Da bismo došli do algoritma kojim se jednoznačno formira graf linearnog električnog kola, bez

obzira na karakteristike njegovih elemenata i postojanje početnih uslova, definisaćemo

generalisanu (standardizovanu) granu u obliku prikazanom na Slici 1. Koncept generalisane

grane kola, kao što ćemo vidjeti, u mnogim slučajevima omogućava da se redukuje red sistema

jednačina stanja. Prilikom crtanja grafa meže, generalisanu granu predstavljaćemo kao što je

prikazano na Slici 2. Radi jednostavnosti kasnijeg zapisivanja matričnih jednačina pogodno je

granu orijentisati tako da njen smjer odgovara referentnom smjeru napona na posmatranom

pristupu generalisanoj grani.

+

Z

Ig

UgI

U

Slika 1. Generalisana grana.

I

U

Slika 2. Grana grafa koja odgovara generalisanoj grani.

Sa Slike 1 možemo primijetiti da za generalisanu granu važi:

( )ggU U Z I I (1.1)

( )g gI I Y U U (1.2)

Ukoliko svaku granu kola ekvivalentiramo generalisanom granom, a zatim sa ( )u t označimo

vektor napona generalisanih grana, sa ( )i t vektor struja generalisanih grana, sa ( )gu t vektor

napona naponskih generatora koji se nalaze u generalisanim granama, a sa ( )gi t vektor struja

strujnih generatora koji se nalaze u generalisanim granama, važe sledeće jednačine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )g gu t u t Z D i t i t (1.3)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )g gi t i t Y D u t u t (1.4)

gdje su ( )Z D i ( )Y D matrice operatorskih impedansi i admitansi grana. Ove matrice su

kvadratne matrice reda bxb . Ako kolo ne sadrži induktivno spregnute elemente ili

kontrolisane izvore, onda su ( )Z D i ( )Y D dijagonalne matrice, a elementi po dijagonali

odgovaraju odnosima napona I struja, odnosno struja i napona pojedinih grana, respektivno.

Ukoliko ograničimo analizu na kola sa otpornicima, kalemovima, kondezatorima i induktivno

spregnutim kolima, matricu impedansi popunjavamo na osnovu sledećih relacija napon-struja.

1) Za pasivnu granu:

( ) ( )k k ku t R i t (1.5)

2) Za granu sa kalemom:

( )( ) k

k k

di tu t L

dt (1.6)

3) Za granu sa kondezatorom:

0

1( ) ( )

t

k k

k

u t i dC

(1.7)

4) Za induktivno spregnutu granu k:

, ;

( ) ( )( ) k l

k k kl

l k l k

di t di tu t L L

dt dt

(1.8)

Sa druge strane, prilikom određivanja matrice admitansi interesuje nas relacija struja-napon:

1) Za pasivnu granu:

( ) ( )k k ki t G u t (1.9)

pri čemu je kG provodnost grane k.

2) Za granu sa kalemom:

0

1( ) ( )

t

k k

k

i t u dL

(1.10)

3) Za granu sa kondezatorom:

( )

( ) kk k

du ti t C

dt (1.11)

4) Za induktivno spregnutu granu k, relaciju struja-napon dobijamo na osnovu (1.8):

, ;0

1 1( ) ( ) ( )

t

k k kl l

l k l kk k

i t u d L i tL L

(1.12)

Ukoliko je grana k spregnuta sa samo jednom granom l:

0

1( ) ( ) ( )

t

klk k l

k k

Li t u d i t

L L (1.13)

Kada uvrstimo izaz sa struju ( )li t dobijamo:

0 0

1 1( ) ( ) ( ( ) ( ))

t t

kl klk k l k

k k l l

L Li t u d u d i t

L L L L (1.14)

Odnosno:

2

0 0

1(1 ) ( ) ( ) ( )

t t

lk klk k l

l k k k k

L Li t u d u d

L L L L L

(1.15)

