Embed Size (px)
Citation preview
I. MECHANIKA
1. Kinematika hmotného bodu
1
Obsah
prostor, čas, hmotný bod
vztažná soustava, trajektorie, dráha, průměrná a
okamžitá rychlost, zrychlení
pojmy derivace a integrálu
složky vektoru, polohový vektor, skládání rychlosti
tečná a normálová složka zrychlení, dostředivé zrychlení
klasifikace pohybu (přímočarý x křivočarý, rovnoměrný x
nerovnoměrný)
rovnoměrný kruhový pohyb
harmonický pohyb po přímce
2
Vývoj základních pojmů kinematiky
kiné = pohyb
hmotné objekty existují v prostoru a času, „zabírají“ určitou část prostoru, polohy se s časem mění
prostor
antická představa (Aristoteles) – 2 oblasti s různými zákonitostmi (prostor okolo Země x oblast
pohybu nebeských těles)
empirická pozorování a experimenty teorie gravitace + Keplerovy zákony na Zemi i ve
vesmíru stejné zákonitosti pohybu absolutní prostor nezávislý na hmotných objektech a jejich
pohybech (Newton)
axiom (Newton) : „Absolutní prostor je vzhledem ke své podstatě a bez ohledu na vnější objekty
stále týž a nepohyblivý.“
prostor – trojrozměrné (3 nezávislé údaje) kontinuum (spojitá změna vzdálenosti)
čas
odvozen od doby trvání objektivně existujících procesů, později pohyb Slunce po obloze, pak
pohyb hvězd, měření času aktuálně odvozeno od kmitů krystalu
axiom (Newton) : „Absolutní, skutečný a matematický čas plyne sám od sebe a díky své povaze
rovnoměrně a bez ohledu na vnější objekty.“
čas – spojitý parametr společný všem objektům nezávisle na jejich pohybu (rychlosti)
vliv objektů na prostor a čas
tělesa (pohybem i hmotností) působí na geometrii prostoročasu (Einstein - teorie relativity) 3
Základní matematické abstrakce
prostor a čas nezávislé na hmotných objektech
prostor je trojrozměrné kontinuum (Eukleidovský prostor)
čas je jednorozměrné kontinuum
hmotný bod (vhodnější by bylo „bodová hmotnost“ analogicky k „bodovému náboji“)
bezrozměrný (nekonečně malý)
nemůže se ani deformovat ani rotovat
abstraktní
přesto lze takto s dostatečnou přesností popisovat řadu objektů (subatomární částice,
resp. atomy ve srovnání s velikostí těles, planety ve srovnání s velikostí sluneční
soustavy)
reálná tělesa lze popisovat jako soustavy hmotných bodů (později)
vztažná soustava (vztažný systém, soustava souřadná)
soustava souřadnic, vůči níž se stanovuje poloha hmotného bodu
4
Trajektorie
geometrická křivka v prostoru, kterou hmotný bod při pohybu opisuje
dle tvaru trajektorie rozlišujeme pohyb přímočarý a křivočarý (kruhový,...)
Dráha s
délka trajektorie, kterou hmotný bod proběhne za čas
Parametrizace polohy
parametrizace časem (vhodná pro zkoumání rychlosti)
Rychlost v – 2 významy, zde ve významu „speed“
skalární veličina
údaj na tachometru
nezáleží na směru
lze i pro uzavřenou trajektorii (křeček v bubínku, dítě na kolotoči)
Trajektorie
Skalární charakteristiky pohybu
12 ttt
)(tst
5
Rychlost v
délka dráhy uražené za určitý čas
přesněji: zavedli jsme průměrnou rychlost v intervalu
(měli bychom psát )
zkracováním intervalu dostaneme okamžitou rychlost
musíme znát s pro všechna t neboli dále předpokládáme znalost fce s(t)
(zavedli jsme symbol derivace)
Skalární charakteristiky pohybu
12 ttt 12 sss
12
12
tt
ss
t
sv
21 ttt
12
12
tt
ss
t
sv
0t
dt
ds
t
sv
t
0lim
6
Mějme funkci definovanou v bodě .
Derivací rozumíme ,
označujeme .
Podle obrázku výraz
je směrnice sečny.
Limita pro je směrnice tečny v bodě .
Má-li funkce derivaci v každém bodě , říkáme, že má v
derivaci. Označujeme ji .
