I QUADRILATERI

“Per geometria non intendo lo studio artificioso di Teorema-dimostrazione-C.v.d. che per moltissimo tempo è statoinflitto nel nome di Euclide a ragazzi innocenti, intendo l’uso di figure”

Ian Stewart docente Università di Warwick

(non utilizzando lo strumento poligono, ma utilizzando la definizione)•Disegna il segmento AB dall’icona Oggetti rettilinei, inserendo le lettere utilizzando Testo e simboli•Da Costruzioni traccia una retta parallela•Da Oggetti rettilinei traccia un nuovo segmento CD su tale retta, di lunghezza inferiore a AB; inserisci le lettere utilizzando Testo e simboli•Sempre con Oggetti rettilinei traccia i segmenti congiungenti gli estremi di AB e CD •Con lo strumento Mostra/Nascondi dell’icona Attributi nascondi le linee di costruzione.

I trapezi con Cabri

TEOREMA 1:In un trapezio gli angoli adiacenti a ogni lato obliquo sono supplementari

DIMOSTRAZIONEConsidero adiacenti al lato obliquo BC. Essi sono supplementari perché coniugati interni di rette parallele AB//DCper ipotesi, tagliate dalla trasversale BC. Perciò tali angoli sono sono supplementari. Analoga dimostrazione per gli altri due angoli.

TEOREMA 2Se in un quadrilatero gli angoli adiacenti a un lato sono supplementariallora il quadrilatero è un trapezioLa dimostrazione è analoga e non ci si dilunga.

A B

CD IPOTESI: ABCD trapezio, con AB//CDTESI è un angolo piatto è un angolo piattoBADADC

DCBCBA^^

^^

DC Be CBA^^

VERIFICHIAMO IL TEOREMA 2 CON CABRI

•Da Oggetti rettilinei seleziona segmenti e disegnane due consecutivi che formino un generico angolo•Da Misura seleziona misura dell’angolo e misura l’angolo formatosi•Da Misura seleziona calcolatrice e calcola il supplementare dell’angolo•Traccia un altro segmento consecutivo generico•Misura il nuovo angolo che si è formato •Seleziona il puntatore da Manipolazione e sposta il vertice del segmento che resta libero fino ad ottenere l’angolo uguale al valore calcolato con la calcolatrice•Chiudi il quadrilatero con un altro segmento•Seleziona Proprietà e verifica se i due lati ottenuti sono paralleli.

VERIFICHIAMOLO ALLORA CON CABRI

I PARALLELOGRAMMIDEFINIZIONE: è un quadrilatero con i lati opposti paralleliI parallelogrammi hanno due coppie di lati opposti paralleli, quindi sonodei particolari trapezi, perciò tutte le proprietà dei quadrilateri e dei trapezi valgono anche per i parallelogrammi.

TEOREMA 1In un parallelogramma:1. Ogni diagonale divide il parallelogramma in due triangoli congruenti2. I lati opposti sono congruenti3. Gli angoli opposti sono congruenti4. Gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari5. Le diagonali si intersecano nel loro punto medio

Parallelogrammi con Cabri

Disegno un parallelogramma:• Dall’icona Oggetti rettilinei seleziono segmento e lo traccio.• Ne traccio un altro consecutivo• Dall’icona Testo e simboli seleziono testo e attribuisco A,B,C ai punti trovati• Dall’icona Costruzioni traccio la retta parallela ad AB e passante per C• Dall’icona Costruzioni traccio la retta parallela ad BC e passante per A• Da Oggetti rettilinei seleziono segmento e individuo gli altri due lati del parallelogramma• Inserisco la lettera D con Testo e simboli all’ultimo vertice trovato

Verifico il teorema 1 :1. Traccio il segmento che va dal vertice A al vertice C (diagonale) e trovo due triangoli aventi AC in comune. Dall’icona Misura seleziono distanza o lunghezza e lo applico ai quattro lati del parallelogramma: osservo così che i due triangoli sono congruenti.(III principio di congruenza)2. Osservo la misura dei lati precedentemente eseguita al punto 1.3. Seleziono Misura e misuro gli angoli opposti4. Dall’icona Misura seleziono la calcolatrice, vedo quanto deve essere l’ampiezza del supplementare, misuro un angolo adiacente e vedo che corrisponde proprio a questa misura.5. Traccio anche l’altra diagonale: seleziono segmento e lo traccio da B a D. 6. Dall’icona Punti seleziono intersezione di due oggetti e disegno il punto di incontro delle diagonali7. Dall’icona Misura poi distanza o lunghezza vedo le misure dei segmenti in cui si dividono le diagonali ed osservo che esse si intersecano nel loro punto medio.