Na osnovu prethodne jednačine konačno dolazimo do relacije koja povezuje struju grane

k sa naponom te grane i naponom induktivno spregnute grane l:

2 2

0 0

( ) ( ) ( )

t t

l klk k l

k l lk k k lk

L Li t u d u d

L L L L L L

(1.16)

Ovu jednačinu koristićemo u skraćenom zapisu:

0 0

( ) ( ) ( )

t t

k k k kl li t u d u d (1.17)

Gdje je:

2

lk

k l lk

L

L L L

(1.18)

2

klkl

k k lk

L

L L L

(1.19)

Ukoliko u kolu imamo dinamičke elemente (kalemove i kondezatore) sa akumulisanom energijom,

neophodno je prilikom rešavanja kola uzeti u obzir uticaj početnih uslova, tj. vrijednosti struje kalema

(0 )l oi I , odnosno napona kondezatora (0 )c ou U neposredno prije dejstva pobude. Jedan od

načina na koji se ovo može postići je uvođenje operatorskih šema za kalemove i kondezatore u kolu.

Na Slici 3. Prikazane su operatorske šeme kondezatora čiji je napon neposredno prije pobude kola u

trenutku t=0 iznosio (0 )c ou U . Šeme su izvedene iz izraza za napon:

0

0 0

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t t t

ou t i d i d i d U h t i dC C C C

(1.20)

iz kojeg struju kodenzatora možemo izraziti na sledeći način:

( ) ( ) ( )

( ) ( )o o

dh t du t du ti t CU C CU t C

dt dt dt (1.21)

Slika 3. Operatorska šema kondezatora.

Operatorske šeme kalema prikazane su na Slici 4 i izvode se na sličan način:

-+

Slika 3. Operatorska šema kalema.

0

0 0

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t t t

oi t u d u d u d I h t u dL L L L

(1.22)

( ) ( ) ( )( ) ( )o o

dh t di t di tu t LI L LI t L

dt dt dt (1.23)

Metod nezavisnih struja

Poznato je da je algebarska suma napona grana osnovnih kontura jednaka nuli. U ustaljenom

prostoperiodičnom režimu ovaj sistem od 1m b c jednačina ima oblik:

0fB u (1.24)

Uvrštavanjem vrijednosti za napone grana iz jednačine (1.3) dobijamo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f f g gB Z D i t B u t Z D i t (1.25)

Struje grana se mogu izraziti preko struja osnovnih kontura:

( ) ( )T

f Li t B i t (1.26)

pa imamo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )T

f f L f g gB Z D B i t B u t Z D i t (1.27)

ili:

( )m L gZ i t V (1.28)

Matrica:

( ) T

m f fZ B Z D B (1.29)

se naziva matrica impedansi kontura. Za pasivnu recipročnu mrežu, matrica impedansi kontura je

simetrična.

Vektor:

( ) ( ) ( )g f g gV B u t Z D i t (1.30)

je vektor ekvivalentnih naponskih izvora kontura.

Elemente matrice impedansi kontura moguće je interpretirati na sledeći način. Svaki element na

glavnoj dijagonali je suma impedansi grana koje pripadaju odgovarajućoj konturi, s tim što je potrebno

obratiti pažnju na induktivno spregnute grane. Svaki element koji ne pripada glavnoj dijagonali jednak

je sumi impedansi u granama koje su zajedničke odgovarajućim konturama, sa predznakom plus ako

se orijentacije kontura u zajedničkoj grani podudaraju, a sa predznakom minus ako se orijentacije

kontura u zajedničkoj grani ne podudaraju. Sa druge strane, elementi vektora gV su algebarske sume

napona naponskih generatora (uključujući i Tevenenove generatore) u odgovarajućoj konturi, sa

referentnim smjerovima izabranim tako da budu usaglašeni sa orijentacijom konture.

