị Độ: qw21 + Chọn đơn vị Radian: qw22 - Tích phân dạng lượng giác thì phải đổi đơn vị sang hệ Radian



Ví dụ 2: Tính tích phân 2 5sin3I xdx

π

π−=

B1: Chọn đơn vị Radian bấm qw22 (Nếu máy tính đang ở đơn vị Radian rồi thì bỏ qua bước này) B2:Nhập biểu thức tính tích phân, cận trên, cận dưới theo các bước như ví dụ trên ta

được kết quả là 5

3− tức là

5

3I = −

Ví dụ 3: Cho hàm số 2 3 4y x x= + + .

a, Tính '(2)y .

b, Tính "(2)y .

Giải. a, B1: Nhập giá trị đạo hàm vào máy tính bấm qy

B2: Nhập biểu thức 2( 3 4)x x+ + .

B3: Bấm $ để nhập giá trị x: bấm 2= vì ở đây tính đạo hàm tại x=2.

B4: Bấm = được kết quả là 7 tức là '(2) 7y = .

b, B1: Công thức 10

10

'(2 10 ) '(2)"(2)

10

y yy

−

−

+ −= .

B2: Tính giá trị 10'(2 10 )y−

+ và lưu vào ẩn A.

B3: Tính giá trị '(2)y và lưu kết quả vào ẩn B.

B4: 10

"(2) 210

A By

−

−= =

Chú ý: Công thức chung tính 10

0 00 10

'( 10 ) '( )"( )

10

y x y xy x

−

−

+ −= .

6.Tính toán vectơ: Ví dụ 1: Cho hai vectơ (3;5;7)A =

�

và ( 2;4; 1)B = − −�

a, Tính tích có hướng của 2 vectơ A��

và B��

.

b, Tính tích vô hướng của 2 vectơ A��

và B��

.

c, Tính độ dài A B+��

d, Tính góc giữa 2 vectơ A��

và B��

. Giải. B1: Nhập tọa độ vectơ A + Bấm w513 + Sau đó nhập tọa độ vectơ A bấm 3=5=7= sau đó bấm C (Tương tự nhập tọa độ phương trình bậc 2) B2: Nhập tọa độ vectơ B

+ Bấm w523

+ Sau đó nhập tọa độ vectơ B bấm z2=4=z1= sau đó bấm C



a, Bấm T3OT4= Tức VctA x VctB được kết quả [A;B] ( 33; 11;22)= − −� �

b, Bấm T3TR2T4= Tức VctA•VctB được kết quả A.B 7=

� �

c, Bấm q(T3+T4)=

Tức Abs(VtcA+VtcB) được kết quả 10,8627... 118A B+ = =��

d, Bấm TR3T3q)T4)=

Tức Angle(VtcA,VtcB) được kết quả ( ),A B∠ =��

1,402… (Radian) = 80,34… (Độ)

7. Tính toán số phức. Ví dụ 1: Cho số phức 3 4z i= + .

Tính 1 2

5

i zP z

z

+= + +

B1: Chuyển sang chế độ số phức bấm w2

B2: Nhập phương trình 1 2

5

i zz

z

++ + vào máy tính.

+ Để nhập i bấm b

+ Để nhập số phức liên hợp của z là z bấm T2Qn tức Conjg(z) + Để nhập modun của z là z bấm q(Qn.

B3: Bấm r3+4b== được kết quả 27 6

5 5P i= + .

8. Giải phương trình và hệ phươg trình bậc 4 Ví dụ 1: Giải phương trình 4 3 25 5 5 6 0x x x x− + + − =

B1: Bấm w924 để vào chế độ giải phương trình bậc 4.

B2: Nhập hệ số của phương trình bấm 1=z5=5=5=z6== Kết quả phương trình có 4 nghiệm là : 1 2 3 43; 2; 1; 1x x x x= = = = − .

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

5

2 3 0

2 2

3 5 4 4

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

+ + + = − + − =

− + − − = − + + − = −

.

B1: Bấm w914 để vào chế độ giải hệ phương trình bậc 4. B2: Nhập lần lượt hệ số của 4 phương trình:

- Nhập hệ số phương trình 1 bấm 1=1=1=1=5= - Nhập hệ số phương trình 2 bấm 2=z1=3=z1=0= - Nhập hệ số phương trình 3 bấm z1=2=z1=z1=z2= - Nhập hệ số phương trình 4 bấm 3=1=5=z4=z4== Kết quả nghiệm của hệ phương trình là 1; 1; 2; 3x y z t= − = = =



9. Ứng dụng trong các bài toán lượng giác * Kiến thức cơ bản

cos( ) cos .cos sin .sin

sin( ) sin .cos cos .sin

tan tantan( )

1 tan . tan

x y x y x y

x y x y x y

x yx y

x y

± =

± = ±

+± =

∓

∓

(cosin cùng loài, khác dấu)

(sine cùng dấu, khác loài)

cos cos 2cos .cos2 2

1cos .cos [cos( ) cos( )

2

cos cos 2sin .sin2 2

1sin .sin [cos(x y) cos(x y)]

2

sin sin 2sin .cos2 2

1sin .cos [sin( ) sin(x y)]

2

sin

x y x yx y

x y x y x y

x y x yx y

x y

x y x yx y

x y x y

x

+ −+ =

=> = + + −

+ −− = −

=> = − + − −

+ −+ =

=> = + + −

sin 2cos .sin2 2

x y x yy

+ −− =

*Chú ý:

+Chỉ cần nhớ công thức

cộng, công thức nhân sẽ

suy ra được từ công thức

cộng

+Nếu đặt

2

2

2

2

tan2

2sin

1

1cos

1

sin 2tan

cos 1

xt

tx

t

tx

t

x tx

x t

=

= +

−

=> =+

= = +

3

3

2 2

2 2

sin3 3sin 4sin

cos3 4cos 3cos

cos2 cos sin

(cos - sin )(cos sin )