Zjednodušení zápisu v případě, kdy nemůže dojít k omylu , pokud
. Podobně , pokud . (Toto zavedl I. Newton v díle
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)
Derivace
),( ba
)()( 00 xfxxf )( 0xf
)( 0 xxf
)(xfy 0x
)(xyy
dx
dyy
)(tss dt
dss
)(,,),(),(,,),(),( xffyxydx
dxf
dx
d
dx
dy
dx
dfxyxf
),( bax
0x
)(xf
0x
tgx
xfxxf
)()( 00
)( 0xf
x
xfxxf
x
)()(lim 00
0
7
Rychlost lze zapsat ve tvaru , přesněji
Rovnoměrný pohyb
nezáleží na směru pohybu
příkladem může být pohyb po kružnici s konstantní úhlovou rychlostí
vs.
Nerovnoměrný pohyb
opačná úloha k derivování – hledání primitivní funkce
známe a chceme znát :
Skalární charakteristiky pohybu
dt
ds
t
sv
t
0lim sv )()( tstv
konst sv
konst sv
)(tv )(ts dttvts )()(
8
Funkce je v intervalu primitivní funkce k funkci , jestliže pro
platí .
Víme, že
To znamená, že pokud je primitivní funkce je také primitivní
funkce.
Symbolický zápis:
Primitivní funkce (neurčitý integrál)
)(xF ),( ba )(xf
),( bax )()( xfxF
gf
CC
)g(f
konst0 )()()()(0
xfxFCxFCxF
)(xF CxF )(
CxFdxxf )()(
9
Skalární charakteristiky pohybu
Zrychlení a zkoumáme změnu rychlosti v čase
změna rychlosti 12 vvv dosažená za určitý čas 12 ttt
12
12
tt
vv
t
va
analogicky jde o průměrné zrychlení v intervalu 21 ttt
(měli bychom psát 12
12
tt
vv
t
va
)
okamžité zrychlení zavedeme derivací
sdt
sd
dt
ds
dt
dv
dt
dva
2
2
avs funkce primitivní
derivace
funkce primitivní
derivace
10
Příklad – pohyb rovnoměrně zrychlený
1) Známe vztah pro dráhu – derivováním vypočteme rychlost
00
2
02
1)( stvtats
Známe derivace:
nxy 1 nnxy
)(xfCy )(xfCy
)()( xgxfy )()( xgxfy
Tedy
000000
2
000
2
0 022
1
2
1
2
1)( vtavtastvtastvtatsv
11
2) Známe rychlost – derivováním vypočteme zrychlení
00)( vtatv
0
0
0
1
000 avtavtava
Příklad – pohyb rovnoměrně zrychlený
3) Známe vztah pro rychlost – dráhu vypočteme pomocí primitivní funkce
00)( vtatv
Známe primitivní funkce:
nxxf )(
1)(
1
n
xxF
n
)()( xgCxf )()( xGCxF
)()()( xhxgxf )()()( xHxGxF
Tedy
00
2
0
ntaint.konsta
0
1
0
2
0
0
0000
2
1
12
)()()(
stvtast
vt
a
dttvtdtadtvtadttvts
12
4) Známe zrychlení – rychlost hledáme jako primitivní funkci
0aa
00
ntaint.konsta
0
1
0001
vtavt
adtadtaadtv
Příklad – volný pád
souřadnicová osa h orientovaná směrem dolů
všechny vektory – nenulové jen svislé složky
možno užít skalární vztahy
v čase 0t 0v
0h
gravitační zrychlení ga
rychlost 0vgtgdtv gtv
dráha (výška) 0
2
2h
tggtdth
2
2tgh
zrychlení v závislosti na výšce a době pádu 2
2
t
hg
vyloučení parametru t g
vt
g
v
g
vgh
22
22
rychlost v závislosti na výšce pádu ghv 2
13
v třídimenzionálním prostoru
nebo
typy souřadnic v rovině
kartézské
polární
typy souřadnic v prostoru
kartézské
cylindrické
sférické
Souřadnice bodu
],,[ 321 xxx ],,[ zyx
polární
sférické
cylindrické
14
Směrové kosiny
r ... vzdálenost bodu od počátku kartézských souřadnic
cosrx
cosry
cosrz
často pohodlnější indexované souřadnice a úhly: ii rx cos
15
Směrové kosiny transformace
3x3x
1x
1x
2x
2x
1112
13
přechod mezi vzájemně pootočenými kartézskými
soustavami souřadnic 321321 ,,,, xxxxxx
matice rotace
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
prvky matice rotace = směrové kosiny transformace,
tj. směrové kosiny úhlů, které svírají osy ix s osami jx
ijija cos
16
Obecná transformace souřadnic
Rotace a translace
přechod mezi kartézskými soustavami souřadnic 321321 ,,,, xxxxxx
matice rotace ijija cos
rotace (přímá) )3,2,1(3
1
ixaxj
jiji
sčítací konvence – přes index, který se vyskytuje
v součinu právě dvakrát, se sčítá od 1 do 3 jiji xax
translace určena konstantami ic iii cxx
obecná transformace zahrnuje rotaci a translaci:
transformace (přímá) ijiji cxax
transformace inverzní jiijj cxax , kde iijj cac
Poznámky:
v přímé transformaci se sčítá přes druhý index ija , v inverzní přes první index!