Metod nezavisnih napona

Poznato je da je algebarski zbir struja svih grana presjeka jednak nuli, pa se to može zapisati kao:

( ) 0aQ i t (1.31)

Pošto je rang potpune matrice presjeka jednak n = c − 1, odnosno, rangu matrice osnovnih presjeka,

dovoljno je posmatrati sistem od n jednačina:

( ) 0fQ i t (1.32)

Uvrštavanjem vrijednosti za struje grane iz jednačine (1.4) dobijamo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f f g gQ Y D u t Q i t Y D u t (1.33)

Naponi grana grafa se mogu izraziti preko napona grana stabla:

( ) ( )T

f Tu t Q u t (1.34)

Sada je:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )T

f f T f g gQ Y D Q u t Q i t Y D u t (1.35)

Odnosno:

( )t T tY u t J (1.36)

Matrica:

( ) T

t f fY Q Y D Q (1.37)

se naziva matrica admitansi glavnih presjeka. Elementi matrice admitansi glavnih presjeka se mogu

interpretirati na sledeći naćin. Vrijednosti elemenata na glavnoj dijagonali su jednake sumi admitansi

svih grana koje pripadaju posmatranom presjeku. Elementi koji se ne nalaze na glavnoj dijagonali su

jednaki plus ili minus admitansi grane koja je zajednička za dva posmatrana presjeka. Znak plus se

koristi kada je orijentacija grane podudarna sa orijentacijama oba presjeka, a minus u suprotnom.

Vektor:

( ) ( ) ( )t f g gJ Q i t Y D u t (1.38)

se naziva vektor ekvivalentnih strujnih generatora osnovnih presjeka. Vrijednosti elemenata ovog

vektora su algebarske sume strujnih generatora, uključujući i ekvivalentne Nortonove generatore, u

granama koje pripadaju odgovarajućem presjeku sa referentnim smjerom koji odgovara orijentaciji

presjeka.

Metod potencijala čvorova

Algebarska suma struja grana u svakom čvoru kola je prema prvom Kirhohovom zakonu jednaka nuli.

U ustaljenom prostoperiodičnom režimu ovaj sistem od c jednačina se može napisati u obliku:

( ) 0aA i t (1.39)

gdje je aA potpuna matrica incidencija. Pošto je rang potpune matrice incidencija jednak n = c − 1,

jednačine u ovom sistemu nisu linearno nezavisne. Ako jedan čvor u kolu izaberemo za referentni,

jednačine po prvom Kirhohovom zakonu za ostale čvorove su linearno nezavisne:

( ) 0A i t (1.40)

U jedančini (1.40) A je matrica incidencija za nezavisne (nereferentne) čvorove u kolu. Uvrštavanjem

vrijednosti za struje grana iz jednačine (1.4) dobija se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )g gA Y D u t A i t Y D u t (1.41)

Naponi grana grafa se mogu izraziti preko potencijala čvorova:

( ) ( )Tu t A v t (1.42)

gdje je ( )v t vektor potencijala nezavisnih čvorova u odnosu na odabrani referentni čvor. Sada je:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )T

g gA Y D A v t A i t Y D u t (1.43)

ili:

( )n gY v t J (1.44)

Matrica

( ) T

nY A Y D A (1.45)

se naziva matrica admitansi čvorova. Elementi matrice admitansi čvorova se mogu interpretirati na

sledeći način. Vrijednosti elemenata na glavnoj dijagonali su jednake sumi admitansi svih grana

incidentnih odgovarajućem čvoru. Elementi koji se ne nalaze na glavnoj dijagonali su jednaki

negativnoj admitansi grane koja se nalazi izmedu dva čvora. Vektor:

( ) ( ) ( )g g gJ A i t Y D u t (1.46)

se naziva vektor ekvivalentnih strujnih generatora čvorova. Vrijednosti elemenata ovog vektora su

algebarske sume strujnih generatora, uključujući i ekvivalentne Nortonove generatore, u granama

incidentnim odgovarajućem čvoru, sa referentnim smjerom izabranim prema čvoru.