=2cos 1 1 2sin

sin 2 2sin .cos

x x x

x x x

x x x

x x x x

x x

x x x

= −

= −

= −

= +

− = −

=

2 21 sin cos

cos sin 2 sin( )4

= 2 cos( )4

x x

x x x

x

π

π

= +

± = ±

∓



*Dùng đường tròn lượng giác nhớ các trường hợp đặc biệt

+1 vòng tròn <=>2�, nửa vòng tròn <=> �, …

+Trục Ox cosx, trục Oy sinx π

= ⇔ = + π

π= − ⇔ = − + π ∈

= ⇔ = π

= ⇔ = π

= − ⇔ = π + π

π= ⇔ = + π

Z

sinx 1 x k2 (®iÓm B) 2

sinx 1 x k2 (®iÓm D) , (k )2

sinx 0 x k (®iÓm A vµ C)

cosx 1 x k2 (®iÓm A)

cosx 1 x k2 (®iÓm C)

cosx 0 x k (®iÓm B v2

∈

Z , (k )

µ D)



* Dùng đường tròn lượng giác để loại nghiệm

Ví dụ 1: Phương trình lượng giác ( ) 0f x = có

Điều kiện xác định sinx.cos2x 0≠ và cần kiểm tra các họ nghiệm

x k2

x k8

π=

π = + π

có thỏa mãn điều kiện trên không ?

Giải.

B1 :

+Họ nghiệm x k2

π= được biểu diễn bởi 4

điểm đại diện A(x=0), B(x=�/2), D(x=-

�/2), C(x=�)

ứng với lần lượt k=0, ±1, 2

x k2

x k22

x kx k22

x k22

= π π = + π

π = ⇔ = π + π

π = − + π

+Họ nghiệm x k8

π= + π được biểu diển bởi

2 điểm đại diện M(x=�/8), N(x=9�/8)

ứng với lần lượt k=0,1

x k28

x k98

x k28

π= + ππ

= + π ⇔ π = + π

B2 : Sử dụng tính năng CALC thay 6 giá trị x đại diện vừa tìm dc vào hàm sinx.cos2x thấy

x=0 và x=� làm cho hàm số bằng 0 nên loại 2 họ nghiệm x k2 ; x= +k2= π π π

B3 : Kết luận

Phương trình f(x)=0 có các nghiệm là

x k ; x= k2 8

π π= + π + π vì

x k22

x k2

x k22

π= + ππ

= + π ⇔ π = − + π



Chú ý:

a) Khi giaûi phöông trình coù chöùa caùc haøm soá tang, cotang, coù maãu soá hoaëc chöùa caên baäc chaün, thì nhaát thieát phaûi ñaët ñieàu kieän ñeå phöông trình xaùc ñònh.

* Phöông trình chöùa tanx thì ñieàu kieän:

* Phöông trình chöùa cotx thì ñieàu kieän:

* Phöông trình chöùa caû tanx vaø cotx thì ñieàu kieän

* Phöông trình coù maãu soá: •

•

•

•

b) Khi tìm ñöôïc nghieäm phaûi kieåm tra ñieàu kieän. Ta thöôøng duøng moät trong caùc caùch sau ñeå kieåm tra ñieàu kieän:

1. Kieåm tra tröïc tieáp baèng caùch thay giaù trò cuûa x vaøo bieåu thöùc ñieàu kieän. 2. Duøng ñöôøng troøn löôïng giaùc.

* Casio hàm số lượng giác, phương trình lượng giác

Câu 1. Tập xác định của hàm số 1

2cos 1y

x=

− là? (Skill CALC)

A. 5

\ 2 , 2 | .3 3

D k k kπ π

π π

= + + ∈

R Z B. \ 2 | .3

D k kπ

π

= + ∈

R Z

C. 5

2 , 2 | .3 3

D k k kπ π

π π

= + + ∈

R D. 5

\ 2 | .3

D k kπ

π

= + ∈

R Z

Câu 2. Hàm số 21 siny x= − là? (Skill CALC)

A. Hàm số lẻ B. Hàm số không tuần hoàn.

C. Hàm số chẵn. D. Hàm số chẵn không lẻ.

Câu 3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số sin2

2cos 3

xy

x=

− thì ( )y f x= là? (Skill CALC)

A. Hàm số chẵn B. Hàm số lẻ

C. Hàm không chẵn không lẻ D. Hàm vừa chẵn vừa lẻ

Câu 4. Hàm số cos2 .sin4

y x xπ

= −

là? (Skill CALC)

A. Hàm lẻ. B. Hàm không tuần hoàn.

C. Hàm chẵn. D. Hàm không chẵn không lẻ.

( ).2

x k k Z≠ + ∈π

π

( )x k k Z≠ ∈π

( )2

x k k Z≠ ∈π

sin 0 ( )x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈π

cos 0 ( )2

x x k k Z≠ ⇔ ≠ + ∈π

π

tan 0 ( )2

x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈π

cot 0 ( )2

x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈π



Câu 5. Trong khoảng 0;2

π

, hàm số sin cosy x x= − là hàm số? (Skill TABLE)

A. Đồng biến. B. Nghịch biến.

C. Không đổi. D. Vừa đồng biến vừa nghịch biến.

Câu 6. Hàm số sin2y x= nghịch biến trên các khoảng nào sau đây ( )k Z∈ ?

(Skill TABLE)

A. ( )2 ; 2k kπ π π+ . B. 3

;4 4

k kπ π

π π

+ +

.

C. 3

2 ; 22 2

k kπ π

π π

+ +

. D. ;4 4

k kπ π

π π

− + +

.

Câu 7. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số sin 2cos 3

.2 cos

x xy

x

+ +=

+

(Skill TABLE)

A.2

min ;max 2.3

y y= − = B.2

min ;max 2.3

y y= =

C.1 3

min ;max .2 2

y y= = D.1 3

min ;max .2 2

y y= − =

Câu 8. Phương trình ( )2 sin 2cos 2 sin 2x x x− = − có tập nghiệm là? (Skill CALC)

A. 2 ,4

S k kπ

π

= ± + ∈

Z . B. 3

2 ,4

S k kπ

π

= ± + ∈

Z .