TEOREMA 2Se in un quadrilatero è verificata una delle seguenti

condizioni:1. Le diagonali si intersecano nel loro punto medio2. I lati opposti sono congruenti3. Gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari4. Gli angoli opposti sono congruenti5. Due lati opposti sono paralleli e congruentiAllora il quadrilatero è un parallelogramma

Le dimostrazioni vengono svolte in parte in classe e in parte assegnate come compiti per casa; seguono esercizi di consolidamento dal libro di testo dei ragazzi

PARALLELOGRAMMA PARTICOLARE

IL ROMBODefinizione: un rombo è un quadrilatero con i lati congruenti

TEOREMA 1In un rombo:1. Le diagonali sono perpendicolari2. Le diagonali sono bisettrici degli angoli

TEOREMA 2Se in un parallelogramma è verificata una di queste condizioni:1. Due lati consecutivi sono congruenti2. Le diagonali sono perpendicolari3. Una diagonale è bisettrice di un angoloAllora il parallelogramma è un rombo

Il rombo con CabriA questo punto si suppone una certa competenza nell’utilizzo di Cabrie si danno perciò solo indicazioni.DISEGNO DI UN ROMBO•Disegno un segmento AB •Con lo strumento compasso presente nell’icona Costruzioni traccio un arco di centro B ed ampiezza AB•Traccio un segmento BC consecutivo AB in modo che C appartengaalla circonferenza tracciata con il compasso.•Traccio rette parallele ai due segmenti e definisco i lati del parallelogrammaVERIFICA TEOREMA 1 CON CABRI• traccio i segmenti che vanno da un vertice all’altro (diagonali)•Verifico la loro perpendicolarità utilizzando l’icona Proprietà e selezionando la dicitura Perpendicolare?•Misuro gli angoli che formano le diagonali con i lati e verifico se le diagonali sono anche bisettrici

PARALLELOGRAMMA PARTICOLARE

IL RETTANGOLODefinizione: un rettangolo è un parallelogramma con gli angoli congruenti

Siccome la somma degli angoli interni di un quadrilatero è due angoli piatti, ne deriva che ogni angolo interno di un rettangolo è retto.Per dimostrare che un parallelogramma è un rettangolo basta dimostrareche il parallelogramma ha un angolo retto.

TEOREMA 1In un rettangolo, le diagonali sono congruenti

TEOREMA 2Se un parallelogramma ha le diagonali congruenti, allora esso è un rettangolo

Disegno un rettangolo con Cabri:•Traccio due rette parallele•Traccio una retta perpendicolare alle due parallele•Traccio una retta parallela alla perpendicolare appena disegnata•Determino i 4 punti di intersezione che indico con A,B,C,D

Dimostrazione del teorema 1 con Cabri•Disegno il rettangolo•Traccio le due diagonali utilizzandolo strumento segmento•Misuro le lunghezze delle due diagonali Dimostrazione del teorema 2 con Cabri•Disegno un parallelogramma come in precedenza spiegato•Traccio le due diagonali•Le misuro•Sposto un vertice del parallelogramma fino ad avere la stessa misura per le diagonali•Misuro un angolo del nuovo parallelogramma e vedo che è 90°

PARALLELOGRAMMA PARTICOLARE

IL QUADRATODefinizione: un quadrilatero (parallelogramma) con i lati congruenti e gli angoli congruenti.Da tale definizione deduciamo che un quadrato è un rombo (perché ha ilati congruenti) ed è un rettangolo(perché ha angoli congruenti, perciò retti).TEOREMA 1. In un quadrato:1. Le diagonali sono perpendicolari2. Le diagonali sono bisettrici degli angoli3. Le diagonali sono congruentiTEOREMA 2. Se un parallelogramma ha una di queste due proprietà:1. Le diagonali congruenti e perpendicolari2. Le diagonali congruenti e una di esse è bisettrice di un angolo del parallelogramma Allora tale parallelogramma è un quadrato.

DISEGNO IL QUADRATO CON CABRI•Traccio un segmento AB•Con lo strumento compasso traccio una circonferenza di centro B e raggio AB•Determino la retta per B perpendicolare ad AB•Il punto di intersezione di tale retta con la crf mi da il punto C•Disegno la retta per C parallela AB•Traccio la retta per A perpendicolare AB: il punto di intersezione è D

TEOREMA 1Traccio le diagonali e verifico che:•Sono perpendicolari•Sono bisettrici degli angoli del quadrato•Sono congruenti

Il teorema2 viene dimostrato tramite dimostrazione in classe.Seguono anche esercizi dal libro di testo