Pomjeranje naponskog i strujnog generatora

Prilikom izbora grana grafa posebnu pažnju treba posvetiti idealnim naponskim i strujnim

generatorima. Pošto je u grani određenoj idealnim generatorom napon ili struja generatora poznata

velčina, ukoliko se idealni generatori posmatraju kao zasebne generalisane grane, nije moguće

uspostaviti vezu izmedu napona i struje posmatrane grane, što je neophodno za definisanje matrice

impedansi odnono admitansi kola. Zbog toga u graf nećemo dodavati grane odeređene idealnim

generatorima već ćemo transformisati kolo tako da grana bude određena rednom vezom idealnog

naponskog generatora i pasivnog elementa, odnosno, paralelnom vezom idealnog strujnog

generatora i pasivnog elementa. U slučaju da u kolu figuriše idealni naponski generator, moguće ga je

premjestiti u grane koje se spajaju u čvoru u koji je spojen jedan od njegovih priključaka, pri čemu se

priključci ranije pozicije idealnog naponskog generatora kratko spajaju. Ova transformacija rezultuje

ekvivalentnim kolom jer će jednačine dobijene primjenom KZN biti nepromijenjene. Sa druge strane,

u rezultujućem kolu je svaki idealni naponski generator redno vezan sa nekim pasivnim elementom

što omogućava da se odredi veza izmedu napona i struje odgovarajuće grane grafa. Analogno, idealni

strujni generator je moguće premjestiti paralelno svim granama koje sa polaznom pozicijom idealnog

strujnog generatora čine konturu, pri čemu se polazni priključci strujnog generatora ostavljaju

otvoreni. Dobijeno kolo je ekvivalentno polaznom jer će jednačine dobijene primjenom KZS biti

nepromijenjene, ali će paralelno svakom idealnom strujnom generatoru biti vezan jedan pasivni

element. što omogućava da se odredi veza izmedu napona i struje odgovarajuće grane. Ove

transformacije se nazivaju pomjeranje naponskog, odnosno, strujnog generatora, respektivno. Na Slici

5 dat je primjer kola koje je potrebno transformisati pomjeranjem naponskih i strujnih generatora.

R1 L R2

C1

C2

+

C3

R3

( )gu t ( )gi t

R1 L R2

C1

C2

C3

R3

( )gu t

( )gi t

( )gi t

+

+

+

( )gu t

( )gu t

Slika 5. Pomjeranje naponskih i strujnih generatora.

ZADACI

1. Za kolo prikazano na slici izvesti jednačine napona osnovnih presjeka u operatorskom obliku.

Poznato je da je (0 )c ou U .

+

G1

3iL1 L2

G2 C2

G2

( )gu t

* *

3i( )cu t

L12

Rešenje:

Uticaj početnih uslova uzećemo u obzir korišćenjem operatorske šeme za kondezator. Takođe

trasformisaćemo kolo tako da nema naponskih generatora.

3iL1 L2

G2 C2

G3

* *

3i

L12

G1 2 ( )oC U t( )gi t

1 2

4

3

1( ) ( ) ( )g gi t u t G h t

Graf kola:

1 2

4

3

a

b c

d e

1 2

3

b = 5 grana

c = 4 čvora

broj grana stabla: n = c – 1 = 3

T={b,c,d}

1 0 0 1 0

0 1 0 0 1

0 0 1 1 1

f

b c a e

Q

d

Matrica admitansi kola:

1 1

1 12

1 1

12 2

3

1

2 2

0 0 0

0 0 0

( ) 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

b

D D

D D

Y D G

G

G C

ed a

D

c

Vektori napona stabla, naponskih i strujnih generatora grana, redom:

( )

( ) ( ) ;

( )

b

T c

d

u t

u t u t

u t

0

0

( ) 0 ;

0

0

gu t

3

2

( )

0

( ) 0

( ) ( )

( )

g

g

o

i t

i t

i t h t

C U t

Pri čemu je 3 3( ) ( )di t G u t .