C. 3

,4

S k kπ

π

= ± + ∈

Z . D. 5

2 ,4

S k kπ

π

= + ∈

Z .

Câu 9. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình là? (Skill CALC)

A. . B. . C. . D. .

Câu 10. Phương trình sin cos 2 sin 2 0x x x+ + = có số điểm biểu diễn trên đường tròn

lượng giác là? (Skill TABLE)

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 11. Phương trình 1

3sin coscos

x xx

+ = có bao nhiêu nghiệm trên ( )0;2π ?

(Skill TABLE)

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Câu 12. Tổng các nghiệm của phương trình sin .cos cos sin 1x x x x+ + = trên ( )0;2π là?

(Skill TABLE)

A. π . B. 2π . C. 3π . D. 4π .

2

33cot 3

sinx

x= +

2

π−

5

6

π−

6

π−

2

3

π−



CÔNG THỨC NHANH TOÁN 12 A. Phần đại số

Chương Hàm số

Đồ Thị Hàm Bậc Ba (y=ax3+bx2+cx+d)

Hai Cực Trị 2 3 0b ac∆ = − > Không có cực trị 2 3 0b ac∆ = − ≤ a>0 a<0 a>0 a<0

Đồ Thị Hàm Trùng Phương (y=ax4+bx2+c)

Ba Cực Trị 0ab < Một Cực Trị 0ab ≥

Trường Hợp Đặc Biệt 1 Cực Đại – 2 Cực Tiểu 2 Cực Đại – 1 Cực Tiểu 1 Cực Tiểu 1 Cực Đại

Đồ Thị Hàm Phân Thức Hàm số đồng biến

0 0y ad bc′ > ⇔ − >

Hàm số nghịch biến

0 0y ad bc′ < ⇔ − <

x

y

O

( )0;A c

0

0

a

b

>

≥

0c<

x

y

O

( )0;A c

0

0

a

b

<

≤

0c >

O x

y

ay

c=

dx

c= −

I

O x

y

dx

c= −

ay

c=

I

0

0

0

0

a

b

a

b

=

< <

≤

x

y

O

( )0;A c

Ox

y 0

0

0

0

a

b

a

b

=

> >

≥

0

0

a

b

<

>

x

y

OO x

y 0

0

a

b

>

<

x

y

O

( )0;A c

0c <

0

0

a

b

> <

x

y

O

x

y

Ox

y

Ox

y

O

x

y

O

( )0;A c

0

0

a

b

<

>

0c >



Công Thức Giải Nhanh

Hàm số 4 2y ax bx c= + + có ba điểm cực trị A, B, C

Dữ kiện Công thức

thỏa mãn < ≠ab c0; 0

Tam giác ABC vuông cân tại A 3 8b a= −

Tam giác ABC đều 3 24b a= −

Tam giác ABC có diện tích ABC

S S0∆

= 5

0 332

bS

a= −

Tam giác ABC có bán kính đường tròn

nội tiếp ABCr r

0∆=

2

3

4 1 18

br

ba

a

=

+ −

Tam giác ABC có bán kính đường tròn

ngoại tiếp ABC

R R∆

= 3

8

8

b aR

a b

−=

Tam giác ABC có độ dài cạnhBC m0

= 2

0 2 0am b+ =

Tam giác ABC có độ dài

AB AC n0

= = 2 2 4

016 8 0a n b ab− + =

Tam giác ABC có cực trị B C Ox, ∈ 2 4b ac=

Tam giác ABC có trọng tâm O 2 6b ac=

Tam giác ABC có trực tâm O 3 8 4 0b a ac+ − =

Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành

hình thoi 2 2b ac=

Tam giác ABC có O là tâm đường tròn

nội tiếp 3 8 4 0b a abc− − =

Tam giác ABC có O là tâm đường tròn

ngoại tiếp 3 8 8 0b a abc− − =

Tam giác ABC có cạnh

BC kAB kAC= =

3 2 2. 8 ( 4) 0b k a k− − =

Trục hoành chia tam giác ABC thành

hai phần có diện tích bằng nhau

2 4 2b ac=

Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều

trục hoành 2 8b ac=

Đồ thị hàm số ( )C y ax bx c4 2: = + +

cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành

cấp số cộng

2 100

9b ac=

Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC∆ là:

2 2 2 2

04 4

x y c y cb a b a

∆ ∆ + − − + + − =

.

O

y

x

CB

A



Biến Đổi Đồ Thị Hàm Số

Đồ thị ( ) ( ):C y f x a′ = + Đồ thị ( ) ( ):C y f x a′ = +

Tịnh tiến lên phía trên a đơn vị nếu 0.a>

Tịnh tiến xuống dưới a đơn vị nếu 0.a<

Tịnh tiến sang phải a đơn vị nếu 0a< .

Tịnh tiến sang trái a đơn vị nếu 0.a>

( ) ( ): 1C y f x′ = + ( ) ( ): 2C y f x′ = − ( ) ( ): 1C y f x′ = + ( ) ( ): 1C y f x′ = −

Đồ thị ( ) ( ):C y f x′ = − Đồ thị ( ) ( ):C y f x′ =− .

Lấy đối xứng đồ thị ( )C qua trục .Oy

Lấy đối xứng đồ thị ( )C qua trục .Ox

Đồ thị ( ) ( ):C y f x′ = Đồ thị ( ) ( ):C y f x m′ = +

+ Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy

+ Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của ( )C

+ Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy.

Bước 1: Tịnh tiến ( ) ( ):C y f x= theo vectơ

( );0v m=�

Ta được đồ thị ( ) ( )1 : .C y f x m= +

+) Với 0,m> tịnh tiến ( )C sang trái m đơn vị.

+) Với 0,m< tịnh tiến ( )C sang phải m đơn vị.