pro prvky matice platí podmínky ortonormality: ijjkikkjki aaaa (celkem 9 rovnic)
Kroneckerův symbol 0
1
ij
ij
ji
ji
17
Sčítací konvence a Kroneckerův symbol
Bez sčítací konvence a Kroneckerova symbolu by se podmínky ortonormality
ijjkikkjki aaaa
musely zapsat následujícími rovnicemi:
)33(1
)23(0
)13(0
)32(0
)22(1
)12(0
)31(0
)21(0
)11(1
333332323131333323231313
233322322131323322231213
133312321131313321231113
332332223121333223221312
232322222121323222221212
132312221121313221221112
331332123111333123211311
231322122111323122211211
131312121111313121211111
jiaaaaaaaaaaaa
jiaaaaaaaaaaaa
jiaaaaaaaaaaaa
jiaaaaaaaaaaaa
jiaaaaaaaaaaaa
jiaaaaaaaaaaaa
jiaaaaaaaaaaaa
jiaaaaaaaaaaaa
jiaaaaaaaaaaaa
,
,
,
,
,
,
,
,
,
18
vektorový prostor
definovány operace 1) sčítání
2) násobení číslem
výsledek musí patřit do téhož prostoru
objekty různých typů – vektory, funkce
vektor, vektorová fyzikální veličina
velikost
směr
orientace
umístěný vektor
rozšíření matematické definice
jednoznačně umístěn v prostoru – zpravidla volbou počátečního bodu
Vektorové charakteristiky pohybu
19
Souřadnice vektoru
kartézská soustava souřadnic
jednotkové směrové vektory ve směrech os 321 ,, eee
souřadnicové osy vzájemně kolmé – vektory ie
ortonormální, tj. ijji ee
ortonormální báze (pravotočivá)
vektory
umístěné souřadnice vektoru počátekkonec
iii xxA
vektory 332211 ,, eAeAeA
označujeme složky vektoru
vektor ),,( 321 AAAA
– lineární kombinace směrových vektorů
iieAeAeAeAA
332211
nositelem fyzikální jednotky vektoru je souřadnice
1x 2x
3x
1e
3e
2e
20
Operace s vektory – vlastnosti báze
vektorové veličiny CBA
,,
souřadnice vektorů v kartézské soustavě souřadnic iii CBA ,,
skalární součin vektorů ortonormální báze ijji ee
Kroneckerův symbol
(Leopold Kronecker 1823-1891 Německo) 0
1
ij
ij
ji
ji
vektorový součin vektorů báze kijkji eee
(platí stejně v pravotočivé i levotočivé soustavě, orientace součinu se určí podle pravidla patřičné ruky)
Levi-Civitův symbol
0)()()(
1
1
ijk
ijk
ijk
kjkiji
permutace lichá
permutace sudá
(Tullio Levi-Civita 1873-1941 Itálie) 21
Operace s vektory – sčítání a násobení
operandy iieAA
, jjeBB
sčítání iiijjii eBAeBeABA
)(
násobení skalárem iiii ekAeAkAk
)()(
násobení vektorů
skalární součin
332211
)(
BABABA
BAeeBAeBeABA ii
ij
jijijjii
vektorový součin
312212131312332
)(
eBABAeBABAeBABA
eBA
e
eeABeBeABA kjiijk
kijk
jijjjii
22
Transformace vektoru
přechod mezi kartézskými soustavami souřadnic 321321 ,,,, xxxxxx
souřadnice vektoru 321321 ,,,, AAAAAA
souřadnice se při pouhé translaci nemění uvažujeme jen rotace
matice rotace ijija cos
transformace přímá jiji AaA
transformace inverzní iijj AaA
Vektory musí při transformaci zachovat velikost jjkj
jk
ikijkikjijii AAAAaaAaAaAA
splněno díky podmínkám ortonormality ( ijjkikkjki aaaa )
Poznámky:
v přímé transformaci se sčítá přes druhý index ija , v inverzní přes první index
slang: vektory různých veličin znázorňujeme do „stejné“ kartézské s.s. → společné směrové vektory, osy vždy „cejchovány“ v příslušných jednotkách