Do konačnog rešenja dolazimo korišćenjem jednačine (1.35):

1 1

1 12

1 1

12 2

3

1

2 2

1 1

1 12 1

1 1

12 2 2 2

3 1 2 2

0 0 0

0 0 01 0 0 1 0

( ) 0 1 0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 0 ( )

0 0

f

D D

D D

Q Y D G

G

G C D

D D G

D D G C D

G G G C D

1 1

1 12 1

1 1

12 2 2 2

3 1 2 2

1 1

1 1 12 1

1 1

12 2 2 2 2 2

1 2 2 3 1 2 2

1 0 0

0 0 0 1 0

( ) 0 0 ( ) 0 0 1

1 0 10 0

0 1 1

( )

( )

T

m f f

D D G

Z Q Y D Q D D G C D

G G G C D

G D D G

D G D C D G C D

G G C D G G G C D

3

3 1

2

1 2

( )

( ) ( ) ( )1 0 0 1 0 0

( ) 0 1 0 0 1 0 ( )

0 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

d g

t f g o

g g o

o

i t

G u t G u t h t

J Q i t C U t

i t h t G u t h t C U t

CU t

Kako je ( )t T tY u t J , dolazimo do konačnog sistema jednačina:

1 1

3 11 1 12 1

1 1

12 2 2 2 2 2

1 21 2 3 1 2 2

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

d gb

c o

d g o

G u t G u t h tG D D G u t

D G D CD G C D u t C U t

u t G u t h t C U tG G CD G G G C D

2. Za mrežu sa slike izvesti jednačine nazavisnih struja u operatorskom obliku. Poznati parametri

su: 1 1 3 4 2 2, , , , , ,R C L C R L k i veličine 3 2

. .( ), (0 ), (0 )L Le t i i i 1(0 )Cu .

+

e(t)

R1

C1

C4

R2

L2

+

* *k

L3

-

1(0 )cu

Rešenje:

+

e(t)

R1

C1

C4

R2

L2

* *

k

L3

+

2(0 ) ( )Li h t

3(0 ) ( )Li h t

1(0 ) ( )Cu h t

1

2

3

3

1 2

a

b

c

d

e1

2 3

0 1 1 0 0

0 1 0 1 0

1 1 0 0 1

f

b d

B

a c e

Matrica impedansi kola:

2

4

1

1

3 23

23 2

0 0 0 0

10 0 0 0

1( ) 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

b

R

C D

Z D RC D

L D L D

L D L

d a c e

D

b = 5 grana

c = 3 čvora

broj grana stabla: n = c – 1 = 2

T={b, d}

Do rešenja dolazimo na osnovu jednačine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )T

f f L f g gB Z D B i t B u t Z D i t

Odnosno:

( )m L gZ i t V

Matrica impedansi kontrura i vektor ekvivalentnih naponskih izvora kontura dobijaju se

prema jednačinama:

( ) T

m f fZ B Z D B

( ) ( ) ( )g f g gV B u t Z D i t

2

4

1

1

3 23

23 2

1

4 1

3 23

4

2 23 2

4

0 0 0 0

10 0 0 0

0 1 1 0 01

( ) 0 1 0 1 0 0 0 0 0

1 1 0 0 10 0 0

0 0 0

1 10 0 0

10 0

10

f

R

C D

B Z D RC D

L D L D

L D L D

RC D C D

L D L DC D

R L D L DC D

1

4 1

3 23

4

2 23 2

4

1

1 4 4 4

3 23

4 4 4

23 2 2

4 4 4

1 10 0 10 0 0

1 1 11

( ) 0 0 1 0 0

0 1 01

0 0 0 1

1 1 1 1

1 1 1

1 1 1

T

m f f

RC D C D

Z B Z D B L D L DC D

R L D L DC D

RC D C D C D C D

L D L DC D C D C D

L D L D RC D C D C D

Vektor naponskih generatora, vektor strujnih generatora i vector struja spojnica, redom:

1

0

0

( ) ( ) (0 ) ( )

0

0

g cu t e t u h t

;

3

2

0

0

( ) 0

(0 ) ( )

(0 ) ( )

g

L

L

i t

i h t

i h t

;