Bước 2: Biến đổi từ ( ) ( )1 :C y f x m= + thành đồ thị

( ) ( ):C y f x m′ = + bằng cách:

+ Giữ phần đồ thị ( )1C bên phải trục Oy

+ Bỏ phần đồ thị ( )1C bên trái .Oy

+ Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua .Oy

( ) ( )1 : 1C y f x= +

( ) ( ): 1C y f x′ = +

Đồ thị ( ) ( ):C y f x′ = .

+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox

+ Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C).

+ Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

Đồ thị ( ) ( ) ( ): .C y u x v x′ = .

+ Giữ nguyên phần đồ thị trên miền ( ) 0u x ≥

+ Bỏ phần đồ thị trên miền ( ) 0u x < của ( )C .

+ Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

x

y

(C')

(C)

-1

1

O

1

x

y(C)

(C')

-3

-1

O

1

x

y

1

-2

-2

-1

O

1

x

y

1

2

-2

-1

O

1

x

2

y

1

O 1

x

2

y

-2

1

O

1

x

y

(C)

(C')

1

O 1

x

y(C')

(C)

1

O 1

x

y

(C)

(C')

1

O 1

x

y

O 1

x

y

O 1



Chương Mũ - Logarit Lũy Thừa Logarit

.m n m na a a +=

1mm n n

n n

aa a

a a

− −= ⇒ =

( ) .n

m m na a=

m

n m na a=

( ). .n n n

a b a b=

n n

n

a a

b b

=

loga

b a bαα = ⇔ = ( ), 0, 1a b a> ≠ .

log 1 0a= log 1.

aa= log b

aa b= loga b

a b=

( ) log log loga a a

bc b c∗ = +

log log loga a a

bb c

c

∗ = −

log loga a

b bα α∗ =

1

log logaa

c cα

α∗ =

log

loglog

c

a

c

bb

a∗ =

log .log log

c a ca b b∗ =

1 log

loga

b

ba

∗ =

log log b bc aa c∗ =

Đồ Thị Hàm Số Lũy Thừa ay x=

Khi 0a> hàm số luôn đồng biến. Khi 0a< hàm số luôn nghịch biến và

nhận Ox làm TCĐ, Oy làm TCN Đồ thị luôn đi qua điểm ( )1;1 .A

Đồ Thị Hàm Số Mũ xy a=

1a> 0 1a< <

Nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang.

Khi 1a> hàm số luôn đồng biến. Khi 0 1a< < hàm số luôn nghịch biến. Đồ thị luôn đi qua điểm ( )0;1 .A

Đồ Thị Hàm Số Logarit loga

y x=

1a> 0 1a< <

Nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng.

Khi 1a> hàm số đồng biến. Khi 0 1a< < hàm số nghịch biến. Đồ thị luôn đi qua điểm ( )1;0 .A

O1

x

y

A

O x

y

1

A

x

y

O

1A

x

y

O

A1



Bài Toán Lãi Suất Ngân Hàng

Công Thức Giải Nhanh

Bài Toán Lãi Kép: ( )1n

nS A r= + A: Số Tiền Gửi ; r: Lãi kép;

nS là số tiền nhận được

Bài Toán Tiền Gửi Hàng Tháng:

( ) ( )1 1 1n

n

AS r r

r

= + − +

A: Số Tiền Gửi Hàng Tháng ; r: Lãi kép; n

S là số tiền nhận

được

Bài Toán Trả Góp: ( )( )

1 .

1 1

n

n

A r rX

r

+=

+ − A: Số Tiền Vay; r: Lãi kép; X: Số Tiền Trả Hàng Tháng.

Bài toán tăng trưởng dân số:

( ) ( )m n

m nX X r m n m n1 , , ,

−+= + ∈ ≥ℤ

r % là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m

mX dân số năm m ;

nX dân số năm n

Chương Nguyên Hàm – Tích Phân

Nguyên Hàm Hàm Hợp Ứng Dụng Tích Phân

dx x C= +∫

1

1

xx dx C

αα

α

+

= ++∫

2

1 1dx C

xx=− +∫

( ) 1

1 1

1dx C

x xα αα −=− +

−∫

1lndx x C

x= +∫

1ax b ax be dx e C

a

+ += +∫

ln

xx a

a dx Ca

= +∫

( ) ( )1cos sinax b dx ax b C

a+ = + +∫

( ) ( )1sin cosax b dx ax b C

a+ =− + +∫

2

1tan

cosdx x C

x= +∫

2

1cot

sindx x C

x=− +∫

du u C= +∫

1

1

uu du C

αα

α

+

= ++∫

( )( ) 1

1.

1

ax bax b du C

a

α

α

α

++

+ = ++∫

2

1 1du C

uu=− +∫

1lndu u C

u= +∫

u ue du e C= +∫

ln

uu a

a du Ca

= +∫

( ) 1

1 1

1du C

u uα αα −=− +

−∫

cos sinudu u C= +∫

sin cosudu u C=− +∫

2

1tan

cosdu u C

u= +∫

2

1cot

sindu u C

u=− +∫

Diện Tích Giới Hạn Đường Cong Với Trục Hoành

( )b

a

S f x dx= ∫

( )b

a

S f x dx= ∫

( )b

a

S f x dx=−∫

Diện Tích Giới Hạn Hai Đường Cong Khép Kín

( ) ( )b

a

S f x g x dx= −∫

( ) ( )b

a

S f x g x dx = − ∫ ( ) ( )b

a

S g x f x dx = − ∫

Thể Tích Vật Thể

( )

b

a

V S x dx= ∫

Lý thuyết nguyên hàm:

( ) ( )f x dx F x=∫ ( ) ( )F x f x′ =

Công thức tính tích phân:

( ) ( ) ( ) ( )b

a

bf x dx F x F b F a

a= = −∫ ( ) ( ) ( ) ( )

b

a

bf x dx f x f b f a

a′ = = −∫

a b

xO

x

( )S x

x

y

O a b

( )y g x=

( )y f x=

x

y

O a b

( )y f x=

( )y g x=

xy

O

a b

( )y f x=

x

y

O a b

( )y f x=



Nguyên hàm, tích phân từng phần:

udv uv vdu= −

b b

a a

budv uv vdu

a= −

Thể Tích Khối Tròn Xoay

( )2

b

a

V f x dxπ = ∫

2 2( ) ( )

b

a

V f x g x dxπ= −∫

Phương Pháp Đổi Biến Số Mẹo Đặt Phương Pháp Từng Phần Mẹo Đổi Biến

Dạng 1: ( ) ( ) ( )( )

.f x

f x dx

u P xP x e dx

dv e

=⇒ =∫

Dạng 2: ( )( )( )

( )( )( )

sin. sin

coscos

u P xf x

P x dx f xf x dv

f x

= ⇒ =

∫

Dạng 3: ( ) ( )( )( )

.u P x

P x f x dxdv f x dx

=′ ⇒ ′=∫

Dạng 4: ( ) ( )( )( )

ln.ln

u f xP x f x dx

dv P x dx

=⇒ =∫

Dạng 1: ( ) ( )u x t u xα ⇒ =

Dạng 2: ( ) ( )m u x t u x⇒ =

Dạng 3: ( ) 1ln . lnf x t x

x⇒ =

Dạng 4: ( ) ( )u xe t u x⇒ =

Dạng 5: ( )x xf e t e⇒ =

Dạng 6:

( )sin .cos sinf x x t x⇒ =

Dạng 7:

( )cos .sin cosf x x t x⇒ =

Dạng 8:

( )2

1tan . tan

cosf x t x

x⇒ =

Dạng 9: ( )2

1cot . cot

sinf x t

x⇒ =

Dạng 10: ( ) ( )f u x t u x ⇒ =

Một số dấu hiệu đổi biến đặc biệt Cách chọn

−a x2 2 Đặt =x a sint ; với π π

∈ −

t ; .2 2

−x a2 2 Đặt =a

xsint. ; với { }π π

∈ −

t ; \ 02 2

+a x2 2 Đặt =x a tant ; với π π

∈ −

t ; .2 2

+

−

a x

a x. hoặc

−

+

a x

a x. Đặt =x acos t2

( ) ( )− −x a b x Đặt = +x a b a sin t2–( )

+a x2 2

1 Đặt =x atant ; với

π π ∈ −

t ; .2 2

Hàm số : ( )( )ϕf x x; ( )ϕ=t x

Hàm ( ).s inx+b.cosx

.s inx+d.cosx+e

af x

c=

= ≠

x xt cos

2tan ; 02

Hàm ( )( ) ( )

=+ +

f xx a x b

1

Với : + >x a 0 và + >x b 0 .

Đặt : = + + +t x a x b

Với + <x a 0 và + <x b 0

Đặt : = − − + − −t x a x b

x

y

O a b

( )y f x=

( )y g x=x

y

O

( )y f x=

ba



Chương Số Phức Khái niệm số phức

+ Số phức (dạng đại số): ( ); ,z a bi a b= + ∈ℝ .

Trong đó: a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, 2 1.i =−

+ Tập hợp số phức kí hiệu: ℂ .

+ z là số thực z a= ⇔Phần ảo của z bằng 0 ( )0b= .

+ z là số ảo (hay còn gọi là thuần ảo) z bi= ⇔ Phần thực bằng 0 ( )0a= .

Phép cộng và phép trừ số phức

Hai số phức ( )1 , z a bi a b= + ∈ℝ và ( )2 , z c di c d= + ∈ℝ . Khi đó: ( ) ( )1 2z z a c b d i± = ± + ±

Phép nhân số phức

+ Cho hai số phức ( )1 , z a bi a b= + ∈ℝ và ( )2 , z c di c d= + ∈ℝ .

Khi đó: ( )( ) ( ) ( )1 2 –z z a bi c di ac bd ad bc i= + + = + + .

+ Với mọi số thực k và mọi số phức ( ) , z a bi a b= + ∈ℝ . Ta có: ( ). . .k z k a bi ka kbi= + = +

Số phức liên hợp

+ Số phức liên hợp của ( ) , z a bi a b= + ∈ℝ là z a bi= − . + z là số thực z z⇔ = ; z là số ảo z z⇔ =− .

Chia hai số phức

Số phức nghịch đảo của z khác 0 là số 1 1

.

zz

z z z

− = = . Phép chia hai số phức z ′ và 0z≠ là .

.

z z z

z z z

′ ′= .

Biểu diễn hình học số phức

Số phức ( ) , z a bi a b= + ∈ℝ được biểu diễn bởi điểm ( );M a b

hay bởi ( );u a b=�

trong mặt phẳng phức với hệ tọa độ Oxy .

Môđun của số phức

Độ dài của vectơ OM��

được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là z .

Vậy 2 2

z a bi OM a b zz= + = = + =��

và z z=

Hai số phức bằng nhau.

Hai số phức ( )1 , z a bi a b= + ∈ℝ và ( )2 , z c di c d= + ∈ℝ bằng nhau khi phần thực và phần ảo của chúng tương đương

bằng nhau.

Khi đó ta viết 1 2

a cz z a bi c di

b d

== ⇔ + = + ⇔ =.

Lưu ý: Với 1

00

0

az

b

== ⇔ =.

Giải phương trình số phức.

Cho phương trình bậc hai 2 0, , , , 0az bz c a b c a+ + = ∀ ∈ ≠ℝ .

Định lý Viet: 1 2

1 2

bz z

a

cz z

a

+ =− =

; Lưu ý: ( )22 2

1 2 1 2 1 22z z z z z z+ = + −

Xét hệ số: 2 4b ac∆= − của phương trình.

+ Khi 0∆= phương trình có một nghiệm thực 2

bz

a=− .

+ Khi 0∆> phương trình có hai nghiệm thực phân biệt1,2

2

bz

a

− ± ∆= .

O x

y

a

b( );M a b

O x

y

a

b( );M a b



+ Khi 0∆< phương trình có hai nghiệm phức 1,2

2

b iz

a

− ± ∆= .