23
Polohový vektor
kartézská soustava souřadnic, osy jsou „cejchované“ v délkových jednotkách
souřadnice bodu P v prostoru 321 ,, xxx
spojnice počátku O vztažné soustavy s bodem P „vektor pevně umístěný
v počátku“ iiexexexexr
332211
polohový vektor (radius vektor) ),,( 321 xxxr
užíváme pro popis souřadnic
bodu v prostoru
povšimněme si:
při posunutí počátku vztažné soustavy samozřejmě očekáváme změnu
polohových vektorů všech objektů
právě jsme si řekli, že vektory se při translaci nemění
polohový vektor není běžný vektor
jako vektor se chová až rozdíl polohových vektorů
24
Parametrizace vektorů
Parametrizace polohy
)(),(),( 321 txtxtxt parametrizace časem
(vhodná pro zkoumání rychlosti)
ii etxtr
)()(
)(),(),( 321 sxsxsxs parametrizace dráhou
(vhodná např. pro zkoumání tvaru trajektorie)
ii esxsr
)()(
Vyloučení parametru
získáme rovnici dráhy (trajektorie)
)(),(,)()( 13121111 xxxxxxtttxx
25
Diferenciál funkce
Diferenciál funkce )(xfy v bodě x je dxxfxdfdy )()( , kde dx je
(infinitezimální) přírůstek nezávisle proměnné; analogicky ho nazýváme diferenciálem nezávisle proměnné. Symbol pro označení derivace vychází z toho, že derivace skutečně je podílem diferenciálu funkce a diferenciálu nezávisle proměnné ( 0dx )
26
Vektorová veličina analogická k s(t)
dráha s polohový vektor ii etxtr
)()(
)(),(),( 321 txtxtx
Alternativní postup:
Dráhu s chápeme jako vzdálenost mezi body 0A a A .
Pak analogickou vektorovou veličinu představuje změna
polohového vektoru 0)()( rtrtr
.
Výhoda: Změna polohového vektoru má všechny vlastnosti vektoru.
27
Vektorové veličiny analogické k v(t) a a(t)
rychlost v (vektorová) rychlost ii etxtrtv
)()()( )(),(),( 321 txtxtx
ve významu „velocity“
dt
trdttr
dt
rdv
)()(
Platí vrd
dtvrd
||
a naopak neplatí rrd
|| !
Alternativní postup: Zároveň platí )()( trtv
, protože
)()()()()( 00 tretxretxdt
drtr
dt
dtr iiii
zrychlení a (vektorové) zrychlení ii etxtrtvta
)()()()( )(),(),( 321 txtxtx
28
Pravidla pro derivace
derivace složené funkce )()()( xgxgfxgfdx
d
derivace součinu funkcí (Leibniz) gfgffg
analogicky pro diferenciály dgfdfgfgd
29
Vztah vektorové a skalární rychlosti
Uvažujeme ii esxsr
)()( a )(tss , tedy jako složenou funkci ii etsxtsr
))(())((
Rychlost vyjádříme
dt
tds
ds
rd
sxds
detsx
dt
deetsx
dt
dtsr
dt
dtsv iiiiii
)()())(())(()())((
tedy dt
tds
ds
rdtsv
)())((
, kde
)()(
tvdt
tds ... velikost rychlosti
|| rd
rd
ds
rd ... tečný vektor trajektorie
o jednotkový vektor 1||
o vvrddtvrd
||||
Závěr: )()( tvtv
30
Vlastnosti vektoru ds
d
1||
1
derivace konstanty 0
ds
d
derivace součinu funkcí ds
d
ds
d
ds
d
ds
d
2
0ds
d
, resp. 0
d
Splněno ve dvou případech:
1) 0ds
d
konst
(přímočarý pohyb)
2)
d
ds
d
vektor ds
d
, resp.
d kolmý ke směru rychlosti
(obecný křivočarý pohyb ) 31
)(t
)(t
)( dtt
R
)(tr
ds
d
)( dttr
Křivočarý pohyb v rovině
Ukážeme, že vektor ds
d
směřuje do středu okamžitého oblouku a velikost tohoto
vektoru je svázána s poloměrem okamžitého oblouku.