( )

( ) ( )

( )

a

L c

e

i t

i t i t

i t

1

1

0

( ) (0 ) ( )00 1 1 0 0

( ) 0 1 0 1 0 ( ) (0 ) ( ) 0

1 1 0 0 1 00

0

c

f g c

e t u h t

B u t e t u h t

3

2

3 2

3 2

1

4 1

3 23

4

2 23 2

4

3 23

23 2

1 100 0 0

01

( ) ( ) 0 0 0

(0 ) ( )1

0(0 ) ( )

0

(0 ) (0 ) ( )

(0 ) (0 ) ( )

f g

L

L

L L

L L

RC D C D

B Z D i t L D L DC D

i h t

R L D L Di h tC D

i L i L t

i L i L t

Konačno rešenje:

( )m L gZ i t V

3 2

3 2

1

1 4 4 4 1

3 23 3 23

4 4 4

23 2

23 2 2

4 4 4

1 1 1 1

( ) (0 ) ( )( )1 1 1

( ) (0 ) (0 ) ( )

( ) (0 ) (0 ) ( )1 1 1

ca

c L L

eL L

RC D C D C D C D e t u h ti t

L D L D i t i L i L tC D C D C D

i t i L i L tL D L D R

C D C D C D

3. Dato je kolo prema šemi. Poznati su svi parametri kola, ( )gu t i početni uslovi 1 01(0 ) ,Li I

2 02(0 )Li I i 0(0 )cu U . Izvesti sistem jednačina potencijala čvorova u operatorskom

obliku.

+

G4

G2

L1

C

G1

G3

L2

L12

( )gu t

(0 )cu

+

Rešenje:

Uticaj početnih uslova uzećemo u obzir korišćenjem operatorskih šema za kalemove i

kondezator.

+

G4

G2

L1

C

G1

G3

L2

L12

( ) ( )gu t h t

01 ( )I h t

02 ( )I h t

0 ( )CU t

1 2 3

4

5

Graf kola:

1 3

5

2

d

a

e

4

b

f

g

c

Uzećemo da je čvor 5 referentni čvor, pa je matrica nezavisnih čvorova:

0 0 0 1 1 1 0

1 1

4

0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 1 1

2

1 0 1 0 0

1

3

0 0

a b c d e f g

c

c

c

c

A

Operatorska matrica admitansi grana kola:

1 1

1 12

1 1

12 2

1

4

2

3

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

( ) 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

a

D D

D D

G

Y D G

G

G

C

b c d e f

D

g

b = 7 grana

c = 5 čvorova

broj nezavisnih čvorova: n = c – 1 = 4

Pri čemu je:

21 2

1 2 12

12 2

1 2 12

1212 2

1 2 12

L

L L L

L

L L L

L

L L L

Vektori nezavisnih naponskih i strujnih izvora:

0

0

0

( ) ( ) ( )

0

0

0

g gu t u t h t

;

01

02

0

( )

( )

0

( ) 0

0

0

( )

g

a

b

c

d

e

f

g

I h t

I h t

i t

CU t

Jednačine potencijala čvorova dobijamo iz sledeće matrične jednačine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )T

g gA Y D A v t A i t Y D u t

Ili:

( )n gY v t J

gdje je ( )v t vektor potencijala nezavisnih čvorova:

1

2

3

4

( )

( )( )

( )

( )

v t

v tv t

v t

v t

1 1

1 12

1 1

12 2

1

4

2

3

4 2 3

1 1

1 12 2 12 2

12

0 0 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 1 1 1 0

0 0 0 0 0 01 1 0 0 1 0 0

( ) 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 01 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

( ) ( ) 0 0 0 0

D D

D D

G

A Y D G

G

G

CD

G G G

D D G

D

1 1

2 3

1 1

1 12 1

0 0 0

0 0 0 0

D G CD

D D G

4 2 3

1 1

1 12 2 12 2

1 1

12 2 3

1 1

1 12 1

2 3 4 2 3

2 2 1 12 2

0 1 0 1

0 1 1 00 0 0 0

0 0 0 1( ) ( ) 0 0 0 0

( ) 1 0 0 00 0 0

1 1 0 00 0 0 0

1 0 1 0

0 0 1 0

0

( 2 )

