I Sistemi Lineari

• Molti, problemi per poter essere risolti, hanno bisogno dell’introduzione di uno o più elementi incogniti.

• Ad esempio consideriamo il problema di “trovare due numeri data la loro somma uguale ad 8 e la loro differenza uguale a 2”.

• Risolviamo il semplice problema con una equazione di primo grado in una incognita.

• Indicando con x il numero maggiore, quello minore sarà 8-x.

• Sapendo che la loro differenza deve essere uguale a 2, si ha l’equazione

x-(8-x)=22x-8=22x=10X=5

che rappresenta il numero maggiore. Il minore sarà di conseguenza 8-x = 8-5 = 3

Pertanto la coppia di numeri richiesta è (5,3).

• Consideriamo, ora, un altro problema: “trovare due numeri tali che del primo è uguale ai del secondo e che la differenza tra i del secondo e i del primo sia uguale a 9

• Gli alunni non riescono a risolverlo con un’equazione ad una incognita e saranno essi stessi a suggerire di introdurre due incognite .

92 7

1

65

83

• Indicando con x e y, rispettivamente il primo ed il secondo numero, traduciamo in forma algebrica le due condizioni cui i due numeri devono soddisfare cioè

• Gli alunni si rendono conto della difficoltà di pervenire alla soluzione del problema posto, l’insegnate li tranquillizza annunciando che esistono procedimenti semplici che conducono alla soluzione del problema.

983

65

92

71

xy

yx

• Consideriamo un’equazione lineare in due incognite del tipo ax+by = c e facciamo vedere che esistono infinite coppie di numeri x e y che verificano l’equazione data.

• Per esempio, data l’equazione 2y = x+8

28

xy

• Attribuendo valori diversi alla x si ottengono i corrispondenti valori di y. Si ha la seguente tabella

dalla quale si deduce che le coppie ordinate (0,4) (1, 9/2) (2, 5), (3, 11/2), (4, 6), etc.sono soluzioni dell’equazione data e se ne possono trovare quante se ne vogliano

x 0 1 2 3 4 ……

y 4 9/2 5 11/2 6 ……

• Allo stesso modo una qualunque altra equazione in due incognite ad esempio

y = x + 3ammette infinite soluzioni

x 0 1 2 3 4 ……

y 3 4 5 6 7 ……

• Se tra le infinite soluzioni della prima equazione e le infinite della seconda ne esiste una comune,allora si dirà che tale coppia è la soluzione del sistema formato dalle due equazioni date, le quali si associano con una parentesi graffa

• Dalle tabelle precedenti si ricava che la coppia (2,5) è soluzione di entrambe le equazioni del sistema e, quindi, è soluzione del sistema

823

xyxy

Si dice SISTEMA di due equazioni in due incognite un insieme formato da due equazioni

che devono essere verificate contemporaneamente

e avere dunque soluzioni comuni.Ogni soluzione comune a tutte le equazioni di un

sistema, si chiama soluzione del sistema.

Risolvere un sistema, significa trovarne tutte le eventuali soluzioni.

Un sistema di due equazioni di primo grado in due incognite x, y, a coefficienti numerici, si dice ridotto a forma normale, se è del tipo:

''' cybxacbyax

Dove indicano numeri noti. I numeri si chiamano coefficienti delle incognite,

mentre si chiamano termini noti.

',',',,, cbacba',',, baba

',cc

Un sistema costituito solo da equazioni di primo grado si dice

SISTEMA LINEARE

Vediamo un esempio di sistema che risolviamo con il metodo di Cramer:

04393)7(3

yxyx

Per ridurre a forma normale il sistema

dividiamo ambo i membri della prima equazione per 3

ottenendo il sistema equivalente:

043317

yxyx

dove:

a b c 'a 'b 'c7 1 31 3 -4 0

04393)7(3

yxyx

Un metodo per risolvere un sistema lineare

di due equazioni in due incognite:

METODO DI CRAMER …

MATRICE DEI COEFFICIENTI.

'' baba

''' cybxacbyax

Dato il sistema

il simbolo

il simbolo'' baba

si chiama

si chiama

DETERMINANTE DELLA MATRICE

ba 'a'b

'' baba

diagonale principale

diagonale secondaria

Il DETERMINANTE DEL SISTEMA lo indicheremo con ed esso è dato da:

='' baba

= -

Adessoindichiamo

con

x

y =

='' bcbc

=

'' caca =

c 'b b 'c-

- 'ac

abbiamo sostituito nel a, a’ con c, c’

'ca

abbiamo sostituito nel b, b’ con c, c’

VALE LA SEGUENTE REGOLA:

SE 0la soluzione del sistema è

y

x

y

x

=

03317

10)4(31 40131

a b c'a 'b 'c

7 1 313 -4 0

NEL NOSTRO CASO, DOVE

SI HA:

= = -31

X = = = -124

Y =

4317

= = -93

13)4(7

31307

PERTANTO …

… LA SOLUZIONE DEL NOSTRO SISTEMA E’:

y

x

y

x

319331124

y

x

34

yx

;

• Risolviamo lo stesso sistema con il metodo di sostituzione che si applica seguendo la seguente regola:

1)Si risolve una delle equazioni rispetto ad una incognita, per es. la y

2)Si sostituisce l’espressione così trovata al posto della y nell’altra equazione.

3)Si risolve questa equazione rispetto all’incognita y e si viene così ad determinare il valore di questa incognita.

4)Il valore della y si ottiene sostituendo il valore della x nella rispettiva espressione prima trovata

Esplicitiamo la y dalla prima equazione e si ha

043317

yxyx

043317

yxxy

Sostituiamo il valore trovato nell’altra equazione

0)317(43317xx

xy

0124283317

xxxy

012431317

xxy

Si risolve la seconda equazione

431124

317

x

xy

31474

yx

E sostituendo il vaolre nell’altra equazione

31284

yx

34

yx

La soluzione è (4;3)