Rovina pohybu určena vektory
ddttt ),(),( . Ukázali jsme, že
d
.
Zavedeme vektor ||
d
dn . Musí platit 1|| n
.
Platí:
n
dn || Vektor n
leží v rovině pohybu.
V obrázku vidíme podobné trojúhelníky,
proto Rds
d ||||
. Pak 1||
Rds
d 1||
Vynásobíme obě strany vektorem n
a
dostaneme R
n
ds
d
ds
dn
||
.
32
Křivost trajektorie
Pro křivočarý pohyb v rovině jsme odvodili R
n
ds
d
.
Vektor ds
d
tedy je kolmý k okamžité rychlosti a má velikost R
1, kde R je
poloměr okamžitého oblouku (oskulační kružnice).
Veličina R
1 se nazývá křivost křivky (v daném bodě).
V rovině mají konstantní křivost
o přímka ( 0 )
o kružnice (r
1 )
V případě prostorového pohybu lze každým bodem trajektorie proložit rovinu okamžitého pohybu, takže v každém okamžiku lze obecný křivočarý pohyb popsat jako pohyb v rovině (která se s časem mění).
33
Vztah vektorového a skalárního zrychlení
Uvažujme obecný nerovnoměrný křivočarý pohyb: dt
dv
dt
dvv
dt
d
dt
vda
Zaveďme parametrizaci ))(( ts
, pak vR
n
dt
ds
ds
d
dt
d
Celkové zrychlení lze rozdělit na dvě složky:
nta
R
nv
a
dt
dv
dt
dv
dt
dva
2
dt
dvat ... tečná složka zrychlení – ve směru tečného vektoru
R
nvan
2 ... normálová složka – ve směru normálového vektoru, který
směřuje do středu okamžitého oblouku dráhy poloměru R (oskulační kružnice; její střed i poloměr R se v případě obecného křivočarého pohybu můžou neustále měnit)
34
Axiom skládání rychlostí
klasický axiom předpokládá lineární skládání
rychlostí nezávisle na pohybu těles
vychází z pozorování Galileiho a Newtona
byl jedním z východisek pro postulování
absolutního prostoru a času
axiom je v souladu s dříve zavedenými
transformačními vztahy:
vztažná soustava O se pohybuje rychlostí u
vzhledem k soustavě O turr
vzhledem k O rychlost pohybu tělesa v
tvrr
0
vzhledem k O rychlost pohybu tělesa v
tvrr
0
dosazením (tzv. Galileiho transformace) tutvrtvr
00
vztah mezi rychlostmi (derivováním) uvv
35
Příklady pohybů v prostoru
obecný křivočarý pohyb v prostoru
3 parametrické rovnice
rovinný pohyb v prostoru
2 parametrické rovnice
(při vhodné volbě soustavy souřadnic)
přímočarý pohyb v prostoru
1 parametrická rovnice
(při vhodné volbě soustavy souřadnic)
36
Rovnoměrný kruhový pohyb
202
101
)sin(
)cos(
xtRx
xtRx
R ... poloměr dráhy
... počáteční fáze
x10, x20 ... souřadnice středu
Tf
1 ... frekvence a oběžná doba
(perioda)
Tf
22 ... úhlová (kruhová) frekvence
2T ,
2f ... další vztahy
37
Rovnoměrný kruhový pohyb
rovnice trajektorie (vyloučení času):
22
202
2
101
2222
202
2
101
222
202
222
101
202
101
)()(
1
)(sin)(cos)()(
)(sin)(
)(cos)(
)sin(
)cos(
Rxxxx
ttRxxxx
tRxx
tRxx
tRxx
tRxx
38
Rovnoměrný kruhový pohyb
rychlost:
Rv
ttRvvvtRxv
tRxv
||
1
)(cos)(sin||)cos(
)sin(222
2
2
1
22
11
vektor ve směru pohybu obvodová rychlost zrychlení:
R
vvRa
ttRaaatRxa
tRxa
22
2222
2
2
12
22
2
11
||||||
1
)(sin)(cos||)sin(
)cos(
vektor míří do středu otáčení dostředivé zrychlení
39
Nerovnoměrný kruhový pohyb
202
101
)(sin
)(cos
xtRx
xtRx
R ... poloměr dráhy
)(t ... časově proměnný fázový úhel
x10, x20 ... souřadnice středu
40
Harmonický pohyb
průmět rotačního pohybu do 1D 0)sin( xtAx
A ... amplituda
... kruhová (úhlová) frekvence
... počáteční fáze x0 ... výchozí poloha
2T ... perioda (oběžná doba)
Tf
1 ... frekvence
2f ... frekvence
rychlost a zrychlení:
)()sin(
)cos(
0
2
0
2 xx
xx
tAxa
tAxv
... zrychlení úměrné výchylce
41
Zavedení „úhlových“ vektorů
průvodič R
leží v rovině rotace hmotného bodu a míří ze středu rotace k h.b.