T

n

G G G

D D GY A Y D A

D D G CD

D D G

G G G G G

G G D

1 1 1

2 12 1 12

1 1 1

3 2 12 2 3 12

1 1 1

1 12 12 1 1

( ) ( )

( )

0 ( )

D D

G D D G CD D

D D G D

01

02

01 02

02 0

01

0

( )

( )00 0 0 1 1 1 0

0( ) ( )1 1 0 0 1 0 0

( ) 0( ) ( )0 1 0 0 0 1 1

0( )1 0 1 0 0 0 0

0

( )

g

I h t

I h t

I I h tA i t

I h t CU t

I h t

CU t

4 2 3

1 1

1 12 2 12 2

1 1

12 2 3

1 1

1 12 1

4

0

00 0 0 0

0( ) ( ) 0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

00 0 0 0

0

0

( ) ( )

0

0

0

( ) ( ) ( )

g g

g

g g g

G G G

D D GA Y D u t u t h t

D D G CD

D D G

G u t h t

J A i t Y D u t

4

01 02

02 0

01

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

gG u t h t

I I h t

I h t CU t

I h t

Sistem jednačina potencijala nezavisnih čvorova u operatorskom obliku:

1 42 3 4 2 3

1 1 1

2 01 022 2 1 12 2 2 12 1 12

1 1 1

023 2 12 2 3 12 3

1 1 1

1 12 12 1 1 4

( ) ( ) ( )0

( ) ( ) ( )( 2 ) ( ) ( )

( )( ) ( )

0 ( ) ( )

gv t G u t h tG G G G G

v t I I h tG G D D D

I h t CUG D D G CD D v t

D D G D v t

0

01

( )

( )

t

I h t

4. Formirati sistem jednačina napona osnovnih presjeka u operatorskom obliku za kolo prema

šemi. Poznati su svi paramtri kola, ( )gi t i početni uslovi 2 0(0 )Li I i

5 0(0 )cu U .

C5

L1 L2

C6

G4

L12

5(0 )cu

+

G3( )gi t

Rešenje:

Uticaj početnih uslova uzećemo u obzir korišćenjem operatorskih šema za kalem i kondezator.

C5

L1 L2

C6

G4

L12

G3( )gi t

0 ( )I h t

5 0 ( )C U t

1 2 3

4

Graf kola:

1

1 3

4

2

e

a b

d

f

c

2

3

Matrica osnovnih presjeka:

1

2

3

1 0 0 1 1 0

0 1 0 1 0 1

0 0 1 0 1 1

f

a b c d e f

Q

b = 6 grana

c = 4 čvorova

broj grana stabla: n = c – 1=3

T={a,b,c}

Matrica admitansi grana u operatorskom obliku:

1 1

1 12

1 1

12 2

3

4

5

6

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0( )

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

a c

D D

D D

GY D

G

C D

C D

b d e f

Sistem jednačina napona osnovnih presjeka u operatorskom obliku je:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )T

f f T f g gQ Y D Q u t Q i t Y D u t

Na osnovu vrijednosti vektora nezavisnih naponskih i strujnih izvora:

0

0

( ) 0 ;

0

0

gu t

0

5 0

0

( )

( ) 0

( ) ( ) ( )

0

g

g

I h t

i t

i t h t C U t

dolazimo do sistema jednačina:

1 1

4 5 1 4 12 5 5 0

1 1

4 12 4 6 2 6 0

5 6 3 5 6 5 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

a g

b

gc

u tG C D D G D C D i t h t C U t

G D G C D D C D u t I h t

C D C D G C D C D i t h t C U tu t

2 1 121 2 122 2 2

1 2 12 1 2 12 1 2 12

; ;L L L

L L L L L L L L L