Min – max modun số phức.

• Cho số phức thỏa mãn

• Cho số phức thỏa mãn .

và

• Cho số phức thỏa mãn .

và

z ( )1 2. , 0z z z r r+ = >

z rz

z z

z rz

z z

2

1 1

2

1 1

max

.

min

= +

= −

z ( )1 2 1 1. , 0z z z r r− = >

z rP z

z z

2 13

1 1

max = − +z r

P zz z

2 1

3

1 1

min = − −

z ( )z z z z z z k k1 2 1 2. . , 0+ + − = >

kz

z1

max2

=k z

zz

22

2

1

4min

2

−=



B. Phần hình học

Thể Tích Khối Chóp Khối Lăng Trụ Khối Hộp Chữ Nhật Khối Lập Phương

1. .

3V h S= .V h S=

. .V abc=

2 2 2'AC a b c= + +

3V a= ' 3AC a=

Công Thức Giải Nhanh Thể Tích Hình Chóp Tam Giác Đều .S ABC

2 2 2

.

3

12S ABC

a b aV

−=

Đặc biệt 3

.

2

12S ABC

ab a V= ⇒ =

3

.

tan

24S ABC

aV

α=

3

.

tan

12S ABC

aV

α=

Hình Chóp Tứ Giác Đều .S ABCD

2 2 2

.

4 2

6S ABCD

a b aV

−=

Đặc biệt 3

.

2

6S ABCD

ab a V= ⇒ =

3

.

tan

6S ABCD

aV

α=

3

.

2 tan

6S ABCD

aV

α=

S

h

S

C

A

B

H

S

h

C'

B'

A

B

C

A'

H c

b

a

D'

C'B'

C

DA

B

A'

a

a

a

D'

C'B'

C

DA

B

A'

a

a

b

b

a

b

H I

B

CA

S

α

a

a

aH I

B

CA

S

α

a

a

aH I

B

CA

S

b

b

b

b

a

a

a

a

O

CB

A

D

S

α

a

a

a

a

O

CB

A

D

S

α a

a

a

a

O

CB

A

D

S



Nội dung Hình vẽ

Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng

vuông góc với nhau từng đôi một, diện

tích các tam giác lần lượt là .

Khi đó:

Cho hình chóp .S ABC có vuông góc với , hai mặt

phẳng

và vuông góc với nhau,

� �,BSC ASBα β= = .

Khi đó:

Cho hình chóp đều .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh

bằng ,a cạnh bên bằng .

Khi đó:

Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh đáy bằng a và

mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc .

Khi đó:

Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có các cạnh bên bằng b

và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc .

Khi đó:

Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có các cạnh đáy bằng

,a cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc .

Khi đó:

( ) ( ) ( )SAB SBC SAC, ,

SAB SBC SAC, , S1 2 3,S ,S

S ABC

SV 1 2 3

.

2 .S .S

3=

SA ( )ABC

( )SAB ( )SBC

S ABC

SBV

3

.

. sin2 . tan

12

α β=

b

S ABC

a b aV

2 2 2

.

3

12

−=

α

S ABC

aV

3

.

tan

24

α=

β

S ABC

bV

3 2

.

3 .sin cos

4

β β=

β

S ABC

aV

3

.

. tan

12

β=

C S

A

B

B

C A

S

CA

S

B

M G

C A

S

B

M G

B

S

A C

M G

B

S

AC

MG



Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có đáy ABCD là hình

vuông cạnh bằng ,a và .

Khi đó:

Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng ,a

góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là .

Khi đó:

Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng ,a

�SAB α= với

Khi đó:

Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có các cạnh bên bằng ,a

góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là với .

Khi đó:

Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh đáy bằng .a Gọi

là mặt phẳng đi qua A song song với BC và vuông góc

với , góc giữa với mặt phẳng đáy là .

Khi đó:

Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình lập phương

cạnh .a

Khi đó:

Cho khối tám mặt đều cạnh .a Nối tâm của các mặt bên ta được

khối lập phương.

Khi đó:

SA SB SC SD b= = = =

S ABC

a b aV

2 2 2

.

4 2

6

−=

α

S ABCD

aV

3

.

. tan

6

α=

;4 2

π πα

∈

S ABCD

aV

3 2

.

tan 1

6

α −=

α 0;2

πα

∈

( )S ABCD

aV

3

. 32

4 .tan

3 2 tan

α

α

=

+

( )P

( )SBC ( )P α

S ABCD

aV

3

.

cot

24

α=

aV

3

6=

aV

32 2

27=

O

B

S

D A

C

M

O

C

S

AD

B

M

O

C

A D

S

B

M

O

C

S

AD

B

M

x

N

CA

S

B

F

MG

E

O1

O3

O4 O2

O

O'

A B

C D

B'

C' D'

A'

B

D A

S

C

S'

N

G2

M

G1



Công thức Điều kiện tứ diện

Công thức tính khi biết 3 cạnh, 3 góc ở đỉnh 1 tứ diện � � �

, ,

, ,

SA a SB b SC c

ASB BSC CSAα β ϕ

= = = = = =

Công thức tính khi biết 2 cạnh đối, khoảng cách và góc 2 cạnh đó

Công thức tính khi biết một cạnh, diện tích và góc giữa 2 mặt kề

Công thức tính khi biết 3 cạnh, 2 góc ở đỉnh và 1 góc nhị diện

( ) ( )�( )� �

, ,

,

,

SA a SB b SC c

SAB SAC

ASB ASC

α

β ϕ

= = = = = =

Tứ diện đều

tất cả các cạnh bằng

Tứ diện gần đều

Công Thức Tỉ Số Thể Tích

.

.

. .S A B C

S ABC

V SA SB SC

V SA SB SC

′ ′ ′ ′ ′ ′=

Thể tích hình chóp cụt

Với là diện tích hai

đáy và chiều cao.

' ' '.

' ' '.