2D: ),( 202101 xxxxR
3D: výhodnější uvažovat polohu h.b. vzhledem k pevnému bodu na ose otáčení
polohové vektory jednotlivých h.b. opisují kužele se společným vrcholem
průvodič jednotlivého h.b. je průmět polohového vektoru do roviny rotace h.b.
úhlové otočení = úhel, který svírají dva různé průvodiče pohybujícího se bodu
úhlová dráha = úhel, který svírají aktuální průvodič a jeho výchozí poloha
vektor (úhlového) otočení o , kde o
je jednotkový vektor ve směru osy
otáčení; orientace závisí na točivosti použité báze – pokud bod rotuje v kladném
smyslu ve vodorovné rovině, bude v pravotočivé soustavě vektor o
směřovat vzhůru
(pravidlo pravé ruky)
42
Vektory úhlové rychlosti a úhlového
zrychlení
vektor úhlové rychlosti
oodt
d
dt
d
vektor úhlového zrychlení
oodt
d
dt
d
dt
d
2
2
2
2
víme: Rs Rdds dt
dR
dt
ds
Rv ||||||
Rv
podle obrázku: sin|||| rR
sin||||||
rv rv
(pořadí činitelů v souladu s pravidlem pravé ruky)
r
v
R
O
43
Polární a axiální vektory
při zrcadlení souřadnic: 1) ii ee
2) pravotočivá s.s. levotočivá s.s. polární (pravý) vektor
iieaA
i
i
i e
a
aA
AA
změní znaménko
zůstane na místě
skutečná fyzikální veličina
vektorový součin 2 polárních vektorů:
axiální vektor (pseudovektor)
BAebeaebeaBA jjiijjii
)()()()(
nemění znaménko
zrcadlí se
není skutečná fyzikální veličina
1e
2e
1e
2e
44
Užití vektoru úhlové rychlosti
Rekapitulace vztahů: Rs
Rdds Rdrd
dt
dR
dt
ds R
dt
d
dt
rd
Rv Rv
||sin||||
rv rv
||sin|| rv rv
Vypočtěme zrychlení působící na h.b. Derivujeme rychlost:
ntnt a
r
a
r
a
v
a
r
v
dt
rdr
dt
dr
dt
d
dt
vda )(
rat
... varr t
||)(||)(|| ... tečná složka zrychlení
van
... Ravaa nnn
||, ... normálová složka zrychlení
)( ran
... normálová složka míří proti průvodiči (dostředivé zrychlení)
45
Výpočet zrychlení rotačního pohybu
Použití vektorů úhlové rychlosti a úhlového zrychlení spolu s vektorovým násobením vede na kompaktní zápis:
ntnt a
r
a
r
a
v
a
r
v
dt
rdr
dt
dr
dt
d
dt
vda )(
Porovnejme s výsledkem alternativního postupu:
nt a
nR
a
R
R
dt
ds
R
n
ds
dRR
dt
ds
ds
d
dt
dR
dt
dRR
dt
dv
dt
da 2
Pro odstranění proměnné R (délka průvodiče) poslouží vztahy
||
||sin||
r
rRat
n
r
rn
r
rnRan
|)(|
||sin||sin||||
||
||sin||
1
2
2
46