1 ' ' '

3 ' ' '

A B C MNP

A B C ABC

V A M B N C P

V AA BB CC

= + +

' ' ' '.

' ' ' '.

1

2

1

2

A B C D MNPQ

A B C D ABCD

V A M C P

V AA C C

B N D Q

BB D D

′ ′ = + ′ ′

′ ′ = + ′ ′

.

. 4

S A B C D

S ABCD

V a b c d

V abcd

′ ′ ′ ′ + + +=

Với

; ; ;SA SB SC SD

a b c dSA SB SC SD

= = = =′ ′ ′ ′

a c b d+ = +

3. Một số kiến thức hình phẳng liên quan.

SABC

abcV 2 2 2

.1 cos cos cos 2cos cos cos

6α β ϕ α β ϕ= − − − +

ABCDV abd

1sin

6α=

( ) ( )AB a CD b

d AB CD d AB CD

,

, , , α

= =

= =

SABC

S SV

a

1 22 sin

3

α=

( ) ( )( )SAB SACS S S S SA a

SAB SAC

1 2, ,

, α

∆ ∆ = = =

=

S ABC

abcV.

sin sin sin6

α β ϕ=

ABCD

aV

3 2

12= a

( ) ( ) ( )ABCDV a b c b c a a c b2 2 2 2 2 2 2 2 22

12= + − + − + −

AB CD a

AC BD b

AD BC c

= =

= = = =

A

B

C

S

A'

B'

C'

C'

B'

A

B

C

A'

M

N

P

D'

C'B'

DA

B C

A'

M

NP

Q

C'

CB

AD

S

B'

D'

A'

ABC A B C. ′ ′ ′

( )hV B B BB

3′ ′= + +

B B h, ,′



a) Định lý Ta-let.

b) Công thức tỉ số diện tích.

c) Định lý Menelaus.

Cho , trên cạnh AB, BC, AC lấy lần lượt 3 điểm

thẳng hàng M, K, N.

Khi đó:

Khối Đa Diện Đều Loại Khối đa diện đều Hình Đỉnh Cạnh Mặt

{ }3;3 Tư dien đe>u

4 6 4

{ }4;3 KhoB i lap phương

8

12 6

{ }3;4 Bat dien đe>u

6 12 8

{ }5;3 Mươi hai mat đe>u

20 30 12

{ }3;5 Hai mươi mat đe>u

12 30 20

Chương Khối Tròn Xoay

Đường sinh: 2 2 2R h= +ℓ

Diện tích đáy (hình tròn): 2 .đáyS Rπ=

Diện tích xung quanh: .xqS Rπ= ℓ

Diện tích toàn phần: 2 .đáytp xqS S S R Rπ π= + = +ℓ

Thể tích của khối nón: 21.

3V R hπ=

Nón Cụt

Thể tích khối nón cụt:

( )π= + +2 21.

3V h R r Rr

Diện tích xung quanh: ( )π= +ℓxqS R r .

Diện tích xung quanh: 2xqS Rhπ=

Diện tích đáy: 2

đáyS Rπ=

Diện tích toàn phần:22 2tpS Rh Rπ π= +

Thể tích khối trụ: 2V R hπ=

Diện tích mặt cầu: 24S Rπ=

Thể tích khối cầu:

34

3V Rπ=

AB' AC' B'C' B'C' //BC <=>

AB AC BC= =� AB'C'

ABC

S AB' AC' .

S AB AC

∆

∆

=�

ABC∆

MA KB NC. . 1

MB KC NA=

h

r

R

O'

O

h

R

R

h

O

O'

A

A'M

M'

R OBA

M

R

h l

α

M

O BA

S



Hình nón, hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp. Hình nón ngoại tiếp Hình trụ ngoại tiếp Hình nón nội tiếp Hình trụ nội tiếp

; ;2

ACR h SI l SA= = = ; ;

2

ACR h AA l A A′ ′= = = ; ;

2

ADR IM h SI l SM= = = = ; ;

2

ADR h AA l AA′ ′= = =

Thiết diện cắt bởi mặt phẳng

Thiết Diện Qua Trục Thiết Diện Qua Đỉnh Thiết Diện Qua Trục Thiết Diện Song Song

Trục

; ;2

ABR h OI l OA= = = ( )( );d O P OK= ;

2

ADh AB R OA= = = ( )( );d O P OI=

Công Thức Giải Nhanh Mặt Cầu Ngoại Tiếp Khối Chóp

Chung đường kính. Cạnh bên vuông góc đáy. Chiều cao đi qua tâm

đáy. Mặt bên vuông góc

đáy.

2

ACR OA= =

( )22 2

2

da RR

+=

a: Chiều Cao

dR : Bán Kính Đáy

2

2

SAR

SI= .

SA : Cạnh Bên

SI : Chiều Cao

2

2 2

1 24

ABR R R= + −

1R : Bán Kính Đáy

2R : Bán Kính Mặt Bên

AB : Giao tuyến

S

IA C

B

D

D'

B'

D

CO

O'A' C'

A

BB

C

D

A

S

I

M

C

B

A

D

B'

C'

D'

A'

O

O'

lh

r

IB A

O S

OC

A

B

I

K

hh

R D

O

O'

A

CB

C

B

IO

O'

A

D

B

D

B'

C'KA'

IA C

O

D'

K

S

I CA

O

B

D

d

G

S

H

C

IB D

O

A



( )

( )

( )

1;0;0

0;1;0

0 0

; ; 1

i

j

k

=

=

=

�

�

�

Vị Trí Tương Đối Giữa Mặt Cầu Và Mặt Phẳng d R= d R< d R>

Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu.

Mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn

2 2 2R r d= +

Mặt cầu và mặt phẳng không có

điểm chung.

Vị Trí Tương Đối Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng IH R= IH R< IH R>

∆ tiếp xúc với mặt cầu.

∆ cắt mặt cầu tại hai điểm phân

biệt. 2

2 2

2

ABR d

= +

∆ không cắt mặt cầu.

Chương Hình Học Tọa Độ Oxyz

Tọa độ và tính chất của vectơ

Vectơ ( ) ; ; . u x y z u xi y j zk= ⇔ = + +� � ��

Tính chất: Cho ( )1 1 1 ; ; u x y z=�

, ( )2 2 2 ; ; .v x y z=�

+ ( )1 1 1 . ; ;ku kx k y kz=�

( )1 2 1 2 1 2; ; . u v x x y y z z± = ± ± ±� �

u�

cùng phương với v�

1 2

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

:

x kxx y z

k u kv y kyx y z

z kz

=⇔ ∃ ∈ = ⇔ = ⇔ = = =

� �ℝ

Hai vectơ bằng nhau1 2

1 2

1 2

.

x x

u v y y

z z

=⇔ = ⇔ = =

� �

Tích vô hướng của 2 vectơ là: ( ). . cos , .u v u v u v=� � � � � �

1 2 1 2 1 2. . . . .u v x x y y z z= + +� �

Suy ra 1 2 1 2 1 2. 0 . . . 0.u v u v x x y y z z⊥ ⇔ = ⇔ + + =� � � �

Tích có hướng của 2 vectơ:

[ ] 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

, , ,y z z x x y

u vy z z x x y

=

� �

Ba điểm A, B, C thẳng hàng , 0.AB AC ⇔ =

��

, ,u v w� � �

đồng phẳng [ ], . 0.u v w⇔ =� � �

d

α

R

OBA

H

r

dR

α HA

O

d

α

R

OBA

H

dR

H

OA B

Rd

BA

O

I d

R

O

M

H

y

x

z

zk

yj

xi

u

k

ji

O

M



R OBA

M

Độ dài vectơ: 2 2 2u x y z= + +�

; 2 2 2AB AB x y z= = + +

��

Nếu M là trung điểm của AB thì: ; ;2 2 2

A B A B A Bx x y y z zM + + +

+ Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC:

; ; .3 3 3

A B C A B C A B Cx x x y y y z z zG + + + + + +

Diện tích tam giác ABC:

1, .

2ABC

S AB AC∆ =

��

Thể tích tứ diện: 1

, . .6

ABCDV AB AC AD =

��

Phương Trình Mặt Phẳng Lập phương trình mặt phẳng.

Mặt phẳng ( )P đi qua điểm ( )0 0 0 0; ; x y zM và nhận vectơ ( ); ; n A B C=�

làm vectơ pháp tuyến có dạng:

( ) ( ) ( )0 0 0– – – 0x x y yA C zB z+ + =

Phương trình tổng quát của mặt phẳng ( )P là: .0A B Cx Dy z+ + + =

Phương trình mặt phẳng đoạn chắn: 1x y z

a b c+ + =

Phương trình mặt phẳng đặc biệt: Mặt phẳng Phương trình Điểm Đặc Biệt

Mat phaUng ( )Oxy 0z= ( ) ( ); ;0M MM Oxy M x y∈ ⇒

Mat phaUng ( )Oxz 0y= ( ) ( )0; ;M MM Oyz M y z∈ ⇒

Mat phaUng ( )Oyz 0x= ( ) ( );0;M MM Oxz M x z∈ ⇒

Phương Trình Đường Thẳng Phương trình đường thẳng

Cho đường thẳng đi qua điểm ( )0 0 0; ;M x y z và có một vectơ chỉ phương là ( ); ;u a b c=�

.

+ Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là:

0

0

0

x x at

y y bt

z z ct

= + = + = +

t là tham số

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là: 0 0 0x x y y z z

a b c

− − −= =

Phương trình đường thẳng đặc biệt: Trục Ox

Phương trình: 0

0

x t

y

z

= = =

Trục Oy

Phương trình:

0

0

x

y t

z

= = =

Trục Oz

Phương trình:

0

0

x

y

z t

= = =

Phương Trình Mặt Cầu Phương trình mặt cầu

Cho mặt cầu ( )S có tâm ( ); ;I a b c và bán kính R .

Khi đó có phương trình chính tắc là: ( ) ( ) ( )2 2 2 2x a y b z c R− + − + − =

Phương tình tổng quát của mặt cầu là: 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d+ + − − − + =

Khi đó, mặt cầu ( )S có tâm ( ); ;I a b c và bán kính 2 2 2R a b c d= + + −

+ Diện tích mặt cầu: 24S Rπ= . + Thể tích khối cầu: 34

3V Rπ= .

∆

( )S

MA B

G

A

B C

M

P

( ); ;n A B C=�

( )0 0 0; ;M x y z

du�



Công Thức Góc

Góc gữa hai vectơ

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

.cos

x x y y z za b

a b x y z x y zϕ

+ += =

+ + + +

��

��

Góc gữa hai mặt phẳng

( ) ( )

( ) ( )2 2 2 2 2 2

. . . .cos

P Q

P Q

n n A A B B C C

n n A B C A B Cϕ

′ ′ ′+ += =

′ ′ ′+ + + +

� �

� �

Góc giữa hai đường thẳng

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 2 1 1 1 2 2 2

. . . .cos

u u x x y y z z

u u x y z x y zϕ

+ += =

+ + + +

� �

� �

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

2 2 2 2 2 2

. . . .sin

u n x A y B z C

u n x y z A B Cϕ

+ += =

+ + + +

� �

� �

Công Thức Khoảng Cách Khoảng Cách Từ 1 Điểm Đến Mặt Phẳng

( )( ) 0 0 0

2 2 2;

Ax By Cz Dd A P

A B C

+ + +=

+ +

Khoảng Cách Từ 1 Điểm Đến Đường

Thẳng

( ),

;d

d

MA ud A d

u

=

��

�

Khoảng Cách Hai Đường Thẳng Chéo

Nhau

( )[ ]

[ ]1 2 1 2

1 2

1 2

, .;

,

u u M Md d d

u u=

��

� �

P

d

A

Hd

M

Hd2

d1

M2

M1

d

Documents

I. MỞ ĐẦU 1. Lý do